Apa yang dimaksud dengan peristiwa dalam teori probabilitas. Soal penentuan peluang klasik.Contoh penyelesaiannya. Hubungan antar peristiwa
Untuk kegiatan praktikum perlu mampu membandingkan peristiwa-peristiwa menurut besarnya kemungkinan terjadinya. Mari kita pertimbangkan kasus klasik. Ada 10 bola di dalam guci, 8 bola berwarna putih, 2 bola hitam. Tentunya kejadian “terambil bola putih dari guci” dan kejadian “terambil bola hitam dari guci” mempunyai derajat kemungkinan terjadinya yang berbeda-beda. Oleh karena itu, untuk membandingkan peristiwa diperlukan suatu ukuran kuantitatif tertentu.
Ukuran kuantitatif dari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa adalah kemungkinan . Definisi probabilitas suatu kejadian yang paling banyak digunakan adalah definisi klasik dan statistik.
Definisi klasik probabilitas dikaitkan dengan konsep hasil yang menguntungkan. Mari kita lihat ini lebih terinci.
Biarkan hasil suatu tes membentuk sekelompok kejadian yang lengkap dan memiliki kemungkinan yang sama, yaitu. mungkin secara unik, tidak kompatibel, dan sama-sama mungkin. Hasil seperti ini disebut hasil dasar, atau kasus. Dikatakan bahwa ujian itu bermuara pada skema kasus atau " skema guci", Karena Masalah probabilitas apa pun untuk pengujian semacam itu dapat diganti dengan masalah serupa dengan guci dan bola dengan warna berbeda.
Hasilnya disebut baik peristiwa A, jika terjadinya kasus ini menyebabkan terjadinya peristiwa tersebut A.
Menurut definisi klasik kemungkinan suatu peristiwa A sama dengan rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa ini dengan jumlah total hasil, yaitu.
| , | (1.1) |
Di mana P(A)– kemungkinan kejadian A; M– jumlah kasus yang mendukung peristiwa tersebut A; N– jumlah total kasus.
Contoh 1.1. Saat melempar dadu, ada enam kemungkinan hasil: 1, 2, 3, 4, 5, 6 poin. Berapa peluang terambilnya jumlah poin genap?
Larutan. Semua N= 6 hasil membentuk kelompok kejadian yang lengkap dan mempunyai kemungkinan yang sama, mis. mungkin secara unik, tidak kompatibel, dan sama-sama mungkin. Peristiwa A - "munculnya jumlah poin genap" - disukai oleh 3 hasil (kasus) - hilangnya 2, 4 atau 6 poin. Dengan menggunakan rumus klasik untuk peluang suatu kejadian, kita peroleh
P(A) = = . ◄
Berdasarkan definisi klasik tentang probabilitas suatu peristiwa, kami mencatat sifat-sifatnya:
1. Peluang suatu kejadian terletak antara nol dan satu, yaitu.
0 ≤ R(A) ≤ 1.
2. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.
3. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol.
Seperti yang dinyatakan sebelumnya, definisi klasik tentang probabilitas hanya berlaku untuk kejadian-kejadian yang dapat timbul sebagai akibat dari pengujian yang memiliki kemungkinan hasil yang simetris, yaitu. dapat direduksi menjadi suatu pola kasus. Namun, terdapat sejumlah besar kejadian yang probabilitasnya tidak dapat dihitung menggunakan definisi klasik.
Misalnya, jika kita berasumsi bahwa uang logam itu pipih, maka jelaslah bahwa peristiwa “penampakan lambang” dan “penampakan kepala” tidak dapat dianggap sama mungkinnya. Oleh karena itu, rumus penentuan peluang menurut skema klasik tidak dapat diterapkan dalam kasus ini.
Namun, ada pendekatan lain untuk memperkirakan probabilitas suatu kejadian, berdasarkan seberapa sering suatu kejadian akan terjadi dalam uji coba yang dilakukan. Dalam hal ini, definisi statistik tentang probabilitas digunakan.
Probabilitas statistikkejadian A adalah frekuensi relatif (frekuensi) terjadinya kejadian tersebut dalam n percobaan yang dilakukan, yaitu
 ,
| (1.2) |
Di mana P*(A)– probabilitas statistik suatu peristiwa A; w(A)– frekuensi relatif kejadian A; M– jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi A; N– jumlah total tes.
Berbeda dengan probabilitas matematika P(A), dipertimbangkan dalam definisi klasik, probabilitas statistik P*(A) adalah sebuah karakteristik berpengalaman, eksperimental. Dengan kata lain, probabilitas statistik suatu peristiwa A adalah angka di sekitar mana frekuensi relatif distabilkan (ditetapkan) w(A) dengan peningkatan jumlah pengujian yang tidak terbatas yang dilakukan dalam kondisi yang sama.
Misalnya, ketika mereka mengatakan tentang seorang penembak bahwa ia mengenai sasaran dengan probabilitas 0,95, ini berarti bahwa dari ratusan tembakan yang dilepaskannya dalam kondisi tertentu (target yang sama pada jarak yang sama, senapan yang sama, dll. . ), rata-rata ada sekitar 95 yang berhasil. Secara alami, tidak setiap seratus akan memiliki 95 tembakan yang berhasil, kadang-kadang akan ada lebih sedikit, kadang-kadang lebih banyak, tetapi rata-rata, dengan beberapa kali pengulangan pengambilan gambar dalam kondisi yang sama, persentase pukulan ini tidak akan berubah. Angka 0,95 yang menjadi indikator skill seorang penembak biasanya sangat tinggi stabil, yaitu. persentase pukulan di sebagian besar penembakan akan hampir sama untuk penembak tertentu, hanya dalam kasus yang jarang terjadi menyimpang secara signifikan dari nilai rata-ratanya.
Kerugian lain dari definisi klasik tentang probabilitas ( 1.1 ) membatasi penggunaannya adalah bahwa ia mengasumsikan sejumlah kemungkinan hasil tes yang terbatas. Dalam beberapa kasus, kelemahan ini dapat diatasi dengan menggunakan definisi geometrik probabilitas, yaitu. mencari peluang suatu titik jatuh pada suatu luas tertentu (segmen, bagian bidang, dsb).
Biarkan sosoknya datar G merupakan bagian dari bangun datar G(Gbr. 1.1). Bugar G sebuah titik dilempar secara acak. Artinya seluruh titik di wilayah tersebut G“hak yang sama” sehubungan dengan apakah titik acak yang dilempar berhasil mengenainya. Dengan asumsi bahwa kemungkinan suatu peristiwa A– titik yang dilempar mengenai angka tersebut G– sebanding dengan luas gambar ini dan tidak bergantung pada lokasi relatifnya G, tidak juga dari formulir G, kita akan menemukannya
Dalam perekonomian, seperti halnya dalam bidang aktivitas manusia atau alam lainnya, kita terus-menerus harus menghadapi peristiwa-peristiwa yang tidak dapat diprediksi secara akurat. Jadi, volume penjualan suatu produk bergantung pada permintaan, yang dapat sangat bervariasi, dan pada sejumlah faktor lain yang hampir mustahil untuk diperhitungkan. Oleh karena itu, ketika mengatur produksi dan melaksanakan penjualan, Anda harus memprediksi hasil dari kegiatan tersebut berdasarkan pengalaman Anda sebelumnya, atau pengalaman serupa dari orang lain, atau intuisi, yang sebagian besar juga bergantung pada data eksperimen.
Untuk mengevaluasi peristiwa yang dipermasalahkan, perlu mempertimbangkan atau mengatur secara khusus kondisi di mana peristiwa ini dicatat.
Penerapan kondisi atau tindakan tertentu untuk mengidentifikasi peristiwa yang dimaksud disebut pengalaman atau percobaan.
Peristiwa tersebut dinamakan acak, jika sebagai akibat dari pengalaman hal itu mungkin terjadi atau tidak.
Peristiwa tersebut dinamakan dapat diandalkan, jika hal itu muncul sebagai akibat dari pengalaman tertentu, dan mustahil, jika tidak dapat muncul dalam pengalaman ini.
Misalnya, hujan salju di Moskow pada tanggal 30 November adalah kejadian acak. Matahari terbit setiap hari dapat dianggap sebagai peristiwa yang dapat diandalkan. Hujan salju di garis khatulistiwa bisa dibilang peristiwa yang mustahil terjadi.
Salah satu tugas utama dalam teori probabilitas adalah tugas menentukan ukuran kuantitatif kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.
Aljabar peristiwa
Peristiwa disebut tidak kompatibel jika peristiwa tersebut tidak dapat diamati bersama-sama dalam pengalaman yang sama. Dengan demikian, kehadiran dua atau tiga mobil dalam satu toko untuk dijual sekaligus merupakan dua peristiwa yang tidak sejalan.
Jumlah peristiwa adalah peristiwa yang terdiri dari terjadinya paling sedikit salah satu peristiwa tersebut
Contoh penjumlahan kejadian adalah kehadiran setidaknya satu dari dua produk di toko.
Pekerjaan Peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri atas terjadinya serentak semua peristiwa tersebut
Suatu peristiwa yang terdiri dari kemunculan dua barang sekaligus dalam suatu toko merupakan produk dari peristiwa: - kemunculan suatu produk, - kemunculan produk lain.
Peristiwa membentuk kelompok peristiwa yang lengkap jika setidaknya salah satu dari peristiwa tersebut pasti terjadi dalam pengalaman.
Contoh. Pelabuhan ini memiliki dua tempat berlabuh untuk menerima kapal. Tiga peristiwa yang dapat dipertimbangkan: - tidak adanya kapal di tempat berlabuh, - adanya satu kapal di salah satu tempat berlabuh, - adanya dua kapal di dua tempat berlabuh. Ketiga peristiwa ini membentuk satu kelompok peristiwa yang utuh.
Di depan dua kejadian unik yang mungkin membentuk satu grup lengkap disebut.
Jika salah satu kejadian yang berlawanan dilambangkan dengan , maka kejadian yang berlawanan tersebut biasanya dilambangkan dengan .
Definisi klasik dan statistik dari probabilitas peristiwa
Masing-masing hasil tes (percobaan) yang sama-sama mungkin disebut hasil dasar. Mereka biasanya dilambangkan dengan huruf. Misalnya sebuah dadu dilempar. Terdapat total enam hasil dasar berdasarkan jumlah titik pada sisinya.
Dari hasil dasar, Anda dapat membuat acara yang lebih kompleks. Jadi, kejadian jumlah poin genap ditentukan oleh tiga hasil: 2, 4, 6.
Ukuran kuantitatif terhadap kemungkinan terjadinya suatu peristiwa yang dimaksud adalah probabilitas.
Definisi peluang suatu kejadian yang paling banyak digunakan adalah: klasik Dan statistik.
Definisi klasik tentang probabilitas dikaitkan dengan konsep hasil yang menguntungkan.
Hasilnya disebut baik terhadap suatu peristiwa tertentu jika kemunculannya menyebabkan terjadinya peristiwa tersebut.
Dalam contoh di atas, kejadian yang dimaksud—jumlah poin genap pada sisi yang digulirkan—memiliki tiga hasil yang menguntungkan. Dalam hal ini, jenderal
sejumlah kemungkinan hasil. Artinya definisi klasik tentang peluang suatu kejadian dapat digunakan di sini.
Definisi klasik sama dengan rasio jumlah hasil yang diinginkan dengan jumlah total kemungkinan hasil
di mana adalah probabilitas suatu kejadian, adalah jumlah hasil yang mendukung kejadian tersebut, adalah jumlah total hasil yang mungkin terjadi.
Dalam contoh yang dipertimbangkan
Definisi statistik probabilitas dikaitkan dengan konsep frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa dalam eksperimen.
Frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa dihitung dengan menggunakan rumus
dimana adalah banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam serangkaian percobaan (pengujian).
Definisi statistik. Probabilitas suatu peristiwa adalah angka di mana frekuensi relatif stabil (ditetapkan) dengan peningkatan jumlah percobaan yang tidak terbatas.
Dalam permasalahan praktis, probabilitas suatu kejadian diambil sebagai frekuensi relatif untuk sejumlah percobaan yang cukup besar.
Dari definisi peluang suatu kejadian, jelas bahwa pertidaksamaan selalu terpenuhi
Untuk menentukan peluang suatu kejadian berdasarkan rumus (1.1), sering digunakan rumus kombinatorik, yang digunakan untuk mencari jumlah hasil yang diinginkan dan jumlah total hasil yang mungkin.
Probabilitas suatu peristiwa dipahami sebagai karakteristik numerik tertentu dari kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut. Ada beberapa pendekatan untuk menentukan probabilitas.
Kemungkinan kejadian tersebut A disebut rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa ini dengan jumlah total semua hasil dasar yang sama-sama mungkin tidak kompatibel yang membentuk kelompok lengkap. Jadi, kemungkinan kejadiannya A ditentukan oleh rumus
Di mana M– jumlah hasil dasar yang menguntungkan A, N– jumlah semua kemungkinan hasil tes dasar.
Contoh 3.1. Dalam percobaan yang melibatkan pelemparan sebuah dadu, jumlah semua hasil N sama dengan 6 dan kemungkinannya sama. Biarkan acaranya A berarti munculnya bilangan genap. Maka untuk kejadian ini, hasil yang menguntungkan adalah munculnya angka 2, 4, 6. Jumlahnya adalah 3. Oleh karena itu, peluang kejadian tersebut A sama dengan
Contoh 3.2. Berapa peluang terambilnya dua angka yang diambil secara acak mempunyai angka yang sama?
Bilangan dua angka adalah bilangan 10 sampai 99, jumlah bilangan tersebut ada 90. 9 bilangan mempunyai angka yang sama (yaitu bilangan 11, 22, ..., 99). Sejak dalam kasus ini M=9, N=90, lalu
Di mana A– kejadian, “angka dengan digit yang sama.”
Contoh 3.3. Dalam kumpulan 10 bagian, 7 adalah standar. Tentukan peluang bahwa di antara enam bagian yang diambil secara acak, 4 merupakan bagian baku.
Jumlah total kemungkinan hasil tes dasar sama dengan banyaknya cara untuk mengekstrak 6 bagian dari 10, yaitu banyaknya kombinasi 10 elemen yang masing-masing terdiri dari 6 elemen. Mari kita tentukan jumlah hasil yang menguntungkan bagi peristiwa yang kita minati A(di antara enam bagian yang diambil ada 4 bagian standar). Empat bagian standar dapat diambil dari tujuh bagian standar dengan cara berbeda; pada saat yang sama, 6-4=2 bagian yang tersisa harus non-standar, tetapi Anda dapat mengambil dua bagian non-standar dari 10-7=3 bagian non-standar dengan cara yang berbeda. Oleh karena itu, jumlah hasil yang menguntungkan sama dengan .
Maka probabilitas yang dibutuhkan sama dengan
Sifat-sifat berikut mengikuti definisi probabilitas:
1. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.
Memang benar, jika kejadian tersebut dapat diandalkan, maka setiap hasil tes yang mendasar akan mendukung kejadian tersebut. Oleh karena itu, dalam hal ini m=n
2. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol.
Memang benar, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka tidak ada hasil dasar tes yang mendukung peristiwa tersebut. Dalam hal ini maksudnya
3. Peluang suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu.
Memang benar, hanya sebagian dari jumlah total hasil tes dasar yang disukai oleh kejadian acak. Pada kasus ini< M< n, berarti 0 < m/n < 1, yaitu 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
Konstruksi teori probabilitas yang lengkap secara logis didasarkan pada definisi aksiomatik dari suatu peristiwa acak dan probabilitasnya. Dalam sistem aksioma yang dikemukakan oleh A. N. Kolmogorov, konsep tak terdefinisi adalah peristiwa dasar dan probabilitas. Berikut adalah aksioma yang mendefinisikan probabilitas:
1. Setiap acara A diberi bilangan real non-negatif P(A). Angka ini disebut peluang kejadian A.
2. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.
3. Peluang terjadinya paling sedikit salah satu kejadian berpasangan yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut.
Berdasarkan aksioma-aksioma ini, sifat-sifat probabilitas dan ketergantungan di antara keduanya diturunkan sebagai teorema.
Pertanyaan tes mandiri
1. Apa nama sifat numerik dari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa?
2. Berapa peluang suatu kejadian?
3. Berapakah probabilitas suatu kejadian yang dapat diandalkan?
4. Berapa peluang terjadinya suatu kejadian yang mustahil?
5. Berapakah batas peluang terjadinya suatu kejadian acak?
6. Berapa batas kemungkinan suatu kejadian?
7. Definisi probabilitas apa yang disebut klasik?
Dasar-dasar teori probabilitas
Rencana:
1. Peristiwa acak
2. Definisi klasik tentang probabilitas
3. Perhitungan probabilitas kejadian dan kombinatorik
4. Probabilitas geometris
Informasi teoritis
Peristiwa acak.
Fenomena acak- sebuah fenomena yang hasilnya tidak jelas. Konsep ini dapat diartikan dalam arti yang cukup luas. Yaitu: segala sesuatu di alam ini cukup acak, kemunculan dan kelahiran setiap individu merupakan fenomena acak, memilih produk di toko juga merupakan fenomena acak, mendapat nilai ujian adalah fenomena acak, penyakit dan kesembuhan adalah fenomena acak. , dll.
Contoh fenomena acak:
~ Penembakan dilakukan dari pistol yang dipasang pada sudut tertentu terhadap horizontal. Mencapai target adalah hal yang tidak disengaja, tetapi proyektil yang mengenai “garpu” tertentu adalah sebuah pola. Anda dapat menentukan jarak yang lebih dekat dan lebih jauh dari mana proyektil tidak akan terbang. Anda akan mendapatkan semacam “garpu dispersi proyektil”
~ Benda yang sama ditimbang beberapa kali. Sebenarnya, setiap kali Anda akan mendapatkan hasil yang berbeda, meskipun perbedaannya tidak signifikan, namun hasilnya akan berbeda.
~ Sebuah pesawat terbang, yang terbang pada rute yang sama, memiliki koridor penerbangan tertentu di mana pesawat tersebut dapat bermanuver, tetapi tidak akan pernah memiliki rute yang persis sama
~ Seorang atlet tidak akan pernah mampu berlari dengan jarak yang sama dalam waktu yang sama. Hasilnya juga akan berada dalam kisaran numerik tertentu.
Pengalaman, eksperimen, observasi adalah ujian
Uji coba– pengamatan atau pemenuhan serangkaian kondisi tertentu yang dilakukan berulang kali, dan diulang secara teratur dalam urutan, durasi, dan kepatuhan dengan parameter identik lainnya.
Mari kita bayangkan seorang atlet menembak sasaran. Agar dapat terlaksana, syarat-syarat seperti mempersiapkan atlet, memuat senjata, membidik, dll harus dipenuhi. “Hit” dan “missed” – kejadian akibat tembakan.
Peristiwa– hasil tes berkualitas tinggi.
Suatu peristiwa mungkin terjadi atau mungkin tidak terjadi. Peristiwa ditunjukkan dengan huruf kapital. Contoh: D = “Penembak mengenai sasaran.” S = "Bola putih diambil." K="Tiket lotre diambil secara acak tanpa kemenangan.".
Melempar koin adalah sebuah ujian. Jatuhnya “lambang”-nya adalah satu peristiwa, jatuhnya “digital”-nya adalah peristiwa kedua.
Setiap tes melibatkan terjadinya beberapa peristiwa. Beberapa di antaranya mungkin diperlukan bagi peneliti pada waktu tertentu, yang lainnya mungkin tidak diperlukan.
Peristiwa tersebut disebut acak, jika serangkaian kondisi tertentu terpenuhi S itu bisa terjadi atau tidak terjadi. Berikut ini, alih-alih mengatakan “kumpulan kondisi S telah terpenuhi”, kita akan mengatakan secara singkat: “pengujian telah dilaksanakan”. Dengan demikian, kejadian tersebut akan dianggap sebagai hasil ujian.
~ Penembak menembak sasaran yang terbagi menjadi empat area. Tembakan itu adalah ujian. Mencapai area tertentu dari target adalah sebuah peristiwa.
~ Ada bola berwarna di dalam guci. Satu bola diambil secara acak dari guci. Mengambil bola dari guci adalah sebuah ujian. Munculnya bola dengan warna tertentu merupakan suatu peristiwa.
Jenis kejadian acak
1. Peristiwa disebut tidak kompatibel apabila terjadinya salah satu di antaranya meniadakan terjadinya peristiwa-peristiwa lain dalam sidang yang sama.
~ Suatu bagian dikeluarkan secara acak dari kotak suku cadang. Tampilan part standar menghilangkan tampilan part non-standar. Acara € bagian standar muncul" dan bagian non-standar muncul" - tidak kompatibel.
~ Sebuah koin dilempar. Tampilan "lambang" tidak termasuk tampilan prasasti. Peristiwa “munculnya lambang negara” dan “munculnya sebuah prasasti” tidak sejalan.
Beberapa peristiwa terbentuk grup penuh, jika setidaknya salah satu dari mereka muncul sebagai hasil tes. Dengan kata lain, terjadinya paling sedikit salah satu peristiwa dalam kelompok yang lengkap merupakan peristiwa yang dapat diandalkan.
Khususnya, jika kejadian-kejadian yang membentuk kelompok lengkap tidak cocok secara berpasangan, maka hasil pengujiannya akan menjadi satu-satunya dari kejadian-kejadian tersebut. Kasus khusus ini sangat menarik bagi kami, karena akan digunakan lebih lanjut.
~ Dua tiket lotere tunai dan pakaian telah dibeli. Satu dan hanya satu dari peristiwa berikut ini yang pasti terjadi:
1. “kemenangan jatuh pada tiket pertama dan tidak jatuh pada tiket kedua,”
2. “kemenangannya tidak jatuh pada tiket pertama melainkan jatuh pada tiket kedua,”
3. “kemenangan jatuh pada kedua tiket”,
4. “kedua tiket tidak menang.”
Peristiwa-peristiwa ini membentuk kelompok lengkap peristiwa-peristiwa yang tidak kompatibel berpasangan,
~ Penembak menembak sasaran. Salah satu dari dua kejadian berikut ini pasti akan terjadi: kena, rindu. Kedua peristiwa yang tidak sejalan ini juga membentuk satu grup yang utuh.
2. Acara disebut sama mungkinnya, jika ada alasan untuk percaya bahwa tidak satupun dari keduanya lebih mungkin dibandingkan yang lain.
~ Munculnya “lambang” dan munculnya prasasti saat melempar koin adalah peristiwa yang sama-sama mungkin terjadi. Memang diasumsikan bahwa uang logam tersebut terbuat dari bahan yang homogen, berbentuk silinder beraturan, dan adanya pencetakan tidak mempengaruhi hilangnya salah satu sisi uang logam tersebut.
~ Munculnya sejumlah poin atau beberapa poin pada pelemparan dadu adalah kejadian yang sama-sama mungkin terjadi. Memang diasumsikan bahwa dadu terbuat dari bahan homogen, berbentuk polihedron beraturan, dan keberadaan titik tidak mempengaruhi hilangnya permukaan apa pun.
3. Acara tersebut dinamakan dapat diandalkan, jika itu tidak bisa tidak terjadi
4. Acara tersebut dinamakan tidak bisa diandalkan, jika itu tidak bisa terjadi.
5. Acara tersebut dinamakan di depan untuk suatu peristiwa jika itu terdiri dari tidak terjadinya peristiwa ini. Peristiwa yang berlawanan tidaklah sejalan, tetapi salah satunya harus terjadi. Peristiwa yang berlawanan biasanya disebut sebagai negasi, mis. Tanda hubung ditulis di atas surat itu. Kejadian sebaliknya: A dan Ā; U dan Ū, dll. .
Definisi klasik tentang probabilitas
Probabilitas adalah salah satu konsep dasar teori probabilitas.
Ada beberapa definisi tentang konsep ini. Mari kita berikan definisi yang disebut klasik. Selanjutnya kami akan menunjukkan kelemahan definisi ini dan memberikan definisi lain yang memungkinkan kami mengatasi kekurangan definisi klasik.
Perhatikan situasinya: Sebuah kotak berisi 6 bola identik, 2 berwarna merah, 3 berwarna biru, dan 1 berwarna putih. Jelasnya, kemungkinan terambilnya bola berwarna (yaitu merah atau biru) dari sebuah guci secara acak lebih besar daripada kemungkinan terambilnya bola putih. Kemungkinan tersebut dapat dicirikan dengan suatu bilangan, yang disebut dengan peluang suatu kejadian (munculnya bola berwarna).
Kemungkinan- angka yang mencirikan tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.
Dalam situasi yang sedang dipertimbangkan, kami menunjukkan:
Peristiwa A = “Mengeluarkan bola berwarna.”
Masing-masing kemungkinan hasil tes (tes terdiri dari mengeluarkan bola dari guci) akan dipanggil hasil dan peristiwa dasar (mungkin). Hasil dasar dapat dilambangkan dengan huruf dengan indeks di bawah ini, contoh: k 1, k 2.
Dalam contoh kita ada 6 bola, jadi ada 6 kemungkinan hasil: muncul bola putih; sebuah bola merah muncul; bola biru muncul, dll. Sangat mudah untuk melihat bahwa hasil-hasil ini membentuk sekelompok kejadian berpasangan yang tidak kompatibel (hanya satu bola yang akan muncul) dan kemungkinannya sama (bola diambil secara acak, bola-bola tersebut identik dan tercampur rata).
Mari kita sebut hasil dasar di mana peristiwa yang kita minati terjadi hasil yang menguntungkan acara ini. Dalam contoh kita, acara tersebut disukai A(munculnya bola berwarna) 5 hasil berikut :
Jadi acaranya A diamati jika salah satu hasil dasar mendukung A. Ini adalah penampakan bola berwarna apa saja, yang ada 5 di dalam kotak
Dalam contoh yang dibahas, ada 6 hasil dasar; 5 diantaranya mendukung acara tersebut A. Karena itu, P(A)= 5/6. Angka ini memberikan penilaian kuantitatif terhadap tingkat kemungkinan munculnya bola berwarna.
Definisi probabilitas:
Peluang kejadian A disebut rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa ini dengan jumlah total semua hasil dasar yang sama-sama mungkin tidak kompatibel yang membentuk kelompok lengkap.
P(A)=m/n atau P(A)=m: n, dimana:
m adalah jumlah hasil dasar yang menguntungkan A;
P- jumlah semua kemungkinan hasil tes dasar.
Di sini diasumsikan bahwa hasil-hasil dasar tidak kompatibel, sama-sama mungkin dan membentuk kelompok yang lengkap.
Sifat-sifat berikut mengikuti definisi probabilitas:
1. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.
Memang benar, jika kejadian tersebut dapat diandalkan, maka setiap hasil tes yang mendasar akan mendukung kejadian tersebut. Pada kasus ini m = n oleh karena itu p=1
2. Kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang mustahil adalah nol.
Memang benar, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka tidak ada hasil dasar tes yang mendukung peristiwa tersebut. Dalam hal ini m=0, maka p=0.
3.Peluang suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu. 0
Pada topik selanjutnya akan diberikan teorema yang memungkinkan seseorang menemukan probabilitas kejadian lain dengan menggunakan probabilitas yang diketahui dari beberapa kejadian.
Pengukuran. Ada 6 anak perempuan dan 4 anak laki-laki dalam kelompok siswa. Berapa peluang terambilnya siswa perempuan secara acak? akankah ada seorang pemuda?
p dev = 6/10 =0,6 p yun = 4/10 = 0,4
Konsep "probabilitas" dalam kursus teori probabilitas modern yang ketat dibangun berdasarkan teori himpunan. Mari kita lihat beberapa aspek dari pendekatan ini.
Misalkan satu dan hanya satu peristiwa yang terjadi sebagai akibat dari pengujian tersebut: dengan saya(saya=1, 2, ....n). Acara dengan saya- ditelepon peristiwa dasar (hasil dasar). TENTANG maka kejadian-kejadian dasar tidak kompatibel secara berpasangan. Himpunan semua kejadian dasar yang dapat terjadi dalam suatu pengujian disebut ruang acara dasarΩ (huruf kapital Yunani omega), dan peristiwa dasar itu sendiri adalah titik ruang ini..
Peristiwa A diidentifikasi dengan subset (ruang Ω), yang elemen-elemennya merupakan hasil dasar yang menguntungkan A; peristiwa DI DALAM adalah bagian Ω yang elemennya merupakan hasil yang menguntungkan DI DALAM, Dengan demikian, himpunan semua kejadian yang dapat terjadi dalam suatu pengujian adalah himpunan semua himpunan bagian dari Ω. Ω itu sendiri terjadi untuk setiap hasil pengujian, oleh karena itu Ω adalah peristiwa yang dapat diandalkan; subset ruang kosong Ω - adalah peristiwa yang mustahil (tidak terjadi pada hasil pengujian apa pun).
Peristiwa dasar dibedakan dari semua peristiwa topik, “masing-masing peristiwa hanya mengandung satu unsur Ω
Setiap hasil dasar dengan saya cocok dengan bilangan positif pi saya- kemungkinan hasil ini, dan jumlah semuanya pi saya sama dengan 1 atau dengan tanda penjumlahan, fakta ini akan ditulis dalam bentuk ekspresi:
Menurut definisi, probabilitas P(A) acara A sama dengan jumlah probabilitas hasil dasar yang menguntungkan A. Oleh karena itu, peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu, suatu kejadian yang mustahil adalah nol, dan suatu kejadian yang berubah-ubah adalah antara nol dan satu.
Mari kita pertimbangkan kasus khusus yang penting ketika semua hasil memiliki kemungkinan yang sama.Jumlah hasil adalah n, jumlah probabilitas semua hasil sama dengan satu; oleh karena itu, peluang setiap hasil adalah 1/p. Biarkan acaranya A nikmat m hasil.
Kemungkinan kejadian A sama dengan jumlah probabilitas hasil yang menguntungkan A:
P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1
Definisi klasik tentang probabilitas diperoleh.
Ada juga aksiomatis pendekatan terhadap konsep "probabilitas". Dalam sistem aksioma yang diusulkan. Kolmogorov A.N., konsep yang tidak terdefinisi adalah peristiwa dan probabilitas dasar. Konstruksi teori probabilitas yang lengkap secara logis didasarkan pada definisi aksiomatik dari suatu peristiwa acak dan probabilitasnya.
Berikut adalah aksioma yang mendefinisikan probabilitas:
1. Setiap acara A diberi bilangan real non-negatif R(A). Angka ini disebut peluang kejadian A.
2. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu:
3. Peluang terjadinya paling sedikit salah satu kejadian berpasangan yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut.
Berdasarkan aksioma-aksioma ini, sifat-sifat probabilitas dan ketergantungan di antara keduanya diturunkan sebagai teorema.
Teori probabilitas adalah ilmu matematika yang mempelajari pola kejadian acak. Eksperimen probabilistik (tes, observasi) adalah eksperimen yang hasilnya tidak dapat diprediksi sebelumnya. Dalam percobaan ini, hasil (outcome) apapun adalah peristiwa.
Peristiwa itu mungkin saja terjadi dapat diandalkan(selalu terjadi sebagai hasil ujian); mustahil(jelas tidak terjadi selama pengujian); acak(mungkin terjadi atau tidak dalam kondisi percobaan ini).
Peristiwa yang tidak dapat diuraikan lagi menjadi peristiwa yang lebih sederhana disebut dasar. Suatu peristiwa yang disajikan sebagai gabungan dari beberapa peristiwa dasar disebut kompleks(perusahaan tidak mengalami kerugian - keuntungan bisa positif atau sama dengan nol).
Dua peristiwa yang tidak dapat terjadi secara bersamaan (kenaikan pajak – peningkatan pendapatan yang dapat dibelanjakan; peningkatan investasi – penurunan risiko) disebut tidak kompatibel.
Dengan kata lain, dua peristiwa tidak dapat dipertemukan apabila terjadinya salah satu peristiwa tidak termasuk terjadinya peristiwa lainnya. Kalau tidak, memang begitu persendian(peningkatan volume penjualan - peningkatan keuntungan). Peristiwa tersebut disebut di depan, jika salah satunya terjadi jika dan hanya jika yang lain tidak terjadi (produk terjual - produk tidak terjual).
Kemungkinan kejadian – Ini adalah ukuran numerik yang diperkenalkan untuk membandingkan peristiwa menurut tingkat kemungkinan terjadinya.
Definisi klasik tentang probabilitas. Kemungkinan R(A) acara A disebut rasio bilangan M peristiwa (hasil) dasar yang sama mungkinnya yang mendukung terjadinya peristiwa tersebut A, ke jumlah total N semua kemungkinan hasil dasar dari percobaan ini:
Sifat dasar probabilitas berikut mengikuti hal di atas:
1,0 £ R(A) £1.
2. Kemungkinan suatu kejadian tertentu A sama dengan 1: R(A) = 1.
3. Peluang terjadinya kejadian mustahil A adalah 0: R(A) = 0.
4. Jika peristiwa A Dan DI DALAM kalau begitu, tidak cocok R(A + DI DALAM) = R(A) + R(DI DALAM); jika peristiwa A Dan DI DALAM kalau begitu, mereka bersama R(A + DI DALAM) = R(A) + R(DI DALAM) - R(A . B).(R(A . B) adalah probabilitas terjadinya gabungan dari peristiwa-peristiwa ini).
5. Jika A dan kejadian sebaliknya R() = 1 - R(A).
Jika peluang terjadinya suatu peristiwa tidak mengubah peluang terjadinya peristiwa lain, maka peristiwa tersebut disebut mandiri.
Saat menghitung secara langsung probabilitas kejadian yang ditandai dengan sejumlah besar hasil, rumus kombinatorik harus digunakan. Untuk mempelajari sekelompok peristiwa (hipotesis)
rumus probabilitas total, Bayes dan Bernoulli diterapkan ( N tes independen - pengulangan percobaan).
Pada penentuan statistik probabilitas acara A di bawah N mengacu pada jumlah total tes yang sebenarnya dilakukan di mana acara tersebut A bertemu dengan tepat M sekali. Dalam hal ini relasinya M/N disebut frekuensi relatif (frekuensi) Wn(A) terjadinya peristiwa tersebut A V N tes yang dilakukan.
Saat menentukan probabilitas dengan metode penilaian ahli di bawah N mengacu pada jumlah ahli (spesialis di bidang tertentu) yang diwawancarai mengenai kemungkinan terjadinya suatu peristiwa A. Di mana M yang mereka klaim sebagai peristiwa tersebut A akan terjadi.
Konsep kejadian acak saja tidak cukup untuk menggambarkan hasil pengamatan besaran yang mempunyai ekspresi numerik. Misalnya, ketika menganalisis hasil keuangan suatu perusahaan, mereka terutama tertarik pada ukurannya. Oleh karena itu, konsep kejadian acak dilengkapi dengan konsep variabel acak.
Di bawah variabel acak(SV) dipahami sebagai suatu besaran yang, sebagai hasil pengamatan (pengujian), mengambil salah satu dari sekumpulan kemungkinan nilainya, yang tidak diketahui sebelumnya dan bergantung pada keadaan acak. Untuk setiap kejadian dasar, SV memiliki arti yang sama.
Ada SV diskrit dan kontinu. Untuk terpisah SV himpunan nilai yang mungkin terbatas atau dapat dihitung, mis. SV mengambil nilai-nilai terisolasi individu yang dapat dicantumkan sebelumnya, dengan probabilitas tertentu. Untuk kontinu SV, himpunan nilai yang mungkin tidak terhingga dan tidak dapat dihitung, misalnya semua bilangan pada interval tertentu, mis. kemungkinan nilai SV tidak dapat dicantumkan terlebih dahulu dan terus menerus mengisi celah tertentu.
Contoh variabel acak: X- jumlah pelanggan harian di supermarket (SV diskrit); Y- jumlah anak yang lahir pada siang hari di suatu pusat administrasi tertentu (SV diskrit); Z- Koordinat titik tumbukan peluru artileri (NE kontinu).
Banyak SV yang dipertimbangkan dalam ilmu ekonomi memiliki sejumlah besar kemungkinan nilai sehingga lebih mudah untuk merepresentasikannya dalam bentuk SV berkelanjutan. Misalnya nilai tukar, pendapatan rumah tangga, dan lain-lain.
Untuk mendeskripsikan SV, perlu dibangun hubungan antara semua kemungkinan nilai SV dan probabilitasnya. Rasio ini akan disebut hukum distribusi SV. Untuk SV diskrit dapat ditentukan secara tabel, analitis (dalam bentuk rumus) atau grafik. Misalnya tabel untuk SV X