Dalam hal apa dampaknya terjadi? Teori probabilitas: rumus dan contoh pemecahan masalah. Skema probabilistik klasik

Untuk membandingkan secara kuantitatif peristiwa-peristiwa yang satu dengan yang lain menurut derajat kemungkinannya, tentunya perlu dikaitkan dengan suatu bilangan tertentu dengan setiap peristiwa, yang semakin besar, semakin besar kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut. Kami akan menyebut angka ini sebagai probabilitas suatu peristiwa. Dengan demikian, kemungkinan suatu peristiwa adalah ukuran numerik dari tingkat kemungkinan obyektif dari peristiwa ini.

Definisi probabilitas yang pertama harus dianggap sebagai definisi klasik, yang muncul dari analisis perjudian dan pada awalnya diterapkan secara intuitif.

Metode klasik untuk menentukan probabilitas didasarkan pada konsep peristiwa yang sama-sama mungkin terjadi dan tidak kompatibel, yang merupakan hasil dari pengalaman tertentu dan membentuk kelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel.

Contoh paling sederhana dari kejadian-kejadian yang sama-sama mungkin terjadi dan tidak cocok yang membentuk suatu kelompok yang lengkap adalah munculnya satu atau beberapa bola dari sebuah guci yang berisi beberapa bola dengan ukuran, berat, dan ciri-ciri nyata lainnya yang sama, hanya berbeda warnanya, dicampur seluruhnya sebelum dikeluarkan.

Oleh karena itu, suatu tes yang hasil-hasilnya membentuk kelompok lengkap kejadian-kejadian yang tidak kompatibel dan sama-sama mungkin dikatakan dapat direduksi menjadi pola guci, atau pola kasus, atau cocok dengan pola klasik.

Peristiwa-peristiwa yang sama-sama mungkin terjadi dan tidak mungkin terjadi yang membentuk suatu kelompok yang lengkap disebut kasus atau peluang saja. Selain itu, dalam setiap percobaan, seiring dengan kasus, peristiwa yang lebih kompleks dapat terjadi.

Contoh: Saat melempar dadu, bersamaan dengan kasus A i - hilangnya poin i di sisi atas, kita dapat mempertimbangkan kejadian seperti B - hilangnya sejumlah poin genap, C - hilangnya sejumlah poin titik yang merupakan kelipatan tiga...

Sehubungan dengan setiap peristiwa yang mungkin terjadi selama percobaan, kasus dibagi menjadi baik, di mana peristiwa ini terjadi, dan tidak menguntungkan, di mana peristiwa tersebut tidak terjadi. Pada contoh sebelumnya, kejadian B disukai oleh kasus A 2, A 4, A 6; acara C - kasus A 3, A 6.

Probabilitas klasik terjadinya suatu peristiwa tertentu disebut rasio jumlah kasus yang menguntungkan terjadinya peristiwa ini dengan jumlah total kasus-kasus yang sama-sama mungkin dan tidak kompatibel yang membentuk kelompok lengkap dalam percobaan tertentu:

Di mana P(A)- kemungkinan terjadinya peristiwa A; M- jumlah kasus yang mendukung peristiwa A; N- jumlah total kasus.

Contoh:

1) (lihat contoh di atas) P(B)= , P(C) =.

2) Guci tersebut berisi 9 bola merah dan 6 bola biru. Tentukan peluang terambilnya satu atau dua bola secara acak berwarna merah.

A- bola merah diambil secara acak:

M= 9, N= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- dua bola merah diambil secara acak:

Properti berikut mengikuti definisi klasik probabilitas (tunjukkan diri Anda):

1) Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah 0;

2) Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan adalah 1;

3) Peluang suatu kejadian terletak antara 0 dan 1;

4) Peluang suatu kejadian yang berlawanan dengan kejadian A,

Definisi klasik tentang probabilitas mengasumsikan bahwa jumlah hasil suatu percobaan adalah terbatas. Dalam praktiknya, sangat sering ada pengujian, yang jumlah kemungkinan kasusnya tidak terbatas. Selain itu, kelemahan definisi klasik adalah seringkali hasil suatu tes tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk himpunan kejadian dasar. Bahkan lebih sulit untuk menunjukkan alasan untuk mempertimbangkan kemungkinan hasil dasar dari suatu tes. Biasanya keseimbangan hasil tes dasar disimpulkan dari pertimbangan simetri. Namun, tugas seperti itu sangat jarang terjadi dalam praktiknya. Karena alasan ini, selain definisi klasik tentang probabilitas, definisi probabilitas lainnya juga digunakan.

Probabilitas statistik kejadian A adalah frekuensi relatif terjadinya kejadian ini dalam pengujian yang dilakukan:

dimana peluang terjadinya kejadian A;

Frekuensi relatif terjadinya peristiwa A;

Banyaknya percobaan dimana peristiwa A muncul;

Jumlah total percobaan.

Berbeda dengan probabilitas klasik, probabilitas statistik merupakan karakteristik probabilitas eksperimental.

Contoh: Untuk mengontrol kualitas produk dari suatu batch, 100 produk dipilih secara acak, 3 produk diantaranya ternyata cacat. Tentukan kemungkinan pernikahan.

Metode statistik untuk menentukan probabilitas hanya berlaku untuk peristiwa-peristiwa yang memiliki sifat-sifat berikut:

Peristiwa yang dipertimbangkan harus merupakan hasil dari pengujian yang dapat direproduksi dalam jumlah yang tidak terbatas dalam kondisi yang sama.

Peristiwa harus mempunyai stabilitas statistik (atau stabilitas frekuensi relatif). Ini berarti bahwa dalam rangkaian pengujian yang berbeda, frekuensi relatif kejadian tersebut sedikit berubah.

Jumlah percobaan yang menghasilkan kejadian A pasti cukup banyak.

Mudah untuk memverifikasi bahwa sifat-sifat probabilitas yang muncul dari definisi klasik juga dipertahankan dalam definisi statistik tentang probabilitas.

Probabilitas adalah salah satu konsep dasar teori probabilitas. Ada beberapa definisi tentang konsep ini. Mari kita berikan definisi yang disebut klasik.

Kemungkinan Peristiwa adalah rasio jumlah hasil dasar yang menguntungkan suatu peristiwa tertentu dengan jumlah semua kemungkinan hasil pengalaman yang sama di mana peristiwa tersebut dapat muncul.

Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A)(Di Sini R– huruf pertama dari kata Perancis kemungkinan- kemungkinan).

Menurut definisinya

dimana banyaknya hasil tes dasar yang mendukung terjadinya suatu peristiwa;

Jumlah total kemungkinan hasil tes dasar.

Definisi probabilitas ini disebut klasik. Itu muncul pada tahap awal pengembangan teori probabilitas.

Angka tersebut sering disebut dengan frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa A dalam pengalaman.

Semakin besar peluang suatu kejadian, maka semakin sering kejadian tersebut terjadi, dan sebaliknya, semakin kecil peluang suatu kejadian, maka semakin jarang kejadian tersebut terjadi. Bila peluang suatu kejadian mendekati atau sama dengan satu, maka kejadian tersebut terjadi di hampir semua percobaan. Dikatakan bahwa peristiwa seperti itu terjadi hampir yakin, yaitu seseorang pasti dapat mengandalkan terjadinya hal tersebut.

Sebaliknya, bila probabilitasnya nol atau sangat kecil, maka peristiwa tersebut sangat jarang terjadi; peristiwa seperti itu dikatakan terjadi hampir tidak mungkin.

Terkadang probabilitasnya dinyatakan dalam persentase: P(A) 100% adalah persentase rata-rata banyaknya kejadian suatu peristiwa A.

Contoh 2.13. Saat memanggil nomor telepon, pelanggan lupa satu digit dan memutarnya secara acak. Temukan probabilitas bahwa nomor yang benar telah dihubungi.

Larutan.

Mari kita nyatakan dengan A acara - “nomor yang diperlukan telah dihubungi.”

Pelanggan dapat menekan salah satu dari 10 digit tersebut, sehingga jumlah total hasil dasar yang mungkin adalah 10. Hasil-hasil ini tidak kompatibel, sama-sama mungkin dan membentuk grup yang lengkap. Mendukung acara tersebut A hanya satu hasil (hanya ada satu nomor yang diperlukan).

Probabilitas yang diperlukan sama dengan rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa tersebut dengan jumlah semua hasil dasar:

Rumus probabilitas klasik menyediakan cara yang sangat sederhana dan bebas eksperimen untuk menghitung probabilitas. Namun kesederhanaan rumus ini sangat menipu. Faktanya adalah ketika menggunakannya, dua pertanyaan yang sangat sulit biasanya muncul:

1. Bagaimana memilih sistem hasil eksperimen sehingga kemungkinannya sama, dan apakah mungkin untuk melakukan hal ini?

2. Cara mencari angka M Dan N?

Jika beberapa objek dilibatkan dalam suatu eksperimen, tidak selalu mudah untuk melihat kemungkinan hasil yang sama.

Filsuf dan matematikawan besar Perancis d'Alembert memasuki sejarah teori probabilitas dengan kesalahannya yang terkenal, yang intinya adalah ia salah menentukan ekimungkinan hasil dalam eksperimen hanya dengan dua koin!

Contoh 2.14. ( kesalahan d'Alembert). Dua buah uang logam yang identik dilempar. Berapa peluang keduanya jatuh pada sisi yang sama?

solusi D'Alembert.

Eksperimen ini mempunyai tiga kemungkinan hasil yang sama:

1. Kedua koin akan mendarat di kepala;

2. Kedua koin akan mendarat di bagian ekor;

3. Salah satu koin akan mendarat di kepala, yang lainnya di ekor.

Solusi yang benar.

Eksperimen ini mempunyai empat kemungkinan hasil yang sama:

1. Koin pertama akan jatuh di kepala, koin kedua juga akan jatuh di kepala;

2. Koin pertama akan mendarat di bagian ekor, koin kedua juga akan mendarat di bagian ekor;

3. Koin pertama akan jatuh di bagian kepala, dan koin kedua di bagian ekor;

4. Koin pertama akan mendarat di bagian ekor, dan koin kedua di bagian kepala.

Dari jumlah tersebut, dua hasil akan menguntungkan bagi kejadian kita, sehingga probabilitas yang diperlukan adalah sama dengan .

D'Alembert membuat salah satu kesalahan paling umum yang dilakukan saat menghitung probabilitas: dia menggabungkan dua hasil dasar menjadi satu, sehingga probabilitasnya menjadi tidak sama dengan hasil eksperimen lainnya.

“Kecelakaan bukanlah suatu kebetulan”... Kedengarannya seperti perkataan seorang filsuf, namun kenyataannya, mempelajari keacakan adalah takdir dari ilmu matematika yang hebat. Dalam matematika, peluang ditangani dengan teori probabilitas. Rumus dan contoh tugas, serta definisi dasar ilmu ini akan disajikan dalam artikel.

Apa itu teori probabilitas?

Teori probabilitas merupakan salah satu disiplin ilmu matematika yang mempelajari kejadian acak.

Agar lebih jelas, mari kita beri contoh kecil: jika Anda melempar koin ke atas, koin tersebut dapat mengenai kepala atau ekornya. Saat koin berada di udara, kedua kemungkinan ini mungkin terjadi. Artinya, probabilitas akibat yang mungkin terjadi adalah 1:1. Jika seseorang diambil dari setumpuk 36 kartu, maka probabilitasnya akan ditunjukkan sebagai 1:36. Nampaknya tidak ada yang perlu dieksplorasi dan diprediksi di sini, apalagi dengan bantuan rumus matematika. Namun, jika Anda mengulangi tindakan tertentu berkali-kali, Anda dapat mengidentifikasi pola tertentu dan, berdasarkan pola tersebut, memprediksi hasil peristiwa dalam kondisi lain.

Untuk meringkas semua hal di atas, teori probabilitas dalam pengertian klasik mempelajari kemungkinan terjadinya salah satu peristiwa yang mungkin terjadi dalam nilai numerik.

Dari halaman sejarah

Teori probabilitas, rumus dan contoh tugas pertama kali muncul pada Abad Pertengahan, ketika upaya untuk memprediksi hasil permainan kartu pertama kali muncul.

Awalnya, teori probabilitas tidak ada hubungannya dengan matematika. Hal ini dibenarkan oleh fakta empiris atau sifat suatu peristiwa yang dapat direproduksi dalam praktik. Karya pertama di bidang ini sebagai disiplin matematika muncul pada abad ke-17. Pendirinya adalah Blaise Pascal dan Pierre Fermat. Mereka mempelajari perjudian sejak lama dan melihat pola-pola tertentu, yang kemudian mereka putuskan untuk diberitahukan kepada publik.

Teknik yang sama ditemukan oleh Christiaan Huygens, meskipun ia tidak mengetahui hasil penelitian Pascal dan Fermat. Konsep "teori probabilitas", rumus dan contoh, yang dianggap pertama dalam sejarah disiplin ilmu ini, diperkenalkan olehnya.

Karya-karya Jacob Bernoulli, teorema Laplace dan Poisson juga tidak kalah pentingnya. Mereka menjadikan teori probabilitas lebih seperti disiplin matematika. Teori probabilitas, rumus dan contoh tugas dasar mendapat bentuknya saat ini berkat aksioma Kolmogorov. Akibat semua perubahan tersebut, teori probabilitas menjadi salah satu cabang matematika.

Konsep dasar teori probabilitas. Acara

Konsep utama dari disiplin ini adalah “peristiwa”. Ada tiga jenis acara:

Dapat diandalkan. Hal-hal itu akan tetap terjadi (koin akan jatuh).
Mustahil. Peristiwa yang tidak akan terjadi dalam keadaan apapun (koin akan tetap menggantung di udara).
Acak. Yang akan terjadi atau tidak akan terjadi. Hal tersebut dapat dipengaruhi oleh berbagai faktor yang sangat sulit diprediksi. Jika kita berbicara tentang sebuah koin, maka ada faktor acak yang dapat mempengaruhi hasilnya: ciri fisik koin, bentuknya, posisi aslinya, kekuatan lemparannya, dll.

Semua peristiwa pada contoh ditunjukkan dengan huruf latin kapital, kecuali P yang mempunyai peran berbeda. Misalnya:

A = “siswa datang untuk kuliah.”
Ā = “siswa tidak datang ke perkuliahan.”

Dalam tugas praktek, peristiwa biasanya dituliskan dengan kata-kata.

Salah satu karakteristik peristiwa yang paling penting adalah kemungkinan yang sama. Artinya, jika Anda melempar koin, semua varian awal jatuhnya mungkin terjadi hingga koin tersebut jatuh. Namun kejadian-kejadian juga tidak mungkin terjadi. Hal ini terjadi ketika seseorang dengan sengaja mempengaruhi suatu hasil. Misalnya, kartu remi atau dadu yang “ditandai” yang pusat gravitasinya digeser.

Acara juga bisa kompatibel dan tidak kompatibel. Peristiwa yang kompatibel tidak mengecualikan terjadinya satu sama lain. Misalnya:

A = “mahasiswa datang ke perkuliahan.”
B = “mahasiswa datang ke perkuliahan.”

Peristiwa-peristiwa ini tidak bergantung satu sama lain, dan terjadinya salah satu peristiwa tersebut tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa lainnya. Peristiwa-peristiwa yang tidak sesuai ditentukan oleh fakta bahwa terjadinya suatu peristiwa tidak termasuk terjadinya peristiwa lainnya. Jika kita berbicara tentang koin yang sama, maka hilangnya “ekor” membuat tidak mungkin munculnya “kepala” dalam percobaan yang sama.

Tindakan pada acara

Peristiwa dapat dikalikan dan ditambahkan; oleh karena itu, kata penghubung logis “DAN” dan “ATAU” diperkenalkan dalam disiplin ilmu.

Besarnya ditentukan oleh fakta bahwa peristiwa A atau B, atau dua peristiwa, dapat terjadi secara bersamaan. Jika keduanya tidak kompatibel, pilihan terakhir tidak mungkin; A atau B akan dibatalkan.

Perkalian kejadian terdiri dari kemunculan A dan B secara bersamaan.

Sekarang kita dapat memberikan beberapa contoh untuk lebih mengingat dasar-dasar, teori probabilitas, dan rumus. Contoh penyelesaian masalah dibawah ini.

Latihan 1: Perusahaan mengikuti kompetisi untuk mendapatkan kontrak untuk tiga jenis pekerjaan. Kemungkinan kejadian yang mungkin terjadi:

A = “perusahaan akan menerima kontrak pertama.”
A 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak pertama.”
B = “perusahaan akan menerima kontrak kedua.”
B 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak kedua”
C = “perusahaan akan menerima kontrak ketiga.”
C 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak ketiga.”

Dengan menggunakan tindakan pada peristiwa, kami akan mencoba mengungkapkan situasi berikut:

K = “perusahaan akan menerima semua kontrak.”

Dalam bentuk matematika, persamaannya akan berbentuk sebagai berikut: K = ABC.

M = “perusahaan tidak akan menerima satu kontrak pun.”

M = SEBUAH 1 B 1 C 1.

Mari kita rumitkan tugasnya: H = “perusahaan akan menerima satu kontrak.” Karena tidak diketahui kontrak mana yang akan diterima perusahaan (pertama, kedua atau ketiga), maka perlu dicatat seluruh rangkaian kejadian yang mungkin terjadi:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Dan 1 BC 1 adalah rangkaian peristiwa dimana perusahaan tidak menerima kontrak pertama dan ketiga, melainkan menerima kontrak kedua. Peristiwa lain yang mungkin terjadi dicatat dengan menggunakan metode yang sesuai. Simbol υ dalam disiplin menunjukkan kata penghubung “ATAU”. Jika kita menerjemahkan contoh di atas ke dalam bahasa manusia, maka perusahaan akan menerima kontrak ketiga, atau kedua, atau pertama. Dengan cara yang sama, Anda dapat menuliskan kondisi lain dalam disiplin “Teori Probabilitas”. Rumus dan contoh pemecahan masalah yang disajikan di atas akan membantu Anda melakukannya sendiri.

Sebenarnya, kemungkinannya

Mungkin, dalam disiplin matematika ini, probabilitas suatu peristiwa adalah konsep sentralnya. Ada 3 definisi probabilitas:

klasik;
statistik;
geometris.

Masing-masing mempunyai tempatnya sendiri dalam studi probabilitas. Teori probabilitas, rumus dan contoh (kelas 9) sebagian besar menggunakan definisi klasik, yang berbunyi seperti ini:

Probabilitas situasi A sama dengan rasio jumlah hasil yang mendukung terjadinya situasi tersebut dengan jumlah semua hasil yang mungkin.

Rumusnya terlihat seperti ini: P(A)=m/n.

A sebenarnya adalah sebuah peristiwa. Jika muncul kasus yang berlawanan dengan A, dapat ditulis sebagai Ā atau A 1 .

m adalah jumlah kemungkinan kasus yang menguntungkan.

n - semua kejadian yang bisa terjadi.

Misalnya, A = “gambar kartu bergambar hati”. Ada 36 kartu dalam satu dek standar, 9 di antaranya berbentuk hati. Dengan demikian, rumus penyelesaian masalah tersebut akan terlihat seperti:

P(A)=9/36=0,25.

Akibatnya, peluang terambilnya kartu bergambar hati dari dek adalah 0,25.

Menuju matematika yang lebih tinggi

Saat ini sudah sedikit diketahui apa itu teori peluang, rumus dan contoh penyelesaian masalah yang terdapat dalam kurikulum sekolah. Namun, teori probabilitas juga ditemukan dalam matematika tingkat tinggi, yang diajarkan di universitas. Paling sering mereka beroperasi dengan definisi geometris dan statistik dari teori dan rumus kompleks.

Teori probabilitas sangat menarik. Lebih baik mulai mempelajari rumus dan contoh (matematika tingkat tinggi) dari yang kecil - dengan definisi probabilitas statistik (atau frekuensi).

Pendekatan statistik tidak bertentangan dengan pendekatan klasik, tetapi sedikit memperluasnya. Jika dalam kasus pertama perlu untuk menentukan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi, maka dalam metode ini perlu untuk menunjukkan seberapa sering peristiwa itu akan terjadi. Di sini konsep baru “frekuensi relatif” diperkenalkan, yang dapat dilambangkan dengan W n (A). Rumusnya tidak berbeda dengan rumus klasik:

Jika rumus klasik dihitung untuk prediksi, maka rumus statistik dihitung berdasarkan hasil percobaan. Mari kita ambil tugas kecil sebagai contoh.

Departemen kontrol teknologi memeriksa kualitas produk. Di antara 100 produk, 3 produk ditemukan berkualitas buruk. Bagaimana cara mencari probabilitas frekuensi suatu produk yang berkualitas?

A = “penampilan produk yang berkualitas.”

W n (A)=97/100=0,97

Jadi, frekuensi suatu produk yang berkualitas adalah 0,97. Dari mana Anda mendapatkan 97? Dari 100 produk yang diperiksa, 3 produk ditemukan kualitasnya buruk. Kita kurangi 3 dari 100 dan dapatkan 97, ini adalah jumlah barang berkualitas.

Sedikit tentang kombinatorik

Metode teori probabilitas lainnya disebut kombinatorik. Prinsip dasarnya adalah jika suatu pilihan A dapat dibuat dengan m cara berbeda, dan pilihan B dapat dibuat dengan n cara berbeda, maka pemilihan A dan B dapat dilakukan dengan perkalian.

Misalnya ada 5 jalan yang menghubungkan kota A ke kota B. Ada 4 jalur dari kota B ke kota C. Ada berapa cara perjalanan dari kota A ke kota C?

Sederhana saja: 5x4=20, yaitu dengan dua puluh cara berbeda Anda dapat berpindah dari titik A ke titik C.

Mari kita mempersulit tugas ini. Berapa banyak cara menyusun kartu dalam solitaire? Ada 36 kartu di dek - ini adalah titik awalnya. Untuk mengetahui banyaknya cara, Anda perlu “mengurangi” satu kartu sekaligus dari titik awal dan mengalikannya.

Artinya, 36x35x34x33x32...x2x1= hasilnya tidak sesuai dengan layar kalkulator, jadi cukup diberi tanda 36!. Tanda "!" di sebelah angka menunjukkan bahwa seluruh rangkaian angka dikalikan.

Dalam kombinatorik terdapat konsep seperti permutasi, penempatan dan kombinasi. Masing-masing mempunyai formula tersendiri.

Himpunan yang tersusun dari unsur-unsur suatu himpunan disebut susunan. Penempatannya dapat diulang, yaitu satu elemen dapat digunakan beberapa kali. Dan tanpa pengulangan, ketika elemen tidak terulang. n adalah semua elemen, m adalah elemen yang ikut serta dalam penempatan. Rumus penempatan tanpa pengulangan akan terlihat seperti:

A n m =n!/(nm)!

Koneksi n elemen yang hanya berbeda urutan penempatannya disebut permutasi. Dalam matematika bentuknya seperti: P n = n!

Gabungan n unsur m adalah senyawa yang penting unsur-unsurnya dan berapa jumlah totalnya. Rumusnya akan terlihat seperti:

A n m =n!/m!(n-m)!

rumus Bernoulli

Dalam teori probabilitas, seperti halnya dalam setiap disiplin ilmu, terdapat karya peneliti terkemuka di bidangnya yang telah membawanya ke tingkat yang baru. Salah satu karyanya adalah rumus Bernoulli, yang memungkinkan Anda menentukan probabilitas suatu peristiwa tertentu terjadi dalam kondisi independen. Hal ini menunjukkan bahwa terjadinya A dalam suatu percobaan tidak bergantung pada ada tidaknya kejadian yang sama pada percobaan sebelumnya atau berikutnya.

Persamaan Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Peluang (p) terjadinya kejadian (A) adalah konstan untuk setiap percobaan. Probabilitas bahwa situasi tersebut akan terjadi tepat m kali dalam n jumlah percobaan akan dihitung dengan rumus yang disajikan di atas. Oleh karena itu, timbul pertanyaan bagaimana cara mengetahui bilangan q.

Oleh karena itu, jika peristiwa A terjadi sebanyak p beberapa kali, maka peristiwa tersebut mungkin tidak terjadi. Satuan adalah angka yang digunakan untuk menunjukkan semua hasil dari suatu situasi dalam suatu disiplin ilmu. Oleh karena itu, q adalah bilangan yang menunjukkan kemungkinan tidak terjadinya suatu peristiwa.

Sekarang Anda tahu rumus Bernoulli (teori probabilitas). Contoh pemecahan masalah (tingkat pertama) akan kita bahas di bawah ini.

Tugas 2: Seorang pengunjung toko akan melakukan pembelian dengan probabilitas 0,2. 6 pengunjung secara mandiri memasuki toko. Seberapa besar kemungkinan pengunjung akan melakukan pembelian?

Solusi: Karena tidak diketahui berapa banyak pengunjung yang harus melakukan pembelian, satu atau keenamnya, maka perlu menghitung semua kemungkinan yang mungkin menggunakan rumus Bernoulli.

A = “pengunjung akan melakukan pembelian.”

Dalam hal ini: p = 0,2 (seperti yang ditunjukkan dalam tugas). Oleh karena itu, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (karena ada 6 pelanggan di toko tersebut). Angka m akan bervariasi dari 0 (tidak ada satu pun pelanggan yang melakukan pembelian) hingga 6 (semua pengunjung toko akan membeli sesuatu). Hasilnya, kami mendapatkan solusinya:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Tidak ada pembeli yang akan melakukan pembelian dengan probabilitas 0,2621.

Bagaimana lagi rumus Bernoulli (teori probabilitas) digunakan? Contoh penyelesaian masalah (tingkat kedua) di bawah ini.

Setelah contoh di atas, timbul pertanyaan tentang kemana perginya C dan r. Sehubungan dengan p, bilangan pangkat 0 akan sama dengan satu. Sedangkan untuk C dapat dicari dengan rumus:

C n m = n! /m!(nm)!

Karena pada contoh pertama m = 0, masing-masing C = 1, yang pada prinsipnya tidak mempengaruhi hasil. Dengan menggunakan rumus baru, mari kita coba mencari tahu berapa probabilitas dua pengunjung membeli suatu barang.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teori probabilitas tidaklah rumit. Rumus Bernoulli, contohnya disajikan di atas, adalah bukti langsungnya.

rumus Poisson

Persamaan Poisson digunakan untuk menghitung situasi acak dengan probabilitas rendah.

Rumus dasar:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Dalam hal ini λ = nxp. Berikut adalah rumus Poisson sederhana (teori probabilitas). Kami akan mempertimbangkan contoh pemecahan masalah di bawah ini.

Tugas 3: Pabrik memproduksi 100.000 suku cadang. Terjadinya bagian yang rusak = 0,0001. Berapa peluang terdapat 5 bagian yang rusak dalam satu batch?

Seperti yang Anda lihat, pernikahan adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi, dan oleh karena itu rumus Poisson (teori probabilitas) digunakan untuk perhitungan. Contoh penyelesaian masalah semacam ini tidak berbeda dengan tugas lain dalam disiplin ilmu, kami mengganti data yang diperlukan ke dalam rumus yang diberikan:

A = “bagian yang dipilih secara acak akan rusak.”

p = 0,0001 (sesuai kondisi tugas).

n = 100000 (jumlah bagian).

m = 5 (bagian yang rusak). Kami mengganti data ke dalam rumus dan mendapatkan:

Rp 100.000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Sama seperti rumus Bernoulli (teori probabilitas), contoh penyelesaian yang ditulis di atas, persamaan Poisson memiliki e yang tidak diketahui, sebenarnya dapat dicari dengan rumus:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Namun, ada tabel khusus yang memuat hampir semua nilai e.

Teorema De Moivre-Laplace

Jika dalam skema Bernoulli jumlah percobaan cukup besar, dan peluang terjadinya kejadian A pada semua skema adalah sama, maka peluang terjadinya kejadian A beberapa kali dalam serangkaian pengujian dapat dicari dengan: Rumus Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Untuk lebih mengingat rumus Laplace (teori probabilitas), contoh soal di bawah ini dapat membantu.

Pertama, cari X m, substitusikan datanya (semuanya tercantum di atas) ke dalam rumus dan dapatkan 0,025. Dengan menggunakan tabel, kita menemukan bilangan ϕ(0,025), yang nilainya 0,3988. Sekarang Anda dapat mengganti semua data ke dalam rumus:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Jadi, peluang bahwa penerbang tersebut akan bekerja tepat 267 kali adalah 0,03.

rumus Bayes

Rumus Bayes (teori probabilitas), contoh penyelesaian masalah yang akan diberikan di bawah ini, adalah persamaan yang menggambarkan probabilitas suatu peristiwa berdasarkan keadaan yang mungkin terkait dengannya. Rumus dasarnya adalah sebagai berikut:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A dan B adalah kejadian pasti.

P(A|B) merupakan peluang bersyarat, yaitu kejadian A dapat terjadi asalkan kejadian B benar.

P (B|A) - probabilitas bersyarat dari kejadian B.

Jadi, bagian terakhir dari kursus singkat “Teori Probabilitas” adalah rumus Bayes, contoh penyelesaian masalah ada di bawah ini.

Tugas 5: Telepon dari tiga perusahaan dibawa ke gudang. Pada saat yang sama, pangsa ponsel yang diproduksi di pabrik pertama adalah 25%, di pabrik kedua - 60%, di pabrik ketiga - 15%. Diketahui juga bahwa rata-rata persentase produk cacat di pabrik pertama adalah 2%, di pabrik kedua - 4%, dan di pabrik ketiga - 1%. Anda perlu mencari kemungkinan bahwa telepon yang dipilih secara acak akan rusak.

A = “telepon yang dipilih secara acak.”

B 1 - telepon yang diproduksi pabrik pertama. Dengan demikian, pengenalan B 2 dan B 3 akan muncul (untuk pabrik kedua dan ketiga).

Hasilnya kita mendapatkan:

P(B1) = 25%/100% = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - jadi kami menemukan probabilitas setiap opsi.

Sekarang Anda perlu mencari probabilitas bersyarat dari kejadian yang diinginkan, yaitu probabilitas produk cacat di perusahaan:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Sekarang mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus Bayes dan dapatkan:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Artikel ini menyajikan teori probabilitas, rumus dan contoh pemecahan masalah, tetapi ini hanyalah puncak gunung es dari suatu disiplin ilmu yang luas. Dan setelah semua yang telah ditulis, masuk akal untuk mengajukan pertanyaan apakah teori probabilitas diperlukan dalam kehidupan. Sulit bagi orang awam untuk menjawabnya, lebih baik bertanya kepada seseorang yang telah menggunakannya untuk memenangkan jackpot lebih dari satu kali.

Dalam perekonomian, seperti halnya dalam bidang aktivitas manusia atau alam lainnya, kita terus-menerus harus menghadapi peristiwa-peristiwa yang tidak dapat diprediksi secara akurat. Jadi, volume penjualan suatu produk bergantung pada permintaan, yang dapat sangat bervariasi, dan pada sejumlah faktor lain yang hampir mustahil untuk diperhitungkan. Oleh karena itu, ketika mengatur produksi dan melaksanakan penjualan, Anda harus memprediksi hasil dari kegiatan tersebut berdasarkan pengalaman Anda sebelumnya, atau pengalaman serupa dari orang lain, atau intuisi, yang sebagian besar juga bergantung pada data eksperimen.

Untuk mengevaluasi peristiwa yang dipermasalahkan, perlu mempertimbangkan atau mengatur secara khusus kondisi di mana peristiwa ini dicatat.

Penerapan kondisi atau tindakan tertentu untuk mengidentifikasi peristiwa yang dimaksud disebut pengalaman atau percobaan.

Peristiwa tersebut dinamakan acak, jika sebagai akibat dari pengalaman hal itu mungkin terjadi atau tidak.

Peristiwa tersebut dinamakan dapat diandalkan, jika hal itu muncul sebagai akibat dari pengalaman tertentu, dan mustahil, jika tidak dapat muncul dalam pengalaman ini.

Misalnya, hujan salju di Moskow pada tanggal 30 November adalah kejadian acak. Matahari terbit setiap hari dapat dianggap sebagai peristiwa yang dapat diandalkan. Hujan salju di garis khatulistiwa bisa dibilang peristiwa yang mustahil terjadi.

Salah satu tugas utama dalam teori probabilitas adalah tugas menentukan ukuran kuantitatif kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.

Aljabar peristiwa

Peristiwa disebut tidak kompatibel jika peristiwa tersebut tidak dapat diamati bersama-sama dalam pengalaman yang sama. Dengan demikian, kehadiran dua atau tiga mobil dalam satu toko untuk dijual sekaligus merupakan dua peristiwa yang tidak sejalan.

Jumlah peristiwa adalah peristiwa yang terdiri dari terjadinya paling sedikit salah satu peristiwa tersebut

Contoh penjumlahan kejadian adalah kehadiran setidaknya satu dari dua produk di toko.

Pekerjaan Peristiwa adalah suatu peristiwa yang terdiri atas terjadinya serentak semua peristiwa tersebut

Suatu peristiwa yang terdiri dari kemunculan dua barang sekaligus dalam suatu toko merupakan produk dari peristiwa: - kemunculan suatu produk, - kemunculan produk lain.

Peristiwa membentuk kelompok peristiwa yang lengkap jika setidaknya salah satu dari peristiwa tersebut pasti terjadi dalam pengalaman.

Contoh. Pelabuhan ini memiliki dua tempat berlabuh untuk menerima kapal. Tiga peristiwa yang dapat dipertimbangkan: - tidak adanya kapal di tempat berlabuh, - adanya satu kapal di salah satu tempat berlabuh, - adanya dua kapal di dua tempat berlabuh. Ketiga peristiwa ini membentuk satu kelompok peristiwa yang utuh.

Di depan dua kejadian unik yang mungkin membentuk satu grup lengkap disebut.

Jika salah satu kejadian yang berlawanan dilambangkan dengan , maka kejadian yang berlawanan tersebut biasanya dilambangkan dengan .

Definisi klasik dan statistik dari probabilitas peristiwa

Masing-masing hasil tes (percobaan) yang sama-sama mungkin disebut hasil dasar. Mereka biasanya dilambangkan dengan huruf. Misalnya sebuah dadu dilempar. Terdapat total enam hasil dasar berdasarkan jumlah titik pada sisinya.

Dari hasil dasar, Anda dapat membuat acara yang lebih kompleks. Jadi, kejadian jumlah poin genap ditentukan oleh tiga hasil: 2, 4, 6.

Ukuran kuantitatif terhadap kemungkinan terjadinya suatu peristiwa yang dimaksud adalah probabilitas.

Definisi peluang suatu kejadian yang paling banyak digunakan adalah: klasik Dan statistik.

Definisi klasik tentang probabilitas dikaitkan dengan konsep hasil yang menguntungkan.

Hasilnya disebut baik terhadap suatu peristiwa tertentu jika kemunculannya menyebabkan terjadinya peristiwa tersebut.

Dalam contoh di atas, kejadian yang dimaksud—jumlah poin genap pada sisi yang digulirkan—memiliki tiga hasil yang menguntungkan. Dalam hal ini, jenderal
sejumlah kemungkinan hasil. Artinya definisi klasik tentang peluang suatu kejadian dapat digunakan di sini.

Definisi klasik sama dengan rasio jumlah hasil yang diinginkan dengan jumlah total kemungkinan hasil

di mana adalah probabilitas suatu kejadian, adalah jumlah hasil yang mendukung kejadian tersebut, adalah jumlah total hasil yang mungkin terjadi.

Dalam contoh yang dipertimbangkan

Definisi statistik probabilitas dikaitkan dengan konsep frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa dalam eksperimen.

Frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa dihitung dengan menggunakan rumus

dimana adalah banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam serangkaian percobaan (pengujian).

Definisi statistik. Probabilitas suatu peristiwa adalah angka di mana frekuensi relatif stabil (ditetapkan) dengan peningkatan jumlah percobaan yang tidak terbatas.

Dalam permasalahan praktis, probabilitas suatu kejadian diambil sebagai frekuensi relatif untuk sejumlah percobaan yang cukup besar.

Dari definisi peluang suatu kejadian, jelas bahwa pertidaksamaan selalu terpenuhi

Untuk menentukan peluang suatu kejadian berdasarkan rumus (1.1), sering digunakan rumus kombinatorik, yang digunakan untuk mencari jumlah hasil yang diinginkan dan jumlah total hasil yang mungkin.

LEMBAGA PENDIDIKAN KOTA

GYMNASIUM No.6

pada topik “Definisi klasik tentang probabilitas.”

Diselesaikan oleh siswa kelas 8 “B”

Klimantova Alexandra.

Guru matematika: Videnkina V.A.

Voronezh, 2008

Banyak permainan yang menggunakan dadu. Kubus memiliki 6 sisi, masing-masing sisi memiliki jumlah titik yang berbeda-beda, dari 1 hingga 6. Pemain melempar dadu dan melihat berapa banyak titik yang ada di sisi yang dijatuhkan (di sisi yang terletak di atas) . Seringkali, titik-titik pada permukaan kubus diganti dengan angka yang sesuai dan kemudian muncul 1, 2 atau 6. Melempar sebuah dadu dapat dianggap sebagai pengalaman, percobaan, ujian, dan hasil yang diperoleh adalah hasil ujian atau peristiwa dasar. Orang-orang tertarik untuk menebak terjadinya suatu peristiwa tertentu dan memprediksi hasilnya. Prediksi apa yang dapat mereka buat saat melempar dadu? Misalnya, ini:

1) kejadian A - angka 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 dilempar;

2) peristiwa B - muncul angka 7, 8 atau 9;

3) kejadian C - muncul angka 1.

Peristiwa A yang diprediksi pada kasus pertama pasti akan terjadi. Secara umum peristiwa yang pasti terjadi pada suatu pengalaman tertentu disebut acara yang dapat diandalkan .

Peristiwa B yang diprediksi pada kasus kedua tidak akan pernah terjadi, mustahil terjadi. Secara umum, suatu peristiwa yang tidak dapat terjadi dalam suatu pengalaman tertentu disebut peristiwa yang mustahil .

Dan apakah kejadian C yang diprediksi pada kasus ketiga akan terjadi atau tidak? Kami tidak dapat menjawab pertanyaan ini dengan pasti, karena ada yang bisa lepas atau tidak. Suatu peristiwa yang mungkin terjadi atau tidak terjadi dalam suatu pengalaman tertentu disebut peristiwa acak .

Saat memikirkan terjadinya suatu peristiwa yang dapat dipercaya, kemungkinan besar kita tidak akan menggunakan kata “mungkin”. Misal hari ini hari Rabu, lalu besok hari Kamis, ini acara yang bisa diandalkan. Pada hari Rabu kita tidak akan mengatakan: “Mungkin besok adalah hari Kamis,” kita akan mengatakan dengan singkat dan jelas: “Besok adalah Kamis.” Benar, jika kita cenderung pada ungkapan-ungkapan indah, kita dapat mengatakan ini: “Dengan kemungkinan seratus persen saya mengatakan bahwa besok adalah hari Kamis.” Sebaliknya jika hari ini adalah hari Rabu, maka permulaan hari Jumat esok adalah peristiwa yang mustahil. Menilai peristiwa hari Rabu ini, kita dapat mengatakan ini: “Saya yakin besok bukan hari Jumat.” Atau ini: “Sungguh luar biasa bahwa besok adalah hari Jumat.” Nah, jika kita cenderung pada ungkapan-ungkapan indah, kita bisa mengatakan ini: “Kemungkinan besok adalah hari Jumat adalah nol.” Jadi, peristiwa yang dapat diandalkan adalah peristiwa yang terjadi pada kondisi tertentu dengan kemungkinan seratus persen(yaitu, terjadi pada 10 dari 10 kasus, dalam 100 kasus dari 100, dst.). Peristiwa yang mustahil adalah peristiwa yang tidak pernah terjadi dalam kondisi tertentu, suatu peristiwa dengan probabilitas nol .

Namun sayangnya (dan mungkin untungnya), tidak segala sesuatu dalam hidup ini begitu jelas dan tepat: akan selalu terjadi (peristiwa tertentu), tidak akan pernah terjadi (peristiwa yang mustahil). Paling sering kita dihadapkan pada kejadian acak, beberapa di antaranya lebih mungkin terjadi, yang lain lebih kecil kemungkinannya. Biasanya orang menggunakan kata “lebih mungkin” atau “lebih kecil kemungkinannya”, seperti yang mereka katakan, secara spontan, dengan mengandalkan apa yang disebut akal sehat. Namun sering kali perkiraan seperti itu ternyata tidak cukup, karena hal ini penting untuk diketahui untuk berapa lama persen mungkin merupakan peristiwa acak atau berapa kali satu peristiwa acak lebih mungkin terjadi dibandingkan peristiwa lainnya. Dengan kata lain, kita perlu akurat kuantitatif karakteristik, Anda harus mampu mengkarakterisasi probabilitas dengan angka.

Kami telah mengambil langkah pertama ke arah ini. Kami mengatakan bahwa kemungkinan terjadinya peristiwa tertentu dicirikan sebagai seratus persen, dan peluang terjadinya suatu peristiwa yang mustahil adalah sebagai nol. Mengingat 100% sama dengan 1, orang-orang menyetujui hal berikut:

1) probabilitas suatu peristiwa yang dapat diandalkan dianggap sama 1;

2) probabilitas suatu kejadian yang mustahil dianggap sama 0.

Bagaimana cara menghitung peluang suatu kejadian acak? Bagaimanapun, hal itu terjadi secara tidak sengaja, yang artinya tidak mematuhi hukum, algoritme, atau rumus. Ternyata dalam dunia keacakan berlaku hukum tertentu yang memungkinkan seseorang menghitung probabilitas. Inilah cabang matematika yang disebut - teori probabilitas .

Matematika berkaitan dengan model beberapa fenomena realitas di sekitar kita. Dari semua model yang digunakan dalam teori probabilitas, kami akan membatasi diri pada model yang paling sederhana.

Skema probabilistik klasik

Untuk mencari peluang kejadian A saat melakukan suatu percobaan, Anda harus:

1) tentukan bilangan N dari semua kemungkinan hasil percobaan ini;

2) menerima asumsi probabilitas yang sama (equal kemungkinan) dari semua hasil tersebut;

3) tentukan bilangan N(A) dari hasil percobaan yang terjadinya peristiwa A;

4) temukan hasil bagi ; itu akan sama dengan peluang kejadian A.

Merupakan kebiasaan untuk menyatakan peluang kejadian A: P(A). Penjelasan untuk sebutan ini sangat sederhana: kata “probabilitas” dalam bahasa Perancis adalah kemungkinan, dalam bahasa Inggris- kemungkinan.Penunjukannya menggunakan huruf pertama dari kata tersebut.

Dengan menggunakan notasi ini, peluang kejadian A menurut skema klasik dapat dicari dengan menggunakan rumus

P(A)=.

Seringkali semua poin dari skema probabilistik klasik di atas diungkapkan dalam satu frase yang agak panjang.

Definisi klasik tentang probabilitas

Peluang terjadinya kejadian A selama suatu pengujian tertentu adalah perbandingan banyaknya hasil yang mengakibatkan terjadinya peristiwa A dengan jumlah seluruh kemungkinan hasil yang sama dari pengujian tersebut.

Contoh 1. Tentukan peluang bahwa dengan satu kali pelemparan sebuah dadu, hasilnya adalah: a) 4; b) 5; c) jumlah poin genap; d) jumlah poin lebih besar dari 4; e) banyaknya titik yang tidak habis dibagi tiga.

Larutan. Totalnya ada N=6 kemungkinan hasil: jatuh dari permukaan kubus dengan jumlah poin sama dengan 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Kami percaya bahwa tidak ada satupun yang memiliki keunggulan dibandingkan yang lain, yaitu kami menerima asumsi bahwa ekuiprobabilitas hasil ini.

a) Tepat pada salah satu hasil, kejadian A yang menarik perhatian kita akan terjadi—akan muncul angka 4. Artinya N(A)=1 dan

P ( A )= =.

b) Penyelesaian dan jawabannya sama seperti pada paragraf sebelumnya.

c) Peristiwa B yang kita minati akan terjadi tepat pada tiga kasus yang banyaknya titiknya 2, 4 atau 6. Artinya

N ( B )=3 dan P ( B )==.

d) Peristiwa C yang kita minati akan terjadi tepat pada dua kasus bila jumlah titiknya 5 atau 6. Artinya

N ( C ) =2 dan Р(С)=.

e) Dari enam kemungkinan bilangan yang diambil, empat (1, 2, 4 dan 5) bukan kelipatan tiga, dan dua sisanya (3 dan 6) habis dibagi tiga. Ini berarti bahwa peristiwa yang menarik bagi kita terjadi tepat pada empat dari enam hasil percobaan yang mungkin dan sama-sama mungkin terjadi. Oleh karena itu jawabannya ternyata adalah

. ; B) ; V) ; G) ; D).

Dadu asli mungkin berbeda dengan kubus (model) ideal, oleh karena itu, untuk menggambarkan perilakunya, diperlukan model yang lebih akurat dan rinci, dengan mempertimbangkan keunggulan satu permukaan dibandingkan permukaan lainnya, kemungkinan adanya magnet, dll. “kesalahannya ada pada detailnya,” dan akurasi yang lebih tinggi cenderung mengarah pada kompleksitas yang lebih besar, dan mendapatkan jawaban menjadi sebuah masalah. Kami membatasi diri untuk mempertimbangkan model probabilistik yang paling sederhana, di mana semua kemungkinan hasil memiliki kemungkinan yang sama.

Catatan 1. Mari kita lihat contoh lainnya. Pertanyaan yang diajukan: “Berapa peluang terambilnya dadu tiga lawan satu?” Siswa tersebut menjawab: “Kemungkinannya 0,5.” Dan dia menjelaskan jawabannya: “Tiga akan muncul atau tidak. Ini berarti bahwa ada dua hasil secara total dan tepat pada salah satu hasil tersebut terjadi peristiwa yang kita minati. Dengan menggunakan skema probabilistik klasik, kita mendapatkan jawabannya 0,5.” Apakah ada kesalahan dalam alasan ini? Sekilas, tidak. Namun, hal itu masih ada, dan secara mendasar. Ya, tentu saja, angka tiga akan muncul atau tidak, yaitu dengan definisi hasil pelemparan N=2. Benar juga bahwa N(A) = 1 dan tentu saja benar bahwa

=0,5, yaitu tiga poin skema probabilistik diperhitungkan, tetapi implementasi poin 2) diragukan. Tentu saja, dari sudut pandang hukum murni, kami berhak untuk percaya bahwa mendapatkan angka tiga kemungkinan besar tidak akan gagal. Tapi bisakah kita berpikir demikian tanpa melanggar asumsi alami kita tentang “kesamaan” tepinya? Tentu saja tidak! Di sini kita berhadapan dengan penalaran yang benar dalam model tertentu. Namun model ini sendiri “salah”, tidak sesuai dengan fenomena sebenarnya.

Catatan 2. Saat membahas probabilitas, jangan lupakan keadaan penting berikut ini. Jika kita mengatakan bahwa ketika sebuah dadu dilempar, peluang mendapat satu poin adalah

, ini tidak berarti sama sekali dengan melempar dadu sebanyak 6 kali anda akan mendapat satu poin tepat satu kali, dengan melempar dadu sebanyak 12 kali anda akan mendapat satu poin tepat dua kali, dengan melempar dadu sebanyak 18 kali anda akan mendapat satu poin tepat tiga kali, dll. Kata tersebut mungkin spekulatif. Kami berasumsi apa yang paling mungkin terjadi. Mungkin jika kita melempar dadu sebanyak 600 kali, maka akan muncul satu poin sebanyak 100 kali, atau sekitar 100.