Linearisasi harmonis. Metode linearisasi harmonik: Pedoman kerja laboratorium Metode linearisasi harmonik matlab osilasi diri

Tujuan dari metode linearisasi harmonik.

Ide metode linierisasi harmonik dikemukakan pada tahun 1934. N.M. Krylov dan N.N. Bogolyubov. Sehubungan dengan sistem kendali otomatis, metode ini dikembangkan oleh L. S. Goldfarb dan E. P. Popov. Nama lain metode ini dan modifikasinya adalah metode keseimbangan harmonik, metode deskripsi fungsi, dan metode linierisasi ekuivalen.

Metode linearisasi harmonik merupakan salah satu metode untuk mempelajari osilasi diri. Ini memungkinkan Anda untuk menentukan kondisi keberadaan dan parameter kemungkinan osilasi diri dalam sistem nonlinier.

Pengetahuan tentang parameter osilasi diri memungkinkan kita untuk menyajikan gambaran tentang kemungkinan proses dalam sistem dan, khususnya, menentukan kondisi stabilitas. Misalkan, misalnya, sebagai hasil mempelajari osilasi diri dalam beberapa sistem nonlinier, kita memperoleh ketergantungan amplitudo osilasi diri ini A dari koefisien transmisi k bagian linier dari sistem yang ditunjukkan pada Gambar 12.1, dan kita tahu bahwa osilasi mandiri stabil.

Dari grafik tersebut dapat disimpulkan bahwa dengan nilai koefisien transmisi yang besar k, Kapan k > k kr, ada osilasi sendiri dalam sistem. Amplitudonya berkurang menjadi nol seiring dengan menurunnya koefisien transmisi k sebelum k kr. Pada Gambar 12.1, panah secara konvensional menunjukkan sifat proses sementara pada nilai yang berbeda k: pada k > k kr proses sementara yang disebabkan oleh deviasi awal berkontraksi dengan osilasi sendiri. Dari gambar tersebut jelas kapan k< k cr, sistemnya ternyata stabil. Dengan demikian, k kr adalah nilai kritis koefisien transmisi sesuai kondisi kestabilan. Melebihinya mengarah pada fakta bahwa mode awal sistem menjadi tidak stabil dan osilasi mandiri muncul di dalamnya. Oleh karena itu, pengetahuan tentang kondisi keberadaan osilasi mandiri dalam sistem memungkinkan kita untuk menentukan kondisi stabilitas.

Gagasan linearisasi harmonik.

Mari kita perhatikan sistem nonlinier, diagramnya ditunjukkan pada Gambar 12.2, dan . Sistem terdiri dari bagian linier dengan fungsi transfer W l ( S) dan tautan nonlinier tidak dengan ciri tertentu . Tautan dengan koefisien - 1 menunjukkan bahwa umpan balik dalam sistem bernilai negatif. Kami percaya bahwa ada osilasi mandiri dalam sistem, yang amplitudo dan frekuensinya ingin kami temukan. Dalam mode yang dipertimbangkan, kuantitas masukan X tautan dan keluaran nonlinier Y adalah fungsi periodik waktu.

Metode linierisasi harmonik didasarkan pada asumsi bahwa osilasi pada masukan tautan nonlinier adalah sinusoidal, yaitu. e.itu

, (12.1)

Di manaA– amplitudo dan merupakan frekuensi osilasi mandiri ini, dan merupakan komponen konstan yang mungkin terjadi dalam kasus umum ketika osilasi mandiri tidak simetris.

Pada kenyataannya, osilasi diri dalam sistem nonlinier selalu nonsinusoidal karena distorsi bentuknya oleh elemen nonlinier. Oleh karena itu, asumsi awal yang diberikan berarti bahwa metode linierisasi harmonis adalah pada dasarnya dekat dan ruang lingkup penerapannya terbatas pada kasus di mana osilasi mandiri pada masukan tautan nonlinier cukup dekat dengan sinusoidal. Agar hal ini terjadi, bagian linier dari sistem tidak boleh membiarkan harmonik osilasi diri yang lebih tinggi melewatinya, yaitu menjadi filter lolos rendah. Yang terakhir diilustrasikan pada Gambar. 12.2,b . Jika, misalnya, frekuensi osilasi sendiri sama dengan , maka bagian linier yang ditunjukkan pada Gambar. 12.2, b Respon frekuensi akan memainkan peran filter low-pass untuk osilasi ini, karena harmonik kedua, yang frekuensinya sama dengan 2, praktis tidak akan masuk ke input link nonlinier. Oleh karena itu, dalam hal ini metode linierisasi harmonik dapat diterapkan.

Jika frekuensi osilasi diri sama dengan , bagian linier akan dengan bebas melewatkan harmonik osilasi diri kedua, ketiga, dan lainnya. Dalam hal ini, tidak dapat dikatakan bahwa osilasi pada masukan tautan nonlinier akan mendekati sinusoidal, yaitu. prasyarat yang diperlukan untuk menerapkan metode linierisasi harmonik tidak terpenuhi.

Untuk menentukan apakah bagian linier dari sistem merupakan filter lolos rendah dan dengan demikian menentukan penerapan metode linierisasi harmonik, perlu diketahui frekuensi osilasi sendiri. Namun hal itu hanya bisa diketahui dengan menggunakan cara ini. Dengan demikian, Penerapan metode linierisasi harmonik harus ditentukan pada akhir pembelajaran sebagai ujian.

Perhatikan bahwa jika, sebagai hasil pengujian ini, hipotesis bahwa bagian linier dari sistem berperan sebagai filter lolos rendah tidak dikonfirmasi, ini tidak berarti bahwa hasil yang diperoleh salah, meskipun, tentu saja. , hal ini menimbulkan keraguan pada mereka dan memerlukan verifikasi tambahan dengan cara lain.

Jadi, dengan asumsi bahwa bagian linier dari sistem adalah filter lolos rendah, kita asumsikan bahwa osilasi mandiri pada masukan tautan nonlinier adalah sinusoidal, yaitu berbentuk (12.1). Osilasi pada keluaran tautan ini tidak lagi berbentuk sinusoidal karena distorsinya secara nonlinier. Sebagai contoh pada Gambar. 12.3, sebuah kurva diplot pada keluaran tautan nonlinier untuk amplitudo tertentu dari masukan sinyal sinusoidal murni sesuai dengan karakteristik tautan yang diberikan di sana.

Gambar 12.3. Lintasan osilasi harmonik melalui hubungan nonlinier.

Namun, karena kami percaya bahwa bagian linier dari sistem hanya melewati harmonik fundamental dari osilasi diri, masuk akal untuk hanya tertarik pada harmonik ini pada keluaran tautan nonlinier. Oleh karena itu, kami akan memperluas osilasi keluaran menjadi deret Fourier dan membuang harmonik yang lebih tinggi. Hasilnya kita mendapatkan:

;

; (12.3)

;

Mari kita tulis ulang ekspresi (12.2) dalam bentuk yang lebih nyaman untuk penggunaan selanjutnya, gantikan ke dalamnya ekspresi berikut dan diperoleh dari (12.1):

Mengganti ekspresi ini ke (12.2), kita akan mendapatkan:

(12.4)

. (12.5)

Notasi berikut diperkenalkan di sini:

. (12.6)

Persamaan diferensial (12.5) berlaku untuk sinyal masukan sinusoidal (12.1) dan menentukan sinyal keluaran dari tautan nonlinier tanpa memperhitungkan harmonik yang lebih tinggi.

Koefisien sesuai dengan ekspresi (12.3) untuk koefisien Fourier adalah fungsi dari komponen konstan, amplitudo A dan frekuensi osilasi mandiri pada input tautan nonlinier. Di tetapkan A, dan persamaan (12.5) linier. Jadi, jika kita membuang harmonik yang lebih tinggi, maka untuk sinyal harmonik tetap, tautan nonlinier asli dapat diganti dengan sinyal linier ekivalen, yang dijelaskan oleh persamaan (12.5). Penggantian ini disebut linearisasi harmonis .

Pada Gambar. Gambar 12.4 secara kondisional menunjukkan diagram tautan ini, yang terdiri dari dua tautan paralel.

Beras. 12.4. Elemen linier ekivalen diperoleh sebagai hasil linearisasi harmonik.

Satu tautan () melewati komponen konstan, dan yang lainnya - hanya komponen sinusoidal dari osilasi diri.

Koefisiennya disebut koefisien linearisasi harmonik atau koefisien transfer harmonik: - koefisien transmisi komponen konstan, dan - dua koefisien transmisi komponen sinusoidal osilasi sendiri. Koefisien ini ditentukan oleh nonlinier dan nilai serta menurut rumus (12.3). Ada ekspresi siap pakai yang ditentukan menggunakan rumus ini untuk sejumlah tautan nonlinier tipikal. Untuk ini dan, secara umum, semua tautan nonlinier bebas inersia, kuantitasnya tidak bergantung pada dan hanya merupakan fungsi dari amplitudo. A Dan .

Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia

Universitas Teknik Negeri Saratov

Institut Teknik, Teknologi dan Manajemen Balakovo

Metode linearisasi harmonik

Pedoman pelaksanaan pekerjaan laboratorium pada mata kuliah “Teori Kendali Otomatis” bagi mahasiswa peminatan 210100

Disetujui

dewan editorial dan penerbitan

Institut Teknologi Balakovo,

teknologi dan manajemen

Balakovo 2004

Tujuan pekerjaan: Mempelajari sistem nonlinier dengan menggunakan metode linierisasi harmonik (harmonic balance), penentuan koefisien linierisasi harmonik untuk berbagai link nonlinier. Memperoleh keterampilan dalam mencari parameter osilasi simetris amplitudo dan frekuensi konstan (self-oscillation), menggunakan metode aljabar, frekuensi, dan juga menggunakan kriteria Mikhailov.

INFORMASI DASAR

Metode linearisasi harmonik mengacu pada metode perkiraan untuk mempelajari sistem nonlinier. Hal ini memungkinkan seseorang untuk menilai stabilitas sistem nonlinier dengan cukup sederhana dan dengan akurasi yang dapat diterima dan menentukan frekuensi dan amplitudo osilasi yang terjadi dalam sistem.

Diasumsikan bahwa ACS nonlinier yang diteliti dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut

dan bagian nonlinier harus mempunyai satu nonlinier

Nonlinier ini dapat bersifat kontinyu atau relai, bernilai tunggal atau histeris.

Fungsi atau sinyal apa pun dapat diperluas menjadi suatu rangkaian menurut sistem fungsi ortonormal yang bebas linier, dalam kasus tertentu. Deret Fourier dapat digunakan sebagai deret ortogonal.

Mari kita perluas sinyal keluaran dari bagian nonlinier sistem menjadi deret Fourier

, (2)

berikut adalah koefisien Fourier,

. (3)

Jadi, sinyal menurut (2) dapat direpresentasikan sebagai jumlah harmonik tak terhingga dengan frekuensi yang meningkat dll. Sinyal ini diumpankan ke input bagian linier dari sistem nonlinier.

Mari kita nyatakan fungsi transfer bagian linier

, (4)

dan derajat polinomial pembilangnya harus lebih kecil dari derajat polinomial penyebutnya. Dalam hal ini, respon frekuensi bagian linier berbentuk

dimana 1 - tidak memiliki kutub, 2 - memiliki tiang atau kutub.

Untuk respon frekuensi wajar jika ditulis

Jadi, bagian linier dari sistem nonlinier adalah filter lolos tinggi. Dalam hal ini, bagian linier hanya akan mentransmisikan frekuensi rendah tanpa redaman, sedangkan frekuensi tinggi akan dilemahkan secara signifikan seiring dengan meningkatnya frekuensi.

Dalam metode linierisasi harmonik, asumsi dibuat bahwa bagian linier dari sistem hanya akan melewatkan komponen DC dari sinyal dan harmonik pertama. Kemudian sinyal pada keluaran bagian linier akan berbentuk

Sinyal ini melewati seluruh rangkaian tertutup sistem Gambar 1 dan pada keluaran elemen nonlinier tanpa memperhitungkan harmonik yang lebih tinggi, menurut (2) kita punya

. (7)

Saat mempelajari sistem nonlinier dengan menggunakan metode linierisasi harmonik, kasus osilasi simetris dan asimetris mungkin terjadi. Mari kita perhatikan kasus osilasi simetris. Di sini dan.

Mari kita perkenalkan notasi berikut

Menggantikannya ke (7), kita mendapatkan . (8)

Mengingat bahwa

. (9)

Menurut (3) dan (8) kapan

. (10)

Ekspresi (9) adalah linearisasi harmonik dari nonlinier; ia membentuk hubungan linier antara variabel masukan dan variabel keluaran pada . Besarannya disebut koefisien linierisasi harmonik.

Perlu diperhatikan bahwa persamaan (9) adalah linier untuk besaran tertentu dan (amplitudo dan frekuensi osilasi harmonik dalam sistem). Namun secara umum, ia mempertahankan sifat nonlinier, karena koefisiennya berbeda untuk dan . Fitur ini memungkinkan kita mempelajari sifat-sifat sistem nonlinier menggunakan metode linierisasi harmonik [Popov E.P.].

Dalam kasus osilasi asimetris, linearisasi harmonik dari nonlinier menghasilkan persamaan linier

. (12)

Sama seperti persamaan (9), persamaan linier (11) mempertahankan sifat-sifat elemen nonlinier, karena koefisien linierisasi harmonik , , serta komponen konstanta bergantung pada perpindahan dan amplitudo osilasi harmonik.

Persamaan (9) dan (11) memungkinkan kita memperoleh fungsi transfer elemen nonlinier yang terlinear secara harmonis. Jadi untuk getaran simetris

, (13)

dalam hal ini fungsi transfer frekuensi

hanya bergantung pada amplitudo dan tidak bergantung pada frekuensi osilasi dalam sistem.

Perlu dicatat bahwa jika nonlinier ganjil-simetris tidak ambigu, maka dalam kasus osilasi simetris sesuai dengan (9) dan (10) kita peroleh bahwa , (15)

(16)

dan nonlinier yang dilinearisasi memiliki bentuk

Untuk nonlinier ambigu (dengan histeresis), integral pada ekspresi (16) tidak sama dengan nol, karena perbedaan perilaku kurva saat naik dan turun , oleh karena itu ekspresi lengkap (9) valid.

Mari kita cari koefisien linearisasi harmonik untuk beberapa karakteristik nonlinier. Misalkan karakteristik nonlinier berbentuk karakteristik relai dengan histeresis dan zona mati. Mari kita perhatikan bagaimana osilasi harmonik melewati elemen nonlinier dengan karakteristik seperti itu.



Jika syarat terpenuhi yaitu amplitudo sinyal masukan lebih kecil dari zona mati, maka tidak ada sinyal pada keluaran elemen nonlinier. Jika amplitudonya adalah , maka relai berpindah di titik A, B, C dan D. Mari kita nyatakan dan .

. (18)

Saat menghitung koefisien linierisasi harmonik, perlu diingat bahwa dengan karakteristik nonlinier simetris, integral dalam ekspresi (10) berada pada setengah siklus (0, ) dengan hasil penggandaan berikutnya. Dengan demikian

. (19)

Untuk elemen nonlinier dengan karakteristik relai dan zona mati

Untuk elemen nonlinier yang mempunyai karakteristik relai dengan histeresis

Koefisien linierisasi harmonik untuk karakteristik nonlinier lainnya dapat diperoleh dengan cara yang sama.

Mari kita pertimbangkan dua cara untuk menentukan osilasi simetris dengan amplitudo dan frekuensi konstan (osilasi mandiri) dan stabilitas sistem linier: aljabar dan frekuensi. Mari kita lihat metode aljabar terlebih dahulu. Untuk sistem tertutup Gambar 1, fungsi transfer bagian linier adalah sama dengan

Mari kita tuliskan fungsi transfer yang dilinearkan secara harmonis dari bagian nonlinier

Persamaan karakteristik sistem loop tertutup mempunyai bentuk

. (22)

Jika osilasi diri terjadi pada sistem yang diteliti, hal ini menunjukkan adanya dua akar imajiner murni dalam persamaan karakteristiknya. Oleh karena itu, mari kita substitusikan nilai akar ke dalam persamaan karakteristik (22).

. (23)

Mari kita bayangkan

Kami memperoleh dua persamaan yang menentukan amplitudo dan frekuensi yang diinginkan

. (24)

Jika nilai amplitudo dan frekuensi positif nyata dimungkinkan dalam larutan, maka osilasi sendiri dapat terjadi dalam sistem. Jika amplitudo dan frekuensi tidak memiliki nilai positif, maka osilasi mandiri dalam sistem tidak mungkin dilakukan.

Mari kita perhatikan contoh 1. Misalkan sistem nonlinier yang diteliti berbentuk

Dalam contoh ini, elemen nonlinier adalah elemen penginderaan dengan karakteristik relai, yang koefisien linierisasi harmoniknya

Aktuator mempunyai fungsi alih bentuk

Fungsi alih benda yang diatur adalah sama dengan

. (27)

Fungsi alih bagian linier sistem

, (28)

Berdasarkan (22), (25) dan (28), kita tuliskan persamaan karakteristik sistem tertutup

, (29)

Misalkan 1/detik, detik, detik, v.

Dalam hal ini, parameter gerak periodik adalah sama

7,071 ,

Mari kita pertimbangkan metode untuk menentukan parameter osilasi mandiri dalam sistem kontrol otomatis linier menggunakan kriteria Mikhailov. Metode ini didasarkan pada kenyataan bahwa ketika terjadi osilasi sendiri, sistem akan berada pada batas stabilitas dan hodograf Mikhailov dalam hal ini akan melewati titik asal koordinat.

Dalam Contoh 2, kita akan menemukan parameter osilasi mandiri dengan syarat bahwa elemen nonlinier dalam sistem Gambar 4 adalah elemen sensitif yang memiliki karakteristik relai dengan histeresis, yang koefisien linierisasi harmoniknya

Bagian liniernya tetap tidak berubah.

Mari kita tuliskan persamaan karakteristik sistem tertutup

Hodograf Mikhailov diperoleh dengan penggantian.

Tugasnya adalah memilih amplitudo osilasi di mana hodograf akan melewati titik asal koordinat. Perlu dicatat bahwa dalam hal ini frekuensi arusnya adalah , karena dalam hal ini kurva akan melewati titik asal.

Perhitungan yang dilakukan di MATHCAD 7 pada 1/detik, detik, detik, v dan v memberikan hasil sebagai berikut. Pada Gambar 5, hodograf Mikhailov melewati titik asal koordinat. Untuk meningkatkan keakuratan perhitungan, kami akan memperbesar bagian grafik yang diperlukan. Gambar 6 menunjukkan sebuah fragmen hodograf yang diperbesar di sekitar titik asal. Kurva melewati titik asal di c.

Gambar.5. Gambar.6.

Frekuensi osilasi dapat dicari dengan syarat modulusnya sama dengan nol. Untuk frekuensi

nilai modul ditabulasikan

Jadi, frekuensi osilasinya adalah 6,38. Perlu dicatat bahwa keakuratan perhitungan dapat ditingkatkan dengan mudah.

Solusi periodik yang dihasilkan, ditentukan oleh nilai amplitudo dan frekuensi, harus diperiksa stabilitasnya. Jika penyelesaiannya stabil, maka terjadi proses osilasi sendiri dalam sistem (siklus batas stabil). Jika tidak, siklus batas akan menjadi tidak stabil.

Cara termudah untuk mempelajari stabilitas solusi periodik adalah dengan menggunakan kriteria stabilitas Mikhailov dalam bentuk grafik. Ditemukan bahwa pada , kurva Mikhailov melewati titik asal koordinat. Jika Anda memberikan kenaikan kecil, maka kurva akan mengambil posisi di atas nol atau di bawah. Jadi pada contoh terakhir kita akan memberikan kenaikan, yaitu dan . Posisi kurva Mikhailov ditunjukkan pada Gambar 7.

Ketika kurva melewati di atas nol, yang menunjukkan stabilitas sistem dan proses transisi teredam. Ketika kurva Mikhailov melewati di bawah nol, sistem menjadi tidak stabil dan proses transisinya berbeda. Jadi, solusi periodik dengan amplitudo dan frekuensi osilasi 6,38 adalah stabil.

Untuk mempelajari stabilitas solusi periodik, kriteria analitik yang diperoleh dari kriteria grafis Mikhailov juga dapat digunakan. Memang untuk mengetahui apakah kurva Mikhailov akan bergerak ketika di atas nol, cukup dengan melihat ke mana titik kurva Mikhailov yang terletak di titik asal koordinat akan bergerak.

Jika kita memperluas perpindahan titik ini sepanjang sumbu koordinat X dan Y, maka untuk kestabilan solusi periodik, vektor ditentukan oleh proyeksi ke sumbu koordinat.

harus terletak di sebelah kanan garis singgung MN terhadap kurva Mikhailov, jika dilihat sepanjang kurva ke arah kenaikan, yang arahnya ditentukan oleh proyeksi

Kondisi stabilitas analitik kita tuliskan dalam bentuk berikut

Dalam ekspresi ini, turunan parsial diambil terhadap parameter kurva Mikhailov saat ini

Perlu dicatat bahwa ekspresi analitis dari kriteria stabilitas (31) hanya berlaku untuk sistem yang tidak lebih tinggi dari orde keempat, karena, misalnya, untuk sistem orde kelima pada titik asal koordinat, kondisi (31) dapat berupa terpenuhi, dan sistem akan menjadi tidak stabil

Mari kita terapkan kriteria (31) untuk mempelajari stabilitas solusi periodik yang diperoleh pada Contoh 1.

, ,

Perkenalan

Sistem relai telah tersebar luas dalam praktik kendali otomatis. Keuntungan sistem relai adalah kesederhanaan desain, keandalan, kemudahan pemeliharaan dan konfigurasi. Sistem relai mewakili kelas khusus sistem kendali otomatis nonlinier.

Berbeda dengan sistem kontinyu dalam sistem relai, tindakan pengaturan berubah secara tiba-tiba setiap kali sinyal kendali relai (paling sering ini adalah kesalahan kendali) melewati beberapa nilai (ambang batas) yang tetap, misalnya melalui nol.

Sistem relai, sebagai suatu peraturan, memiliki kinerja tinggi karena fakta bahwa tindakan kontrol di dalamnya berubah hampir seketika, dan aktuator terkena sinyal amplitudo maksimum yang konstan sedikit demi sedikit. Pada saat yang sama, osilasi mandiri sering terjadi pada sistem relai, yang dalam banyak kasus merupakan kerugian. Dalam tulisan ini, sistem relai dengan empat hukum kendali yang berbeda dipelajari.

Struktur sistem yang diteliti

Sistem yang diteliti (Gbr.) 1 mencakup elemen perbandingan ES, elemen relai RE, aktuator (integrator ideal dengan penguatan = 1), objek kontrol (hubungan aperiodik dengan tiga konstanta waktu,, dan penguatan). Nilai parameter sistem diberikan dalam tabel. 1 Lampiran A.

Karakteristik statis (karakteristik input-output) dari elemen relai yang diteliti ditunjukkan pada Gambar. 2.

Pada Gambar. Gambar 2a menunjukkan karakteristik relai dua posisi ideal, Gambar. 2b karakteristik estafet tiga posisi dengan zona mati. Pada Gambar. Gambar 2,c dan 2,d menunjukkan karakteristik relai dua posisi dengan histeresis positif dan negatif.

ASR yang diselidiki dapat dimodelkan menggunakan paket pemodelan terkenal, misalnya SIAM atau VisSim.

Komentar. Dalam beberapa paket simulasi, nilai keluaran

sinyal relai hanya dapat mengambil nilai ±1, bukan ±B, di mana B adalah angka sembarang. Dalam kasus seperti ini, penguatan integrator harus diambil sama dengan .

Perintah kerja

Untuk menyelesaikan pekerjaannya, setiap siswa menerima versi data awal dari guru (lihat bagian 2).

Pekerjaan ini dilakukan dalam dua tahap.

Tahap pertama adalah komputasi dan penelitian (dapat dilakukan di luar laboratorium).

Tahap kedua bersifat eksperimental (dilakukan di laboratorium). Pada tahap ini, dengan menggunakan salah satu paket, proses transien dalam sistem yang diteliti disimulasikan untuk mode yang dihitung pada tahap pertama, dan keakuratan metode teoritis diperiksa.

Materi teori yang diperlukan disajikan pada bagian 4; Bagian 5 berisi soal tes.

3.1. Bagian perhitungan dan penelitian

1. Dapatkan ekspresi frekuensi amplitudo dan frekuensi fase, karakteristik nyata dan imajiner dari bagian linier sistem.

2. Hitung dan bangun karakteristik fase amplitudo dari bagian linier sistem. Untuk perhitungannya, gunakan program dari paket TAU. Perlu mencetak nilai respons frekuensi nyata dan imajiner(10 – 15 poin sesuai ketiga dan kedua kuadran).

4. Dengan menggunakan metode analisis grafis Goldfarb, tentukan amplitudo dan frekuensi osilasi mandiri serta stabilitasnya untuk keempat relai. Parameter osilasi diri juga dapat dihitung secara analitis. Gambarkan secara kualitatif potret fase sistem untuk setiap kasus.

5. Untuk relai tiga posisi, tentukan satu nilai penguatan bagian linier yang tidak terdapat osilasi mandiri, dan nilai batas di mana osilasi mandiri gagal.

bagian eksperimental

1. Dengan menggunakan salah satu paket pemodelan yang tersedia, susunlah skema pemodelan untuk ASR yang sedang dipelajari. Dengan izin guru, Anda dapat menggunakan diagram yang sudah jadi. Konfigurasikan parameter rangkaian sesuai dengan tugas.

2. Selidiki proses transien dalam sistem dengan relai ideal (cetak), terapkan tindakan bertahap x(t)=40*1(t) ke input. Ukur amplitudo dan frekuensi osilasi sendiri, bandingkan dengan nilai yang dihitung. Ulangi percobaan, atur kondisi awal bukan nol (misalnya, y(0)=10, y(1) (0)=-5).

3. Selidiki proses transien dalam sistem dengan relai tiga posisi untuk dua nilai amplitudo sinyal masukan yang berbeda x(t)= 40*1(t) dan x(t)=15*1(t). Cetak proses transien, ukur amplitudo dan frekuensi osilasi mandiri (jika ada), bandingkan dengan nilai yang dihitung, dan tarik kesimpulan.

4. Selidiki proses transien dalam sistem dengan relai tiga posisi untuk nilai penguatan bagian linier lainnya (lihat paragraf 5, bagian 3.1).

5. Selidiki proses transien dalam sistem dengan relai dua posisi dengan histeresis pada kondisi awal nol dan bukan nol dan x(t)=40*1(t). Cetak proses transien, ukur amplitudo dan frekuensi osilasi mandiri (jika ada), bandingkan dengan nilai yang dihitung, dan tarik kesimpulan.

Bagian teoritis

Metode yang banyak digunakan untuk menghitung sistem nonlinier adalah metode linierisasi harmonik (mendeskripsikan fungsi).

Metode ini memungkinkan untuk menentukan parameter osilasi mandiri (amplitudo dan frekuensi), stabilitas osilasi mandiri, dan stabilitas posisi kesetimbangan ASR nonlinier. Berdasarkan metode linearisasi harmonik, metode untuk membangun proses transien, analisis dan sintesis ASR nonlinier telah dikembangkan.

Metode linearisasi harmonik

Seperti yang telah disebutkan, dalam ASR nonlinier dan khususnya relai, osilasi periodik yang stabil amplitudo dan frekuensi konstan, yang disebut osilasi diri. Selain itu, osilasi mandiri dapat bertahan bahkan dengan perubahan signifikan pada parameter sistem. Praktek telah menunjukkan bahwa dalam banyak kasus osilasi variabel terkontrol (Gbr. 3) mendekati harmonik.

Kedekatan osilasi diri dengan osilasi harmonik memungkinkan kita menggunakan metode linearisasi harmonik untuk menentukan parameternya - amplitudo A dan frekuensi w 0. Metode ini didasarkan pada asumsi bahwa bagian linier dari sistem merupakan filter lolos rendah (hipotesis filter). Mari kita tentukan kondisi di mana osilasi mandiri dalam sistem bisa mendekati harmonik. Mari kita batasi diri kita pada sistem yang, seperti pada Gambar. Gambar 3 dapat direduksi menjadi sambungan seri elemen nonlinier dan bagian linier. Mari kita asumsikan bahwa sinyal referensi adalah nilai konstan; untuk kesederhanaan, kita akan menganggapnya sama dengan nol. Dan sinyal kesalahan (Gambar 3) adalah harmonik:

(1)

Sinyal keluaran elemen nonlinier, seperti sinyal periodik lainnya - pada Gambar 3 adalah osilasi persegi panjang - dapat direpresentasikan sebagai jumlah harmonik deret Fourier.

Mari kita asumsikan bahwa bagian linier dari sistem adalah filter lolos rendah (Gbr. 4) dan hanya melewatkan harmonik pertama dengan frekuensi w 0. Harmonisa kedua dengan frekuensi 2w 0 dan lebih tinggi disaring oleh bagian linier. Dalam hal ini, aktif keluaran linier bagian-bagiannya hanya akan ada secara praktis harmonik pertama , dan pengaruh harmonik yang lebih tinggi dapat diabaikan

Jadi, jika bagian linier dari sistem adalah filter low-pass, dan frekuensi osilasi mandiri w 0 memenuhi kondisi

, (4)

Asumsi bahwa bagian linier dari sistem adalah filter lolos rendah disebut menyaring hipotesis . Hipotesis filter selalu terpenuhi jika perbedaan derajat polinomial penyebut dan pembilang fungsi alih bagian linier

(5)

setidaknya dua

Kondisi (6) terpenuhi untuk banyak sistem nyata. Contohnya adalah tautan aperiodik orde kedua dan integrasi nyata

. (7)

Ketika mempelajari osilasi diri yang mendekati harmonik, hanya harmonik pertama dari osilasi periodik pada keluaran elemen nonlinier yang diperhitungkan, karena harmonik yang lebih tinggi secara praktis masih disaring oleh bagian linier. Dalam mode osilasi mandiri, hal itu dilakukan linearisasi harmonis elemen nonlinier. Elemen nonlinier diganti dengan elemen linier ekuivalen dengan keuntungan yang kompleks (menjelaskan fungsi) tergantung pada amplitudo sinyal harmonik masukan:

dimana dan merupakan bagian nyata dan imajiner,

– argumen,

– modul.

Secara umum, ini bergantung pada amplitudo dan frekuensi osilasi sendiri, serta komponen konstan. Penguatan elemen nonlinier yang kompleks secara fisik, lebih sering disebut koefisien linearisasi harmonik , Ada penguatan kompleks elemen nonlinier pada harmonik pertama. Modulus koefisien linearisasi harmonik

(9)

secara numerik sama dengan rasio amplitudo harmonik pertama pada keluaran elemen nonlinier dengan amplitudo sinyal harmonik masukan.

Argumen

(10)

mencirikan pergeseran fasa antara harmonik pertama dari osilasi keluaran dan sinyal harmonik masukan. Untuk nonlinier yang tidak ambigu, seperti pada Gambar. 2,a dan 2,b, ekspresi nyata dan

Untuk nonlinier ambigu, Gambar. 2,c, 2,d, ditentukan oleh rumus

dimana S adalah luas loop histeresis. Luas S diambil dengan tanda plus jika loop histeresis dilewati ke arah positif (Gbr. 2, c) dan dengan tanda minus sebaliknya (Gbr. 2, d).

Dalam kasus umum dan dihitung menggunakan rumus

, (12)

dimana , adalah fungsi nonlinier (karakteristik elemen nonlinier).

Dengan mempertimbangkan hal di atas, ketika mempelajari osilasi mandiri yang mendekati harmonik, ASR nonlinier (Gbr. 3) diganti dengan elemen nonlinier yang setara dengan koefisien linierisasi harmonik (Gbr. 5). Sinyal keluaran elemen nonlinier pada Gambar. 5 ditetapkan sebagai , ini adalah

menekankan bahwa elemen nonlinier hanya menghasilkan

osilasi harmonik pertama. Rumus koefisien linierisasi harmonik untuk nonlinier tipikal dapat ditemukan dalam literatur, misalnya di. Lampiran Tabel B menunjukkan karakteristik elemen relai yang diteliti, rumus dan hodografnya. Rumus dan hodograf untuk koefisien linearisasi harmonik terbalik, ditentukan oleh ekspresi

, (13)

di mana bagian nyata dan bagian imajinernya. Hodograf dan dibangun dalam koordinat , dan , masing-masing.

Sekarang mari kita tuliskan syarat-syarat adanya osilasi diri. Sistem pada Gambar. 5 setara dengan linier. Dalam sistem linier, osilasi tak teredam terjadi jika berada pada batas kestabilan. Mari kita gunakan kondisi batas stabilitas menurut kriteria Nyquist:

. (14)

Persamaan (14) Ada kondisi adanya osilasi diri, mendekati harmonik. jika ada benar-benar positif solusi A dan w 0 persamaan (14), maka pada ASR nonlinier terdapat osilasi mandiri yang mendekati harmonik. Jika tidak, osilasi diri tidak ada atau tidak harmonis. Persamaan (14) terbagi menjadi dua – sehubungan dengan bagian nyata dan imajiner:

;

Membagi kedua ruas persamaan (14) dengan dan memperhatikan rumus (13), kita memperoleh syarat adanya osilasi diri dalam bentuk L.S. Goldfarb:

. (17)

Persamaan (17) juga terbagi menjadi dua:

(18)

dan dalam beberapa kasus lebih mudah menggunakannya untuk menentukan parameter osilasi mandiri.

Goldfarb mengusulkan metode grafis-analitis untuk memecahkan sistem (17) dan menentukan stabilitas osilasi diri.

Dalam koordinat , dan , hodograf dan dibuat (Gbr. 6, a). Jika hodograf berpotongan, maka terjadi osilasi sendiri. Parameter osilasi diri - A dan w 0 ditentukan pada titik potong - frekuensi w 0 menurut hodograf, amplitudo menurut hodograf. Pada Gambar. 6,a – dua titik potong, yang menunjukkan adanya dua siklus batas.

Untuk menentukan kestabilan osilasi mandiri, menurut Goldfarb, sisi kiri AFC bagian linier diarsir ketika bergerak sepanjang AFC ke arah peningkatan frekuensi (Gbr. 6).

Osilasi mandiri dikatakan stabil jika, pada titik potong, hodograf elemen nonlinier berpindah dari daerah tidak diarsir ke daerah diarsir ketika bergerak ke arah peningkatan amplitudo A.

Jika peralihan terjadi dari daerah yang diarsir ke daerah yang tidak diarsir, maka osilasi mandirinya tidak stabil.

Pada Gambar. Gambar 6b secara kualitatif menggambarkan potret fase yang sesuai dengan dua siklus batas pada Gambar. 6, sebuah. Titik perpotongan dengan parameter dan pada Gambar. 6a sesuai dengan siklus batas tidak stabil pada Gambar. 6b, titik dengan parameter dan dan untuk mencapai gangguan osilasi mandiri, dalam hal ini hodograf dan tidak berpotongan. Efek yang sama dapat dicapai dengan meningkatkan zona mati d atau mengurangi amplitudo sinyal keluaran relai B. Ada nilai batas tertentu K l di mana AFC dari bagian linier bersentuhan Kesalahan! Kesalahan komunikasi. di mana , dan nilai amplitudonya adalah . Tentu saja, hal ini menyebabkan perubahan kualitatif dalam potret fase sistem.

Mari kita ilustrasikan perhitungan koefisien linearisasi harmonik dengan beberapa contoh: pertama untuk getaran simetris, dan kemudian untuk getaran asimetris. Pertama-tama mari kita perhatikan bahwa jika nonlinier ganjil-simetris F(x) bernilai tunggal, maka, menurut (4.11) dan (4.10), kita peroleh

dan saat menghitung Q(4.11) kita dapat membatasi diri pada integrasi selama seperempat periode, dengan melipatgandakan hasilnya, yaitu

Untuk loop nonlinier F(x) (simetris ganjil), ekspresi penuh (4.10) akan berlaku

dan Anda bisa menggunakan rumusnya

yaitu, menggandakan hasil integrasi selama setengah siklus.

Contoh 1. Mari kita pelajari nonlinier kubik (Gbr. 4.4, i):

Kecanduan q(a) ditunjukkan pada Gambar. 4.4, B. Dari Gambar. 4.4, A jelas bahwa untuk amplitudo tertentu saya lurus q(a)x rata-rata ketergantungan lengkung F(x) pada suatu tertentu

merencanakan -a£ X£ . A. Tentu saja, itu keren q(a) kemiringan garis lurus rata-rata ini q(a)x meningkat dengan amplitudo A(untuk karakteristik kubik, peningkatan ini terjadi menurut hukum kuadrat).

Contoh 2. Mari kita pelajari karakteristik loop relay (Gbr. 4.5, a). Pada Gambar. 4.5,6 disajikan fungsi integral F(a sin y) untuk rumus (4.21). Peralihan relai terjadi pada ½ X½= b , Oleh karena itu, pada saat peralihan, nilai y1 ditentukan oleh ekspresi sin y1= b /A. Dengan menggunakan rumus (4.21) kita memperoleh (untuk A³b)

Pada Gambar. 4.5, b menunjukkan grafik q(a) dan q"(a). Yang pertama menunjukkan perubahan kemiringan rata-rata garis lurus q( A)x s mengubah A(lihat Gambar 4.5, a). Tentu saja, q( A)à0 pada аа¥ at, karena sinyal keluaran tetap konstan (F( X)=c)untuk peningkatan sinyal input yang tidak terbatas X. Dari pertimbangan fisik juga jelas alasannya Q" <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сигнала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что Q" < 0. Абсолютное значение Q" berkurang dengan bertambahnya amplitudo a, karena jelas bahwa loop akan menempati bagian yang lebih kecil dari “bagian kerja” dari karakteristik F( X), semakin besar amplitudo osilasi variabel X.

Karakteristik fase amplitudo dari nonlinier tersebut (Gbr. 4.5, a), menurut (4.13). disajikan dalam bentuk

Selain itu, amplitudo dan fase harmonik pertama pada keluaran nonlinier memiliki bentuk masing-masing

Di mana Q Dan Q" didefinisikan di atas (Gbr. 4.5, b). Akibatnya, linearisasi harmonik mengubah jeda koordinat nonlinier (loop histeresis) menjadi jeda fase ekuivalen, karakteristik sistem linier, tetapi dengan perbedaan yang signifikan - ketergantungan pergeseran fasa pada amplitudo osilasi masukan, yang tidak terdapat dalam sistem linier .

Contoh 3. Kami mempelajari karakteristik relai yang tidak ambigu (Gbr. 4.6, a, V). Mirip dengan yang sebelumnya, kita peroleh masing-masing

apa yang ditunjukkan pada Gambar. 4.6,b,a.

Contoh 4. Mari kita pelajari karakteristik zona mati, penampang linier, dan saturasi (Gbr. 4.7, a). Di Sini Q"= 0, dan koefisien Q(A) memiliki dua varian nilai sesuai dengan Gambar. 4.7, b, di mana F (a sin y) dibuat untuknya:

1) untuk b1 £ a £ b2, menurut (4.19), kita punya

itu dengan mempertimbangkan rasio A dosa y1 = B 1 memberi

2) untuk ³ b2

yang, dengan mempertimbangkan hubungan yang diberikan a sin y2 = b2

Hasilnya disajikan secara grafis pada Gambar. 4.7, sebuah.

Contoh 5. Sebagai kasus khusus, koefisien yang sesuai q(a) untuk dua karakteristik (Gbr. 4.8, a, b) adalah sama

yang ditunjukkan secara grafis pada Gambar. 4.8, b, d. Selain itu, untuk karakteristik dengan saturasi (Gbr. 4.8, a) yang kita miliki q= k pada 0 £ A£ B.

Sekarang mari kita tunjukkan contoh penghitungan koefisien linearisasi harmonik untuk getaran asimetris dengan nonlinier yang sama.

Contoh 6. Untuk kasus nonlinier kubik F( X) =kx 3 menurut rumus (4.16) yang kita miliki

dan menurut rumus (4.17)

Contoh 7. Untuk karakteristik relai loop (Gbr. 4.5, A) menggunakan rumus yang sama dengan yang kita punya

Contoh 8. Untuk karakteristik dengan zona mati (Gbr. 4.1:1), persamaan yang sama akan diterapkan F° Dan Q. Grafik mereka disajikan pada Gambar. 4.9, a, b. Di mana Q"== 0. Untuk karakteristik relai ideal (Gbr. 4.10) kita peroleh

apa yang ditunjukkan pada Gambar. 4.10, a dan b.

Contoh 9. Untuk karakteristik dengan bagian linier q saturasi (Gbr. 4.11, a) untuk a ³ b+½ X 0 ½ kita punya

Ketergantungan ini disajikan dalam bentuk grafik pada Gambar. 4.11, B, V.

Contoh 10. Untuk sifat asimetris

(Gbr. 4.12, a) menggunakan rumus (4.l6) kita temukan

dan menurut rumus (4.17)

Hasilnya ditunjukkan secara grafis pada Gambar. 4.12, B Dan V.

Ekspresi dan grafik koefisien linearisasi harmonik yang diperoleh dalam contoh ini akan digunakan di bawah ini ketika memecahkan masalah penelitian

osilasi diri, osilasi paksa dan proses kontrol.

Berdasarkan sifat filter bagian linier sistem (Kuliah 12), kita mencari solusi periodik sistem nonlinier (Gbr. 4.21) pada masukan elemen nonlinier kira-kira dalam bentuk

x = sebuah dosa w T (4.50)

dengan orang yang tidak dikenal A dan W. Bentuk nonlinier ditentukan = F( X) dan fungsi alih bagian linier

Linearisasi harmonik nonlinier dilakukan

yang mengarah ke fungsi transfer

Respon frekuensi fase amplitudo dari sistem rangkaian terbuka berbentuk

Solusi periodik sistem linier (4.50) diperoleh jika terdapat sepasang akar imajiner murni dalam persamaan karakteristik sistem tertutup.

Dan menurut kriteria Nyquist, ini sesuai dengan bagian tersebut W(J w) melalui titik -1. Oleh karena itu, solusi periodik (4,50) ditentukan oleh persamaan

Persamaan (4.51) menentukan amplitudo yang dibutuhkan A dan frekuensi w dari solusi periodik. Persamaan ini dapat diselesaikan secara grafis sebagai berikut. Pada bidang kompleks (U, V), respons frekuensi fase amplitudo dari bagian linier Wl( J w) (Gbr. 4.22), serta karakteristik fase amplitudo terbalik dari nonlinier dengan tanda berlawanan -1 / Wn( A). Dot DI DALAM perpotongannya (Gbr. 4.22) dan menentukan nilainya A dan w, dan nilainya A dihitung sepanjang kurva -1 / Wn (a) , dan nilai w menurut kurva Wл (jw).

Sebagai gantinya, kita dapat menggunakan dua persamaan skalar yang berasal dari (4.51) dan (4.52):

yang juga menentukan dua besaran yang dicari A dan W.

Lebih mudah menggunakan dua persamaan terakhir pada skala logaritmik, menggunakan logaritmik

karakteristik frekuensi bagian linier. Maka alih-alih (4.53) dan (4.54) kita akan mendapatkan dua persamaan berikut:

Pada Gambar. 4.23 di sebelah kiri adalah grafik ruas kiri persamaan (4.55) dan (4.56), dan di sebelah kanan adalah ruas kanan persamaan tersebut. Dalam hal ini, sepanjang sumbu absis di sebelah kiri, frekuensi w diplot, seperti biasa, pada skala logaritmik, dan di sebelah kanan adalah amplitudo. A dalam skala alami. Solusi persamaan ini adalah nilai-nilai berikut A dan w, sehingga persamaan (4,55) dan (4,56) terpenuhi secara bersamaan. Solusi ini ditunjukkan pada Gambar. 4.23 dengan garis tipis berbentuk persegi panjang.

Jelas, solusi ini tidak bisa langsung ditebak. Oleh karena itu, upaya dilakukan, ditunjukkan dalam garis putus-putus. Titik terakhir dari percobaan persegi panjang M1 dan M2 ini tidak termasuk dalam karakteristik fase nonlinier. Tetapi jika letaknya di kedua sisi karakteristik, seperti pada Gambar. 4.23, kemudian penyelesaiannya ditemukan dengan interpolasi - dengan menggambar garis lurus MM1 .

Menemukan solusi periodik disederhanakan dalam kasus nonlinier yang tidak ambigu F( X). Kemudian Q"= 0 dan persamaan (4.55) dan (4.56) berbentuk

Solusinya ditunjukkan pada Gambar. 4.24.

Beras . 4.24.

Setelah menentukan solusi periodik, perlu diselidiki kestabilannya. Seperti telah disebutkan, solusi periodik terjadi ketika karakteristik fase amplitudo dari rangkaian terbuka

melewati titik -1. Mari kita beri amplitudo deviasi D A. Sistem akan kembali ke solusi periodik jika di D A> 0 osilasi padam, dan di D A < 0 - расходятся. Следовательно, при DA> 0 karakteristik W(jw, A) harus dideformasi (Gbr. 4.25) sehingga di D A> 0 kriteria stabilitas Nyquist terpenuhi, dan untuk D A < 0 - нарушался.

Jadi, diperlukan frekuensi tertentu yang ada

Berikut ini pada Gambar. 4.22 pembacaan amplitudo positif A sepanjang kurva -1/Wн ( A) harus diarahkan dari dalam ke luar melalui kurva Wл (jw) , seperti yang ditunjukkan oleh panah. Jika tidak, solusi periodiknya tidak stabil.

Mari kita lihat contohnya.

Biarkan penguat dalam sistem pelacakan (Gbr. 4.13, a) miliki karakteristik relai(Gbr. 4.17, A). Pa gambar. 4.17, B grafik koefisien linearisasi harmonik q( A), dan q'( A) =0. Untuk menentukan solusi periodik menggunakan metode frekuensi, sesuai Gambar. 4.22, kita perlu memeriksa ekspresi tersebut

Dari rumus (4.24) kita peroleh nonlinier ini

Grafik fungsi ini ditunjukkan pada Gambar. 4.26.

Fungsi alih bagian linier mempunyai bentuk

Karakteristik fase amplitudonya ditunjukkan pada Gambar. 4.27. Fungsi -1 / Wn ( A), karena dalam hal ini nyata (Gbr. 4.26), seluruhnya terletak pada bagian negatif sumbu real (Gbr. 4.27). Dalam hal ini, pada area perubahan amplitudo b £ A£ b amplitudo diukur dari kiri dari luar ke dalam kurva Wл(jw), dan di bagian tersebut A>b - terbalik. Oleh karena itu, titik potong pertama ( A 1) memberikan solusi periodik yang tidak stabil, dan yang kedua ( A 2) - stabil (osilasi sendiri). Hal ini konsisten dengan solusi sebelumnya (contoh 2 kuliah 15, 16).

Mari kita pertimbangkan juga kasusnya karakteristik relai loop(Gbr. 4.28, a) dalam sistem pelacakan yang sama (Gbr. 4.13, a). Respon frekuensi amplitudo-fase bagian linier adalah sama (Gbr. 4.28, b). Ekspresi kurva –1/Wн( A), menurut (4.52) dan (4.23), berbentuk

Ini adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu absis (Gbr. 4.28, B), dengan pembacaan amplitudo A dari kanan ke kiri. Persimpangan tersebut akan memberikan solusi periodik yang stabil (osilasi sendiri). Untuk mendapatkan grafik amplitudo dan frekuensi

dari k aku , disajikan pada Gambar. 4.20, dibutuhkan pada Gambar. 4.28 buatlah serangkaian kurva Wл(jw) untuk setiap nilai k l dan temukan titik potongnya dengan garis –1/Wн( A) nilai yang sesuai A dan W.

Sinyal keluaran elemen nonlinier, seperti sinyal periodik lainnya - pada Gambar 3 adalah osilasi persegi panjang - dapat direpresentasikan sebagai jumlah harmonik deret Fourier.

Jadi, jika bagian linier dari sistem adalah filter low-pass, dan frekuensi osilasi mandiri w 0 memenuhi kondisi

, (4)

setidaknya dua

Kondisi (6) terpenuhi untuk banyak sistem nyata. Contohnya adalah tautan aperiodik orde kedua dan integrasi nyata

dimana dan merupakan bagian nyata dan imajiner,

– argumen,

– modul.

secara numerik sama dengan rasio amplitudo harmonik pertama pada keluaran elemen nonlinier dengan amplitudo sinyal harmonik masukan.

Argumen

mencirikan pergeseran fasa antara harmonik pertama dari osilasi keluaran dan sinyal harmonik masukan. Untuk nonlinier yang tidak ambigu, seperti pada Gambar. 2,a dan 2,b, ekspresi nyata dan

Untuk nonlinier ambigu, Gambar. 2,c, 2,d, ditentukan oleh rumus

dimana S adalah luas loop histeresis. Luas S diambil dengan tanda plus jika loop histeresis dilewati ke arah positif (Gbr. 2, c) dan dengan tanda minus sebaliknya (Gbr. 2, d).

Dalam kasus umum dan dihitung menggunakan rumus

dimana , adalah fungsi nonlinier (karakteristik elemen nonlinier).

Menekankan bahwa elemen nonlinier hanya dihasilkan

di mana bagian nyata dan bagian imajinernya. Hodograf dan dibangun dalam koordinat , dan , masing-masing.