Osnovni pojmovi geometrije Lobačevskog. Neki. U kojoj se geometriji sijeku paralelne linije? Linije Lobačevskog se sijeku

Avion Lobačevskog

geometrija Lobačevskog (hiperboličke geometrije) je jedna od neeuklidskih geometrija, geometrijska teorija koja se temelji na istim osnovnim pretpostavkama kao i obična euklidska geometrija, s izuzetkom paralelnog aksioma koji je zamijenjen paralelnim aksiomom Lobačevskog.

Euklidski paralelni aksiom kaže:

kroz točku koja ne leži na danoj pravoj liniji, postoji samo jedna ravna crta koja leži s danom ravnom crtom u jednoj ravnini i ne siječe je.

U geometriji Lobačevskog, umjesto toga je prihvaćen sljedeći aksiom:

kroz točku koja ne leži na zadanoj pravoj liniji postoje najmanje dvije ravne koje leže s danom ravnom crtom u istoj ravnini i ne sijeku je.

Geometrija Lobačevskog ima široku primjenu i u matematici i u fizici. Njegov povijesni značaj leži u činjenici da je Lobačevski svojim konstruiranjem pokazao mogućnost geometrije različite od euklidske, što je označilo novu eru u razvoju geometrije i matematike općenito.

Povijest

Pokušaji dokazivanja petog postulata

Polazna točka geometrije Lobačevskog bio je Euklidov V postulat – aksiom ekvivalentan paralelnom aksiomu. Uvršten je na popis postulata u Euklidovim elementima). Relativna složenost i neintuitivnost njezine formulacije izazvala je osjećaj njezine sekundarnosti i dovela do pokušaja da se ona izvede iz ostalih Euklidovih postulata.

Među onima koji su pokušavali dokazati bili su sljedeći znanstvenici:

• starogrčki matematičari Ptolomej (II. stoljeće), Proklo (V. stoljeće) (na temelju pretpostavke da je udaljenost između dvije paralelne matematike konačna),
• Ibn al-Haytham iz Iraka (kasno - rano stoljeće) (na temelju pretpostavke da kraj okomitog kretanja na ravnu liniju opisuje ravnu liniju),
• Iranski matematičari Omar Khayyam (2. polovica - početak 12. stoljeća) i Nasir ad-Din at-Tusi (13. stoljeće) (na temelju pretpostavke da dvije konvergentne prave ne mogu postati divergentne bez sjecišta kada se nastavljaju),
• njemački matematičar Clavius ​​(),
• talijanski matematičari
  • Cataldi (prvi put 1603. objavio je djelo u potpunosti posvećeno pitanju paralela),
• Engleski matematičar Wallis (, objavljeno u) (na temelju pretpostavke da za svaki lik postoji sličan, ali ne jednak lik),
• Francuski matematičar Legendre () (na temelju pretpostavke da se kroz svaku točku unutar oštrog kuta može povući ravna crta koja siječe obje strane kuta; imao je i druge pokušaje da to dokaže).

U tim pokušajima da dokažu peti postulat, matematičari su uveli novu tvrdnju koja im se činila očitijom.

Pokušali su se proturječno upotrijebiti dokaz:

• Talijanski matematičar Saccheri () (nakon što je formulirao tvrdnju koja je proturječna postulatu, izveo je niz posljedica i, pogrešno prepoznajući neke od njih kao kontradiktorne, smatrao je postulat dokazanim),
• Njemački matematičar Lambert (oko, objavljeno u) (nakon što je proveo istraživanje, priznao je da nije mogao pronaći proturječja u sustavu koji je izgradio).

Konačno se počelo javljati shvaćanje da je moguće izgraditi teoriju na temelju suprotnog postulata:

• Njemački matematičari F. Schweickart () i Taurinus () (međutim, nisu shvaćali da bi takva teorija bila logički jednako koherentna).

Stvaranje neeuklidske geometrije

Lobačevski je u svom djelu "O principima geometrije" (), svom prvom objavljenom djelu o neeuklidskoj geometriji, jasno rekao da se V postulat ne može dokazati na temelju drugih premisa euklidske geometrije, te da pretpostavka postulata suprotno od euklidske, omogućuje konstruiranje geometrije na isti način smislen, poput euklidske, i bez kontradikcija.

Istodobno i neovisno do sličnih je zaključaka došao Janos Bolyai, a još ranije do takvih zaključaka došao je Karl Friedrich Gauss. Međutim, Boyaijevi spisi nisu privukli pozornost te je ubrzo napustio tu temu, a Gauss se uglavnom suzdržavao od objavljivanja, a o njegovim stavovima može se suditi samo po nekoliko pisama i dnevničkih zapisa. Na primjer, u pismu iz 1846. astronomu G. H. Schumacheru, Gauss govori o djelu Lobačevskog na sljedeći način:

Ovo djelo sadrži temelje geometrije koja bi se trebala dogoditi i, štoviše, sačinjavala bi strogo dosljednu cjelinu, da euklidska geometrija nije istinita... Lobačevski je naziva "imaginarnom geometrijom"; Vi znate da sam već 54 godine (od 1792.) dijelio iste stavove s izvjesnim njihovim razvojem, koje ovdje ne želim spominjati; Tako za sebe nisam našao ništa praktički novo u djelu Lobačevskog. Ali u razvoju teme autorica nije krenula putem kojim sam i ja išla; izvodi ga Lobačevski majstorski u istinski geometrijskom duhu. Smatram se dužnim skrenuti vam pozornost na ovu kompoziciju koja će vam, vjerojatno, pružiti apsolutno izniman užitak.

Kao rezultat toga, Lobačevski je djelovao kao prvi najsvjetliji i najdosljedniji propagandist ove teorije.

Iako se geometrija Lobačevskog razvila kao spekulativna teorija i sam je Lobačevski nazvao "imaginarnom geometrijom", ipak je Lobačevski smatrao ne igrom uma, već mogućom teorijom prostornih odnosa. No, dokaz njegove konzistentnosti dat je kasnije, kada su se naznačila njezina tumačenja i time potpuno riješeno pitanje njezina stvarnog značenja, logičke dosljednosti.

Tvrdnja geometrije Lobačevskog

kut je još teži.

Poincaréov model

Sadržaj geometrije Lobačevskog

Snop paralelnih linija u geometriji Lobačevskog

Lobačevski je izgradio svoju geometriju, polazeći od osnovnih geometrijskih pojmova i svog aksioma, te dokazao teoreme geometrijskom metodom, slično kao što se to radi u Euklidovoj geometriji. Teorija paralelnih linija poslužila je kao osnova, jer tu počinje razlika između geometrije Lobačevskog i geometrije Euklida. Svi teoremi koji ne ovise o paralelnom aksiomu zajednički su objema geometrijama i čine takozvanu apsolutnu geometriju, koja uključuje, na primjer, teoreme o jednakosti trokuta. Slijedeći teoriju paralela, izgrađeni su i drugi dijelovi, uključujući trigonometriju te početke analitičke i diferencijalne geometrije.

Navedimo (u modernim zapisima) nekoliko činjenica o geometriji Lobačevskog koje ju razlikuju od Euklidove geometrije i koje je ustanovio sam Lobačevski.

Kroz točku P ne leži na zadanoj liniji R(vidi sliku), postoji beskonačno mnogo ravnih linija koje se ne sijeku R i nalaze se u istoj ravnini s njim; među njima postoje dva ekstrema x, y, koji se nazivaju paralelni pravac R u smislu Lobačevskog. U modelima Klein (Poincaré) prikazani su akordima (kružnim lukovima) koji imaju tetivu (luk) R zajednički kraj (koji je po definiciji modela isključen, tako da ti pravci nemaju zajedničkih točaka).

Kut između okomica PB iz P na R i svaki od paralelnih (tzv kut paralelizma) kako se točka uklanja P od ravne se smanjuje s 90 ° na 0 ° (u Poincaréovom modelu kutovi u uobičajenom smislu podudaraju se s kutovima u smislu Lobačevskog, pa se ta činjenica može vidjeti izravno na njemu). Paralelno x s jedne strane (a y s suprotnim) asimptotski pristupa a, a s druge strane, beskonačno se udaljava od nje (u modelima je udaljenosti teško odrediti, pa se ta činjenica ne vidi izravno).

Za točku koja se nalazi od dane ravne linije na udaljenosti PB = a(vidi sliku), Lobačevski je dao formulu za kut paralelizma P (a) :

Ovdje q- neka konstanta povezana sa zakrivljenošću prostora Lobačevskog. Može poslužiti kao apsolutna jedinica duljine na isti način kao što u sfernoj geometriji poseban položaj zauzima polumjer kugle.

Ako pravci imaju zajedničku okomicu, onda se od nje beskonačno razilaze u oba smjera. Na bilo koji od njih možete vratiti okomice koje ne dosežu drugu ravnu liniju.

U geometriji Lobačevskog nema sličnih, ali nejednakih trokuta; trokuti su jednaki ako su im kutovi jednaki.

Zbroj kutova bilo kojeg trokuta manji je od π i može biti proizvoljno blizu nuli. To se može vidjeti izravno u Poincaréovom modelu. Razlika δ = π - (α + β + γ), gdje su α, β, γ kutovi trokuta, proporcionalna je njegovoj površini:

Formula pokazuje da postoji maksimalna površina trokuta, a ovo je konačan broj: π q 2 .

Pravac jednakih udaljenosti od ravne nije pravac, već posebna krivulja koja se naziva jednako udaljena linija, ili hiperciklus.

Granica kružnica beskonačno rastućeg polumjera nije ravna crta, već posebna krivulja tzv granični opseg, ili horocikl.

Granica sfera beskonačno rastućeg polumjera nije ravnina, već posebna površina - granična sfera, ili horosfera; izvanredno je da se na njemu odvija euklidska geometrija. To je poslužilo kao osnova za Lobačevskovo izvođenje trigonometrijskih formula.

Opseg nije proporcionalan polumjeru, već raste brže. Konkretno, u geometriji Lobačevskog, broj π se ne može definirati kao omjer opsega kruga i njegovog promjera.

Što je manja površina u prostoru ili na ravnini Lobačevskog, to se geometrijski odnosi u ovom području manje razlikuju od odnosa u euklidskoj geometriji. Možemo reći da se euklidska geometrija odvija u beskonačno malom području. Na primjer, što je trokut manji, to se zbroj njegovih kutova manje razlikuje od π; što je krug manji, to se omjer njegove duljine i polumjera manje razlikuje od 2π, itd. Smanjenje površine formalno je jednako povećanju jedinice duljine, dakle, uz neograničeno povećanje jedinice duljine, formule geometrije Lobačevskog pretvaraju se u formule euklidske geometrije. Euklidska geometrija je u tom smislu "granični" slučaj geometrije Lobačevskog.

Prijave

• Sam Lobačevski je svoju geometriju primijenio na izračunavanje određenih integrala.
• U teoriji funkcija kompleksne varijable, geometrija Lobačevskog pomogla je u izgradnji teorije automorfnih funkcija. Veza s geometrijom Lobačevskog bila je ovdje polazišna točka istraživanja Poincaréa, koji je napisao da je "neeuklidska geometrija ključ za rješavanje cijelog problema."
• Geometrija Lobačevskog također se koristi u teoriji brojeva, u svojim geometrijskim metodama, ujedinjenim pod nazivom "geometrija brojeva".
• Uspostavljena je tijesna veza između geometrije Lobačevskog i kinematike specijalne (posebne) teorije relativnosti. Ta se veza temelji na činjenici da je jednakost, koja izražava zakon širenja svjetlosti

kada se podijeli po t 2, odnosno za brzinu svjetlosti, daje - jednadžba kugle u prostoru s koordinatama v x , v y , v z- komponente brzine duž osi NS, na, z(u "prostoru brzina"). Lorentzove transformacije čuvaju ovu sferu i, budući da su linearne, pretvaraju ravne linije prostora brzina u ravne linije. Dakle, prema Kleinovom modelu, u prostoru brzina unutar sfere polumjera s, odnosno za brzine manje od brzine svjetlosti, odvija se geometrija Lobačevskog.

• Geometrija Lobačevskog našla je izvanrednu primjenu u općoj teoriji relativnosti. Ako smatramo da je raspodjela masa materije u Svemiru ujednačena (ova aproksimacija je dopuštena na kozmičkoj skali), onda se ispostavlja da pod određenim uvjetima prostor ima geometriju Lobačevskog. Tako je Lobačevskijeva pretpostavka o njegovoj geometriji kao mogućoj teoriji stvarnog prostora bila opravdana.
• Koristeći Kleinov model, dan je vrlo jednostavan i kratak dokaz

LV 1. (Aksiom paralelizma Lobačevskog). U bilo kojoj ravnini postoji pravac a 0 i točka A 0 koja ne pripada tom pravcu, tako da kroz ovu točku prolaze najmanje dvije ravne koje ne sijeku 0.

Skup točaka, pravaca i ravnina koji zadovoljavaju aksiome pripadnosti, reda, kongruencije, kontinuiteta i Lobačevskog aksioma paralelizma nazivat će se trodimenzionalnim prostorom Lobačevskog i označavati ga s A 3. Većinu geometrijskih svojstava likova razmotrit ćemo na ravnini prostora L 3, t.j. na avionu Lobačevskog. Obratimo pažnju na činjenicu da formalna logička negacija aksioma V 1, aksioma paralelizma euklidske geometrije, ima upravo onu formulaciju koju smo dali kao aksiom LV 1. Na ravnini postoji barem jedna točka i jedna ravna linija za koje ne vrijedi tvrdnja aksioma paralelizma euklidske geometrije. Dokažimo teorem iz kojeg slijedi da tvrdnja aksioma paralelizma Lobačevskog vrijedi za bilo koju točku i bilo koju ravnu liniju ravnine Lobačevskog.

Teorem 13.1.Neka je a proizvoljna ravna crta, a A točka koja ne leži na ovoj pravoj liniji. Tada u ravnini definiranoj točkom A i pravom a postoje najmanje dva pravca koji prolaze kroz A i ne sijeku pravac a.

Dokaz. Dokaz provodimo kontradikcijom, koristeći teorem 11.1 (vidi § 11). Pretpostavimo da u prostoru Lobačevskog postoji točka A i pravac a takvi da u ravnini definiranoj tom točkom i ravnom linijom, kroz točku A postoji jedna ravna crta koja ne siječe a. Spustimo točku A okomitu AB na pravac a i u točki A podignimo okomicu h na pravac AB (slika 50). Kao što slijedi iz teorema 4.2 (vidi § 4), pravci h i a se ne sijeku. Pravac h, prema pretpostavci, jedini je pravac koji prolazi kroz A i ne siječe a. Odaberimo proizvoljnu točku C na pravoj a. Od zraka AC u poluravni s granicom AB, koja ne sadrži točku B, odvojimo kut CAM jednak ACB. Tada, kao što slijedi iz istog teorema 4.2, pravac AM ne siječe a. Iz naše pretpostavke proizlazi da se poklapa sa h. Prema tome, točka M pripada pravcu h. Trokut ABC - pravokutni,. Izračunajmo zbroj kutova trokuta ABC:. Iz teorema 11.1 proizlazi da je uvjet aksioma paralelizma euklidske geometrije zadovoljen. Stoga u razmatranoj ravnini ne mogu postojati točke A 0 i pravac a 0 tako da kroz tu točku prolaze barem dvije ravne koje ne sijeku 0. Došli smo do kontradikcije s uvjetom paralelnog aksioma Lobačevskog. Teorem je dokazan.

Treba napomenuti da ćemo u nastavku koristiti tvrdnju teorema 13.1, zapravo zamjenjujući tvrdnju Lobačevskog aksioma paralelizma. Usput, u mnogim udžbenicima upravo je ta izjava prihvaćena kao aksiom paralelizma geometrije Lobačevskog.

Lako je dobiti sljedeći zaključak iz teorema 13.1.

Korolar 13.2. U ravnini Lobačevskog, kroz točku koja ne leži na danoj pravoj liniji, postoji beskonačno mnogo ravnih linija koje ne sijeku danu.

Doista, neka je a zadana ravna crta, a A točka koja joj ne pripada, h 1 i h 2 su ravne linije koje prolaze kroz A i ne sijeku a (slika 51). Očito, svi pravci koji prolaze kroz točku A i leže u jednom od kutova koje čine h 1 i h 2 (vidi sliku 51) ne sijeku pravac a.

U 2. poglavlju dokazali smo niz tvrdnji koje su ekvivalentne paralelnom aksiomu euklidske geometrije. Njihove logičke negacije karakteriziraju svojstva figura na ravnini Lobačevskog.

Prvo, na ravni Lobačevskog vrijedi logička negacija petog Euklidovog postulata. U 9. odjeljku formulirali smo sam postulat i dokazali teorem o njegovoj ekvivalentnosti aksiomu paralelizma euklidske geometrije (vidi Teorem 9.1). Njegova logična negacija je:

Izjava 13.3.Na ravnini Lobačevskog postoje dvije ravne crte koje se ne sijeku, koje, kada se sijeku s trećom ravnom crtom, tvore unutarnje jednostrane kutove, čiji je zbroj manji od dva prava kuta.

U § 12 formulirali smo Posidonijev prijedlog: na ravnini postoje najmanje tri kolinearne točke koje se nalaze u jednoj poluravni od zadanog pravca i jednako udaljene od njega. Također smo dokazali teorem 12.6: Posidonijev prijedlog je ekvivalentan tvrdnji o aksiomu paralelizma euklidske geometrije. Dakle, negacija ove izjave djeluje na ravninu Lobačevskog.

Izjava 13.4. Skup točaka jednako udaljenih od ravne na ravnini Lobačevskog i smještenih u jednoj poluravni u odnosu na nju, zauzvrat, ne leži na jednoj ravnoj liniji.

Na ravnini Lobačevskog skup točaka koje su jednako udaljene od ravne i koje pripadaju jednoj poluravni u odnosu na ovu ravnu liniju tvore krivu liniju, takozvanu jednako udaljenu liniju. Kasnije ćemo razmotriti njegova svojstva.

Razmotrite sada Legendreov prijedlog: n Teorem 11.6 koji smo dokazali (vidi § 11) tvrdi da Iz ovoga slijedi da na ravni Lobačevskog vrijedi logička negacija ove tvrdnje.

Izjava 13.5. Na strani bilo kojeg oštrog kuta postoji takva točka da okomica na nju, podignuta u ovoj točki, ne siječe drugu stranu kuta.

Zabilježimo svojstva trokuta i četverokuta ravnine Lobačevskog, koja izravno slijede iz rezultata odjeljaka 9 i 11. Prije svega, Teorem 11.1. navodi da pretpostavka postojanja trokuta, čiji se zbroj kutova poklapa sa zbrojem dvaju pravih kutova, ekvivalentna je aksiomu paralelizma euklidske ravnine. Iz ovog i Legendreovog prvog teorema (vidi Teorem 10.1, § 10) slijedi sljedeća izjava

Izjava 13.6. Na ravnini Lobačevskog zbroj kutova bilo kojeg trokuta manji je od 2d.

To odmah implicira da zbroj kutova bilo kojeg konveksnog četverokuta manji je od 4d, a zbroj kutova bilo kojeg konveksnog n-kuta manji je od 2 (n-1) d.

Budući da su na euklidovoj ravnini kutovi uz gornju bazu Saccherijevog četverokuta jednaki pravim kutovima, što je, u skladu s teoremom 12.3 (vidi § 12), ekvivalentno aksiomu paralelizma euklidske geometrije, možemo nacrtati sljedeći zaključak.

Izjava 13.7. Kutovi uz gornju bazu Saccherijevog četverokuta su oštri.

Ostaje nam da razmotrimo još dva svojstva trokuta na ravnini Lobačevskog. Prvi se odnosi na Wallisov prijedlog: na ravnini postoji barem jedan par trokuta s odgovarajućim jednakim kutovima, ali ne i jednakim stranicama. U odjeljku 11 dokazali smo da je ovaj prijedlog ekvivalentan paralelnom aksiomu euklidske geometrije (vidi Teorem 11.5). Logično poricanje ove tvrdnje dovodi nas do sljedećeg zaključka: na ravnini Lobačevskog nema trokuta s jednakim kutovima, ali ne i jednakih stranica. Dakle, istinita je sljedeća tvrdnja.

Izjava 13.8. (četvrti kriterij za jednakost trokuta na ravnini Lobačevskog).Bilo koja dva trokuta na ravnini Lobačevskog, koja imaju odgovarajuće jednake kutove, jednaka su jedan drugom.

Razmotrite sada sljedeće pitanje. Može li se kružnica opisati oko bilo kojeg trokuta na ravnini Lobačevskog? Odgovor je dat teoremom 9.4 (vidi § 9). U skladu s ovim teoremom, ako se kružnica može opisati oko bilo kojeg trokuta na ravnini, tada je na ravnini zadovoljen uvjet aksioma paralelizma euklidske geometrije. Stoga nas logička negacija tvrdnje ovog teorema dovodi do sljedeće tvrdnje.

Izjava 13.9. Na ravnini Lobačevskog postoji trokut oko kojeg se ne može opisati kružnica.

Lako je konstruirati primjer takvog trokuta. Odaberimo neku ravnu liniju a i točku A koja joj ne pripada. Ispustimo okomicu h iz točke A na pravac a. Na temelju Lobačevskog aksioma paralelizma, postoji ravna crta b koja prolazi kroz A, a nije okomita na h, koja ne siječe a (slika 52). Kao što znate, ako je kružnica opisana oko trokuta, tada njegovo središte leži u točki presjeka srednjih okomica stranica trokuta. Stoga nam je dovoljno dati primjer takvog trokuta čije se srednje okomice ne sijeku. Odaberimo točku M na pravoj h, kao što je prikazano na slici 52. Prikazujemo je simetrično u odnosu na prave a i b, dobivamo točke N i P. Budući da pravac b nije okomit na h, točka P nije pripadaju h. Stoga su točke M, N i P vrhovi trokuta. Pravci a i b po konstrukciji služe kao okomice. Oni se, kao što je gore spomenuto, ne sijeku. Trokut MNP je traženi.

Lako je konstruirati primjer trokuta u ravnini Lobačevskog oko kojeg se može opisati kružnica. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti dvije linije koje se sijeku, odabrati točku koja im ne pripada i reflektirati je u odnosu na te linije. Izvedite detaljnu konstrukciju sami.

Definicija 14.1. Neka postoje dvije usmjerene ravne i. Zovu se paralelni ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:

1. ravni a i b se ne sijeku;

2. za proizvoljne točke A i B pravih a i b, svaka unutarnja zraka h kuta ABB 2 siječe pravac a (slika 52).

Paralelne ćemo prave označavati na isti način kako je to uobičajeno u školskom kolegiju geometrije: a || b. Imajte na umu da paralelni pravci na euklidskoj ravnini zadovoljavaju ovu definiciju.

Teorem 14.3. Neka su na ravnini Lobačevskog dana usmjerena ravna crta i točka B koja joj ne pripada. Tada kroz ovu točku prolazi jedna usmjerena ravna crta tako da je pravac a paralelan s ravnom crtom b.

Dokaz. Spustimo iz točke B okomicu BA na pravu a i iz točke B vratit ćemo okomicu p na ravnu BA (slika 56 a). Pravac p, kao što je već više puta napomenuto, ne siječe zadanu pravu a. Odaberimo na njoj proizvoljnu točku C, podijelimo točke segmenta AC u dvije klase i. Prva klasa će uključivati ​​takve točke S ovog segmenta za koje zraka BS siječe zraku AA 2, a druga klasa uključuje takve točke T za koje zraka BT ne siječe zraku AA 2. Pokažimo da takva podjela na klase proizvodi Dedekindov odsječak segmenta AC. U skladu s teoremom 4.3 (vidi § 4), trebali bismo provjeriti da:

2. i klase i sadrže točke koje nisu A i C;

3. bilo koja točka klase osim A leži između točke A i bilo koje točke klase.

Prvi uvjet je očit, sve točke segmenta pripadaju jednoj ili drugoj klasi, dok same klase, na temelju njihove definicije, nemaju zajedničkih točaka.

Drugi uvjet je također lako provjeriti. Očito, i. Klasa sadrži točke koje nisu A; da bismo potvrdili ovu tvrdnju, dovoljno je odabrati neku točku zraka AA 2 i spojiti je s točkom B. Ova zraka će presjeći segment BC u točki prve klase. Klasa također sadrži točke koje nisu C, inače ćemo doći do kontradikcije s Lobačevskim aksiomom paralelizma.

Dokažimo treći uvjet. Neka postoji točka S prve klase, različita od A, i takva točka T druge klase takva da točka T leži između A i S (vidi sliku 56 a). Budući da, tada zraka BS siječe zraku AA 2 u nekoj točki R. Razmotrimo zraku BT. Ona siječe AS stranu ASR trokuta u točki T. Prema Pašinom aksiomu, ova zraka mora sijeći ili AR stranu ili SR stranu ovog trokuta. Pretpostavimo da zraka BT siječe stranu SR u nekoj točki O. Tada dvije različite prave BT i BR prolaze kroz točke B i O, što je u suprotnosti s aksiomom Hilbertovog aksioma. Dakle, zraka BT siječe stranu AR, što implicira da točka T ne pripada klasi K 2. Rezultirajuća kontradikcija dovodi do tvrdnje da točka S leži između A i T. Uvjet Teorema 4.3 je u potpunosti potvrđen.

U skladu sa zaključkom teorema 4.3 o Dedekindovom dijelu na segmentu AC, postoji točka za koju bilo koja točka koja leži između A i pripada klasi, a svaka točka koja leži između i C pripada klasi. Pokažimo da je usmjereni pravac paralelan s pravom ... Zapravo, ostaje nam dokazati da ne siječe ravnu liniju a, budući da se, zbog izbora točaka klase K 1, siječe svaka unutarnja zraka kuta. Pretpostavimo da pravac siječe pravac a u nekoj točki H (slika 56 b). Odaberimo proizvoljnu točku P na zraci HA 2 i razmotrimo zraku BP. Tada siječe odsječak M 0 S u nekoj točki Q (dokažite sami ovu tvrdnju). Ali unutarnje točke segmenta M 0 S pripadaju drugoj klasi, zraka BP ne može imati zajedničke točke s pravom a. Dakle, naša pretpostavka o presjeku pravaca BM 0 i a nije točna.

Lako je provjeriti da je pravac jedini usmjereni pravac koji prolazi točkom B i paralelan. Doista, neka druga usmjerena ravna crta prolazi točkom B, koja je također paralelna. U ovom slučaju, pretpostavit ćemo da je M 1 točka odsječka AC. Zatim, na temelju definicije klase K 2,. Prema tome, zraka BM 0 je unutarnja zraka kuta, dakle, prema definiciji 14.1, siječe ravnu liniju. Došli smo do kontradikcije s gore dokazanom tvrdnjom. Teorem 14.3 je potpuno dokazan.

Razmotrimo točku B i usmjereni pravac koji je ne sadrži. U skladu s dokazanim teoremom 14.3, usmjerena ravna linija paralelna s a prolazi točkom B. Ispustimo okomitu BH iz točke B na pravu a (slika 57). Lako je to vidjeti kut HBB 2 - akutni... Doista, ako pretpostavimo da je ovaj kut pravac, onda iz definicije 14.1 slijedi da svaka ravna crta koja prolazi točkom B siječe ravnu liniju a, što je u suprotnosti s teoremom 13.1, tj. Aksiom paralelizma Lobačevskog LV 1 (vidi § 13). Lako je vidjeti da pretpostavka da je ovaj kut tup sada također dovodi do kontradikcije s definicijom 14.1 i teoremom 4.2 (vidi §4), budući da unutarnja zraka kuta HBB 2, okomita na BH, ne siječe zraku AA 2 . Dakle, istinita je sljedeća tvrdnja.

Teorem 14.4. Neka je usmjerena linija paralelna s usmjerenom linijom. Ako iz točke B ravne crte spustimo okomitu VN na ravnu crtu, tada je kut HBB 2 oštar.

Iz ovog teorema očito slijedi sljedeći zaključak.

Posljedica.Ako postoji zajednička okomica na usmjerene pravce i, tada pravac nije paralelan s pravcem.

Uvedimo pojam paralelizma za neusmjerene pravce. Pretpostavit ćemo da dvije neusmjerene prave su paralelne ako se na njima mogu odabrati pravci tako da zadovoljavaju definiciju 14.1. Kao što znate, ravna linija ima dva smjera. Stoga iz teorema 14.3 proizlazi da kroz točku B, koja ne pripada pravcu a, prolaze dvije neusmjerene ravne paralelne s ovim pravcem. Očito, oni su simetrični u odnosu na okomicu spuštenu iz točke B na pravac a. Ove dvije ravne su same granične linije koje odvajaju snop pravih koji prolaze kroz točku B i sijeku a, od snopa pravih koji prolaze kroz B i ne sijeku liniju a (slika 57).

Teorem 15.2. (Svojstvo simetrije paralelnih pravaca na ravnini Lobačevskog).Neka je usmjerena linija paralelna s usmjerenom linijom. Tada je usmjerena linija paralelna s pravom.

Svojstvo simetrije koncepta paralelizma pravaca na ravnini Lobačevskog omogućuje nam da ne naznačimo redoslijed usmjerenih paralelnih pravaca, t.j. ne specificirajte koji je redak prvi, a koji drugi. Očito, svojstvo simetrije koncepta paralelizma ravnih linija vrijedi i na euklidskoj ravnini. To izravno slijedi iz definicije paralelnih pravaca u euklidskoj geometriji. U euklidskoj geometriji, svojstvo tranzitivnosti je također ispunjeno za paralelne linije. Ako je pravac a paralelan s pravom b, a pravac b paralelan s pravom c. tada su ravni a i c također međusobno paralelni. Slično svojstvo vrijedi i za usmjerene ravne linije na ravnini Lobačevskog.

Teorem 15.3. (Svojstvo tranzitivnosti paralelnih pravaca na ravnini Lobačevskog).Neka su zadane tri različite usmjerene ravne,. Ako i , onda .

Razmotrimo usmjerenu liniju paralelnu s usmjerenom linijom. Prekrižimo ih ravnom linijom. Točke A i B su sjecišta pravih linija i, (slika 60). Sljedeći teorem je istinit.

Teorem 15.4. Kut je veći od kuta.

Teorem 15.5. Vanjski kut degeneriranog trokuta veći je od unutarnjeg kuta koji mu nije uz njega.

Dokaz odmah slijedi iz teorema 15.4. Uradi sam.

Razmotrimo proizvoljan segment AB. Kroz točku A povučemo pravu a, okomitu na AB, a kroz točku B, ravnu b paralelnu s a (slika 63). Kao što slijedi iz teorema 14.4 (vidi § 14), pravac b nije okomit na pravac AB.

Definicija 16.1. Oštar kut koji čine prave linije AB i b naziva se kut paralelizma segmenta AB.

Jasno je da svakom segmentu pravca odgovara određeni kut paralelizma. Sljedeći teorem je istinit.

Teorem 16.2. Jednaki segmenti odgovaraju jednakim kutovima paralelizma.

Dokaz. Neka su dana dva jednaka segmenta AB i A ¢ B ¢. Povucimo kroz točke A i A ¢ usmjerene ravne i, redom, AB i A ¢ B ¢, a kroz točke B i B ¢ usmjerene ravne i, respektivno, i (slika 64). Zatim i redom, kutovi paralelizma segmenata AB i A ¢ B ¢. Pretvarajmo se to

Odvojimo kut a 2 od VA grede u poluravnini BAA 2 (vidi sliku 64). Na temelju nejednakosti (1), zraka l je unutarnja zraka kuta ABB 2. Kako je ½1, onda l siječe zraku AA 2 u nekoj točki P. Stavimo na zraku A ¢ A 2 ¢ iz točke A odsječak A ¢ P jednak AP. Razmotrimo trokute ABP i A ¢ B ¢ P ¢. Oni su pravokutni, prema hipotezi teorema, imaju jednake krakove AB i A ¢ B ¢, po konstrukciji su drugi par krakova AP i A ¢ P međusobno jednaki. Dakle, pravokutni trokut ABP jednak je trokutu A ¢ B ¢ P ¢. Zato . S druge strane, zraka B ¢ P ¢, siječe zraka A ¢ A 2 ¢, a usmjerena pravac B 1 ¢ B 2 ¢ paralelna je s pravom A 1 ¢ A 2 ¢. Dakle, zraka B ¢ P ¢ je unutarnja zraka kuta A ¢ B ¢ B 2 ¢, ... Dobivena kontradikcija pobija našu pretpostavku, nejednakost (1) je netočna. Slično se dokazuje da kut ne može biti manji od kuta. Teorem je dokazan.

Razmotrimo sada kako su kutovi paralelizma nejednakih segmenata međusobno povezani.

Teorem 16.3. Neka je odsječak AB veći od segmenta A ¢ B ¢, a kutovi i, prema tome, njihovi kutovi paralelizma. Zatim .

Dokaz. Dokaz ovog teorema izravno slijedi iz teorema 15.5 (vidi § 15) o vanjskom kutu degeneriranog trokuta. Razmotrimo segment AB. Kroz točku A, okomitu na AB, povučemo usmjerenu ravnu crtu, a kroz točku B usmjerenu ravnu, paralelnu (slika 65). Stavimo na zraku AB odsječak AP jednak A ¢ B ¢. Budući da je onda P unutarnja točka segmenta AB. Povucimo usmjerenu liniju C 1 C 2 kroz P, također paralelnu. Kut služi kao kut paralelizma segmenta A ¢ B ¢, a kut je kut paralelizma segmenta AB. S druge strane, iz teorema 15.2 o simetriji pojma paralelizma pravaca (vidi § 15) proizlazi da je pravac S 1 S 2 paralelan s pravom. Stoga je trokut RBC 2 A 2 degeneriran, vanjski je i njegovi unutarnji kutovi. Teorem 15.5 implicira istinitost tvrdnje koja se dokazuje.

Obrnuto je lako dokazati.

Teorem 16.4.Neka su i kutovi paralelizma segmenata AB i A ¢ B ¢. Zatim, ako, onda AB> A ¢ B ¢.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno,. Tada iz teorema 16.2 i 16.3 slijedi da , što je u suprotnosti s hipotezom teorema.

I tako smo dokazali da svaki segment odgovara svom kutu paralelizma, a veći segment odgovara manjem kutu paralelizma. Razmotrimo tvrdnju koja dokazuje da za bilo koji akutni kut postoji segment za koji je taj kut kut paralelizma. To će uspostaviti korespondenciju jedan-na-jedan između segmenata i oštrih kutova na ravnini Lobačevskog.

Teorem 16.5. Za svaki oštar kut postoji odsječak za koji je ovaj kut paralelni kut.

Dokaz. Neka je zadan oštar kut ABC (slika 66). Pretpostavit ćemo da sve točke razmatrane u nastavku na zrakama BA i BC leže između točaka B i A i B i C. Nazovimo zraku dopuštenom ako joj ishodište pripada stranici kuta BA, okomita je na pravac BA i nalazi se u istoj poluravni u odnosu na ravninu BA kao i stranica BC zadanog kuta. Osvrnimo se na Legendreov prijedlog: n Okomica povučena na stranu oštrog kuta u bilo kojoj točki te strane siječe drugu stranu kuta. Dokazali smo teorem 11.6 (vidi § 11), koji to kaže Legendreov prijedlog je ekvivalentan paralelnom aksiomu euklidske geometrije. Iz ovoga smo zaključili da na ravni Lobačevskog vrijedi logična negacija ove tvrdnje, tj. na strani bilo kojeg oštrog kuta postoji takva točka da okomita na nju, podignuta u ovoj točki, ne siječe drugu stranu kuta(vidi § 13). Dakle, postoji takva dopuštena zraka m s ishodištem u točki M, koja ne siječe BC stranu zadanog kuta (vidi sliku 66).

Podijelimo točke segmenta VM u dvije klase. Razred pripadat će onim točkama ovog segmenta za koje dopuštene zrake s ishodištem u tim točkama sijeku BC stranu ovog kuta, a klasa pripadaju one točke BC segmenta za koje dopuštene zrake s ishodištem u tim točkama ne prelaze BC stranu. Pokažimo da takva particija segmenta BM tvori Dedekindov presjek (vidi Teorem 4.3, § 4). Da biste to učinili, provjerite to

5. i klase i sadrže točke koje nisu B i M;

6. bilo koja točka klase osim B leži između točke B i bilo koje točke klase.

Prvi uvjet je očito ispunjen. Bilo koja točka segmenta BM pripada ili klasi K 1 ili klasi K 2. Štoviše, točka, na temelju definicije ovih klasa, ne može pripadati dvjema klasama u isto vrijeme. Očito, možemo pretpostaviti da točka M pripada K 2, budući da dopuštena zraka s ishodištem u točki M ne siječe BC. Klasa K 1 sadrži barem jednu točku različitu od B. Za njezinu konstrukciju dovoljno je odabrati proizvoljnu točku P na strani BC i s nje ispustiti okomitu točku PQ na gredu BA. Ako pretpostavimo da točka Q leži između točaka M i A, tada točke P i Q leže u različitim poluravninama u odnosu na pravac koji sadrži zraku m (vidi sliku 66). Stoga segment PQ siječe zraku m u nekoj točki R. Dobivamo da su dvije okomice spuštene iz točke R na pravac BA, što je u suprotnosti s teoremom 4.2 (vidi § 4). Dakle, točka Q pripada segmentu BM, klasa K 1 sadrži točke koje nisu B. Lako je objasniti zašto na zraci BA postoji segment koji sadrži barem jednu točku koja pripada klasi K 2 i različita od njezine kraj. Doista, ako klasa K 2 segmenta BM koji se razmatra sadrži jednu točku M, tada biramo proizvoljnu točku M ¢ između M i A. Razmotrimo dopuštenu zraku m ¢ s ishodištem u točki M ¢. Ne siječe zraku m, inače se dvije okomice ispuštaju iz točke na pravac AB, dakle m ¢ ne siječe zraku BC. Segment VM ¢ je željeni, a sva daljnja razmišljanja treba provesti za segment VM ¢.

Provjerimo valjanost trećeg uvjeta teorema 4.3. Pretpostavimo da postoje takve točke i da točka P leži između točke U i M (slika 67). Nacrtajmo dopuštene zrake u i p s ishodištem u točkama U i P. Budući da zraka p siječe stranu BC zadanog kuta u nekoj točki Q. Ravna linija koja sadrži zraku u siječe stranu BP trokuta BPQ, dakle, prema Hilbertovom aksiomu (Pašin aksiom, vidi § 3) siječe ili stranu BQ ili stranu PQ ovog trokuta. No, dakle, zraka u ne siječe stranu BQ, dakle, zrake p i u sijeku se u nekoj točki R. Opet dolazimo do kontradikcije, budući da smo konstruirali točku iz koje su dvije okomice ispuštene na pravu AB . Uvjet teorema 4.3 je u potpunosti zadovoljen.

M. Iz toga slijedi da. Dobili smo kontradikciju, budući da smo konstruirali točku klase K 1, smještenu između točaka i M. Ostaje nam pokazati da bilo koja unutarnja zraka kuta siječe zraku BC. Razmotrimo proizvoljnu unutarnju zraku h ovog kuta. Odaberimo na njemu proizvoljnu točku K, koja pripada kutu, i spustimo okomicu iz nje na pravac BA (slika 69). Baza S ove okomice očito pripada segmentu BM 0, tj. razred K 1 (tu činjenicu dokažite sami). Slijedi da okomica KS siječe BC stranu zadanog kuta u nekoj točki T (vidi sliku 69). Zraka h prešla je stranu ST trokuta BST u točki K, prema aksiomu (Pašinom aksiomu), mora presjeći ili stranu BS ili stranu BT ovog trokuta. Jasno je da h ne siječe odsječak BS, inače dva pravca, h i BA, prolaze kroz dvije točke, i to točku presjeka. Dakle, h prelazi BT stranu, t.j. greda VA. Teorem je potpuno dokazan.

I tako, ustanovili smo da se svaki segment u geometriji Lobačevskog može povezati s oštrim kutom - njegovim kutom paralelizma. Pretpostavit ćemo da smo uveli mjeru kutova i odsječaka; imajte na umu da ćemo mjeru odsječaka uvesti kasnije, u §. Uvodimo sljedeću definiciju.

Definicija 16.6. Ako je x duljina segmenta, a j vrijednost kuta, tada se ovisnost j = P (x), koja povezuje duljinu segmenta s vrijednošću njegova kuta paralelizma, naziva funkcijom Lobačevskog.

Jasno je da . Koristeći svojstva kuta paralelizma gore dokazanog segmenta (vidi teoreme 16.3 i 16.4), možemo izvesti sljedeći zaključak: funkcija Lobačevskog monotono opada. Nikolaj Ivanovič Lobačevski dobio je sljedeću izvanrednu formulu:

,

gdje je k neki pozitivan broj. Važan je u geometriji prostora Lobačevskog, a naziva se njegovim polumjerom zakrivljenosti. Dva prostora Lobačevskog s istim polumjerom zakrivljenosti su izometrijska. Iz gornje formule, kao što je lako vidjeti, također slijedi da je j = P (x) monotono opadajuća kontinuirana funkcija čije vrijednosti pripadaju intervalu.

Na euklidovoj ravni fiksiramo kružnicu w sa središtem u nekoj točki O i polumjera jednakim jedan, koju ćemo nazvati apsolutna... Skup svih točaka kružnice omeđene kružnicom w označit će se s W ¢, a skup svih unutarnjih točaka ove kružnice s W. Dakle,. Točke skupa W zvati će se L-točke Skup W svih L-točaka je L-ravnina, na kojem ćemo konstruirati Cayley-Klein model ravnine Lobačevskog. nazvat ćemo L - ravno proizvoljni tetivi kruga w. Pretpostavit ćemo da L-točka X pripada L-pravi x ako i samo ako točka X kao točka euklidske ravnine pripada tetivi x apsoluta.

L-ravnina, vrijedi aksiom paralelizma Lobačevskog: kroz L - točku B koja ne leži na L - pravcu proći najmanje dva L - pravca b i c koji nemaju zajedničkih točaka s L - pravcem a. Slika 94 ilustrira ovu tvrdnju. Također je lako razumjeti što su paralelne usmjerene linije L-ravnine. Razmotrimo sliku 95. L-pravac b prolazi kroz sjecište L-pravca a s apsolutom. Stoga je usmjerena L-prava A 1 A 2 paralelna sa usmjerenom L-pravom B 1 A 2. Doista, ti se pravci ne sijeku, a ako odaberemo proizvoljne L-točke A i B koje pripadaju tim crtama, tada bilo koja unutarnja zraka h kuta A 2 BA siječe pravac a. Dakle, dva L-pravca su paralelna ako imaju zajedničku točku presjeka s apsolutnim. Jasno je da je simetričnost i svojstvo tranzitivnosti koncepta paralelizma L-pravaca zadovoljena. U 15. paragrafu dokazali smo svojstvo simetrije, dok je svojstvo tranzitivnosti ilustrirano na slici 95. Pravac A 1 A 2 je paralelan s pravom B 1 A 2, sijeku apsolut u točki A 2. Pravci B 1 A 2 i C 1 A 2 također su paralelni, oni također sijeku apsolut u istoj točki A 2. Stoga su ravne A 1 A 2 i C 1 A 2 međusobno paralelne.

Dakle, gore definirani osnovni pojmovi zadovoljavaju zahtjeve aksioma I 1 -I 3, II, III, IV skupina Hilbertovih aksioma i aksioma paralelizma Lobačevskog, stoga su model ravnine Lobačevskog. Dokazali smo bitnu konzistentnost planimetrije Lobačevskog. Formulirajmo ovu tvrdnju kao sljedeći teorem.

Teorem 1. Geometrija Lobačevskog je sadržajno dosljedna.

Napravili smo model aviona Lobačevskog, ali s konstrukcijom prostornog modela sličnog onom koji se razmatra na ravnini, možete se upoznati u priručniku.

Najvažniji zaključak slijedi iz teorema 1. Aksiom paralelizma nije posljedica aksioma I - IV Hilbertovih aksioma. Budući da je peti Euklidov postulat ekvivalentan aksiomu paralelizma euklidske geometrije, ovaj postulat također ne ovisi o ostalim Hilbertovim aksiomima.

”Posvećena odnosu između ruske i britanske znanosti, matematičarka Valentina Kirichenko govori za PostNauku o revolucionarnoj prirodi ideja Lobačevskog za geometriju 19. stoljeća.

Paralelne linije se ne sijeku čak ni u geometriji Lobačevskog. Negdje u filmovima često možete pronaći frazu: "I paralelne linije našeg Lobačevskog sijeku se." Zvuči lijepo, ali nije istinito. Nikolaj Ivanovič Lobačevski doista je smislio izvanrednu geometriju, u kojoj se paralelne linije ponašaju sasvim drugačije nego što smo navikli. Ali ipak se ne preklapaju.

Navikli smo misliti da se dvije paralelne prave ne konvergiraju i ne odmiču. Odnosno, bez obzira koju točku uzmemo na prvoj liniji, udaljenost od nje do druge linije je ista, ne ovisi o točki. Ali je li doista tako? A zašto je to tako? I kako se to uopće može provjeriti?

Ako govorimo o fizičkim ravnim linijama, onda nam je za promatranje dostupan samo mali dio svake ravne linije. A s obzirom na pogreške mjerenja, nećemo moći izvući nikakve definitivne zaključke o tome kako se prave linije ponašaju jako, jako daleko od nas. Stari Grci su imali slična pitanja. U III stoljeću prije Krista, starogrčki geometar Euklid vrlo je točno ocrtao glavno svojstvo paralelnih pravaca, koje nije mogao ni dokazati ni opovrgnuti. Stoga je to nazvao postulatom – tvrdnjom koju treba uzeti na vjeru. Ovo je poznati peti Euklidov postulat: ako se dvije ravne na ravnini sijeku sa sekantom, tako da je zbroj unutarnjih jednostranih kutova manji od dvije ravne, odnosno manji od 180 stupnjeva, tada s dovoljno U nastavku ove dvije ravne crte će se sijeći, a nalazi se na strani sekante duž koje je zbroj manji od dva prava kuta.

Ključne riječi u ovom postulatu su "s dovoljno nastavka". Upravo zbog ovih riječi postulat se ne može empirijski provjeriti. Možda će se linije križati u vidnom polju. Možda nakon 10 kilometara ili izvan orbite Plutona, ili možda čak u drugoj galaksiji.

Euklid je svoje postulate i rezultate, koji iz njih logično proizlaze, iznio u poznatoj knjizi "Počeci". Od starogrčkog naziva ove knjige potječe ruska riječ "elementi", a od latinskog naziva - riječ "elementi". Euklidovi počeci najpopularniji su udžbenik svih vremena. Po broju izdanja na drugom je mjestu iza Biblije.

Posebno bih istaknuo prekrasno britansko izdanje iz 1847. s vrlo jasnom i lijepom infografikom. Umjesto dosadnih oznaka na crtežima, koriste crteže u boji – ne kao u modernim školskim udžbenicima geometrije.

Sve do prošlog stoljeća Euklidovi "Počeci" bili su potrebni za proučavanje u svim obrazovnim programima, što je podrazumijevalo intelektualno stvaralaštvo, odnosno ne samo učenje zanata, nego nešto intelektualnije. Neočiglednost petog Euklidovog postulata postavila je prirodno pitanje: je li to moguće dokazati, odnosno logički izvesti iz ostalih Euklidovih pretpostavki? Mnogi matematičari, od Euklidovih suvremenika do Lobačevskog, pokušali su to učiniti. U pravilu su peti postulat sveli na neki vizualniji iskaz, u što je lakše povjerovati.

Primjerice, engleski matematičar John Wallis je u 17. stoljeću sveo peti postulat na ovu tvrdnju: postoje dva slična, ali nejednaka trokuta, odnosno dva trokuta čiji su kutovi jednaki, ali su različite veličine. Čini se, što bi moglo biti jednostavnije? Samo promijenimo ljestvicu. No, pokazalo se da je mogućnost promjene mjerila uz zadržavanje svih kutova i proporcija isključivo svojstvo euklidske geometrije, odnosno geometrije u kojoj su ispunjeni svi euklidski postulati, uključujući i peti.

U 18. stoljeću škotski učenjak John Playfair preformulirao je peti postulat u obliku u kojem se obično pojavljuje u suvremenim školskim udžbenicima: dvije ravne crte koje se međusobno sijeku ne mogu biti istovremeno paralelne s trećom linijom. Upravo se u tom obliku peti postulat pojavljuje u modernim školskim udžbenicima.

Početkom 19. stoljeća mnogi su bili pod dojmom da je dokazivanje petog postulata poput izuma vječnog motora - potpuno beskorisna vježba. Ali čak ni pretpostaviti da Euklidova geometrija nije jedina moguća, nitko nije imao hrabrosti: Euklidov autoritet bio je prevelik. U takvoj situaciji otkrića Lobačevskog bila su, s jedne strane, prirodna, a s druge strane apsolutno revolucionarna.

Lobačevski je peti postulat zamijenio upravo suprotnom tvrdnjom. Aksiom Lobačevskog zvučao je ovako: ako se iz točke koja ne leži na ravnoj liniji otpusti sve zrake koje sijeku ovu ravnu liniju, tada će s lijeve i desne strane ove zrake biti ograničene s dvije ograničavajuće zrake, koje više neće sijeći ravnu liniju, ali će joj se sve više približavati. Štoviše, kut između ovih ograničavajućih zraka bit će striktno manji od 180 stupnjeva.

Iz aksioma Lobačevskog odmah proizlazi da je kroz točku koja ne leži na danoj pravoj liniji moguće povući ne jednu ravnu paralelnu s danom, kao u Euklida, već koliko god želite. Ali ove ravne linije ponašat će se drugačije od Euklidove. Na primjer, ako imamo dvije paralelne ravne crte, onda se one mogu prvo približiti, a zatim se udaljiti. To jest, udaljenost od točke na prvoj liniji do druge linije ovisit će o točki. Bit će drugačije za različite točke.

Geometrija Lobačevskog djelomično proturječi našoj intuiciji jer se na malim udaljenostima s kojima se obično bavimo, vrlo se malo razlikuje od Euklidske. Slično, opažamo zakrivljenost Zemljine površine. Kad hodamo od kuće do trgovine, čini nam se da hodamo u ravnoj liniji, a Zemlja je ravna. Ali ako letimo, recimo, od Moskve do Montreala, tada već primjećujemo da avion leti u luku kružnice, jer je to najkraći put između dvije točke na Zemljinoj površini. Odnosno, primjećujemo da Zemlja više liči na nogometnu loptu nego na palačinku.

Geometrija Lobačevskog može se ilustrirati i uz pomoć nogometne lopte, ne obične, već hiperboličke. Hiperbolična nogometna lopta je zalijepljena kao obična. Samo u običnoj kugli bijeli se šesterokuti lijepe na crne peterokute, a u hiperboličnoj kugli umjesto peterokuta trebate napraviti sedmerokute i također ih zalijepiti šesterokutima. U ovom slučaju, naravno, neće ispasti lopta, već sedlo. I na ovom sedlu ostvaruje se geometrija Lobačevskog.

Lobačevski je pokušao govoriti o svojim otkrićima 1826. na Kazanskom sveučilištu. No, tekst izvješća nije sačuvan. Godine 1829. objavio je članak o svojoj geometriji u sveučilišnom časopisu. Mnogima su se rezultati Lobačevskog činili besmislenim – ne samo zato što su uništili uobičajenu sliku svijeta, nego zato što nisu bili predstavljeni na najrazumljiviji način.

Međutim, Lobačevski je imao i publikacije u časopisima visoke ocjene, kako ih danas zovemo. Na primjer, 1836. godine u poznatom časopisu Crell objavio je članak pod naslovom "Imaginarna geometrija" na francuskom, u istom broju s člancima najpoznatijih matematičara tog vremena - Dirichleta, Steinera i Jacobija. A 1840. Lobačevski je objavio malu i vrlo razumljivo napisanu knjigu pod naslovom "Geometrijska istraživanja u teoriji paralelnih linija". Knjiga je bila na njemačkom jeziku i objavljena u Njemačkoj. Odmah se pojavila poražavajuća recenzija. Recenzent je posebno ismijao frazu Lobačevskog: "Što dalje nastavljamo ravne linije u smjeru njihova paralelizma, to se više približavaju jedni drugima." "Samo ova izjava," napisao je recenzent, "već dovoljno karakterizira rad gospodina Lobačevskog i oslobađa recenzenta potrebe za daljnjim ocjenjivanjem."

Ali knjiga ima i jednog nepristranog čitatelja. Bio je to Karl Friedrich Gauss, poznat i po nadimku Kralj matematičara, jedan od najvećih matematičara u povijesti. U jednom od svojih pisama pohvalio je knjigu Lobačevskog. No, njegova je recenzija objavljena tek nakon njegove smrti, zajedno s ostatkom korespondencije. I tada je počeo pravi procvat geometrije Lobačevskog.

Godine 1866. njegova je knjiga prevedena na francuski, a zatim na engleski. Štoviše, englesko izdanje pretiskano je još tri puta zbog svoje iznimne popularnosti. Nažalost, Lobačevski nije dorastao ovom vremenu. Umro je 1856. godine. A 1868. godine pojavilo se rusko izdanje knjige Lobačevskog. Objavljena je ne kao knjiga, već kao članak u najstarijem ruskom časopisu "Matematička zbirka". Ali tada je ovaj časopis bio vrlo mlad, još nije imao dvije godine. No, poznatiji je ruski prijevod iz 1945. godine, koji je napravio izvanredni ruski i sovjetski geometar Veniamin Fedorovich Kagan.

Do kraja 19. stoljeća matematičari su bili podijeljeni u dva tabora. Neki su odmah prihvatili rezultate Lobačevskog i počeli dalje razvijati njegove ideje. Drugi nisu mogli odustati od uvjerenja da geometrija Lobačevskog opisuje nešto što ne postoji, odnosno da je Euklidova geometrija jedina istinita i ništa drugo ne može biti. Nažalost, među potonjem je bio i matematičar, poznatiji kao autor "Alise u zemlji čudesa" - Lewis Carroll. Njegovo pravo ime je Charles Dodgson. Godine 1890. objavio je članak pod naslovom "Nova teorija paralela", gdje je branio vrlo vizualnu verziju petog postulata. Aksiom Lewisa Carrolla zvuči ovako: ako upišete pravilan četverokut u krug, tada će površina ovog četverokuta biti striktno veća od površine bilo kojeg od segmenata kruga koji leži izvan četverokuta. U geometriji Lobačevskog ovaj aksiom nije istinit. Ako uzmemo dovoljno veliki krug, onda bez obzira koji četverokut u njega upišemo, bez obzira koliko su stranice ovog četverokuta dugačke, površina četverokuta će biti ograničena univerzalnom fizičkom konstantom. Općenito, prisutnost fizičkih konstanti i univerzalnih mjera duljine prednost je razlika između geometrije Lobačevskog i Euklidove geometrije.

Ali Arthur Cayley, još jedan poznati engleski matematičar, 1859. godine, dakle samo tri godine nakon smrti Lobačevskog, objavio je članak koji je kasnije pomogao legalizirati Lobačevskijev postulat. Zanimljivo, Cayley je u to vrijeme pripremala posao odvjetnice u Londonu i tek tada je dobila mjesto profesora na Cambridgeu. Zapravo, Cayley je konstruirao prvi model geometrije Lobačevskog, iako je na prvi pogled rješavao sasvim drugačiji problem.

I još jedan divni engleski matematičar, čije je ime bilo William Kingdon Clifford, bio je duboko prožet idejama Lobačevskog. A posebno, on je bio prvi koji je mnogo prije stvaranja opće teorije relativnosti iznio ideju da je gravitacija uzrokovana zakrivljenošću prostora. Clifford je procijenio doprinos Lobačevskog znanosti u jednom od svojih predavanja o filozofiji znanosti: "Lobačevski je za Euklida postao ono što je Kopernik postao za Ptolomeja." Ako je prije Kopernika čovječanstvo vjerovalo da znamo sve o Svemiru, sada nam je jasno da promatramo samo mali dio Svemira. Isto tako, prije Lobačevskog, čovječanstvo je vjerovalo da postoji samo jedna geometrija - Euklidska, sve o njoj je odavno poznato. Sada znamo da postoji mnogo geometrija, ali ne znamo sve o njima.

Euklidov peti postulat "Ako pravac koji pada na dvije ravne linije tvori unutarnje jednostrane kutove, ukupno manje od dvije ravne, tada će se, ako se nastavi u nedogled, ove dvije ravne linije sastati na strani gdje su kutovi u zbroju manji od dvije ravne linije" mnogim matematičarima čak i u antici izgledao je nekako nejasan, dijelom zbog složenosti svoje formulacije.

Činilo se da samo elementarne rečenice, jednostavne forme, trebaju biti postulati. S tim u vezi, 5. postulat postao je predmetom posebne pozornosti matematičara, a istraživanja na ovu temu mogu se podijeliti u dva smjera, koji su zapravo usko povezani jedan s drugim. Prvi je nastojao zamijeniti ovaj postulat jednostavnijim i intuitivno jasnijim, kao što je, na primjer, izjava koju je formulirao Proklo “Kroz točku koja ne leži na datoj pravoj liniji, može se povući samo jedna ravna crta koja nije sijeku se s danim”: upravo se u tom obliku 5. postulat ili bolje rečeno, paralelni aksiom, njemu ekvivalentan, pojavljuje u modernim udžbenicima.

Predstavnici drugog smjera pokušali su dokazati peti postulat na temelju drugih, odnosno pretvoriti ga u teorem. Pokušaje ove vrste započeli su brojni arapski matematičari srednjeg vijeka: al-Abbas al-Jauhari (početak 9. stoljeća), Sabit ibn Korrah, Ibn al-Khaisam, Omar Khayyam, Nasireddin at-Tusi. Kasnije su se tim studijama pridružili i Europljani: Levi Ben Gershon (14. st.) i Alfonso (15. st.) koji su pisali na hebrejskom, a zatim njemački isusovac H. Clavius ​​(1596.), Englez J. Wallis (1663.) i drugi Zanimanje za ovaj problem javlja se u 18. stoljeću: od 1759. do 1800. objavljeno je 55 radova koji analiziraju ovaj problem, uključujući vrlo važna djela talijanskog isusovca G. Saccherija i Nijemca I. G. Lamberta.

Dokazi su se obično provodili metodom "protuslovno": iz pretpostavke da 5. postulat nije ispunjen, pokušavali su izvesti posljedice koje bi bile u suprotnosti s drugim postulatima i aksiomima. U stvarnosti, međutim, na kraju nisu dobili kontradikciju s drugim postulatima, već s nekim eksplicitnim ili implicitnim "očitnim" prijedlogom, koji se, međutim, nije mogao utvrditi na temelju drugih postulata i aksioma euklidske geometrije: dakle , dokazi nisu postigli svoj cilj , - pokazalo se da je na mjesto 5. postulata opet stavljena neka druga ekvivalentna tvrdnja. Na primjer, sljedeće odredbe uzete su kao takva izjava:

Riža. 2. Postoje ravne linije jednako udaljene jedna od druge

Riža. 4. Dvije konvergentne prave se sijeku

Geometrija u kojoj ove tvrdnje ne vrijede, naravno, nije ista kao što smo navikli, ali iz toga ne proizlazi da je nemoguće ili da te tvrdnje slijede iz drugih Euklidovih postulata i aksioma, tako da svi dokazi su imali neke praznine.ili rastezanje. Clavius ​​je potkrijepio pretpostavku da postoje ravne linije, jednako udaljene jedna od druge, euklidskom "definicijom" ravne linije kao linije, jednako raspoređene u odnosu na točke na njoj. Wallis je bio prvi koji je svoj dokaz 5. postulata zasnovao na "prirodnom" stajalištu, prema kojem za bilo koju figuru postoji sličan lik proizvoljno velike veličine, te je tu tvrdnju potkrijepio 3. Euklidovim postulatom, koji tvrdi iz bilo kojeg središte i svako rješenje može opisati kružnicu (zapravo, tvrdnja o postojanju, na primjer, nejednakih sličnih trokuta ili čak kružnica je ekvivalentna 5. postulatu). AM Legendre je u uzastopnim izdanjima udžbenika "Načela geometrije" (1794., 1800., 1823.) dao nove dokaze 5. postulata, ali je pažljiva analiza pokazala nedostatke u tim dokazima. Podvrgnuvši Legendrea pravednoj kritici, naš sunarodnjak S. Ye. Guriev u svojoj knjizi "Iskustvo o poboljšanju elemenata geometrije" (1798), međutim, sam je pogriješio u dokazivanju 5. postulata.

Vrlo brzo je ostvarena veza između zbroja kutova trokuta i četverokuta i 5. postulata: 5. postulat proizlazi iz tvrdnje da je zbroj kutova trokuta jednak dvjema ravnima, što se može izvedeno iz postojanja pravokutnika. S tim u vezi, postao je raširen pristup (slijedio su ga Khayyam, at-Tusi, Wallis, Sakkeri), u kojem se razmatra četverokut koji se dobiva kao rezultat odlaganja jednakih segmenata na dvije okomice na jednu ravnu liniju . Istražuju se tri hipoteze: dva gornja kuta su oštra, tupa ili ravna; pokušava se pokazati da hipoteze o tupim i oštrim kutovima dovode do proturječnosti.

Drugi pristup (koristio ga je Ibn al-Haytham, Lambert) analizirao je tri slične hipoteze za četverokut s tri prava kuta.

Saccheri i Lambert su pokazali da hipoteze tupih kutova dovode do kontradikcije, ali nisu uspjeli pronaći proturječja kada su razmatrali hipoteze oštrih kutova: Saccheri je zaključio o takvoj proturječnosti samo kao rezultat pogreške, a Lambert je zaključio da prividna odsutnost kontradikcije u hipotezi o akutnom kutu nastala je zbog nekog temeljnog razloga. Lambert je otkrio da je, prihvaćajući hipotezu o oštrom kutu, zbroj kutova svakog trokuta manji od 180° za iznos proporcionalan njegovoj površini, te usporedio s ovim što je otkriveno na početku. XVII stoljeća položaj prema kojem je površina sfernog trokuta, naprotiv, veća od 180 ° za iznos proporcionalan njegovoj površini.

Godine 1763. GS Klugel je objavio "Pregled najvažnijih pokušaja dokazivanja teorije paralelnih pravaca", gdje je ispitao 30-ak dokaza 5. postulata i otkrio pogreške u njima. Klugel je zaključio da je Euklid sasvim razumno stavio svoju izjavu među postulate.

Ipak, pokušaji dokazivanja 5. postulata odigrali su vrlo važnu ulogu: pokušavajući suprotne tvrdnje dovesti u proturječnost, ovi su istraživači zapravo otkrili mnoge važne teoreme neeuklidske geometrije - posebice geometriju u kojoj je 5. postulat zamijenjen s tvrdnja o mogućnosti povući kroz zadanu točku najmanje dva ravna pravca koja ne sijeku danu. Ova izjava, ekvivalentna hipotezi o akutnom kutu, bila je osnova za otkrivače neeuklidske geometrije.

Nekoliko znanstvenika neovisno je došlo do ideje da pretpostavka alternative 5. postulatu dovodi do izgradnje geometrije različite od euklidske, ali jednako dosljedne: K.F. Gauss, N.I. Lobachevsky i J. Boyai (kao i F K. Schweickart i FA Taurinus, čiji je doprinos novoj geometriji, međutim, bio skromniji i koji nisu objavili svoja istraživanja). Gauss je, sudeći prema zapisima sačuvanim u njegovom arhivu (a objavljenim tek 1860-ih), shvatio mogućnost nove geometrije 1810-ih, ali također nikada nije objavio svoja otkrića na ovu temu: „Bojim se vapaja Beotaca (tj. budale: stanovnici regije Beotije smatrani su najglupljima u staroj Grčkoj), ako u potpunosti izrazim svoje stavove”, napisao je 1829. svom prijatelju matematičaru FV Besselu. Nesporazum je pao na sud Lobačevskog, koji je napravio prvo izvješće o novoj geometriji 1826. i objavio rezultate dobivene 1829. Godine 1842. Gauss je postigao izbor Lobačevskog za dopisnog člana Göttingenskog znanstvenog društva: to je bio jedini priznanje zasluga Lobačevskog tijekom njegova života... Otac J. Boyai - matematičar Farkash Boyai, koji je također pokušao dokazati 5. postulat - upozorio je svog sina na istraživanja u ovom smjeru: “...to vam može oduzeti slobodno vrijeme, zdravlje, mir, sve životne radosti. Ovaj crni ponor može, možda, apsorbirati tisuću takvih titana kao što je Newton, na Zemlji to nikada neće biti raščišćeno... ". Ipak, J. Boyai je 1832. objavio svoje rezultate u dodatku udžbeniku geometrije koji je napisao njegov otac. Boyai također nije postigao priznanje, štoviše, bio je uznemiren što je Lobačevski bio ispred njega: više se nije bavio neeuklidskom geometrijom. Tako je samo Lobačevski do kraja života, prvo, nastavio istraživanja u novom polju, a drugo, promovirao je svoje ideje, objavio niz knjiga i članaka o novoj geometriji.

Dakle, u ravnini Lobačevskog najmanje dvije ravne koje ne sijeku AB prolaze točkom C izvan zadanog pravca AB. Svi pravci koji prolaze kroz C podijeljeni su u dvije klase - sijeku i AB koji se ne sijeku. Ove potonje leže u određenom kutu kojeg čine dvije krajnje ravne linije koje ne sijeku AB. Upravo te linije Lobačevski naziva paralelnim s ravnom linijom AB, a kut između njih i okomice je kut paralelizma. Taj kut ovisi o udaljenosti od točke C do pravca AB: što je ta udaljenost veća, to je manji kut paralelizma. Prave koje leže unutar kuta nazivaju se divergentne u odnosu na AB.

Bilo koja dva divergentna pravca p i q imaju jednu zajedničku okomicu t, koja je najkraći odsječak od jednog do drugog. Ako se točka M pomiče duž p u smjeru od t, tada će se udaljenost od M do q povećati u beskonačnost, a baze okomica spuštenih iz M na q ispunit će samo konačan segment.

Ako se pravci p i q sijeku, tada projekcije točaka jedne od njih na drugu također ispunjavaju ograničeni segment.

Ako su ravni p i q paralelni, tada se u jednom smjeru udaljenosti između njihovih točaka neograničeno smanjuju, dok se u drugom neograničeno povećavaju; jedna ravna crta se projicira na drugu zraku.

Na slikama su prikazani različiti međusobni položaji pravih p i q, koji su mogući u geometriji Lobačevskog; r i s su okomite paralelne s q. (Prisiljeni smo nacrtati krivu liniju q, iako govorimo o ravnoj. Čak i kada bi naš svijet u cjelini poštivao zakone geometrije Lobačevskog, ipak ne bismo mogli u malom mjerilu bez izobličenja prikazati kako sve izgleda uvelike: u geometriji Lobačevskog nema sličnih figura koje nisu jednake).

Unutar kuta nalazi se ravna linija paralelna s obje strane kuta. Sve točke unutar kuta dijeli na dvije vrste: kroz točke prve vrste možete nacrtati ravne linije koje sijeku obje strane kuta; kroz točke drugog tipa ne može se povući takva ravna crta. Isto vrijedi i za prostor između paralelnih pravaca. Između dvije divergentne linije nalaze se dvije linije paralelne s objema; oni dijele prostor između divergentnih linija u tri područja: kroz točke u jednom području možete nacrtati linije koje sijeku obje strane kuta; takve se linije ne mogu povući kroz točke u druga dva područja.

Oštri kut, a ne pravi kut, uvijek počiva na promjeru kružnice. Stranica pravilnog šesterokuta upisana u krug uvijek je veća od njegovog polumjera. Za bilo koji n> 6 moguće je konstruirati kružnicu tako da je stranica pravilnog n -kuta upisana u njega jednaka njegovom polumjeru.

Lobačevskog je zanimalo pitanje geometrije fizičkog prostora, posebice je, koristeći podatke astronomskih promatranja, izračunao zbroj kutova velikih, međuzvjezdanih trokuta: međutim, razlika između ovog zbroja kutova od 180 ° u potpunosti je ležala unutar pogreške opažanja. Nesporazum koji je pao na sud Lobačevskog, koji je i sam nazvao svoju geometriju "imaginarnom", uvelike je posljedica činjenice da su se u njegovo vrijeme takve ideje činile čistim apstrakcijama i igrom mašte. Je li nova geometrija doista konzistentna? (Uostalom, čak i ako Lobačevski nije uspio naići na proturječje, to ne jamči da se kasnije neće otkriti). Kakav je to odnos prema stvarnom svijetu, kao i drugim područjima matematike? To je postalo jasno daleko od odmah, a uspjeh koji je u konačnici pao na gomilu novih ideja bio je povezan s otkrivanjem modela nove geometrije.