I. Definicija, osnovna svojstva i grafovi hiperboličkih funkcija. Hiperboličke funkcije Th matematička funkcija
11 Osnovne funkcije kompleksne varijable
Prisjetimo se definicije kompleksnog eksponenta -. Zatim
Proširenje Maclaurinove serije. Radijus konvergencije ovog niza je + ∞, što znači da je kompleksni eksponent analitičan na cijeloj kompleksnoj ravni i
(exp z) "= exp z; exp 0 = 1. (2)
Prva jednakost ovdje slijedi, na primjer, iz teorema diferencijacije pojam po članu za niz stepena.
11.1 Trigonometrijske i hiperboličke funkcije
Kompleksna varijabla sinusa nazvana funkcija
Kosinus kompleksne varijable postoji funkcija
Hiperbolički sinus kompleksne varijable definiran ovako:
Hiperbolički kosinus kompleksne varijable je funkcija
Napomenimo neka svojstva novouvedenih funkcija.
A. Ako je x∈ ℝ, onda cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ.
B. Postoji sljedeća veza između trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija:
cos iz = ch z; sin iz = ish z, ch iz = cos z; sh iz = isin z.
B. Osnovni trigonometrijski i hiperbolički identiteti:
cos 2 z + sin 2 z = 1; ch 2 z-sh 2 z = 1.
Dokaz glavnog hiperboličkog identiteta.
Glavni trigonometrijski identitet slijedi iz glavnog hiperboličkog identiteta kada se uzme u obzir veza između trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija (vidi svojstvo B)
G Formule za zbrajanje:
Posebno,
D. Za izračunavanje derivacija trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija treba primijeniti teorem o diferencijaciji stupnja po članu. dobivamo:
(cos z) "= - sin z; (sin z)" = cos z; (ch z) "= sh z; (sh z)" = ch z.
E. Funkcije cos z, ch z su parne, a funkcije sin z, sh z su neparne.
G. (periodicnost) Funkcija e z je periodična s periodom od 2π i. Funkcije cos z, sin z su periodične s periodom od 2π, a funkcije ch z, sh z su periodične s periodom od 2πi. Štoviše,
Primjenom formula zbroja dobivamo
Z. Dekompozicije na stvarne i imaginarne dijelove:
Ako jednoznačna analitička funkcija f (z) preslikava bijektivno domenu D na domenu G, tada se D naziva domenom schlichtnessa.
I. Područje D k = (x + iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Dokaz. Iz relacije (5) proizlazi da je preslikavanje exp: D k → ℂ injektivno. Neka je w bilo koji kompleksni broj različit od nule. Zatim, rješavanje jednadžbi e x = | w | i e iy = w / | w | sa realnim varijablama x i y (odaberite y iz poluintervala)