Operacije nad skupovima i njihova svojstva. Setovi. Operacije na skupovima Operacije na skupovima

Osnovni pojmovi teorije skupova

Pojam skupa je temeljni pojam u modernoj matematici. Smatrat ćemo je originalnom i intuitivno konstruirati teoriju skupova. Dajmo opis ovog početnog koncepta.

Mnogo Je zbirka predmeta (predmeta ili pojmova) koja se smatra jedinstvenom cjelinom. Objekti uključeni u ovu zbirku nazivaju se elementi skupova.

Možete govoriti o puno studenata prve godine matematičkog odjela, o puno ribe u oceanu itd. Matematiku obično zanimaju različiti matematički objekti: skup racionalnih brojeva, skup pravokutnika itd.

Skupovi će biti označeni velikim slovima latinice, a njeni elementi malim slovima.

Ako je element skupa M, onda kažu "pripada M„I napiši:. Ako neki objekt nije element skupa, onda kažu „ne pripada M„I napiši (ponekad).

Postoje dva glavna načina definiranja skupova: nabrajanje njegove elemente i indikaciju karakteristično svojstvo njegovih elemenata. Prva od ovih metoda koristi se uglavnom za konačne skupove. Prilikom navođenja elemenata skupa koji se razmatra, njegovi elementi su okruženi vitičastim zagradama. Na primjer, označava skup čiji su elementi brojevi 2, 4, 7 i samo oni. Ova metoda nije uvijek primjenjiva, jer se, na primjer, skup svih realnih brojeva ne može postaviti na ovaj način.

Karakteristično svojstvo elementi skupa M Je li takvo svojstvo kojem pripada bilo koji element koji posjeduje ovo svojstvo M, a bilo koji element koji nema ovo svojstvo ne pripada M... Skup elemenata sa svojstvom označava se kako slijedi:

ili .

Najčešći setovi imaju svoje posebne oznake. U budućnosti ćemo se pridržavati sljedećih oznaka:

N= je skup svih prirodnih brojeva;

Z= - skup svih cijelih brojeva;

- skup svih racionalnih brojeva;

R- skup svih realnih (realnih) brojeva, t.j. racionalni brojevi (beskonačni decimalni periodični razlomci) i iracionalni brojevi (beskonačni decimalni neperiodični razlomci);



- skup svih kompleksnih brojeva.

Navedimo više posebnih primjera specificiranja skupova specificiranjem karakterističnog svojstva.

Primjer 1. Skup svih prirodnih djelitelja broja 48 može se napisati na sljedeći način: (zapis se koristi samo za cijele brojeve i znači da je djeljiv sa).

Primjer 2. Skup svih pozitivnih racionalnih brojeva manjih od 7 zapisuje se na sljedeći način:.

Primjer 3. - interval realnih brojeva s krajevima 1 i 5; - segment realnih brojeva s krajevima 2 i 7.

Riječ "mnogo" sugerira da sadrži mnogo elemenata. Ali nije uvijek tako. U matematici se mogu uzeti u obzir skupovi koji sadrže samo jedan element. Na primjer, skup cjelobrojnih korijena jednadžbe ... Štoviše, zgodno je govoriti o skupu koji ne sadrži niti jedan element. Takav skup se zove prazan a označava se s Ø. Na primjer, skup realnih korijena jednadžbe je prazan.

Definicija 1. Skupovi i nazivaju se jednak(označeno sa A = B) ako se ti skupovi sastoje od istih elemenata.

Definicija 2. Ako svaki element skupa pripada skupu, tada zovemo podskup skupova.

Legenda: ("uključeno u"); ("Uključuje").

Jasno je da su Ø i sam skup podskupovi skupa. Svaki drugi podskup skupa naziva se njegovim desni dio... Ako i, onda kažu da “ A – ispravan podskup"ili ono" I to je strogo uključeno u„I napiši.

Sljedeća izjava je očita: mnoštva i jednaki su ako i samo ako i.

Ova se izjava temelji na univerzalna metoda za dokazivanje jednakosti dvaju skupova: dokazati da skupovi i su jednaki, dovoljno je to pokazati ,a je podskup skupa .

Ovo je najčešća metoda, iako ne i jedina. Kasnije ćemo, nakon što smo se upoznali s operacijama nad skupovima i njihovim svojstvima, naznačiti još jedan način dokazivanja jednakosti dvaju skupova - korištenjem transformacija.

Zaključno, napominjemo da se u jednoj ili drugoj matematičkoj teoriji često radi o podskupovima istog skupa U koji se zove univerzalni u ovoj teoriji. Na primjer, u školskoj algebri i matematičkoj analizi skup je univerzalan R realni brojevi, u geometriji - skup točaka u prostoru.

Postavite operacije i njihova svojstva

Na skupovima možete izvoditi radnje (operacije) koje nalikuju zbrajanju, množenju i oduzimanju.

Definicija 1. Konsolidacija skupova i naziva se skup, označen s, čiji svaki element pripada barem jednom od skupova ili.

Sama operacija, uslijed koje se dobiva takav skup, naziva se unija.

Kratak zapis definicije 1:

Definicija 2. Prijelaz skupovi i naziva se skup, označen s, koji sadrži sve te i samo one elemente, od kojih svaki pripada i, i.

Sama operacija, koja rezultira skupom, naziva se presjek.

Definicija 2 ukratko:

Na primjer, ako , , onda , .

Skupovi se mogu prikazati kao geometrijski oblici, što vam omogućuje vizualno ilustriranje operacija na skupovima. Ovu metodu je predložio Leonard Euler (1707–1783) za analizu logičkog zaključivanja, bila je široko korištena i dalje je razvijena u djelima engleskog matematičara Johna Venna (1834–1923). Stoga se takvi crteži nazivaju Euler-Venn dijagrami.

Operacije ujedinjenja i presjeka skupova mogu se ilustrirati Euler – Vennovim dijagramima na sljedeći način:


- zasjenjeni dio; - zasjenjeni dio.

Možete definirati uniju i sjecište bilo koje zbirke skupova, gdje je neki skup indeksa.

Definicija . Konsolidacija skup skupova je skup koji se sastoji od svih tih i samo onih elemenata, od kojih svaki pripada barem jednom od skupova.

Definicija . Prijelaz skup skupova je skup koji se sastoji od svih tih i samo onih elemenata, od kojih svaki pripada nekom od skupova.

U slučaju kada je skup indeksa konačan, npr. , zatim za označavanje unije i sjecišta zbirke skupova u ovom slučaju obično koriste zapis:

i .

Na primjer, ako , , , zatim , .

Pojmovi unije i presjeka skupova često se susreću u školskom kolegiju matematike.

Primjer 1. Mnogo M rješenja sustava nejednakosti

je presjek skupova rješenja svake od nejednakosti ovog sustava:.

Primjer 2. Mnogo M sustavna rješenja

je presjek skupova rješenja za svaku od nejednakosti ovog sustava. Skup rješenja prve jednadžbe je skup točaka na pravoj liniji, t.j. ... Mnogo . Skup se sastoji od jednog elementa - točaka presjeka linija.

Primjer 3. Skup rješenja jednadžbe

gdje , je unija skupova rješenja svake od jednadžbi, t.j.

Definicija 3. Razlika skupovi i nazvan skup, označen sa i koji se sastoji od svih onih i samo onih elemenata koji pripadaju, ali ne pripadaju .– zasjenjeni dio; ... s operacijama sjedinjenja, križanja i nadopunjavanja. Dobivena matematička struktura naziva se algebra skupova ili Booleova algebra skupova(uključujući irskog matematičara i logičara Georgea Boolea (1816-1864)). Označimo skup svih podskupova proizvoljnog skupa i nazovimo ga boolean skupova.

Dolje navedene jednakosti vrijede za sve podskupove A, B, C univerzalni set U. Stoga se zovu zakone algebre skupova.

Matematička analiza je grana matematike koja se bavi proučavanjem funkcija na temelju ideje infinitezimalne funkcije.

Osnovni pojmovi matematičke analize su vrijednost, skup, funkcija, infinitezimalna funkcija, granica, derivacija, integral.

Veličina sve što se može izmjeriti i izraziti brojem zove se.

Puno naziva se skup nekih elemenata ujedinjenih nekom zajedničkom značajkom. Elementi skupa mogu biti brojevi, figure, objekti, pojmovi itd.

Skupovi su označeni velikim slovima, a elementi su označeni višekratnicima malim slovima. Elementi skupa zatvoreni su vitičastim zagradama.

Ako element x pripada skupu x onda napiši x∈NS (∈ - pripada).
Ako je skup A dio skupa B, onda napiši A ⊂ B (⊂ - sadrži).

Skup se može specificirati na jedan od dva načina: nabrajanjem i korištenjem svojstva definiranja.

Na primjer, sljedeći skupovi su specificirani nabrajanjem:
  • A = (1,2,3,5,7) - skup brojeva
  • X = (x 1, x 2, ..., x n) - skup nekih elemenata x 1, x 2, ..., x n
  • N = (1,2, ..., n) - skup prirodnih brojeva
  • Z = (0, ± 1, ± 2, ..., ± n) - skup cijelih brojeva

Skup (-∞; + ∞) se zove brojevnu liniju, i bilo koji broj je točka ovog pravca. Neka je a proizvoljna točka na brojevnoj liniji, a δ pozitivan broj. Interval (a-δ; a + δ) se zove δ-susjedstvo točke a.

Skup X je omeđen odozgo (ispod) ako postoji broj c takav da za bilo koji x ∈ X vrijedi nejednakost x≤s (x≥c). Broj c u ovom slučaju se zove gornji (donji) rub skup X. Zove se skup omeđen i odozgo i odozdo ograničeno... Zove se najmanja (najveća) gornja (donja) granica skupa točan gornji (donji) rub ovaj set.

Osnovni skupovi brojeva

N (1,2,3, ..., n) Skup svih
Z (0, ± 1, ± 2, ± 3, ...) Skup cijeli brojevi. Skup cijelih brojeva uključuje mnogo prirodnih brojeva.
P

Mnogo racionalni brojevi.

Osim cijelih brojeva, postoje i razlomci. Razlomak je izraz oblika, gdje str- cijeli broj, q- prirodno. Decimalni razlomci se također mogu napisati kao. Na primjer: 0,25 = 25/100 = 1/4. Cijeli brojevi se također mogu napisati kao. Na primjer, kao razlomak s nazivnikom "jedan": 2 = 2/1.

Dakle, svaki racionalni broj može se zapisati kao decimalni razlomak - naravno ili beskonačan periodični.
R

Mnogi od svih realni brojevi.

Iracionalni brojevi su beskonačni neperiodični razlomci. To uključuje:

Zajedno, dva skupa (racionalni i iracionalni brojevi) - tvore skup realnih (ili realnih) brojeva.

Ako skup ne sadrži nijedan element, onda se zove prazan skup i bilježi se Ø .

Elementi logičke simbolike

Oznaka ∀x: | x |<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Quantor

Kvantifikatori se često koriste pri pisanju matematičkih izraza.

Kvantifikator je logički simbol koji kvantitativno karakterizira sljedeće elemente.

  • ∀- kvantifikator općenitosti, koristi se umjesto riječi "za sve", "za bilo koga".
  • ∃- egzistencijalni kvantifikator, koristi se umjesto riječi "postoji", "je". Također se koristi kombinacija znakova ∃ !, koja se čita kao da postoji samo jedan.

Postavite operacije

Dva skupovi A i B su jednaki(A = B) ako se sastoje od istih elemenata.
Na primjer, ako je A = (1,2,3,4), B = (3,1,4,2) onda je A = B.

Konsolidacija (zbroj) skupovi A i B naziva se skup A ∪ B, čiji elementi pripadaju barem jednom od tih skupova.
Na primjer, ako je A = (1,2,4), B = (3,4,5,6), tada je A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

raskrižje (proizvod) skupovi A i B naziva se skup A ∩ B, čiji elementi pripadaju i skupu A i skupu B.
Na primjer, ako je A = (1,2,4), B = (3,4,5,2), tada je A ∩ B = (2,4)

Razlika skupovi A i B nazivamo skup AB, čiji elementi pripadaju skupu A, ali ne pripadaju skupu B.
Na primjer, ako je A = (1,2,3,4), B = (3,4,5), tada je AB = (1,2)

Simetrična razlika skupovi A i B naziva se skup A Δ B, koji je unija razlika skupova AB i BA, odnosno A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Na primjer, ako je A = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6), tada je A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5, 6)

Svojstva operacija nad skupovima

Svojstva permutabilnosti

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Svojstvo kombinacije

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Prebrojivi i nebrojivi skupovi

Kako bi se usporedila bilo koja dva skupa A i B, uspostavlja se korespondencija između njihovih elemenata.

Ako je ova korespondencija jedan prema jedan, tada se skupovi nazivaju ekvivalentni ili ekvivalentni, A B ili B A.

Primjer 1

Skup točaka kraka BC i hipotenuze AC trokuta ABC jednake su snage.

Teorije

Postoje dva glavna pristupa konceptu skupa - naivno i aksiomatski teorija skupova.

Aksiomatska teorija skupova

Danas se skup definira kao model koji zadovoljava ZFC aksiome (Zermelo - Fraenkel aksiome s aksiomom izbora). Ovim pristupom u nekim matematičkim teorijama postoje zbirke objekata koji nisu skupovi. Takve zbirke nazivaju se klasama (različitih redova).

Element skupa

Zovu se objekti koji čine skup elementi skupa ili po točkama skupa. Skupovi se najčešće označavaju velikim slovima latinske abecede, njegovi elementi - malim. Ako je a element skupa A, onda napišite a ∈ A (a pripada A). Ako a nije element skupa A, onda napišite a∉A (i ne pripada A).

Neke vrste kompleta

  • Uređeni skup je skup na kojem je specificirana relacija uređenja.
  • Skup (točnije, naručeni par). Za razliku od samo skupa, piše se unutar zagrada: ( x 1, x 2, x 3, ...), a elementi se mogu ponoviti.

Po hijerarhiji:

Skup skupova Podskup Nadskup

Po ograničenju:

Postavite operacije

Književnost

  • Stoll R.R. Setovi. Logika. Aksiomatske teorije. - M .: Prosvjeta, 1968 .-- 232 str.

vidi također

Zaklada Wikimedia. 2010.

Pogledajte što je "Set Element" u drugim rječnicima:

    element skupa- - [L.G. Sumenko. Engleski ruski rječnik informacijske tehnologije. M .: GP TsNIIS, 2003.] element skupa Objekt bilo koje prirode, koji zajedno s drugim sličnim objektima čini skup. Često, umjesto izraza, element u ... ...

    Element skupa- predmet bilo koje prirode, koji zajedno s drugim sličnim objektima čini skup. Često umjesto pojma element u tom smislu koriste "točka skupa", "član skupa" itd. ... ...

    SET, u matematici, zbirka određenih objekata. Ti se objekti nazivaju članovima skupa. Broj elemenata može biti beskonačan ili konačan, pa čak i nula (broj elemenata u praznom skupu označava se s 0). Svaki … … Znanstveno-tehnički enciklopedijski rječnik

    element- Generalizirani pojam, koji se, ovisno o relevantnim uvjetima, može shvatiti kao površina, crta, točka. Napomene 1. Element može biti ploha (dio plohe, ravnina simetrije više površina), linija (profil ... Vodič za tehničkog prevoditelja

    Dio nečega. Jedna od mogućih etimologija ove riječi je naziv niza suglasnika latiničnim slovima L, M, N (el em en). Element (filozofija) Element je obavezan dodatak zastave, transparenta i standarda. Element skupa Elementarni ... ... Wikipedia

    Element- primarna (za ovo istraživanje model) sastavnica složene cjeline. Vidi Set Element, Element System ... Ekonomsko-matematički rječnik

    Skup je jedan od ključnih predmeta matematike, posebice teorije skupova. “Pod skupom podrazumijevamo ujedinjenje u jednu cjelinu određenih, potpuno prepoznatljivih objekata naše intuicije ili naše misli” (G. Kantor). Nije u cijelosti ... ... Wikipedia

    element- 02.01.14 element (znak ili simbol): jedan potez ili razmak u simbolu crtičnog koda ili jedna poligonalna ili kružna ćelija u matričnom simbolu, koji tvori znak simbola u ... ... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

    A; m. [od lat. elementum element, izvorna tvar] 1. Dio kojeg l .; komponenta. Rastaviti cjelinu na elemente. Koji su elementi kulture? Priroda e. proizvodnja. Sastavni elementi kojih l. // Tipično kretanje, jedan ... ... enciklopedijski rječnik

Pojam skupa odnosi se na aksiomatske koncepte matematike.

Definicija... Skup je skup, grupa, zbirka elemenata koji imaju neko zajedničko svojstvo ili značajku za sve njih.

Oznaka: A, B.

Definicija... Dva skupa A i B jednaka su ako i samo ako se sastoje od istih elemenata. A = B.

Oznaka a ∈ A (a ∉ A) znači da a nije (nije) element skupa A.

Definicija... Skup koji ne sadrži elemente naziva se prazan i označava se s ∅.

Obično se u određenim slučajevima elementi svih skupova koji se razmatraju uzimaju iz jednog, dovoljno širokog skupa U, koji se naziva univerzalni set.

Kardinalnost skupa označava se kao | M | ...
Komentar : za konačne skupove, kardinalnost je broj elemenata.

Definicija... Ako | A | = | B | , tada se skupovi pozivaju jednak.

Za ilustraciju operacija nad skupovima, često se koriste sljedeće Euler - Vennovi dijagrami... Konstrukcija dijagrama sastoji se od slike velikog pravokutnika koji predstavlja univerzalni skup U, a unutar njega - krugova koji predstavljaju skupove.

Na skupovima su definirane sljedeće operacije:

Unija A∪V: = (h / h∈A∨h∈V)

Raskrižje A∩V: = (h / h∈A & h∈V)

Razlika A \ V: = (h / h∈A & h∈V)

Komplement A U \ A: = (x / x U & x ∉ A)

Zadatak 1.1. Zadano je: a) A, B⊆Z, A = (1; 3; 4; 5; 9), B = (2; 4; 5; 10). b) A, B⊆R, A = [-3; 3), B = (2; 10].

Riješenje.

a) A∩B = (4; 5), A∪B = (1; 2; 3; 4; 5; 9; 10), A \ B = (1; 3; 9), B \ A = (2 ; 10), B = Z \ B;

b) A∩B = (2; 3), A∪B = [-3; 10], A \ B = [-3,2], B \ A =, BZ \ B = (-∞, 2] ∪ (10, + ∞).


1) Zadano je: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).

b) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].

Pronađite: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.


2) Zadano je: a) A, B ⊆ Z, A = (3; 6; 7; 10), B = (2; 3; 10; 12).

b) A, B ⊆ R, A =.

Pronađite: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.


3) Zadano je: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).

b) A, B ⊆ R, A =.


4) Zadano je: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 4; 6; 7), B = (-3; 3; 7).

b) A, B ⊆ R, A = [-15; 0), B = [-2; 1].

Pronađite: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, A.


5) Zadano je: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 9), B = (-6; 0; 3; 9).

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

Pronađite: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.


6) Zadano je: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 6; 9), B = (-6; 0; 3; 7).

b) A, B ⊆ R, A = [-8; 3), B =.

Pronađite: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.


7) Zadano je: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 2; 10), B = (-1; 2; 9; 10).

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 9), B = [-5; 15].

Pronađite: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.


8) Zadano je: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 9; 37), B = (-1; 1; 9; 11; 15).

b) A, B ⊆ R, A = [-8; 1), B = [-5; 7].

Pronađite: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.


9) Zadano je: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 9; 17), B = (-1; 1; 9; 10; 25).

b) A, B ⊆ R, A = [-4; 9), B = [-5; 7].

Pronađite: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.


10) Zadano je: a) A, B⊆Z, A = (1; 7; 9; 17), B = (-2; 1; 9; 10; 25).

b) A, B⊆R, A =.

Pronađite: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, A.

Zadatak 1.1. Koristeći Euler-Venn dijagrame, dokažite identitet:

A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).

Riješenje.

Napravimo Vennove dijagrame.

Lijeva strana jednakosti prikazana je na slici a), desna - na slici b). Iz dijagrama je očita jednakost lijeve i desne strane ove relacije.


Zadaci za samostalno rješavanje

Koristeći Euler-Venn dijagrame, dokažite identitete:

1) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C);

2) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ C;

3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A \ B) \ C = (A \ B) \ (B \ C);

5) (A \ B) \ C = (A \ B) ∪ (A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \ C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B

Zadatak 1.3. Na satu književnosti učiteljica je odlučila saznati tko je od 40 učenika u razredu pročitao knjige A, B, C. Rezultati ankete bili su sljedeći: knjigu A pročitalo je 25 učenika; Knjigu B čitalo je 22 učenika; Knjigu C čitalo je 22 učenika; knjige A ili B pročitala su 33 učenika; knjige A ili C pročitala su 32 učenika; knjige B ili C pročitao je 31 učenik; sve knjige pročitalo je 10 učenika. Odredite: 1) Koliko je učenika pročitalo samo knjigu A?

2) Koliko učenika čita samo knjigu B?

3) Koliko je učenika pročitalo samo knjigu C?

4) Koliko je učenika pročitalo samo jednu knjigu?

5) Koliko je učenika pročitalo barem jednu knjigu?

6) Koliko učenika nije pročitalo niti jednu knjigu?

Riješenje.

Neka je U skup učenika u razredu. Zatim

| U | = 40, | A | = 25, | B | = 22, | C | = 22, | A ∪ B | = 33, | A ∪ C | = 32, | B ∪ C | = 31, | A ∩ B ∩ C | = 10

Pokušajmo ilustrirati problem.

Skup učenika koji su pročitali barem jednu knjigu dijelimo na sedam podskupova k 1, k 2, k 3, k 4, k 5, k 6, k 7, pri čemu

k 1 - skup učenika koji su pročitali samo knjigu A;

k 3 - skup učenika koji su pročitali samo knjigu B;

k 7 - skup učenika koji su pročitali samo knjigu C;

k 2 - skup učenika koji su pročitali knjige A i B, a nisu pročitali knjigu C;

k 4 - skup učenika koji su pročitali knjige A i C, a nisu pročitali knjigu B;

k 6 - skup učenika koji su pročitali knjige B i C, a nisu pročitali knjigu A;

k 5 je skup učenika koji su pročitali knjige A, B i C.

Izračunajmo kardinalnost svakog od ovih podskupova.

| k 2 | = | A ∩ B | - | A ∩ B ∩ C |; | k 4 | = | A ∩ C | - | A ∩ B ∩ C |;

| k 6 | = | B ∩ C | - | A ∩ B ∩ C |; | k 5 | = | A ∩ B ∩ C |.

Tada | k 1 | = | A | - | k 2 | - | k 4 | - | k 5 |, | k 3 | = | B | - | k 2 | - | k 6 | - | k 5 |, | k 7 | = | C | - | k 6 | - | k | - | k 5 |.

Pronađite | A ∩ B |, | A ∩ C |, | B ∩ C |.

| A ∩ B | = | A | + | B | - | A ∩ B | = 25 + 22 - 33 = 14,

| A ∩ C | = | A | + | C | - | A ∩ C | = 25 + 22 - 32 = 15,

| B ∩ C | = | B | + | C | - | B ∩ C | = 22 + 22 - 31 = 13.

Tada je k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 = 22-4-3-10 = 5; k 7 = 22-5-3-10 = 4;

| A ∪ B ∪ C | = | A ∪ B | + | C | - | (A ∪ B) ∪ C | ...

Iz slike je jasno da | C | - | (A ∪ B) ∪ C | = | k 7 | = 4, onda | A ∪ B ∪ C | = 33 + 4 = 37 - broj učenika koji su pročitali barem jednu knjigu.

Budući da je u razredu 40 učenika, 3 učenika nisu pročitala niti jednu knjigu.

Odgovor:
  1. 6 učenika čita samo knjigu A.
  2. 5 učenika čita samo knjigu B.
  3. 4 učenika čitaju samo knjigu C.
  4. 15 učenika pročitalo je samo jednu knjigu.
  5. 37 učenika je pročitalo barem jednu knjigu od A, B, C.
  6. 3 učenika nisu pročitala niti jednu knjigu.

Zadaci za samostalno rješavanje

1) Tijekom tjedna u kinu su se prikazivali filmovi A, B, C. Svaki od 40 učenika pogledao je ili sva 3 filma ili jedan od tri. Film A vidio 13 školaraca. Film B vidio 16 školaraca. Film C vidio 19 školaraca. Koliko je školaraca pogledalo samo jedan film?

2) Međunarodnoj konferenciji prisustvovalo je 120 ljudi. Od toga 60 govori ruski, 48 - engleski, 32 - njemački, 21 - ruski i engleski, 19 - engleski i njemački, 15 - ruski i njemački, a 10 osoba govori sva tri jezika. Koliko sudionika konferencije ne govori nijedan od ovih jezika?

3) U sportskim natjecanjima sudjeluje školska ekipa od 20 osoba, od kojih svaka ima sportsku kategoriju u jednom ili više od tri sporta: atletika, plivanje i gimnastika. Poznato je da njih 12 ima kategorije u atletici, 10 u gimnastici i 5 u plivanju. Odredite broj školaraca iz ove ekipe koji imaju kategorije u svim sportovima, ako 2 osobe imaju kategorije u atletici i plivanju, 4 osobe u atletici i gimnastici i 2 osobe u plivanju i gimnastici.

4) Anketa od 100 studenata dala je sljedeće rezultate o broju studenata koji uče različite strane jezike: španjolski - 28; njemački - 30; Francuzi - 42; španjolski i njemački - 8; španjolski i francuski - 10; njemački i francuski - 5; sva tri jezika - 3. Koliko učenika uči njemački ako i samo ako uči francuski? 5) Anketa od 100 studenata pokazala je sljedeće podatke o broju studenata koji uče različite strane jezike: samo njemački - 18; njemački, ali ne španjolski - 23; njemački i francuski - 8; njemački - 26; Francuzi - 48; francuski i španjolski - 8; bez jezika - 24. Koliko studenata studira njemački i španjolski?

6) U izvještaju o anketiranju 100 studenata navedeno je da je broj studenata koji uče različite jezike sljedeći: sva tri jezika - 5; njemački i španjolski - 10; francuski i španjolski - 8; njemački i francuski - 20; španjolski - 30; njemački - 23; Francuzi - 50. Inspektor koji je podnio ovo izvješće smijenjen je. Zašto?

7) Međunarodnoj konferenciji prisustvovalo je 100 ljudi. Od toga 42 govore francuski, 28 - engleski, 30 - njemački, 10 - francuski i engleski, 8 - engleski i njemački, 5 - francuski i njemački, a 3 osobe govore sva tri jezika. Koliko sudionika konferencije ne govori nijedan od ovih jezika?

8) Studenti 1. godine koji studiraju informatiku na sveučilištu mogu pohađati dodatne discipline. Ove godine njih 25 odabralo je studij računovodstva, 27 biznis, a 12 turizam. Osim toga, 20 studenata pohađalo je smjer računovodstvo i poslovanje, 5 je studiralo računovodstvo i turizam, a 3 su studiralo turizam i poslovanje. Poznato je da se nitko od studenata nije usudio pohađati 3 dodatna tečaja odjednom. Koliko je studenata pohađalo barem 1 dodatni tečaj?
9) Na matematičkoj olimpijadi za pristupnike sudjelovalo je 40 učenika. Od njih se tražilo da riješe jedan problem iz algebre, jedan iz geometrije i jedan iz trigonometrije. Zadatak iz algebre rješavalo je 20 ljudi, iz geometrije - 18, iz trigonometrije - 18 osoba. Zadatke iz algebre i geometrije rješavalo je 7 osoba, iz algebre i trigonometrije - 8 osoba, iz geometrije i trigonometrije - 9 osoba. Nijedan problem nisu riješile 3 osobe. Koliko je učenika riješilo samo dva zadatka?

10) U razredu je 40 učenika. Od toga 19 osoba ima trojke na ruskom jeziku, 17 osoba iz matematike i 22 osobe iz fizike. 4 učenika imaju trojke samo na jednom ruskom jeziku, 4 - samo iz matematike i 11 - samo iz fizike. 5 učenika ima trojke iz ruskog, matematike i fizike. 7 ljudi ima trojke iz matematike i fizike. Koliko učenika ima Cs u dva od tri predmeta?

Mnogo je skup objekata koji se smatraju jednom cjelinom. Pojam skupa uzima se kao osnovni, tj. nesvodiv na druge koncepte. Objekti koji čine dati skup nazivaju se njegovim elementima. Osnovni odnos između elemenata a i koji sadrži skup A označeno kao ( a je element skupa A; ili a pripada A, ili A sadrži a). Ako a nije član skupa A, onda pišu ( a nije uključeno u A, A ne sadrži a). Skup se može specificirati navođenjem svih njegovih elemenata, a u ovom slučaju se koriste vitičaste zagrade. Dakle ( a, b, c) označava skup od tri elementa. Sličan zapis se koristi u slučaju beskonačnih skupova, a nepisani elementi zamjenjuju se elipsom. Dakle, skup prirodnih brojeva označava se sa (1, 2, 3, ...), a skup parnih brojeva (2, 4, 6, ...), a elipsa u prvom slučaju znači sve prirodne brojevi, a u drugom - samo parni.

Dva seta A i B se zovu jednak ako se sastoje od istih elemenata, t.j. A pripada B i, obrnuto, svaki element B pripada A... Onda pišu A = B... Dakle, skup je jedinstveno određen svojim elementima i ne ovisi o redoslijedu pisanja tih elemenata. Na primjer, skup od tri elementa a, b, c omogućuje šest vrsta snimanja:

{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.

Zbog formalne pogodnosti uvodi se i takozvani "prazan skup", odnosno skup koji ne sadrži niti jedan element. Označava se, ponekad, simbolom 0 (podudarnost s oznakom broja nula ne dovodi do zabune, jer je značenje simbola svaki put jasno).

Ako svaki element skupa A je uključen u mnoge B, onda A naziva podskup B, a B naziva superset A... Pišu ( A je uključen u B ili A sadržano u B, B sadrži A). Očito, ako i, onda A = B... Prazan skup se po definiciji smatra podskupom bilo kojeg skupa.

Ako svaki element skupa A je uključen u B ali puno B sadrži barem jedan element koji nije uključen A, tj. ako i, onda A pozvao vlastiti podskup B, a B - vlastiti superset A... U ovom slučaju napišite. Na primjer, zapis i označavaju istu stvar, naime da skup A nije prazan.

Također imajte na umu da je potrebno razlikovati element a i skup ( a) koji sadrži a kao jedini predmet. Ova razlika nije diktirana samo činjenicom da element i skup imaju različitu ulogu (odnos nije simetričan), već i potrebom da se izbjegne kontradikcija. Pa neka A = {a, b) sadrži dva elementa. Razmotrimo skup ( A) koji kao jedini element sadrži skup A... Zatim A sadrži dva elementa, dok ( A) je samo jedan element, pa je stoga identifikacija ova dva skupa nemoguća. Stoga se preporuča koristiti snimku, a ne snimku.



Preporuka za čitanje