Dokažite da cos. Sinus (sin x) i kosinus (cos x) – svojstva, grafikoni, formule. Kako saznati vrstu kuta bez izračunavanja kosinusa

Centrirano u točki A.
α - kut izražen u radijanima.

Definicija
Sinus (sin α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine suprotnog kraka |BC| na duljinu hipotenuze |AC|.

Kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu hipotenuze |AC|.

Prihvaćene oznake

;
;
.

Graf funkcije sinusa, y = sin x

Graf kosinusne funkcije, y = cos x

Svojstva sinusa i kosinusa

Periodičnost

Funkcije y = grijeh x i y = cos x periodic s periodom 2π.

Paritet

Funkcija sinusa je neparna. Funkcija kosinus je paran.

Područje definiranja i vrijednosti, ekstremi, porast, pad

Funkcije sinus i kosinus su kontinuirane u svojoj domeni definicije, to jest za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tablici (n - cijeli broj).

	y= grijeh x	y= cos x
Opseg i kontinuitet	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Raspon vrijednosti	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Povećavajući se
Silazni
Maksimalno, y = 1
Minimalni, y = - 1
Nule, y = 0
Točke presjeka s osi ordinata, x = 0	y= 0	y= 1

Osnovne formule

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa

Formule za sinus i kosinus iz zbroja i razlike

;
;

Formule za umnožak sinusa i kosinusa

Formule zbroja i razlike

Izražavanje sinusa kroz kosinus

;
;
;
.

Izražavanje kosinusa kroz sinus

;
;
;
.

Izražavanje kroz tangentu

; .

Kada, imamo:
; .

u:
; .

Tablica sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa

Ova tablica prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za određene vrijednosti argumenta.

Izrazi kroz kompleksne varijable

;

Eulerova formula

Izrazi preko hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; . Izvođenje formula >>>

Derivacije n-tog reda:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije sinusa i kosinusa su arksinus i arkosinus.

Arksinus, arcsin

Arkosinus, arkos

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.

Kosinusni teorem je generalizacija Pitagorinog teorema za proizvoljni trokut.

Izjava kosinusnog teorema

Za ravni trokut sa stranicama a,b,c i kutom α nasuprot stranici a vrijedi sljedeća relacija:

Korisne formule kosinusnog teorema:

Kao što se može vidjeti iz gore navedenog, pomoću kosinusnog teorema, možete pronaći ne samo stranu trokuta s dvije strane i kut između njih, možete, znajući veličine svih strana trokuta, odrediti kosinuse svih kutove, a također izračunajte veličinu bilo kojeg kuta trokuta. Izračunavanje bilo kojeg kuta trokuta s njegovih stranica posljedica je transformacije formule kosinusnog teorema.

Dokaz kosinusnog teorema

Promotrimo proizvoljni trokut ABC. Pretpostavimo da znamo veličinu stranice AC (jednaka je određenom broju b), veličinu stranice AB (jednaka je određenom broju c) i kut između tih stranica čija vrijednost jednak je α. Nađimo veličinu stranice BC (označavajući njezinu duljinu kroz varijablu a)

Za dokaz kosinusni teoremi Izvedimo dodatne konstrukcije. Iz vrha C na stranicu AB spustimo visinu CD.
Nađimo duljinu stranice AB. Kao što se može vidjeti sa slike, kao rezultat dodatne izgradnje možemo reći da
AB = AD + BD

Nađimo duljinu odsječka AD. Na temelju činjenice da je trokut ADC pravokutan, znamo duljinu njegove hipotenuze (b) i kut (α), tada se veličina stranice AD može pronaći iz omjera njegovih stranica, koristeći svojstva trigonometrijskih funkcija u pravokutnom trokutu:

AD/AC = cos α
gdje
AD = AC cos α
AD = b cos α

Duljinu stranice BD nalazimo kao razliku između AB i AD:
BD = AB - AD
BD = c − b cos α

Zapišimo sada Pitagorin poučak za dva pravokutna trokuta ADC i BDC:
za trokut BDC
CD 2 + BD 2 = BC 2
za trokut ADC
CD 2 + AD 2 = AC 2

Napomenimo da oba trokuta imaju zajedničku stranicu – CD. Odredimo njegovu duljinu za svaki trokut - njegovu vrijednost stavimo na lijevu stranu izraza, a ostatak na desnu.
CD 2= BC 2 - BD 2
CD 2= AC 2 - AD 2

Kako su lijeve strane jednadžbi (kvadrat stranice CD) jednake, izjednačavamo desne strane jednadžbi:
BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2

Na temelju ranijih proračuna već znamo da:
AD = b cos α
BD = c − b cos α
A.C. = b(po uvjetu)

A vrijednost stranice BC označavamo kao a.
BC=a
(To je ono što trebamo pronaći)

BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2
Zamijenimo slovne oznake strana rezultatima naših izračuna
a 2 - ( c − b cos α ) 2 = b 2 - ( b cos α ) 2
pomaknite nepoznatu vrijednost (a) na lijevu stranu, a preostale dijelove jednadžbe na desnu stranu
a 2 = (c − b cos α ) 2 + b 2 - (b cos α ) 2
otvorimo zagrade
a 2 = b 2 + c 2 - 2c b cos α + (b cos α) 2 - (b cos α) 2
dobivamo
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α

Kosinusni teorem je dokazan.

Što je kosinusni teorem? Zamislite ovo... Pitagorin poučak za proizvoljni trokut.

Kosinusni teorem: formulacija.

Kosinusni teorem kaže: Kvadrat bilo koje stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice trokuta umanjen za dvostruki umnožak tih stranica i kosinusa kuta između njih.

A sada ću objasniti zašto je to tako i kakve veze s tim ima Pitagorin teorem.

Uostalom, što kaže Pitagorin poučak?

Što se događa ako je, recimo, ljuto?

Što ako sam glup?

Sada ćemo saznati, odnosno prvo ćemo to formulirati, a zatim dokazati.

Dakle, za svaki (oštrokutni, tupi, pa čak i pravokutni!) trokut vrijedi sljedeće: kosinusni teorem.

Kosinusni teorem:

Što je i?

može se izraziti iz trokuta (pravokutnog!).

I evo ga (opet).

Zamijenimo:

Otkrivamo:

Iskoristimo ono što imamo i... to je to!

2 slučaj: neka.

Dakle, to jest, glupo.

A sad, pozor, razlika!

Ovo je iz, koji se sada pojavljuje vani, i

Sjećamo se toga

(procitaj topic ako si skroz zaboravio zasto je to tako).

Znaci to je to! Razlika je gotova!

Kako je bilo, to jest:

Pa, ostao je još jedan posljednji slučaj.

3 Slučaj: neka.

Dakle, . Ali tada se kosinusni teorem jednostavno pretvara u Pitagorin teorem:

U kojim problemima je kosinusni teorem koristan?

Pa, na primjer, ako imate zadane su dvije stranice trokuta i kut između njih, pa ti odmah možete li pronaći treću stranu.

Ili ako ti date su sve tri strane, onda ćete ga odmah pronaći kosinus bilo koji kut prema formuli

Pa čak i ako ti zadane dvije stranice i kut NE između njih, tada se treća strana također može pronaći rješavanjem kvadratne jednadžbe. Istina, u ovom slučaju ponekad dobijete dva odgovora i morate smisliti koji odabrati ili ostaviti oba.

Pokušajte ga koristiti i ne bojte se - kosinusni teorem je gotovo jednako jednostavan za korištenje kao i Pitagorin teorem.

TEOREM KOSINUSA. UKRATKO O GLAVNOM

Kosinusni teorem: Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice umanjen za dvostruki umnožak tih stranica i kosinusa kuta između njih:

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na proračun i, NAJVAŽNIJE, za život.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 899 RUR

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, nađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Kosinusni teorem je teorem euklidske geometrije koji generalizira Pitagorin teorem.

Kosinusni teorem:

Za ravninski trokut čije stranice a, b, c i kut α , koja je suprotna od strane a, vrijedi sljedeća relacija:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 prije Krista cosα.

Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge 2 stranice umanjen za dvostruki umnožak tih stranica i kosinusa kuta između njih.

Korolar kosinusnog teorema.

Za određivanje se koristi kosinusni teorem cos kut trokuta:

Da budem konkretan:

Kada b 2 + c 2 - a 2 > 0 , kutak α bit će začinjeno;
Kada b 2 + c 2 - a 2 = 0 , kutak α će biti ravno (kada kut α je direktan, što znači da kosinusni teorem ulazi u Pitagorin teorem);
Kada b 2 + c 2 - a 2 < 0 , kutak α bit će glup.

Klasični dokaz kosinusnog teorema.

Neka postoji trokut ABC. Od vrha C na stranu AB spustio visinu CD. Sredstva:

AD = b cos α,

DB = c - b cos α

Zapisujemo Pitagorin poučak za 2 pravokutna trokuta ADC I BDC:

h 2 = b 2 - (b cos α) 2 (1)

h 2 = a 2 - (c - b cos α) 2 (2)

Izjednačavamo desne strane jednadžbi (1) i (2):

b 2 - (b cos α) 2 = a 2 - (c - b cos α) 2

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α.

Ako je 1 od kutova na bazi tup (visina naliježe na nastavak baze), potpuno je sličan onom o kojem je gore razmotreno.

Odredite stranke b I c:

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ.

Ne znaju svi školarci, a posebno odrasli, da je kosinusni teorem izravno povezan s Pitagorinim teoremom. Točnije, ovo drugo je poseban slučaj prvog. Ova točka, kao i dva načina za dokazivanje teorema o kosinusu, pomoći će vam da postanete upućenija osoba. Osim toga, vježbanje izražavanja količina iz početnih izraza dobro razvija logičko mišljenje. Dugačka formula teorema koji proučavate sigurno će vas natjerati da naporno radite i napredujete.

Započinjanje razgovora: uvođenje notacije

Ovaj je teorem formuliran i dokazan za proizvoljni trokut. Dakle, uvijek se može koristiti, u bilo kojoj situaciji, ako su zadane dvije stranice, au nekim slučajevima i tri, i kut, a ne nužno između njih. Bez obzira na vrstu trokuta, teorem će uvijek raditi.

A sada o označavanju količina u svim izrazima. Bolje je odmah pristati, kako ne biste morali objašnjavati nekoliko puta kasnije. U tu svrhu sastavljena je sljedeća tablica.

Formulacija i matematička notacija

Dakle, kosinusni teorem je formuliran na sljedeći način:

Kvadrat stranice bilo kojeg trokuta jednak je zbroju kvadrata njegove druge dvije stranice minus dvostruki umnožak tih istih stranica i kosinusa kuta koji leži između njih.

Naravno, dugačak je, ali ako razumijete njegovu bit, bit će ga lako zapamtiti. Možete čak zamisliti da nacrtate trokut. Vizualno je uvijek lakše zapamtiti.

Formula ovog teorema će izgledati ovako:

Malo dugo, ali sve je logično. Ako malo bolje pogledate, možete vidjeti da se slova ponavljaju, što znači da nije teško zapamtiti.

Uobičajeni dokaz teorema

Budući da vrijedi za sve trokute, možete odabrati bilo koju vrstu za zaključivanje. Neka to bude lik sa svim oštrim kutovima. Promotrimo proizvoljni šiljastokutni trokut čiji je kut C veći od kuta B. Iz vrha s tim velikim kutom potrebno je spustiti okomicu na suprotnu stranicu. Nacrtana visina podijelit će trokut na dva pravokutna. Ovo će biti potrebno za dokaz.

Strana će biti podijeljena u dva segmenta: x, y. Potrebno ih je izraziti u obliku poznatih veličina. Dio koji će biti u trokutu s hipotenuzom jednakom b izrazit će se oznakom:

x = b * cos A.

Drugi će biti jednak ovoj razlici:

y = c - in * cos A.

Sada morate zapisati Pitagorin teorem za dva rezultirajuća pravokutna trokuta, uzimajući visinu kao nepoznatu vrijednost. Ove će formule izgledati ovako:

n 2 = u 2 - (u * cos A) 2,

n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.

Ove jednakosti sadrže iste izraze na lijevoj strani. To znači da će i njihove desne strane biti jednake. Lako je to zapisati. Sada morate otvoriti zagrade:

u 2 - u 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * u * cos A - u 2 * (cos A) 2.

Ako ovdje izvršite prijenos i redukciju sličnih članova, dobit ćete početnu formulu koja je napisana nakon formulacije, odnosno kosinusni teorem. Dokaz je završen.

Dokaz teorema pomoću vektora

Mnogo je kraći od prethodnog. A ako znate svojstva vektora, tada će se kosinusni teorem za trokut jednostavno dokazati.

Ako su stranice a, b, c označene redom vektorima BC, AC i AB, tada vrijedi jednakost:

BC = AC - AB.

Sada morate poduzeti neke korake. Prvi od njih je kvadriranje obje strane jednakosti:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.

Tada je jednakost potrebno prepisati u skalarnom obliku, uzimajući u obzir da je umnožak vektora jednak kosinusu kuta između njih i njihovih skalarnih vrijednosti:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

Ostaje samo da se vratimo na staru notaciju i opet dobivamo kosinusni teorem:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.

Formule za ostale stranice i sve kutove

Da biste pronašli stranu, morate izvaditi kvadratni korijen iz kosinusnog teorema. Formula za kvadrate jedne od drugih stranica izgledat će ovako:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.

Napisati izraz za kvadrat stranice V, trebate zamijeniti u prethodnoj jednakosti S na V, i obrnuto, i stavite kut B ispod kosinusa.

Iz osnovne formule teorema možemo izraziti vrijednost kosinusa kuta A:

cos A = (u 2 + c 2 - a 2) / (2 u * c).

Formule za ostale kutove izvode se na sličan način. Dobro je pokušati ih sami napisati.

Naravno, nema potrebe pamtiti ove formule. Dovoljno je razumjeti teorem i sposobnost izvođenja ovih izraza iz njegove glavne notacije.

Izvorna formula teorema omogućuje pronalaženje strane ako kut ne leži između dva poznata. Na primjer, trebate pronaći V, kada su date vrijednosti: a, c, A. Ili nepoznato S, ali ima značenja a, b, A.

U ovoj situaciji trebate pomaknuti sve članove formule ulijevo. Dobijate sljedeću jednakost:

s 2 - 2 * v * s * cos A + v 2 - a 2 = 0.

Prepišimo to u nešto drugačijem obliku:

c 2 - (2 * u * cos A) * c + (u 2 - a 2) = 0.

Lako možete vidjeti kvadratnu jednadžbu. U njemu je nepoznata količina - S, a svi ostali su dati. Stoga ga je dovoljno riješiti pomoću diskriminante. Tako će se pronaći nepoznata strana.

Formula za drugu stranu dobiva se na sličan način:

in 2 - (2 * c * cos A) * in + (c 2 - a 2) = 0.

Iz drugih izraza, takve je formule također lako dobiti neovisno.

Kako možete saznati vrstu kuta bez izračunavanja kosinusa?

Ako pažljivo pogledate formulu kosinusa kuta izvedenu ranije, primijetit ćete sljedeće:

nazivnik razlomka uvijek je pozitivan broj, jer sadrži umnožak strana koje ne mogu biti negativne;
vrijednost kuta ovisit će o predznaku brojnika.

Kut A će biti:

akutni u situaciji kada je brojnik veći od nule;
glup ako je ovaj izraz negativan;
izravna kada je jednaka nuli.

Usput, potonja situacija pretvara kosinusni teorem u Pitagorin teorem. Jer za kut od 90º njegov kosinus je nula, a zadnji član nestaje.

Prvi zadatak

Stanje

Tupi kut nekog proizvoljnog trokuta je 120º. O stranicama kojima je ograničen, zna se da je jedna od njih veća od druge, duljina je 28 cm. Potrebno je pronaći opseg trokuta.

Riješenje

Prvo morate jednu od strana označiti slovom "x". U ovom slučaju, drugi će biti jednak (x + 8). Budući da postoje izrazi za sve tri strane, možemo upotrijebiti formulu koju daje kosinusni teorem:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.

U tablicama za kosinuse trebate pronaći vrijednost koja odgovara 120 stupnjeva. To će biti broj 0,5 s predznakom minus. Sada morate otvoriti zagrade, slijedeći sva pravila, i donijeti slične uvjete:

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

Ova kvadratna jednadžba rješava se pronalaženjem diskriminante koja će biti jednaka:

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Budući da je njezina vrijednost veća od nule, jednadžba ima dva korijenska odgovora.

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

Zadnji korijen ne može biti odgovor na problem, jer strana mora biti pozitivna.