Prisilne vibracije. Rezonancija. Prisilne vibracije Mogu prisilne vibracije
Da bi sustav mogao izvoditi neprigušene oscilacije, potrebno je nadoknaditi gubitak energije osciliranja uslijed trenja izvana. Da se energija titranja sustava ne smanji, obično se uvodi sila koja periodički djeluje na sustav (takvu silu ćemo nazvati forsiranjem, a titraji su forsirani).
DEFINICIJA: prisiljeni To su oscilacije koje se javljaju u oscilatornom sustavu pod utjecajem vanjske periodički promjenjive sile.
Ova sila obično ima dvostruku ulogu:
Prvo, ljulja sustav i daje mu određenu količinu energije;
Drugo, povremeno nadoknađuje gubitke energije (potrošnja energije) kako bi se prevladale sile otpora i trenja.
Neka se pokretačka sila mijenja tijekom vremena prema zakonu:
Sastavimo jednadžbu gibanja sustava koji oscilira pod utjecajem takve sile. Pretpostavljamo da na sustav također djeluje kvazielastična sila i sila otpora medija (što je točno uz pretpostavku malih oscilacija).
Tada će jednadžba gibanja sustava izgledati ovako:
Ili 
.
Izvršivši zamjene , , - vlastite frekvencije oscilacija sustava, dobivamo nehomogenu linearnu diferencijalnu jednadžbu 2. reda:
Iz teorije diferencijalnih jednadžbi poznato je da je opće rješenje nehomogene jednadžbe jednako zbroju općeg rješenja homogene jednadžbe i partikularnog rješenja nehomogene jednadžbe.
Poznato je opće rješenje homogene jednadžbe:
,
Gdje 
; a 0 i a- proizvoljan konst.
.
Pomoću vektorskog dijagrama možete provjeriti je li ova pretpostavka točna, a također odrediti vrijednosti " a"I" j”.
Amplituda oscilacija određena je sljedećim izrazom:
.
Značenje " j”, što je veličina faznog zaostajanja prisilnog titranja 
od pogonske sile koja ga je odredila, također se određuje iz vektorskog dijagrama i iznosi:
.
Konačno, određeno rješenje nehomogene jednadžbe će imati oblik:
 |
(8.18) |
Ova funkcija, u kombinaciji s
 |
(8.19) |
daje opće rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe koja opisuje ponašanje sustava pod prisilnim oscilacijama. Član (8.19) ima značajnu ulogu u početnoj fazi procesa, tijekom tzv. uspostavljanja oscilacija (slika 8.10).
Tijekom vremena, zbog eksponencijalnog faktora, uloga drugog člana (8.19) sve više opada, a nakon dovoljno vremena može se zanemariti, zadržavajući samo član (8.18) u rješenju.
Dakle, funkcija (8.18) opisuje stacionarne prisilne oscilacije. Predstavljaju harmonijske oscilacije s frekvencijom jednakom frekvenciji pogonske sile. Amplituda prisilnih oscilacija proporcionalna je amplitudi pogonske sile. Za dani oscilatorni sustav (definiran s w 0 i b), amplituda ovisi o frekvenciji pogonske sile. Prisilne oscilacije fazno zaostaju za pogonskom silom, a veličina zaostatka “j” ovisi i o frekvenciji pogonske sile.
Ovisnost amplitude prisilnih oscilacija o frekvenciji pogonske sile dovodi do toga da pri određenoj frekvenciji određenoj za dati sustav amplituda oscilacija doseže maksimalnu vrijednost. Pokazalo se da oscilatorni sustav posebno reagira na djelovanje pogonske sile na ovoj frekvenciji. Ta se pojava naziva rezonancijom, a odgovarajuća frekvencija je rezonantna frekvencija.
DEFINICIJA: pojava u kojoj se opaža nagli porast amplitude prisilnih oscilacija naziva se rezonancija.
Rezonantna frekvencija određena je iz maksimalnog uvjeta za amplitudu prisilnih oscilacija:
. (8.20)
Zatim, zamjenom ove vrijednosti u izraz za amplitudu, dobivamo:
. (8.21)
U nedostatku otpora medija, amplituda oscilacija pri rezonanciji bi se pretvorila u beskonačnost; rezonantna frekvencija pri istim uvjetima (b = 0) podudara se s vlastitom frekvencijom titranja.
Ovisnost amplitude prisilnih oscilacija o frekvenciji pogonske sile (ili, što je isto, o frekvenciji oscilacija) može se prikazati grafički (sl. 8.11). Pojedinačne krivulje odgovaraju različitim vrijednostima "b". Što je manji "b", to je viši i desno maksimum ove krivulje (vidi izraz za w res.). S vrlo velikim prigušenjem, rezonancija se ne opaža - s povećanjem frekvencije, amplituda prisilnih oscilacija monotono opada (donja krivulja na slici 8.11).
Poziva se skup prikazanih grafova koji odgovaraju različitim vrijednostima b rezonantne krivulje.
Bilješke u vezi s krivuljama rezonancije:
Kako w®0 teži, sve krivulje dolaze do iste vrijednosti različite od nule, jednake . Ova vrijednost predstavlja pomak iz ravnotežnog položaja koji sustav prima pod utjecajem konstantne sile F 0 .
Za w®¥, sve krivulje asimptotski teže nuli, jer na visokim frekvencijama, sila mijenja svoj smjer tako brzo da sustav nema vremena da se primjetno pomakne iz svog ravnotežnog položaja.
Što je b manji, to se amplituda u blizini rezonancije više mijenja s frekvencijom, to je maksimum "oštriji".
Primjeri:
Fenomen rezonancije često se pokazuje korisnim, osobito u akustici i radiotehnici.
Gubici mehaničke energije u bilo kojem oscilatornom sustavu zbog prisutnosti sila trenja su neizbježni, stoga, bez "pumpanja" energije izvana, oscilacije će biti prigušene. Postoji nekoliko bitno različitih načina stvaranja oscilatornih sustava kontinuiranih oscilacija. Pogledajmo pobliže neprigušene oscilacije pod utjecajem vanjske periodične sile. Takve oscilacije nazivamo prisilnim. Nastavimo s proučavanjem gibanja harmonijskog njihala (sl. 6.9).
Osim prethodno spomenutih sila elastičnosti i viskoznog trenja, na loptu djeluje vanjski uvjerljiv periodična sila koja se mijenja prema harmonijskom zakonu
frekvencija, koja se može razlikovati od prirodne frekvencije njihala ω o. Priroda te sile u ovom slučaju nije nam važna. Takva se sila može stvoriti na različite načine, na primjer, prenošenjem električnog naboja na kuglu i njezinim stavljanjem u vanjsko izmjenično električno polje. Jednadžba gibanja lopte u razmatranom slučaju ima oblik
Podijelimo to s masom lopte i upotrijebimo prethodnu oznaku za parametre sustava. Kao rezultat dobivamo jednadžba prisilnih oscilacija:
Gdje f o = F o /m− omjer vrijednosti amplitude vanjske pogonske sile i mase lopte. Opće rješenje jednadžbe (3) prilično je glomazno i, naravno, ovisi o početnim uvjetima. Priroda gibanja lopte, opisana jednadžbom (3), je jasna: pod utjecajem pogonske sile nastat će oscilacije, čija će se amplituda povećati. Ovaj prijelazni režim je prilično složen i ovisi o početnim uvjetima. Nakon određenog vremena uspostavit će se oscilatorni način i njihova amplituda će se prestati mijenjati. Točno stacionarno stanje oscilacije, u mnogim je slučajevima od primarnog interesa. Nećemo razmatrati prijelaz sustava u stacionarno stanje, već ćemo se usredotočiti na opisivanje i proučavanje karakteristika ovog režima. Ovakvom formulacijom problema nema potrebe specificirati početne uvjete, budući da stacionarno stanje koje nas zanima ne ovisi o početnim uvjetima, njegove karakteristike u potpunosti su određene samom jednadžbom. Na sličnu smo situaciju naišli proučavajući gibanje tijela pod djelovanjem stalne vanjske sile i sile viskoznog trenja
Nakon nekog vremena tijelo se kreće stalnom ravnomjernom brzinom v = F o /β , koji ne ovisi o početnim uvjetima i potpuno je određen jednadžbom gibanja. Početni uvjeti određuju prijelazni režim u ustaljeno gibanje. Na temelju zdravog razuma, razumno je pretpostaviti da će u ravnomjernom načinu osciliranja kuglica oscilirati na frekvenciji vanjske pogonske sile. Stoga rješenje jednadžbe (3) treba tražiti u harmoničkoj funkciji s frekvencijom pogonske sile. Najprije riješimo jednadžbu (3), zanemarujući silu otpora
Pokušajmo pronaći njegovo rješenje u obliku harmonijske funkcije
Da bismo to učinili, izračunavamo ovisnost brzine i ubrzanja tijela o vremenu, kao derivacije zakona gibanja
i njihove vrijednosti zamijenite u jednadžbu (4)
Sada ga možete smanjiti za cosωt. Posljedično, ovaj se izraz pretvara u točan identitet u bilo kojem trenutku, podložno ispunjenju uvjeta
Time je naša pretpostavka o rješenju jednadžbe (4) u obliku (5) bila opravdana: stacionarno stanje oscilacija opisuje funkcija
Imajte na umu da koeficijent A prema rezultirajućem izrazu (6) može biti ili pozitivan (sa ω < ω o), i negativan (sa ω > ω o). Promjena predznaka odgovara promjeni faze oscilacija po π (razlog ove promjene bit će razjašnjen malo kasnije), stoga je amplituda oscilacija modul ovog koeficijenta |A|. Amplituda stacionarnih oscilacija, kao što bi se moglo očekivati, proporcionalna je veličini pogonske sile. Osim toga, ova amplituda na složen način ovisi o frekvenciji pogonske sile. Shematski grafikon ovog odnosa prikazan je na sl. 6.10
Riža. 6.10 Krivulja rezonancije
Kao što slijedi iz formule (6) i jasno je vidljivo na grafikonu, kako se frekvencija pogonske sile približava prirodnoj frekvenciji sustava, amplituda naglo raste. Razlog za ovo povećanje amplitude je jasan: pokretačka sila "tijekom" gura loptu, kada se frekvencije potpuno podudaraju, uspostavljeni način je odsutan - amplituda se povećava do beskonačnosti. Naravno, u praksi je nemoguće promatrati tako beskonačan porast: Prvo, to može dovesti do uništenja samog oscilatornog sustava, Drugo, pri velikim amplitudama oscilacija ne mogu se zanemariti sile otpora medija. Naglo povećanje amplitude prisilnih oscilacija kako se frekvencija pogonske sile približava prirodnoj frekvenciji oscilacija sustava naziva se pojava rezonancije. Prijeđimo sada na potragu za rješenjem jednadžbe prisilnih oscilacija uzimajući u obzir silu otpora
Naravno, iu ovom slučaju rješenje treba tražiti u obliku harmonijske funkcije s frekvencijom pogonske sile. Lako je vidjeti da traženje rješenja u obliku (5) u ovom slučaju neće dovesti do uspjeha. Doista, jednadžba (8), za razliku od jednadžbe (4), sadrži brzinu čestice, koja je opisana sinusnom funkcijom. Stoga se vremenski dio u jednadžbi (8) neće smanjiti. Stoga rješenje jednadžbe (8) treba prikazati u općem obliku harmonijske funkcije
u kojem postoje dva parametra A o I φ mora se pronaći pomoću jednadžbe (8). Parametar A o je amplituda prisilnih oscilacija, φ − fazni pomak između promjenjive koordinate i promjenjive pogonske sile. Pomoću trigonometrijske formule za kosinus zbroja funkcija (9) se može prikazati u ekvivalentnom obliku
koji također sadrži dva parametra B=A o cosφ I C = −A o grijehφ biti odlučan. Pomoću funkcije (10) pišemo eksplicitne izraze za ovisnosti brzine i akceleracije čestice o vremenu
i zamijenite u jednadžbu (8):
Prepišimo ovaj izraz u obliku
Da bi jednakost (13) bila zadovoljena u svakom trenutku, potrebno je da koeficijenti kosinusa i sinusa budu jednaki nuli. Na temelju ovog uvjeta dobivamo dvije linearne jednadžbe za određivanje parametara funkcije (10):
Rješenje ovog sustava jednadžbi ima oblik
Na temelju formule (10) određujemo karakteristike prisilnih oscilacija: amplitudu
pomak faze
Pri malom prigušenju, ova ovisnost ima oštar maksimum kako se približava frekvencija pokretačke sile ω prirodnoj frekvenciji sustava ω o. Dakle, u ovom slučaju također može doći do rezonancije, zbog čega se ucrtane ovisnosti često nazivaju krivulja rezonancije. Uzimanje u obzir slabog prigušenja pokazuje da se amplituda ne povećava do beskonačnosti, njegova maksimalna vrijednost ovisi o koeficijentu prigušenja - kako se potonji povećava, maksimalna amplituda brzo opada. Rezultirajuća ovisnost amplitude oscilacija o frekvenciji pogonske sile (16) sadrži previše neovisnih parametara ( f o , ω o , γ ) kako bi se konstruirala potpuna obitelj rezonantnih krivulja. Kao iu mnogim slučajevima, ovaj se odnos može značajno pojednostaviti prelaskom na "bezdimenzionalne" varijable. Pretvorimo formulu (16) u sljedeći oblik
i označavaju
− relativna frekvencija (omjer frekvencije pogonske sile i vlastite frekvencije oscilacija sustava);
− relativna amplituda (omjer amplitude oscilacije i vrijednosti odstupanja A o = f/ω o 2 na nultoj frekvenciji);
− bezdimenzionalni parametar koji određuje količinu prigušenja. Korištenjem ovih oznaka funkcija (16) je znatno pojednostavljena
budući da sadrži samo jedan parametar − δ . Jednoparametarska obitelj rezonantnih krivulja opisanih funkcijom (16 b) može se konstruirati, posebno jednostavno pomoću računala. Rezultat ove konstrukcije prikazan je na sl. 629.
riža. 6.11
Imajte na umu da se prijelaz na "konvencionalne" mjerne jedinice može izvršiti jednostavnom promjenom mjerila koordinatnih osi. Treba napomenuti da frekvencija pogonske sile, pri kojoj je amplituda prisilnih oscilacija najveća, također ovisi o koeficijentu prigušenja, blago opadajući kako se potonji povećava. Na kraju, naglašavamo da povećanje koeficijenta prigušenja dovodi do značajnog povećanja širine rezonantne krivulje. Rezultirajući fazni pomak između oscilacija točke i pogonske sile također ovisi o frekvenciji oscilacija i njihovom koeficijentu prigušenja. Pobliže ćemo se upoznati s ulogom ovog faznog pomaka pri razmatranju pretvorbe energije u procesu prisilnih oscilacija.
frekvencija slobodnih neprigušenih oscilacija podudara se s vlastitom frekvencijom, frekvencija prigušenih oscilacija nešto je manja od vlastite, a frekvencija prisilnih oscilacija podudara se s frekvencijom pogonske sile, a ne vlastitom frekvencijom.
Prisilne elektromagnetske oscilacije
Prisilno To su oscilacije koje se javljaju u oscilatornom sustavu pod utjecajem vanjskog periodičkog utjecaja.
Sl.6.12. Krug s prisilnim električnim oscilacijama
Razmotrimo procese koji se odvijaju u električnom oscilatornom krugu ( Sl.6.12), spojen na vanjski izvor, čija se emf mijenja prema harmonijskom zakonu
,
Gdje m– amplituda vanjskog EMF-a,
– ciklička frekvencija EMF.
Označimo sa U C napon na kondenzatoru i kroz ja - jakost struje u krugu. U ovom krugu osim promjenljive EMF (t) samoinducirana emf je također aktivna L u induktoru.
EMF samoindukcije izravno je proporcionalna brzini promjene struje u krugu
.
Za povlačenje diferencijalna jednadžba prisilnih oscilacija koji nastaju u takvom krugu, koristimo drugo Kirchhoffovo pravilo
.
Napon na aktivnom otporu R naći prema Ohmovom zakonu
.
Jakost električne struje jednaka je naboju koji u jedinici vremena teče kroz presjek vodiča
.
Stoga
.
napon U C na kondenzatoru upravno je proporcionalan naboju na pločama kondenzatora
.
EMF samoindukcije može se prikazati kroz drugu derivaciju naboja u odnosu na vrijeme
.
Zamjena napona i EMF-a u drugo Kirchhoffovo pravilo
.
Dijeleći obje strane ovog izraza s L i raspoređujući članove prema stupnju padajućeg reda derivacije, dobivamo diferencijalnu jednadžbu drugog reda
.
Uvedimo sljedeću oznaku i dobijemo
– koeficijent prigušenja,
– ciklička frekvencija vlastitih oscilacija kruga.
.
(1)
Jednadžba (1) je heterogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda. Ova vrsta jednadžbe opisuje ponašanje široke klase oscilatornih sustava (električnih, mehaničkih) pod utjecajem vanjskog periodičkog utjecaja (vanjski emf ili vanjska sila).
Opće rješenje jednadžbe (1) sastoji se od općeg rješenja q 1 homogena diferencijalna jednadžba (2)
(2)
i svako privatno rješenje q 2 heterogena jednadžbe (1)
.
Vrsta općeg rješenja homogena jednadžba (2) ovisi o vrijednosti koeficijenta prigušenja . Zanimat će nas slučaj slabog prigušenja << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
Gdje B I 0 – konstante određene početnim uvjetima.
Rješenje (3) opisuje prigušene oscilacije u krugu. Vrijednosti uključene u (3):
– ciklička frekvencija prigušenih oscilacija;
– amplituda prigušenih oscilacija;
–faza prigušenih oscilacija.
Tražimo određeno rješenje jednadžbe (1) u obliku harmonijskog titranja koje se javlja s frekvencijom jednakom frekvenciji vanjski periodični utjecaj - EMF, i zaostajanje u fazi po Od njega
Gdje 
– amplituda prisilnih oscilacija, ovisno o frekvenciji.
Zamijenimo (4) u (1) i dobijemo identitet
Za usporedbu faza oscilacija koristimo trigonometrijske redukcijske formule
.
Tada će naša jednadžba biti prepisana kao
Predstavimo oscilacije na lijevoj strani rezultirajućeg identiteta u obliku vektorski dijagram (riža.6.13)..
Treći član koji odgovara oscilacijama na kapacitetu S, s fazom (
t
–
) i amplituda 
, predstavljamo ga kao horizontalni vektor usmjeren udesno.
Sl.6.13. Vektorski dijagram
Prvi član na lijevoj strani, koji odgovara oscilacijama induktiviteta L, bit će prikazan na vektorskom dijagramu kao vektor usmjeren vodoravno ulijevo (njegova amplituda 
).
Drugi član koji odgovara oscilacijama otpora R, predstavljamo ga kao vektor usmjeren okomito prema gore (njegova amplituda 
), jer je njegova faza /2 iza faze prvog člana.
Budući da zbroj triju vibracija lijevo od znaka jednakosti daje harmoničnu vibraciju 
, tada vektorski zbroj na dijagramu (dijagonala pravokutnika) prikazuje oscilaciju s amplitudom 
i faza
t, koji je na
napreduje u fazi oscilacije trećeg člana.
Iz pravokutnog trokuta, koristeći Pitagorin teorem, možete pronaći amplitudu A( )
(5)
I tg kao omjer suprotne strane prema susjednoj strani.
.
(6)
Prema tome, rješenje (4) uzimajući u obzir (5) i (6) poprimit će oblik
.
(7)
Opće rješenje diferencijalne jednadžbe(1) je zbroj q 1 i q 2
.
(8)
Formula (8) pokazuje da kada je krug izložen periodičnom vanjskom EMF-u, u njemu nastaju oscilacije dviju frekvencija, tj. neprigušene oscilacije s frekvencijom vanjskog EMF-a
a prigušene oscilacije s frekvencijom 
. Amplituda prigušenih oscilacija 
S vremenom ona postaje zanemarivo mala, au krugu ostaju samo prisilne oscilacije čija amplituda ne ovisi o vremenu. Posljedično, stacionarne prisilne oscilacije opisane su funkcijom (4). To jest, u krugu se javljaju prisilne harmonijske oscilacije, s frekvencijom jednakom frekvenciji vanjskog utjecaja i amplitude 
, ovisno o ovoj frekvenciji ( riža. 3A) prema zakonu (5). U tom slučaju faza prisilnog titranja zaostaje za
od prisilnog utjecaja.
Diferencirajući izraz (4) s obzirom na vrijeme, nalazimo jakost struje u krugu
Gdje 
– amplituda struje.
Zapišimo ovaj izraz za jakost struje u obliku
,
(9)
Gdje 
–fazni pomak između struje i vanjske emf.
U skladu s (6) i riža. 2
.
(10)
Iz ove formule slijedi da fazni pomak između struje i vanjske emf ovisi o konstantnom otporu R, iz odnosa između frekvencije pogonskog EMF-a i vlastita frekvencija kruga 0 .
Ako < 0, zatim fazni pomak između struje i vanjskog EMF-a < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Ako > 0 onda > 0. Strujne fluktuacije zaostaju za fluktuacijama EMF u fazi za kut .
Ako = 0 (rezonantna frekvencija), To = 0, tj. jakost struje i emf osciliraju u istoj fazi.
Rezonancija– to je pojava naglog povećanja amplitude oscilacija kada se frekvencija vanjske, pogonske sile podudara s vlastitom frekvencijom oscilatornog sustava.
U rezonanciji = 0 i period oscilacije
.
S obzirom da koeficijent prigušenja
,
dobivamo izraze za faktor kvalitete pri rezonanciji T = T 0
,
na drugoj strani
.
Amplitude napona preko induktiviteta i kapacitivnosti pri rezonanciji mogu se izraziti kroz faktor kvalitete kruga
,
(15)
.
(16)
Iz (15) i (16) jasno je da kada
=
0, amplituda napona preko kondenzatora i induktivitet in Q puta veća od amplitude vanjske emf. Ovo je svojstvo sekvencijalnog RLC sklop se koristi za izolaciju radio signala određene frekvencije 
iz radiofrekvencijskog spektra prilikom rekonstrukcije radioprijemnika.
Na praksi RLC strujni krugovi povezani su s drugim krugovima, mjernim instrumentima ili uređajima za pojačavanje koji unose dodatno prigušenje u RLC strujni krug. Prema tome, stvarna vrijednost faktora kvalitete opterećenog RLC ispada da je krug niži od vrijednosti faktora kvalitete, procijenjenog formulom
.
Prava vrijednost faktora kvalitete može se procijeniti kao
Sl.6.14. Određivanje faktora kvalitete iz krivulje rezonancije
,
gdje je f– širina pojasa frekvencija u kojima je amplituda 0,7 maksimalne vrijednosti ( riža. 4).
Napon kondenzatora U C, na aktivnom otporu U R i na induktoru U L dostižu maksimum na različitim frekvencijama
,
,
.
Ako je prigušenje malo 0 >> , onda se sve te frekvencije praktički podudaraju i to možemo pretpostaviti
.
1. Otkrijmo koje se transformacije energije događaju tijekom oscilacija opružnog njihala (vidi sliku 80). Kada se opruga rasteže, njezina potencijalna energija raste i pri maksimalnom rastezanju ima vrijednost E n = .
Kako se teret pomiče prema položaju ravnoteže, potencijalna energija opruge se smanjuje, a kinetička energija tereta raste. U ravnotežnom položaju kinetička energija tereta je najveća E k = , a potencijalna energija opruge je nula.
Kada se opruga sabija, njezina se potencijalna energija povećava, a kinetička energija tereta smanjuje. Pri maksimalnom sabijanju potencijalna energija opruge je maksimalna, a kinetička energija tereta jednaka je nuli.
Ako zanemarimo silu trenja, tada u bilo kojem trenutku zbroj potencijalne i kinetičke energije ostaje nepromijenjen
E = E n + E k = konst.
U prisutnosti sile trenja energija se troši na rad protiv te sile, amplituda oscilacija se smanjuje i oscilacije se gase.
Dakle, slobodne oscilacije njihala, koje se javljaju zbog početne opskrbe energijom, uvijek su blijedeći.
2. Postavlja se pitanje što treba učiniti da fluktuacije ne prestanu s vremenom. Očito, za dobivanje neprigušenih oscilacija potrebno je nadoknaditi gubitke energije. To se može učiniti na različite načine. Razmotrimo jedan od njih.
Znate dobro da vibracije ljuljačke neće nestati ako je stalno gurate, odnosno djelujete na nju nekom snagom. U tom slučaju vibracije ljuljačke više nisu slobodne, već će se pojaviti pod utjecajem vanjske sile. Rad ove vanjske sile točno nadoknađuje gubitak energije uzrokovan trenjem.
Otkrijmo kolika bi trebala biti vanjska sila? Pretpostavimo da su veličina i smjer sile konstantni. Očito je da će u tom slučaju oscilacije prestati, jer se tijelo, prošavši ravnotežni položaj, neće vratiti u njega. Stoga se veličina i smjer vanjske sile moraju povremeno mijenjati.
Tako,
prisilne oscilacije su oscilacije koje nastaju pod utjecajem vanjske sile koja se povremeno mijenja.
Prisilne vibracije, za razliku od slobodnih, mogu se pojaviti na bilo kojoj frekvenciji. Frekvencija prisilnih oscilacija jednaka je frekvenciji promjene sile koja djeluje na tijelo, u ovom slučaju se zove tjeranje.
3. Napravimo eksperiment. Nekoliko njihala različitih duljina objesimo na uže učvršćeno u nosače (slika 82). Skrenimo visak A iz ravnotežnog položaja i prepustiti ga samom sebi. Slobodno će oscilirati, djelujući nekom periodičnom silom na uže. Uže će, zauzvrat, djelovati na preostala njihala. Kao rezultat toga, sva će njihala početi izvoditi prisilne oscilacije s frekvencijom njihanja njihala. A.
Vidjet ćemo da će sva njihala početi titrati frekvencijom jednakom frekvenciji njihala. A. Međutim, njihova amplituda oscilacija, osim njihala C, bit će manja od amplitude oscilacija njihala A. Visak C, čija je duljina jednaka duljini njihala A, zanjihat će se vrlo snažno. Prema tome, njihalo ima najveću amplitudu oscilacija, čija se vlastita frekvencija oscilacija podudara s frekvencijom pogonske sile. U ovom slučaju kažu da se promatra rezonancija.
Rezonancija je pojava naglog povećanja amplitude prisilnih oscilacija kada se frekvencija pogonske sile podudara s vlastitom frekvencijom oscilatornog sustava (njihala).
Rezonancija se može uočiti kada ljuljačka oscilira. Sada možete objasniti da će se ljuljačka jače njihati ako se gura u skladu s vlastitim vibracijama. U tom je slučaju frekvencija vanjske sile jednaka frekvenciji osciliranja ljuljačke. Svaki pritisak protiv kretanja ljuljačke uzrokovat će smanjenje njegove amplitude.
4 * . Otkrijmo koje se transformacije energije događaju tijekom rezonancije.
Ako se frekvencija pogonske sile razlikuje od vlastite frekvencije titranja tijela, tada će pogonska sila biti usmjerena ili u smjeru kretanja tijela ili protiv njega. Prema tome, rad ove sile će biti ili negativan ili pozitivan. Općenito, rad pogonske sile u ovom slučaju malo mijenja energiju sustava.
Neka sada frekvencija vanjske sile bude jednaka vlastitoj frekvenciji titranja tijela. U tom slučaju smjer pogonske sile poklapa se sa smjerom brzine tijela, a sila otpora kompenzira se vanjskom silom. Tijelo vibrira samo pod utjecajem unutarnjih sila. Drugim riječima, negativan rad protiv sile otpora jednak je pozitivnom radu vanjske sile. Stoga se oscilacije javljaju s maksimalnom amplitudom.
5. U praksi se mora uzeti u obzir pojava rezonancije. Konkretno, alatni strojevi i strojevi podliježu blagim vibracijama tijekom rada. Ako se frekvencija tih vibracija podudara s vlastitom frekvencijom pojedinih dijelova strojeva, tada amplituda vibracija može biti vrlo velika. Stroj ili nosač na kojem stoji će se srušiti.
Poznati su slučajevi kada se zbog rezonancije avion raspao u zraku, propeleri brodova pukli, a željezničke tračnice srušile.
Rezonancija se može spriječiti promjenom bilo prirodne frekvencije sustava ili frekvencije sile koja uzrokuje oscilacije. U tu svrhu, na primjer, vojnici koji prelaze most ne hodaju u korak, već slobodnim korakom. Inače bi se frekvencija njihovih koraka mogla poklopiti s prirodnom frekvencijom mosta i on bi se srušio. To se dogodilo 1750. godine u Francuskoj, kada je odred vojnika prešao preko 102 m dugog mosta koji je visio na lancima. Sličan incident dogodio se u St. Petersburgu 1906. Kada je konjički eskadron prešao Egipatski most preko rijeke Fontanke, frekvencija jasnog koraka konja poklopila se s frekvencijom vibracija mosta.
Kako bi se spriječila rezonancija, vlakovi prelaze mostove sporim ili vrlo velikim brzinama tako da je učestalost udara kotača o spojeve tračnica znatno manja ili znatno veća od prirodne frekvencije mosta.
Fenomen rezonancije nije uvijek štetan. Ponekad može biti korisno jer vam omogućuje da postignete veliko povećanje amplitude vibracija uz pomoć čak i male sile.
Djelovanje uređaja koji vam omogućuje mjerenje frekvencije oscilacija temelji se na fenomenu rezonancije. Ovaj uređaj se zove frekvencijski metar. Njegov rad može se ilustrirati sljedećim eksperimentom. Na centrifugalni stroj priključen je model mjerača frekvencije koji se sastoji od skupa ploča (jezika) različitih duljina (slika 83). Na krajevima ploča nalaze se limene zastavice premazane bijelom bojom. Možete primijetiti da kada promijenite brzinu rotacije ručke stroja, različite ploče počinju vibrirati. One ploče čija je vlastita frekvencija jednaka frekvenciji rotacije počinju vibrirati.
Pitanja za samotestiranje
1. Što određuje amplitudu slobodnih oscilacija opružnog njihala?
2. Je li amplituda oscilacija njihala konstantna u prisutnosti sila trenja?
3. Koje se transformacije energije događaju pri osciliranju opružnog njihala?
4. Zašto su slobodne oscilacije prigušene?
5. Koje se vibracije nazivaju prisilnim? Navedite primjere prisilnih oscilacija.
6. Što je rezonancija?
7. Navedite primjere štetnih manifestacija rezonancije. Što treba učiniti da se spriječi rezonancija?
8. Navedite primjere uporabe fenomena rezonancije.
Zadatak 26
1. Ispunite tablicu 14 i upišite koja sila djeluje na oscilatorni sustav ako vrši slobodne ili prisilne oscilacije; kolike su frekvencija i amplituda tih oscilacija; jesu li prigušene ili ne.
Tablica 14
|
Oscilacijske karakteristike |
Vrsta vibracija |
|
|
Dostupno |
Prisilno |
|
|
Djelujuća sila |
||
|
Frekvencija |
||
|
Amplituda |
||
|
Prigušenje |
||
2 e.Predložite pokus za promatranje prisilnih oscilacija.
3 e.Eksperimentalno proučite fenomen rezonancije koristeći matematička njihala koja ste napravili.
4. Pri određenoj brzini vrtnje kotača šivaćeg stroja stol na kojem stoji ponekad se snažno zaljulja. Zašto?
Prisilne oscilacije su one oscilacije koje se javljaju u sustavu kada na njega djeluje vanjska sila koja se povremeno mijenja, koja se naziva pogonska sila.
Priroda (ovisnost o vremenu) pokretačke sile može biti različita. To može biti sila koja se mijenja prema harmonijskom zakonu. Na primjer, zvučni val, čiji je izvor zvučna vilica, udara u bubnjić ili membranu mikrofona. Na membranu počinje djelovati harmonično promjenjiva sila tlaka zraka.
Pokretačka sila može biti u prirodi trzaja ili kratkih impulsa. Na primjer, odrasla osoba ljulja dijete na ljuljački, povremeno ga gurajući u trenutku kada ljuljačka dođe u jedan od svojih krajnjih položaja.
Naš zadatak je otkriti kako oscilatorni sustav reagira na utjecaj pogonske sile koja se periodički mijenja.
§ 1 Pogonska sila mijenja se po harmonijskom zakonu
F otpor = - rv x i uvjerljiva sila F out = F 0 sin wt.
Drugi Newtonov zakon bit će napisan kao:
Rješenje jednadžbe (1) traži se u obliku , gdje je rješenje jednadžbe (1) ako ne bi imala desnu stranu. Vidi se da se bez desne strane jednadžba pretvara u dobro poznatu jednadžbu prigušenih oscilacija čije rješenje već znamo. Tijekom dovoljno dugog vremena slobodne oscilacije koje nastaju u sustavu kada se on pomakne iz ravnotežnog položaja praktički će izumrijeti, au rješenju jednadžbe ostat će samo drugi član. Ovo rješenje ćemo potražiti u obrascu
Grupirajmo pojmove drugačije:
Ova jednakost mora biti zadovoljena u bilo kojem trenutku t, što je moguće samo ako su koeficijenti sinusa i kosinusa jednaki nuli.
Dakle, tijelo na koje djeluje pogonska sila, mijenjajući se po harmonijskom zakonu, vrši oscilatorno gibanje s frekvencijom pogonske sile.
Razmotrimo detaljnije pitanje amplitude prisilnih oscilacija:
1 Amplituda stacionarnih prisilnih oscilacija ne mijenja se tijekom vremena. (Usporedi s amplitudom slobodnih prigušenih oscilacija).
2 Amplituda prisilnih oscilacija izravno je proporcionalna amplitudi pogonske sile.
3 Amplituda ovisi o trenju u sustavu (A ovisi o d, a koeficijent prigušenja d ovisi o koeficijentu otpora r). Što je veće trenje u sustavu, to je manja amplituda prisilnih oscilacija.
4 Amplituda prisilnih oscilacija ovisi o frekvenciji pogonske sile w. Kako? Proučimo funkciju A(w).
Pri w = 0 (stalna sila djeluje na oscilatorni sustav) pomak tijela je konstantan tijekom vremena (treba imati na umu da se radi o stacionarnom stanju, kada su vlastite oscilacije gotovo izumrle).
· Kada je w ® ¥, tada, kao što je lako vidjeti, amplituda A teži nuli.
· Očito je da će pri određenoj frekvenciji pogonske sile amplituda prisilnih oscilacija poprimiti najveću vrijednost (za zadani d). Pojava naglog povećanja amplitude prisilnih oscilacija pri određenoj vrijednosti frekvencije pogonske sile naziva se mehanička rezonancija.
Zanimljivo je da faktor kvalitete oscilatornog sustava u ovom slučaju pokazuje koliko puta rezonantna amplituda premašuje pomak tijela iz ravnotežnog položaja pod djelovanjem konstantne sile F 0 .
Vidimo da i rezonantna frekvencija i rezonantna amplituda ovise o koeficijentu prigušenja d. Kako d pada na nulu, rezonantna frekvencija raste i teži vlastitoj frekvenciji osciliranja sustava w 0 . U tom slučaju rezonantna amplituda raste i pri d = 0 ide u beskonačnost. Naravno, u praksi amplituda oscilacija ne može biti beskonačna, jer u realnim oscilatornim sustavima uvijek djeluju sile otpora. Ako sustav ima nisko prigušenje, tada možemo približno pretpostaviti da se rezonancija javlja na frekvenciji vlastitih oscilacija:
gdje je u razmatranom slučaju fazni pomak između pogonske sile i pomaka tijela iz ravnotežnog položaja.
Lako je vidjeti da fazni pomak između sile i pomaka ovisi o trenju u sustavu i frekvenciji vanjske pogonske sile. Ta je ovisnost prikazana na slici. Jasno je da kada< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- pozitivno.
Poznavajući ovisnost o kutu, može se dobiti ovisnost o frekvenciji pogonske sile.
Na frekvencijama vanjske sile koje su znatno niže od prirodne sile, pomak malo zaostaje u fazi za pogonskom silom. Kako se frekvencija vanjske sile povećava, ovo kašnjenje faze se povećava. Pri rezonanciji (ako je mala), fazni pomak postaje jednak . Kada >> dolazi do oscilacija pomaka i sile u protufazi. Ova se ovisnost na prvi pogled može činiti čudnom. Da bismo razumjeli ovu činjenicu, okrenimo se energetskim transformacijama u procesu prisilnih oscilacija.
§ 2 Energetske transformacije
Kao što već znamo, amplituda oscilacija određena je ukupnom energijom oscilatornog sustava. Prethodno je pokazano da amplituda prisilnih oscilacija ostaje nepromijenjena tijekom vremena. To znači da se ukupna mehanička energija oscilatornog sustava ne mijenja tijekom vremena. Zašto? Uostalom, sustav nije zatvoren! Dvije sile - vanjska sila koja se povremeno mijenja i sila otpora - vrše rad koji bi trebao promijeniti ukupnu energiju sustava.
Pokušajmo shvatiti što se događa. Snaga vanjske pokretačke sile može se pronaći na sljedeći način:
Vidimo da je snaga vanjske sile koja hrani oscilatorni sustav energijom proporcionalna amplitudi titranja.
Zbog rada sile otpora, energija oscilatornog sustava trebala bi se smanjiti, pretvarajući se u unutarnju. Snaga sile otpora:
Očito je da je snaga sile otpora proporcionalna kvadratu amplitude. Nacrtajmo obje ovisnosti na graf.
Da bi oscilacije bile postojane (amplituda se ne mijenja tijekom vremena), rad vanjske sile tijekom perioda mora nadoknaditi gubitak energije sustava zbog rada sile otpora. Točka sjecišta grafova snage točno odgovara ovom režimu. Zamislimo da se iz nekog razloga amplituda prisilnih oscilacija smanjila. To će dovesti do činjenice da će trenutna snaga vanjske sile biti veća od snage gubitaka. To će dovesti do povećanja energije oscilatornog sustava, a amplituda oscilacija će vratiti svoju prethodnu vrijednost.
Na sličan način se može uvjeriti da će uz slučajno povećanje amplitude oscilacija gubici snage premašiti snagu vanjske sile, što će dovesti do smanjenja energije sustava, a posljedično i do smanjenje amplitude.
Vratimo se na pitanje faznog pomaka između pomaka i pogonske sile pri rezonanciji. Već smo pokazali da pomak zaostaje, pa stoga sila prednjači pomaku, za . S druge strane, projekcija brzine u procesu harmonijskih oscilacija uvijek je ispred koordinate za . To znači da tijekom rezonancije vanjska pogonska sila i brzina osciliraju u istoj fazi. To znači da su suusmjereni u bilo kojem trenutku! Rad vanjske sile u ovom je slučaju uvijek pozitivan, tj svi ide na popunjavanje oscilatornog sustava energijom.
§ 3 Nesinusoidni periodički utjecaj
Prisilne oscilacije oscilatora moguće su pod bilo kojim periodičnim vanjskim utjecajem, a ne samo sinusoidnim. U tom slučaju utvrđene oscilacije, općenito govoreći, neće biti sinusne, već će predstavljati periodično gibanje s periodom jednakom periodi vanjskog utjecaja.
Vanjski utjecaj mogu biti, na primjer, uzastopni udari (sjetite se kako odrasla osoba "ljulja" dijete koje sjedi na ljuljački). Ako se razdoblje vanjskih udara podudara s razdobljem vlastitih oscilacija, tada u sustavu može doći do rezonancije. Oscilacije će biti gotovo sinusne. Energija koja se prenosi sustavu pri svakom guranju nadoknađuje ukupnu energiju sustava izgubljenu zbog trenja. Jasno je da su u ovom slučaju moguće opcije: ako je energija dodijeljena tijekom guranja jednaka ili premašuje gubitke trenja po razdoblju, tada će oscilacije biti stabilne ili će se njihov opseg povećati. To je jasno vidljivo na faznom dijagramu.
Očito je da je rezonancija moguća iu slučaju kada je period ponavljanja udara višekratnik perioda vlastitih oscilacija. To je nemoguće uz sinusoidnu prirodu vanjskog utjecaja.
S druge strane, čak i ako se frekvencija udara podudara s prirodnom frekvencijom, rezonancija se možda neće primijetiti. Ako samo gubici trenja tijekom perioda premašuju energiju koju sustav primi tijekom guranja, tada će se ukupna energija sustava smanjiti i oscilacije će se prigušiti.
§ 4 Parametarska rezonancija
Vanjski utjecaj na oscilatorni sustav može se svesti na periodične promjene parametara samog oscilatornog sustava. Ovako pobuđene oscilacije nazivamo parametarskim, a sam mehanizam tzv parametarska rezonancija .
Prije svega, pokušat ćemo odgovoriti na pitanje: je li moguće uzdrmati male oscilacije koje već postoje u sustavu povremenom promjenom nekih njegovih parametara na određeni način.
Kao primjer, razmotrite osobu koja se ljulja na ljuljački. Savijanjem i ispravljanjem nogu u "pravim" trenucima on zapravo mijenja duljinu njihala. U ekstremnim položajima osoba čučne, spuštajući tako težište oscilatornog sustava, u srednjem položaju osoba se uspravlja, podižući težište sustava.
Da biste razumjeli zašto se čovjek zanjiše u isto vrijeme, razmotrite krajnje pojednostavljeni model osobe na ljuljački - obično malo visak, odnosno mali uteg na laganoj i dugoj niti. Kako bismo simulirali dizanje i spuštanje težišta, provući ćemo gornji kraj konca kroz malu rupicu i povući konac u onim trenucima kada visak prolazi preko ravnotežnog položaja, a spustiti konac isto toliko kada visak prelazi krajnji položaj.
Rad sile napetosti niti po razdoblju (uzimajući u obzir da se teret podiže i spušta dva puta po razdoblju i da D l << l):
Imajte na umu da u zagradama nema ništa više od trostruke energije oscilatornog sustava. Inače, ova količina je pozitivna, dakle, rad sile napetosti (naš rad) je pozitivan, dovodi do povećanja ukupne energije sustava, a time i do njihanja njihala.
Zanimljivo je da relativna promjena energije tijekom razdoblja ne ovisi o tome njiše li se njihalo slabo ili jako. Ovo je vrlo važno, a evo i zašto. Ako se visak ne "napumpa" energijom, tada će za svaki period gubiti određeni dio svoje energije zbog sile trenja, a oscilacije će izumrijeti. A da bi se raspon oscilacija povećao, potrebno je da dobivena energija premaši onu izgubljenu da bi se prevladalo trenje. I ovaj je uvjet, ispada, isti - i za malu amplitudu i za veliku.
Na primjer, ako se u jednoj periodi energija slobodnih oscilacija smanji za 6%, tada da se titraji njihala duljine 1 m ne priguše, dovoljno je smanjiti njegovu duljinu za 1 cm u srednjem položaju, a povećati za isti iznos u krajnjem položaju.
Povratak na zamah: ako se počnete njihati, onda nema potrebe da čučnete sve dublje i dublje - čučnite na isti način cijelo vrijeme, i letjet ćete sve više i više!
*** Opet kvaliteta!
Kao što smo već rekli, za parametarsko nakupljanje oscilacija mora biti ispunjen uvjet DE > A trenja po periodi.
Nađimo rad sile trenja tijekom razdoblja
Može se vidjeti da je relativna količina podizanja njihala za njihanje određena faktorom kvalitete sustava.
§ 5 Značenje rezonancije
Prisilne oscilacije i rezonancija imaju široku primjenu u tehnici, posebice u akustici, elektrotehnici i radiotehnici. Rezonancija se prvenstveno koristi kada se iz velikog skupa titraja različitih frekvencija žele izdvojiti titraji određene frekvencije. Rezonancija se također koristi u proučavanju vrlo slabih veličina koje se periodički ponavljaju.
Međutim, u nekim slučajevima rezonancija je nepoželjna pojava, jer može dovesti do velikih deformacija i uništenja strukture.
§ 6 Primjeri rješavanja problema
1. zadatak Prisilne oscilacije opružnog njihala pod djelovanjem vanjske sinusne sile.
Teret mase m = 10 g obješen je na oprugu krutosti k = 10 N/m i sustav je postavljen u viskozni medij koeficijenta otpora r = 0,1 kg/s. Usporedite vlastitu i rezonantnu frekvenciju sustava. Odredite amplitudu titranja njihala pri rezonanciji pod djelovanjem sinusne sile amplitude F 0 = 20 mN.
Riješenje:
1 Vlastita frekvencija oscilatornog sustava je frekvencija slobodnih titraja bez trenja. Vlastita ciklička frekvencija jednaka je frekvenciji titranja.
2 Rezonantna frekvencija je frekvencija vanjske pogonske sile pri kojoj amplituda prisilnih oscilacija naglo raste. Rezonantna ciklička frekvencija jednaka je , gdje je koeficijent prigušenja jednak .
Dakle, rezonantna frekvencija je. Lako je vidjeti da je rezonantna frekvencija manja od vlastite frekvencije! Također je jasno da što je manje trenje u sustavu (r), to je rezonantna frekvencija bliža vlastitoj frekvenciji.
3 Rezonantna amplituda je
Zadatak 2 Amplituda rezonancije i faktor kvalitete oscilatornog sustava
Teret mase m = 100 g obješen je na oprugu krutosti k = 10 N/m i sustav je postavljen u viskozni medij s koeficijentom otpora.
r = 0,02 kg/s. Odrediti kvalitetu oscilatornog sustava i amplitudu titranja njihala pri rezonanciji pod djelovanjem sinusne sile amplitude F 0 = 10 mN. Nađite omjer rezonantne amplitude i statičkog pomaka pod utjecajem stalne sile F 0 = 20 mN i usporedite taj omjer s faktorom kvalitete.
Riješenje:
1 Faktor kvalitete oscilatornog sustava jednak je , gdje je logaritamski dekrement prigušenja.
Logaritamski dekrement prigušenja jednak je .
Određivanje faktora kvalitete oscilatornog sustava.
2 Rezonantna amplituda je
3 Statički pomak pod djelovanjem stalne sile F 0 = 10 mN jednak je .
4 Omjer rezonantne amplitude i statičkog pomaka pod djelovanjem konstantne sile F 0 jednak je
Lako je vidjeti da se taj omjer podudara s faktorom kvalitete oscilatornog sustava
Problem 3 Rezonantne vibracije grede
Pod utjecajem težine elektromotora konzolni spremnik na koji je ugrađen savio se za . Pri kojoj brzini armature motora može postojati opasnost od rezonancije?
Riješenje:
1 Kućište motora i greda na kojoj je postavljen doživljavaju periodične udare rotirajuće armature motora i stoga izvode prisilne oscilacije na frekvenciji udara.
Rezonancija će se uočiti kada se frekvencija udara podudara s prirodnom frekvencijom vibracije grede s motorom. Potrebno je pronaći vlastitu frekvenciju oscilacija sustava greda-motor.
2 Analog oscilatornog sustava greda-motor može biti njihalo s vertikalnom oprugom, čija je masa jednaka masi motora. Vlastita frekvencija titranja opružnog njihala jednaka je . Ali krutost opruge i masa motora nisu poznati! Što da napravim?
3 U ravnotežnom položaju opružnog njihala, gravitacijska sila tereta uravnotežena je elastičnom silom opruge
4 Nađite rotaciju armature motora, tj. učestalost udara
Zadatak 4 Prisilne oscilacije opružnog njihala pod utjecajem periodičkih udara.
Uteg mase m = 0,5 kg obješen je o spiralnu oprugu krutosti k = 20 N/m. Logaritamski dekrement prigušenja oscilatornog sustava jednak je . Uteg žele zaljuljati kratkim poguracima, djelujući na uteg silom F = 100 mN za vrijeme τ = 0,01 s. Kolika treba biti učestalost zaveslaja da bi amplituda utega bila najveća? U kojim točkama iu kojem smjeru trebate gurati girju? Do koje amplitude će biti moguće zanjihati uteg na ovaj način?
Riješenje:
1 Prisilne vibracije mogu se pojaviti pod bilo kojim periodičnim utjecajem. U tom slučaju će se stacionarno titranje pojaviti s frekvencijom vanjskog utjecaja. Ako se razdoblje vanjskih udara podudara s frekvencijom prirodnih oscilacija, tada se u sustavu javlja rezonancija - amplituda oscilacija postaje najveća. U našem slučaju, da bi došlo do rezonancije, period udara mora se podudarati s periodom titranja opružnog njihala.
Logaritamski dekrement prigušenja je mali, stoga je u sustavu malo trenja, a period titranja njihala u viskoznom mediju praktički se podudara s periodom titranja njihala u vakuumu:
2 Očito, smjer guranja mora se podudarati s brzinom utega. U tom će slučaju rad vanjske sile koja obnavlja sustav energijom biti pozitivan. I vibracije će se pokolebati. Energija koju sustav prima tijekom procesa udara
bit će najveća kada teret prijeđe položaj ravnoteže, jer je u tom položaju brzina njihala najveća.
Dakle, sustav će se najbrže zaljuljati pod djelovanjem udaraca u smjeru kretanja tereta dok prolazi kroz ravnotežni položaj.
3 Amplituda oscilacija prestaje rasti kada je energija dodijeljena sustavu tijekom procesa udara jednaka gubitku energije uslijed trenja tijekom perioda: .
Pronaći ćemo gubitak energije kroz period kroz faktor kvalitete oscilatornog sustava
gdje je E ukupna energija oscilatornog sustava, koja se može izračunati kao .
Umjesto izgubljene energije, nadomještamo energiju koju je sustav primio tijekom udara:
Najveća brzina tijekom procesa titranja je. Uzimajući ovo u obzir, dobivamo.
§7 Zadaci za samostalno rješavanje
Test "Forsirane vibracije"
1 Koje se oscilacije nazivaju prisilnim?
A) Oscilacije koje se javljaju pod utjecajem vanjskih povremeno promjenjivih sila;
B) Oscilacije koje nastaju u sustavu nakon vanjskog udara;
2 Koje je od sljedećih oscilacija prisiljeno?
A) Osciliranje tereta obješenog o oprugu nakon njegovog jednokratnog otklona od ravnotežnog položaja;
B) Titranje membrane zvučnika tijekom rada prijemnika;
B) Osciliranje tereta obješenog o oprugu nakon jednokratnog udara tereta u ravnotežnom položaju;
D) Vibracije kućišta elektromotora tijekom njegovog rada;
D) Vibracije bubnjića osobe koja sluša glazbu.
3 Na oscilatorni sustav s vlastitom frekvencijom djeluje vanjska pokretačka sila koja se mijenja prema zakonu. Koeficijent prigušenja u oscilatornom sustavu jednak je . Po kojem se zakonu mijenja koordinata tijela tijekom vremena?
C) Amplituda prisilnih oscilacija ostat će nepromijenjena, jer će se energija koju sustav izgubi zbog trenja nadoknaditi dobitkom energije uslijed rada vanjske pogonske sile.
5 Sustav izvodi prisilne oscilacije pod djelovanjem sinusne sile. Navedite svičimbenici o kojima ovisi amplituda tih oscilacija.
A) Iz amplitude vanjske pogonske sile;
B) Prisutnost energije u oscilatornom sustavu u trenutku kada vanjska sila počinje djelovati;
C) Parametri samog oscilatornog sustava;
D) Trenje u oscilatornom sustavu;
D) Postojanje vlastitih oscilacija u sustavu u trenutku kada vanjska sila počinje djelovati;
E) Vrijeme uspostavljanja oscilacija;
G) Frekvencije vanjske pokretačke sile.
6 Blok mase m izvodi prisilne harmonijske oscilacije duž horizontalne ravnine s periodom T i amplitudom A. Koeficijent trenja μ. Koliki rad izvrši vanjska pogonska sila u vremenu jednakom periodi T?
A) 4μmgA; B) 2μmgA; B) μmgA; D) 0;
D) Nemoguće je dati odgovor jer nije poznata veličina vanjske pokretačke sile.
7 Ispravite izjavu
Rezonancija je fenomen...
A) Podudarnost frekvencije vanjske sile s vlastitom frekvencijom oscilatornog sustava;
B) Naglo povećanje amplitude prisilnih oscilacija.
Rezonancija se opaža pod uvjetom
A) Smanjenje trenja u oscilatornom sustavu;
B) Povećanje amplitude vanjske pogonske sile;
C) Podudarnost frekvencije vanjske sile s vlastitom frekvencijom oscilatornog sustava;
D) Kada se frekvencija vanjske sile podudara s rezonantnom frekvencijom.
8 Fenomen rezonancije može se uočiti u...
A) U bilo kojem oscilatornom sustavu;
B) U sustavu koji izvodi slobodne oscilacije;
B) U samooscilirajućem sustavu;
D) U sustavu koji prolazi kroz prisilne oscilacije.
9 Na slici je prikazan graf ovisnosti amplitude prisilnih oscilacija o frekvenciji pogonske sile. Rezonancija se javlja na frekvenciji...
10 Tri identična njihala smještena u različitim viskoznim medijima izvode prisilne oscilacije. Slika prikazuje krivulje rezonancije za ova njihala. Koje njihalo tijekom njihanja doživljava najveći otpor viskoznog medija?
A) 1; B) 2; NA 3;
D) Nemoguće je dati odgovor, budući da amplituda prisilnih oscilacija, osim o frekvenciji vanjske sile, ovisi i o njezinoj amplitudi. Uvjet ne govori ništa o amplitudi vanjske pogonske sile.
11 Period vlastitih oscilacija oscilatornog sustava jednak je T 0. Koliki može biti period udara da se amplituda oscilacija naglo poveća, odnosno da u sustavu nastane rezonancija?
A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;
C) Ljuljačka se može ljuljati guranjima bilo koje frekvencije.
12 Vaš mlađi brat sjedi na ljuljački, vi ga ljuljate kratkim guranjima. Koje bi trebalo biti razdoblje sukcesije šokova da bi se proces odvijao najučinkovitije? Period vlastitih oscilacija ljuljačke T 0.
D) Ljuljačka se može ljuljati guranjima bilo koje frekvencije.
13 Vaš mlađi brat sjedi na ljuljački, vi ga ljuljate kratkim guranjima. U kojem položaju zamaha treba izvršiti potisak iu kojem smjeru treba izvršiti potisak da bi se proces odvijao najučinkovitije?
A) Gurnite u najvišoj poziciji zamaha prema ravnotežnom položaju;
B) Potisak u krajnjem gornjem položaju zamaha u smjeru od ravnotežnog položaja;
B) Gurnite se u ravnotežnom položaju u smjeru kretanja zamaha;
D) Možete se gurati u bilo kojem položaju, ali uvijek u smjeru kretanja zamaha.
14 Čini se da pucanjem iz praćke na most u ritmu njegovih vlastitih vibracija i stvaranjem puno hitaca, možete ga snažno zamahnuti, ali malo je vjerojatno da će to uspjeti. Zašto?
A) Masa mosta (njegova inercija) je velika u usporedbi s masom "metka" iz praćke, most se neće moći pomaknuti pod utjecajem takvih udaraca;
B) Sila udara "metka" iz praćke je toliko mala da se most neće moći pomaknuti pod utjecajem takvih udaraca;
C) Energija dodijeljena mostu u jednom udarcu mnogo je manja od gubitka energije uslijed trenja tijekom razdoblja.
15 Nosite kantu vode. Voda u kanti zanjiše se i prsne. Što se može učiniti da se to ne dogodi?
A) Zamahnite rukom u kojoj se nalazi kanta u ritmu hodanja;
B) Promijeniti brzinu kretanja, ostavljajući duljinu koraka nepromijenjenom;
C) Povremeno se zaustavite i pričekajte da se vibracije vode smire;
D) Provjerite je li tijekom kretanja ruka s kantom postavljena strogo okomito.
Zadaci
1 Sustav izvodi prigušene oscilacije s frekvencijom od 1000 Hz. Odredite frekvenciju v 0 prirodne vibracije, ako je rezonantna frekvencija
2 Odredite za koju vrijednost D v rezonantna frekvencija razlikuje se od prirodne frekvencije v 0= 1000 Hz oscilatorni sustav, karakteriziran koeficijentom prigušenja d = 400s -1.
3 Teret mase 100 g, obješen na oprugu krutosti 10 N/m, izvodi prisilne oscilacije u viskoznom sredstvu s koeficijentom otpora r = 0,02 kg/s. Odredite koeficijent prigušenja, rezonantnu frekvenciju i amplitudu. Vrijednost amplitude pogonske sile je 10 mN.
4 Amplitude prisilnih harmonijskih oscilacija na frekvencijama w 1 = 400 s -1 i w 2 = 600 s -1 su jednake. Odredite rezonantnu frekvenciju.
5 Kamioni ulaze u skladište žitarica po zemljanom putu s jedne strane, istovaraju se i izlaze iz skladišta istom brzinom, ali s druge strane. Koja strana skladišta ima više rupa na cesti od druge? Kako na temelju stanja ceste odrediti s koje je strane skladišta ulaz, a s koje izlaz? Obrazložite odgovor
Prisilne vibracije vibracije koje se javljaju u bilo kojem sustavu pod utjecajem promjenjive vanjske sile (primjerice, vibracije telefonske membrane pod utjecajem izmjeničnog magnetskog polja, vibracije mehaničke strukture pod utjecajem promjenjivog opterećenja itd.). Priroda vojnog sustava određena je i prirodom vanjske sile i svojstvima samog sustava. Na početku djelovanja periodične vanjske sile, priroda V. c. se mijenja s vremenom (osobito V. c. nisu periodične), a tek nakon nekog vremena uspostavljaju se periodične V. c sustav s periodom jednakom periodi vanjske sile (steady-state VC.). Do uspostave napona u oscilatornom sustavu dolazi to brže što je prigušenje titraja u tom sustavu veće. Konkretno, u linearnim oscilatornim sustavima (vidi Oscilatorni sustavi), kada se uključi vanjska sila, u sustavu se istovremeno javljaju slobodne (ili prirodne) oscilacije i oscilacije, a amplitude tih oscilacija u početnom trenutku su jednake, a faze su suprotne ( riža.
). Nakon postupnog slabljenja slobodnih oscilacija u sustavu ostaju samo stacionarne oscilacije. Amplituda VK određena je amplitudom sile koja djeluje i prigušenjem u sustavu. Ako je slabljenje malo, tada amplituda naponskog vala bitno ovisi o odnosu frekvencije djelovajuće sile i frekvencije vlastitih oscilacija sustava. Kako se frekvencija vanjske sile približava prirodnoj frekvenciji sustava, amplituda VK naglo raste - dolazi do rezonancije. U nelinearnim sustavima (Vidi Nelinearni sustavi) podjela na slobodne i VK nije uvijek moguća. Lit.: Khaikin S.E., Fizičke osnove mehanike, M., 1963.
Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .
Pogledajte što su "prisilne oscilacije" u drugim rječnicima:
Prisilne vibracije- Prisilne vibracije. Ovisnost njihove amplitude o frekvenciji vanjskog utjecaja pri različitom prigušenju: 1 slabo prigušenje; 2 jako prigušenje; 3 kritično prigušenje. PRISILNE VIBRACIJE, oscilacije koje se javljaju u bilo kojem sustavu u... ... Ilustrirani enciklopedijski rječnik
prisilne oscilacije- Oscilacije koje se javljaju pod periodičkim utjecajem vanjske generalizirane sile. Sustav ispitivanja bez razaranja. Vrste (metode) i tehnologija ispitivanja bez razaranja. Termini i definicije (priručnik). Moskva 2003] prisiljeni... ... Vodič za tehničke prevoditelje
Prisilne oscilacije su oscilacije koje nastaju pod utjecajem vanjskih sila koje se mijenjaju tijekom vremena. Autooscilacije se razlikuju od prisilnih oscilacija po tome što su potonje uzrokovane povremenim vanjskim utjecajima i javljaju se s učestalošću ove ... Wikipedia
PRISILNE VIBRACIJE, vibracije koje se javljaju u bilo kojem sustavu kao posljedica povremeno promjenjivih vanjskih utjecaja: sile u mehaničkom sustavu, napona ili struje u oscilatornom krugu. Prisilne oscilacije uvijek se javljaju s... ... Moderna enciklopedija
Oscilacije koje nastaju u kozmičkom l. sustava pod utjecajem periodičnih ekst. sile (primjerice, vibracije telefonske membrane pod utjecajem izmjeničnog magnetskog polja, vibracije mehaničke strukture pod utjecajem izmjeničnog opterećenja). Har r V. k definiran je kao vanjski. na silu... Fizička enciklopedija
Oscilacije koje nastaju u kozmičkom l. sustava pod utjecajem izmjeničnih ekst. utjecaji (na primjer, fluktuacije napona i struje u električnom krugu uzrokovane izmjeničnom emf; vibracije mehaničkog sustava uzrokovane izmjeničnim opterećenjem). Lik V. K. određen je... ... Veliki enciklopedijski politehnički rječnik
Nastaju u sustavu pod utjecajem periodičkih vanjskih utjecaja (primjerice, prisilni titraji njihala pod utjecajem periodične sile, prisilni titraji u oscilatornom krugu pod utjecajem periodične elektromotorne sile). ako…… Veliki enciklopedijski rječnik
Prisilne vibracije- (vibracija) – oscilacije (vibracije) sustava uzrokovane i podržane silom i (ili) kinematičkom pobudom. [GOST 24346 80] Prisilne vibracije su vibracije sustava uzrokovane djelovanjem vremenski promjenjivih opterećenja. [Industrija... ... Enciklopedija pojmova, definicija i objašnjenja građevinskih materijala
- (Constrained vibrations, forced vibrations) vibracije tijela uzrokovane povremeno djelujućom vanjskom silom. Ako se period prisilnih oscilacija poklapa s periodom vlastitih oscilacija tijela, javlja se pojava rezonancije. Samoilov K.I.... ...Pomorski rječnik
PRISILNE VIBRACIJE- (vidi), koji nastaje u bilo kojem sustavu pod utjecajem vanjskog promjenjivog utjecaja; njihov karakter određen je kako svojstvima vanjskog utjecaja tako i svojstvima samog sustava. Kako se učestalost vanjskih utjecaja približava učestalosti prirodnih... Velika politehnička enciklopedija
Nastaju u sustavu pod utjecajem periodičnih vanjskih utjecaja (primjerice, prisilne oscilacije njihala pod utjecajem periodične sile, prisilne oscilacije u oscilatornom krugu pod utjecajem periodične emf). Ako je frekvencija... ... enciklopedijski rječnik
knjige
- Prisilne vibracije torzije osovine uzimajući u obzir prigušenje, A.P. Filippov, Reproducirano izvornim autorovim pravopisom izdanja iz 1934. (izdavačka kuća Izvestia Akademije znanosti SSSR-a). U… Kategorija: Matematika Izdavač: YOYO Media, Proizvođač: Yoyo Media,
- Prisilne poprečne vibracije šipki uzimajući u obzir prigušenje, A.P. Filippov, Reproducirano izvornim autorovim pravopisom izdanja iz 1935. (izdavačka kuća "Izvestia of the USSR Academy of Sciences")... Kategorija: