Prisilne vibracije. Rezonancija. Prisilne vibracije Može prisilne vibracije
Da bi sistem vršio neprigušene oscilacije, potrebno je nadoknaditi gubitak energije oscilovanja usled trenja spolja. Kako bi se osiguralo da se energija oscilovanja sistema ne smanji, obično se uvodi sila koja periodično djeluje na sistem (takvu silu ćemo nazvati forsiranjem, a oscilacije su prisilne).
DEFINICIJA: prisiljen To su oscilacije koje se javljaju u oscilatornom sistemu pod uticajem spoljašnje periodično promenljive sile.
Ova sila obično igra dvostruku ulogu:
Prvo, ljulja sistem i daje mu određenu količinu energije;
Drugo, periodično nadopunjuje gubitke energije (potrošnja energije) kako bi se savladale sile otpora i trenja.
Neka se pokretačka snaga vremenom mijenja u skladu sa zakonom:
Sastavimo jednačinu kretanja za sistem koji oscilira pod uticajem takve sile. Pretpostavljamo da na sistem takođe utiču kvazielastična sila i sila otpora sredine (što je tačno pod pretpostavkom malih oscilacija).
Tada će jednačina kretanja sistema izgledati ovako:
Or 
.
Nakon što smo izvršili zamjene , , - prirodnu frekvenciju oscilacija sistema, dobili smo nehomogenu linearnu diferencijalnu jednačinu 2. reda:
Iz teorije diferencijalnih jednadžbi je poznato da je opšte rešenje nehomogene jednačine jednako zbiru opšteg rešenja homogene jednačine i određenog rešenja nehomogene jednačine.
Opšte rješenje homogene jednadžbe je poznato:
,
Gdje 
; a 0 i a- proizvoljna konst.
.
Koristeći vektorski dijagram, možete provjeriti da li je ova pretpostavka tačna, a također odrediti vrijednosti " a" i " j”.
Amplituda oscilacija određena je sljedećim izrazom:
.
značenje " j“, što je veličina faznog kašnjenja prinudne oscilacije 
od pokretačke sile koja ga je odredila, također se određuje iz vektorskog dijagrama i iznosi:
.
Konačno, određeno rješenje nehomogene jednadžbe će poprimiti oblik:
 |
(8.18) |
Ova funkcija u kombinaciji sa
 |
(8.19) |
daje opšte rješenje nehomogene diferencijalne jednačine koja opisuje ponašanje sistema pod prisilnim oscilacijama. Pojam (8.19) igra značajnu ulogu u početnoj fazi procesa, tokom takozvanog uspostavljanja oscilacija (slika 8.10).
Tokom vremena, zbog eksponencijalnog faktora, uloga drugog člana (8.19) sve više opada, a nakon dovoljno vremena može se zanemariti, zadržavajući samo član (8.18) u rješenju.
Dakle, funkcija (8.18) opisuje prisilne oscilacije u stacionarnom stanju. Oni predstavljaju harmonijske oscilacije sa frekvencijom jednakom frekvenciji pokretačke sile. Amplituda prinudnih oscilacija proporcionalna je amplitudi pogonske sile. Za dati oscilatorni sistem (definisan sa w 0 i b), amplituda zavisi od frekvencije pokretačke sile. Prisilne oscilacije zaostaju za pokretačkom silom u fazi, a veličina zaostajanja “j” takođe zavisi od frekvencije pokretačke sile.
Ovisnost amplitude prisilnih oscilacija o frekvenciji pokretačke sile dovodi do toga da na određenoj frekvenciji određenoj za dati sistem amplituda oscilacija dostiže maksimalnu vrijednost. Pokazalo se da oscilatorni sistem posebno reagira na djelovanje pokretačke sile na ovoj frekvenciji. Ova pojava se zove rezonancija, a odgovarajuća frekvencija je rezonantna frekvencija.
DEFINICIJA: pojava u kojoj se uočava naglo povećanje amplitude prisilnih oscilacija naziva se rezonancija.
Rezonantna frekvencija se određuje iz maksimalnog uslova za amplitudu prisilnih oscilacija:
. (8.20)
Zatim, zamjenom ove vrijednosti u izraz za amplitudu, dobijamo:
. (8.21)
U nedostatku otpora medija, amplituda oscilacija u rezonanciji bi se pretvorila u beskonačnost; rezonantna frekvencija pod istim uslovima (b = 0) poklapa se sa prirodnom frekvencijom oscilacija.
Zavisnost amplitude prisilnih oscilacija od frekvencije pokretačke sile (ili, što je isto, od frekvencije oscilovanja) može se prikazati grafički (slika 8.11). Pojedinačne krive odgovaraju različitim vrijednostima "b". Što je manji “b”, to je veći i desno maksimum ove krive (vidi izraz za w res.). Uz vrlo veliko prigušenje, rezonancija se ne opaža - sa povećanjem frekvencije, amplituda prisilnih oscilacija monotono opada (donja kriva na slici 8.11).
Zove se skup prikazanih grafova koji odgovaraju različitim vrijednostima b rezonantne krive.
Bilješke u vezi rezonantnih krivulja:
Kako w®0 teži, sve krive dolaze na istu vrijednost različitu od nule, jednaku . Ova vrijednost predstavlja pomak iz ravnotežnog položaja koji sistem prima pod uticajem konstantne sile F 0 .
Za w®¥, sve krive asimptotski teže nuli, jer na visokim frekvencijama, sila mijenja svoj smjer tako brzo da sistem nema vremena da se primjetno pomakne iz svog ravnotežnog položaja.
Što je b manji, što se amplituda blizu rezonancije više mijenja sa frekvencijom, to je maksimum „oštriji“.
Primjeri:
Fenomen rezonancije se često pokaže korisnim, posebno u akustici i radiotehnici.
Gubici mehaničke energije u bilo kojem oscilatornom sistemu zbog prisustva sila trenja su neizbježni, stoga će bez „pumpanja“ energije izvana oscilacije biti prigušene. Postoji nekoliko fundamentalno različitih načina za stvaranje oscilatornih sistema kontinuiranih oscilacija. Pogledajmo izbliza neprigušene oscilacije pod uticajem vanjske periodične sile. Takve oscilacije se nazivaju prisilne. Nastavimo proučavati kretanje harmonijskog klatna (slika 6.9).
Pored prethodno razmatranih sila elastičnosti i viskoznog trenja, na loptu djeluje vanjski uvjerljiv periodična sila koja varira u skladu sa harmonijskim zakonom
frekvencija, koja se može razlikovati od prirodne frekvencije oscilacije klatna ω o. Priroda ove sile u ovom slučaju nam nije bitna. Takva sila može se stvoriti na različite načine, na primjer, davanjem električnog naboja lopti i stavljanjem u vanjsko naizmjenično električno polje. Jednačina kretanja lopte u predmetnom slučaju ima oblik
Podijelimo ga sa masom lopte i koristimo prethodnu notaciju za parametre sistema. Kao rezultat dobijamo jednadžba prisilnih oscilacija:
Gdje f o = F o /m− omjer vrijednosti amplitude vanjske pogonske sile i mase lopte. Opšte rješenje jednačine (3) je prilično glomazno i naravno ovisi o početnim uvjetima. Priroda kretanja lopte, opisana jednadžbom (3), je jasna: pod uticajem pogonske sile nastaće oscilacije čija će se amplituda povećati. Ovaj prelazni režim je prilično složen i zavisi od početnih uslova. Nakon određenog vremenskog perioda, oscilatorni režim će se uspostaviti i njihova amplituda će prestati da se menja. Upravo stabilno stanje oscilovanja, u mnogim slučajevima je od primarnog interesa. Nećemo razmatrati prelazak sistema u stabilno stanje, već ćemo se fokusirati na opisivanje i proučavanje karakteristika ovog režima. Ovom formulacijom problema nema potrebe za specificiranjem početnih uslova, budući da stacionarno stanje koje nas zanima ne zavisi od početnih uslova, njegove karakteristike su u potpunosti određene samom jednačinom. Sličnu situaciju naišli smo kada smo proučavali kretanje tijela pod djelovanjem stalne vanjske sile i sile viskoznog trenja.
Nakon nekog vremena, tijelo se kreće konstantnom ravnomjernom brzinom v = F o /β , koja ne zavisi od početnih uslova i potpuno je određena jednadžbom kretanja. Početni uslovi određuju prelazni režim u stacionarno kretanje. Na osnovu zdravog razuma, razumno je pretpostaviti da će u stacionarnom modu osciliranja lopta oscilirati na frekvenciji vanjske pokretačke sile. Stoga rješenje jednačine (3) treba tražiti u harmonijskoj funkciji sa frekvencijom pokretačke sile. Prvo, riješimo jednačinu (3), zanemarujući silu otpora
Pokušajmo pronaći njegovo rješenje u obliku harmonijske funkcije
Da bismo to učinili, izračunavamo ovisnost brzine i ubrzanja tijela o vremenu, kao derivate zakona kretanja
i zamijenite njihove vrijednosti u jednadžbu (4)
Sada ga možete smanjiti za cosωt. Posljedično, ovaj izraz se pretvara u ispravan identitet u bilo kojem trenutku, podložno ispunjenju uvjeta
Tako je opravdana naša pretpostavka o rješenju jednadžbe (4) u obliku (5) : stacionarno stanje oscilacija opisano je funkcijom
Imajte na umu da je koeficijent A prema rezultujućem izrazu (6) može biti bilo pozitivno (sa ω < ω o), i negativni (sa ω > ω o). Promjena predznaka odgovara promjeni faze oscilacija za π (razlog ove promjene bit će razjašnjen malo kasnije), stoga je amplituda oscilacija modul ovog koeficijenta |A|. Kao što bi se očekivalo, amplituda stabilnih oscilacija proporcionalna je veličini pokretačke sile. Osim toga, ova amplituda na složen način ovisi o frekvenciji pokretačke sile. Šematski grafikon ovog odnosa prikazan je na Sl. 6.10
Rice. 6.10 Rezonantna kriva
Kao što slijedi iz formule (6) i jasno je vidljivo na grafikonu, kako se frekvencija pokretačke sile približava prirodnoj frekvenciji sistema, amplituda naglo raste. Razlog za ovo povećanje amplitude je jasan: pokretačka sila "tokom" gura loptu, kada se frekvencije potpuno poklapaju, uspostavljeni režim je odsutan - amplituda se povećava do beskonačnosti. Naravno, u praksi je nemoguće uočiti tako beskonačno povećanje: Prvo, to može dovesti do uništenja samog oscilatornog sistema, Drugo, pri velikim amplitudama oscilacija, sile otpora sredine se ne mogu zanemariti. Naglo povećanje amplitude prisilnih oscilacija kako se frekvencija pokretačke sile približava prirodnoj frekvenciji oscilacija sistema naziva se fenomen rezonancije. Prijeđimo sada na potragu za rješenjem jednadžbe prisilnih oscilacija uzimajući u obzir silu otpora
Naravno, i u ovom slučaju rješenje treba tražiti u obliku harmonijske funkcije sa frekvencijom pokretačke sile. Lako je vidjeti da traženje rješenja u obliku (5) u ovom slučaju neće dovesti do uspjeha. Zaista, jednačina (8), za razliku od jednačine (4), sadrži brzinu čestice koja je opisana sinusnom funkcijom. Stoga se vremenski dio u jednačini (8) neće smanjiti. Stoga rješenje jednačine (8) treba predstaviti u općem obliku harmonijske funkcije
u kojoj postoje dva parametra A o I φ mora se naći pomoću jednačine (8). Parametar A o je amplituda prisilnih oscilacija, φ − fazni pomak između promjenjive koordinate i promjenjive pokretačke sile. Koristeći trigonometrijsku formulu za kosinus sume, funkcija (9) se može predstaviti u ekvivalentnom obliku
koji takođe sadrži dva parametra B=A o cosφ I C = −A o sinφ da se utvrdi. Pomoću funkcije (10) pišemo eksplicitne izraze za ovisnosti brzine i ubrzanja čestice od vremena
i zamijeniti u jednačinu (8):
Prepišimo ovaj izraz u obliku
Da bi jednakost (13) bila zadovoljena u svakom trenutku, potrebno je da koeficijenti kosinusa i sinusa budu jednaki nuli. Na osnovu ovog uvjeta dobivamo dvije linearne jednadžbe za određivanje parametara funkcije (10):
Rješenje ovog sistema jednačina ima oblik
Na osnovu formule (10) određujemo karakteristike prisilnih oscilacija: amplituda
fazni pomak
Pri malom slabljenju, ova ovisnost ima oštar maksimum kako se frekvencija pokretačke sile približava ω na prirodnu frekvenciju sistema ω o. Dakle, u ovom slučaju može doći i do rezonancije, zbog čega se ucrtane zavisnosti često nazivaju rezonantna kriva. Uzimajući u obzir slabo slabljenje pokazuje da se amplituda ne povećava do beskonačnosti, njegova maksimalna vrijednost ovisi o koeficijentu slabljenja - kako se potonji povećava, maksimalna amplituda brzo opada. Rezultirajuća zavisnost amplitude oscilacije od frekvencije pokretačke sile (16) sadrži previše nezavisnih parametara ( f o , ω o , γ ) kako bi se konstruisala kompletna familija rezonantnih krivulja. Kao iu mnogim slučajevima, ovaj odnos se može značajno pojednostaviti prelaskom na „bezdimenzionalne” varijable. Pretvorimo formulu (16) u sljedeći oblik
i označiti
− relativna frekvencija (odnos frekvencije pokretačke sile prema sopstvenoj frekvenciji oscilacija sistema);
− relativna amplituda (odnos amplitude oscilacije i vrijednosti odstupanja A o = f/ω o 2 na nultoj frekvenciji);
− bezdimenzionalni parametar koji određuje količinu slabljenja. Koristeći ove oznake, funkcija (16) je značajno pojednostavljena
budući da sadrži samo jedan parametar − δ . Jednoparametarska familija rezonantnih krivulja opisanih funkcijom (16b) može se konstruisati, posebno lako koristeći kompjuter. Rezultat ove konstrukcije prikazan je na sl. 629.
pirinač. 6.11
Imajte na umu da se prijelaz na "konvencionalne" mjerne jedinice može izvršiti jednostavnom promjenom skale koordinatnih osa. Treba napomenuti da frekvencija pokretačke sile, pri kojoj je amplituda prisilnih oscilacija maksimalna, također ovisi o koeficijentu prigušenja, koji se lagano smanjuje kako se potonji povećava. Na kraju, naglašavamo da povećanje koeficijenta prigušenja dovodi do značajnog povećanja širine rezonantne krivulje. Rezultirajući fazni pomak između oscilacija tačke i pokretačke sile također zavisi od frekvencije oscilacija i njihovog koeficijenta prigušenja. Pobliže ćemo se upoznati sa ulogom ovog pomaka faze kada razmatramo konverziju energije u procesu prisilnih oscilacija.
frekvencija slobodnih neprigušenih oscilacija poklapa se sa prirodnom frekvencijom, frekvencija prigušenih oscilacija je nešto manja od prirodne, a frekvencija prisilnih oscilacija poklapa se sa frekvencijom pokretačke sile, a ne sa prirodnom frekvencijom.
Prisilne elektromagnetne oscilacije
Prisilno To su oscilacije koje nastaju u oscilatornom sistemu pod uticajem spoljašnjeg periodičnog uticaja.
Sl.6.12. Kolo sa prisilnim električnim oscilacijama
Razmotrimo procese koji se odvijaju u električnom oscilatornom krugu ( Sl.6.12), priključen na vanjski izvor, čija emf varira u skladu sa harmonijskim zakonom
,
Gdje m– amplituda spoljašnjeg EMF-a,
– ciklična frekvencija EMF-a.
Označimo sa U C napon na kondenzatoru i kroz njega i - jačina struje u kolu. U ovom krugu, pored promjenljive EMF (t) samoindukovana emf je također aktivna L u induktoru.
EMF samoindukcije je direktno proporcionalna brzini promjene struje u kolu
.
Za povlačenje diferencijalna jednadžba prisilnih oscilacija nastaje u takvom krugu, koristimo Kirchhoffovo drugo pravilo
.
Napon preko aktivnog otpora R naći po Ohmovom zakonu
.
Jačina električne struje jednaka je naboju koji teče u jedinici vremena kroz poprečni presjek provodnika
.
Dakle
.
voltaža U C na kondenzatoru je direktno proporcionalna naboju na pločama kondenzatora
.
EMF samoindukcije može se predstaviti kroz drugi izvod naboja s obzirom na vrijeme
.
Zamjena napona i EMF-a u Kirchhoffovo drugo pravilo
.
Podijelite obje strane ovog izraza sa L i distribuirajući članove prema stepenu opadajućeg reda derivacije, dobijamo diferencijalnu jednačinu drugog reda
.
Uvedemo sljedeću notaciju i dobijemo
– koeficijent slabljenja,
– ciklička frekvencija sopstvenih oscilacija kola.
.
(1)
Jednačina (1) je heterogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda. Ova vrsta jednadžbe opisuje ponašanje široke klase oscilatornih sistema (električnih, mehaničkih) pod utjecajem vanjskog periodičnog utjecaja (spoljna emf ili vanjska sila).
Opće rješenje jednačine (1) sastoji se od općeg rješenja q 1 homogena diferencijalna jednadžba (2)
(2)
i svako privatno rješenje q 2 heterogena jednadžbe (1)
.
Vrsta opšteg rešenja homogena jednačina (2) zavisi od vrednosti koeficijenta prigušenja . Nas će zanimati slučaj slabog prigušenja << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
Gdje B I 0 – konstante određene početnim uslovima.
Rješenje (3) opisuje prigušene oscilacije u kolu. Vrijednosti uključene u (3):
– ciklička frekvencija prigušenih oscilacija;
– amplituda prigušenih oscilacija;
–faza prigušenih oscilacija.
Tražimo određeno rješenje jednadžbe (1) u obliku harmonijske oscilacije koja se javlja frekvencijom jednakom frekvenciji spoljni periodični uticaj - EMF, i zaostajanje u fazi po Od njega
Gdje 
– amplituda prisilnih oscilacija u zavisnosti od frekvencije.
Zamijenimo (4) u (1) i dobijemo identitet
Za poređenje faza oscilacija koristimo formule trigonometrijske redukcije
.
Tada će naša jednačina biti prepisana kao
Predstavimo oscilacije na lijevoj strani rezultirajućeg identiteta u obliku vektorski dijagram (pirinač.6.13)..
Treći član koji odgovara oscilacijama na kapacitivnosti WITH, koji ima fazu (
t
–
) i amplituda 
, predstavljamo ga kao horizontalni vektor usmjeren udesno.
Sl.6.13. Vektorski dijagram
Prvi član na lijevoj strani, koji odgovara oscilacijama induktivnosti L, će biti prikazan na vektorskom dijagramu kao vektor usmjeren horizontalno ulijevo (njegova amplituda 
).
Drugi član koji odgovara oscilacijama otpora R, predstavljamo ga kao vektor usmjeren vertikalno prema gore (njegova amplituda 
), jer je njegova faza /2 iza faze prvog člana.
Budući da zbir tri vibracije lijevo od znaka jednakosti daje harmonijsku vibraciju 
, tada vektorski zbroj na dijagramu (dijagonala pravokutnika) prikazuje oscilaciju amplitude 
i faza
t, koji je uključen
napreduje u fazi oscilovanja trećeg člana.
Iz pravokutnog trokuta, koristeći Pitagorinu teoremu, možete pronaći amplitudu A( )
(5)
I tg kao omjer suprotne strane prema susjednoj strani.
.
(6)
Prema tome, rješenje (4) uzimajući u obzir (5) i (6) će poprimiti oblik
.
(7)
Opće rješenje diferencijalne jednadžbe(1) je zbir q 1 i q 2
.
(8)
Formula (8) pokazuje da kada je kolo izloženo periodičnoj vanjskoj EMF, u njemu nastaju oscilacije dvije frekvencije, tj. neprigušene oscilacije sa frekvencijom spoljašnje EMF
i prigušene oscilacije sa frekvencijom 
. Amplituda prigušenih oscilacija 
S vremenom postaje zanemarivo mali, a u krugu ostaju samo prisilne oscilacije čija amplituda ne ovisi o vremenu. Posljedično, stabilne prisilne oscilacije su opisane funkcijom (4). Odnosno, u kolu se javljaju prisilne harmonijske oscilacije, sa frekvencijom jednakom frekvenciji vanjskog utjecaja i amplitude 
, u zavisnosti od ove frekvencije ( pirinač. 3A) prema zakonu (5). U ovom slučaju faza prinudne oscilacije zaostaje za
od prinudnog uticaja.
Izdiferencirajući izraz (4) s obzirom na vrijeme, nalazimo jačinu struje u kolu
Gdje 
– amplituda struje.
Zapišimo ovaj izraz za trenutnu snagu u obliku
,
(9)
Gdje 
–fazni pomak između struje i vanjske emf.
U skladu sa (6) i pirinač. 2
.
(10)
Iz ove formule slijedi da fazni pomak između struje i vanjske emf ovisi, pri konstantnom otporu R, iz odnosa između frekvencije pogonskog EMF-a i prirodnu frekvenciju kola 0 .
Ako < 0, zatim fazni pomak između struje i vanjskog EMF-a < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Ako > 0 onda > 0. Fluktuacije struje zaostaju za EMF fluktuacijama u fazi za ugao .
Ako = 0 (rezonantna frekvencija), To = 0, tj. jačina struje i emf osciliraju u istoj fazi.
Rezonancija– ovo je fenomen naglog povećanja amplitude oscilacija kada se frekvencija spoljašnje, pokretačke sile poklopi sa prirodnom frekvencijom oscilatornog sistema.
Na rezonanciji = 0 i period oscilovanja
.
S obzirom da je koeficijent slabljenja
,
dobijamo izraze za faktor kvaliteta na rezonanciji T = T 0
,
na drugoj strani
.
Amplitude napona na induktivnosti i kapacitivnosti na rezonanciji mogu se izraziti kroz faktor kvalitete kola
,
(15)
.
(16)
Iz (15) i (16) jasno je da kada
=
0, amplituda napona na kondenzatoru i induktivnost u Q puta veća od amplitude vanjske emf. Ovo je svojstvo sekvencijalnog RLC kolo se koristi za izolaciju radio signala određene frekvencije 
iz radiofrekventnog spektra prilikom rekonstrukcije radio prijemnika.
Na praksi RLC kola su spojena na druga kola, merne instrumente ili uređaje za pojačavanje koji unose dodatno slabljenje u RLC kolo. Dakle, stvarna vrijednost faktora kvalitete učitava RLC kolo ispada da je niža od vrijednosti faktora kvalitete, procijenjenog formulom
.
Stvarna vrijednost faktora kvaliteta može se procijeniti kao
Sl.6.14. Određivanje faktora kvaliteta iz rezonantne krivulje
,
gdje je f– propusni opseg frekvencija u kojima je amplituda 0,7 od maksimalne vrijednosti ( pirinač. 4).
Napon kondenzatora U C, na aktivni otpor U R i na induktoru U L dostižu maksimum na različitim frekvencijama, respektivno
,
,
.
Ako je slabljenje nisko 0 >> , onda se sve ove frekvencije praktično poklapaju i to možemo pretpostaviti
.
1. Hajde da saznamo do kakvih transformacija energije dolazi prilikom oscilovanja opružnog klatna (vidi sliku 80). Kada je opruga rastegnuta, njena potencijalna energija raste i pri maksimalnom istezanju ima vrijednost E n = .
Kako se opterećenje kreće prema ravnotežnom položaju, potencijalna energija opruge se smanjuje, a kinetička energija tereta raste. U ravnotežnom položaju, kinetička energija tereta je maksimalna E k = , a potencijalna energija opruge je nula.
Kada je opruga stisnuta, njena potencijalna energija raste, a kinetička energija tereta opada. Pri maksimalnoj kompresiji potencijalna energija opruge je maksimalna, a kinetička energija opterećenja nula.
Ako zanemarimo silu trenja, tada u svakom trenutku zbroj potencijalne i kinetičke energije ostaje nepromijenjen
E = E n + E k = konst.
U prisustvu sile trenja, energija se troši na rad protiv ove sile, amplituda oscilacija se smanjuje i oscilacije izumiru.
Dakle, slobodne oscilacije klatna, koje nastaju usled početnog snabdevanja energijom, uvek su fading.
2. Postavlja se pitanje šta je potrebno učiniti da fluktuacije ne prestanu tokom vremena. Očigledno, da bi se dobile neprigušene oscilacije potrebno je kompenzirati gubitke energije. To se može učiniti na različite načine. Hajde da razmotrimo jednu od njih.
Dobro znate da vibracije ljuljačke neće nestati ako je stalno gurate, odnosno djelujete na nju nekom silom. U tom slučaju vibracije zamaha više nisu slobodne, već će se pojaviti pod utjecajem vanjske sile. Rad ove vanjske sile precizno nadoknađuje gubitak energije uzrokovan trenjem.
Hajde da saznamo koja bi vanjska sila trebala biti? Pretpostavimo da su veličina i smjer sile konstantni. Očigledno je da će u ovom slučaju oscilacije prestati, jer se tijelo, nakon što je prošlo ravnotežni položaj, neće vratiti u njega. Stoga se veličina i smjer vanjske sile moraju periodično mijenjati.
dakle,
prisilne oscilacije su oscilacije koje nastaju pod utjecajem vanjske sile koja se periodično mijenja.
Prisilne vibracije, za razliku od slobodnih, mogu se pojaviti na bilo kojoj frekvenciji. Frekvencija prisilnih oscilacija jednaka je učestalosti promjene sile koja djeluje na tijelo, u ovom slučaju se zove prisiljavanje.
3. Hajde da napravimo eksperiment. Okačimo nekoliko klatna različite dužine na uže pričvršćeno u nosače (Sl. 82). Skrenimo klatno A iz ravnotežnog položaja i prepusti ga samome sebi. Slobodno će oscilirati, djelujući s određenom periodičnom silom na uže. Uže će zauzvrat djelovati na preostala klatna. Kao rezultat toga, sva klatna će početi vršiti prisilne oscilacije sa frekvencijom oscilacija klatna A.
Vidjet ćemo da će sva klatna početi oscilirati frekvencijom jednakom frekvenciji oscilacija klatna A. Međutim, njihova amplituda oscilacija, osim klatna C, biće manji od amplitude oscilacija klatna A. Klatno C, čija je dužina jednaka dužini klatna A, ljuljaće se veoma snažno. Shodno tome, klatno ima najveću amplitudu oscilovanja, čija se prirodna frekvencija oscilacija poklapa sa frekvencijom pokretačke sile. U ovom slučaju kažu da se to poštuje rezonancija.
Rezonancija je fenomen naglog povećanja amplitude prisilnih oscilacija kada se frekvencija pokretačke sile poklapa sa prirodnom frekvencijom oscilatornog sistema (klatna).
Rezonancija se može uočiti kada zamah oscilira. Sada možete objasniti da će se ljuljačka jače zamahnuti ako se gura na vrijeme svojim vlastitim vibracijama. U ovom slučaju, frekvencija vanjske sile je jednaka frekvenciji oscilacije zamaha. Svaki pritisak na kretanje ljuljačke će uzrokovati smanjenje njegove amplitude.
4 * . Hajde da saznamo koje transformacije energije se dešavaju tokom rezonancije.
Ako se frekvencija pokretačke sile razlikuje od prirodne frekvencije vibracije tijela, tada će pokretačka sila biti usmjerena ili u smjeru kretanja tijela ili protiv njega. Shodno tome, rad ove sile će biti ili negativan ili pozitivan. Općenito, rad pokretačke sile u ovom slučaju malo mijenja energiju sistema.
Neka sada frekvencija vanjske sile bude jednaka prirodnoj frekvenciji oscilacija tijela. U ovom slučaju, smjer pokretačke sile poklapa se sa smjerom brzine tijela, a sila otpora se kompenzira vanjskom silom. Telo vibrira samo pod uticajem unutrašnjih sila. Drugim riječima, negativan rad protiv sile otpora jednak je pozitivnom radu vanjske sile. Stoga se oscilacije javljaju s maksimalnom amplitudom.
5. Fenomen rezonancije se mora uzeti u obzir u praksi. Posebno, alatne mašine i mašine podležu blagim vibracijama tokom rada. Ako se frekvencija ovih vibracija poklapa sa prirodnom frekvencijom pojedinih dijelova strojeva, tada amplituda vibracija može biti vrlo velika. Mašina ili oslonac na kojem stoji će se srušiti.
Poznati su slučajevi kada se zbog rezonancije avion raspao u zraku, propeleri brodova su se lomili, a željezničke šine su se srušile.
Rezonancija se može spriječiti promjenom ili prirodne frekvencije sistema ili frekvencije sile koja uzrokuje oscilacije. U tu svrhu, na primjer, vojnici koji prelaze most ne hodaju u korak, već slobodnim tempom. U suprotnom, frekvencija njihovih koraka može se poklopiti sa prirodnom frekvencijom mosta i on će se srušiti. To se dogodilo 1750. godine u Francuskoj, kada je jedan odred vojnika prešao preko 102 m dugog mosta okačenog na lance. Sličan incident dogodio se u Sankt Peterburgu 1906. Kada je konjički eskadron prešao Egipatski most preko rijeke Fontanke, frekvencija jasnog koraka konja poklopila se sa frekvencijom vibracija mosta.
Da bi spriječili rezonanciju, vozovi prelaze mostove malim ili vrlo velikim brzinama tako da je učestalost udara kotača o spojeve šina znatno manja ili znatno veća od prirodne frekvencije mosta.
Fenomen rezonancije nije uvijek štetan. Ponekad može biti korisno, jer vam omogućava da postignete veliko povećanje amplitude vibracija uz pomoć čak i male sile.
Djelovanje uređaja koji vam omogućava mjerenje frekvencije oscilacija temelji se na fenomenu rezonancije. Ovaj uređaj se zove frekventni metar. Njegov rad se može ilustrovati sljedećim eksperimentom. Na centrifugalnu mašinu je pričvršćen model frekventnog merača, koji se sastoji od skupa ploča (jezika) različitih dužina (Sl. 83). Na krajevima ploča nalaze se limene zastavice premazane bijelom bojom. Možete primijetiti da kada promijenite brzinu rotacije ručke mašine, različite ploče počinju da vibriraju. One ploče čija je prirodna frekvencija jednaka frekvenciji rotacije počinju da vibriraju.
Pitanja za samotestiranje
1. Šta određuje amplitudu slobodnih oscilacija opružnog klatna?
2. Da li se amplituda oscilacija klatna održava konstantnom u prisustvu sila trenja?
3. Koje transformacije energije nastaju kada opružno klatno oscilira?
4. Zašto su slobodne oscilacije prigušene?
5. Koje vibracije se nazivaju prisilnim? Navedite primjere prisilnih oscilacija.
6. Šta je rezonancija?
7. Navedite primjere štetnih manifestacija rezonancije. Šta treba učiniti da se spriječi rezonancija?
8. Navedite primjere upotrebe fenomena rezonancije.
Zadatak 26
1. Popuniti tabelu 14, upisati koja sila deluje na oscilatorni sistem ako vrši slobodne ili prinudne oscilacije; kolika je frekvencija i amplituda ovih oscilacija; da li su prigušene ili ne.
Tabela 14
|
Oscilacijske karakteristike |
Vrsta vibracija |
|
|
Dostupan |
Prisilno |
|
|
Efektivna sila |
||
|
Frekvencija |
||
|
Amplituda |
||
|
Slabljenje |
||
2 e.Predložite eksperiment za uočavanje prisilnih oscilacija.
3 e.Eksperimentalno proučite fenomen rezonancije koristeći matematička klatna koja ste napravili.
4. Pri određenoj brzini rotacije kotača šivaće mašine, stol na kojem stoji ponekad se snažno ljulja. Zašto?
Prisilne oscilacije su one oscilacije koje se javljaju u sistemu kada na njega djeluje vanjska sila koja se periodično mijenja, nazvana pokretačka sila.
Priroda (vremenska ovisnost) pokretačke sile može biti različita. Ovo može biti sila koja se mijenja u skladu sa harmonijskim zakonom. Na primjer, zvučni val, čiji je izvor kamera, udara u bubnu opnu ili membranu mikrofona. Na membranu počinje da deluje harmonično promenljiva sila vazdušnog pritiska.
Pokretačka sila može biti u prirodi trzaja ili kratkih impulsa. Na primjer, odrasla osoba ljulja dijete na ljuljački, povremeno ga gura u trenutku kada ljuljačka dosegne jedan od svojih krajnjih položaja.
Naš zadatak je da otkrijemo kako oscilatorni sistem reaguje na uticaj pokretačke sile koja se periodično menja.
§ 1 Pokretačka snaga se mijenja u skladu sa harmonijskim zakonom
F otpor = - rv x i ubedljiva sila F out = F 0 sin wt.
Njutnov drugi zakon biće napisan kao:
Rješenje jednačine (1) traži se u obliku , gdje je rješenje jednačine (1) ako nije imala desnu stranu. Vidi se da se bez desne strane jednačina pretvara u dobro poznatu jednačinu prigušenih oscilacija čije rješenje već znamo. Tokom dovoljno dugog vremena, slobodne oscilacije koje nastaju u sistemu kada se ukloni iz ravnotežnog položaja praktično će izumrijeti, a samo će drugi član ostati u rješenju jednačine. Ovo rješenje ćemo potražiti u formi
Grupirajmo termine drugačije:
Ova jednakost mora biti istinita u bilo kojem trenutku t, što je moguće samo ako su koeficijenti sinusa i kosinusa jednaki nuli.
Dakle, tijelo na koje djeluje pokretačka sila, mijenjajući se po harmonijskom zakonu, vrši oscilatorno kretanje frekvencijom pokretačke sile.
Razmotrimo detaljnije pitanje amplitude prisilnih oscilacija:
1 Amplituda prisilnih oscilacija u stabilnom stanju se ne mijenja tokom vremena. (Uporedi sa amplitudom slobodnih prigušenih oscilacija).
2 Amplituda prisilnih oscilacija je direktno proporcionalna amplitudi pokretačke sile.
3 Amplituda zavisi od trenja u sistemu (A zavisi od d, a koeficijent prigušenja d, zauzvrat, zavisi od koeficijenta otpora r). Što je veće trenje u sistemu, to je manja amplituda prinudnih oscilacija.
4 Amplituda prisilnih oscilacija zavisi od frekvencije pokretačke sile w. Kako? Proučimo funkciju A(w).
Kod w = 0 (na oscilatorni sistem djeluje konstantna sila), pomicanje tijela je konstantno tokom vremena (mora se imati na umu da se to odnosi na stacionarno stanje, kada su prirodne oscilacije gotovo izumrle).
· Kada je w ® ¥, tada, kao što je lako vidjeti, amplituda A teži nuli.
· Očigledno je da će pri određenoj frekvenciji pokretačke sile amplituda prinudnih oscilacija poprimiti najveću vrijednost (za dati d). Fenomen naglog povećanja amplitude prisilnih oscilacija na određenoj vrijednosti frekvencije pokretačke sile naziva se mehanička rezonancija.
Zanimljivo je da faktor kvaliteta oscilatornog sistema u ovom slučaju pokazuje koliko puta rezonantna amplituda premašuje pomeranje tela iz ravnotežnog položaja pod dejstvom konstantne sile F 0 .
Vidimo da i rezonantna frekvencija i rezonantna amplituda zavise od koeficijenta prigušenja d. Kako d opada na nulu, rezonantna frekvencija raste i teži prirodnoj frekvenciji oscilovanja sistema w 0 . U ovom slučaju, rezonantna amplituda raste i pri d = 0 ide u beskonačnost. Naravno, u praksi amplituda oscilacija ne može biti beskonačna, jer u realnim oscilatornim sistemima uvijek djeluju sile otpora. Ako sistem ima nisko slabljenje, tada možemo približno pretpostaviti da se rezonancija javlja na frekvenciji vlastitih oscilacija:
gdje je u razmatranom slučaju fazni pomak između pokretačke sile i pomaka tijela iz ravnotežnog položaja.
Lako je vidjeti da fazni pomak između sile i pomaka zavisi od trenja u sistemu i frekvencije vanjske pokretačke sile. Ova zavisnost je prikazana na slici. Jasno je da kada< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- pozitivno.
Poznavajući zavisnost od ugla, može se dobiti zavisnost od frekvencije pokretačke sile.
Pri frekvencijama vanjske sile koje su znatno niže od prirodne sile, pomak neznatno zaostaje za pokretačkom silom u fazi. Kako se frekvencija vanjske sile povećava, ovo fazno kašnjenje se povećava. U rezonanciji (ako je mala), fazni pomak postaje jednak . Kada >> dolazi do pomaka i oscilacija sile u antifazi. Ova zavisnost na prvi pogled može izgledati čudno. Da bismo razumjeli ovu činjenicu, okrenimo se energetskim transformacijama u procesu prisilnih oscilacija.
§ 2 Energetske transformacije
Kao što već znamo, amplituda oscilacija određena je ukupnom energijom oscilatornog sistema. Prethodno je pokazano da amplituda prisilnih oscilacija ostaje nepromijenjena tokom vremena. To znači da se ukupna mehanička energija oscilatornog sistema ne mijenja tokom vremena. Zašto? Na kraju krajeva, sistem nije zatvoren! Dvije sile - vanjska sila koja se periodično mijenja i sila otpora - vrše rad koji mora promijeniti ukupnu energiju sistema.
Hajde da pokušamo da shvatimo šta se dešava. Snaga vanjske pokretačke sile može se naći na sljedeći način:
Vidimo da je snaga spoljne sile koja hrani oscilatorni sistem energijom proporcionalna amplitudi oscilovanja.
Zbog rada sile otpora, energija oscilatornog sistema treba da se smanji, pretvarajući se u unutrašnju. Snaga sile otpora:
Očigledno, snaga otporne sile je proporcionalna kvadratu amplitude. Nacrtajmo obje zavisnosti na graf.
Da bi oscilacije bile stabilne (amplituda se ne menja tokom vremena), rad spoljne sile tokom perioda mora da nadoknadi gubitak energije sistema usled rada sile otpora. Točka preseka grafova snaga tačno odgovara ovom režimu. Zamislimo da se iz nekog razloga amplituda prisilnih oscilacija smanjila. To će dovesti do činjenice da će trenutna snaga vanjske sile biti veća od snage gubitaka. To će dovesti do povećanja energije oscilatornog sistema, a amplituda oscilacija će vratiti svoju prethodnu vrijednost.
Na sličan način se može uvjeriti da će uz slučajni porast amplitude oscilacija gubici snage premašiti snagu vanjske sile, što će dovesti do smanjenja energije sistema, a samim tim i do smanjenje amplitude.
Vratimo se pitanju faznog pomaka između pomaka i pokretačke sile u rezonanciji. Već smo pokazali da pomak zaostaje, pa stoga sila vodi pomak za . S druge strane, projekcija brzine u procesu harmonijskih oscilacija je uvijek ispred koordinate za . To znači da za vrijeme rezonancije vanjska pokretačka sila i brzina osciliraju u istoj fazi. To znači da su u svakom trenutku zajedno režirani! Rad vanjske sile u ovom slučaju je uvijek pozitivan sve ide na dopunu oscilatornog sistema energijom.
§ 3 Nesinusoidni periodični uticaj
Prisilne oscilacije oscilatora su moguće pod bilo kojim periodičnim vanjskim utjecajem, a ne samo sinusoidnim. U ovom slučaju ustanovljene oscilacije, generalno govoreći, neće biti sinusoidne, već će predstavljati periodično kretanje sa periodom jednakim periodu spoljašnjeg uticaja.
Vanjski utjecaj mogu biti, na primjer, uzastopni udari (sjetite se kako odrasla osoba „ljulja“ dijete koje sjedi na ljuljaški). Ako se period vanjskih šokova poklopi s periodom prirodnih oscilacija, tada u sistemu može doći do rezonancije. Oscilacije će biti gotovo sinusne. Energija koja se daje sistemu pri svakom guranju nadoknađuje ukupnu energiju sistema izgubljenu zbog trenja. Jasno je da su u ovom slučaju moguće opcije: ako je energija data tokom guranja jednaka ili veća od gubitaka trenja po periodu, tada će oscilacije ili biti stabilne ili će se njihov opseg povećati. Ovo je jasno vidljivo na faznom dijagramu.
Očigledno je da je rezonancija moguća i u slučaju kada je period ponavljanja šokova višestruki od perioda prirodnih oscilacija. To je nemoguće sa sinusoidnom prirodom vanjskog utjecaja.
S druge strane, čak i ako se frekvencija udara poklapa sa prirodnom frekvencijom, rezonancija se možda neće primijetiti. Ako samo gubici trenja tokom perioda premašuju energiju koju sistem primi tokom guranja, tada će se ukupna energija sistema smanjiti i oscilacije će se prigušiti.
§ 4 Parametrijska rezonanca
Spoljni uticaj na oscilatorni sistem može se svesti na periodične promene parametara samog oscilatornog sistema. Oscilacije koje se pobuđuju na ovaj način nazivaju se parametarskim, a sam mehanizam parametarska rezonanca .
Prije svega, pokušat ćemo odgovoriti na pitanje: da li je moguće uzdrmati male oscilacije koje već postoje u sistemu periodičnim mijenjanjem nekih njegovih parametara na određeni način.
Kao primjer, uzmite osobu koja se ljulja na ljuljački. Savijanjem i ispravljanjem nogu u "pravim" trenucima on zapravo mijenja dužinu klatna. U ekstremnim položajima, osoba čučne, čime se lagano spušta težište oscilatornog sistema, osoba se ispravlja, podižući težište sistema.
Da biste razumjeli zašto se osoba ljulja u isto vrijeme, razmislite o izuzetno pojednostavljenom modelu osobe na ljuljački - običnom malom klatnu, odnosno malom utegu na laganoj i dugoj niti. Da bismo simulirali podizanje i spuštanje centra gravitacije, gornji kraj konca ćemo provući kroz malu rupu i povući konac u onim trenucima kada klatno prođe ravnotežni položaj, a isto toliko spustiti niti kada klatno prelazi krajnji položaj.
Rad sile zatezanja konca po periodu (uzimajući u obzir da se teret podiže i spušta dva puta po periodu i da je D l << l):
Imajte na umu da u zagradama nema ništa više od trostruke energije oscilatornog sistema. Inače, ova veličina je pozitivna, dakle, rad sile zatezanja (naš rad) je pozitivan, dovodi do povećanja ukupne energije sistema, a samim tim i do zamaha klatna.
Zanimljivo je da relativna promjena energije tokom određenog perioda ne zavisi od toga da li se klatno ljulja slabo ili snažno. Ovo je veoma važno, a evo i zašto. Ako se klatno ne “napumpa” energijom, onda će za svaki period gubiti određeni dio svoje energije zbog sile trenja, a oscilacije će zamrijeti. A da bi se raspon oscilacija povećao, potrebno je da dobijena energija premašuje onu izgubljenu za savladavanje trenja. A ovo je stanje, pokazalo se, isto - i za malu amplitudu i za veliku.
Na primjer, ako se u jednom periodu energija slobodnih oscilacija smanji za 6%, onda da oscilacije klatna dužine 1 m ne priguše, dovoljno je smanjiti njegovu dužinu za 1 cm u srednjem položaju i povećati to za isti iznos u ekstremnom položaju.
Da se vratimo na ljuljačku: ako počnete da se ljuljate, onda nema potrebe da čučnite sve dublje i dublje – čučnite sve vreme na isti način, i letećete sve više i više!
*** Opet kvalitet!
Kao što smo već rekli, za parametarsko stvaranje oscilacija mora biti ispunjen uslov DE > A trenja po periodu.
Nađimo rad koji je izvršila sila trenja tokom perioda
Može se vidjeti da je relativna količina podizanja klatna da ga zamahne određena faktorom kvaliteta sistema.
§ 5 Značenje rezonancije
Prisilne oscilacije i rezonancija se široko koriste u tehnici, posebno u akustici, elektrotehnici i radiotehnici. Rezonancija se prvenstveno koristi kada se iz velikog skupa oscilacija različitih frekvencija želi izolovati oscilacije određene frekvencije. Rezonancija se takođe koristi u proučavanju vrlo slabih, periodično ponavljajućih veličina.
Međutim, u nekim slučajevima rezonancija je nepoželjna pojava, jer može dovesti do velikih deformacija i razaranja struktura.
§ 6 Primjeri rješavanja problema
Zadatak 1 Prisilne oscilacije opružnog klatna pod djelovanjem vanjske sinusoidne sile.
Teret mase m = 10 g okačen je na oprugu krutosti k = 10 N/m i sistem je postavljen u viskozni medij sa koeficijentom otpora r = 0,1 kg/s. Uporedite prirodne i rezonantne frekvencije sistema. Odrediti amplitudu oscilacija klatna u rezonanciji pod dejstvom sinusoidne sile amplitude F 0 = 20 mN.
Rješenje:
1 Prirodna frekvencija oscilatornog sistema je frekvencija slobodnih vibracija u odsustvu trenja. Prirodna ciklička frekvencija jednaka je frekvenciji oscilovanja.
2 Rezonantna frekvencija je frekvencija vanjske pokretačke sile pri kojoj se amplituda prisilnih oscilacija naglo povećava. Rezonantna ciklička frekvencija je jednaka , gdje je koeficijent prigušenja, jednak .
Dakle, rezonantna frekvencija je . Lako je vidjeti da je rezonantna frekvencija manja od prirodne frekvencije! Takođe je jasno da što je manje trenje u sistemu (r), to je rezonantna frekvencija bliža prirodnoj frekvenciji.
3 Rezonantna amplituda je
Zadatak 2 Amplituda rezonancije i faktor kvaliteta oscilatornog sistema
Teret mase m = 100 g okačen je na oprugu krutosti k = 10 N/m i sistem je postavljen u viskozni medij sa koeficijentom otpora
r = 0,02 kg/s. Odrediti faktor kvaliteta oscilatornog sistema i amplitudu oscilacija klatna u rezonanciji pod dejstvom sinusoidne sile amplitude F 0 = 10 mN. Pronađite omjer rezonantne amplitude i statičkog pomaka pod utjecajem konstantne sile F 0 = 20 mN i uporedite ovaj omjer sa faktorom kvalitete.
Rješenje:
1 Faktor kvaliteta oscilatornog sistema je jednak , gdje je logaritamski dekrement prigušenja.
Dekrement logaritamskog prigušenja je jednak .
Pronalaženje faktora kvaliteta oscilatornog sistema.
2 Rezonantna amplituda je
3 Statički pomak pod djelovanjem konstantne sile F 0 = 10 mN je jednak .
4 Odnos rezonantne amplitude i statičkog pomaka pod dejstvom konstantne sile F 0 jednak je
Lako je vidjeti da se ovaj omjer poklapa sa faktorom kvaliteta oscilatornog sistema
Problem 3 Rezonantne vibracije grede
Pod uticajem težine elektromotora, konzolni rezervoar na koji je ugrađen savio se za . Pri kojoj brzini armature motora može postojati opasnost od rezonancije?
Rješenje:
1 Kućište motora i greda na koju je ugrađena doživljavaju periodične udare od rotirajuće armature motora i stoga vrše prisilne oscilacije na frekvenciji udaraca.
Rezonancija će se uočiti kada se frekvencija udara poklopi sa prirodnom frekvencijom vibracije zraka sa motorom. Potrebno je pronaći prirodnu frekvenciju vibracije sistema greda-motor.
2 Analog oscilatornog sistema snopa-motor može biti vertikalno opružno klatno, čija je masa jednaka masi motora. Prirodna frekvencija oscilacije opružnog klatna jednaka je . Ali krutost opruge i masa motora nisu poznati! Sta da radim?
3 U ravnotežnom položaju opružnog klatna, gravitaciona sila tereta je uravnotežena elastičnom silom opruge
4 Pronađite rotaciju armature motora, tj. frekvencija udara
Problem 4 Prisilne oscilacije opružnog klatna pod uticajem periodičnih udara.
Teg mase m = 0,5 kg okačen je na spiralnu oprugu krutosti k = 20 N/m. Logaritamski dekrement prigušenja oscilatornog sistema je jednak . Oni žele da zamahnu uteg kratkim guranjima, delujući na uteg silom F = 100 mN za vreme τ = 0,01 s. Kolika bi trebala biti frekvencija udaraca da bi amplituda utega bila najveća? U kojim tačkama i u kom smjeru treba gurati girja? Do koje će amplitude biti moguće zaljuljati težinu na ovaj način?
Rješenje:
1 Prisilne vibracije mogu nastati pod bilo kojim periodičnim uticajem. U tom slučaju će se stabilna oscilacija pojaviti sa frekvencijom vanjskog utjecaja. Ako se period vanjskih šokova poklopi sa frekvencijom prirodnih oscilacija, tada se javlja rezonancija u sistemu - amplituda oscilacija postaje najveća. U našem slučaju, da bi došlo do rezonancije, period udara mora da se poklopi sa periodom oscilovanja opružnog klatna.
Logaritamski dekrement prigušenja je mali, stoga postoji malo trenja u sistemu, a period oscilovanja klatna u viskoznom mediju praktično se poklapa sa periodom oscilovanja klatna u vakuumu:
2 Očigledno, smjer guranja mora se podudarati sa brzinom težine. U ovom slučaju, rad vanjske sile koja dopunjuje sistem energijom bit će pozitivan. I vibracije će se ljuljati. Energija koju sistem primi tokom procesa udara
će biti najveće kada opterećenje pređe ravnotežni položaj, jer je u tom položaju brzina klatna maksimalna.
Dakle, sistem će se najbrže zaljuljati pod dejstvom udaraca u pravcu kretanja tereta pri prolasku kroz ravnotežni položaj.
3 Amplituda oscilacija prestaje da raste kada je energija data sistemu tokom procesa udara jednaka gubitku energije usled trenja tokom perioda: .
Gubitak energije tokom određenog perioda ćemo pronaći kroz faktor kvaliteta oscilatornog sistema
gdje je E ukupna energija oscilatornog sistema, koja se može izračunati kao .
Umjesto energije gubitka, zamjenjujemo energiju koju sistem primi tokom udara:
Maksimalna brzina tokom procesa oscilovanja je . Uzimajući ovo u obzir, dobijamo .
§7 Zadaci za samostalno rješavanje
Test "Prisilne vibracije"
1 Koje oscilacije se nazivaju prinudnim?
A) Oscilacije koje nastaju pod uticajem spoljašnjih periodično promenljivih sila;
B) Oscilacije koje se javljaju u sistemu nakon eksternog udara;
2 Koja od sljedećih oscilacija je prisilna?
A) Oscilacija tereta okačenog na oprugu nakon njenog pojedinačnog odstupanja od ravnotežnog položaja;
B) Oscilacija konusa zvučnika tokom rada prijemnika;
B) Oscilacija tereta okačenog na oprugu nakon jednog udarca na teret u ravnotežnom položaju;
D) Vibracije kućišta elektromotora tokom njegovog rada;
D) Vibracije bubne opne osobe koja sluša muziku.
3 Na oscilatorni sistem sa sopstvenom frekvencijom deluje spoljašnja pokretačka sila koja varira u skladu sa zakonom. Koeficijent prigušenja u oscilatornom sistemu je jednak . Po kom zakonu se koordinata tijela mijenja tokom vremena?
C) Amplituda prisilnih oscilacija će ostati nepromijenjena, jer će energija koju sistem izgubi trenjem biti nadoknađena dobitkom energije uslijed rada vanjske pokretačke sile.
5 Sistem vrši prisilne oscilacije pod dejstvom sinusoidne sile. Odrediti Sve faktori od kojih zavisi amplituda ovih oscilacija.
A) Od amplitude vanjske pokretačke sile;
B) Prisustvo energije u oscilatornom sistemu u trenutku kada spoljašnja sila počinje da deluje;
C) Parametri samog oscilatornog sistema;
D) Trenje u oscilatornom sistemu;
D) postojanje prirodnih oscilacija u sistemu u trenutku kada spoljašnja sila počinje da deluje;
E) Vrijeme uspostavljanja oscilacija;
G) Frekvencije vanjske pokretačke sile.
6 Blok mase m vrši prisilne harmonijske oscilacije duž horizontalne ravni s periodom T i amplitudom A. Koeficijent trenja μ. Koliki rad izvrši vanjska pokretačka sila u vremenu jednakom periodu T?
A) 4μmgA; B) 2μmgA; B) μmgA; D) 0;
D) Nemoguće je dati odgovor, jer nije poznata veličina spoljne pokretačke sile.
7 Dajte tačnu izjavu
Rezonancija je fenomen...
A) Podudarnost frekvencije vanjske sile sa prirodnom frekvencijom oscilatornog sistema;
B) Oštar porast amplitude prisilnih oscilacija.
Rezonancija se posmatra pod uslovom
A) Smanjenje trenja u oscilatornom sistemu;
B) Povećanje amplitude spoljašnje pokretačke sile;
C) Podudarnost frekvencije vanjske sile sa prirodnom frekvencijom oscilatornog sistema;
D) Kada se frekvencija vanjske sile poklapa sa rezonantnom frekvencijom.
8 Fenomen rezonancije se može uočiti u...
A) U bilo kom oscilatornom sistemu;
B) U sistemu koji vrši slobodne oscilacije;
B) U samooscilirajućem sistemu;
D) U sistemu koji prolazi kroz prisilne oscilacije.
9 Na slici je prikazan grafik zavisnosti amplitude prisilnih oscilacija od frekvencije pokretačke sile. Rezonancija se javlja na frekvenciji...
10 Tri identična klatna smještena u različitim viskoznim medijima vrše prisilne oscilacije. Na slici su prikazane rezonantne krive za ova klatna. Koje klatno doživljava najveći otpor viskoznog medija tokom oscilovanja?
A) 1; B) 2; AT 3;
D) Nemoguće je dati odgovor, jer amplituda prisilnih oscilacija, osim frekvencije vanjske sile, zavisi i od njene amplitude. Uslov ne govori ništa o amplitudi vanjske pokretačke sile.
11 Period prirodnih oscilacija oscilatornog sistema je jednak T 0. Koliki može biti period udara tako da se amplituda oscilacija naglo poveća, odnosno da u sistemu nastane rezonancija?
A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;
C) Zamah se može ljuljati guranjima bilo koje frekvencije.
12 Vaš mlađi brat sjedi na ljuljašci, vi ga ljuljate kratkim guranjima. Koji treba da bude period sukcesije šokova da bi se proces odvijao najefikasnije? Period prirodnih oscilacija zamaha T 0.
D) Zamah se može ljuljati guranjima bilo koje frekvencije.
13 Vaš mlađi brat sjedi na ljuljašci, vi ga ljuljate kratkim guranjima. U kojoj poziciji ljuljačke treba izvršiti potisak i u kom pravcu da se proces izvede najefikasnije?
A) Gurnite u najgornju poziciju zamaha prema ravnotežnom položaju;
B) Gurnite u najgornju poziciju zamaha u pravcu od ravnotežnog položaja;
B) Gurnite u balansiranom položaju u pravcu kretanja zamaha;
D) Možete gurati u bilo kojem položaju, ali uvijek u smjeru kretanja zamaha.
14 Čini se da gađanjem iz praćke na most na vrijeme sa vlastitim vibracijama i praveći mnogo hitaca, možete ga snažno zamahnuti, ali malo je vjerovatno da će to uspjeti. Zašto?
A) Masa mosta (njegova inercija) je velika u odnosu na masu “metka” iz praćke, most se neće moći pomjerati pod utjecajem takvih udaraca;
B) Udarna sila “metka” iz praćke je toliko mala da se most neće moći pomjeriti pod utjecajem takvih udaraca;
C) Energija prenesena na most jednim udarcem je mnogo manja od gubitka energije zbog trenja tokom perioda.
15 Nosite kantu vode. Voda u kanti se zaljulja i prska van. Šta se može učiniti da se to ne dogodi?
A) Zamahnite rukom u kojoj se nalazi kanta u ritmu hodanja;
B) Promenite brzinu kretanja, ostavljajući dužinu koraka nepromenjenom;
C) Povremeno se zaustavljajte i sačekajte da se vibracije vode smire;
D) Pazite da tokom pokreta ruka sa kantom bude postavljena striktno okomito.
Zadaci
1 Sistem izvodi prigušene oscilacije sa frekvencijom od 1000 Hz. Definišite frekvenciju v 0 prirodne vibracije, ako je rezonantna frekvencija
2 Odredite po kojoj vrijednosti D v rezonantna frekvencija se razlikuje od prirodne frekvencije v 0= 1000 Hz oscilatorni sistem, karakteriziran koeficijentom prigušenja d = 400s -1.
3 Teret mase 100 g, okačen na oprugu krutosti 10 N/m, vrši prisilne oscilacije u viskoznom mediju sa koeficijentom otpora r = 0,02 kg/s. Odredite koeficijent prigušenja, rezonantnu frekvenciju i amplitudu. Vrijednost amplitude pokretačke sile je 10 mN.
4 Amplitude prisilnih harmonijskih oscilacija na frekvencijama w 1 = 400 s -1 i w 2 = 600 s -1 su jednake. Odredite rezonantnu frekvenciju.
5 Kamioni ulaze u skladište žita makadamskim putem s jedne strane, istovaraju i napuštaju skladište istom brzinom, ali s druge strane. Koja strana skladišta ima više rupa na putu od druge? Kako na osnovu stanja puta odrediti sa koje strane magacina je ulaz, a sa koje izlaz? Obrazložite odgovor
Prisilne vibracije vibracije koje se javljaju u bilo kom sistemu pod uticajem promenljive spoljne sile (na primer, vibracije telefonske membrane pod uticajem naizmeničnog magnetnog polja, vibracije mehaničke strukture pod uticajem promenljivog opterećenja itd.). Priroda vojnog sistema određena je i prirodom vanjske sile i svojstvima samog sistema. Na početku djelovanja periodične vanjske sile, priroda V. c. se mijenja s vremenom (posebno, V. c. nisu periodične), a tek nakon nekog vremena se uspostavljaju periodične V. c sistem sa periodom jednakim periodu spoljne sile (stacionarno stanje VC.). Uspostavljanje napona u oscilatornom sistemu se odvija brže, što je veće prigušivanje oscilacija u ovom sistemu. Konkretno, u linearnim oscilatornim sistemima (vidi Oscilatorni sistemi), kada je uključena vanjska sila, u sistemu istovremeno nastaju slobodne (ili prirodne) oscilacije i oscilacije, a amplitude ovih oscilacija u početnom trenutku su jednake, a faze su suprotne ( pirinač.
). Nakon postepenog slabljenja slobodnih oscilacija, u sistemu ostaju samo stabilne oscilacije. Amplituda VK određena je amplitudom djelujuće sile i slabljenjem u sistemu. Ako je slabljenje malo, tada amplituda talasa napona značajno zavisi od odnosa između frekvencije delujuće sile i frekvencije sopstvenih oscilacija sistema. Kako se frekvencija vanjske sile približava prirodnoj frekvenciji sistema, amplituda VK se naglo povećava - javlja se rezonanca. U nelinearnim sistemima (vidi Nelinearni sistemi), podjela na slobodne i VK nije uvijek moguća. Lit.: Khaikin S.E., Fizičke osnove mehanike, M., 1963.
Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .
Pogledajte šta su "prisilne oscilacije" u drugim rječnicima:
Prisilne vibracije- Prisilne vibracije. Zavisnost njihove amplitude od frekvencije vanjskog utjecaja pri različitim prigušenjima: 1 slabo prigušenje; 2 jako slabljenje; 3 kritično slabljenje. PRISILNE VIBRACIJE, oscilacije koje se javljaju u bilo kom sistemu u ... ... Ilustrovani enciklopedijski rječnik
prisilne oscilacije- Oscilacije koje se javljaju pod periodičnim uticajem spoljne generalizovane sile. [Sistem za ispitivanje bez razaranja. Vrste (metode) i tehnologija ispitivanja bez razaranja. Termini i definicije (priručnik). Moskva 2003] prinuđen...... Vodič za tehnički prevodilac
Prisilne oscilacije su oscilacije koje nastaju pod utjecajem vanjskih sila koje se mijenjaju tokom vremena. Samooscilacije se razlikuju od prisilnih oscilacija po tome što su potonje uzrokovane periodičnim vanjskim utjecajima i javljaju se učestalošću ovog ... Wikipedia
PRISILNE VIBRACIJE, vibracije koje nastaju u bilo kojem sistemu kao rezultat periodično promjenjivih vanjskih utjecaja: sila u mehaničkom sistemu, napon ili struja u oscilatornom kolu. Prisilne oscilacije se uvijek javljaju sa ... ... Moderna enciklopedija
Oscilacije koje nastaju u kosmičkom l. sistema pod uticajem periodičnih lok. sile (na primjer, vibracije telefonske membrane pod utjecajem naizmjeničnog magnetnog polja, vibracije mehaničke strukture pod utjecajem naizmjeničnog opterećenja). Har r V. k. na silu... Fizička enciklopedija
Oscilacije koje nastaju u kosmičkom l. sistema pod uticajem naizmeničnog lok. uticaji (na primjer, fluktuacije napona i struje u električnom kolu uzrokovane naizmjeničnim emf; vibracije mehaničkog sistema uzrokovane naizmjeničnim opterećenjem). Karakter V. K. određen je... ... Veliki enciklopedijski politehnički rječnik
Oni nastaju u sistemu pod uticajem periodičnih spoljašnjih uticaja (na primer, prinudne oscilacije klatna pod uticajem periodične sile, prinudne oscilacije u oscilatornom kolu pod uticajem periodične elektromotorne sile). Ako… … Veliki enciklopedijski rečnik
Prisilne vibracije- (vibracija) – oscilacije (vibracije) sistema uzrokovane i podržane silom i (ili) kinematičkom pobudom. [GOST 24346 80] Prisilne vibracije su vibracije sistema uzrokovane dejstvom vremenski promenljivih opterećenja. [Industrija... ... Enciklopedija pojmova, definicija i objašnjenja građevinskih materijala
- (Ograničene vibracije, prisilne vibracije) vibracije tijela uzrokovane periodično djelujućom vanjskom silom. Ako se period prisilnih oscilacija poklopi sa periodom prirodnih oscilacija tijela, javlja se fenomen rezonancije. Samoilov K.I.... ...Pomorski rječnik
PRISILNE VIBRACIJE- (vidi), koji nastaju u bilo kom sistemu pod uticajem spoljašnjeg promenljivog uticaja; njihov karakter je određen kako svojstvima spoljašnjeg uticaja tako i svojstvima samog sistema. Kako se učestalost spoljašnjih uticaja približava frekvenciji prirodnih... Velika politehnička enciklopedija
Oni nastaju u sistemu pod uticajem periodičnih spoljašnjih uticaja (na primer, prinudne oscilacije klatna pod uticajem periodične sile, prinudne oscilacije u oscilatornom kolu pod uticajem periodične emf). Ako je frekvencija...... enciklopedijski rječnik
Knjige
- Prisilne vibracije torzije osovine kada se uzme u obzir prigušenje, A.P. Filippov, Reprodukovano originalnim autorskim pravopisom izdanja iz 1934. (izdavačka kuća Izvestija Akademije nauka SSSR). U… Kategorija: Matematika Izdavač: YOYO Media, Proizvođač: Yoyo Media,
- Prisilne poprečne vibracije šipki uzimajući u obzir prigušenje, A.P. Filippov, Reprodukovano originalnim autorskim pravopisom izdanja iz 1935. (izdavačka kuća "Izvestija Akademije nauka SSSR")... Kategorija: