Основни понятия на геометрията на Лобачевски. някои. В каква геометрия се пресичат успоредни прави? Линиите на Лобачевски се пресичат

Самолет на Лобачевски

Геометрия на Лобачевски (хиперболична геометрия) е една от неевклидовите геометрии, геометрична теория, базирана на същите основни предпоставки като обикновената евклидова геометрия, с изключение на паралелната аксиома, която е заменена от успоредната аксиома на Лобачевски.

Евклидовата паралелна аксиома казва:

през точка, която не лежи на дадена права, има само една права линия, която лежи с дадена права линия в една равнина и не я пресича.

В геометрията на Лобачевски вместо това се приема следната аксиома:

през точка, която не лежи на дадената права, има поне две прави, които лежат с дадената права линия в една и съща равнина и не я пресичат.

Геометрията на Лобачевски има широко приложение както в математиката, така и във физиката. Историческото му значение се крие във факта, че като го конструира, Лобачевски показа възможността за геометрия, различна от евклидова, което бележи нова ера в развитието на геометрията и математиката като цяло.

История

Опит за доказване на петия постулат

Отправната точка на геометрията на Лобачевски е V постулата на Евклид – аксиома, еквивалентна на паралелната аксиома. Той е включен в списъка с постулати в Елементите на Евклид). Относителната сложност и неинтуитивност на формулировката му предизвикват усещане за вторичността му и пораждат опити да се изведе от останалите постулати на Евклид.

Сред онези, които се опитваха да докажат, бяха следните учени:

древногръцките математици Птолемей (II век), Прокъл (V век) (въз основа на предположението, че разстоянието между две успоредни е крайно),
Ибн ал-Хайтам от Ирак (късните - ранните векове) (въз основа на предположението, че краят на движеща се перпендикулярна права линия описва права линия),
Иранските математици Омар Хайям (2-ра половина - началото на 12-ти век) и Насир ад-Дин ат-Туси (13-ти век) (въз основа на предположението, че две сближаващи се прави линии не могат да се разминават без пресичане, когато продължават),
немският математик Клавиус (),
италиански математици
- Каталди (за първи път през 1603 г. той публикува произведение, изцяло посветено на въпроса за паралела),
Английският математик Уолис (, публикуван в) (въз основа на предположението, че за всяка фигура има подобна, но не еднаква фигура),
Френският математик Лежандър () (въз основа на предположението, че през всяка точка вътре в остър ъгъл може да се начертае права линия, която пресича двете страни на ъгъла; той също имаше други опити да го докаже).

В тези опити да докажат петия постулат, математиците въведоха ново твърдение, което им се стори по-очевидно.

Правени са опити за използване на доказателство чрез противоречие:

Италианският математик Сакери () (след като формулира твърдение, противоречащо на постулата, той изведе редица последствия и, погрешно признавайки някои от тях за противоречиви, той счита постулата за доказан),
Германският математик Ламберт (около, публикуван в) (след провеждане на изследвания, той призна, че не може да намери противоречия в изградената от него система).

Накрая започна да се появява разбирането, че е възможно да се изгради теория, базирана на противоположния постулат:

Германските математици F. Schweickart () и Taurinus () (те обаче не осъзнават, че подобна теория ще бъде логически еднакво последователна).

Създаване на неевклидова геометрия

Лобачевски в своя труд „За принципите на геометрията“ (), първата му публикувана работа по неевклидова геометрия, ясно заявява, че V постулатът не може да бъде доказан въз основа на други предпоставки на евклидовата геометрия и че допускането за постулат противоположна на тази на Евклидова позволява да се конструира геометрия по същия начин, смислена, като Евклидова, и свободна от противоречия.

В същото време и независимо Янош Болай стига до подобни заключения, а Карл Фридрих Гаус стига до такива заключения още по-рано. Писанията на Бояи обаче не привлякоха внимание и той скоро изостави темата, а Гаус като цяло се въздържа от публикуване, а за неговите възгледи може да се съди само по няколко писма и записи в дневника. Например, в писмо от 1846 г. до астронома Г. Х. Шумахер, Гаус говори за работата на Лобачевски по следния начин:

Тази работа съдържа основите на геометрията, която би трябвало да се осъществи и освен това би представлявала строго последователно цяло, ако евклидовата геометрия не беше вярна... Лобачевски я нарича "въображаема геометрия"; Знаете, че в продължение на 54 години (от 1792 г.) споделям едни и същи възгледи с известно развитие от тях, което не искам да споменавам тук; Така не открих за себе си нищо практически ново в творчеството на Лобачевски. Но в развитието на темата авторът не следваше пътя, който аз самият вървях; тя е изпълнена от Лобачевски майсторски в истински геометричен дух. Смятам се за длъжен да обърна вниманието ви към тази композиция, която вероятно ще ви достави изключително удоволствие.

В резултат на това Лобачевски действа като първият най-ярък и последователен пропагандист на тази теория.

Въпреки че геометрията на Лобачевски се развива като спекулативна теория и самият Лобачевски я нарича "въображаема геометрия", въпреки това Лобачевски я разглежда не като игра на ума, а като възможна теория на пространствените отношения. Доказателството за нейната последователност обаче е дадено по-късно, когато са посочени нейните тълкувания и по този начин е напълно разрешен въпросът за нейното истинско значение, логическата последователност.

Утвърждаване на геометрията на Лобачевски

ъгълът е още по-труден.

Модел на Поанкаре

Съдържание на геометрията на Лобачевски

Сноп от успоредни линии в геометрията на Лобачевски

Лобачевски изгражда своята геометрия, изхождайки от основните геометрични понятия и своята аксиома, и доказва теореми с геометричен метод, подобно на това как се прави в геометрията на Евклид. Теорията на успоредните линии послужи като основа, тъй като именно тук започва разликата между геометрията на Лобачевски и геометрията на Евклид. Всички теореми, които не зависят от паралелната аксиома, са общи и за двете геометрии и образуват така наречената абсолютна геометрия, която включва например теоремите за равенството на триъгълниците. Следвайки теорията на паралелите, са изградени други раздели, включително тригонометрията и началото на аналитичната и диференциалната геометрия.

Нека цитираме (в съвременна нотация) няколко факта от геометрията на Лобачевски, които я отличават от геометрията на Евклид и са установени от самия Лобачевски.

През точка Пне лежи на дадена линия Р(виж фигурата), има безкрайно много прави линии, които не се пресичат Ри са в една и съща равнина с него; сред тях има две крайни х, г, които се наричат успоредна права Рв смисъл на Лобачевски. В моделите на Клайн (Поанкаре) те са изобразени чрез акорди (кръгови дъги), имащи акорд (дъга) Робщ край (който по дефиниция на модела е изключен, така че тези линии да нямат общи точки).

Ъгъл между перпендикуляра PBот ПНа Ри всеки от успоредните (наречени ъгъл на паралелизъм) като точката бъде премахната Пот права линия намалява от 90 ° до 0 ° (в модела на Поанкаре ъглите в обичайния смисъл съвпадат с ъглите в смисъла на Лобачевски и следователно този факт може да се види директно върху него). Паралелно хот една страна (а гс обратното) асимптотично подхожда а, а от друга страна, безкрайно се отдалечава от него (в моделите разстоянията са трудни за определяне и следователно този факт не се вижда директно).

За точка, разположена от дадена права линия на разстояние PB = a(виж фигурата), Лобачевски дава формула за ъгъла на паралелизъм П (а) :

Тук q- някаква константа, свързана с кривината на пространството на Лобачевски. Тя може да служи като абсолютна единица за дължина по същия начин, както в сферичната геометрия специална позиция се заема от радиуса на сфера.

Ако правите имат общ перпендикуляр, тогава те се отклоняват безкрайно в двете посоки от него. Към всеки от тях можете да възстановите перпендикуляри, които не достигат до друга права линия.

В геометрията на Лобачевски няма подобни, но неравни триъгълници; триъгълниците са равни, ако ъглите им са равни.

Сумата от ъглите на всеки триъгълник е по-малка от π и може да бъде произволно близка до нула. Това може да се види директно в модела на Поанкаре. Разликата δ = π - (α + β + γ), където α, β, γ са ъглите на триъгълника, е пропорционална на неговата площ:

Формулата показва, че има максимална площ на триъгълник и това е крайно число: π q 2 .

Линия на равни разстояния от права линия не е права линия, а специална крива, наречена равноотдалечена линия, или хиперцикъл.

Границата на окръжностите с безкрайно нарастващ радиус не е права линия, а специална крива, наречена ограничаване на обиколката, или хороцикъл.

Границата на сферите с безкрайно нарастващ радиус не е равнина, а специална повърхност - гранична сфера, или хоросфера; забележително е, че върху него се извършва евклидова геометрия. Това послужи като основа за извеждането на Лобачевски на тригонометричните формули.

Обиколката не е пропорционална на радиуса, но расте по-бързо. По-специално, в геометрията на Лобачевски числото π не може да бъде определено като съотношението на обиколката на окръжността към неговия диаметър.

Колкото по-малка е площта в пространството или в равнината на Лобачевски, толкова по-малко геометричните отношения в тази област се различават от отношенията в евклидовата геометрия. Можем да кажем, че евклидовата геометрия се осъществява в безкрайно малка област. Например, колкото по-малък е триъгълникът, толкова по-малко сумата от ъглите му се различава от π; колкото по-малък е кръгът, толкова по-малко отношението на неговата дължина към радиуса се различава от 2π и т.н. Намаляването на площта формално е еквивалентно на увеличаване на единицата дължина, следователно, с неограничено увеличаване на единицата дължина, геометричните формули на Лобачевски се превръщат във формулите на евклидовата геометрия. В този смисъл евклидовата геометрия е „ограничаващият“ случай на геометрията на Лобачевски.

Приложения

Самият Лобачевски прилага своята геометрия за изчисляване на определени интеграли.
В теорията на функциите на комплексна променлива геометрията на Лобачевски помогна за изграждането на теорията на автоморфните функции. Връзката с геометрията на Лобачевски е тук отправната точка на изследванията на Поанкаре, който пише, че „неевклидовата геометрия е ключът към решаването на целия проблем“.
Геометрията на Лобачевски се използва и в теорията на числата, в нейните геометрични методи, обединени под името "геометрия на числата".
Установена е тясна връзка между геометрията на Лобачевски и кинематиката на специалната (частна) теория на относителността. Тази връзка се основава на факта, че равенството, което изразява закона за разпространение на светлината

когато се раздели на T 2, тоест за скоростта на светлината, дава

- уравнение на сфера в пространството с координати v х , v г , v z- компоненти на скоростта по осите NS, в, z(в "пространството на скоростите"). Преобразуванията на Лоренц запазват тази сфера и тъй като са линейни, преобразуват правите линии на скоростното пространство в прави. Следователно, според модела на Клайн, в пространството на скоростите вътре в сферата на радиуса с, тоест при скорости, по-малки от скоростта на светлината, се осъществява геометрията на Лобачевски.

Геометрията на Лобачевски намери забележително приложение в общата теория на относителността. Ако приемем, че разпределението на масите на материята във Вселената е равномерно (това приближение е допустимо в космически мащаб), тогава се оказва, че при определени условия пространството има геометрията на Лобачевски. Така предположението на Лобачевски за неговата геометрия като възможна теория на реалното пространство беше оправдано.
Използвайки модела на Клайн, е дадено много просто и кратко доказателство

LV 1. (Аксиома за паралелизъм на Лобачевски). Във всяка равнина има права линия a 0 и точка A 0, която не принадлежи на тази права, така че поне две прави, които не пресичат 0, минават през тази точка.

Множеството от точки, прави и равнини, удовлетворяващи аксиомите за принадлежност, ред, конгруентност, непрекъснатост и аксиомата на Лобачевски за паралелизъм, ще се нарича триизмерно пространство на Лобачевски и ще се означава с A 3. Повечето от геометричните свойства на фигурите ще бъдат разгледани от нас в равнината на пространството Л 3, т.е. на самолета на Лобачевски. Нека обърнем внимание на факта, че формалното логическо отрицание на аксиомата V 1, аксиомата на паралелизма на евклидовата геометрия, има точно формулировката, която дадохме като аксиома LV 1. На равнината има поне една точка и една права линия, за които твърдението на аксиомата за паралелизъм на евклидовата геометрия не важи. Нека докажем една теорема, от която следва, че твърдението на аксиомата за паралелизъм на Лобачевски е валидно за всяка точка и всяка права линия от равнината на Лобачевски.

Теорема 13.1.Нека a е произволна права линия и A точка, която не лежи на тази права линия. Тогава в равнината, дефинирана от точка А и права а, има поне две прави, минаващи през А и не пресичащи права а.

Доказателство.Извършваме доказателството от противоречие, като използваме теорема 11.1 (виж § 11). Да предположим, че в пространството на Лобачевски има точка A и права линия a такива, че в равнината, определена от тази точка и права линия, през точка A има една права линия, която не пресича a. Нека пуснем перпендикуляра на точка А АВ на правата а и в точка А повдигнем перпендикуляра h на правата АВ (фиг. 50). Както следва от теорема 4.2 (виж § 4), правите h и a не се пресичат. Правата h, по силата на предположението, е единствената права линия, минаваща през A и не пресичаща a. Нека изберем произволна точка C на правата линия a. Нека отделим от лъча AC в полуравнината с граница AB, която не съдържа точка B, ъгълът CAM равен на ACB. Тогава, както следва от същата теорема 4.2, правата AM не пресича a. От нашето предположение следва, че съвпада с h. Следователно точката M принадлежи на правата h. Триъгълник ABC - правоъгълен,. Нека изчислим сумата от ъглите на триъгълника ABC:. От теорема 11.1 следва, че условието за аксиомата за паралелизъм на евклидовата геометрия е изпълнено. Следователно в разглежданата равнина не може да има точки A 0 и права линия a 0, така че през тази точка да минават поне две прави, които не пресичат 0. Стигнахме до противоречие с условието за паралелната аксиома на Лобачевски. Теоремата е доказана.

Трябва да се отбележи, че по-нататък ще използваме твърдението на теорема 13.1, което всъщност заменя твърдението на аксиомата на Лобачевски за паралелизма. Между другото, в много учебници именно това твърдение се приема като аксиома за паралелизъм на геометрията на Лобачевски.

Лесно е да се получи следното следствие от теорема 13.1.

Следствие 13.2. В равнината на Лобачевски през точка, която не лежи на дадена права, има безкрайно много прави, които не пресичат дадената.

Наистина, нека a е дадена права линия, а A е точка, която не й принадлежи, h 1 и h 2 са прави, минаващи през A и не пресичащи a (фиг. 51). Очевидно всички прави, които минават през точка А и лежат в един от ъглите, образувани от h 1 и h 2 (виж фиг. 51), не пресичат права а.

В глава 2 доказахме редица твърдения, които са еквивалентни на паралелната аксиома на евклидовата геометрия. Техните логически отрицания характеризират свойствата на фигурите в равнината на Лобачевски.

Първо, в равнината на Лобачевски е валидно логическото отрицание на петия постулат на Евклид. В раздел 9 формулирахме самия постулат и доказахме теорема за неговата еквивалентност на аксиомата за паралелизъм на евклидовата геометрия (виж теорема 9.1). Неговото логическо отрицание е:

Изявление 13.3.В равнината на Лобачевски има две непресичащи се прави линии, които, когато се пресичат с третата права, образуват вътрешни едностранни ъгли, чиято сума е по-малка от два прави ъгъла.

В § 12 формулирахме предложението на Посидоний: на равнината има най-малко три колинеарни точки, разположени в една полуравнина от дадената права и еднакво отдалечени от нея.Доказахме също теорема 12.6: Предложението на Посидоний е еквивалентно на твърдението на аксиомата за паралелизъм на евклидовата геометрия.По този начин, отрицанието на това твърдение действа върху равнината на Лобачевски.

Изявление 13.4. Множеството от точки, еднакво отдалечени от права линия на равнината на Лобачевски и разположени в една полуравнина спрямо нея, от своя страна не лежат на една права линия.

В равнината на Лобачевски набор от точки, еднакво отдалечени от права линия и принадлежащи на една полуравнина спрямо тази права линия, образуват крива линия, така наречената равноотдалечена линия. По-късно ще разгледаме неговите свойства.

Разгледайте сега предложението на Лежандър: n Теорема 11.6, която доказахме (виж § 11), твърди, че От това следва, че на равнината на Лобачевски логическото отрицание на това твърдение е валидно.

Изявление 13.5. От страната на всеки остър ъгъл има такава точка, че перпендикулярът към нея, повдигнат в тази точка, не пресича втората страна на ъгъла.

Нека отбележим свойствата на триъгълниците и четириъгълниците на равнината на Лобачевски, които следват директно от резултатите от раздели 9 и 11. На първо място, теорема 11.1. гласи че допускането за съществуването на триъгълник, чиято сума от ъглите съвпада със сумата от два прави ъгъла, е еквивалентна на аксиомата за паралелизъм на евклидовата равнина.От тази и първата теорема на Лежандър (виж теорема 10.1, § 10) следва следното твърдение

Изявление 13.6. В равнината на Лобачевски сумата от ъглите на всеки триъгълник е по-малка от 2d.

Това веднага предполага, че сумата от ъглите на всеки изпъкнал четириъгълник е по-малка от 4d, а сумата от ъглите на всеки изпъкнал n - ъгъл е по-малка от 2 (n-1) d.

Тъй като в евклидовата равнина ъглите, съседни на горната основа на четириъгълника на Сакери, са равни на прави ъгли, което в съответствие с теорема 12.3 (виж § 12) е еквивалентно на аксиомата за паралелизъм на евклидовата геометрия, можем да начертаем следното заключение.

Изявление 13.7. Ъглите, съседни на горната основа на четириъгълника на Сакери, са остри.

Остава да разгледаме още две свойства на триъгълници в равнината на Лобачевски. Първият е свързан с предложението на Уолис: на равнината има поне една двойка триъгълници със съответно равни ъгли, но не равни страни.В раздел 11 доказахме, че това твърдение е еквивалентно на паралелната аксиома на евклидовата геометрия (вж. Теорема 11.5). Логичното отричане на това твърдение ни води до следния извод: на равнината на Лобачевски няма триъгълници с равни ъгли, но не и равни страни. Следователно, следното твърдение е вярно.

Изявление 13.8. (четвъртият критерий за равенство на триъгълниците в равнината на Лобачевски).Всеки два триъгълника в равнината на Лобачевски, имащи съответно равни ъгли, са равни един на друг.

Помислете сега за следващия въпрос. Може ли да се опише кръг около всеки триъгълник в равнината на Лобачевски? Отговорът е даден от теорема 9.4 (виж § 9). В съответствие с тази теорема, ако окръжност може да бъде описана около всеки триъгълник в равнината, тогава условието на аксиомата за паралелизъм на евклидовата геометрия е изпълнено на равнината. Следователно логическото отрицание на твърдението на тази теорема ни води до следното твърдение.

Изявление 13.9. В равнината на Лобачевски има триъгълник, около който не може да се опише кръг.

Лесно е да се построи пример за такъв триъгълник. Нека изберем някаква права а и точка А, която не й принадлежи. Нека пуснем перпендикуляра h от точка А на права а. По силата на аксиомата на Лобачевски за паралелизма има права b, минаваща през A, а не перпендикулярна на h, която не пресича a (фиг. 52). Както знаете, ако окръжност е описана около триъгълник, тогава центърът му лежи в точката на пресичане на средните перпендикуляри на страните на триъгълника. Следователно е достатъчно да дадем пример за такъв триъгълник, средните перпендикуляри на който не се пресичат. Нека изберем точка M на правата h, както е показано на фигура 52. Показваме я симетрично спрямо линиите a и b, получаваме точки N и P. Тъй като правата b не е перпендикулярна на h, точката P не принадлежат на h. Следователно точките M, N и P са върховете на триъгълника. Линиите a и b служат като перпендикуляри по конструкция. Те, както бе споменато по-горе, не се пресичат. Триъгълникът MNP е изискуемият.

Лесно е да се построи пример за триъгълник в равнината на Лобачевски, около който може да се опише кръг. За да направите това, достатъчно е да вземете две пресичащи се линии, да изберете точка, която не им принадлежи, и да я отразите спрямо тези линии. Извършете сами детайлната конструкция.

Определение 14.1. Нека са дадени две насочени прави и. Те се наричат паралелни, ако са изпълнени следните условия:

1. прави а и b не се пресичат;

2. за произволни точки A и B от прави а и b всеки вътрешен лъч h на ъгъл ABB 2 пресича права а (фиг. 52).

Ще обозначаваме успоредните прави по същия начин, както е обичайно в училищния курс по геометрия: a || б. Забележете, че успоредните прави в евклидовата равнина удовлетворяват това определение.

Теорема 14.3. Нека на равнината на Лобачевски са дадени насочена права линия и точка B, която не й принадлежи. Тогава през тази точка минава една насочена права, така че правата а е успоредна на права b.

Доказателство.Нека пуснем от точка B перпендикуляра BA към правата линия a и от точка B ще възстановим перпендикуляра p на правата BA (фиг. 56 а). Правата p, както вече беше отбелязано много пъти, не пресича дадената права линия a. Нека изберем произволна точка C върху нея, разделим точките на отсечката AC на два класа и. Първият клас ще включва такива точки S от този сегмент, за които лъчът BS пресича лъча AA 2, а вторият клас включва такива точки T, за които лъчът BT не пресича лъча AA 2. Нека покажем, че такова разделяне на класове произвежда сечение на Дедекинд от сегмента AC. В съответствие с теорема 4.3 (виж § 4), трябва да проверим, че:

2. и класове и съдържат точки, различни от A и C;

3. всяка точка от класа, различна от А, се намира между точка А и която и да е точка от класа.

Първото условие е очевидно, всички точки от сегмента принадлежат към един или друг клас, докато самите класове, въз основа на тяхното определение, нямат общи точки.

Второто условие също е лесно за проверка. Очевидно и. Класът съдържа точки, различни от A, за да проверите това твърдение, достатъчно е да изберете някаква точка от лъча AA 2 и да я свържете с точка B. Този лъч ще пресече отсечката BC в точката на първия клас. Класът съдържа и точки, различни от C, в противен случай ще стигнем до противоречие с аксиомата на Лобачевски за паралелизъм.

Нека докажем третото условие. Нека съществува точка S от първия клас, различна от A, и такава точка T от втория клас, така че точката T лежи между A и S (виж фиг. 56 а). Тъй като тогава лъч BS пресича лъч AA 2 в някаква точка R. Да разгледаме лъча BT. Той пресича AS страната на ASR триъгълника в точка T. Според аксиомата на Паша този лъч трябва да пресича или страната AR, или страната SR на този триъгълник. Да предположим, че лъчът BT пресича страната SR в някаква точка O. Тогава две различни прави BT и BR преминават през точките B и O, което противоречи на аксиомата на аксиомата на Хилберт. По този начин лъчът BT пресича страната AR, което означава, че точката T не принадлежи към клас K 2. Полученото противоречие води до твърдението, че точката S лежи между A и T. Условието на теорема 4.3 е напълно проверено.

В съответствие с заключението на теорема 4.3 за секцията на Дедекинд на отсечката AC, съществува точка, за която всяка точка, лежаща между A и принадлежи на класа, и всяка точка, лежаща между и C, принадлежи на класа. Нека покажем, че насочената права е успоредна на правата ... Всъщност остава да докажем, че тя не пресича правата линия a, тъй като поради избора на точки от клас K 1 всеки вътрешен лъч на ъгъла се пресича. Да предположим, че правата линия пресича правата линия a в някаква точка H (Фигура 56 b). Нека изберем произволна точка P на лъч HA 2 и да разгледаме лъч BP. Тогава той пресича отсечката М 0 С в някаква точка Q (докажете това твърдение сами). Но вътрешните точки на отсечката М 0 С принадлежат към втория клас, лъчът BP не може да има общи точки с правата a. Следователно нашето предположение за пресичането на прави BM 0 и a е неправилно.

Лесно е да се провери, че правата е единствената насочена права, минаваща през точка B и успоредна. Наистина, нека друга насочена права линия минава през точка B, която също е успоредна. В този случай ще приемем, че M 1 е точката на отсечката AC. Тогава, въз основа на дефиницията на клас K 2,. Следователно лъчът BM 0 е вътрешният лъч на ъгъла, следователно, по силата на дефиниция 14.1, той пресича правата линия. Стигнахме до противоречие с доказаното по-горе твърдение. Теорема 14.3 е напълно доказана.

Да разгледаме точка B и насочена права, която не я съдържа. В съответствие с доказана теорема 14.3, насочена права линия, успоредна на a, минава през точка B. Нека пуснем перпендикуляра BH от точка B към права а (фиг. 57). Лесно е да се види това ъгъл HBB 2 - остър... Всъщност, ако приемем, че този ъгъл е права линия, тогава от дефиниция 14.1 следва, че всяка права линия, минаваща през точка B, пресича правата линия a, което противоречи на теорема 13.1, т.е. Аксиома за паралелизъм на Лобачевски LV 1 (виж § 13). Лесно е да се види, че предположението, че този ъгъл е тъп, също води до противоречие с дефиниция 14.1 и теорема 4.2 (виж §4), тъй като вътрешният лъч на ъгъл HBB 2, перпендикулярен на BH, не пресича лъч AA 2 . Следователно, следното твърдение е вярно.

Теорема 14.4. Нека насочената права е успоредна на насочената права. Ако от точка B на правата линия спуснем перпендикуляра VN към правата линия, тогава ъгълът HBB 2 е остър.

Следното следствие очевидно следва от тази теорема.

Последствие.Ако има общ перпендикуляр на насочените прави и, тогава правата не е успоредна на правата.

Нека представим концепцията за паралелизъм за неориентирани прави. Ще приемем това две ненасочени прави линии са успоредни, ако могат да бъдат избрани посоки върху тях, така че да отговарят на определение 14.1.Както знаете, правата линия има две посоки. Следователно от теорема 14.3 следва, че през точка B, която не принадлежи на правата a, има две ненасочени прави, успоредни на тази права. Очевидно те са симетрични спрямо перпендикуляра, спуснат от точка B към права а. Тези две прави линии са самите гранични линии, разделящи снопа прави линии, минаващи през точка B и пресичащи a, от снопа прави линии, минаващи през B и не пресичащи линия a (фиг. 57).

Теорема 15.2. (Свойството на симетрия на успоредни прави в равнината на Лобачевски).Нека насочената права е успоредна на насочената права. Тогава насочената права е успоредна на правата.

Свойството на симетрия на концепцията за успоредност на правите в равнината на Лобачевски ни позволява да не указваме реда на насочените успоредни прави, т.е. не уточнявайте кой ред е първият и кой вторият. Очевидно свойството на симетрия на концепцията за успоредност на правите важи и за евклидовата равнина. Това следва директно от определението за успоредни прави в евклидовата геометрия. В евклидовата геометрия свойството транзитивност се изпълнява и за успоредни прави. Ако правата a е успоредна на права b и права b е успоредна на права c. тогава правите a и c също са успоредни една на друга. Подобно свойство важи и за насочени прави линии в равнината на Лобачевски.

Теорема 15.3. (Свойство на транзитивност на успоредни прави в равнината на Лобачевски).Нека са дадени три различни насочени прави линии,. Ако и , тогава .

Помислете за насочена права, успоредна на насочена права. Нека ги пресечем с права линия. Точки А и В, съответно, са пресечните точки на правите линии и, (фиг. 60). Следната теорема е вярна.

Теорема 15.4. Ъгълът е по-голям от ъгъла.

Теорема 15.5. Външният ъгъл на изроден триъгълник е по-голям от вътрешния ъгъл, който не е в съседство с него.

Доказателството следва непосредствено от теорема 15.4. Направи го сам.

Да разгледаме произволен сегмент AB. През точка А прокарваме права линия a, перпендикулярна на AB, а през точка B права b, успоредна на a (фиг. 63). Както следва от теорема 14.4 (виж § 14), правата b не е перпендикулярна на правата AB.

Определение 16.1. Остър ъгъл, образуван от прави AB и b, се нарича ъгъл на успоредност на отсечката AB.

Ясно е, че определен ъгъл на успоредност съответства на всеки отсечка. Следната теорема е вярна.

Теорема 16.2. Еднакви отсечки съответстват на равни ъгли на паралелизъм.

Доказателство.Нека са дадени две равни отсечки AB и A ¢ B ¢. Нека проведем през точки A и A ¢ насочени прави линии и съответно AB и A ¢ B ¢ и през точки B и B ¢ насочени прави и съответно и (фиг. 64). Тогава и съответно ъглите на паралелизъм на отсечките AB и A ¢ B ¢. Нека се преструваме

Нека отделим ъгъла a 2 от VA лъча в полуравнината BAA 2 (виж фиг. 64). По силата на неравенството (1), лъч l е вътрешният лъч на ъгъл ABB 2. Тъй като ½1, то l пресича лъча AA 2 в някаква точка P. Нека сложим на лъча A ¢ A 2 ¢ от точка A отсечката A ¢ P, равно на AP. Да разгледаме триъгълниците ABP и A ¢ B ¢ P ¢. Те са правоъгълни, според хипотезата на теоремата имат равни катети AB и A ¢ B ¢, по конструкция втората двойка катети AP и A ¢ P са равни помежду си. Така правоъгълният триъгълник ABP е равен на триъгълника A ¢ B ¢ P ¢. Ето защо . От друга страна, лъч B ¢ P ¢, пресича лъч A ¢ A 2 ¢ и насочената права B 1 ¢ B 2 ¢ е успоредна на правата A 1 ¢ A 2 ¢. Следователно лъчът B ¢ P ¢ е вътрешният лъч на ъгъла A ¢ B ¢ B 2 ¢, ... Полученото противоречие опровергава нашето предположение, неравенството (1) е невярно. По същия начин се доказва, че ъгълът не може да бъде по-малък от ъгъла. Теоремата е доказана.

Нека сега разгледаме как ъглите на успоредност на неравните сегменти са свързани един с друг.

Теорема 16.3. Нека отсечката AB е по-голяма от отсечката A ¢ B ¢, а ъглите и съответно техните ъгли на паралелизъм. Тогава .

Доказателство.Доказателството на тази теорема следва директно от теорема 15.5 (виж § 15) за външния ъгъл на изроден триъгълник. Помислете за отсечка AB. Да начертаем насочена права линия през точка A, перпендикулярна на AB, и през точка B, насочена права, успоредна (фиг. 65). Нека сложим върху лъча AB отсечката AP, равно на A ¢ B ¢. Тъй като тогава P е вътрешната точка на отсечката AB. Нека начертаем насочена линия C 1 C 2 през P, също успоредна. Ъгълът служи като ъгъл на успоредност на отсечката A ¢ B ¢, а ъгълът е ъгълът на успоредност на отсечката AB. От друга страна, от теорема 15.2 за симетрията на понятието паралелизъм на правите (виж § 15) следва, че правата С 1 С 2 е успоредна на правата. Следователно триъгълникът RBC 2 A 2 е изроден, е външен и неговите вътрешни ъгли. Теорема 15.5 предполага истинността на доказаното твърдение.

Обратното е лесно за доказване.

Теорема 16.4.Нека и ъглите на успоредност на отсечките AB и A ¢ B ¢. Тогава, ако, тогава AB> A ¢ B ¢.

Доказателство.Да предположим обратното,. Тогава от теореми 16.2 и 16.3 следва, че , което противоречи на хипотезата на теоремата.

И така ние доказахме, че всеки сегмент съответства на свой собствен ъгъл на успоредност, а по-големият сегмент съответства на по-малък ъгъл на паралелизъм. Помислете за твърдение, доказващо, че за всеки остър ъгъл има сегмент, за който този ъгъл е ъгълът на паралелизъм. Това ще установи съответствие едно към едно между сегментите и острите ъгли на равнината на Лобачевски.

Теорема 16.5. За всеки остър ъгъл има отсечка, за която този ъгъл е паралелен ъгъл.

Доказателство.Нека е даден остър ъгъл ABC (фиг. 66). Ще приемем, че всички точки, разгледани по-долу върху лъчите BA и BC, лежат между точки B и A и B и C. Да наречем лъч допустим, ако произходът му принадлежи на страната на ъгъла BA, той е перпендикулярен на правата BA и се намира в същата полуравнина спрямо правата BA като страната BC на дадения ъгъл.Нека се обърнем към предложението на Лежандър: n Перпендикуляр, начертан към страна на остър ъгъл във всяка точка от тази страна, пресича втората страна на ъгъла.Доказахме теорема 11.6 (виж § 11), която гласи, че Предложението на Лежандър е еквивалентно на паралелната аксиома на евклидовата геометрия.От това заключихме, че на равнината на Лобачевски логическото отрицание на това твърдение е валидно, а именно, от страната на всеки остър ъгъл има такава точка, че перпендикулярът към нея, повдигнат в тази точка, не пресича втората страна на ъгъла(виж § 13). По този начин има такъв допустим лъч m с начало в точка M, който не пресича BC страната на дадения ъгъл (виж фиг. 66).

Нека разделим точките на сегмента VM на два класа. клас ще принадлежи на онези точки от този сегмент, за които допустимите лъчи с начало в тези точки пресичат BC страната на този ъгъл, и класът принадлежат онези точки от сегмента BC, за които допустимите лъчи с начало в тези точки не пресичат страната BC. Нека покажем, че такова разделяне на отсечката BM образува сечение на Дедекинд (виж теорема 4.3, § 4). За да направите това, проверете това

5. и класове и съдържат точки, различни от B и M;

6. всяка точка от класа, различна от B, се намира между точка B и която и да е точка от класа.

Първото условие очевидно е изпълнено. Всяка точка от отсечката BM принадлежи или на клас K 1, или на клас K 2. Освен това една точка, по силата на дефиницията на тези класове, не може да принадлежи към два класа едновременно. Очевидно можем да приемем, че точката M принадлежи на K 2, тъй като допустимият лъч с начало в точка M не пресича BC. Клас K 1 съдържа поне една точка, различна от B. За да се конструира, е достатъчно да се избере произволна точка P от страната BC и от нея да се спусне перпендикуляра PQ върху гредата BA. Ако приемем, че точката Q лежи между точките M и A, то точките P и Q лежат в различни полуравнини по отношение на правата, съдържаща лъча m (виж фиг. 66). Следователно отсечката PQ пресича лъча m в някаква точка R. Получаваме, че два перпендикуляра са пуснати от точка R върху правата BA, което противоречи на теорема 4.2 (виж § 4). Така точката Q принадлежи на отсечката BM, класът K 1 съдържа точки, различни от B. Лесно е да се обясни защо на лъча BA има отсечка, съдържаща поне една точка, принадлежаща към клас K 2 и различна от своя край. Действително, ако класът K 2 на разглеждания отсечка BM съдържа една точка M, тогава избираме произволна точка M ¢ между M и A. Да разгледаме допустим лъч m ¢ с начало в точка M ¢. Той не пресича лъч m, в противен случай два перпендикуляра се изпускат от точката до правата AB, следователно m ¢ не пресича лъч BC. Сегментът VM ¢ е желаният и всички допълнителни разсъждения трябва да се извършат за сегмента VM ¢.

Нека проверим валидността на третото условие от теорема 4.3. Да предположим, че има такива точки и че точка P лежи между точки U и M (фиг. 67). Нека начертаем допустимите лъчи u и p с начало в точките U и P. Тъй като лъчът p пресича страната BC на даден ъгъл в някаква точка Q. Правата линия, съдържаща лъча u, пресича страната BP на триъгълника Следователно BPQ според аксиомата на Хилберт (аксиомата на Паша, виж § 3) пресича или страната BQ, или страната PQ на този триъгълник. Но следователно лъчът u не пресича страната BQ, следователно, лъчите p и u се пресичат в някаква точка R. Отново стигаме до противоречие, тъй като сме построили точка, от която два перпендикуляра са изпуснати на правата AB . Условието на теорема 4.3 е напълно изпълнено.

М. От това следва, че. Получихме противоречие, тъй като сме построили точка от клас K 1, разположена между точките и M. Остава да покажем, че всеки вътрешен лъч на ъгъла пресича лъча BC. Да разгледаме произволен вътрешен лъч h от този ъгъл. Нека изберем върху него произволна точка K, принадлежаща на ъгъла, и пуснем перпендикуляра от нея върху правата BA (фиг. 69). Основата S на този перпендикуляр очевидно принадлежи на отсечката BM 0, т.е. клас K 1 (докажете този факт сами). От това следва, че перпендикулярът KS пресича страната BC на дадения ъгъл в някаква точка T (виж фиг. 69). Лъч h пресича страната ST на триъгълник BST в точка K, според аксиомата (аксиомата на Паша), той трябва да пресича или страната BS, или страната BT на този триъгълник. Ясно е, че h не пресича отсечката BS, в противен случай две прави, h и BA, минават през две точки и тази пресечна точка. По този начин h пресича страната BT, т.е. лъч VA. Теоремата е напълно доказана.

И така, установихме, че всеки сегмент в геометрията на Лобачевски може да бъде свързан с остър ъгъл - неговият ъгъл на успоредност. Ще приемем, че сме въвели мярката на ъглите и отсечките; имайте предвид, че мярката на отсечките ще бъде въведена от нас по-късно, в §. Представяме следното определение.

Определение 16.6. Ако x е дължината на отсечката, а j е стойността на ъгъла, тогава зависимостта j = P (x), която свързва дължината на отсечката със стойността на неговия ъгъл на паралелизъм, се нарича функция на Лобачевски.

Ясно е че . Използвайки доказаните по-горе свойства на ъгъла на успоредност на отсечка (виж теореми 16.3 и 16.4), можем да направим следния извод: функцията на Лобачевски е монотонно намаляваща.Николай Иванович Лобачевски получи следната забележителна формула:

където k е някакво положително число. Той е важен в геометрията на пространството на Лобачевски и се нарича неговият радиус на кривина. Две пространства на Лобачевски с еднакъв радиус на кривина са изометрични. От горната формула, както е лесно да се види, следва също, че j = P (x) е монотонно намаляваща непрекъсната функция, чиито стойности принадлежат на интервала.

В евклидовата равнина фиксираме окръжност w с център в някаква точка O и с радиус равен на единица, която ще наречем абсолютен... Множеството от всички точки на окръжността, ограничена от окръжността w, ще се означи с W ¢, а множеството от всички вътрешни точки на тази окръжност с W. Така,. Точките от множеството W ще бъдат наречени L-точкиМножеството W на всички L-точки е L-равнина, върху който ще конструираме модела на Кейли-Клайн на равнината на Лобачевски. ще се обадим L - правапроизволни хорди на окръжността w. Ще приемем, че L-точката X принадлежи на L-правата x тогава и само ако точката X като точка от евклидовата равнина принадлежи на хордата x на абсолюта.

L-равнина, аксиомата на Лобачевски за паралелизъм важи:през L-точка B, която не лежи на L-правата, преминават най-малко две L-прави b и c, които нямат общи точки с L-правата a. Фигура 94 илюстрира това твърдение. Също така е лесно да се разбере какви са успоредните насочени линии на L-равнината. Разгледайте фигура 95. L-линията b минава през пресечната точка на L-линията a с абсолюта. Следователно, насочената L-линия A 1 A 2 е успоредна на насочената L-линия B 1 A 2. Всъщност тези прави не се пресичат и ако изберем произволни L-точки A и B, принадлежащи съответно на тези прави, тогава всеки вътрешен лъч h на ъгъл A 2 BA пресича права а. По този начин две L-линии са успоредни, ако имат обща пресечна точка с абсолют. Ясно е, че свойствата на симетрията и транзитивността на концепцията за паралелизъм на L-правите са удовлетворени. В параграф 15 доказахме свойството на симетрия, докато свойството на транзитивност е илюстрирано на фигура 95. Права A 1 A 2 е успоредна на права B 1 A 2, те пресичат абсолюта в точка A 2. Правите B 1 A 2 и C 1 A 2 също са успоредни, те също пресичат абсолюта в една и съща точка A 2. Следователно правите A 1 A 2 и C 1 A 2 са успоредни една на друга.

По този начин основните понятия, определени по-горе, удовлетворяват изискванията на аксиоми I 1 -I 3, II, III, IV на групи от аксиоми на Хилберт и аксиомата за паралелизъм на Лобачевски, следователно те са модел на равнината на Лобачевски. Доказахме съществената последователност на планиметрията на Лобачевски. Нека формулираме това твърдение като следната теорема.

Теорема 1. Геометрията на Лобачевски е последователна по отношение на съдържанието.

Изградихме модел на самолета на Лобачевски, но с изграждането на пространствен модел, подобен на този, разглеждан в самолет, можете да се запознаете в ръководството.

Най-важният извод следва от теорема 1. Аксиомата за паралелизъм не е следствие от аксиоми I - IV от аксиомите на Хилберт. Тъй като петият постулат на Евклид е еквивалентен на аксиомата за паралелизъм на евклидовата геометрия, този постулат също не зависи от останалите аксиоми на Хилберт.

”Посветена на връзката между руската и британската наука, математикът Валентина Кириченко разказва на PostNauka за революционния характер на идеите на Лобачевски за геометрията на 19 век.

Успоредните линии не се пресичат дори в геометрията на Лобачевски. Някъде във филмите често можете да намерите фразата: „И успоредните линии на нашия Лобачевски се пресичат“. Звучи красиво, но не е вярно. Николай Иванович Лобачевски наистина измисли необикновена геометрия, в която успоредните линии се държат съвсем различно, отколкото сме свикнали. Но все пак те не се припокриват.

Свикнали сме да мислим, че две успоредни прави не се събират и не се отдалечават. Тоест, без значение каква точка вземем на първата линия, разстоянието от нея до втората линия е едно и също, не зависи от точката. Но дали наистина е така? И защо това е така? И как изобщо може да се провери това?

Ако говорим за физически прави линии, тогава за наблюдение ни е достъпен само малък участък от всяка права линия. И предвид грешките в измерването, няма да можем да направим някакви категорични заключения за това как правите линии се държат много, много далеч от нас. Древните гърци са имали подобни въпроси. През III век пр. н. е. древногръцкият геометър Евклид много точно очертава основното свойство на успоредните прави, което нито може да докаже, нито да опровергае. Затова той го нарече постулат - твърдение, което трябва да се приема с вяра. Това е известният пети постулат на Евклид: ако две прави линии в равнината се пресичат със секущата, така че сумата от вътрешните едностранни ъгли е по-малка от две прави линии, тоест по-малко от 180 градуса, тогава с достатъчно продължение тези две прави ще се пресичат и тя е от страната на секущата, по която сборът е по-малък от два прави ъгъла.

Ключовите думи в този постулат са „с достатъчно продължение“. Именно поради тези думи постулатът не може да бъде проверен емпирично. Може би линиите ще се пресичат в линията на видимост. Може би след 10 километра или отвъд орбитата на Плутон, или може би дори в друга галактика.

Своите постулати и резултати, които логично следват от тях, Евклид очертава в известната книга „Начала“. От древногръцкото наименование на тази книга идва руската дума "элементи", а от латинското - думата "элементи". Началото на Евклид е най-популярният учебник на всички времена. По брой издания тя е на второ място след Библията.

Особено бих искал да отбележа прекрасното британско издание от 1847 г. с много ясна и красива инфографика. Вместо скучни обозначения в чертежите, те използват цветни рисунки - не като в съвременните училищни учебници по геометрия.

До миналия век „Началата“ на Евклид бяха необходими за изучаване във всички образователни програми, което предполагаше интелектуално творчество, тоест не просто изучаване на занаят, а нещо по-интелектуално. Неочевидността на петия постулат на Евклид повдигна естествен въпрос: възможно ли е да се докаже, тоест да се изведе логически от останалите предположения на Евклид? Много математици, от съвременниците на Евклид до тези на Лобачевски, се опитват да направят това. По правило те свеждат петия постулат до някакво по-визуално твърдение, в което е по-лесно да се повярва.

Например, през 17 век английският математик Джон Уолис свежда петия постулат до това твърдение: има два подобни, но неравни триъгълника, тоест два триъгълника, чиито ъгли са равни, но размерите са различни. Изглежда, какво може да бъде по-просто? Нека просто променим мащаба. Но се оказва, че способността за промяна на мащаба при запазване на всички ъгли и пропорции е изключително свойство на евклидовата геометрия, тоест геометрията, в която са изпълнени всички евклидови постулати, включително петият.

През 18-ти век шотландският учен Джон Плейфеър преформулира петия постулат във формата, в която обикновено се появява в съвременните училищни учебници: две прави, пресичащи се една друга, не могат да бъдат едновременно успоредни на третата линия. Именно в тази форма петият постулат се появява в съвременните училищни учебници.

В началото на 19 век мнозина бяха с впечатлението, че доказването на петия постулат е като изобретяването на вечен двигател - напълно безполезно упражнение. Но дори да се предположи, че геометрията на Евклид не е единствената възможна, никой нямаше смелост: авторитетът на Евклид беше твърде голям. В такава ситуация откритията на Лобачевски бяха, от една страна, естествени, а от друга – абсолютно революционни.

Лобачевски заменя петия постулат с точно обратното твърдение. Аксиомата на Лобачевски звучеше така: ако от точка, която не лежи на права линия, освободите всички лъчи, пресичащи тази права линия, тогава отляво и отдясно тези лъчи ще бъдат ограничени от два ограничаващи лъча, които вече няма да пресичат права линия, но ще става все по-близо до нея. Освен това ъгълът между тези ограничаващи лъчи ще бъде строго по-малък от 180 градуса.

От аксиомата на Лобачевски веднага следва, че през точка, която не лежи на дадена права линия, е възможно да се начертае не една права линия, успоредна на дадена, както е в Евклид, а колкото искате. Но тези прави линии ще се държат различно от тези на Евклид. Например, ако имаме две успоредни прави линии, тогава те могат първо да се приближат и след това да се отдалечат. Тоест разстоянието от точка на първата линия до втората линия ще зависи от точката. За различните точки ще бъде различно.

Геометрията на Лобачевски противоречи на нашата интуиция отчасти, защото на малките разстояния, с които обикновено се занимаваме, тя се различава много малко от Евклидовата. По същия начин ние възприемаме кривината на земната повърхност. Когато вървим от къща на магазин, ни се струва, че вървим по права линия, а Земята е плоска. Но ако летим, да речем, от Москва до Монреал, тогава вече забелязваме, че самолетът лети в дъга на окръжност, защото това е най-краткият път между две точки на земната повърхност. Тоест забелязваме, че Земята прилича повече на футболна топка, отколкото на палачинка.

Геометрията на Лобачевски може да бъде илюстрирана и с помощта на футболна топка, не обикновена, а хиперболична. Хиперболична футболна топка е залепена като обикновена. Само в обикновена топка белите шестоъгълници са залепени към черни петоъгълници, а в хиперболична топка, вместо петоъгълници, трябва да направите седмоъгълници и също да ги залепите с шестоъгълници. В този случай, разбира се, няма да се окаже топка, а по-скоро седло. И на това седло е реализирана геометрията на Лобачевски.

Лобачевски се опитва да говори за своите открития през 1826 г. в Казанския университет. Но текстът на доклада не е оцелял. През 1829 г. той публикува статия за своята геометрия в университетско списание. Резултатите на Лобачевски изглеждаха безсмислени за мнозина – не само защото разрушиха обичайната картина на света, но защото не бяха представени по най-разбираемия начин.

Но Лобачевски имаше публикации и в списания с висок рейтинг, както ги наричаме днес. Например, през 1836 г. той публикува статия, озаглавена „Въображаема геометрия“ на френски в известното списание Crell, в същия брой със статии на най-известните математици от онова време – Дирихле, Щайнер и Якоби. А през 1840 г. Лобачевски публикува малка и много разбираемо написана книга, озаглавена „Геометрични изследвания в теорията на успоредните прави“. Книгата е на немски език и е издадена в Германия. Веднага се появи опустошителен преглед. Рецензентът особено се присмива на фразата на Лобачевски: „Колкото по-напред продължаваме прави линии в посока на техния паралелизъм, толкова повече те се приближават един към друг“. „Само това твърдение“, пише рецензентът, „вече характеризира работата на г-н Лобачевски достатъчно и освобождава рецензента от необходимостта от допълнителна оценка“.

Но книгата има и един безпристрастен читател. Това беше Карл Фридрих Гаус, известен още с прякора Крал на математиците, един от най-великите математици в историята. Той похвали книгата на Лобачевски в едно от писмата си. Но рецензията му е публикувана едва след смъртта му, заедно с останалата кореспонденция. И тогава започна истинският бум на геометрията на Лобачевски.

През 1866 г. книгата му е преведена на френски, след това на английски. Освен това английското издание е преиздавано още три пъти поради изключителната си популярност. За съжаление, Лобачевски не издържа това време. Умира през 1856г. А през 1868 г. се появява руско издание на книгата на Лобачевски. Публикувана е не като книга, а като статия в най-старото руско списание „Математически сборник“. Но тогава това списание беше много младо, нямаше още две години. Но по-известен е руският превод от 1945 г., направен от забележителния руски и съветски геометър Вениамин Федорович Каган.

До края на 19 век математиците са разделени на два лагера. Някои веднага приеха резултатите на Лобачевски и започнаха да доразвиват идеите му. Други не биха могли да се откажат от вярата, че геометрията на Лобачевски описва нещо, което не съществува, тоест геометрията на Евклид е единствената вярна и нищо друго не може да бъде. За съжаление сред последните се включи и математикът, по-известен като автор на „Алиса в страната на чудесата“ – Луис Карол. Истинското му име е Чарлз Доджсън. През 1890 г. той публикува статия, озаглавена „Нова теория на паралелите“, където защитава силно визуална версия на петия постулат. Аксиомата на Луис Карол звучи така: ако впишете правилен четириъгълник в кръг, тогава площта на този четириъгълник ще бъде строго по-голяма от площта на всеки от сегментите на окръжността, лежащи извън четириъгълника. В геометрията на Лобачевски тази аксиома не е вярна. Ако вземем достатъчно голям кръг, тогава независимо какъв четириъгълник вписваме в него, без значение колко дълги са страните на този четириъгълник, площта на четириъгълника ще бъде ограничена от универсална физическа константа. Като цяло, наличието на физически константи и универсални мерки за дължина е изгодна разлика между геометрията на Лобачевски и геометрията на Евклид.

Но Артър Кейли, друг известен английски математик, през 1859 г., тоест само три години след смъртта на Лобачевски, публикува статия, която по-късно помогна за легализирането на постулата на Лобачевски. Интересното е, че по това време Кейли работи като адвокат в Лондон и едва тогава получава професорска длъжност в Кеймбридж. Всъщност Кейли конструира първия модел на геометрията на Лобачевски, въпреки че на пръв поглед решава съвсем различен проблем.

И друг прекрасен английски математик, чието име беше Уилям Кингдън Клифорд, беше дълбоко пропит с идеите на Лобачевски. И по-специално, той беше първият, който изложи идеята много преди създаването на общата теория на относителността, че гравитацията се причинява от кривината на пространството. Клифорд оценява приноса на Лобачевски към науката в една от лекциите си по философията на науката: „Лобачевски стана за Евклид това, което Коперник стана за Птолемей“. Ако преди Коперник човечеството вярваше, че знаем всичко за Вселената, сега ни е ясно, че наблюдаваме само малка част от Вселената. По същия начин, преди Лобачевски, човечеството вярваше, че има само една геометрия - евклидова, всичко за нея отдавна е известно. Сега знаем, че има много геометрии, но не знаем всичко за тях.

Петият постулат на Евклид „Ако права линия, падаща върху две прави линии, образува вътрешни едностранни ъгли, общо по-малко от две прави, тогава, продължени неограничено, тези две прави ще се срещнат от страната, където ъглите в сбора са по-малки от две прави линии“ на много математици дори в древността изглеждаше някак не много ясен, отчасти поради сложността на формулировката му.

Изглеждаше, че само елементарни изречения, прости по форма, трябва да бъдат постулати. В тази връзка 5-ият постулат стана обект на специално внимание на математиците и изследванията по тази тема могат да бъдат разделени в две направления, всъщност са тясно свързани помежду си. Първият се стреми да замени този постулат с по-прост и по-интуитивно ясен, като например твърдението, формулирано от Прокъл „През точка, която не лежи на дадена права линия, може да бъде проведена само една права линия, която не пресичат се с даденото”: именно в този вид 5-ият постулат или по-скоро паралелната аксиома, еквивалентна на него, се появява в съвременните учебници.

Представителите на второто направление се опитаха да докажат петия постулат въз основа на други, тоест да го превърнат в теорема. Опитите от този вид са започнати от редица арабски математици от Средновековието: ал-Абас ал-Джаухари (началото на 9 век), Сабит ибн Кора, Ибн ал-Хайсам, Омар Хайям, Насиреддин ат-Туси. По-късно към тези изследвания се присъединяват и европейците: Леви Бен Гершон (14 век) и Алфонсо (15 век), който пише на иврит, а след това немският йезуит Х. Клавиус (1596), англичанинът Дж. Уолис (1663) и др. Интересът към този проблем възниква през 18 век: от 1759 до 1800 г. са публикувани 55 произведения, анализиращи този проблем, включително много важни произведения на италианския йезуит Г. Сакери и германеца И. Г. Ламберт.

Доказателствата обикновено се извършваха по метода "чрез противоречие": от предположението, че 5-ти постулат не е изпълнен, те се опитваха да изведат последствия, които биха противоречат на други постулати и аксиоми. В действителност обаче в крайна сметка те не са получили противоречие с други постулати, а с някакво изрично или имплицитно „очевидно“ твърдение, което обаче не може да бъде установено въз основа на други постулати и аксиоми на евклидовата геометрия: по този начин , доказателствата не постигнаха целта си , - оказа се, че на мястото на 5-ти постулат отново е поставено някакво друго еквивалентно твърдение. Например следните разпоредби бяха приети като такова изявление:

Ориз. 2. Има прави линии на еднакво разстояние една от друга

Ориз. 4. Две сходящи прави се пресичат

Геометрията, в която тези твърдения не са валидни, разбира се, не е същата, с която сме свикнали, но от това не следва, че е невъзможно или че тези твърдения следват от други постулати и аксиоми на Евклид, така че всички доказателствата имаха пропуски или разтягане. Клавий обоснова предположението, че има прави линии, еднакво отдалечени една от друга, с евклидовата „дефиниция“ на права линия като линия, еднакво разположени по отношение на точките върху нея. Уолис е първият, който основава доказателството си за 5-ия постулат на „естествената“ позиция, според която за всяка фигура има подобна с произволно голям размер и обосновава това твърдение с 3-ия постулат на Евклид, който твърди от всяка фигура. център и всяко решение може да опише окръжност (всъщност твърдението за съществуването на, например, неравни подобни триъгълници или дори кръгове е еквивалентно на 5-ти постулат). А. М. Лежандър в последователни издания на учебника "Принципи на геометрията" (1794, 1800, 1823) дава нови доказателства на 5-ия постулат, но внимателният анализ показва пропуски в тези доказателства. След като подложи Лежандър на справедлива критика, нашият сънародник С. Й. Гуриев в книгата си „Опит за усъвършенстване на елементите на геометрията“ (1798 г.), обаче, сам направи грешка при доказването на 5-ия постулат.

Доста бързо се осъществи връзката между сбора на ъглите на триъгълник и четириъгълник и 5-ти постулат: 5-ти постулат следва от твърдението, че сумата от ъглите на триъгълник е равна на две прави, които могат да бъдат изведени от съществуването на правоъгълници. В тази връзка е широко разпространен подход (следван от Khayyam, at-Tusi, Wallis, Sakkeri), в който се разглежда четириъгълник, който се получава в резултат на полагане на равни сегменти на два перпендикуляра на една права линия . Изследват се три хипотези: двата горни ъгъла са остри, тъпи или прави; прави се опит да се покаже, че хипотезите за тъп и остър ъгъл водят до противоречие.

Друг подход (използван от Ибн ал-Хайтам, Ламбърт) анализира три подобни хипотези за четириъгълник с три прави ъгъла.

Сакери и Ламберт показаха, че хипотезите за тъпите ъгли наистина водят до противоречие, но не успяха да намерят противоречия при разглеждането на хипотезите за острите ъгли: Сакери направи извода за такова противоречие само в резултат на грешка, а Ламбърт заключи, че очевидното отсъствие на противоречие в хипотезата за остър ъгъл се дължи на някаква фундаментална причина. Ламбърт установи, че при приемане на хипотезата за остър ъгъл, сумата от ъглите на всеки триъгълник е по-малка от 180 ° с количество, пропорционално на неговата площ, и в сравнение с това, което беше открито в началото. XVII век позицията, според която площта на сферичен триъгълник, напротив, е повече от 180 ° с количество, пропорционално на неговата площ.

През 1763 г. Г. С. Клугел публикува „Преглед на най-важните опити за доказване на теорията на успоредните линии“, където разглежда около 30 доказателства на 5-ия постулат и разкрива грешки в тях. Клугел заключи, че Евклид съвсем разумно постави своето твърдение сред постулатите.

Въпреки това опитите за доказване на 5-ия постулат изиграха много важна роля: опитвайки се да доведат противоположните твърдения до противоречие, тези изследователи всъщност откриха много важни теореми на неевклидовата геометрия - по-специално геометрия, при която 5-ият постулат се заменя с твърдението за възможността да проведем през дадена точка поне две прави, които не пресичат дадената. Това твърдение, еквивалентно на хипотезата за остър ъгъл, е в основата на откривателите на неевклидовата геометрия.

Няколко учени независимо стигнаха до идеята, че допускането на алтернатива на 5-ия постулат води до изграждането на геометрия, различна от евклидовата, но еднакво последователна: K.F. Gauss, N.I. Lobachevsky и J. Boyai (както и F K. Schweickart и FA Taurinus, чийто принос към новата геометрия обаче е по-скромен и които не публикуват своите изследвания). Гаус, съдейки по записите, запазени в архива му (и публикувани едва през 1860-те), осъзнава възможността за нова геометрия през 1810-те, но също така никога не публикува своите открития по тази тема: „Страх ме е от вика на беотийците (т.е. глупаци: жителите на района на Беотия се смятаха за най-глупавите в Древна Гърция), ако изразя изцяло възгледите си “, пише той през 1829 г. на своя приятел математик Ф. В. Бесел. Неразбирането падна в съдбата на Лобачевски, който направи първия доклад за новата геометрия през 1826 г. и публикува резултатите, получени през 1829 г. През 1842 г. Гаус постигна избора на Лобачевски за член-кореспондент на Гьотингенското научно дружество: това беше единственият признаване на заслугите на Лобачевски приживе ... Отец Й. Бояи - математикът Фаркаш Бояи, който също се опита да докаже 5-ия постулат - предупреди сина си срещу изследвания в тази посока: „...това може да те лиши от свободното време, здраве, спокойствие, всички радости на живота. Тази черна бездна е в състояние, може би, да поеме хиляди такива титани като Нютон, на Земята това никога няма да бъде изчистено ... ". Въпреки това J. Boyai публикува резултатите си през 1832 г. в приложение към учебник по геометрия, написан от баща му. Бояи също не постигна признание, освен това той беше разстроен, че Лобачевски го изпревари: той вече не се занимаваше с неевклидова геометрия. Така че само Лобачевски до края на живота си, първо, продължи изследванията в нова област, и второ, той популяризира идеите си, публикува редица книги и статии за нова геометрия.

И така, в равнината на Лобачевски поне две прави, които не пресичат AB, минават през точка C извън дадената права AB. Всички прави, минаващи през C, се разделят на два класа - пресичащи се и непресичащи се AB. Последните лежат под определен ъгъл, образуван от две крайни прави линии, които не пресичат AB. Именно тези прави Лобачевски нарича успоредни на правата АВ, а ъгълът между тях и перпендикуляра е ъгълът на успоредност. Този ъгъл зависи от разстоянието от точка C до правата AB: колкото по-голямо е това разстояние, толкова по-малък е ъгълът на паралелизъм. Линиите, които лежат вътре в ъгъла, се наричат дивергентни по отношение на AB.

Всякакви две отклоняващи се прави p и q имат един общ перпендикуляр t, който е най-късите отсечки от едната до другата. Ако точката M се движи по протежение на p в посока от t, тогава разстоянието от M до q ще се увеличи до безкрайност, а основите на перпендикулярите, изпуснати от M до q, ще запълнят само краен сегмент.

Ако правите p и q се пресичат, тогава проекциите на точките на една от тях върху другата също запълват ограничения сегмент.

Ако правите p и q са успоредни, то в едната посока разстоянията между точките им намаляват неограничено, докато в другата се увеличават неограничено; една права линия се проектира върху друг лъч.

Фигурите показват различни взаимни положения на правите p и q, които са възможни в геометрията на Лобачевски; r и s са перпендикуляри, успоредни на q. (Принудени сме да начертаем крива линия q, въпреки че говорим за права линия. Дори и нашият свят като цяло да се подчинява на законите на геометрията на Лобачевски, ние пак не бихме могли да изобразим в малък мащаб без изкривявания как всичко изглежда в голяма степен: в геометрията на Лобачевски няма подобни фигури, които не са равни).

Вътре в ъгъла има права линия, успоредна на двете страни на ъгъла. Той разделя всички точки вътре в ъгъла на два типа: през точките от първия тип можете да начертаете прави линии, които пресичат двете страни на ъгъла; не може да се проведе такава права линия през точки от втория тип. Същото важи и за пространството между успоредни прави. Между две отклоняващи се прави има две успоредни на двете; те разделят пространството между разминаващите се линии на три области: през точки в една област можете да начертаете линии, които пресичат двете страни на ъгъла; такива линии не могат да се проведат през точките в другите две области.

Остър ъгъл, а не прав ъгъл, винаги почива на диаметъра на окръжност. Страната на правилния шестоъгълник, вписана в кръг, винаги е по-голяма от радиуса му. За всяко n> 6 е възможно да се построи кръг, така че страната на правилния n -ъгълник, вписан в него, да е равна на неговия радиус.

Лобачевски се интересуваше от въпроса за геометрията на физическото пространство, по-специално, използвайки данните от астрономически наблюдения, той изчисли сумата от ъглите на големите междузвездни триъгълници: разликата между тази сума от ъгли от 180 ° обаче лежеше изцяло в рамките на грешката на наблюдението. Недоразумението, което падна на съдбата на Лобачевски, който самият нарече своята геометрия "въображаема", се дължи до голяма степен на факта, че по негово време подобни идеи изглеждаха като чисти абстракции и игра на въображението. Наистина ли новата геометрия е последователна? (В края на краищата, дори ако Лобачевски не е успял да срещне противоречие, това не гарантира, че то няма да бъде открито по-късно). Как е свързано с реалния свят, както и с други области на математиката? Това стана ясно далеч не веднага и успехът, който в крайна сметка падна на участта на новите идеи, беше свързан с откриването на модели с нова геометрия.