Операции върху множества и техните свойства. Комплекти. Операции върху набори Операции върху набори

Основни понятия на теорията на множествата

Понятието за множество е основно понятие в съвременната математика. Ще го разгледаме като оригинален и ще изградим теорията на множествата интуитивно. Нека дадем описание на тази първоначална концепция.

МногоТова е съвкупност от обекти (обекти или понятия), които се разглеждат като едно цяло. Обектите, включени в тази колекция, се наричат елементикомплекти.

Може да се говори за много първокурсници от катедрата по математика, за много риби в океана и т.н. Математиката обикновено се интересува от различни математически обекти: набор от рационални числа, набор от правоъгълници и т.н.

Множествата ще бъдат обозначени с главни букви на латинската азбука, а нейните елементи с малки.

If е елемент от множеството М, след което казват „принадлежи М„И напишете:. Ако някой обект не е елемент от множеството, тогава те казват „не принадлежи М„И пишете (понякога).

Има два основни начина за дефиниране на набори: изброяваненеговите елементи и индикация характерно свойствонеговите елементи. Първият от тези методи се използва главно за крайни множества. Когато се изброяват елементите на разглеждания набор, неговите елементи са заобиколени от фигурни скоби. Например, обозначава множество, чиито елементи са числата 2, 4, 7 и само те. Този метод не винаги е приложим, тъй като например множеството от всички реални числа не може да бъде зададено по този начин.

Характерно свойствоелементи от комплекта МТова е такова свойство, към което принадлежи всеки елемент, притежаващ това свойство М, и всеки елемент, който няма това свойство, не принадлежи към М... Наборът от елементи със свойство се обозначава по следния начин:

или .

Най-често срещаните комплекти имат свои специални обозначения. В бъдеще ще се придържаме към следната нотация:

н= е множеството от всички естествени числа;

З= - множеството от всички цели числа;

- множеството от всички рационални числа;

Р- множеството от всички реални (реални) числа, т.е. рационални числа (безкрайни десетични периодични дроби) и ирационални числа (безкрайни десетични непериодични дроби);

- множеството от всички комплексни числа.

Нека дадем по-специални примери за определяне на множества чрез посочване на характеристика.

Пример 1. Множеството от всички естествени делители на 48 може да се запише, както следва: (нотацията се използва само за цели числа и означава, че се дели на).

Пример 2. Множеството от всички положителни рационални числа по-малки от 7 се записва по следния начин:.

Пример 3. - интервал от реални числа с краища 1 и 5; - сегмент от реални числа с краища 2 и 7.

Думата "много" предполага, че съдържа много елементи. Но не винаги е така. В математиката могат да се разглеждат множества, съдържащи само един елемент. Например наборът от цели числа от корените на уравнението ... Освен това е удобно да се говори за набор, който не съдържа нито един елемент. Такъв набор се нарича празени се означава с Ø. Например наборът от реални корени на уравнението е празен.

Определение 1.Набори и се наричат равни(означено с А = Б), ако тези множества се състоят от едни и същи елементи.

Определение 2.Ако всеки елемент от множеството принадлежи на множеството, тогава извикаме подмножествокомплекти.

Легенда: ("включено в"); ("Включва").

Ясно е, че Ø и самото множество са подмножества на множеството. Всяко друго подмножество от множеството се нарича негово дясната част... Ако и, тогава те казват, че „ А – правилно подмножество"Или това" И е строго включено в„И пиши.

Следното твърдение е очевидно: множества и са равни, ако и само ако и.

Това твърдение се основава на универсален метод за доказване на равенството на две множества: за да докаже, че множествата и са равни, достатъчно е да се покаже това ,а е подмножество на множеството .

Това е най-често срещаният метод, макар и не единствен. По-късно, след като се запознаем с операциите върху множествата и техните свойства, ще посочим друг начин за доказване на равенството на две множества - използвайки трансформации.

В заключение отбелязваме, че често в една или друга математическа теория се работи с подмножества от едно и също множество Укоето се нарича универсаленв тази теория. Например в училищната алгебра и математическия анализ наборът е универсален Рреални числа, в геометрията - набор от точки в пространството.

Задайте операции и техните свойства

На набори можете да извършвате действия (операции), които приличат на събиране, умножение и изваждане.

Определение 1. Консолидациямножества и се нарича множество, означено с, всеки елемент от което принадлежи поне на едно от множествата или.

Самата операция, в резултат на която се получава такова множество, се нарича обединение.

Кратък запис на дефиниция 1:

Определение 2. Пресичанемножества и се нарича множество, означено с, съдържащ всички тези и само тези елементи, всеки от които принадлежи на и, и.

Самата операция, която води до множество, се нарича пресичане.

Определение 2 накратко:

Например, ако , , тогава , .

Наборите могат да бъдат изобразени като геометрични фигури, което ви позволява да илюстрирате визуално операциите върху набори. Този метод е предложен от Леонард Ойлер (1707–1783) за анализ на логическите разсъждения, е широко използван и е доразвит в трудовете на английския математик Джон Вен (1834–1923). Следователно такива чертежи се наричат Диаграми на Ойлер-Вен.

Операциите на обединение и пресичане на множества могат да бъдат илюстрирани чрез диаграмите на Ойлер – Вен, както следва:

- засенчена част; - засенчена част.

Можете да дефинирате обединението и пресечната точка на всяка колекция от множества, където е някакъв набор от индекси.

Определение . Консолидациянабор от множества е множество, състоящо се от всички тези и само онези елементи, всеки от които принадлежи на поне едно от множествата.

Определение . Пресичаненабор от множества е множество, състоящо се от всички тези и само онези елементи, всеки от които принадлежи на някое от множествата.

В случай, когато наборът от индекси е краен, напр. , след това за обозначаване на обединението и пресичането на колекция от множества в този случай те обикновено използват нотацията:

и .

Например, ако , , , тогава , .

Понятията за обединение и пресичане на множества се срещат многократно в училищния курс по математика.

Пример 1.Много Мрешения на системата от неравенства

е пресечната точка на множествата от решения на всяко от неравенствата на тази система:.

Пример 2.Много Мсистемни решения

е пресечната точка на множествата от решения за всяко от неравенствата на тази система. Множеството от решения на първото уравнение е множеството от точки на права линия, т.е. ... Много . Комплектът се състои от един елемент - пресечните точки на линиите.

Пример 3.Наборът от решения на уравнението

където , е обединението на наборите от решения на всяко от уравненията, т.е.

Определение 3. Разликатакомплекти и наречено множество, означено с и състоящо се от всички онези и само онези елементи, които принадлежат, но не принадлежат .– засенчена част; ... с операции на обединение, пресичане и допълване. Получената математическа структура се нарича алгебра на множестватаили Булева алгебра на множествата(включително ирландския математик и логик Джордж Бул (1816-1864)). Нека означим множеството от всички подмножества на произволно множество и да го наречем булевкомплекти.

Изброените по-долу равенства са валидни за всякакви подмножества А, Б, Вуниверсален комплект У.Следователно те се наричат законите на алгебрата на множествата.

Математическият анализ е клон на математиката, който се занимава с изучаване на функциите въз основа на идеята за безкрайно малка функция.

Основните понятия на математическия анализ са стойност, множество, функция, безкрайно малка функция, граница, производна, интеграл.

Величинатавсичко, което може да бъде измерено и изразено с число, се нарича.

многосе нарича съвкупност от някои елементи, обединени от някакъв общ признак. Елементите на множеството могат да бъдат числа, фигури, предмети, понятия и др.

Наборите са обозначени с главни букви, а елементите са обозначени с кратни с малки букви. Елементите на набора са затворени в къдрави скоби.

Ако елемент хпринадлежи към комплекта хтогава пиши х∈NS (∈ - принадлежи).
Ако набор A е част от набор B, тогава напишете A ⊂ B (⊂ - съдържа).

Множество може да бъде посочено по един от двата начина: чрез изброяване и чрез дефиниращо свойство.

Например, следните набори са посочени чрез изброяване:

A = (1,2,3,5,7) - набор от числа
X = (x 1, x 2, ..., x n) - множеството от някои елементи x 1, x 2, ..., x n
N = (1,2, ..., n) - набор от естествени числа
Z = (0, ± 1, ± 2, ..., ± n) - наборът от цели числа

Множеството (-∞; + ∞) се извиква числова линия, и всяко число е точка от тази права. Нека a е произволна точка на числовата права и δ е положително число. Интервалът (a-δ; a + δ) се нарича δ-околност на точка а.

Множество X е ограничено отгоре (отдолу), ако има число c такова, че за всяко x ∈ X е изпълнено неравенството x≤с (x≥c). Числото c в този случай се нарича горен (долен) ръбмножество X. Извиква се множество, ограничено както отгоре, така и отдолу ограничен... Най-малката (най-голямата) от горните (долните) граници на множество се нарича точен горен (долен) ръбтози комплект.

Основни набори от числа

н	(1,2,3, ..., n) Множеството от всички
З	(0, ± 1, ± 2, ± 3, ...) Множеството цели числа.Наборът от цели числа включва много естествени числа.
В	Много рационални числа. Освен цели числа има и дроби. Дроба е израз на формата, където стр- цяло число, q- естествено. Десетичните дроби могат да бъдат записани и като. Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целите числа могат да бъдат записани и като. Например, като дроб със знаменател "едно": 2 = 2/1. По този начин всяко рационално число може да бъде записано като десетична дроб - разбира се или безкрайно периодично.
Р	Много от всички реални числа. Ирационалните числа са безкрайни непериодични дроби. Те включват: Заедно две множества (рационални и ирационални числа) - образуват набор от реални (или реални) числа.

Ако наборът не съдържа никакъв елемент, тогава той се извиква празен комплекти се записва Ø .

Елементи на логическата символика

Обозначение ∀x: | x |<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Квантор

Кванторите често се използват при писане на математически изрази.

Кванторе логически символ, който характеризира следните елементи в количествено отношение.

∀- квантор на обобщеност, се използва вместо думите "за всички", "за всеки".
∃- екзистенциален квантор, се използва вместо думите "съществува", "е". Използва се и комбинацията от знаци ∃ !, която се чете, тъй като има само един.

Задайте операции

две множества A и B са равни(A = B), ако се състоят от едни и същи елементи.
Например, ако A = (1,2,3,4), B = (3,1,4,2), тогава A = B.

Консолидация (сума)множество A и B се нарича множество A ∪ B, чиито елементи принадлежат на поне едно от тези множества.
Например, ако A = (1,2,4), B = (3,4,5,6), тогава A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

кръстовище (продукт)множество A и B се нарича множество A ∩ B, чиито елементи принадлежат както на множеството A, така и на множеството B.
Например, ако A = (1,2,4), B = (3,4,5,2), тогава A ∩ B = (2,4)

Разликатамножество A и B се нарича множество AB, чиито елементи принадлежат на множество A, но не принадлежат на множество B.
Например, ако A = (1,2,3,4), B = (3,4,5), тогава AB = (1,2)

Симетрична разликамножество A и B се нарича множество A Δ B, което е обединение на разликите на множествата AB и BA, тоест A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Например, ако А = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6), то А Δ В = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5, 6)

Свойства на операциите върху множества

Свойства на променливост

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Комбинирано свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Преброими и неизброими множества

За да се сравнят всякакви две множества A и B, се установява съответствие между техните елементи.

Ако това съответствие е едно към едно, тогава множествата се наричат еквивалентни или еквивалентни, A B или B A.

Пример 1

Множеството точки на катета BC и хипотенузата AC на триъгълника ABC са с еднаква степен.

Теории

Има два основни подхода към концепцията за набор - наивени аксиоматичентеория на множеството.

Аксиоматична теория на множествата

Днес множеството се дефинира като модел, който удовлетворява аксиомите на ZFC (аксиомите на Цермело - Френкел с аксиомата на избор). С този подход в някои математически теории има колекции от обекти, които не са множества. Такива колекции се наричат класове (от различни порядки).

Елемент от комплекта

Обектите, които съставляват множеството, се наричат елементи от комплектаили по точки от множеството. Комплектите най-често се означават с големи букви на латинската азбука, нейните елементи - с малки. Ако a е елемент от множеството A, тогава напишете a ∈ A (a принадлежи на A). Ако a не е елемент от множеството A, тогава напишете a∉A (и не принадлежи на A).

Някои видове комплекти

Подредено множество е множество, върху което е посочено отношение на подреждане.
Комплект (по-конкретно, поръчан чифт). За разлика от просто набор, той се записва в скоби: ( x 1, x 2, x 3, ...) и елементите могат да се повтарят.

По йерархия:

Набор от множества Подмножество Супермножество

По ограничение:

Задайте операции

литература

Stoll R.R.Комплекти. Логика. Аксиоматични теории. - М .: Образование, 1968 .-- 232 с.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "Set Element" в други речници:

елемент от комплекта- - [L.G. Суменко. Английско-руски речник на информационните технологии. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] елемент от множество Обект от всякакво естество, който заедно с други подобни обекти съставлява множество. Често, вместо термина, елемент в ... ...

Елемент от комплекта- обект от всякакво естество, който заедно с други подобни обекти съставлява съвкупност. Често вместо термина елемент в този смисъл те използват "точка от множество", "член на множество" и т.н. ... ...

SET, в математиката, колекция от определени обекти. Тези обекти се наричат членове на множество. Броят на елементите може да бъде безкраен или краен, или дори нула (броят на елементите в празно множество се обозначава с 0). Всеки… … Научно-технически енциклопедичен речник

елемент- Обобщен термин, който в зависимост от съответните условия може да се разбира като повърхност, линия, точка. Бележки 1. Елементът може да бъде повърхност (част от повърхност, равнина на симетрия на няколко повърхности), линия (профил ... Ръководство за технически преводач

Част от нещо. Една от възможните етимологии на тази дума е името на редица съгласни с латински букви L, M, N (el em en). Елемент (философия) Елементът е задължителен аксесоар на знамето, банера и стандарта. Елемент от множеството Елементарно ... ... Уикипедия

елемент- основният (за това изследване, модел) компонент на сложно цяло. Вижте Задаване на елемент, системен елемент ... Икономико-математически речник

Множеството е един от ключовите обекти на математиката, по-специално на теорията на множествата. „Под множество разбираме обединяването в едно цяло на определени, напълно различими обекти на нашата интуиция или нашата мисъл” (Г. Кантор). Не е изцяло ... ... Уикипедия

елемент- 02.01.14 елемент (знак или символ): Единичен щрих или интервал в символ на баркод или единична многоъгълна или кръгла клетка в матричен символ, образуващ символен знак в ... ... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

А; м. [от лат. elementum елемент, първоначално вещество] 1. Част от което l .; съставна част. Разложете цялото на елементи. Кои са елементите на културата? Природата на e. производство. Съставните елементи, от които l. // Типично движение, едно ... ... енциклопедичен речник

Концепцията за множество се отнася до аксиоматичните понятия на математиката.

Определение... Наборът е набор, група, колекция от елементи, които имат някакво общо свойство или характеристика за всички тях.

Обозначение: A, B.

Определение... Две множества A и B са равни, ако и само ако се състоят от едни и същи елементи. А = Б.

Означението a ∈ A (a ∉ A) означава, че a е (не е) елемент от множеството A.

Определение... Множество, което не съдържа елементи, се нарича празно и се означава с ∅.

Обикновено в конкретни случаи елементите на всички разглеждани множества се вземат от едно, достатъчно широко множество U, което се нарича универсален комплект.

Кардиналност на комплектасе обозначава като | M | ...
Коментирайте : за крайни множества, мощността е броят на елементите.

Определение... Ако | A | = | B | , тогава множествата се извикват равни.

За илюстриране на операциите върху множества често се използват следните Диаграми на Ойлер - Вен... Конструкцията на диаграмата се състои в изображението на голям правоъгълник, представляващ универсалното множество U, а вътре в него - кръгове, представящи множествата.

Следните операции са дефинирани върху набори:

Съюз А∪В: = (х / х∈А∨х∈В)

Пресечна точка А∩В: = (х / х∈А & х∈В)

Разлика А \ В: = (х / х∈А & х∈В)

Допълнение A U \ A: = (x / x U & x ∉ A)

Задача 1.1. Дадени са: a) A, B⊆Z, A = (1; 3; 4; 5; 9), B = (2; 4; 5; 10). б) A, B⊆R, A = [-3; 3), B = (2; 10].

Решение.

а) A∩B = (4; 5), A∪B = (1; 2; 3; 4; 5; 9; 10), A \ B = (1; 3; 9), B \ A = (2 ; 10), B = Z \ B;

б) A∩B = (2; 3), A∪B = [-3; 10], A \ B = [-3,2], B \ A =, BZ \ B = (-∞, 2] ∪ (10, + ∞).

1) Дадени са: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).

б) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].

Намерете: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

2) Дадени са: a) A, B ⊆ Z, A = (3; 6; 7; 10), B = (2; 3; 10; 12).

б) A, B ⊆ R, A =.

Намерете: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

3) Дадени са: а) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).

б) A, B ⊆ R, A =.

4) Дадени са: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 4; 6; 7), B = (-3; 3; 7).

б) A, B ⊆ R, A = [-15; 0), B = [-2; 1].

Намерете: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, A.

5) Дадени са: а) A, B ⊆ Z, A = (0; 9), B = (-6; 0; 3; 9).

б) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

Намерете: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.

6) Дадени са: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 6; 9), B = (-6; 0; 3; 7).

б) A, B ⊆ R, A = [-8; 3), B =.

Намерете: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.

7) Дадени са: а) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 2; 10), B = (-1; 2; 9; 10).

б) A, B ⊆ R, A = [-10; 9), B = [-5; 15].

Намерете: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

8) Дадени са: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 9; 37), B = (-1; 1; 9; 11; 15).

б) A, B ⊆ R, A = [-8; 1), B = [-5; 7].

Намерете: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.

9) Дадени са: а) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 9; 17), B = (-1; 1; 9; 10; 25).

б) A, B ⊆ R, A = [-4; 9), B = [-5; 7].

Намерете: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

10) Дадени са: a) A, B⊆Z, A = (1; 7; 9; 17), B = (-2; 1; 9; 10; 25).

б) A, B⊆R, A =.

Намерете: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, A.

Задача 1.1.Използвайки диаграмите на Ойлер-Вен, докажете идентичността:

A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).

Решение.

Нека изградим диаграми на Вен.

Лявата страна на равенството е показана на фигура а), дясната - на фигура б). От диаграмите е очевидно равенството на лявата и дясната част на тази връзка.

Задачи за самостоятелно решаване

Използвайки диаграмите на Ойлер-Вен, докажете идентичностите:

1) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C);

2) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ C;

3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A \ B) \ C = (A \ B) \ (B \ C);

5) (A \ B) \ C = (A \ B) ∪ (A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \ C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B

Задача 1.3. В часа по литература учителят решава да разбере кой от 40-те ученици в класа е чел книги А, Б, В. Резултатите от анкетата са следните: книга А е прочетена от 25 ученици; Книга Б е прочетена от 22 ученици; Книга C е прочетена от 22 ученици; книги А или Б са прочетени от 33 ученици; книги А или В са прочетени от 32 ученици; книги B или C са прочетени от 31 ученици; всички книги бяха прочетени от 10 ученици. Определете: 1) Колко ученици са чели само книга А?

2) Колко ученици четат само книга Б?

3) Колко ученици са чели само книга C?

4) Колко ученици са чели само една книга?

5) Колко ученици са прочели поне една книга?

6) Колко ученици не са чели нито една книга?

Решение.

Нека U е множеството от ученици в класа. Тогава

| U | = 40, | A | = 25, | B | = 22, | C | = 22, | A ∪ B | = 33, | A ∪ C | = 32, | B ∪ C | = 31, | A ∩ B ∩ C | = 10

Нека се опитаме да илюстрираме проблема.

Разделяме множеството ученици, които са прочели поне една книга, на седем подмножества k 1, k 2, k 3, k 4, k 5, k 6, k 7, където

k 1 - наборът от ученици, прочели само книга А;

k 3 - съвкупността от ученици, прочели само книга Б;

k 7 - наборът от ученици, прочели само книга C;

k 2 - съвкупността от ученици, които са чели книги А и Б и не са чели книга В;

k 4 - съвкупността от ученици, които са чели книги А и В и не са чели книга Б;

k 6 - съвкупността от ученици, които са чели книги Б и В и не са чели книга А;

k 5 е наборът от ученици, които са чели книги A, B и C.

Нека изчислим мощността на всяко от тези подмножества.

| k 2 | = | A ∩ B | - | A ∩ B ∩ C |; | k 4 | = |A ∩ C | - | A ∩ B ∩ C |;

| k 6 | = | B ∩ C | - | A ∩ B ∩ C |; | k 5 | = | A ∩ B ∩ C |.

Тогава | k 1 | = | A | - | k 2 | - | k 4 | - | k 5 |, | k 3 | = | B | - | k 2 | - | k 6 | - | k 5 |, | k 7 | = | C | - | k 6 | - | k | - | k 5 |.

Намерете | A ∩ B |, | A ∩ C |, | B ∩ C |.

|A ∩ B | = | A | + | Б | - | A ∩ B | = 25 + 22 - 33 = 14,

|A ∩ C | = | A | + | C | - | A ∩ C | = 25 + 22 - 32 = 15,

| B ∩ C | = | B | + | C | - | B ∩ C | = 22 + 22 - 31 = 13.

Тогава k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 = 22-4-3-10 = 5; k 7 = 22-5-3-10 = 4;

| A ∪ B ∪ C | = | A ∪ B | + | C | - | (A ∪ B) ∪ C | ...

От фигурата става ясно, че | C | - | (A ∪ B) ∪ C | = | k 7 | = 4, тогава | A ∪ B ∪ C | = 33 + 4 = 37 - броят на учениците, прочели поне една книга.

Тъй като в класа има 40 ученика, 3 ученика не са прочели нито една книга.

Отговор:

6 ученици четат само книга А.
5 ученици четат само книга Б.
4 ученици четат само книга C.
15 ученици четат само една книга.
37 ученици са прочели поне една книга от A, B, C.
3 ученика не са чели нито една книга.

Задачи за самостоятелно решаване

1) През седмицата в киното бяха прожектирани филми A, B, C. Всеки от 40-те ученици е гледал или всичките 3 филма, или един от трите. Филм Авидял 13 ученици. Филм Бвидял 16 ученици. Филм ° Свидял 19 ученици. Колко ученици са гледали само един филм?

2) На международната конференция присъстваха 120 души. От тях 60 говорят руски, 48 - английски, 32 - немски, 21 - руски и английски, 19 - английски и немски, 15 - руски и немски, а 10 души говорят и трите езика. Колко участници в конференцията не говорят нито един от тези езици?

3) В спортни състезания участва училищен отбор от 20 души, всеки от които има спортна категория в един или повече от трите спорта: лека атлетика, плуване и гимнастика. Известно е, че 12 от тях имат категории по лека атлетика, 10 по гимнастика и 5 по плуване. Определете броя на учениците от този отбор, които имат категории във всички спортове, ако 2 души имат категории по лека атлетика и плуване, 4 души по лека атлетика и гимнастика и 2 души по плуване и гимнастика.

4) Проучване сред 100 студенти дава следните резултати за броя на студентите, изучаващи различни чужди езици: испански - 28; немски - 30; френски - 42; испански и немски - 8; испански и френски - 10; немски и френски - 5; и трите езика - 3. Колко ученици учат немски, ако и само ако учат френски? 5) Проучване на 100 студенти разкри следните данни за броя на учениците, изучаващи различни чужди езици: само немски - 18; немски, но не и испански - 23; немски и френски - 8; немски - 26; френски - 48; френски и испански - 8; без език - 24. Колко студента изучават немски и испански език?

6) В доклада за анкетата на 100 студенти се съобщава, че броят на студентите, изучаващи различни езици, е както следва: и трите езика - 5; немски и испански - 10; френски и испански - 8; немски и френски - 20; испански - 30; немски - 23; Френски - 50. Инспекторът, който е подал този доклад, е уволнен. Защо?

7) На международната конференция присъстваха 100 души. От тях 42 говорят френски, 28 - английски, 30 - немски, 10 - френски и английски, 8 - английски и немски, 5 - френски и немски, а 3 души говорят и трите езика. Колко участници в конференцията не говорят нито един от тези езици?

8) Студентите от 1 година, изучаващи компютърни науки в университета, могат да посещават допълнителни дисциплини. Тази година 25 от тях избраха да учат счетоводство, 27 - бизнес, а 12 - туризъм. Освен това имаше 20 студенти, които изучаваха курса по счетоводство и бизнес, 5 изучаваха счетоводство и туризъм и 3 изучаваха туризъм и бизнес. Известно е, че никой от студентите не посмя да посети 3 допълнителни курса наведнъж. Колко студенти са посетили поне 1 допълнителен курс?
9) 40 ученици взеха участие в олимпиадата по математика за кандидатстващи. Те бяха помолени да решат една задача по алгебра, една по геометрия и една по тригонометрия. Задачата по алгебра е решена от 20 души, по геометрия - 18, по тригонометрия - 18 души. Задачите по алгебра и геометрия са решени от 7 души, по алгебра и тригонометрия - от 8 души, по геометрия и тригонометрия - от 9 души. Нито един проблем не беше решен от 3 човека. Колко ученици са решили само две задачи?

10) В класа има 40 ученици. От тях 19 души имат тризнаци по руски език, 17 души по математика и 22 души по физика. 4 ученици имат тройки само по един руски език, 4 - само по математика и 11 - само по физика. 5 ученици имат тройки по руски език, математика и физика. 7 души имат тройки по математика и физика. Колко ученици имат Cs по два от трите предмета?

Многое съвкупност от обекти, разглеждани като едно цяло. Концепцията за множество се приема като основна, т.е. не се свежда до други понятия. Обектите, които съставляват даден набор, се наричат негови елементи. Основна връзка между елемент аи съдържащ комплекта Аозначено като ( ае елемент от множеството А; или апринадлежи А, или Асъдържа а). Ако ане е член на комплекта А, след това пишат ( ане са включени в А, Ане съдържа а). Наборът може да бъде определен чрез посочване на всички негови елементи и в този случай се използват къдрави скоби. Така ( а, б, ° С) обозначава набор от три елемента. Подобна нотация се използва в случай на безкрайни множества, а неизписаните елементи се заменят с многоточие. И така, множеството от естествени числа се означава с (1, 2, 3, ...), а множеството от четни числа (2, 4, 6, ...), а многоточието в първия случай означава всички естествени числа, а във втория - само четни.

Два комплекта Аи Бса наречени равниако се състоят от едни и същи елементи, т.е. Апринадлежи Би обратно, всеки елемент Бпринадлежи А... След това пишат А = Б... По този начин множеството се определя еднозначно от своите елементи и не зависи от реда на изписване на тези елементи. Например набор от три елемента а, б, ° Спозволява шест вида запис:

{а, б, ° С} = {а, ° С, б} = {б, а, ° С} = {б, ° С, а} = {° С, а, б} = {° С, б, а}.

От съображения за формално удобство се въвежда и така нареченото „празно множество“, а именно набор, който не съдържа нито един елемент. Обозначава се понякога със символа 0 (съвпадението с обозначението на числото нула не води до объркване, тъй като значението на символа е ясно всеки път).

Ако всеки елемент от множеството Ае включен в много Б, тогава Анаречено подмножество Б, а Бнаречен супернабор А... Те пишат ( Ае включено в Били Асъдържащи се в Б, Бсъдържа А). Очевидно, ако и, тогава А = Б... Празно множество по дефиниция се счита за подмножество на всяко множество.

Ако всеки елемент от множеството Ае включено в Бно много Бсъдържа поне един елемент, който не е включен в А, т.е., ако и, тогава АНаречен собствено подмножество Б, а Б - собствен супернабор А... В този случай пишете. Например нотацията и означават едно и също нещо, а именно това множество Ане е празен.

Имайте предвид също, че е необходимо да се прави разлика между елемента аи комплекта ( а) съдържащи акато единствен артикул. Тази разлика е продиктувана не само от факта, че елементът и множеството играят различна роля (отношението не е симетрично), но и от необходимостта да се избягва противоречието. Така че нека А = {а, б) съдържа два елемента. Помислете за комплекта ( А), съдържащ като единствен елемент множеството А... Тогава Асъдържа два елемента, докато ( А) е само един елемент и следователно идентифицирането на тези две групи е невъзможно. Затова се препоръчва да използвате записа, а не да използвате записа.