I. Giperbolik funksiyalarning ta’rifi, asosiy xossalari va grafiklari. Giperbolik funksiyalar Matematik funktsiya
11 Kompleks o‘zgaruvchining asosiy funksiyalari
Kompleks ko'rsatkichning ta'rifini eslaylik -. Keyin
Maklaurin seriyasining kengayishi. Bu qatorning yaqinlashish radiusi + ∞, ya'ni kompleks ko'rsatkich butun kompleks tekislikda analitik va
(exp z) "= exp z; exp 0 = 1. (2)
Bu yerda birinchi tenglik, masalan, darajalar qatori uchun atamalar bo‘yicha differensiallanish teoremasidan kelib chiqadi.
11.1 Trigonometrik va giperbolik funksiyalar
Sinus kompleks o'zgaruvchisi funksiya deb ataladi
Kompleks o'zgaruvchining kosinusu funksiya mavjud
Kompleks o'zgaruvchining giperbolik sinusi quyidagicha aniqlanadi:
Kompleks o'zgaruvchining giperbolik kosinasi funksiya hisoblanadi
Keling, yangi kiritilgan funktsiyalarning ba'zi xususiyatlarini ta'kidlaymiz.
A. Agar x∈ ℝ bo'lsa, u holda cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ.
B. Trigonometrik va giperbolik funktsiyalar o'rtasida quyidagi bog'liqlik mavjud:
cos iz = ch z; sin iz = ish z, ch iz = cos z; sh iz = isin z.
B. Asosiy trigonometrik va giperbolik identifikatsiyalar:
cos 2 z + sin 2 z = 1; ch 2 z-sh 2 z = 1.
Asosiy giperbolik shaxsning isboti.
Trigonometrik va giperbolik funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlikni hisobga olgan holda asosiy trigonometrik o'ziga xoslik asosiy giperbolik o'ziga xoslikdan kelib chiqadi (B xususiyatiga qarang).
G Qo'shish formulalari:
Jumladan,
D. Trigonometrik va giperbolik funksiyalarning hosilalarini hisoblash uchun darajali qatorni hadlar bo'yicha differensiallash teoremasini qo'llash kerak. Biz olamiz:
(cos z) "= - sin z; (sin z)" = cos z; (ch z) "= sh z; (sh z)" = ch z.
E. cos z, ch z funksiyalari juft, sin z, sh z funksiyalari toq.
G. (davriylik) e z funksiyasi davriy, davri 2p i. cos z, sin z funksiyalari davriy 2p davri bilan, ch z, sh z funksiyalari esa 2pi davri bilan davriydir. Bundan tashqari,
Yig'indi formulalarini qo'llash orqali biz olamiz
Z. Haqiqiy va xayoliy qismlarga parchalanish:
Agar bitta qiymatli f (z) analitik funksiya D sohasini G domeniga bijektiv ravishda moslashtirsa, u holda D shlichtlik sohasi deyiladi.
VA. Domen D k = (x + iy | 2p k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Isbot. (5) munosabatdan kelib chiqadiki, xaritalash eksp: D k → ℂ in'ektivdir. w har qanday nolga teng bo'lmagan kompleks son bo'lsin. Keyin, e x = | w | tenglamalarini yechish va e iy = w / | w | haqiqiy o'zgaruvchilar bilan x va y (yarim oraliqdan y ni tanlang)