Lobachevskiy geometriyasining asosiy tushunchalari. Biroz. Parallel chiziqlar qaysi geometriyada kesishadi? Lobachevskiy chiziqlari kesishadi

Lobachevskiy samolyoti

Lobachevskiy geometriyasi (giperbolik geometriya) — Evklid boʻlmagan geometriyalardan biri boʻlib, Lobachevskiyning parallel aksiomasi bilan almashtirilgan parallel aksioma bundan mustasno, oddiy Evklid geometriyasi bilan bir xil asosiy asoslarga asoslangan geometrik nazariya.

Evklid parallel aksiomasi shunday deydi:

berilgan to'g'ri chiziqda yotmagan nuqta orqali bitta tekislikda berilgan to'g'ri chiziq bilan yotadigan va uni kesib o'tmaydigan faqat bitta to'g'ri chiziq mavjud.

Lobachevskiy geometriyasida uning o'rniga quyidagi aksioma qabul qilinadi:

berilgan to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan nuqta orqali o‘tkazilganda, berilgan to‘g‘ri chiziq bilan bir tekislikda yotadigan va uni kesib o‘tmaydigan kamida ikkita to‘g‘ri chiziq bor.

Lobachevskiyning geometriyasi matematikada ham, fizikada ham keng qo'llaniladi. Uning tarixiy ahamiyati shundan iboratki, Lobachevskiy uni qurish orqali Evkliddan boshqa geometriya imkoniyatlarini ko‘rsatdi, bu geometriya va umuman matematika taraqqiyotida yangi davrni boshlab berdi.

Hikoya

Beshinchi postulatni isbotlashga urinishlar

Lobachevskiy geometriyasining boshlang'ich nuqtasi Evklidning V postulati - parallel aksiomaga ekvivalent aksioma edi. U Evklid elementlarida postulatlar ro'yxatiga kiritilgan). Uni shakllantirishning nisbiy murakkabligi va intuitivligi uning ikkilamchi tabiati hissini keltirib chiqardi va uni Evklidning qolgan postulatlaridan chiqarishga urinishlarga sabab bo'ldi.

Dalillashga uringanlar orasida quyidagi olimlar bor edi:

qadimgi yunon matematiklari Ptolemey (II asr), Prokl (V asr) (ikki parallel orasidagi masofa chekli degan taxminga asoslanib),
Iroqlik Ibn al-Haysam (asr oxiri - boshlari) (to'g'ri chiziqqa perpendikulyar harakatlanuvchining oxiri to'g'ri chiziqni tasvirlaydi degan taxminga asoslanib),
Eron matematiklari Umar Xayyom (2-yarmi - 12-asr boshlari) va Nosiriddin at-Tusiy (13-asr) (ikki yaqinlashuvchi chiziq davom etganda kesishmasdan divergent boʻla olmaydi degan taxminga asoslanib),
Nemis matematigi Klavius (),
Italiyalik matematiklar
- Kataldi (birinchi marta 1603 yilda u butunlay parallellik masalasiga bag'ishlangan asarini nashr etdi),
Ingliz matematigi Uollis (, nashr etilgan) (har bir raqam uchun o'xshash, ammo teng bo'lmagan raqam mavjud degan taxminga asoslanib),
Fransuz matematigi Legendre () (oʻtkir burchak ichidagi har bir nuqta orqali burchakning har ikki tomonini kesib oʻtuvchi toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin degan farazga asoslanib; buni isbotlashga boshqa urinishlari ham boʻlgan).

Beshinchi postulatni isbotlashga urinishlarda matematiklar ularga yanada ravshanroq bo'lib tuyulgan yangi bayonotni kiritdilar.

Qarama-qarshilik bilan dalildan foydalanishga urinishlar qilingan:

Italiyalik matematik Sakcheri () (posulatga zid bo'lgan bayonotni tuzib, u bir qator oqibatlarga olib keldi va ularning ba'zilarini noto'g'ri qarama-qarshi deb tan olib, postulatni isbotlangan deb hisobladi),
Nemis matematigi Lambert (haqida, nashr etilgan) (tadqiqot olib borganidan so'ng, u qurgan tizimda qarama-qarshiliklarni topa olmaganini tan oldi).

Nihoyat, qarama-qarshi postulat asosida nazariyani qurish mumkinligi haqidagi tushuncha paydo bo'la boshladi:

Nemis matematiklari F. Shveykart () va Taurinus () (ammo ular bunday nazariya mantiqiy jihatdan teng darajada izchil bo'lishini tushunishmagan).

Evklid bo'lmagan geometriyani yaratish

Lobachevskiy o'zining Evklid bo'lmagan geometriyaga oid birinchi nashr etilgan asari "Geometriya tamoyillari to'g'risida" () asarida V postulatni Evklid geometriyasining boshqa asoslari asosida isbotlab bo'lmasligini va postulat farazini aniq ta'kidlagan. Evklidga qarama-qarshi bo'lgan narsa geometriyani Evklidga o'xshab mazmunli va qarama-qarshiliklardan xoli qurishga imkon beradi.

Ayni paytda va mustaqil ravishda, Yanos Bolyai shunga o'xshash xulosalarga kelgan va Karl Fridrix Gauss bunday xulosalarga undan oldin kelgan. Biroq Boyai yozganlari e’tiborni o‘ziga tortmadi va u tez orada bu mavzudan voz kechdi, Gauss esa, umuman olganda, nashr qilishdan o‘zini tiyadi, uning qarashlarini faqat bir necha xat va kundalik yozuvlar bilan baholash mumkin. Masalan, Gauss 1846 yilda astronom G. X. Shumaxerga yozgan maktubida Lobachevskiy ijodi haqida shunday deydi:

Bu ishda, agar Evklid geometriyasi to'g'ri bo'lmasa, sodir bo'lishi kerak bo'lgan va bundan tashqari, qat'iy izchil bir butunlikni tashkil etuvchi geometriyaning asoslari mavjud ... Lobachevskiy uni "xayoliy geometriya" deb ataydi; Bilasizmi, 54 yil davomida (1792 yildan beri) men ularning ma'lum bir rivojlanishi bilan bir xil qarashlarga ega bo'ldim, bu erda aytib o'tmoqchi emasman; Shunday qilib, men Lobachevskiyning ishida o'zim uchun deyarli yangi narsa topa olmadim. Lekin mavzuni rivojlantirishda muallif men o‘zim tutgan yo‘ldan bormadi; u Lobachevskiy tomonidan chinakam geometrik ruhda mahorat bilan bajarilgan. Men sizning e'tiboringizni ushbu kompozitsiyaga qaratishga majburman deb hisoblayman, bu sizga mutlaqo zavq bag'ishlaydi.

Natijada, Lobachevskiy ushbu nazariyaning birinchi yorqin va izchil targ'ibotchisi sifatida harakat qildi.

Lobachevskiyning geometriyasi spekulyativ nazariya sifatida rivojlangan va Lobachevskiyning o'zi uni "xayoliy geometriya" deb atagan bo'lsa-da, lekin Lobachevskiy uni aql o'yini emas, balki fazoviy munosabatlarning mumkin bo'lgan nazariyasi deb hisoblagan. Biroq, uning izchilligi isboti keyinroq, uning talqinlari ko'rsatilganda keltirildi va shu bilan uning haqiqiy ma'nosi, mantiqiy izchilligi masalasi to'liq hal qilindi.

Lobachevskiy geometriyasining tasdiqlanishi

burchak yanada qiyinroq.

Puankare modeli

Lobachevskiy geometriyasining mazmuni

Lobachevskiy geometriyasida parallel chiziqlar to'plami

Lobachevskiy oʻzining geometriyasini asosiy geometrik tushunchalar va aksiomasidan boshlab qurdi va teoremalarni Evklid geometriyasida bajarilganiga oʻxshash geometrik usul bilan isbotladi. Parallel chiziqlar nazariyasi asos bo'lib xizmat qildi, chunki Lobachevskiy geometriyasi va Evklid geometriyasi o'rtasidagi farq aynan shu erda boshlanadi. Parallel aksiomaga bog'liq bo'lmagan barcha teoremalar ikkala geometriya uchun ham umumiy bo'lib, mutlaq geometriya deb ataladigan narsani tashkil qiladi, masalan, uchburchaklar tengligi haqidagi teoremalarni o'z ichiga oladi. Parallellar nazariyasidan so'ng, trigonometriya va analitik va differentsial geometriyaning boshlanishini o'z ichiga olgan boshqa bo'limlar qurilgan.

Keling, Lobachevskiy geometriyasini Evklid geometriyasidan ajratib turadigan va Lobachevskiyning o'zi tomonidan asos solingan bir qancha faktlarni (zamonaviy yozuvda) keltiramiz.

Nuqta orqali P berilgan chiziqda yotmaslik R(rasmga qarang), kesishmaydigan cheksiz ko'p to'g'ri chiziqlar mavjud R va u bilan bir tekislikda; ular orasida ikkita ekstremal bor x, y, ular parallel chiziq deb ataladi R Lobachevskiy ma'nosida. Klein (Poincare) modellarida ular akkord (yoy) bo'lgan akkordlar (aylana yoylari) bilan tasvirlangan. R umumiy uchi (modelning ta'rifiga ko'ra, bu chiziqlar umumiy nuqtalarga ega bo'lmasligi uchun chiqarib tashlanadi).

Perpendikulyar orasidagi burchak PB dan P ustida R va parallellarning har biri (deb ataladi parallellik burchagi) nuqta olib tashlanganligi sababli P to'g'ri chiziqdan 90 ° dan 0 ° gacha kamayadi (Puankare modelida odatiy ma'nodagi burchaklar Lobachevskiy ma'nosidagi burchaklarga to'g'ri keladi va shuning uchun bu haqiqatni bevosita uning ustida ko'rish mumkin). Parallel x bir tomondan (a y teskarisi bilan) asimptotik tarzda yaqinlashadi a, va boshqa tomondan, u cheksiz ravishda undan uzoqlashadi (modellarda masofalarni aniqlash qiyin va shuning uchun bu haqiqat to'g'ridan-to'g'ri ko'rinmaydi).

Berilgan to'g'ri chiziqdan uzoqda joylashgan nuqta uchun PB = a(rasmga qarang), Lobachevskiy parallellik burchagi formulasini berdi P (a) :

Bu yerda q- Lobachevskiy bo'shlig'ining egriligi bilan bog'liq ba'zi doimiy. Sferik geometriyada sharning radiusi alohida o'rinni egallagani kabi, u uzunlikning mutlaq birligi bo'lib xizmat qilishi mumkin.

Agar chiziqlar umumiy perpendikulyarga ega bo'lsa, ular undan har ikki yo'nalishda ham cheksiz ravishda ajralib chiqadi. Ularning har qandayiga siz boshqa to'g'ri chiziqqa etib bormaydigan perpendikulyarlarni tiklashingiz mumkin.

Lobachevskiy geometriyasida o'xshash, ammo teng bo'lmagan uchburchaklar mavjud emas; burchaklari teng bo'lsa, uchburchaklar tengdir.

Har qanday uchburchak burchaklarining yig'indisi p dan kichik va ixtiyoriy ravishda nolga yaqin bo'lishi mumkin. Buni to'g'ridan-to'g'ri Puankare modelida ko'rish mumkin. d = p - (a + b + g) farqi, bu erda a, b, g uchburchakning burchaklari, uning maydoniga proportsionaldir:

Formula uchburchakning maksimal maydoni borligini ko'rsatadi va bu chekli son: p q 2 .

To'g'ri chiziqdan teng masofadagi chiziq to'g'ri chiziq emas, balki teng masofali chiziq deb ataladigan maxsus egri chiziq yoki gipertsikl.

Cheksiz ortib boruvchi radiusli doiralar chegarasi to'g'ri chiziq emas, balki maxsus egri chiziq deb ataladi chegara doirasi, yoki horotsikl.

Cheksiz ortib boruvchi radiusli sferalarning chegarasi tekislik emas, balki maxsus sirt - chegaraviy sfera yoki horosfera; uning ustida Evklid geometriyasi sodir bo'lishi diqqatga sazovordir. Bu Lobachevskiyning trigonometriya formulalarini chiqarish uchun asos bo'lib xizmat qildi.

Atrof radiusga mutanosib emas, lekin tezroq o'sadi. Xususan, Lobachevskiy geometriyasida p sonini aylana aylanasining uning diametriga nisbati sifatida belgilash mumkin emas.

Fazoda yoki Lobachevskiy tekisligida maydon qanchalik kichik bo'lsa, bu sohadagi geometrik munosabatlar Evklid geometriyasidagi munosabatlardan shunchalik kam farq qiladi. Aytishimiz mumkinki, Evklid geometriyasi cheksiz kichik mintaqada sodir bo'ladi. Masalan, uchburchak qanchalik kichik bo'lsa, uning burchaklarining yig'indisi p dan shunchalik kam farq qiladi; doira qanchalik kichik bo'lsa, uning uzunligining radiusga nisbati 2p dan shunchalik kam farq qiladi va hokazo. Maydonning pasayishi rasmiy ravishda uzunlik birligining ortishiga teng, shuning uchun uzunlik birligining cheksiz o'sishi bilan, Lobachevskiy geometriya formulalari Evklid geometriyasining formulalariga aylanadi. Evklid geometriyasi shu ma'noda Lobachevskiy geometriyasining "cheklovchi" holatidir.

Ilovalar

Lobachevskiyning o'zi geometriyasini aniq integrallarni hisoblashda qo'llagan.
Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalari nazariyasida Lobachevskiyning geometriyasi avtomorf funksiyalar nazariyasini yaratishga yordam berdi. Lobachevskiy geometriyasi bilan bog'liqlik bu erda Puankare tadqiqotining boshlang'ich nuqtasi bo'lib, u "Yevklid bo'lmagan geometriya butun muammoni hal qilishning kalitidir" deb yozgan.
Lobachevskiy geometriyasi sonlar nazariyasida, uning “sonlar geometriyasi” nomi bilan birlashtirilgan geometrik usullarida ham qo‘llaniladi.
Lobachevskiy geometriyasi bilan maxsus (xususiy) nisbiylik nazariyasi kinematikasi o'rtasida yaqin aloqa o'rnatildi. Bu bog'lanish yorug'likning tarqalish qonunini ifodalovchi tenglikka asoslanadi

ga bo'linganda t 2, ya'ni yorug'lik tezligi uchun, beradi

- sharning koordinatalari bilan fazodagi tenglamasi v x , v y , v z- eksa bo'ylab tezlik komponentlari X, da, z("tezliklar fazosida"). Lorents o'zgarishlari bu sohani saqlab qoladi va ular chiziqli bo'lgani uchun tezlik fazosining to'g'ri chiziqlarini to'g'ri chiziqlarga aylantiradi. Shuning uchun, Klein modeliga ko'ra, radius sferasi ichidagi tezliklar fazosida Bilan, ya'ni yorug'lik tezligidan kichik tezliklar uchun Lobachevskiy geometriyasi amalga oshiriladi.

Lobachevskiyning geometriyasi umumiy nisbiylik nazariyasida ajoyib qo'llanilishini topdi. Agar biz koinotdagi materiya massalarining taqsimlanishini bir xil deb hisoblasak (kosmik miqyosda bu yaqinlashish joizdir), u holda ma'lum sharoitlarda kosmos Lobachevskiy geometriyasiga ega ekanligi ma'lum bo'ladi. Shunday qilib, Lobachevskiyning geometriyasi haqidagi taxmini haqiqiy fazoning mumkin bo'lgan nazariyasi sifatida oqlandi.
Klein modelidan foydalanib, juda oddiy va qisqa dalil berilgan

LV 1. (Lobachevskiyning parallelizm aksiomasi). Har qanday tekislikda bu chiziqqa tegishli bo'lmagan a 0 to'g'ri chiziq va A 0 nuqta mavjud bo'lib, shu nuqtadan 0 ni kesib o'tmaydigan kamida ikkita to'g'ri chiziq o'tadi.

A'zolik, tartib, moslik, uzluksizlik aksiomalarini va Lobachevskiy parallelizm aksiomasini qanoatlantiruvchi nuqtalar, chiziqlar va tekisliklar to'plami uch o'lchovli Lobachevskiy fazosi deb ataladi va A 3 bilan belgilanadi. Shakllarning ko'p geometrik xossalari biz L 3 fazo tekisligida ko'rib chiqiladi, ya'ni. Lobachevskiy samolyotida. Evklid geometriyasining parallellik aksiomasi V 1 aksiomasining formal mantiqiy inkori aynan biz LV 1 aksiomasi sifatida bergan formulaga ega ekanligiga e’tibor qarataylik. Tekislikda kamida bitta nuqta va bitta to'g'ri chiziq mavjud bo'lib, ular uchun Evklid geometriyasining parallellik aksiomasining bayonoti bajarilmaydi. Lobachevskiy tekisligining istalgan nuqtasi va to'g'ri chizig'i uchun Lobachevskiy parallellik aksiomasining bayonoti o'rinli degan teoremani isbotlaylik.

13.1 teorema.a ixtiyoriy to'g'ri chiziq va A nuqta bu to'g'ri chiziqda yotmaydigan nuqta bo'lsin. Keyin A nuqta va a chiziq bilan aniqlangan tekislikda A chiziqdan o'tuvchi va kesishmaydigan kamida ikkita chiziq mavjud.

Isbot. Biz 11.1 teoremadan foydalanib, qarama-qarshilik bilan isbotlaymiz (11-§ ga qarang). Faraz qilaylik, Lobachevskiy fazosida A nuqta va shunday a to'g'ri chiziq borki, bu nuqta va to'g'ri chiziq bilan aniqlangan tekislikda A nuqta orqali a ni kesib o'tmaydigan bitta to'g'ri chiziq bor. A to'g'ri chiziqqa A perpendikulyar AB nuqtani tushiramiz va A nuqtada AB to'g'ri chiziqqa perpendikulyar h ni ko'taramiz (50-rasm). 4.2 teoremadan kelib chiqqan holda (4-§ ga qarang) h va a chiziqlari kesishmaydi. Farazga ko'ra h to'g'ri chiziq A dan o'tuvchi va a ni kesib o'tmaydigan yagona to'g'ri chiziqdir. a to'g'ri chiziqda ixtiyoriy C nuqtani tanlaymiz.B nuqtasini o'z ichiga olmaydi AB chegarasi bilan yarim tekislikdagi AC nuridan ACB ga teng CAM burchagini chetga olib chiqamiz. U holda, xuddi shu 4.2 teoremadan kelib chiqqan holda, AM chizig'i a ni kesib o'tmaydi. Bizning taxminimizdan kelib chiqadiki, u h bilan mos keladi. Demak, M nuqta h to‘g‘riga tegishli. ABC uchburchagi - to'rtburchaklar,. ABC uchburchak burchaklarining yig'indisini hisoblaymiz:. 11.1-teoremadan kelib chiqadiki, Evklid geometriyasining parallellik aksiomasi sharti bajariladi. Demak, ko'rib chiqilayotgan tekislikda A 0 nuqtalari va a 0 to'g'ri chiziq bo'lishi mumkin emaski, bu nuqtadan 0 ni kesib o'tmaydigan kamida ikkita to'g'ri chiziq o'tadi. Biz Lobachevskiy parallel aksiomasining sharti bilan ziddiyatga keldik. Teorema isbotlangan.

Shuni ta'kidlash kerakki, biz 13.1-teoremaning tasdig'idan foydalanamiz, aslida Lobachevskiyning parallellik aksiomasini tasdiqlaymiz. Aytgancha, ko'pgina darsliklarda aynan shu bayonot Lobachevskiy geometriyasining parallelizm aksiomasi sifatida qabul qilingan.

13.1 teoremadan quyidagi xulosani olish oson.

Xulosa 13.2. Lobachevskiy tekisligida berilgan toʻgʻri chiziqda yotmaydigan nuqta orqali berilgan toʻgʻri chiziqni kesib oʻtmaydigan cheksiz koʻp toʻgʻri chiziqlar mavjud.

Darhaqiqat, a - berilgan to'g'ri chiziq, A - unga tegishli bo'lmagan nuqta, h 1 va h 2 - A orqali o'tuvchi va a -ni kesib o'tmaydigan to'g'ri chiziqlar (51-rasm). Shubhasiz, A nuqtadan o'tuvchi va h 1 va h 2 (51-rasmga qarang) hosil qilgan burchaklardan birida yotadigan barcha chiziqlar a chiziqni kesib o'tmaydi.

2-bobda biz Evklid geometriyasining parallel aksiomasiga ekvivalent bo'lgan bir qancha mulohazalarni isbotladik. Ularning mantiqiy inkorlari Lobachevskiy tekisligidagi raqamlarning xususiyatlarini tavsiflaydi.

Birinchidan, Lobachevskiy tekisligida Evklidning beshinchi postulatini mantiqiy inkor qilish o'rinlidir. 9-bo'limda biz postulatning o'zini shakllantirdik va uning Evklid geometriyasida parallellik aksiomasiga ekvivalentligi haqidagi teoremani isbotladik (9.1 teoremaga qarang). Uning mantiqiy inkori:

Bayonot 13.3.Lobachevskiy tekisligida ikkita kesishmaydigan to'g'ri chiziq mavjud bo'lib, ular uchinchi to'g'ri chiziq bilan kesishganda, yig'indisi ikkita to'g'ri burchakdan kichik bo'lgan ichki bir tomonlama burchaklarni hosil qiladi.

12-§da biz Posidoniusning taklifini shakllantirdik: tekislikda berilgan chiziqdan bir yarim tekislikda va undan teng masofada joylashgan kamida uchta kollinear nuqta mavjud. 12.6 teoremasini ham isbotladik: Posidoniusning taklifi Evklid geometriyasining parallellik aksiomasini tasdiqlash bilan tengdir. Shunday qilib, ushbu bayonotni inkor etish Lobachevskiy samolyotida harakat qiladi.

Bayonot 13.4. Lobachevskiy tekisligidagi to'g'ri chiziqdan teng masofada joylashgan va unga nisbatan bir yarim tekislikda joylashgan nuqtalar to'plami, o'z navbatida, bitta to'g'ri chiziqda yotmaydi.

Lobachevskiy tekisligida toʻgʻri chiziqdan teng masofada joylashgan va shu toʻgʻri chiziqqa nisbatan bir yarim tekislikka tegishli boʻlgan nuqtalar toʻplami egri chiziq hosil qiladi, yaʼni teng masofali chiziq deb ataladi. Biz uning xususiyatlarini keyinroq ko'rib chiqamiz.

Endi Legendrening taklifini ko'rib chiqing: n Biz isbotlagan 11.6 teorema (11-§ ga qarang) buni tasdiqlaydi Bundan kelib chiqadiki, Lobachevskiy tekisligida bu taklifning mantiqiy inkori o'rinli.

Bayonot 13.5. Har qanday o'tkir burchak tomonida shunday nuqta borki, unga ko'tarilgan perpendikulyar burchakning ikkinchi tomonini kesib o'tmaydi.

9 va 11-bo'limlar natijalaridan bevosita kelib chiqadigan Lobachevskiy tekisligining uchburchaklari va to'rtburchaklari xossalarini qayd qilaylik. Avvalo, 11.1 teorema. Buni bildiradi burchaklari yigʻindisi ikkita toʻgʻri burchaklar yigʻindisiga toʻgʻri keladigan uchburchakning mavjudligi haqidagi faraz Evklid tekisligining parallellik aksiomasi bilan tengdir. Bu va Legendrening birinchi teoremasidan (10.1-teorema, § 10-ga qarang) quyidagi fikr kelib chiqadi.

Bayonot 13.6. Lobachevskiy tekisligida har qanday uchburchak burchaklarining yig'indisi 2d dan kichik.

Bu darhol shuni anglatadi har qanday qavariq to'rtburchak burchaklarining yig'indisi 4d dan kichik, har qanday qavariq n - gon burchaklarining yig'indisi 2 (n-1) d dan kichik.

Evklid tekisligida Sakcheri to'rtburchagining ustki poydevoriga tutashgan burchaklar to'g'ri burchaklarga teng bo'lganligi sababli, 12.3 teoremaga (12 § ga qarang) muvofiq, Evklid geometriyasining parallellik aksiomasiga ekvivalent bo'lgan burchaklarni chizishimiz mumkin. quyidagi xulosa.

Bayonot 13.7. Sakcheri to'rtburchagining yuqori poydevoriga tutashgan burchaklar o'tkirdir.

Lobachevskiy tekisligida uchburchaklarning yana ikkita xususiyatini ko'rib chiqish biz uchun qoladi. Birinchisi Uollisning taklifi bilan bog'liq: tekislikda mos ravishda teng burchakli, lekin teng tomonlari bo'lmagan kamida bitta juft uchburchak mavjud. 11-bo'limda biz bu taklif Evklid geometriyasining parallel aksiomasiga ekvivalent ekanligini isbotladik (11.5 teoremaga qarang). Ushbu bayonotning mantiqiy rad etilishi bizni quyidagi xulosaga olib keladi: Lobachevskiy tekisligida teng burchakli uchburchaklar yo'q, lekin tomonlari teng emas. Shunday qilib, quyidagi taklif haqiqatdir.

Bayonot 13.8. (Lobachevskiy tekisligida uchburchaklar tengligining to'rtinchi mezoni).Lobachevskiy tekisligidagi mos ravishda teng burchaklarga ega bo'lgan har qanday ikkita uchburchak bir-biriga teng.

Endi keyingi savolni ko'rib chiqing. Lobachevskiy tekisligidagi har qanday uchburchak atrofida aylana tasvirlanishi mumkinmi? Javob 9.4-teoremada berilgan (9-§ ga qarang). Ushbu teoremaga muvofiq, agar tekislikdagi istalgan uchburchak atrofida aylana tasvirlanishi mumkin bo'lsa, u holda Evklid geometriyasining parallellik aksiomasi sharti tekislikda qanoatlantiriladi. Demak, bu teoremani tasdiqlashning mantiqiy inkori bizni quyidagi mulohazaga olib boradi.

Bayonot 13.9. Lobachevskiy tekisligida uchburchak bor, uning atrofida aylana tasvirlab bo'lmaydi.

Bunday uchburchakning namunasini qurish oson. Keling, a to'g'ri chiziqni va unga tegishli bo'lmagan A nuqtani tanlaylik. A nuqtadan a chiziqqa perpendikulyar h ni tushiramiz. Lobachevskiyning parallellik aksiomasi tufayli A dan o'tuvchi va h ga perpendikulyar bo'lmagan, a to'g'ri chiziqni kesib o'tmaydigan b to'g'ri chiziq mavjud (52-rasm). Ma'lumki, agar aylana uchburchak atrofida o'ralgan bo'lsa, unda uning markazi uchburchak tomonlarining median perpendikulyarlari kesishgan nuqtada yotadi. Shunday ekan, median perpendikulyarlari kesishmaydigan bunday uchburchakka misol keltirish kifoya. 52-rasmda ko'rsatilganidek, h to'g'rida M nuqtani tanlaymiz.Uni a va b to'g'rilarga nisbatan simmetrik ravishda ko'rsatamiz, N va P nuqtalarni olamiz. b to'g'ri h ga perpendikulyar bo'lmagani uchun P nuqta emas. h ga tegishli. Demak, M, N va P nuqtalar uchburchakning uchlaridir. a va b chiziqlar konstruktsiyasiga ko'ra perpendikulyar bo'lib xizmat qiladi. Ular, yuqorida aytib o'tilganidek, kesishmaydi. MNP uchburchagi talab qilinadi.

Lobachevskiy tekisligida uchburchakning misolini qurish oson, uning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin. Buning uchun ikkita kesishuvchi chiziqni olish, ularga tegishli bo'lmagan nuqtani tanlash va uni ushbu chiziqlarga nisbatan aks ettirish kifoya. Batafsil qurilishni o'zingiz bajaring.

Ta'rif 14.1. Ikki yo'naltirilgan to'g'ri chiziq va berilgan bo'lsin. Agar quyidagi shartlar bajarilsa, ular parallel deyiladi:

1. a va b to'g'ri chiziqlar kesishmaydi;

2. a va b to'g'ri chiziqlarning ixtiyoriy A va B nuqtalari uchun ABB 2 burchakning istalgan ichki h nuri a chiziqni kesib o'tadi (52-rasm).

Biz parallel chiziqlarni maktab geometriya kursida odatdagidek belgilaymiz: a || b. Evklid tekisligidagi parallel chiziqlar bu ta'rifni qondirishiga e'tibor bering.

14.3 teorema. Yo'naltirilgan to'g'ri chiziq va unga tegishli bo'lmagan B nuqta Lobachevskiy tekisligida berilgan bo'lsin. So'ngra bu nuqtadan bir yo'naltirilgan to'g'ri chiziq shunday o'tadiki, a to'g'ri chiziq b to'g'ri chiziqqa parallel bo'ladi.

Isbot. B nuqtadan BA perpendikulyarni a to'g'ri chiziqqa tushiramiz va B nuqtadan BA to'g'ri chiziqqa p perpendikulyarni tiklaymiz (56-rasm a). To'g'ri chiziq p, ko'p marta ta'kidlanganidek, berilgan a to'g'ri chiziqni kesib o'tmaydi. Unga ixtiyoriy S nuqtani tanlaymiz, AC segmentining nuqtalarini ikkita sinfga ajratamiz va. Birinchi sinfga ushbu segmentning shunday S nuqtalari kiradi, ular uchun BS nuri AA 2 nur bilan kesishadi va ikkinchi sinfga shunday T nuqtalar kiradi, ular uchun BT nuri AA 2 nur bilan kesishmaydi. Bunday sinflarga bo'linish AC segmentining Dedekind kesimini hosil qilishini ko'rsatamiz. 4.3 teoremasiga muvofiq (4-§ ga qarang) biz quyidagilarni tekshirishimiz kerak:

2. va sinflar va A va C dan boshqa nuqtalarni o'z ichiga oladi;

3. A dan boshqa sinfning istalgan nuqtasi A nuqta va sinfning istalgan nuqtasi o'rtasida joylashgan.

Birinchi shart aniq, segmentning barcha nuqtalari u yoki bu sinfga tegishli, sinflarning o'zlari esa ularning ta'rifiga asoslanib, umumiy nuqtalarga ega emaslar.

Ikkinchi shartni tekshirish ham oson. Shubhasiz, va. Sinfda A dan boshqa nuqtalar mavjud; bu fikrni tasdiqlash uchun AA 2 nurining qaysidir nuqtasini tanlash va uni B nuqtaga ulash kifoya. Bu nur birinchi sinf nuqtasida BC segmentini kesib o'tadi. Sinfda C dan boshqa nuqtalar ham mavjud, aks holda biz Lobachevskiyning parallellik aksiomasi bilan ziddiyatga kelamiz.

Uchinchi shartni isbotlaylik. Birinchi sinfning A dan farqli S nuqtasi va ikkinchi sinfning shunday T nuqtasi mavjud bo'lsinki, T nuqta A va S o'rtasida joylashgan bo'lsin (56-a rasmga qarang). Chunki, u holda BS nuri AA 2 nurni qaysidir R nuqtasida kesib o'tadi. BT nurini ko'rib chiqaylik. U ASR uchburchagining AS tomonini T nuqtada kesib o'tadi. Pasha aksiomasiga ko'ra, bu nur bu uchburchakning AR tomoni yoki SR tomoni bilan kesishishi kerak. Faraz qilaylik, BT nuri SR tomonini qaysidir O nuqtada kesib o'tadi. Keyin B va O nuqtalardan ikki xil BT va BR to'g'ri chiziq o'tadi, bu Gilbert aksiomasining aksiomasiga ziddir. Shunday qilib, BT nuri AR tomonini kesib o'tadi, bu T nuqtaning K 2 sinfiga tegishli emasligini anglatadi. Olingan qarama-qarshilik S nuqta A va T o'rtasida joylashganligi haqidagi fikrga olib keladi. 4.3-teorema sharti to'liq tasdiqlangan.

AC segmentidagi Dedekind kesmasi bo'yicha 4.3-teoremaning xulosasiga ko'ra, A o'rtasida joylashgan va sinfga tegishli bo'lgan har qanday nuqta mavjud bo'lib, va C orasida joylashgan har qanday nuqta sinfga tegishli. Yo'naltirilgan chiziq chiziqqa parallel ekanligini ko'rsatamiz ... Aslida, uning a to'g'ri chiziqni kesib o'tmasligini isbotlash biz uchun qoladi, chunki K 1 sinf nuqtalarini tanlash tufayli burchakning har qanday ichki nurlari kesishadi. Faraz qilaylik, to‘g‘ri chiziq a to‘g‘ri chiziqni qaysidir H nuqtasida kesib o‘tadi (56-rasm, b). HA 2 nurida ixtiyoriy P nuqtani tanlaymiz va BP nurini ko'rib chiqamiz. Keyin u M 0 S segmentini qaysidir Q nuqtasida kesib o'tadi (bu gapni o'zingiz isbotlang). Lekin M 0 S segmentining ichki nuqtalari ikkinchi sinfga tegishli, BP nurining a chizig'i bilan umumiy nuqtalari bo'lishi mumkin emas. Shunday qilib, BM 0 va a chiziqlarning kesishishi haqidagi taxminimiz noto'g'ri.

Chiziq B nuqtasi va parallel o'tadigan yagona yo'naltirilgan chiziq ekanligini tekshirish oson. Darhaqiqat, boshqa yo'naltirilgan to'g'ri chiziq B nuqtasidan o'tib ketsin, u ham parallel. Bunda M 1 AC segmentining nuqtasi deb faraz qilamiz. Keyin, K 2 sinfining ta'rifiga asoslanib,. Shuning uchun BM 0 nuri burchakning ichki nuridir, shuning uchun 14.1 ta'rifga ko'ra u to'g'ri chiziqni kesib o'tadi. Biz yuqorida isbotlangan gapga qarama-qarshilikka keldik. 14.3 teorema to'liq isbotlangan.

B nuqtasini va uni o'z ichiga olmaydigan yo'naltirilgan chiziqni ko'rib chiqing. Isbotlangan 14.3 teoremaga muvofiq a ga parallel yo'naltirilgan to'g'ri chiziq B nuqtadan o'tadi. B nuqtadan a chiziqqa perpendikulyar BH ni tushiramiz (57-rasm). Buni ko'rish oson burchak HBB 2 - o'tkir... Haqiqatan ham, agar bu burchak to'g'ri chiziq deb faraz qilsak, 14.1 ta'rifdan kelib chiqadiki, B nuqtadan o'tadigan har qanday to'g'ri chiziq a to'g'ri chiziqni kesib o'tadi, bu 13.1 teoremaga zid keladi, ya'ni. Lobachevskiyning LV 1 parallellik aksiomasi (13-§ ga qarang). Ko'rinib turibdiki, bu burchakning o'tmas ekanligi haqidagi taxmin ham 14.1 ta'rif va 4.2 teorema bilan ziddiyatga olib keladi (§4 ga qarang), chunki BH ga perpendikulyar bo'lgan HBB 2 burchakning ichki nuri AA 2 nurini kesib o'tmaydi. . Shunday qilib, quyidagi bayonot haqiqatdir.

14.4 teorema. Yo'naltirilgan chiziq yo'naltirilgan chiziqqa parallel bo'lsin. Agar to'g'ri chiziqning B nuqtasidan perpendikulyar VN ni to'g'ri chiziqqa tushirsak, HBB 2 burchak o'tkirdir.

Bu teoremadan quyidagi xulosa kelib chiqadi.

Natija.Agar yo'naltirilgan chiziqlarga umumiy perpendikulyar bo'lsa va u holda chiziq chiziqqa parallel emas.

Yo'naltirilmagan chiziqlar uchun parallellik tushunchasini kiritamiz. Biz buni taxmin qilamiz ikkita yo'naltirilmagan to'g'ri chiziq parallel bo'ladi, agar ular bo'yicha yo'nalish 14.1 ta'rifni qondiradigan qilib tanlanishi mumkin bo'lsa. Ma'lumki, to'g'ri chiziq ikki yo'nalishga ega. Demak, 14.3-teoremadan a to'g'riga tegishli bo'lmagan B nuqta orqali shu chiziqqa parallel ikkita yo'naltirilmagan to'g'ri chiziq borligi kelib chiqadi. Shubhasiz, ular B nuqtadan a chiziqqa tushirilgan perpendikulyarga nisbatan simmetrikdir. Bu ikki toʻgʻri chiziq B nuqtadan oʻtuvchi va a toʻgʻri chiziqlar toʻplamini B nuqtadan oʻtuvchi va a chiziqni kesib oʻtmaydigan toʻgʻri chiziqlar toʻplamidan ajratib turuvchi oʻta chegaraviy chiziqlardir (57-rasm).

15.2 teorema. (Lobachevskiy tekisligida parallel chiziqlarning simmetriya xossasi).Yo'naltirilgan chiziq yo'naltirilgan chiziqqa parallel bo'lsin. Keyin yo'naltirilgan chiziq chiziqqa parallel bo'ladi.

Lobachevskiy tekisligidagi chiziqlar parallelligi kontseptsiyasining simmetriya xususiyati yo'naltirilgan parallel chiziqlar tartibini ko'rsatmaslikka imkon beradi, ya'ni. qaysi qator birinchi va qaysi ikkinchi ekanligini aniqlamang. Shubhasiz, to'g'ri chiziqlar parallelligi tushunchasining simmetriya xossasi Evklid tekisligida ham mavjud. Bu to'g'ridan-to'g'ri Evklid geometriyasida parallel chiziqlar ta'rifidan kelib chiqadi. Evklid geometriyasida o'tish xususiyati parallel chiziqlar uchun ham bajariladi. Agar a chiziq b chiziqqa, b chiziq esa c chiziqqa parallel bo'lsa. u holda a va c to'g'ri chiziqlar ham o'zaro parallel bo'ladi. Xuddi shunday xususiyat Lobachevskiy tekisligida yo'naltirilgan to'g'ri chiziqlar uchun ham amal qiladi.

15.3 teorema. (Lobachevskiy tekisligidagi parallel chiziqlarning tranzitivlik xususiyati).Uch xil yo'naltirilgan to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin. Agar va , keyin .

Yo'naltirilgan chiziqqa parallel ravishda yo'naltirilgan chiziqni ko'rib chiqing. Keling, ularni to'g'ri chiziq bilan kesib o'tamiz. A va B nuqtalar mos ravishda to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtalari va, (60-rasm). Quyidagi teorema to'g'ri.

15.4 teorema. Burchak burchakdan kattaroqdir.

15.5 teorema. Degeneratsiyalangan uchburchakning tashqi burchagi unga qo'shni bo'lmagan ichki burchakdan kattaroqdir.

Isbot darhol 15.4 teoremadan kelib chiqadi. Buni o'zing qil.

Ixtiyoriy AB segmentini ko'rib chiqaylik. A nuqta orqali AB ga perpendikulyar a to'g'ri chiziq va B nuqta orqali a ga parallel b to'g'ri chiziq o'tkazamiz (63-rasm). 14.4-teoremadan kelib chiqqan holda (14-§ ga qarang), b chiziq AB chizig'iga perpendikulyar emas.

Ta'rif 16.1. AB va b to'g'ri chiziqlar hosil qilgan o'tkir burchakka AB segmentining parallellik burchagi deyiladi.

Har bir chiziq segmentiga ma'lum bir parallellik burchagi mos kelishi aniq. Quyidagi teorema to'g'ri.

16.2 teorema. Teng segmentlar parallelizmning teng burchaklariga mos keladi.

Isbot. Ikki teng AB va A ¢ B ¢ segmentlari berilsin. A va A nuqtalar orqali ¢ yo'naltirilgan to'g'ri chiziqlar va mos ravishda AB va A ¢ B ¢, B va B nuqtalar orqali esa mos ravishda yo'naltirilgan to'g'ri chiziqlar va va (64-rasm) o'tkazamiz. Keyin va mos ravishda AB va A ¢ B ¢ segmentlarining parallellik burchaklari. Keling, shunday da'vo qilaylik

BAA 2 yarim tekisligida VA nuridan a 2 burchakni chetga surib qo'yamiz (64-rasmga qarang). Tengsizlik (1) tufayli l nur ABB 2 burchakning ichki nuridir. ½1 bo'lgani uchun, u holda l AA 2 nurni qaysidir P nuqtada kesib o'tadi. A ¢ A 2 ¢ nuriga A nuqtadan AP ga teng A ¢ P segmentini qo'yamiz. ABP va A ¢ B ¢ P ¢ uchburchaklarini ko'rib chiqing. Ular to'rtburchaklar, teorema gipotezasiga ko'ra, ular teng oyoqlari AB va A ¢ B ¢, qurilishi bo'yicha, ikkinchi juft AP va A ¢ P ¢ oyoqlari bir-biriga teng. Shunday qilib, ABP to'g'ri burchakli uchburchak A ¢ B ¢ P ¢ uchburchakka teng. Shunday qilib. Boshqa tomondan, B ¢ P ¢ nuri A ¢ A 2 ¢ nurini kesib o'tadi va B 1 ¢ B 2 ¢ yo'naltirilgan chiziq A 1 ¢ A 2 ¢ to'g'ri chiziqqa parallel. Shuning uchun B ¢ P ¢ nur A ¢ B ¢ B 2 ¢ burchakning ichki nuridir, ... Olingan qarama-qarshilik bizning taxminimizni rad etadi, tengsizlik (1) noto'g'ri. Xuddi shunday, burchak burchakdan kichik bo'lishi mumkin emasligi isbotlangan. Teorema isbotlangan.

Keling, teng bo'lmagan segmentlarning parallellik burchaklari bir-biri bilan qanday bog'liqligini ko'rib chiqaylik.

16.3 teorema. AB segmenti A ¢ B ¢ segmentidan va burchaklari va shunga mos ravishda ularning parallellik burchaklaridan katta bo'lsin. Keyin.

Isbot. Bu teoremaning isboti to'g'ridan-to'g'ri degenerativ uchburchakning tashqi burchagi haqidagi 15.5 teoremasidan (15-§ ga qarang) kelib chiqadi. AB segmentini ko'rib chiqing. A nuqta orqali AB ga perpendikulyar va B nuqta orqali parallel to‘g‘ri yo‘naltirilgan to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz (65-rasm). AB nuriga A ¢ B ¢ ga teng AP segmentini qo'yamiz. Chunki, u holda P AB segmentining ichki nuqtasidir. C 1 C 2 yo'naltirilgan chiziqni P orqali ham parallel chizamiz. Burchak A ¢ B ¢ segmentining parallellik burchagi bo'lib xizmat qiladi, burchak esa AB segmentining parallellik burchagidir. Boshqa tomondan, 15.2-chiziqlar parallelligi tushunchasining simmetriyasiga oid teoremadan (15-§ ga qarang) S 1 S 2 chiziq chiziqqa parallel ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun, uchburchak RBC 2 A 2 degenerativ, tashqi va uning ichki burchaklari. 15.5-teorema isbotlanayotgan fikrning haqiqatini bildiradi.

Buning aksini isbotlash oson.

16.4 teorema.AB va A ¢ B ¢ segmentlarining parallellik burchaklari va bo'lsin. U holda, agar, u holda AB> A ¢ B ¢.

Isbot. Aytaylik, aksincha. Keyin 16.2 va 16.3 teoremalardan kelib chiqadi , bu teorema gipotezasiga ziddir.

Shunday qilib, biz har bir segment o'ziga xos parallellik burchagiga mos kelishini va katta segment kichikroq parallellik burchagiga mos kelishini isbotladik. Har qanday o'tkir burchak uchun bu burchak parallellik burchagi bo'lgan segment mavjudligini isbotlovchi bayonotni ko'rib chiqing. Bu Lobachevskiy tekisligida segmentlar va o'tkir burchaklar o'rtasida birma-bir yozishmalarni o'rnatadi.

16.5 teorema. Har qanday o'tkir burchak uchun bu burchak parallel burchak bo'lgan chiziq segmenti mavjud.

Isbot. ABC o'tkir burchak berilgan bo'lsin (66-rasm). BA va BC nurlarining keyingi qismida ko'rib chiqilgan barcha nuqtalar B va A va B va C nuqtalari orasida joylashgan deb faraz qilamiz. Agar nurning kelib chiqishi BA burchak tomoniga tegishli boʻlsa, u BA toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar boʻlsa va berilgan burchakning BC tomoni bilan BA toʻgʻri chiziqqa nisbatan bir xil yarim tekislikda joylashgan boʻlsa, nurni ruxsat etilgan deb ataylik. Keling, Legendrening taklifiga murojaat qilaylik: n O'tkir burchakning bir tomoniga shu tomonning istalgan nuqtasida chizilgan perpendikulyar burchakning ikkinchi tomonini kesib o'tadi. Biz 11.6 teoremasini isbotladik (11-§ ga qarang), bu esa buni bildiradi Legendrning taklifi Evklid geometriyasining parallel aksiomasi bilan tengdir. Bundan biz Lobachevskiy tekisligida ushbu bayonotning mantiqiy inkori to'g'ri degan xulosaga keldik, ya'ni: har qanday o'tkir burchak tomonida shunday nuqta borki, unga ko'tarilgan perpendikulyar burchakning ikkinchi tomonini kesib o'tmaydi.(13-§ ga qarang). Shunday qilib, berilgan burchakning BC tomonini kesib o'tmaydigan M nuqtada koordinatali shunday ruxsat etilgan m nurlari mavjud (66-rasmga qarang).

VM segmentining nuqtalarini ikkita sinfga ajratamiz. Sinf Ushbu segmentning o'sha nuqtalariga tegishli bo'ladi, ular uchun bu nuqtalarda kelib chiqishi bo'lgan ruxsat etilgan nurlar bu burchakning BC tomonini kesib o'tadi va sinf BC segmentining shu nuqtalariga tegishli bo'lib, ular uchun bu nuqtalarda kelib chiqishi bo'lgan ruxsat etilgan nurlar BC tomonini kesib o'tmaydi. BM segmentining bunday bo'linishi Dedekind kesimini tashkil etishini ko'rsatamiz (4.3-teorema, § 4-ga qarang). Buning uchun buni tekshiring

5. va sinflar va B va M dan boshqa nuqtalarni o'z ichiga oladi;

6. B dan boshqa sinfning istalgan nuqtasi B nuqta va sinfning istalgan nuqtasi o'rtasida joylashgan.

Birinchi shart bajarilganligi aniq. BM segmentining istalgan nuqtasi K 1 sinfiga yoki K 2 sinfiga tegishli. Bundan tashqari, ushbu sinflarning ta'rifiga ko'ra, bir nuqta bir vaqtning o'zida ikkita sinfga tegishli bo'lishi mumkin emas. Shubhasiz, M nuqta K 2 ga tegishli deb taxmin qilishimiz mumkin, chunki koordinatali M nuqtada bo'lgan ruxsat etilgan nur BC ni kesib o'tmaydi. K 1 sinfi B dan farqli kamida bitta nuqtani o'z ichiga oladi. Uni qurish uchun BC tomonida ixtiyoriy P nuqtani tanlash va undan BA nuriga perpendikulyar PQ tushirish kifoya. Agar Q nuqta M va A nuqtalar orasida joylashgan deb faraz qilsak, u holda P va Q nuqtalar m nurni o‘z ichiga olgan chiziqqa nisbatan turli yarim tekisliklarda yotadi (66-rasmga qarang). Demak, PQ segmenti m nurni qaysidir R nuqtada kesib o'tadi. Biz R nuqtadan BA to'g'ri chiziqqa ikkita perpendikulyar tushirilganligini bilib olamiz, bu teorema 4.2 ga ziddir (4-§ ga qarang). Shunday qilib, Q nuqta BM segmentiga tegishli, K 1 sinfi B dan boshqa nuqtalarni o'z ichiga oladi. Nima uchun BA nurida K 2 sinfiga tegishli kamida bitta nuqtani o'z ichiga olgan va undan farq qiladigan segment mavjudligini tushuntirish oson. oxiri. Haqiqatan ham, agar ko'rib chiqilayotgan BM segmentining K 2 klassi bitta M nuqtani o'z ichiga olsa, u holda biz M va A o'rtasida ixtiyoriy M ¢ nuqtasini tanlaymiz. M ¢ nuqtasida koordinatali m ¢ nurlanishini ko'rib chiqaylik. U m nurni kesib o'tmaydi, aks holda nuqtadan AB chiziqqa ikkita perpendikulyar tushiriladi, shuning uchun m ¢ BC nurini kesib o'tmaydi. VM ¢ segmenti kerakli segmentdir va barcha keyingi mulohazalarni VM ¢ segmenti uchun amalga oshirish kerak.

4.3-teoremaning uchinchi shartining to'g'riligini tekshiramiz. Faraz qilaylik, shunday nuqtalar mavjud va P nuqta U va M nuqtalar orasida joylashgan (67-rasm). Ruxsat berilgan u va p nurlarni kelib chiqishi U va P nuqtalarda chizamiz. Chunki, p nur berilgan burchakning BC tomonini qaysidir Q nuqtada kesib o'tadi. U nurni o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq uchburchakning BP tomonini kesib o'tadi. BPQ, shuning uchun, Hilbert aksiomasiga ko'ra (Pasha aksiomasi, § 3 ga qarang) bu uchburchakning BQ tomonini yoki PQ tomonini kesib o'tadi. Lekin, shuning uchun u nur BQ tomonini kesib o'tmaydi, shuning uchun p va u nurlar R nuqtada kesishadi. Biz yana bir qarama-qarshilikka keldik, chunki biz AB to'g'risiga ikkita perpendikulyar tushirilgan nuqta qurdik. . 4.3-teorema sharti to’liq bajariladi.

M. Bundan kelib chiqadi. Biz qarama-qarshilikni qo'lga kiritdik, chunki biz nuqtalar va M o'rtasida joylashgan K 1 sinf nuqtasini qurdik. Biz uchun burchakning har qanday ichki nuri BC nurini kesib o'tishini ko'rsatish qoladi. Bu burchakning ixtiyoriy ichki h nurini ko'rib chiqaylik. Undagi burchakka tegishli bo'lgan ixtiyoriy K nuqtani tanlaymiz va undan BA to'g'ri chiziqqa perpendikulyar tushiramiz (69-rasm). Ushbu perpendikulyarning S asosi aniq BM 0 segmentiga tegishli, ya'ni. K 1 sinf (bu haqiqatni o'zingiz isbotlang). Bundan kelib chiqadiki, KS perpendikulyar berilgan burchakning BC tomonini qandaydir T nuqtada kesib o'tadi (69-rasmga qarang). Ray h BST uchburchakning ST tomonini K nuqtada kesib o'tdi, aksiomaga ko'ra (Pasha aksiomasi), u bu uchburchakning BS tomonini yoki BT tomonini kesishi kerak. Ko'rinib turibdiki, h BS segmentini kesib o'tmaydi, aks holda ikkita chiziq, h va BA ikkita nuqtadan o'tadi va bu kesishish nuqtasi. Shunday qilib, h BT tomonini kesib o'tadi, ya'ni. nur VA. Teorema to'liq isbotlangan.

Shunday qilib, biz Lobachevskiy geometriyasining har bir segmentini o'tkir burchak - uning parallellik burchagi bilan bog'lash mumkinligini aniqladik. Biz burchaklar va segmentlar o'lchovini kiritdik deb taxmin qilamiz; segmentlar o'lchovini keyinroq, § da kiritamiz. Biz quyidagi ta'rifni kiritamiz.

Ta'rif 16.6. Agar x segment uzunligi, j burchak qiymati bo'lsa, u holda segment uzunligini uning parallellik burchagi qiymati bilan bog'laydigan j = P (x) bog'liqligi Lobachevskiy funktsiyasi deb ataladi.

Bu aniq. Yuqorida isbotlangan segmentning parallellik burchagi xossalaridan (16.3 va 16.4-teoremalarga qarang) foydalanib, quyidagi xulosaga kelishimiz mumkin: Lobachevskiy funktsiyasi monoton ravishda kamayib bormoqda. Nikolay Ivanovich Lobachevskiy quyidagi ajoyib formulani oldi:

bu yerda k qandaydir ijobiy son. Lobachevskiy fazosining geometriyasida muhim ahamiyatga ega va uning egrilik radiusi deb ataladi. Egrilik radiusi bir xil bo'lgan ikkita Lobachevskiy bo'shlig'i izometrikdir. Yuqoridagi formuladan, ko'rish oson bo'lganidek, j = P (x) qiymatlari intervalga tegishli bo'lgan monoton kamayuvchi uzluksiz funktsiyadir.

Evklid tekisligida biz W aylanani O nuqtada o'rnatamiz va radiusi bir ga teng, biz uni chaqiramiz. mutlaq... Aylananing w aylana bilan chegaralangan barcha nuqtalari to'plami W ¢ bilan, bu doiraning barcha ichki nuqtalari to'plami esa W bilan belgilanadi. Shunday qilib,. W to'plamining nuqtalari chaqiriladi L nuqtalari Barcha L nuqtalarining W to'plami L-samolyot, biz Lobachevskiy samolyotining Kayli-Klein modelini quramiz. Biz qo'ng'iroq qilamiz L - to'g'ri aylananing ixtiyoriy akkordlari w. L-nuqta X L-chiziq x ga tegishli, deb faraz qilamiz, agar X nuqta Evklid tekisligining nuqtasi sifatida mutlaqning x akkordiga tegishli bo'lsa.

L-tekisligi, Lobachevskiyning parallelizm aksiomasi quyidagilarni o'z ichiga oladi: L - a chizig'ida yotmagan L - B nuqtasi orqali L - chiziq a bilan umumiy nuqtalari bo'lmagan kamida ikkita L - b va c chiziqlardan o'tadi. 94-rasmda ushbu bayonot tasvirlangan. L-tekislikning parallel yo'naltirilgan chiziqlari nima ekanligini tushunish ham oson. 95-rasmni ko'rib chiqing. L-chiziq b L-chiziq a mutlaq bilan kesishgan joydan o'tadi. Shuning uchun yo'nalishli L-chiziq A 1 A 2 yo'nalishli L-chiziq B 1 A 2 ga parallel. Haqiqatan ham, bu chiziqlar kesishmaydi va agar biz ushbu chiziqlarga tegishli bo'lgan ixtiyoriy A va B nuqtalarni tanlasak, u holda A 2 BA burchakning istalgan ichki h nuri a chiziqni kesib o'tadi. Shunday qilib, ikkita L-chiziq, agar ular umumiy kesishish nuqtasiga ega bo'lsa, parallel bo'ladi mutlaq bilan. L-chiziqlar parallelligi tushunchasining simmetriya va tranzitivlik xossasi qanoatlantirilishi aniq. 15-bandda biz simmetriya xossasini isbotladik, tranzitivlik xossasi esa 95-rasmda tasvirlangan. A 1 A 2 chiziq B 1 A 2 chiziqqa parallel, ular mutlaqni A 2 nuqtada kesishadi. B 1 A 2 va C 1 A 2 chiziqlar ham parallel, ular ham xuddi shu A 2 nuqtasida mutlaqni kesib o'tadi. Demak, A 1 A 2 va C 1 A 2 to'g'ri chiziqlar bir-biriga parallel.

Shunday qilib, yuqorida ta'riflangan asosiy tushunchalar Gilbert aksiomalari guruhining I 1 -I 3, II, III, IV aksiomalari va Lobachevskiy parallelizmi aksiomasi talablarini qondiradi, shuning uchun ular Lobachevskiy tekisligining modelidir. Biz Lobachevskiy planimetriyasining muhim izchilligini isbotladik. Keling, ushbu bayonotni quyidagi teorema sifatida shakllantiramiz.

Teorema 1. Lobachevskiyning geometriyasi mazmun jihatidan izchil.

Biz Lobachevskiy samolyotining modelini qurdik, ammo samolyotda ko'rib chiqilganga o'xshash fazoviy modelni qurish bilan siz qo'llanmada tanishishingiz mumkin.

Eng muhim xulosa 1-teoremadan kelib chiqadi. Parallellik aksiomasi Gilbert aksiomalarining I - IV aksiomalarining natijasi emas. Evklidning beshinchi postulati Evklid geometriyasining parallellik aksiomasi bilan teng bo'lgani uchun bu postulat ham Gilbert aksiomalarining qolgan qismiga bog'liq emas.

"Rossiya va Britaniya fanlari o'rtasidagi munosabatlarga bag'ishlangan matematik Valentina Kirichenko PostNauka nashriga Lobachevskiyning 19-asr geometriyasiga oid g'oyalarining inqilobiy tabiati haqida gapirib beradi.

Parallel chiziqlar hatto Lobachevskiy geometriyasida ham kesishmaydi. Filmlarning biron bir joyida siz tez-tez iborani topishingiz mumkin: "Va bizning Lobachevskiyning parallel chiziqlari kesishadi". Chiroyli eshitiladi, lekin haqiqat emas. Nikolay Ivanovich Lobachevskiy haqiqatan ham g'ayrioddiy geometriyani o'ylab topdi, unda parallel chiziqlar biz o'rganganimizdan butunlay boshqacha harakat qiladi. Ammo ular hali ham bir-biriga mos kelmaydi.

Biz ikkita parallel chiziq yaqinlashmaydi va uzoqlashmaydi deb o'ylashga odatlanganmiz. Ya'ni, birinchi chiziqning qaysi nuqtasini olsak, undan ikkinchi chiziqgacha bo'lgan masofa bir xil bo'ladi, bu nuqtaga bog'liq emas. Lekin haqiqatan ham shundaymi? Va nega bu shunday? Va buni qanday qilib umuman tekshirish mumkin?

Agar biz jismoniy to'g'ri chiziqlar haqida gapiradigan bo'lsak, unda har bir to'g'ri chiziqning faqat kichik bir qismi kuzatish uchun mavjud. Va o'lchov xatolarini hisobga olsak, biz to'g'ri chiziqlar bizdan juda va juda uzoqda qanday harakat qilishlari haqida aniq xulosalar chiqara olmaymiz. Qadimgi yunonlar ham xuddi shunday savollarga ega edilar. Miloddan avvalgi III asrda qadimgi yunon geometriyachisi Evklid parallel chiziqlarning asosiy xususiyatini juda aniq belgilab bergan, uni na isbotlab, na inkor eta olmagan. Shuning uchun u buni postulat deb atadi - bu e'tiqodni qabul qilish kerak bo'lgan bayonot. Bu Evklidning mashhur beshinchi postulati: agar tekislikdagi ikkita to'g'ri chiziq sekant bilan kesishsa, ichki bir tomonlama burchaklar yig'indisi ikkita to'g'ri chiziqdan kichik, ya'ni 180 darajadan kichik bo'lsa, u holda etarli davomi bo'lsa, bu ikki to'g'ri chiziq kesishadi va u yig'indisi ikkita to'g'ri burchakdan kichik bo'lgan sekantning tomonida bo'ladi.

Ushbu postulatdagi kalit so'zlar "etarlicha davomi bilan". Aynan shu so'zlar tufayli postulatni empirik tarzda tekshirish mumkin emas. Ehtimol, chiziqlar ko'rish chizig'ida kesishadi. Ehtimol, 10 kilometrdan keyin yoki Pluton orbitasidan tashqarida yoki hatto boshqa galaktikada.

Evklid o'zining postulatlarini va ulardan mantiqiy kelib chiqadigan natijalarini mashhur "Boshlanishlar" kitobida bayon qildi. Ushbu kitobning qadimgi yunoncha nomidan ruscha "elementlar" so'zi, lotincha nomidan esa "elementlar" so'zi keladi. Evklidning boshlanishi barcha davrlarning eng mashhur darsligidir. Nashrlar soni bo'yicha u Injildan keyin ikkinchi o'rinda turadi.

Ayniqsa, 1847 yilgi ajoyib Britaniya nashrini juda aniq va chiroyli infografika bilan ta'kidlashni istardim. Chizmalardagi zerikarli belgilar o'rniga ular rangli chizmalardan foydalanadilar - zamonaviy maktab geometriya darsliklarida bo'lgani kabi emas.

O'tgan asrga qadar Evklidning "Boshlanishlari" barcha ta'lim dasturlarida o'qish uchun talab qilingan, bu intellektual ijodkorlikni, ya'ni nafaqat hunarmandchilikni o'rganishni, balki intellektualroq narsani nazarda tutgan. Evklidning beshinchi postulatining aniq emasligi tabiiy savol tug'dirdi: buni isbotlash, ya'ni Evklidning qolgan farazlaridan mantiqiy xulosa chiqarish mumkinmi? Evklidning zamondoshlaridan tortib Lobachevskiygacha bo'lgan ko'plab matematiklar buni qilishga harakat qilishdi. Qoida tariqasida, ular beshinchi postulatni ko'proq vizual bayonotga qisqartirdilar, bunga ishonish osonroq.

Misol uchun, 17-asrda ingliz matematigi Jon Uollis ushbu bayonotga beshinchi postulatni qisqartirdi: ikkita o'xshash, lekin teng bo'lmagan uchburchaklar, ya'ni burchaklari teng, lekin o'lchamlari har xil bo'lgan ikkita uchburchak mavjud. Ko'rinishidan, nima oddiyroq bo'lishi mumkin? Keling, o'lchovni o'zgartiraylik. Ammo ma'lum bo'lishicha, barcha burchaklar va nisbatlarni saqlab, masshtabni o'zgartirish qobiliyati Evklid geometriyasining eksklyuziv xususiyati, ya'ni barcha Evklid postulatlari, shu jumladan beshinchisi ham bajarilgan geometriyadir.

18-asrda shotlandiyalik olim Jon Pleyfeyr beshinchi postulatni odatda zamonaviy maktab darsliklarida uchraydigan shaklda qayta ishlab chiqdi: bir-birini kesib o'tuvchi ikkita to'g'ri chiziq bir vaqtning o'zida uchinchi chiziqqa parallel bo'lishi mumkin emas. Aynan shu shaklda beshinchi postulat zamonaviy maktab darsliklarida paydo bo'ladi.

19-asrning boshlariga kelib, ko'pchilik beshinchi postulatni isbotlash abadiy harakat mashinasini ixtiro qilish kabi taassurot qoldirdi - bu mutlaqo foydasiz mashq. Ammo Evklidning geometriyasi yagona mumkin emas deb taxmin qilish uchun ham, hech kimning jasorati yo'q edi: Evklidning obro'si juda katta edi. Bunday vaziyatda Lobachevskiyning kashfiyotlari, bir tomondan, tabiiy bo'lsa, ikkinchi tomondan, mutlaqo inqilobiy edi.

Lobachevskiy beshinchi postulatni mutlaqo teskari bayonot bilan almashtirdi. Lobachevskiy aksiomasi shunday yangradi: agar toʻgʻri chiziqda yotmaydigan nuqtadan shu toʻgʻri chiziqni kesib oʻtuvchi barcha nurlar ajralib chiqsa, u holda chap va oʻngda bu nurlar ikkita chegaralovchi nur bilan chegaralanadi, ular endi kesishmaydi. to'g'ri chiziq, lekin unga yaqinroq bo'ladi. Bundan tashqari, bu cheklovchi nurlar orasidagi burchak 180 darajadan kam bo'ladi.

Lobachevskiy aksiomasidan darhol shunday xulosa kelib chiqadiki, berilgan toʻgʻri chiziqda yotmaydigan nuqta orqali Evkliddagidek bitta toʻgʻri chiziqqa parallel emas, balki xohlagancha koʻp toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin. Ammo bu to'g'ri chiziqlar Evklidnikidan farq qiladi. Misol uchun, agar bizda ikkita parallel to'g'ri chiziq bo'lsa, ular avval yaqinlashib, keyin uzoqlashishi mumkin. Ya'ni, birinchi chiziqdagi nuqtadan ikkinchi chiziqgacha bo'lgan masofa nuqtaga bog'liq bo'ladi. Turli nuqtalar uchun u boshqacha bo'ladi.

Lobachevskiyning geometriyasi qisman bizning sezgiimizga zid keladi, chunki biz odatda shug'ullanadigan kichik masofalarda Evkliddan juda kam farq qiladi. Xuddi shunday, biz Yer yuzasining egriligini sezamiz. Uyma-do'kon yurganimizda, biz bir tekisda ketayotgandek, Yer esa tekis bo'lib tuyuladi. Ammo, aytaylik, Moskvadan Monrealga uchadigan bo'lsak, samolyot aylana yoyi bo'ylab uchayotganini allaqachon payqayapmiz, chunki bu Yer yuzasidagi ikki nuqta orasidagi eng qisqa yo'l. Ya'ni, biz Yer krepdan ko'ra ko'proq futbol to'piga o'xshab ko'rinishini sezamiz.

Lobachevskiyning geometriyasini oddiy emas, balki giperbolik ko'rinishdagi futbol to'pi yordamida ham tasvirlash mumkin. Giperbolik futbol to'pi odatdagidek yopishtirilgan. Faqat oddiy to'pda oq olti burchaklar qora beshburchaklarga yopishtirilgan va giperbolik to'pda beshburchaklar o'rniga siz ettiburchaklar yasashingiz va ularni olti burchakli yopishtirishingiz kerak. Bu holda, albatta, u to'p emas, balki egar bo'lib chiqadi. Va bu egarda Lobachevskiyning geometriyasi amalga oshiriladi.

Lobachevskiy 1826 yilda Qozon universitetida kashfiyotlari haqida gapirishga harakat qildi. Ammo hisobot matni saqlanib qolmagan. 1829 yilda u universitet jurnalida geometriya bo'yicha maqolasini nashr etdi. Lobachevskiyning natijalari ko'pchilik uchun ma'nosiz tuyuldi - ular nafaqat dunyoning odatiy rasmini yo'q qilgani uchun, balki ular eng tushunarli tarzda taqdim etilmagani uchun.

Biroq, Lobachevskiyning yuqori reytingli jurnallarda nashrlari ham bor edi, biz ularni bugungi kunda deb atashadi. Chunonchi, 1836 yili mashhur Crell jurnalida fransuz tilida “Xayoliy geometriya” sarlavhali maqolasini o‘sha sonda o‘sha davrning eng mashhur matematiklari – Dirixle, Shtayner va Yakobilarning maqolalari bilan e’lon qildi. Va 1840 yilda Lobachevskiy "Parallel chiziqlar nazariyasida geometrik tadqiqotlar" nomli kichik va juda tushunarli yozilgan kitobni nashr etdi. Kitob nemis tilida bo'lib, Germaniyada nashr etilgan. Darhol halokatli sharh paydo bo'ldi. Taqrizchi, ayniqsa, Lobachevskiyning iborasini masxara qildi: "Biz to'g'ri chiziqlarni ularning parallelligi yo'nalishi bo'yicha qancha davom ettirsak, ular bir-biriga yaqinlashadi". "Bu bayonotning o'zi, - deb yozadi sharhlovchi, - janob Lobachevskiyning ishini allaqachon etarlicha tavsiflaydi va sharhlovchini keyingi baholash zaruratidan xalos qiladi".

Ammo kitobning bitta xolis o‘quvchisi ham bor. Bu Karl Fridrix Gauss edi, u ham Matematiklar qiroli laqabi bilan tanilgan, tarixdagi eng buyuk matematiklardan biri. U maktublaridan birida Lobachevskiyning kitobini yuqori baholagan. Ammo uning sharhi faqat o'limidan so'ng, qolgan yozishmalar bilan birga nashr etildi. Va keyin Lobachevskiy geometriyasining haqiqiy bumi boshlandi.

1866 yilda uning kitobi frantsuz tiliga, keyin ingliz tiliga tarjima qilingan. Bundan tashqari, ingliz nashri o'zining g'ayrioddiy mashhurligi tufayli yana uch marta nashr etildi. Afsuski, Lobachevskiy bu vaqtgacha yashamadi. U 1856 yilda vafot etgan. Va 1868 yilda Lobachevskiy kitobining ruscha nashri paydo bo'ldi. U kitob sifatida emas, balki eng qadimgi rus jurnali "Matematik to'plam" da maqola sifatida nashr etilgan. Ammo keyin bu jurnal juda yosh edi, hali ikki yoshga to'lmagan edi. Ammo eng mashhuri 1945 yilgi rus va sovet geometriyachisi Veniamin Fedorovich Kagan tomonidan qilingan rus tiliga tarjimasi.

19-asrning oxiriga kelib, matematiklar ikki lagerga boʻlingan. Ba'zilar Lobachevskiyning natijalarini darhol qabul qildilar va uning g'oyalarini yanada rivojlantirishga kirishdilar. Boshqalar esa Lobachevskiyning geometriyasi mavjud bo‘lmagan narsani tasvirlaydi, ya’ni Evklid geometriyasi yagona to‘g‘ri va boshqa hech narsa bo‘lishi mumkin emas, degan ishonchdan voz kecha olmadi. Afsuski, ikkinchisiga "Alisa mo''jizalar mamlakatida" muallifi sifatida tanilgan matematik - Lyuis Kerroll kiradi. Uning haqiqiy ismi Charlz Dodgson. 1890 yilda u "Paralellarning yangi nazariyasi" nomli maqolasini nashr etdi va u erda beshinchi postulatning yuqori vizual versiyasini himoya qildi. Lyuis Kerrollning aksiomasi shunday yangraydi: agar siz aylanaga oddiy to'rtburchakni yozsangiz, bu to'rtburchakning maydoni to'rtburchakdan tashqarida joylashgan doiraning har qanday segmentining maydonidan qat'iy kattaroq bo'ladi. Lobachevskiy geometriyasida bu aksioma to'g'ri emas. Agar biz etarlicha katta doira olsak, unda qaysi to'rtburchakni chizmasak ham, bu to'rtburchakning tomonlari qanchalik uzun bo'lishidan qat'iy nazar, to'rtburchakning maydoni universal jismoniy doimiylik bilan chegaralanadi. Umuman olganda, fizik konstantalar va uzunlikning universal o'lchovlari mavjudligi Lobachevskiy geometriyasi va Evklid geometriyasi o'rtasidagi foydali farqdir.

Ammo yana bir mashhur ingliz matematigi Artur Kayli 1859 yilda, ya'ni Lobachevskiyning o'limidan atigi uch yil o'tgach, keyinchalik Lobachevskiyning postulatini qonuniylashtirishga yordam bergan maqolani nashr etdi. Qizig'i shundaki, Keyli o'sha paytda Londonda advokat sifatida ishlagan va shundan keyingina Kembrijda professorlik unvonini olgan. Darhaqiqat, Kayli Lobachevskiy geometriyasining birinchi modelini qurgan, garchi u bir qarashda butunlay boshqa muammoni hal qilgan bo'lsa ham.

Va yana bir ajoyib ingliz matematiki, uning ismi Uilyam Kingdon Klifford Lobachevskiyning g'oyalari bilan chuqur singib ketgan. Xususan, u umumiy nisbiylik nazariyasi yaratilishidan ancha oldin tortishish kuchi fazoning egriligidan kelib chiqadi, degan g'oyani birinchi bo'lib ilgari surgan. Klifford Lobachevskiyning fanga qo‘shgan hissasini fan falsafasiga oid ma’ruzalaridan birida shunday baholagan: “Lobachevskiy Ptolemey uchun Kopernik qanday bo‘lsa, Evklid uchun ham shunday bo‘ldi”. Agar Kopernikdan oldin insoniyat biz Koinot haqida hamma narsani bilamiz deb hisoblagan bo'lsa, endi biz koinotning kichik bir qismini kuzatayotganimiz bizga ayon bo'ldi. Xuddi shunday, Lobachevskiygacha insoniyat faqat bitta geometriya - Evklid borligiga ishongan, bu haqda hamma narsa uzoq vaqtdan beri ma'lum. Endi biz juda ko'p geometriyalar mavjudligini bilamiz, lekin ular haqida hamma narsani bilmaymiz.

Evklidning beshinchi postulati “Agar ikkita toʻgʻri chiziqqa tushadigan toʻgʻri chiziq ichki bir tomonlama burchaklarni hosil qilsa, jami ikkita toʻgʻri chiziqdan kichik boʻlsa, u holda cheksiz davom etsa, bu ikki toʻgʻri chiziq yigʻindidagi burchaklar kichik boʻlgan tomonda uchrashadi. "ikki to'g'ri chiziqdan" ko'ra ko'plab matematiklar uchun hatto antik davrda ham bu qisman uni shakllantirishning murakkabligi tufayli unchalik aniq emasdek tuyulardi.

Ko'rinishidan, faqat oddiy shakldagi elementar jumlalar postulat bo'lishi kerak edi. Shu munosabat bilan 5-posulat matematiklarning alohida e'tibor mavzusiga aylandi va bu mavzu bo'yicha tadqiqotlar ikki yo'nalishga bo'linishi mumkin, aslida bir-biri bilan chambarchas bog'liq. Birinchisi, bu postulatni soddaroq va intuitiv tarzda ravshanroq postulat bilan almashtirishga intildi, masalan, Proklus tomonidan ishlab chiqilgan "Belgilangan to'g'ri chiziqda yotmaydigan nuqta orqali faqat bitta to'g'ri chiziq chizish mumkin. berilgan bilan kesishadi": zamonaviy darsliklarda aynan shu shaklda 5-posulat yoki to'g'rirog'i, unga ekvivalent parallel aksioma paydo bo'ladi.

Ikkinchi yo'nalish vakillari beshinchi postulatni boshqalarga asoslanib isbotlashga, ya'ni teoremaga aylantirishga harakat qildilar. Bunday urinishlar oʻrta asrlarda yashab oʻtgan bir qancha arab matematiklari: al-Abbos al-Jauhariy (9-asr boshlari), Sobit ibn Korrah, Ibn al-Xaysam, Umar Xayyom, Nosiriddin at-Tusiylar tomonidan boshlangan. Keyinchalik bu tadqiqotlarga evropaliklar qo'shildi: ibroniy tilida yozgan Levi Ben Gershon (14-asr) va Alfonso (15-asr), keyin nemis iezuit X. Klavius (1596), ingliz J. Uollis (1663) va boshqalar.bu muammoga qiziqish 18-asrda paydo boʻlgan: 1759—1800 yillarda ushbu muammoni tahlil qiluvchi 55 ta asar nashr etilgan, shu jumladan italyan iyezuit G. Sakkeri va nemis I. G. Lambertning juda muhim asarlari.

Isbotlar odatda "qarama-qarshilik yo'li bilan" usuli bilan amalga oshirildi: 5-posulat bajarilmagan degan taxmindan kelib chiqib, ular boshqa postulatlar va aksiomalarga zid keladigan oqibatlarni chiqarishga harakat qilishdi. Biroq, aslida, ular oxir-oqibat boshqa postulatlar bilan emas, balki qandaydir aniq yoki yashirin "ravshan" taklif bilan ziddiyatga ega bo'lishdi, ammo Evklid geometriyasining boshqa postulatlari va aksiomalari asosida o'rnatilishi mumkin emas edi: shunday qilib. , dalillar o'z maqsadiga erisha olmadi , - ma'lum bo'ldiki, 5-posulat o'rniga yana boshqa ekvivalent bayonot qo'yilgan. Masalan, bunday bayonot sifatida quyidagi qoidalar qabul qilindi:

Guruch. 2. Bir-biridan teng masofada joylashgan to'g'ri chiziqlar mavjud

Guruch. 4. Ikki yaqinlashuvchi chiziq kesishadi

Bu bayonotlar bajarilmaydigan geometriya, albatta, biz o'rganib qolganimizdek emas, lekin bundan buning iloji yo'qligi yoki bu bayonotlar Evklidning boshqa postulat va aksiomalaridan kelib chiqadi degan xulosa kelib chiqmaydi. dalillarda ba'zi bo'shliqlar bor edi. yoki cho'zilgan. Klavius bir-biridan teng masofada joylashgan to'g'ri chiziqlar mavjudligi haqidagi taxminni Evklidning "ta'rifi" bilan to'g'ri chiziqni chiziq sifatida asoslab berdi, ular ustidagi nuqtalarga nisbatan teng masofada joylashgan. Uollis birinchi bo'lib 5-posulatni isbotlashda "tabiiy" pozitsiyaga asosladi, unga ko'ra har qanday raqam uchun o'zboshimchalik bilan katta o'lchamdagi o'xshashi mavjud va bu bayonotni Evklidning 3-posulati bilan asosladi, bu esa har qanday fikrdan dalolat beradi. markaz va har qanday yechim doirani tasvirlashi mumkin (aslida, masalan, teng bo'lmagan o'xshash uchburchaklar yoki hatto doiralar mavjudligi haqidagi bayonot 5-posulatga teng). A.M.Legendre “Geometriya asoslari” darsligining (1794, 1800, 1823) ketma-ket nashrlarida 5-posulatning yangi dalillarini keltirgan, ammo sinchiklab tahlil qilinganda bu dalillarda kamchiliklar borligi ko‘rsatilgan. Legendrni adolatli tanqid ostiga olib, vatandoshimiz S.Ye.Guriyev o‘zining «Geometriya elementlarini takomillashtirish tajribasi» (1798) kitobida 5-posulatni isbotlashda o‘zi xatoga yo‘l qo‘ygan.

Tez orada uchburchak va to'rtburchak burchaklarining yig'indisi va 5-posulat o'rtasidagi bog'liqlik amalga oshirildi: 5-posulat uchburchak burchaklarining yig'indisi ikkita to'g'ri chiziqqa teng degan bayonotdan kelib chiqadi. to'rtburchaklar mavjudligidan kelib chiqadi. Shu munosabat bilan bir to'g'ri chiziqqa ikkita perpendikulyar bo'lgan teng segmentlarni yotqizish natijasida olingan to'rtburchak ko'rib chiqiladigan yondashuv keng tarqaldi (u Xayyom, at-Tusiy, Vallis, Sakkeriylar tomonidan kuzatilgan). . Uchta gipoteza tekshiriladi: ikkita yuqori burchak o'tkir, o'tkir yoki tekis; o'tkir va o'tkir burchaklar gipotezalarining qarama-qarshilikka olib kelishini ko'rsatishga harakat qilinadi.

Boshqa yondashuv (u Ibn al-Haysam, Lambert tomonidan qo'llanilgan) uchta to'g'ri burchakli to'rtburchak uchun uchta o'xshash farazni tahlil qildi.

Sakcheri va Lambert o'tkir burchaklar gipotezalari haqiqatan ham qarama-qarshilikka olib kelishini ko'rsatdilar, ammo o'tkir burchaklar gipotezalarini ko'rib chiqishda ular qarama-qarshiliklarni topa olmadilar: Sakcheri bunday qarama-qarshilik haqida faqat xato natijasida xulosa qildi va Lambert shunday xulosaga keldi: o'tkir burchak gipotezasida qarama-qarshilikning aniq yo'qligi qandaydir fundamental sabablarga ko'ra yuzaga kelgan. Lambert o'tkir burchak gipotezasini qabul qilganda, har bir uchburchakning burchaklarining yig'indisi uning maydoniga mutanosib ravishda 180 ° dan kam ekanligini aniqladi va boshida kashf etilgan narsa bilan solishtirdi. XVII asr sferik uchburchakning maydoni, aksincha, uning maydoniga mutanosib ravishda 180 ° dan ortiq bo'lgan pozitsiya.

1763 yilda G.S.Klugel "Parallel chiziqlar nazariyasini isbotlashning eng muhim urinishlarini ko'rib chiqish" asarini nashr etdi, unda u 5-posulatning 30 ga yaqin isbotini ko'rib chiqdi va ulardagi xatolarni aniqladi. Klugel Evklid o'z bayonotini postulatlar qatoriga juda asosli joylashtirgan degan xulosaga keldi.

Shunga qaramay, 5-posulatni isbotlashga urinishlar juda muhim rol o'ynadi: qarama-qarshi fikrlarni qarama-qarshilikka keltirishga urinib, bu tadqiqotchilar Evklid bo'lmagan geometriyaning ko'plab muhim teoremalarini - xususan, 5-posulat bilan almashtirilgan geometriyani kashf etdilar. Imkoniyat haqidagi bayonot berilgan nuqta orqali berilgan nuqtani kesib o'tmaydigan kamida ikkita to'g'ri chiziqni o'tkazing. O'tkir burchak gipotezasiga ekvivalent bo'lgan bu bayonot Evklid bo'lmagan geometriyaning kashfiyotchilari uchun asos bo'ldi.

Bir qancha olimlar mustaqil ravishda 5-posulatga muqobil qabul qilish Evkliddan farqli, lekin bir xil darajada izchil geometriyani qurishga olib keladi degan fikrga keldilar: K.F.Gauss, N.I.Lobachevskiy va J.Boyai (shuningdek, F.K.Shvaykart). va FA Taurinus, ularning yangi geometriyaga qo'shgan hissasi kamtarroq bo'lgan va o'z tadqiqotlarini nashr etmagan). Gauss, o'z arxivida saqlangan (va faqat 1860-yillarda nashr etilgan) yozuvlarga ko'ra, 1810-yillarda yangi geometriyaning paydo bo'lishi mumkinligini tushundi, ammo bu mavzu bo'yicha o'z kashfiyotlarini hech qachon nashr etmadi: "Men Boeotiyaliklarning faryodidan qo'rqaman. (ya'ni ahmoqlar: Boeotiya mintaqasi aholisi Qadimgi Yunonistonda eng ahmoq hisoblangan), agar men o'z fikrlarimni to'liq ifoda etsam ", deb yozgan edi u 1829 yilda do'sti matematik FV Besselga. 1826 yilda yangi geometriya bo'yicha birinchi ma'ruza qilgan va 1829 yilda olingan natijalarni e'lon qilgan Lobachevskiyga tushunmovchilik tushdi. 1842 yilda Gauss Lobachevskiyni Göttingen ilmiy jamiyatining muxbir a'zosi etib saylanishiga erishdi: bu yagona edi. Lobachevskiyning hayoti davomidagi xizmatlarini tan olish ... 5-posulatni isbotlashga uringan ota J.Boyai – matematik Farkash Boyai ham o‘g‘lini bu yo‘nalishdagi izlanishlardan ogohlantirdi: “...bu sizni bo‘sh vaqtingizdan, sog‘ligingizdan, tinchligingizdan, hayotning barcha quvonchlaridan mahrum qilishi mumkin. Bu qora tubsizlik, ehtimol, Nyuton kabi minglab titanlarni o'zlashtira oladi, Yerda bu hech qachon tozalanmaydi ... ". Shunga qaramay, J.Boyai o‘z natijalarini 1832 yilda otasi yozgan geometriya darsligiga ilova sifatida e’lon qildi. Boyai ham e'tirofga erisha olmadi, bundan tashqari, u Lobachevskiyning undan oldinda ekanligidan xafa edi: u endi Evklid bo'lmagan geometriya bilan shug'ullanmadi. Shunday qilib, faqat Lobachevskiy umrining oxirigacha, birinchidan, yangi sohada izlanishni davom ettirdi, ikkinchidan, u o'z g'oyalarini ilgari surdi, yangi geometriya bo'yicha bir qancha kitob va maqolalar nashr etdi.

Demak, Lobachevskiy tekisligida AB ni kesishmaydigan kamida ikkita to‘g‘ri chiziq C nuqtadan berilgan AB to‘g‘risidan tashqarida o‘tadi. C orqali o'tuvchi barcha chiziqlar ikki sinfga bo'linadi - kesishgan va kesishmaydigan AB. Bular AB ni kesib o'tmaydigan ikkita o'ta to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan ma'lum burchakda yotadi. Aynan shu chiziqlarni Lobachevskiy AB to'g'ri chiziqqa parallel deb ataydi va ular bilan perpendikulyar orasidagi burchak parallellik burchagidir. Bu burchak C nuqtadan AB chizig'igacha bo'lgan masofaga bog'liq: bu masofa qanchalik katta bo'lsa, parallellik burchagi kichikroq bo'ladi. Burchak ichida joylashgan chiziqlar AB ga nisbatan divergent deb ataladi.

Har qanday ikkita ajratuvchi p va q chiziqlar bitta umumiy perpendikulyar t ga ega, bu biridan ikkinchisiga eng qisqa chiziq segmentlaridir. Agar M nuqta t dan yo‘nalishda p bo‘ylab harakatlansa, u holda M dan q gacha bo‘lgan masofa cheksizlikka oshadi va M dan q ga tushirilgan perpendikulyarlarning asoslari faqat chekli segmentni to‘ldiradi.

Agar p va q chiziqlar bir-birini kesib o'tsa, u holda ulardan birining nuqtalarining ikkinchisiga proyeksiyalari ham chegaralangan segmentni to'ldiradi.

Agar p va q to'g'ri chiziqlar parallel bo'lsa, u holda bir yo'nalishda ularning nuqtalari orasidagi masofalar cheksiz qisqaradi, ikkinchisida esa ular cheksiz ortadi; bir to'g'ri chiziq boshqa nurga proyeksiyalanadi.

Raqamlarda Lobachevskiy geometriyasida mumkin bo'lgan p va q to'g'ri chiziqlarning turli xil o'zaro pozitsiyalari ko'rsatilgan; r va s q ga parallel perpendikulyarlar. (Biz to'g'ri chiziq haqida gapirayotgan bo'lsak-da, biz egri chiziqni q chizishga majburmiz. Agar butun dunyomiz Lobachevskiy geometriyasi qonunlariga bo'ysungan bo'lsa ham, biz baribir kichik miqyosda hamma narsani buzmasdan tasvirlay olmaymiz. katta ko'rinadi: Lobachevskiy geometriyasida teng bo'lmagan o'xshash raqamlar yo'q).

Burchakning ichida burchakning ikkala tomoniga parallel ravishda tekis chiziq mavjud. Burchak ichidagi barcha nuqtalarni ikki turga ajratadi: birinchi turdagi nuqtalar orqali siz burchakning ikkala tomonini kesib o'tadigan to'g'ri chiziqlar chizishingiz mumkin; ikkinchi turdagi nuqtalar orqali bunday to'g'ri chiziq o'tkazib bo'lmaydi. Xuddi shu narsa parallel chiziqlar orasidagi bo'shliq uchun ham amal qiladi. Ikki ajraladigan chiziq o'rtasida ikkalasiga parallel ikkita chiziq bor; ular ajraladigan chiziqlar orasidagi bo'shliqni uchta maydonga ajratadilar: bir sohadagi nuqtalar orqali siz burchakning ikkala tomonini kesib o'tadigan chiziqlar chizishingiz mumkin; bunday chiziqlarni boshqa ikkita mintaqadagi nuqtalar orqali o'tkazib bo'lmaydi.

To'g'ri burchak emas, balki o'tkir burchak doimo aylananing diametriga tayanadi. Doira ichiga chizilgan muntazam olti burchakli tomon har doim uning radiusidan kattaroqdir. Har qanday n>6 uchun shunday aylana qurish mumkinki, unga chizilgan muntazam n -gonning tomoni uning radiusiga teng bo'lsin.

Lobachevskiyni jismoniy fazoning geometriyasi masalasi qiziqtirdi, xususan, astronomik kuzatishlar ma'lumotlaridan foydalanib, u katta yulduzlararo uchburchaklar burchaklarining yig'indisini hisoblab chiqdi: ammo bu burchaklar yig'indisi 180 ° dan farq butunlay yotardi. kuzatish xatosi ichida. Lobachevskiyning o'zi geometriyasini "xayoliy" deb atagan tushunmovchilik, asosan, uning davrida bunday g'oyalar sof mavhumlik va tasavvur o'yini bo'lib tuyulganligi bilan bog'liq. Yangi geometriya haqiqatan ham mos keladimi? (Axir, agar Lobachevskiy qarama-qarshilikka duch kelmagan bo'lsa ham, bu keyinchalik aniqlanmasligiga kafolat bermaydi). Bu matematikaning boshqa sohalari kabi real dunyoga qanday aloqasi bor? Bu darhol aniq bo'ldi va natijada yangi g'oyalar ko'p bo'lgan muvaffaqiyat yangi geometriya modellarini kashf qilish bilan bog'liq edi.