To‘plamlar ustida amallar va ularning xossalari. Setlar. To'plamdagi amallar To'plamdagi amallar
To‘plamlar nazariyasining asosiy tushunchalari
To‘plam tushunchasi zamonaviy matematikada asosiy tushunchadir. Biz uni asl ko'rib chiqamiz va to'plamlar nazariyasini intuitiv ravishda tuzamiz. Keling, ushbu boshlang'ich tushunchaning tavsifini beraylik.
Kopgina Bu yaxlit bir butun sifatida ko'rib chiqiladigan ob'ektlar (ob'ektlar yoki tushunchalar) to'plamidir. Ushbu to'plamga kiritilgan ob'ektlar deyiladi elementlar to'plamlar.
Siz matematika bo'limining birinchi kurs talabalari haqida, okeandagi ko'plab baliqlar haqida va hokazolar haqida gapirishingiz mumkin. Matematikani odatda turli xil matematik ob'ektlar qiziqtiradi: ratsional sonlar to'plami, to'rtburchaklar to'plami va boshqalar.
To'plamlar lotin alifbosining bosh harflari bilan, uning elementlari esa kichik harflar bilan belgilanadi.
If to'plamning elementi M, keyin ular "tealliklidir M"Va yozing:. Agar biron bir ob'ekt to'plamning elementi bo'lmasa, ular "aid emas" deyishadi M"Va yozing (ba'zan).
To'plamlarni aniqlashning ikkita asosiy usuli mavjud: ro'yxatga olish uning elementlari va ko'rsatkichlari xarakterli xususiyat uning elementlari. Bu usullarning birinchisi asosan chekli to'plamlar uchun qo'llaniladi. Ko'rib chiqilayotgan to'plam elementlarini sanab o'tishda uning elementlari jingalak qavslar bilan o'ralgan. Masalan, 
elementlari 2, 4, 7 raqamlari va faqat ular bo'lgan to'plamni bildiradi. Bu usul har doim ham qo'llanilmaydi, chunki, masalan, barcha haqiqiy sonlar to'plamini bu tarzda o'rnatish mumkin emas.
Xarakterli xususiyat to'plamning elementlari M Bu xususiyatga ega bo'lgan har qanday element tegishli bo'lgan xususiyatmi? M, va bu xususiyatga ega bo'lmagan har qanday element tegishli emas M... Xususiyatga ega bo'lgan elementlar to'plami quyidagicha belgilanadi:
yoki 
.
Eng keng tarqalgan to'plamlar o'zlarining maxsus belgilariga ega. Kelajakda biz quyidagi belgilarga amal qilamiz:
N= Barcha natural sonlar toʻplami;
Z= - barcha butun sonlar to'plami;
- barcha ratsional sonlar to'plami;
R- barcha haqiqiy (haqiqiy) sonlar to'plami, ya'ni. ratsional sonlar (cheksiz o'nli davriy kasrlar) va irratsional sonlar (cheksiz o'nli davriy bo'lmagan kasrlar);
- barcha kompleks sonlar to'plami.
Xarakteristik xususiyatni ko'rsatish orqali to'plamlarni ko'rsatishning ko'proq maxsus misollarini keltiramiz.
Misol 1.
48 ning barcha tabiiy bo‘luvchilari to‘plamini quyidagicha yozish mumkin: 
(notatsiya faqat butun sonlar uchun ishlatiladi va uning bo'linishini bildiradi).
Misol 2. 7 dan kichik barcha musbat ratsional sonlar to'plami quyidagicha yoziladi:.
Misol 3. - uchlari 1 va 5 bo'lgan haqiqiy sonlar oralig'i; - 2 va 7 uchli haqiqiy sonlar segmenti.
"Ko'p" so'zi uning ko'plab elementlarni o'z ichiga olganligini ko'rsatadi. Lekin bu har doim ham shunday emas. Matematikada faqat bitta elementni o'z ichiga olgan to'plamlarni ko'rib chiqish mumkin. Masalan, tenglamaning butun ildizlar to'plami 
... Bundan tashqari, bitta elementni o'z ichiga olmaydigan to'plam haqida gapirish qulay. Bunday to'plam deyiladi bo'sh va Ø bilan belgilanadi. Masalan, tenglamaning haqiqiy ildizlari to'plami bo'sh.
Ta'rif 1. Sozlaydi va chaqiriladi teng(belgilangan A = B) agar bu to'plamlar bir xil elementlardan iborat bo'lsa.
Ta'rif 2. Agar to'plamning har bir elementi to'plamga tegishli bo'lsa, biz chaqiramiz pastki to'plam to'plamlar.
Afsona: ("shu jumladan"); ("O'z ichiga oladi").
Ø va to'plamning o'zi to'plamning kichik to'plamlari ekanligi aniq. To'plamning har qanday boshqa kichik to'plami uning deyiladi o'ng qismi... Agar va bo'lsa, ular shunday deyishadi: A – to'g'ri kichik to'plam"yoki nima " Va u qat'iy ravishda kiritilgan"Va yozing.
Quyidagi bayonot aniq: ko'pchilik va teng bo'ladi, agar va faqat va bo'lsa.
Ushbu bayonotga asoslanadi ikki to'plamning tengligini isbotlashning universal usuli: to'plamlar ekanligini isbotlash uchun va teng bo'lsa, shuni ko'rsatish kifoya ,a to‘plamning kichik to‘plamidir .
Bu yagona bo'lmasa-da, eng keng tarqalgan usul. Keyinchalik to'plamlar ustida amallar va ularning xossalari bilan tanishib, ikkita to'plamning tengligini isbotlashning yana bir usulini ko'rsatamiz - transformatsiyalar yordamida.
Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, ko'pincha u yoki bu matematik nazariyada bir xil to'plamning kichik to'plamlari bilan shug'ullanadi. U qaysi deyiladi universal bu nazariyada. Masalan, maktab algebrasi va matematik tahlilda to'plam universaldir R haqiqiy sonlar, geometriyada - fazodagi nuqtalar to'plami.
O'rnatish operatsiyalari va ularning xossalari
To'plamlarda siz qo'shish, ko'paytirish va ayirishga o'xshash amallarni (operatsiyalarni) bajarishingiz mumkin.
Ta'rif 1. Mustahkamlash to'plamlar va har bir elementi to'plamlarning kamida bittasiga tegishli bo'lgan yoki bilan belgilanadigan to'plam deb ataladi.
Operatsiyaning o'zi, natijada bunday to'plam olinadi, birlashma deyiladi.
Ta'rifning qisqacha yozuvi 1:
Ta'rif 2. Kesib o'tish to'plamlar va to'plam deyiladi, bilan belgilanadi, har biri va, va ga tegishli bo'lgan barcha va faqat shu elementlarni o'z ichiga oladi.
To'plamga olib keladigan operatsiyaning o'zi kesishish deb ataladi.
Qisqacha ta'rif 2:
Masalan, agar 
, 
, keyin 
, .
To'plamlarni geometrik shakllar sifatida tasvirlash mumkin, bu sizga to'plamlardagi operatsiyalarni vizual ravishda tasvirlash imkonini beradi. Bu usul mantiqiy mulohazalarni tahlil qilish uchun Leonard Eyler (1707-1783) tomonidan taklif qilingan, keng qo'llanilgan va ingliz matematigi Jon Venn (1834-1923) asarlarida yanada rivojlangan. Shuning uchun bunday chizmalar deyiladi Eyler-Venn diagrammasi.
To'plamlarning birlashishi va kesishishi amallarini Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlash mumkin:
 |  |
- soyali qism; - soyali qism.
Har qanday to'plamlar to'plamining birlashishi va kesishishini belgilashingiz mumkin, bu erda indekslar to'plami.
Ta'rif. Mustahkamlash to'plamlar to'plami - har biri kamida bitta to'plamga tegishli bo'lgan barcha va faqat elementlardan iborat to'plam.
Ta'rif. Kesib o'tish to'plamlar to'plami - har bir to'plamga tegishli bo'lgan barcha va faqat elementlardan iborat to'plam.
Indekslar to'plami cheklangan bo'lsa, masalan, 
, keyin bu holda to'plamlar to'plamining birlashishi va kesishishini belgilash uchun ular odatda quyidagi belgidan foydalanadilar:
va 
.
Masalan, agar 
, 
, 
, keyin ,.
To‘plamlarning birlashishi va kesishishi tushunchalari maktab matematika kursida qayta-qayta uchraydi.
1-misol. Kopgina M tengsizliklar sistemasining yechimlari
bu sistemaning har bir tengsizligi yechimlari to'plamlarining kesishishidir:.
2-misol. Kopgina M tizimli yechimlar
- bu sistemaning har bir tengsizligi uchun yechimlar to'plamlarining kesishishi. Birinchi tenglamaning yechimlari to'plami to'g'ri chiziqdagi nuqtalar to'plamidir, ya'ni. ... Kopgina . To'plam bitta elementdan iborat - chiziqlarning kesishish nuqtalari.
3-misol. Tenglamaning yechimlari to'plami
qayerda 
, - tenglamalarning har birining yechimlari to'plamining birlashuvi, ya'ni.
Ta'rif 3. Farq to'plamlar va bilan belgilanadigan va faqat tegishli bo'lgan, lekin tegishli bo'lmagan barcha elementlardan iborat to'plam deb ataladi .– soyali qism; ... birlashma, kesishish va komplement operatsiyalari bilan. Olingan matematik struktura deyiladi to'plamlar algebrasi yoki To'plamlarning mantiqiy algebrasi(jumladan, irlandiyalik matematik va mantiqchi Jorj Bul (1816-1864)). Ixtiyoriy to'plamning barcha kichik to'plamlari to'plamini belgilaymiz va uni chaqiramiz mantiqiy to'plamlar.
Quyida keltirilgan tengliklar har qanday kichik to'plamlar uchun amal qiladi A, B, C universal to'plam U. Shuning uchun ular chaqiriladi to'plamlar algebrasi qonunlari.
Matematik tahlil - bu cheksiz kichik funktsiya g'oyasiga asoslangan funktsiyalarni o'rganish bilan shug'ullanadigan matematikaning bo'limi.
Matematik analizning asosiy tushunchalari quyidagilardir qiymat, to‘plam, funksiya, cheksiz kichik funksiya, chegara, hosila, integral.
Kattaligi son bilan o'lchanadigan va ifodalanishi mumkin bo'lgan hamma narsa deyiladi.
Ko'pchilik qandaydir umumiy xususiyat bilan birlashtirilgan ba'zi elementlar to'plami deyiladi. To'plamning elementlari raqamlar, raqamlar, ob'ektlar, tushunchalar va boshqalar bo'lishi mumkin.
To'plamlar katta harflar bilan, elementlar esa kichik harflarda ko'paytmalar bilan ko'rsatilgan. To'plam elementlari jingalak qavslar ichiga o'ralgan.
Agar element x to‘plamga tegishli X keyin yozing x∈NS (∈
- tegishli).
Agar A to'plami B to'plamining bir qismi bo'lsa, yozing A ⊂ B (⊂
- o'z ichiga oladi).
To'plam ikki usuldan birida ko'rsatilishi mumkin: sanab o'tish va aniqlovchi xususiyatdan foydalanish.
Masalan, quyidagi to'plamlar sanab o'tish orqali belgilanadi:- A = (1,2,3,5,7) - raqamlar to'plami
- X = (x 1, x 2, ..., x n) - ba'zi elementlar to'plami x 1, x 2, ..., x n
- N = (1,2, ..., n) - natural sonlar to'plami
- Z = (0, ± 1, ± 2, ..., ± n) - butun sonlar to'plami
(-∞; + ∞) to'plam chaqiriladi raqamlar qatori, va har qanday raqam bu chiziqning nuqtasidir. a sonlar chizig‘idagi ixtiyoriy nuqta va d musbat son bo‘lsin. Interval (a-d; a + d) deyiladi d-a nuqtaning qo'shnisi.
X to'plam yuqorida (pastda) chegaralangan bo'lsa, shunday c raqami bo'lsaki, har qanday x ∈ X uchun x≤s (x≥c) tengsizlik bajariladi. Bu holda c raqami deyiladi yuqori (pastki) chekka X to'plam. Yuqorida ham, pastda ham chegaralangan to'plam deyiladi cheklangan... To'plamning yuqori (pastki) chegaralarining eng kichigi (eng kattasi) deyiladi aniq yuqori (pastki) qirrasi bu to'plam.
Asosiy raqamlar to'plami
| N | (1,2,3, ..., n) Hammasi to‘plami |
| Z | (0, ± 1, ± 2, ± 3, ...) To'plam butun sonlar. Butun sonlar to'plami ko'plab natural sonlarni o'z ichiga oladi. |
| Q |
Kopgina ratsional sonlar. Butun sonlardan tashqari kasrlar ham mavjud. Kasr - bu shaklning ifodasi, bu erda p- butun son, q- tabiiy. O'nlik kasrlarni shunday yozish ham mumkin. Masalan: 0,25 = 25/100 = 1/4. Butun sonlarni shunday yozish ham mumkin. Masalan, "bir" maxraji bilan kasr sifatida: 2 = 2/1. Shunday qilib, har qanday ratsional sonni o'nlik kasr sifatida yozish mumkin - albatta yoki cheksiz davriy. |
| R |
Hammasidan ko'p haqiqiy raqamlar. Irratsional sonlar - cheksiz davriy bo'lmagan kasrlar. Bularga quyidagilar kiradi: Birgalikda ikkita to'plam (ratsional va irratsional sonlar) - haqiqiy (yoki haqiqiy) sonlar to'plamini tashkil qiladi. |
Agar to'plamda biron bir element bo'lmasa, u chaqiriladi bo'sh to'plam va qayd qilinadi Ø .
Mantiqiy simvolologiyaning elementlari
∀x belgisi: | x |<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.
KvantorMatematik ifodalarni yozishda kvantlovchilar ko'pincha ishlatiladi.
Miqdor ko'rsatkichi quyidagi elementlarni miqdoriy jihatdan tavsiflovchi mantiqiy belgidir.
- ∀- umumiylik kvantifikatori, "hamma uchun", "har qanday" so'zlari o'rniga ishlatiladi.
- ∃- ekzistensial kvantifikator, “mavjud”, “bo‘ladi” so‘zlari o‘rniga ishlatiladi. Bitta bo'lgani uchun o'qiladigan ∃ ! belgilar birikmasi ham qo'llaniladi.
Operatsiyalarni sozlash
Ikki A va B to'plamlari teng(A = B) agar ular bir xil elementlardan iborat bo'lsa.
Misol uchun, agar A = (1,2,3,4), B = (3,1,4,2) bo'lsa, A = B.
Konsolidatsiya (sum) A va B to‘plamlar A∪ B to‘plam deb ataladi, uning elementlari shu to‘plamlardan kamida bittasiga tegishli.
Masalan, agar A = (1,2,4), B = (3,4,5,6), u holda A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)
Chorraha (mahsulot) A va B to‘plamlar A ∩ B to‘plam deyiladi, uning elementlari A to‘plamga ham, B to‘plamga ham tegishli.
Masalan, agar A = (1,2,4), B = (3,4,5,2), u holda A ∩ B = (2,4)
Farq A va B to’plamlar AB to’plami deyiladi, uning elementlari A to’plamga tegishli, lekin B to’plamga tegishli emas.
Masalan, agar A = (1,2,3,4), B = (3,4,5), u holda AB = (1,2)
Simmetrik farq A va B to'plamlar AB va BA to'plamlari ayirmalarining birlashmasidan iborat bo'lgan A D B to'plam deb ataladi, ya'ni A D B = (AB) ∪ (BA).
Masalan, agar A = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6), u holda A D V = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 , 6)
To'plamlar ustida amallar xossalari
O'zgaruvchanlik xususiyatlariA ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Hisoblanadigan va hisoblanmaydigan to'plamlar
Har qanday ikkita A va B to'plamlarni solishtirish uchun ularning elementlari o'rtasida muvofiqlik o'rnatiladi.
Agar bu muvofiqlik birma-bir bo'lsa, to'plamlar ekvivalent yoki ekvivalent, A B yoki B A deb ataladi.
1-misolABC uchburchakning BC oyog'ining nuqtalar to'plami va AC gipotenuzasi teng kuchga ega.
Nazariyalar
To'plam tushunchasiga ikkita asosiy yondashuv mavjud - sodda va aksiomatik to'plamlar nazariyasi.
Aksiomatik to'plam nazariyasi
Bugungi kunda to'plam ZFC aksiomalarini (tanlov aksiomasi bilan Zermelo - Fraenkel aksiomalari) qanoatlantiradigan model sifatida aniqlanadi. Ushbu yondashuv bilan ba'zi matematik nazariyalarda to'plam bo'lmagan ob'ektlar to'plami mavjud. Bunday to'plamlar sinflar (turli tartibli) deb ataladi.
To'plamning elementi
To'plamni tashkil etuvchi ob'ektlar deyiladi to'plamning elementlari yoki to'plamning nuqtalari bo'yicha. To'plamlar ko'pincha lotin alifbosining katta harflari bilan, uning elementlari - kichiklari bilan belgilanadi. Agar a A to'plamning elementi bo'lsa, u holda ∈ A yozing (a A ga tegishli). Agar a A to'plamning elementi bo'lmasa, u holda a∉A yozing (va A ga tegishli emas).
Ba'zi turdagi to'plamlar
- Tartibli to'plam - tartib munosabati ko'rsatilgan to'plam.
- To'plam (aniqrog'i, buyurtma qilingan juftlik). To'plamdan farqli o'laroq, u qavslar ichida yoziladi: ( x 1, x 2, x 3, ...) va elementlar takrorlanishi mumkin.
Ierarxiya bo'yicha:
To'plamlar to'plami Subset Superset
Cheklov bo'yicha:
Operatsiyalarni sozlash
Adabiyot
- Stoll R.R. Setlar. Mantiq. Aksiomatik nazariyalar. - M .: Ta'lim, 1968 .-- 232 b.
Shuningdek qarang
Wikimedia fondi. 2010 yil.
Boshqa lug'atlarda "Set Element" nima ekanligini ko'ring:
to'plamning elementi- - [L.G. Sumenko. Ingliz ruscha axborot texnologiyalari lug'ati. M .: GP TsNIIS, 2003.] to'plam elementi Boshqa shunga o'xshash ob'ektlar bilan birgalikda to'plamni tashkil etuvchi har qanday tabiatdagi ob'ekt. Ko'pincha, atama o'rniga, element ... ...
To'plamning elementi- boshqa shunga o'xshash ob'ektlar bilan birgalikda to'plamni tashkil etuvchi har qanday tabiat ob'ekti. Ko'pincha, bu ma'nodagi element atamasi o'rniga ular "to'plam nuqtasi", "to'plam a'zosi" va boshqalarni ishlatadilar ... ...
SET, matematikada, ma'lum ob'ektlar to'plami. Bu ob'ektlar to'plam a'zolari deb ataladi. Elementlar soni cheksiz yoki chekli, hatto nolga teng bo'lishi mumkin (bo'sh to'plamdagi elementlar soni 0 bilan belgilanadi). Har bir…… Ilmiy-texnik entsiklopedik lug'at
element- tegishli shart-sharoitlarga qarab, sirt, chiziq, nuqta deb tushunilishi mumkin bo'lgan umumlashtirilgan atama. Eslatmalar 1. Element sirt (sirtning bir qismi, bir nechta sirtlarning simmetriya tekisligi), chiziq (profil ...) bo'lishi mumkin. Texnik tarjimon uchun qo'llanma
Biror narsaning bir qismi. Ushbu so'zning mumkin bo'lgan etimologiyalaridan biri lotincha L, M, N (el em en) harflaridagi bir qator undoshlarning nomidir. Element (falsafa) Element bayroq, bayroq va standartning majburiy aksessuari hisoblanadi. To'plam elementi Boshlang'ich ... ... Vikipediya
Element- murakkab bir butunning birlamchi (ushbu tadqiqot, model) komponenti. Toʻplam elementi, Tizim elementi... qarang. Iqtisodiyot va matematika lug'ati
To'plam matematikaning, xususan, to'plamlar nazariyasining asosiy ob'ektlaridan biridir. "To'plam deganda biz sezgi yoki fikrimizning aniq, butunlay ajralib turadigan ob'ektlarining bir butuniga birlashishini tushunamiz" (G. Kantor). Bu to'liq emas ... ... Vikipediya
element- 02.01.14 element (belgi yoki belgi): shtrix-kod belgisidagi bitta zarba yoki bo'sh joy yoki matritsa belgisidagi bitta ko'pburchak yoki dumaloq katak, ... da belgi belgisini tashkil qiladi. Normativ-texnik hujjatlar atamalarining lug'at-ma'lumotnomasi
A; m. [latdan. element elementi, asl modda] 1. Uning bir qismi l .; komponent. Butunni elementlarga ajrating. Madaniyatning qanday elementlari bor? E ning tabiati. ishlab chiqarish. l bo'lgan tarkibiy elementlar. // Oddiy harakat, bitta ...... ensiklopedik lug'at
To‘plam tushunchasi matematikaning aksiomatik tushunchalarini bildiradi.
Ta'rif... To'plam - bu barcha uchun umumiy xususiyat yoki xususiyatga ega bo'lgan elementlar to'plami, guruhi, to'plami.
Belgilanishi: A, B.
Ta'rif... Ikki A va B to'plamlar bir xil elementlardan iborat bo'lgan taqdirdagina tengdir. A = B.
a ∈ A (a ∉ A) yozuvi a ning A to‘plamning elementi (emas) ekanligini bildiradi.
Ta'rif... Elementlari bo'lmagan to'plam bo'sh deyiladi va ∅ bilan belgilanadi.
Odatda, muayyan holatlarda ko'rib chiqilayotgan barcha to'plamlarning elementlari bitta, etarlicha keng U to'plamidan olinadi, bu deyiladi. universal to'plam.
To'plamning kardinalligi|M | sifatida belgilanadi ...
Izoh : chekli to'plamlar uchun kardinallik - elementlarning soni.
Ta'rif... Agar | A | = |B | , keyin to'plamlar chaqiriladi teng.
To'plamlardagi amallarni ko'rsatish uchun ko'pincha quyidagilar qo'llaniladi Eyler - Venn diagrammasi... Diagrammaning konstruktsiyasi U universal to'plamini ifodalovchi katta to'rtburchaklar tasviridan va uning ichida - to'plamlarni ifodalovchi doiralardan iborat.
To'plamlarda quyidagi operatsiyalar aniqlanadi:
Union A∪V: = (x / x∈A∨x∈V)
A∩V kesishmasi: = (x / x∈A & x∈V)
Farqi A \ V: = (x / x∈A & x∈V)
To'ldiruvchi A U \ A: = (x / x U & x ∉ A)
Vazifa 1.1. Berilgan: a) A, B⊆Z, A = (1; 3; 4; 5; 9), B = (2; 4; 5; 10). b) A, B⊆R, A = [-3; 3), B = (2; 10].
Yechim.
a) A∩B = (4; 5), A∪B = (1; 2; 3; 4; 5; 9; 10), A \ B = (1; 3; 9), B \ A = (2) ; 10), B = Z \ B;
b) A∩B = (2; 3), A∪B = [-3; 10], A \ B = [-3,2], B \ A =, BZ \ B = (-∞, 2] ∪ (10, + ∞).
1) Berilgan: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).
b) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].
Toping: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.
2) Berilgan: a) A, B ⊆ Z, A = (3; 6; 7; 10), B = (2; 3; 10; 12).
b) A, B ⊆ R, A =.
Toping: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.
3) Berilgan: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).
b) A, B ⊆ R, A =.
4) Berilgan: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 4; 6; 7), B = (-3; 3; 7).
b) A, B ⊆ R, A = [-15; 0), B = [-2; 1].
Toping: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, A.
5) Berilgan: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 9), B = (-6; 0; 3; 9).
b) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].
Toping: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.
6) Berilgan: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 6; 9), B = (-6; 0; 3; 7).
b) A, B ⊆ R, A = [-8; 3), B =.
Toping: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.
7) Berilgan: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 2; 10), B = (-1; 2; 9; 10).
b) A, B ⊆ R, A = [-10; 9), B = [-5; 15].
Toping: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.
8) Berilgan: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 9; 37), B = (-1; 1; 9; 11; 15).
b) A, B ⊆ R, A = [-8; 1), B = [-5; 7].
Toping: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.
9) Berilgan: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 9; 17), B = (-1; 1; 9; 10; 25).
b) A, B ⊆ R, A = [-4; 9), B = [-5; 7].
Toping: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.
10) Berilgan: a) A, B⊆Z, A = (1; 7; 9; 17), B = (-2; 1; 9; 10; 25).
b) A, B⊆R, A =.
Toping: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, A.
Vazifa 1.1. Eyler-Venn diagrammalaridan foydalanib, shaxsni isbotlang:
A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).
Yechim.
Venn diagrammalarini tuzamiz.
Tenglikning chap tomoni a rasmda ko'rsatilgan), o'ng tomoni - shakl b). Diagrammalardan bu munosabatning chap va o'ng tomonlari tengligi yaqqol ko'rinadi.
Mustaqil hal qilish uchun vazifalar
Eyler-Venn diagrammasidan foydalanib, shaxsni isbotlang:
1) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C);
2) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ C;
3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);
4) (A \ B) \ C = (A \ B) \ (B \ C);
5) (A \ B) \ C = (A \ B) ∪ (A∩C);
6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \ C;
8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
9) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)
10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B
Vazifa 1.3. Adabiyot darsida o‘qituvchi sinfdagi 40 nafar o‘quvchidan qaysi biri A, B, C kitoblarini o‘qiganligini aniqlashga qaror qildi. So‘rov natijalari quyidagicha bo‘ldi: “A” kitobini 25 nafar o‘quvchi o‘qidi; “B” kitobini 22 nafar talaba o‘qidi; C kitobini 22 nafar talaba o‘qidi; A yoki B kitoblarini 33 nafar talaba o‘qidi; A yoki C kitoblarini 32 talaba o'qidi; B yoki C kitoblarini 31 talaba o'qidi; barcha kitoblarni 10 nafar talaba o‘qidi. Aniqlang: 1) nechta o‘quvchi faqat A kitobini o‘qigan?
2) Qancha o‘quvchi faqat B kitobini o‘qiydi?
3) Qancha o‘quvchi faqat C kitobini o‘qigan?
4) Qancha o‘quvchi faqat bitta kitob o‘qigan?
5) Qancha o‘quvchi kamida bitta kitob o‘qigan?
6) Qancha o'quvchi bitta kitob o'qimagan?
Yechim.
U sinfdagi o'quvchilar to'plami bo'lsin. Keyin
| U | = 40, | A | = 25, | B | = 22, | C | = 22, | A ∪ B | = 33, | A ∪ C | = 32, | B ∪ C | = 31, | A ∩ B ∩ C | = 10
Keling, muammoni tasvirlashga harakat qilaylik.
Kamida bitta kitob oʻqigan oʻquvchilar toʻplamini k 1, k 2, k 3, k 4, k 5, k 6, k 7 yetti kichik toʻplamga ajratamiz.
k 1 - faqat A kitobini o'qigan talabalar to'plami;
k 3 - faqat B kitobini o'qigan talabalar to'plami;
k 7 - faqat C kitobini o'qigan talabalar to'plami;
k 2 - A va B kitoblarini o'qigan va C kitobini o'qimagan talabalar to'plami;
k 4 - A va C kitoblarini o'qigan va B kitobini o'qimagan talabalar to'plami;
k 6 - B va C kitoblarini o'qigan va A kitobini o'qimagan talabalar to'plami;
k 5 - A, B va C kitoblarini o'qigan o'quvchilar to'plami.
Keling, ushbu kichik to'plamlarning har birining kardinalligini hisoblaylik.
|k 2 | = | A ∩ B | - | A ∩ B ∩ C |; |k 4 | = |A ∩ C | - | A ∩ B ∩ C |;
|k 6 | = | B ∩ C | - |A ∩ B ∩ C |; |k 5 | = | A ∩ B ∩ C |.
Keyin | k 1 | = | A | - | k 2 | - | k 4 | - | k 5 |, | k 3 | = |B | - | k 2 | - | k 6 | - | k 5 |, | k 7 | = |C | - | k 6 | - | k | - | k 5 |.
|A ∩ B |, | A ∩ C |, | B ∩ C | toping.
| A ∩ B | = | A | + | B | - | A ∩ B | = 25 + 22 - 33 = 14,
| A ∩ C | = | A | + |C | - | A ∩ C | = 25 + 22 - 32 = 15,
|B ∩ C | = |B | + |C | - | B ∩ C | = 22 + 22 - 31 = 13.
Keyin k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 = 22-4-3-10 = 5; k 7 = 22-5-3-10 = 4;
|A ∪ B ∪ C | = | A ∪ B | + |C | - | (A ∪ B) ∪ C | ...
Rasmdan ko'rinib turibdiki | C | - | (A ∪ B) ∪ C | = |k 7 | = 4, keyin | A ∪ B ∪ C | = 33 + 4 = 37 - kamida bitta kitob o'qigan talabalar soni.
Sinfda 40 nafar o‘quvchi bo‘lgani uchun 3 nafar o‘quvchi bitta ham kitob o‘qimagan.
Javob:- 6 talaba faqat A kitobini o'qiydi.
- 5 talaba faqat B kitobini o'qiydi.
- 4 talaba faqat C kitobini o'qiydi.
- 15 nafar talaba faqat bitta kitob o‘qiydi.
- 37 nafar talaba A, B, C dan kamida bitta kitob o‘qigan.
- 3 nafar talaba bitta ham kitob o‘qimagan.
Mustaqil hal qilish uchun vazifalar
1) Hafta davomida kinoteatrda A, B, C filmlari namoyish etildi. 40 nafar talabaning har biri uchta filmni yoki uchta filmdan birini ko'rgan. Kino A 13 nafar maktab o‘quvchisini ko‘rgan. Kino B 16 nafar maktab o‘quvchilarini ko‘rgan. Kino C 19 nafar maktab o‘quvchilarini ko‘rgan. Qancha maktab o'quvchilari faqat bitta filmni ko'rgan?
2) Xalqaro konferensiyada 120 kishi ishtirok etdi. Ulardan 60 nafari rus, 48 nafari ingliz, 32 nafari nemis, 21 nafari rus va ingliz, 19 nafari ingliz va nemis, 15 nafari rus va nemis tillarini, 10 nafari har uch tilda so‘zlashadi. Qanchadan-qancha konferentsiya ishtirokchilari ushbu tillarning hech birini bilmaydilar?
3) 20 kishidan iborat maktab jamoasi sport musobaqalarida qatnashadi, ularning har biri sportning uchta turidan biri yoki bir nechtasi: engil atletika, suzish va gimnastika bo'yicha sport toifasiga ega. Ma’lumki, ularning 12 nafari yengil atletika, 10 nafari gimnastika, 5 nafari suzish bo‘yicha toifaga ega. Bu jamoadan barcha sport turlari bo‘yicha toifaga ega bo‘lgan maktab o‘quvchilari sonini aniqlang, agar yengil atletika va suzish bo‘yicha 2 kishi, yengil atletika va gimnastika bo‘yicha 4 kishi, suzish va gimnastika bo‘yicha 2 kishi toifaga ega bo‘lsa.
4) 100 nafar talaba oʻrtasida oʻtkazilgan soʻrov turli chet tillarini oʻrganayotgan talabalar soni boʻyicha quyidagi natijalarni berdi: ispan tili – 28 ta; nemis - 30; frantsuz - 42; ispan va nemis tillari - 8; ispan va frantsuz tillari - 10; nemis va frantsuz tillari - 5 ta; har uch tilda - 3. Qancha talaba nemis tilini o'rganmoqda, agar ular frantsuz tilini o'rgansa? 5) 100 nafar talaba ishtirokida oʻtkazilgan soʻrovda turli chet tillarini oʻrganayotgan talabalar soni boʻyicha quyidagi maʼlumotlar aniqlandi: faqat nemis tili – 18 nafar; nemis, lekin ispan emas - 23; nemis va frantsuz tillari - 8; nemis - 26; frantsuz - 48; frantsuz va ispan tillari - 8; til yo'q - 24. Nemis va ispan tillarini qancha talaba o'rganmoqda?
6) 100 nafar talaba oʻrtasida oʻtkazilgan soʻrovnomada turli tillarni oʻrganayotgan talabalar soni quyidagicha ekanligi maʼlum qilingan: har uch tilda – 5 ta; nemis va ispan tillari - 10; frantsuz va ispan tillari - 8; nemis va frantsuz tillari - 20 ta; ispan - 30; nemis - 23; Fransuz - 50. Ushbu hisobotni taqdim etgan inspektor ishdan bo'shatildi. Nega?
7) Xalqaro konferentsiyada 100 kishi ishtirok etdi. Ulardan 42 nafari fransuz, 28 nafari ingliz, 30 nafari nemis, 10 nafari fransuz va ingliz, 8 nafari ingliz va nemis, 5 nafari fransuz va nemis tillarini, 3 nafari har uchala tilni biladi. Qanchalik konferentsiya ishtirokchilari ushbu tillarning birortasini ham bilmaydilar?
8) Universitetda informatika yo‘nalishida tahsil olayotgan 1-kurs talabalari qo‘shimcha fanlardan o‘qishlari mumkin. Bu yil ularning 25 nafari buxgalteriya, 27 nafari tadbirkorlik, 12 nafari turizm yo‘nalishini tanladi. Shuningdek, buxgalteriya hisobi va biznes yo‘nalishida 20 nafar, buxgalteriya hisobi va turizm yo‘nalishida 5 nafar, turizm va biznes yo‘nalishida 3 nafar talaba tahsil oldi. Ma'lumki, talabalarning hech biri birdaniga 3 ta qo'shimcha kursga borishga jur'at eta olmagan. Qancha talaba kamida 1 ta qo‘shimcha kursda qatnashgan?
9) Abituriyentlar uchun matematika fanidan olimpiadada 40 nafar talaba ishtirok etdi. Ularga algebradan bitta, geometriyadan va trigonometriyadan bitta masala yechish taklif qilindi. Algebra fanidan 20 kishi, geometriyadan 18 nafar, trigonometriyadan 18 nafar masala yechilgan. Algebra va geometriyadan 7 kishi, algebra va trigonometriyadan 8 kishi, geometriya va trigonometriyadan 9 kishi yechishdi. Hech qanday muammo 3 kishi tomonidan hal qilinmadi. Qancha talaba ikkitagina masalani yechdi?
10) Sinfda 40 nafar o‘quvchi bor. Shulardan 19 nafari rus tilidan, 17 nafari matematikadan, 22 nafari fizika fanidan uch egizak farzandli. 4 nafar talaba faqat bitta rus tilida, 4 nafari faqat matematikadan, 11 nafari esa faqat fizikadan uchlik qiladi. Rus tili, matematika va fizika fanlaridan 5 nafar talaba uchlik. 7 kishining matematika va fizika fanidan uchlik darajasi bor. Qancha talaba uchta fandan ikkitasida C ga ega?
Kopgina bir butun sifatida qaraladigan ob'ektlar yig'indisidir. To'plam tushunchasi asosiy, ya'ni boshqa tushunchalar bilan kamaytirilmaydigan sifatida qabul qilinadi. Berilgan to'plamni tashkil etuvchi ob'ektlar uning elementlari deyiladi. Element orasidagi asosiy munosabat a va to'plamni o'z ichiga oladi A sifatida belgilangan ( a to‘plamning elementi hisoblanadi A; yoki a tegishli A, yoki A o'z ichiga oladi a). Agar a to'plamning a'zosi emas A, keyin ular yozadilar ( a tarkibiga kiritilmagan A, A o'z ichiga olmaydi a). To'plamni uning barcha elementlarini ko'rsatish orqali aniqlash mumkin va bu holda jingalak qavslar qo'llaniladi. Shunday qilib ( a, b, c) uchta elementdan iborat to‘plamni bildiradi. Xuddi shunday belgi cheksiz to'plamlarda qo'llaniladi va yozilmagan elementlar ellips bilan almashtiriladi. Demak, natural sonlar to‘plami (1, 2, 3, ...), juft sonlar to‘plami esa (2, 4, 6, ...) bilan belgilanadi, ellips esa birinchi holatda barcha natural sonlarni bildiradi. raqamlar, ikkinchisida - faqat juft.
Ikki to'plam A va B deyiladi teng agar ular bir xil elementlardan iborat bo'lsa, ya'ni. A tegishli B va aksincha, har bir element B tegishli A... Keyin ular yozadilar A = B... Shunday qilib, to'plam o'z elementlari bilan yagona tarzda aniqlanadi va bu elementlarning yozilish tartibiga bog'liq emas. Masalan, uchta elementdan iborat to'plam a, b, c olti turdagi yozishga imkon beradi:
{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.
Rasmiy qulaylik uchun "bo'sh to'plam" deb ataladigan narsa, ya'ni bitta elementni o'z ichiga olmaydigan to'plam ham kiritilgan. U ba'zan 0 belgisi bilan belgilanadi (nol raqamining belgilanishi bilan mos kelishi chalkashlikka olib kelmaydi, chunki belgining ma'nosi har safar aniq bo'ladi).
Agar to'plamning har bir elementi A ko‘pchilik qatoriga kiradi B, keyin A kichik to'plam deb ataladi B, a B superset deb ataladi A... Ular yozadilar ( A tarkibiga kiradi B yoki A tarkibida mavjud B, B o'z ichiga oladi A). Shubhasiz, agar va, keyin A = B... Bo'sh to'plam ta'rifiga ko'ra har qanday to'plamning kichik to'plami hisoblanadi.
Agar to'plamning har bir elementi A tarkibiga kiradi B lekin juda ko'p B tarkibiga kiritilmagan kamida bitta elementni o'z ichiga oladi A, ya'ni, agar va, keyin A chaqirdi o'zining kichik to'plami B, a B - o'z super to'plami A... Bunday holda, yozing. Masalan, belgi va bir xil ma'noni anglatadi, ya'ni to'plam A bo'sh emas.
E'tibor bering, elementni farqlash kerak a va to'plam ( a) o'z ichiga oladi a yagona element sifatida. Bu farq nafaqat element va to'plamning boshqa rol o'ynashi (munosabat simmetrik emas), balki qarama-qarshilikdan qochish zarurati bilan ham ta'kidlanadi. Shunday bo'lsin A = {a, b) ikkita elementni o'z ichiga oladi. To'plamni ko'rib chiqing ( A) o'zining yagona elementi sifatida to'plamni o'z ichiga oladi A... Keyin A ikkita elementni o'z ichiga oladi, esa ( A) faqat bitta element, shuning uchun bu ikki to'plamni aniqlash mumkin emas. Shuning uchun yozuvni ishlatmaslik tavsiya etiladi.