Vektorlar va vektorlar ustida amallar. Vektorlar Fazodagi vektorlarga oid barcha formulalar

Vektor – bu yo'naltirilgan to'g'ri chiziqli segment, ya'ni ma'lum uzunlik va ma'lum yo'nalishga ega segment. Fikrga ruxsat bering A Vektorning boshi va nuqta B - uning oxiri, keyin vektor ramz bilan belgilanadi yoki. Vektor deyiladi qarama-qarshi vektor va belgilanishi mumkin .

Keling, bir qator asosiy ta'riflarni shakllantiraylik.

Uzunlik yoki modul vektor segmentning uzunligi deb ataladi va belgilanadi... Nol uzunlikdagi vektor (uning mohiyati nuqta) deyiladi nol va yo'nalish yo'q. Vektor birlik uzunligi deyiladibitta ... Yo'nalishi vektor yo'nalishiga to'g'ri keladigan birlik vektori deyiladi birlik vektori .

Vektorlar deyiladi kollinear , agar ular bitta to'g'ri chiziqda yoki parallel chiziqlarda yotsa, yozing... Lineer vektorlar bir xil yoki qarama-qarshi yo'nalishda bo'lishi mumkin. Nol vektor har qanday vektor uchun kollinear hisoblanadi.

Vektorlar teng deb nomlanadiagar ular kollinear bo'lsa, bir xil yo'nalish va bir xil uzunlikka ega.

Kosmosdagi uchta vektor deyiladi qo'shma plan agar ular bir tekislikda yoki parallel tekisliklarda yotsa. Agar uchta vektor orasida kamida bitta nol yoki ikkitasi kollinear bo'lsa, unda bunday vektorlar koplanar bo'ladi.

Kosmosda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi 0 ni ko'rib chiqing xyz... 0 koordinata o'qlarida tanlang x, 0y, 0z birlik vektorlari (birlik vektorlari) va ularni bilan belgilangnavbati bilan. Ixtiyoriy fazoviy vektorni tanlaymiz va uning kelib chiqishini kelib chiqishi bilan moslashtiramiz. Vektorni koordinata o'qlariga proyeksiyalaymiz va proektsiyalarni tomonidan belgilaymiz a x, ay, a z navbati bilan. Keyin buni ko'rsatish oson

. (2.25)

Ushbu formula vektor hisoblashda asosiy hisoblanadi va deyiladi koordinata o'qlari bo'yicha vektorning kengayishi ... Raqamlar a x, ay, a zdeyiladi vektor koordinatalari ... Shunday qilib, vektorning koordinatalari uning koordinata o'qlaridagi proektsiyalaridir. Vektor tengligi (2.25) ko'pincha shaklda yoziladi

Vektor koordinatalari va nuqta koordinatalarini vizual ravishda ajratish uchun biz vektor yozuvlarini jingalak qavslarda ishlatamiz. Maktab geometriyasidan ma'lum bo'lgan segment uzunligi uchun formuladan foydalanib, vektor modulini hisoblash uchun ifodani topishingiz mumkin:

, (2.26)

ya'ni vektorning moduli uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga tengdir.

Vektor va koordinata o'qlari orasidagi burchaklarni belgilaymiz α, β, γ navbati bilan. Kosinalar bu burchaklar vektor uchun chaqiriladi qo'llanmalar va ular uchun munosabatlar amalga oshiriladi:Ushbu tenglikning to'g'riligini o'qdagi vektor proektsiyasining xususiyati yordamida ko'rsatish mumkin, bu keyingi 4-bandda muhokama qilinadi.

Uch o'lchovli bo'shliqda vektorlar berilsinularning koordinatalari. Ularda quyidagi operatsiyalar amalga oshiriladi: chiziqli (qo'shish, ayirish, songa ko'paytirish va vektorni o'qga yoki boshqa vektorga proektsiyalash); chiziqli emas - vektorlarning har xil hosilalari (skalar, vektor, aralash).

1. Qo'shish koordinatali ravishda ikkita vektor hosil bo'ladi, ya'ni

Ushbu formula o'zboshimchalik bilan cheklangan sonli atamalar uchun amal qiladi.

Geometrik ravishda ikkita vektor ikkita qoidaga muvofiq qo'shiladi:

a) qoida uchburchak - ikkita vektor yig'indisining hosil bo'lgan vektori, ikkinchisining boshi birinchi vektorning oxiriga to'g'ri kelishi sharti bilan, ularning birinchisining boshini ikkinchisining oxiri bilan bog'laydi; vektorlarning yig'indisi uchun - hosil bo'lgan yig'indisi vektori ulardan birinchisining boshini so'nggi vektor-davrning oxiri bilan bog'laydi, bunda keyingi davr boshlanishi oldingisining oxiriga to'g'ri keladi;

b) qoida parallelogram (ikkita vektor uchun) - parallelogram vektorlar-summandlar ustida, xuddi shu boshga tushirilgan tomonlarda qurilgan; parallelogramning diagonali ularning umumiy kelib chiqishidan boshlab, vektorlarning yig'indisidir.

2. Chiqarish ikkita vektorning koordinatali ravishda bajarilishi, qo'shilishga o'xshash tarzda, ya'ni, agarkeyin

Geometrik ravishda, vektorlarning farqi vektorlarning uchlarini bog'laydigan diagonal ekanligini va hosil bo'lgan vektor ayirilganning oxiridan qisqartirilgan oxirigacha yo'naltirilganligini hisobga olib, yuqorida aytib o'tilgan parallelogramma qoidasiga binoan ikkita vektor qo'shiladi. vektor.

Vektorlarni olib tashlashning muhim natijasi shundaki, agar vektorning boshi va oxiri koordinatalari ma'lum bo'lsa, unda vektorning koordinatalarini hisoblash uchun, uning koordinatalaridan kelib chiqadigan koordinatalarini chiqarib tashlang ... Darhaqiqat, kosmosning har qanday vektori boshidan kelib chiqadigan ikkita vektorning farqi sifatida ifodalanishi mumkin:... Vektor koordinatalari va nuqtalarning koordinatalariga to'g'ri keladiA va INchunki kelib chiqishiHAQIDA(0; 0; 0). Shunday qilib, vektorlarni ayirish qoidasiga binoan, nuqta koordinatalarini olib tashlash kerakAnuqta koordinatalaridanIN.

3. Bor vektorni λ soniga ko'paytirish koordinatali:.

Qachon λ> 0 - vektor hammualliflikda ; λ< 0 - vektor qarama-qarshi yo'nalish ; | λ|> 1 - vektor uzunligi ortadi λ vaqt;| λ|< 1 - vektor uzunligi kamayadi λ vaqt.

4. Yo'naltirilgan to'g'ri chiziq (o'q) bo'lsin l), vektor oxiri va boshi koordinatalari bilan berilgan. Biz nuqta proektsiyalarini belgilaymiz A va B eksa bo'yicha l navbati bilan A’ va B’ .

Loyihalash vektor eksa bo'yicha l vektorning uzunligi, agar vektor bo'lsa, "+" belgisi bilan olingan va o'qi lbirgalikda boshqariladi va agar "-" belgisi bilan va l qarama-qarshi yo'nalish.

Agar eksa sifatida bo'lsa lboshqa vektorni oling, keyin biz vektorning proektsiyasini olamiz vecto r ga.

Proektsiyalarning ba'zi bir asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqamiz:

1) vektor proektsiyasi eksa bo'yicha l vektor moduli ko'paytmasiga teng vektor va o'q o'rtasidagi burchak kosinusi tomonidan, ya'ni;

2.) vektorning o'qga proektsiyasi ijobiy (manfiy), agar vektor o'q bilan keskin (tekis) burchak hosil qilsa va bu burchak to'g'ri bo'lsa, nolga teng;

3) bir xil o'qda bir nechta vektorlar yig'indisining proektsiyasi ushbu o'qdagi proektsiyalar yig'indisiga teng.

Vektorlar bo'yicha chiziqli bo'lmagan amallarni ifodalovchi vektorlarning ko'paytmalari bo'yicha ta'riflar va teoremalarni shakllantiraylik.

5. Nuqta mahsulot va vektorlariburchakning kosinusi tomonidan ushbu vektorlarning uzunliklarining ko'paytmasiga teng son (skalar) deyiladiφ ular orasidagi, ya'ni

. (2.27)

Shubhasiz, har qanday nolga teng bo'lmagan vektorning skalar kvadrati uning uzunligining kvadratiga teng, chunki bu holda burchak , shuning uchun uning kosinusi (2.27 da) 1 ga teng.

Teorema 2.2. Ikkala vektorning perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shart ularning skaler ko'paytmasining nolga tengligi

Natijada. Birlik birligi vektorlarining juftlik skaler hosilalari nolga teng, ya'ni

Teorema 2.3. Ikki vektorning nuqta ko'paytmasiularning koordinatalari bilan berilgan, xuddi shu nomdagi koordinatalari hosilalari yig'indisiga teng, ya'ni

(2.28)

Vektorlarning nuqta ko'paytmasi yordamida siz burchakni hisoblashingiz mumkin ular orasida. Agar ikkita nolga teng bo'lmagan vektor ularning koordinatalari bilan berilgan bo'lsa, keyin burchak kosinusiφ orasida:

(2.29)

Demak, nolga teng bo'lmagan vektorlarning perpendikulyarligi sharti amal qiladiva:

(2.30)

Vektorli proektsiyani topish vektor tomonidan berilgan yo'nalishga , formula bo'yicha amalga oshirilishi mumkin

(2.31)

Vektorlarning nuqta ko'paytmasi yordamida doimiy kuchning ishini toping to'g'ri yo'lda.

Faraz qilaylik, doimiy kuch ta'sirida moddiy nuqta pozitsiyadan to'g'ri chiziqda harakat qiladi Aholatiga B. Majburiy vektor burchak hosil qiladi φ siljish vektori bilan (2.14-rasm). Fizika kuchning ishi deb da'vo qilmoqda harakatlanayotgandatengdir.

Binobarin, doimiy kuchning uni tatbiq etish nuqtasining to'g'ri chiziqli harakati bilan ish kuchi vektorining siljish vektori bilan skaler ko'paytmasiga teng.

2.9-misol.Vektorlarning nuqta ko'paytmasidan foydalanib, tepalik burchagini topingA parallelogramA B C D, qurmoq vektorlarda

Qaror.Teorema (2.3) bo'yicha vektorlarning modullarini va ularning skalar hosilasini hisoblaymiz:

Demak, (2.29) formulaga muvofiq biz kerakli burchak kosinusini olamiz

2.10-misol.Bir tonna tvorog ishlab chiqarish uchun foydalaniladigan xom ashyo va moddiy resurslarning narxi 2.2-jadvalda keltirilgan (rubl).

Bir tonna tvorog tayyorlash uchun sarflangan ushbu resurslarning umumiy qiymati qancha?

2.2-jadval

Qaror... Keling, ikkita vektorni ko'rib chiqamiz: ishlab chiqarish tonnasiga manba xarajatlari vektori va tegishli resursning birlik narxining vektori.

Keyin . Resursning umumiy qiymati, bu vektorlarning nuqta hosilasi... Biz uni (2.28) formula bo'yicha 2.3-teorema bo'yicha hisoblaymiz:

Shunday qilib, bir tonna tvorogni ishlab chiqarishning umumiy qiymati 279 541,5 rublni tashkil etadi

Eslatma... 2.10-misolda bajarilgan vektorlar bilan ishlarni shaxsiy kompyuterda bajarish mumkin. MS Excel-da vektorlarning nuqta hosilasini topish uchun SUMPRODUCT () funktsiyasidan foydalaning, bu erda matritsa elementlari diapazonlari manzillari argument sifatida ko'rsatilgan bo'lib, ularning hosilalari yig'indisi topilishi kerak. MathCAD-da ikkita vektorning nuqta hosilasi Matritsa asboblar panelidagi mos keladigan operator yordamida amalga oshiriladi

2.11-misol. Zo'rlik bilan qilingan ishni hisoblangagar uni qo'llash nuqtasi pozitsiyadan to'g'ri chiziqli harakatlansa A(2; 4; 6) holatiga A(4; 2; 7). Qaysi burchak ostida AB yo'naltirilgan kuch ?

Qaror.Uning uchi koordinatalaridan chiqarib, siljish vektorini topingkoordinatalarni boshlash

... Formula bo'yicha (2.28) (ish birliklari).

Burchak φ o'rtasida va biz (2.29) formula bo'yicha topamiz, ya'ni

6. Birgalikda bo'lmagan uchta vektor, ko'rsatilgan tartibda, shaklda olingano'ng uch, agar uchinchi vektor oxiridan ko'rib chiqilsa birinchi vektordan eng qisqa burilish ikkinchi vektorgasoat sohasi farqli ravishda amalga oshiriladi vachap agar soat yo'nalishi bo'yicha.

Vektorli mahsulot vektor bilan vektor vektor deyiladi quyidagi shartlarni qondirish:

– vektorlarga perpendikulyar va;

- ga teng uzunlikka egaqayerda φ - vektorlar tomonidan hosil qilingan burchakva;

- vektorlar o'ng uchlikni hosil qiling (2.15-rasm).

Teorema 2.4. Ikkala vektorning kollinearligi uchun zarur va etarli shart bu ularning vektor ko'paytmasining nolga tengligi

Teorema 2.5. Vektorlarning vektorli mahsulotiularning koordinatalari bilan berilgan shaklning uchinchi tartibli determinantiga teng

(2.32)

Eslatma.Aniqlovchi (2.25) aniqlovchilarning 7-xususiyatiga ko'ra parchalanadi

Xulosa 1.Ikki vektorning kollinearligi uchun zarur va etarli shart ularning mos koordinatalarining mutanosibligidir

Xulosa 2.Birlik birligi vektorlarining vektor hosilalari quyidagilardir

Xulosa 3.Har qanday vektorning vektor kvadrati nolga teng

Vektorli mahsulotning geometrik talqini hosil bo'lgan vektorning uzunligi maydonga son jihatdan teng bo'lishidir S vektor-faktorlar asosida, bir tomonga qisqartirilgan tomonlar bo'yicha qurilgan parallelogram. Darhaqiqat, ta'rifga ko'ra, vektorlarning vektor mahsulotining moduli. Boshqa tomondan, vektorlarga qurilgan parallelogramma maydoni va shuningdek unga teng ... Shuning uchun,

. (2.33)

Shuningdek, o'zaro faoliyat hosiladan foydalanib, siz kuch va momentni chiziqqa nisbatan aniqlay olasiz aylanish tezligi.

Nuqtada A kuch ishlatilgan qo'yib yubor O - kosmosdagi ba'zi bir nuqta (2.16-rasm). Fizika kursidan ma'lumki kuch momenti nuqtaga nisbatan O vektor deyiladi bu nuqta orqali o'tadiO va quyidagi shartlarni qondiradi:

Nuqtalardan o'tuvchi tekislikka perpendikulyar O, A, B;

Uning moduli son jihatidan bir yelkada kuch hosil bo'lishiga teng.

- vektorlari bilan o'ng uchlikni hosil qiladi va.

Shuning uchun, kuch momenti nuqtaga nisbatanO o'zaro faoliyat mahsulot

. (2.34)

Chiziqli tezlik ochkolar Mqattiq tana aylanmoqda burchak tezligi sobit o'q atrofida, formula bilan aniqlanadi Eyler, O - biroz harakatsiz

eksa nuqtasi (2.17-rasm).

2.12-misol.Kesma hosiladan foydalanib, uchburchakning maydonini toping ABCvektorlar asosida qurilganxuddi shu boshga keltirildi.

Standart ta'rif: "Vektor bu yo'naltirilgan chiziq." Bu, odatda, bitiruvchilar vektorlar haqida biladi. Ba'zi "yo'naltiruvchi chiziqlar" kimga kerak?

Ammo aslida, vektorlar nima va ular nima uchun?
Ob-havo bashorati. "Shimoliy-g'arbiy shamol, tezligi sekundiga 18 metr." Siz ham shamol yo'nalishini (qaerdan esayotganini) va uning tezligi modulini (ya'ni mutlaq qiymatini) tan olishingiz kerak.

Yo'nalishi bo'lmagan miqdorlar skalar deb nomlanadi. Massa, ish, elektr zaryadi hech qayerga yo'naltirilmagan. Ular faqat raqamli qiymat bilan tavsiflanadi - "qancha kilogramm" yoki "qancha jyul".

Nafaqat absolyut qiymatga, balki yo'nalishga ham ega bo'lgan fizik kattaliklar vektor deyiladi.

Tezlik, kuch, tezlanish - bu vektorlar. Ular uchun "qancha" muhim va "qaerda" muhim ahamiyatga ega. Masalan, tortishish tezlashishi Yer yuzi tomon yo'naltirilgan va uning kattaligi 9,8 m / s 2 ga teng. Impuls, elektr maydon kuchlanishi, magnit maydon induksiyasi ham vektor kattaliklaridir.

Esingizda bo'lsa, jismoniy miqdorlar lotin yoki yunoncha harflar bilan belgilanadi. Harf ustidagi o'q qiymat vektor ekanligini bildiradi:

Yana bir misol.
Avtomobil A dan B tomon harakatlanadi. Yakuniy natija uni A nuqtadan B nuqtaga, ya'ni vektor bilan siljitishga olib keladi .

Endi vektor nima uchun yo'naltirilgan chiziq ekanligi aniq bo'ldi. Vektorning oxiri o'q joylashgan joyda ekanligiga e'tibor bering. Vektor uzunligi bu segmentning uzunligi. Tomonidan ko'rsatilgan: yoki

Hozirgacha biz arifmetik va elementar algebra qoidalariga binoan skalar bilan ishladik. Vektorlar yangi tushuncha. Bu matematik ob'ektlarning boshqa sinfidir. Ularning o'z qoidalari bor.

Bir paytlar biz raqamlar haqida hech narsa bilmas edik. Ular bilan tanishish quyi sinflardan boshlandi. Raqamlarni bir-biri bilan taqqoslash, qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish mumkin. Birinchi raqam va nol raqam borligini bilib oldik.
Endi biz vektorlar bilan tanishdik.

Vektorlar uchun "ko'proq" va "kamroq" tushunchasi mavjud emas - axir ularning yo'nalishlari boshqacha bo'lishi mumkin. Faqat vektor uzunliklarini taqqoslash mumkin.

Ammo vektorlar uchun tenglik tushunchasi.
Teng vektorlar bir xil uzunlikka va bir xil yo'nalishga ega deyiladi. Bu shuni anglatadiki, vektorni o'ziga parallel ravishda tekislikning istalgan nuqtasiga o'tkazish mumkin.
Yagona uzunligi 1 ga teng bo'lgan vektor deyiladi. Nol - uzunligi nolga teng bo'lgan vektor, ya'ni uning boshlanishi oxiriga to'g'ri keladi.

To'rtburchaklar koordinatalar tizimida vektorlar bilan ishlash eng qulaydir - xuddi shu funktsiyalarning grafikalarini chizamiz. Koordinata tizimidagi har bir nuqta ikkita raqamga to'g'ri keladi - uning x va y koordinatalari, abstsissasi va ordinatasi.
Vektor shuningdek ikkita koordinatalar bilan belgilanadi:

Bu erda vektorning koordinatalari qavsda - x bo'ylab va y bo'ylab yozilgan.
Ular oddiygina topilgan: vektor oxirining koordinatasi minus boshidan koordinatasini olib tashlaganida.

Agar vektorning koordinatalari berilgan bo'lsa, uning uzunligi formula bo'yicha topiladi

Vektorli qo'shimcha

Vektorlarni qo'shishning ikkita usuli mavjud.

bitta. Parallelogramma qoidasi. Vektorlarni qo'shish uchun va ikkalasining kelib chiqishini bir nuqtaga qo'ying. Parallelogramma qurishni tugatamiz va shu nuqtadan parallelogramma diagonalini chizamiz. Bu va vektorlarning yig'indisi bo'ladi.

Oqqush, qisqichbaqa va cho'chqa haqidagi ertakni eslaysizmi? Ular juda ko'p harakat qilishdi, lekin ular aravani qimirlatishmadi. Axir, ular tomonidan aravaga qo'llaniladigan kuchlarning vektor yig'indisi nolga teng edi.

2018-04-02 121 2. Vektorlarni qo'shishning ikkinchi usuli - uchburchak qoidasi. Xuddi shu vektorlarni olaylik va. Ikkinchisining boshini birinchi vektorning oxiriga ulang. Endi birinchisining boshi va ikkinchisining oxirini bog'laymiz. Bu va vektorlarning yig'indisi.

Xuddi shu qoidaga muvofiq bir nechta vektorlarni qo'shish mumkin. Biz ularni birma-bir biriktiramiz, so'ngra birinchisining boshini oxirgisi bilan bog'laymiz.

Tasavvur qiling, A nuqtadan B nuqtaga, B dan C ga, C dan D ga, keyin E ga va F gacha yurish. Ushbu harakatlarning yakuniy natijasi A dan F ga o'tishdir.

Vektorlarni qo'shganda biz quyidagilarni olamiz:

Vektorlarni olib tashlash

Vektor vektorga qarama-qarshi yo'naltirilgan. Va vektorlarining uzunligi tengdir.

Endi vektor ayirboshlash nima ekanligi aniq. Vektorlarning farqi va bu vektor va vektorning yig'indisi.

Vektorni songa ko'paytirish

Vektorni k songa ko'paytirganda, uzunligi uning uzunligidan k marta farq qiladigan vektor olinadi. Agar k noldan katta bo'lsa, u vektor bilan birgalikda yo'naltiriladi va k noldan kam bo'lsa, aksincha yo'naltiriladi.

Vektorlarning nuqta ko'paytmasi

Vektorlarni nafaqat sonlar bilan, balki bir-birlari bilan ham ko'paytirish mumkin.

Vektorlarning skalar koeffitsienti - bu vektorlar uzunliklarining ular orasidagi burchak kosinusi bilan ko'paytmasi.

E'tibor bering - biz ikkita vektorni ko'paytirdik va biz skalerni, ya'ni raqamni oldik. Masalan, fizikada mexanik ish ikki vektorning nuqta hosilasiga teng - kuch va siljish:

Agar vektorlar perpendikulyar bo'lsa, ularning nuqta ko'paytmasi nolga teng.
Va shunday qilib nuqta hosilasi vektorlarning koordinatalari orqali ifodalanadi va:

Nuqta hosilasi formulasidan vektorlar orasidagi burchakni topishingiz mumkin:

Ushbu formula, ayniqsa, qattiq geometriyada foydalidir. Masalan, matematikadan USEE profilining 14-topshirig'ida siz kesishgan to'g'ri chiziqlar orasidagi yoki to'g'ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni topishingiz kerak. 14-masala ko'pincha klassikdan bir necha baravar tezroq hal qilinadi.

Matematika bo'yicha maktab o'quv dasturida faqat vektorlarning nuqta hosilasi o'rganiladi.
Ma'lum bo'lishicha, skalyarga qo'shimcha ravishda ikkita vektorni ko'paytirish natijasida vektor olinadigan o'zaro faoliyat mahsulot ham mavjud. Fizika fanidan imtihon topshirganlar Lorents kuchi va Amper kuchi nima ekanligini bilishadi. Ushbu kuchlarni topish formulalariga aynan vektorli mahsulotlar kiradi.

Vektorlar juda foydali matematik vosita. Buni birinchi yilda ko'rasiz.

Ta'rif 1.Kosmosdagi vektoryo'naltirilgan segment deb ataladi.

Shunday qilib, vektorlar, skalarlardan farqli o'laroq, ikkita xususiyatga ega: uzunlik va yo'nalish. Biz vektorlarni belgilar bilan belgilaymiz yoki a .

(Bu yerda Ava IN- ushbu vektorning boshi va oxiri (1-rasm)) a IN

Vektor uzunligi modul belgisi bilan ko'rsatilgan: .Ashakl.1

Ularning orasidagi tenglik munosabati bilan aniqlangan uch turdagi vektorlar mavjud:

Ankrajli vektorlarularning boshlari va uchlari mos ravishda mos keladigan bo'lsa, teng deb nomlanadi. Bunday vektorning misoli kuch vektori.

Surma vektorlariagar ular bir xil to'g'ri chiziqda joylashgan bo'lsa, uzunligi va yo'nalishlari bir xil bo'lsa, teng deb nomlanadi. Bunday vektorlarga misol sifatida tezlik vektori keltirilgan.

Erkin yoki geometrik vektorlaragar ular parallel uzatish yordamida tekislanishi mumkin bo'lsa, teng deb hisoblanadi.

Analitik geometriya kursi o'z ichiga oladi faqatbepul vektorlar.

Ta'rif 2.Uzunligi nolga teng bo'lgan vektor deyiladi nolvektor, yoki nol -

vektor.

Shubhasiz, nol vektorining boshi va oxiri bir xil. Nol vektor aniq yo'nalishga ega emas yoki ega emas har qandayyo'nalish.

Ta'rif 3.Bitta to'g'ri chiziq yoki parallel chiziqlar ustida yotgan ikkita vektor deyiladi

kollinear(2-rasm). Anglatadi:
.a

Ta'rif 4.Ikkita kollinear va bir xil yo'naltirilgan vektorlar deyiladi

birgalikda yo'naltirilgan.Anglatadi:
.

Endi biz erkin vektorlar tengligining qat'iy ta'rifini bera olamiz:

Ta'rif 5.Ikki erkin vektor, agar ular kodeksion bo'lsa va teng bo'lsa, teng deb nomlanadi

bir xil uzunlik.

Ta'rif 6.Bir yoki parallel tekislikda yotgan uchta vektor deyiladi

qo'shma plan.

Ikki perpendikulyar vektor deyiladi o'zaro ortogonal:
.

Ta'rif 7.Birlik uzunligining vektori deyiladi birlik vektoriyoki ortom.

Orth nolga teng bo'lmagan vektorga yo'naltirilgan a deb nomlangan birlik vektoria :e a .

§2.Vektorlar bo'yicha chiziqli amallar.

Vektorlar to'plamida chiziqli amallar aniqlanadi: vektorlarni qo'shish va vektorni songa ko'paytirish.

I. Vektorlarning qo'shilishi.

2 vektorlarning yig'indisi vektor bo'lib, uning boshlanishi birinchisining boshiga to'g'ri keladi va ikkinchisining boshi birinchi oxiriga to'g'ri kelishi sharti bilan, ikkinchisi oxiriga to'g'ri keladi.

L belgilangan ikkita vektorning yig'indisini ko'rish oson

shunday qilib (3a-rasm), vektorlarning yig'indisiga to'g'ri keladi,

parallelogram qoidasiga binoan qurilgan (6-rasm). b

Biroq, ushbu qoida sizni qurishga imkon beradi a

har qanday sonli vektorlarning yig'indisi (3b-rasm).

a + b

b a + b + v

shakl.3b v

Vektorlar kosmosdagi vektor bu yo'naltirilgan segment, ya'ni. uning boshi va oxiri ko'rsatilgan segment. Vektorning uzunligi yoki moduli tegishli segmentning uzunligidir. Vektorlarning uzunligi mos ravishda belgilanadi. Ikkala vektorning uzunligi va yo'nalishi bir xil bo'lsa, ularga teng deyiladi. Boshi A nuqtada, oxiri B nuqtada bo'lgan vektor belgilanadi va boshi A nuqtada boshi bilan B nuqtasida ox bilan belgilanadi va tasvirlanadi, shuningdek boshi oxiriga to'g'ri keladigan nol vektorlar ham hisobga olinadi. Barcha nol vektorlar bir-biriga teng deb hisoblanadi. Ular belgilanadi va ularning uzunligi nolga teng deb hisoblanadi.

Vektorlarni qo'shish Vektorlar uchun qo'shilish amallari aniqlanadi. Ikkala vektorni qo'shish uchun va uning boshi vektorning oxiriga to'g'ri keladigan tarzda vektor ajratiladi. Boshlanishi vektor boshiga to'g'ri keladigan, oxiri vektorning oxiriga to'g'ri keladigan vektor vektorlarning yig'indisi deb nomlanadi va belgilanadi.

Vektorni songa ko'paytirish Vektorning soniga ko'paytmasi t bilan belgilanadi. Ta'rifga ko'ra, vektorning -1 raqami bilan ko'paytmasi qarama-qarshi vektor deb ataladi va ta'rifi bilan belgilanadi, vektor vektorga qarama-qarshi yo'nalishga ega va vektorning t raqami bilan ko'paytmasi uzunligi teng bo'lgan vektor. , va t\u003e 0 bo'lsa yo'nalish bir xil bo'lib qoladi, agar t 0 bo'lsa teskari tomonga o'zgaradi va t bo'lsa, teskari yo'naltiriladi

Xususiyatlar Vektorlarning farqi vektor bo'lib, u bilan belgilanadi Vektorni songa ko'paytirish uchun sonlarni ko'paytirish xususiyatlariga o'xshash xususiyatlar amal qiladi, ya'ni: Xususiyat 1. (kombinatsiya qonuni). Xususiyat 2. (birinchi tarqatish qonuni). Xususiyat 3. (ikkinchi taqsimot qonuni).

Ta'rif

Skalar miqdori - raqam bilan tavsiflanishi mumkin bo'lgan miqdor. Masalan, uzunlik, maydon, massa, harorat va boshqalar.

Vektor $ \\ overline (A B) $ yo'naltirilgan segment deyiladi; nuqta $ A $ bosh, $ B $ nuqta - vektorning oxiri (1-rasm).

Vektor ikki bosh harf bilan belgilanadi - uning boshi va oxiri: $ \\ overline (A B) $ yoki bitta kichik harf: $ \\ overline (a) $.

Ta'rif

Agar vektorning boshi va oxiri bir-biriga to'g'ri keladigan bo'lsa, unda bunday vektor deyiladi nol... Ko'pincha, bo'sh vektor $ \\ overline (0) $ deb belgilanadi.

Vektorlar deyiladi kollinearagar ular bitta to'g'ri chiziqda yoki parallel chiziqlarda yotsa (2-rasm).

Ta'rif

$ \\ Overline (a) $ va $ \\ overline (b) $ ikki qatorli vektorlar deyiladi hammualliflikdaAgar ularning yo'nalishlari mos keladigan bo'lsa: $ \\ overline (a) \\ uparrow \\ uparrow \\ overline (b) $ (3-rasm, a). $ \\ Overline (a) $ va $ \\ overline (b) $ ikki qatorli vektorlar deyiladi qarama-qarshi yo'naltirilganAgar ularning yo'nalishlari qarama-qarshi bo'lsa: $ \\ overline (a) \\ uparrow \\ downarrow \\ overline (b) $ (3-rasm, b).

Ta'rif

Vektorlar deyiladi qo'shma planagar ular bir tekislikka parallel bo'lsa yoki bir tekislikda yotsa (4-rasm).

Ikkala vektor har doim bir xil bo'ladi.

Ta'rif

Uzunlik (modul) $ A $ $ overline (A B) $ - bu uning boshi va oxiri orasidagi masofa: $ | \\ overline (A B) | $

Malumot bo'yicha vektor uzunligi haqida batafsil nazariya.

Nol vektorining uzunligi nolga teng.

Ta'rif

Uzunligi biriga teng bo'lgan vektor deyiladi birlik vektori yoki orhom.

Vektorlar deyiladi tengagar ular bitta yoki parallel chiziqlarda yotsa; ularning yo'nalishlari bir-biriga to'g'ri keladi va ularning uzunligi tengdir.