Kasrlar qanday sanaladi. Kasrlar bilan misollarni qanday echish mumkin. Bir xil maxrajga ega kasrlar ayirmasini qanday topish mumkin
O'quvchilar kasrlar bilan 5-sinfda tanishadilar. Ilgari, kasrlar bilan harakatlarni qanday qilishni biladigan odamlar juda aqlli deb hisoblanardi. Birinchi fraktsiya 1/2 edi, ya'ni yarim, keyin 1/3 paydo bo'ldi va hokazo. Bir necha asrlar davomida misollar juda murakkab deb hisoblangan. Endi kasrlarni konvertatsiya qilish, qo'shish, ko'paytirish va boshqa harakatlarning batafsil qoidalari ishlab chiqildi. Materialni ozgina tushunish kifoya, va echim oson bo'ladi.
Oddiy kasr deb ataladigan oddiy kasr ikki sonning bo'linishi sifatida yoziladi: m va n.
M - dividend, ya'ni kasrning numeratori, n bo'luvchi esa maxraj deyiladi.
To'g'ri kasrlarni ajrating (m< n) а также неправильные (m > n).
Muntazam kasr birdan kam (masalan, 5/6 - bu 5 qism bitta qismdan olingan degan ma'noni anglatadi; 2/8 - 2 qism bitta qismdan olingan). Noqonuniy fraktsiya 1 ga teng yoki undan katta (8/7 - 1 7/7 va yana bitta qism ortiqcha sifatida qabul qilinadi).
Demak, birlik - bu raqamlovchi va maxrajning mos tushishi (3/3, 12/12, 100/100 va boshqalar).
6-darajali oddiy kasrlar bilan harakatlar
Oddiy kasrlar yordamida siz quyidagilarni qilishingiz mumkin:
- Kasrni kengaytirish. Agar siz kasrning yuqori va pastki qismlarini bir xil songa ko'paytirsangiz (lekin nolga teng emas), unda kasr qiymati o'zgarmaydi (3/5 \u003d 6/10 (shunchaki 2 ga ko'paytiriladi).
- Fraktsiyalarni kamaytirish kengayishga o'xshaydi, ammo bu erda u ba'zi sonlarga bo'linadi.
- Taqqoslang. Agar ikkita kasr bir xil raqamlagichga ega bo'lsa, unda kattaroq kasr pastki bo'lakka ega bo'lgan kasr bo'ladi. Agar maxrajlar bir xil bo'lsa, unda eng katta numeratorga ega bo'lgan kasr katta bo'ladi.
- Qo'shish va ayirishni bajaring. Xuddi shu maxrajlar bilan buni qilish oson (biz yuqori qismlarni umumlashtiramiz, pastki esa o'zgarmaydi). Boshqasi uchun siz umumiy maxrajni va qo'shimcha omillarni topishingiz kerak bo'ladi.
- Kasrlarni ko'paytiring va bo'ling.
Quyida kasrlar bilan harakatlarning misollarini ko'rib chiqamiz.
6-darajali qisqartirilgan kasrlar
Qisqartirish kasrning yuqori va pastki qismlarini bir xil sonning istalgan qismiga bo'lish degan ma'noni anglatadi.
Rasmda qisqartirishning oddiy misollari keltirilgan. Birinchi variantda siz zudlik bilan numerator va maxrajning 2 ga bo'linishini taxmin qilishingiz mumkin.
Qaydda! Agar raqam juft bo'lsa, u holda u har qanday tarzda 2 ga bo'linadi. Juft sonlar 2, 4, 6 ... 32 ga teng 8 (juft bilan tugaydi) va boshqalar.
Ikkinchi holda, 6 ni 18 ga bo'linishda, darhol raqamlar 2 ga bo'linishi aniq bo'lib, bo'linib, biz 3/9 ni olamiz. Ushbu kasr 3 ga bo'linadi. Keyin javob 1/3 ga teng. Agar ikkala omilni ko'paytirsangiz: 2 dan 3 gacha, demak siz 6 ga ega bo'lasiz. Ushbu bosqichma-bosqich bo'linish deyiladi fraksiyalarning umumiy omillar bilan ketma-ket kamayishi.
Kimdir darhol 6 ga bo'linadi, kimdir qismlarga bo'linishga muhtoj bo'ladi. Asosiy narsa shundaki, oxirida biron bir tarzda kamaytirilmaydigan kasr mavjud.
E'tibor bering, agar raqam 3 ga bo'linadigan sonni qo'shib raqamlardan iborat bo'lsa, asl nusxani 3 ga kamaytirish mumkin. Masalan: 341 raqami. Raqamlarni qo'shing: 3 + 4 + 1 \u003d 8 (8 ga bo'linmaydi 3, shuning uchun 341 raqamini qoldiqsiz 3 ga kamaytirish mumkin emas). Boshqa misol: 264. Qo'shish: 2 + 6 + 4 \u003d 12 (3 ga bo'linadi). Biz olamiz: 264: 3 \u003d 88. Bu katta sonlarning kamayishini soddalashtiradi.
Fraktsiyalarni umumiy omillar bo'yicha ketma-ket kamaytirish usulidan tashqari, boshqa usullar ham mavjud.
GCD raqam uchun eng katta bo'luvchi hisoblanadi. Nominal va raqamlar uchun GCD-ni topib, darhol kerakli sonni kasrni kamaytirishingiz mumkin. Qidiruv har bir sonni bosqichma-bosqich ajratish orqali amalga oshiriladi. Keyinchalik, ular qaysi bo'linuvchilarning mos kelishini ko'rib chiqadilar, agar ularning bir nechtasi bo'lsa (quyidagi rasmda bo'lgani kabi), siz ko'paytirishingiz kerak.
Aralash fraksiyalar 6-daraja
Barcha tartibsiz kasrlarni ulardagi butun qismni tanlab aralash qismlarga aylantirish mumkin. Butun raqam chap tomonga yozilgan.
Ko'pincha noto'g'ri kasrdan aralash raqam yasashga to'g'ri keladi. Quyidagi misolda o'zgarish jarayoni: 22/4 \u003d 22 4 ga bo'linib, 5 ta butun sonni olamiz (5 * 4 \u003d 20). 22 - 20 \u003d 2. Biz 5 ta butun sonni va 2/4 ni olamiz (maxraj o'zgarmaydi). Fraktsiyani bekor qilish mumkinligi sababli, yuqoridan va pastdan 2 ga bo'linamiz.
Aralashtirilgan sonni noto'g'ri kasrga aylantirish oson (bu kasrlarni bo'lish va ko'paytirishda zarur). Buning uchun: butun sonni kasrning pastki qismiga ko'paytiring va bunga numeratorni qo'shing. Bajarildi Mahraj o'zgarmaydi.
6-darajali kasrlar bilan hisoblash
Aralash raqamlarni qo'shish mumkin. Agar maxrajlar bir xil bo'lsa, unda buni qilish oson: butun qismlar va raqamlarni qo'shsangiz, maxraj joyida qoladi.
Har xil maxrajli raqamlarni qo'shganda, jarayon yanada murakkablashadi. Birinchidan, biz raqamlarni bitta eng kichik qismga (NOZ) keltiramiz.
Quyidagi misolda 9 va 6 raqamlari uchun maxraj 18 ga teng. Shundan so'ng qo'shimcha omillar zarur. Ularni topish uchun 18 ni 9 ga bo'lish kerak, shuning uchun qo'shimcha raqam topiladi - 2. 8/18 kasrni olish uchun uni 4-son bilan ko'paytiramiz). Xuddi shu narsa ikkinchi kasr bilan ham amalga oshiriladi. Biz allaqachon ayirilgan kasrlarni qo'shmoqdamiz (tamsayılar va raqamlar alohida, biz maxrajni o'zgartirmaymiz). Misolda, javobni to'g'ri kasrga aylantirish kerak edi (dastlab, raqam ajratuvchidan kattaroq edi).
Iltimos, fraktsiyalarning farqi uchun protsedura bir xil ekanligini unutmang.
Kasrlarni ko'paytirishda ikkalasini ham bitta chiziq ostida joylashtirish muhimdir. Agar raqam aralashgan bo'lsa, unda biz uni oddiy kasrga aylantiramiz. Keyinchalik, yuqoridan va pastdan ko'paytiramiz va javobni yozamiz. Agar siz fraktsiyalarni bekor qilishni ko'rsangiz, ularni darhol kamaytirishimiz mumkin.
Yuqoridagi misolda biz hech narsani kesmasligimiz kerak edi, shunchaki javobni yozib, to'liq qismini tanladik.
Ushbu misolda bitta satr ostidagi raqamlarni qisqartirishim kerak edi. Garchi siz tayyor javobni qisqartirishingiz mumkin.
Bo'linish uchun algoritm deyarli bir xil. Birinchidan, biz aralash fraktsiyani tartibsiz qismga aylantiramiz, keyin bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirib, raqamlarni bitta satr ostiga yozamiz. Ikkinchi kasrning yuqori va pastki qismlarini almashtirishni unutmang (bu kasrlarni bo'lish qoidasi).
Agar kerak bo'lsa, biz raqamlarni kamaytiramiz (quyida keltirilgan misolda biz ularni besh va ikkitaga kamaytirdik). Biz butun qismini tanlab tartibsiz fraktsiyani o'zgartiramiz.
6-darajali kasrlar uchun asosiy masalalar
Videoda yana bir nechta vazifalar ko'rsatilgan. Aniqlik uchun kasrlarni tasavvur qilishga yordam beradigan echimlarning grafik tasvirlari ishlatilgan.
6-darajali kasrni tushuntirishlar bilan ko'paytirishga misollar
Ko'paytirish kasrlari bitta satr ostida yoziladi. Shundan so'ng, ular bir xil sonlarga bo'linish yo'li bilan kamayadi (masalan, maxrajda 15, numeratorda 5 ni beshga bo'lish mumkin).
6-darajali kasrlarni taqqoslash
Kasrlarni taqqoslash uchun siz ikkita oddiy qoidani eslab qolishingiz kerak.
Qoida 1. Agar maxrajlar boshqacha bo'lsa
Qoida 2. Nomzodlar bir xil bo'lganda
Masalan, 7/12 va 2/3 kasrlarini taqqoslaylik.
- Biz maxrajlarni ko'rib chiqamiz, ular bir-biriga to'g'ri kelmaydi. Shunday qilib, siz umumiy narsani topishingiz kerak.
- Kasrlar uchun umumiy maxraj 12 ga teng.
- Avval 12 ni birinchi kasrning pastki qismiga ajratamiz: 12: 12 \u003d 1 (bu 1-kasr uchun qo'shimcha omil).
- Endi biz 12 ni 3 ga ajratamiz, biz 4 ni olamiz - qo'shing. 2-chi kasrning multiplikatori.
- Olingan sonlarni raqamlarni ko'paytiramiz, kasrlarni aylantiramiz: 1 x 7 \u003d 7 (birinchi kasr: 7/12); 4 x 2 \u003d 8 (ikkinchi kasr: 8/12).
- Endi biz taqqoslashimiz mumkin: 7/12 va 8/12. Bo'ldi: 7/12< 8/12.
Fraktsiyalarni yaxshiroq aks ettirish uchun siz aniqlik uchun rasmlardan foydalanishingiz mumkin, bu erda ob'ekt qismlarga bo'linadi (masalan, pirojnoe). Agar siz 4/7 va 2/3 ni taqqoslamoqchi bo'lsangiz, unda birinchi holda, pirojnoe 7 qismga bo'linadi va ulardan 4 tasi tanlanadi. Ikkinchisida ular uni 3 qismga bo'lishadi va 2-qismini olishadi. Yalang'och ko'zga 2/3 qismi 4/7 dan ko'p bo'lishi aniq bo'ladi.
O'qitish uchun 6-darajali kasrlar bilan misollar
Jismoniy mashqlar sifatida siz quyidagi vazifalarni bajarishingiz mumkin.
- Kasrlarni taqqoslang
- ko'paytirishni amalga oshirish
Maslahat: agar kasrlar uchun eng past umumiy maxrajni topish qiyin bo'lsa (ayniqsa, ularning qiymatlari kichik bo'lsa), unda birinchi va ikkinchi kasrlarning maxrajini ko'paytirish mumkin. Misol: 2/8 va 5/9. Ularning maxrajini topish juda oson: 8 ni 9 ga ko'paytirsak, biz 72 ga egamiz.
6-darajali kasrlar bilan tenglamalarni echish
Tenglamalarni echishda kasrlar bilan amallarni eslash kerak: ko'paytirish, bo'lish, ayirish va qo'shish. Agar omillardan biri noma'lum bo'lsa, unda mahsulot (jami) ma'lum omilga bo'linadi, ya'ni fraktsiyalar ko'paytiriladi (ikkinchisi aylantiriladi).
Agar dividend noma'lum bo'lsa, unda bo'linuvchi bo'luvchiga ko'paytiriladi va bo'linuvchini topish uchun dividendni kvantga bo'lish kerak.
Tenglamalarni echishning oddiy misollarini keltiramiz:
Bu erda faqat fraktsiyalarning farqini umumiy maxrajga olib kelmasdan ishlab chiqarish talab qilinadi.
Javob noto'g'ri kasr sifatida chiqdi. Uni 1 butun songa va 3/5 ga aylantirish mumkin.
Ikkinchi usulda ayirmachani aylantirib emas, balki sonni bekor qilish uchun raqam va maxraj 4 ga ko'paytirildi.
Ko'rsatmalar
O'rta maktabda boshlanadigan oddiy va o'nlik kasrlarni ajratish odatiy holdir. Hozirda buni qo'llamaydigan biron bir mutaxassislik sohasi yo'q. Hatto biz birinchi 17 asrni aytmoqdamiz va bu birdaniga 1600-1625 yillarni anglatadi. Shuningdek, ko'pincha kasrlar bo'yicha elementar operatsiyalar, shuningdek ularni bir turdan boshqasiga o'tkazish bilan shug'ullanishingiz kerak.
Fraktsiyalarni umumiy maxrajga keltirish, ehtimol umumiy kasrlarga nisbatan eng muhim harakatdir. Bu mutlaqo barcha hisob-kitoblar uchun asosdir. Shunday qilib, aytaylik, a / b va c / d ikkita fraktsiya mavjud. Keyin ularni umumiy maxrajga keltirish uchun siz b va d sonlarning eng kichik umumiy ko'paytmasini (M) topishingiz kerak, so'ngra birinchi kasr sonini (M / b) ga ko'paytiring va ikkinchisi (M / d).
Fraktsiyalarni taqqoslash yana bir muhim vazifadir. Buning uchun berilgan sodda kasrlarni umumiy ayirmachiga keltiring va keyin numeratori kattaroq bo'lgan sonlarni, shu kasrni va boshqalarni taqqoslang.
Oddiy kasrlarni qo'shish yoki ayirishni amalga oshirish uchun ularni umumiy maxrajga etkazish kerak, so'ngra ushbu kasrlar sonlari bilan kerakli matematik amalni bajarish kerak. Belgilangan qism o'zgarishsiz qoladi. Aytaylik, a / b dan c / d ni olib tashlash kerak. Buning uchun siz b va d sonlarning eng kichik umumiy M ko'pligini topishingiz kerak, so'ngra ajratuvchini o'zgartirmasdan bitta numeratordan boshqasini chiqaring: (a * (M / b) - (c * (M / d) ) / M
Faqat bitta kasrni boshqasiga ko'paytirish kifoya, buning uchun ularning raqamlarini va maxrajlarini ko'paytirish kerak:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) Bitta kasrni boshqasiga bo'lish uchun dividendning qismini bo'linuvchining teskari tomoniga ko'paytirish kerak. (a / b) / (c / d) \u003d (a * d) / (b * c)
Eslatib o'tamiz, o'zaro kasrni olish uchun raqam va maxrajni qaytarish kerak.
Bilan 2 fraksiya qo'shish uchun bir xil maxrajlar, ularning raqamlarini va maxrajlarini qo'shish kerako'zgarishsiz qoldiring.Fraktsiyalarni qo'shish, misollar:
Oddiy kasrlarni qo'shish va bir xil maxrajga ega qismlarni ayirishning umumiy formulasi:
Eslatma! Javobni yozish orqali olingan qismni kamaytirishingiz mumkinligini tekshiring.
Har xil maxrajli kasrlarni qo'shish.
Har xil maxrajli kasrlarni qo'shish qoidalari:
- fraktsiyalarni eng past umumiy maxrajga (LCN) kamaytiring. Buning uchun biz eng kichigini topamiz maxrajlarning umumiy ko'pligi (LCM);
- kasrlar sonlarini qo‘shib, ayirmachilarni o‘zgarmasdan qoldiring;
- biz olgan qismni kamaytiramiz;
- agar siz noto'g'ri kasrni olsangiz, noto'g'ri kasrni aralash kasrga aylantiring.
Misollari qo'shimchalar turli xil maxrajli kasrlar:
Aralash sonlarning qo'shilishi (aralash kasrlar).
Aralash fraksiyalarni qo'shish qoidalari:
- biz ushbu sonlarning kasr qismlarini eng past umumiy maxrajga (LCN) keltiramiz;
- butun qismlarni va alohida qismlarni alohida-alohida qo'shing, natijalarni qo'shing;
- agar kasr qismlarini qo'shganda, biz noto'g'ri kasrni olgan bo'lsak, bundan butun qismini tanlang fraksiyon va hosil bo'lgan qismga qo'shing;
- natijada olingan fraktsiyani kamaytiramiz.
Misol qo'shimchalar aralash fraksiya:
O'nli kasrlarni qo'shish.
O'nli kasrlarni qo'shganda, jarayon "ustun" ga yoziladi (odatdagidek ustunni ko'paytirish),shu bilan bir xil nomdagi chiqindilar siljishsiz bir-birining ostidadir. Vergul kerakbiz bir-birimiz ostida aniq hizalanamiz.
O'nli kasrlarni qo'shish qoidalari:
1. Agar kerak bo'lsa, o'nli kasrlar sonini tenglashtiring. Buning uchun nollarni qo'shingkerakli kasr.
2. Biz vergullar bir-birining ostiga tushishi uchun kasrlarni yozamiz.
3. Vergulga ahamiyat bermay kasrlarni qo'shing.
4. Biz qo'shilgan kasrlarni, vergul ostidagi yig'indiga vergul qo'yamiz.
Eslatma! Agar o'nlik kasrlari kasrdan keyin boshqa raqamlarga ega bo'lsa,keyin biz o'nlik kasrlari kamroq bo'lgan kasrga kerakli sonlarni belgilaymiz, in tenglamasi uchunkasrlar - o‘nli kasrlar soni.
Keling, tushunaylik misol... O'nli kasrlarning yig'indisini toping:
0,678 + 13,7 =
O'nli kasrlardagi o'nli kasrlar sonini tenglashtiring. O'nli kasrga o'ngga 2 nolni qo'shingkasrlar 13,7 .
0,678 + 13,700 =
Biz yozamiz javob:
0,678 + 13,7 = 14,378
Agar o'nli kasrlarni qo'shish siz uni etarlicha yaxshi o'zlashtirdingiz, keyin yo'qolgan nollarni qo'shish mumkinongda.
Ushbu maqola algebraik kasrlar bilan harakatlarni o'rganishni boshlaydi: biz algebraik fraktsiyalarni qo'shish va ayirish kabi harakatlarni batafsil ko'rib chiqamiz. Ham algebraik kasrlarni bir xil maxrajda, ham boshqasida qo'shish va ayirish sxemasini tahlil qilaylik. Polinom bilan algebraik kasrni qanday qo'shishni va ularni ayirishni o'rganamiz. Muammolarga echim izlashning har bir bosqichini aniq misollar bilan tushuntirib beramiz.
Xuddi shu ayirmachilar bilan qo'shish va ayirish amallari
Oddiy kasrlarni qo'shish sxemasi algebraik qismlarga ham tegishli. Bilamizki, bir xil maxrajga ega oddiy kasrlarni qo'shganda yoki chiqarganda, ularning raqamlarini qo'shishingiz yoki chiqarishingiz kerak, va maxraj asl nusxada qoladi.
Masalan: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 va 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.
Shunga ko'ra, bir xil maxrajlarga ega bo'lgan algebraik fraktsiyalarni qo'shish va ayirish qoidasi shunga o'xshash tarzda yozilgan:
Ta'rif 1
Xuddi shu maxrajga ega bo'lgan algebraik kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun dastlabki kasrlar sonini mos ravishda qo'shish yoki ayirish va maxrajni o'zgarmagan holda yozish kerak.
Ushbu qoida, algebraik fraktsiyalarni qo'shish yoki olib tashlash natijasi yangi algebraik fraktsiya degan xulosaga kelishimizga imkon beradi (ma'lum bir holatda: polinom, monomial yoki son).
Keling, tuzilgan qoidani qo'llashga misol keltiraylik.
1-misol
Algebraik kasrlar berilgan: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 va 3 - x y x 2 y - 2. Ularni qo'shish kerak.
Qaror
Asl kasrlar bir xil maxrajlarni o'z ichiga oladi. Qoidaga ko'ra, keltirilgan kasrlarning raqamlarini qo'shib, maxrajni o'zgarishsiz qoldiramiz.
Dastlabki kasrlarning raqamlari bo'lgan polinomlarni qo'shib quyidagilarni olamiz: x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y \u003d x 2 + (2 x y - x y) - 5 + 3 \u003d x 2 + x y - 2.
Keyin kerakli summa quyidagicha yoziladi: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.
Amalda, ko'p hollarda bo'lgani kabi, yechim tenglik zanjiri bilan berilgan bo'lib, hal qilishning barcha bosqichlarini aniq ko'rsatib beradi:
x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2
Javob: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2.
Qo'shish yoki olib tashlash natijasi bekor qilinishi mumkin bo'lgan kasr bo'lishi mumkin, bu holda uni kamaytirish maqbuldir.
2-misol
X x 2 - 4 · y 2 algebraik kasridan 2 · y x 2 - 4 · y 2 kasrni olib tashlash kerak.
Qaror
Dastlabki kasrlarning maxrajlari teng. Biz numeratorlar bilan amallarni bajaramiz, ya'ni: birinchi kasr sonidan soniya sonini olib tashlaymiz va natijada maxrajni o'zgarishsiz qoldirib, natijani yozamiz:
x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 y x 2 - 4 y 2
Olingan fraktsiya bekor qilinadigan qism ekanligini ko'ramiz. Kvadratlar farqi formulasidan foydalanib maxrajni o'zgartirib, uni kamaytiramiz:
x - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) \u003d 1 x + 2 y
Javob: x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d 1 x + 2 y.
Xuddi shu printsipga ko'ra, uchta yoki undan ortiq algebraik fraktsiyalar bir xil maxrajlar bilan qo'shiladi yoki chiqariladi. Masalan:
1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 \u003d 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1
Turli xil maxrajlar uchun qo'shish va ayirish amallari
Yana oddiy kasrlar bilan amal qilish sxemasiga to'xtalamiz: har xil maxrajli oddiy kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun ularni umumiy maxrajga etkazish kerak, so'ngra hosil bo'layotgan kasrlarni bir xil maxrajlarga qo'shish kerak.
Masalan, 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 15 yoki 1 2 - 3 7 \u003d 7 14 - 6 14 \u003d 1 14.
Xuddi shunday, biz algebraik fraktsiyalarni har xil maxrajli qo'shish va ayirish qoidasini tuzamiz:
Ta'rif 2
Turli xil maxrajlarga ega bo'lgan algebraik fraktsiyalarni qo'shish yoki olib tashlashni amalga oshirish uchun quyidagilar kerak:
- asl kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirish;
- hosil bo'ladigan kasrlarni bir xil maxrajlarga qo'shish yoki ayirishni bajaring.
Shubhasiz, bu erda asosiy narsa algebraik qismlarni umumiy maxrajga etkazish mahorati bo'ladi. Keling, batafsilroq ko'rib chiqaylik.
Algebraik kasrlarning umumiy maxraji
Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish uchun berilgan kasrlarni bir xil aylantirishni amalga oshirish kerak, natijada dastlabki kasrlarning maxrajlari bir xil bo'ladi. Bu erda algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish uchun quyidagi algoritmga muvofiq harakat qilish maqbuldir:
- avval biz algebraik kasrlarning umumiy maxrajini aniqlaymiz;
- u holda biz umumiy kasrni dastlabki kasrlarni ajratuvchilariga bo'lish orqali har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni topamiz;
- oxirgi harakat berilgan algebraik kasrlarning raqamlari va maxrajlari mos keladigan qo'shimcha omillarga ko'paytiriladi.
Algebraik qismlar berilgan: a + 2 2 a 3 - 4 a 2, a + 3 3 a 2 - 6 a va a + 1 4 a 5 - 16 a 3. Ularni umumiy belgiga etkazish kerak.
Qaror
Biz yuqoridagi algoritmga muvofiq harakat qilamiz. Dastlabki kasrlarning umumiy belgisini aniqlang. Shu maqsadda biz berilgan kasrlarning maxrajlarini ajratamiz: 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 2 a 2 (a - 2), 3 a 2 - 6 a \u003d 3 a (a - 2) va 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 4 a 3 (a - 2) (a + 2)... Bu erda biz umumiy maxrajni yozishimiz mumkin: 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
Endi biz qo'shimcha omillarni topishimiz kerak. Algoritmga ko'ra topilgan umumiy maxrajni dastlabki kasrlarning maxrajlariga ajratamiz:
- birinchi kasr uchun: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (2 a 2 (a - 2)) \u003d 6 a (a + 2);
- ikkinchi kasr uchun: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (3 a (a - 2)) \u003d 4 a 2 (a + 2);
- uchinchi fraktsiya uchun: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (4 a 3 (a - 2) (a + 2)) \u003d 3 .
Keyingi qadam berilgan fraktsiyalarning sonlarini va maxrajlarini topilgan qo'shimcha omillarga ko'paytirishdan iborat:
a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d (a + 3) 4 a 2 (a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (A + 2) a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d (a + 1) 3 (4 a 5 - 16 a 3) ) 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2)
Javob: a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
Shunday qilib, biz asl kasrlarni umumiy maxrajga keltirdik. Agar kerak bo'lsa, natijani raqamlar va maxrajlar tarkibidagi polinomlar va monomiallarni ko'paytirish orqali algebraik kasrlar shakliga aylantirishingiz mumkin.
Quyidagi fikrga ham oydinlik kiritamiz: topilgan umumiy maxrajni sonli kasrni bekor qilish kerak bo'lsa, uni mahsulot shaklida qoldirish maqbuldir.
Dastlabki algebraik kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirish sxemasini batafsil ko'rib chiqdik, endi har xil maxrajli fraktsiyalarni qo'shish va ayirboshlash misollarini tahlil qilishni boshlashimiz mumkin.
4-misol
Algebraik qismlar berilgan: 1 - 2 x x 2 + x va 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Ularning qo'shilishi harakatini amalga oshirish kerak.
Qaror
Dastlabki kasrlar turli xil maxrajlarga ega, shuning uchun birinchi qadam ularni umumiy maxrajga keltirishdir. Xususiyatlarni omili: x 2 + x \u003d x (x + 1), va x 2 + 3 x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2),beri kvadrat trinomial ildizlar x 2 + 3 x + 2 bu raqamlar: - 1 va - 2. Umumiy maxrajni aniqlang: x (x + 1) (x + 2), keyin qo'shimcha omillar quyidagicha bo'ladi: x + 2va - xnavbati bilan birinchi va ikkinchi kasrlar uchun.
Shunday qilib: 1 - 2 xx 2 + x \u003d 1 - 2 xx (x + 1) \u003d (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) \u003d x + 2 - 2 x 2 - 4 xx (x + 1) x + 2 \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) va 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x + 5 (x +) 1) (x + 2) \u003d 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 X 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2)
Endi umumiy maxrajga keltirgan kasrlarni qo'shamiz:
2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 2 xx (x + 1) (x + 2)
Olingan fraktsiyani umumiy koeffitsient bilan kamaytirish mumkin x + 1:
2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2)
Va nihoyat, natijani algebraik fraktsiya shaklida yozamiz, maxrajdagi mahsulotni polinom bilan almashtiramiz:
2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Keling, echimning borishini qisqacha tenglik zanjiri sifatida yozamiz:
1 - 2 xx 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 1 - 2 xx (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 1 - 2 x (x + 2) xx + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 1 x (x +) 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Javob: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x 2 + 2 x
Ushbu tafsilotga e'tibor bering: agar algebraik fraktsiyalarni qo'shishdan yoki olib tashlashdan oldin, iloji bo'lsa, ularni soddalashtirish uchun ularni o'zgartiring.
5-misol
Kasrlarni ayirish kerak: 2 1 1 3 · x - 2 21 va 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.
Qaror
Keyingi echimni soddalashtirish uchun asl algebraik kasrlarni o'zgartiramiz. Qavslar tashqarisidagi maxrajdagi o'zgaruvchilarning raqamli koeffitsientlarini chiqaramiz:
2 1 1 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 1 14 va 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 3 x - 1 - 2 x - 1 14
Ushbu o'zgarish bizga aniq foyda keltirdi: biz umumiy omil mavjudligini aniq ko'rib turibmiz.
Keling, maxrajlardagi sonli koeffitsientlardan umuman xalos bo'laylik. Buning uchun biz algebraik kasrlarning asosiy xossasidan foydalanamiz: birinchi kasrning sonini va maxrajini 3 4 ga, ikkinchisini - 1 2 ga ko'paytiramiz, keyin quyidagilarni olamiz:
2 4 3 x - 1 14 \u003d 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 \u003d 3 2 x - 1 14 va 3 x - 1 - 2 x - 1 14 \u003d - 1 2 3 x - 1 - 1 2 - 2 x - 1 14 \u003d - 3 2 x + 1 2 x - 1 14.
Keling, kasr koeffitsientlaridan xalos bo'lishga imkon beradigan amalni bajaramiz: hosil bo'lgan kasrlarni 14 ga ko'paytiring:
3 2 x - 1 14 \u003d 14 3 2 14 x - 1 14 \u003d 21 14 x - 1 va - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 x + 7 14 x - 1.
Va nihoyat, biz muammoni hal qilishda kerakli amalni bajaramiz - ayirish:
2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 \u003d 21 - - 21 x + 7 14 X - 1 \u003d 21 x + 14 14 x - 1
Javob: 2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 x + 14 14 x - 1.
Algebraik kasr va polinomni qo'shish va ayirish
Ushbu harakat, shuningdek, algebraik kasrlarni qo'shish yoki ayirishga qisqartiriladi: asl polinomni 1 bo'linmasi bo'lgan kasr sifatida ko'rsatish kerak.
6-misol
Polinomni qo'shish kerak x 2 - 3 algebraik fraksiyasi bilan 3 x x + 2.
Qaror
Polinomni alomatlar 1: x 2 - 3 1 algebraik kasr sifatida yozamiz
Endi biz har xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni qo'shish uchun qoida bo'yicha qo'shishni amalga oshirishimiz mumkin:
x 2 - 3 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 1 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 X 2 - 3 x - 6 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 3 x - 6 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2
Javob: x 2 - 3 + 3 x x + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.
Agar siz matnda xatolikni ko'rsangiz, iltimos, uni tanlang va Ctrl + Enter tugmachalarini bosing
Kasrlar bilan bajarishingiz mumkin bo'lgan keyingi harakat - ayirish. Ushbu material doirasida biz bir xil va har xil maxrajlarga ega bo'lgan fraktsiyalarning farqini qanday to'g'ri hisoblashimiz, qanday qilib natural sondan va qanday aksincha, kasrni ayirishni ko'rib chiqamiz. Barcha misollar vazifalar bilan tasvirlangan bo'ladi. Keling, faqat fraktsiyalarning farqi ijobiy songa olib keladigan holatlarni tahlil qilamiz, deb aniqlik kiritamiz.
Bir xil maxrajga ega kasrlar ayirmasini qanday topish mumkin
Tasviriy misol bilan darhol boshlaylik: aytaylik, bizda sakkiz qismga bo'lingan olma bor. Plastinada beshta bo'lakni qoldirib, ikkitasini olaylik. Ushbu amalni shunday yozish mumkin:
Natijada, bizda 3 sakkiztasi qoldi, chunki 5 - 2 \u003d 3. 5 8 - 2 8 \u003d 3 8 ekan.
Ushbu oddiy misolda ayirmachalari bir xil bo'lgan kasrlar uchun ayirish qoidasi qanday ishlashini aniq ko'rdik. Keling, uni shakllantiraylik.
Ta'rif 1
Xuddi shu maxrajga ega kasrlar orasidagi farqni topish uchun ikkinchisining sonini bitta raqamidan chiqarib, maxrajni bir xilda qoldirish kerak. Ushbu qoidani b - c b \u003d a - c b shaklida yozish mumkin.
Kelajakda ushbu formuladan foydalanamiz.
Keling, aniq misollarni keltiraylik.
1-misol
Oddiy kasrni 17 15ni 24 15 qismdan ayirib tashlang.
Qaror
Ushbu kasrlar bir xil maxrajga ega ekanligini ko'ramiz. Shunday qilib, biz faqat 24ni 17 dan chiqarib tashlashimiz kerak. Biz 7 ni olamiz va unga maxrajni qo'shamiz, biz 7 15 ni olamiz.
Bizning hisob-kitoblarimizni quyidagicha yozish mumkin: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15
Agar kerak bo'lsa, hisoblashni osonlashtirish uchun murakkab qismni kamaytirishingiz yoki butun qismini noto'g'ri qismdan tanlashingiz mumkin.
2-misol
37 12 - 15 12 tafovutini toping.
Qaror
Yuqorida tavsiflangan formuladan foydalanamiz va hisoblaymiz: 37 12 - 15 12 \u003d 37 - 15 12 \u003d 22 12
Numerator va maxrajni 2 ga bo'lish mumkinligini anglash oson (biz bu haqda oldinroq bo'linish mezonlarini o'rganganimizda gaplashdik). Javobni kamaytirib, biz 11 6 ni olamiz. Bu noto'g'ri qism, biz butun qismini tanlaymiz: 11 6 \u003d 1 5 6.
Har xil maxrajli kasrlar ayirmasini qanday topish mumkin
Bunday matematik harakatni yuqorida aytib o'tganimizgacha kamaytirish mumkin. Buning uchun shunchaki kerakli kasrlarni bitta maxrajga keltiramiz. Keling, ta'rifni tuzaylik:
Ta'rif 2
Har xil maxrajga ega bo'lgan kasrlar orasidagi farqni topish uchun ularni bir xil maxrajga etkazish va sonlarning farqini topish kerak.
Keling, buning qanday amalga oshirilganligini ko'rib chiqaylik.
3-misol
2 9 dan 1 15ni olib tashlang.
Qaror
Nomzodlar har xil va ularni eng past umumiy qiymatga etkazish kerak. Bunday holda, LCM 45 ga teng. Birinchi fraktsiya uchun qo'shimcha 5 omil, ikkinchisiga qo'shimcha 3 talab qilinadi.
Hisoblaymiz: 2 9 \u003d 2 5 9 5 \u003d 10 45 1 15 \u003d 1 3 15 3 \u003d 3 45
Biz bir xil maxrajga ega ikkita kasrni oldik va endi ularning farqini ilgari tavsiflangan algoritm yordamida topishimiz mumkin: 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45
Eritmaning qisqa yozuvi quyidagicha: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.
Agar kerak bo'lsa, natijani kamaytirishni yoki undan butun qismini ajratib olishni e'tiborsiz qoldirmasligingiz kerak. Ushbu misolda biz buni qilishimiz shart emas.
4-misol
19 9 - 7 36 farqini toping.
Qaror
Shartda ko'rsatilgan kasrlarni eng past umumiy 36 bo'lagiga etkazamiz va mos ravishda 76 9 va 7 36 ni olamiz.
Javobni hisoblaymiz: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36
Natijada 3 ga kamaytirilishi va 23 12 ga teng bo'lishi mumkin. Nominal ajratuvchidan kattaroq, demak biz butun qismini tanlashimiz mumkin. Yakuniy javob 1 11 12.
Barcha yechimning qisqacha mazmuni 19 9 - 7 36 \u003d 1 11 12.
Oddiy kasrdan natural sonni qanday chiqarish mumkin
Ushbu harakatni oddiy kasrlarni oddiy ayirboshlashgacha ham osonlikcha kamaytirish mumkin. Buni tabiiy sonni kasr sifatida ko'rsatish orqali amalga oshirish mumkin. Keling, bir misol bilan ko'rsatamiz.
5-misol
83 21 - 3 farqini toping.
Qaror
3, 3 1 bilan bir xil. Keyin uni shunday hisoblash mumkin: 83 21 - 3 \u003d 20 21.
Agar shartdagi noto'g'ri kasrdan butun sonni ayirish zarur bo'lsa, avval uni aralash son sifatida yozish orqali butun sonni ajratib olish qulayroq. Keyin oldingi misolni boshqacha hal qilish mumkin.
83 21 kasridan butun qismi tanlanganda biz 83 21 \u003d 3 20 21 ni olamiz.
Endi shunchaki undan 3ni ayirib tashlaymiz: 3 20 21 - 3 \u003d 20 21.
Natural sondan qanday qilib kasr ayiriladi
Ushbu harakat avvalgisiga o'xshash tarzda amalga oshiriladi: biz natural sonni kasr sifatida qayta yozamiz, ikkalasini bitta maxrajga keltiramiz va farqni topamiz. Keling, buni bir misol bilan tushuntiraylik.
6-misol
Farqni toping: 7 - 5 3.
Qaror
7 ni 7 1 qilib oling. Biz yakuniy natijani olib tashlaymiz va undan butun qismni chiqaramiz: 7 - 5 3 \u003d 5 1 3.
Hisob-kitoblarni amalga oshirishning yana bir usuli mavjud. Muammodagi kasrlarning sonlari va maxrajlari katta sonlar bo'lgan hollarda foydalanish mumkin bo'lgan ba'zi bir afzalliklarga ega.
Ta'rif 3
Agar chiqariladigan kasr to'g'ri bo'lsa, u holda biz chiqaradigan tabiiy sonni biri 1 bo'lgan ikkita sonning yig'indisi sifatida ko'rsatish kerak. Shundan so'ng, kerakli kasrni bittadan chiqarib, javobni olishingiz kerak.
7-misol
1 065 - 13 62 farqini hisoblang.
Qaror
Chiqarish kerak bo'lgan kasr to'g'ri, chunki uning numeratori maxrajdan kichikroq. Shuning uchun biz 1065 dan birini chiqarib, undan kerakli kasrni ayirishimiz kerak: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
Endi biz javobni topishimiz kerak. Ayirishning xossalaridan foydalanib, hosil bo'lgan ifodani 1064 + 1 - 13 62 deb yozish mumkin. Qavslar orasidagi farqni hisoblab chiqamiz. Buning uchun biz birlikni 1 1 kasr sifatida ifodalaymiz.
1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62 ekan.
Keling, 1064 haqida eslaymiz va javobni tuzamiz: 1064 49 62.
Biz unchalik qulay emasligini isbotlash uchun eski usuldan foydalanamiz. Bu biz olishimiz kerak bo'lgan hisob-kitoblar:
1065 - 13 62 \u003d 1065 1 - 13 62 \u003d 1065 62 1 62 - 13 62 \u003d 66030 62 - 13 62 \u003d \u003d 66030 - 13 62 \u003d 66017 62 \u003d 1064 4 6
Javob bir xil, ammo hisob-kitoblar ancha noqulay ekanligi aniq.
To'g'ri kasrni olib tashlash kerak bo'lgan holatni ko'rib chiqdik. Agar u to'g'ri bo'lmasa, biz uni aralash raqam bilan almashtiramiz va tanish qoidalar yordamida ayirib tashlaymiz.
8-misol
644 - 73 5 farqini hisoblang.
Qaror
Ikkinchi kasr noto'g'ri va butun qism undan ajratilishi kerak.
Endi biz oldingi misolga o'xshash hisoblaymiz: 630 - 3 5 \u003d (629 + 1) - 3 5 \u003d 629 + 1 - 3 5 \u003d 629 + 2 5 \u003d 629 2 5
Kasrlar uchun ayirish xossalari
Natural sonlarni ayirish xossalari oddiy kasrlarni ayirish holatlariga ham tegishli. Keling, misollarni echishda ulardan qanday foydalanishni ko'rib chiqamiz.
9-misol
24 4 - 3 2 - 5 6 farqini toping.
Qaror
Qanday qilib yig'indini sondan chiqarishni tahlil qilganimizda, shunga o'xshash misollarni allaqachon hal qildik, shuning uchun biz allaqachon ma'lum bo'lgan algoritmga muvofiq harakat qilamiz. Birinchidan, biz 25 4 - 3 2 farqini hisoblab chiqamiz va undan oxirgi sonni ayirib tashlaymiz:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Keling, undan to'liq qismni chiqarib, javobni o'zgartiraylik. Hammasi bo'lib 3 11 12.
Barcha echimning qisqacha mazmuni:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Agar ifoda tarkibida ikkala kasr va natural sonlar bo'lsa, u holda ularni hisoblashda ularni turlari bo'yicha guruhlash tavsiya etiladi.
10-misol
98 + 17 20 - 5 + 3 5 farqini toping.
Qaror
Ayirish va qo'shishning asosiy xususiyatlarini bilib, raqamlarni quyidagicha guruhlashimiz mumkin: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 \u003d 98 + 17 20 - 5 - 3 5 \u003d 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Hisob-kitoblarni yakunlaylik: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 \u003d 93 + 17 20 - 12 20 \u003d 93 + 5 20 \u003d 93 + 1 4 \u003d 93 1 4
Agar siz matnda xatolikni ko'rsangiz, iltimos, uni tanlang va Ctrl + Enter tugmachalarini bosing