O'tkir uchburchak. O'tkir uchburchak Teng tomonli teng yon tomonli masshtabli uchburchaklar

Uchburchak - bu bir-biriga bog'langan uchta nuqtadan iborat figura. Burchaklarga qarab, uchburchak quyidagicha bo'lishi mumkin:

  • To'rtburchak agar burchaklardan biri 90 daraja bo'lsa;
  • o'tkir, agar burchaklardan biri o'tmas bo'lsa, ya'ni. 90 darajadan yuqori;
  • o'tkir burchakli agar uchburchakning barcha burchaklari o'tkir bo'lsa.

O'tkir uchburchaklar bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun ko'pincha sinus yoki kosinus teoremasidan foydalanish kerak.

Hatto qadimgi Yunonistonda ham matematiklar uchburchaklarni o'rganishgan. Uchburchaklar haqidagi ko'plab teoremalarni o'z ichiga olgan zamonaviy geometriyaning asoslarini yaratgan yunonlar edi. Masalan, Pifagor teoremasining muallifi qadimgi Yunonistondan.

Xususiyatlari

O'tkir uchburchakda har bir burchak 90 darajadan kamroq. Ammo uchburchakdagi burchaklar yig'indisi har doim 180 ga teng. Har qanday rasmda uchlari bosh lotin harflari bilan belgilanadi.

Uchburchakning elementlaridan biri tomonlari va burchaklari bilan birga tashqi burchakdir. Tashqi burchak uchburchakning ichki burchagiga tutashgan burchakdir.

Har qanday uchburchakda 6 ta tashqi burchak bor, har bir ichki uchun 2 ta. O'tkir uchburchakning har qanday tashqi burchagi doimo o'tkir bo'ladi.

O'tkir uchburchak chiziqlari

O'tkir uchburchak bir qator xususiyatlarga ega.

Median geometrik figuraning tushirilgan tomoni uzunligining yarmiga teng bo'ladi. Bundan tashqari, ushbu segmentni har qanday tepadan chizish mumkin.

Guruch. 1. O‘tkir uchburchakdagi medianalar

Ma'lumki, agar siz o'tkir uchburchakda uchta balandlik chizsangiz, u holda ular ortosentr deb ataladigan bir nuqtada kesishadi. Ushbu segmentlar qarama-qarshi tomonlarga to'g'ri burchak ostida tushiriladi. O'tkir uchburchakdagi balandliklar bu raqamni o'xshash uchburchaklarga ajratadi.

Guruch. 2. O'tkir uchburchakdagi balandliklar

O'tkir uchburchakdagi bissektrisalar nafaqat burchaklarni ikkiga bo'ladi. Ushbu segmentlar chizilgan doiraning markazi bo'lgan nuqtada kesishadi.

Bissektrisa, shuningdek, o'tkir burchakli uchburchakning tomonini mos keladigan tomonlarga proporsional bo'lgan ikki qismga ajratadi. Ba'zi muammolarni hal qilish uchun ushbu bayonotni eslab qolish kerak.

Guruch. 3. O‘tkir uchburchakdagi bissektrisalar

Xususiyatlari

Agar biz o'tkir burchakli uchburchakning har qanday ikki tomonining raqamli qiymatlarini jamlasak, biz aniq geometrik shaklning uchinchi segmentidan kattaroq bo'lgan raqamni olamiz.

O'tkir uchburchakdagi median chiziq berilgan rasmning tomonlaridan biriga parallel va uning yarmining yarmiga teng.

Biz nimani o'rgandik?

O'tkir uchburchakda har bir burchak 90 darajadan kamroq. Bu erdagi burchaklarning umumiy yig'indisi ham 180 darajaga teng. Biz uchburchakning xarakterli chiziqlari haqida unutmasligimiz kerak. Chunki ularning yordami bilan berilgan uchburchak shaklning tomonlarini yoki ma'lum bir doira markazini hisoblash oson. Va agar burchaklar geometriyadagi muammolar sharoitida ko'rsatilgan bo'lsa, unda siz trigonometrik funktsiyalardan foydalanishingiz mumkin.

Mavzu viktorina

Maqola reytingi

O'rtacha reyting: 4.5. Qabul qilingan umumiy baholar: 114.

Matematikani o'rganishda talabalar turli xil geometrik shakllar bilan tanishishni boshlaydilar. Bugun biz har xil turdagi uchburchaklar haqida gaplashamiz.

Ta'rif

Bir to'g'ri chiziqda bo'lmagan uchta nuqtadan iborat geometrik figuralar uchburchaklar deyiladi.

Nuqtalarni tutashtiruvchi chiziq segmentlari tomonlar, nuqtalar esa cho‘qqilar deyiladi. Cho'qqilar katta lotin harflari bilan belgilanadi, masalan: A, B, C.

Tomonlar ular tashkil topgan ikkita nuqta - AB, BC, AC nomlari bilan ko'rsatilgan. Kesishuvchi tomonlar burchak hosil qiladi. Pastki tomoni rasmning asosi hisoblanadi.

Guruch. 1. ABC uchburchagi.

Uchburchaklar turlari

Uchburchaklar burchak va tomonlarga ko'ra tasniflanadi. Har bir uchburchak turi o'ziga xos xususiyatlarga ega.

Burchaklarda uch turdagi uchburchaklar mavjud:

  • o'tkir burchakli;
  • to'rtburchaklar;
  • o'tkir.

Barcha burchaklar o'tkir burchakli uchburchaklar o'tkir, ya'ni har birining daraja o'lchovi 90 0 dan oshmaydi.

To'rtburchak uchburchak to'g'ri burchakni o'z ichiga oladi. Qolgan ikkita burchak har doim o'tkir bo'ladi, chunki aks holda uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 darajadan oshadi, bu mumkin emas. To'g'ri burchakka qarama-qarshi bo'lgan tomon gipotenuza va qolgan ikki oyoq deb ataladi. Gipotenuza har doim oyoqdan kattaroqdir.

o'tkir uchburchakda o'tmas burchak mavjud. Ya'ni, 90 darajadan kattaroq burchak. Bunday uchburchakdagi qolgan ikkita burchak o'tkir bo'ladi.

Guruch. 2. Burchaklardagi uchburchaklar turlari.

Pifagor uchburchagi - bu tomonlari 3, 4, 5 bo'lgan to'rtburchak.

Bundan tashqari, kattaroq tomon gipotenuzadir.

Bunday uchburchaklar ko'pincha geometriyadan oddiy masalalar tuzish uchun ishlatiladi. Shuning uchun, esda tuting: agar uchburchakning ikki tomoni 3 bo'lsa, uchinchisi, albatta, 5 bo'ladi. Bu hisob-kitoblarni soddalashtiradi.

Yon tomonlardagi uchburchaklar turlari:

  • teng tomonli;
  • teng yon tomonlar;
  • ko'p tomonli.

Teng tomonli uchburchak - barcha tomonlari teng bo'lgan uchburchak. Bunday uchburchakning barcha burchaklari 60 0 ga teng, ya'ni u doimo o'tkir burchakli.

Izossellar uchburchak faqat ikkita teng tomoni bo'lgan uchburchakdir. Bu tomonlar lateral, uchinchisi esa asos deb ataladi. Bundan tashqari, teng yonli uchburchakning poydevoridagi burchaklar teng va har doim o'tkirdir.

Ko'p tomonli yoki ixtiyoriy uchburchak - barcha uzunliklari va barcha burchaklari bir-biriga teng bo'lmagan uchburchak.

Agar muammodagi raqamga aniqlik kiritilmagan bo'lsa, unda biz ixtiyoriy uchburchak haqida gapirayotganimiz odatda qabul qilinadi.

Guruch. 3. Yon tomonlardagi uchburchaklar turlari.

Uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi, uning turidan qat'i nazar, 1800 ga teng.

Kattaroq burchakka qarama-qarshi tomon kattaroqdir. Shuningdek, har qanday tomonning uzunligi har doim uning boshqa ikki tomonining yig'indisidan kichikdir. Bu xususiyatlar uchburchak tengsizlik teoremasi bilan tasdiqlangan.

Oltin uchburchak degan tushuncha mavjud. Bu teng yonli uchburchak bo'lib, uning ikki tomoni asosga proportsional va ma'lum songa teng. Bunday rasmda burchaklar 2: 2: 1 nisbatiga proportsionaldir.

Vazifa:

Tomonlari 6 sm, 3 sm, 4 sm bo'lgan uchburchak bormi?

Yechim:

Bu vazifani yechish uchun a tengsizlikdan foydalanish kerak

Biz nimani o'rgandik?

5-sinf matematika kursining ushbu materialidan biz uchburchaklar tomonlari va burchaklari bo‘yicha tasniflanishini bilib oldik. Uchburchaklar muammolarni hal qilishda ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lum xususiyatlarga ega.

Barcha tomonlari uzunligi bir xil bo'lmagan uchburchak deyiladi ko'p tomonli.

Ikki tomoni teng bo'lgan uchburchak sifatida belgilanadi teng yon tomonlar. Xuddi shu tomonlar deyiladi lateral, uchinchi tomon asos. Quyidagi ta'rif ham xuddi shunday to'g'ri bo'ladi uchburchakning asoslari- teng yonli uchburchakning qolgan ikki tomoniga teng bo'lmagan tomoni.

IN teng yonli uchburchak asos burchaklari teng. Balandlik, mediana, bissektrisa asosiga chizilgan teng yonli uchburchaklar birlashtiriladi.

Uchburchak, barcha tomonlari bir xil, deb belgilanadi teng qirrali yoki to'g'ri. Teng yonli uchburchakda barcha burchaklar 60° ga teng, chizilgan va aylanalarning markazlari birlashtiriladi.

Burchaklar parametrlariga qarab uchburchaklar turlari.

Faqat 90 0 dan kichik burchaklar (o'tkir) deb ataladigan uchburchak o'tkir burchakli.

90 0 burchak tasvirlangan uchburchak deyiladi to'rtburchaklar. To'g'ri burchakni tashkil etuvchi uchburchakning tomonlari odatda belgilanadi oyoqlar, va to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomon - gipotenuza.

Bugun biz geometriya mamlakatiga boramiz, u erda biz har xil turdagi uchburchaklar bilan tanishamiz.

Geometrik shakllarni ko'rib chiqing va ular orasidan "ortiqcha" ni toping (1-rasm).

Guruch. 1. Masalan, rasm

1, 2, 3, 5 raqamlari to'rtburchaklar ekanligini ko'ramiz. Ularning har biri o'z nomiga ega (2-rasm).

Guruch. 2. To‘rtburchaklar

Bu "qo'shimcha" raqam uchburchak ekanligini anglatadi (3-rasm).

Guruch. 3. Masalan, rasm

Uchburchak - bu bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta va bu nuqtalarni juft-juft qilib bog'laydigan uchta segmentdan tashkil topgan figura.

Nuqtalar chaqiriladi uchburchak uchlari, segmentlar - uning partiyalar. Uchburchakning tomonlari shakllanadi Uchburchakning uchlarida uchta burchak bor.

Uchburchakning asosiy xususiyatlari quyidagilardir uch tomon va uch burchak. Uchburchaklar burchakka qarab tasniflanadi o'tkir, to'rtburchaklar va o'tkir.

Uchburchak o'tkir burchakli deyiladi, agar uning uchta burchagi ham o'tkir bo'lsa, ya'ni 90 ° dan kichik bo'lsa (4-rasm).

Guruch. 4. O‘tkir uchburchak

Agar burchaklaridan biri 90° bo'lsa, uchburchak to'g'ri burchakli deyiladi (5-rasm).

Guruch. 5. To‘g‘ri burchakli uchburchak

Agar uchburchak burchaklaridan biri o'tmas bo'lsa, ya'ni 90° dan katta bo'lsa, uchburchak deyiladi (6-rasm).

Guruch. 6. Ketma-ket uchburchak

Teng tomonlar soniga ko'ra, uchburchaklar teng yonli, teng yonli, shkalasi.

Teng yonli uchburchak - bu ikki tomoni teng bo'lgan uchburchak (7-rasm).

Guruch. 7. Teng yon tomonli uchburchak

Bu tomonlar deyiladi lateral, Uchinchi tomon - asos. Teng yonli uchburchakda asosdagi burchaklar teng.

Isosceles uchburchaklar o'tkir va o'tkir(8-rasm) .

Guruch. 8. O'tkir va o'tmas teng yon tomonli uchburchaklar

Teng tomonli uchburchak deyiladi, uning uch tomoni teng (9-rasm).

Guruch. 9. Teng tomonli uchburchak

Teng tomonli uchburchakda barcha burchaklar teng. Teng tomonli uchburchaklar Har doim o'tkir burchakli.

Uchburchak ko'p qirrali deb ataladi, uning uch tomoni har xil uzunlikka ega (10-rasm).

Guruch. 10. Skalenli uchburchak

Vazifani bajaring. Ushbu uchburchaklarni uchta guruhga bo'ling (11-rasm).

Guruch. 11. Topshiriq uchun rasm

Birinchidan, burchaklarning o'lchamiga qarab taqsimlaymiz.

O'tkir uchburchaklar: No 1, No 3.

To'g'ri burchakli uchburchaklar: №2, №6.

Keng uchburchaklar: №4, №5.

Bu uchburchaklar teng tomonlar soniga ko'ra guruhlarga bo'linadi.

Skalenli uchburchaklar: No 4, No 6.

Teng yonli uchburchaklar: No2, No3, No5.

Teng tomonli uchburchak: № 1.

Chizmalarni ko'rib chiqing.

Har bir uchburchak qanday simdan qilinganligini o'ylab ko'ring (12-rasm).

Guruch. 12. Topshiriq uchun rasm

Siz shunday bahslashishingiz mumkin.

Birinchi bo'lak sim uchta teng qismga bo'linadi, shuning uchun siz undan teng qirrali uchburchak yasashingiz mumkin. Rasmda uchinchi ko'rsatilgan.

Ikkinchi sim uch xil qismga bo'lingan, shuning uchun siz undan shkalali uchburchak yasashingiz mumkin. Bu birinchi rasmda ko'rsatilgan.

Uchinchi sim uch qismga bo'linadi, bu erda ikkita qism bir xil uzunlikda bo'ladi, shuning uchun siz undan teng burchakli uchburchak yasashingiz mumkin. U ikkinchi rasmda ko'rsatilgan.

Bugun darsda biz uchburchaklarning har xil turlari bilan tanishdik.

Adabiyotlar ro'yxati

  1. M.I. Moro, M.A. Bantova va boshqalar.Matematika: Darslik. 3-sinf: 2 qism, 1-qism. - M .: "Ma'rifat", 2012.
  2. M.I. Moro, M.A. Bantova va boshqalar.Matematika: Darslik. 3-sinf: 2 qism, 2-qism. - M .: "Ma'rifat", 2012 yil.
  3. M.I. Moreau. Matematika darslari: O'qituvchilar uchun ko'rsatmalar. 3-sinf - M.: Ta'lim, 2012 yil.
  4. Normativ hujjat. Ta'lim natijalarini monitoring qilish va baholash. - M.: "Ma'rifat", 2011 yil.
  5. "Rossiya maktabi": Boshlang'ich maktab uchun dasturlar. - M.: "Ma'rifat", 2011 yil.
  6. S.I. Volkov. Matematika: Test ishi. 3-sinf - M.: Ta'lim, 2012 yil.
  7. V.N. Rudnitskaya. Testlar. - M.: "Imtihon", 2012 yil.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Uy vazifasi

1. Gaplarni tugating.

a) Uchburchak - bu bir xil to'g'ri chiziqda yotmaydigan va ... dan iborat bo'lgan, bu nuqtalarni juft-juft qilib bog'laydigan figura.

b) nuqtalar chaqiriladi … , segmentlar - uning … . Uchburchakning tomonlari uchburchakning uchlarida hosil bo'ladi ….

v) Burchak kattaligiga ko'ra uchburchaklar ..., ..., ... bo'ladi.

d) Teng tomonlari soniga ko'ra uchburchaklar ..., ..., ... bo'ladi.

2. Chizish

a) to'g'ri burchakli uchburchak

b) o'tkir uchburchak;

v) o'tmas uchburchak;

d) teng yonli uchburchak;

e) masshtabli uchburchak;

e) teng yonli uchburchak.

3. O'rtoqlaringizga dars mavzusi bo'yicha topshiriq bering.

Uchburchak . O'tkir, o'tkir va to'g'ri burchakli uchburchaklar.

Oyoqlar va gipotenuza. Izoscellar va teng yonli uchburchak.

Uchburchak burchaklarining yig'indisi.

Uchburchakning tashqi burchagi. Uchburchaklar tenglik belgilari.

Uchburchakdagi ajoyib chiziqlar va nuqtalar: balandliklar, medianalar,

bissektrisa, mediana e perpendikulyar, ortosentr,

og'irlik markazi, chegaralangan doira markazi, chizilgan doira markazi.

Pifagor teoremasi. Ixtiyoriy uchburchakning tomonlar nisbati.

Uchburchak uch tomoni (yoki uch burchagi) bo'lgan ko'pburchakdir. Uchburchakning tomonlari ko'pincha kichik harflar bilan belgilanadi, ular qarama-qarshi burchaklarni bildiradigan bosh harflarga mos keladi.

Agar barcha uch burchak o'tkir bo'lsa ( 20-rasm), unda bu o'tkir uchburchak . Agar burchaklardan biri to'g'ri bo'lsa(C, 21-rasm), anavi to'g'ri uchburchak; tomonlara, bto'g'ri burchak hosil qilish deyiladi oyoqlar; tomonicqarama-qarshi to'g'ri burchak deyiladi gipotenuza. Agar biri keng burchaklar (B, 22-rasm), anavi to'g'ri uchburchak.


ABC uchburchagi (23-rasm) - teng yon tomonlar, Agar ikki uning tomonlari tenga= c); bu teng tomonlar deyiladi lateral, uchinchi tomon chaqiriladi asos uchburchak. Uchburchak ABC (24-rasm) - teng qirrali, Agar Hammasi uning tomonlari tenga = b = c). Umuman ( a ≠ b ≠ c) bizda ... bor skalen uchburchak .

Uchburchaklarning asosiy xossalari. Har qanday uchburchakda:

1. Kattaroq tomonning qarshisida kattaroq burchak mavjud va aksincha.

2. Teng burchaklar teng tomonlarga qarama-qarshi yotadi va aksincha.

Xususan, barcha burchaklar teng qirrali uchburchaklar teng.

3. Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 ga teng º .

Oxirgi ikkita xususiyatdan kelib chiqadiki, har bir burchak teng tomonli

uchburchak 60 ga teng º.

4. Uchburchakning bir tomonini davom ettirib (AC, 25-rasm), olamiz tashqi

BCD burchagi . Uchburchakning tashqi burchagi ichki burchaklarining yig'indisiga teng,

u bilan bog'liq emas :BCD=A+B.

5. Har qanday uchburchakning yon tomoni boshqa ikki tomonning yig'indisidan kichik va undan ko'p

ularning farqlari (a < b + c, a > b – c;b < a + c, b > a – c;c < a + b,c > a – b).

Uchburchaklar tenglik belgilari.

Uchburchaklar mos ravishda teng bo'lsa, ular mos keladi:

a ) ikki tomon va ular orasidagi burchak;

b ) ikkita burchak va ularga ulashgan tomon;

c) uch tomon.

To'g'ri burchakli uchburchaklar tenglik belgilari.

Ikki to'rtburchaklar Agar quyidagi shartlardan biri to'g'ri bo'lsa, uchburchaklar mos keladi:

1) oyoqlari teng;

2) bir uchburchakning oyog'i va gipotenuzasi ikkinchisining oyog'i va gipotenuzasiga teng;

3) bir uchburchakning gipotenuzasi va o'tkir burchagi ikkinchisining gipotenuzasi va o'tkir burchagiga teng;

4) bir uchburchakning oyog'i va qo'shni o'tkir burchagi ikkinchisining oyog'i va qo'shni o'tkir burchagiga teng;

5) bir uchburchakning oyog'i va qarama-qarshi o'tkir burchagi oyoq va ga teng ikkinchisining o'tkir burchagiga qarama-qarshi.

Uchburchakdagi ajoyib chiziqlar va nuqtalar.

Balandligi uchburchak hisoblanadiperpendikulyar,har qanday tepadan qarama-qarshi tomonga tushib ketgan ( yoki uning davomi). Bu tomon deyiladiuchburchakning asosi . Uchburchakning uchta balandligi har doim kesishadibir nuqtadachaqirdi ortomarkaz uchburchak. O'tkir uchburchakning ortomarkazi (nuqta O , 26-rasm) uchburchak ichida joylashgan vao'tmas uchburchakning ortomarkazi (nuqta O , 27-rasm) – tashqarida; To'g'ri burchakli uchburchakning ortosentri to'g'ri burchakning tepasiga to'g'ri keladi.

Median - Bu chiziq segmenti , uchburchakning istalgan tepasini qarama-qarshi tomonning o'rta nuqtasi bilan bog'lash. Uchburchakning uchta medianasi (AD , BE , CF , 28-rasm) bir nuqtada kesishadi O , bu har doim uchburchak ichida yotadi va uniki bo'lish og'irlik markazi. Bu nuqta har bir medianani yuqoridan 2:1 ga ajratadi.

Bissektrisa - Bu bissektrisa segmenti yuqoridan nuqtaga burchak qarama-qarshi tomon bilan kesishish. Uchburchakning uchta bissektrisasi (AD , BE , CF , 29-rasm) bir nuqtada kesishadi Oh, har doim uchburchak ichida yotadi Va bo'lish chizilgan doira markazi("Yozilgan." bo'limiga qarangva chegaralangan ko'pburchaklar).

Bissektrisa qarama-qarshi tomonni qo'shni tomonlarga proportsional qismlarga ajratadi ; masalan, 29-rasmda AE: Idoralar = AB: BC.

Median perpendikulyar o'rtachadan chizilgan perpendikulyardir segment nuqtalari (tomonlar). ABC uchburchakning uchta perpendikulyar bissektrisasi(KO , MO , NO , 30-rasm ) bir O nuqtada kesishadi, ya'ni markaz chegaralangan doira (K, M, N nuqtalari uchburchak tomonlarining o'rta nuqtalari ABC).

O'tkir uchburchakda bu nuqta uchburchak ichida yotadi; to'mtoqda - tashqarida; to'rtburchak shaklida - gipotenuzaning o'rtasida. Ortosentr, og'irlik markazi, chegaralangan markaz va chizilgan doira markazi faqat teng tomonli uchburchakda mos tushadi.

Pifagor teoremasi. To'g'ri burchakli uchburchakda uzunlikning kvadratiGipotenuza oyoqlarning uzunliklari kvadratlari yig'indisiga teng.

Pifagor teoremasining isboti 31-rasmdan ko'rinib turibdi. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing Oyoqlari bilan ABC a, b va gipotenuza c.

Keling, kvadrat quraylik AKMB gipotenuza yordamida AB tomon sifatida. Keyinto'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini kengaytiring ABC shuning uchun kvadrat olish uchun CDEF , uning tomoni tenga + b.Endi kvadratning maydoni aniq bo'ldi CDEF bu ( a+b) 2 . Boshqa tomondan, bu maydoni yig'indisiga teng hududlar to'rtta to'g'ri uchburchak va kvadrat AKMB , ya'ni

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

bu yerdan,

c 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

va nihoyat bizda:

c 2 =a 2 +b 2 .

Ixtiyoriy uchburchakning tomonlar nisbati.

Umumiy holatda (ixtiyoriy uchburchak uchun) bizda:

c 2 =a 2 +b 2 – 2ab· cos c,

qaerda C - tomonlar orasidagi burchaka Va b .



O'qishni tavsiya qilamiz