Основне поняття теорії ймовірності. Закони теорії ймовірності. Теорія ймовірностей та основні поняття теорії Теорія математичної ймовірності

Вчення про закони, яким підпорядковуються т. зв. Випадкові явища. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Чудінов А.М., 1910. Словник іноземних слів російської мови

теорія імовірності- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технологіїв цілому EN probability theorytheory of changesprobability calculation... Довідник технічного перекладача

Теорія імовірності- є частина математики, що вивчає залежності між ймовірностями різних подій. Перелічимо найважливіші теореми, які стосуються цієї науки. Імовірність появи однієї з кількох несумісних подій дорівнює… Енциклопедичний словникФ.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ– математич. наука що дозволяє за ймовірностями одних випадкових подій знаходити ймовірності випадкових подій, пов'язаних до. чином із першими. Сучасна Т.в. заснована на аксіоматиці (див. Метод аксіоматичний) А. Н. Колмогорова. На… … Російська соціологічна енциклопедія

Теорія імовірності- Розділ математики, в якому за даними ймовірностями одних випадкових подій знаходять ймовірності інших подій, пов'язаних деяким чином з першими. Теорія ймовірностей вивчає також випадкові величини та випадкові процеси. Одна з основних… Концепція сучасного природознавства. Словник основних термінів

теорія імовірності- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. probability theory vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. теорія ймовірностей f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Теорія імовірності- … Вікіпедія

Теорія імовірності- математична дисципліна, що вивчає закономірності випадкових явищ. Початки сучасного природознавства

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ- (probability theory) див. Великий тлумачний соціологічний словник

Теорія ймовірностей та її застосування- («Теорія ймовірностей та її застосування»,) науковий журнал Відділення математики АН СРСР. Публікує оригінальні статті та короткі повідомленняз теорії ймовірностей, загальним питаннямматематичної статистики та їх застосуванням у природознавстві та… Велика радянська енциклопедія

Книжки

• Теорія імовірності. , Вентцель Є.С.. Книга являє собою підручник, призначений для осіб, знайомих з математикою в обсязі звичайного втузовського курсу і тих, що цікавляться технічними додатками теорії ймовірностей, … Купити за 2056 грн (тільки Україна)
• Теорія імовірності. , Вентцель Е.С.. Книга являє собою підручник, призначений для осіб, знайомих з математикою в обсязі звичайного курсу Втуза і цікавляться технічними додатками теорії ймовірностей, в…

Що таке можливість?

Зіткнувшись із цим терміном перший раз, я б не зрозумів, що це таке. Тож спробую пояснити доступно.

Імовірність – це шанс того, що станеться потрібна нам подія.

Наприклад, ти вирішив зайти до знайомого, пам'ятаєш під'їзд і навіть поверх, на якому він живе. А ось номер та розташування квартири забув. І ось стоїш ти на сходовій клітці, а перед тобою двері на вибір.

Який шанс (імовірність) того, що якщо ти зателефонуєш до перших дверей, тобі відкриє твій друг? Усього квартири, а друг живе лише за однією з них. З рівним шансом ми можемо вибрати будь-які двері.

Але який цей шанс?

Двері, потрібні двері. Можливість вгадати, зателефонувавши перші двері: . Тобто один раз із трьох ти точно вгадаєш.

Ми хочемо дізнатися, зателефонувавши раз, як часто ми вгадуватимемо двері? Давай розглянь усі варіанти:

1. Ти подзвонив у 1юдвері
2. Ти подзвонив у 2юдвері
3. Ти подзвонив у 3юдвері

А тепер розглянемо всі варіанти, де може бути друг:

а. За Першийдверима
б. За Другийдверима
в. За 3ейдверима

Порівняємо всі варіанти як таблиці. Галочкою позначені варіанти, коли твій вибір збігається з місцем розташування друга, хрестиком - коли не збігається.

Як бачиш все можливо варіантіврозташування друга і твого вибору, в які двері дзвонити.

А сприятливих результатів всього . Тобто рази з ти вгадаєш, зателефонувавши в двері, тобто. .

Це і є ймовірність - відношення сприятливого результату (коли твій вибір збігся з розташуванням друга) до кількості можливих подій.

Визначення - і є формула. Імовірність прийнято позначати p, тому:

Таку формулу писати не дуже зручно, тому приймемо за кількість сприятливих результатів, а за загальну кількість результатів.

Імовірність можна записувати у відсотках, для цього потрібно помножити результат, що вийшов на:

Напевно, тобі впало у вічі слово «виходи». Оскільки математики називають різні дії (у нас така дія – це дзвінок у двері) експериментами, то результатом таких експериментів прийнято називати результат.

Ну а результати бувають сприятливі та несприятливі.

Повернімося до нашого прикладу. Припустимо, ми зателефонували в одне з дверей, але нам відкрив незнайомий чоловік. Ми не вгадали. Яка ймовірність, що якщо зателефонуємо в одну з дверей, що залишилися, нам відкриє наш друг?

Якщо ти подумав, що це помилка. Давай розбиратись.

У нас залишилося два двері. Таким чином, у нас є можливі кроки:

1) Зателефонувати до 1-удвері
2) Подзвонити в Другудвері

Друг, при цьому, точно знаходиться за однією з них (адже за тією, в яку ми дзвонили, його не виявилося):

а) Друг за 1-ийдверима
б) Друг за Другийдверима

Давай знову намалюємо таблицю:

Як бачиш, всього є варіанти, з яких – сприятливі. Тобто ймовірність дорівнює.

А чому ні?

Розглянута нами ситуація приклад залежних подій.Перша подія – це перший дзвінок у двері, друга подія – це другий дзвінок у двері.

А залежними вони називаються, бо впливають на наступні дії. Адже якби після першого дзвінка у двері нам відчинив друг, то якою була б ймовірність того, що він перебуває за однією з двох інших? Правильно, .

Але якщо є залежні події, то має бути і незалежні? Мабуть, бувають.

Хрестоматійний приклад – кидання монетки.

1. Кидаємо монету разів. Якою є ймовірність того, що випаде, наприклад, орел? Правильно - адже варіантів всього (або орел, або решка, знехтуємо ймовірністю монетки стати на ребро), а влаштовує нас тільки.
2. Але випала решка. Гаразд, кидаємо ще раз. Яка сьогодні можливість випадання орла? Нічого не змінилося, так само. Скільки варіантів? Два. А скільки нас влаштовує? Один.

І нехай хоч тисячу разів поспіль випадатиме решка. Імовірність випадання орла на раз буде все також. Варіантів завжди, а сприятливих – .

Відрізнити залежні події від незалежних легко:

1. Якщо експеримент проводиться раз (якщо кидають монетку, 1 раз дзвонять у двері тощо), то події завжди незалежні.
2. Якщо експеримент проводиться кілька разів (монетку кидають раз, у двері дзвонять кілька разів), то перша подія завжди є незалежною. А далі, якщо кількість сприятливих чи кількість всіх наслідків змінюється, то події залежні, а якщо ні – незалежні.

Давай трохи потренуємось визначати ймовірність.

приклад 1.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що двічі поспіль випаде орел?

Рішення:

Розглянемо всі можливі варіанти:

1. Орел-Орел
2. Орел решка
3. Решка-орел
4. Решка-решка

Як бачиш, всього варіанта. З них нас влаштовує лише. Тобто ймовірність:

Якщо за умови просять просто знайти ймовірність, то відповідь треба давати у вигляді десяткового дробу. Якщо було б зазначено, що відповідь потрібно дати у відсотках, тоді ми помножили б.

Відповідь:

приклад 2.

У коробці цукерок усі цукерки упаковані в однакову обгортку. Проте з цукерок – з горіхами, з коньяком, з вишнею, з карамеллю та з нугою.

Яка можливість, взявши одну цукерку, дістати цукерку з горіхами. Відповідь дайте у відсотках.

Рішення:

Скільки всього можливих результатів? .

Тобто, взявши одну цукерку, вона буде однією з наявних у коробці.

А скільки сприятливих результатів?

Тому що в коробці лише цукерок із горіхами.

Відповідь:

Приклад 3.

У коробці куль. їх білі, - чорні.

1. Яка можливість витягнути білу кулю?
2. Ми додали до коробки ще чорних куль. Яка тепер можливість витягнути білу кулю?

Рішення:

а) У коробці всього куль. Із них білих.

Імовірність дорівнює:

б) Тепер куль у коробці стало. А білих залишилося стільки ж.

Відповідь:

Повна ймовірність

Імовірність всіх можливих подій дорівнює ().

Допустимо, в ящику червоних та зелених куль. Яка можливість витягнути червону кулю? Зелена куля? Червона чи зелена куля?

Імовірність витягнути червону кулю

Зелена куля:

Червона або зелена куля:

Як бачиш, сума всіх можливих подій дорівнює (). Розуміння цього моменту допоможе тобі вирішити багато завдань.

Приклад 4.

У ящику лежить фломастери: зелені, червоні, сині, жовті, чорні.

Яка можливість витягнути не червоний фломастер?

Рішення:

Давай порахуємо кількість сприятливих результатів.

НЕ червоний фломастер, тобто зелений, синій, жовтий або чорний.

Імовірність усіх подій. А ймовірність подій, які ми вважаємо несприятливими (коли витягнемо червоний фломастер) – .

Таким чином, можливість витягнути не червоний фломастер - .

Відповідь:

Імовірність того, що подія не відбудеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Що таке незалежні події, ти вже знаєш.

А якщо потрібно знайти ймовірність того, що дві (або більше) незалежні події відбудуться поспіль?

Допустимо ми хочемо знати, яка ймовірність того, що кидаючи монету рази, ми двічі побачимо орла?

Ми вже рахували - .

А якщо кидаємо монету рази? Яка можливість побачити орла рази поспіль?

Усього можливих варіантів:

1. Орел-Орел-Орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Не знаю як ти, але я раз помилився, складаючи цей список. Ух! А підходить нам лише варіант (перший).

Для 5 кидків можеш скласти перелік можливих результатів сам. Але математики не такі працьовиті, як ти.

Тому вони спочатку помітили, а потім довели, що ймовірність певної послідовності незалежних подій щоразу зменшується на ймовірність однієї події.

Іншими словами,

Розглянемо з прикладу тієї ж, злощасної, монетки.

Імовірність випадання орла у випробуванні? . Тепер ми кидаємо монету вкотре.

Яка можливість випадання разів поспіль орла?

Це правило працює не тільки, якщо нас просять знайти ймовірність того, що відбудеться одна й та сама подія кілька разів поспіль.

Якби ми хотіли знайти послідовність РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА, при кидках поспіль, ми надійшли б також.

Імовірність випадання решка -, орла -.

Імовірність випадання послідовності РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА-РІШКА:

Можеш перевірити сам, склавши таблицю.

Правило складання ймовірностей несумісних подій.

Так стоп! Нове визначення.

Давай розбиратись. Візьмемо нашу зношену монетку та кинемо її рази.
Можливі варіанти:

1. Орел-Орел-Орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Отож несумісні події, це певна, задана послідовність подій. – це несумісні події.

Якщо ми хочемо визначити, яка ймовірність двох (або більше) несумісних подій ми складаємо ймовірності цих подій.

Потрібно зрозуміти, що випадання орла чи решки – це дві незалежні події.

Якщо хочемо визначити, яка ймовірність випадання послідовності) (чи будь-який інший), ми користуємося правилом множення ймовірностей.
Яка ймовірність випадання при першому кидку орла, а при другому та третьому решки?

Але якщо хочемо дізнатися, яка ймовірність випадання однієї з кількох послідовностей, наприклад, коли орел випаде рівно раз, тобто. варіанти і ми повинні скласти ймовірності цих послідовностей.

Усього варіантів, нам підходить.

Те саме ми можемо отримати, склавши ймовірності появи кожної послідовності:

Таким чином, ми складаємо ймовірності, коли хочемо визначити ймовірність деяких, несумісних послідовностей подій.

Є відмінне правило, що допомагає не заплутатися, коли множити, а коли складати:

Повернемося наприклад, коли ми підкинули монету рази, і хочемо дізнатися можливість побачити орла разів.
Що має статися?

Повинні випасти:
(орел І решка І решка) АБО (решка І орел І решка) АБО (решка І решка І орел).
Ось і виходить:

Давайте розглянемо кілька прикладів.

Приклад 5.

У коробці лежить олівці. червоних, зелених, помаранчевих та жовтих та чорних. Яка можливість витягнути червоний або зелений олівці?

Рішення:

Що має статися? Ми повинні витягнути (червоний АБО зелений).

Тепер зрозуміло, складаємо ймовірність цих подій:

Відповідь:

Приклад 6.

Гральну кістку кидають двічі, якою є ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок?

Рішення.

Як ми можемо отримати очки?

(і) або (і) або (і) або (і) або (і).

Імовірність випадання однієї (будь-якої) грані - .

Вважаємо ймовірність:

Відповідь:

Тренування.

Думаю, тепер тобі стало зрозуміло, коли треба як рахувати ймовірності, коли їх складати, а коли множити. Чи не так? Давай трохи потренуємось.

Завдання:

Візьмемо карткову колоду, в якій карти, з них пік, хробаків, 13 треф та 13 бубон. Від до тузу кожної масті.

1. Яка можливість витягнути трефи поспіль (першу витягнуту карту ми кладемо назад у колоду і перемішуємо)?
2. Яка можливість витягнути чорну карту (піки або трефи)?
3. Яка можливість витягнути картинку (вальта, даму, короля чи туза)?
4. Яка можливість витягнути дві картинки поспіль (першу витягнуту карту ми прибираємо з колоди)?
5. Яка ймовірність, взявши дві карти, зібрати комбінацію - (валет, дама чи король) і туз Послідовність, у якій витягнуть карти, немає значення.

Відповіді:

1. У колоді карти кожної гідності, значить:
2. Події залежать, оскільки після першої витягнутої карти кількість карт у колоді зменшилася (як і кількість «картинок»). Усього вальтів, жінок, королів і тузів у колоді спочатку, а значить можливість першою картою витягнути «картинку»:

   Оскільки ми прибираємо з колоди першу карту, то в колоді залишилося вже карта, з них картинок. Ймовірність другою картою витягнути картинку:

   Оскільки нас цікавить ситуація, коли ми дістаємо з колоди: «картинку» та «картинку», то треба перемножувати ймовірності:

   Відповідь:

3. Після першої витягнутої карти, кількість карт у колоді зменшиться. Отже, нам підходить два варіанти:
   1) Першою картою витягуємо Туза, другою – валета, даму чи короля
   2) Першою картою витягуємо валета, даму чи короля, другий - туза. (туз і (валет чи дама чи король)) чи ((валет чи дама чи король) і туз). Не забуваємо про зменшення кількості карт у колоді!

Якщо ти зміг сам вирішити всі завдання, то великий молодець! Тепер завдання на теорію ймовірностей в ЄДІ ти клацатимеш як горішки!

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Розглянемо приклад. Допустимо, ми кидаємо гральну кістку. Що це за така кістка, знаєш? Так називають кубик із цифрами на гранях. Скільки граней, стільки та цифр: від до скільки? До.

Отже, ми кидаємо кістку і хочемо, щоб випало чи. І нам випадає.

Теоретично ймовірностей кажуть, що сталося сприятлива подія(Не блукай з благополучним).

Якби випало, подія теж була б сприятливою. Разом може статися лише дві сприятливі події.

А скільки несприятливих? Раз всього можливих подій, значить, несприятливі з них події (це якщо випаде або).

Визначення:

Імовірністю називається відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій. Тобто можливість показує, яка частка з усіх можливих подій припадає на сприятливі.

Позначають можливість латинської літерою (мабуть, від англійського слова probability - ймовірність).

Прийнято вимірювати ймовірність у відсотках (див. теми та ). Для цього значення ймовірності потрібно множити. У прикладі з гральною кісткою імовірність.

На відсотках: .

Приклади (виріши сам):

1. З якою ймовірністю при киданні монетки випаде орел? А з якою ймовірністю випаде решка?
2. З якою ймовірністю при киданні гральної кістки випаде парне число? А з якою – непарне?
3. У ящику простих, синіх та червоних олівців. Навмання тягнемо один олівець. Яка можливість витягнути простий?

Рішення:

1. Скільки варіантів? Орел і решка – лише два. А скільки з них є сприятливими? Тільки один – орел. Отже, ймовірність

   З рішкою те саме: .

2. Усього варіантів: (скільки сторін у кубика, стільки та різних варіантів). Сприятливі з них: (це всі парні числа:).
   Можливість. З непарними, природно, те саме.
3. Усього: . Сприятливі: . Можливість: .

Повна ймовірність

Усі олівці у ящику зелені. Яка можливість витягнути червоний олівець? Шансів немає: ймовірність (адже сприятливі події -).

Така подія називається неможливою.

А якою є можливість витягнути зелений олівець? Сприятливих подій рівно стільки, скільки подій всього (всі події - сприятливі). Значить, ймовірність дорівнює чи.

Така подія називається достовірною.

Якщо в ящику зелених та червоних олівців, яка ймовірність витягнути зелений чи червоний? Знову ж. Зауважимо таку річ: можливість витягнути зелений дорівнює, а червоний - .

У сумі ці ймовірності рівні рівно. Тобто, сума ймовірностей всіх можливих подій дорівнює або.

Приклад:

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість не витягнути зелений?

Рішення:

Пам'ятаємо, що всі можливості в сумі дають. А можливість витягнути зелений дорівнює. Отже, можливість не витягнути зелений дорівнює.

Запам'ятай цей прийом:ймовірність того, що подія не станеться рівна мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Незалежні події та правило множення

Ти кидаєш монету рази, і хочеш, щоб обидва рази випав орел. Яка ймовірність цього?

Давай переберемо всі можливі варіанти та визначимо, скільки їх:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Рішка, Решка-Рішка. Які ще?

Усього варіанта. З них нам підходить лише один: Орел-Орел. Отже, ймовірність дорівнює.

Добре. А тепер кидаємо монетку разів. Порахуй сам. Вийшло? (Відповідь).

Ти міг помітити, що з додаванням кожного наступного кидка можливість зменшується в рази. Загальне правилоназивається правилом множення:

Імовірності незалежних подій змінюються.

Що таке незалежні події? Все логічно: це ті, що не залежать один від одного. Наприклад, коли ми кидаємо монетку кілька разів, щоразу робиться новий кидок, результат якого не залежить від усіх попередніх кидків. З таким самим успіхом ми можемо кидати одночасно дві різні монетки.

Ще приклади:

1. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що обидва рази випаде?
2. Монетку кидають рази. Яка ймовірність, що вперше випаде орел, а потім двічі решка?
3. Гравець кидає дві кістки. Яка ймовірність, що сума чисел на них дорівнюватиме?

Відповіді:

1. Події незалежні, отже, працює правило множення: .
2. Імовірність орла дорівнює. Імовірність решітки – теж. Перемножуємо:
3. 12 може вийти тільки, якщо випадуть дві-ки: .

Несумісні події та правило додавання

Несумісними називаються події, які доповнюють одне одного до ймовірності. З назви видно, що вони можуть статися одночасно. Наприклад, якщо кидаємо монетку, може випасти або орел, або решка.

приклад.

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість витягнути зелений чи червоний?

Рішення .

Імовірність витягнути зелений олівець дорівнює. Червоний - .

Сприятливих подій: зелених + червоних. Отже, можливість витягнути зелений чи червоний дорівнює.

Цю ж можливість можна у вигляді: .

Це і є правило додавання:ймовірності несумісних подій складаються.

Завдання змішаного типу

приклад.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що результат кидків буде різним?

Рішення .

Мається на увазі, якщо першим випав орел, другий має бути решка, і навпаки. Виходить, що тут дві пари незалежних подій і ці пари один з одним несумісні. Як би не заплутатися, де множити, а де складати.

Існує просте правило для таких ситуацій. Спробуй описати, що має статися, поєднуючи події союзами «І» або «АБО». Наприклад, у цьому випадку:

Повинні випасти (орел і решка) або (решка та орел).

Там де стоїть союз "і", буде множення, а там де "або" - додавання:

Спробуй сам:

1. З якою ймовірністю при двох киданнях монетки обидва рази випаде одна й та сама сторона?
2. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що у сумі випаде очок?

Рішення:

1. (Випав орел і випав орел) або (випала решка та випала решка): .
2. Які є варіанти? і. Тоді:
   Випало (і) або (і) або (і): .

Ще приклад:

Кидаємо монету рази. Яка ймовірність, що хоча б один раз випаде орел?

Рішення:

Ой, як не хочеться перебирати варіанти… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А й не треба! Згадуємо про цілковиту ймовірність. Згадав? Яка ймовірність, що орел не випаде жодного разу? Це ж просто: весь час летять решітки, отже.

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Імовірність – це відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій.

Незалежні події

Дві події незалежні, якщо при настанні одного ймовірність наступу іншого не змінюється.

Повна ймовірність

Імовірність всіх можливих подій дорівнює ().

Імовірність того, що подія не відбудеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Імовірність певної послідовності незалежних подій дорівнює твору ймовірностей кожної з подій

Несумісні події

Несумісними називаються події, які не можуть статися одночасно в результаті експерименту. Ряд несумісних подій утворюють повну групу подій.

Імовірності несумісних подій складаються.

Описав що має статися, використовуючи союзи «І» або «АБО», замість «І» ставимо знак множення, а замість «АБО» — додавання.

ЗАЛИШЕНІ 2/3 СТАТТІ ДОСТУПНІ ТІЛЬКИ УЧНЯМ YOUCLEVER!

Стати учнем YouClever,

Підготуватися до ОГЕ або ЄДІ з математики за ціною "чашка кави на місяць",

А також отримати безстроковий доступ до підручника "YouClever", Програми підготовки (решітника) "100gia", необмеженого пробного ЄДІ та ОДЕ, 6000 завдань з розбором рішень та до інших сервісів YouClever та 100gia.

ВСТУП

Багато речей нам незрозумілі не тому, що наші поняття слабкі;
але тому, що ці речі не входять до кола наших понять.
Козьма Прутков

Основна мета вивчення математики в середніх спеціальних навчальних закладах полягає в тому, щоб дати студентам набір математичних знань та навичок, необхідних для вивчення інших програмних дисциплін, які використовують у тій чи іншій мірі математику, для вміння виконувати практичні розрахунки, для формування та розвитку логічного мислення.

У цій роботі послідовно вводяться всі базові поняття розділу математики "Основи теорії ймовірностей та математичної статистики", передбачені програмою та Державними освітніми стандартами середньої професійної освіти (Міністерство освіти Російської Федерації. М., 2002р.), формулюються основні теореми, більша частина яких не доводиться . Розглядаються основні завдання та методи їх вирішення та технології застосування цих методів до вирішення практичних завдань. Виклад супроводжується докладними коментарями та численними прикладами.

Методичні вказівки можуть бути використані для первинного ознайомлення з матеріалом, що досліджується, при конспектуванні лекцій, для підготовки до практичних занять, для закріплення отриманих знань, умінь і навичок. Крім того, посібник буде корисним і студентам-старшекурсникам як довідковий посібник, що дозволяє швидко відновити в пам'яті те, що було вивчено раніше.

Наприкінці роботи наведено приклади та завдання, які студенти можуть виконувати у режимі самоконтролю.

Методичні вказівки призначені для студентів заочної та денної форм навчання.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ

Теорія ймовірностей вивчає об'єктивні закономірності масових подій. Вона є теоретичною базою для математичної статистики, що займається розробкою методів збирання, опису та обробки результатів спостережень. Шляхом спостережень (випробувань, експериментів), тобто. досвіду у сенсі слова, відбувається пізнання явищ дійсного світу.

У своїй практичній діяльності часто зустрічаємося з явищами, результат яких неможливо передбачити, результат яких залежить від випадку.

Випадкове явище можна охарактеризувати ставленням числа його наступів до випробувань, у кожному з яких за однакових умов всіх випробувань воно могло наступити або не наступити.

Теорія ймовірностей є розділ математики, у якому вивчаються випадкові явища (події) і виявляються закономірності при їх повторенні.

Математична статистика - це розділ математики, який має своїм предметом вивчення методів збору, систематизації, обробки та використання статистичних даних для отримання науково обґрунтованих висновків та прийняття рішень.

При цьому під статистичними даними розуміється сукупність чисел, які представляють кількісні характеристики цікавих для нас ознак об'єктів, що вивчаються. Статистичні дані виходять у результаті спеціально поставлених дослідів, спостережень.

Статистичні дані за своєю сутністю залежить від багатьох випадкових чинників, тому математична статистика тісно пов'язані з теорією ймовірностей, що є її теоретичної основою.

I. ІМОВІРНІСТЬ. ТЕОРЕМИ ДОДАТКУ ТА ПРИМНОЖЕННЯ ІМОВІРНОСТЕЙ

1.1. Основні поняття комбінаторики

У розділі математики, який називається комбінаторикою, вирішуються деякі завдання, пов'язані з розглядом множин та складанням різних комбінацій з елементів цих множин. Наприклад, якщо взяти 10 різних цифр 0, 1, 2, 3,: , 9 і складати з них комбінації, будемо отримувати різні числа, наприклад 143, 431, 5671, 1207, 43 і т.п.

Ми бачимо, що деякі з таких комбінацій відрізняються тільки порядком цифр (наприклад, 143 і 431), інші - цифрами, що входять до них (наприклад, 5671 і 1207), треті різняться і числом цифр (наприклад, 143 і 43).

Таким чином, отримані комбінації задовольняють різні умови.

Залежно від правил складання можна виділити три типи комбінацій: перестановки, розміщення, сполучення.

Попередньо ознайомимося з поняттям факторіалу.

Добуток усіх натуральних чисел від 1 до n включно називають n-факторіалом і пишуть.

Обчислити: а); б); в).

Рішення. а) .

б) Так як і , то можна винести за дужки

Тоді отримаємо

в) .

Перестановки.

p align="justify"> Комбінація з n елементів, які відрізняються один від одного тільки порядком елементів, називаються перестановками.

Перестановки позначаються символом Р n , де n-число елементів, що входять до кожної перестановки. ( Р- перша літера французького слова permutation- Перестановка).

Число перестановок можна вирахувати за формулою

або за допомогою факторіалу:

Запам'ятаємо, що 0!=1 та 1!=1.

Приклад 2. Скільки способів можна розставляти на одній полиці шість різних книг?

Рішення. Шукане число методів дорівнює кількості перестановок з 6 елементів, тобто.

Розміщення.

Розміщеннями з mелементів у nу кожному називаються такі з'єднання, які відрізняються один від одного або самими елементами (хоча б одним), або порядком з розташування.

Розміщення позначаються символом , де m- Число всіх наявних елементів, n- Число елементів у кожній комбінації. ( А-перша літера французького слова arrangement, Що означає "розміщення, упорядкування").

При цьому вважають, що nm.

Число розміщень можна обчислити за формулою

,

тобто. число всіх можливих розміщень з mелементів по nодно твору nпослідовних цілих чисел, з яких є більше m.

Запишемо цю формулу у факторіальній формі:

Приклад 3. Скільки варіантів розподілу трьох путівок у санаторії різного профілю можна скласти п'ятьох претендентів?

Рішення. Шукане число варіантів дорівнює кількості розміщень з 5 елементів по 3 елементи, тобто.

.

Поєднання.

Поєднаннями називаються всі можливі комбінації з mелементів по n, які відрізняються один від одного принаймні хоча б одним елементом (тут mі n-натуральні числа, причому n m).

Число поєднань з mелементів по nпозначаються ( З-перша літера французького слова combination- Поєднання).

У загальному випадку число з mелементів по nдорівнює кількості розміщень з mелементів по n, поділеному на число перестановок з nелементів:

Використовуючи для чисел розміщень та перестановок факторіальні формули, отримаємо:

Приклад 4. У бригаді з 25 чоловік необхідно виділити чотирьох для роботи на певній ділянці. Скільки способами це можна зробити?

Рішення. Оскільки порядок обраних чотирьох осіб немає значення, це можна зробити способами.

Знаходимо за першою формулою

.

Крім того, при вирішенні задач використовуються такі формули, що виражають основні властивості поєднань:

(за визначенням вважають і);

.

1.2. Вирішення комбінаторних завдань

Завдання 1. На факультеті вивчається 16 предметів. На понеділок потрібно в розклад поставити 3 предмети. Скільки можна це зробити?

Рішення. Способів постановки розклад трьох предметів з 16 стільки, скільки можна скласти розміщень з 16 елементів по 3.

Завдання 2. З 15 об'єктів необхідно відібрати 10 об'єктів. Скільки способами це можна зробити?

Завдання 3. У змаганнях взяли участь чотири команди. Скільки варіантів розподілу місць між ними можливо?

.

Завдання 4. Скільки способів можна скласти дозор із трьох солдатів і одного офіцера, якщо є 80 солдатів і 3 офіцери?

Рішення. Солдат у дозор можна вибрати

методами, а офіцерів методами. Так як з кожною командою солдат може піти будь-який офіцер, то всього є способів.

Завдання 5. Знайти , якщо відомо, що .

Оскільки , то отримаємо

,

,

За визначенням поєднання слід, що , . Т.ч. .

1.3. Поняття про випадкову подію. Види подій. Ймовірність події

Будь-яка дія, явище, спостереження з декількома різними наслідками, що реалізується при даному комплексі умов, будемо називати випробуванням.

Результат цієї дії чи спостереження називається подією .

Якщо подія при заданих умовахможе статися або не статися, воно називається випадковим . У тому випадку, коли подія має неодмінно статися, її називають достовірним , а в тому випадку, коли воно свідомо не може статися, - неможливим.

Події називаються несумісними якщо кожен раз можлива поява тільки одного з них.

Події називаються спільними якщо в даних умовах поява однієї з цих подій не виключає поява іншого при тому ж випробуванні.

Події називаються протилежними якщо в умовах випробування вони, будучи єдиними його результатами, несумісні.

Події прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту: А, В, С, Д, : .

Повною системою подій А 1 , А 2 , А 3 , : , А n називається сукупність несумісних подій, настання хоча б одного з яких обов'язково при цьому випробуванні.

Якщо повна система складається з двох несумісних подій, такі події називаються протилежними і позначаються А і .

приклад. У коробці є 30 пронумерованих куль. Встановити, які з таких подій є неможливими, достовірними, протилежними:

дістали пронумеровану кулю (А);

дістали кулю з парним номером (В);

дістали кулю з непарним номером (С);

дістали кулю без номера (Д).

Які їх утворюють повну групу?

Рішення . А- достовірна подія; Д- неможлива подія;

В і З- Протилежні події.

Повну групу подій складають Аі Д, Ві З.

Імовірність події розглядається як міра об'єктивної можливості появи випадкової події.

1.4. Класичне визначення ймовірності

Число, що є виразом міри об'єктивної можливості настання події, називається ймовірністю цієї події і позначається символом Р(А).

Визначення. Ймовірністю події Аназивається відношення числа результатів m, що сприяють настанню цієї події Адо числа nвсіх результатів (несумісних, єдино можливих і рівноможливих), тобто. .

Отже, знаходження ймовірності події необхідно, розглянувши різні результати випробування, підрахувати всі можливі несовместные результати n,вибрати число цікавих для нас результатів m і обчислити ставлення mдо n.

З цього визначення випливають такі характеристики:

Імовірність будь-якого випробування є невід'ємне число, що не перевищує одиниці.

Дійсно, число m подій, що шукаються, укладено в межах . Розділивши обидві частини на n, отримаємо

2. Можливість достовірного події дорівнює одиниці, т.к. .

3. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю, оскільки .

Завдання 1. У лотереї із 1000 квитків є 200 виграшних. Виймають навмання один квиток. Чому дорівнює можливість того, що цей квиток виграшний?

Рішення. Загальна кількість різних результатів є n=1000. Число результатів, що сприяють отриманню виграшу, становить m=200. Згідно з формулою, отримаємо

.

Завдання 2. У партії із 18 деталей перебувають 4 браковані. Навмання вибирають 5 деталей. Знайти ймовірність того, що із цих 5 деталей дві виявляться бракованими.

Рішення. Число всіх рівноможливих незалежних результатів nдорівнює кількості поєднань з 18 по 5 тобто.

Підрахуємо число m, що сприяють події А. Серед 5 взятих навмання деталей має бути 3 якісних та 2 бракованих. Число способів вибірки двох бракованих деталей з 4 наявних бракованих дорівнює кількості поєднань з 4 по 2:

Число способів вибірки трьох якісних деталей з 14 наявних якісних дорівнює

.

Будь-яка група якісних деталей може комбінуватися з будь-якою групою бракованих деталей, тому загальна кількість комбінацій mскладає

Шукана ймовірність події А дорівнює відношенню числа результатів m, що сприяють цій події, до n всіх рівноможливих незалежних результатів:

.

Сумою кінцевого числа подій називається подія, що полягає у настанні хоча б одного з них.

Суму двох подій позначають символом А+В, а суму nподій символом А1+А2+: +Аn.

Теорема складання ймовірностей.

Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Наслідок 1. Якщо подія А 1 , А 2 , : , А n утворюють повну систему, то сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці.

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці.

.

Завдання 1. Є 100 лотерейних білетів. Відомо, що на 5 квитків потрапляє виграш по 20000 руб., на 10 – по 15000 руб, на 15 – по 10000 руб., на 25 – по 2000 руб. і на решту нічого. Знайти ймовірність того, що на куплений квиток буде отримано виграш не менше ніж 10000 руб.

Рішення. Нехай А, У, і З- події, які у тому, що у куплений квиток падає виграш, рівний відповідно 20000, 15000 і 10000 крб. оскільки події А, В та С несумісні, то

Завдання 2. заочне відділеннятехнікуму надходять контрольні роботи з математики з міст А, Ві З. Ймовірність надходження контрольної роботи із міста Адорівнює 0,6, із міста В- 0,1. Знайти ймовірність того, що чергова контрольна роботанадійде з міста З.

Багато хто, зіткнувшись з поняттям «теорія ймовірності», лякається, думаючи, що це непосильне, дуже складне. Але все насправді не таке трагічно. Сьогодні ми розглянемо основне поняття теорії ймовірності, навчимося вирішувати завдання на конкретних прикладах.

Наука

Що ж вивчає такий розділ математики, як теорія ймовірності? Вона відзначає закономірності та величин. Вперше цим питанням зацікавилися вчені ще у вісімнадцятому столітті, коли вивчали азартні ігри. Основне поняття теорії ймовірності – подія. Це будь-який факт, який констатується досвідом чи спостереженням. Але що таке досвід? Ще одне основне поняття теорії ймовірності. Воно означає, що це склад обставин створено невипадково, і з певною метою. Щодо спостереження, то тут дослідник сам не бере участі в досвіді, а просто є свідком цих подій, він ніяк не впливає на те, що відбувається.

Події

Ми дізналися, що основне поняття теорії ймовірності – це подія, але не розглянули класифікацію. Усі вони поділяються на такі категорії:

• Достовірні.
• Неможливі.
• Випадкові.

Незалежно від того, які це події, за якими спостерігають або створюють у ході досвіду, всі вони схильні до даної класифікації. Пропонуємо з кожним із видів познайомитися окремо.

Достовірна подія

Це така обставина, перед якою зроблено необхідний комплекс заходів. Для того, щоб краще вникнути в суть, краще навести кілька прикладів. Цьому закону підпорядковані і фізика, і хімія, і економіка, і математика. Теорія ймовірності включає таке важливе поняття як достовірне подія. Наведемо приклади:

• Ми працюємо та отримуємо винагороду у вигляді заробітної плати.
• Здали добре іспити, пройшли конкурс, за це отримуємо винагороду у вигляді надходження у навчальний заклад.
• Ми вклали гроші в банк, за необхідності отримаємо їх назад.

Такі події є достовірними. Якщо ми виконали все необхідні умови, то обов'язково отримаємо очікуваний результат.

Неможливі події

Наразі ми розглядаємо елементи теорії ймовірності. Пропонуємо перейти до пояснення наступного виду події, а саме неможливого. Спочатку обмовимо саме важливе правило- ймовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Від цього формулювання не можна відступати під час вирішення завдань. Для пояснення наведемо приклади таких подій:

• Вода стала при температурі плюс десять (це неможливо).
• Відсутність електроенергії ніяк не впливає на виробництво (так само неможливо, як і в попередньому прикладі).

Більше прикладів наводити не варто, тому що описані вище дуже яскраво відображають суть цієї категорії. Неможлива подія ніколи не станеться під час досвіду за жодних обставин.

Випадкові події

Вивчаючи елементи особливу увагуварто приділити саме цьому виду події. Саме їх і вивчає ця наука. В результаті досвіду може щось статися чи ні. Крім цього, випробування може проводитися необмежену кількість разів. Яскравими прикладамиможуть служити:

• Кидок монети – це досвід, або випробування, випадання орла – це подія.
• Витягування м'ячика з мішка наосліп - випробування, попалася червона куля - це подія і таке інше.

Таких прикладів може бути необмежену кількість, але, загалом, суть має бути зрозумілою. Для узагальнення та систематизування отриманих знань про події наведено таблицю. Теорія ймовірності вивчає лише останній вид із усіх представлених.

назва	визначення
Достовірні	Події, що відбуваються зі стовідсотковою гарантією за дотримання деяких умов.	Вступ до навчального закладу при хорошій сдачі вступного іспиту.
Неможливі	Події, які ніколи не відбудуться за жодних умов.	Йде сніг за температури повітря плюс тридцять градусів за Цельсієм.
Випадкові	Подія, яка може статися чи ні під час проведення досвіду/випробування.	Попадання або промах під час кидання баскетбольного м'яча у кільце.

Закони

Теорія ймовірності - це наука, що вивчає можливість випадання будь-якої події. Як і інші, вона має певні правила. Існують такі закони теорії ймовірності:

• Схожість послідовностей випадкових величин.
• Закон великих чисел.

При розрахунку можливості складного можна використовувати комплекс простих подій для досягнення результату більш легким та швидким шляхом. Зазначимо, закони теорії ймовірності легко доводяться з допомогою деяких теорем. Пропонуємо спочатку познайомитися з першим законом.

Схожість послідовностей випадкових величин

Відзначимо, що видів збіжності кілька:

• Послідовність випадкових величин схожа на ймовірність.
• Майже неможливе.
• Середньоквадратична збіжність.
• Збіжність із розподілу.

Так, з льоту дуже важко вникнути в суть. Наведемо визначення, які допоможуть розібратися у цій темі. Спочатку перший вид. Послідовність називають схожій ймовірно, якщо дотримано така умова: n прагне нескінченності, число, якого прагне послідовність, більше нуля і наближена до одиниці.

Переходимо до наступного виду, майже напевно. Говорять, що послідовність сходиться майже напевнодо випадкової величини при n, що прагне нескінченності, і Р, що прагне величини, наближеної до одиниці.

Наступний тип - це збіжність середньоквадратична. З використанням СК-сходимости вивчення векторних випадкових процесів зводиться до вивчення їх координатних випадкових процесів.

Залишився останній тип, давайте розберемо коротко і його, щоб переходити безпосередньо до вирішення завдань. Збіжність за розподілом має ще одну назву - «слабке», далі пояснимо, чому. Слабка збіжність- Це збіжність функцій розподілу у всіх точках безперервності граничної функції розподілу.

Обов'язково виконаємо обіцянку: слабка збіжність відрізняється від усіх перелічених вище тим, що випадкова величина не визначена на ймовірнісному просторі. Це можливо тому, що умова формується виключно за допомогою функцій розподілу.

Закон великих чисел

Відмінними помічниками при доведенні цього закону стануть теореми теорії ймовірності, такі як:

• Нерівність Чебишева.
• Теорема Чебишева.
• Узагальнена теорема Чебишева.
• Теорема Маркова.

Якщо будемо розглядати всі ці теореми, то це питання може затягнутися на кілька десятків аркушів. А в нас основне завдання - це застосування теорії ймовірності на практиці. Пропонуємо вам зараз цим і зайнятися. Але перед цим розглянемо аксіоми теорії ймовірностей, вони будуть основними помічниками під час вирішення завдань.

Аксіоми

З першою ми вже познайомилися, коли говорили про неможливу подію. Давайте згадувати: ймовірність неможливої ​​події дорівнює нулю. Приклад ми наводили дуже яскравий і незабутній: випав сніг при температурі повітря тридцять градусів за Цельсієм.

Друга звучить так: достовірна подія відбувається з ймовірністю, що дорівнює одиниці. Тепер покажемо, як це записати з допомогою математичної мови: Р(В)=1.

Третя: Випадкова подія може статися чи ні, але можливість завжди варіюється в межах від нуля до одиниці. Чим ближче значення до одиниці, тим більше шансів; якщо значення наближається до нуля, можливість дуже мала. Запишемо це математичною мовою: 0<Р(С)<1.

Розглянемо останню, четверту аксіому, яка звучить так: ймовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей. Записуємо математичною мовою: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Аксіоми теорії ймовірностей - це найпростіші правила, які не важко запам'ятати. Спробуймо вирішити деякі завдання, спираючись на вже отримані знання.

Лотерейний квиток

Для початку розглянемо найпростіший приклад – лотерея. Уявіть, що ви придбали один лотерейний квиток на удачу. Яка ймовірність, що ви виграєте щонайменше двадцять рублів? Загалом у тиражі бере участь тисяча квитків, один із яких має приз у п'ятсот рублів, десять по сто рублів, п'ятдесят по двадцять рублів, а сто – по п'ять. Завдання з теорії ймовірності засновані на тому, щоб знайти можливість удачі. Зараз разом розберемо рішення вище за представлене завдання.

Якщо ми буквою А позначимо виграш у п'ятсот рублів, то ймовірність випадання А дорівнюватиме 0,001. Як ми це здобули? Просто необхідно кількість "щасливих" квитків розділити на їх загальне число (в даному випадку: 1/1000).

В - це виграш у сто рублів, ймовірність дорівнюватиме 0,01. Зараз ми діяли за тим же принципом, що й у минулому (10/1000)

С – виграш дорівнює двадцяти рублям. Знаходимо можливість, вона дорівнює 0,05.

Інші квитки нас не цікавлять, тому що їхній призовий фонд менший за заданий за умови. Застосуємо четверту аксіому: Ймовірність виграти щонайменше двадцяти рублів становить Р(А)+Р(В)+Р(С). Буквою Р позначається ймовірність походження цієї події, ми в попередніх діях вже їх знайшли. Залишилося лише скласти необхідні дані, у відповіді ми отримуємо 0,061. Це і буде відповіддю питання завдання.

Карткова колода

Завдання з теорії ймовірності бувають і складнішими, наприклад візьмемо наступне завдання. Перед вами колода із тридцяти шести карт. Ваше завдання - витягнути дві карти поспіль, не перемішуючи стос, перша та друга карти повинні бути тузами, масть значення не має.

Для початку знайдемо можливість, що перша карта буде тузом, для цього чотири ділимо на тридцять шість. Відклали його убік. Дістаємо другу карту, це буде туз із ймовірністю три тридцять п'ятих. Імовірність другої події залежить від того, яку карту ми витягли першою, нам цікаво, був це туз чи ні. З цього випливає, що подія залежить від події А.

Наступною дією знаходимо ймовірність одночасного здійснення, тобто перемножуємо А і В. Їх твір перебуває таким чином: ймовірність однієї події множимо на умовну ймовірність іншої, яку ми обчислюємо, припускаючи, що перша подія відбулася, тобто першою картою ми витягли туз.

Щоб стало зрозуміло, дамо позначення такому елементу, як події. Обчислюється вона, припускаючи, що А сталося. Розраховується так: Р(В/А).

Продовжимо розв'язання нашого завдання: Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А) або Р(А*В)=Р(В)*Р(А/В). Імовірність дорівнює (4/36) * ((3/35)/(4/36). Обчислюємо, округляючи до сотих. Ми маємо: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Імовірність того, що ми витягнемо два тузи поспіль, дорівнює дев'яти сотим.

Забутий номер

Пропонуємо розібрати ще кілька варіантів завдань, які вивчає теорія ймовірності. Приклади вирішення деяких з них ви вже бачили в даній статті, спробуємо вирішити таке завдання: хлопчик забув останню цифру номера свого друга, але оскільки дзвінок був дуже важливий, то почав набирати все по черзі. Нам необхідно обчислити ймовірність того, що він зателефонує трохи більше трьох разів. Розв'язання задачі найпростіше, якщо відомі правила, закони та аксіоми теорії ймовірності.

Перед тим, як дивитися рішення, спробуйте вирішити самостійно. Нам відомо, що остання цифра може бути від нуля до дев'яти, тобто лише десять значень. Можливість набрати необхідну становить 1/10.

Далі нам потрібно розглядати варіанти походження події, припустимо, що хлопчик вгадав і відразу набрав потрібну, ймовірність такої події дорівнює 1/10. Другий варіант: перший дзвінок промах, а другий - ціль. Розрахуємо можливість такої події: 9/10 множимо на 1/9, в результаті отримуємо також 1/10. Третій варіант: перший і другий дзвінок виявилися не за адресою, тільки з третього хлопчик потрапив туди, куди хотів. Обчислюємо можливість такої події: 9/10 множимо на 8/9 і на 1/8, отримуємо в результаті 1/10. Інші варіанти за умовою завдання нас не цікавлять, тому нам залишилося скласти отримані результати, в результаті ми маємо 3/10. Відповідь: ймовірність того, що хлопчик зателефонує трохи більше трьох разів, дорівнює 0,3.

Картки з числами

Перед вами дев'ять карток, кожної з яких написано число від однієї до дев'яти, цифри не повторюються. Їх поклали в коробку та ретельно перемішали. Вам необхідно розрахувати ймовірність того, що

• випаде парне число;
• двоцифрове.

Перед тим як переходити до рішення, зауважимо, що m – це кількість вдалих випадків, а n – це загальна кількість варіантів. Знайдемо ймовірність того, що число буде парним. Не важко порахувати, що парних чисел чотири, це буде наша m, всього можливо дев'ять варіантів, тобто m=9. Тоді ймовірність дорівнює 0,44 чи 4/9.

Розглядаємо другий випадок: кількість варіантів дев'ять, а вдалих результатів взагалі бути не може, тобто m дорівнює нулю. Імовірність того, що витягнута картка міститиме двозначне число, так само дорівнює нулю.

Теорія ймовірностей – це розділ математики, який вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні властивості та операції з них.

Тривалий час теорія ймовірностей у відсутності чіткого визначення. Воно було сформульовано лише 1929 року. Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середніх віків та перших спроб математичного аналізу азартних ігор (орлянка, кістки, рулетка). Французькі математики XVII століття Блез Паскаль і П'єр Ферма, досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, відкрили перші ймовірні закономірності, що виникають при киданні кісток.

Теорія ймовірності виникла як наука з переконання, що у основі масових випадкових подій лежать певні закономірності. Теорія ймовірності вивчає дані закономірності.

Теорія ймовірностей займається вивченням подій, настання яких достовірно невідоме. Вона дозволяє судити про ступінь ймовірності настання одних подій порівняно з іншими.

Наприклад: визначити однозначно результат випадання «орла» або «решки» в результаті підкидання монети не можна, але при багаторазовому підкиданні випадає приблизно однакове число «орлів» та «решок», що означає, що ймовірність того, що випаде «орел» або «решка» », Дорівнює 50%.

Випробуванняму разі називається реалізація певного комплексу умов, тобто у разі підкидання монети. Випробування може відтворюватися необмежену кількість разів. При цьому комплекс умов включає випадкові фактори.

Результатом випробування є подія. Подія буває:

1. Вірогідне (завжди відбувається в результаті випробування).
2. Неможливе (ніколи не відбувається).
3. Випадкове (може статися чи не статися внаслідок випробування).

Наприклад, при підкиданні монети неможлива подія – монета стане на ребро, випадкова подія – випадання «орла» чи «решки». Конкретний результат випробування називається елементарною подією. В результаті випробування відбуваються лише елементарні події. Сукупність всіх можливих, різних, конкретних результатів випробувань називається простором елементарних подій.

Основні поняття теорії

Ймовірність- Ступінь можливості походження події. Коли підстави для того, щоб якась можлива подія відбулася насправді, переважують протилежні підстави, то цю подію називають ймовірною, інакше - малоймовірною або неймовірною.

Випадкова величина- це величина, яка в результаті випробування може набути того чи іншого значення, причому невідомо заздалегідь, яке саме. Наприклад: число на пожежну станцію за добу, кількість попадання за 10 пострілів тощо.

Випадкові величини можна поділити на дві категорії.

1. Дискретною випадковою величиноюназивається така величина, яка в результаті випробування може приймати певні значення з певною ймовірністю, що утворюють лічильну множину (множина, елементи якої можуть бути занумеровані). Ця множина може бути як кінцевою, так і нескінченною. Наприклад, кількість пострілів до першого попадання на ціль є дискретною випадковою величиною, т.к. ця величина може приймати і нескінченну, хоч і лічильну кількість значень.
2. Безперервною випадковою величиноюназивається така величина, яка може приймати будь-які значення деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Вочевидь, кількість можливих значень безперервної випадкової величини нескінченно.

Імовірнісний простір- Поняття, введене О.М. Колмогоровим в 30-х роках XX століття для формалізації поняття ймовірності, яке дало початок бурхливому розвитку теорії ймовірностей як суворої математичної дисципліни.

Імовірнісний простір - це трійка (іноді обрамлена кутовими дужками: , де

Це довільна множина, елементи якої називаються елементарними подіями, наслідками або точками;
- сигма-алгебра підмножин, званих (випадковими) подіями;
- ймовірнісна міра чи ймовірність, тобто. сигма-адитивна кінцева міра, така що .

Теорема Муавра-Лапласа- Одна з граничних теорем теорії ймовірностей, встановлена ​​Лапласом 1812 року. Вона стверджує, що кількість успіхів при багаторазовому повторенні одного і того ж випадкового експерименту з двома можливими наслідками приблизно має нормальний розподіл. Вона дає змогу знайти наближене значення ймовірності.

Якщо за кожному з незалежних випробувань ймовірність появи деякого випадкового події дорівнює () і - число випробувань, у яких настає, то ймовірність справедливості нерівності близька (при великих ) до значення інтеграла Лапласа.

Функція розподілу теорії ймовірностей- функція, що характеризує розподіл випадкової величини чи випадкового вектора; ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, менше або рівне х, де х - довільне дійсне число. За дотримання відомих умов повністю визначає випадкову величину.

Математичне очікування- Середнє значення випадкової величини (це розподіл ймовірностей випадкової величини, що розглядається в теорії ймовірностей). В англомовній літературі позначається через , у російській мові. У статистиці часто використовують позначення.

Нехай задано імовірнісне простір і певна у ньому випадкова величина . Тобто, за визначенням, – вимірна функція. Тоді, якщо існує інтеграл Лебега від простору , він називається математичним очікуванням, чи середнім значенням і позначається .

Дисперсія випадкової величини- міра розкиду цієї випадкової величини, т. е. її відхилення від математичного очікування. Позначається в російській літературі та в зарубіжній. У статистиці часто використовується позначення чи . Квадратний корінь з дисперсії називається середньоквадратичним відхиленням, стандартним відхиленням або стандартним розкидом.

Нехай – випадкова величина, визначена на деякому ймовірнісному просторі. Тоді

де символ означає математичне очікування.

У теорії ймовірностей дві випадкові події називаються незалежнимиякщо наступ одного з них не змінює ймовірність наступу іншого. Аналогічно, дві випадкові величини називають залежнимиякщо значення однієї з них впливає на ймовірність значень іншої.

Найпростіша форма закону великих чисел - це теорема Бернуллі, яка стверджує, що якщо ймовірність події однакова у всіх випробуваннях, то зі збільшенням числа випробувань частота події прагне ймовірності події і перестає бути випадковою.

Закон великих чисел у теорії ймовірностей стверджує, що середнє арифметичне кінцевої вибірки з фіксованого розподілу близьке до теоретичного середнього математичного очікування цього розподілу. Залежно від виду збіжності розрізняють слабкий закон великих чисел, коли має місце збіжність, і посилений закон великих чисел, коли має місце збіжність майже напевно.

Загальний сенс закону великих чисел - спільна дія великої кількості однакових і незалежних випадкових факторів призводить до результату, що в межі не залежить від випадку.

У цьому властивості засновані методи оцінки ймовірності з урахуванням аналізу кінцевої вибірки. Наочним прикладом є прогноз результатів виборів на основі опитування вибірки виборців.

Центральні граничні теореми- клас теорем теорії ймовірностей, стверджують, що сума досить великої кількості слабко залежних випадкових величин, мають приблизно однакові масштаби (жоден із доданків не домінує, не вносить у суму визначального вкладу), має розподіл, близьке до нормального.

Так як багато випадкових величин у додатках формуються під впливом декількох слабко залежних випадкових факторів, їх розподіл вважають нормальним. При цьому має дотримуватися умова, що жоден із факторів не є домінуючим. Центральні граничні теореми у випадках обгрунтовують застосування нормального розподілу.