Štúdium oscilácií kyvadla nite a meranie. Laboratórne práce z fyziky „Štúdium zákonov matematického kyvadla“

Laboratórne práce

Štúdium zákonov matematického kyvadla

Cieľ: Preštudujte si zákony matematického kyvadla a určite gravitačné zrýchlenie

Vybavenie: Kyvadlo (lopta na zavesení), pravítko, stopky alebo hodinky z druhej ruky.

Stručná teória:

Matematické kyvadlo je oscilátor, čo je mechanický systém pozostávajúci z hmotného bodu umiestneného na beztiažovom neroztiahnuteľnom vlákne alebo na beztiažovej tyči v jednotnom poli gravitačných síl.

Dĺžka kyvadla l je vzdialenosť od bodu zavesenia k ťažisku lopty.

Pre praktický výpočet periódy oscilácie použite vzorec:


,

kde T je doba oscilácie,

t - čas oscilácie,

n je počet úplných vibrácií.

Podľa zákonov oscilácie možno periódu kyvadla určiť podľa vzorca:


,

Oscilačná doba matematického kyvadla nezávisí od hmotnosti gule.

P perióda oscilácie matematického kyvadla je priamo úmerná dĺžke kyvadla a nepriamo úmerná gravitačnému zrýchleniu. Táto rovnica sa nazýva Huygensov vzorec.

Odkaz na históriu

Christian Huygens van Zuilichem (14. apríla 1629 - 8. júla 1695). Holandský fyzik, matematik, mechanik a astronóm a vynálezca. Narodený v Haagu. Vyštudoval právo na univerzite v Leidene, ale matematiku neprestal. Na základe Galileovho výskumu vyriešil množstvo problémov v mechanike. V roku 1656, vo veku 27 rokov, navrhol prvé únikové kyvadlové hodiny. Vytvorenie hodín, ktoré na tú dobu merali čas s nevídanou presnosťou, malo ďalekosiahle následky na rozvoj fyzikálnych experimentov a praktických činností človeka. Pred tým sa koniec koncov meral odtok vody, horenie fakle alebo sviečky. Teória oscilácií, ktorú vytvoril Huygens v roku 1673, bola jednou zo základov pre neskoršie pochopenie podstaty svetla.

Z Huygensovho vzorca pomocou matematických transformácií získame výraz pre gravitačné zrýchlenie:


Skutočným modelom matematického kyvadla v našich pokusoch bude malá guľôčka zavesená na tenkej elastickej nite. Veľkosť gule by mala byť malá v porovnaní s dĺžkou vlákna. To umožňuje predpokladať, že všetka hmota je sústredená v jednom bode, v ťažisku lopty.

Pracovný proces:

    Určte cenu rozdelenia zariadení:

vládca …… ..m / div.

stopky …… .s / div.

2. Určte chybu prístrojov (absolútna chyba prístrojov sa rovná ½ dielika stupnice):

vládca Δ l = …… ..m

stopky Δ t \u003d …… .s

    Nastavte maximálnu dĺžku kyvadla a zmerajte ju l 1 \u003d… .m.

    Spustite kyvadlo (uhol vychýlenia 10 - 15 0) a včas t spočítať počet vibrácií n (najmenej 7).

    Zmenou počtu vibrácií opakujte experiment ešte 3-krát.

t 2 \u003d ………, n 2 \u003d …………. T 2 \u003d ………,

t 3 \u003d ………, n 3 \u003d …………. T 3 \u003d ………,

t 4 \u003d ………, n 4 \u003d …………. T 4 \u003d ………,

    Zmeňte dĺžku kyvadla l 2 \u003d… .m a opakujte všetky merania.

    Zadajte údaje do tabuľky.

№ merania

Dĺžka kyvadla

l, m

№ skúsenosti

Čas oscilácie,

t, s

Počet vibrácií

n

Obdobie oscilácií,

T, s

Priemerná hodnota obdobia, T avg, s

Zrýchlenie voľného pádu, g, m / s 2.

Priemerná hodnota

zrýchlenie voľného pádu, priemer g, m / s 2.

l porov \u003d

t St \u003d

relatívna: absolútna:




,

Kontrolné otázky:

    Aké dlhé je matematické kyvadlo s periódou 2 s?

    Nájdite hmotnosť závažia, ktorá na pružine s tuhosťou 250 N / m vytvára 20 vibrácií za 16 s.

    Gravitačné zrýchlenie na Mesiaci je 1,7 m / s 2. Aká bude perióda oscilácie matematického kyvadla na Mesiaci, ak sa na Zemi rovná 1 s? Závisí odpoveď od hmotnosti nákladu?

    Súradnica oscilačného telesa sa mení podľa zákona x \u003d 0,5s v 45πt. Aká je amplitúda a perióda kmitov?

    Amplitúda spojitých kmitov bodu je 12 cm, lineárna frekvencia je 14 Hz, začiatočná fáza kmitov je 0. Napíš pohybovú rovnicu bodu x \u003d x (t).

Rozdelenie mierky

Rozdiel (bez ohľadu na znamienko) medzi hodnotami fyzikálna veličinazodpovedajúce deleniu značiek na stupnici. V digitálnych zariadeniach slúži krok diskrétnosti ako charakteristika, ktorá nahrádza hodnotu delenia stupnice.

a) vyberte na stupnici dva najbližšie digitalizované riadky;

c) rozdiel v hodnotách (odčítať menšie od väčšieho) o vybrané ťahy, vydelíme počtom dielikov.

H

tento obrázok ukazuje stupnicu teplomeru vo veľkom meradle. Použijeme ho na ilustráciu pravidla pre výpočet ceny divízie.

a) vyberte digitalizované zdvihy 20 ° С a 40 ° С.

b) 10 delení (medzier) medzi nimi

c) vypočítať: (40 ° С - 20 ° С): 10 dielikov \u003d 2 ° С / diel.

Odpoveď: cena divízií \u003d 2 ° С / div,

Digitálne zariadenia nemajú stupnicu explicitne a namiesto ceny za rozdelenie označujú pri načítaní zariadenia cenu jednotky najmenej významnej číslice čísla.

P


príklad:

1) cena dielika v mierke tohto zariadenia je 1 (bežné jednotky) / diel.

2
) dielik stupnice tohto zariadenia je 0,01 (konvenčné jednotky) / diel.

3
) dielik stupnice tohto zariadenia je 0,1 (konvenčné jednotky) / diel.

4) dielik stupnice tohto zariadenia je 0,001 (konvenčné jednotky) / diel.


I. Cieľ

Pozorovania oscilačných pohybov matematického kyvadla implementované na zariadení, ktorého funkčná schéma je zobrazená na obrázku 1.

Meranie periódy kmitania kyvadla pri rôznych dĺžkach a amplitúdach.

Stanovenie režimu izochronizmu oscilácií matematického kyvadla.

Výpočet gravitačného zrýchlenia gule z výsledkov určených meraní.

II ... Teoretická časť

Zvážte zariadenie pozostávajúce z malej gule pripevnenej k pevnému bodu zavesenia s beztiažnym neroztiahnuteľným závitom určitej dĺžky (obr. 1).

Ak je veľkosť lopty oveľa menšia ako dĺžkal nite, potom možno loptu považovať za hmotný bod; a ak je hmotnosť gule oveľa väčšia ako hmotnosť vlákna, potom sa táto môže považovať za beztiažovú. Niť možno tiež považovať za neroztiahnuteľnú za predpokladu, že gravitácia guľôčky spôsobí nekonečne predĺženie nite.

Toto zariadenie umožňuje simulovať oscilačný pohyb takzvaného matematického kyvadla.

Obrázok: 1. Prístroj na štúdium oscilácií matematického kyvadla: 1. kovová platňa na nastavenie uhla vychýlenia kyvadla; 2. Pohyblivá plošina; 3. Meracie pravítko.


Obrázok 2. Ilustrácia oscilačných pohybov matematického kyvadla.

V skutočnosti je v počiatočnom stave vlákno nasmerované zvisle nadol (poloha 1 na obrázku 2). V tomto prípade silaF napätie a pevnosť nitemg závažia lopty sa zhodujú so smerom vlákna, ale opačne. Pretože je niť neroztiahnuteľná, obe sily sa navzájom vyrovnávajú, t.j.F \u003d mg ... Lopta je v pokoji. Tento stav kyvadla sa nazýva jeho rovnovážna poloha.

Vezmime kyvadlo z jeho rovnovážnej polohy vychýlením lopty z pôvodného stavu o uholφ 0 (obr. 2). Potom to pustite bez tlačenia. Gravitácioumg lopta sa začne pohybovať smerom do rovnovážnej polohy, po chvíli ju minie, potom sa na druhej strane rovnovážnej polohy od nej odkloní o nejaký uhol menší akoφ 0 a pôsobením gravitácie sa opäť ponáhľa smerom k rovnovážnej polohe. Ak neexistujú vonkajšie vplyvy na loptu, táto bude vykonávať opísaný pohyb v jednej rovine. Je zrejmé, že trajektória lopty bude kruhový oblúk s polomeroml ... Tieto pohyby sa nazývajú vibrácie.

Pôsobením odporovej sily na loptu budú jej oscilácie tlmené, o čom svedčí skutočnosť, že po každom prechode rovnováhou sa od nej bude odchýliť pod menším a menším uhlom. Ak sa však tento proces pozoruje pomerne krátko, potom je možné oscilačný proces rozpoznať ako kontinuálny.

Zvážte sily, ktoré pôsobia na loptu v ľubovoľnom časet. Nech φ - uhol vychýlenia závitu v tomto okamihu. Píšeme nasledujúcu rovnicu druhého Newtonovho zákona v smereτ sa zhoduje s dotyčnicou nakreslenou k bodu dráhy lopty, v ktorej sa nachádza v uvažovanom časovom okamihut.

ma τ \u003d - mg sin φ (1)

Tu τ - tangenciálne zrýchlenie,m Je hmotnosť lopty. Znamienko mínus vpravo v bode (1) zohľadňuje skutočnosť, že pri pohybe z rovnovážnej polohy smerom hore tento pohyb bráni gravitačná sila.

Uhlové zrýchlenie ε gule je definované ako druhá časová derivácia uhlaφ, t.j.

. (2)

Medzi tangenciálnym zrýchleníma τ a uhlové ε existuje zjavná súvislosť

(3)

Rovnica (1) zohľadňujúca vzorce (2) a (3) má formu:

. (4)

V rovnici (4) neznáma funkciaφ (t) stojí v znamení derivácie druhého rádu. Takáto rovnica v matematike sa nazýva obyčajná diferenciálna rovnica druhého rádu.

Dá sa to zjednodušiť, ak vezmeme do úvahy, že pod malými uhlamiφ, merané v radiánoch. Potom namiesto (4) budeme mať

. (5)

Rovnica (5) popisuje pohyb kyvadla. Nazýva sa tiež rovnica harmonického oscilátora.

Priamou substitúciou sa dá overiť, že riešenie rovnice (5) má tvar

, (6)

ak označíme

. (7)

Je teda vidieť, že zmeny uhlaφ v čase nastane podľa sínusového zákona. Množstvoφ 0 , rovný maximálnemu uhlu odchýlky od rovnovážnej polohy sa nazýva amplitúda harmonických vibrácií. Veľkosť amplitúdy v tomto prípade závisí od počiatočnej odchýlky. Hodnota pod sínusovým znamienkom sa nazýva fáza. Fáza rastie úmerne s časom. Hodnota pod sínusovým znamienkom sa nazýva počiatočná fáza, ktorá je v uvažovanom pohybe nulová.

Sínusová funkcia, ktorá určuje povahu kmitavých pohybov, je periodická funkcia s obdobím rovným. To druhé znamená, že ak poT určíme periódu kmitania kyvadla, potom môžeme pre hodnotu fázy napísať nasledujúcu rovnosť

, (8)

kde je kruhová frekvencia.

Teraz s prihliadnutím na (7) pre dané obdobieBudeme mať:

(9)

Vzťah (9) naznačuje, že linearizácia rovnice (4) viedla k rovnici (5), ktorej riešenie pripúšťa nezávislosťT na amplitúde φ 0.

Takéto výkyvy sa nazývajú izochrónne.

Vzorec (9) môže byť tiež znázornený takto:

k l, (10)

kde cez

(11)

sklon lineárnej funkčnej závislosti funkcieT 2 z argumentu l.

Následne sa izochronizmus oscilácií kyvadla overuje platnosťou vzťahu (10) podľa nameraných hodnôt obdobiaT pri rôznych hodnotáchl súvisiace s rovnakým uhlomφ 0 .

Funkčná závislosť konštruovaná z experimentálnych bodov umožňuje určiť sklonk, prostredníctvom ktorej číselnej hodnoty je zrýchlenieg voľný pád lopty sa počíta takto:

. (12)

Navyše jedným meranímT a l zrýchlenie g možno tiež vypočítať z tohto pomeru:

(13)

III ... Experimentálny postup

Pretože linearizácia rovnice (4), ktorá viedla k rovnici (5), ktorá popisuje izochrónne oscilácie, je založená na predpoklade, je zrejmé, že izochrónny rozsah je určený hodnotami uhlaφ 0 pri ktorej existuje lineárna závislosť.

Preto definovať rozsah hodnôtφ 0 , pre ktoré platí vzťah (10), je potrebný pre niekoľko hodnôtφ 0 vykonajte merania, ktoré vám umožnia vytvoriť závislosti, potom zo zadaných funkčných závislostí vypočítajte sklonk a pre vybrané uhlyφ 0 vypočítať hodnotyg podľa (12) a porovnajte ich so všeobecne akceptovanou hodnotoug \u003d 9,8 m / s2. Tieto uhly φ 0 pre ktoré je vypočítaná hodnotag pri zohľadnení chyby merania zachová rovnaké číselné hodnoty a určí rozsah izochronizmu oscilácií realizovaný týmto prístrojom.

Poradie meraní je nasledujúce: zvolí sa konkrétna hodnota uhlaφ 0 , pomocou ktorého je potrebné loptu vychýliť z rovnovážnej polohy, nastaví sa dĺžka kyvadla, vykoná sa experiment, počas ktorého sa zmeria periódaT ... Pokus sa vykonáva niekoľkokrát tak, že v pevnom uhleφ 0 je potrebné mať od troch do piatich nameraných hodnôtl a T.

Bude to prvá séria meraní v lietadle (T 2, l ) dá iba jeden bod. Na kontrolu vzorca (10) pod daným uhlomφ 0 musí sa vyrobiť niekoľko takýchto šarží.

Navrhuje sa vykonať päť takýchto sérií meraní pre každý z uhlov.φ 0 , z ktorých sú vybrané nasledujúce tri uhly:φ 0 \u003d 10 asi; φ 0 \u003d 20 asi; φ 0 \u003d 30 о.

Viacnásobné namerané hodnotyl a T pre zvolený uholφ 0 ich aritmetické priemery sa počítajú podľa vzorcov:

, (14)

kde n - počet meraní.

Na základe meraní musí študent vyplniť nasledujúce tri tabuľky experimentálnymi údajmi a ukázať ich učiteľovi.

Stôl 1.

φ 0 \u003d 10 о

číslo merania

séria 1

séria 2

séria 3

séria 4

epizóda 5

Tabuľka 2.

φ 0 \u003d 20 о

číslo merania

séria 1

séria 2

séria 3

séria 4

epizóda 5

Tabuľka 3.

φ 0 \u003d 30 о

číslo merania

séria 1

séria 2

séria 3

séria 4

epizóda 5

Pri meraní dĺžkyl treba mať na pamäti kyvadlo, že sa skladá z dĺžky nite držiacej guľku a polomeru guľky.

Polomer gule sa počíta z jej priemeru, ktorý sa meria noniem. Pretože guľka nepredstavuje dokonalý sférický povrch, každé meranie priemeru poskytne hodnotu, ktorá sa mierne líši od predtým nameranej.

Zariadenie, ktoré realizuje oscilačné pohyby kyvadla, má zariadenie, ktoré reguluje dĺžku vlákna. V takom prípade je možné dĺžku nite merať dvoma spôsobmi: buď naneste referenčný niť na niť pevnej dĺžky, ktorej dĺžka sa potom musí merať na meradle; alebo vezmite vlákno určitej dĺžky ako referenčné vlákno a zafixujte dĺžku kyvadlového vlákna pomocou nastaviteľného zariadenia tohto zariadenia.

Pohyblivá plošina (pozri obr. 1) vám umožňuje zmerať dĺžku kyvadla iným spôsobom. K tomu je potrebné kombinovať závit kyvadla spolu s guľou s hornou rovinou pohyblivej plošiny (pozri obr. 3). Rovnakú polohu plošiny je možné upevniť na meracie pravítko - to bude dĺžka vlákna spolu s guľou, od ktorej sa musí odpočítať polomer guľky. Priemer gule sa musí merať pomocou posuvného meradla.

Obrázok: 3.

Obdobie T kmity kyvadla je najlepšie definovať takto: zmerajte čast niekoľko kmitov kyvadla a potom tento čas vydelíme počtom kmitov. Je potrebné mať na pamäti, že čas jednej oscilácie znamená čas, počas ktorého sa lopta vráti z jednej z krajných polôh do rovnakej polohy.

Na nastavenie požadovaného uhlaφ 0 je potrebné použiť obdĺžnikovú kovovú platňu, na ktorej z jedného bodu vychádza niekoľko vodiacich línií, sklonených pod rôznymi uhlami k vertikálnej línii vychádzajúcej z tohto bodu. Tieto uhly je možné merať uhlomerom.

Pohyblivá plošina umožňuje, aby sa obdĺžniková doska vyrovnala s bodom zavesenia kyvadlového závitu tak, aby sa vertikálna čiara na doske zhodovala s kyvadlovým závitom, keď je lopta v dolnej polohe.

Po tomto vyrovnaní je možné pohyblivú plošinu spolu s doskou upevniť. Teraz, keď je závit vychýlený do jedného alebo iného uhla, musí byť zarovnaný s jednou z línií dosky, ktorá definuje konkrétny uhol (pozri obr. 1)

IV ... Spracovanie výsledkov merania

Akákoľvek z nameraných hodnôtl a T tabuľky 1 až 3 nie sú presnými hodnotami, pretože sa merajú s určitými chybami.

V takýchto prípadoch sa aritmetické priemery vypočítané vzorcami (14) považujú za presné hodnoty indikovaných veličín. Chyba merania potom bude znamenať modul maximálnej odchýlky všetkých nameraných hodnôt od ich aritmetického priemeru. Totiž chyba ∆1 merania dĺžky kyvadla budú definované ako

∆ 1 \u003d max | l i - l cf |, (15)

a chyba ∆ 2 - doba kmitania kyvadla by sa mala vypočítať takto:

∆ 2 \u003d max | T i - T av | ... (16)

Vo vzorcoch (15) - (16) indexi \u003d 1,2,3 ... prechádza všetkými číslami meraní zodpovedajúcich veličín.

Výsledky merania spracujeme na počítači v programeMicrosoft Excel a demonštrovať technológiu potrebných výpočtov na konkrétnych výsledkoch merania.

Nech je tabuľka 3 vyplnená nasledujúcimi skutočnými údajmi.

Tabuľka 3

φ 0 \u003d 30 о

číslo merania

séria 1

séria 2

séria 3

séria 4

epizóda 5

0,505

0,495

0,503

0,498

0,500

1,434

1,434

1,428

1,422

1,418

0,606

0,594

0,603

0,597

0,600

1,547

1,553

1,557

1,575

1,553

0,704

0,696

0,702

0,698

0,700

1,685

1,681

1,678

1,691

1,687

0,806

0,794

0,804

0,797

0,800

1,807

1,815

1,791

1,791

1,800

0,904

0,896

0,903

0,898

0,900

1,907

1,909

1,925

1,906

1,897

Pre každú sériu meraní je potrebné vypočítať pomocou vzorcov (14)l av a T av a potom vybudovať závislosťT cf 2 \u003d f (l cf) ... Pre uľahčenie uvádzame notáciu:T cf 2 \u003d y 1, l cf \u003d x 1.

Pred pristúpením k uvedeným výpočtom zostrojíme v programeExcel tabuľku 3 a pripravte formát tabuľky 4, ktorej údaje sa použijú pri konštrukcii funkčnej závislostiy 1 \u003d f (x 1).

V programe Excel Tabuľka 3 je zostavená nasledovne.

Na hárku 1 zošitaExcel aktivovať rozsah buniekA 1: A 2, zlúčte ich a do výslednej zlúčenej bunky z klávesnice zadajte názov prvého stĺpca: “n číslo merania", Aktivujte rozsah buniekB 1: C 1, zlúčte ich a do výslednej zlúčenej bunky z klávesnice zadajte spoločnú hlavičku druhého a tretieho stĺpca: “séria 1 ", Aktivujte bunkuB 2 a z klávesnice zadajte podnadpis druhého stĺpca tabuľky 3: „l „Potom aktivujeme bunku C2 a z klávesnice do nej vložíme podnadpis tretieho stĺpca tabuľky 3:“T „. Zopakujme si naznačené akcie pre zvyšné stĺpce tabuľky 3. Výsledkom vyššie uvedených akcií bude formát tabuľky 3.

Teraz vyplníme výsledný formát údajmi tabuľky 3, v dôsledku čoho dostaneme tabuľku 3 v programeExcel.


Vytvoriť formát tabuľky 4 v programeExcel na liste 1 zošitaExcel aktivovať bunkuA 9 a do klávesnice z nej zadajte hlavičku prvého stĺpca: “n B 9 a do klávesnice z nej zadajte hlavičku druhého stĺpca: “l porov \u003d x 1 „. Podobne zadáme z klávesnice hlavičky tretieho, štvrtého a piateho stĺpca: „T cf "," T cf 2 \u003d y 1 "a" y 1 / x 1 "v bunkách C 1, D 1 a E 1 v uvedenom poradí. Ďalej aktivujeme bunkuA 10 a do nej zadajte číslo 1 z klávesnice, do bunkyA 11 číslic 2, aktivujte rozsah buniekA 10: A 11 a automaticky sa doplní do bunkyA 14. Výsledkom vykonania vyššie uvedených akcií je tabuľka 4.

Tabuľka 4.

Technológiu plnenia prvého riadku tabuľky 4 si ukážeme spracovaním meraní série 1.

Pre ktorý naprogramujeme prvý vzorec v (14), získamel streda a vložte ho do tabuľky 4.B 10 a z klávesnice zadajte vzorec „\u003d SUM (B3: B7) * (1/5)“.

Potom naprogramujeme druhý vzorec na (14).E 2 a z klávesnice zadajte vzorec „\u003d SUM (C3: C7) * (1/5)“.

Dostaneme T av a zarovnajte to a potom vypočítajte pomer. Ak to chcete urobiť, aktivujte bunkuD 10 a z klávesnice zadajte vzorec "\u003d C10 ^ 2", potom aktivujte bunkuE 10 a z klávesnice zadajte vzorec „\u003d D10 / B10“. Po všetkých týchto činnostiach má prvý riadok tabuľky 4 podobu

Po opakovaní týchto výpočtov pre ďalšie série má tabuľka 4 konečnú podobu

Údaje v tabuľke 4 umožňujú použitie programuExcel zostaviť graf funkčnej závislostiy 1 \u003d f (x 1).

Za týmto účelom aktivujte rozsah buniekD 10: D 14, nazvime Sprievodca funkciami programuExcel , vyberte typ grafu „Rozptyl“, prvé zobrazenie. Presuňte kurzor myši na tlačidlo „Ďalej“ a vykonajte jedno kliknutie na ľavé tlačidlo myši (LMB). Potom prejdite na kartu Riadok. Presuňte kurzor myši na kartu „Riadok“ v hornej časti okna „Sprievodca grafom“ a vykonajte jedno kliknutie LMB. Ďalej umiestnite kurzor do poľa „Hodnoty X“ a potom posuňte kurzor myši do bunkyB 10, stlačte LMB a bez jeho uvoľnenia presuňte kurzor myši na bunkuB 14 a potom uvoľnite LMB. Vo výsledku vzorec „\u003d List1! $10 USD: B USD 14 dolárov. Teraz posuňte kurzor myši na tlačidlo „Ďalej“ a vykonajte dve kliknutia LMB za sebou, potom posuňte kurzor myši na tlačidlo „Dokončiť“ a vykonajte jedno kliknutie LMB. Na hárku 1 zošitaExcel objaví sa graf funkčnej závislostiy 1 \u003d f (x 1) ... Aktivujeme riadok 10 a pridáme nový riadok, po ktorom vstúpime z klávesnice do buniekA 10: E 10-ciferná „0“. Ďalej posuňte kurzor myši na ľubovoľné miesto v grafe a vykonajte jedno kliknutie LMB. Poďme zväčšiť rozsah údajov grafu, pre ktorý posunieme kurzor myši na hranicu rozsahu hodnôty 1 a posuňte značku umiestnenú v pravom hornom rohu hranice do bunkyD 10. Urobme to isté s rozsahomx 1.

Teraz presuňte kurzor myši na ľubovoľný bod v grafe a vykonajte jediné kliknutie pravým tlačidlom myši (RMB). V zobrazenej kontextovej ponuke posuňte kurzor myši na príkaz „Pridať trendovú čiaru“ a vykonajte jedno kliknutie LMB. Obrázok 4 zobrazuje výsledok týchto konštrukcií.

Obr.

Obrázok 4 ukazuje, že závislosťy 1 \u003d f (x 1) je lineárny a je opísaný rovnicou

y 1 \u003d 4,04 8 x 1 + 0,00 24 (17)

Rovnica 17 ukazuje, že sklonk z rovnice (10) sa rovná:k \u003d 4,0493. Ak táto hodnotak substituovaný vo vzorci (12), potom získame hodnotu gravitačného zrýchlenia.

Sklonk v rovnici (10) možno vypočítať z údajov v tabuľke 4 podľa vzorca

(18)

Ak to chcete urobiť, aktivujte bunkuA 17 a zadajte vzorec „\u003d SUM (E 11: E 15) * (1/5) "

dostaneme k \u003d 4,053, t.j. číslo blízke čísluk získané z grafu zobrazeného na obrázku 4.

Je zrejmé, že počet získaný vzorcom (12) pomocou množstvak z rovnice (17) bude mať nejakú chybu.

Na výpočet tejto chyby sa vráťme k údajom v tabuľkách 3 a 4.

Najprv v programeExcel vytvorte nový formát tabuľky 5. Prečo na hárku 1 zošitaExcel aktivovať bunkuA 19 a do klávesnice z nej zadajte hlavičku prvého stĺpca: „n číslo série meraní ", aktivujte bunkuB 19 a do klávesnice z nej zadajte nadpis druhého stĺpca: „∆1 podľa (15) “. Podobne zadajte záhlavie tretieho stĺpca z klávesnice: „∆2 až (16) "do bunky C 19. Ďalej aktivujte bunkuA 20 a zadajte do nej číslo 1 z klávesnice, v bunkeA 21 číslic 2, aktivujte rozsah buniekA 20: A 21 a automaticky sa doplní do bunkyA 26. Výsledkom vyššie uvedených akcií je, že sa dostaneme k tabuľke 5.

Tabuľka 5.

Pri programovaní vzorcov (15) a (16) je to nevyhnutnél i a T i , urobte každú sériu meraní z tabuľky 3 al av a T av z údajov v tabuľke 4.

Na výpočet ∆1 pre prvú sériu meraní je potrebné bunku aktivovaťM 3 a zadajte do nej z klávesnice vzorec „\u003d ABS (B3-B $ 11))“, potom sa automaticky doplníme do bunkyM 7. Teraz do bunkyB 20 zadáme z klávesnice vzorec „\u003d MAX (M3: M7)“.

Na výpočet ∆2 podľa údajov tej istej série je potrebné bunku aktivovaťN 3 a do klávesnice z nej zadajte vzorec „\u003d ABS (C3-C $ 11)“, po ktorom sa automaticky doplníme do bunkyN 7. Teraz do bunkyC. 20 zadáme z klávesnice vzorec „\u003d MAX (N3: N7)“.

Výsledkom je, že tabuľka 5 má formu

Po vykonaní výpočtov podľa (15) a (16) pre údaje z iných sérií meraní má tabuľka 5 podobu

Z údajov v tabuľke 5 je zrejmé, že pre každú sériu meraní sú to presné hodnoty dĺžkyl kyvadlo a obdobieT kmity kyvadla sú definované ako

l \u003d l av ± ∆ 1, T \u003d T av ± ∆ 2 (19)

Navyše sa ukazuje, že ∆1 a 2 sa líšia pre každú z dĺžok kyvadla. Zo vzorcov (19) vyplýva, že priamka na obrázku 4 je nakreslená s chybou a v jej blízkosti sa nachádza takzvaný rozptyl experimentálnych údajov.

Ak vezmeme do úvahy rozptyl experimentálnych údajov, vypočítajme ďalšie dve funkčné závislosti:

(T av + ∆ 2) 2 \u003d f (l av + ∆ 1), (20)

(T av - ∆ 2) 2 \u003d f (l av - ∆ 1). (21)

Na výpočet závislosti (20) uvádzame nové označenia:

x 2 \u003d (porovnaj + 1), (22)

y 2 \u003d (T priem. + ∆ 2) 2, (23)

Pred pokračovaním vo výpočtoch pomocou vzorcov (22) a (23) vytvoríme pomocou programu formát novej tabuľky 6.Excel , podľa predtým uvedeného algoritmu, Potom dostaneme

Tabuľka 6.

Pri výpočte x 2 a y 2 podľa (22) a (23) je potrebné použiť údaje z tabuliek 4 a 5. Najskôr vypočítamex 2 a výsledné čísla sú uvedené v tabuľke 6.

Ak to chcete urobiť, aktivujte bunkuB 27 a zadajte do nej z klávesnice vzorec „\u003d B11 + B20“.

Potom vypočítajte y 2 za týmto účelom aktivujeme bunkuC. 27 a zadajte do nej z klávesnice vzorec „\u003d (C11 + C20) ^ 2“.

B 27: C 27 a automaticky sa doplní do bunkyC 31.

Potom bude tabuľka 6 vyplnená nasledujúcimi údajmi

Podľa tabuľky 6 zostavíme graf závislostiy 2 \u003d y 2 (x 2) (pozri obr. 5) podľa predtým opísanej technológie

Obrázok 5 ukazuje, že závislosťy 2 \u003d y 2 (x 2) je určené rovnicou

y 2 \u003d 4,08 86 x 2 - 0,002 3 (24)

Pristúpime k výpočtu funkčnej závislosti (21). Na tento účel uvádzame dva pomocné vzorce

x 3 \u003d 1 por. - ∆ 1, (25)

y 3 \u003d (T av - ∆ 2) 2. (26)

Výpočet podľa týchto vzorcov sa robí podľa údajov z tabuliek 4 a 5 a výsledky týchto výpočtov sa zapisujú do tabuľky 7. Najskôr vypočítamex 3 ... Ak to chcete urobiť, aktivujte bunkuB 34 a zadajte do nej z klávesnice vzorec „\u003d B11-B20“.

Potom vypočítajte y 3 za týmto účelom aktivujeme bunkuC. 34 a zadajte do nej z klávesnice vzorec „\u003d (C11-C20) ^ 2“.

Teraz aktivujme rozsah buniekB 34: C 34 a automatické vyplnenie do bunkyC 38.

Údaje v tejto tabuľke sú nasledujúce

Funkčná závislosťr 3 = r3 (x3 ) , postavené podľa tabuľky 7, je znázornené na obrázku 6.

Obrázok 6 to naznačuje

r3 = 4,00 7 3 x3 + 0,00 71 (27)

Hodnoty sklonuk podľa údajov rovníc (17), (24), (27) vstupujeme do tabuľky 8.

Naprogramujeme vzorec (12) a vypočítamegzodpovedajúce každej hodnotek... Zadáme získané hodnotyg v tabuľke 8. Za týmto účelom aktivujte bunkuC.41 a z klávesnice zadajte vzorec „\u003d (4 * PI () ^ 2) / B41“. Potom sa automaticky dokončíme do bunkyC.43.

Teraz vypočítame priemerg podľa vzorca

Ak to chcete urobiť, aktivujte bunkuC.45 a z klávesnice zadajte vzorec „\u003d (1/3) * SUM (C41: C43)“.

Ukázalo sa, že sa rovná 9,75331, čo berieme ako presnú hodnotu. Chyba pri určovaní tejto hodnotyg vypočítané podľa vzorca

Δ 3 = max | gi – gst| = max | Δ i| (28)

Ak to chcete urobiť, aktivujte bunkuD41 a zadajte do nej z klávesnice vzorec „\u003d ABS (C41-C $ 45)“. Potom sa automaticky dokončíme do bunkyD43.

VypočítameΔ i a umiestnite ho do tabuľky 8. Za týmto účelom aktivujte bunkuD45 a z klávesnice zadajte vzorec „\u003d MAX (D41: D43)“.

Z údajov v tabuľke 8 vyplýva, žeΔ 3 \u003d 0,098316. Takže zrýchlenieg voľný pád získaný týmto zariadením v dôsledku nepriamych meraní sa ukázal byť

g \u003d 9,7533 ± 0,0983.

Kontrolné otázky

  1. Čo sú prvky prístroja na štúdium oscilácií matematického kyvadla.
  2. Na základe čoho sa zostavuje zákon mechaniky, sa zostavuje pohybová rovnica kyvadla.
  3. Za akých obmedzení sa získa rovnica, ktorá simuluje pohyb matematického kyvadla.
  4. Ako sa vibráciám hovorí harmonické.
  5. Uveďte definíciu amplitúdy, fázy a frekvencie kmitov.


Odporúčame prečítať