Ako sa počítajú zlomky. Ako vyriešiť príklady so zlomkami. Ako nájsť rozdiel zlomkov s rovnakým menovateľom
S zlomkami sa žiaci zoznamujú v 5. ročníku. Predtým boli ľudia, ktorí vedeli, ako vykonávať akcie s zlomkami, považovaní za veľmi chytrých. Prvá frakcia bola 1/2, to znamená polovica, potom sa objavila 1/3 atď. Niekoľko storočí sa príklady považovali za príliš zložité. Teraz boli vyvinuté podrobné pravidlá pre prevod zlomkov, sčítania, násobenia a ďalších akcií. Stačí trochu porozumieť materiálu a riešenie bude jednoduché.
Obyčajný zlomok, ktorý sa nazýva jednoduchý zlomok, sa píše ako delenie dvoch čísel: m a n.
M je dividenda, to znamená čitateľ zlomku a deliteľ n sa nazýva menovateľ.
Pridelte správne zlomky (m< n) а также неправильные (m > n).
Pravidelná frakcia je menšia ako jedna (napríklad 5/6 - to znamená, že 5 častí je prevzatých z jednej; 2/8 - 2 časti odobratých z jednej). Nepravidelný zlomok je rovný alebo väčší ako 1 (8/7 - 1 je 7/7 a jedna ďalšia časť sa berie ako plus).
Jednotkou teda je, keď sa čitateľ a menovateľ zhodujú (3/3, 12/12, 100/100 a ďalšie).
Akcie s obyčajnými zlomkami triedy 6
Pomocou jednoduchých zlomkov môžete robiť nasledovné:
- Rozbaliť zlomok. Ak vynásobíte hornú a dolnú časť zlomku ľubovoľným rovnakým číslom (ale nie nulou), hodnota zlomku sa nezmení (3/5 \u003d 6/10 (iba vynásobené 2).
- Redukcia zlomkov je podobná expanzii, ale tu je vydelená určitým počtom.
- Porovnaj. Ak majú dve zlomky rovnakých čitateľov, potom väčší zlomok bude zlomok s dolným menovateľom. Ak sú menovatele rovnaké, zlomok s najväčším čitateľom bude väčší.
- Vykonajte sčítanie a odčítanie. Pri rovnakých menovateľoch je to ľahké (zhrnieme horné časti a dolné sa nezmení). Pre rôzne budete musieť nájsť spoločného menovateľa a ďalšie faktory.
- Znásobte a rozdeľte zlomky.
Nižšie uvedieme príklady akcií so zlomkami.
Redukované frakcie stupňa 6
Skrátiť znamená rozdeliť hornú a dolnú časť zlomku ľubovoľným rovnakým číslom.
Na obrázku sú uvedené jednoduché príklady skratiek. V prvej možnosti môžete okamžite hádať, že čitateľ a menovateľ sú deliteľné 2.
Na poznámku! Ak je číslo párne, potom je akýmkoľvek spôsobom deliteľné číslom 2. Párne čísla sú 2, 4, 6 ... 32 8 (končí sa párnym) atď.
V druhom prípade, keď vydelíme 6 číslom 18, je hneď jasné, že čísla sú deliteľné číslom 2. Vydelením dostaneme 3/9. Tento zlomok je deliteľný 3. Potom je odpoveď 1/3. Ak vynásobíte oba faktory: 2 x 3, získate 6. Ukáže sa, že zlomok bol vydelený šiestimi. Toto postupné delenie sa nazýva postupné znižovanie zlomkov spoločnými faktormi.
Niekto okamžite rozdelí na 6, niekto bude potrebovať rozdelenie na časti. Hlavná vec je, že na konci je zlomok, ktorý sa nedá nijako znížiť.
Všimnite si, že ak sa číslo skladá z číslic, pripočítaním k číslu deliteľným 3, potom sa pôvodné číslo môže tiež znížiť o 3. Príklad: číslo 341. Pridajte čísla: 3 + 4 + 1 \u003d 8 (8 sa nedá vydeliť číslom 3, teda číslo 341 nemožno znížiť o 3 bez zvyšku). Ďalší príklad: 264. Sčítanie: 2 + 6 + 4 \u003d 12 (deliteľné 3). Získame: 264: 3 \u003d 88. To zjednoduší redukciu veľkého počtu.
Okrem metódy postupnej redukcie zlomkov spoločnými faktormi existujú aj ďalšie metódy.
GCD je najväčším deliteľom čísla. Po nájdení GCD pre menovateľa a čitateľa môžete okamžite znížiť zlomok o požadované číslo. Vyhľadávanie sa vykonáva postupným delením každého čísla. Ďalej sa pozrú na to, ktoré delitele sa zhodujú, ak ich je viac (ako na obrázku nižšie), musíte sa množiť.
Zmiešané frakcie stupňa 6
Všetky nepravidelné frakcie je možné zmeniť na zmiešané tak, že v nich vyberiete celú časť. Celé číslo je napísané vľavo.
Často musíte z nesprávneho zlomku urobiť zmiešané číslo. Proces transformácie v príklade nižšie: 22/4 \u003d 22 vydelíme 4, dostaneme 5 celých čísel (5 * 4 \u003d 20). 22 - 20 \u003d 2. Dostaneme 5 celých čísel a 2/4 (menovateľ sa nezmení). Keďže zlomok je možné zrušiť, vydelíme vrchnú a spodnú časť 2.
Je ľahké zmeniť zmiešané číslo na nesprávny zlomok (je to potrebné pri delení a vynásobení zlomkov). Za týmto účelom: celé číslo vynásobte dolnou časťou zlomku a k tomu pridajte čitateľ. Hotový. Menovateľ sa nemení.
Výpočty s frakciami 6. stupňa
Môžu byť pridané zmiešané čísla. Ak sú menovatele rovnaké, je to ľahké: pridajte celé časti a čitateľa, menovateľ zostane na svojom mieste.
Pri sčítaní čísel s rôznymi menovateľmi je proces komplikovanejší. Najskôr prenesieme čísla do jedného najmenšieho menovateľa (NOZ).
V príklade nižšie je pre čísla 9 a 6 menovateľ 18. Potom sú potrebné ďalšie faktory. Aby sme ich našli, 18 by sa malo vydeliť 9, takže sa nájde ďalšie číslo - 2. Vynásobíme ho čitateľom 4, aby sme dostali zlomok 8/18). To isté sa deje s druhou frakciou. Prepočítané zlomky (celé čísla a čitatelia osobitne, meniteľa meníme) už sčítavame. V príklade bolo treba odpoveď previesť na správny zlomok (spočiatku bol čitateľ väčší ako menovateľ).
Upozorňujeme, že postup je rovnaký pri rozdiele zlomkov.
Pri vynásobení zlomkov je dôležité umiestniť obe pod rovnakú čiaru. Ak je číslo zmiešané, urobíme z neho jednoduchý zlomok. Ďalej vynásobíme hornú a spodnú časť a odpoveď si zapíšeme. Ak vidíte, že frakcie je možné zrušiť, môžeme ich okamžite znížiť.
Vo vyššie uvedenom príklade sme nemuseli nič strihať, iba sme si odpísali odpoveď a vybrali celú časť.
V tomto príklade som musel skrátiť čísla pod jedným riadkom. Aj keď hotovú odpoveď môžete skrátiť.
Pre delenie je algoritmus takmer rovnaký. Najskôr zmiešanú frakciu premeníme na nepravidelnú, potom napíšeme čísla pod jeden riadok a delenie nahradíme násobením. Nezabudnite vymeniť hornú a dolnú časť druhej frakcie (to je pravidlo pre delenie zlomkov).
Ak je to potrebné, znížime čísla (v príklade nižšie sme ich znížili o päť a dva). Nepravidelný zlomok transformujeme výberom celej časti.
Základné úlohy pre frakcie 6. stupňa
Video zobrazuje niekoľko ďalších úloh. Kvôli prehľadnosti boli grafické obrázky riešení použité na vizualizáciu zlomkov.
Príklady množenia zlomkovej triedy 6 s vysvetleniami
Násobenie zlomkov sa píše pod jeden riadok. Potom sa redukujú vydelením rovnakými číslami (napríklad 15 v menovateli a 5 v čitateľovi sa dá vydeliť piatimi).
Porovnanie frakcií 6. stupňa
Ak chcete porovnať zlomky, musíte si pamätať dve jednoduché pravidlá.
Pravidlo 1. Ak sú menovatelia rozdielni
Pravidlo 2. Keď sú menovatelia rovnakí
Porovnajme napríklad zlomky 7/12 a 2/3.
- Pozeráme sa na menovateľov, tie sa nezhodujú. Musíte si teda nájsť spoločný.
- Pre zlomky je spoločným menovateľom 12.
- 12 najskôr vydelíme spodnou časťou prvého zlomku: 12: 12 \u003d 1 (toto je ďalší faktor pre 1. zlomok).
- Teraz rozdelíme 12 na 3, dostaneme 4 - pridáme. multiplikátor 2. zlomku.
- Výsledné čísla vynásobíme čitateľmi, aby sme previedli zlomky: 1 x 7 \u003d 7 (prvý zlomok: 7/12); 4 x 2 \u003d 8 (druhá frakcia: 8/12).
- Teraz môžeme porovnávať: 7/12 a 8/12. Stalo sa: 7/12< 8/12.
Aby ste zlomky lepšie reprezentovali, môžete kvôli prehľadnosti použiť výkresy, kde je objekt rozdelený na časti (napríklad koláč). Ak chcete porovnať 4/7 a 2/3, potom je v prvom prípade koláč rozdelený na 7 častí a vyberú sa 4 z nich. V druhej ju rozdelia na 3 časti a vezmú 2. Voľným okom bude jasné, že 2/3 budú viac ako 4/7.
Príklady pre výcvik so zlomkami 6. stupňa
Cvičením môžete vykonávať nasledujúce úlohy.
- Porovnajte zlomky
- vykonať násobenie
Tip: ak je ťažké nájsť najmenší spoločný menovateľ pre zlomky (najmä ak sú ich hodnoty malé), potom môžete vynásobiť menovateľ prvej a druhej frakcie. Príklad: 2/8 a 5/9. Nájsť ich menovateľa je jednoduché: vynásobte 8 a 9, dostaneme 72.
Riešenie rovníc so zlomkami 6. stupňa
Pri riešení rovníc si musíte pamätať akcie s zlomkami: násobenie, delenie, odčítanie a sčítanie. Ak jeden z faktorov nie je známy, potom sa produkt (celkový) vydelí známym faktorom, to znamená, že zlomky sa vynásobia (druhý sa obráti).
Ak je dividenda neznáma, potom sa menovateľ vynásobí deliteľom a aby sa deliteľ našiel, musí sa dividenda vydeliť kvocientom.
Uveďme jednoduché príklady riešenia rovníc:
Tu sa vyžaduje iba vytvorenie rozdielu zlomkov bez toho, aby to viedlo k spoločnému menovateľovi.
Odpoveď vyšla ako nesprávny zlomok. Môže byť prevedený na 1 celé číslo a 3/5.
V druhej metóde sa čitateľ a menovateľ vynásobili 4, aby sa zrušil spodok, a nie aby sa menovateľ zmenil.
Inštrukcie
Je zvykom oddeľovať bežné a desatinné zlomky, ktorých zoznámenie sa začína na strednej škole. V súčasnosti neexistuje oblasť odbornosti, ktorá by to neuplatňovala. Dokonca aj vravíme prvé 17. storočie a to všetko naraz, čo znamená 1600-1625. Tiež sa často musíte vyrovnať so základnými operáciami zlomkov, ako aj s ich transformáciou z jedného typu na druhý.
Prinášanie zlomkov spoločnému menovateľovi je možno najdôležitejšou akciou na spoločné zlomky. Toto je základ pre absolútne všetky výpočty. Povedzme, že existujú dve zlomky a / b a c / d. Potom, aby ste ich dostali k spoločnému menovateľovi, musíte nájsť najmenší spoločný násobok (M) čísel b a d, a potom vynásobiť čitateľ prvej frakcie číslom (M / b) a čitateľ druhý o (M / d).
Porovnanie zlomkov je ďalšou dôležitou úlohou. Za týmto účelom priveďte dané jednoduché zlomky na spoločného menovateľa a potom porovnajte čitateľov, ktorých čitateľ je väčší, tento zlomok a ďalšie.
Ak chcete vykonať sčítanie alebo odčítanie bežných zlomkov, musíte ich priviesť k spoločnému menovateľovi a potom vykonať požadovanú matematickú akciu s čitateľmi týchto zlomkov. Menovateľ zostáva nezmenený. Povedzme, že musíte odčítať c / d od a / b. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť najmenej spoločný násobok M čísel b a d a potom odpočítať druhý od jedného čitateľa bez zmeny menovateľa: (a * (M / b) - (c * (M / d) ) / M.
Stačí iba vynásobiť jednu frakciu druhou, stačí preto vynásobiť ich čitateľov a menovateľov:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) Ak chcete rozdeliť jednu frakciu druhou, musíte vynásobiť zlomok dividendy inverznou hodnotou deliteľa. (a / b) / (c / d) \u003d (a * d) / (b * c)
Je potrebné pripomenúť, že aby sme dostali recipročný zlomok, čitateľ a menovateľ musia byť obrátení.
Ak chcete pridať 2 frakcie s rovnakými menovateľmi, je potrebné pridať ich čitateľov a menovatelenechať nezmenené.Sčítanie frakcií, príklady:
Všeobecný vzorec na sčítanie bežných zlomkov a odčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom je:
Poznámka! Skontrolujte si, či môžete zmenšiť podiel, ktorý ste dostali, tým, že si odpíšete odpoveď.
Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Pravidlá pre pridávanie zlomkov s rôznymi menovateľmi:
- redukcia zlomkov na najmenšieho spoločného menovateľa (LCN). Z tohto dôvodu nájdeme najmenšiu spoločný násobok (LCM) menovateľov;
- spočítajte zlomky čitateľov a nechajte menovatele nezmenené;
- znižujeme zlomok, ktorý sme dostali;
- ak získate nesprávny zlomok, preveďte nesprávny zlomok na zmiešaný zlomok.
Príklady prílohy zlomky s rôznymi menovateľmi:
Sčítanie zmiešaných čísel (zmiešané frakcie).
Pravidlá pre pridávanie zmiešaných frakcií:
- privádzame zlomkové časti týchto čísel k najmenšiemu spoločnému menovateľovi (LCN);
- osobitne pridať celé časti a zvlášť zlomkové časti, spočítať výsledky;
- ak sme pri pridávaní zlomkových častí dostali nesprávny zlomok, vyberte z toho celú časť zlomok a pridajte ho k výslednej celej časti;
- výsledný zlomok redukujeme.
Príklad prílohy zmiešaná frakcia:
Sčítanie desatinných zlomkov.
Pri pridávaní desatinných zlomkov je proces zapísaný do „stĺpca“ (ako obvykle násobenie stĺpcov),takže výboje rovnakého názvu sú pod sebou bez posunutia. Čiarky sú povinnézarovnáme zreteľne pod seba.
Pravidlá pre pridávanie desatinných zlomkov:
1. Ak je to potrebné, vyrovnajte počet desatinných miest. Ak to chcete urobiť, pridajte do nulypožadovaný zlomok.
2. Zapisujeme zlomky tak, aby čiarky boli pod sebou.
3. Pridajte zlomky bez toho, aby ste venovali pozornosť čiarke.
4. Do súčtu pod čiarky dáme čiarku, zlomky, ktoré pridáme.
Poznámka! Keď majú dané desatinné zlomky za desatinnou čiarkou iný počet číslic,potom frakcii s menším počtom desatinných miest priradíme požadovaný počet núl, pre rovnicu vzlomky sú počet desatinných miest.
Poďme to pochopiť príklad... Nájdite súčet desatinných zlomkov:
0,678 + 13,7 =
Vyrovnajte počet desatinných miest v desatinných zlomkoch. Pridajte 2 nuly doprava na desatinné miestozlomky 13,7 .
0,678 + 13,700 =
Zapisujeme si odpoveď:
0,678 + 13,7 = 14,378
Ak pridanie desatinných zlomkov máte to zvládnuté dosť dobre, potom môžu byť doplnené chýbajúce nulyv mysli.
Tento článok začína štúdium akcií s algebraickými zlomkami: podrobne zvážime také činnosti, ako je sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov. Poďme analyzovať schému sčítania a odčítania algebraických zlomkov s rovnakými i rôznymi menovateľmi. Naučíme sa, ako pridať algebraický zlomok s polynómom a ako ich odčítať. Vysvetlíme si každý krok hľadania riešenia problémov na konkrétnych príkladoch.
Akcie sčítania a odčítania s rovnakými menovateľmi
Schéma pridávania bežných zlomkov je použiteľná aj pre algebraické. Vieme, že pri sčítaní alebo odčítaní bežných zlomkov s rovnakými menovateľmi musíte pridať alebo odčítať ich čitateľov a menovateľ zostáva pôvodný.
Napríklad: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 a 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.
Podľa toho je pravidlo sčítania a odčítania algebraických zlomkov s rovnakými menovateľmi napísané podobným spôsobom:
Definícia 1
Ak chcete sčítať alebo odčítať algebraické zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať alebo odčítať čitatele pôvodných zlomkov a napísať menovateľ nezmenený.
Toto pravidlo umožňuje dospieť k záveru, že výsledkom sčítania alebo odčítania algebraických zlomkov je nový algebraický zlomok (v konkrétnom prípade: polynóm, monomiál alebo číslo).
Uveďme príklad použitia formulovaného pravidla.
Príklad 1
Uvádzajú sa algebraické zlomky: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 a 3 - x y x 2 y - 2. Je potrebné ich doplniť.
Rozhodnutie
Pôvodné zlomky obsahujú rovnakých menovateľov. Podľa pravidla pridajme čitatele daných zlomkov a menovateľa nechajme nezmeneného.
Pridaním polynómov, ktoré sú čitateľmi pôvodných zlomkov, dostaneme: x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y \u003d x 2 + (2 x y - x y) - 5 + 3 \u003d x 2 + x y - 2.
Potom sa požadovaná suma napíše ako: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.
V praxi, tak ako v mnohých prípadoch, je riešenie dané reťazcom rovností, ktorý jasne ukazuje všetky fázy riešenia:
x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2
Odpoveď: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2.
Výsledkom sčítania alebo odčítania môže byť vypovedateľná frakcia, v tomto prípade je optimálne ju znížiť.
Príklad 2
Od algebraického zlomku x x 2 - 4 · y 2 je potrebné odpočítať zlomok 2 · y x 2 - 4 · y 2.
Rozhodnutie
Menovatelia pôvodných zlomkov sú si rovní. Vykonáme akcie s čitateľmi, a to: odčítame čitateľa druhého od čitateľa prvého zlomku a potom zapíšeme výsledok, pričom menovateľ ponecháme nezmenený:
x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 y x 2 - 4 y 2
Vidíme, že výsledná frakcia je zrušiteľná. Zredukujme to transformáciou menovateľa pomocou vzorca rozdielu štvorcov:
x - 2 roky x 2 - 4 roky 2 \u003d x - 2 roky (x - 2 roky) (x + 2 roky) \u003d 1 x + 2 roky
Odpoveď: x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d 1 x + 2 r.
Podľa rovnakého princípu sa tri alebo viac algebraických zlomkov sčítajú alebo odčítajú s rovnakými menovateľmi. Napríklad:
1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 \u003d 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1
Akcie sčítania a odčítania pre rôznych menovateľov
Opäť sa obráťme na schému akcií s bežnými zlomkami: na sčítanie alebo odčítanie bežných zlomkov s rôznymi menovateľmi je potrebné priviesť ich k spoločnému menovateľovi a výsledné zlomky potom pridať s rovnakými menovateľmi.
Napríklad 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 15 alebo 1 2 - 3 7 \u003d 7 14 - 6 14 \u003d 1 14.
Podobne sformulujeme pravidlo sčítania a odčítania algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi:
Definícia 2
Ak chcete vykonať sčítanie alebo odčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi, musíte:
- znížiť pôvodné zlomky na spoločného menovateľa;
- vykonať sčítanie alebo odčítanie výsledných zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Je zrejmé, že kľúčom tu bude zručnosť prinášať algebraické zlomky do spoločného menovateľa. Pozrime sa bližšie.
Spoločný menovateľ algebraických zlomkov
Aby sme algebraické zlomky dostali k spoločnému menovateľovi, je potrebné vykonať identickú transformáciu daných zlomkov, v dôsledku čoho sa menovatele pôvodných zlomkov stanú rovnakými. Tu je optimálne postupovať podľa nasledujúceho algoritmu na uvedenie algebraických zlomkov do spoločného menovateľa:
- najskôr určíme spoločného menovateľa algebraických zlomkov;
- potom nájdeme ďalšie faktory pre každú zo zlomkov vydelením spoločného menovateľa menovateľmi pôvodných zlomkov;
- posledná akcia sa čitatelia a menovatelia daných algebraických zlomkov vynásobia zodpovedajúcimi ďalšími faktormi.
Uvádzajú sa algebraické zlomky: a + 2 2 a 3 - 4 a 2, a + 3 3 a 2 - 6 a a + 1 4 a 5 - 16 a 3. Je potrebné uviesť ich k spoločnému menovateľovi.
Rozhodnutie
Konáme podľa vyššie uvedeného algoritmu. Určte spoločného menovateľa pôvodných zlomkov. Za týmto účelom vylúčime menovatele daných zlomkov: 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 2 a 2 (a - 2), 3 a 2 - 6 a \u003d 3 a (a - 2) a 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 4 a 3 (a - 2) (a + 2)... Odtiaľto si môžeme zapísať spoločného menovateľa: 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
Teraz musíme nájsť ďalšie faktory. Rozdeľme podľa algoritmu nájdený spoločný menovateľ na menovatele pôvodných zlomkov:
- pre prvú frakciu: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (2 a 2 (a - 2)) \u003d 6 a (a + 2);
- pre druhú frakciu: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (3 a (a - 2)) \u003d 4 a 2 (a + 2);
- pre tretiu časť: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (4 a 3 (a - 2) (a + 2)) \u003d 3 .
Ďalším krokom je vynásobenie čitateľov a menovateľov daných zlomkov ďalšími zistenými faktormi:
a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d (a + 3) 4 a 2 (a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (A + 2) a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d (a + 1) 3 (4 a 5 - 16 a 3 ) 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2)
Odpoveď: a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
Pôvodné zlomky sme teda priniesli spoločnému menovateľovi. Ak je to potrebné, môžete výsledok ďalej transformovať do podoby algebraických zlomkov vynásobením polynómov a monomómov v čitateľoch a menovateľoch.
Poďme si objasniť aj nasledujúci bod: je optimálne ponechať nájdeného spoločného menovateľa v podobe súčinu pre prípad, že je potrebné konečnú frakciu zrušiť.
Podrobne sme preskúmali schému redukcie pôvodných algebraických zlomkov na spoločného menovateľa, teraz môžeme začať analyzovať príklady na sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Príklad 4
Algebraické zlomky sú uvedené: 1 - 2 x x 2 + x a 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Je potrebné vykonať činnosť ich pridania.
Rozhodnutie
Pôvodné zlomky majú rôznych menovateľov, takže prvým krokom je priviesť ich k spoločnému menovateľovi. Faktor menovateľov: x 2 + x \u003d x (x + 1) a x 2 + 3 x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2),odkedy štvorcové trojčlenné korene x 2 + 3 x + 2 sú to čísla: - 1 a - 2. Určite spoločného menovateľa: x (x + 1) (x + 2), potom budú ďalšie faktory: x + 2a - Xpre prvú a druhú frakciu.
Teda: 1 - 2 xx 2 + x \u003d 1 - 2 xx (x + 1) \u003d (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) \u003d x + 2 - 2 x 2 - 4 xx (x + 1) x + 2 \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) a 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 X 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2)
Teraz pridajme zlomky, ktoré sme priniesli do spoločného menovateľa:
2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 2 xx (x + 1) (x + 2)
Výsledný zlomok je možné znížiť spoločným faktorom x + 1:
2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2)
A nakoniec zapíšeme získaný výsledok vo forme algebraického zlomku a produkt v menovateli nahradíme polynómom:
2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Poďme si stručne zapísať priebeh riešenia ako reťazec rovností:
1 - 2 xx 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 1 - 2 xx (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 1 - 2 x (x + 2) xx + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Odpoveď: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x 2 + 2 x
Venujte pozornosť týmto detailom: pred sčítaním alebo odčítaním algebraických zlomkov, pokiaľ je to možné, je potrebné ich kvôli zjednodušeniu transformovať.
Príklad 5
Je potrebné odpočítať zlomky: 2 1 1 3 · x - 2 21 a 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.
Rozhodnutie
Transformujeme pôvodné algebraické zlomky, aby sme zjednodušili ďalšie riešenie. Vyberme číselné koeficienty premenných v menovateli mimo zátvoriek:
2 1 1 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 1 14 a 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 3 x - 1 - 2 x - 1 14
Táto transformácia nám určite priniesla výhodu: jasne vidíme prítomnosť spoločného faktora.
Zbavme sa celkom číselných koeficientov v menovateľoch. Na to použijeme hlavnú vlastnosť algebraických zlomkov: vynásobíme čitateľa a menovateľa prvého zlomku 3 4 a druhého - 1 2, potom dostaneme:
2 4 3 x - 1 14 \u003d 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 \u003d 3 2 x - 1 14 a 3 x - 1 - 2 x - 1 14 \u003d - 1 2 3 x - 1 - 1 2 - 2 x - 1 14 \u003d - 3 2 x + 1 2 x - 1 14.
Urobme akciu, ktorá nám umožní zbaviť sa zlomkových koeficientov: vynásobte výsledné zlomky číslom 14:
3 2 x - 1 14 \u003d 14 3 2 14 x - 1 14 \u003d 21 14 x - 1 a - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 x + 7 14 x - 1.
Nakoniec vykonáme požadovanú akciu vo výpise problému - odčítanie:
2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 \u003d 21 - - 21 x + 7 14 X - 1 \u003d 21 x + 14 14 x - 1
Odpoveď: 2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 x + 14 14 x - 1.
Sčítanie a odčítanie algebraického zlomku a polynómu
Táto akcia sa tiež redukuje na sčítanie alebo odčítanie algebraických zlomkov: je potrebné reprezentovať pôvodný polynóm ako zlomok s menovateľom 1.
Príklad 6
Je potrebné pridať polynóm x 2 - 3 s algebraickým zlomkom 3 x x + 2.
Rozhodnutie
Polynóm píšeme ako algebraický zlomok s menovateľom 1: x 2 - 3 1
Teraz môžeme vykonávať sčítanie podľa pravidla pre pridávanie zlomkov s rôznymi menovateľmi:
x 2 - 3 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 1 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 X 2 - 3 x - 6 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 3 x - 6 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2
Odpoveď: x 2 - 3 + 3 x x + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.
Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter
Ďalšou akciou, ktorú môžete urobiť so zlomkami, je odčítanie. V rámci tohto materiálu zvážime, ako správne vypočítať rozdiel zlomkov s rovnakými a rôznymi menovateľmi, ako odčítať zlomok od prirodzeného čísla a naopak. Všetky príklady budú ilustrované úlohami. Vopred si ujasnime, že budeme analyzovať iba prípady, keď výsledkom rozdielu zlomkov bude kladné číslo.
Ako nájsť rozdiel zlomkov s rovnakým menovateľom
Začnime hneď názorným príkladom: povedzme, že máme jablko, ktoré bolo rozdelené na osem častí. Necháme na tanieri päť kusov a dva z nich vezmeme. Túto akciu možno napísať takto:
Vo výsledku nám zostávajú 3 osminy, keďže 5 - 2 \u003d 3. Ukazuje sa, že 5 8 - 2 8 \u003d 3 8.
Na tomto jednoduchom príklade sme videli, ako presne funguje pravidlo odčítania pre zlomky s rovnakými menovateľmi. Poďme to formulovať.
Definícia 1
Ak chcete zistiť rozdiel medzi zlomkami s rovnakým menovateľom, musíte od čitateľa jednej odčítať čitateľ druhej a ponechať menovateľ rovnaký. Toto pravidlo možno zapísať ako b - c b \u003d a - c b.
Tento vzorec použijeme v budúcnosti.
Zoberme si konkrétne príklady.
Príklad 1
Odpočítajte obyčajnú zlomok 17 15 od zlomku 24 15.
Rozhodnutie
Vidíme, že tieto zlomky majú rovnakých menovateľov. Musíme teda iba odčítať 17 od 24. Dostaneme 7 a k tomu pridáme menovateľa, dostaneme 7 15.
Naše výpočty je možné písať nasledovne: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15
Ak je to potrebné, môžete zložitý zlomok zmenšiť alebo vybrať celý diel od nesprávneho, aby sa uľahčilo jeho počítanie.
Príklad 2
Nájdite rozdiel 37 12 - 15 12.
Rozhodnutie
Použime vzorec popísaný vyššie a vypočítajme: 37 12 - 15 12 \u003d 37 - 15 12 \u003d 22 12
Je ľahké vidieť, že čitateľ a menovateľ sa dajú vydeliť číslom 2 (o tom sme hovorili skôr, keď sme skúmali kritériá deliteľnosti). Znížením odpovede dostaneme 11 6. Toto je nesprávna frakcia, z ktorej vyberieme celú časť: 11 6 \u003d 1 5 6.
Ako nájsť rozdiel zlomkov s rôznymi menovateľmi
Takáto matematická akcia sa dá redukovať na to, čo sme už opísali vyššie. Za týmto účelom jednoducho privedieme požadované zlomky k jednému menovateľovi. Sformulujme definíciu:
Definícia 2
Ak chcete zistiť rozdiel medzi zlomkami s rôznymi menovateľmi, musíte ich priviesť k rovnakému menovateľovi a nájsť rozdiel v čitateľoch.
Pozrime sa na príklad, ako sa to deje.
Príklad 3
Odčítajte 1 15 od 2 9.
Rozhodnutie
Menovatelia sú rôzni a musíte ich uviesť na najnižšiu spoločnú hodnotu. V tomto prípade je LCM 45. Pre prvý zlomok je potrebný ďalší faktor 5 a pre druhý ďalší 3.
Vypočítajme: 2 9 \u003d 2 5 9 5 \u003d 10 45 1 15 \u003d 1 3 15 3 \u003d 3 45
Dostali sme dve zlomky s rovnakým menovateľom a teraz môžeme ľahko nájsť ich rozdiel pomocou algoritmu popísaného vyššie: 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45
Krátky záznam riešenia vyzerá takto: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.
Mali by ste zanedbávať zníženie výsledku alebo v prípade potreby z neho extrahovať celú časť. V tomto príklade to nemusíme robiť.
Príklad 4
Nájdite rozdiel 19 9 - 7 36.
Rozhodnutie
Prenesme zlomky uvedené v podmienke na najnižší spoločný menovateľ 36 a získajme 76 9, respektíve 7 36.
Odpoveď vypočítame: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36
Výsledok možno znížiť o 3 a získať 23 12. Čitateľ je väčší ako menovateľ, čo znamená, že môžeme vybrať celú časť. Konečná odpoveď je 1 11 12.
Súhrn celého riešenia je 19 9 - 7 36 \u003d 1 11 12.
Ako odčítať prirodzené číslo od obyčajného zlomku
Túto akciu možno tiež ľahko znížiť na jednoduché odčítanie bežných zlomkov. To sa dá dosiahnuť tak, že prirodzené číslo budeme predstavovať ako zlomok. Ukážme si to na príklade.
Príklad 5
Nájdite rozdiel 83 21 - 3.
Rozhodnutie
3 je to isté ako 3 1. Potom to možno vypočítať takto: 83 21 - 3 \u003d 20 21.
Ak je potrebné v podmienke odčítať celé číslo od nesprávnej frakcie, je pohodlnejšie z neho najskôr celé číslo extrahovať tak, že ho napíšeme ako zmiešané číslo. Potom sa dá predchádzajúci príklad vyriešiť inak.
Z frakcie 83 21, keď je vybratá celá časť, dostaneme 83 21 \u003d 3 20 21.
Teraz z toho odčítajme 3: 3 20 21 - 3 \u003d 20 21.
Ako odčítať zlomok od prirodzeného čísla
Táto akcia sa robí podobne ako tá predchádzajúca: prirodzené číslo prepíšeme na zlomok, privedieme obe do jedného menovateľa a nájdeme rozdiel. Ukážme si to na príklade.
Príklad 6
Nájdite rozdiel: 7 - 5 3.
Rozhodnutie
Vyrobte 7 ako 7 1. Odčítame a transformujeme konečný výsledok, pričom z neho extrahujeme celú časť: 7 - 5 3 \u003d 5 1 3.
Existuje ďalší spôsob, ako robiť výpočty. Má niekoľko výhod, ktoré sa dajú použiť v prípadoch, keď čitateľov a menovateľov zlomkov v úlohe sú veľké čísla.
Definícia 3
Ak je zlomok, ktorý sa má odčítať, správny, potom prirodzené číslo, od ktorého odčítame, musí byť reprezentované ako súčet dvoch čísel, z ktorých jedno je 1. Potom musíte z jednej odčítať požadovanú frakciu a získať odpoveď.
Príklad 7
Vypočítajte rozdiel 1 065 - 13 62.
Rozhodnutie
Zlomok, ktorý sa má odpočítať, je správny, pretože jeho čitateľ je menší ako menovateľ. Preto musíme odčítať jeden od 1065 a od neho odčítať požadovaný zlomok: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
Teraz musíme nájsť odpoveď. Pomocou vlastností odčítania možno výsledný výraz zapísať ako 1064 + 1 - 13 62. Poďme vypočítať rozdiel v zátvorkách. Z tohto dôvodu reprezentujeme jednotku ako zlomok 1 1.
Ukazuje sa, že 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.
Teraz si spomeňme asi 1064 a sformulujme odpoveď: 1064 49 62.
Starou metódou dokazujeme, že je to menej pohodlné. Toto sú výpočty, ktoré by sme dostali:
1065 - 13 62 \u003d 1065 1 - 13 62 \u003d 1065 62 1 62 - 13 62 \u003d 66030 62 - 13 62 \u003d \u003d 66030 - 13 62 \u003d 66017 62 \u003d 1064 4 6
Odpoveď je rovnaká, ale výpočty sú zjavne ťažkopádnejšie.
Zvažovali sme prípad, keď potrebujete odpočítať správny zlomok. Ak nie je správny, nahradíme ho zmiešaným číslom a odčítame pomocou známych pravidiel.
Príklad 8
Vypočítajte rozdiel 644 - 73 5.
Rozhodnutie
Druhá frakcia je nesprávna a musí sa od nej oddeliť celá časť.
Teraz vypočítame podobne ako v predchádzajúcom príklade: 630 - 3 5 \u003d (629 + 1) - 3 5 \u003d 629 + 1 - 3 5 \u003d 629 + 2 5 \u003d 629 2 5
Vlastnosti odčítania pre zlomky
Vlastnosti, ktoré má odčítanie prirodzených čísel, sa vzťahujú aj na prípady odčítania bežných zlomkov. Pozrime sa, ako ich použiť pri riešení príkladov.
Príklad 9
Nájdite rozdiel 24 4 - 3 2 - 5 6.
Rozhodnutie
Podobné príklady sme už riešili, keď sme analyzovali odčítanie súčtu od čísla, takže postupujeme podľa už známeho algoritmu. Najskôr vypočítame rozdiel 25 4 - 3 2 a potom od neho odčítame poslednú frakciu:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Transformujme odpoveď tak, že z nej vyťažíme celú časť. Spolu je to 3 11 12.
Zhrnutie celého riešenia:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Ak výraz obsahuje zlomky aj prirodzené čísla, odporúča sa pri výpočte ich zoskupiť podľa typu.
Príklad 10
Nájdite rozdiel 98 + 17 20 - 5 + 3 5.
Rozhodnutie
Ak poznáme základné vlastnosti odčítania a sčítania, môžeme čísla zoskupiť takto: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 \u003d 98 + 17 20 - 5 - 3 5 \u003d 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Dokončime výpočty: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 \u003d 93 + 17 20 - 12 20 \u003d 93 + 5 20 \u003d 93 + 1 4 \u003d 93 1 4
Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter