Skontrolujte inverznú maticu. Maticová metóda na riešenie slough: príklad riešenia pomocou inverznej matice. Nájdenie inverznej matice Gaussovým odstránením neznámych
Inverzné operácie sa zvyčajne používajú na zjednodušenie zložitých algebraických výrazov. Napríklad, ak úloha obsahuje operáciu delenia zlomkom, môžete ju nahradiť operáciou násobenia recipročnou, čo je inverzná operácia. Okrem toho sa matice nedajú rozdeliť, takže musíte násobiť inverznou maticou. Výpočet inverznej matice 3x3 je dosť únavný, ale musíte to urobiť ručne. Recipročnú hodnotu môžete nájsť aj pomocou dobrej grafickej kalkulačky.
Kroky
Pomocou priloženej matrice
Transponujte pôvodnú maticu. Transpozícia je nahradenie riadkov stĺpcami vzhľadom na hlavnú uhlopriečku matice, to znamená, že musíte vymeniť prvky (i, j) a (j, i). V tomto prípade sa prvky hlavnej uhlopriečky (začína v ľavom hornom rohu a končí v pravom dolnom rohu) nemenia.
- Ak chcete vymeniť riadky za stĺpce, napíšte prvky prvého riadku do prvého stĺpca, prvky druhého riadku do druhého stĺpca a prvky tretieho riadku do tretieho stĺpca. Poradie zmeny polohy prvkov je znázornené na obrázku, na ktorom sú príslušné prvky zakrúžkované farebnými kruhmi.
Nájdite definíciu každej matice 2x2. Každý prvok akejkoľvek matice, vrátane transponovanej, je spojený so zodpovedajúcou maticou 2x2. Ak chcete nájsť maticu 2x2, ktorá zodpovedá určitému prvku, prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa tento prvok nachádza, to znamená, že musíte prečiarknuť päť prvkov pôvodnej matice 3x3. Štyri prvky, ktoré sú prvkami zodpovedajúcej matice 2x2, zostanú neprečiarknuté.
- Napríklad, ak chcete nájsť maticu 2x2 pre prvok, ktorý sa nachádza v priesečníku druhého riadku a prvého stĺpca, preškrtnite päť prvkov, ktoré sú v druhom riadku a prvom stĺpci. Zvyšné štyri prvky sú prvkami zodpovedajúcej matice 2x2.
- Nájdite determinant každej matice 2x2. Za týmto účelom odpočítajte súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky od súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky (pozri obrázok).
- Podrobné informácie o maticách 2x2 zodpovedajúcich určitým prvkom matice 3x3 možno nájsť na internete.
Vytvorte maticu kofaktorov. Zaznamenajte výsledky získané skôr vo forme novej matice kofaktorov. Za týmto účelom napíšte nájdený determinant každej matice 2x2, kde sa nachádzal zodpovedajúci prvok matice 3x3. Napríklad, ak je pre prvok (1,1) uvažovaná matica 2x2, zapíšte si jeho determinant na pozíciu (1,1). Potom zmeňte znaky zodpovedajúcich prvkov podľa určitého vzoru, ktorý je znázornený na obrázku.
- Schéma zmeny znamienka: znamienko prvého prvku prvého riadku sa nemení; znamienko druhého prvku prvého riadku je obrátené; znamienko tretieho prvku prvého riadku sa nemení a tak ďalej riadok po riadku. Upozorňujeme, že znamienka „+“ a „-“, ktoré sú zobrazené na obrázku (pozri obrázok), neznamenajú, že príslušný prvok bude kladný alebo záporný. V tomto prípade znamienko „+“ znamená, že znamienko prvku sa nemení, a znamienko „-“ znamená, že sa znamienko prvku zmenilo.
- Podrobné informácie o kofaktorových matriciach nájdete na internete.
- Takto nájdete súvisiacu maticu pôvodnej matice. Niekedy sa nazýva komplexná konjugovaná matica. Takáto matica sa označuje ako adj(M).
Vydeľte každý prvok adjungovanej matice determinantom. Determinant matice M bol vypočítaný na samom začiatku, aby sa skontrolovalo, či existuje inverzná matica. Teraz vydeľte každý prvok pripojenej matice týmto determinantom. Zaznamenajte výsledok každej operácie delenia tam, kde sa nachádza príslušný prvok. Takže nájdete maticu, inverznú k originálu.
- Determinant matice znázornenej na obrázku je 1. Pridružená matica je tu teda inverzná matica (pretože delenie ľubovoľného čísla číslom 1 ho nezmení).
- V niektorých zdrojoch je operácia delenia nahradená operáciou násobenia 1/det(M). V tomto prípade sa konečný výsledok nemení.
Zapíšte inverznú maticu. Prvky nachádzajúce sa v pravej polovici veľkej matice zapíšte ako samostatnú maticu, ktorá je inverznou maticou.
Pomocou kalkulačky
Vyberte si kalkulačku, ktorá pracuje s maticami. Jednoduché kalkulačky nedokážu nájsť inverznú maticu, ale dá sa to urobiť pomocou dobrej grafickej kalkulačky, ako je Texas Instruments TI-83 alebo TI-86.
Zadajte pôvodnú maticu do pamäte kalkulačky. Ak to chcete urobiť, kliknite na tlačidlo Matrix, ak je k dispozícii. V prípade kalkulačky Texas Instruments možno budete musieť stlačiť 2. tlačidlo a tlačidlo Matrix.
Vyberte ponuku Upraviť. Urobte to pomocou tlačidiel so šípkami alebo príslušného funkčného tlačidla umiestneného v hornej časti klávesnice kalkulačky (umiestnenie tlačidla závisí od modelu kalkulačky).
Zadajte označenie matrice. Väčšina grafických kalkulačiek môže pracovať s 3-10 maticami, ktoré možno označiť písmená A-J. Vo všeobecnosti stačí vybrať [A] na označenie pôvodnej matice. Potom stlačte tlačidlo Enter.
Zadajte veľkosť matice. Tento článok hovorí o matriciach 3x3. Ale grafické kalkulačky môžu pracovať s veľkými maticami. Zadajte počet riadkov, stlačte tlačidlo Enter, potom zadajte počet stĺpcov a znova stlačte tlačidlo Enter.
Zadajte každý prvok matice. Na obrazovke kalkulačky sa zobrazí matica. Ak už bola matica zadaná do kalkulačky, zobrazí sa na obrazovke. Kurzor zvýrazní prvý prvok matice. Zadajte hodnotu prvého prvku a stlačte Enter. Kurzor sa automaticky presunie na ďalší prvok matice.
Zvážte štvorcovú maticu. Označme Δ = det A jeho determinant. Štvorec B je (OM) pre štvorec A rovnakého rádu, ak ich súčin A*B = B*A = E, kde E je matica identity rovnakého rádu ako A a B.
Štvorec A sa nazýva nedegenerovaný alebo nesingulárny, ak je jeho determinant nenulový, a degenerovaný alebo špeciálny, ak Δ = 0.
Veta. Na to, aby mala A inverziu, je potrebné a postačujúce, aby jej determinant bol odlišný od nuly.
(OM) A, označené A -1, takže B \u003d A -1 a vypočíta sa podľa vzorca
, (1)
kde А i j - algebraické doplnky prvkov a i j, Δ = detA.
Výpočet A -1 podľa vzorca (1) pre matice vyššieho rádu je veľmi prácny, preto je v praxi vhodné nájsť A -1 pomocou metódy elementárnych transformácií (EP). Akékoľvek nesingulárne A pomocou EP iba stĺpcov (alebo iba riadkov) možno zredukovať na jednotku E. Ak sa EP vykonané nad maticou A aplikujú v rovnakom poradí na jednotku E, potom bude výsledok A -1 . Je vhodné vykonať EP na A a E súčasne, pričom obe napíšte vedľa seba cez riadok A|E. Ak chcete nájsť A -1 , mali by ste v prevodoch použiť iba riadky alebo iba stĺpce.
Nájdenie inverznej matice pomocou algebraických doplnkov
Príklad 1. Pre 
nájsť A -1 .
Riešenie. Najprv nájdeme determinant A 
teda (OM) existuje a môžeme ho nájsť podľa vzorca: 
, kde A i j (i,j=1,2,3) - algebraické doplnky prvkov a i j pôvodného A.
Algebraickým doplnkom prvku a ij je determinant alebo vedľajší M ij . Získa sa vymazaním stĺpca i a riadku j. Menšia sa potom vynásobí (-1) i+j, t.j. A ij = (-1) i+j M ij
kde 
.
Nájdenie inverznej matice pomocou elementárnych transformácií
Príklad 2. Pomocou metódy elementárnych transformácií nájdite A -1 pre: A \u003d.
Riešenie. Pôvodnému A vpravo pripisujeme jednotku rovnakého rádu: 
. Pomocou elementárnych stĺpcových transformácií prenesieme ľavú „polovicu“ na jednotkovú, pričom súčasne vykonáme presne takéto transformácie na pravej „polovičke“.
Ak to chcete urobiť, vymeňte prvý a druhý stĺpec: 
~
. Prvý pridáme do tretieho stĺpca a prvý vynásobíme -2 do druhého: 
. Od prvého stĺpca odpočítame zdvojnásobenú sekundu a od tretieho - druhú vynásobenú 6; 
. Pridajme tretí stĺpec k prvému a druhému: 
. Vynásobte posledný stĺpec číslom -1: 
. Štvorcová tabuľka získaná napravo od zvislej čiary je inverzná k A -1. takze 
.
Nech existuje štvorcová matica n-tého rádu
Matica A -1 sa volá inverzná matica vzhľadom na maticu A, ak A * A -1 = E, kde E je matica identity n-tého rádu.
Matica identity- taká štvorcová matica, v ktorej sú všetky prvky pozdĺž hlavnej uhlopriečky, prechádzajúce z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu, jednotky a zvyšok sú nuly, napríklad:
inverzná matica môže existovať len pre štvorcové matice tie. pre tie matice, ktoré majú rovnaký počet riadkov a stĺpcov.
Veta o podmienkach existencie inverznej matice
Aby matica mala inverznú maticu, je potrebné a postačujúce, aby bola nedegenerovaná.
Nazýva sa matica A = (A1, A2,...A n). nedegenerované ak sú stĺpcové vektory lineárne nezávislé. Počet lineárne nezávislých stĺpcových vektorov matice sa nazýva poradie matice. Môžeme teda povedať, že na to, aby mohla existovať inverzná matica, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť matice rovnala jej rozmeru, t.j. r = n.
Algoritmus na nájdenie inverznej matice
- Do tabuľky na riešenie sústav rovníc Gaussovou metódou zapíšte maticu A a vpravo (na miesto pravých častí rovníc) k nej priraďte maticu E.
- Pomocou Jordanových transformácií priveďte maticu A na maticu pozostávajúcu z jednotlivých stĺpcov; v tomto prípade je potrebné súčasne transformovať maticu E.
- V prípade potreby preusporiadajte riadky (rovnice) poslednej tabuľky tak, aby matica identity E bola získaná pod maticou A pôvodnej tabuľky.
- Napíšte inverznú maticu A -1, ktorá je v poslednej tabuľke pod maticou E pôvodnej tabuľky.
Pre maticu A nájdite inverznú maticu A -1
Riešenie: Zapíšeme si maticu A a vpravo priradíme maticu identity E. Pomocou Jordanových transformácií zredukujeme maticu A na maticu identity E. Výpočty sú uvedené v tabuľke 31.1.
Skontrolujme si správnosť výpočtov vynásobením pôvodnej matice A a inverznej matice A -1.
V dôsledku násobenia matice sa získa matica identity. Preto sú výpočty správne.
odpoveď: 
Riešenie maticových rovníc
Maticové rovnice môžu vyzerať takto:
AX = B, XA = B, AXB = C,
kde A, B, C sú dané matice, X je požadovaná matica.
Maticové rovnice sa riešia vynásobením rovnice inverznými maticami.
Napríklad, ak chcete nájsť maticu z rovnice, musíte túto rovnicu vynásobiť vľavo.
Preto, aby ste našli riešenie rovnice, musíte nájsť inverznú maticu a vynásobiť ju maticou na pravej strane rovnice.
Ostatné rovnice sú riešené podobne.
Vyriešte rovnicu AX = B, ak 
Riešenie: Pretože inverzia matice sa rovná (pozri príklad 1)
Maticová metóda v ekonomickej analýze
Spolu s inými tiež nachádzajú uplatnenie maticové metódy. Tieto metódy sú založené na lineárnej a vektorovej maticovej algebre. Takéto metódy sa používajú na účely analýzy zložitých a viacrozmerných ekonomických javov. Najčastejšie sa tieto metódy využívajú vtedy, keď je potrebné porovnať fungovanie organizácií a ich štruktúrne členenie.
V procese aplikácie maticových metód analýzy možno rozlíšiť niekoľko fáz.
V prvej fáze uskutočňuje sa tvorba sústavy ekonomických ukazovateľov a na jej základe sa zostavuje matica východiskových údajov, čo je tabuľka, v ktorej sú v jednotlivých riadkoch uvedené systémové čísla. (i = 1,2,...,n) a pozdĺž vertikálnych grafov - počty ukazovateľov (j = 1,2,....,m).
V druhej fáze pre každý vertikálny stĺpec sa odhalí najväčšia z dostupných hodnôt ukazovateľov, ktorá sa berie ako jednotka.
Potom sa všetky sumy uvedené v tomto stĺpci vydelia najväčšou hodnotou a vytvorí sa matica štandardizovaných koeficientov.
V tretej etape všetky zložky matice sú odmocnené. Ak majú rozdielny význam, potom je každému indikátoru matice priradený určitý váhový koeficient k. Hodnotu posledného určuje znalec.
Na poslednej štvrtá etapa nájdené hodnoty hodnotení Rj zoskupené v poradí rastúceho alebo klesajúceho.
Vyššie uvedené maticové metódy by sa mali použiť napríklad pri porovnávacej analýze rôznych investičných projektov, ako aj pri hodnotení iných ukazovateľov ekonomickej výkonnosti organizácií.
Matica A -1 sa nazýva inverzná matica vzhľadom na maticu A, ak A * A -1 \u003d E, kde E je matica identity n-tého rádu. Inverzná matica môže existovať len pre štvorcové matice.
Pridelenie služby. Pomocou tejto služby online môžete nájsť algebraické sčítania, transponovanú maticu A T , zjednotenú maticu a inverznú maticu. Riešenie sa vykonáva priamo na stránke (online) a je bezplatné. Výsledky výpočtu sú prezentované v správe vo formáte Word a vo formáte Excel (to znamená, že je možné skontrolovať riešenie). pozri príklad dizajnu.
Poučenie. Ak chcete získať riešenie, musíte zadať rozmer matice. Ďalej v novom dialógovom okne vyplňte maticu A .
Pozri tiež Inverzná matica Jordan-Gaussovou metódou
Algoritmus na nájdenie inverznej matice
- Nájdenie transponovanej matice AT .
- Definícia algebraických sčítaní. Nahraďte každý prvok matice jeho algebraickým doplnkom.
- Zostavenie inverznej matice z algebraických sčítaní: každý prvok výslednej matice je vydelený determinantom pôvodnej matice. Výsledná matica je inverzná k pôvodnej matici.
- Zistite, či je matica štvorcová. Ak nie, potom na to neexistuje inverzná matica.
- Výpočet determinantu matice A . Ak sa nerovná nule, pokračujeme v riešení, inak inverzná matica neexistuje.
- Definícia algebraických sčítaní.
- Vyplnenie zjednocovacej (vzájomnej, adjungovanej) matice C .
- Zostavenie inverznej matice z algebraických sčítaní: každý prvok adjungovanej matice C sa vydelí determinantom pôvodnej matice. Výsledná matica je inverzná k pôvodnej matici.
- Vykonajte kontrolu: vynásobte originál a výsledné matice. Výsledkom by mala byť matica identity.
Príklad č. 1. Maticu zapisujeme v tvare:
| A-1 = |
|
Ďalší algoritmus na nájdenie inverznej matice
Uvádzame ďalšiu schému na nájdenie inverznej matice.- Nájdite determinant danej štvorcovej matice A .
- Ku všetkým prvkom matice A nájdeme algebraické doplnky.
- Algebraické doplnky prvkov riadkov zapisujeme do stĺpcov (transpozícia).
- Každý prvok výslednej matice vydelíme determinantom matice A .
Špeciálny prípad: Inverzná vzhľadom na maticu identity E je matica identity E .