ലോബചെവ്സ്കി ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ. ചിലത്. ഏത് ജ്യാമിതിയിലാണ് സമാന്തരരേഖകൾ വിഭജിക്കുന്നത്? ലോബചെവ്സ്കി ലൈനുകൾ വിഭജിക്കുന്നു

ലോബചെവ്സ്കി വിമാനം

ലോബചെവ്സ്കി ജ്യാമിതി (ഹൈപ്പർബോളിക് ജ്യാമിതി) നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതികളിൽ ഒന്നാണ്, സാധാരണ യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ അതേ അടിസ്ഥാന പരിസരത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ജ്യാമിതീയ സിദ്ധാന്തം, സമാന്തര സിദ്ധാന്തം ഒഴികെ, ലോബചെവ്സ്കിയുടെ സമാന്തര സിദ്ധാന്തം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

യൂക്ലിഡിയൻ പാരലൽ ആക്സിയം പറയുന്നു:

തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ, ഒരു നേർരേഖയിൽ ഒരു നേർരേഖ മാത്രമേ ഉള്ളൂ, അത് ഒരു നേർരേഖയിൽ ഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നു.

ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയിൽ, പകരം ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം അംഗീകരിച്ചു:

തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ, ഒരേ തലത്തിൽ തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയ്‌ക്കൊപ്പം കിടക്കുന്നതും അതിനെ വിഭജിക്കാത്തതുമായ രണ്ട് നേർരേഖകളെങ്കിലും ഉണ്ട്.

ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിക്ക് ഗണിതത്തിലും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും വിപുലമായ പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്. ജ്യാമിതിയുടെയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെയും വികാസത്തിൽ ഒരു പുതിയ യുഗം അടയാളപ്പെടുത്തിയ യൂക്ലിഡിയനിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഒരു ജ്യാമിതിയുടെ സാധ്യത ലോബചെവ്സ്കി ഇത് നിർമ്മിച്ചുകൊണ്ട് കാണിച്ചു എന്നതാണ് അതിന്റെ ചരിത്രപരമായ പ്രാധാന്യം.

ചരിത്രം

അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് തെളിയിക്കാനുള്ള ശ്രമം

ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയുടെ ആരംഭ പോയിന്റ് യൂക്ലിഡിന്റെ V പോസ്റ്റുലേറ്റ് ആയിരുന്നു - സമാന്തര സിദ്ധാന്തത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സിദ്ധാന്തം. യൂക്ലിഡിന്റെ മൂലകങ്ങളിലെ പോസ്റ്റുലേറ്റുകളുടെ പട്ടികയിൽ അദ്ദേഹത്തെ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്). അതിന്റെ രൂപീകരണത്തിന്റെ ആപേക്ഷിക സങ്കീർണ്ണതയും അവബോധമില്ലായ്മയും അതിന്റെ ദ്വിതീയ സ്വഭാവത്തിന്റെ ഒരു വികാരത്തിന് കാരണമാവുകയും യൂക്ലിഡിന്റെ ബാക്കി പോസ്റ്റുലേറ്റുകളിൽ നിന്ന് അത് ഊഹിക്കുന്നതിനുള്ള ശ്രമങ്ങൾക്ക് കാരണമാവുകയും ചെയ്തു.

തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നവരിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ശാസ്ത്രജ്ഞരും ഉൾപ്പെടുന്നു:

• പുരാതന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ ടോളമി (II നൂറ്റാണ്ട്), പ്രോക്ലസ് (V നൂറ്റാണ്ട്) (രണ്ട് സമാന്തരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം പരിമിതമാണെന്ന അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി),
• ഇറാഖിൽ നിന്നുള്ള ഇബ്‌നു അൽ-ഹൈതം (നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനഭാഗം - ആദ്യകാലങ്ങൾ) (നേർരേഖയിലേക്ക് ലംബമായി ചലിക്കുന്നതിന്റെ അവസാനം ഒരു നേർരേഖയെ വിവരിക്കുന്നു എന്ന അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി)
• ഇറാനിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ ഒമർ ഖയ്യാം (രണ്ടാം പകുതി - പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആരംഭം), നാസിർ അദ്-ദിൻ അറ്റ്-തുസി (13-ആം നൂറ്റാണ്ട്) (രണ്ട് ഒത്തുചേരുന്ന വരികൾ തുടരുമ്പോൾ വിഭജനം കൂടാതെ വ്യതിചലിക്കാനാവില്ല എന്ന അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി)
• ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ക്ലാവിയസ് (),
• ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ
  • കാറ്റാൽഡി (1603-ൽ അദ്ദേഹം ആദ്യമായി സമാന്തര ചോദ്യത്തിന് പൂർണ്ണമായും സമർപ്പിച്ച ഒരു കൃതി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു),
• ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ വാലിസ് (ഇതിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്) (ഓരോ രൂപത്തിനും സമാനമായ, എന്നാൽ തുല്യമായ ഒരു കണക്ക് ഇല്ല എന്ന അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി)
• ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ലെജൻഡ്രെ () (അക്യൂട്ട് കോണിനുള്ളിലെ ഓരോ ബിന്ദുവിലൂടെയും കോണിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും വിഭജിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കാമെന്ന അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി; അത് തെളിയിക്കാൻ അദ്ദേഹത്തിന് മറ്റ് ശ്രമങ്ങളും ഉണ്ടായിരുന്നു).

അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് തെളിയിക്കാനുള്ള ഈ ശ്രമങ്ങളിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അവർക്ക് കൂടുതൽ വ്യക്തമായി തോന്നിയ ഒരു പുതിയ പ്രസ്താവന അവതരിപ്പിച്ചു.

വൈരുദ്ധ്യത്തിലൂടെ തെളിവ് ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിച്ചു:

• ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ സച്ചേരി () (അഭിപ്രായത്തിന് വിരുദ്ധമായ ഒരു പ്രസ്താവന ആവിഷ്കരിച്ച്, അദ്ദേഹം നിരവധി അനന്തരഫലങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞു, അവയിൽ ചിലത് വൈരുദ്ധ്യമാണെന്ന് തെറ്റായി തിരിച്ചറിഞ്ഞ്, തെളിയിക്കപ്പെട്ട പോസ്റ്റുലേറ്റ് അദ്ദേഹം കണക്കാക്കി)
• ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലാംബെർട്ട് (ഏകദേശം, പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്) (ഗവേഷണം നടത്തിയ ശേഷം, താൻ നിർമ്മിച്ച സിസ്റ്റത്തിൽ വൈരുദ്ധ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താനായില്ലെന്ന് അദ്ദേഹം സമ്മതിച്ചു).

അവസാനമായി, വിപരീത പോസ്റ്റുലേറ്റിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു സിദ്ധാന്തം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഒരു ധാരണ ഉയർന്നുവരാൻ തുടങ്ങി:

• ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ F. Schweickart () ഉം Taurinus () ഉം (എന്നിരുന്നാലും, അത്തരമൊരു സിദ്ധാന്തം യുക്തിസഹമായി ഒരേപോലെ യോജിച്ചതായിരിക്കുമെന്ന് അവർ മനസ്സിലാക്കിയിരുന്നില്ല).

നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി സൃഷ്ടിക്കുന്നു

യൂക്ലിഡിയൻ അല്ലാത്ത ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള തന്റെ ആദ്യത്തെ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച കൃതിയായ "ഓൺ ദി പ്രിൻസിപ്പിൾസ് ഓഫ് ജ്യാമിതി" () എന്ന തന്റെ കൃതിയിൽ ലോബചെവ്‌സ്‌കി, യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ മറ്റ് സാഹചര്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി V പോസ്റ്റുലേറ്റ് തെളിയിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്നും ഒരു അനുമാനത്തിന്റെ അനുമാനമാണെന്നും വ്യക്തമായി പ്രസ്താവിച്ചു. യൂക്ലിഡിയന്റേതിന് വിപരീതമായി, യൂക്ലിഡിയൻ പോലെ തന്നെ അർത്ഥവത്തായതും വൈരുദ്ധ്യങ്ങളിൽ നിന്ന് മുക്തവുമായ ജ്യാമിതി നിർമ്മിക്കാൻ ഒരാളെ അനുവദിക്കുന്നു.

അതേ സമയം, സ്വതന്ത്രമായി, ജാനോസ് ബൊല്യായി സമാനമായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തി, കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗൗസ് നേരത്തെ തന്നെ അത്തരം നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തി. എന്നിരുന്നാലും, ബോയായിയുടെ രചനകൾ ശ്രദ്ധ ആകർഷിച്ചില്ല, അദ്ദേഹം ഉടൻ തന്നെ വിഷയം ഉപേക്ഷിച്ചു, ഗൗസ് പൊതുവെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് വിട്ടുനിന്നു, അദ്ദേഹത്തിന്റെ കാഴ്ചപ്പാടുകൾ കുറച്ച് കത്തുകളും ഡയറി എൻട്രികളും ഉപയോഗിച്ച് മാത്രമേ വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ. ഉദാഹരണത്തിന്, 1846-ൽ ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജി.

ഈ കൃതിയിൽ നടക്കേണ്ട ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ, യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി ശരിയല്ലെങ്കിൽ, കർശനമായി സ്ഥിരതയുള്ള മൊത്തത്തിൽ രൂപീകരിക്കുമായിരുന്നു ... ലോബചെവ്സ്കി അതിനെ "സാങ്കൽപ്പിക ജ്യാമിതി" എന്ന് വിളിക്കുന്നു; 54 വർഷമായി (1792 മുതൽ) അവരുടെ ഒരു പ്രത്യേക വികസനവുമായി ഞാൻ ഒരേ വീക്ഷണങ്ങൾ പങ്കിട്ടിട്ടുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം, അത് ഞാൻ ഇവിടെ പരാമർശിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല; അതിനാൽ, ലോബചെവ്സ്കിയുടെ കൃതിയിൽ പ്രായോഗികമായി പുതിയതൊന്നും ഞാൻ കണ്ടെത്തിയില്ല. എന്നാൽ വിഷയത്തിന്റെ വികാസത്തിൽ, ഞാൻ തന്നെ പിന്തുടർന്ന പാതയല്ല രചയിതാവ് പിന്തുടരുന്നത്; യഥാർത്ഥ ജ്യാമിതീയ സ്പിരിറ്റിൽ ലോബചെവ്‌സ്‌കി സമർത്ഥമായി ഇത് നടപ്പിലാക്കുന്നു. ഈ രചനയിലേക്ക് നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കാൻ ഞാൻ ബാധ്യസ്ഥനാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു, അത് നിങ്ങൾക്ക് തികച്ചും അസാധാരണമായ ആനന്ദം നൽകും.

തൽഫലമായി, ലോബചെവ്സ്കി ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആദ്യത്തെ ഏറ്റവും തിളക്കമുള്ളതും സ്ഥിരതയുള്ളതുമായ പ്രചാരകനായി പ്രവർത്തിച്ചു.

ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതി ഒരു ഊഹക്കച്ചവട സിദ്ധാന്തമായി വികസിച്ചെങ്കിലും ലോബചെവ്സ്കി തന്നെ അതിനെ "സാങ്കൽപ്പിക ജ്യാമിതി" എന്ന് വിളിച്ചിരുന്നുവെങ്കിലും, ലോബചെവ്സ്കി അതിനെ മനസ്സിന്റെ കളിയായല്ല, സ്ഥലബന്ധങ്ങളുടെ സാധ്യമായ സിദ്ധാന്തമായി കണക്കാക്കി. എന്നിരുന്നാലും, അതിന്റെ സ്ഥിരതയ്ക്കുള്ള തെളിവ് പിന്നീട് നൽകപ്പെട്ടു, അതിന്റെ വ്യാഖ്യാനങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ചപ്പോൾ അതിന്റെ യഥാർത്ഥ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം, യുക്തിപരമായ സ്ഥിരത പൂർണ്ണമായും പരിഹരിച്ചു.

ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയുടെ അവകാശവാദം

ആംഗിൾ കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

Poincaré മോഡൽ

ലോബചെവ്സ്കി ജ്യാമിതിയുടെ ഉള്ളടക്കം

ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയിൽ സമാന്തരരേഖകളുടെ ഒരു കറ്റ

ലോബചെവ്‌സ്‌കി തന്റെ ജ്യാമിതി നിർമ്മിച്ചു, അടിസ്ഥാന ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങളിൽ നിന്നും അദ്ദേഹത്തിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നും ആരംഭിച്ച്, യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതിയിൽ ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യപ്പെടുന്നു എന്നതിന് സമാനമായി ഒരു ജ്യാമിതീയ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിയിച്ചു. ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയും യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതിയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഇവിടെ നിന്നാണ് ആരംഭിക്കുന്നത് എന്നതിനാൽ സമാന്തരരേഖകളുടെ സിദ്ധാന്തം അടിസ്ഥാനമായി വർത്തിച്ചു. സമാന്തര സിദ്ധാന്തത്തെ ആശ്രയിക്കാത്ത എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളും രണ്ട് ജ്യാമിതികൾക്കും സാധാരണമാണ് കൂടാതെ കേവല ജ്യാമിതി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. സമാന്തര സിദ്ധാന്തത്തെ പിന്തുടർന്ന്, ത്രികോണമിതിയും അനലിറ്റിക്, ഡിഫറൻഷ്യൽ ജ്യാമിതിയുടെ തുടക്കവും ഉൾപ്പെടെ മറ്റ് വിഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിക്കപ്പെട്ടു.

ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയെ യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതിയിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കുന്നതും ലോബചെവ്സ്കി തന്നെ സ്ഥാപിച്ചതുമായ നിരവധി വസ്തുതകൾ നമുക്ക് (ആധുനിക നൊട്ടേഷനിൽ) ഉദ്ധരിക്കാം.

പോയിന്റിലൂടെ പിതന്നിരിക്കുന്ന വരിയിൽ കിടക്കുന്നില്ല ആർ(ചിത്രം കാണുക), വിഭജിക്കാത്ത അനന്തമായ നേർരേഖകളുണ്ട് ആർഅതും ഒരേ വിമാനത്തിൽ; അവയിൽ രണ്ട് തീവ്രതകളുണ്ട് x, വൈ, അതിനെ സമാന്തര രേഖ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ആർലോബചെവ്സ്കിയുടെ അർത്ഥത്തിൽ. ക്ലെയിൻ (Poincaré) മോഡലുകളിൽ, ഒരു കോർഡ് (ആർക്ക്) ഉള്ള കോർഡുകളാൽ (വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ആർക്കുകൾ) അവയെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ആർഒരു പൊതു അവസാനം (മോഡലിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഈ വരികൾക്ക് പൊതുവായ പോയിന്റുകൾ ഉണ്ടാകാതിരിക്കാൻ ഇത് ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു).

ലംബമായി തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ പി.ബിനിന്ന് പിഓൺ ആർഓരോ സമാന്തരവും (വിളിക്കുന്നത് സമാന്തര കോൺ) പോയിന്റ് നീക്കം ചെയ്തതുപോലെ പിഒരു നേർരേഖയിൽ നിന്ന് 90 ° മുതൽ 0 ° വരെ കുറയുന്നു (Poincaré മോഡലിൽ, സാധാരണ അർത്ഥത്തിലുള്ള കോണുകൾ ലോബചെവ്സ്കി അർത്ഥത്തിലുള്ള കോണുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ ഈ വസ്തുത അതിൽ നേരിട്ട് കാണാൻ കഴിയും). സമാന്തരം xഒരു വശത്ത് (എ വൈവിപരീതമായി) അസിംപ്റ്റിക്കലായി സമീപിക്കുന്നു എ, മറുവശത്ത്, അത് അതിൽ നിന്ന് അനന്തമായി നീങ്ങുന്നു (മോഡലുകളിൽ, ദൂരം നിർണ്ണയിക്കാൻ പ്രയാസമാണ്, അതിനാൽ ഈ വസ്തുത നേരിട്ട് ദൃശ്യമാകില്ല).

ഒരു നിശ്ചിത നേർരേഖയിൽ നിന്ന് അകലെ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിനായി പിബി = എ(ചിത്രം കാണുക), ലോബചെവ്സ്കി സമാന്തരതയുടെ കോണിന് ഒരു ഫോർമുല നൽകി പി (എ) :

ഇവിടെ q- ലോബചെവ്സ്കി സ്ഥലത്തിന്റെ വക്രതയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ. ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതിയിൽ ഒരു ഗോളത്തിന്റെ ആരം ഒരു പ്രത്യേക സ്ഥാനം വഹിക്കുന്നതുപോലെ ഇതിന് നീളത്തിന്റെ ഒരു കേവല യൂണിറ്റായി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും.

വരികൾക്ക് പൊതുവായ ലംബമുണ്ടെങ്കിൽ, അവ അതിൽ നിന്ന് രണ്ട് ദിശകളിലേക്കും അനന്തമായി വ്യതിചലിക്കുന്നു. അവയിലേതെങ്കിലും, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു നേർരേഖയിൽ എത്താത്ത ലംബങ്ങൾ പുനഃസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും.

ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയിൽ സമാനമായ, എന്നാൽ അസമമായ ത്രികോണങ്ങൾ ഇല്ല; ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ അവ തുല്യമാണ്.

ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും കോണുകളുടെ ആകെത്തുക π-നേക്കാൾ കുറവാണ്, അത് പൂജ്യത്തോട് ഏകപക്ഷീയമായി അടുത്തുവരാം. Poincaré മോഡലിൽ ഇത് നേരിട്ട് കാണാം. വ്യത്യാസം δ = π - (α + β + γ), ഇവിടെ α, β, γ ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളാണ്, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് ആനുപാതികമാണ്:

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ പരമാവധി വിസ്തീർണ്ണം ഉണ്ടെന്ന് ഫോർമുല കാണിക്കുന്നു, ഇത് ഒരു പരിമിത സംഖ്യയാണ്: π q 2 .

ഒരു നേർരേഖയിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള ഒരു രേഖ ഒരു നേർരേഖയല്ല, മറിച്ച് സമദൂര രേഖ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രത്യേക വക്രമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ ഹൈപ്പർസൈക്കിൾ.

അനന്തമായി വർദ്ധിക്കുന്ന ആരത്തിന്റെ സർക്കിളുകളുടെ പരിധി ഒരു നേർരേഖയല്ല, മറിച്ച് ഒരു പ്രത്യേക വക്രമാണ് പരിധി ചുറ്റളവ്, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഹോറോസൈക്കിൾ.

അനന്തമായി വർദ്ധിക്കുന്ന ദൂരത്തിന്റെ ഗോളങ്ങളുടെ പരിധി ഒരു തലമല്ല, ഒരു പ്രത്യേക ഉപരിതലം - ഒരു പരിധി ഗോളം അല്ലെങ്കിൽ ഹോസ്ഫിയർ; അതിൽ യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി നടക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്. ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെ ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഉത്ഭവത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനമായി ഇത് പ്രവർത്തിച്ചു.

ചുറ്റളവ് ആരത്തിന് ആനുപാതികമല്ല, മറിച്ച് വേഗത്തിൽ വളരുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയിൽ, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിന്റെ വ്യാസത്തിന്റെ അനുപാതമായി π എന്ന സംഖ്യയെ നിർവചിക്കാൻ കഴിയില്ല.

ബഹിരാകാശത്തിലോ ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിലോ ഉള്ള പ്രദേശം ചെറുതാണെങ്കിൽ, ഈ മേഖലയിലെ ജ്യാമിതീയ ബന്ധങ്ങൾ യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയിലെ ബന്ധങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി അനന്തമായ ഒരു ചെറിയ പ്രദേശത്താണ് നടക്കുന്നത് എന്ന് നമുക്ക് പറയാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ത്രികോണം ചെറുതാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക πയിൽ നിന്ന് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു; വൃത്തം ചെറുതാകുമ്പോൾ, അതിന്റെ നീളവും ദൂരവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം 2π എന്നതിൽ നിന്ന് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ലോബചെവ്സ്കി ജ്യാമിതി ഫോർമുലകൾ യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളായി മാറുന്നു. യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി ഈ അർത്ഥത്തിൽ ലോബചെവ്സ്കി ജ്യാമിതിയുടെ "പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന" കേസാണ്.

അപേക്ഷകൾ

• ലോബചെവ്‌സ്‌കി തന്നെ തന്റെ ജ്യാമിതി പ്രയോഗിച്ചാണ് കൃത്യമായ ഇന്റഗ്രലുകൾ കണക്കാക്കുന്നത്.
• സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ, ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതി ഓട്ടോമോർഫിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സിദ്ധാന്തം നിർമ്മിക്കാൻ സഹായിച്ചു. ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെ ജ്യാമിതീയവുമായുള്ള ബന്ധം ഇവിടെയാണ് പോയിൻകാറെയുടെ ഗവേഷണത്തിന്റെ ആരംഭം, അദ്ദേഹം "യൂക്ലിഡിയൻ അല്ലാത്ത ജ്യാമിതിയാണ് മുഴുവൻ പ്രശ്നവും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള താക്കോൽ" എന്ന് എഴുതിയത്.
• ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതി സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തത്തിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിന്റെ ജ്യാമിതീയ രീതികളിൽ, "സംഖ്യകളുടെ ജ്യാമിതി" എന്ന പേരിൽ ഒന്നിച്ചു.
• ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയും പ്രത്യേക (പ്രത്യേക) ആപേക്ഷികതാ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ചലനാത്മകതയും തമ്മിൽ അടുത്ത ബന്ധം സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു. ഈ ബന്ധം പ്രകാശത്തിന്റെ പ്രചാരണ നിയമം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സമത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്

വിഭജിക്കുമ്പോൾ ടി 2, അതായത്, പ്രകാശവേഗതയ്ക്ക്, നൽകുന്നു - കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു ഗോളത്തിന്റെ സമവാക്യം വി x , വി വൈ , വി z- അക്ഷങ്ങൾ സഹിതം സ്പീഡ് ഘടകങ്ങൾ എൻ. എസ്, ചെയ്തത്, z("വേഗതകളുടെ ഇടത്തിൽ"). ലോറന്റ്സ് പരിവർത്തനങ്ങൾ ഈ ഗോളത്തെ സംരക്ഷിക്കുന്നു, അവ രേഖീയമായതിനാൽ, പ്രവേഗ സ്ഥലത്തിന്റെ നേർരേഖകളെ നേർരേഖകളാക്കി മാറ്റുന്നു. അതിനാൽ, ക്ലെയിൻ മാതൃകയനുസരിച്ച്, റേഡിയസ് ഗോളത്തിനുള്ളിലെ വേഗതയുടെ സ്ഥലത്ത് കൂടെ, അതായത്, പ്രകാശവേഗതയേക്കാൾ കുറഞ്ഞ വേഗതയ്ക്ക്, ലോബചെവ്സ്കി ജ്യാമിതി നടക്കുന്നു.

• ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതി പൊതു ആപേക്ഷികതാ സിദ്ധാന്തത്തിൽ ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു പ്രയോഗം കണ്ടെത്തി. പ്രപഞ്ചത്തിലെ ദ്രവ്യ പിണ്ഡങ്ങളുടെ വിതരണം ഏകീകൃതമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കരുതുന്നുവെങ്കിൽ (ഈ ഏകദേശം ഒരു കോസ്മിക് സ്കെയിലിൽ അനുവദനീയമാണ്), ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ ബഹിരാകാശത്തിന് ലോബചെവ്സ്കി ജ്യാമിതി ഉണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. അങ്ങനെ, ലോബചെവ്‌സ്‌കി തന്റെ ജ്യാമിതിയെ യഥാർത്ഥ സ്ഥലത്തിന്റെ സാധ്യമായ ഒരു സിദ്ധാന്തമായി കണക്കാക്കുന്നത് ന്യായീകരിക്കപ്പെട്ടു.
• ക്ലെയിൻ മോഡൽ ഉപയോഗിച്ച്, വളരെ ലളിതവും ഹ്രസ്വവുമായ തെളിവ് നൽകിയിരിക്കുന്നു

എൽവി 1. (ലോബചെവ്സ്കിയുടെ സമാന്തരതയുടെ സിദ്ധാന്തം). ഏതൊരു തലത്തിലും ഈ രേഖയിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത ഒരു നേർരേഖ a 0 ഉം A 0 എന്ന ബിന്ദുവും ഉണ്ട്, അതായത് 0 യെ വിഭജിക്കാത്ത രണ്ട് നേർരേഖകളെങ്കിലും ഈ പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.

അംഗത്വം, ക്രമം, സമന്വയം, തുടർച്ച, സമാന്തരതയുടെ ലോബചെവ്സ്കി സിദ്ധാന്തം എന്നിവയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിന്റുകൾ, ലൈനുകൾ, പ്ലെയിനുകൾ എന്നിവയുടെ കൂട്ടത്തെ ത്രിമാന ലോബചെവ്സ്കി സ്പേസ് എന്ന് വിളിക്കുകയും എ 3 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും. കണക്കുകളുടെ ഭൂരിഭാഗം ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങളും Л 3 എന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ തലത്തിൽ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, അതായത്. ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിൽ. യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സമാന്തരതയുടെ സിദ്ധാന്തമായ ആക്സിയം V 1 ന്റെ ഔപചാരിക ലോജിക്കൽ നിഷേധത്തിന് നമ്മൾ ആക്‌സിയം എൽവി 1 ആയി നൽകിയ ഫോർമുലേഷൻ കൃത്യമായി ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. വിമാനത്തിൽ, യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സമാന്തരതയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രസ്താവന നിലനിൽക്കാത്ത കുറഞ്ഞത് ഒരു പോയിന്റും ഒരു നേർരേഖയും ഉണ്ട്. ലോബചെവ്‌സ്‌കി സമാന്തര സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രസ്താവന ലോബചെവ്‌സ്‌കി തലത്തിന്റെ ഏത് ബിന്ദുവിനും ഏത് നേർരേഖയ്ക്കും സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് അത് പിന്തുടരുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം 13.1.a എന്നത് ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു നേർരേഖയും A എന്നത് ഈ നേർരേഖയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു ബിന്ദുവും ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ പോയിന്റ് A, ലൈൻ a എന്നിവയാൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന തലത്തിൽ, കുറഞ്ഞത് രണ്ട് വരികളെങ്കിലും A യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, കൂടാതെ വരി a ഛേദിക്കരുത്.

തെളിവ്.സിദ്ധാന്തം 11.1 (§ 11 കാണുക) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വൈരുദ്ധ്യത്തിലൂടെ തെളിവ് നടപ്പിലാക്കുന്നു. ലോബചെവ്‌സ്‌കി സ്‌പെയ്‌സിൽ ഒരു പോയിന്റും ഒരു നേർരേഖയും ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക, ഈ പോയിന്റും ഒരു നേർരേഖയും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന തലത്തിൽ, പോയിന്റ് എയിലൂടെ a ഛേദിക്കാത്ത ഒരൊറ്റ നേർരേഖയുണ്ട്. നമുക്ക് A ലംബമായ AB എന്ന പോയിന്റ് a നേർരേഖയിലേക്ക് ഡ്രോപ്പ് ചെയ്യാം, A എന്ന ബിന്ദുവിൽ നമ്മൾ ലംബമായ h നെ AB നേർരേഖയിലേക്ക് ഉയർത്താം (ചിത്രം 50). സിദ്ധാന്തം 4.2-ൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്നതുപോലെ (§ 4 കാണുക), h, a എന്നീ വരികൾ വിഭജിക്കുന്നില്ല. അനുമാനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ h എന്ന നേർരേഖ A യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതും a യെ ഖണ്ഡിക്കാത്തതുമായ ഒരേയൊരു നേർരേഖയാണ്. നമുക്ക് a നേർരേഖയിൽ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് C തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ACB ന് തുല്യമായ CAM എന്ന പോയിന്റ് ബി അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത AB എന്ന ബൗണ്ടറി ഉള്ള അർദ്ധതലത്തിൽ റേ എസിയിൽ നിന്ന് മാറ്റിവെക്കാം. തുടർന്ന്, അതേ സിദ്ധാന്തം 4.2-ൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്നതുപോലെ, AM എന്ന വരി a ഖണ്ഡിക്കുന്നില്ല. ഇത് h മായി ഒത്തുചേരുന്നു എന്ന ഞങ്ങളുടെ അനുമാനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു. അതിനാൽ, പോയിന്റ് എം h എന്ന വരിയിൽ പെടുന്നു. ത്രികോണം ABC - ദീർഘചതുരം,. ABC: എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സമാന്തരതയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണെന്ന് സിദ്ധാന്തം 11.1 ൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു. അതിനാൽ, പരിഗണനയിലുള്ള തലത്തിൽ A 0 പോയിന്റുകളും ഒരു നേർരേഖ a 0 ഉം ഉണ്ടാകരുത്, അതായത് 0 യെ വിഭജിക്കാത്ത രണ്ട് നേർരേഖകളെങ്കിലും ഈ പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. ലോബചെവ്സ്കി സമാന്തര സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അവസ്ഥയുമായി ഞങ്ങൾ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിൽ എത്തിയിരിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെ സമാന്തര സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വാദത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ ഞങ്ങൾ സിദ്ധാന്തം 13.1 ന്റെ അവകാശവാദം ഉപയോഗിക്കും എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. വഴിയിൽ, പല പാഠപുസ്തകങ്ങളിലും ഈ പ്രസ്താവനയാണ് ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയുടെ സമാന്തരതയുടെ സിദ്ധാന്തമായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്.

സിദ്ധാന്തം 13.1-ൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഉപസംഹാരം നേടുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

അനന്തരഫലം 13.2. ലോബചെവ്സ്കി തലത്തിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു പോയിന്റിലൂടെ, തന്നിരിക്കുന്നതിനെ വിഭജിക്കാത്ത അനന്തമായ നേർരേഖകളുണ്ട്.

തീർച്ചയായും, a എന്നത് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖയായിരിക്കട്ടെ, A എന്നത് അതിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത ഒരു ബിന്ദുവാണ്, h 1 ഉം h 2 ഉം A യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതും a ഛേദിക്കാത്തതുമായ നേർരേഖകളാണ് (ചിത്രം 51). വ്യക്തമായും, പോയിന്റ് എയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന എല്ലാ വരികളും h 1, h 2 എന്നിവയാൽ രൂപംകൊണ്ട കോണുകളിൽ ഒന്നിൽ കിടക്കുന്നു (ചിത്രം 51 കാണുക) a വരിയെ വിഭജിക്കുന്നില്ല.

അദ്ധ്യായം 2 ൽ, യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സമാന്തര സിദ്ധാന്തത്തിന് തുല്യമായ നിരവധി പ്രസ്താവനകൾ ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു. അവരുടെ ലോജിക്കൽ നിഷേധങ്ങൾ ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിലെ രൂപങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകളെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു.

ആദ്യം, ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിൽ, യൂക്ലിഡിന്റെ അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിന്റെ ലോജിക്കൽ നിഷേധം സാധുവാണ്. സെക്ഷൻ 9-ൽ, ഞങ്ങൾ പോസ്റ്റുലേറ്റ് തന്നെ രൂപപ്പെടുത്തുകയും യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സമാന്തരതയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുകയും ചെയ്തു (സിദ്ധാന്തം 9.1 കാണുക). അതിന്റെ യുക്തിസഹമായ നിഷേധം ഇതാണ്:

പ്രസ്താവന 13.3.ലോബചെവ്സ്കി തലത്തിൽ, വിഭജിക്കാത്ത രണ്ട് നേർരേഖകളുണ്ട്, അവ മൂന്നാമത്തെ നേർരേഖയുമായി വിഭജിക്കുമ്പോൾ, ആന്തരിക ഏകപക്ഷീയ കോണുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു, അവയുടെ ആകെത്തുക രണ്ട് വലത് കോണുകളിൽ കുറവാണ്.

§ 12-ൽ ഞങ്ങൾ പോസിഡോണിയസിന്റെ നിർദ്ദേശം രൂപപ്പെടുത്തി: വിമാനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വരിയിൽ നിന്ന് ഒരു അർദ്ധ-തലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നതും അതിൽ നിന്ന് തുല്യ ദൂരെയുള്ളതുമായ മൂന്ന് കോളിനിയർ പോയിന്റുകളെങ്കിലും ഉണ്ട്.ഞങ്ങൾ സിദ്ധാന്തം 12.6 തെളിയിച്ചു: പോസിഡോണിയസിന്റെ നിർദ്ദേശം യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സമാന്തര സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വാദത്തിന് തുല്യമാണ്.അങ്ങനെ, ഈ പ്രസ്താവനയുടെ നിഷേധം ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

പ്രസ്താവന 13.4. ലോബചെവ്സ്കി തലത്തിലെ ഒരു നേർരേഖയിൽ നിന്ന് തുല്യമായ പോയിന്റുകളുടെ കൂട്ടം, അതിനോട് ആപേക്ഷികമായി ഒരു അർദ്ധതലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അതാകട്ടെ, ഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കരുത്.

ലോബചെവ്സ്കി തലത്തിൽ, ഒരു നേർരേഖയിൽ നിന്ന് തുല്യമായ ഒരു കൂട്ടം പോയിന്റുകളും ഈ നേർരേഖയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഒരു അർദ്ധതലത്തിൽ പെട്ടതും ഒരു വളഞ്ഞ രേഖ ഉണ്ടാക്കുന്നു, അതിനെ സമദൂര രേഖ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിന്റെ സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ പിന്നീട് പരിഗണിക്കും.

ഇപ്പോൾ ലെജൻഡറിന്റെ നിർദ്ദേശം പരിഗണിക്കുക: എൻ ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ച സിദ്ധാന്തം 11.6 (§ 11 കാണുക) അത് ഉറപ്പിക്കുന്നു ഇതിൽ നിന്ന് ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിൽ ഈ നിർദ്ദേശത്തിന്റെ യുക്തിസഹമായ നിഷേധം സാധുവാണ്.

പ്രസ്താവന 13.5. ഏതെങ്കിലും നിശിത കോണിന്റെ വശത്ത്, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഉയർത്തിയിരിക്കുന്ന ലംബമായി, കോണിന്റെ രണ്ടാം വശം വിഭജിക്കാത്ത ഒരു പോയിന്റ് ഉണ്ട്.

സെക്ഷൻ 9, 11 എന്നിവയുടെ ഫലങ്ങളിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്ന ലോബചെവ്സ്കി തലത്തിന്റെ ത്രികോണങ്ങളുടെയും ചതുർഭുജങ്ങളുടെയും സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. ഒന്നാമതായി, സിദ്ധാന്തം 11.1. എന്ന് പ്രസ്താവിക്കുന്നു ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ അസ്തിത്വത്തിന്റെ അനുമാനം, രണ്ട് വലത് കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന കോണുകളുടെ ആകെത്തുക, യൂക്ലിഡിയൻ തലത്തിന്റെ സമാന്തരതയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന് തുല്യമാണ്.ഇതിൽ നിന്നും ലെജൻഡറിന്റെ ആദ്യ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നും (സിദ്ധാന്തം 10.1, § 10 കാണുക) ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവന പിന്തുടരുന്നു

പ്രസ്താവന 13.6. ലോബചെവ്സ്കി തലത്തിൽ, ഏതെങ്കിലും ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 2d-യിൽ കുറവാണ്.

ഇത് ഉടനടി അത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു ഏതെങ്കിലും കുത്തനെയുള്ള ചതുർഭുജത്തിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 4d യിൽ കുറവാണ്, കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും കോൺവെക്സ് n - ഗോണിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 2 (n-1) d യിൽ കുറവാണ്.

യൂക്ലിഡിയൻ തലത്തിൽ, സച്ചേരി ചതുർഭുജത്തിന്റെ മുകളിലെ അടിത്തറയോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകൾ വലത് കോണുകൾക്ക് തുല്യമായതിനാൽ, സിദ്ധാന്തം 12.3 അനുസരിച്ച് (§ 12 കാണുക), യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സമാന്തരതയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന് തുല്യമാണ്, നമുക്ക് വരയ്ക്കാം ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനം.

പ്രസ്താവന 13.7. സച്ചേരി ചതുർഭുജത്തിന്റെ മുകൾത്തട്ടിനോട് ചേർന്നുള്ള മൂലകൾ നിശിതമാണ്.

ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിലെ ത്രികോണങ്ങളുടെ രണ്ട് സവിശേഷതകൾ കൂടി പരിഗണിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് അവശേഷിക്കുന്നു. ആദ്യത്തേത് വാലിസിന്റെ നിർദ്ദേശവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്: വിമാനത്തിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു ജോടി ത്രികോണങ്ങളെങ്കിലും അതിനനുസരിച്ച് തുല്യ കോണുകളാണുള്ളത്, എന്നാൽ തുല്യ വശങ്ങളില്ല.ഈ നിർദ്ദേശം യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സമാന്തര സിദ്ധാന്തത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് സെക്ഷൻ 11 ൽ ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു (സിദ്ധാന്തം 11.5 കാണുക). ഈ പ്രസ്താവനയുടെ യുക്തിസഹമായ നിഷേധം നമ്മെ ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിൽ തുല്യ കോണുകളുള്ള ത്രികോണങ്ങളൊന്നുമില്ല, പക്ഷേ തുല്യ വശങ്ങളില്ല. അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന നിർദ്ദേശം ശരിയാണ്.

പ്രസ്താവന 13.8. (ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിലെ ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യതയുടെ നാലാമത്തെ മാനദണ്ഡം).ലോബചെവ്സ്കി തലത്തിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ, അതിനനുസരിച്ച് തുല്യ കോണുകളുള്ളവ, പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

ഇപ്പോൾ അടുത്ത ചോദ്യം പരിഗണിക്കുക. ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ത്രികോണത്തിന് ചുറ്റും ഒരു വൃത്തം വിവരിക്കാൻ കഴിയുമോ? സിദ്ധാന്തം 9.4 ആണ് ഉത്തരം നൽകിയിരിക്കുന്നത് (§ 9 കാണുക). ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന് അനുസൃതമായി, വിമാനത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ത്രികോണത്തിന് ചുറ്റും ഒരു വൃത്തം വിവരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സമാന്തരതയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അവസ്ഥ വിമാനത്തിൽ സംതൃപ്തമാണ്. അതിനാൽ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വാദത്തിന്റെ യുക്തിസഹമായ നിഷേധം ഇനിപ്പറയുന്ന നിർദ്ദേശത്തിലേക്ക് നമ്മെ നയിക്കുന്നു.

പ്രസ്താവന 13.9. ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിൽ, ഒരു വൃത്തം വിവരിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു ത്രികോണമുണ്ട്.

അത്തരമൊരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നിർമ്മിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. അതിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത ചില നേർരേഖ a, പോയിന്റ് A എന്നിവ തിരഞ്ഞെടുക്കാം. പോയിന്റ് A മുതൽ വരി a വരെ ലംബമായി h ഇടാം. ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെ സമാന്തര സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഫലമായി, എയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന b ഒരു നേർരേഖയുണ്ട്, കൂടാതെ h ലേക്ക് ലംബമല്ല, അത് a (ചിത്രം 52). നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഒരു വൃത്തം ഒരു ത്രികോണത്തിന് ചുറ്റും വലയം ചെയ്തിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിന്റെ കേന്ദ്രം ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളിലെ മീഡിയൻ ലംബങ്ങളുടെ വിഭജന പോയിന്റിലാണ്. അതിനാൽ, അത്തരമൊരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകിയാൽ മതിയാകും, അവയുടെ മധ്യ ലംബങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നില്ല. ചിത്രം 52-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, h എന്ന വരിയിൽ ഒരു പോയിന്റ് M തിരഞ്ഞെടുക്കാം. a, b എന്നീ വരികളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ നമുക്ക് അത് സമമിതിയിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു, നമുക്ക് N, P എന്നീ പോയിന്റുകൾ ലഭിക്കും. b വരി h-ന് ലംബമല്ലാത്തതിനാൽ, P പോയിന്റ് ഇല്ല എച്ച്. അതിനാൽ, M, N, P എന്നീ പോയിന്റുകൾ ത്രികോണത്തിന്റെ ലംബങ്ങളാണ്. എ, ബി ലൈനുകൾ നിർമ്മാണത്തിലൂടെ ലംബമായി വർത്തിക്കുന്നു. മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ അവ വിഭജിക്കുന്നില്ല. ത്രികോണം MNP ആണ് ആവശ്യമുള്ളത്.

ഒരു വൃത്തം വിവരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ലോബചെവ്സ്കി തലത്തിൽ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നിർമ്മിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ട് വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ എടുത്താൽ മതി, അവയിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത ഒരു പോയിന്റ് തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഈ വരികളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അത് പ്രതിഫലിപ്പിക്കുക. വിശദമായ നിർമ്മാണം സ്വയം നടത്തുക.

നിർവ്വചനം 14.1. രണ്ട് നേർരേഖകൾ നൽകട്ടെ. ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ അവയെ സമാന്തരമായി വിളിക്കുന്നു:

1. a, b എന്നീ നേർരേഖകൾ വിഭജിക്കുന്നില്ല;

2. എ, ബി നേർരേഖകളുടെ എ, ബി എന്നീ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റുകൾക്ക്, എബിബി 2 കോണിന്റെ ഏതെങ്കിലും ആന്തരിക രശ്മി h രേഖ a (ചിത്രം 52) വിഭജിക്കുന്നു.

സ്കൂൾ ജ്യാമിതി കോഴ്സിലെ പതിവ് പോലെ തന്നെ ഞങ്ങൾ സമാന്തര രേഖകൾ സൂചിപ്പിക്കും: a || ബി. യൂക്ലിഡിയൻ തലത്തിലെ സമാന്തര രേഖകൾ ഈ നിർവചനത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

സിദ്ധാന്തം 14.3. ഒരു നേർരേഖയും അതിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത ബി പോയിന്റും ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിൽ നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ ഒരു നേർരേഖ ഈ ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, അതായത് a നേർരേഖ b നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമാണ്.

തെളിവ്.നമുക്ക് ബി പോയിന്റിൽ നിന്ന് ലംബമായ ബിഎ നേർരേഖയിലേക്ക് ഡ്രോപ്പ് ചെയ്യാം, ബി പോയിന്റിൽ നിന്ന് ലംബമായ പിയെ നേർ BA ലേക്ക് പുനഃസ്ഥാപിക്കാം (ചിത്രം 56 a). നേർരേഖ p, ഇതിനകം പലതവണ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, നൽകിയിരിക്കുന്ന നേർരേഖ a യെ ഖണ്ഡിക്കുന്നില്ല. നമുക്ക് അതിൽ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് സി തിരഞ്ഞെടുക്കാം, സെഗ്മെന്റ് എസിയുടെ പോയിന്റുകളെ രണ്ട് ക്ലാസുകളായി വിഭജിക്കാം. ആദ്യ ക്ലാസിൽ ബിഎസ് റേ എഎ 2-നെ വിഭജിക്കുന്ന ഈ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ എസ് പോയിന്റുകളും രണ്ടാം ക്ലാസിൽ ബിടി റേ എഎ 2 റേയെ വിഭജിക്കാത്ത ടി പോയിന്റുകളും ഉൾപ്പെടുന്നു. ക്ലാസുകളിലേക്കുള്ള അത്തരമൊരു വിഭജനം സെഗ്‌മെന്റ് എസിയുടെ ഒരു ഡെഡെകൈൻഡ് വിഭാഗം നിർമ്മിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം. സിദ്ധാന്തം 4.3 അനുസരിച്ച് (§ 4 കാണുക), ഞങ്ങൾ ഇത് പരിശോധിക്കണം:

2. ക്ലാസുകളും എ, സി എന്നിവ ഒഴികെയുള്ള പോയിന്റുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു;

3. എ ഒഴികെയുള്ള ക്ലാസിലെ ഏത് പോയിന്റും എ പോയിന്റിനും ക്ലാസിലെ ഏത് പോയിന്റിനും ഇടയിലാണ്.

ആദ്യ വ്യവസ്ഥ വ്യക്തമാണ്, സെഗ്‌മെന്റിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും ഒന്നോ അതിലധികമോ ക്ലാസുകളുടേതാണ്, അതേസമയം ക്ലാസുകൾക്ക് അവയുടെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പൊതുവായ പോയിന്റുകളില്ല.

രണ്ടാമത്തെ അവസ്ഥയും പരിശോധിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. വ്യക്തമായും, ഒപ്പം. ക്ലാസിൽ എ ഒഴികെയുള്ള പോയിന്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു; ഈ പ്രസ്താവന പരിശോധിക്കുന്നതിന്, റേ AA 2 ന്റെ കുറച്ച് പോയിന്റ് തിരഞ്ഞെടുത്ത് അതിനെ ബി പോയിന്റുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചാൽ മതിയാകും. ഈ കിരണം ഒന്നാം ക്ലാസിന്റെ പോയിന്റിൽ ബിസി സെഗ്മെന്റിനെ വിഭജിക്കും. ക്ലാസിൽ സി ഒഴികെയുള്ള പോയിന്റുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അല്ലാത്തപക്ഷം ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെ സമാന്തര സിദ്ധാന്തവുമായി ഞങ്ങൾ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിലേക്ക് വരും.

മൂന്നാമത്തെ വ്യവസ്ഥ നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. A-യിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി ഒന്നാം ക്ലാസിലെ ഒരു പോയിന്റ് S നിലവിലിരിക്കട്ടെ, കൂടാതെ A-യ്ക്കും S-യ്‌ക്കും ഇടയിൽ T എന്ന പോയിന്റ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 56 a കാണുക). റേ ബിഎസ് റേ എഎ 2-നെ ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ വിഭജിക്കുന്നു. R. റേ ബിടി പരിഗണിക്കുക. ഇത് ASR ത്രികോണത്തിന്റെ AS വശം T എന്ന ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു. പാഷയുടെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഈ രശ്മി ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ AR വശമോ അല്ലെങ്കിൽ SR വശമോ മുറിച്ചുകടക്കണം. കിരണം BT SR വശം O എന്ന ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ BT, BR എന്നീ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത നേർരേഖകൾ B, O എന്നീ പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, ഇത് ഹിൽബെർട്ടിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിന് വിരുദ്ധമാണ്. അങ്ങനെ, റേ ബിടി AR എന്ന വശത്തെ വിഭജിക്കുന്നു, ഇത് പോയിന്റ് K 2 ക്ലാസിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വൈരുദ്ധ്യം, പോയിന്റ് എസ് എയ്ക്കും ടിക്കും ഇടയിലാണെന്ന പ്രസ്താവനയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം 4.3 ന്റെ അവസ്ഥ പൂർണ്ണമായും പരിശോധിച്ചു.

എസി സെഗ്‌മെന്റിലെ ഡെഡെകൈൻഡ് വിഭാഗത്തിലെ സിദ്ധാന്തം 4.3-ന്റെ നിഗമനത്തിന് അനുസൃതമായി, എയ്‌ക്കിടയിലുള്ള ഏത് പോയിന്റും ക്ലാസിൽ പെടുന്ന ഒരു പോയിന്റ് നിലവിലുണ്ട്, കൂടാതെ സിക്കും സിക്കും ഇടയിൽ കിടക്കുന്ന ഏത് പോയിന്റും ക്ലാസിൽ പെടുന്നു. ഡയറക്റ്റ് ലൈൻ ലൈനിന് സമാന്തരമാണെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം ... വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് a നേർരേഖയെ വിഭജിക്കുന്നില്ലെന്ന് തെളിയിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു, കാരണം, ക്ലാസ് K 1 ന്റെ പോയിന്റുകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് കാരണം, കോണിന്റെ ഏതെങ്കിലും ആന്തരിക കിരണങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നു. നേർരേഖ a നേർരേഖയെ ചില പോയിന്റിൽ H (ചിത്രം 56 b) വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക. നമുക്ക് റേ എച്ച്എ 2-ൽ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് പി തിരഞ്ഞെടുത്ത് റേ ബിപി പരിഗണിക്കാം. പിന്നീട് അത് М 0 С എന്ന സെഗ്‌മെന്റിനെ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഖണ്ഡിക്കുന്നു Q (ഈ പ്രസ്താവന സ്വയം തെളിയിക്കുക). എന്നാൽ സെഗ്മെന്റിന്റെ ഇന്റീരിയർ പോയിന്റുകൾ М 0 С രണ്ടാം ക്ലാസിൽ പെടുന്നു, റേ ബിപിക്ക് a എന്ന വരിയിൽ പൊതുവായ പോയിന്റുകൾ ഉണ്ടാകാൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ, BM 0, a എന്നീ വരികളുടെ വിഭജനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഞങ്ങളുടെ അനുമാനം തെറ്റാണ്.

പോയിന്റ് ബിയിലൂടെയും സമാന്തരമായും കടന്നുപോകുന്ന ഒരേയൊരു ഡയറക്‌റ്റ് ലൈൻ ലൈൻ ആണെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. തീർച്ചയായും, മറ്റൊരു നേർരേഖ ബി പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകട്ടെ, അതും സമാന്തരമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സെഗ്മെന്റ് എസിയുടെ പോയിന്റ് M 1 ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും. തുടർന്ന്, ക്ലാസ് കെ 2 ന്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി. അതിനാൽ, റേ ബിഎം 0 കോണിന്റെ ആന്തരിക രശ്മിയാണ്, അതിനാൽ, നിർവചനം 14.1 അനുസരിച്ച്, ഇത് നേർരേഖയെ വിഭജിക്കുന്നു. മുകളിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ട പ്രസ്താവനയുമായി ഞങ്ങൾ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിൽ എത്തിയിരിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം 14.3 പൂർണ്ണമായും തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്.

പോയിന്റ് ബിയും അത് ഉൾക്കൊള്ളാത്ത ഒരു ഡയറക്‌ട് ലൈനും പരിഗണിക്കുക. തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തം 14.3 അനുസരിച്ച്, ഒരു സമാന്തരമായ ഒരു നേർരേഖ ബി പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. പോയിന്റ് B-ൽ നിന്ന് a വരിയിലേക്ക് ലംബമായ BH ഡ്രോപ്പ് ചെയ്യാം (ചിത്രം 57). അത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ് ആംഗിൾ HBB 2 - നിശിതം... തീർച്ചയായും, ഈ ആംഗിൾ ഒരു നേർരേഖയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ബി പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഏതൊരു നേർരേഖയും സിദ്ധാന്തം 13.1-ന് വിരുദ്ധമായ a നേർരേഖയെ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് നിർവചനം 14.1-ൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു, അതായത്. ലോബചെവ്സ്കിയുടെ സമാന്തര സിദ്ധാന്തം എൽവി 1 (§ 13 കാണുക). BH-ന് ലംബമായ HBB 2 കോണിന്റെ ആന്തരിക കിരണങ്ങൾ RA AA 2-നെ വിഭജിക്കാത്തതിനാൽ, ഈ ആംഗിൾ അവ്യക്തമാണെന്ന അനുമാനവും ഇപ്പോൾ നിർവചനം 14.1, സിദ്ധാന്തം 4.2 (§4 കാണുക) എന്നിവയ്‌ക്കൊപ്പം ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നതായി കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. . അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവന ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം 14.4. ഡയറക്‌ട് ലൈൻ, ഡയറക്‌ട് ലൈനിന് സമാന്തരമായിരിക്കട്ടെ. നേർരേഖയുടെ ബി പോയിന്റിൽ നിന്ന് നമ്മൾ ലംബമായ VN നെ നേർരേഖയിലേക്ക് താഴ്ത്തുകയാണെങ്കിൽ, ആംഗിൾ HBB 2 നിശിതമാണ്.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന അനന്തരഫലം വ്യക്തമായി പിന്തുടരുന്നു.

അനന്തരഫലം.ഡയറക്‌ട് ലൈനുകൾക്ക് ഒരു പൊതു ലംബമുണ്ടെങ്കിൽ, ആ വരി വരിക്ക് സമാന്തരമല്ല.

അൺഡയറക്‌ട് ലൈനുകൾക്ക് സമാന്തരത്വം എന്ന ആശയം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം. ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കും നിർവചനം 14.1.നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, നേർരേഖയ്ക്ക് രണ്ട് ദിശകളുണ്ട്. അതിനാൽ, സിദ്ധാന്തം 14.3-ൽ നിന്ന്, a എന്ന വരിയിൽ പെടാത്ത ഒരു പോയിന്റ് B വഴി, ഈ രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി രണ്ട് ദിശാബോധമില്ലാത്ത നേർരേഖകളുണ്ട്. വ്യക്തമായും, അവ ബി പോയിന്റിൽ നിന്ന് ലൈൻ എയിലേക്ക് ലംബമായി താഴുന്നത് സംബന്ധിച്ച് സമമിതിയാണ്. ഈ രണ്ട് നേർരേഖകൾ ബി പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖകളുടെ ബണ്ടിലിനെ വേർതിരിക്കുന്ന അതിർവരമ്പുകളാണ്, ഒരു രേഖയെ വിഭജിക്കുന്നില്ല (ചിത്രം 57).

സിദ്ധാന്തം 15.2. (ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിലെ സമാന്തരരേഖകളുടെ സമമിതിയുടെ സ്വത്ത്).ഡയറക്‌ട് ലൈൻ, ഡയറക്‌ട് ലൈനിന് സമാന്തരമായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ ഡയറക്റ്റ് ലൈൻ ലൈനിന് സമാന്തരമാണ്.

ലോബചെവ്സ്കി തലത്തിലെ വരികളുടെ സമാന്തരത എന്ന ആശയത്തിന്റെ സമമിതി പ്രോപ്പർട്ടി, സംവിധാനം ചെയ്ത സമാന്തര വരികളുടെ ക്രമം സൂചിപ്പിക്കാതിരിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, അതായത്. ഏത് വരി ആദ്യത്തേതാണെന്നും രണ്ടാമത്തേതെന്നും വ്യക്തമാക്കരുത്. വ്യക്തമായും, നേർരേഖകളുടെ സമാന്തരത എന്ന ആശയത്തിന്റെ സമമിതി ഗുണവും യൂക്ലിഡിയൻ തലത്തിൽ നിലനിൽക്കുന്നു. യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയിലെ സമാന്തരരേഖകളുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു. യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയിൽ, സമാന്തര രേഖകൾക്കായി ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി കൂടി നിറവേറ്റുന്നു. വരി a ലൈൻ b ന് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ b വരി c രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ. അപ്പോൾ a, c എന്നീ നേർരേഖകളും പരസ്പരം സമാന്തരമാണ്. ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിൽ നേരിട്ടുള്ള നേർരേഖകൾക്കും സമാനമായ ഒരു സ്വത്ത് ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം 15.3. (ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിൽ സമാന്തര ലൈനുകളുടെ ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റിയുടെ സ്വത്ത്).മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത ദിശയിലുള്ള നേർരേഖകൾ നൽകട്ടെ. എങ്കിൽ ഒപ്പം , പിന്നെ .

ഒരു ഡയറക്‌ട് ലൈനിന് സമാന്തരമായി ഒരു ഡയറക്‌റ്റ് ലൈൻ പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് അവയെ ഒരു നേർരേഖയിലൂടെ മറികടക്കാം. യഥാക്രമം എ, ബി പോയിന്റുകൾ നേർരേഖകളുടെ കവല പോയിന്റുകളാണ്, കൂടാതെ, (ചിത്രം 60). ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം 15.4. കോണി കോണിനേക്കാൾ വലുതാണ്.

സിദ്ധാന്തം 15.5. ജീർണിച്ച ത്രികോണത്തിന്റെ പുറം കോണിനോട് ചേർന്നല്ലാത്ത ഒരു ആന്തരിക മൂലയേക്കാൾ വലുതാണ്.

തെളിവ് സിദ്ധാന്തം 15.4 ൽ നിന്ന് ഉടനടി പിന്തുടരുന്നു. അത് സ്വയം ചെയ്യുക.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സെഗ്മെന്റ് AB പരിഗണിക്കുക. പോയിന്റ് എയിലൂടെ നമ്മൾ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുന്നു, AB ലേക്ക് ലംബമായി, ബി പോയിന്റിലൂടെ, a ന് സമാന്തരമായി b ഒരു നേർരേഖ (ചിത്രം 63). സിദ്ധാന്തം 14.4 (§ 14 കാണുക), ബി എന്ന വരി AB എന്ന വരിക്ക് ലംബമല്ല.

നിർവ്വചനം 16.1. AB, b എന്നീ നേർരേഖകളാൽ രൂപംകൊണ്ട ഒരു നിശിത കോണിനെ AB സെഗ്മെന്റിന്റെ സമാന്തരതയുടെ ആംഗിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഓരോ വരി സെഗ്‌മെന്റിനും ഒരു നിശ്ചിത സമാന്തര ആംഗിൾ യോജിക്കുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം 16.2. തുല്യ ഭാഗങ്ങൾ സമാന്തരതയുടെ തുല്യ കോണുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

തെളിവ്. AB, A ¢ B ¢ എന്നീ രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങൾ നൽകട്ടെ. നമുക്ക് പോയിന്റ് എ, എ ¢ നിർദ്ദേശിച്ച നേർരേഖകളിലൂടെയും, യഥാക്രമം, എബി, എ ¢ ബി ¢ പോയിന്റുകളിലൂടെയും, ബി, ബി ¢ പോയിന്റുകളിലൂടെയും യഥാക്രമം, കൂടാതെ (ചിത്രം 64) വരയ്ക്കാം. പിന്നെ ഒപ്പം യഥാക്രമം, AB, A ¢ B ¢ എന്നീ സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ സമാന്തരതയുടെ കോണുകൾ. നമുക്ക് അത് നടിക്കാം

BAA 2 പകുതി-തലത്തിൽ VA ബീമിൽ നിന്ന് ആംഗിൾ a 2 മാറ്റിവെക്കാം (ചിത്രം 64 കാണുക). അസമത്വത്തിന്റെ ഫലമായി (1), റേ l എന്നത് ABB 2 കോണിന്റെ ആന്തരിക രശ്മിയാണ്. ½1 മുതൽ, AA 2 റേയെ l ചില ഘട്ടത്തിൽ പി വിഭജിക്കുന്നു. നമുക്ക് A ¢ A 2 ¢ എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് AP ന് തുല്യമായ A ¢ P എന്ന സെഗ്‌മെന്റ് ഇടാം. ABP, A ¢ B ¢ P ¢ എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക. അവ ചതുരാകൃതിയിലുള്ളവയാണ്, സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അനുമാനമനുസരിച്ച്, അവയ്ക്ക് AB, A ¢ B ¢ എന്നീ തുല്യ കാലുകളുണ്ട്, നിർമ്മാണത്തിലൂടെ, രണ്ടാമത്തെ ജോഡി കാലുകൾ AP, A ¢ P എന്നിവ പരസ്പരം തുല്യമാണ്. അങ്ങനെ, വലത് കോണുള്ള ത്രികോണം ABP, A ¢ B ¢ P ¢ ത്രികോണത്തിന് തുല്യമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ് . മറുവശത്ത്, റേ B ¢ P ¢, റേ A ¢ A 2 ¢ യെ വിഭജിക്കുന്നു, കൂടാതെ B 1 ¢ B 2 ¢ എന്ന നേർരേഖ A 1 ¢ A 2 ¢ എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമാണ്. അതിനാൽ, A ¢ B ¢ B 2 ¢ കോണിന്റെ ആന്തരിക രശ്മിയാണ് B ¢ P ¢, ... തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വൈരുദ്ധ്യം നമ്മുടെ അനുമാനത്തെ നിരാകരിക്കുന്നു, അസമത്വം (1) തെറ്റാണ്. അതുപോലെ, ആംഗിൾ കോണിനേക്കാൾ കുറവായിരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

അസമമായ സെഗ്മെന്റുകളുടെ സമാന്തരതയുടെ കോണുകൾ പരസ്പരം എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം 16.3. AB സെഗ്‌മെന്റ് A ¢ B ¢ സെഗ്‌മെന്റിനേക്കാൾ വലുതായിരിക്കട്ടെ, കോണുകളും അതിനനുസരിച്ച് അവയുടെ സമാന്തര കോണുകളും. പിന്നെ .

തെളിവ്.ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവ് സിദ്ധാന്തം 15.5 (§ 15 കാണുക) ഒരു ഡീജനറേറ്റ് ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു. സെഗ്മെന്റ് AB പരിഗണിക്കുക. എബിയുടെ ലംബമായി പോയിന്റ് എയിലൂടെയും ബി പോയിന്റിലൂടെ സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖയും വരയ്ക്കാം (ചിത്രം 65). A ¢ B ¢ ന് തുല്യമായ AP സെഗ്‌മെന്റ് AB റേയിൽ ഇടാം. ആയതിനാൽ, AB സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ആന്തരിക പോയിന്റാണ് P. നമുക്ക് സമാന്തരമായി P വഴി C 1 C 2 ഒരു ഡയറക്റ്റ് ലൈൻ വരയ്ക്കാം. ആംഗിൾ A ¢ B ¢ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ സമാന്തരതയുടെ കോണായി വർത്തിക്കുന്നു, കൂടാതെ ആംഗിൾ AB സെഗ്‌മെന്റിന്റെ സമാന്തരതയുടെ കോണാണ്. മറുവശത്ത്, വരികളുടെ സമാന്തരത എന്ന ആശയത്തിന്റെ സമമിതിയിൽ സിദ്ധാന്തം 15.2 ൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു (§ 15 കാണുക) С 1 С 2 രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമാണ്. അതിനാൽ, RBC 2 A 2 എന്ന ത്രികോണം അപചയമാണ്, ബാഹ്യവും അതിന്റെ ആന്തരിക മൂലകളുമാണ്. സിദ്ധാന്തം 15.5 തെളിയിക്കപ്പെട്ട വാദത്തിന്റെ സത്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

സംഭാഷണം തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

സിദ്ധാന്തം 16.4.AB, A ¢ B ¢ എന്നീ സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ സമാന്തരതയുടെ കോണുകളും. തുടർന്ന്, എങ്കിൽ, AB> A ¢ B ¢.

തെളിവ്.വിപരീതമെന്ന് കരുതുക. തുടർന്ന് അത് സിദ്ധാന്തങ്ങൾ 16.2, 16.3 എന്നിവയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു , ഇത് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അനുമാനത്തിന് വിരുദ്ധമാണ്.

അതിനാൽ ഓരോ സെഗ്‌മെന്റും അതിന്റേതായ സമാന്തരതയുടെ കോണിനോട് യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു, വലിയ സെഗ്‌മെന്റ് സമാന്തരതയുടെ ഒരു ചെറിയ കോണുമായി യോജിക്കുന്നു. ഏത് നിശിത കോണിനും ഈ കോണിന് സമാന്തരതയുടെ കോണായ ഒരു സെഗ്‌മെന്റ് ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കുന്ന ഒരു പ്രസ്താവന പരിഗണിക്കുക. ഇത് ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിലെ സെഗ്മെന്റുകൾക്കും നിശിത കോണുകൾക്കുമിടയിൽ ഒറ്റത്തവണ കത്തിടപാടുകൾ സ്ഥാപിക്കും.

സിദ്ധാന്തം 16.5. ഏതൊരു നിശിത കോണിനും, ഈ കോൺ സമാന്തര കോണായ ഒരു രേഖാ സെഗ്‌മെന്റ് ഉണ്ട്.

തെളിവ്.ഒരു അക്യൂട്ട് ആംഗിൾ എബിസി നൽകട്ടെ (ചിത്രം 66). BA, BC എന്നീ രശ്മികളിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന എല്ലാ പോയിന്റുകളും ബി, എ, ബി, സി എന്നീ പോയിന്റുകൾക്കിടയിലാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും. ഒരു കിരണത്തിന്റെ ഉത്ഭവം BA കോണിന്റെ വശമാണെങ്കിൽ, അത് BA എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് ലംബമാണെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന കോണിന്റെ വശം BC ആയി നേർരേഖയായ BA യുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അതേ അർദ്ധ-തലത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ നമുക്ക് അതിനെ അനുവദനീയമെന്ന് വിളിക്കാം.നമുക്ക് ലെജൻഡറിന്റെ നിർദ്ദേശത്തിലേക്ക് തിരിയാം: എൻ ഒരു നിശിത കോണിന്റെ ഒരു വശത്തേക്ക് ആ വശത്തെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവിൽ വരച്ച ഒരു ലംബ കോണിന്റെ രണ്ടാം വശത്തെ വിഭജിക്കുന്നു.ഞങ്ങൾ സിദ്ധാന്തം 11.6 തെളിയിച്ചു (§ 11 കാണുക), അത് പ്രസ്താവിക്കുന്നു ലെജൻഡറിന്റെ നിർദ്ദേശം യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സമാന്തര സിദ്ധാന്തത്തിന് തുല്യമാണ്.ഇതിൽ നിന്ന് ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിൽ ഈ പ്രസ്താവനയുടെ യുക്തിസഹമായ നിഷേധം സാധുവാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്തു, അതായത്, ഏതെങ്കിലും നിശിത കോണിന്റെ വശത്ത് അത്തരമൊരു ബിന്ദു ഉണ്ട്, അതിന് ലംബമായി, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഉയർത്തി, കോണിന്റെ രണ്ടാം വശത്തെ വിഭജിക്കുന്നില്ല.(§ 13 കാണുക). അങ്ങനെ, പോയിന്റ് M-ൽ ഉത്ഭവത്തോടെ അത്തരമൊരു അനുവദനീയമായ റേ m ഉണ്ട്, അത് നൽകിയിരിക്കുന്ന കോണിന്റെ BC വശത്തെ വിഭജിക്കുന്നില്ല (ചിത്രം 66 കാണുക).

സെഗ്മെന്റ് VM ന്റെ പോയിന്റുകളെ രണ്ട് ക്ലാസുകളായി വിഭജിക്കാം. ക്ലാസ് ഈ ബിന്ദുക്കളിൽ ഉത്ഭവമുള്ള അനുവദനീയമായ രശ്മികൾ ഈ കോണിന്റെ BC വശത്തെയും ക്ലാസിനെയും വിഭജിക്കുന്ന ഈ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ആ പോയിന്റുകളിൽ ഉൾപ്പെടും. ബിസി സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ആ പോയിന്റുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു, ഈ പോയിന്റുകളിൽ ഉത്ഭവമുള്ള സ്വീകാര്യമായ കിരണങ്ങൾ ബിസി വശം കടക്കുന്നില്ല. BM എന്ന സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അത്തരമൊരു വിഭജനം ഒരു ഡെഡെകൈൻഡ് വിഭാഗമായി മാറുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം (സിദ്ധാന്തം 4.3, § 4 കാണുക). ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അത് പരിശോധിക്കുക

5. ക്ലാസുകളും ബി, എം എന്നിവ ഒഴികെയുള്ള പോയിന്റുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു;

6. ബി ഒഴികെയുള്ള ക്ലാസിലെ ഏത് പോയിന്റും ബി പോയിന്റിനും ക്ലാസിലെ ഏത് പോയിന്റിനും ഇടയിലാണ്.

ഒന്നാമത്തെ വ്യവസ്ഥ വ്യക്തമാണ്. BM സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഏത് പോയിന്റും ക്ലാസ് K 1 അല്ലെങ്കിൽ ക്ലാസ് K 2 എന്നിവയിൽ പെടുന്നു. കൂടാതെ, ഈ ക്ലാസുകളുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു പോയിന്റ് ഒരേ സമയം രണ്ട് ക്ലാസുകളിൽ ഉൾപ്പെടാൻ കഴിയില്ല. വ്യക്തമായും, M പോയിന്റിലെ ഉത്ഭവത്തോടുകൂടിയ അനുവദനീയമായ രശ്മി BC യെ വിഭജിക്കാത്തതിനാൽ, M പോയിന്റ് K 2-ന്റേതാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. ക്ലാസ് K 1-ൽ B-ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തമായ ഒരു പോയിന്റെങ്കിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഇത് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, BC വശത്തുള്ള ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് P തിരഞ്ഞെടുത്ത് അതിൽ നിന്ന് ലംബമായ PQ ബീം BA-യിലേക്ക് ഇടുന്നത് മതിയാകും. പോയിന്റ് Q, M, A എന്നീ പോയിന്റുകൾക്കിടയിലാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, റേ m അടങ്ങുന്ന ലൈനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് P, Q പോയിന്റുകൾ വ്യത്യസ്ത അർദ്ധ-തലങ്ങളിലാണ് കിടക്കുന്നത് (ചിത്രം 66 കാണുക). അതിനാൽ, PQ എന്ന സെഗ്‌മെന്റ്, റേ m-നെ ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ R വിഭജിക്കുന്നു. R പോയിന്റിൽ നിന്ന് BA എന്ന വരിയിലേക്ക് രണ്ട് ലംബങ്ങൾ വീഴുന്നതായി നമുക്ക് ലഭിക്കും, അത് സിദ്ധാന്തം 4.2 ന് വിരുദ്ധമാണ് (§ 4 കാണുക). അതിനാൽ, പോയിന്റ് Q BM എന്ന വിഭാഗത്തിന്റേതാണ്, ക്ലാസ് K 1-ൽ B ഒഴികെയുള്ള പോയിന്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. RA BA-യിൽ K 2-ൽ നിന്നുള്ള ഒരു പോയിന്റെങ്കിലും അതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഒരു സെഗ്‌മെന്റ് ഉള്ളത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് വിശദീകരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. അവസാനിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, പരിഗണനയിലുള്ള BM സെഗ്‌മെന്റിന്റെ K 2 ക്ലാസ്സിൽ M എന്ന ഒരൊറ്റ പോയിന്റ് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, M-നും A-നും ഇടയിൽ M ¢ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. M ¢ എന്ന പോയിന്റിലെ ഉത്ഭവത്തോടുകൂടിയ ഒരു അനുവദനീയമായ റേ m ¢ പരിഗണിക്കുക. ഇത് റേ m യെ വിഭജിക്കുന്നില്ല, അല്ലാത്തപക്ഷം പോയിന്റിൽ നിന്ന് AB രേഖയിലേക്ക് രണ്ട് ലംബങ്ങൾ ഇടുന്നു, അതിനാൽ m ¢ റേ BC യെ വിഭജിക്കില്ല. സെഗ്‌മെന്റ് VM ¢ ആണ് ആവശ്യമുള്ളത്, കൂടാതെ VM ¢ സെഗ്‌മെന്റിനായി കൂടുതൽ ന്യായവാദങ്ങൾ നടത്തണം.

സിദ്ധാന്തം 4.3-ന്റെ മൂന്നാമത്തെ വ്യവസ്ഥയുടെ സാധുത നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. അത്തരം പോയിന്റുകൾ ഉണ്ടെന്നും ആ പോയിന്റ് P പോയിന്റ് U യ്ക്കും M നും ഇടയിലാണെന്നും കരുതുക (ചിത്രം 67). നമുക്ക് അനുവദനീയമായ രശ്മികൾ u, p എന്നിവ U, P എന്നീ പോയിന്റുകളിൽ ഉത്ഭവത്തോടെ വരയ്ക്കാം. കാരണം, റേ p ഒരു നിശ്ചിത കോണിന്റെ BC യെ ചില പോയിന്റിൽ ഖണ്ഡിക്കുന്നു. അതിനാൽ, BPQ, ഹിൽബെർട്ടിന്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് (പാഷയുടെ സിദ്ധാന്തം, § 3 കാണുക) ഇത് ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ BQ അല്ലെങ്കിൽ സൈഡ് PQ എന്നിവയെ വിഭജിക്കുന്നു. പക്ഷേ, ആയതിനാൽ, u എന്ന രശ്മി BQ എന്ന വശത്തെ വിഭജിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ, p, u രശ്മികൾ R ഒരു ഘട്ടത്തിൽ വിഭജിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിലേക്ക് വരുന്നു, കാരണം AB രേഖയിൽ രണ്ട് ലംബങ്ങൾ വീഴുന്ന ഒരു പോയിന്റ് ഞങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചിട്ടുണ്ട്. . സിദ്ധാന്തം 4.3 ന്റെ അവസ്ഥ പൂർണ്ണമായും തൃപ്തികരമാണ്.

എം അത് പിന്തുടരുന്നു. പോയിന്റിനും എംക്കും ഇടയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ക്ലാസ് K 1 ന്റെ ഒരു പോയിന്റ് ഞങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ലഭിച്ചു. കോണിന്റെ ഏതെങ്കിലും ആന്തരിക കിരണങ്ങൾ ബിസി കിരണത്തെ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് അവശേഷിക്കുന്നു. ഈ കോണിന്റെ അനിയന്ത്രിതമായ ആന്തരിക രശ്മി h പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് അതിൽ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് കെ തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അത് കോണിൽ പെടുന്നു, അതിൽ നിന്ന് ലംബമായി BA എന്ന വരിയിലേക്ക് ഇടുക (ചിത്രം 69). ഈ ലംബത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന എസ് വ്യക്തമായും സെഗ്‌മെന്റ് BM 0-ന്റെതാണ്, അതായത്. ക്ലാസ് കെ 1 (ഈ വസ്തുത സ്വയം തെളിയിക്കുക). ഇത് പിന്തുടരുന്നത് ലംബമായ KS ചില പോയിന്റിൽ തന്നിരിക്കുന്ന കോണിന്റെ BC വശത്തെ വിഭജിക്കുന്നു (ചിത്രം 69 കാണുക). ആക്സിയം (പാഷയുടെ സിദ്ധാന്തം) അനുസരിച്ച്, റേ h ത്രികോണം BST യുടെ ST വശം K എന്ന പോയിന്റിൽ മറികടന്നു, അത് ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ BS അല്ലെങ്കിൽ BT വശം രണ്ടായി വിഭജിക്കണം. h സെഗ്‌മെന്റ് BS-നെ വിഭജിക്കുന്നില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം രണ്ട് വരികൾ, h, BA എന്നിവ രണ്ട് പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, ഈ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റ്. അങ്ങനെ, h BT വശം കടക്കുന്നു, അതായത്. ബീം വി.എ. സിദ്ധാന്തം പൂർണ്ണമായും തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്.

അതിനാൽ, ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയിലെ ഓരോ സെഗ്മെന്റും ഒരു നിശിത കോണുമായി - അതിന്റെ സമാന്തരതയുടെ കോണുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ സ്ഥാപിച്ചു. കോണുകളുടെയും സെഗ്‌മെന്റുകളുടെയും അളവ് ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചുവെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും; സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ അളവ് ഞങ്ങൾ പിന്നീട് §-ൽ അവതരിപ്പിക്കുമെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 16.6. x എന്നത് സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളവും j എന്നത് കോണിന്റെ മൂല്യവും ആണെങ്കിൽ, സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ദൈർഘ്യത്തെ അതിന്റെ സമാന്തര കോണിന്റെ മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്ന ആശ്രിതത്വം j = P (x), ലോബചെവ്‌സ്‌കി ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അത് വ്യക്തമാണ്. മുകളിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ട ഒരു സെഗ്‌മെന്റിന്റെ സമാന്തര കോണിന്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് (സിദ്ധാന്തങ്ങൾ 16.3, 16.4 കാണുക), നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനത്തിലെത്താം: ലോബചെവ്സ്കി പ്രവർത്തനം ഏകതാനമായി കുറയുന്നു.നിക്കോളായ് ഇവാനോവിച്ച് ലോബചെവ്സ്കി ഇനിപ്പറയുന്ന ശ്രദ്ധേയമായ ഫോർമുല നേടി:

,

ഇവിടെ k എന്നത് ചില പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. ലോബചെവ്സ്കി സ്പേസിന്റെ ജ്യാമിതിയിൽ ഇത് പ്രധാനമാണ്, അതിനെ വക്രതയുടെ ആരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വക്രതയുടെ ഒരേ ആരമുള്ള രണ്ട് ലോബചെവ്സ്കി ഇടങ്ങൾ ഐസോമെട്രിക് ആണ്. മുകളിലുള്ള ഫോർമുലയിൽ നിന്ന്, കാണാൻ എളുപ്പമുള്ളത് പോലെ, j = P (x) എന്നത് ഏകതാനമായി കുറയുന്ന തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനമാണ്, അതിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഇടവേളയിൽ പെടുന്നു.

യൂക്ലിഡിയൻ തലത്തിൽ, ഞങ്ങൾ O ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചും ഒന്നിന് തുല്യമായ ദൂരമുള്ള ഒരു വൃത്തം ഉറപ്പിക്കുന്നു, അതിനെ ഞങ്ങൾ വിളിക്കും. കേവല... സർക്കിളിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളുടെയും ഗണത്തെ w എന്ന വൃത്തം W ¢ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കും, കൂടാതെ ഈ സർക്കിളിന്റെ എല്ലാ ഇന്റീരിയർ പോയിന്റുകളുടെയും സെറ്റ് W. അങ്ങനെ,. സെറ്റ് W ന്റെ പോയിന്റുകൾ വിളിക്കപ്പെടും എൽ-ഡോട്ടുകൾഎല്ലാ L-പോയിന്റുകളുടെയും സെറ്റ് W ആണ് എൽ-വിമാനം, അതിൽ ഞങ്ങൾ ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിന്റെ കെയ്ലി-ക്ലൈൻ മോഡൽ നിർമ്മിക്കും. ഞങ്ങൾ വിളിക്കും എൽ - നേരായസർക്കിളിന്റെ അനിയന്ത്രിതമായ കോർഡുകൾ w. യൂക്ലിഡിയൻ തലത്തിന്റെ ഒരു ബിന്ദുവായി X എന്ന ബിന്ദു സമ്പൂർണ്ണതയുടെ കോർഡ് x-ൽ ഉൾപ്പെട്ടാൽ മാത്രം L-പോയിന്റ് X L-line x-ന് റേതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും.

എൽ-പ്ലെയ്ൻ, സമാന്തരതയുടെ ലോബചെവ്സ്കി സിദ്ധാന്തം:എൽ-ലൈനിൽ കിടത്താത്ത ഒരു എൽ-പോയിന്റ് ബി വഴി, എൽ-ലൈൻ എയുമായി പൊതുവായ പോയിന്റുകളില്ലാത്ത രണ്ട് എൽ-ലൈനുകളെങ്കിലും ബി, സി എന്നിവ കടന്നുപോകണം. ചിത്രം 94 ഈ പ്രസ്താവന വ്യക്തമാക്കുന്നു. എൽ-പ്ലെയിനിന്റെ സമാന്തര ദിശയിലുള്ള വരികൾ എന്താണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാനും എളുപ്പമാണ്. ചിത്രം 95 പരിഗണിക്കുക. എൽ-ലൈൻ b എന്നത് എൽ-ലൈൻ a യുടെ കവലയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. അതിനാൽ, ദിശാസൂചന എൽ-ലൈൻ എ 1 എ 2 ദിശാസൂചന എൽ-ലൈൻ ബി 1 എ 2 ന് സമാന്തരമാണ്. തീർച്ചയായും, ഈ ലൈനുകൾ വിഭജിക്കില്ല, യഥാക്രമം ഈ ലൈനുകളിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന അനിയന്ത്രിതമായ എൽ-പോയിന്റുകൾ A, B എന്നിവ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, A 2 BA കോണിന്റെ ഏതെങ്കിലും ആന്തരിക റേ h ലൈൻ a യെ വിഭജിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, രണ്ട് എൽ-ലൈനുകൾക്ക് ഒരു പൊതു വിഭജന പോയിന്റുണ്ടെങ്കിൽ സമാന്തരമാണ് ഒരു കേവലമായ കൂടെ. എൽ-ലൈനുകളുടെ സമാന്തരത എന്ന ആശയത്തിന്റെ സമമിതിയും ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടിയും തൃപ്തികരമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഖണ്ഡിക 15-ൽ, ഞങ്ങൾ സമമിതിയുടെ സ്വത്ത് തെളിയിച്ചു, അതേസമയം ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റിയുടെ സ്വത്ത് ചിത്രം 95-ൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. A 1 A 2 വരി B 1 A 2 ന് സമാന്തരമാണ്, അവ പോയിന്റ് A 2-ൽ കേവലം വിഭജിക്കുന്നു. B 1 A 2, C 1 A 2 എന്നീ വരികളും സമാന്തരമാണ്, അവ A 2 എന്ന ബിന്ദുവിൽ തന്നെ സമ്പൂർണ്ണതയെ വിഭജിക്കുന്നു. അതിനാൽ, A 1 A 2, C 1 A 2 എന്നീ നേർരേഖകൾ പരസ്പരം സമാന്തരമാണ്.

അതിനാൽ, മുകളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ ഹിൽബെർട്ടിന്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ I 1 -I 3, II, III, IV എന്നിവയുടെ ആവശ്യകതകളും ലോബചെവ്സ്കിയുടെ സമാന്തരതയുടെ സിദ്ധാന്തവും നിറവേറ്റുന്നു, അതിനാൽ അവ ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിന്റെ മാതൃകയാണ്. ലോബചെവ്സ്കി പ്ലാനിമെട്രിയുടെ ഗണ്യമായ സ്ഥിരത ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. നമുക്ക് ഈ പ്രസ്താവന ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തമായി രൂപപ്പെടുത്താം.

സിദ്ധാന്തം 1. ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതി ഉള്ളടക്കത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്.

ഞങ്ങൾ ലോബചെവ്സ്കി വിമാനത്തിന്റെ ഒരു മാതൃക നിർമ്മിച്ചിട്ടുണ്ട്, എന്നാൽ ഒരു വിമാനത്തിൽ പരിഗണിച്ചതിന് സമാനമായ ഒരു സ്പേഷ്യൽ മോഡലിന്റെ നിർമ്മാണത്തിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് മാനുവലിൽ പരിചയപ്പെടാം.

ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട നിഗമനം സിദ്ധാന്തം 1 ൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. സമാന്തര സിദ്ധാന്തം ഹിൽബെർട്ടിന്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ I - IV സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ അനന്തരഫലമല്ല. യൂക്ലിഡിന്റെ അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സമാന്തരതയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ, ഈ പോസ്റ്റുലേറ്റും ഹിൽബെർട്ടിന്റെ മറ്റ് സിദ്ധാന്തങ്ങളെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

"റഷ്യൻ, ബ്രിട്ടീഷ് ശാസ്ത്രം തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൽ അർപ്പണബോധമുള്ള, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വാലന്റീന കിരിചെങ്കോ, 19-ാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ആശയങ്ങളുടെ വിപ്ലവകരമായ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച് പോസ്റ്റ്നൗകയോട് പറയുന്നു.

ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയിൽ പോലും സമാന്തര രേഖകൾ വിഭജിക്കുന്നില്ല. സിനിമകളിൽ എവിടെയെങ്കിലും നിങ്ങൾക്ക് പലപ്പോഴും ഈ വാചകം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും: "ഞങ്ങളുടെ ലോബചെവ്സ്കിയുടെ സമാന്തര രേഖകൾ വിഭജിക്കുന്നു." മനോഹരമായി തോന്നുന്നു, പക്ഷേ ശരിയല്ല. നിക്കോളായ് ഇവാനോവിച്ച് ലോബചെവ്സ്കി യഥാർത്ഥത്തിൽ അസാധാരണമായ ഒരു ജ്യാമിതിയാണ് കൊണ്ടുവന്നത്, അതിൽ സമാന്തര രേഖകൾ നമ്മൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനേക്കാൾ വ്യത്യസ്തമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഇപ്പോഴും അവ ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യുന്നില്ല.

രണ്ട് സമാന്തര രേഖകൾ ഒത്തുചേരുന്നില്ലെന്നും അകന്നുപോകരുതെന്നും നമ്മൾ ചിന്തിക്കുന്നത് പതിവാണ്. അതായത്, നമ്മൾ ആദ്യ വരിയിൽ ഏത് പോയിന്റ് എടുത്താലും, അതിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം ഒന്നുതന്നെയാണ്, അത് പോയിന്റിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. എന്നാൽ അത് ശരിക്കും അങ്ങനെയാണോ? പിന്നെ എന്തുകൊണ്ട് ഇങ്ങനെ? കൂടാതെ ഇത് എങ്ങനെ സ്ഥിരീകരിക്കാനാകും?

നമ്മൾ ശാരീരിക നേർരേഖകളെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നതെങ്കിൽ, ഓരോ നേർരേഖയുടെയും ഒരു ചെറിയ ഭാഗം മാത്രമേ നമുക്ക് നിരീക്ഷണത്തിനായി ലഭ്യമാകൂ. അളക്കൽ പിശകുകൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നേർരേഖകൾ നമ്മിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ച് കൃത്യമായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല. പുരാതന ഗ്രീക്കുകാർക്കും സമാനമായ ചോദ്യങ്ങളുണ്ടായിരുന്നു. ബിസി മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, പുരാതന ഗ്രീക്ക് ജ്യാമീറ്റർ യൂക്ലിഡ് സമാന്തരരേഖകളുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് വളരെ കൃത്യമായി വിവരിച്ചു, അത് തെളിയിക്കാനോ നിരാകരിക്കാനോ കഴിഞ്ഞില്ല. അതിനാൽ, അദ്ദേഹം അതിനെ ഒരു പോസ്റ്റുലേറ്റ് എന്ന് വിളിച്ചു - വിശ്വാസത്തിൽ എടുക്കേണ്ട ഒരു പ്രസ്താവന. ഇതാണ് യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രസിദ്ധമായ അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ്: വിമാനത്തിലെ രണ്ട് നേർരേഖകൾ സെക്കന്റുമായി വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അകത്തെ ഏകപക്ഷീയ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക രണ്ട് നേർരേഖകളേക്കാൾ കുറവാണ്, അതായത് 180 ഡിഗ്രിയിൽ താഴെ, തുടർന്ന് മതി തുടർച്ചയായി ഈ രണ്ട് നേർരേഖകളും വിഭജിക്കപ്പെടും, കൂടാതെ ഇത് രണ്ട് വലത് കോണുകളിൽ കുറവുള്ള തുകയുടെ വശത്താണ്.

ഈ പോസ്റ്റുലേറ്റിലെ പ്രധാന പദങ്ങൾ "മതിയായ തുടർച്ചയോടെ" എന്നതാണ്. ഈ വാക്കുകൾ കാരണമാണ് പോസ്റ്റുലേറ്റ് അനുഭവപരമായി പരിശോധിക്കാൻ കഴിയാത്തത്. ഒരുപക്ഷെ ആ വരികൾ കാഴ്ചയുടെ രേഖയിൽ കൂടിച്ചേർന്നേക്കാം. ഒരുപക്ഷേ 10 കിലോമീറ്ററിന് ശേഷമോ അല്ലെങ്കിൽ പ്ലൂട്ടോയുടെ ഭ്രമണപഥത്തിനപ്പുറത്തോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു ഗാലക്സിയിലോ ആയിരിക്കാം.

യൂക്ലിഡ് തന്റെ പോസ്റ്റുലേറ്റുകളും ഫലങ്ങളും അവയിൽ നിന്ന് യുക്തിസഹമായി പിന്തുടരുന്നു, "ആരംഭങ്ങൾ" എന്ന പ്രശസ്ത പുസ്തകത്തിൽ. ഈ പുസ്തകത്തിന്റെ പുരാതന ഗ്രീക്ക് നാമത്തിൽ നിന്ന് റഷ്യൻ പദമായ "ഘടകങ്ങൾ", ലാറ്റിൻ നാമത്തിൽ നിന്ന് - "ഘടകങ്ങൾ" എന്ന വാക്ക് വരുന്നു. യൂക്ലിഡിന്റെ തുടക്കങ്ങൾ എക്കാലത്തെയും ജനപ്രിയ പാഠപുസ്തകമാണ്. പതിപ്പുകളുടെ എണ്ണത്തിൽ, ഇത് ബൈബിളിന് പിന്നിൽ രണ്ടാമതാണ്.

വളരെ വ്യക്തവും മനോഹരവുമായ ഇൻഫോഗ്രാഫിക്‌സോടുകൂടിയ 1847-ലെ അതിശയകരമായ ബ്രിട്ടീഷ് പതിപ്പ് ശ്രദ്ധിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഡ്രോയിംഗുകളിലെ മുഷിഞ്ഞ പദവികൾക്ക് പകരം, അവർ നിറമുള്ള ഡ്രോയിംഗുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു - ആധുനിക സ്കൂൾ ജ്യാമിതി പാഠപുസ്തകങ്ങളിലെ പോലെയല്ല.

കഴിഞ്ഞ നൂറ്റാണ്ട് വരെ, എല്ലാ വിദ്യാഭ്യാസ പരിപാടികളിലും പഠിക്കാൻ യൂക്ലിഡിന്റെ "ആരംഭങ്ങൾ" ആവശ്യമായിരുന്നു, അത് ബൗദ്ധിക സർഗ്ഗാത്മകതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതായത്, ഒരു കരകൗശല പഠനം മാത്രമല്ല, കൂടുതൽ ബൗദ്ധികമായ എന്തെങ്കിലും. യൂക്ലിഡിന്റെ അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിന്റെ അവ്യക്തത സ്വാഭാവികമായ ഒരു ചോദ്യം ഉയർത്തി: ഇത് തെളിയിക്കാൻ കഴിയുമോ, അതായത്, യൂക്ലിഡിന്റെ ബാക്കി അനുമാനങ്ങളിൽ നിന്ന് യുക്തിസഹമായി ഊഹിക്കാൻ കഴിയുമോ? യൂക്ലിഡിന്റെ സമകാലികർ മുതൽ ലോബചെവ്‌സ്‌കി വരെയുള്ള നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇത് ചെയ്യാൻ ശ്രമിച്ചു. ചട്ടം പോലെ, അവർ അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിനെ കുറച്ചുകൂടി വിഷ്വൽ പ്രസ്താവനയിലേക്ക് ചുരുക്കി, അത് വിശ്വസിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ജോൺ വാലിസ് ഈ പ്രസ്താവനയിലേക്ക് അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് ചുരുക്കി: സമാനമായതും എന്നാൽ അസമവുമായ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുണ്ട്, അതായത്, കോണുകൾ തുല്യമാണ്, എന്നാൽ വലുപ്പങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണ് രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ. ഇതിലും ലളിതമായത് എന്താണെന്ന് തോന്നുന്നു? നമുക്ക് സ്കെയിൽ മാറ്റാം. എന്നാൽ എല്ലാ കോണുകളും അനുപാതങ്ങളും നിലനിർത്തിക്കൊണ്ട് സ്കെയിൽ മാറ്റാനുള്ള കഴിവ് യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു പ്രത്യേക സ്വത്താണ്, അതായത്, അഞ്ചാമത്തേത് ഉൾപ്പെടെ എല്ലാ യൂക്ലിഡിയൻ പോസ്റ്റുലേറ്റുകളും നിറവേറ്റുന്ന ജ്യാമിതി.

പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, സ്കോട്ടിഷ് പണ്ഡിതനായ ജോൺ പ്ലേഫെയർ അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് ആധുനിക സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ സാധാരണയായി കാണപ്പെടുന്ന രൂപത്തിൽ പരിഷ്കരിച്ചു: പരസ്പരം ഛേദിക്കുന്ന രണ്ട് നേർരേഖകൾ ഒരേസമയം മൂന്നാമത്തെ വരിക്ക് സമാന്തരമാകാൻ കഴിയില്ല. ആധുനിക സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത് ഈ രൂപത്തിലാണ്.

19-ആം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ, അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് തെളിയിക്കുന്നത് ഒരു ശാശ്വത ചലന യന്ത്രം കണ്ടുപിടിക്കുന്നത് പോലെയാണെന്ന് പലരും ധാരണയിലായിരുന്നു - തികച്ചും ഉപയോഗശൂന്യമായ ഒരു വ്യായാമം. എന്നാൽ യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതി മാത്രം സാധ്യമല്ലെന്ന് ഊഹിക്കാൻ പോലും ആർക്കും ധൈര്യമുണ്ടായിരുന്നില്ല: യൂക്ലിഡിന്റെ അധികാരം വളരെ വലുതായിരുന്നു. അത്തരമൊരു സാഹചര്യത്തിൽ, ലോബചെവ്സ്കിയുടെ കണ്ടെത്തലുകൾ ഒരു വശത്ത് സ്വാഭാവികവും മറുവശത്ത് തികച്ചും വിപ്ലവകരവുമായിരുന്നു.

ലോബചെവ്സ്കി അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിനെ കൃത്യമായ വിപരീത പ്രസ്താവന ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചു. ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെ സിദ്ധാന്തം ഇപ്രകാരമായിരുന്നു: ഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന്, ഈ നേർരേഖയെ വിഭജിക്കുന്ന എല്ലാ കിരണങ്ങളും പുറത്തുവരുന്നുവെങ്കിൽ, ഇടത്തും വലത്തും ഈ കിരണങ്ങൾ രണ്ട് പരിമിത കിരണങ്ങളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തും, അത് ഇനി വിഭജിക്കില്ല. നേർരേഖ, എന്നാൽ അതിനോട് കൂടുതൽ അടുക്കും. മാത്രമല്ല, പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന ഈ കിരണങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ 180 ഡിഗ്രിയിൽ കുറവായിരിക്കും.

തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ, യൂക്ലിഡിലെന്നപോലെ, തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല, മറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടമുള്ളത്രയും വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ലോബചെവ്സ്കിയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഇത് ഉടനടി പിന്തുടരുന്നു. എന്നാൽ ഈ നേർരേഖകൾ യൂക്ലിഡിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി പ്രവർത്തിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് രണ്ട് സമാന്തര നേർരേഖകളുണ്ടെങ്കിൽ, അവയ്ക്ക് ആദ്യം സമീപിക്കാം, തുടർന്ന് അകന്നുപോകാം. അതായത്, ആദ്യ വരിയിലെ ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം പോയിന്റിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകൾക്ക് ഇത് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും.

ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതി നമ്മുടെ അവബോധത്തിന് ഭാഗികമായി വിരുദ്ധമാണ്, കാരണം നമ്മൾ സാധാരണയായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന ചെറിയ ദൂരങ്ങളിൽ അത് യൂക്ലിഡിയനിൽ നിന്ന് വളരെ കുറച്ച് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതുപോലെ, ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിന്റെ വക്രത നാം മനസ്സിലാക്കുന്നു. നമ്മൾ വീട്ടിൽ നിന്ന് സ്റ്റോറിലേക്ക് നടക്കുമ്പോൾ, നമ്മൾ ഒരു നേർരേഖയിലാണ് നടക്കുന്നതെന്ന് നമുക്ക് തോന്നുന്നു, ഭൂമി പരന്നതാണ്. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ മോസ്കോയിൽ നിന്ന് മോൺ‌ട്രിയലിലേക്ക് പറക്കുകയാണെങ്കിൽ, വിമാനം ഒരു വൃത്താകൃതിയിൽ പറക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, കാരണം ഇത് ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ പാതയാണ്. അതായത്, ഭൂമി ഒരു പാൻകേക്കിനെക്കാൾ ഒരു സോക്കർ ബോൾ പോലെയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെ ജ്യാമിതിയും ഒരു സോക്കർ ബോൾ ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിക്കാം, സാധാരണമല്ല, മറിച്ച് ഹൈപ്പർബോളിക് ആണ്. ഒരു ഹൈപ്പർബോളിക് സോക്കർ ബോൾ പതിവ് പോലെ ഒട്ടിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു സാധാരണ പന്തിൽ മാത്രം, വെളുത്ത ഷഡ്ഭുജങ്ങൾ കറുത്ത പെന്റഗണുകളിൽ ഒട്ടിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഒരു ഹൈപ്പർബോളിക് പന്തിൽ, പെന്റഗണുകൾക്ക് പകരം, നിങ്ങൾ ഹെപ്റ്റഗണുകൾ നിർമ്മിക്കുകയും അവയെ ഷഡ്ഭുജങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒട്ടിക്കുകയും വേണം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തീർച്ചയായും, അത് ഒരു പന്തായി മാറില്ല, മറിച്ച് ഒരു സാഡിൽ ആയിരിക്കും. ഈ സഡിലിൽ ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതി തിരിച്ചറിഞ്ഞു.

ലോബചെവ്സ്കി 1826 ൽ കസാൻ സർവകലാശാലയിൽ തന്റെ കണ്ടെത്തലുകളെ കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ ശ്രമിച്ചു. എന്നാൽ റിപ്പോർട്ടിലെ വാചകം നിലനിൽക്കുന്നില്ല. 1829-ൽ അദ്ദേഹം തന്റെ ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ച് ഒരു യൂണിവേഴ്സിറ്റി ജേണലിൽ ഒരു ലേഖനം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെ ഫലങ്ങൾ പലർക്കും അർത്ഥശൂന്യമായി തോന്നി - അവർ ലോകത്തിന്റെ സാധാരണ ചിത്രം നശിപ്പിച്ചതിനാൽ മാത്രമല്ല, അവ ഏറ്റവും മനസ്സിലാക്കാവുന്ന രീതിയിൽ അവതരിപ്പിക്കാത്തതിനാൽ.

എന്നിരുന്നാലും, ലോബചെവ്‌സ്‌കിക്ക് ഉയർന്ന റേറ്റിംഗ് ഉള്ള ജേണലുകളിലും പ്രസിദ്ധീകരണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നു, ഞങ്ങൾ അവയെ ഇന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 1836-ൽ അദ്ദേഹം ഫ്രഞ്ച് ഭാഷയിൽ "സാങ്കൽപ്പിക ജ്യാമിതി" എന്ന പേരിൽ ഒരു ലേഖനം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, അതേ ലക്കത്തിൽ, അക്കാലത്തെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തരായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ ഡിറിച്ലെറ്റ്, സ്റ്റെയ്നർ, ജാക്കോബി എന്നിവരുടെ ലേഖനങ്ങളുമായി പ്രശസ്ത ജേണൽ ക്രെൽ. 1840-ൽ ലോബചെവ്സ്കി "സമാന്തരരേഖകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ജ്യാമിതീയ അന്വേഷണങ്ങൾ" എന്ന പേരിൽ വളരെ ചെറുതും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമായ ഒരു പുസ്തകം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. ജർമ്മനിയിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച പുസ്തകം ജർമ്മനിയിലായിരുന്നു. ഒരു വിനാശകരമായ അവലോകനം ഉടനടി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. ലോബചെവ്സ്കിയുടെ വാചകത്തെ നിരൂപകൻ പ്രത്യേകിച്ച് പരിഹസിച്ചു: "അവരുടെ സമാന്തരതയുടെ ദിശയിൽ ഞങ്ങൾ നേർരേഖകൾ തുടരും, അവർ പരസ്പരം സമീപിക്കും." "ഈ പ്രസ്താവന മാത്രം," നിരൂപകൻ എഴുതി, "ഇതിനകം തന്നെ മിസ്റ്റർ ലോബചെവ്സ്കിയുടെ സൃഷ്ടിയെ വേണ്ടത്ര ചിത്രീകരിക്കുകയും കൂടുതൽ മൂല്യനിർണ്ണയത്തിന്റെ ആവശ്യകതയിൽ നിന്ന് നിരൂപകനെ മോചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു."

എന്നാൽ പുസ്തകത്തിന് ഒരു നിഷ്പക്ഷ വായനക്കാരനുമുണ്ട്. ചരിത്രത്തിലെ ഏറ്റവും മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ ഒരാളായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ രാജാവ് എന്ന അപരനാമത്തിൽ അറിയപ്പെടുന്ന കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗൗസ് ആയിരുന്നു ഇത്. തന്റെ ഒരു കത്തിൽ ലോബചെവ്സ്കിയുടെ പുസ്തകത്തെ അദ്ദേഹം പ്രശംസിച്ചു. എന്നാൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ അവലോകനം അദ്ദേഹത്തിന്റെ മരണശേഷം മാത്രമാണ്, ബാക്കിയുള്ള കത്തിടപാടുകൾക്കൊപ്പം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്. തുടർന്ന് ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയുടെ യഥാർത്ഥ കുതിപ്പ് ആരംഭിച്ചു.

1866-ൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ പുസ്തകം ഫ്രഞ്ചിലേക്കും പിന്നീട് ഇംഗ്ലീഷിലേക്കും വിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെട്ടു. മാത്രമല്ല, അസാധാരണമായ ജനപ്രീതി കാരണം ഇംഗ്ലീഷ് പതിപ്പ് മൂന്ന് തവണ കൂടി പുനഃപ്രസിദ്ധീകരിക്കപ്പെട്ടു. നിർഭാഗ്യവശാൽ, ലോബചെവ്സ്കി ഈ സമയം വരെ ജീവിച്ചിരുന്നില്ല. 1856-ൽ അദ്ദേഹം മരിച്ചു. 1868-ൽ ലോബചെവ്സ്കിയുടെ പുസ്തകത്തിന്റെ റഷ്യൻ പതിപ്പ് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. ഇത് ഒരു പുസ്തകമായിട്ടല്ല, ഏറ്റവും പഴയ റഷ്യൻ ജേണലായ "ഗണിത ശേഖരം" എന്ന ലേഖനമായിട്ടാണ് പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്. എന്നാൽ ഈ മാസിക വളരെ ചെറുപ്പമായിരുന്നു, അതിന് ഇതുവരെ രണ്ട് വയസ്സ് തികഞ്ഞിട്ടില്ല. എന്നാൽ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ റഷ്യൻ, സോവിയറ്റ് ജ്യാമീറ്റർ വെനിയമിൻ ഫെഡോറോവിച്ച് കഗൻ നടത്തിയ 1945-ലെ റഷ്യൻ പരിഭാഷയാണ്.

പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനത്തോടെ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ രണ്ട് ക്യാമ്പുകളായി വിഭജിക്കപ്പെട്ടു. ചിലർ ഉടൻ തന്നെ ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ഫലങ്ങൾ അംഗീകരിക്കുകയും അദ്ദേഹത്തിന്റെ ആശയങ്ങൾ കൂടുതൽ വികസിപ്പിക്കാൻ തുടങ്ങുകയും ചെയ്തു. ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെ ജ്യാമിതി നിലവിലില്ലാത്ത ഒന്നിനെ വിവരിക്കുന്നു, അതായത് യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതി മാത്രമാണ് ശരിയെന്നും മറ്റൊന്നും ആകാൻ കഴിയില്ലെന്നും ഉള്ള വിശ്വാസം മറ്റുള്ളവർക്ക് ഉപേക്ഷിക്കാൻ കഴിഞ്ഞില്ല. നിർഭാഗ്യവശാൽ, രണ്ടാമത്തേതിൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഉൾപ്പെടുന്നു, "ആലിസ് ഇൻ വണ്ടർലാൻഡിന്റെ" രചയിതാവ് എന്നറിയപ്പെടുന്ന ലൂയിസ് കരോൾ. അദ്ദേഹത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ പേര് ചാൾസ് ഡോഡ്ജ്സൺ എന്നാണ്. 1890-ൽ അദ്ദേഹം "സമാന്തരങ്ങളുടെ ഒരു പുതിയ സിദ്ധാന്തം" എന്ന പേരിൽ ഒരു ലേഖനം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, അവിടെ അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിന്റെ ഉയർന്ന ദൃശ്യ പതിപ്പിനെ അദ്ദേഹം പ്രതിരോധിച്ചു. ലൂയിസ് കരോളിന്റെ സിദ്ധാന്തം ഇതുപോലെയാണ്: നിങ്ങൾ ഒരു വൃത്തത്തിൽ ഒരു സാധാരണ ചതുർഭുജം ആലേഖനം ചെയ്താൽ, ഈ ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ചതുർഭുജത്തിന് പുറത്ത് കിടക്കുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും സെഗ്‌മെന്റിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തേക്കാൾ കർശനമായി വലുതായിരിക്കും. ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയിൽ, ഈ സിദ്ധാന്തം ശരിയല്ല. നമ്മൾ വേണ്ടത്ര വലിയ വൃത്തം എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഏത് ചതുരം അതിൽ ആലേഖനം ചെയ്താലും, ഈ ചതുർഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങൾ എത്ര നീളമുള്ളതാണെങ്കിലും, ചതുർഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരു സാർവത്രിക ഭൗതിക സ്ഥിരാങ്കത്താൽ പരിമിതപ്പെടുത്തും. പൊതുവേ, ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയും യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതിയും തമ്മിലുള്ള ഗുണപരമായ വ്യത്യാസമാണ് ഭൗതിക സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെയും ദൈർഘ്യത്തിന്റെ സാർവത്രിക അളവുകളുടെയും സാന്നിധ്യം.

എന്നാൽ മറ്റൊരു പ്രശസ്ത ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ആർതർ കെയ്‌ലി, 1859-ൽ, അതായത് ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെ മരണത്തിന് മൂന്ന് വർഷത്തിന് ശേഷം, ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് നിയമവിധേയമാക്കാൻ പിന്നീട് സഹായിച്ച ഒരു ലേഖനം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. കൗതുകകരമെന്നു പറയട്ടെ, അക്കാലത്ത് ലണ്ടനിൽ ഒരു വക്കീലെന്ന നിലയിൽ കെയ്‌ലി മൂൺലൈറ്റ് ചെയ്യുകയായിരുന്നു, അതിനുശേഷം മാത്രമാണ് കേംബ്രിഡ്ജിൽ പ്രൊഫസർഷിപ്പ് ലഭിച്ചത്. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയുടെ ആദ്യ മാതൃക കെയ്ലി നിർമ്മിച്ചു, ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ അദ്ദേഹം തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുകയായിരുന്നു.

മറ്റൊരു അത്ഭുതകരമായ ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ, അദ്ദേഹത്തിന്റെ പേര് വില്യം കിംഗ്ഡൻ ക്ലിഫോർഡ്, ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ആശയങ്ങളിൽ ആഴത്തിൽ നിറഞ്ഞു. പ്രത്യേകിച്ചും, ഗുരുത്വാകർഷണം ബഹിരാകാശത്തിന്റെ വക്രത മൂലമാണ് സംഭവിക്കുന്നത് എന്ന സാമാന്യ ആപേക്ഷികതാ സിദ്ധാന്തം സൃഷ്ടിക്കുന്നതിന് വളരെ മുമ്പുതന്നെ അദ്ദേഹം ആദ്യമായി ആശയം മുന്നോട്ടുവച്ചു. ശാസ്ത്രത്തിന്റെ തത്ത്വചിന്തയെക്കുറിച്ചുള്ള തന്റെ ഒരു പ്രഭാഷണത്തിൽ ലോബചെവ്‌സ്‌കി ശാസ്ത്രത്തിന് നൽകിയ സംഭാവനകളെ ക്ലിഫോർഡ് വിലയിരുത്തി: "ലോബചെവ്‌സ്‌കി യൂക്ലിഡിനായി, ടോളമിക്ക് കോപ്പർനിക്കസ് ആയിത്തീർന്നു." കോപ്പർനിക്കസിന് മുമ്പ്, പ്രപഞ്ചത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് എല്ലാം അറിയാമെന്ന് മനുഷ്യവർഗം വിശ്വസിച്ചിരുന്നുവെങ്കിൽ, പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ഒരു ചെറിയ ഭാഗം മാത്രമേ നാം നിരീക്ഷിക്കുന്നുള്ളൂവെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വ്യക്തമാണ്. അതുപോലെ, ലോബചെവ്‌സ്‌കിക്ക് മുമ്പ്, ഒരു ജ്യാമിതി മാത്രമേയുള്ളൂവെന്ന് മനുഷ്യവർഗം വിശ്വസിച്ചിരുന്നു - യൂക്ലിഡിയൻ, അതിനെക്കുറിച്ച് എല്ലാം വളരെക്കാലമായി അറിയപ്പെടുന്നു. നിരവധി ജ്യാമിതികൾ ഉണ്ടെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്കറിയാം, പക്ഷേ അവയെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് എല്ലാം അറിയില്ല.

യൂക്ലിഡിന്റെ അഞ്ചാമത്തെ ഉദ്ധരണി "രണ്ട് നേർരേഖകളിൽ വീഴുന്ന ഒരു നേർരേഖ ആന്തരിക ഏകപക്ഷീയമായ കോണുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു, മൊത്തത്തിൽ രണ്ട് നേർരേഖകളിൽ കുറവാണെങ്കിൽ, അനിശ്ചിതമായി തുടർന്നു, ഈ രണ്ട് നേർരേഖകളും തുകയിലെ കോണുകൾ കുറവുള്ള ഭാഗത്ത് കണ്ടുമുട്ടും. രണ്ട് നേർരേഖകളേക്കാൾ" പുരാതന കാലത്തെ പല ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കും ഇത് എങ്ങനെയെങ്കിലും വളരെ വ്യക്തമല്ലെന്ന് തോന്നി, ഭാഗികമായി അതിന്റെ രൂപീകരണത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണത കാരണം.

ലളിതമായ രൂപത്തിൽ, പ്രാഥമിക വാക്യങ്ങൾ മാത്രമേ പോസ്റ്റുലേറ്റുകളാകൂ എന്ന് തോന്നി. ഇക്കാര്യത്തിൽ, അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പ്രത്യേക ശ്രദ്ധയുടെ വിഷയമായി മാറിയിരിക്കുന്നു, ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഗവേഷണത്തെ രണ്ട് ദിശകളായി തിരിക്കാം, വാസ്തവത്തിൽ, പരസ്പരം അടുത്ത ബന്ധമുണ്ട്. ഈ പോസ്റ്റുലേറ്റിനെ ലളിതവും കൂടുതൽ അവബോധജന്യവുമായ വ്യക്തതയുള്ള ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ആദ്യത്തേത് ശ്രമിച്ചു, ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രോക്ലസ് രൂപപ്പെടുത്തിയ പ്രസ്താവന “ഒരു നിശ്ചിത നേർരേഖയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു പോയിന്റിലൂടെ, വരാത്ത ഒരു നേർരേഖ മാത്രമേ വരയ്ക്കാൻ കഴിയൂ. തന്നിരിക്കുന്നവയുമായി വിഭജിക്കുക”: ഈ രൂപത്തിലാണ് 5-ാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ അതിനു തുല്യമായ സമാന്തര സിദ്ധാന്തം ആധുനിക പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ ദൃശ്യമാകുന്നത്.

രണ്ടാമത്തെ ദിശയുടെ പ്രതിനിധികൾ മറ്റുള്ളവരുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിച്ചു, അതായത്, അതിനെ ഒരു സിദ്ധാന്തമാക്കി മാറ്റുക. ഇത്തരത്തിലുള്ള ശ്രമങ്ങൾ ആരംഭിച്ചത് മധ്യകാലഘട്ടത്തിലെ നിരവധി അറബ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരാണ്: അൽ-അബ്ബാസ് അൽ-ജൗഹാരി (9-ആം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആരംഭം), സാബിത് ഇബ്ൻ കൊറഹ്, ഇബ്ൻ അൽ-ഖൈസം, ഒമർ ഖയ്യാം, നാസിറദ്ദീൻ അറ്റ്-തുസി. പിന്നീട്, യൂറോപ്യന്മാർ ഈ പഠനങ്ങളിൽ ചേർന്നു: ലെവി ബെൻ ഗെർഷോൺ (14-ആം നൂറ്റാണ്ട്), അൽഫോൻസോ (15-ആം നൂറ്റാണ്ട്), ഹീബ്രുവിൽ എഴുതിയത്, തുടർന്ന് ജർമ്മൻ ജെസ്യൂട്ട് എച്ച്. ക്ലാവിയസ് (1596), ഇംഗ്ലീഷുകാരനായ ജെ. വാലിസ് (1663), കൂടാതെ മറ്റുള്ളവ, 18-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഈ പ്രശ്നത്തിൽ താൽപര്യം ഉയർന്നു: 1759 മുതൽ 1800 വരെ 55 കൃതികൾ ഈ പ്രശ്നം വിശകലനം ചെയ്തു, ഇറ്റാലിയൻ ജെസ്യൂട്ട് ജി.

തെളിവുകൾ സാധാരണയായി "വൈരുദ്ധ്യത്തിലൂടെ" എന്ന രീതിയാണ് നടപ്പിലാക്കുന്നത്: അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് നിറവേറ്റപ്പെടുന്നില്ല എന്ന അനുമാനത്തിൽ നിന്ന്, മറ്റ് പോസ്റ്റുലേറ്റുകൾക്കും സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്കും വിരുദ്ധമായ അനന്തരഫലങ്ങൾ അവർ ഊഹിക്കാൻ ശ്രമിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, വാസ്തവത്തിൽ, അവസാനം അവർക്ക് മറ്റ് പോസ്റ്റുലേറ്റുകളുമായി ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ലഭിച്ചില്ല, പക്ഷേ ചില വ്യക്തമായ അല്ലെങ്കിൽ പരോക്ഷമായ "വ്യക്തമായ" നിർദ്ദേശങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ്, എന്നിരുന്നാലും, യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ മറ്റ് പോസ്റ്റുലേറ്റുകളുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിഞ്ഞില്ല: അങ്ങനെ , തെളിവുകൾ അവരുടെ ലക്ഷ്യം നേടിയില്ല , - അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിന് പകരം, വീണ്ടും, സമാനമായ മറ്റ് ചില പ്രസ്താവനകൾ ഇട്ടതായി ഇത് മാറി. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ അത്തരമൊരു പ്രസ്താവനയായി എടുത്തു:

അരി. 2. പരസ്പരം തുല്യ അകലത്തിൽ നേർരേഖകളുണ്ട്

അരി. 4. ഒത്തുചേരുന്ന രണ്ട് വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു

ഈ പ്രസ്‌താവനകൾ ഉൾക്കൊള്ളാത്ത ജ്യാമിതി തീർച്ചയായും നമ്മൾ പരിചിതമായതുപോലെയല്ല, എന്നാൽ ഇത് അസാധ്യമാണെന്നോ യൂക്ലിഡിന്റെ മറ്റ് പോസ്റ്റുലേറ്റുകളിൽ നിന്നും സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്നും ഈ പ്രസ്താവനകൾ പിന്തുടരുന്നുവെന്നോ ഇത് പിന്തുടരുന്നില്ല. തെളിവുകൾക്ക് ചില വിടവുകൾ അല്ലെങ്കിൽ നീട്ടൽ ഉണ്ടായിരുന്നു. ഒരു നേർരേഖയുടെ യൂക്ലിഡിയൻ "നിർവചനം" അനുസരിച്ച്, പരസ്പരം തുല്യ അകലത്തിലുള്ള നേർരേഖകൾ ഉണ്ടെന്ന അനുമാനത്തെ ക്ലാവിയസ് സാധൂകരിച്ചു, അതിലെ പോയിന്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് തുല്യ അകലത്തിലാണ്. അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിന്റെ തെളിവ് ആദ്യമായി "സ്വാഭാവിക" സ്ഥാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളത് വാലിസാണ്, അതനുസരിച്ച് ഏതൊരു രൂപത്തിനും സമാനമായ വലുപ്പമുള്ള ഏകപക്ഷീയമായ വലിപ്പമുണ്ട്, കൂടാതെ യൂക്ലിഡിന്റെ മൂന്നാം പോസ്റ്റുലേറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രസ്താവനയെ സാധൂകരിക്കുകയും ചെയ്തു. കേന്ദ്രത്തിനും ഏത് പരിഹാരത്തിനും ഒരു വൃത്തത്തെ വിവരിക്കാൻ കഴിയും (വാസ്തവത്തിൽ, അസമമായ സമാന ത്രികോണങ്ങളുടെ അല്ലെങ്കിൽ സർക്കിളുകളുടെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രസ്താവന അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിന് തുല്യമാണ്). "ജ്യോമിതിയുടെ തത്വങ്ങൾ" (1794, 1800, 1823) എന്ന പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ തുടർച്ചയായ പതിപ്പുകളിൽ എഎം ലെജൻഡ്രെ അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിന്റെ പുതിയ തെളിവുകൾ നൽകി, എന്നാൽ സൂക്ഷ്മമായ വിശകലനം ഈ തെളിവുകളിൽ വിടവുകൾ കാണിച്ചു. ഇതിഹാസത്തെ വെറും വിമർശനത്തിന് വിധേയമാക്കിയ ശേഷം, നമ്മുടെ സ്വഹാബിയായ എസ്.യെ. ഗുറീവ് തന്റെ "ജ്യാമിതിയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ മെച്ചപ്പെടുത്തലിനെക്കുറിച്ചുള്ള അനുഭവം" (1798) എന്ന പുസ്തകത്തിൽ, എന്നിരുന്നാലും, അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് തെളിയിക്കുന്നതിൽ സ്വയം തെറ്റ് ചെയ്തു.

വളരെ വേഗം, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെയും ചതുരത്തിന്റെയും കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയും അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം തിരിച്ചറിഞ്ഞു: ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക രണ്ട് നേർരേഖകൾക്ക് തുല്യമാണ് എന്ന പ്രസ്താവനയിൽ നിന്ന് അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് പിന്തുടരുന്നു. ദീർഘചതുരങ്ങളുടെ അസ്തിത്വത്തിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുന്നു. ഇക്കാര്യത്തിൽ, ഒരു സമീപനം വ്യാപകമായിത്തീർന്നിരിക്കുന്നു (അതിനെ തുടർന്ന് ഖയ്യാം, അറ്റ്-തുസി, വാലിസ്, സക്കേരി), അതിൽ ഒരു ചതുർഭുജം കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് ഒരു നേർരേഖയിലേക്ക് രണ്ട് ലംബമായി തുല്യ ഭാഗങ്ങൾ ഇടുന്നതിന്റെ ഫലമായി ലഭിക്കുന്നു. . മൂന്ന് അനുമാനങ്ങൾ അന്വേഷിക്കപ്പെടുന്നു: രണ്ട് മുകളിലെ കോണുകൾ മൂർച്ചയുള്ളതും മങ്ങിയതും നേരായതുമാണ്; മൂർച്ചയുള്ളതും നിശിതവുമായ കോണുകളുടെ അനുമാനങ്ങൾ വൈരുദ്ധ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു.

മറ്റൊരു സമീപനം (ഇത് ഇബ്ൻ അൽ-ഹൈതം, ലാംബെർട്ട് ഉപയോഗിച്ചു) മൂന്ന് വലത് കോണുകളുള്ള ഒരു ചതുരത്തിന് സമാനമായ മൂന്ന് സിദ്ധാന്തങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്തു.

മങ്ങിയ കോണുകളുടെ അനുമാനങ്ങൾ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് സച്ചേരിയും ലാംബെർട്ടും കാണിച്ചു, എന്നാൽ നിശിതകോണുകളുടെ അനുമാനങ്ങൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ വൈരുദ്ധ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിൽ അവർ പരാജയപ്പെട്ടു: ഒരു പിശകിന്റെ ഫലമായി മാത്രമാണ് സച്ചേരി അത്തരമൊരു വൈരുദ്ധ്യത്തെക്കുറിച്ച് നിഗമനം ചെയ്തത്, ലാംബെർട്ട് നിഗമനം ചെയ്തു. അക്യൂട്ട് ആംഗിൾ ഹൈപ്പോതെസിസിൽ വൈരുദ്ധ്യത്തിന്റെ അഭാവം ചില അടിസ്ഥാന കാരണങ്ങളാൽ സംഭവിച്ചതാണ്. ഒരു നിശിത കോണിന്റെ അനുമാനം അംഗീകരിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും കോണുകളുടെ ആകെത്തുക അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് ആനുപാതികമായ അളവിൽ 180 ° ൽ താഴെയാണെന്ന് ലാംബെർട്ട് കണ്ടെത്തി, ഇതുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ തുടക്കത്തിൽ കണ്ടെത്തി. XVII നൂറ്റാണ്ട് ഒരു ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം, നേരെമറിച്ച്, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് ആനുപാതികമായ അളവിൽ 180 ° ൽ കൂടുതലാണ്.

1763-ൽ, GS Klugel "സമാന്തരരേഖകളുടെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ശ്രമങ്ങളുടെ ഒരു അവലോകനം" പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, അവിടെ അദ്ദേഹം അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിന്റെ 30 ഓളം തെളിവുകൾ പരിശോധിക്കുകയും അവയിലെ പിശകുകൾ വെളിപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്തു. യൂക്ലിഡ് ന്യായമായും തന്റെ പ്രസ്താവന പോസ്റ്റുലേറ്റുകൾക്കിടയിൽ സ്ഥാപിച്ചുവെന്ന് ക്ലൂഗൽ നിഗമനം ചെയ്തു.

എന്നിരുന്നാലും, അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് തെളിയിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങൾ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട പങ്ക് വഹിച്ചു: വിപരീത പ്രസ്താവനകളെ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ ശ്രമിച്ചുകൊണ്ട്, ഈ ഗവേഷകർ വാസ്തവത്തിൽ യൂക്ലിഡിയൻ ഇതര ജ്യാമിതിയുടെ പല പ്രധാന സിദ്ധാന്തങ്ങളും കണ്ടെത്തി - പ്രത്യേകിച്ചും, അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന ഒരു ജ്യാമിതി. ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിലൂടെ വരയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രസ്താവന, തന്നിരിക്കുന്നതിനെ ഖണ്ഡിക്കാത്ത രണ്ട് നേർരേഖകളെങ്കിലും വരയ്ക്കുന്നു. അക്യൂട്ട് ആംഗിൾ ഹൈപ്പോതെസിസിന് തുല്യമായ ഈ പ്രസ്താവനയാണ് യൂക്ലിഡിയൻ ഇതര ജ്യാമിതി കണ്ടെത്തിയവരുടെ അടിസ്ഥാനം.

അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിന് ബദലെന്ന അനുമാനം യൂക്ലിഡിയനിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തവും എന്നാൽ തുല്യമായ സ്ഥിരതയുള്ളതുമായ ഒരു ജ്യാമിതിയുടെ നിർമ്മാണത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് നിരവധി ശാസ്ത്രജ്ഞർ സ്വതന്ത്രമായി എത്തി: കെ.എഫ്. ഗൗസ്, എൻ.ഐ. ലോബചെവ്സ്കി, ജെ. ബോയായി (അതുപോലെ എഫ്.കെ. ഷ്വീക്കാർട്ട്. എഫ്എ ടോറിനസ്, പുതിയ ജ്യാമിതിയിൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ സംഭാവന, എന്നിരുന്നാലും, കൂടുതൽ എളിമയുള്ളതും അവരുടെ ഗവേഷണം പ്രസിദ്ധീകരിക്കാത്തതും ആയിരുന്നു). ഗോസ്, തന്റെ ആർക്കൈവിൽ (1860 കളിൽ മാത്രം പ്രസിദ്ധീകരിച്ച) സൂക്ഷിച്ചിരിക്കുന്ന രേഖകൾ വിലയിരുത്തി, 1810 കളിൽ ഒരു പുതിയ ജ്യാമിതിയുടെ സാധ്യത തിരിച്ചറിഞ്ഞു, എന്നാൽ ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള തന്റെ കണ്ടെത്തലുകൾ ഒരിക്കലും പ്രസിദ്ധീകരിച്ചില്ല: “ബോയോട്ടിയൻമാരുടെ നിലവിളി ഞാൻ ഭയപ്പെടുന്നു. (അതായത്, വിഡ്ഢികൾ: പുരാതന ഗ്രീസിലെ ഏറ്റവും മണ്ടന്മാരായി ബൂയോട്ടിയയിലെ നിവാസികൾ കണക്കാക്കപ്പെട്ടിരുന്നു), ഞാൻ എന്റെ കാഴ്ചപ്പാടുകൾ പൂർണ്ണമായും പ്രകടിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ”അദ്ദേഹം 1829-ൽ തന്റെ സുഹൃത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ എഫ്വി ബെസ്സലിന് എഴുതി. 1826-ൽ പുതിയ ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ആദ്യത്തെ റിപ്പോർട്ട് തയ്യാറാക്കുകയും 1829-ൽ ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയും ചെയ്ത ലോബചെവ്‌സ്‌കിക്ക് തെറ്റിദ്ധാരണ വീണു. 1842-ൽ, ഗോട്ടിംഗൻ സയന്റിഫിക് സൊസൈറ്റിയിലെ അംഗമായി ലോബചെവ്‌സ്‌കി തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ടു: ഇതാണ് ലോബചെവ്‌സ്‌കിയുടെ ജീവിതകാലത്ത് അദ്ദേഹത്തിന്റെ യോഗ്യതകൾക്കുള്ള അംഗീകാരം മാത്രം. അഞ്ചാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റ് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫർകാഷ് ബോയായി പിതാവ് ജെ. ബോയായി - ഈ ദിശയിലുള്ള ഗവേഷണത്തിനെതിരെ തന്റെ മകന് മുന്നറിയിപ്പ് നൽകി: “... നിങ്ങളുടെ ഒഴിവുസമയങ്ങൾ, ആരോഗ്യം, സമാധാനം, ജീവിതത്തിലെ എല്ലാ സന്തോഷങ്ങളും ഇത് നഷ്ടപ്പെടുത്തും. ഈ കറുത്ത അഗാധത്തിന് ന്യൂട്ടൺ പോലുള്ള ആയിരം ടൈറ്റാനുകളെ ആഗിരണം ചെയ്യാൻ കഴിയും, ഭൂമിയിൽ ഇത് ഒരിക്കലും മായ്‌ക്കപ്പെടില്ല ... ". എന്നിരുന്നാലും, ജെ. ബോയായി തന്റെ ഫലങ്ങൾ 1832-ൽ തന്റെ പിതാവ് എഴുതിയ ജ്യാമിതി പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ അനുബന്ധമായി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. ബോയായും അംഗീകാരം നേടിയില്ല, കൂടാതെ, ലോബചെവ്സ്കി തന്നെക്കാൾ മുന്നിലാണെന്നതിൽ അദ്ദേഹം അസ്വസ്ഥനായിരുന്നു: അദ്ദേഹം യൂക്ലിഡിയൻ ഇതര ജ്യാമിതിയിൽ ഏർപ്പെട്ടിരുന്നില്ല. അതിനാൽ ലോബചെവ്സ്കി മാത്രം, തന്റെ ജീവിതകാലം മുഴുവൻ, ഒന്നാമതായി, ഒരു പുതിയ മേഖലയിൽ ഗവേഷണം തുടർന്നു, രണ്ടാമതായി, അദ്ദേഹം തന്റെ ആശയങ്ങൾ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുകയും പുതിയ ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ച് നിരവധി പുസ്തകങ്ങളും ലേഖനങ്ങളും പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയും ചെയ്തു.

അതിനാൽ, ലോബചെവ്സ്കി തലത്തിൽ, എബിയെ വിഭജിക്കാത്ത രണ്ട് നേർരേഖകളെങ്കിലും നൽകിയിരിക്കുന്ന രേഖയായ എബിക്ക് പുറത്ത് സി പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. സിയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന എല്ലാ ലൈനുകളും രണ്ട് ക്ലാസുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു - വിഭജിക്കുന്നതും വിഭജിക്കാത്തതുമായ എബി. എബിയെ വിഭജിക്കാത്ത രണ്ട് തീവ്ര നേർരേഖകളാൽ രൂപംകൊണ്ട ഒരു നിശ്ചിത കോണിലാണ് ഇവ രണ്ടാമത്തേത് കിടക്കുന്നത്. ഈ വരികളെയാണ് ലോബചെവ്സ്കി എബി നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി വിളിക്കുന്നത്, അവയ്‌ക്കും ലംബത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണാണ് സമാന്തരതയുടെ കോണാണ്. ഈ ആംഗിൾ പോയിന്റ് സി മുതൽ ലൈൻ എബി വരെയുള്ള ദൂരത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു: ഈ ദൂരം കൂടുന്തോറും സമാന്തരതയുടെ കോണും ചെറുതാണ്. കോണിനുള്ളിൽ കിടക്കുന്ന ലൈനുകളെ എബിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വ്യതിചലനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

p, q എന്നീ രണ്ട് വ്യതിചലിക്കുന്ന വരികൾക്ക് ഒരൊറ്റ പൊതു ലംബമായ t ഉണ്ട്, ഇത് ഒന്നിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ രേഖാ സെഗ്‌മെന്റാണ്. പോയിന്റ് M, t-ൽ നിന്ന് p യ്‌ക്കൊപ്പം നീങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, M-ൽ നിന്ന് q-ലേക്കുള്ള ദൂരം അനന്തതയിലേക്ക് വർദ്ധിക്കും, കൂടാതെ M-ൽ നിന്ന് q-ലേക്ക് താഴുന്ന ലംബങ്ങളുടെ അടിത്തറ ഒരു പരിമിതമായ സെഗ്‌മെന്റ് മാത്രം പൂരിപ്പിക്കും.

p, q എന്നീ വരികൾ പരസ്പരം വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവയിലൊന്നിന്റെ പോയിന്റുകളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകളും പരിമിതമായ സെഗ്മെന്റിനെ പൂരിപ്പിക്കുന്നു.

p, q എന്നീ നേർരേഖകൾ സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, ഒരു ദിശയിൽ അവയുടെ പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം അനിശ്ചിതമായി കുറയുന്നു, മറ്റൊന്നിൽ അവ അനിശ്ചിതമായി വർദ്ധിക്കുന്നു; ഒരു നേർരേഖ മറ്റൊരു കിരണത്തിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു.

ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയിൽ സാധ്യമായ p, q എന്നീ നേർരേഖകളുടെ വിവിധ പരസ്പര സ്ഥാനങ്ങൾ കണക്കുകൾ കാണിക്കുന്നു; r ഉം s ഉം q ന് സമാന്തരമായ ലംബമാണ്. (ഞങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖയെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നതെങ്കിലും q ഒരു വളഞ്ഞ രേഖ വരയ്ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിർബന്ധിതരാകുന്നു. നമ്മുടെ ലോകം മൊത്തത്തിൽ ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയുടെ നിയമങ്ങൾ പാലിച്ചാലും, എല്ലാം എങ്ങനെ വികലമാക്കാതെ ചെറിയ തോതിൽ ചിത്രീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല. വലുതായി കാണപ്പെടുന്നു: ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയിൽ തുല്യമല്ലാത്ത സമാന കണക്കുകളൊന്നുമില്ല).

മൂലയുടെ ഉള്ളിൽ, മൂലയുടെ ഇരുവശങ്ങളിലും സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖയുണ്ട്. ഇത് കോണിനുള്ളിലെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും രണ്ട് തരങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു: ആദ്യ തരത്തിലുള്ള പോയിന്റുകളിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് കോണിന്റെ ഇരുവശവും വിഭജിക്കുന്ന നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കാം; രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള പോയിന്റുകളിലൂടെ അത്തരമൊരു നേർരേഖ വരയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല. സമാന്തരരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള സ്ഥലത്തിനും ഇത് ബാധകമാണ്. വ്യതിചലിക്കുന്ന രണ്ട് വരികൾക്കിടയിൽ അവ രണ്ടിനും സമാന്തരമായി രണ്ട് വരികളുണ്ട്; അവർ വ്യതിചലിക്കുന്ന വരികൾക്കിടയിലുള്ള ഇടം മൂന്ന് മേഖലകളായി വിഭജിക്കുന്നു: ഒരു പ്രദേശത്തെ പോയിന്റുകളിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് കോണിന്റെ ഇരുവശത്തും വിഭജിക്കുന്ന വരകൾ വരയ്ക്കാം; മറ്റ് രണ്ട് മേഖലകളിലെ പോയിന്റുകളിലൂടെ അത്തരം വരകൾ വരയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല.

വലത് കോണല്ല, ഒരു നിശിത കോണാണ് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസത്തിൽ നിലകൊള്ളുന്നത്. ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു സാധാരണ ഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ വശം എല്ലായ്പ്പോഴും അതിന്റെ ആരത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കും. ഏത് n> 6-നും ഒരു സാധാരണ n-gon-ന്റെ വശം അതിന്റെ ആരത്തിന് തുല്യമായ രീതിയിൽ നിർമ്മിക്കാൻ സാധിക്കും.

ഭൗതിക സ്ഥലത്തിന്റെ ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യത്തിൽ ലോബചെവ്സ്കിക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടായിരുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും, ജ്യോതിശാസ്ത്ര നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ച്, വലിയ, നക്ഷത്രാന്തര ത്രികോണങ്ങളുടെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക അദ്ദേഹം കണക്കാക്കി: എന്നിരുന്നാലും, 180 ° മുതൽ ഈ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം പൂർണ്ണമായും കിടക്കുന്നു. നിരീക്ഷണ പിശകിനുള്ളിൽ. തന്റെ ജ്യാമിതിയെ "സാങ്കൽപ്പികം" എന്ന് സ്വയം വിളിച്ച ലോബചെവ്‌സ്‌കിക്ക് തെറ്റിദ്ധാരണയുണ്ടായത്, അദ്ദേഹത്തിന്റെ കാലത്ത് അത്തരം ആശയങ്ങൾ ശുദ്ധമായ അമൂർത്തങ്ങളും ഭാവനയുടെ കളിയുമായി തോന്നിയതാണ്. പുതിയ ജ്യാമിതി ശരിക്കും സ്ഥിരതയുള്ളതാണോ? (എല്ലാത്തിനുമുപരി, ലോബചെവ്സ്കിക്ക് ഒരു വൈരുദ്ധ്യം നേരിടാൻ കഴിഞ്ഞില്ലെങ്കിലും, ഇത് പിന്നീട് കണ്ടെത്തപ്പെടില്ലെന്ന് ഉറപ്പുനൽകുന്നില്ല). യഥാർത്ഥ ലോകവുമായും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മറ്റ് മേഖലകളുമായും ഇത് എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? ഇത് ഉടനടി വളരെ വ്യക്തമാവുകയും, ആത്യന്തികമായി പുതിയ ആശയങ്ങൾ വീണുപോയ വിജയം പുതിയ ജ്യാമിതിയുടെ മാതൃകകളുടെ കണ്ടെത്തലുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.