ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംഖ്യാപരമായ പരിഹാരം (1). ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംഖ്യാപരമായ പരിഹാരം യൂലർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

യൂലറുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം. അത് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ പരിഗണിക്കുന്നു.

ഉള്ളടക്കം

രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ് യൂലറുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം
എ 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ a n- 1 xy′ + a n y = f(x).

കൂടുതൽ പൊതുവായ രൂപത്തിൽ, യൂലറുടെ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:
.
ഈ സമവാക്യം t = ax+b മാറ്റി ലളിതമായ ഒരു രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു, അത് ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് യൂലറുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുന്നു.

യൂളറുടെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:
(1) .
പകരമായി ഇത് സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു രേഖീയ സമവാക്യത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു:
x = e t.
തീർച്ചയായും, അപ്പോൾ
;
;
;

;
;
..........................

അങ്ങനെ, x m അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ റദ്ദാക്കുന്നു. ശേഷിക്കുന്ന നിബന്ധനകൾ സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ളവയാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പ്രായോഗികമായി, യൂളറുടെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, മുകളിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന പകരക്കാരനെ ഉപയോഗിക്കാതെ സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും.

ഏകതാനമായ യൂലർ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം

ഏകതാനമായ യൂലർ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:
(2) .
ഫോമിലെ സമവാക്യം (2) ന് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം തേടുകയാണ്
.
;
;
........................
.
ഞങ്ങൾ (2) ൽ പകരം വയ്ക്കുകയും x k കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
.
നമുക്ക് സ്വഭാവ സമവാക്യം ലഭിക്കും:

ഞങ്ങൾ അത് പരിഹരിക്കുകയും സങ്കീർണ്ണമായേക്കാവുന്ന n വേരുകൾ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.
.

നമുക്ക് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ നോക്കാം. k i മൾട്ടിപ്പിളിസിറ്റി m ൻ്റെ മൾട്ടിപ്പിൾ റൂട്ട് ആയിരിക്കട്ടെ.
.
ഈ m വേരുകൾ m രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു: നമുക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ പരിഗണിക്കാം. സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനങ്ങൾക്കൊപ്പം ജോഡികളായി അവ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു. k i മൾട്ടിപ്പിളിസിറ്റി m ൻ്റെ മൾട്ടിപ്പിൾ റൂട്ട് ആയിരിക്കട്ടെ.യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ k i എന്ന സങ്കീർണ്ണ റൂട്ട് നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം:
;
;
..............................
.

ഈ m വേരുകളും m സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജിത വേരുകളും യോജിക്കുന്നു
(3) .

2 മീ

രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങൾ:

n രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിച്ച ശേഷം, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിനുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരം (2) ലഭിക്കും:

ഉദാഹരണങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:
.
ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരം >>>

ഏകതാനമല്ലാത്ത യൂലർ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം 1 ഏകതാനമല്ലാത്ത യൂലർ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക: 1 സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി (ലഗ്രാഞ്ച് രീതി) യൂലറുടെ സമവാക്യങ്ങൾക്കും ബാധകമാണ്. 1 ഡെറിവേറ്റീവുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സമവാക്യങ്ങൾ.

അടുത്തതായി നമ്മൾ y യുടെ nth ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഡെറിവേറ്റീവുകളെ (1) ലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ഡെറിവേറ്റീവുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട n-ആം സമവാക്യം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

തുടർന്ന്, സമന്വയിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന് (1) ഒരു പൊതു പരിഹാരം ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണം
(4)
,
സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം >>>
,
പ്രത്യേക അസന്തുലിതമായ ഭാഗമുള്ള ഇൻഹോമോജീനിയസ് യൂലർ സമവാക്യം

അസമമായ ഭാഗത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക രൂപമുണ്ടെങ്കിൽ, അസമമായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തി ഒരു പൊതു പരിഹാരം നേടുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഈ ക്ലാസിൽ ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു:

യഥാക്രമം അധികാരങ്ങളുടെ ബഹുപദങ്ങൾ എവിടെയാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പകരം വയ്ക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്

തീരുമാനിക്കുകയും ചെയ്യുക

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംഖ്യാപരമായ പരിഹാരം

ശാസ്ത്ര സാങ്കേതിക രംഗത്തെ പല പ്രശ്നങ്ങളും സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷനുകൾ (ഒഡിഇ) പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു. ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒന്നോ അതിലധികമോ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളാണ് ODEകൾ. പൊതുവേ, ODE ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം::

ഇവിടെ x ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ ആണ്, ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ i-th ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്. n എന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ക്രമമാണ്. ഒരു nth ഓർഡർ ODE യുടെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ n അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതായത്. പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്.:

ഒരൊറ്റ പരിഹാരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന്, അധിക വ്യവസ്ഥകൾ സജ്ജീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അധിക വ്യവസ്ഥകൾ വ്യക്തമാക്കുന്ന രീതിയെ ആശ്രയിച്ച്, രണ്ട് വ്യത്യസ്ത തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ട്: Cauchy പ്രശ്നം, അതിർത്തി മൂല്യ പ്രശ്നം. ഒരു ഘട്ടത്തിൽ അധിക വ്യവസ്ഥകൾ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു പ്രശ്നത്തെ Cauchy പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കൗച്ചി പ്രശ്നത്തിലെ അധിക വ്യവസ്ഥകളെ പ്രാഥമിക വ്യവസ്ഥകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അധിക വ്യവസ്ഥകൾ ഒന്നിലധികം പോയിൻ്റുകളിൽ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതായത്. സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾക്ക്, അത്തരമൊരു പ്രശ്നത്തെ ബൗണ്ടറി മൂല്യ പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അധിക വ്യവസ്ഥകളെ തന്നെ അതിർത്തി അല്ലെങ്കിൽ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

n=1 ആകുമ്പോൾ നമുക്ക് കൗച്ചി പ്രശ്നത്തെക്കുറിച്ച് മാത്രമേ സംസാരിക്കാൻ കഴിയൂ എന്ന് വ്യക്തമാണ്.

Cauchy പ്രശ്നം സജ്ജീകരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾഅതിർത്തി മൂല്യ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ചില പ്രത്യേക തരം സമവാക്യങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ വിശകലനപരമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയൂ.

ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ODE-കൾക്കുള്ള Cauchy പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സംഖ്യാ രീതികൾ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 . ആദ്യ ഓർഡർ ODE ന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭാഗത്തിൽ ].

ഒരു ഏകദേശ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കണക്കാക്കിയ ഘട്ടം ഉപയോഗിച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നത് എന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും, കണക്കുകൂട്ടൽ നോഡുകൾ ഇടവേള പോയിൻ്റുകളാണ് [

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന x				പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭാഗത്തിൽ
, x x				, x നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭാഗത്തിൽ

എൻ

ഒരു മേശ നിർമിക്കുകയാണ് ലക്ഷ്യം

ഒരു സംഖ്യാപരമായ പരിഹാരം നേടുന്നതിനുള്ള തികച്ചും സ്വാഭാവികമായ (എന്നാൽ മാത്രമല്ല) മാർഗ്ഗം, അതിലെ അവിഭാജ്യത്തിന് പകരം സംഖ്യാ സംയോജനത്തിൻ്റെ ചില ക്വാഡ്രേച്ചർ ഫോർമുല നൽകുക എന്നതാണ്. ആദ്യ ഓർഡറിൻ്റെ ഇടത് ദീർഘചതുരങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ

അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും വ്യക്തമായ യൂലർ ഫോർമുല:

പേയ്മെൻ്റ് നടപടിക്രമം:

അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, പിന്നെ മുതലായവ.

യൂലറുടെ രീതിയുടെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം:

ബിന്ദുവിലുള്ളത് പ്രയോജനപ്പെടുത്തുന്നു പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 പരിഹാരം അറിയാം , x(പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0)= വൈ 0 ഉം അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യവും, പോയിൻ്റിൽ ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതാം:. മതിയായ ഒരു ചെറിയ ഘട്ടം കൊണ്ട് എച്ച്മൂല്യത്തിൻ്റെ വലത് വശത്തേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന ഈ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ്, ഓർഡിനേറ്റിൽ നിന്ന് കുറച്ച് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കണം. , x(പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 1) പരിഹാരങ്ങൾ , x(പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന) കോച്ചി പ്രശ്നങ്ങൾ. അതിനാൽ, വരയുമായുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റ് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന = പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവനപുതിയ ആരംഭ പോയിൻ്റായി ഏകദേശം 1 എടുക്കാം. ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ നമ്മൾ വീണ്ടും ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുന്നു, അത് ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെ ഏകദേശം പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. ഇവിടെ പകരം വയ്ക്കുന്നു (അതായത് ലൈനുമായുള്ള കവല പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന = പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 2), ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഏകദേശ മൂല്യം ലഭിക്കും , x(പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന) പോയിൻ്റിൽ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 2: തുടങ്ങിയവ. എന്നതിൻ്റെ ഫലമായി x-ആം പോയിൻ്റ് നമുക്ക് യൂലറുടെ ഫോർമുല ലഭിക്കും.

വ്യക്തമായ Euler രീതിക്ക് ആദ്യ ഓർഡർ കൃത്യതയോ ഏകദേശ കണക്കോ ഉണ്ട്.

നിങ്ങൾ ശരിയായ ദീർഘചതുരം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ: , പിന്നെ ഞങ്ങൾ രീതിയിലേക്ക് വരുന്നു

ഈ രീതിയെ വിളിക്കുന്നു അവ്യക്തമായ യൂലർ രീതി, അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു അജ്ഞാത മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിന് പൊതുവെ രേഖീയമല്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഇംപ്ലിസിറ്റ് യൂലർ രീതിക്ക് ആദ്യ ഓർഡർ കൃത്യതയോ ഏകദേശമോ ഉണ്ട്.

ഈ രീതിയിൽ, കണക്കുകൂട്ടൽ രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

ഈ സ്കീമിനെ പ്രവചന-തിരുത്തൽ രീതി (പ്രവചന-തിരുത്തൽ) എന്നും വിളിക്കുന്നു. ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഏകദേശ മൂല്യം കുറഞ്ഞ കൃത്യതയോടെ (h) പ്രവചിക്കുന്നു, രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, ഈ പ്രവചനം ശരിയാക്കുന്നു, അങ്ങനെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യത്തിന് രണ്ടാം ഓർഡർ കൃത്യത ലഭിക്കും.

റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതികൾ:വ്യക്തമായ റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതികൾ നിർമ്മിക്കാനുള്ള ആശയം പിമൂല്യങ്ങളുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൾ നേടുക എന്നതാണ് -th ഓർഡർ , x(പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന x+1) ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫോർമുല അനുസരിച്ച്

…………………………………………….

ഇവിടെ എ നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭാഗത്തിൽ , ബി nj , പി നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭാഗത്തിൽ, – ചില നിശ്ചിത സംഖ്യകൾ (പാരാമീറ്ററുകൾ).

റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതികൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ ( എ നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭാഗത്തിൽ , ബി nj , പി നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭാഗത്തിൽ) ആവശ്യമുള്ള ഏകദേശ ക്രമം ലഭിക്കുന്ന തരത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.

കൃത്യതയുടെ നാലാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ റൂഞ്ച്-കുട്ട സ്കീം:

ഉദാഹരണം. കൗച്ചി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക:

മൂന്ന് രീതികൾ പരിഗണിക്കുക: വ്യക്തമായ യൂലർ രീതി, പരിഷ്കരിച്ച യൂലർ രീതി, റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതി.

കൃത്യമായ പരിഹാരം:

ഈ ഉദാഹരണത്തിനായി വ്യക്തമായ യൂലർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

പരിഷ്കരിച്ച യൂലർ രീതിയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതിയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

y1 - Euler's method, y2 - പരിഷ്ക്കരിച്ചത് Euler's method, y3 - Runge Kutta's method.

ഏറ്റവും കൃത്യതയുള്ളത് റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതിയാണെന്ന് കാണാൻ കഴിയും.

ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ODE-കളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സംഖ്യാ രീതികൾ

പരിഗണിക്കുന്ന രീതികൾ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും ഉപയോഗിക്കാം.

രണ്ട് ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ നമുക്ക് ഇത് കാണിക്കാം:

വ്യക്തമായ യൂലർ രീതി:

പരിഷ്കരിച്ച യൂലർ രീതി:

കൃത്യതയുടെ നാലാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ റൂഞ്ച്-കുട്ട സ്കീം:

ഉയർന്ന ഓർഡർ സമവാക്യങ്ങൾക്കായുള്ള കോച്ചി പ്രശ്നങ്ങൾ ODE സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങളിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, പരിഗണിക്കുക ഒരു രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യത്തിനുള്ള കൗച്ചി പ്രശ്നം

രണ്ടാമത്തെ അജ്ഞാത ഫംഗ്‌ഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം. അപ്പോൾ Cauchy പ്രശ്നം ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ആ. മുമ്പത്തെ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ: .

ഉദാഹരണം. കൗച്ചി പ്രശ്നത്തിന് പരിഹാരം കാണുക:

വിഭാഗത്തിൽ.

കൃത്യമായ പരിഹാരം:

ശരിക്കും:

H=0.2 എന്ന സ്റ്റെപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് Euler, Runge-Kutta രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഷ്കരിച്ച, വ്യക്തമായ Euler രീതി ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം.

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം.

രണ്ട് ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ODE-കളുടെ സിസ്റ്റത്തിനായി നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന Cauchy പ്രശ്നം ലഭിക്കും:

വ്യക്തമായ യൂലർ രീതി:

പരിഷ്കരിച്ച യൂലർ രീതി:

റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതി:

യൂലർ സർക്യൂട്ട്:

പരിഷ്കരിച്ച യൂലർ രീതി:

റൂഞ്ച് - കുട്ട സ്കീം:

പരമാവധി(y-y സിദ്ധാന്തം)=4*10 -5

ODE-യ്‌ക്കുള്ള അതിർത്തി മൂല്യ പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പരിമിതമായ വ്യത്യാസ രീതി

Cauchy പ്രശ്നം സജ്ജീകരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ: ഒരു ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക

അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു :. (2)

സിദ്ധാന്തം.അനുവദിക്കുക . അപ്പോൾ പ്രശ്നത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.

ഈ പ്രശ്നം കുറയ്ക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, അതിൻ്റെ അറ്റത്ത് ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ബീമിൻ്റെ വ്യതിചലനങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം.

പരിമിതമായ വ്യത്യാസ രീതിയുടെ പ്രധാന ഘട്ടങ്ങൾ:

1) ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ തുടർച്ചയായ മാറ്റത്തിൻ്റെ മേഖല () നോഡുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു പ്രത്യേക പോയിൻ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു: .

2) തുടർച്ചയായ ആർഗ്യുമെൻ്റ് x ൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ, തന്നിരിക്കുന്ന ഗ്രിഡിലെ ഡിസ്‌ക്രീറ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ഏകദേശം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അതായത്. . ഫംഗ്ഷനെ ഗ്രിഡ് ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

3) യഥാർത്ഥ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഗ്രിഡ് ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു വ്യത്യാസ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഈ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കലിനെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ഏകദേശം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് ഗ്രിഡ് നോഡുകളിലെ ഗ്രിഡ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു, അവ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു.

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഏകദേശ കണക്ക്.

ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഏകദേശം (മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ), നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാം:

- ശരിയായ വ്യത്യാസം ഡെറിവേറ്റീവ്,

- ഇടത് വ്യത്യാസം ഡെറിവേറ്റീവ്,

കേന്ദ്ര വ്യത്യാസം ഡെറിവേറ്റീവ്.

അതായത്, ഡെറിവേറ്റീവിനെ ഏകദേശം കണക്കാക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്.

ഈ നിർവചനങ്ങളെല്ലാം ഒരു പരിധി എന്ന നിലയിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയത്തിൽ നിന്നാണ് പിന്തുടരുന്നത്: .

ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഏകദേശ വ്യത്യാസത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ഏകദേശം നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം:

അതുപോലെ, ഉയർന്ന ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും.

നിർവ്വചനം. Nth ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഏകദേശ പിശക് വ്യത്യാസമാണ്: .

ഏകദേശ ക്രമം നിർണ്ണയിക്കാൻ, ടെയ്‌ലർ സീരീസ് വിപുലീകരണം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ വലത്-കൈ വ്യത്യാസം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം:

ആ. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ശരിയായ വ്യത്യാസം ആദ്യം എച്ച്ഏകദേശ ക്രമം.

ഇടത് വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും ഇത് ശരിയാണ്.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ കേന്ദ്ര വ്യത്യാസം ഉണ്ട് രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഏകദേശ കണക്ക്.

ഫോർമുല (3) അനുസരിച്ച് രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഏകദേശ കണക്കിന് ഏകദേശത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ക്രമവും ഉണ്ട്.

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഏകദേശമാക്കുന്നതിന്, അതിൻ്റെ എല്ലാ ഡെറിവേറ്റീവുകളും അവയുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് പ്രശ്നം (1), (2) പരിഗണിക്കാം (1) ലെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(4)

യഥാർത്ഥ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഏകദേശ ക്രമം 2 ആണ്, കാരണം രണ്ടാമത്തെയും ആദ്യത്തേയും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഓർഡർ 2 ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ബാക്കിയുള്ളവ - കൃത്യമായി.

അതിനാൽ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പകരം (1), (2), ഗ്രിഡ് നോഡുകളിൽ നിർണ്ണയത്തിനായി ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും.

ഡയഗ്രം ഇതുപോലെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

അതായത്, ഒരു മാട്രിക്സ് ഉള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു:

ഈ മാട്രിക്സ് ത്രികോണമാണ്, അതായത്. പ്രധാന ഡയഗണലിലും അതിനോട് ചേർന്നുള്ള രണ്ട് ഡയഗണലുകളിലും സ്ഥിതിചെയ്യാത്ത എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, യഥാർത്ഥ പ്രശ്നത്തിന് നമുക്ക് ഒരു പരിഹാരം ലഭിക്കും.

ലാബ് 1

സംഖ്യാ പരിഹാര രീതികൾ

സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ (4 മണിക്കൂർ)

ശാരീരികവും ജ്യാമിതീയവുമായ നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷൻ, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾ എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷൻ തിരയേണ്ടതുണ്ട്. ഈ അനുപാതത്തെ വിളിക്കുന്നു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം , ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിനെ വിളിക്കുന്നു ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു.

സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം സമത്വം വിളിച്ചു

, (1)

അതിൽ

ഒരു പ്രത്യേക സെഗ്മെൻ്റിൽ മാറുന്ന ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളാണ്, കൂടാതെ

- അജ്ഞാത പ്രവർത്തനം , x ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന ) അവളുടെ ആദ്യത്തേയും നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭാഗത്തിൽഡെറിവേറ്റീവുകൾ. വിളിച്ചു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ക്രമം .

സമത്വം (1) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ y കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതല. മാത്രമല്ല, ഇത് പ്രത്യേകം വ്യക്തമാക്കാതെ, ആവശ്യമുള്ള പരിഹാരത്തിന് ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു രീതിയുടെ നിർമ്മാണത്തിനും "നിയമപരമായ" പ്രയോഗത്തിനും ആവശ്യമായ ഒന്നോ അതിലധികമോ അളവിലുള്ള സുഗമമുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും.

രണ്ട് തരത്തിലുള്ള സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്

പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളില്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ

പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ.

പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളില്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ ഫോമിൻ്റെ (1) സമവാക്യങ്ങളാണ്.

പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളുമായുള്ള സമവാക്യംഫോമിൻ്റെ (1) ഒരു സമവാക്യമാണ്, അതിൽ അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്

, ഇത് ചിലർക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു:

ആ പോയിൻ്റിൽ

ഫംഗ്ഷനും അതിൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവുകളും മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ച മൂല്യങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്നു.

കോച്ചി പ്രശ്നങ്ങൾ

ഏകദേശ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ പഠിക്കുമ്പോൾ പ്രധാന ദൗത്യംഎണ്ണുന്നു കോച്ചി പ്രശ്നം.

കൗച്ചി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ രീതി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം - റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതി. ഈ രീതി നിങ്ങളെ ഏതാണ്ട് കൃത്യമായ ക്രമത്തിൻ്റെ ഏകദേശ പരിഹാരം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു.

നമുക്ക് രണ്ടാം ഓർഡർ കൃത്യതയുടെ റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതിയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു ടെയ്‌ലർ സീരീസിൻ്റെ ഒരു ഭാഗമായി പരിഹാരത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ ഉയർന്ന ഓർഡറുള്ള നിബന്ധനകൾ നിരസിക്കുന്നു. അപ്പോൾ പോയിൻ്റിൽ ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 1 ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

(2)

രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് , x "( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 ) ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാം എഫ് ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന , , x ) , എന്നിരുന്നാലും, രംഗെ-കുട്ട രീതിയിൽ, ഡെറിവേറ്റീവിന് പകരം, വ്യത്യാസം ഉപയോഗിക്കുന്നു

അതിനനുസരിച്ച് പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു

തുടർന്ന് (2) ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം:

, x 1 = , x 0 + എച്ച് [ β എഫ് ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 , , x 0 ) + α എഫ് ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 + γh , , x 0 + ഓ )], (3)

എവിടെ α , β , γ ഒപ്പം δ - ചില പാരാമീറ്ററുകൾ.

ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായി (3) ൻ്റെ വലതുവശം പരിഗണിക്കുന്നു എച്ച് , നമുക്ക് അതിനെ ഡിഗ്രികളായി വിഭജിക്കാം എച്ച് :

, x 1 = , x 0 +( α + β ) എച്ച് എഫ് ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 , , x 0 ) + ഓ 2 [ γ f x ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 , , x 0 ) + δ എഫ് വൈ ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 , , x 0 )],

കൂടാതെ പാരാമീറ്ററുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുക α , β , γ ഒപ്പം δ അതിനാൽ ഈ വികാസം (2) ന് അടുത്താണ്. അത് പിന്തുടരുന്നു

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 എഫ് ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 , , x 0 ).

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു β , γ ഒപ്പം δ പാരാമീറ്ററുകൾ വഴി α , നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

, x 1 = , x 0 + എച്ച് [(1 - α ) എഫ് ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 , , x 0 ) + α എഫ് ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 +, , x 0 + എഫ് ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 , , x 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

ഇപ്പോൾ, പകരം എങ്കിൽ ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 , , x 0 ) (4) പകരമായി ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 1 , , x 1 ), കണക്കുകൂട്ടുന്നതിനുള്ള ഒരു ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും , x 2 – പോയിൻ്റിൽ ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 2 .

പൊതുവേ, സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ പാർട്ടീഷനിൽ റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നു. [ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 0 , എക്സ് ] ഓൺ നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭാഗത്തിൽഭാഗങ്ങൾ, അതായത്. വേരിയബിൾ പിച്ച് ഉപയോഗിച്ച്

x 0, x 1, ..., x n; h i = x i+1 – x i , x n = X. (5)

ഓപ്ഷനുകൾ α 1 അല്ലെങ്കിൽ 0.5 ന് തുല്യമായി തിരഞ്ഞെടുത്തു. വേരിയബിൾ സ്റ്റെപ്പുകളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതിയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് അവസാനം എഴുതാം. α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , y i + f(x i, y i)), (6.1)

x = 0, 1,…, എൻ -1.

ഒപ്പം α =0,5:

y i+1 =y i +, (6.2)

x = 0, 1,…, നൽകിയിരിക്കുന്ന വിഭാഗത്തിൽ -1.

റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതിയുടെ ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഫോർമുലകൾ കൃത്യതയുടെ നാലാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങളാണ്:

y i+1 =y i + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 =f(x i, y i), k 2 = f(x i + , y i + k 1), (7)

k 3 = f(x i + , y i + k 2), k 4 = f(x i +h, y i +hk 3).

Runge-Kutta രീതിക്ക്, പിശക് കണക്കാക്കാൻ Runge നിയമം ബാധകമാണ്. അനുവദിക്കുക , x ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന ; എച്ച് ) - പോയിൻ്റിലെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന , സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ (6.1), (6.2) അല്ലെങ്കിൽ (7) ഘട്ടം ഉപയോഗിച്ച് ലഭിക്കും എച്ച് , എ പി – അനുബന്ധ ഫോർമുലയുടെ കൃത്യതയുടെ ക്രമം. പിന്നെ പിശക് ആർ ( എച്ച് ) മൂല്യങ്ങൾ , x ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന ; എച്ച് ) ഒരു ഏകദേശ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം , x ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന ; 2 എച്ച് ) ഒരു ഘട്ടത്തിൽ പരിഹാരങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന , ഇൻക്രിമെൻ്റിൽ ലഭിച്ചു 2 എച്ച് :

(8)

എവിടെ പി =2 ഫോർമുലകൾക്ക് (6.1), (6.2) ഒപ്പം പി =4 വേണ്ടി (7).

ആമുഖം

ശാസ്ത്ര, എഞ്ചിനീയറിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ചില ചലനാത്മക സംവിധാനങ്ങളെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി വിവരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിലാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത് ( DU) അല്ലെങ്കിൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ. മിക്കപ്പോഴും, രാസപ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും വിവിധ ട്രാൻസ്ഫർ പ്രതിഭാസങ്ങളുടെയും (താപം, പിണ്ഡം, ആക്കം) - താപ കൈമാറ്റം, മിശ്രിതം, ഉണക്കൽ, ആഗിരണം, മാക്രോ, മൈക്രോപാർട്ടിക്കിളുകളുടെ ചലനം വിവരിക്കുമ്പോൾ എന്നിവയുടെ ചലനാത്മകതയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഈ പ്രശ്നം ഉണ്ടാകുന്നു.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു രൂപത്തിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം. ഈ എഴുത്തിൻ്റെ രൂപത്തെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിച്ച സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് ഇല്ല):

ഒരു സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരം ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ y(x) ആണ്, അത് ഏതൊരു x നും ഒരു നിശ്ചിത പരിമിതമായ അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ ഇടവേളയിൽ ഈ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയെ ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചരിത്രപരമായി, ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ODE-നുള്ള കൗച്ചി പ്രശ്നം സംഖ്യാപരമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള ആദ്യത്തേതും ലളിതവുമായ മാർഗ്ഗം Euler രീതിയാണ്. ഒരു ഏകീകൃത ഗ്രിഡിൻ്റെ നോഡുകൾക്കിടയിലുള്ള ആശ്രിത (y), സ്വതന്ത്ര (x) വേരിയബിളുകളുടെ പരിമിതമായ ഇൻക്രിമെൻ്റുകളുടെ അനുപാതം വഴിയുള്ള ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഏകദേശത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഇത്:

ഇവിടെ y i+1 എന്നത് x i+1 എന്ന പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യമാണ്.

അവിഭാജ്യത്തെ ഏകദേശമാക്കാൻ കൂടുതൽ കൃത്യമായ ഒരു സംയോജന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, യൂലറുടെ രീതിയുടെ കൃത്യത മെച്ചപ്പെടുത്താൻ കഴിയും - ട്രപസോയ്ഡൽ ഫോർമുല.

കോഴ്‌സ് വർക്കിൻ്റെ ഘടന: കോഴ്‌സ് വർക്ക് മൂന്ന് ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ആദ്യ ഭാഗത്തിൽ രീതികളുടെ ഒരു ഹ്രസ്വ വിവരണം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ഭാഗത്ത്, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണവും പരിഹാരവും. മൂന്നാം ഭാഗത്ത് - കമ്പ്യൂട്ടർ ഭാഷയിൽ സോഫ്റ്റ്വെയർ നടപ്പിലാക്കൽ

കോഴ്‌സ് വർക്കിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം: ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ട് രീതികൾ പഠിക്കുക - യൂലർ-കൗച്ചി രീതിയും മെച്ചപ്പെട്ട യൂലർ രീതിയും.

1. സൈദ്ധാന്തിക ഭാഗം

സംഖ്യാപരമായ വ്യത്യാസം

ഒന്നോ അതിലധികമോ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അടങ്ങിയ ഒരു സമവാക്യമാണ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ച്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെ രണ്ട് വിഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ (ODE)

ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒന്നോ അതിലധികമോ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളാണ് സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. എന്ന് അവ എഴുതാം

സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ

സമവാക്യത്തിൽ (1) ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും ഉയർന്ന ക്രമത്തെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിക്കപ്പെട്ട ക്രമത്തിൻ്റെ സമവാക്യം (1) ആണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ (ലീനിയർ) ODE

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരം (1) എന്നത് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിന് ശേഷം അതിനെ ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറ്റുന്ന ഏതൊരു പ്രവർത്തനവുമാണ്.

ലീനിയർ ഒഡിഇയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രധാന പ്രശ്നം കാഷ പ്രശ്നം എന്നറിയപ്പെടുന്നു:

പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ രൂപത്തിൽ (2) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക (3)

ജ്യാമിതീയമായി, സമത്വം (2) തൃപ്‌തികരമാകുമ്പോൾ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഇൻ്റഗ്രൽ കർവ് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

കാഷ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്നുള്ള സംഖ്യാപരമായ അർത്ഥം: ഒരു നിശ്ചിത ഘട്ടത്തിൽ ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൽ സമവാക്യം (2) പ്രാരംഭ അവസ്ഥ (3) എന്നിവ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ഇടത് അറ്റത്ത് പ്രാരംഭ അവസ്ഥ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടെന്ന് സാധാരണയായി അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ സംഖ്യാ രീതി യൂലർ രീതിയാണ്. ഇത് ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഗ്രാഫിക്കായി ഒരു പരിഹാരം നിർമ്മിക്കുക എന്ന ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, എന്നാൽ ഈ രീതി സംഖ്യാ രൂപത്തിലോ പട്ടികയിലോ ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗവും നൽകുന്നു.

പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥയോടുകൂടിയ സമവാക്യം (2) നൽകട്ടെ, അതായത്, കാഷ പ്രശ്നം ഉന്നയിച്ചിരിക്കുന്നു. ആദ്യം താഴെ പറയുന്ന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം. വളരെ ചെറിയ ഘട്ടമായ ഒരു നിശ്ചിത ഘട്ടത്തിൽ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം ഏറ്റവും ലളിതമായ രീതിയിൽ കണ്ടെത്തുക. സമവാക്യം (2) പ്രാരംഭ അവസ്ഥയ്‌ക്കൊപ്പം (3) കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റിൽ ആവശ്യമുള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ കർവിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ദിശ വ്യക്തമാക്കുക

ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

ഈ സ്പർശനത്തിലൂടെ നീങ്ങുമ്പോൾ, പോയിൻ്റിൽ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഒരു പോയിൻ്റിൽ ഒരു ഏകദേശ പരിഹാരം ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് വിവരിച്ച നടപടിക്രമം ആവർത്തിക്കാം: ഒരു കോണീയ ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കുക, അതിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റിലെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

. പോയിൻ്റ് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭ്യമല്ലാത്തതിനാൽ, ഈ രേഖ യഥാർത്ഥ ഇൻ്റഗ്രൽ കർവിലേക്ക് സ്പർശിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, പക്ഷേ അത് ആവശ്യത്തിന് ചെറുതാണെങ്കിൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഏകദേശ മൂല്യങ്ങൾ പരിഹാരത്തിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യങ്ങൾക്ക് അടുത്തായിരിക്കും.

ഈ ആശയം തുടരുന്നതിലൂടെ, തുല്യ അകലത്തിലുള്ള പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നിർമ്മിക്കാം

ആവശ്യമായ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക നേടുന്നു

ഫോർമുല ചാക്രികമായി പ്രയോഗിക്കുന്നതാണ് യൂലറുടെ രീതി

ചിത്രം 1. യൂലറുടെ രീതിയുടെ ഗ്രാഫിക്കൽ വ്യാഖ്യാനം

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംഖ്യാ സംയോജനത്തിനുള്ള രീതികൾ, അതിൽ ഒരു നോഡിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു, ഘട്ടം ഘട്ടമായി വിളിക്കുന്നു. ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള രീതികളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രതിനിധിയാണ് യൂലറുടെ രീതി. ഏതൊരു ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള രീതിയുടെയും ഒരു സവിശേഷത, രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടം മുതൽ, ഫോർമുലയിലെ (5) പ്രാരംഭ മൂല്യം തന്നെ ഏകദേശമാണ്, അതായത്, തുടർന്നുള്ള ഓരോ ഘട്ടത്തിലെയും പിശക് വ്യവസ്ഥാപിതമായി വർദ്ധിക്കുന്നു. ODE-കളുടെ ഏകദേശ സംഖ്യാ പരിഹാരത്തിനായി ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള രീതികളുടെ കൃത്യത വിലയിരുത്തുന്നതിന് ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതി, തന്നിരിക്കുന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിനെ ഒരു ഘട്ടത്തിലൂടെയും ഒരു ഘട്ടത്തിലൂടെയും രണ്ട് തവണ കടന്നുപോകുന്ന രീതിയാണ്.

1.1 മെച്ചപ്പെടുത്തിയ യൂലർ രീതി

ഈ രീതിയുടെ പ്രധാന ആശയം: ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം, അതായത്, സെഗ്‌മെൻ്റിലെ അവിഭാജ്യ വക്രത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന നേർരേഖയുടെ കോണീയ ഗുണകം കണക്കാക്കിയില്ലെങ്കിൽ, ഫോർമുല (5) കണക്കാക്കിയ അടുത്ത മൂല്യം കൂടുതൽ കൃത്യതയുള്ളതായിരിക്കും. ഇടത് അരികിൽ (അതായത്, പോയിൻ്റിൽ), എന്നാൽ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്ത്. എന്നാൽ പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ കേന്ദ്രത്തോടുകൂടിയ ഇരട്ട വിഭാഗങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു, അതിൽ പോയിൻ്റ് ആണ്, കൂടാതെ നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു:

ഫോർമുല (5) ഫോം എടുക്കുന്നു

ഫോർമുല (7) ന് വേണ്ടി മാത്രം പ്രയോഗിക്കുന്നു, അതിനാൽ അതിൽ നിന്ന് മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കില്ല, അതിനാൽ അവ യൂലറുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു, കൂടുതൽ കൃത്യമായ ഫലം ലഭിക്കുന്നതിന് അവർ ഇത് ചെയ്യുന്നു: തുടക്കം മുതൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് (5) അവർ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നു

(8)

ഘട്ടങ്ങളുള്ള സൂത്രവാക്യം (7) അനുസരിച്ച് പോയിൻ്റിൽ തുടർന്ന് കണ്ടെത്തി

(9)

ഒരിക്കൽ കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കണ്ടെത്തി ഫോർമുല (7) പ്രകാരം നിർമ്മിച്ചത്

ഡിപ്പാർട്ട്മെൻ്റ് ഓഫ് ഫിസിക്കൽ കെമിസ്ട്രി SFU (RSU)
സംഖ്യാ രീതികളും പ്രോഗ്രാമിംഗും
ലക്ചർ കോഴ്സിനുള്ള മെറ്റീരിയലുകൾ
ലക്ചറർ - കല. റവ. ഷെർബാക്കോവ് I.N.

സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന

സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യംആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ y(x) ൻ്റെ ഒന്നോ അതിലധികമോ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യമാണ് n-ആം ഓർഡറിൻ്റെ (ODE):

ഇവിടെ y(n)ചില ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ n എന്ന ക്രമത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു y(x), x എന്നത് ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളാണ്.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു രൂപത്തിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം. നൊട്ടേഷൻ്റെ ഈ രൂപത്തെ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിച്ചു(ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് ഇല്ല):

ഈ രീതിയിലുള്ള റെക്കോർഡിംഗാണ് അംഗീകരിക്കപ്പെടുന്നത് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ODE-കൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സംഖ്യാ രീതികൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ.

ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം y(x) ഫംഗ്‌ഷനുമായും അതിൻ്റെ എല്ലാ ഡെറിവേറ്റീവുകളുമായും ബന്ധപ്പെട്ട് രേഖീയമായ ഒരു സമവാക്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഓർഡറുകളുടെ ലീനിയർ ODE-കൾ ചുവടെയുണ്ട്

ഒരു സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നുഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ y(x) ആണ്, ഏതൊരു x നും, ഒരു നിശ്ചിത പരിമിതമായ അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ ഇടവേളയിൽ ഈ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം സമന്വയിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ.

ODE യുടെ പൊതുവായ പരിഹാരം N-ആം ക്രമത്തിൽ n അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ C 1, C 2, ..., C n എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു

അനിശ്ചിത സംയോജനം ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിനും സംയോജനത്തിൻ്റെ സ്ഥിരാങ്കത്തിനും തുല്യമാണ് എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് ഇത് വ്യക്തമായി പിന്തുടരുന്നു.

n-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ n സംയോജനം ആവശ്യമായതിനാൽ, പൊതു പരിഹാരത്തിൽ n സംയോജന സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു.

സ്വകാര്യ പരിഹാരംചില അധിക വ്യവസ്ഥകൾ നിർവചിച്ച് സംയോജനത്തിൻ്റെ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾക്ക് ചില മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയാൽ ODE പൊതുവായതിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും, അവയുടെ എണ്ണം എല്ലാ അനിശ്ചിതത്വ കോൺസ്റ്റൻ്റുകളും കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

കൃത്യമായ (വിശകലന) പരിഹാരം ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ (പൊതുവായതോ പ്രത്യേകമായതോ) എന്നത് പ്രാഥമിക ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ആവശ്യമുള്ള പരിഹാരം (ഫംഗ്ഷൻ y(x)) നേടുന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പോലും ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല.

സംഖ്യാപരമായ പരിഹാരം ഒരു നിശ്ചിത സെഗ്‌മെൻ്റിൽ കിടക്കുന്ന ചില പോയിൻ്റുകളിൽ y(x) ഫംഗ്‌ഷനും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും കണക്കാക്കുന്നത് DE (ക്വട്ടേഷൻ) ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അതായത്, വാസ്തവത്തിൽ, ഫോമിൻ്റെ n-ആം-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളുടെ പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ ലഭിക്കും (ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ നിര കണക്കാക്കുന്നത് മൂല്യങ്ങളെ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ടാണ്. സമവാക്യം):

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്, പരിഹാര പട്ടികയിൽ രണ്ട് നിരകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും - x, y എന്നിവ.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്ന abscissa മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ വിളിക്കുന്നു മെഷ്, ഇതിൽ y(x) ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. കോർഡിനേറ്റുകൾ തന്നെ വിളിക്കുന്നു ഗ്രിഡ് നോഡുകൾ. മിക്കപ്പോഴും, സൗകര്യാർത്ഥം, അവ ഉപയോഗിക്കുന്നു യൂണിഫോം ഗ്രിഡുകൾ, അതിൽ അയൽ നോഡുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം സ്ഥിരമായതും വിളിക്കപ്പെടുന്നതുമാണ് ഗ്രിഡ് സ്പേസിംഗ്അല്ലെങ്കിൽ സംയോജന ഘട്ടംഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം

അല്ലെങ്കിൽ, x= 1,…, എൻ

നിർണ്ണയിക്കാൻ സ്വകാര്യ പരിഹാരംസംയോജന സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന അധിക വ്യവസ്ഥകൾ സജ്ജീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. മാത്രമല്ല, അത്തരം വ്യവസ്ഥകൾ കൃത്യമായി ഉണ്ടായിരിക്കണം. ആദ്യ ക്രമ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് - ഒന്ന്, രണ്ടാമത്തേതിന് - 2, മുതലായവ. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അവ വ്യക്തമാക്കുന്ന രീതിയെ ആശ്രയിച്ച്, മൂന്ന് തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ട്:

· കോച്ചി പ്രശ്നം (പ്രാരംഭ പ്രശ്നം): ഇതുപോലെ ഒന്ന് കണ്ടുപിടിക്കണം സ്വകാര്യ പരിഹാരംചിലതിനെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഒരു ഘട്ടത്തിൽ വ്യക്തമാക്കിയ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ:

അതായത്, സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ (x 0) ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യവും, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യവും അതിൻ്റെ എല്ലാ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഈ ഘട്ടത്തിൽ (n-1) ക്രമം വരെ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റ് (x 0) എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രാഥമിക. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു 1st ഓർഡർ DE പരിഹരിക്കപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഒരു ജോടി സംഖ്യകളായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു (x 0 , y 0)

പരിഹരിക്കപ്പെടുമ്പോൾ ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നം സംഭവിക്കുന്നു ODE, ഉദാഹരണത്തിന്, രാസപ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ചലനാത്മകത വിവരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമയത്തിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷത്തിലെ പദാർത്ഥങ്ങളുടെ സാന്ദ്രത അറിയപ്പെടുന്നു ( t = 0), കൂടാതെ ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിനുശേഷം പദാർത്ഥങ്ങളുടെ സാന്ദ്രത കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് ( ടി) ഒരു ഉദാഹരണമായി, താപ കൈമാറ്റം അല്ലെങ്കിൽ ബഹുജന കൈമാറ്റം (ഡിഫ്യൂഷൻ), ശക്തികളുടെ സ്വാധീനത്തിലുള്ള ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റിൻ്റെ ചലനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം മുതലായവയും നമുക്ക് ഉദ്ധരിക്കാം.

· അതിർത്തി മൂല്യ പ്രശ്നം . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളും (അല്ലെങ്കിൽ) അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഒന്നിലധികം പോയിൻ്റുകളിൽ അറിയപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രാരംഭ, അവസാന സമയങ്ങളിൽ, ഇവ തമ്മിലുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. പോയിൻ്റുകൾ. ഈ കേസിൽ അധിക വ്യവസ്ഥകൾ തന്നെ വിളിക്കുന്നു പ്രാദേശിക (അതിർത്തിരേഖ) വ്യവസ്ഥകൾ. സ്വാഭാവികമായും, കുറഞ്ഞത് 2nd ഓർഡറിൻ്റെ ODE-കൾക്കായി അതിർത്തി മൂല്യ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകളുള്ള ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ ODE യുടെ ഒരു ഉദാഹരണം ചുവടെയുണ്ട് (രണ്ട് വ്യത്യസ്ത പോയിൻ്റുകളിലെ പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു):

· Sturm-Liouville പ്രശ്നം (eigenvalue പ്രശ്നം). ഈ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ അതിർത്തി മൂല്യ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് സമാനമാണ്. അവ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഏതെങ്കിലും പാരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിലാണ് പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് DUഓരോ പരാമീറ്റർ മൂല്യത്തിനും (eigenfunctions) DE യുടെ പരിഹാരമായ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകളും (eigenvalues) ഫംഗ്‌ഷനുകളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സിലെ പല പ്രശ്നങ്ങളും ഈജൻവാല്യൂ പ്രശ്നങ്ങളാണ്.

ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ODE-യുടെ Cauchy പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സംഖ്യാ രീതികൾ

പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ചില സംഖ്യാ രീതികൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം കോച്ചി പ്രശ്നങ്ങൾ(പ്രാരംഭ പ്രശ്നം) ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

(6.2)

ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിച്ച ഈ സമവാക്യം നമുക്ക് പൊതുവായ രൂപത്തിൽ എഴുതാം (സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗം ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല):

പ്രാരംഭ മൂല്യങ്ങൾ അറിയാമെങ്കിൽ ഗ്രിഡിൻ്റെ തന്നിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിൽ y ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അവിടെ പ്രാരംഭ പോയിൻ്റിൽ y (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം x 0 ആണ്.

d x കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം

(6.3)

i-th, i+ 1st ഗ്രിഡ് നോഡുകൾക്കിടയിൽ ഞങ്ങൾ ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നു.

i-th ഗ്രിഡ് നോഡിലെ x, y മൂല്യങ്ങളിലൂടെ i+1 ഇൻ്റഗ്രേഷൻ നോഡിൽ ഒരു പരിഹാരം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, ബുദ്ധിമുട്ട്, വലതുവശത്തുള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ ഒരു പരോക്ഷമായി നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു അവിഭാജ്യഘടകമാണ്, അത് വിശകലന രൂപത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ പൊതുവെ അസാധ്യമാണ്. ODE-കളുടെ സംഖ്യാ സംയോജനത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഈ അവിഭാജ്യ മൂല്യത്തിൻ്റെ ഏകദേശ (ഏകദേശം) മൂല്യം വിവിധ രീതികളിൽ ODE-കൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സംഖ്യാ രീതികൾ.

ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ODE-കൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനായി വികസിപ്പിച്ച നിരവധി രീതികളിൽ, ഞങ്ങൾ രീതികൾ പരിഗണിക്കുന്നു , കൂടാതെ . അവ വളരെ ലളിതവും ഒരു സംഖ്യാപരമായ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സമീപനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പ്രാരംഭ ആശയം നൽകുന്നു.

യൂലർ രീതി , xചരിത്രപരമായി, ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ODE-കൾക്കുള്ള കൗച്ചി പ്രശ്നം സംഖ്യാപരമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള ആദ്യത്തേതും ലളിതവുമായ മാർഗ്ഗം യൂലർ രീതിയാണ്. ഇത് ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ പരിമിതമായ ഇൻക്രിമെൻ്റുകളുടെ അനുപാതം വഴിയുള്ള ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഏകദേശത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ( പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന) കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര (

) യൂണിഫോം ഗ്രിഡിൻ്റെ നോഡുകൾക്കിടയിലുള്ള വേരിയബിളുകൾ:

ഇവിടെ y i+1 എന്നത് x i+1 എന്ന പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യമാണ്. നമ്മൾ ഇപ്പോൾ ഈ സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ഇൻ്റഗ്രേഷൻ ഗ്രിഡിൻ്റെ ഏകീകൃതത കണക്കിലെടുക്കുകയും ചെയ്താൽ, നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ആവർത്തന ഫോർമുല ലഭിക്കും. y i+1

, x i എന്ന പോയിൻ്റിൽ y i അറിയാമെങ്കിൽ:

നേരത്തെ ലഭിച്ച പൊതു പദപ്രയോഗവുമായി യൂലറുടെ സൂത്രവാക്യം താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഏകദേശം കണക്കാക്കാൻ, യൂലറുടെ രീതി ഏറ്റവും ലളിതമായ സംയോജന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു - സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ഇടത് അരികിലുള്ള ദീർഘചതുരങ്ങളുടെ ഫോർമുല.

യൂലറുടെ രീതിയുടെ ഗ്രാഫിക്കൽ വ്യാഖ്യാനവും എളുപ്പമാണ് (ചുവടെയുള്ള ചിത്രം കാണുക). തീർച്ചയായും, പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന () സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, മൂല്യം x=x i - എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള y(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യമാണ്, അതിനാൽ, അതിൻ്റെ ടാൻജൻ്റിന് തുല്യമാണ്. x =x i എന്ന പോയിൻ്റിലെ y(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജെൻ്റ് കോൺ.

ഇവിടെ നിന്നാണ് യൂലറുടെ ഫോർമുല വരുന്നത്. അതിനാൽ, ഏകീകരണ വിഭാഗത്തിലെ y(x) ഫംഗ്‌ഷൻ x=x i പോയിൻ്റിലെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു നേർരേഖ ടാൻജൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക എന്നതാണ് യൂലറുടെ രീതിയുടെ സാരം. ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ ഇൻ്റഗ്രേഷൻ സെഗ്‌മെൻ്റിലെ ലീനിയറിൽ നിന്ന് വളരെ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടൽ പിശക് പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നു. യൂലർ രീതിയുടെ പിശക് സംയോജന ഘട്ടത്തിന് നേരിട്ട് ആനുപാതികമാണ്:

പിശക്~h

കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രക്രിയ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾക്കായി x 0ഒപ്പം y 0കണക്കാക്കാം

അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക y (x) ഒരു നിശ്ചിത ഘട്ടത്തിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു ( എച്ച്) വഴി പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവനസെഗ്മെൻ്റിൽ. മൂല്യം നിർവചിക്കുന്നതിൽ പിശക് y(x i) എച്ച്ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തിരഞ്ഞെടുത്ത സ്റ്റെപ്പ് നീളം ചെറുതായിരിക്കും, അത് ചെറുതായിരിക്കും

(ഇത് ഏകീകരണ ഫോർമുലയുടെ കൃത്യതയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു).

വലിയ h ന്, Euler ൻ്റെ രീതി വളരെ കൃത്യമല്ല. സംയോജന ഘട്ടം കുറയുന്നതിനനുസരിച്ച് ഇത് കൂടുതൽ കൃത്യമായ ഏകദേശം നൽകുന്നു. സെഗ്‌മെൻ്റ് വളരെ വലുതാണെങ്കിൽ, ഓരോ വിഭാഗവും N ഇൻ്റഗ്രേഷൻ സെഗ്‌മെൻ്റുകളായി വിഭജിക്കുകയും അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഒരു ചുവട് ഉപയോഗിച്ച് യൂലർ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, അതായത്, ഇൻ്റഗ്രേഷൻ ഘട്ടം h എടുക്കുന്നത് ഗ്രിഡിൻ്റെ ഘട്ടത്തേക്കാൾ കുറവാണ്. നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം:

Euler's രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന Cauchy പ്രശ്നത്തിന് ഏകദേശ പരിഹാരം നിർമ്മിക്കുക:

ഇടവേളയിൽ (6.5) 0.1 ചുവടുള്ള ഗ്രിഡിൽ

പരിഹാരം:

ഈ സമവാക്യം ഇതിനകം സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിൽ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്, ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിച്ചു.

അതിനാൽ, പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യത്തിനായി നമുക്കുണ്ട്

ഗ്രിഡ് സ്റ്റെപ്പ് h = 0.1 ന് തുല്യമായ സംയോജന ഘട്ടം നമുക്ക് എടുക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഓരോ ഗ്രിഡ് നോഡിനും ഒരു മൂല്യം മാത്രമേ കണക്കാക്കൂ (N=1). ആദ്യത്തെ നാല് ഗ്രിഡ് നോഡുകൾക്ക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇപ്രകാരമായിരിക്കും: .

പൂർണ്ണ ഫലങ്ങൾ (അഞ്ചാം ദശാംശസ്ഥാനം വരെ കൃത്യതയുള്ളത്) മൂന്നാം നിരയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു - h =0.1 (N =1). താരതമ്യത്തിനായി, പട്ടികയുടെ രണ്ടാമത്തെ നിര ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിശകലന പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ മൂല്യങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു.

ലഭിച്ച പരിഹാരങ്ങളുടെ ആപേക്ഷിക പിശക് പട്ടികയുടെ രണ്ടാം ഭാഗം കാണിക്കുന്നു. h =0.1-ൽ പിശക് വളരെ വലുതാണെന്ന് കാണാം, ആദ്യത്തെ നോഡിന് x =0.1-ന് 100% എത്തുന്നു.

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന	പട്ടിക 1 യൂലർ രീതിയിലുള്ള സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം (നിരകൾക്കായി, ഗ്രിഡ് നോഡുകൾക്കിടയിലുള്ള സംയോജന ഘട്ടവും സംയോജന സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ N എണ്ണവും സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു) കൃത്യമാണ്	0,1	0,05	0,025	0,00625	0,0015625	0,0007813	0,0001953
പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന		1	2	4	16	64	128	512
0	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000
0,1	0,004837	0,000000	0,002500	0,003688	0,004554	0,004767	0,004802	0,004829
0,2	0,018731	0,010000	0,014506	0,016652	0,018217	0,018603	0,018667	0,018715
0,3	0,040818	0,029000	0,035092	0,037998	0,040121	0,040644	0,040731	0,040797
0,4	0,070320	0,056100	0,063420	0,066920	0,069479	0,070110	0,070215	0,070294
0,5	0,106531	0,090490	0,098737	0,102688	0,105580	0,106294	0,106412	0,106501
0,6	0,148812	0,131441	0,140360	0,144642	0,147779	0,148554	0,148683	0,148779
0,7	0,196585	0,178297	0,187675	0,192186	0,195496	0,196314	0,196449	0,196551
0,8	0,249329	0,230467	0,240127	0,244783	0,248202	0,249048	0,249188	0,249294
0,9	0,306570	0,287420	0,297214	0,301945	0,305423	0,306284	0,306427	0,306534
1	0,367879	0,348678	0,358486	0,363232	0,366727	0,367592	0,367736	0,367844
പരിഹാരം
പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന	എച്ച്	0,1	0,05	0,025	0,00625	0,0015625	0,0007813	0,0001953
പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന	വ്യത്യസ്ത h നായി കണക്കാക്കിയ ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ ആപേക്ഷിക പിശകുകൾ	1	2	4	16	64	128	512
0,1		100,00%	48,32%	23,76%	5,87%	1,46%	0,73%	0,18%
0,2		46,61%	22,55%	11,10%	2,74%	0,68%	0,34%	0,09%
0,3		28,95%	14,03%	6,91%	1,71%	0,43%	0,21%	0,05%
0,4		20,22%	9,81%	4,83%	1,20%	0,30%	0,15%	0,04%
0,5		15,06%	7,32%	3,61%	0,89%	0,22%	0,11%	0,03%
0,6		11,67%	5,68%	2,80%	0,69%	0,17%	0,09%	0,02%
0,7		9,30%	4,53%	2,24%	0,55%	0,14%	0,07%	0,02%
0,8		7,57%	3,69%	1,82%	0,45%	0,11%	0,06%	0,01%
0,9		6,25%	3,05%	1,51%	0,37%	0,09%	0,05%	0,01%
1		5,22%	2,55%	1,26%	0,31%	0,08%	0,04%	0,01%

എൻ

(6.6)

ഈ സൂത്രവാക്യം y i+1 (ഈ മൂല്യം എക്‌സ്‌പ്രഷൻ്റെ ഇടത്തും വലത്തും ഉള്ളതാണ്), അതായത്, ഇത് y i+1 നെ സംബന്ധിച്ച ഒരു സമവാക്യമാണ്, അത് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യാപരമായി, ചില ആവർത്തന രീതി ഉപയോഗിച്ച് (അത്തരമൊരു രൂപത്തിൽ, ഇത് ലളിതമായ ആവർത്തന രീതിയുടെ ഒരു ആവർത്തന ഫോർമുലയായി കണക്കാക്കാം). എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് വ്യത്യസ്തമായി ചെയ്യാൻ കഴിയും ഏകദേശംഒരു നോഡിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക i+1സാധാരണ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്:

അത് (6.6) അനുസരിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലിൽ ഉപയോഗിക്കാം.

ഇത് രീതി നൽകുന്നു ഗുണഅല്ലെങ്കിൽ വീണ്ടും കണക്കുകൂട്ടലോടുകൂടിയ യൂലറുടെ രീതി. ഓരോ ഏകീകരണ നോഡിനും ഇനിപ്പറയുന്ന കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ശൃംഖല നടത്തുന്നു

(6.7)

കൂടുതൽ കൃത്യമായ ഏകീകരണ ഫോർമുലയ്ക്ക് നന്ദി, ഹ്യൂൺ രീതിയുടെ പിശക് സംയോജന ഘട്ടത്തിൻ്റെ ചതുരത്തിന് ആനുപാതികമാണ്.

പിശക്~ h 2

ഗൂണിൻ്റെ രീതിയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന സമീപനം രീതികൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ നിർമ്മിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു പ്രവചനവും തിരുത്തലും, അത് പിന്നീട് ചർച്ച ചെയ്യും.

ഹ്യൂണിൻ്റെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം () യുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താം.

ആദ്യ ഗ്രിഡ് നോഡ് x 1-ൽ h =0.1 എന്ന സംയോജന ഘട്ടത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഒരേ ഏകീകരണ ഘട്ടത്തിൽ യൂലർ രീതി നേടിയ മൂല്യങ്ങളേക്കാൾ വളരെ കൃത്യമാണ്. Euler, Gün രീതികളുടെ h = 0.1 എന്നതിനായുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ താരതമ്യ ഫലങ്ങൾ ചുവടെയുള്ള പട്ടിക 2 കാണിക്കുന്നു.

പട്ടിക 2 യൂലർ, ഗൺ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന	കൃത്യമാണ്	ഗൂണിൻ്റെ രീതി		യൂലർ രീതി
പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന	കൃത്യമാണ്	, x	rel. പിശക്	, x	rel. പിശക്
0	0,000000	0,00000		0,00000
0,1	0,004837	0,00500	3,36%	0,00000	100,00%
0,2	0,018731	0,01903	1,57%	0,01000	46,61%
0,3	0,040818	0,04122	0,98%	0,02900	28,95%
0,4	0,070320	0,07080	0,69%	0,05610	20,22%
0,5	0,106531	0,10708	0,51%	0,09049	15,06%
0,6	0,148812	0,14940	0,40%	0,13144	11,67%
0,7	0,196585	0,19721	0,32%	0,17830	9,30%
0,8	0,249329	0,24998	0,26%	0,23047	7,57%
0,9	0,306570	0,30723	0,21%	0,28742	6,25%
1	0,367879	0,36854	0,18%	0,34868	5,22%

യൂലർ രീതിയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ Hün രീതിയുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കൃത്യതയിൽ ഗണ്യമായ വർദ്ധനവ് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. അങ്ങനെ, നോഡ് x =0.1 ന്, ഹ്യൂയിൻ്റെ രീതി നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യത്തിൻ്റെ ആപേക്ഷിക വ്യതിയാനം 30 (!) മടങ്ങ് കുറവാണ്. Euler's ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അതേ കൃത്യത N യുടെ ഏകീകരണ സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ എണ്ണം ഏകദേശം 30 ആയിരിക്കുമ്പോൾ കൈവരുന്നു. തൽഫലമായി, Hün രീതി കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അതേ കൃത്യതയോടെ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, Euler രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനേക്കാൾ ഏകദേശം 15 മടങ്ങ് കുറവ് കമ്പ്യൂട്ടർ സമയമെടുക്കും. .

പരിഹാരത്തിൻ്റെ സ്ഥിരത പരിശോധിക്കുന്നു

ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തിയാൽ x i ചില ഘട്ടത്തിൽ ODE-യിലേക്കുള്ള ഒരു പരിഹാരത്തെ സ്ഥിരത എന്ന് വിളിക്കുന്നു വൈ ഐസംയോജന ഘട്ടം കുറയുന്നതിനനുസരിച്ച് ചെറിയ മാറ്റങ്ങൾ സംഭവിക്കുന്നു. സ്ഥിരത പരിശോധിക്കുന്നതിന്, മൂല്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് ( വൈ ഐ) - ഇൻ്റഗ്രേഷൻ സ്റ്റെപ്പ് h ഒപ്പം കുറച്ച (ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട്) സ്റ്റെപ്പ് സൈസ്

ഒരു സ്ഥിരത മാനദണ്ഡമെന്ന നിലയിൽ, ഏകീകരണ ഘട്ടം കുറയുമ്പോൾ ലഭിച്ച പരിഹാരത്തിലെ ആപേക്ഷിക മാറ്റത്തിൻ്റെ ചെറുത് നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം (ε എന്നത് മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള ഒരു ചെറിയ മൂല്യമാണ്)

മൂല്യങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ശ്രേണിയിലും ഉള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങൾക്കും ഈ പരിശോധന നടത്താവുന്നതാണ് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന. വ്യവസ്ഥ പാലിച്ചില്ലെങ്കിൽ, ഘട്ടം വീണ്ടും പകുതിയായി വിഭജിക്കുകയും ഒരു പുതിയ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. സ്ഥിരമായ ഒരു പരിഹാരം ലഭിക്കുന്നതുവരെ.

റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതികൾ

എക്‌സ്‌പ്രഷനിലെ ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ കൃത്യത വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ODE പരിഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ കൃത്യതയിൽ കൂടുതൽ മെച്ചപ്പെടുത്തൽ സാധ്യമാണ്.

ഈ ഇൻ്റഗ്രൽ ഏകദേശം കണക്കാക്കുമ്പോൾ ദീർഘചതുരം ഫോർമുല () ഉപയോഗിച്ച് സമന്വയിപ്പിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ട്രപസോയിഡ് ഫോർമുല () ഉപയോഗിക്കുന്നതിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിൻ്റെ പ്രയോജനം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടു.

നന്നായി തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിംപ്‌സൺ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ODE-യ്‌ക്കായുള്ള കൗച്ചി പ്രശ്‌നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കൂടുതൽ കൃത്യമായ ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും - കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് പരിശീലനത്തിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന റൂഞ്ച്-കുട്ട രീതി.

ODE-കൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആഡംസിൻ്റെ മൾട്ടി-സ്റ്റെപ്പ് രീതികളുടെ പ്രയോജനം, ഓരോ നോഡിലും ODE-യുടെ വലതുവശത്തുള്ള ഒരു മൂല്യം മാത്രമേ കണക്കാക്കൂ - ഫംഗ്ഷൻ F(x,y). കെ-സ്റ്റെപ്പ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് k നോഡുകളിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമായതിനാൽ, ഒരൊറ്റ ആരംഭ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു മൾട്ടി-സ്റ്റെപ്പ് രീതി ആരംഭിക്കുന്നതിനുള്ള അസാധ്യതയാണ് പോരായ്മകളിൽ ഉൾപ്പെടുന്നത്. അതിനാൽ, ആദ്യ നോഡുകളിൽ x 1 , x 2 , ..., x k-1 എന്നിവയിൽ ചില ഒറ്റ-ഘട്ട രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു (k-1) പരിഹാരം നേടേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന് രീതി