അത് തെളിയിക്കുക. Sine (sin x), cosine (cos x) - പ്രോപ്പർട്ടികൾ, ഗ്രാഫുകൾ, ഫോർമുലകൾ. കോസൈൻ കണക്കാക്കാതെ കോണിൻ്റെ തരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

ഒരു ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു എ.
α - റേഡിയനിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന കോൺ.

നിർവ്വചനം
സൈൻ (sin α)ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോട്ടെനസിനും കാലിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ α അനുസരിച്ചുള്ള ഒരു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ്, എതിർ കാലിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ് |BC| ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ നീളം വരെ |AC|.

കോസൈൻ (കോസ് α)ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെനസിനും കാലിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ α അനുസരിച്ചുള്ള ഒരു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനമാണ്, തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ് |AB| ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ നീളം വരെ |AC|.

സ്വീകരിച്ച നൊട്ടേഷനുകൾ

;
;
.

;
;
.

സൈൻ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്, y = sin x

കോസൈൻ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്, y = cos x

സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ആനുകാലികത

ഫംഗ്‌ഷനുകൾ y = പാപം xഒപ്പം y = cos xകാലയളവിനൊപ്പം ആനുകാലികം 2π.

സമത്വം

സൈനിൻ്റെ പ്രവർത്തനം വിചിത്രമാണ്. കോസൈൻ പ്രവർത്തനം തുല്യമാണ്.

നിർവചനത്തിൻ്റെയും മൂല്യങ്ങളുടെയും ഡൊമെയ്ൻ, തീവ്രത, വർദ്ധനവ്, കുറയ്ക്കൽ

സൈൻ, കോസൈൻ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ അവയുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ തുടർച്ചയായതാണ്, അതായത്, എല്ലാ x-നും (തുടർച്ചയുടെ തെളിവ് കാണുക). അവയുടെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (n - പൂർണ്ണസംഖ്യ).

	y= പാപം x	y= cos x
വ്യാപ്തിയും തുടർച്ചയും	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന
അവരോഹണം
മാക്സിമ, y = 1
മിനിമ, y = - 1
പൂജ്യങ്ങൾ, y = 0
x = ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷം ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റുകൾ തടസ്സപ്പെടുത്തുക 0	y= 0	y= 1

അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക

തുകയിൽ നിന്നും വ്യത്യാസത്തിൽ നിന്നും സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

;
;

സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

തുകയും വ്യത്യാസവും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

കോസൈനിലൂടെ സൈൻ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു

;
;
;
.

സൈനിലൂടെ കോസൈൻ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു

;
;
;
.

സ്പർശനത്തിലൂടെയുള്ള ആവിഷ്കാരം

; .

എപ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:
; .

ഇവിടെ:
; .

സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും ടേബിൾ, ടാൻജൻ്റുകൾ, കോട്ടാൻജെൻ്റുകൾ

ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ചില മൂല്യങ്ങൾക്കായി സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ ഈ പട്ടിക കാണിക്കുന്നു.

സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളുകളിലൂടെയുള്ള പ്രകടനങ്ങൾ

;

യൂലറുടെ സൂത്രവാക്യം

ഹൈപ്പർബോളിക് ഫംഗ്ഷനുകളിലൂടെയുള്ള പ്രകടനങ്ങൾ

;
;

ഡെറിവേറ്റീവുകൾ

; . സൂത്രവാക്യങ്ങൾ >>>

nth ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ:
{ -∞ < x < +∞ }

സെക്കൻ്റ്, കോസെക്കൻ്റ്

വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾ

സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾ യഥാക്രമം ആർക്സൈൻ, ആർക്കോസൈൻ എന്നിവയാണ്.

ആർക്‌സിൻ, ആർക്‌സിൻ

ആർക്കോസിൻ, ആർക്കോസ്

റഫറൻസുകൾ:
ഐ.എൻ. ബ്രോൺസ്റ്റീൻ, കെ.എ. സെമെൻഡയേവ്, എഞ്ചിനീയർമാർക്കും കോളേജ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ കൈപ്പുസ്തകം, "ലാൻ", 2009.

അനിയന്ത്രിതമായ ഒരു ത്രികോണത്തിനായുള്ള പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പൊതുവൽക്കരണമാണ് കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന

a,b,c എന്നീ വശങ്ങളുള്ള ഒരു തലം ത്രികോണത്തിന്, a വശത്തിന് എതിർവശം α, ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധം ശരിയാണ്:

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഉപയോഗപ്രദമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

മുകളിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശം രണ്ട് വശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും മാത്രമല്ല, ത്രികോണത്തിൻ്റെ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും വലുപ്പങ്ങൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, എല്ലാ കോസൈനുകളും നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും. കോണുകൾ, കൂടാതെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും കോണിൻ്റെ വലിപ്പവും കണക്കാക്കുക. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും കോണിനെ അതിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുന്നത് കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സൂത്രവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണ്.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണം ABC പരിഗണിക്കുക. സൈഡ് എസിയുടെ വലുപ്പം (അത് ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ ബിക്ക് തുല്യമാണ്), എബി വശത്തിൻ്റെ വലുപ്പം (ഇത് ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ സിക്ക് തുല്യമാണ്) ഈ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണും, അതിൻ്റെ മൂല്യവും നമുക്ക് അറിയാമെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. α ന് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് BC യുടെ വലിപ്പം കണ്ടെത്താം (അതിൻ്റെ നീളം വേരിയബിളിലൂടെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു)

തെളിവിനായി കോസൈൻ സിദ്ധാന്തങ്ങൾഅധിക നിർമ്മാണങ്ങൾ നടത്താം. വെർട്ടെക്സ് സി മുതൽ സൈഡ് എബി വരെ ഞങ്ങൾ ഉയരം സിഡി താഴ്ത്തുന്നു.
AB യുടെ വശത്തിൻ്റെ നീളം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, അധിക നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് അത് പറയാം
AB = AD + BD

AD എന്ന വിഭാഗത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ത്രികോണം ADC വലത് കോണാണെന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, അതിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെയും (b) കോണിൻ്റെയും (α) നീളം നമുക്കറിയാം, തുടർന്ന് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിൽ നിന്ന് AD യുടെ വലുപ്പം കണ്ടെത്താനാകും. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ:

AD/AC = cos α
എവിടെ
എഡി = എസി കോസ് α
AD = b cos α

AB-യും AD-യും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം BD-യുടെ നീളം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
BD = AB - AD
BD = c - b cos α

ADC, BDC എന്നീ രണ്ട് വലത് ത്രികോണങ്ങൾക്കായി നമുക്ക് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം എഴുതാം:
ത്രികോണം BDC
CD 2 + BD 2 = BC 2
ത്രികോണം ADC
CD 2 + AD 2 = AC 2

രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾക്കും ഒരു പൊതു വശമുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം - സി.ഡി. ഓരോ ത്രികോണത്തിനും അതിൻ്റെ ദൈർഘ്യം നിർണ്ണയിക്കാം - അതിൻ്റെ മൂല്യം പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തും ബാക്കിയുള്ളത് വലതുവശത്തും ഇടുക.
CD 2= BC 2 - BD 2
CD 2= എസി 2 - എഡി 2

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത് വശങ്ങൾ (സൈഡ് സിഡിയുടെ ചതുരം) തുല്യമായതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾ തുല്യമാക്കുന്നു:
BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2

നേരത്തെ നടത്തിയ കണക്കുകൂട്ടലുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം:
AD = b cos α
BD = c - b cos α
എ.സി. = ബി(നിബന്ധന പ്രകാരം)

BC യുടെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എ.
BC=a
(അതാണ് നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത്)

BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2
നമ്മുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വശങ്ങളിലെ അക്ഷരങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം
a 2 - ( c - b cos α ) 2 = b 2 - ( b cos α ) 2
അജ്ഞാത മൂല്യം (a) ഇടത് വശത്തേക്കും സമവാക്യത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങൾ വലത്തേക്കും നീക്കുക
a 2 = (c - b cos α) 2 + b 2 - (b cos α) 2
നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം
a 2 = b 2 + c 2 - 2c b cos α + (b cos α) 2 - (b cos α) 2
നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

എന്താണ് കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം? ഇത് സങ്കൽപ്പിക്കുക... ഒരു ഏകപക്ഷീയ ത്രികോണത്തിനായുള്ള പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം: രൂപീകരണം.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം പ്രസ്താവിക്കുന്നു:ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഏത് വശത്തിൻ്റെയും ചതുരം ത്രികോണത്തിൻ്റെ മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഈ വശങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ ഇരട്ടിയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനും.

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് അങ്ങനെയെന്നും പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന് ഇതുമായി എന്ത് ബന്ധമുണ്ടെന്നും ഇപ്പോൾ ഞാൻ വിശദീകരിക്കും.

എല്ലാത്തിനുമുപരി, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം എന്താണ് പറയുന്നത്?

അത് എരിവുള്ളതാണെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും?

ഞാൻ മണ്ടനാണെങ്കിൽ?

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും, അല്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം അത് രൂപപ്പെടുത്തുകയും പിന്നീട് അത് തെളിയിക്കുകയും ചെയ്യും.

അതിനാൽ, ഏത് (കൂടാതെ നിശിത-കോണും, ചരിഞ്ഞ-കോണും, ദീർഘചതുരവും!) ത്രികോണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്നത് ശരിയാണ്: കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം:

എന്താണ് കൂടാതെ?

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കാം (ദീർഘചതുരം!).

ഇവിടെ അത് (വീണ്ടും നിന്ന്).

നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം:

ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു:

ഉള്ളത് ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത്രമാത്രം!

2 കേസ്: അനുവദിക്കുക.

അതിനാൽ, അതായത്, മണ്ടത്തരം.

ഇപ്പോൾ, ശ്രദ്ധ, വ്യത്യാസം!

ഇത് ഇപ്പോൾ പുറത്തുള്ളതിൽ നിന്നാണ്, കൂടാതെ

അത് നമുക്ക് ഓർക്കാം

(ഇത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് നിങ്ങൾ പൂർണ്ണമായും മറന്നെങ്കിൽ വിഷയം വായിക്കുക).

അതിനാൽ, അത്രമാത്രം! വ്യത്യാസം അവസാനിച്ചു!

അത് പോലെ, അതായത്:

ശരി, അവസാനമായി ഒരു കേസ് അവശേഷിക്കുന്നു.

3 കേസ്: അനുവദിക്കുക.

അതിനാൽ, . എന്നാൽ പിന്നീട് കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമായി മാറുന്നു:

ഏത് പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗപ്രദമാണ്?

ശരി, ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്കുണ്ടെങ്കിൽ ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും നൽകിയിരിക്കുന്നു, അപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഉടനെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മൂന്നാം കക്ഷിയെ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ?.

അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളാണെങ്കിൽ മൂന്ന് വശങ്ങളും നൽകിയിരിക്കുന്നു, അപ്പോൾ നിങ്ങൾ അത് ഉടൻ കണ്ടെത്തും കോസൈൻഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഏതെങ്കിലും കോണിൽ

നിങ്ങളാണെങ്കിൽ പോലും രണ്ട് വശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു കോണും നൽകിയിട്ടില്ല, പിന്നീട് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് മൂന്നാം വശവും കണ്ടെത്താം. ശരിയാണ്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിക്കും, ഏതാണ് തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും ഉപേക്ഷിക്കുക.

ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, ഭയപ്പെടരുത് - കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം പോലെ ഉപയോഗിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

കോസൈനുകളുടെ സിദ്ധാന്തം. പ്രധാന കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംക്ഷിപ്തമായി

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം:ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്തിൻ്റെ ചതുരം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഈ വശങ്ങളുടെ ഇരട്ടി ഗുണനവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനും:

ശരി, വിഷയം കഴിഞ്ഞു. നിങ്ങൾ ഈ വരികൾ വായിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിനർത്ഥം നിങ്ങൾ വളരെ ശാന്തനാണ് എന്നാണ്.

കാരണം 5% ആളുകൾക്ക് മാത്രമേ സ്വന്തമായി എന്തെങ്കിലും മാസ്റ്റർ ചെയ്യാൻ കഴിയൂ. നിങ്ങൾ അവസാനം വരെ വായിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഈ 5% ആണ്!

ഇപ്പോൾ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം.

ഈ വിഷയത്തിലെ സിദ്ധാന്തം നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയിട്ടുണ്ട്. പിന്നെ, ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു, ഇത്... ഇത് വെറും സൂപ്പർ! നിങ്ങളുടെ സമപ്രായക്കാരിൽ ബഹുഭൂരിപക്ഷത്തേക്കാളും നിങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ മികച്ചതാണ്.

ഇത് മതിയാകില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം...

എന്തിനുവേണ്ടി?

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ വിജയകരമായി വിജയിച്ചതിന്, ഒരു ബജറ്റിൽ കോളേജിൽ പ്രവേശിക്കുന്നതിനും, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, ജീവിതത്തിനും.

ഞാൻ നിങ്ങളെ ഒന്നും ബോധ്യപ്പെടുത്തില്ല, ഒരു കാര്യം മാത്രം പറയാം...

നല്ല വിദ്യാഭ്യാസം ലഭിച്ച ആളുകൾ അത് ലഭിക്കാത്തവരേക്കാൾ വളരെ കൂടുതലാണ്. ഇത് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളാണ്.

എന്നാൽ ഇതല്ല പ്രധാന കാര്യം.

പ്രധാന കാര്യം അവർ കൂടുതൽ സന്തുഷ്ടരാണ് (അത്തരം പഠനങ്ങളുണ്ട്). ഒരുപക്ഷെ ഇനിയും നിരവധി അവസരങ്ങൾ അവരുടെ മുന്നിൽ തുറന്ന് വരികയും ജീവിതം ശോഭനമാകുകയും ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ടാണോ? അറിയില്ല...

എന്നാൽ സ്വയം ചിന്തിക്കൂ...

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ മറ്റുള്ളവരേക്കാൾ മികച്ചവരായിരിക്കാനും ആത്യന്തികമായി ... സന്തോഷവാനായിരിക്കാനും എന്താണ് വേണ്ടത്?

ഈ വിഷയത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങളുടെ കൈ നേടുക.

പരീക്ഷയ്ക്കിടെ നിങ്ങളോട് തിയറി ചോദിക്കില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും സമയത്തിനെതിരായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

കൂടാതെ, നിങ്ങൾ അവ പരിഹരിച്ചില്ലെങ്കിൽ (ഒരുപാട്!), നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും എവിടെയെങ്കിലും ഒരു മണ്ടത്തരമായ തെറ്റ് ചെയ്യും അല്ലെങ്കിൽ സമയമില്ല.

ഇത് സ്പോർട്സിൽ പോലെയാണ് - ഉറപ്പായും വിജയിക്കാൻ നിങ്ങൾ ഇത് പലതവണ ആവർത്തിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളിടത്ത് ശേഖരം കണ്ടെത്തുക, അവശ്യമായി പരിഹാരങ്ങൾ, വിശദമായ വിശകലനംതീരുമാനിക്കുക, തീരുമാനിക്കുക, തീരുമാനിക്കുക!

നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ ടാസ്ക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കാം (ഓപ്ഷണൽ) ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും അവ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഞങ്ങളുടെ ടാസ്ക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ കൂടുതൽ മെച്ചപ്പെടാൻ, നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ വായിക്കുന്ന YouClever പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ ആയുസ്സ് വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

എങ്ങനെ? രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്:

1. ഈ ലേഖനത്തിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ജോലികളും അൺലോക്ക് ചെയ്യുക -
2. പാഠപുസ്തകത്തിലെ എല്ലാ 99 ലേഖനങ്ങളിലും മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ടാസ്ക്കുകളിലേക്കും ആക്സസ് അൺലോക്ക് ചെയ്യുക - ഒരു പാഠപുസ്തകം വാങ്ങുക - 899 RUR

അതെ, ഞങ്ങളുടെ പാഠപുസ്തകത്തിൽ അത്തരം 99 ലേഖനങ്ങളുണ്ട്, കൂടാതെ എല്ലാ ജോലികളിലേക്കും ആക്‌സസ് ചെയ്യാനും അവയിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ടെക്‌സ്‌റ്റുകളും ഉടനടി തുറക്കാനും കഴിയും.

സൈറ്റിൻ്റെ മുഴുവൻ ജീവിതത്തിനും മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ടാസ്ക്കുകളിലേക്കും ആക്സസ് നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ഉപസംഹാരമായി...

ഞങ്ങളുടെ ജോലികൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടപ്പെട്ടില്ലെങ്കിൽ, മറ്റുള്ളവരെ കണ്ടെത്തുക. സിദ്ധാന്തത്തിൽ മാത്രം നിൽക്കരുത്.

"മനസ്സിലായി", "എനിക്ക് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും" എന്നിവ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ കഴിവുകളാണ്. രണ്ടും വേണം.

പ്രശ്നങ്ങൾ കണ്ടെത്തി പരിഹരിക്കുക!

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തംപൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്ന യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു സിദ്ധാന്തമാണ്.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം:

വശങ്ങളുള്ള ഒരു തലം ത്രികോണത്തിന് എ, ബി, സികോണും α , അത് വശത്തിന് എതിർവശത്താണ് എ, ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധം സാധുവാണ്:

എ 2 = ബി 2 + സി 2 - 2 ബിസി cosα.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്തിൻ്റെ ചതുരം മറ്റ് 2 വശങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഈ വശങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ ഇരട്ടിയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനും.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലം.

• നിർണ്ണയിക്കാൻ കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു കോസ്ത്രികോണ കോൺ:

വ്യക്തമായി പറഞ്ഞാൽ:

• എപ്പോൾ ബി 2 + സി 2 - എ 2 > 0 , കോർണർ α മസാലകൾ ആയിരിക്കും;
• എപ്പോൾ ബി 2 + സി 2 - എ 2 = 0 , കോർണർ α നേരെയായിരിക്കും (കോണാകുമ്പോൾ α നേരിട്ടുള്ളതാണ്, അതായത് കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിലേക്ക് പോകുന്നു;
• എപ്പോൾ ബി 2 + സി 2 - എ 2 < 0 , കോർണർ α മണ്ടത്തരമായിരിക്കും.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ക്ലാസിക് തെളിവ്.

ഒരു ത്രികോണം ഉണ്ടാകട്ടെ എബിസി. മുകളില് നിന്നും സിവശത്തേക്ക് എബിഉയരം താഴ്ത്തി സി.ഡി. അർത്ഥം:

AD = b cos α,

DB = c - b cos α

2 വലത് ത്രികോണങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം എഴുതുന്നു എ.ഡി.സിഒപ്പം BDC:

h 2 = b 2 - (b cos α) 2 (1)

h 2 = a 2 - (c - b cos α) 2 (2)

സമവാക്യങ്ങളുടെ (1), (2) വലത് വശങ്ങൾ ഞങ്ങൾ തുല്യമാക്കുന്നു:

b 2 - (b cos α) 2 = a 2 - (c - b cos α) 2

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α.

അടിത്തട്ടിലെ കോണുകളിൽ 1 മങ്ങിയതാണെങ്കിൽ (ഉയരം അടിത്തട്ടിൻ്റെ തുടർച്ചയോട് ചേർന്ന് നിൽക്കുന്നു), അത് മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്തതിന് സമാനമാണ്.

പാർട്ടികളെ നിർണ്ണയിക്കുക ബിഒപ്പം സി:

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തവുമായി നേരിട്ട് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് എല്ലാ സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും പ്രത്യേകിച്ച് മുതിർന്നവർക്കും അറിയില്ല. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, രണ്ടാമത്തേത് ആദ്യത്തേതിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്. ഈ പോയിൻ്റും കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാനുള്ള രണ്ട് വഴികളും കൂടുതൽ അറിവുള്ള വ്യക്തിയാകാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും. കൂടാതെ, പ്രാരംഭ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ നിന്ന് അളവുകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള പരിശീലനം യുക്തിസഹമായ ചിന്തയെ നന്നായി വികസിപ്പിക്കുന്നു. പഠിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ നീണ്ട സൂത്രവാക്യം തീർച്ചയായും കഠിനാധ്വാനം ചെയ്യാനും മെച്ചപ്പെടുത്താനും നിങ്ങളെ നിർബന്ധിക്കും.

ഒരു സംഭാഷണം ആരംഭിക്കുന്നു: നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുന്നു

ഈ സിദ്ധാന്തം ഒരു ഏകപക്ഷീയ ത്രികോണത്തിനായി രൂപപ്പെടുത്തുകയും തെളിയിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ, ഏത് സാഹചര്യത്തിലും, രണ്ട് വശങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ മൂന്ന്, ഒരു കോണും, അവയ്ക്കിടയിൽ അവശ്യമല്ലെങ്കിൽ അത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാം. ഏത് തരത്തിലുള്ള ത്രികോണമാണെങ്കിലും, സിദ്ധാന്തം എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കും.

ഇപ്പോൾ എല്ലാ എക്സ്പ്രഷനുകളിലെയും അളവുകളുടെ പദവിയെക്കുറിച്ച്. ഉടൻ തന്നെ സമ്മതിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, അതിനാൽ പിന്നീട് പലതവണ വിശദീകരിക്കേണ്ടതില്ല. ഇതിനായി ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഫോർമുലേഷനും ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷനും

അതിനാൽ, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു:

ഏതൊരു ത്രികോണത്തിൻ്റെയും ഒരു വശത്തിൻ്റെ ചതുരം അതിൻ്റെ മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഈ വശങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ ഇരട്ടിയും അവയ്ക്കിടയിൽ കിടക്കുന്ന കോണിൻ്റെ കോസൈനും.

തീർച്ചയായും, ഇത് ദൈർഘ്യമേറിയതാണ്, എന്നാൽ നിങ്ങൾ അതിൻ്റെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കിയാൽ, അത് ഓർക്കാൻ എളുപ്പമായിരിക്കും. ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുന്നത് പോലും നിങ്ങൾക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും. ദൃശ്യപരമായി ഓർക്കാൻ എപ്പോഴും എളുപ്പമാണ്.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സൂത്രവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

കുറച്ച് ദൈർഘ്യമേറിയതാണ്, പക്ഷേ എല്ലാം യുക്തിസഹമാണ്. നിങ്ങൾ കുറച്ചുകൂടി സൂക്ഷ്മമായി നോക്കിയാൽ, അക്ഷരങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്നതായി നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും, അതായത് ഓർമ്മിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല.

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പൊതുവായ തെളിവ്

എല്ലാ ത്രികോണങ്ങൾക്കും ഇത് സത്യമായതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ന്യായവാദത്തിനായി ഏത് തരവും തിരഞ്ഞെടുക്കാം. എല്ലാ മൂർച്ചയുള്ള കോണുകളും ഉള്ള ഒരു രൂപമാകട്ടെ. ആംഗിൾ ബി കോണിനേക്കാൾ വലുതായ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ നിശിത കോണുള്ള ത്രികോണം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഈ വലിയ കോണുള്ള ശീർഷത്തിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾ എതിർ വശത്തേക്ക് ലംബമായി താഴ്ത്തേണ്ടതുണ്ട്. വരച്ച ഉയരം ത്രികോണത്തെ രണ്ട് ദീർഘചതുരങ്ങളായി വിഭജിക്കും. തെളിവിനായി ഇത് ആവശ്യമായി വരും.

വശം രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കും: x, y. അറിയപ്പെടുന്ന അളവുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ അവ പ്രകടിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്. b ന് തുല്യമായ ഹൈപ്പോടെനസ് ഉള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൽ അവസാനിക്കുന്ന ഭാഗം നൊട്ടേഷനിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കും:

x = b * cos A.

മറ്റൊന്ന് ഈ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും:

y = c - in * cos A.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ രണ്ട് വലത് ത്രികോണങ്ങൾക്കായി പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം എഴുതേണ്ടതുണ്ട്, ഉയരം അജ്ഞാത മൂല്യമായി കണക്കാക്കുന്നു. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

n 2 = 2-ൽ - (ഇൻ * cos A) 2,

n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.

ഈ സമത്വങ്ങളിൽ ഇടതുവശത്ത് ഒരേ പദപ്രയോഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം അവരുടെ വലതുവശങ്ങളും തുല്യമായിരിക്കും എന്നാണ്. അത് എഴുതാൻ എളുപ്പമാണ്. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കേണ്ടതുണ്ട്:

2-ൽ 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * in * cos A - in 2 * (cos A) 2 .

സമാന പദങ്ങളുടെ കൈമാറ്റവും കുറയ്ക്കലും നിങ്ങൾ ഇവിടെ നടത്തുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് പ്രാരംഭ ഫോർമുല ലഭിക്കും, അത് ഫോർമുലേഷനുശേഷം എഴുതിയിരിക്കുന്നു, അതായത്, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം. തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

വെക്റ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്

ഇത് മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വളരെ ചെറുതാണ്. വെക്റ്ററുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ, ഒരു ത്രികോണത്തിനായുള്ള കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ലളിതമായി തെളിയിക്കപ്പെടും.

a, b, c എന്നീ വശങ്ങൾ യഥാക്രമം BC, AC, AB എന്നീ വെക്‌ടറുകളാൽ നിയുക്തമാക്കിയാൽ, തുല്യത നിലനിർത്തുന്നു:

ബിസി = എസി - എബി.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ കുറച്ച് ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. ഇതിൽ ആദ്യത്തേത് സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സമചതുരമാക്കുക എന്നതാണ്:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.

വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം അവയ്‌ക്കും അവയുടെ സ്കെയിലർ മൂല്യങ്ങൾക്കും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈന് തുല്യമാണെന്ന് കണക്കിലെടുത്ത് സമത്വം സ്കെയിലർ രൂപത്തിൽ പുനരാലേഖനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

പഴയ നൊട്ടേഷനിലേക്ക് മടങ്ങുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്, വീണ്ടും നമുക്ക് കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ലഭിക്കും:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.

മറ്റ് വശങ്ങൾക്കും എല്ലാ കോണുകൾക്കുമുള്ള ഫോർമുലകൾ

വശം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. മറ്റ് വശങ്ങളിലൊന്നിൻ്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.

ഒരു വശത്തിൻ്റെ ചതുരത്തിന് എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതാൻ വി, നിങ്ങൾ മുമ്പത്തെ സമത്വത്തിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട് കൂടെഓൺ വി, തിരിച്ചും, കോസൈന് കീഴിൽ ആംഗിൾ ബി ഇടുക.

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, ആംഗിൾ എയുടെ കോസൈൻ്റെ മൂല്യം നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം:

cos A = (in 2 + c 2 - a 2) / (2 in * c).

മറ്റ് കോണുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സമാനമായി ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്. അവ സ്വയം എഴുതാൻ ശ്രമിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്.

സ്വാഭാവികമായും, ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനഃപാഠമാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. സിദ്ധാന്തവും ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾ അതിൻ്റെ പ്രധാന നൊട്ടേഷനിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിയാനുള്ള കഴിവും മനസ്സിലാക്കിയാൽ മതി.

അറിയപ്പെടുന്ന രണ്ട് കോണുകൾക്കിടയിൽ ആംഗിൾ കിടക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ വശം കണ്ടെത്തുന്നത് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ ഫോർമുല സാധ്യമാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് വി, മൂല്യങ്ങൾ നൽകുമ്പോൾ: എ, സി, എ. അല്ലെങ്കിൽ അജ്ഞാതമാണ് കൂടെ, എന്നാൽ അർത്ഥങ്ങളുണ്ട് എ, ബി, എ.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഫോർമുലയുടെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടത്തേക്ക് നീക്കേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യത ലഭിക്കും:

с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.

നമുക്ക് ഇത് അല്പം വ്യത്യസ്തമായ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

c 2 - (2 * in * cos A) * c + (in 2 - a 2) = 0.

നിങ്ങൾക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എളുപ്പത്തിൽ കാണാൻ കഴിയും. അതിൽ ഒരു അജ്ഞാത അളവ് ഉണ്ട് - കൂടെ, ബാക്കിയുള്ളവയെല്ലാം നൽകിയിട്ടുണ്ട്. അതിനാൽ, ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പരിഹരിക്കാൻ മതിയാകും. ഇതുവഴി അജ്ഞാത വശം കണ്ടെത്തും.

രണ്ടാമത്തെ വശത്തിനുള്ള ഫോർമുല സമാനമായി ലഭിക്കും:

ഇൻ 2 - (2 * c * cos A) * in + (c 2 - a 2) = 0.

മറ്റ് പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ നിന്ന്, അത്തരം സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമായി നേടാനും എളുപ്പമാണ്.

കോസൈൻ കണക്കാക്കാതെ നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ കോണിൻ്റെ തരം കണ്ടെത്താനാകും?

നിങ്ങൾ മുമ്പ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ആംഗിൾ കോസൈൻ ഫോർമുല സൂക്ഷ്മമായി നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവ നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കും:

• ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, കാരണം അതിൽ നെഗറ്റീവ് ആകാൻ കഴിയാത്ത വശങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു;
• കോണിൻ്റെ മൂല്യം ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ചിഹ്നത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

ആംഗിൾ എ ഇതായിരിക്കും:

• ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലായ സാഹചര്യത്തിൽ നിശിതം;
• ഈ പദപ്രയോഗം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മണ്ടത്തരം;
• പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ നേരിട്ട്.

വഴിയിൽ, പിന്നീടുള്ള സാഹചര്യം കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തെ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമാക്കി മാറ്റുന്നു. കാരണം 90º കോണിന് അതിൻ്റെ കോസൈൻ പൂജ്യമാണ്, അവസാന പദം അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു.

ആദ്യ ദൗത്യം

അവസ്ഥ

ചില അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണങ്ങളുടെ ചരിഞ്ഞ കോൺ 120º ആണ്. ഇത് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വശങ്ങളെക്കുറിച്ച്, അവയിലൊന്ന് മറ്റൊന്നിനേക്കാൾ 8 സെൻ്റിമീറ്റർ വലുതാണെന്ന് അറിയാം, ത്രികോണത്തിൻ്റെ ചുറ്റളവ് കണ്ടെത്താൻ ഇത് 28 സെൻ്റിമീറ്ററാണ്.

പരിഹാരം

ആദ്യം നിങ്ങൾ വശങ്ങളിലൊന്ന് "x" എന്ന അക്ഷരത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മറ്റൊന്ന് (x + 8) ന് തുല്യമായിരിക്കും. മൂന്ന് വശങ്ങളിലും എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, നമുക്ക് കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം നൽകുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * കോസ് 120º.

കോസൈനുകൾക്കായുള്ള പട്ടികകളിൽ നിങ്ങൾ 120 ഡിഗ്രിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. മൈനസ് ചിഹ്നമുള്ള 0.5 എന്ന സംഖ്യയായിരിക്കും ഇത്. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ എല്ലാ നിയമങ്ങളും പാലിച്ച് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമാനമായ നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്:

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0.5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെ ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കപ്പെടും, അത് ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

അതിൻ്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലായതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് റൂട്ട് ഉത്തരങ്ങളുണ്ട്.

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

അവസാന റൂട്ട് പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം ആകാൻ കഴിയില്ല, കാരണം വശം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം.