Priverstinės vibracijos. Rezonansas. Priverstinė vibracija Gali sukelti priverstinę vibraciją
Kad sistema atliktų neslopintus svyravimus, būtina kompensuoti svyravimo energijos praradimą dėl trinties iš išorės. Siekiant užtikrinti, kad sistemos virpesių energija nesumažėtų, dažniausiai įvedama jėga, kuri periodiškai veikia sistemą (tokią jėgą pavadinsime forsavimu, o svyravimai yra priverstiniai).
APIBRĖŽIMAS: priverstas Tai yra svyravimai, atsirandantys svyravimo sistemoje veikiant išorinei periodiškai kintančiajai jėgai.
Ši jėga paprastai atlieka dvejopą vaidmenį:
Pirma, jis sujudina sistemą ir suteikia jai tam tikrą energijos kiekį;
Antra, jis periodiškai papildo energijos nuostolius (energijos suvartojimą), kad įveiktų pasipriešinimo ir trinties jėgas.
Tegul varomoji jėga keičiasi laikui bėgant pagal įstatymą:
Sudarykime judesio lygtį sistemai, kuri svyruoja veikiant tokia jėga. Darome prielaidą, kad sistemą taip pat veikia kvazielastinga jėga ir terpės pasipriešinimo jėga (tai tiesa, darant prielaidą, kad yra nedideli svyravimai).
Tada sistemos judėjimo lygtis atrodys taip:
Arba 
.
Atlikę pakaitus , , - sistemos natūralų virpesių dažnį, gauname nehomogeninę 2 eilės tiesinę diferencialinę lygtį:
Iš diferencialinių lygčių teorijos žinoma, kad bendras nehomogeninės lygties sprendinys yra lygus homogeninės lygties bendrojo sprendinio ir konkretaus nevienalytės lygties sprendinio sumai.
Yra žinomas bendras homogeninės lygties sprendimas:
,
Kur 
; a 0 ir a- savavališkas konst.
.
Naudodami vektorinę diagramą galite patikrinti, ar ši prielaida yra teisinga, ir taip pat nustatyti „ a"Ir" j”.
Virpesių amplitudė nustatoma pagal šią išraišką:
.
prasmė " j“, kuris yra priverstinio svyravimo fazės vėlavimo dydis 
nuo varomosios jėgos, kuri ją nulėmė, taip pat nustatoma iš vektorinės diagramos ir yra tokia:
.
Galiausiai, konkretus nehomogeninės lygties sprendimas bus toks:
 |
(8.18) |
Ši funkcija kartu su
 |
(8.19) |
pateikia bendrą nehomogeninės diferencialinės lygties sprendimą, apibūdinantį sistemos elgesį esant priverstiniams virpesiams. Terminas (8.19) vaidina reikšmingą vaidmenį pradiniame proceso etape, vadinamojo virpesių nustatymo metu (8.10 pav.).
Laikui bėgant dėl eksponentinio koeficiento antrojo nario (8.19) vaidmuo vis labiau mažėja, o po pakankamai laiko jo galima pamiršti, sprendime išlaikant tik terminą (8.18).
Taigi funkcija (8.18) apibūdina pastovius priverstinius virpesius. Jie vaizduoja harmoninius virpesius, kurių dažnis lygus varomosios jėgos dažniui. Priverstinių svyravimų amplitudė yra proporcinga varomosios jėgos amplitudei. Tam tikros virpesių sistemos (apibrėžtos w 0 ir b) amplitudė priklauso nuo varomosios jėgos dažnio. Priverstiniai svyravimai atsilieka nuo varomosios jėgos fazėje, o atsilikimo „j“ dydis taip pat priklauso nuo varomosios jėgos dažnio.
Priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybė nuo varomosios jėgos dažnio lemia tai, kad tam tikru dažniu, nustatytu tam tikrai sistemai, virpesių amplitudė pasiekia maksimalią reikšmę. Pasirodo, kad šiuo dažniu svyravimo sistema ypač reaguoja į varomosios jėgos veikimą. Šis reiškinys vadinamas rezonansu, o atitinkamas dažnis yra rezonansinis dažnis.
APIBRĖŽIMAS: vadinamas reiškinys, kurio metu pastebimas staigus priverstinių virpesių amplitudės padidėjimas rezonansas.
Rezonansinis dažnis nustatomas pagal maksimalią priverstinių virpesių amplitudės sąlygą:
. (8.20)
Tada, pakeisdami šią reikšmę į amplitudės išraišką, gauname:
. (8.21)
Nesant vidutinio pasipriešinimo, svyravimų amplitudė rezonanso metu pasisuktų į begalybę; rezonansinis dažnis tomis pačiomis sąlygomis (b = 0) sutampa su natūraliu virpesių dažniu.
Priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybę nuo varomosios jėgos dažnio (arba, kas yra tas pats, nuo virpesių dažnio) galima pavaizduoti grafiškai (8.11 pav.). Atskiros kreivės atitinka skirtingas „b“ reikšmes. Kuo mažesnis „b“, tuo aukščiau ir dešinėje yra šios kreivės maksimumas (žr. w res. išraišką). Esant labai dideliam slopinimui, rezonansas nepastebimas – didėjant dažniui, priverstinių svyravimų amplitudė monotoniškai mažėja (apatinė kreivė 8.11 pav.).
Iškviečiamas pateiktų grafikų rinkinys, atitinkantis skirtingas b reikšmes rezonanso kreives.
Pastabos apie rezonanso kreives:
Kadangi w®0 tendencija, visos kreivės pasiekia tą pačią vertę, kuri nėra nulis, lygi . Ši vertė parodo poslinkį iš pusiausvyros padėties, kurią sistema gauna veikiama pastovios jėgos F 0 .
Kai w®¥, visos kreivės asimptotiškai linkusios į nulį, nes esant aukštiems dažniams, jėga taip greitai keičia kryptį, kad sistema nespėja pastebimai pasislinkti iš pusiausvyros padėties.
Kuo b mažesnis, tuo labiau artimo rezonanso amplitudė keičiasi dažniu, tuo „aštresnis“ maksimalus.
Pavyzdžiai:
Rezonanso reiškinys dažnai pasirodo esąs naudingas, ypač akustikoje ir radijo inžinerijoje.
Mechaninės energijos praradimai bet kurioje virpesių sistemoje dėl trinties jėgų yra neišvengiami, todėl „neperpumpavus“ energijos iš išorės, svyravimai bus slopinami. Yra keletas iš esmės skirtingų būdų sukurti nuolatinių virpesių virpesių sistemas. Pažvelkime atidžiau neslopinami svyravimai, veikiami išorinės periodinės jėgos. Tokie svyravimai vadinami priverstiniais. Tęskime harmoninės švytuoklės judėjimo tyrimą (6.9 pav.).
Be anksčiau aptartų elastingumo ir klampios trinties jėgų, rutulį veikia išorinė įtikinamas periodinė jėga, besikeičianti pagal harmoninį dėsnį
dažnis, kuris gali skirtis nuo natūralaus švytuoklės dažnio ω o. Šios jėgos prigimtis šiuo atveju mums nėra svarbi. Tokią jėgą galima sukurti įvairiais būdais, pavyzdžiui, perduodant kamuoliuką elektros krūvį ir pastatant jį į išorinį kintamąjį elektrinį lauką. Rutulio judėjimo lygtis nagrinėjamu atveju turi formą
Padalinkime jį iš rutulio masės ir naudokime ankstesnį sistemos parametrų žymėjimą. Kaip rezultatas, mes gauname priverstinio virpesio lygtis:
Kur f o = F o /m− išorinės varomosios jėgos amplitudės reikšmės ir rutulio masės santykis. Bendras (3) lygties sprendimas yra gana sudėtingas ir, žinoma, priklauso nuo pradinių sąlygų. Rutulio judėjimo pobūdis, apibūdinamas (3) lygtimi, yra aiškus: veikiant varomajai jėgai, atsiras svyravimai, kurių amplitudė padidės. Šis perėjimo režimas yra gana sudėtingas ir priklauso nuo pradinių sąlygų. Po tam tikro laiko bus nustatytas virpesių režimas ir jų amplitudė nustos keistis. Būtent pastovi svyravimų būsena, daugeliu atvejų yra svarbiausia. Mes nenagrinėsime sistemos perėjimo į pastovią būseną, o sutelksime dėmesį į šio režimo charakteristikų apibūdinimą ir tyrimą. Taip formuluojant uždavinį, nereikia nurodyti pradinių sąlygų, nes mus dominanti pastovi būsena nepriklauso nuo pradinių sąlygų, jos charakteristikas visiškai lemia pati lygtis. Su panašia situacija susidūrėme tirdami kūno judėjimą veikiant pastoviai išorinei jėgai ir klampios trinties jėgai
Po kurio laiko kūnas juda pastoviu pastoviu greičiu v = F o /β , kuris nepriklauso nuo pradinių sąlygų ir yra visiškai nulemtas judėjimo lygties. Pradinės sąlygos nustato režimo perėjimą prie pastovaus judėjimo. Remiantis sveiku protu, galima pagrįstai manyti, kad esant pastoviam svyravimo režimui, rutulys svyruos išorinės varomosios jėgos dažniu. Todėl (3) lygties sprendimo reikia ieškoti harmoninėje funkcijoje su varomosios jėgos dažniu. Pirma, išspręskime (3) lygtį, nepaisydami pasipriešinimo jėgos
Pabandykime rasti jos sprendimą harmoninės funkcijos pavidalu
Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame kūno greičio ir pagreičio priklausomybę nuo laiko, kaip judėjimo dėsnio išvestinius.
ir pakeiskite jų reikšmes į (4) lygtį
Dabar galite jį sumažinti kainavo. Vadinasi, ši išraiška bet kuriuo metu virsta teisinga tapatybe, jei įvykdoma sąlyga
Taigi mūsų prielaida apie (4) lygties sprendinį formoje (5) pasiteisino: pastovią svyravimų būseną apibūdina funkcija
Atkreipkite dėmesį, kad koeficientas A pagal gautą išraišką (6) gali būti teigiama (su ω < ω o), ir neigiamas (su ω > ω o). Ženklo pokytis atitinka svyravimų fazės pasikeitimą iki π (šio pokyčio priežastis bus paaiškinta šiek tiek vėliau), todėl svyravimų amplitudė yra šio koeficiento modulis |A|. Pastovios būsenos svyravimų amplitudė, kaip ir galima tikėtis, yra proporcinga varomosios jėgos dydžiui. Be to, ši amplitudė kompleksiškai priklauso nuo varomosios jėgos dažnio. Scheminis šio ryšio grafikas parodytas fig. 6.10
Ryžiai. 6.10 Rezonanso kreivė
Kaip matyti iš (6) formulės ir aiškiai matoma grafike, varomosios jėgos dažniui artėjant prie savaiminio sistemos dažnio, amplitudė smarkiai padidėja. Šio amplitudės padidėjimo priežastis yra aiški: varomoji jėga „per“ stumia rutulį, kai dažniai visiškai sutampa, nustatyto režimo nėra - amplitudė padidėja iki begalybės. Žinoma, praktiškai neįmanoma pastebėti tokio begalinio padidėjimo: Pirmiausia, tai gali sukelti pačios virpesių sistemos sunaikinimą, Antra, esant didelėms svyravimų amplitudėms, negalima nepaisyti terpės pasipriešinimo jėgų. Staigus priverstinių virpesių amplitudės padidėjimas varomosios jėgos dažniui artėjant prie sistemos natūralaus virpesių dažnio vadinamas rezonanso reiškiniu. Dabar pereikime prie priverstinių virpesių lygties sprendimo paieškos, atsižvelgiant į pasipriešinimo jėgą
Natūralu, kad ir šiuo atveju sprendimo reikėtų ieškoti harmoninės funkcijos su varomosios jėgos dažniu forma. Nesunku pastebėti, kad sprendimo paieška formoje (5) šiuo atveju neduos sėkmės. Iš tiesų, (8) lygtis, priešingai nei (4) lygtis, apima dalelių greitį, kuris apibūdinamas sinuso funkcija. Todėl (8) lygties laiko dalis nebus sumažinta. Todėl (8) lygties sprendimas turėtų būti pavaizduotas bendra harmoninės funkcijos forma
kuriame yra du parametrai A o Ir φ turi būti rasta naudojant (8) lygtį. Parametras A o yra priverstinių virpesių amplitudė, φ − fazės poslinkis tarp kintančios koordinatės ir kintamos varomosios jėgos. Naudojant trigonometrinę sumos kosinuso formulę, funkcija (9) gali būti pavaizduota lygiaverte forma
kuriame taip pat yra du parametrai B=A o cosφ Ir C = –A o sinφ turi būti nustatyta. Naudodami funkciją (10), rašome aiškias dalelės greičio ir pagreičio priklausomybės nuo laiko išraiškas.
ir pakeiskite (8) lygtį:
Perrašykime šią išraišką į formą
Kad lygybė (13) būtų įvykdyta bet kuriuo metu, būtina, kad kosinuso ir sinuso koeficientai būtų lygūs nuliui. Remdamiesi šia sąlyga, gauname dvi tiesines lygtis funkcijos (10) parametrams nustatyti:
Šios lygčių sistemos sprendimas turi formą
Remdamiesi (10) formule, nustatome priverstinių svyravimų charakteristikas: amplitudę
fazės poslinkis
Esant mažam slopinimui, ši priklausomybė turi staigų maksimumą, kai artėja varomosios jėgos dažnis ω iki natūralaus sistemos dažnio ω o. Taigi šiuo atveju gali atsirasti ir rezonansas, todėl nubraižytos priklausomybės dažnai vadinamos rezonanso kreive. Atsižvelgus į silpną slopinimą matyti, kad amplitudė nedidėja iki begalybės, jos maksimali reikšmė priklauso nuo slopinimo koeficiento – pastarajam didėjant, maksimali amplitudė greitai mažėja. Gauta svyravimo amplitudės priklausomybė nuo varomosios jėgos dažnio (16) turi per daug nepriklausomų parametrų ( f o , ω o , γ ), kad būtų sukurta visa rezonanso kreivių šeima. Kaip ir daugeliu atvejų, šį ryšį galima žymiai supaprastinti pereinant prie „be matmenų“ kintamųjų. Formulę (16) paverskime tokia forma
ir žymėti
− santykinis dažnis (varomosios jėgos dažnio ir savaiminio sistemos virpesių dažnio santykis);
− santykinė amplitudė (svyravimo amplitudės ir nuokrypio reikšmės santykis A o = f/ω o 2 nuliniu dažniu);
− bematis parametras, lemiantis slopinimo dydį. Naudojant šiuos žymėjimus, funkcija (16) žymiai supaprastinama
nes jame yra tik vienas parametras − δ . Vieno parametro rezonanso kreivių šeimą, aprašytą funkcija (16 b), galima sukurti ypač lengvai naudojant kompiuterį. Šios konstrukcijos rezultatas parodytas fig. 629.
ryžių. 6.11
Atkreipkite dėmesį, kad perėjimas prie „įprastų“ matavimo vienetų gali būti atliekamas tiesiog pakeičiant koordinačių ašių skalę. Atkreiptinas dėmesys, kad varomosios jėgos dažnis, kuriam esant maksimali priverstinių svyravimų amplitudė, taip pat priklauso nuo slopinimo koeficiento, pastarajam didėjant šiek tiek mažėja. Galiausiai pabrėžiame, kad padidinus slopinimo koeficientą, žymiai padidėja rezonanso kreivės plotis. Gautas fazių poslinkis tarp taško svyravimų ir varomosios jėgos priklauso ir nuo svyravimų dažnio bei jų slopinimo koeficiento. Mes geriau susipažinsime su šio fazės poslinkio vaidmeniu, kai svarstome energijos konversiją priverstinių virpesių procese.
laisvųjų neslopintų svyravimų dažnis sutampa su savuoju dažniu, slopinamųjų virpesių dažnis yra šiek tiek mažesnis už natūralųjį, o priverstinių svyravimų dažnis sutampa su varomosios jėgos dažniu, o ne su savuoju dažniu.
Priverstiniai elektromagnetiniai virpesiai
Priverstas Tai yra svyravimai, atsirandantys svyravimo sistemoje, veikiant išorinei periodinei įtakai.
6.12 pav. Grandinė su priverstiniais elektriniais virpesiais
Panagrinėkime procesus, vykstančius elektrinėje virpesių grandinėje ( 6.12 pav), prijungtas prie išorinio šaltinio, kurio emf kinta pagal harmonikos dėsnį
,
Kur m- išorinio EML amplitudė,
– EML ciklinis dažnis.
Pažymėkime pagal U Cįtampa per kondensatorių ir per i - srovės stiprumas grandinėje. Šioje grandinėje, be kintamo EMF (t) aktyvus ir savęs sukeltas emf L induktoriuje.
Saviindukcijos emf yra tiesiogiai proporcinga srovės kitimo greičiui grandinėje
.
Dėl pasitraukimo priverstinių virpesių diferencialinė lygtis atsirandančius tokioje grandinėje, naudojame antrąją Kirchhoffo taisyklę
.
Aktyviosios varžos įtampa R rasti pagal Ohmo dėsnį
.
Elektros srovės stipris lygus krūviui, tekėjusiam per laiko vienetą per laidininko skerspjūvį
.
Vadinasi
.
Įtampa U C ant kondensatoriaus yra tiesiogiai proporcingas kondensatoriaus plokščių įkrovimui
.
Saviindukcijos emf gali būti pavaizduotas per antrąjį krūvio išvestinį laiko atžvilgiu
.
Įtampos ir EML pakeitimas antrąja Kirchhoffo taisykle
.
Abi šios išraiškos puses dalijant iš L o terminus paskirstę pagal išvestinės mažėjimo eilės laipsnį, gauname antros eilės diferencialinę lygtį
.
Įveskime tokį žymėjimą ir gaukime
- slopinimo koeficientas,
– grandinės natūralių virpesių ciklinis dažnis.
.
(1)
(1) lygtis yra nevienalytis antros eilės tiesinė diferencialinė lygtis. Šio tipo lygtys apibūdina plačios virpesių sistemų klasės (elektrinės, mechaninės) elgesį, veikiant išorinei periodinei įtakai (išorinei emf arba išorinei jėgai).
Bendrasis (1) lygties sprendinys susideda iš bendrojo sprendinio q 1 vienalytis diferencialinė lygtis (2)
(2)
ir bet koks privatus sprendimas q 2 nevienalytis lygtys (1)
.
Bendrojo sprendimo tipas vienalytis(2) lygtis priklauso nuo silpninimo koeficiento reikšmės . Būsime suinteresuoti silpno slopinimo atveju << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
Kur B Ir 0 – pradinėmis sąlygomis nurodytos konstantos.
Sprendimas (3) apibūdina slopintus virpesius grandinėje. Vertės, įtrauktos į (3):
– ciklinis slopintų virpesių dažnis;
– slopintų svyravimų amplitudė;
–slopintų svyravimų fazė.
Mes ieškome konkretaus (1) lygties sprendimo harmoninio virpesio, vykstančio dažniu, lygiu dažniui. išorinė periodinė įtaka - EML ir atsilieka nuo fazės Nuo jo
Kur 
– priverstinių virpesių amplitudė, priklausomai nuo dažnio.
Pakeiskime (4) į (1) ir gaukime tapatybę
Norėdami palyginti virpesių fazes, naudojame trigonometrines redukcijos formules
.
Tada mūsų lygtis bus perrašyta kaip
Pavaizduokime svyravimus kairėje gautos tapatybės pusėje formoje vektorinė diagrama (ryžių.6.13)..
Trečiasis terminas, atitinkantis talpos svyravimus SU, turintis fazę (
t
–
) ir amplitudė 
, vaizduojame jį kaip horizontalų vektorių, nukreiptą į dešinę.
6.13 pav. Vektorinė diagrama
Pirmasis terminas kairėje pusėje, atitinkantis induktyvumo svyravimus L, vektorinėje diagramoje bus pavaizduotas kaip vektorius, nukreiptas horizontaliai į kairę (jo amplitudė 
).
Antrasis terminas, atitinkantis pasipriešinimo svyravimus R, mes jį vaizduojame kaip vektorių, nukreiptą vertikaliai aukštyn (jo amplitudė 
), nes jo fazė /2 atsilieka nuo pirmojo nario fazės.
Kadangi trijų virpesių suma į kairę nuo lygybės ženklo suteikia harmoningą vibraciją 
, tada diagramoje esanti vektorinė suma (stačiakampio įstrižainė) vaizduoja svyravimą su amplitude 
ir fazė
t, kuris įjungtas
pažengia į priekį trečiojo termino virpesių fazę.
Iš stačiojo trikampio, naudodamiesi Pitagoro teorema, galite rasti amplitudę A( )
(5)
Ir tg kaip priešingos pusės ir gretimos pusės santykis.
.
(6)
Todėl sprendimas (4), atsižvelgiant į (5) ir (6), įgis tokią formą
.
(7)
Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas(1) yra suma q 1 ir q 2
.
(8)
(8) formulė rodo, kad grandinę veikiant periodiniam išoriniam EML, joje atsiranda dviejų dažnių svyravimai, t.y. neslopinami svyravimai su išorinio EML dažniu
ir slopinami svyravimai su dažniu 
. Slopintų virpesių amplitudė 
Laikui bėgant jis tampa nežymiai mažas, o grandinėje lieka tik priverstiniai virpesiai, kurių amplitudė nuo laiko nepriklauso. Vadinasi, pastovūs priverstiniai svyravimai apibūdinami funkcija (4). Tai reiškia, kad grandinėje atsiranda priverstiniai harmoniniai virpesiai, kurių dažnis lygus išorinio poveikio dažniui ir amplitudei 
, priklausomai nuo šio dažnio ( ryžių. 3A) pagal įstatymą (5). Šiuo atveju priverstinio svyravimo fazė atsilieka
nuo prievartinio poveikio.
Turėdami diferencijuotą išraišką (4) laiko atžvilgiu, randame srovės stiprumą grandinėje
Kur 
– srovės amplitudė.
Parašykime šią srovės stiprumo išraišką formoje
,
(9)
Kur 
–fazių poslinkis tarp srovės ir išorinės emf.
Pagal (6) ir ryžių. 2
.
(10)
Iš šios formulės matyti, kad fazės poslinkis tarp srovės ir išorinės emf priklauso nuo pastovios varžos R, nuo ryšio tarp varančiojo EML dažnio ir natūralus grandinės dažnis 0 .
Jeigu < 0, tada fazės poslinkis tarp srovės ir išorinio EMF < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Jeigu > 0 tada > 0. Srovės svyravimai atsilieka nuo EML fazės svyravimų kampu .
Jeigu = 0 (rezonansinis dažnis), tai = 0, ty srovė ir EMF svyruoja toje pačioje fazėje.
Rezonansas– tai staigus virpesių amplitudės padidėjimas, kai išorinės, varomosios jėgos dažnis sutampa su virpesių sistemos natūraliu dažniu.
Esant rezonansui = 0 ir svyravimo periodas
.
Atsižvelgiant į tai, kad slopinimo koeficientas
,
gauname rezonanso kokybės koeficiento išraiškas T = T 0
,
kitoje pusėje
.
Rezonanso induktyvumo ir talpos įtampos amplitudės gali būti išreikštos grandinės kokybės koeficientu
,
(15)
.
(16)
Iš (15) ir (16) aišku, kad kada
=
0, kondensatoriaus įtampos amplitudė ir induktyvumas K kartų didesnė už išorinės emf amplitudę. Tai yra nuoseklumo savybė RLC grandinė naudojama tam tikro dažnio radijo signalui izoliuoti 
iš radijo dažnių spektro perstatant radijo imtuvą.
Apie praktiką RLC grandinės yra prijungtos prie kitų grandinių, matavimo prietaisų ar stiprintuvų, kurie įveda papildomą slopinimą RLC grandinė. Todėl tikroji pakrauto kokybės koeficiento vertė RLC grandinė pasirodo esanti mažesnė už kokybės koeficiento reikšmę, apskaičiuotą pagal formulę
.
Tikroji kokybės faktoriaus vertė gali būti įvertinta kaip
6.14 pav. Kokybės koeficiento nustatymas pagal rezonanso kreivę
,
kur f– dažnių juostos plotis, kurio amplitudė yra 0,7 didžiausios vertės ( ryžių. 4).
Kondensatoriaus įtampa U C, esant aktyviam pasipriešinimui U R ir ant induktoriaus U L pasiekti maksimumą atitinkamai skirtingais dažniais
,
,
.
Jei slopinimas mažas 0 >> , tada visi šie dažniai praktiškai sutampa ir galime manyti, kad
.
1. Išsiaiškinkime, kokios energijos transformacijos vyksta spyruoklinės švytuoklės virpesių metu (žr. 80 pav.). Kai spyruoklė ištempiama, jos potenciali energija didėja, o maksimaliai ištempus ji turi vertę E n = .
Apkrovai judant link pusiausvyros padėties mažėja spyruoklės potencinė energija, didėja apkrovos kinetinė energija. Pusiausvyros padėtyje apkrovos kinetinė energija yra didžiausia E k = , o spyruoklės potencinė energija lygi nuliui.
Suspaudus spyruoklę, jos potenciali energija didėja, o apkrovos kinetinė energija mažėja. Esant didžiausiam suspaudimui, spyruoklės potencinė energija yra maksimali, o apkrovos kinetinė energija lygi nuliui.
Jei nepaisysime trinties jėgos, bet kuriuo laiko momentu potencialių ir kinetinių energijų suma nesikeičia
E = E n + E k = konst.
Esant trinties jėgai, energija eikvojama darbui prieš šią jėgą, svyravimų amplitudė mažėja ir svyravimai išnyksta.
Taigi laisvieji švytuoklės svyravimai, atsirandantys dėl pradinio energijos tiekimo, visada yra išblukęs.
2. Kyla klausimas, ką reikia padaryti, kad laikui bėgant svyravimai nesiliautų. Akivaizdu, kad norint gauti neslopintus svyravimus, reikia kompensuoti energijos nuostolius. Tai galima padaryti įvairiais būdais. Panagrinėkime vieną iš jų.
Puikiai žinote, kad sūpynių vibracijos neužges, jei nuolat jas stumsite, tai yra veiksite su tam tikra jėga. Tokiu atveju sūpynės vibracijos nebėra laisvos, jos atsiras veikiamos išorinės jėgos. Šios išorinės jėgos darbas tiksliai papildo trinties sukeltus energijos nuostolius.
Išsiaiškinkime, kokia turėtų būti išorinė jėga? Tarkime, kad jėgos dydis ir kryptis yra pastovūs. Akivaizdu, kad tokiu atveju svyravimai sustos, nes kūnas, perėjęs pusiausvyros padėtį, į ją nebegrįš. Todėl išorinės jėgos dydis ir kryptis turi periodiškai keistis.
Taigi,
priverstiniai svyravimai – tai svyravimai, atsirandantys veikiant išorinei, periodiškai besikeičiančiai jėgai.
Priverstinės vibracijos, skirtingai nei laisvosios, gali atsirasti bet kokiu dažniu. Priverstinių svyravimų dažnis lygus kūną veikiančios jėgos kitimo dažniui,šiuo atveju jis vadinamas verčiant.
3. Padarykime eksperimentą. Ant stelažuose pritvirtintos virvės pakabiname kelias skirtingo ilgio švytuokles (82 pav.). Nukreipkime švytuoklę A iš pusiausvyros padėties ir palikite ją sau. Jis laisvai svyruos, veikdamas tam tikra periodine jėga virvę. Virvė, savo ruožtu, veiks likusias švytuokles. Dėl to visos švytuoklės pradės atlikti priverstinius svyravimus su švytuoklės svyravimų dažniu A.
Pamatysime, kad visos švytuoklės pradės svyruoti dažniu, lygiu švytuoklės svyravimų dažniui A. Tačiau jų svyravimų amplitudė, išskyrus švytuoklę C, bus mažesnė už švytuoklės svyravimų amplitudę A. Švytuoklė C, kurio ilgis lygus švytuoklės ilgiui A, supasi labai stipriai. Vadinasi, didžiausią svyravimo amplitudę turi švytuoklė, kurios natūralusis svyravimų dažnis sutampa su varomosios jėgos dažniu. Šiuo atveju jie sako, kad tai laikomasi rezonansas.
Rezonansas yra staigus priverstinių virpesių amplitudės padidėjimas, kai varomosios jėgos dažnis sutampa su svyravimo sistemos (švytuoklės) natūraliu dažniu.
Kai sūpynės svyruoja, galima pastebėti rezonansą. Dabar galite paaiškinti, kad sūpynės supasi stipriau, jei jos bus stumiamos laiku su savo vibracijomis. Šiuo atveju išorinės jėgos dažnis yra lygus siūbavimo virpesių dažniui. Bet koks stūmimas prieš sūpynės judėjimą sumažins jo amplitudę.
4 * . Sužinokime, kokios energijos transformacijos vyksta rezonanso metu.
Jei varomosios jėgos dažnis skiriasi nuo natūralaus kūno vibracijos dažnio, tai varomoji jėga bus nukreipta arba kūno judėjimo kryptimi, arba prieš jį. Atitinkamai, šios jėgos darbas bus neigiamas arba teigiamas. Apskritai varomosios jėgos darbas šiuo atveju šiek tiek keičia sistemos energiją.
Tegu dabar išorinės jėgos dažnis lygus natūraliam kūno virpesių dažniui. Šiuo atveju varomosios jėgos kryptis sutampa su kūno greičio kryptimi, o pasipriešinimo jėga kompensuojama išorine jėga. Kūnas vibruoja tik veikiamas vidinių jėgų. Kitaip tariant, neigiamas darbas prieš pasipriešinimo jėgą yra lygus teigiamam išorinės jėgos darbui. Todėl svyravimai vyksta su didžiausia amplitude.
5. Praktiškai reikia atsižvelgti į rezonanso reiškinį. Visų pirma, darbo metu staklės ir mašinos patiria nedidelę vibraciją. Jei šių virpesių dažnis sutampa su atskirų mašinų dalių natūraliu dažniu, tai vibracijų amplitudė gali būti labai didelė. Mašina arba atrama, ant kurios ji stovi, sugrius.
Yra žinomi atvejai, kai dėl rezonanso ore subyrėjo lėktuvas, lūžo laivų sraigtai, sugriuvo geležinkelio bėgiai.
Rezonanso galima išvengti pakeitus arba natūralų sistemos dažnį, arba svyravimus sukeliančios jėgos dažnį. Tuo tikslu, pavyzdžiui, tiltą kertantys kariai eina ne žingsniu, o laisvu žingsniu. Priešingu atveju jų žingsnių dažnis gali sutapti su natūraliu tilto dažniu ir jis sugrius. Tai įvyko 1750 metais Prancūzijoje, kuomet kareivių būrys perėjo per 102 m ilgio tiltą, kabantį ant grandinių. Panašus incidentas įvyko Sankt Peterburge 1906 m. Kai kavalerijos eskadrilė kirto Egipto tiltą per Fontankos upę, žirgų aiškaus žingsnio dažnis sutapo su tilto vibracijos dažniu.
Kad būtų išvengta rezonanso, traukiniai kerta tiltus lėtu arba labai dideliu greičiu, kad ratų smūgių į bėgių jungtis dažnis būtų žymiai mažesnis arba žymiai didesnis už natūralų tilto dažnį.
Rezonanso reiškinys ne visada žalingas. Kartais tai gali būti naudinga, nes leidžia pasiekti didelį vibracijų amplitudės padidėjimą net ir nedidele jėga.
Įrenginio, leidžiančio matuoti virpesių dažnį, veikimas yra pagrįstas rezonanso reiškiniu. Šis įrenginys vadinamas dažnio matuoklis. Jo darbą galima iliustruoti tokiu eksperimentu. Prie išcentrinės mašinos pritvirtintas dažnio matuoklio modelis, susidedantis iš įvairaus ilgio plokščių (liežuvėlių) rinkinio (83 pav.). Plokštelių galuose yra skardinės vėliavėlės, padengtos baltais dažais. Galite pastebėti, kad pakeitus mašinos rankenos sukimosi greitį, skirtingos plokštės pradeda vibruoti. Tos plokštės, kurių natūralusis dažnis yra lygus sukimosi dažniui, pradeda vibruoti.
Savęs patikrinimo klausimai
1. Kas lemia spyruoklinės švytuoklės laisvųjų svyravimų amplitudę?
2. Ar esant trinties jėgoms, švytuoklės svyravimų amplitudė išlieka pastovi?
3. Kokie energijos virsmai įvyksta, kai svyruoja spyruoklės švytuoklė?
4. Kodėl slopinami laisvieji virpesiai?
5. Kokios vibracijos vadinamos priverstiniais? Pateikite priverstinių svyravimų pavyzdžių.
6. Kas yra rezonansas?
7. Pateikite žalingų rezonanso apraiškų pavyzdžių. Ką reikia padaryti norint išvengti rezonanso?
8. Pateikite rezonanso reiškinio panaudojimo pavyzdžių.
26 užduotis
1. Užpildykite 14 lentelę, užrašydami, kokia jėga veikia svyravimo sistemą, jei ji atlieka laisvuosius arba priverstinius virpesius; koks yra šių svyravimų dažnis ir amplitudė; nesvarbu, ar jie slopinami, ar ne.
14 lentelė
|
Virpesių charakteristikos |
Vibracijos tipas |
|
|
Yra |
Priverstas |
|
|
Veikianti jėga |
||
|
Dažnis |
||
|
Amplitudė |
||
|
Silpninimas |
||
2 e.Pasiūlykite eksperimentą priverstiniams virpesiams stebėti.
3 e.Eksperimentiškai ištirkite rezonanso reiškinį naudodami savo sukurtas matematines švytuokles.
4. Tam tikru siuvimo mašinos rato sukimosi greičiu stalas, ant kurio jis stovi, kartais stipriai siūbuoja. Kodėl?
Priverstiniai svyravimai – tai tie svyravimai, kurie atsiranda sistemoje, kai ją veikia išorinė jėga, periodiškai kintanti jėga, vadinama varomąja jėga.
Varomosios jėgos pobūdis (priklausomybė nuo laiko) gali būti skirtingas. Tai gali būti jėga, besikeičianti pagal harmoninį dėsnį. Pavyzdžiui, garso banga, kurios šaltinis yra kamertonas, atsitrenkia į ausies būgnelį arba mikrofono membraną. Membrana pradeda veikti harmoningai kintanti oro slėgio jėga.
Varomoji jėga gali būti sukrėtimų ar trumpų impulsų pobūdžio. Pavyzdžiui, suaugęs žmogus supasi vaiką ant sūpynių, periodiškai jas stumdamas tuo metu, kai sūpynės pasiekia vieną iš savo kraštutinių padėčių.
Mūsų užduotis – išsiaiškinti, kaip svyravimo sistema reaguoja į periodiškai kintančios varomosios jėgos įtaką.
§ 1 Varomoji jėga keičiasi pagal harmonikų dėsnį
F pasipriešinimas = - rv x ir įtikinama jėga F out = F 0 sin wt.
Antrasis Niutono dėsnis bus parašytas taip:
(1) lygties sprendinys ieškomas formoje , kur yra (1) lygties sprendinys, jei ji neturėjo dešinės pusės. Matyti, kad be dešinės pusės lygtis virsta gerai žinoma slopintų virpesių lygtimi, kurios sprendimą mes jau žinome. Per pakankamai ilgą laiką laisvieji svyravimai, atsirandantys sistemoje ją išėmus iš pusiausvyros padėties, praktiškai užges, o lygties sprendime liks tik antrasis narys. Šio sprendimo ieškosime formoje
Sugrupuokime terminus skirtingai:
Ši lygybė turi būti įvykdyta bet kuriuo momentu t, o tai įmanoma tik tuo atveju, jei sinuso ir kosinuso koeficientai lygūs nuliui.
Taigi kūnas, kurį veikia varomoji jėga, besikeičiantis pagal harmoninį dėsnį, atlieka svyruojantį judesį varomosios jėgos dažniu.
Išsamiau panagrinėkime priverstinių virpesių amplitudės klausimą:
1 Pastovios būsenos priverstinių svyravimų amplitudė laikui bėgant nekinta. (Palyginkite su laisvųjų slopintų virpesių amplitude).
2 Priverstinių svyravimų amplitudė yra tiesiogiai proporcinga varomosios jėgos amplitudei.
3 Amplitudė priklauso nuo trinties sistemoje (A priklauso nuo d, o slopinimo koeficientas d, savo ruožtu, priklauso nuo pasipriešinimo koeficiento r). Kuo didesnė trintis sistemoje, tuo mažesnė priverstinių svyravimų amplitudė.
4 Priverstinių svyravimų amplitudė priklauso nuo varomosios jėgos w dažnio. Kaip? Išnagrinėkime funkciją A(w).
Esant w = 0 (svyravimo sistemą veikia pastovi jėga), kūno poslinkis laikui bėgant yra pastovus (reikia turėti omenyje, kad tai reiškia pastovią būseną, kai natūralūs svyravimai beveik išnyko).
· Kai w ® ¥, tada, kaip nesunku pastebėti, amplitudė A linkusi į nulį.
· Akivaizdu, kad esant tam tikram varomosios jėgos dažniui, priverstinių svyravimų amplitudė įgis didžiausią reikšmę (tam d). Staigus priverstinių virpesių amplitudės padidėjimas esant tam tikrai varomosios jėgos dažnio vertei vadinamas mechaniniu rezonansu.
Įdomu tai, kad virpesių sistemos kokybės koeficientas šiuo atveju parodo, kiek kartų rezonansinė amplitudė viršija kūno poslinkį iš pusiausvyros padėties veikiant pastoviai jėgai F 0 .
Matome, kad ir rezonansinis dažnis, ir rezonanso amplitudė priklauso nuo slopinimo koeficiento d. Kai d sumažėja iki nulio, rezonansinis dažnis didėja ir linksta į sistemos natūralų virpesių dažnį w 0 . Šiuo atveju rezonansinė amplitudė didėja ir esant d = 0 eina į begalybę. Žinoma, praktiškai svyravimų amplitudė negali būti begalinė, nes tikrose virpesių sistemose visada veikia pasipriešinimo jėgos. Jei sistema turi mažą slopinimą, galime apytiksliai daryti prielaidą, kad rezonansas vyksta jos pačios virpesių dažniu:
kur nagrinėjamu atveju yra fazės poslinkis tarp varančiosios jėgos ir kūno poslinkio iš pusiausvyros padėties.
Nesunku pastebėti, kad fazės poslinkis tarp jėgos ir poslinkio priklauso nuo trinties sistemoje ir išorinės varomosios jėgos dažnio. Ši priklausomybė parodyta paveikslėlyje. Aišku, kada< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- teigiamas.
Žinant priklausomybę nuo kampo, galima gauti priklausomybę nuo varomosios jėgos dažnio.
Esant išorinės jėgos dažniams, kurie yra žymiai mažesni už natūraliąją jėgą, poslinkis šiek tiek atsilieka nuo varomosios jėgos fazėje. Didėjant išorinės jėgos dažniui, šis fazės vėlavimas didėja. Esant rezonansui (jei mažas), fazės poslinkis tampa lygus . Kai >> poslinkis ir jėgos svyravimai vyksta priešfazėje. Ši priklausomybė iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti keista. Norėdami suprasti šį faktą, atsigręžkime į energijos transformacijas priverstinių virpesių procese.
§ 2 Energijos transformacijos
Kaip jau žinome, svyravimų amplitudę lemia visa virpesių sistemos energija. Anksčiau buvo parodyta, kad priverstinių virpesių amplitudė laikui bėgant nesikeičia. Tai reiškia, kad suminė virpesių sistemos mechaninė energija laikui bėgant nekinta. Kodėl? Juk sistema neuždaryta! Dvi jėgos – išorinė periodiškai besikeičianti jėga ir pasipriešinimo jėga – atlieka darbą, kuris turėtų pakeisti bendrą sistemos energiją.
Pabandykime išsiaiškinti, kas vyksta. Išorinės varomosios jėgos galią galima rasti taip:
Matome, kad išorinės jėgos, maitinančios virpesių sistemą energija, galia yra proporcinga virpesių amplitudei.
Dėl pasipriešinimo jėgos darbo svyravimo sistemos energija turėtų sumažėti, virsti vidine. Atsparumo jėgos galia:
Akivaizdu, kad pasipriešinimo jėgos galia yra proporcinga amplitudės kvadratui. Abi priklausomybes nubraižykime grafike.
Kad svyravimai būtų tolygūs (amplitudė laikui bėgant nekinta), išorinės jėgos darbas per laikotarpį turi kompensuoti sistemos energijos nuostolius dėl pasipriešinimo jėgos darbo. Galios grafikų susikirtimo taškas tiksliai atitinka šį režimą. Įsivaizduokime, kad kažkodėl sumažėjo priverstinių svyravimų amplitudė. Tai lems tai, kad momentinė išorinės jėgos galia bus didesnė už nuostolių galią. Dėl to padidės virpesių sistemos energija, o svyravimų amplitudė atkurs ankstesnę vertę.
Panašiai galima įsitikinti, kad atsitiktinai padidėjus svyravimų amplitudei, galios nuostoliai viršys išorinės jėgos galią, o tai lems sistemos energijos sumažėjimą, taigi, amplitudės sumažėjimas.
Grįžkime prie fazės poslinkio tarp poslinkio ir rezonanso varomosios jėgos klausimo. Mes jau parodėme, kad poslinkis atsilieka, todėl jėga lemia poslinkį . Kita vertus, greičio projekcija harmoninių virpesių procese visada lenkia koordinatę . Tai reiškia, kad rezonanso metu išorinė varomoji jėga ir greitis svyruoja toje pačioje fazėje. Tai reiškia, kad jie yra bendrai vadovaujami bet kuriuo metu! Išorinės jėgos darbas šiuo atveju visada yra teigiamas, tai visi eina papildyti virpesių sistemą energija.
§ 3 Nesinusinė periodinė įtaka
Priverstiniai osciliatoriaus svyravimai galimi esant bet kokiam periodiniam išoriniam poveikiui, ne tik sinusoidiniam. Šiuo atveju nustatyti svyravimai, paprastai kalbant, nebus sinusiniai, o reprezentuos periodinį judėjimą, kurio periodas lygus išorinės įtakos periodui.
Išorinė įtaka gali būti, pavyzdžiui, vienas po kito einantys smūgiai (prisiminkite, kaip suaugęs žmogus „sūpuoja“ ant sūpynių sėdintį vaiką). Jei išorinių smūgių periodas sutampa su natūralių svyravimų periodu, tai sistemoje gali atsirasti rezonansas. Svyravimai bus beveik sinusiniai. Energija, perduodama sistemai kiekvieno paspaudimo metu, papildo bendrą sistemos energiją, prarastą dėl trinties. Akivaizdu, kad šiuo atveju galimi variantai: jei stūmimo metu perduodama energija yra lygi arba viršija trinties nuostolius per periodą, tada svyravimai bus arba pastovūs, arba jų apimtis padidės. Tai aiškiai matoma fazių diagramoje.
Akivaizdu, kad rezonansas galimas ir tuo atveju, kai smūgių pasikartojimo periodas yra natūralių svyravimų periodo kartotinis. Tai neįmanoma dėl sinusoidinio išorinio poveikio pobūdžio.
Kita vertus, net jei smūgio dažnis sutampa su natūraliu dažniu, rezonansas gali būti nepastebėtas. Jei tik trinties nuostoliai per laikotarpį viršija energiją, kurią sistema gauna stūmimo metu, tai bendra sistemos energija sumažės, o svyravimai slops.
§ 4 Parametrinis rezonansas
Išorinė įtaka virpesių sistemai gali būti sumažinta iki periodinių pačios virpesių sistemos parametrų pokyčių. Tokiu būdu sužadinami svyravimai vadinami parametriniais, o pats mechanizmas – parametrinis rezonansas .
Pirmiausia pabandysime atsakyti į klausimą: ar galima išjudinti sistemoje jau esamus nedidelius svyravimus periodiškai tam tikru būdu keičiant kai kuriuos jos parametrus.
Kaip pavyzdį apsvarstykite žmogų, besisiūbuojantį ant sūpynių. Sulenkdamas ir ištiesdamas kojas „tinkamais“ momentais, jis iš tikrųjų pakeičia švytuoklės ilgį. Kraštutinėse padėtyse žmogus pritūpia, taip šiek tiek nuleisdamas svyravimo sistemos svorio centrą vidurinėje padėtyje, žmogus išsitiesia, pakeldamas sistemos svorio centrą.
Kad suprastumėte, kodėl žmogus siūbuojasi tuo pačiu metu, apsvarstykite itin supaprastintą žmogaus ant sūpynių modelį – įprastą mažą švytuoklę, tai yra, nedidelį svorį ant lengvo ir ilgo sriegio. Siekdami imituoti svorio centro pakėlimą ir nuleidimą, viršutinį sriegio galą ištrauksime per mažą skylutę ir trauksime siūlą tais momentais, kai švytuoklė pereis iš pusiausvyros padėties, ir nuleisime siūlą tiek pat, kai švytuoklė praeina kraštutinę padėtį.
Sriegio įtempimo jėgos darbas per periodą (atsižvelgiant į tai, kad krovinys pakeliamas ir nuleidžiamas du kartus per periodą ir kad D l << l):
Atkreipkite dėmesį, kad skliausteliuose nėra nieko daugiau, kaip trigubai virpesių sistemos energijai. Beje, šis dydis yra teigiamas, todėl įtempimo jėgos darbas (mūsų darbas) yra teigiamas, dėl to padidėja bendra sistemos energija, taigi ir švytuoklės svyravimas.
Įdomu tai, kad santykinis energijos pokytis per tam tikrą laikotarpį nepriklauso nuo to, ar švytuoklė svyruoja silpnai ar stipriai. Tai labai svarbu ir štai kodėl. Jei švytuoklė nebus „pripumpuota“ energijos, tai kiekvienam periodui dėl trinties jėgos ji neteks tam tikros energijos dalies, o svyravimai išnyks. O kad svyravimų diapazonas padidėtų, būtina, kad gaunama energija viršytų tą, kuri prarandama norint įveikti trintį. Ir ši sąlyga, pasirodo, ta pati – ir mažos amplitudės, ir didelės.
Pavyzdžiui, jei per vieną laikotarpį laisvųjų svyravimų energija sumažėja 6%, tai tam, kad 1 m ilgio švytuoklės svyravimai nesuslopintų, užtenka vidurinėje padėtyje jos ilgį sumažinti 1 cm ir padidinti. ji tiek pat ir kraštutinėje padėtyje.
Grįžtant prie sūpynių: jei pradedi siūbuoti, tuomet nereikia tupėti vis gilyn ir gilyn – visą laiką tupėk taip pat, ir skrisi vis aukščiau!
*** Vėl kokybė!
Kaip jau minėjome, parametriniam virpesių kaupimuisi turi būti įvykdyta trinties per periodą sąlyga DE > A.
Raskime trinties jėgos atliktą darbą per laikotarpį
Matyti, kad santykinį švytuoklės pakėlimą jai palenkti lemia sistemos kokybės faktorius.
§ 5 Rezonanso reikšmė
Priverstiniai virpesiai ir rezonansas plačiai naudojami technologijose, ypač akustikoje, elektrotechnikoje ir radijo inžinerijoje. Rezonansas pirmiausia naudojamas tada, kai iš daugybės skirtingų dažnių virpesių norima atskirti tam tikro dažnio virpesius. Rezonansas taip pat naudojamas tiriant labai silpnus periodiškai pasikartojančius dydžius.
Tačiau kai kuriais atvejais rezonansas yra nepageidaujamas reiškinys, nes jis gali sukelti dideles deformacijas ir konstrukcijų sunaikinimą.
§ 6 Problemų sprendimo pavyzdžiai
1 uždavinys Priverstiniai spyruoklinės švytuoklės svyravimai veikiant išorinei sinusinei jėgai.
M = 10 g masės apkrova buvo pakabinta ant spyruoklės, kurios standumas k = 10 N/m, ir sistema patalpinta į klampią terpę, kurios pasipriešinimo koeficientas r = 0,1 kg/s. Palyginkite sistemos natūraliuosius ir rezonansinius dažnius. Nustatykite svyruoklės svyravimų amplitudę rezonanso metu, veikiant sinusinei jėgai, kurios amplitudė F 0 = 20 mN.
Sprendimas:
1 Natūralusis virpesių sistemos dažnis yra laisvųjų virpesių dažnis, kai nėra trinties. Natūralus ciklinis dažnis yra lygus virpesių dažniui.
2 Rezonansinis dažnis – išorinės varomosios jėgos dažnis, kuriam esant stipriai padidėja priverstinių virpesių amplitudė. Rezonansinis ciklinis dažnis lygus , kur slopinimo koeficientas lygus .
Taigi rezonansinis dažnis yra . Nesunku pastebėti, kad rezonansinis dažnis yra mažesnis už natūralųjį dažnį! Taip pat aišku, kad kuo mažesnė trintis sistemoje (r), tuo rezonansinis dažnis artimesnis natūraliajam dažniui.
3 Rezonanso amplitudė yra
2 užduotis Virpesių sistemos rezonanso amplitudė ir kokybės koeficientas
m = 100 g masės apkrova buvo pakabinta ant spyruoklės, kurios standumas k = 10 N/m, ir sistema buvo patalpinta į klampią terpę, kurios atsparumo koeficientas
r = 0,02 kg/s. Nustatykite virpesių sistemos kokybės koeficientą ir svyruoklės svyravimų amplitudę rezonanso metu, veikiant sinusinei jėgai, kurios amplitudė F 0 = 10 mN. Raskite rezonansinės amplitudės ir statinio poslinkio santykį veikiant pastoviai jėgai F 0 = 20 mN ir palyginkite šį santykį su kokybės koeficientu.
Sprendimas:
1 Virpesių sistemos kokybės koeficientas lygus , kur yra logaritminio slopinimo mažėjimas.
Logaritminio slopinimo mažėjimas yra lygus .
Virpesių sistemos kokybės koeficiento nustatymas.
2 Rezonanso amplitudė yra
3 Statinis poslinkis veikiant pastoviai jėgai F 0 = 10 mN lygus .
4 Rezonansinės amplitudės ir statinio poslinkio santykis veikiant pastoviai jėgai F 0 yra lygus
Nesunku pastebėti, kad šis santykis sutampa su virpesių sistemos kokybės koeficientu
3 uždavinys Spindulio rezonansiniai virpesiai
Veikiamas elektros variklio svorio, konsolinis bakas, ant kurio jis sumontuotas, sulenktas. Kokiu variklio armatūros greičiu gali kilti rezonanso pavojus?
Sprendimas:
1 Variklio korpusas ir sija, ant kurios ji sumontuota, patiria periodinius smūgius nuo besisukančios variklio armatūros ir todėl atlieka priverstinius svyravimus smūgių dažniu.
Rezonansas bus stebimas, kai smūgių dažnis sutampa su natūraliu spindulio su varikliu vibracijos dažniu. Būtina rasti sijos-variklio sistemos natūralų vibracijos dažnį.
2 Sijos-variklio virpesių sistemos analogas gali būti vertikali spyruoklinė švytuoklė, kurios masė lygi variklio masei. Spyruoklinės švytuoklės natūralusis virpesių dažnis lygus . Tačiau spyruoklės standumas ir variklio masė nėra žinomi! Ką turėčiau daryti?
3 Spyruoklės švytuoklės pusiausvyros padėtyje apkrovos gravitacinė jėga yra subalansuota spyruoklės elastine jėga
4 Raskite variklio armatūros sukimąsi, t.y. smūgio dažnis
4 uždavinys Priverstiniai spyruoklinės švytuoklės svyravimai veikiant periodiniams smūgiams.
Svoris, kurio masė m = 0,5 kg, pakabinamas ant spiralinės spyruoklės, kurios standumas k = 20 N/m. Virpesių sistemos logaritminio slopinimo mažėjimas yra lygus . Jie nori siūbuoti svarmenį trumpais stūmimais, veikiant svorį jėga F = 100 mN τ = 0,01 s. Koks turi būti smūgių dažnis, kad svorio amplitudė būtų didžiausia? Kuriuose taškuose ir kokia kryptimi reikia stumti virdulį? Iki kokios amplitudės tokiu būdu bus galima pasukti svorį?
Sprendimas:
1 Priverstinė vibracija gali atsirasti esant bet kokiam periodiniam poveikiui. Šiuo atveju pastoviosios būsenos svyravimai įvyks esant išorinio poveikio dažniui. Jei išorinių smūgių periodas sutampa su natūralių svyravimų dažniu, tai sistemoje atsiranda rezonansas – svyravimų amplitudė tampa didžiausia. Mūsų atveju, kad atsirastų rezonansas, smūgių laikotarpis turi sutapti su spyruoklės švytuoklės svyravimo periodu.
Logaritminio slopinimo mažėjimas yra mažas, todėl sistemoje yra mažai trinties, o švytuoklės svyravimo klampioje terpėje laikotarpis praktiškai sutampa su švytuoklės svyravimo vakuume periodu:
2 Akivaizdu, kad stūmimų kryptis turi sutapti su svorio greičiu. Tokiu atveju išorinės jėgos, papildančios sistemą energija, darbas bus teigiamas. Ir vibracijos siūbuos. Energija, kurią sistema gauna poveikio proceso metu
bus didžiausias, kai apkrova pereis pusiausvyros padėtį, nes šioje padėtyje švytuoklės greitis yra didžiausias.
Taigi sistema greičiausiai svyruos veikiant smūgiams krovinio judėjimo kryptimi, kai ji eina per pusiausvyros padėtį.
3 Virpesių amplitudė nustoja augti, kai smūgio proceso metu sistemai perduodama energija yra lygi energijos nuostoliams dėl trinties per laikotarpį: .
Energijos nuostolius per tam tikrą laikotarpį rasime per virpesių sistemos kokybės faktorių
čia E yra visa virpesių sistemos energija, kurią galima apskaičiuoti kaip .
Vietoj energijos praradimo mes pakeičiame energiją, kurią sistema gauna smūgio metu:
Didžiausias greitis virpesių proceso metu yra . Atsižvelgdami į tai, gauname.
§7 Savarankiško sprendimo užduotys
Bandymas „Priverstinės vibracijos“
1 Kokie svyravimai vadinami priverstiniais?
A) Svyravimai, atsirandantys veikiant išorinėms periodiškai besikeičiančioms jėgoms;
B) Svyravimai, atsirandantys sistemoje po išorinio smūgio;
2 Kuris iš šių svyravimų yra priverstinis?
A) Krovinio, pakabinamo nuo spyruoklės, svyravimas po vienkartinio nukrypimo nuo pusiausvyros padėties;
B) Garsiakalbio kūgio virpesiai veikiant imtuvui;
B) Apkrovos, pakabintos nuo spyruoklės, svyravimas po vienkartinio smūgio į apkrovą pusiausvyros padėtyje;
D) Elektros variklio korpuso vibracija jo veikimo metu;
D) Muzikos klausančio žmogaus ausies būgnelio virpesiai.
3 Virpesių sistemą su savo dažniu veikia išorinė varomoji jėga, kuri kinta pagal įstatymus. Slopinimo koeficientas virpesių sistemoje lygus . Pagal kokį dėsnį laikui bėgant kinta kūno koordinatė?
C) Priverstinių svyravimų amplitudė išliks nepakitusi, nes dėl trinties sistemos prarastą energiją kompensuos energijos prieaugis dėl išorinės varomosios jėgos darbo.
5 Sistema atlieka priverstinius virpesius, veikiant sinusoidinei jėgai. Nurodykite Visi veiksniai, nuo kurių priklauso šių svyravimų amplitudė.
A) Iš išorinės varomosios jėgos amplitudės;
B) Energijos buvimas svyravimo sistemoje tuo momentu, kai pradeda veikti išorinė jėga;
C) pačios virpesių sistemos parametrai;
D) Trintis virpesių sistemoje;
D) natūralių svyravimų egzistavimas sistemoje tuo momentu, kai pradeda veikti išorinė jėga;
E) svyravimų atsiradimo laikas;
G) Išorinės varomosios jėgos dažniai.
6 Masės m blokas atlieka priverstinius harmoninius virpesius išilgai horizontalios plokštumos, kurios periodas T ir amplitudė A. Trinties koeficientas μ. Kokį darbą išorinė varomoji jėga atlieka per laikotarpį, lygų periodui T?
A) 4μmgA; B) 2μmgA; B) μmgA; D) 0;
D) Neįmanoma atsakyti, nes išorinės varomosios jėgos dydis nėra žinomas.
7 Pateikite teisingą teiginį
Rezonansas yra reiškinys...
A) Išorinės jėgos dažnio sutapimas su natūraliu virpesių sistemos dažniu;
B) Staigus priverstinių virpesių amplitudės padidėjimas.
Esant sąlygai, stebimas rezonansas
A) Trinties mažinimas virpesių sistemoje;
B) Išorinės varomosios jėgos amplitudės didinimas;
C) Išorinės jėgos dažnio sutapimas su svyravimo sistemos savuoju dažniu;
D) Kai išorinės jėgos dažnis sutampa su rezonansiniu dažniu.
8 Rezonanso reiškinį galima pastebėti...
A) Bet kurioje virpesių sistemoje;
B) Sistemoje, kuri atlieka laisvuosius virpesius;
B) Savaime svyruojančioje sistemoje;
D) Sistemoje, kurioje vyksta priverstiniai svyravimai.
9 Paveikslėlyje parodytas priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybės nuo varomosios jėgos dažnio grafikas. Rezonansas atsiranda tokiu dažniu...
10 Trys vienodos švytuoklės, esančios skirtingose klampiose terpėse, atlieka priverstinius svyravimus. Paveiksle pavaizduotos šių švytuoklių rezonanso kreivės. Kuri švytuoklė patiria didžiausią klampios terpės pasipriešinimą virpesių metu?
A) 1; B) 2; AT 3;
D) Neįmanoma atsakyti, nes priverstinių svyravimų amplitudė, be išorinės jėgos dažnio, priklauso ir nuo jos amplitudės. Sąlyga nieko nesako apie išorinės varomosios jėgos amplitudę.
11 Virpesių sistemos natūralių svyravimų periodas lygus T 0. Koks gali būti smūgių laikotarpis, kad svyravimų amplitudė smarkiai padidėtų, tai yra, sistemoje atsirastų rezonansas?
A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;
C) Sūpynės gali būti siūbuojamos bet kokio dažnio stūmimais.
12 Tavo mažasis brolis sėdi ant sūpynių, tu siūboji jį trumpais stūmimais. Koks turėtų būti smūgių eilės laikotarpis, kad procesas vyktų efektyviausiai? Sūpynių natūralių svyravimų periodas T 0.
D) Sūpynės gali būti siūbuojamos bet kokio dažnio stūmimais.
13 Tavo mažasis brolis sėdi ant sūpynių, tu siūboji jį trumpais stūmimais. Kokioje sūpynės padėtyje reikia stumti ir kokia kryptimi stumti, kad procesas vyktų efektyviausiai?
A) Pasukite į aukščiausią sūpynių padėtį link pusiausvyros padėties;
B) Stumkite į aukščiausią sūpynių padėtį kryptimi nuo pusiausvyros padėties;
B) Stumkite subalansuotoje padėtyje sūpynės judėjimo kryptimi;
D) Galite stumti bet kurioje padėtyje, bet visada sūpynės judėjimo kryptimi.
14 Atrodytų, kad laiku šaudant iš timpa į tiltą su savo vibracijomis ir padarius daug šūvių, galite jį stipriai siūbuoti, bet vargu ar tai pavyks. Kodėl?
A) tilto masė (jo inercija) yra didelė, palyginti su timpa „kulkos“ mase, veikiamas tokių smūgių tiltas negalės judėti;
B) „kulkos“ smūgio iš timpa jėga yra tokia maža, kad tiltas negalės judėti veikiamas tokių smūgių;
C) Energija, perduodama tiltui vienu smūgiu, yra daug mažesnė nei energijos nuostoliai dėl trinties per laikotarpį.
15 Neši kibirą vandens. Vanduo kibire siūbuoja ir išsitaško. Ką daryti, kad taip nenutiktų?
A) Pasukite ranką, kurioje yra kibiras, vaikščiojimo ritmu;
B) Pakeiskite judėjimo greitį, palikdami nepakeistą žingsnių ilgį;
C) Periodiškai sustokite ir palaukite, kol vandens vibracijos nurims;
D) Įsitikinkite, kad judesio metu ranka su kibiru yra griežtai vertikaliai.
Užduotys
1 Sistema atlieka slopintus virpesius 1000 Hz dažniu. Apibrėžkite dažnį v 0 natūralių virpesių, jei rezonansinis dažnis
2 Nustatykite, pagal kokią reikšmę D v rezonansinis dažnis skiriasi nuo natūralaus dažnio v 0= 1000 Hz virpesių sistema, kuriai būdingas slopinimo koeficientas d = 400s -1.
3 100 g masės apkrova, pakabinta ant 10 N/m standumo spyruoklės, atlieka priverstinius svyravimus klampioje terpėje, kurios pasipriešinimo koeficientas r = 0,02 kg/s. Nustatykite slopinimo koeficientą, rezonansinį dažnį ir amplitudę. Varomosios jėgos amplitudė yra 10 mN.
4 Priverstinių harmoninių virpesių amplitudės esant dažniams w 1 = 400 s -1 ir w 2 = 600 s -1 yra lygios. Nustatykite rezonansinį dažnį.
5 Sunkvežimiai į grūdų sandėlį įvažiuoja gruntiniu keliu iš vienos pusės, iškrauna ir išvažiuoja iš sandėlio tokiu pat greičiu, bet kita puse. Kurioje sandėlio pusėje kelyje daugiau duobių nei kitoje? Kaip pagal kelio būklę nustatyti, iš kurios sandėlio pusės yra įėjimas, o iš kurios – išėjimas? Pagrįskite atsakymą
Priverstinės vibracijos vibracijos, atsirandančios bet kurioje sistemoje, veikiant kintamai išorinei jėgai (pavyzdžiui, telefono membranos virpesiai veikiant kintamam magnetiniam laukui, mechaninės konstrukcijos virpesiai veikiant kintamajai apkrovai ir kt.). Karinės sistemos pobūdį lemia ir išorinės jėgos pobūdis, ir pačios sistemos savybės. Periodinės išorinės jėgos veikimo pradžioje V. c pobūdis kinta (ypač V. c. nėra periodiniai), o tik po kurio laiko nustatomi periodiniai V. c sistema, kurios periodas lygus išorinės jėgos periodui (pastovios būsenos VC.). Įtampa virpesių sistemoje atsiranda kuo greičiau, tuo didesnis šios sistemos virpesių slopinimas. Visų pirma tiesinėse virpesių sistemose (žr. Virpesių sistemos), įjungus išorinę jėgą, sistemoje vienu metu atsiranda laisvieji (arba natūralūs) virpesiai ir virpesiai, o šių virpesių amplitudės pradiniu momentu yra vienodos, o fazės yra priešingos ( ryžių.
). Palaipsniui susilpnėjus laisviesiems virpesiams, sistemoje lieka tik pastovūs svyravimai. VK amplitudę lemia veikiančios jėgos amplitudė ir slopinimas sistemoje. Jei slopinimas mažas, tai įtampos bangos amplitudė labai priklauso nuo veikiančios jėgos dažnio ir sistemos natūralių virpesių dažnio. Išorinės jėgos dažniui artėjant prie savaiminio sistemos dažnio, VK amplitudė smarkiai padidėja - atsiranda rezonansas. Netiesinėse sistemose (žr. Netiesines sistemas) skirstymas į laisvąsias ir VK ne visada įmanomas. Lit.: Khaikin S.E., Fiziniai mechanikos pagrindai, M., 1963 m.
Didžioji sovietinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. 1969-1978 .
Pažiūrėkite, kas yra „priverstiniai virpesiai“ kituose žodynuose:
Priverstinės vibracijos- Priverstinės vibracijos. Jų amplitudės priklausomybė nuo išorinio poveikio dažnio esant skirtingam slopinimui: 1 silpnas slopinimas; 2 stiprus slopinimas; 3 kritinis slopinimas. PRIVERTINĖS VIBRACIJAS, svyravimai, atsirandantys bet kurioje sistemoje... ... Iliustruotas enciklopedinis žodynas
priverstiniai svyravimai- Svyravimai, atsirandantys periodiškai veikiant išorinei apibendrintai jėgai. [Neardomoji bandymų sistema. Neardomųjų bandymų rūšys (metodai) ir technologija. Terminai ir apibrėžimai (žinynas). Maskva 2003 m.] priverstinai... ... Techninis vertėjo vadovas
Priverstiniai svyravimai – tai svyravimai, atsirandantys veikiant išorinėms jėgoms, kurios laikui bėgant kinta. Savaiminiai svyravimai skiriasi nuo priverstinių svyravimų tuo, kad pastarieji atsiranda dėl periodinių išorinių poveikių ir atsiranda su šio ... Vikipedija
PRIVERTINĖS VIBRACIJAS – vibracijos, atsirandančios bet kurioje sistemoje dėl periodiškai kintančių išorinių poveikių: jėgos mechaninėje sistemoje, įtampos ar srovės virpesių grandinėje. Priverstiniai svyravimai visada atsiranda su ... ... Šiuolaikinė enciklopedija
Svyravimai, kylantys kosminėje l. sistema, veikiama periodiškumo ext. jėgos (pavyzdžiui, telefono membranos virpesiai veikiant kintamam magnetiniam laukui, mechaninės konstrukcijos virpesiai veikiant kintamajai apkrovai). Har r V. k apibrėžiamas kaip išorinis. jėga... Fizinė enciklopedija
Svyravimai, kylantys kosminėje l. sistema, veikiama kintamos ext. įtaka (pvz., įtampos ir srovės svyravimai elektros grandinėje dėl kintamosios emf; mechaninės sistemos virpesiai, kuriuos sukelia kintamoji apkrova). V. K. charakterį lemia... ... Didysis enciklopedinis politechnikos žodynas
Jie atsiranda sistemoje, veikiant periodiniams išoriniams poveikiams (pavyzdžiui, priverstiniai švytuoklės svyravimai veikiant periodinei jėgai, priverstiniai svyravimai svyravimo grandinėje, veikiant periodinei elektrovaros jėgai). Jei…… Didysis enciklopedinis žodynas
Priverstinės vibracijos- (vibracija) – sistemos svyravimai (vibracija), kuriuos sukelia ir palaiko jėga ir (ar) kinematinis sužadinimas. [GOST 24346 80] Priverstinė vibracija – tai sistemų virpesiai, kuriuos sukelia laikui bėgant kintančios apkrovos. [Industrija... ... Statybinių medžiagų terminų, apibrėžimų ir paaiškinimų enciklopedija
- (Suvaržytos vibracijos, priverstinės vibracijos) kūno virpesiai, kuriuos sukelia periodiškai veikianti išorinė jėga. Jei priverstinių svyravimų periodas sutampa su natūralių kūno svyravimų periodu, atsiranda rezonanso reiškinys. Samoilov K.I.... ...Jūrų žodynas
PRIVERTINĖS VIBRACIJAS- (žr.), atsirandantis bet kurioje sistemoje, veikiant išorinei kintamajai įtakai; jų pobūdį lemia ir išorinės įtakos savybės, ir pačios sistemos savybės. Išorės poveikio dažniui artėjant prie natūralių... Didžioji politechnikos enciklopedija
Jie atsiranda sistemoje, veikiant periodiniams išoriniams poveikiams (pavyzdžiui, priverstiniai švytuoklės svyravimai veikiant periodinei jėgai, priverstiniai svyravimai svyravimo grandinėje, veikiant periodiniam emf). Jei dažnis ...... enciklopedinis žodynas
Knygos
- Priverstinės veleno sukimo vibracijos, atsižvelgiant į slopinimą, A.P. Filippovas, Atkurtas originalia 1934 m. leidimo autoriaus rašyba (SSRS mokslų akademijos leidykla Izvestija). IN… Kategorija: Matematika Leidėjas: YOYO Media, Gamintojas: Yoyo Media,
- Priverstinės skersinės strypų vibracijos, atsižvelgiant į slopinimą, A.P. Filippov, Atkurta originalia 1935 m. leidimo autoriaus rašyba (leidykla „TSRS mokslų akademijos Izvestija“)... Kategorija: