Matematika,
jei pažiūrėsi teisingai,
atspindi ne tik tiesą,
bet ir neprilygstamo grožio.
Bertranas Raselas.

Jūs tikrai girdėjote apie fraktalus. Jūs tikrai matėte šiuos kvapą gniaužiančius Bryce3d vaizdus, ​​​​kurie yra tikresni nei pati tikrovė. Kalnai, debesys, medžių žievė – visa tai peržengia įprastą euklido geometriją. Negalime apibūdinti akmens ar salos ribų linijomis, apskritimais ir trikampiais. Ir čia į pagalbą ateina fraktalai. Kas tie pažįstami nepažįstamieji? Kada jie atsirado?

Išvaizdos istorija.

Pirmosios fraktalinės geometrijos idėjos atsirado XIX a. Kantoras, naudodamas paprastą rekursinę (pakartojamą) procedūrą, pavertė liniją nesusijusių taškų rinkiniu (vadinamomis Kantoro dulkėmis). Jis paėmė liniją ir pašalino centrinį trečdalį ir pakartojo tą patį su likusiais segmentais. Peano nubrėžė specialią liniją (1 pav.). Norėdami jį nupiešti, Peano naudojo šį algoritmą.

Pirmajame žingsnyje jis paėmė tiesią liniją ir pakeitė ją 9 atkarpomis, 3 kartus trumpesnėmis už pradinės linijos ilgį (1 paveikslo 1 ir 2 dalys). Tada jis padarė tą patį su kiekvienu gautos linijos segmentu. Ir taip toliau iki begalybės. Jo išskirtinumas yra tas, kad jis užpildo visą plokštumą. Įrodyta, kad kiekviename plokštumos taške galima rasti tašką, priklausantį Peano linijai. Peano kreivė ir Kantoro dulkės peržengė įprastus geometrinius objektus. Jie neturėjo aiškaus matmens. Kantoro dulkės buvo pastatytos remiantis vienmačiu tiesiu, tačiau ją sudarė taškai (0 matmuo). Ir Peano kreivė buvo sudaryta remiantis vienmačiu linija, o rezultatas buvo plokštuma. Daugelyje kitų mokslo sričių atsirado problemų, kurių sprendimas lėmė keistus rezultatus, tokius kaip aprašyti aukščiau (Brauno judėjimas, akcijų kainos).

Fraktalų tėvas

Iki XX amžiaus buvo kaupiami duomenys apie tokius keistus objektus, nesistengiant jų sisteminti. Tai buvo tol, kol Benoit Mandelbrot, šiuolaikinės fraktalų geometrijos ir žodžio fraktalas tėvas, jų nepaėmė. Dirbdamas IBM matematiniu analitiku, jis tyrė elektroninių grandinių triukšmą, kurio neįmanoma apibūdinti naudojant statistiką. Pamažu lygindamas faktus, jis atrado naują matematikos kryptį – fraktalinę geometriją.

Kas yra fraktalas. Pats Mandelbrotas žodį fraktalas kildino iš lotyniško žodžio fractus, kuris reiškia sulaužytas (padalytas į dalis). Ir vienas iš fraktalo apibrėžimų yra geometrinė figūra, susidedanti iš dalių ir kurią galima suskirstyti į dalis, kurių kiekviena reprezentuos sumažintą visumos kopiją (bent jau apytiksliai).

Norėdami atidžiau įsivaizduoti fraktalą, apsvarstykite pavyzdį, pateiktą klasika tapusioje B. Mandelbroto knygoje „Gamtos fraktalų geometrija“ – „Kokio ilgio yra Britanijos pakrantė?“. Atsakymas į šį klausimą nėra toks paprastas, kaip atrodo. Viskas priklauso nuo įrankio, kurį naudosime, ilgio. Išmatavę pakrantę kilometrine liniuote, gauname tam tikrą ilgį. Tačiau mes praleisime daug mažų įlankų ir pusiasalių, kurie yra daug mažesni už mūsų valdovą. Sumažinus liniuotės dydį iki, tarkime, 1 metro, atsižvelgsime į šias kraštovaizdžio detales, atitinkamai padidės pakrantės ilgis. Eikime į priekį ir išmatuokime pakrantės ilgį milimetro liniuote, čia atsižvelgsime į detales, kurios yra daugiau nei milimetras, ilgis bus dar didesnis. Dėl to atsakymas į tokį, atrodytų, paprastą klausimą gali sugluminti kiekvieną – Britanijos pakrantės ilgis yra begalinis.

Šiek tiek apie matmenis.

Kasdieniame gyvenime mes nuolat susiduriame su dimensijomis. Įvertiname kelio ilgį (250 m), išsiaiškiname buto plotą (78 m2) ir ant lipduko ieškome alaus butelio tūrio (0,33 dm3). Ši sąvoka yra gana intuityviai aiški ir, atrodytų, nereikalauja paaiškinimo. Linijos matmuo yra 1. Tai reiškia, kad pasirinkę atskaitos tašką galime apibrėžti bet kurį šios linijos tašką naudodami 1 skaičių – teigiamą arba neigiamą. Ir tai galioja visoms linijoms – apskritimui, kvadratui, parabolei ir kt.

2 matmuo reiškia, kad bet kurį tašką galime vienareikšmiškai apibrėžti dviem skaičiais. Nemanykite, kad dvimatis reiškia plokščią. Sferos paviršius taip pat yra dvimatis (jis gali būti apibrėžtas naudojant dvi reikšmes - kampus, tokius kaip plotis ir ilguma).

Matematiniu požiūriu matmenys nustatomi taip: vienmačiams objektams - padvigubėjus jų linijiniam dydžiui, dydis (šiuo atveju ilgis) padidėja du kartus (2 ^ 1).

2D objektų linijinius matmenis padvigubinus, dydis (pavyzdžiui, stačiakampio plotas) padidės keturis kartus (2 ^ 2).

3D objektų linijinių matmenų padidėjimas du kartus padidina tūrį aštuonis kartus (2 ^ 3) ir pan.

Taigi matmenį D galima apskaičiuoti pagal objekto S "dydžio" padidėjimo priklausomybę nuo linijinių matmenų L padidėjimo. D = log (S) / log (L). D eilutėje = ​​log (2) / log (2) = 1. Plokštumai D = log (4) / log (2) = 2. D tūriui = log (8) / log (2) = 3. Tai gali būti šiek tiek painu, bet apskritai tai nėra sunku ir suprantama.

Kodėl aš visa tai sakau? Ir tam, kad suprastum, kaip atskirti fraktalus nuo, tarkime, dešros. Pabandykime apskaičiuoti Peano kreivės matmenis. Taigi, mes turime pradinę liniją, susidedančią iš trijų X ilgio segmentų, pakeičiame 9 segmentais, tris kartus trumpesniais. Taigi, padidėjus minimaliam segmentui 3 kartus, visos linijos ilgis padidėja 9 kartus ir D = log (9) / log (3) = 2 - dvimatis objektas !!!

Taigi, kai iš kai kurių paprasčiausių objektų (segmentų) gautos figūros matmenys yra didesni už šių objektų matmenis, turime reikalą su fraktalu.

Fraktalai skirstomi į grupes. Didžiausios grupės yra:

Geometriniai fraktalai.

Būtent su jais ir prasidėjo fraktalų istorija. Šio tipo fraktalai gaunami naudojant paprastas geometrines konstrukcijas. Paprastai konstruojant šiuos fraktalus daroma taip: imama „sėkla“ – aksioma – segmentų rinkinys, kurio pagrindu bus konstruojamas fraktalas. Tada šiai „sėklai“ pritaikomas taisyklių rinkinys, kuris ją paverčia kažkokia geometrine figūra. Toliau kiekvienai šios figūros daliai taikomos tos pačios taisyklės. Su kiekvienu žingsniu figūra taps vis sudėtingesnė, o jei atliksime (bent jau mintyse) be galo daug transformacijų, gausime geometrinį fraktalą.

Aukščiau aptarta Peano kreivė yra geometrinis fraktalas. Žemiau esančiame paveikslėlyje pateikti kiti geometrinių fraktalų pavyzdžiai (iš kairės į dešinę Kocho snaigė, Listo, Sierpinskio trikampis).

Kocho snaigė

Lapas

Sierpinskio trikampis

Iš šių geometrinių fraktalų pirmasis, Kocho snaigė, yra labai įdomus ir gana garsus. Jis pastatytas lygiakraščio trikampio pagrindu. Kiekviena eilutė, kurios ___ yra pakeista 4 eilutėmis, kurių kiekviena yra 1/3 originalo _ / \ _. Taigi su kiekviena iteracija kreivės ilgis padidėja trečdaliu. Ir jei atliksime be galo daug pakartojimų, gausime fraktalą – begalinio ilgio Kocho snaigę. Pasirodo, mūsų begalinė kreivė apima ribotą plotą. Pabandykite padaryti tą patį naudodami metodus ir formas iš Euklido geometrijos.

Kocho snaigės matmenys (kai snaigė auga 3 kartus, jos ilgis padidėja 4 kartus) D = log (4) / log (3) = 1,2619 ...

Geometriniams fraktalams konstruoti puikiai tinka vadinamosios L-Systems. Šių sistemų esmė ta, kad yra tam tikras sistemos simbolių rinkinys, kurių kiekvienas žymi konkretų veiksmą ir simbolių konvertavimo taisyklių rinkinį. Pavyzdžiui, Kocho snaigės aprašymas naudojant L-Systems Fractint programoje

; Adrianas Mariano iš Mandelbroto „Fraktalinės gamtos geometrijos“. Koch1 ( ; nustatykite sukimosi kampą 360/6 = 60 laipsnių 6 kampas ; Pradinis statybos brėžinys Aksioma F-F-F ; Simbolių konvertavimo taisyklė F = F + F - F + F)

Šiame aprašyme geometrinės simbolių reikšmės yra tokios:

F reiškia braižyti liniją + sukti pagal laikrodžio rodyklę – pasukti prieš laikrodžio rodyklę

Antroji fraktalų savybė yra savęs panašumas. Pavyzdžiui, Sierpinskio trikampis. Norėdami jį sukonstruoti iš lygiakraščio trikampio centro, „iškirpkite“ trikampį. Tą pačią procedūrą kartojame trims suformuotiems trikampiams (išskyrus centrinį) ir taip toliau iki begalybės. Jei dabar paimsime kurį nors iš suformuotų trikampių ir padidinsime, gausime tikslią visumos kopiją. Šiuo atveju mes susiduriame su visišku savęs panašumu.

Iš karto padarysiu išlygą, kad dauguma šiame straipsnyje pateiktų fraktalų brėžinių buvo gauti naudojant Fractint programą. Jei jus domina fraktalai, tai yra programa privalo turėti Tau. Su jo pagalba galite sukurti šimtus skirtingų fraktalų, gauti išsamią informaciją apie juos ir net klausytis, kaip skamba fraktalai;).

Pasakyti, kad programa gera, reiškia nieko nepasakyti. Tai puiku, išskyrus vieną dalyką – naujausia 20.0 versija galima tik DOS :(. Šią programą (naujausią 20.0 versiją) galite rasti adresu http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html.

Palikite komentarą

Komentarai (1)

Na, užkandžiui įdomus pavyzdys Microsoft Excel Ląstelės A2 ir B2 turi tokias pačias reikšmes tarp 0 ir 1. Kai reikšmė yra 0,5, jokio poveikio nėra.

Sveiki visi, kuriems pavyko padaryti progą ant Fratal nuotraukos. Kas gali man pasakyti, kokį ciklo metodą man geriau naudoti paparčio fraktalų proskynui statyti su 3d max substratu, kurio dt iteracija yra 100 000 ant akmens su 2800 mH

Yra šaltinio kodas su Drakono kreivės nubrėžimo programa, taip pat fraktalas.

Straipsnis nuostabus. O buvęs kailinis medis tikriausiai yra koprocesoriaus klaida (paskutiniuose žemos eilės bituose)

Kaip buvo atrastas fraktalas

Matematinės formos, žinomos kaip fraktalai, priklauso iškilaus mokslininko Benoit Mandelbrot genijui. Didžiąją savo gyvenimo dalį jis dėstė matematiką Jeilio universitete JAV. 1977–1982 m. Mandelbrotas paskelbė mokslinius darbus, skirtus „fraktalinės geometrijos“ arba „gamtos geometrijos“ tyrimams, kuriuose iš pažiūros atsitiktines matematines formas suskaidė į sudedamąsias dalis, kurios, atidžiau panagrinėjus, kartojosi, o tai įrodė, kad egzistuoja tam tikras kopijavimo modelis ... Mandelbroto atradimas turėjo reikšmingų pasekmių fizikos, astronomijos ir biologijos raidai.

Fraktalai gamtoje

Gamtoje daugelis objektų turi fraktalinių savybių, pavyzdžiui: medžių vainikai, žiediniai kopūstai, debesys, žmonių ir gyvūnų kraujotakos ir alveolių sistemos, kristalai, snaigės, kurių elementai išsidėstę vienoje sudėtingoje struktūroje, pakrantės (fraktalų koncepcija leido mokslininkams išmatuoti Britų salų pakrantę ir kitus, anksčiau neišmatuojamus objektus).

Apsvarstykite žiedinio kopūsto struktūrą. Nupjovus vieną žiedą, akivaizdu, kad rankose lieka tas pats kalafioras, tik mažesnio dydžio. Galite pjaustyti vėl ir vėl, net ir po mikroskopu – tačiau gauname tik mažytes žiedinio kopūsto kopijas. Šiuo paprasčiausiu atveju net nedidelėje fraktalo dalyje yra informacijos apie visą galutinę struktūrą.

Fraktalai skaitmeninėse technologijose

Fraktalų geometrija įnešė neįkainojamą indėlį į naujų technologijų kūrimą skaitmeninės muzikos srityje, taip pat leido suspausti skaitmeninius vaizdus. Esami fraktalinio vaizdo glaudinimo algoritmai yra pagrįsti glaudinimo, o ne paties skaitmeninio vaizdo saugojimo principu. Jei vaizdas suspaudžiamas, pagrindinis vaizdas išlieka fiksuotu tašku. „Microsoft“ leisdama savo enciklopediją panaudojo vieną iš šio algoritmo variantų, tačiau dėl vienokių ar kitokių priežasčių ši idėja nebuvo plačiai paskleista.

Fraktalinės grafikos matematinis pagrindas yra fraktalinė geometrija, kur paveldėjimo iš pirminių „pagrindinių objektų“ principas yra „vaizdų-įpėdinių“ konstravimo metodų pagrindas. Pačios fraktalinės geometrijos ir fraktalinės grafikos sąvokos atsirado tik maždaug prieš 30 metų, tačiau jau tvirtai įsitvirtino kompiuterių dizainerių ir matematikų.

Pagrindinės fraktalinės kompiuterinės grafikos sąvokos yra šios:

• Fraktalų trikampis – fraktalo figūra – fraktalinis objektas (hierarchija mažėjančia tvarka)
• Fraktalų linija
• Fraktalų kompozicija
• „Pagrindinis objektas“ ir „Įpėdinis objektas“

Kaip ir vektorinėje bei 3D grafikoje, fraktalinių vaizdų kūrimas apskaičiuojamas matematiškai. Pagrindinis skirtumas nuo pirmųjų dviejų grafikos tipų yra tas, kad fraktalinis vaizdas yra sudarytas pagal lygtį arba lygčių sistemą – norint atlikti visus skaičiavimus, kompiuterio atmintyje reikia saugoti tik formulę – ir toks kompaktiškumas. matematinis aparatas leido šią idėją panaudoti kompiuterinėje grafikoje. Paprasčiausiai pakeitę lygties koeficientus, nesunkiai gausite visiškai kitokį fraktalinį vaizdą – naudojant kelis matematinius koeficientus, nustatomi labai sudėtingų formų paviršiai ir linijos, leidžiančios įgyvendinti tokias kompozicijos technikas kaip horizontali ir vertikali, simetrija ir asimetrija. , įstrižainės kryptys ir daug daugiau.

Kaip sukurti fraktalą?

Fraktalų kūrėjas vienu metu atlieka menininko, fotografo, skulptoriaus ir mokslininko išradėjo vaidmenį. Kokie yra paveikslo kūrimo „nuo nulio“ darbo etapai?

• matematine formule nustatykite paveikslo formą
• ištirti proceso konvergenciją ir keisti jo parametrus
• pasirinkite vaizdo tipą
• pasirinkti spalvų paletę

Tarp fraktalinių grafikos redaktorių ir kt grafikos programos galima išskirti:

• "Meno dabberis"
• „Dailininkas“ (be kompiuterio joks menininkas niekada nepasieks programuotojų numatytų galimybių tik pieštuko ir teptuko pagalba)
• „Adobe Photoshop“ (tačiau čia vaizdas nėra sukurtas „nuo nulio“, o, kaip taisyklė, tik apdorojamas)

Apsvarstykite savavališkos fraktalinės geometrinės figūros įtaisą. Jo centre yra paprasčiausias elementas – lygiakraštis trikampis, gavęs tą patį pavadinimą: „fraktalas“. Viduriniame kraštinių segmente pastatykite lygiakraščius trikampius, kurių kraštinė lygi trečdaliui pradinio fraktalinio trikampio kraštinės. Tuo pačiu principu statomi net mažesni trikampiai-įpėdiniai antros kartos – ir taip be galo. Gautas objektas vadinamas „fraktalų figūra“, iš kurios sekų gauname „fraktalų kompoziciją“.

Šaltinis: http://www.iknowit.ru/

Fraktalai ir senovinės mandalos

Tai pinigų pritraukimo mandala. Sakoma, kad raudona spalva veikia kaip pinigų magnetas. Puošnūs raštai jums nieko neprimena? Jie man atrodė labai pažįstami ir pradėjau tyrinėti mandalas kaip fraktalą.

Iš esmės mandala yra sudėtingos struktūros geometrinis simbolis, kuris interpretuojamas kaip Visatos modelis, „kosmoso žemėlapis“. Tai pirmasis fraktalumo požymis!

Jie siuvinėti ant audinio, dažyti ant smėlio, pagaminti spalvotais milteliais ir pagaminti iš metalo, akmens, medžio. Ryški ir užburianti išvaizda ją daro graži puošmena Indijos šventyklų grindys, sienos ir lubos. Senovės indų kalboje „mandala“ reiškia mistinį Visatos dvasinės ir materialinės energijos tarpusavio ryšio ratą arba, kitaip tariant, gyvybės gėlę.

Norėjau parašyti apžvalgą apie fraktalines mandalas, labai mažas, su minimaliu pastraipų kiekiu, parodant, kad ryšys aiškiai egzistuoja. Tačiau bandydamas rasti supratimą ir sujungti informaciją apie fraktalus ir mandalas į vieną visumą, pajutau kvantinį šuolį į man nežinomą erdvę.

Šios temos neaprėptį demonstruoju citata: „Tokios fraktalinės kompozicijos ar mandalas gali būti naudojamos tiek tapybos, tiek gyvenamųjų ir darbo patalpų dizaino elementų, nešiojamų amuletų, vaizdo juostų, kompiuterinių programų pavidalu... „Apskritai fraktalų tyrimo tema yra tiesiog didžiulė.

Galiu tvirtai pasakyti vieną dalyką: pasaulis yra daug įvairesnis ir turtingesnis nei prastos mūsų mintys apie jį.

Fraktaliniai jūrų gyvūnai

Mano spėjimai apie fraktalinius jūrų gyvūnus nebuvo nepagrįsti. Štai pirmieji atstovai. Aštuonkojai yra jūros bentoso gyvūnas iš galvakojų būrio.

Žvelgiant į šią nuotrauką, man tapo akivaizdi jo kūno fraktalinė struktūra ir visų aštuonių šio gyvūno čiuptuvų čiulptukai. Suaugusio aštuonkojo čiuptuvų siurbtukai siekia iki 2000.

Įdomus faktas yra tai, kad aštuonkojis turi tris širdis: viena (pagrindinė) varo mėlyną kraują po visą kūną, o kitos dvi – žiaunos – stumia kraują per žiaunas. Kai kurie iš šių giliavandenių fraktalų yra nuodingi.

Prisitaikydamas ir prisidengdamas prie aplinkos, aštuonkojis turi labai naudingą gebėjimą keisti spalvą.

Aštuonkojai laikomi protingiausiais iš visų bestuburių. Jie susipažįsta su žmonėmis, pripranta prie tų, kurie juos maitina. Įdomu būtų pasižiūrėti į aštuonkojus, kuriuos lengva dresuoti, jie turi gerą atmintį ir netgi skiria geometrines figūras. Tačiau šių fraktalinių gyvūnų amžius trumpalaikis – daugiausiai 4 metai.

Žmogus naudoja šio gyvo fraktalo ir kitų galvakojų rašalą. Menininkai jų ieško dėl patvarumo ir gražaus rudo atspalvio. Viduržemio jūros regiono virtuvėje aštuonkojai yra vitaminų B3, B12, kalio, fosforo ir seleno šaltinis. Tačiau manau, kad reikia mokėti virti šiuos jūrinius fraktalus, kad su malonumu juos valgytumėte.

Beje, reikia pažymėti, kad aštuonkojai yra plėšrūnai. Fraktaliniais čiuptuvais jie laiko grobį moliuskų, vėžiagyvių ir žuvų pavidalu. Gaila, jei toks gražus moliuskas tampa šių jūros fraktalų maistu. Mano nuomone, irgi tipiškas jūrų karalystės fraktalų atstovas.

Tai sraigių giminaitis pilvakojis nudibranch moliuskas Glaucus, dar žinomas kaip Glaucus, dar žinomas kaip Glaucus atlanticus, dar žinomas kaip Glaucilla marginata. Šis fraktalas neįprastas ir tuo, kad gyvena ir juda po vandens paviršiumi, laikomas paviršiaus įtempimo. Nes moliuskas yra hermafroditas, tada po poravimosi abu "partneriai" deda kiaušinėlius. Šis fraktalas randamas visuose atogrąžų zonos vandenynuose.

Jūros karalystės fraktalai

Kiekvienas iš mūsų bent kartą gyvenime su nuoširdžiu vaikišku susidomėjimu laikėme rankose ir apžiūrėjome jūros kriauklę.

Paprastai kriauklės yra gražus suvenyras, primenantis kelionę prie jūros. Žvelgiant į šį spiralinį bestuburių moliuskų darinį, nekyla jokių abejonių dėl jo fraktalinės prigimties.

Mes, žmonės, kažkuo primename šiuos minkštakūnius moliuskus, gyvenančius patogiuose betoniniuose fraktaliniuose namuose, talpinančius ir judinančius savo kūnus į greitus automobilius.

Kitas tipiškas fraktalinio povandeninio pasaulio atstovas yra koralas.
Gamtoje žinoma daugiau nei 3500 koralų rūšių, kurių paletėje išskiriama iki 350 spalvų atspalvių.

Koralas yra koralų polipų, taip pat iš bestuburių šeimos, kolonijos skeleto medžiaga. Didžiulės jų sankaupos sudaro ištisus koralinius rifus, kurių formavimosi fraktalinis būdas akivaizdus.

Koralą galima drąsiai vadinti fraktalu iš jūros karalystės.

Taip pat žmonės jį naudoja kaip suvenyrą ar žaliavą papuošalams ir papuošalams. Tačiau labai sunku pakartoti fraktalinės gamtos grožį ir tobulumą.

Kažkodėl neabejoju, kad povandeniniame pasaulyje taip pat bus rasta daug fraktalinių gyvūnų.

Dar kartą atlikti ritualą virtuvėje su peiliu ir pjaustymo lenta, o tada nuleisti peilį į saltas vanduo, ašarojau dar kartą sugalvojau, kaip susitvarkyti su ašarų fraktalu, kuris mano akyse pasirodo kone kasdien.

Fraktališkumo principas yra toks pat kaip ir garsiosios matrioškos – lizdo. Štai kodėl fraktalumas nepastebimas iš karto. Be to, šviesa vienoda spalva ir jos natūralus gebėjimas sukelti diskomfortas neprisideda prie atidaus visatos stebėjimo ir fraktalinių matematinių dėsnių nustatymo.

Tačiau alyvinės spalvos salotų svogūnai dėl savo spalvos ir ašarų fitoncidų nebuvimo paskatino apmąstymus apie natūralų šios daržovės fraktalumą. Žinoma, tai paprastas fraktalas, paprasti įvairaus skersmens apskritimai, netgi galima sakyti, pats primityviausias fraktalas. Tačiau nepakenktų prisiminti, kad kamuolys yra laikomas idealia geometrine figūra mūsų visatoje.

O naudingų savybių svogūnas, internete buvo paskelbta daug straipsnių, bet kažkaip niekas nebandė tirti šio natūralaus egzemplioriaus fraktalumo požiūriu. Galiu tik konstatuoti fraktalo svogūno pavidalo naudingumo savo virtuvėje faktą.

P.S. Ir aš jau įsigijau daržovių pjaustytuvą, skirtą fraktalui šlifuoti. Dabar jūs turite pagalvoti, kokia fraktališka yra tokia sveika daržovė, kaip paprastas baltasis kopūstas. Tas pats lizdo principas.

Fraktalai liaudies mene

Mano dėmesį patraukė visame pasaulyje žinomo žaislo „Matrioška“ istorija. Atidžiau pažvelgę ​​galime drąsiai teigti, kad šis suvenyrinis žaislas yra tipiškas fraktalas.

Fraktališkumo principas yra akivaizdus, ​​kai visos medinio žaislo figūros yra išrikiuotos, o ne įdėtos viena į kitą.

Mano nedideli šio žaislinio fraktalo atsiradimo pasaulio rinkoje istorijos tyrimai parodė, kad šis gražuolis turi japoniškas šaknis. Matrioška visada buvo laikoma pirmykščiu rusišku suvenyru. Tačiau paaiškėjo, kad ji yra japoniškos senojo išminčius Fukurumo figūrėlės, kažkada į Maskvą atvežtos iš Japonijos, prototipas.

Tačiau pasaulinę šlovę šiai japonų figūrėlei atnešė rusiškas žaislinis amatas. Iš kur kilo mintis apie žaislo fraktalinį lizdą, man asmeniškai liko paslaptis. Greičiausiai šio žaislo autorius panaudojo figūrų įdėjimo viena į kitą principą. O lengviausia pritvirtinti panašias įvairaus dydžio figūrėles, o tai jau fraktalas.

Ne mažiau įdomus tyrimo objektas – fraktalinio žaislo tapyba. Tai dekoratyvinis paveikslas - khokhloma. Tradiciniai Khokhloma elementai yra žolelių gėlių, uogų ir šakų raštai.

Vėlgi, visi fraktalumo požymiai. Juk tą patį elementą galima pakartoti kelis kartus skirtingomis versijomis ir proporcijomis. Rezultatas – liaudies fraktalų tapyba.

Ir jei nieko nenustebinsite naujai sukurtu kompiuterinių pelių, nešiojamųjų kompiuterių dangtelių ir telefonų dažymu, tai fraktalinis automobilių tiuningas liaudišku stiliumi yra kažkas naujo automobilių dizaine. Belieka tik stebėtis fraktalų pasaulio pasireiškimu mūsų gyvenime tokiu neįprastu būdu tokiais įprastais mums dalykais.

Fraktalai virtuvėje

Kiekvieną kartą, kai žiedinį kopūstą paimdavau į mažus žiedynus blanširavimui verdančiame vandenyje, nė karto neatkreipiau dėmesio į akivaizdžius fraktališkumo požymius, kol neturėjau šio egzemplioriaus rankose.

Tipiškas augalų fraktalas buvo ant mano virtuvės stalo.

Su visa savo meile žiediniams kopūstams, aš visada aptikdavau egzempliorius vienodu paviršiumi be matomų fraktališkumo požymių, o net daugybė žiedynų, sulipusių vienas kitame, nedavė pagrindo šioje naudingoje daržovėje pamatyti fraktalą.

Tačiau šio konkretaus pavyzdžio paviršius su ryškia fraktalų geometrija nepaliko nė menkiausios abejonės dėl šios rūšies kopūstų fraktalinės kilmės.

Dar viena kelionė į prekybos centrą tik patvirtino kopūstų fraktalų statusą. Tarp daugybės egzotiškų daržovių buvo ir visa dėžė fraktalų. Tai buvo Romanescu arba romaniški brokoliai, žiediniai kopūstai.

Pasirodo, dizaineriai ir 3D menininkai žavisi jo egzotiškomis, fraktalą primenančiomis formomis.

Kopūstų pumpurai auga logaritmine spirale. Pirmieji Romanescu kopūstų paminėjimai atkeliavo iš Italijos XVI amžiuje.

O brokoliniai kopūstai mano racione visai nėra dažnas svečias, nors pagal turinį maistinių medžiagų ir mikroelementų, jis kartais lenkia žiedinius kopūstus. Tačiau jo paviršius ir forma yra tokie vienodi, kad man nė į galvą neatėjo mintis pamatyti jame daržovių fraktalą.

Fraktalai kvilinge

Pamačius ažūrinius darbelius quilling technika neapleido jausmas, kad jie kažką primena. Tų pačių elementų kartojimas skirtingais dydžiais – žinoma, tai yra fraktalumo principas.

Pažiūrėjus kitą meistriškumo klasę apie kvilingą, net nekilo abejonių dėl kvilingo fraktalumo. Juk už gaminimą įvairių elementų quilling amatams naudojama speciali liniuotė su skirtingo skersmens apskritimais. Nepaisant viso gaminių grožio ir unikalumo, tai neįtikėtinai paprasta technika.

Beveik visi pagrindiniai quilling amatų elementai yra pagaminti iš popieriaus. Norėdami nemokamai kaupti quilling popieriaus atsargas, atlikite savo knygų lentynų auditą namuose. Ten tikrai rasite keletą ryškių blizgių žurnalų.

Quilling įrankiai yra paprasti ir nebrangūs. Viską, ko reikia mėgėjiškam quilling darbui, galite rasti tarp savo namų biuro reikmenų.

O kvilingo istorija Europoje prasideda XVIII amžiuje. Renesanso epochoje vienuoliai iš Prancūzijos ir Italijos vienuolynų naudojo quilling papuošdami knygų viršelius ir net nežinojo apie jų išrastos popieriaus ridenimo technikos trapumą. Merginos iš aukštuomenės netgi lankė kvilingo kursus specialiose mokyklose. Taip ši technika pradėjo plisti šalyse ir žemynuose.

Šis meistriškumo klasės vaizdo klipas, skirtas prabangiems plunksnams pasidaryti, netgi gali būti vadinamas „pasidaryk pats“ fraktalais. Popierinių fraktalų pagalba gaunami nuostabūs išskirtiniai Valentino atvirukai ir daugybė kitų įdomių dalykų. Juk fantazija, kaip ir gamta, yra neišsemiama.

Niekam ne paslaptis, kad japonų erdvė gyvenime yra labai ribota, todėl jie turi padaryti viską, kad ją išnaudotų efektyviai. Takeshi Miyakawa parodo, kaip tai galima padaryti efektyviai ir estetiškai. Jo fraktalų spinta patvirtina, kad fraktalų panaudojimas dizaine yra ne tik duoklė madai, bet ir harmoningas dizaino sprendimas ribotoje erdvėje.

Šis fraktalų panaudojimo realiame gyvenime pavyzdys, pritaikytas baldų projektavimui, man parodė, kad fraktalai yra tikri ne tik popieriuje matematinėse formulėse ir kompiuterinėse programose.

Ir atrodo, kad gamta visur naudoja fraktalumo principą. Tereikia į tai atidžiau pažvelgti, ir jis pasireikš visa savo didinga gausa ir būties begalybe.

Taigi, fraktalas yra matematinė rinkinys, susidedantis iš objektų, panašių į šį rinkinį. Kitaip tariant, jei žiūrėsime į nedidelį didinamą fraktalinės figūros fragmentą, tai atrodys kaip didesnės apimties šios figūros dalis ar net visa figūra. Be to, fraktalui mastelio padidėjimas nereiškia struktūros supaprastinimo. Todėl visais lygiais matysime vienodai sudėtingą vaizdą.

Fraktalų savybės

Remiantis aukščiau pateiktu apibrėžimu, fraktalas paprastai vaizduojamas kaip geometrinė figūra, atitinkanti vieną ar daugiau iš šių savybių:

Turi sudėtingą struktūrą esant bet kokiam padidinimui;

Apytiksliai panašus į save (dalys panašios į visumą);

Turi trupmeninį matmenį, kuris yra labiau topologinis;

Galima sukonstruoti naudojant rekursinį metodą.

Fraktalai išoriniame pasaulyje

Nepaisant to, kad „fraktalo“ sąvoka atrodo itin abstrakti, gyvenime galima susidurti su daugybe gyvenimiškų ir net praktinių šio reiškinio pavyzdžių. Be to, tikrai reikia atsižvelgti į aplinkinį pasaulį, nes jie leis geriau suprasti fraktalą ir jo ypatybes.

Pavyzdžiui, antenos įvairiems įrenginiams, kurių dizainas atliktas fraktaliniu metodu, savo efektyvumą rodo 20% didesnį nei tradicinės konstrukcijos antenos. Be to, fraktalinė antena gali puikiai veikti vienu metu įvairiais dažniais. Štai kodėl modernus Mobilieji telefonai savo konstrukcijoje jau praktiškai neturi išorinių klasikinio įrenginio antenų – pastarosios pakeičiamos vidinėmis fraktalinėmis, kurios sumontuotos tiesiai ant telefono spausdintinės plokštės.

Plėtojant fraktalams buvo skiriamas didelis dėmesys informacines technologijas... Šiuo metu yra sukurti įvairių vaizdų suspaudimo naudojant fraktalus algoritmai, yra kompiuterinės grafikos objektų (medžių, kalnų ir jūros paviršių) konstravimo fraktaliniu būdu metodai, taip pat yra sukurta fraktalinė IP adresų priskyrimo sistema kai kuriuose tinkluose.

Ekonomikoje yra būdas naudoti fraktalus analizuojant akcijų ir valiutų kotiravimus. Galbūt skaitytojas, prekiaujantis Forex rinkoje, matė fraktalinę analizę prekybos terminale ar net pritaikė ją praktikoje.

Taip pat, be žmogaus dirbtinai sukurtų objektų, turinčių fraktalų savybes, natūralioje gamtoje tokių objektų taip pat yra daug. Geri fraktalo pavyzdžiai – koralai, jūrų kriauklės, kai kurios gėlės ir augalai (brokolis, žiedinis kopūstas), žmonių ir gyvūnų kraujotakos sistema bei bronchai, ant stiklo susidarę raštai, natūralūs kristalai. Šie ir daugelis kitų objektų turi ryškią fraktalo formą.

Kai ne viską suprantu iš to, ką perskaitau, tai ne itin nusiminu. Jei tema vėliau man neateina, tai ji nėra ypač svarbi (bent jau man). Jei tema vėl iškils, trečią kartą, turėsiu naujų galimybių ją geriau suprasti. Tarp tokių temų yra ir fraktalai. Iš pradžių apie juos sužinojau iš Nassimo Talebo knygos, o vėliau – iš Benoit Mandelbroto knygos. Šiandien, paprašius „fraktalą“, svetainėje galite gauti 20 užrašų.

I dalis. KELIONĖ Į ŠALTINIUS

ĮVARDYTI – REIKIA SUŽINOTI. XX amžiaus pradžioje Henri Poincaré pastebėjo: „Esate nustebęs dėl galios, kurią gali turėti vienas žodis. Čia yra objektas, apie kurį nieko nebuvo galima pasakyti, kol jis nebuvo pakrikštytas. Užteko duoti jam vardą, kad įvyktų stebuklas “(taip pat žr.). Taip atsitiko, kai 1975 metais lenkų kilmės prancūzų matematikas Benoit Mandelbrot sukūrė Žodį. Iš lotyniškų žodžių frangere(pertrauka) ir fractus(nutrūkstamasis, diskretiškasis, trupmeninis) suformuotas fraktalas. Mandelbrotas meistriškai reklamavo ir viešino fraktalą kaip prekės ženklą, pabrėždamas emocinį patrauklumą ir racionalų naudingumą. Jis išleidžia keletą monografijų, įskaitant "Fractal Geometry of Nature" (1982).

FRAKTALAI GAMTOJE IR MENE. Mandelbrotas nubrėžė kitokius nei Euklido fraktalų geometrijos kontūrus. Skirtumas netaikomas paralelizmo aksiomai, kaip Lobačevskio ar Riemanno geometrijose. Skirtumas buvo dėl Euklido numatytojo lygumo reikalavimo atsisakymo. Kai kuriems objektams būdingas šiurkštumas, poringumas ar suskaidymas, o daugelis jų turi nurodytas savybes „tokiu pačiu mastu bet kokiu mastu“. Gamtoje tokių formų netrūksta: saulėgrąžos ir brokoliai, jūros kriauklės, paparčiai, snaigės, kalnų plyšiai, pakrantės, fiordai, stalagmitai ir stalaktitai, žaibai.

Dėmesingi ir pastabūs žmonės jau seniai pastebėjo, kad kai kurios formos pasikartoja, kai žiūrima „arti ar toli“. Artėjant prie tokių objektų pastebime, kad keičiasi tik nedidelės detalės, tačiau forma kaip visuma išlieka beveik nepakitusi. Remiantis tuo, fraktalą lengviausia apibrėžti kaip geometrinę figūrą, kurioje yra pasikartojančių bet kokio masto elementų.

MITAI IR MISTIFIKACIJOS. Mandelbroto atrastas naujas formų sluoksnis tapo dizainerių, architektų ir inžinierių aukso kasykla. Nesuskaičiuojamas skaičius fraktalų yra pastatytas pagal tuos pačius daugkartinio kartojimo principus. Iš čia fraktalą lengviausia apibrėžti kaip geometrinę figūrą, kurioje yra pasikartojančių bet kokio masto elementų. Ši geometrinė forma yra lokaliai nekintanti (nekaituojanti), masteliu į save panaši ir integrali savo ribotumu yra tikras singuliarumas, kurio sudėtingumas atsiskleidžia jam artėjant, o per atstumą – pats trivialumas.

VELNIŲ KOPĖČIAI. Duomenims tarp kompiuterių perduoti naudojami itin stiprūs elektriniai signalai. Šis signalas yra diskretiškas. Elektros tinkluose dėl daugelio priežasčių atsitiktinai atsiranda trikdžių arba triukšmo, dėl kurių prarandami duomenys, kai informacija perduodama tarp kompiuterių. Siekiant pašalinti triukšmo įtaką duomenų perdavimui praėjusio amžiaus šeštojo dešimtmečio pradžioje, buvo patikėta IBM inžinierių grupei, kurioje dalyvavo Mandelbrotas.

Apytikslė analizė parodė, kad yra laikotarpių, per kuriuos nebuvo užfiksuota nė viena klaida. Išryškindami vienos valandos periodus, inžinieriai pastebėjo, kad tarp jų signalo perdavimo periodai be klaidų taip pat nutrūksta, čia trumpesnės pauzės, trunkančios apie dvidešimt minučių. Taigi duomenų perdavimui be klaidų būdingi duomenų paketai skirtingi ilgiai ir triukšmo pauzės, kurių metu signalas perduodamas be klaidų. Aukštesnio rango paketai yra tarsi įmontuoti žemesnio paketai. Toks aprašymas daro prielaidą, kad egzistuoja toks dalykas kaip žemiausio reitingo paketų santykinė padėtis aukštesnio reitingo pakete. Patirtis parodė, kad šių santykinių paketų vietų pasiskirstymas nepriklauso nuo jų rango. Šis invariantas rodo duomenų iškraipymo proceso savaiminį panašumą veikiant elektriniam triukšmui. Pati procedūra be klaidų išjungti signalo pauzes perduodant duomenis elektros inžinieriams negalėjo atsirasti dėl to, kad tai jiems buvo nauja.

Tačiau Mandelbrotas, studijavęs grynąją matematiką, puikiai žinojo apie Kantoro rinkinį, aprašytą dar 1883 m. ir vaizduojantį dulkes iš taškų, gautų pagal griežtą algoritmą. „Kantoriaus dulkių“ konstravimo algoritmo esmė yra tokia. Paimkite tiesios linijos atkarpą. Nuimkite nuo jo vidurinį segmento trečdalį, palikdami du galinius. Dabar tą pačią operaciją pakartosime su galiniais segmentais ir pan. Mandelbrotas atrado, kad būtent tokia yra paketų geometrija ir signalų perdavimo tarp kompiuterių pauzės. Klaida kaupiasi. Jo kaupimąsi galima modeliuoti taip. Pirmuoju žingsniu visiems taškams iš intervalo priskirsime reikšmę 1/2, antrame žingsnyje nuo intervalo iki 1/4, reikšmę 3/4 taškams iš intervalo ir pan. Žingsnis po žingsnio šių verčių sumavimas leidžia nutiesti vadinamąsias „velnio kopėčias“ (1 pav.). „Kantoriaus dulkių“ matas yra neracionalus skaičius, lygus 0,618 ..., žinomas kaip „auksinis pjūvis“ arba „dieviškoji proporcija“.

II dalis. FRAKTALAI ESMĖ

ŠYPSENA BE KATĖS: FRAKTALŲ DIMENSIJA. Matmenys yra viena iš pagrindinių sąvokų, peržengiančių matematiką. Euklidas pirmoje „Pradžių“ knygoje apibrėžė pagrindines geometrijos taško, linijos, plokštumos sąvokas. Remiantis šiais apibrėžimais, trimatės euklido erdvės samprata išliko nepakitusi beveik pustrečio tūkstančio metų. Daugybė flirtavimo su keturių, penkių ar daugiau matmenų erdvėmis iš esmės nieko neprideda, tačiau jie susiduria su tuo, ko žmogaus vaizduotė neįsivaizduoja. Atradus fraktalinę geometriją, matmenų sampratoje įvyko radikali revoliucija. Matmenų atsirado labai įvairių, tarp jų yra ne tik sveikų, bet ir trupmeninių, ir net neracionalių. Ir šie matmenys yra prieinami vizualiniam ir jutiminiam pristatymui. Išties, nesunkiai galime įsivaizduoti sūrį su skylutėmis kaip aplinkos modelį, kurio matmenys yra daugiau nei du, bet nesiekia trijų dėl sūrio skylučių, o tai sumažina sūrio masės matmenis.

Norėdami suprasti trupmeninius arba fraktalinius matmenis, kreipiamės į Richardsono paradoksą, teigiantį, kad Didžiosios Britanijos raižyta pakrantė yra begalinio ilgio! Louisas Fry Richardsonas susimąstė apie masto poveikį išmatuotam Didžiosios Britanijos pakrantės ilgiui. Pereidamas nuo kontūrinių žemėlapių mastelio prie „pakrančių akmenukų“ mastelio, jis priėjo keistos ir netikėtos išvados: pakrantės ilgis ilgėja neribotai, o šis padidėjimas neturi ribų. Lygios, lenktos linijos taip nesielgia. Empiriniai Richardsono duomenys, gauti vis didesnio mastelio žemėlapiuose, rodė, kad pakrantės ilgis padidėjo pagal galios dėsnį sumažėjus matavimo žingsniui:

Šioje paprastoje Richardsono formulėje L yra išmatuotas pakrantės ilgis, ε Ar matavimo žingsnio dydis, o β ≈ 3/2 yra pakrantės ilgio padidėjimo laipsnis sumažėjus jo nustatytam matavimo žingsniui. Skirtingai nei perimetras, JK pakrantės ilgis viršija 55 ribą. Tai begalinis! Turime susitaikyti su tuo, kad kreivės lūžusios, nelygios, neturi ribojančio ilgio.

Tačiau Richardsono tyrimai parodė, kad jie turi tam tikrą būdingą laipsnį, kuriuo ilgis didėja mažėjant mastui. Paaiškėjo, kad būtent ši vertybė mistiškai identifikuoja nutrūkusią liniją kaip žmogaus asmenybės piršto atspaudą. Mandelbrotas pakrantę aiškino kaip fraktalinį objektą – objektą, kurio matmuo sutampa su eksponentu β.

Pavyzdžiui, Norvegijos vakarinės pakrantės pakrantės ribų kreivių matmenys yra 1,52; JK - 1,25; Vokietijai - 1,15; Australijai - 1,13; palyginti lygiai Pietų Afrikos pakrantei - 1,02 ir, galiausiai, visiškai lygiam apskritimui - 1,0.

Žvelgdami į fraktalo fragmentą, negalite pasakyti, koks jo matmuo. Ir priežastis yra ne geometriniame fragmento sudėtingume, fragmentas gali būti labai paprastas, o tame, kad fraktalinis matmuo atspindi ne tik fragmento formą, bet ir fragmento transformacijos formatą kūrimo procese. fraktalas. Fraktalinė dimensija tarsi pašalinama iš formos. Ir dėl to fraktalo dimensijos reikšmė išlieka nekintama, ji yra vienoda bet kuriam fraktalo fragmentui bet kurioje tyrimo skalėje. Jo negalima „sugauti pirštais“, bet galima apskaičiuoti.

FRAKTALŲ KARTOTIS. Kartojimas gali būti modeliuojamas naudojant netiesines lygtis. Tiesinėms lygtims būdingas vienas su vienu kintamųjų atitikmuo: kiekviena reikšmė NS atitinka vieną ir tik vieną reikšmę adresu ir atvirkščiai. Pavyzdžiui, lygtis x + y = 1 yra tiesinė. Tiesinių funkcijų elgsena yra visiškai deterministinė, vienareikšmiškai nulemta pradinių sąlygų. Netiesinių funkcijų elgsena nėra tokia vienareikšmiška, nes dvi skirtingos pradinės sąlygos gali lemti tą patį rezultatą. Remiantis tuo, operacijos kartojimas pasirodo dviem skirtingais formatais. Jis gali turėti tiesinės atskaitos pobūdį, kai kiekviename skaičiavimo etape grįžtama į pradinę būseną. Tai savotiška „modelio iteracija“. Serijinė gamyba ant konvejerio yra „modelio iteracija“. Iteracija tiesinės atskaitos formatu nepriklauso nuo tarpinių sistemos evoliucijos būsenų. Čia kiekviena nauja iteracija prasideda nuo viryklės. Visai kas kita, kai iteracija turi rekursijos formatą, ty ankstesnio iteracijos žingsnio rezultatas tampa pradine sąlyga kitam.

Rekursiją galima iliustruoti Fibonačio serija, pavaizduota Girardo sekos forma:

u n +2 = u n +1 + u n

Rezultatas yra Fibonačio skaičiai:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Šiame pavyzdyje visiškai akivaizdu, kad funkcija taikoma pačiai, neatsižvelgiant į pradinę reikšmę. Jis tarsi slenka išilgai Fibonačio serijos, o kiekvienas ankstesnės iteracijos rezultatas tampa pradine kitos reikšme. Būtent šis pasikartojimas realizuojamas konstruojant fraktalų figūras.

Parodykime, kaip „Sierpinski servetėlės“ konstravimo algoritmuose realizuojamas fraktalų kartojimas (naudojant pjovimo metodą ir CIF metodą).

Pjovimo būdas. Paimkite lygiakraštį trikampį su kraštine r... Pirmuoju žingsniu jo centre išpjauname lygiakraštį trikampį, kurio kraštinės ilgis apverstas aukštyn kojomis r 1 = r 0/2. Dėl šio žingsnio gauname tris lygiakraščius trikampius, kurių kraštinių ilgis r 1 = r 0/2, esančio pirminio trikampio viršūnėse (2 pav.).

Antrame žingsnyje kiekviename iš trijų suformuotų trikampių išpjauname apverstus įrašytus trikampius, kurių kraštinės ilgis r 2 = r 1 /2 = r 0/4. Rezultatas – 9 trikampiai, kurių kraštinės ilgis r 2 = r 0/4. Dėl to Sierpinski servetėlės ​​forma pamažu tampa vis ryškesnė. Tvirtinimas vyksta kiekviename žingsnyje. Visi ankstesni įsipareigojimai tarsi „nutrinami“.

SIF metodas arba Barnsley kartotinių funkcijų sistemų metodas. Duotas: lygiakraštis trikampis su kampų A (0,0), B (1,0), C (1/2, √3 / 2) koordinatėmis. Z 0 - savavališkas taškas šio trikampio viduje (3 pav.). Paimame kauliuką, kurio kraštuose yra dvi raidės A, B ir C.

1 veiksmas. Susukite kaulą. Tikimybė, kad kiekviena raidė iškris, yra 2/6 = 1/3.

• Jei raidė A iškrito, statome atkarpą z 0 –A, kurios viduryje dedame tašką z 1
• Jei raidė B iškrenta, sukonstruojame atkarpą z 0 –B, kurios viduryje dedame tašką z 1
• Jei raidė C iškrenta, statome atkarpą z 0 –C, kurios viduryje dedame tašką z 1

2 veiksmas. Dar kartą susukite kaulą.

• Jei raidė A iškrito, sudarome atkarpą z 1 –A, kurios viduryje dedame tašką z 2
• Jei raidė B iškrenta, sukonstruojame atkarpą z 1 –B, kurios viduryje dedame tašką z 2
• Jei raidė C iškrenta, statome atkarpą z 1 -C, kurios viduryje dedame tašką z 2

Kartodami operaciją daug kartų, gauname taškus z 3, z 4,…, z n. Kiekvieno iš jų ypatumas yra tas, kad taškas yra tiksliai pusiaukelėje nuo ankstesnio iki savavališkai pasirinktos viršūnės. Dabar, jei atmesime pradinius taškus, pavyzdžiui, nuo z 0 iki z 100, tai likusieji, turintys pakankamai daug jų, sudaro „Sierpinski servetėlės“ struktūrą. Kuo daugiau taškų, tuo daugiau iteracijų, tuo Sierpinskio fraktalas yra aiškesnis stebėtojui. Ir tai nepaisant to, kad procesas vyksta, atrodytų, atsitiktinai (dėka kauliukų). „Sierpinskio servetėlė“ yra savotiškas proceso pritraukėjas, tai yra figūra, į kurią linksta visos šiame procese sukonstruotos trajektorijos su pakankamai dideliu iteracijų skaičiumi. Šiuo atveju vaizdo fiksavimas yra kaupiamasis, kaupiamasis procesas. Kiekvienas atskiras taškas, ko gero, niekada nesutaps su Sierpinskio fraktalo tašku, tačiau kiekvienas paskesnis šio „atsitiktinai“ organizuoto proceso taškas vis arčiau traukiasi prie „Sierpinskio servetėlės“ taškų.

ATSILIEPIMO KILPA. Kibernetikos įkūrėjas Norbertas Wieneris panaudojo valties vairininką kaip pavyzdį grįžtamojo ryšio kilpai apibūdinti. Vairininkas turi laikytis kurso ir nuolat vertinti, kaip gerai valtis eina kurso. Jei vairininkas mato, kad valtis nukrypsta, jis pasuka vairą atgal į nustatytą kursą. Po kurio laiko jis vėl įvertina ir vairo pagalba koreguoja važiavimo kryptį. Taigi, navigacija atliekama naudojant iteracijas, pasikartojimą ir nuoseklų valties judėjimo artėjimą prie nurodyto kurso.

Tipiška grįžtamojo ryšio kilpa parodyta Fig. 4 Tai susiję su kintamų parametrų (valties krypties) ir valdomo parametro С (valties kurso) keitimu.

Apsvarstykite Bernoulli Shift žemėlapių sudarymą. Tegul pradine būsena pasirenkamas koks nors skaičius, priklausantis intervalui nuo 0 iki 1. Parašykime šį skaičių dvejetainėje skaičių sistemoje:

x 0 = 0,01011010001010011001010 ...

Dabar vienas evoliucijos laike žingsnis yra tas, kad nulių ir vienetų seka perkeliama į kairę viena padėtimi, o skaitmuo kairėje kablelio pusėje atmetamas:

x 1 = 0,1011010001010011001010 ...

x 2 = 0,011010001010011001010 ...

x 3 = 0,11010001010011001010 ...

Atkreipkite dėmesį, kad jei originalūs numeriai x 0 racionalus, tada iteracijos metu reikšmės NSn pereiti į periodinę orbitą. Pavyzdžiui, jei sėkla yra 11/24, iteracijos metu gausime keletą reikšmių:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Jei pradinės reikšmės x 0 neracionalu, ekranas niekada nepereis į periodinį režimą. Pradinių reikšmių diapazone x 0 ∈ yra be galo daug racionalių taškų ir be galo daug neracionalių taškų. Taigi periodinių orbitų tankis yra lygus orbitų, kurios niekada nepatenka į periodinį režimą, tankiui. Bet kurioje racionalios vertės kaimynystėje x 0 yra neracionali pradinio parametro reikšmė x'0 Esant tokiai situacijai, neišvengiamai atsiranda subtilus jautrumas pradinėms sąlygoms. Tai būdingas ženklas, kad sistema yra dinamiško chaoso būsenoje.

ELEMENTINIAI ATSILIEPIMAI vyriai. Atvirkščiai yra būtina sąlyga ir bet kokio netikėto žvilgsnio į šoną pasekmė. Atbulinės eigos kilpos piktograma gali būti Mobius juostelė, kurioje jos apatinė pusė su kiekvienu apskritimu virsta viršutine, vidinė – išorine ir atvirkščiai. Atvirkštinio proceso skirtumų kaupimasis pirmiausia pašalina vaizdą iš pradinio, o tada grįžta į jį. Logikoje atvirkštinę kilpą iliustruoja Epimenido paradoksas: „Visi kretiečiai yra melagiai“. Tačiau pats Epimenidas buvo kretietis.

KEISTA KILPA. Dinaminė keistos kilpos reiškinio esmė susiveda į tai, kad vaizdas, transformuojantis ir vis labiau besiskiriantis nuo originalo, daugybės deformacijų metu grįžta į pradinį vaizdą, bet niekada jo tiksliai nepakartoja. Apibūdindamas šį reiškinį, Hofstadteris knygoje įveda terminą „keista kilpa“. Jis daro išvadą, kad tiek Escheris, tiek Bachas, tiek Gödelis atrado arba, tiksliau, panaudojo keistas kilpas savo darbuose ir kūrybiškumą atitinkamai vizualiajame mene, muzikoje ir matematikoje. Knygoje „Metamorfozės“ Escheris atrado keistą įvairių tikrovės plokštumų darną. Vienos meninės perspektyvos formos plastiškai transformuojamos į kitos meninės perspektyvos formas (5 pav.).

Ryžiai. 5. Mauritsas Escheris. Rankų piešimas. 1948 m

Šis keistumas muzikoje pasireiškė keistai. Vienas iš Bacho „Muzikinės aukos“ kanonų ( Canon per Tonos- Toninis kanonas) sukurtas taip, kad jo tariamas finalas netikėtai sklandžiai pereina į pradžią, tačiau keičiant klavišą. Šios nuoseklios moduliacijos nukelia klausytoją vis aukščiau ir aukščiau nuo pradinio klavišo. Tačiau stebuklingai po šešių moduliacijų mes beveik grįžtame. Dabar visi balsai skamba lygiai viena oktava aukščiau nei pradžioje. Keista tik tai, kad lipdami į tam tikros hierarchijos lygius staiga atsiduriame beveik toje pačioje vietoje, kur pradėjome savo kelionę. grįžti be pakartojimo.

Kurtas Gödelis atrado keistas kilpas vienoje iš seniausių ir įvaldytų matematikos sričių – skaičių teorijoje. Gödelio teorema pirmą kartą dienos šviesą išvydo kaip VI teorema jo 1931 m. straipsnyje „Apie formaliai neišsprendžiamus sprendimus“ žurnale „Principle Mathematica“. Teorema teigia taip: visose nuosekliose aksiomatinėse skaičių teorijos formuluotėse yra neapsprendžiamų teiginių. Skaičių teorijos sprendimai nieko nesako apie skaičių teorijos sprendimus; jie yra ne daugiau kaip skaičių teorijos sprendimai. Čia yra kilpa, bet jokios keistenybės. Įrodyme paslėpta keista kilpa.

KEISTAS ATRAKTORIUS. Atraktorius (iš anglų k. pritraukti pritraukti) tašką arba uždarą liniją, kuri pritraukia visas įmanomas sistemos elgesio trajektorijas. Atraktorius yra stabilus, tai yra ilgalaikėje perspektyvoje vienintelis galimas atraktoriaus elgesio modelis, visa kita yra laikina. Atraktorius yra erdvės ir laiko objektas, apimantis visą procesą, nes nėra nei jo priežastis, nei pasekmė. Jį formuoja tik sistemos, turinčios ribotą laisvės laipsnių skaičių. Pritraukėjai gali būti taškas, apskritimas, toras ir fraktalas. Pastaruoju atveju atraktorius vadinamas „keistais“ (6 pav.).

Taško pritraukėjas apibūdina bet kokią stabilią sistemos būseną. Fazinėje erdvėje tai yra taškas, aplink kurį susidaro vietinės „mazgo“, „fokuso“ ar „balno“ trajektorijos. Taip elgiasi švytuoklė: esant bet kokiam pradiniam greičiui ir bet kokiai pradinei padėčiai, po pakankamai laiko, veikiama trinties, švytuoklė sustoja ir patenka į stabilios pusiausvyros būseną. Apvalus (ciklinis) atraktorius – tai judėjimas pirmyn ir atgal, kaip ideali švytuoklė (be trinties), ratu.

Keisti traukikliai ( keistai pritraukėjai) atrodo keistai tik iš išorės, tačiau terminas „keistas pritraukėjas“ paplito iškart po to, kai 1971 m. pasirodė Davido Ruelio ir olando Floriso Takenso straipsnis „Turbulencijos prigimtis“ (taip pat žr.). Ruelle ir Takensas susimąstė, ar koks nors pritraukėjas turi tinkamą charakteristikų rinkinį: stabilumą, ribotą laisvės laipsnių skaičių ir neperiodiškumą. SU geometrinis taškas Klausimas atrodė grynas galvosūkis. Kokia forma turėtų būti pavaizduota be galo ilga trajektorija ribota erdvė niekad nepasikartoti ir neperžengti savęs? Kad atkurtų kiekvieną ritmą, orbita turi būti be galo ilga linija ribotame plote, kitaip tariant, būti savaime praryjanti (7 pav.).

1971 metais mokslinėje literatūroje jau buvo vienas tokio pritraukiklio eskizas. Edwardas Lorenzas įtraukė jį į savo 1963 m. straipsnį apie deterministinį chaosą. Šis atraktorius buvo stabilus, neperiodinis, turėjo nedidelį laisvės laipsnių skaičių ir niekada neperžengė savęs. Jei kažkas panašaus atsitiktų ir jis grįžtų į tą tašką, kurį jau buvo praėjęs, judesys pasikartotų ateityje, suformuojant toroidinį atraktorių, tačiau taip neatsitiko.

Atraktoriaus keistumas, kaip tikėjo Ruelle, slypi trijose nelygiavertėse, bet praktiškai egzistuojančiose kartu savybėse:

• fraktalumas (lizdavimas, panašumas, nuoseklumas);
• determinizmas (priklausomybė nuo pradinių sąlygų);
• singuliarumai (baigtinis apibrėžiančių parametrų skaičius).

III dalis. ĮSPŪDINGAS FRAKTALŲ FORMŲ LENGVUMAS

ĮSIVAIZDOMIEJI SKAIČIAI, FAZINIAI PORTRETAI IR TIKIMYBĖ. Fraktalų geometrija remiasi įsivaizduojamų skaičių teorija, dinaminių fazių portretais ir tikimybių teorija. Įsivaizduojama skaičių teorija daro prielaidą, kad yra kvadratinė šaknis iš minus vieneto. Gerolamo Cardano veikale „Didysis menas“ („Ars Magna“, 1545 m.) pateikė bendrą kubinės lygties z 3 + pz + q = 0 sprendinį. Cardano įsivaizduojamus skaičius naudoja kaip techninį formalizmą, kad išreikštų kubinės lygties šaknis. lygtis. Jis pastebi keistenybę, kurią iliustruoja paprasta lygtimi x 3 = 15x + 4. Ši lygtis turi vieną akivaizdų sprendimą: x = 4. Tačiau apibendrinanti formulė duoda keistą rezultatą. Jame yra neigiamo skaičiaus šaknis:

Raphaelis Bombelli savo knygoje apie algebrą („L'Algebra“, 1560 m.) nurodė, kad = 2 ± i, ir tai iš karto leido jam gauti tikrąją šaknį x = 4. Panašiais atvejais, kai kompleksiniai skaičiai yra konjuguoti, gauname tikroji šaknis, o kompleksiniai skaičiai yra techninė pagalba ieškant kubinės lygties sprendimo.

Niutonas manė, kad sprendimai, kurių šaknis yra minusas, turėtų būti laikomi „nefiziškai reikšmingais“ ir atmesti. XVII-XVIII amžiuje susiformavo supratimas, kad kažkas įsivaizduojama, dvasinga, įsivaizduojama yra ne mažiau tikra nei visa tikra kartu paėmus. Tikslią datą galime nurodyti net 1619 m. lapkričio 10 d., kai Dekartas suformulavo naujo mąstymo manifestą „cogito ergo sum“. Nuo šio momento mintis yra absoliuti ir neabejotina realybė: „jei galvoju, vadinasi, aš egzistuoju“! Tiksliau, mintis dabar suvokiama kaip tikrovė. Dekarto idėja apie stačiakampę koordinačių sistemą įsivaizduojamų skaičių dėka įgyja išsamumą. Dabar šiuos įsivaizduojamus skaičius galima užpildyti reikšmėmis.

XIX amžiuje Eulerio, Argano, Koši, Hamiltono darbuose buvo sukurtas aritmetinis aparatas darbui su kompleksiniais skaičiais. Bet kuris kompleksinis skaičius gali būti pavaizduotas kaip suma X + iY, kur X ir Y yra tikrieji skaičiai, prie kurių esame įpratę, ir iįsivaizduojamas vienetas (iš tikrųjų jis yra √ – 1). Kiekvienas kompleksinis skaičius atitinka tašką su koordinatėmis (X, Y) vadinamojoje kompleksinėje plokštumoje.

Antroji svarbi koncepcija – fazinis dinaminės sistemos portretas susiformavo XX a. Po to, kai Einšteinas parodė, kad viskas juda vienodu greičiu šviesos atžvilgiu, kilo mintis apie galimybę išreikšti sistemos dinaminį elgesį sustingusių geometrinių linijų, vadinamojo dinaminės sistemos fazinio portreto, formatu. aiški fizinė prasmė.

Iliustruojame tai švytuoklės pavyzdžiu. Jeanas Foucault pirmuosius eksperimentus su švytuokle atliko 1851 m. rūsyje, vėliau Paryžiaus observatorijoje, tada po Panteono kupolu. Galiausiai, 1855 m., Foucault švytuoklė buvo pakabinta po Paryžiaus Saint-Martin-de-Chan bažnyčios kupolu. Foucault švytuoklės virvės ilgis – 67 m, svorio svoris – 28 kg. Iš didelio atstumo švytuoklė atrodo kaip taškas. Taškas visada nejudantis. Artėjant išskiriame sistemą su trimis tipinėmis trajektorijomis: harmoninį osciliatorių (sinϕ ≈ ϕ), švytuoklę (svyruoja pirmyn ir atgal), sraigtą (sukimąsi).

Kai vietinis stebėtojas mato vieną iš trijų galimų rutulio judėjimo konfigūracijų, iš proceso pašalintas analitikas gali manyti, kad kamuolys atlieka vieną iš trijų tipiškų judesių. Tai gali būti pavaizduota viename plane. Reikia susitarti, kad „kamuoliuką ant sriegio“ perkelsime į abstrakčią fazių erdvę, kuri turi tiek koordinačių, kiek nagrinėjamos sistemos laisvės laipsnių. Šiuo atveju kalbame apie du laisvės greičio laipsnius v o sriegio pasvirimo su rutuliu kampas į vertikalią ϕ. Koordinatėse ϕ ir v harmoninio osciliatoriaus trajektorija yra koncentrinių apskritimų sistema, didėjant kampui ϕ šie apskritimai tampa ovalūs, o ties ϕ = ± π prarandamas ovalo uždarymas. Tai reiškia, kad švytuoklė persijungė į sraigto režimą: v = konst(8 pav.).

Ryžiai. 8. Švytuoklė: a) trajektorija idealios švytuoklės fazių erdvėje; b) trajektorija švytuoklės siūbavimo su slopinimu fazinėje erdvėje; c) fazinis portretas

Fazinėje erdvėje gali nebūti ilgių, trukmės ar judesių. Čia bet koks veiksmas yra iš anksto duotas, bet ne visi galioja. Iš geometrijos lieka tik topologija, o ne matai, parametrai, vietoj matmenų, matmenys. Čia bet kuri dinamiška sistema turi savo unikalų įspaudą – fazinį portretą. O tarp jų yra gana keistų fazinių portretų: būdami sudėtingi, juos lemia vienas parametras; būdamos proporcingos, jos yra neproporcingos; būdami tęstiniai, jie yra atskiri. Tokie keisti faziniai portretai būdingi sistemoms su atraktorių fraktaline konfigūracija. Traukos centrų (attraktorių) diskretiškumas sukuria veiksmo kvanto efektą, tarpo ar šuolio efektą, o trajektorijos išlaiko tęstinumą ir sukuria vieną sujungtą keisto traukiklio formą.

FRAKTALŲ KLASIFIKACIJA. Fraktalas turi tris hipostazes: formaliąją, operacinę ir simbolinę, kurios yra statmenos viena kitai. O tai reiškia, kad tą pačią fraktalų formą galima gauti naudojant skirtingus algoritmus, o tas pats fraktalo matmenų skaičius gali atsirasti visiškai skirtingos formos fraktalams. Atsižvelgdami į šias pastabas, fraktalus skirstome pagal simbolius, formalius ir veikimo požymius:

• simboliškai fraktalui būdingas matmuo gali būti visas arba trupmeninis;
• formaliai fraktalai gali būti nuoseklūs, kaip lapas ar debesis, ir nenuoseklūs, kaip dulkės;
• operatyviniu pagrindu fraktalus galima skirstyti į reguliarius ir stochastinius.

Įprasti fraktalai statomi pagal griežtai apibrėžtą algoritmą. Šiuo atveju statybos procesas yra grįžtamas. Visas operacijas galite pakartoti atvirkštine tvarka, taškas po taško ištrindami bet kokį vaizdą, sukurtą taikant deterministinį algoritmą. Deterministinis algoritmas gali būti tiesinis arba nelinijinis.

Stochastiniai fraktalai, panašūs stochastine prasme, atsiranda tada, kai jų konstravimo algoritme iteracijų eigoje bet kokie parametrai keičiasi atsitiktinai. Sąvoka „stochastiškumas“ kilusi iš graikiško žodžio stochazė- spėk, spėk. Stochastinis procesas yra procesas, kurio pokyčių pobūdžio negalima tiksliai numatyti. Fraktalai gaminami pagal gamtos užgaidą (lūžta uolienų paviršiai, debesys, audringi srautai, putos, geliai, suodžių dalelių kontūrai, akcijų kainų ir upių lygio pokyčiai ir kt.), neturi geometrinio panašumo, tačiau atkakliai dauginasi kiekvienas fragmentas vidutiniškai statistines visumos savybes. Kompiuteris leidžia generuoti pseudoatsitiktinių skaičių sekas ir iš karto imituoti stochastinius algoritmus ir formas.

LININIAI FRAKTALAI. Tiesiniai fraktalai taip pavadinti, nes visi jie sukurti pagal tam tikrą tiesinį algoritmą. Šie fraktalai yra panašūs į save, neiškraipo pasikeitus masteliui ir jokiu būdu nesiskiria. Norint sukurti tokius fraktalus, pakanka nustatyti pagrindą ir fragmentą. Šie elementai bus kartojami daug kartų mažėjant masteliui iki begalybės.

Kantoro dulkės. XIX amžiuje vokiečių matematikas Georgas Ferdinandas Ludwigas Philipas Cantoras (1845-1918) pasiūlė matematikų bendruomenei keistą skaičių aibę nuo 0 iki 1. Rinkinyje buvo begalinis skaičius nurodyto intervalo elementų ir be to, turėjo nulinį matmenį. Atsitiktinai paleista strėlė vargu ar būtų pataikiusi nors į vieną šios gausybės elementą.

Pirmiausia turite pasirinkti vieneto ilgio segmentą (pirmas žingsnis: n = 0), tada padalinkite jį į tris dalis ir pašalinkite vidurinį trečdalį (n = 1). Toliau tą patį padarysime su kiekvienu suformuotu segmentu. Dėl begalinio skaičiaus operacijos pakartojimų gauname reikiamą rinkinį „Kantoriaus dulkės“. Dabar nėra priešpriešos tarp nenutrūkstamo ir be galo dalijamo, „Kantoriaus dulkės“ yra ir viena, ir kita (žr. 1 pav.). „Kantoriaus dulkės“ yra fraktalas. Jo fraktalinis matmuo yra 0,6304 ...

Vieną iš dvimačių vienmačio Cantor rinkinio analogų aprašė lenkų matematikas Vaclavas Sierpinskis. Jis vadinamas „Cantor kilimu“ arba dažniau „Sierpinski kilimu“. Jis yra griežtai panašus į save. Jo fraktalinį matmenį galime apskaičiuoti kaip ln8 / lnЗ = 1,89 ... (9 pav.).

LĖKTUVO PILDYMO LINIJA. Apsvarstykite visą šeimą reguliarių fraktalų, kurie yra kreivės, galinčios užpildyti plokštumą. Net Leibnicas ginčijosi: „Jei manytume, kad kas nors atsitiktinai uždeda daug taškų ant popieriaus,<… >Aš sakau, kad galima nustatyti pastovią ir vientisą geometrinę liniją, kuri paklūsta tam tikrai taisyklei, kuri eis per visus taškus. Šis Leibnizo teiginys prieštaravo euklido sampratai apie dimensiją kaip mažiausią parametrų skaičių, pagal kurį vienareikšmiškai nustatoma taško padėtis erdvėje. Nesant griežto įrodymo, šios Leibnizo idėjos liko matematinės minties periferijoje.

Peano kreivė. Tačiau 1890 m. matematikas iš Italijos Giuseppe Peano sukonstravo liniją, kuri visiškai uždengia plokščią paviršių, kertančią visus jo taškus. „Peano kreivės“ konstrukcija parodyta fig. dešimt.

Nors Peano kreivės topologinis matmuo yra lygus vienetui, jos fraktalinis matmuo yra d = ln (1/9) / ln (1/3) = 2. Fraktalų geometrijos rėmuose paradoksas buvo išspręstas natūraliausiu būdu. būdu. Linija, kaip voratinklis, gali uždengti plokštumą. Šiuo atveju nustatomas vienas su vienu atitikimas: kiekvienas linijos taškas atitinka plokštumos tašką. Tačiau šis atitikimas nėra vienas su vienu, nes kiekvienas plokštumos taškas atitinka vieną ar kelis linijos taškus.

Hilberto kreivė. Po metų, 1891 m., pasirodė vokiečių matematiko Davido Hilberto (1862–1943) straipsnis, kuriame jis pateikė kreivę, apimančią plokštumą be sankryžų ir liestinių. „Hilberto kreivės“ konstrukcija parodyta fig. vienuolika.

Hilberto kreivė buvo pirmasis FASS kreivių (spaceFilling, selfAvoiding, Simple and selfSimilar of space užpildymo savaime vengiančių, paprastų ir į save panašių linijų) pavyzdys. Gilberto linijos, kaip ir Peano kreivės, fraktalinis matmuo yra du.

Minkovskio juosta. Hermannas Minkowskis, artimas Hilberto draugas iš studentavimo laikų, sukonstravo kreivę, kuri neapima visos plokštumos, o sudaro kažką panašaus į juostelę. Statant „Minkowski juostą“ kiekviename žingsnyje, kiekvienas segmentas pakeičiamas laužta linija, susidedančia iš 8 segmentų. Kitame etape su kiekvienu nauju segmentu operacija kartojama 1:4 masteliu. Minkovskio juostelės fraktalinis matmuo yra d = ln (l / 8) / ln (1/4) = 1,5.

NELINijiniai FRAKTALAI. Paprasčiausias netiesinis kompleksinės plokštumos atvaizdavimas į save yra pirmoje dalyje nagrinėjamas Julijos atvaizdavimas zgz 2 + C. Tai skaičiavimas per uždarą ciklą, kuriame ankstesnio ciklo rezultatas padauginamas iš savęs su konstanta, pridėta prie tai yra kvadratinė grįžtamojo ryšio kilpa (13 pav.).

Iteracijų metu fiksuota konstantos C reikšme, priklausomai nuo savavališko pradinio taško Z 0, taškas Z n ties n-> ∞ gali būti baigtinis arba begalinis. Viskas priklauso nuo Z 0 padėties pradžios atžvilgiu z = 0. Jei skaičiuojama reikšmė baigtinė, tai ji įtraukiama į Julijos aibę; jei jis eina į begalybę, tada jis yra iškirptas iš Julijos rinkinio.

Forma, kuri gaunama pritaikius Julijos žemėlapį tam tikro paviršiaus taškams, yra vienareikšmiškai nulemta parametro C. Mažiems C – tai paprastos sujungtos kilpos, dideliam C – atjungtų, bet griežtai išdėstytų taškų sankaupos. Apskritai visas Julijos formas galima suskirstyti į dvi dideles šeimas - sujungtus ir atjungtus žemėlapius. Pirmieji primena Kocho snaigę, antrieji – Kantoro dulkes.

Julijos formų įvairovė atbaidė matematikus, kai jie pirmą kartą galėjo stebėti šias formas kompiuterių monitoriuose. Bandymai reitinguoti šį rinkinį buvo labai sąlygiški ir susivedė su tuo, kad Julia žemėlapių klasifikavimo pagrindu buvo paimtas Mandelbroto rinkinys, kurio ribos, kaip paaiškėjo, yra asimptotiškai panašios į Julijos žemėlapius.

Kai C = 0, Julijos žemėlapio kartojimas suteikia skaičių seką z 0, z 0 2, z 0 4, z 0 8, z 0 16 ... Dėl to galimi trys variantai:

• už |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• už |z 0 | > 1 iteracijų eigoje skaičių z n absoliučia reikšme didėja, linkę į begalybę. Šiuo atveju atraktorius yra taškas begalybėje, ir mes neįtraukiame tokių verčių iš Julijos rinkinio;
• už |z 0 | = 1 visi sekos taškai ir toliau lieka šiame vienetiniame apskritime. Šiuo atveju atraktorius yra apskritimas.

Taigi, esant C = 0, riba tarp traukiančių ir atstumiančių pradinių taškų yra apskritimas. Šiuo atveju atvaizdavimas turi du fiksuotus taškus: z = 0 ir z = 1. Pirmasis iš jų yra patrauklus, nes kvadratinės funkcijos išvestinė ties nuliu yra 0, o antroji yra atstumianti, nes kvadratinės išvestinė funkcija esant parametro reikšmei yra lygi dviem.

Panagrinėkime situaciją, kai konstanta C yra tikrasis skaičius, t.y. atrodo, kad judame išilgai Mandelbroto aibės ašies (14 pav.). Esant С = –0,75, Julijos aibės riba susikerta ir atsiranda antrasis atraktorius. Šiuo metu fraktalas pavadintas San Marco fraktalu, kurį jam suteikė Mandelbrotas garsiosios Venecijos katedros garbei. Žvelgiant į piešinį nesunku suprasti, kodėl Mandelbrotui kilo mintis fraktalą pavadinti būtent šios struktūros vardu: panašumas nuostabus.

Ryžiai. 14. Julijos aibės formos pokytis, kai realioji reikšmė C sumažėja nuo 0 iki -1

Toliau mažinant С iki –1,25, gauname naują tipinę formą su keturiais fiksuotais taškais, kurie išlieka iki verčių С< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Ryžiai. 15. Naujų Julijos aibės formų atsiradimas sumažėjus realiajai reikšmei C< –1

Taigi, net ir likdami ant Mandelbroto fraktalo ašies (konstanta C yra tikrasis skaičius), dėmesio lauke „užfiksavome“ ir kažkokiu būdu surikiavome gana didelę Julijos formų įvairovę nuo apskritimo iki dulkių. Dabar panagrinėkime Mandelbroto fraktalo ženklų sritis ir atitinkamas Julijos fraktalų formas. Pirmiausia apibūdinkime Mandelbroto fraktalą „kardioido“, „inkstų“ ir „svogūno“ sąvokomis (16 pav.).

Pagrindinis kardioidas ir gretimas apskritimas sudaro pagrindinę Mandelbroto fraktalo formą. Prie jų yra begalė jo kopijų, kurios dažniausiai vadinamos inkstais. Kiekvienas iš šių pumpurų yra apgaubtas begale mažesnių pumpurų, panašių vienas į kitą. Du didžiausi pumpurai virš ir žemiau pagrindinio kardioido vadinami svogūnais.

Prancūzas Adrienas Daudi ir amerikietis Billas Hubbardas, tyrinėję tipinį šio rinkinio fraktalą (С = –0,12 + 0,74i), pavadino jį „triušio fraktalu“ (17 pav.).

Kirsdami Mandelbroto fraktalo ribą, Julijos fraktalai visada praranda ryšį ir virsta dulkėmis, kurios paprastai vadinamos „Fatou dulkėmis“ Pierre'o Fatou garbei, kuris įrodė, kad tam tikroms C vertėms be galo tolimas taškas traukia visa sudėtinga plokštuma, išskyrus labai ploną, pavyzdžiui, dulkes, rinkinį (18 pav.).

STOCHASTINIAI FRAKTALAI. Yra didelis skirtumas tarp griežtai į save panašios fon Kocho kreivės ir, pavyzdžiui, Norvegijos pakrantės. Pastarasis, nors ir nėra griežtai panašus į save, rodo panašumą statistine prasme. Šiuo atveju abi kreivės yra sulaužytos tiek, kad negalite nubrėžti liestinės nei vienam jų taškui, arba, kitaip tariant, negalite jos atskirti. Tokios kreivės yra savotiški „monstrai“ tarp įprastų Euklido linijų. Pirmasis, kuris sukonstravo ištisinę funkciją, kurios taške nėra liestinės, buvo Karlas Theodoras Wilhelmas Weierstrassas. Jo darbas buvo pristatytas Karališkajai Prūsijos akademijai 1872 m. liepos 18 d., o paskelbtas 1875 m. Weierstrass aprašytos funkcijos atrodo kaip triukšmas (19 pav.).

Pažiūrėk biržos grafikus, temperatūrų ar oro slėgio svyravimų suvestinę ir rasi kažkokį reguliarų nelygumą. Be to, didėjant mastui, pažeidimo pobūdis išlieka. Ir tai mus nurodo į fraktalinę geometriją.

Brauno judėjimas yra vienas žinomiausių stochastinio proceso pavyzdžių. 1926 m. Jeanas Perrinas gavo Nobelio premiją už Brauno judėjimo prigimties tyrimą. Būtent jis atkreipė dėmesį į Brauno trajektorijos panašumą ir nediferencijavimą.

Neseniai sužinojau apie tokius įdomius matematinio pasaulio objektus kaip fraktalai. Tačiau jie egzistuoja ne tik matematikoje. Jie mus supa visur. Fraktalai yra natūralūs. Apie tai, kas yra fraktalai, apie fraktalų rūšis, šių objektų pavyzdžius ir jų pritaikymą, pakalbėsiu šiame straipsnyje. Pirmiausia trumpai papasakosiu, kas yra fraktalas.

Fraktalas (lot. fractus - susmulkintas, sulaužytas, sulaužytas) yra sudėtinga geometrinė figūra, turinti panašumo savybę, tai yra, susidedanti iš kelių dalių, kurių kiekviena yra panaši į visą figūrą kaip visumą. Platesne prasme fraktalai suprantami kaip Euklido erdvės taškų rinkiniai, turintys trupmeninį metrinį matmenį (Minkowskio arba Hausdorffo prasme) arba kitokį nei topologinį metrinį matmenį. Kaip pavyzdį įterpsiu keturių skirtingų fraktalų paveikslėlį.

Truputį papasakosiu apie fraktalų istoriją. 70-ųjų pabaigoje pasirodžiusios fraktalinės ir fraktalinės geometrijos sąvokos nuo devintojo dešimtmečio vidurio tapo matematikų ir programuotojų kasdienio gyvenimo dalimi. Žodį „fraktalas“ sugalvojo Benoit Mandelbrot 1975 m., nurodydamas netaisyklingas, bet į save panašias struktūras, prie kurių jis dirbo. Fraktalinės geometrijos gimimas dažniausiai siejamas su Mandelbroto knygos „Gamtos fraktalų geometrija“ paskelbimu 1977 m. Jo darbuose buvo naudojami kitų 1875–1925 m. toje pačioje srityje dirbusių mokslininkų (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) moksliniai rezultatai. Tačiau tik mūsų laikais buvo įmanoma sujungti jų darbą į vieną sistemą.

Fraktalų pavyzdžių yra labai daug, nes, kaip sakiau, jie mus supa visur. Mano nuomone, net visa mūsų Visata yra vienas didžiulis fraktalas. Juk viskas jame, nuo atomo sandaros iki pačios Visatos sandaros, tiksliai kartoja vienas kitą. Tačiau, žinoma, yra ir konkretesnių įvairių sričių fraktalų pavyzdžių. Pavyzdžiui, fraktalai yra sudėtingoje dinamikoje. Jie ten yra natūraliai atsiranda tiriant netiesinius dinamines sistemas... Labiausiai ištirtas atvejis, kai dinaminė sistema nurodoma polinomo arba holomorfo iteracijomis. kintamųjų komplekso funkcija ant paviršiaus. Kai kurie žinomiausi tokio tipo fraktalai yra Julijos rinkinys, Mandelbroto rinkinys ir Niutono baseinai. Žemiau pateiktose nuotraukose pavaizduotas kiekvienas iš aukščiau paminėtų fraktalų.

Kitas fraktalų pavyzdys yra fraktalų kreivės. Geriausia paaiškinti, kaip sukurti fraktalą, naudojant fraktalų kreivių pavyzdį. Viena iš tokių kreivių yra vadinamoji Kocho snaigė. Yra paprastasFraktalinių kreivių gavimo plokštumoje procedūra. Apibrėžkime savavališką poliliniją su baigtiniu nuorodų skaičiumi, vadinamą generatoriumi. Toliau kiekvieną jame esantį segmentą pakeičiame generatoriumi (tiksliau, laužyta linija, panašia į generatorių). Gautoje nutrūkusioje linijoje kiekvieną segmentą vėl pakeiskite generatoriumi. Tęsdami iki begalybės, riboje gauname fraktalų kreivę. Kocho snaigė (arba kreivė) parodyta žemiau.

Taip pat yra didžiulė fraktalų kreivių įvairovė. Žymiausi iš jų – jau minėta Kocho snaigė, taip pat Levy kreivė, Minkovskio kreivė, Drakono nulaužta kreivė, Piano kreivė ir Pitagoro medis. Šių fraktalų vaizdą ir jų istoriją, manau, jei norite, nesunkiai rasite Vikipedijoje.

Trečiasis fraktalų pavyzdys arba tipas yra stochastiniai fraktalai. Šie fraktalai apima Brauno judėjimo trajektoriją plokštumoje ir erdvėje, Schramm-Löwnerio evoliucija, Skirtingos rūšys atsitiktinių imčių fraktalai, tai yra fraktalai, gauti naudojant rekursinę procedūrą, į kurią kiekviename žingsnyje įvedamas atsitiktinis parametras.

Taip pat yra grynai matematinių fraktalų. Tai, pavyzdžiui, Kantoro rinkinys, Mengerio kempinė, Sierpinskio trikampis ir kt.

Bet, ko gero, įdomiausi fraktalai yra natūralūs. Natūralūs fraktalai yra gamtos objektai, turintys fraktalų savybių. O štai sąrašas jau ilgas. Neišvardinsiu visko, nes tikriausiai negaliu visų išvardyti, bet apie kai kuriuos papasakosiu. Pavyzdžiui, gamtoje tokie fraktalai apima mūsų kraujotakos sistemą ir plaučius. Taip pat medžių vainikas ir lapai. Tai taip pat apima jūrų žvaigždes, jūros ežiai, koralai, jūros kriauklės, kai kurie augalai, pavyzdžiui, kopūstai ar brokoliai. Keletas tokių natūralių laukinės gamtos fraktalų yra aiškiai parodyti žemiau.

Jei laikysime negyvąją gamtą, tai yra daug įdomesnių pavyzdžių nei gyvojoje gamtoje. Žaibai, snaigės, debesys, visiems gerai žinomi, raštai ant langų šaltomis dienomis, kristalai, kalnų grandinės – visa tai natūralių fraktalų iš negyvosios gamtos pavyzdžiai.

Mes apsvarstėme fraktalų pavyzdžius ir tipus. Kalbant apie fraktalų naudojimą, jie naudojami įvairiose žinių srityse. Fizikoje fraktalai natūraliai atsiranda modeliuojant netiesinius procesus, tokius kaip turbulentinis skysčio srautas, sudėtingi difuzijos-adsorbcijos procesai, liepsnos, debesys ir kt. Fraktalai naudojami modeliuojant akytas medžiagas, pavyzdžiui, naftos chemijoje. Biologijoje jie naudojami populiacijoms modeliuoti ir sistemoms apibūdinti Vidaus organai(kraujagyslių sistema). Sukūrus Kocho kreivę, buvo pasiūlyta ją naudoti skaičiuojant pakrantės ilgį. Fraktalai taip pat aktyviai naudojami radijo inžinerijoje, kompiuterių moksle ir Kompiuterinė technologija, telekomunikacijos ir net ekonomika. Ir, žinoma, fraktalinis matymas aktyviai naudojamas šiuolaikiniame mene ir architektūroje. Štai vienas fraktalų paveikslų pavyzdys:

Taigi, manau, šiuo klausimu užbaigsiu savo istoriją apie tokį neįprastą matematinį reiškinį kaip fraktalas. Šiandien mes sužinojome apie tai, kas yra fraktalas, kaip jis atsirado, apie fraktalų rūšis ir pavyzdžius. Taip pat kalbėjau apie jų pritaikymą ir kai kuriuos fraktalus pademonstravau vaizdžiai. Tikiuosi, kad jums patiko ši trumpa ekskursija į nuostabių ir užburiančių fraktalų objektų pasaulį.