逆行列を確認してください。 スラフを解くための行列法：逆行列を使用して解く例。 未知数のガウスの消去法による逆行列の発見
通常、逆数演算は、複雑な代数式を単純化するために使用されます。 たとえば、問題に分数による除算の演算が含まれている場合、逆数を掛ける演算である逆数の演算に置き換えることができます。 さらに、行列は分割できないため、逆行列で乗算する必要があります。 3x3行列の逆行列を計算するのは非常に面倒ですが、手動で計算できる必要があります。 また、優れたグラフ電卓で逆数を見つけることができます。
ステップ
添付のマトリックスを使用
元の行列を転置します。転置とは、行列の主対角線を基準にして行を列に置き換えることです。つまり、要素（i、j）と（j、i）を交換する必要があります。 この場合、主対角線の要素（左上隅から始まり右下隅で終わる）は変更されません。
- 行を列に交換するには、最初の行の要素を最初の列に、2番目の行の要素を2番目の列に、3番目の行の要素を3番目の列に書き込みます。 要素の位置を変更する順序を図に示します。図では、対応する要素が色付きの円で囲まれています。
各2x2行列の定義を見つけます。転置されたものを含む任意の行列の各要素は、対応する2x2行列に関連付けられます。 特定の要素に対応する2x2マトリックスを見つけるには、この要素が配置されている行と列を取り消します。つまり、元の3x3マトリックスの5つの要素を取り消します。 対応する2x2マトリックスの要素である4つの要素は、取り消し線が引かれていません。
- たとえば、2行目と1列目の交点にある要素の2x2行列を見つけるには、2行目と1列目にある5つの要素を取り消します。 残りの4つの要素は、対応する2x2行列の要素です。
- 各2x2行列の行列式を見つけます。 これを行うには、主対角線の要素の積から二次対角線の要素の積を減算します（図を参照）。
- 3x3マトリックスの特定の要素に対応する2x2マトリックスに関する詳細情報は、インターネットで見つけることができます。
補因子の行列を作成します。以前に得られた結果を補因子の新しい行列の形で記録します。 これを行うには、3x3行列の対応する要素が配置された各2x2行列の見つかった行列式を記述します。 たとえば、要素（1,1）に対して2x2行列が考慮される場合、その行列式を位置（1,1）に書き留めます。 次に、図に示す特定のパターンに従って、対応する要素の符号を変更します。
- 符号変更スキーム：最初の行の最初の要素の符号は変更されません。 最初の行の2番目の要素の符号が逆になっています。 最初の行の3番目の要素の符号は変更されません。以下同様に行ごとに変更されます。 図（図を参照）に示されている記号「+」および「-」は、対応する要素が正または負になることを示すものではないことに注意してください。 この場合、「+」記号は要素の符号が変更されていないことを示し、「-」記号は要素の符号が変更されていることを示します。
- 余因子行列に関する詳細情報は、インターネットで見つけることができます。
- これは、元の行列の関連する行列を見つける方法です。 複素共役行列と呼ばれることもあります。 このような行列は、adj（M）として示されます。
随伴行列の各要素を行列式で除算します。逆行列が存在することを確認するために、行列式Mの行列式が最初に計算されました。 次に、随伴行列の各要素をこの行列式で除算します。 対応する要素が配置されている各除算操作の結果を記録します。 したがって、元のマトリックスの逆のマトリックスが見つかります。
- 図に示されている行列の行列式は1です。したがって、ここで関連付けられている行列は逆行列です（任意の数を1で割っても変化しないため）。
- 一部のソースでは、除算演算は1 / det（M）による乗算演算に置き換えられています。 この場合、最終結果は変わりません。
逆行列を書き留めます。大きな行列の右半分にある要素を、逆行列である別の行列として記述します。
電卓を使う
行列で動作する計算機を選択してください。単純な計算機では逆行列を見つけることができませんが、Texas InstrumentsTI-83やTI-86などの優れたグラフ電卓を使用して見つけることができます。
元の行列を電卓のメモリに入力します。これを行うには、可能な場合は[マトリックス]ボタンをクリックします。 Texas Instrumentsの計算機の場合、2番目とMatrixボタンを押す必要がある場合があります。
[編集]メニューを選択します。これは、電卓のキーボードの上部にある矢印ボタンまたは対応する機能ボタンを使用して行います（ボタンの位置は電卓のモデルによって異なります）。
マトリックスの指定を入力します。ほとんどのグラフ電卓は、3〜10個の行列で動作します。 文字A-J。 原則として、元の行列を示すには[A]を選択するだけです。 次に、Enterボタンを押します。
マトリックスサイズを入力します。この記事では、3x3行列について説明します。 ただし、グラフィカルな計算機は大きな行列で機能します。 行数を入力し、Enterボタンを押してから、列数を入力して、Enterボタンをもう一度押します。
行列の各要素を入力します。電卓の画面に行列が表示されます。 マトリックスが以前に電卓に入力されている場合は、画面に表示されます。 カーソルがマトリックスの最初の要素を強調表示します。 最初の要素の値を入力して、Enterキーを押します。 カーソルは自動的にマトリックスの次の要素に移動します。
正方行列を考えてみましょう。 Δ= detAでその行列式を示します。 正方形Bは、積A * B = B * A = Eの場合、同じ次数の正方形Aの（OM）です。ここで、EはAおよびBと同じ次数の単位行列です。
正方形Aは、行列式がゼロ以外の場合は非縮退または非特異と呼ばれ、Δ= 0の場合は縮退または特殊と呼ばれます。
定理。 Aが逆行列式を持つためには、その行列式がゼロとは異なることが必要十分です。
（OM）A、A -1で表されるため、B \ u003d A -1であり、次の式で計算されます。
, (1)
ここで、Аij-要素の代数的補数ai j、Δ= detA。
高次行列の式（1）によるA -1の計算は非常に手間がかかるため、実際には、基本変換（EP）の方法を使用してA-1を見つけると便利です。 列のみ（または行のみ）のEPによる非特異Aは、ユニットEに減らすことができます。行列Aに対して実行されたEPがユニットEに同じ順序で適用される場合、結果はA-1になります。 AとEで同時にEPを実行し、A | Eの行を介して両方を並べて書き込むと便利です。 A -1を検索する場合は、変換で行のみまたは列のみを使用する必要があります。
代数補数を使用した逆行列の検索
例1。 ために 
A-1を見つけます。
解決。最初に行列式Aを見つけます 
したがって、（OM）が存在し、次の式で見つけることができます。 
、ここでA i j（i、j = 1,2,3）-元のAの要素a ijの代数的補数。
要素aijの代数的補数は、行列式またはマイナーMijです。 これは、列iと行jを削除することによって取得されます。 次に、マイナーに（-1）i + jを掛けます。つまり、 A ij =（-1）i + j M ij
どこ 
.
基本変換を使用して逆行列を見つける
例2。 基本変換の方法を使用して、A \ u003dのA-1を見つけます。
解決。右側の元のAは、同じ順序のユニットであると考えています。 
。 基本列変換の助けを借りて、左側の「半分」をユニット1に移動し、同時に右側の「半分」で正確にそのような変換を実行します。
これを行うには、最初の列と2番目の列を入れ替えます。 
~
。 最初の列を3番目の列に追加し、最初の列に-2を掛けて2番目の列に追加します。 
。 最初の列から2倍の秒を減算し、3番目の列から2番目に6を掛けます。 
。 3番目の列を1番目と2番目に追加しましょう。 
。 最後の列に-1を掛けます。 
。 垂直バーの右側にある正方形のテーブルは、A-1の逆数です。 それで、 
.
n次の正方行列があるとします
行列A-1はと呼ばれます 逆行列行列Aに関して、A * A -1 = Eの場合、ここでEはn次の単位行列です。
単位行列-このような正方行列では、主対角線に沿って左上隅から右下隅に渡るすべての要素が1であり、残りは0です。例：
逆行列存在する可能性があります 正方行列の場合のみそれらの。 行と列の数が同じである行列の場合。
逆行列存在条件定理
行列が逆行列を持つためには、それが非縮退であることが必要十分です。
行列A =（A1、A2、... A n）は次のように呼ばれます 非縮退列ベクトルが線形独立である場合。 行列の線形独立な列ベクトルの数は、行列のランクと呼ばれます。 したがって、逆行列が存在するためには、行列のランクがその次元に等しいことが必要かつ十分であると言えます。 r = n。
逆行列を見つけるためのアルゴリズム
- ガウスの方法で連立方程式を解くための行列Aを表に書き、右側（方程式の右側の部分の代わりに）に行列Eを割り当てます。
- ヨルダン変換を使用して、行列Aを単一の列で構成される行列にします。 この場合、行列Eを同時に変換する必要があります。
- 必要に応じて、元のテーブルの行列Aの下で単位行列Eが取得されるように、最後のテーブルの行（方程式）を再配置します。
- 元のテーブルの行列Eの下の最後のテーブルにある逆行列A-1を記述します。
行列Aの場合、逆行列A-1を見つけます。
解決策：行列Aを書き留め、右側に単位行列Eを割り当てます。ヨルダン変換を使用して、行列Aを単位行列Eに縮小します。計算を表31.1に示します。
元の行列Aと逆行列A-1を乗算して、計算の正しさを確認しましょう。
行列の乗算の結果として、単位行列が取得されます。 したがって、計算は正しいです。
答え： 
行列方程式の解
行列方程式は次のようになります。
AX = B、XA = B、AXB = C、
ここで、A、B、Cには行列が与えられ、Xは目的の行列です。
行列方程式は、方程式に逆行列を掛けることによって解かれます。
たとえば、方程式から行列を見つけるには、この方程式に左側を掛ける必要があります。
したがって、方程式の解を見つけるには、逆行列を見つけて、方程式の右辺の行列を掛ける必要があります。
他の方程式も同様に解かれます。
次の場合、方程式AX = Bを解きます。 
解決：行列の逆行列は等しいので（例1を参照）
経済分析におけるマトリックス法
他の人と一緒に、彼らはまたアプリケーションを見つけます 行列法。 これらの方法は、線形およびベクトル行列代数に基づいています。 このような方法は、複雑で多次元の経済現象を分析する目的で使用されます。 ほとんどの場合、これらの方法は、組織の機能とその構造的部門を比較する必要がある場合に使用されます。
マトリックス分析法を適用する過程で、いくつかの段階を区別することができます。
最初の段階で経済指標のシステムの形成が実行され、それに基づいて初期データのマトリックスが編集されます。これは、システム番号が個々の行に示されている表です。 （i = 1,2、....、n）、および垂直グラフに沿って-インジケーターの数 （j = 1,2、....、m）.
第二段階で垂直の列ごとに、インジケーターの利用可能な値の最大値が表示されます。これは1つの単位として扱われます。
その後、この列に反映されているすべての金額が最大値で除算され、標準化された係数のマトリックスが形成されます。
第三段階でマトリックスのすべてのコンポーネントは2乗されます。 それらの重要性が異なる場合、マトリックスの各インジケーターには特定の重み係数が割り当てられます k。 後者の価値は専門家によって決定されます。
最後に 第4段階評価の値が見つかりました Rj昇順または降順でグループ化されます。
上記のマトリックス手法は、たとえば、さまざまな投資プロジェクトの比較分析や、組織の他の経済パフォーマンス指標の評価に使用する必要があります。
行列A-1は、A * A -1 \ u003d Eの場合、行列Aに関して逆行列と呼ばれます。ここで、Eはn次の単位行列です。 逆行列は、正方行列に対してのみ存在できます。
サービスの割り当て。 このサービスをオンラインで使用すると、代数の加算、転置行列A T、和集合行列、逆行列を見つけることができます。 ソリューションはサイトで直接（オンライン）実行され、無料です。 計算結果は、Word形式とExcel形式のレポートで表示されます（つまり、解を確認することができます）。 設計例を参照してください。
命令。 解を得るには、行列の次元を指定する必要があります。 次に、新しいダイアログボックスで、行列Aを入力します。
ヨルダンガウス法による逆行列も参照してください。
逆行列を見つけるためのアルゴリズム
- 転置行列ATを見つける。
- 代数加算の定義。 行列の各要素をその代数的補数で置き換えます。
- 代数的加算から逆行列を構成する：結果の行列の各要素は、元の行列の行列式によって除算されます。 結果の行列は、元の行列の逆行列です。
- 行列が正方行列であるかどうかを判断します。 そうでない場合は、その逆行列はありません。
- 行列式Aの行列式の計算。 ゼロに等しくない場合は、解を続行します。それ以外の場合は、逆行列は存在しません。
- 代数加算の定義。
- 結合（相互、随伴）行列Cを入力します。
- 代数加算からの逆行列のコンパイル：随伴行列Cの各要素は、元の行列の行列式で除算されます。 結果の行列は、元の行列の逆行列です。
- チェックを行います。元の行列と結果の行列を乗算します。 結果は単位行列になります。
例1。 マトリックスは次の形式で記述します。
| A -1 = |
|
逆行列を見つけるための別のアルゴリズム
逆行列を見つけるための別のスキームを提示します。- 与えられた正方行列Aの行列式を見つけます。
- 行列Aのすべての要素に代数的な加算が見つかります。
- 行の要素の代数的補数を列に書き込みます（転置）。
- 結果の行列の各要素を行列Aの行列式で除算します。
特別な場合：単位行列Eに関する逆行列は、単位行列Eです。