高調波線形化。調和線形化の方法: 実験室作業のガイドライン自励発振 matlab の調和線形化の方法

高調波線形化法の目的.

調和線形化法のアイデアは 1934 年に提案されました。 N.M.クリロフとN.N.ボゴリュボフ。自動制御システムに関連して、この方法は L. S. Goldfarb と E. P. Popov によって開発されました。この方法およびその変形の別名は、調和平衡法、関数記述法、等価線形化法などです。

調和線形化法は、自己発振を研究するための方法です。これにより、非線形システムで発生する可能性のある自己振動の存在条件とパラメーターを決定できます。

自己発振のパラメータを知ることで、システム内で起こり得るプロセスの全体像を提示し、特に安定性の条件を決定することができます。たとえば、ある非線形システムの自己振動を研究した結果、これらの自己振動の振幅の依存性が得られたとします。あ透過係数から k図 12.1 に示すシステムの線形部分が存在し、自己発振が安定していることがわかります。

グラフから、透過係数の値が大きいほど、ｋ、いつ k > k kr、システム内に自己発振があります。透過係数が減少するにつれて、それらの振幅はゼロに減少します。 k前に k cr. 図 12.1 では、矢印は通常、さまざまな値での過渡プロセスの性質を示しています。 k：で k > k kr は、初期偏差によって引き起こされる過渡プロセスが収縮して自己発振します。図から、いつであるかは明らかです。 k< k cr、システムは安定していることがわかりました。したがって、 k kr は、安定条件に応じた透過係数の臨界値です。それを超えると、システムの初期モードが不安定になり、自己発振が発生するという事実につながります。したがって、システム内で自己発振が存在する条件を知ることで、安定性の条件を決定することができます。

調和線形化の考え方。

非線形システムを考えてみましょう。その図を図 12.2 に示します。 . このシステムは、伝達関数 W l ( s) と非線形リンク オランダ語特定の特性を持った . 係数が -1 のリンクは、システム内のフィードバックが負であることを示します。システムには自己発振が存在すると考えられ、その振幅と周波数を調べたいと考えています。考慮されたモードでは、入力量はバツ非線形リンクと出力 Yは時間の周期関数です。

高調波線形化方法は、非線形リンクの入力における振動が正弦波である、つまり正弦波であるという仮定に基づいています。 e.それ

, (12.1)

どこあ– 振幅、はこれらの自己振動の周波数であり、自己振動が非対称である一般的な場合に考えられる定数成分です。

実際には、非線形システムの自己発振は、非線形要素による形状の歪みのため、常に非正弦波になります。したがって、指定された初期仮定は、高調波線形化手法が 基本的に近いまた、その適用範囲は、非線形リンクの入力における自己発振が正弦波に非常に近い場合に限定されます。これを実現するには、システムの線形部分が自己発振の高調波を通過させてはなりません。 ローパスフィルタ。後者を図に示します。 12.2、b . たとえば、自己発振の周波数がに等しい場合、図に示す線形部分は次のようになります。 12.2、b 周波数が 2 に等しい 2 次高調波は実際には非線形リンクの入力を通過しないため、周波数応答はこれらの振動に対してローパスフィルターの役割を果たします。したがって、この場合には高調波線形化法が適用可能です。

自己発振の周波数がに等しい場合、線形部分は自己発振の第 2、第 3、およびその他の高調波を自由に通過させます。この場合、非線形リンクの入力における振動が正弦波に非常に近いとは言えません。調和線形化手法を適用するために必要な前提条件が満たされていません。

システムの線形部分がローパスフィルターであるかどうかを判断し、それによって高調波線形化法の適用可能性を判断するには、自己発振の周波数を知る必要があります。ただし、それはこの方法を使用してのみ知ることができます。したがって、 調和線形化法の適用可能性は、研究の最後にテストとして判断する必要があります。

このテストの結果、システムの線形部分がローパスフィルターの役割を果たしているという仮説が確認されなかったとしても、これは得られた結果が間違っているという意味ではありませんが、もちろん、、それは彼らに疑問を投げかけ、何らかの方法で追加の検証を必要とします。

したがって、システムの線形部分がローパスフィルターであると仮定すると、非線形リンクの入力における自己発振は正弦波である、つまり、(12.1) の形式を持つと仮定します。このリンクの出力における振動は、非線形性による歪みにより正弦波ではなくなります。図の例として 12.3 では、そこに与えられたリンク特性に従って、純粋な正弦波入力信号の特定の振幅に対する非線形リンクの出力に曲線がプロットされます。

図12.3。非線形リンクを通過する調和振動。

ただし、システムの線形部分は自己発振の基本高調波のみを通過すると考えられるため、非線形セクションの出力におけるこの高調波のみに注目することは理にかなっています。したがって、出力振動をフーリエ級数に拡張し、高調波を破棄します。結果として、次のことが得られます。

;

; (12.3)

;

式 (12.2) を、(12.1) の式と式 (12.1) から取得した次の式に置き換えて、後で使用するのに便利な形式に書き直してみましょう。

これらの式を (12.2) に代入すると、次のようになります。

(12.4)

. (12.5)

ここでは次の表記法が導入されています。

. (12.6)

微分方程式 (12.5) は正弦波入力信号 (12.1) に対して有効であり、高調波を考慮せずに非線形リンクの出力信号を決定します。

フーリエ係数の式 (12.3) に従った係数は、定数成分、振幅の関数です。あそして非線形リンクの入力における自己発振の周波数。固定時あ、式 (12.5) は線形です。したがって、高調波を破棄すると、固定高調波信号の場合、式 (12.5) で説明されるように、元の非線形リンクを等価な線形リンクに置き換えることができます。この置き換えは次のように呼ばれます 高調波線形化 .

図では、図 12.4 は、従来どおり、2 つの並列リンクで構成されるこのリンクの図を示しています。

米。 12.4. 調和線形化の結果として得られる等価線形要素。

1 つのリンク () は定数成分を通過させ、もう 1 つのリンクは自己発振の正弦波成分のみを通過させます。

係数は次のように呼ばれます。 高調波線形化係数または 高調波伝達係数: - 定数成分の伝達係数、および - 自己発振の正弦波成分の 2 つの伝達係数。これらの係数は、非線形性と値によって、式 (12.3) に従って決定されます。多くの典型的な非線形リンクに対して、これらの式を使用して定義された既製の式があります。これらのリンク、および一般にすべての慣性のない非線形リンクの場合、量は振幅には依存せず、振幅のみの関数です。あそして。

ロシア連邦教育科学省

サラトフ国立工科大学

バラコヴォ工学・技術・管理大学

高調波線形化法

専門210100の学生のためのコース「自動制御理論」における実験作業のガイドライン

承認された

編集出版評議会

バラコボ工科大学、

技術と経営

バラコヴォ 2004

研究の目的: 調和線形化 (調和バランス) の方法を使用した非線形システムの研究、さまざまな非線形リンクの調和線形化係数の決定。代数的周波数法とミハイロフ基準を使用して、一定の振幅と周波数の対称振動 (自己振動) のパラメーターを見つけるスキルを習得します。

基本情報

調和線形化法とは、非線形システムを研究するための近似法を指します。これにより、非常に簡単かつ許容可能な精度で非線形システムの安定性を評価し、システム内で確立された振動の周波数と振幅を決定することができます。

研究対象の非線形 ACS は次の形式で表現できると仮定します。

非線形部分には 1 つの非線形性が必要です

この非線形性は、連続的またはリレー的、単一値またはヒステリシスのいずれかになります。

任意の関数または信号は、線形独立 (特定の場合には正規直交関数) のシステムに従って系列に拡張できます。このような直交級数としてフーリエ級数を用いることができる。

システムの非線形部分の出力信号をフーリエ級数に展開してみましょう。

, (2)

ここにフーリエ係数があります。

. (3)

したがって、(2) による信号は、周波数が増加する高調波の無限和として表すことができます。この信号は、非線形システムの線形部分の入力に供給されます。

線形部分の伝達関数を表しましょう

, (4)

また、分子多項式の次数は分母多項式の次数より小さくなければなりません。この場合、線形部分の周波数応答は次の形式になります。

ここで、1 - 極はありません、2 - 1 つまたは複数の極があります。

周波数応答については、次のように書くのが適切です。

したがって、非線形システムの線形部分はハイパスフィルターになります。この場合、線形部分は低周波数のみを減衰せずに送信しますが、高周波数は周波数が増加するにつれて大幅に減衰します。

高調波線形化法では、システムの線形部分が信号の DC 成分と 1 次高調波のみを通過させると仮定します。この場合、線形部分の出力の信号は次の形式になります。

この信号は、(2) に従って、高調波を考慮せずにシステムの閉回路全体 (図 1) と非線形要素の出力を通過します。

. (7)

調和線形化法を使用して非線形システムを研究する場合、対称振動と非対称振動のケースが発生する可能性があります。対称振動の場合を考えてみましょう。ここと。

次の表記法を導入しましょう

それらを (7) に代入すると、が得られます。 (8)

それを考えると

. (9)

(3) と (8) によると、

. (10)

式 (9) は非線形性の調和線形化であり、での入力変数と出力変数の間に線形関係が確立されます。この量は調和線形化係数と呼ばれます。

式 (9) は、特定の量と (システム内の調和振動の振幅と周波数) に対して線形であることに注意してください。ただし、一般に、とが異なると係数が異なるため、非線形特性が保持されます。この機能により、調和線形化法 [Popov E.P.] を使用して非線形システムの特性を研究することができます。

非対称振動の場合、非線形性の調和線形化により次の線形方程式が導かれます。

. (12)

方程式 (9) と同様に、線形化された方程式 (11) は、高調波線形化係数、、および定数成分が高調波振動の変位と振幅の両方に依存するため、非線形要素の特性を保存します。

式 (9) および (11) により、調和的に線形化された非線形要素の伝達関数を取得できます。したがって、対称振動の場合

, (13)

この場合、周波数伝達関数

は振幅のみに依存し、システム内の振動の周波数には依存しません。

奇数対称の非線形性が明確である場合、(9) および (10) に従った対称振動の場合、次のことが得られることに注意してください。

(16)

線形化された非線形性は次の形式になります。

あいまいな非線形性 (ヒステリシスあり) の場合、が増加するときと減少するときの曲線の動作の違いにより、式 (16) の積分はゼロに等しくないため、完全な式 (9) は有効です。

いくつかの非線形特性の高調波線形化係数を見つけてみましょう。非線形特性をヒステリシスと不感帯を持ったリレー特性とする。このような特性を持つ非線形素子を高調波振動がどのように通過するかを考えてみましょう。



条件が満たされる場合、つまり入力信号の振幅が不感帯より小さい場合、非線形要素の出力には信号がありません。振幅がの場合、リレーは点 A、B、C、D で切り替わります。とを表すことにします。

. (18)

高調波線形化係数を計算する場合、対称的な非線形特性では、式 (10) の積分は半サイクル (0, ) であり、その後結果が 2 倍になることに留意する必要があります。したがって

. (19)

リレー特性や不感帯のある非線形素子の場合

ヒステリシスのあるリレー特性を持つ非線形素子の場合

他の非線形特性の高調波線形化係数も同様に取得できます。

一定の振幅と周波数の対称振動 (自己振動) と線形化システムの安定性を決定する 2 つの方法、代数と周波数を考えてみましょう。まず代数的手法を見てみましょう。閉じたシステムの図 1 では、線形部分の伝達関数は次のようになります。

非線形部分の調和的に線形化された伝達関数を書いてみましょう

閉ループシステムの特性方程式は次の形式になります。

. (22)

研究中のシステムで自己発振が発生した場合、これはその特性方程式に 2 つの純粋に架空の根が存在することを示します。そこで、特性方程式(22)にルートの値を代入してみましょう。

. (23)

想像してみましょう

必要な振幅と周波数を決定する 2 つの方程式が得られます。

. (24)

振幅と周波数の実正値がソリューション内で可能である場合、システム内で自己発振が発生する可能性があります。振幅と周波数が正の値を持たない場合、システム内での自己発振は不可能です。

例 1 を考えてみましょう。研究対象の非線形システムの形式を次のようにします。

この例では、非線形要素はリレー特性を持つ検出要素であり、その高調波線形化係数は

アクチュエータには次のような伝達関数があります。

規制対象の伝達関数は次のとおりです。

. (27)

システムの線形部分の伝達関数

, (28)

(22)、(25)、(28)に基づいて、閉鎖系の特性方程式を書きます。

, (29)

1/秒、秒、秒、v とします。

この場合、周期運動のパラメータは等しい

7,071 ,

ミハイロフ基準を使用して線形化された自動制御システムの自己振動のパラメーターを決定する方法を考えてみましょう。この方法は、自己発振が発生するとシステムは安定境界上にあり、この場合のミハイロフのホドグラフは座標の原点を通過するという事実に基づいています。

例 2 では、図 4 のシステム内の非線形要素がヒステリシスのあるリレー特性を持つ敏感な要素であるという条件の下で自励発振のパラメータを求めます。

直線部分は変化しませんでした。

閉鎖系の特性方程式を書いてみましょう

ミハイロフのホドグラフは置換によって得られます。

課題は、ホドグラフが座標の原点を通過するような振動の振幅を選択することです。この場合、曲線が原点を通過するため、現在の周波数はであることに注意してください。

MATHCAD 7 で 1/sec、sec、sec、v、v で計算を実行すると、次の結果が得られました。図 5 では、ミハイロフのホドグラフは座標の原点を通過します。計算の精度を高めるために、グラフの必要な部分を拡大します。図 6 は、原点付近を拡大したホドグラフの断片を示しています。曲線は c で原点を通過します。

図5。図6.

発振周波数は弾性率がゼロになる条件から求めることができます。周波数について

モジュールの値が表にまとめられています

したがって、発振周波数は 6.38 になります。計算の精度は簡単に高めることができることに注意してください。

振幅と周波数の値によって決定される、結果として得られる周期的な解の安定性を検査する必要があります。溶液が安定している場合、システム内で自己振動プロセスが発生します (安定リミットサイクル)。そうしないとリミットサイクルが不安定になります。

周期解の安定性を調べる最も簡単な方法は、ミハイロフ安定性基準をグラフ形式で使用することです。で、ミハイロフ曲線が座標の原点を通過することがわかりました。小さな増分を与えると、曲線はゼロより上または下のいずれかの位置になります。したがって、最後の例では、に増分、つまりとを与えます。ミハイロフ曲線の位置を図 7 に示します。

曲線がゼロを超えると、システムの安定性と減衰された移行プロセスが示されます。ミハイロフ曲線がゼロを下回ると、システムは不安定になり、遷移プロセスは発散します。したがって、振幅が 1 で発振周波数が 6.38 の周期的な解は安定しています。

周期的な解の安定性を研究するには、グラフミハイロフ基準から得られる分析基準も使用できます。確かに、ミハイロフ曲線がゼロを超えたときに進むかどうかを調べるには、座標の原点にあるミハイロフ曲線の点がどこに移動するかを調べるだけで十分です。

この点の変位を X および Y 座標軸に沿って拡張すると、周期解の安定性のために、座標軸への投影によって決定されるベクトルが求められます。

曲線に沿って増加方向に見た場合、ミハイロフ曲線の接線 MN の右側に位置する必要があります。その方向は投影によって決まります。

解析的安定性条件を次の形式で記述します。

この式では、ミハイロフ曲線の現在のパラメータに関して偏導関数が取られます。

安定性基準 (31) の解析式は、4 次以下の系に対してのみ有効であることに注意してください。これは、たとえば、座標原点における 5 次系の場合、条件 (31) は次のようになります。満足するとシステムが不安定になります

基準 (31) を適用して、例 1 で得られた周期解の安定性を調べてみましょう。

, ,

導入

リレーシステムは自動制御の実践において広く普及しています。リレーシステムの利点は、設計のシンプルさ、信頼性、メンテナンスと構成の容易さです。リレーシステムは、特殊なクラスの非線形自動制御システムを表します。

リレーシステムの連続的なものとは異なり、リレー制御信号 (ほとんどの場合、これは制御エラーです) がいくつかの固定 (しきい値) 値 (たとえば、ゼロ) を通過するたびに、規制動作が突然変化します。

リレーシステムは、一般に、その制御動作がほぼ瞬時に変化し、アクチュエータが最大振幅の区分的に一定の信号にさらされるため、高いパフォーマンスを発揮します。同時に、リレーシステムでは自己発振が頻繁に発生するため、多くの場合、これが欠点となります。この論文では、4 つの異なる制御法則を持つリレーシステムを研究します。

研究中のシステムの構造

研究対象のシステム (図) 1 には、比較要素 ES、リレー要素 RE、アクチュエータ (ゲイン = 1 の理想的な積分器)、制御オブジェクト (3 つの時定数、、ゲインを持つ非周期リンク) が含まれています。システムパラメータの値を表に示します。 1 付録 A.

検討したリレー素子の静特性（入出力特性）を図に示します。 2.

図では、図2aは、理想的な2位置リレーの特性を示しています。 2b デッドゾーンのある 3 ポジションリレーの特性。図では、 2.c と 2.d は、それぞれ正と負のヒステリシスを持つ 2 ポジションリレーの特性を示しています。

調査された ASR は、SIAM や VisSim などのよく知られたモデリングパッケージを使用してモデル化できます。

コメント。 一部のシミュレーションパッケージでは、出力値が

リレー信号は、±B ではなく ±1 の値のみを取ることができます。B は任意の数です。 このような場合、積分器のゲインをに等しくする必要があります。

作業命令

作業を完了するために、各生徒は教師から初期データのバージョンを受け取ります (セクション 2 を参照)。

作業は 2 段階で行われます。

最初の段階は計算と研究です (研究室の外で実行できます)。

第 2 段階は実験的です (実験室で実行されます)。この段階では、パッケージの 1 つを使用して、研究対象のシステム内の過渡プロセスが最初の段階で計算されたモードに対してシミュレートされ、理論的手法の精度がチェックされます。

必要な理論的資料はセクション 4 に記載されています。セクション 5 にはテスト問題が含まれています。

3.1. 計算と調査の部分

1. システムの線形部分の振幅周波数と位相周波数、実数特性と虚数特性の式を取得します。

2. システムの線形部分の振幅位相特性を計算して構築します。計算には、TAU パッケージのプログラムを使用します。必然的に 実数と虚数の周波数応答値を出力します(10～15点相当 3番目と2番目象限)。

4. Goldfarb のグラフィック解析手法を使用して、4 つすべてのリレーの自己発振の振幅と周波数、およびその安定性を決定します。自己発振のパラメータは解析的に計算することもできます。各ケースのシステムの位相ポートレートを定性的に描写します。

5. 3 ポジションリレーの場合、自励発振が起こらない直線部分のゲインの 1 つの値と、自励発振が成立しない境界値を求めます。

実験部分

1. 利用可能なモデリングパッケージの 1 つを使用して、調査対象の ASR のモデリングスキームを組み立てます。教師の許可があれば、既製の図を使用できます。タスクに応じて回路パラメータを設定します。

2. 段階的なアクション x(t)=40*1(t) を入力に適用して、理想的なリレーを備えたシステムの過渡プロセスを調査します (印刷してください)。自励発振の振幅と周波数を測定し、計算値と比較します。ゼロ以外の初期条件 (たとえば、y(0)=10、y(1) (0)=-5) を設定して実験を繰り返します。

3. 入力信号振幅の 2 つの異なる値 x(t)= 40*1(t) および x(t)=15*1(t) について、3 ポジションリレーを備えたシステムの過渡プロセスを調査します。過渡プロセスを出力し、自己発振の振幅と周波数 (存在する場合) を測定し、計算値と比較して、結論を導き出します。

4. 線形部分のゲインの他の値について、3 ポジションリレーを備えたシステムの過渡プロセスを調査します (セクション 5、セクション 3.1 を参照)。

5. ゼロおよびゼロ以外の初期条件および x(t)=40*1(t) の下で、ヒステリシスを持つ 2 位置リレーを備えたシステムの過渡プロセスを調査します。過渡プロセスを出力し、自己発振の振幅と周波数 (存在する場合) を測定し、計算値と比較して、結論を導き出します。

理論部分

非線形システムを計算するために広く使用されている方法は、調和線形化 (関数の記述) の方法です。

この方法により、自励発振のパラメータ (振幅と周波数)、自励発振の安定性、および非線形 ASR の平衡位置の安定性を決定することができます。調和線形化法に基づいて、非線形 ASR の過渡過程の構築、解析および合成のための手法が開発されています。

高調波線形化法

すでに述べたように、非線形、特にリレー ASR では、 安定した周期振動一定の振幅と周波数、いわゆる 自己発振。さらに、システムパラメータが大幅に変化した場合でも、自己発振が持続する可能性があります。実際には、多くの場合、制御変数の振動 (図 3) が調和に近いことがわかっています。

自己発振は高調波に近いため、高調波線形化法を使用してそのパラメータ (振幅 A と周波数 w 0) を決定できます。この方法は、システムの線形部分がローパスフィルターであるという仮定 (フィルター仮説) に基づいています。システムの自己発振が高調波に近づく条件を判断してみましょう。図のようなシステムに限定してみましょう。図３の構造は、非線形素子と線形部分の直列接続に還元できる。基準信号が定数値であると仮定します。簡単にするために、基準信号をゼロとします。そして、エラー信号 (図 3) は高調波です。

(1)

非線形要素の出力信号は、他の周期信号と同様に (図 3 では方形振動です)、フーリエ級数の高調波の合計として表すことができます。

システムの線形部分がローパスフィルター (図 4) であり、周波数 w 0 の最初の高調波のみを通過させると仮定します。周波数 2w 0 の 2 番目の高調波およびそれより高い高調波は、線形部分によってフィルターされます。この場合、 リニア出力 部品は実質的にのみ存在します 第一高調波 、高調波の影響は無視できます。

したがって、システムの線形部分がローパスフィルターであり、自己発振の周波数 w 0 が次の条件を満たす場合、

, (4)

システムの線形部分がローパスフィルターであるという仮定は、 フィルター仮説 。フィルター仮説は、線形部分の伝達関数の分母と分子の多項式の次数の差が次の場合に常に満たされます。

(5)

少なくとも2つ

条件 (6) は、多くの実際のシステムで満たされます。例としては、二次非周期リンクと実積分が挙げられます。

. (7)

高調波に近い自己発振を研究する場合、高調波は依然として線形部分によって実質的に除去されるため、非線形要素の出力における周期発振の第 1 高調波のみが考慮されます。自励発振モードでは、 高調波線形化 非線形要素。非線形要素は、次の等価な線形要素に置き換えられます。 複素ゲイン (関数を記述) 入力高調波信号の振幅に応じて次のようになります。

ここで、とは実数部と虚数部です。

- 口論、

– モジュール。

一般に、それは自己発振の振幅と周波数、および定数成分の両方に依存します。非線形要素の物理的に複雑なゲイン。よりよく呼ばれます。 高調波線形化係数 、がある 第一高調波における非線形要素の複素ゲイン. 高調波線形化係数の係数

(9)

は数値的には、非線形要素の出力における第 1 高調波の振幅と入力高調波信号の振幅の比に等しくなります。

口論

(10)

出力発振の 1 次高調波と入力高調波信号の間の位相シフトを特徴付けます。たとえば図のような明確な非線形性の場合、 2,a と 2,b、実数式と

曖昧な非線形性の場合、図 2,c、2,d、次の式で決定されます。

ここで、S はヒステリシスループの面積です。面積 S は、ヒステリシスループが正の方向にバイパスされる場合 (図 2、c) にプラス記号が付けられ、そうでない場合 (図 2、d) にマイナス記号が付けられます。

一般的なケースでは、次の式を使用して計算されます。

, (12)

ここで、、は非線形関数 (非線形要素の特性) です。

上記を考慮して、高調波に近い自己発振を研究する場合、非線形 ASR (図 3) は、非線形要素の代わりに高調波線形化係数を持つ等価なもの (図 5) に置き換えられます。図の非線形素子の出力信号は次のようになります。 5 はと指定されており、これは

非線形要素はのみを生成することを強調します。

振動の第一高調波。典型的な非線形性の高調波線形化係数の公式は、たとえば次の文献で見つけることができます。付録の表 B は、研究中のリレー要素の特性、公式、およびそれらのホドグラフを示しています。次の式で定義される逆高調波線形化係数の公式とホドグラフ

, (13)

実部と虚部の両方はどこにありますか。ホドグラフおよびは、それぞれ座標、およびで構築されます。

ここで、自己発振が存在する条件を書いてみましょう。図のシステムは 5 はリニアと同等です。線形システムでは、安定性境界上にある場合、非減衰振動が存在します。ナイキスト基準に従って安定境界の条件を使用してみましょう。

. (14)

式(14) がある 自己発振が存在するための条件、 ハーモニックに近い。あれば リアルポジティブ 式 (14) の解 A と w 0 を計算すると、非線形 ASR では高調波に近い自己発振が発生します。それ以外の場合、自己発振は存在しないか、または高調波ではありません。式 (14) は、実数部と虚数部に関して 2 つに分かれます。

;

式 (14) の両辺を式 (13) で除算し、式 (13) を考慮すると、L.S. Goldfarb の形式で自己発振が存在する条件が得られます。

. (17)

式 (17) も 2 つに分かれます。

(18)

場合によっては、自己発振のパラメータを決定するためにそれらを使用する方が便利です。

Goldfarb は、系 (17) を解き、自己発振の安定性を決定するためのグラフィック解析法を提案しました。

座標、、では、ホドグラフとが構築されます (図 6、a)。ホドグラフが交差する場合、自己発振が存在します。自己発振のパラメータ - A と w 0 は交点で決定されます - ホドグラフによる周波数 w 0、ホドグラフによる振幅。図では、 6,a – 2 つの交点。これは 2 つのリミットサイクルの存在を示します。

Goldfarb氏によれば、自己発振の安定性を判断するために、AFCに沿って周波数が増加する方向に移動すると、線形部分のAFCの左側に影が付きます（図6）。

振幅 A が増加する方向に移動するときに、交点で非線形要素のホドグラフが陰影のない領域から陰影のある領域に通過する場合、自己発振は安定します。

影のある領域から影のない領域への遷移が発生する場合、自己発振は安定しません。

図では、図6bは、図6の2つのリミットサイクルに対応する位相ポートレートを定性的に示しています。 6、a. 図のパラメータとの交点。 6aは図の不安定なリミットサイクルに対応します。 6b、パラメータを使用してポイントし、自己振動の破壊を達成します。この場合はホドグラフです。そして交差しないこと。デッドゾーン d を増やすか、リレー B の出力信号の振幅を減らすことによっても同じ効果を達成できます。線形部分の AFC が接触する特定の制限値 K l があります。 エラー！コミュニケーションエラー。ここで、振幅値はです。当然のことながら、これはシステムの位相ポートレートの質的な変化につながります。

調和線形化係数の計算をいくつかの例で説明します。まず対称振動の場合、次に非対称振動の場合です。まず、奇数対称非線形性 F(x) が単一値の場合、(4.11) と (4.10) に従って次のことが得られることに注意してください。

そして計算するとき q(4.11) 四半期期間にわたる積分に限定して、結果を 4 倍にすることができます。

ループ非線形性 F(x) (奇数対称) の場合、完全な式 (4.10) が成立します。

そして数式を使うことができます

つまり、半サイクルで積分の結果が 2 倍になります。

例 1. 3 次非線形性を調べてみましょう (図 4.4、i):

依存症 q(a)図に示されています。 4.4、 b.図より 4.4、あ与えられた振幅に対して私がまっすぐであることは明らかです q(a)x与えられた曲線依存性 F(x) を平均します。

プロット -a£ バツ£ . A. 当然カッコいいですよ q(a)この平均直線の傾き q(a)x振幅とともに増加するあ(3 次特性の場合、この増加は 2 次の法則に従って発生します)。

例 2. ループリレーの特性を調べてみましょう (図 4.5、a)。図では、 4.5,6 には、式 (4.21) の被積分関数 F(a sin y) が示されています。リレーの切り替えは 1/2 で行われますバツ 1/2= b , したがって、スイッチングの瞬間、値 y1 は式 sin y1= b によって決定されます。 /A.式 (4.21) を使用すると、( ある 3b)

図では、 4.5、b は q(a) と q」（ア）。最初のものは、平均直線 q( あ)× s変化あ(図 4.5、a を参照)。当然、q( ある)à0 at аа¥ at、出力信号は一定のままであるため (F( バツ)=c) 入力信号の無制限の増加に対して バツ。物理的な考察からもその理由は明らかです q」 <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сигнала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что q」 < 0. Абсолютное значение q」ループが特性 F( バツ), 変数の振動の振幅が大きくなるほど バツ。

(4.13) による、このような非線形性の振幅-位相特性 (図 4.5、a)。フォームで提示される

さらに、非線形出力における 1 次高調波の振幅と位相は、それぞれ次の形式になります。

どこ qそして q」上記で定義されています (図 4.5、b)。その結果、高調波線形化は、非線形の座標遅れ (ヒステリシスループ) を線形システムの特徴である等価な位相遅れに変換しますが、大きな違いがあり、入力振動の振幅に対する位相シフトの依存性は線形システムには存在しません。。

例 3. 明確なリレー特性を研究します (図 4.6、a、 Ⅴ）。前のものと同様に、それぞれ

図に示されているものは 4.6、b、a。

例 4. 不感帯、線形セクション、飽和のある特性を調べてみましょう (図 4.7、a)。ここ q」= 0、および係数 q(ある) には、図に従って 2 つの値のバリアントがあります。 4.7、b、ここで F (a sin y) は次のように構成されます。

1) b1 £ a £ b2 の場合、(4.19) によれば、次のようになります。

比率を考慮するとある sin y1 = b 1 与える

2) a 3 b2 の場合

これは、a sin y2 = b2 という関係を考慮すると、次のようになります。

結果は図にグラフで示されています。 4.7、a.

例 5. 特殊な場合として、対応する係数 q(a) 2 つの特性 (図 4.8、a、b) が等しい場合

これを図に示します。 4.8、 b、d。さらに、飽和を伴う特性 (図 4.8、a) については、次のようになります。 q=k 0ポンドである£ b.

高調波線形化係数の計算例を示します。 非対称振動用同じ非線形性を持ちます。

例 6. 3 次非線形性 F( バツ) =キ×3式 (4.16) によれば、

そして式(4.17)によると

例 7. ループリレー特性の場合 (図 4.5、 A)私たちが持っているのと同じ公式を使用して

例 8. デッドゾーンのある特性 (図 4.1:1) の場合も、同じ式が適用されます。華氏そして q.それらのグラフを図に示します。 4.9、 a、b。その中で q」== 0。理想的なリレー特性 (図 4.10) では、次のようになります。

図に示されているものは 4.10、aおよびb。

例 9. 線形セクション q 飽和 (図 4.11、a) の特性の場合、a 3 b+1/2 バツ 0 1/2 あります

これらの依存関係は、図のグラフの形式で表示されます。 4.11、 b、 V.

例 10. 非対称特性の場合

(図 4.12、a) 式 (4.16) を使用して次のように求めます。

そして式(4.17)によると

結果を図にグラフで示します。 4.12、 bそして V.

これらの例で得られた高調波線形化係数の式とグラフは、研究課題を解決するときに以下で使用されます。

自己発振、強制発振、制御プロセス。

システムの線形部分のフィルター特性 (講義 12) に基づいて、非線形要素の入力における非線形システムの周期解 (図 4.21) を近似的に次の形式で求めます。

x = a罪w t (4.50)

知らない人たちとあそしてw。非線形性の形式が指定されている = F( バツ) と線形部分の伝達関数

非線形性の高調波線形化を行う

これは伝達関数につながります

開回路システムの振幅-位相周波数応答は次の形式になります。

線形化システム (4.50) の周期解は、閉じたシステムの特性方程式に純粋な虚数根のペアが存在する場合に得られます。

そして、ナイキスト基準によれば、これは次の一節に相当します。 W(j w) ポイント -1 を通過します。したがって、周期解 (4.50) は次の式によって決定されます。

式 (4.51) は必要な振幅を決定します。あと周期解の周波数 w です。この方程式は次のようにグラフで解くことができます。複素平面 (U, V) 上では、線形部分 Wl( j w) (図 4.22)、および逆符号 -1 の非線形性の逆振幅位相特性 / うーん( ある). ドットでそれらの交点 (図 4.22) を計算し、値を決定します。あと w と値あ曲線 -1 に沿ってカウント / ウィー (a) , そして、w の値は曲線 Wл (jw) に従います。

代わりに、(4.51) と (4.52) から得られる 2 つのスカラー方程式を使用できます。

これにより、求められる 2 つの量も決定されますあそしてw。

最後の 2 つの方程式を対数スケールで使用すると便利です。

線形部分の周波数特性。次に、(4.53) と (4.54) の代わりに、次の 2 つの式が得られます。

図では、 4.23 の左側は式 (4.55) と (4.56) の左側のグラフであり、右側はこれらの式の右側のグラフです。この場合、左側の横軸に沿って、通常のように周波数 w が対数スケールでプロットされ、右側は振幅です。あ自然なスケールで。これらの方程式の解は次の値になります。あおよび w なので、両方の等式 (4.55) と (4.56) が同時に観察されます。この解決策を図に示します。 4.23 に長方形の細い線が入っています。

明らかに、この解決策をすぐに推測することは不可能です。したがって、破線で示すように試行が行われます。これらの試行長方形 M1 および M2 の最後の点は、非線形性の位相特性に当てはまりません。ただし、図のように特性の両側に配置されている場合は、 4.23 の場合、直線 MM1 を引くことにより、補間によって解が求められます。 .

明確な非線形性 F( バツ). それから q」= 0、式 (4.55) と (4.56) は次の形式になります。

解決策を図に示します。 4.24。

米 . 4.24.

周期的な解を決定した後、その安定性を調査する必要があります。すでに述べたように、周期的な解は、開回路の振幅位相特性が次の場合に発生します。

点 -1 を通過します。振幅に偏差 D を与えましょうあ。 D の場合、システムは周期的な解決策に戻ります。あ> 0 で振動が消え、D になるとあ < 0 - расходятся. Следовательно, при Dあ> 0 特性 W(jw, あ) は、D で次のように変形する必要があります (図 4.25)。あ> 0 ではナイキスト安定性基準が満たされており、D についてはあ < 0 - нарушался.

したがって、特定の周波数で w が存在することが必要です。

図ではそれが続きます。 4.22 正の振幅の読み取りあ曲線に沿って -1/Wн ( あ) は曲線 Wл (jw) を通って内側から外側に向けられなければなりません , 矢印で示すように。そうしないと、周期解が不安定になります。

例を見てみましょう。

追跡システムのアンプ (図 4.13、a) に次のようにします。 リレー特性(図4.17、 A)。パ図 4.17、 b高調波線形化係数 q( あ)、q'( あ) =0。図に従って、周波数法を使用して周期解を決定するには、次のようにします。 4.22、式を調べる必要があります

式 (4.24) からこの非線形性を求めます。

この関数のグラフを図に示します。 4.26。

線形部分の伝達関数は次の形式になります。

その振幅位相特性を図に示します。 4.27。機能-1 / うーん（あ)、この場合は実数 (図 4.26) であり、実軸の負の部分に完全に適合します (図 4.27)。この場合、振幅変化の領域ではb£ ある£ b の振幅は、曲線 Wл(jw) の外側から左に向かって測定され、断面内で測定されます。あ>b - 逆転した。したがって、最初の交点 ( あ 1) は不安定な周期解を与え、2 番目 ( あ 2) - 安定（自己発振）。これは、前の解決策 (例 2 の講義 15、16) と一致しています。

場合も考えてみましょう ループリレー特性(図 4.28、a) 同じ追跡システム (図 4.13、a)。線形部分の振幅-位相周波数応答は同じです (図 4.28、b)。曲線の式 –1/Wн( あ) (4.52) と (4.23) によれば、次の形式になります。

これは横軸に平行な直線です (図 4.28、 b), 振幅読み取り付きあ右から左へ。交差により、安定した周期的な解 (自己振動) が得られます。振幅と周波数のグラフを取得するには

から k私 , 図に示されています。 4.20、図で必要です。 4.28 各値に対して一連の曲線 Wл(jw) を構築する k l と線 -1/Wн( あ) 対応する値あそしてw。

非線形要素の出力信号は、他の周期信号と同様に (図 3 では方形振動です)、フーリエ級数の高調波の合計として表すことができます。

したがって、システムの線形部分がローパスフィルターであり、自己発振の周波数 w 0 が次の条件を満たす場合、

, (4)

少なくとも2つ

条件 (6) は、多くの実際のシステムで満たされます。例としては、二次非周期リンクと実積分が挙げられます。

ここで、とは実数部と虚数部です。

- 口論、

– モジュール。

は数値的には、非線形要素の出力における第 1 高調波の振幅と入力高調波信号の振幅の比に等しくなります。