Leonhard Euler (1707-1783) - famoso matematico svizzero e russo, membro dell'Accademia delle scienze di San Pietroburgo, visse gran parte della sua vita in Russia. Il più famoso in analisi matematica, statistica, informatica e logica è il cerchio di Eulero (diagramma di Eulero-Venn), utilizzato per indicare la portata di concetti e insiemi di elementi.

John Venn (1834-1923) - Filosofo e logico inglese, coautore del diagramma di Eulero-Venn.

Concetti compatibili e incompatibili

Un concetto in logica significa una forma di pensiero che riflette le caratteristiche essenziali di una classe di oggetti omogenei. Sono indicati con una o un gruppo di parole: "mappa del mondo", "accordo di quinta dominante", "lunedì", ecc.

Nel caso in cui gli elementi dell'ambito di un concetto appartengono in tutto o in parte all'ambito di un altro, si parla di concetti compatibili. Se nessun elemento della portata di un certo concetto appartiene alla portata di un altro, ci troviamo in una situazione con concetti incompatibili.

A sua volta, ogni tipo di concetto ha il proprio insieme di possibili relazioni. Per i concetti compatibili questi sono i seguenti:

• identità (equivalenza) dei volumi;
• intersezione (parziale coincidenza) di volumi;
• subordinazione (subordinazione).

Per gli incompatibili:

• subordinazione (coordinazione);
• opposto (contrario);
• contraddizione (contraddizione).

Schematicamente, le relazioni tra concetti in logica sono solitamente denotate utilizzando i cerchi di Eulero-Venn.

Relazioni di equivalenza

In questo caso i concetti implicano lo stesso soggetto. Di conseguenza, la portata di questi concetti coincide completamente. Per esempio:

A - Sigmund Freud;

B è il fondatore della psicoanalisi.

Una piazza;

B - rettangolo equilatero;

C è un rombo equiangolo.

Per la notazione vengono utilizzati cerchi di Eulero completamente coincidenti.

Intersezione (corrispondenza parziale)

Un insegnante;

B è un amante della musica.

Come si può vedere da questo esempio, la portata dei concetti coincide parzialmente: un certo gruppo di insegnanti può rivelarsi amante della musica, e viceversa - tra gli amanti della musica possono esserci rappresentanti della professione docente. Una relazione simile si verificherà nel caso in cui il concetto A sia, ad esempio, "abitante della città" e il concetto B sia "autista".

Subordinazione (subordinazione)

Designati schematicamente come cerchi di Eulero di diverse scale. La relazione tra concetti in questo caso è caratterizzata dal fatto che il concetto subordinato (di portata minore) è completamente incluso nel concetto subordinato (di portata maggiore). Allo stesso tempo, il concetto subordinato non esaurisce completamente quello subordinato.

Per esempio:

Un albero;

B - pino.

Il concetto B sarà subordinato al concetto A. Poiché il pino appartiene agli alberi, in questo esempio il concetto A diventa subordinato, “assorbindo” il volume del concetto B.

Subordinazione (coordinamento)

Una relazione caratterizza due o più concetti che si escludono a vicenda, ma allo stesso tempo appartengono a un certo circolo generico generale. Per esempio:

LA - clarinetto;

B - chitarra;

Do - violino;

D - strumento musicale.

I concetti A, B, C non si sovrappongono tra loro, tuttavia appartengono tutti alla categoria degli strumenti musicali (concetto D).

Opposto (contrario)

Le relazioni opposte tra concetti implicano che questi concetti appartengano allo stesso genere. Inoltre, uno dei concetti ha determinate proprietà (segni), mentre l'altro le nega, sostituendole con quelle opposte in natura. Quindi abbiamo a che fare con i contrari. Per esempio:

A - nano;

B è un gigante.

Con rapporti opposti tra i concetti, il cerchio di Eulero è diviso in tre segmenti, il primo dei quali corrisponde al concetto A, il secondo al concetto B e il terzo a tutti gli altri concetti possibili.

Contraddizione (contraddizione)

In questo caso, entrambi i concetti rappresentano specie dello stesso genere. Come nell'esempio precedente, uno dei concetti indica determinate qualità (segni), mentre l'altro le nega. Tuttavia, a differenza della relazione di opposizione, il secondo concetto opposto non sostituisce le proprietà negate con altre alternative. Per esempio:

A - compito difficile;

B è un compito facile (non A).

Esprimendo la portata di concetti di questo tipo, il cerchio di Eulero è diviso in due parti: in questo caso non esiste un terzo collegamento intermedio. Pertanto, i concetti sono anche contrari. In questo caso, uno di essi (A) diventa positivo (affermando qualche attributo), e il secondo (B o non-A) diventa negativo (negando l'attributo corrispondente): "carta bianca" - "carta non bianca", "domestico" storia” - “storia straniera”, ecc.

Pertanto, il rapporto tra i volumi dei concetti in relazione tra loro è la caratteristica chiave che definisce i cerchi di Eulero.

Relazioni tra insiemi

Dovresti anche distinguere tra i concetti di elementi e insiemi, il cui volume è riflesso dai cerchi di Eulero. Il concetto di insieme è preso in prestito dalla scienza matematica e ha un significato abbastanza ampio. Esempi in logica e matematica lo mostrano come una certa raccolta di oggetti. Gli oggetti stessi sono elementi di questo insieme. “Un insieme è molte cose concepite come una” (Georg Cantor, fondatore della teoria degli insiemi).

Gli insiemi sono indicati in lettere maiuscole: A, B, C, D... ecc., gli elementi degli insiemi sono indicati in lettere minuscole: a, b, c, d... ecc. Esempi di un insieme possono essere gli studenti del stessa classe, libri su un certo scaffale (o, ad esempio, tutti i libri di una certa biblioteca), pagine di un diario, bacche in una radura del bosco, ecc.

A sua volta, se un certo insieme non contiene un singolo elemento, allora viene chiamato vuoto e indicato con il segno Ø. Ad esempio, l'insieme dei punti di intersezione di rette parallele, l'insieme delle soluzioni dell'equazione x 2 = -5.

Risoluzione dei problemi

I cerchi di Eulero vengono utilizzati attivamente per risolvere un gran numero di problemi. Gli esempi di logica dimostrano chiaramente la connessione tra operazioni logiche e teoria degli insiemi. In questo caso vengono utilizzate le tabelle di verità dei concetti. Ad esempio, il cerchio designato dal nome A rappresenta la regione della verità. Quindi l'area esterna al cerchio rappresenterà una bugia. Per determinare l'area del diagramma per un'operazione logica, dovresti ombreggiare le aree che definiscono il cerchio di Eulero in cui i suoi valori per gli elementi A e B saranno veri.

L'uso dei cerchi di Eulero ha trovato ampia applicazione pratica in vari settori. Ad esempio, in una situazione con scelta professionale. Se un soggetto è preoccupato per la scelta di una futura professione, può lasciarsi guidare dai seguenti criteri:

W - cosa mi piace fare?

D- cosa sto facendo?

P - come posso guadagnare bene?

Rappresentiamolo sotto forma di diagramma: Cerchi di Eulero (esempi in logica - relazione di intersezione):

Il risultato saranno quelle professioni che saranno all'intersezione di tutti e tre i cerchi.

I cerchi di Eulero-Venn occupano un posto speciale in matematica (teoria degli insiemi) quando si calcolano combinazioni e proprietà. I cerchi di Eulero dell'insieme degli elementi sono racchiusi nell'immagine di un rettangolo che denota l'insieme universale (U). Al posto dei cerchi si possono usare anche altre figure chiuse, ma l'essenza non cambia. Le figure si intersecano tra loro, a seconda delle condizioni del problema (nel caso più generale). Inoltre, queste cifre devono essere contrassegnate di conseguenza. Gli elementi degli insiemi in esame possono essere punti situati all'interno di vari segmenti del diagramma. Sulla base di ciò, è possibile ombreggiare aree specifiche, designando così i set appena formati.

Con questi insiemi è possibile eseguire operazioni matematiche di base: addizione (somma di insiemi di elementi), sottrazione (differenza), moltiplicazione (prodotto). Inoltre, grazie ai diagrammi di Eulero-Venn, è possibile confrontare gli insiemi in base al numero di elementi in essi contenuti, senza contarli.

Leonardo Eulero - più grande dei matematici ha scritto più di 850 articoli scientifici.In uno di essi apparvero questi cerchi.

Lo ha scritto lo scienziato“sono molto adatti per facilitare le nostre riflessioni.”

Cerchi di Eulero è un diagramma geometrico che aiuta a trovare e/o rendere più chiare le connessioni logiche tra fenomeni e concetti. Aiuta anche a rappresentare la relazione tra un insieme e la sua parte.

Dei 90 turisti che partono per un viaggio, 30 parlano tedesco, 28 parlano inglese, 42 parlano francese.8 persone parlano inglese e tedesco contemporaneamente, 10 persone parlano inglese e francese, 5 persone parlano tedesco e francese, 3 persone parlano tutte e tre le lingue. Quanti turisti non parlano alcuna lingua?

Soluzione:

Mostriamo graficamente la condizione del problema, utilizzando tre cerchi

Risposta: 10 persone.

Problema 2

Molti bambini della nostra classe amano il calcio, il basket e la pallavolo. E alcuni addirittura praticano due o tre di questi sport. È noto che 6 persone della classe giocano solo a pallavolo, 2 - solo a calcio, 5 - solo a basket. Solo 3 persone possono giocare a pallavolo e calcio, 4 possono giocare a calcio e basket, 2 possono giocare a pallavolo e basket, una persona della classe può giocare a tutti i giochi, 7 non possono giocare a nessun gioco. È necessario trovare:

Quante persone ci sono nella classe?

Quante persone possono giocare a calcio?

Quante persone possono giocare a pallavolo?

Problema 3

C'erano 70 bambini al campo per bambini. Di questi, 20 sono impegnati nel club di teatro, 32 cantano nel coro, 22 sono appassionati di sport. Ci sono 10 ragazzi del coro nel club di teatro, 6 atleti nel coro, 8 atleti nel club di teatro e 3 atleti frequentano sia il club di teatro che il coro. Quanti bambini non cantano nel coro, non sono interessati allo sport e non partecipano al club di teatro? Quanti ragazzi praticano solo sport?

Problema 4

Dei dipendenti dell’azienda, 16 hanno visitato la Francia, 10 l’Italia, 6 l’Inghilterra. In Inghilterra e Italia - cinque, in Inghilterra e Francia - 6, in tutti e tre i paesi - 5 dipendenti. Quante persone hanno visitato sia l'Italia che la Francia, se l'azienda impiega complessivamente 19 persone e ognuna di loro ha visitato almeno uno di questi paesi?

Problema 5

Gli alunni di prima media hanno compilato un questionario chiedendo quali fossero i loro cartoni animati preferiti. Si è scoperto che alla maggior parte di loro piacevano “Biancaneve e i sette nani”, “SpongeBob SquarePants” e “Il lupo e il vitello”. Ci sono 38 studenti nella classe. 21 studenti come Biancaneve e i sette nani. Inoltre, a tre di loro piace anche “Il lupo e il vitello”, a sei piace “SpongeBob SquarePants” e a un bambino piacciono ugualmente tutti e tre i cartoni animati. “Il lupo e il vitello” ha 13 fan, cinque dei quali hanno nominato due cartoni animati nel questionario. Dobbiamo determinare quanti alunni di prima media amano SpongeBob SquarePants.

Problemi da risolvere per gli studenti

1. Ci sono 35 studenti nella classe. Tutti loro sono lettori delle biblioteche scolastiche e distrettuali. Di questi, 25 libri vengono presi in prestito dalla biblioteca scolastica, 20 dalla biblioteca distrettuale. Quanti di loro:

a) non sono lettori della biblioteca scolastica;

b) non sono lettori della Biblioteca comunale;

c) sono lettori esclusivamente della biblioteca scolastica;

d) sono lettori esclusivamente della Biblioteca regionale;

e) sono lettori di entrambe le biblioteche?

2.Ogni studente della classe studia inglese o tedesco, o entrambi. L'inglese è studiato da 25 persone, il tedesco da 27 persone ed entrambi da 18 persone. Quanti studenti ci sono nella classe?

3. Su un foglio di carta, disegna un cerchio con un'area di 78 cm2 e un quadrato con un'area di 55 cm2. L'area di intersezione di un cerchio e di un quadrato è 30 cm2. La parte del foglio non occupata dal cerchio e dal quadrato ha un'area di 150 cm2. Trova l'area del foglio.

4. Ci sono 25 persone nel gruppo di turisti. Tra questi, 20 persone hanno meno di 30 anni e 15 persone hanno più di 20 anni. Potrebbe essere vero? Se sì, in quale caso?

5. Ci sono 52 bambini nella scuola materna. Ognuno di loro ama la torta o il gelato, o entrambi. A metà dei bambini piace la torta e a 20 persone piacciono la torta e il gelato. Quanti bambini amano il gelato?

6. Ci sono 36 persone nella classe. Gli alunni di questa classe frequentano i club di matematica, fisica e chimica, con 18 persone che frequentano il club di matematica, 14 di fisica, 10 di chimica. Inoltre, è noto che 2 persone frequentano tutti e tre i club, 8 persone frequentano sia di matematica che di fisica, 5 - sia matematici che chimici, 3 - sia circoli fisici che chimici. Quanti studenti della classe non frequentano nessun club?

7. Dopo le vacanze, l'insegnante di classe ha chiesto quale dei bambini fosse andato a teatro, al cinema o al circo. Si è scoperto che su 36 studenti, due non erano mai stati al cinema, a teatro o al circo. Al cinema hanno assistito 25 persone; a teatro - 11; nel circo - 17; sia al cinema che al teatro - 6; sia al cinema che al circo - 10; sia a teatro che al circo - 4. Quante persone hanno visitato contemporaneamente il teatro, il cinema e il circo?

Risolvere i problemi dell'esame di stato unificato utilizzando i cerchi di Eulero

Problema 1

Nel linguaggio di query dei motori di ricerca, il simbolo "|" viene utilizzato per denotare l'operazione logica "OR" e il simbolo "&" viene utilizzato per l'operazione logica "AND".

Incrociatore e corazzata? Si presuppone che tutte le domande vengano eseguite quasi contemporaneamente, in modo che l'insieme delle pagine contenenti tutte le parole cercate non cambi durante l'esecuzione delle query.

Soluzione:

Utilizzando i cerchi di Eulero descriviamo le condizioni del problema. In questo caso utilizziamo i numeri 1, 2 e 3 per designare le aree risultanti.

In base alle condizioni del problema, creiamo le equazioni:

1. Incrociatore | Corazzata: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Incrociatore: 1 + 2 = 4800
3. Corazzata: 2 + 3 = 4500

Trovare Incrociatore e corazzata(indicata nel disegno come area 2), sostituisci l'equazione (2) nell'equazione (1) e scopri che:

4800 + 3 = 7000, da cui otteniamo 3 = 2200.

Ora possiamo sostituire questo risultato nell'equazione (3) e scoprire che:

2 + 2200 = 4500, da cui 2 = 2300.

Risposta: 2300 - numero di pagine trovate su richiestaIncrociatore e corazzata.

Nel linguaggio di query dei motori di ricerca per denotare

Soluzione

Per risolvere il problema, visualizziamo gli insiemi di Cakes e Pies sotto forma di cerchi di Eulero.

A B C).

Dalla dichiarazione del problema segue:

Torte │Torte = A + B + C = 12000

Torte e crostate = B = 6500

Torte = B + C = 7700

Per trovare il numero di Torte (Torte = A+B ), dobbiamo individuare il settore A Torte│Torte ) sottrarre l'insieme di Pies.

Torte│Torte – Torte = A + B + C -(B + C) = A = 1200 – 7700 = 4300

Settore A equivale quindi a 4300

Torte = A+B=4300+6500= 10800

Problema 3

|", e per l'operazione logica "AND" - il simbolo "&".

Quante pagine (in migliaia) verranno trovate per la query? Forno?

Si ritiene che tutte le query siano state eseguite quasi contemporaneamente, in modo che l'insieme delle pagine contenenti tutte le parole cercate non sia cambiato durante l'esecuzione delle query.

Soluzione

Per risolvere il problema, visualizziamo i set torte e Cottura sotto forma di cerchi di Eulero.

Denotiamo ciascun settore con una lettera separata ( A B C).

Dalla dichiarazione del problema segue:

Torte e pasticcini = B = 5100

Torta = A + B = 9700

Torta │ Pasticceria = A + B + C = 14200

Per trovare la quantità di Cottura (Cottura = B+C ), dobbiamo individuare il settore IN , per questo dall'insieme generale ( Torta │ Cottura) sottrarre il set Torta.

Settore B è pari a 4500, quindi Cottura = B+C=4500+5100= 9600

Problema 4
discendente
IndicareL'operazione logica "OR" utilizza il simbolo "|", e per l'operazione logica "AND" - il simbolo "&".
Soluzione

Immaginiamo gruppi di cani da pastore, terrier e spaniel sotto forma di cerchi di Eulero, che denotano i settori con lettere ( A B C D).

Con pannelli │(terrier e pastori) = Sol + Si

Con pannelliel│cani da pastore= SOL + B + C

spaniel│terrier│pastori= A+B+C+D

terrier e pastori = B

Disponiamo i numeri delle richieste in ordine decrescente rispetto al numero di pagine:3 2 1 4

Problema 5

La tabella mostra le query al server di ricerca. Metti in ordine i numeri della richiesta crescente il numero di pagine che il motore di ricerca troverà per ogni richiesta.
IndicareL'operazione logica "OR" utilizza il simbolo "|", e per l'operazione logica "AND" - il simbolo "&".

1	barocco | classicismo | stile impero
2	barocco | (classicismo e stile impero)
3	classicismo e stile impero
4	barocco | classicismo

Soluzione

Immaginiamo gli insiemi classicismo, stile impero e classicismo sotto forma di cerchi di Eulero, che denotano i settori con lettere ( A B C D).

Trasformiamo la condizione problematica nella forma di una somma di settori:

barocco│classicismo│impero = A+B+C+D
Barocco │(classicismo e impero) = Sol + Si

Dalle somme dei settori vediamo quale richiesta ha prodotto più pagine.

Disponiamo i numeri di richiesta in ordine crescente rispetto al numero di pagine:3 2 4 1

Soluzione

Per risolvere il problema, immaginiamo le query sotto forma di cerchi di Eulero.

K - canarini,

Ш – cardellini,

R – allevamento.

canarini | terrier | contenuto	canarini e contenuti	canarini e cardellini e contenuto	allevamento e allevamento di canarini e cardellini

La prima richiesta ha l'area più grande di settori ombreggiati, poi la seconda, poi la terza e la quarta richiesta ha quella più piccola.

In ordine crescente per numero di pagine, le richieste verranno presentate nel seguente ordine: 4 3 2 1

Si noti che nella prima richiesta, i settori riempiti dei cerchi di Eulero contengono i settori riempiti della seconda richiesta, e i settori riempiti della seconda richiesta contengono i settori riempiti della terza richiesta, e i settori riempiti della terza richiesta contengono il settore riempito della quarta richiesta.

Solo in tali condizioni possiamo essere sicuri di aver risolto correttamente il problema.

Problema 7 (Esame di Stato Unificato 2013)

Nel linguaggio di query dei motori di ricerca, il simbolo "|" viene utilizzato per denotare l'operazione logica "OR" e il simbolo "&" viene utilizzato per l'operazione logica "AND".

La tabella mostra le query e il numero di pagine trovate per un determinato segmento di Internet.

Richiesta	Pagine trovate (in migliaia)
Fregata | Distruttore	3400
Fregata e cacciatorpediniere	900
Fregata	2100

Quante pagine (in migliaia) verranno trovate per la query? Distruttore?
Si ritiene che tutte le query siano state eseguite quasi contemporaneamente, in modo che l'insieme delle pagine contenenti tutte le parole cercate non sia cambiato durante l'esecuzione delle query.

Logiche. Libro di testo Gusev Dmitry Alekseevich

1.6. Diagrammi dei cerchi di Eulero

1.6. Diagrammi dei cerchi di Eulero

Come già sappiamo, nella logica ci sono sei opzioni per le relazioni tra concetti. Due concetti qualsiasi comparabili sono necessariamente in una di queste relazioni. Ad esempio, concetti scrittore E russo sono in relazione all'intersezione, scrittore E Umano– sottomissione, Mosca E capitale della Russia– equivalenza, Mosca E Pietroburgo- subordinazione, strada bagnata E strada asciutta– opposti, Antartide E terraferma– sottomissione, Antartide E Africa– subordinazione, ecc., ecc.

Dobbiamo prestare attenzione al fatto che se due concetti denotano una parte e un tutto, per esempio mese E anno, allora sono in un rapporto di subordinazione, anche se può sembrare che ci sia tra loro un rapporto di subordinazione, poiché il mese è compreso nell'anno. Tuttavia, se i concetti mese E anno fossero subordinati, allora bisognerebbe affermare che un mese è necessariamente un anno, e un anno non è necessariamente un mese (ricordiamo il rapporto di subordinazione usando l'esempio dei concetti carassio E pescare: il carassio è necessariamente un pesce, ma il pesce non è necessariamente un carassio). Un mese non è un anno, e un anno non è un mese, ma entrambi sono un periodo di tempo, quindi i concetti di mese e anno, così come i concetti libro E pagina del libro, macchina E ruota dell'auto, molecola E atomo ecc., sono in un rapporto di subordinazione, poiché la parte e il tutto non sono la stessa cosa della specie e del genere.

All'inizio si diceva che i concetti possono essere comparabili e incomparabili. Si ritiene che le sei opzioni di relazione considerate siano applicabili solo a concetti comparabili. Si può tuttavia affermare che tutti i concetti incomparabili sono legati tra loro da un rapporto di subordinazione. Ad esempio, concetti incomparabili come pinguino E Corpo celeste può essere considerato subordinato, perché un pinguino non è un corpo celeste e viceversa, ma allo stesso tempo la portata dei concetti pinguino E Corpo celeste rientrano nell'ambito più ampio di un terzo concetto, generico rispetto ad essi: questo potrebbe essere il concetto oggetto del mondo circostante O forma della materia(dopo tutto, sia il pinguino che il corpo celeste sono oggetti diversi del mondo circostante o forme diverse di materia). Se un concetto denota qualcosa di materiale e l'altro - immateriale (ad esempio, albero E Pensiero), allora il concetto generico per questi (come si può sostenere) concetti subordinati è forma dell'essere, perché un albero, un pensiero e qualsiasi altra cosa sono forme diverse dell'essere.

Come già sappiamo, le relazioni tra i concetti sono rappresentate dai diagrammi circolari di Eulero. Inoltre, finora abbiamo rappresentato schematicamente la relazione tra due concetti, e questo può essere fatto con un gran numero di concetti. Ad esempio, le relazioni tra concetti boxer, nero E Umano

La posizione relativa dei cerchi mostra che i concetti pugile E persona di colore sono in relazione all'intersezione (un pugile può essere un uomo di colore e può non esserlo, e un uomo di colore può essere un pugile e può non esserlo), e i concetti pugile E Umano, proprio come i concetti persona di colore E Umano sono in una relazione di subordinazione (dopo tutto, qualsiasi pugile e qualsiasi negro è necessariamente una persona, ma una persona non può essere né un pugile né un negro).

Consideriamo le relazioni tra i concetti nonno, padre, uomo, persona utilizzando un diagramma circolare:

Come vediamo, questi quattro concetti sono in un rapporto di subordinazione sequenziale: un nonno è necessariamente un padre, e un padre non è necessariamente un nonno; ogni padre è necessariamente un uomo, ma non ogni uomo è un padre; e, infine, un uomo è necessariamente una persona, ma non solo un uomo può essere una persona. Relazioni tra concetti predatore, pesce, squalo, piranha, luccio, creatura vivente sono rappresentati dal seguente diagramma:

Prova a commentare tu stesso questo diagramma, stabilendo tutti i tipi di relazioni tra i concetti presenti su di esso.

Per riassumere, notiamo che le relazioni tra i concetti sono le relazioni tra i loro volumi. Ciò significa che per poter stabilire relazioni tra i concetti, il loro volume deve essere netto e il contenuto, di conseguenza, chiaro, cioè questi concetti devono essere definiti. Per quanto riguarda i concetti indefiniti discussi sopra, è abbastanza difficile, anzi impossibile, stabilire relazioni esatte tra loro, perché a causa della vaghezza del loro contenuto e del volume confuso, due concetti indefiniti qualsiasi possono essere caratterizzati come equivalenti o intersecanti, o come subordinato, ecc. Ad esempio, è possibile stabilire relazioni tra concetti vaghi sciatteria E negligenza? Se sarà equivalenza o subordinazione è impossibile dirlo con certezza. Pertanto, anche le relazioni tra concetti indefiniti sono indefinite. È chiaro, quindi, che in quelle situazioni di pratica intellettuale e linguistica in cui sono richieste accuratezza e univocità nel determinare le relazioni tra concetti, l'uso di concetti vaghi è indesiderabile.

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Se pensi di non sapere nulla di un concetto come quello dei cerchi di Eulero, allora ti sbagli profondamente. Già dalla scuola elementare sono note immagini schematiche, o cerchi, che permettono di comprendere visivamente le relazioni tra concetti ed elementi del sistema.

Il metodo, inventato da Leonhard Euler, fu utilizzato dallo scienziato per risolvere complessi problemi matematici. Ha rappresentato gli insiemi in cerchi e ha reso questo diagramma la base di un concetto così simbolico. Il metodo è pensato per semplificare il più possibile il ragionamento volto a risolvere un particolare problema, motivo per cui la tecnica viene utilizzata attivamente sia nella scuola primaria che in ambito accademico. È interessante notare che un approccio simile era stato precedentemente utilizzato dal filosofo tedesco Leibniz, e in seguito fu ripreso e applicato in varie modifiche da menti famose nel campo della matematica. Ad esempio, i diagrammi rettangolari dei cechi Bolzano, Schroeder, Venn, famosi per aver creato un diagramma popolare basato su questo metodo semplice ma sorprendentemente efficace.

I cerchi sono la base dei cosiddetti “meme visivi di Internet”, che si basano sulla somiglianza delle caratteristiche dei singoli insiemi. È divertente, visivo e, soprattutto, comprensibile.

Circoli di pensiero

I cerchi ti consentono di descrivere chiaramente le condizioni di un problema e prendere immediatamente la decisione giusta, oppure identificare la direzione del movimento verso la risposta corretta. Tipicamente, i cerchi di Eulero vengono utilizzati per risolvere problemi logico-matematici che coinvolgono insiemi, loro unioni o sovrapposizioni parziali. L'intersezione dei cerchi include oggetti che hanno le proprietà di ciascuno degli insiemi rappresentati in un cerchio. Gli oggetti non inclusi nel set si trovano all'esterno dell'uno o dell'altro cerchio. Se i concetti sono assolutamente equivalenti, vengono indicati con un cerchio, che è l'unione di due insiemi che hanno proprietà e volumi uguali.

Logica delle relazioni

Utilizzando i cerchi di Eulero, puoi risolvere una serie di problemi quotidiani e persino decidere sulla scelta di una futura professione, devi solo analizzare le tue capacità e desideri e scegliere la loro massima intersezione.

Ora diventa chiaro che i cerchi di Eulero non sono affatto un concetto matematico e filosofico astratto dalla categoria della conoscenza teorica, hanno un significato molto applicato e pratico, che consente di affrontare non solo i problemi matematici più semplici, ma anche di risolvere importanti dilemmi della vita in modo visivo e comprensibile per tutti.

I cerchi di Eulero sono un diagramma geometrico. Con il suo aiuto puoi rappresentare le relazioni tra sottoinsiemi (concetti) per una rappresentazione visiva.

Il modo di rappresentare i concetti sotto forma di cerchi consente di sviluppare l'immaginazione e il pensiero logico non solo nei bambini, ma anche negli adulti. A partire dai 4-5 anni, i bambini possono risolvere semplici problemi con i cerchi di Eulero, prima con le spiegazioni degli adulti, e poi in modo autonomo. Padroneggiare il metodo di risoluzione dei problemi utilizzando i cerchi di Eulero sviluppa la capacità del bambino di analizzare, confrontare, generalizzare e raggruppare le proprie conoscenze per un'applicazione più ampia.

Esempio

L'immagine mostra una varietà di tutti i possibili giocattoli. Alcuni giocattoli sono set da costruzione: sono evidenziati in un ovale separato. Questo fa parte di un ampio set di "giocattoli" e allo stesso tempo di un set separato (dopo tutto, un set da costruzione può essere "Lego" o set da costruzione primitivi realizzati con blocchi per bambini). Una parte della grande varietà di “giocattoli” può essere costituita da giocattoli a carica. Non sono costruttori, quindi disegniamo per loro un ovale separato. L'ovale giallo “macchina a carica” si riferisce sia al set “giocattolo” che fa parte del set più piccolo “giocattolo a carica”. Pertanto, è raffigurato all'interno di entrambi gli ovali contemporaneamente.

Ecco alcuni compiti di pensiero logico per i bambini piccoli:

• Identifica i cerchi che si adattano alla descrizione dell'oggetto. In questo caso è opportuno prestare attenzione a quelle qualità che l'oggetto possiede permanentemente e che possiede temporaneamente. Ad esempio, un bicchiere di succo rimane sempre di vetro, ma non sempre contiene succo. Oppure esiste una sorta di definizione ampia che comprende concetti diversi; tale classificazione può essere rappresentata anche utilizzando i cerchi di Eulero. Ad esempio, un violoncello è uno strumento musicale, ma non tutti gli strumenti musicali sono un violoncello.

Per i bambini più grandi, puoi offrire opzioni per problemi con i calcoli, da abbastanza semplici a molto complessi. Inoltre, elaborare in modo indipendente questi compiti per i bambini fornirà ai genitori un ottimo allenamento per la mente.

• 1. Dei 27 alunni della quinta elementare, tutti studiano lingue straniere: inglese e tedesco. 12 studiano il tedesco e 19 l'inglese. È necessario determinare quanti alunni di quinta studiano due lingue straniere; quante persone non studiano il tedesco; quante persone non studiano l'inglese; Quanti studiano solo tedesco e solo inglese?

Allo stesso tempo, la prima domanda del problema suggerisce in generale il percorso per risolvere questo problema, informando che alcuni studenti studiano entrambe le lingue, nel qual caso l'uso del diagramma facilita anche la comprensione del problema da parte dei bambini.

A proposito, se non sai decidere quale professione scegliere, prova a disegnare un diagramma sotto forma di cerchi di Eulero. Forse un disegno come questo ti aiuterà a fare la tua scelta:

Quelle opzioni che saranno all'intersezione di tutti e tre i cerchi sono la professione che non solo potrà nutrirti, ma ti farà anche piacere.

E un altro segno...

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