Somma degli angoli di un triangolo. Lezioni complete - Ipermercato della Conoscenza. La somma degli angoli di un triangolo: a cosa è uguale? Tipi per dimensione dell'angolo

In terza media, durante le lezioni di geometria a scuola, gli studenti vengono introdotti per la prima volta al concetto di poligono convesso. Molto presto impareranno che questa figura ha una proprietà molto interessante. Non importa quanto possa essere complessa, la somma di tutti gli angoli interni ed esterni di un poligono convesso assume un valore rigorosamente definito. In questo articolo, un tutor di matematica e fisica parla di quanto equivale la somma degli angoli di un poligono convesso.

Somma degli angoli interni di un poligono convesso

Come dimostrare questa formula?

Prima di passare alla dimostrazione di questa affermazione ricordiamo quale poligono si dice convesso. Un poligono convesso è un poligono che giace interamente su un lato di una linea contenente uno qualsiasi dei suoi lati. Ad esempio, quello mostrato in questa figura:

Se il poligono non soddisfa la condizione specificata, viene chiamato non convesso. Ad esempio, in questo modo:

La somma degli angoli interni di un poligono convesso è uguale a , dove è il numero dei lati del poligono.

La prova di questo fatto si basa sul teorema sulla somma degli angoli in un triangolo, ben noto a tutti gli scolari. Sono sicuro che questo teorema ti è familiare. La somma degli angoli interni di un triangolo è .

L'idea è di dividere un poligono convesso in più triangoli. Questo può essere fatto in diversi modi. A seconda del metodo scelto, le prove saranno leggermente diverse.

1. Dividi il poligono convesso in triangoli utilizzando tutte le possibili diagonali tracciate da qualche vertice. È facile capire che allora il nostro n-gon verrà diviso in triangoli:

Inoltre, la somma di tutti gli angoli di tutti i triangoli risultanti è uguale alla somma degli angoli del nostro n-gon. Dopotutto, ogni angolo nei triangoli risultanti è un angolo parziale nel nostro poligono convesso. Cioè, l'importo richiesto è pari a .

2. Puoi anche selezionare un punto all'interno del poligono convesso e collegarlo a tutti i vertici. Quindi il nostro n-gon sarà diviso in triangoli:

Inoltre, la somma degli angoli del nostro poligono in questo caso sarà uguale alla somma di tutti gli angoli di tutti questi triangoli meno l'angolo al centro, che è uguale a . Cioè, l'importo richiesto è nuovamente pari a .

Somma degli angoli esterni di un poligono convesso

Poniamoci ora la domanda: “Qual è la somma degli angoli esterni di un poligono convesso?” A questa domanda si può rispondere come segue. Ogni angolo esterno è adiacente al corrispondente interno. Pertanto è pari a:

Allora la somma di tutti gli angoli esterni è uguale a . Cioè, è uguale.

Cioè, si ottiene un risultato molto divertente. Se tracciamo uno dopo l'altro tutti gli angoli esterni di qualsiasi n-gon convesso, il risultato sarà esattamente l'intero piano.

Questo fatto interessante può essere illustrato come segue. Riduciamo proporzionalmente tutti i lati di un poligono convesso finché non si fonde in un punto. Dopo che ciò è avvenuto, tutti gli angoli esterni verranno allontanati l'uno dall'altro e riempiranno così l'intero piano.

Fatto interessante, non è vero? E ci sono molti di questi fatti in geometria. Quindi imparate la geometria, cari scolari!

Il materiale su quanto equivale la somma degli angoli di un poligono convesso è stato preparato da Sergey Valerievich

Somma degli angoli del triangolo- un argomento importante, ma abbastanza semplice, che viene insegnato nella geometria di 7a elementare. L'argomento consiste in un teorema, una breve dimostrazione e diverse conseguenze logiche. La conoscenza di questo argomento aiuta a risolvere i problemi geometrici nel successivo studio dell'argomento.

Teorema: quali sono gli angoli di un triangolo arbitrario sommati?

Il teorema afferma che se prendiamo un triangolo qualsiasi, indipendentemente dal suo tipo, la somma di tutti gli angoli sarà invariabilmente 180 gradi. Ciò è dimostrato come segue:

ad esempio, preso il triangolo ABC, tracciamo una retta passante per il punto B situato al vertice e designiamola come “a”, la retta “a” è strettamente parallela al lato AC;
tra la retta “a” ed i lati AB e BC si designano gli angoli, contrassegnandoli con i numeri 1 e 2;
l'angolo 1 è considerato uguale all'angolo A e l'angolo 2 è considerato uguale all'angolo C, poiché questi angoli sono considerati trasversali;
Pertanto, la somma degli angoli 1, 2 e 3 (indicato al posto dell'angolo B) viene riconosciuta come uguale all'angolo spiegato con il vertice B - ed è di 180 gradi.

Se la somma degli angoli indicati dai numeri è 180 gradi, allora la somma degli angoli A, B e C viene riconosciuta pari a 180 gradi. Questa regola è vera per qualsiasi triangolo.

Ciò che segue dal teorema geometrico

È consuetudine evidenziare alcuni corollari del teorema precedente.

Se il problema considera un triangolo con un angolo retto, per impostazione predefinita uno dei suoi angoli sarà uguale a 90 gradi e anche la somma degli angoli acuti sarà di 90 gradi.
Se stiamo parlando di un triangolo isoscele rettangolo, i suoi angoli acuti, la cui somma è di 90 gradi, saranno individualmente pari a 45 gradi.
Un triangolo equilatero è composto da tre angoli uguali, rispettivamente, ciascuno di essi sarà pari a 60 gradi e in totale saranno 180 gradi.
L'angolo esterno di ogni triangolo sarà uguale alla somma di due angoli interni non adiacenti ad esso.

Si può ricavare la seguente regola: ogni triangolo ha almeno due angoli acuti. In alcuni casi, un triangolo è costituito da tre angoli acuti e, se ce ne sono solo due, il terzo angolo sarà ottuso o retto.

(riepilogo di base)

Geometria visiva 7a elementare. Nota integrativa n. 4 Somma degli angoli di un triangolo.

Grande scienziato francese del XVII secolo Blaise Pascal Da bambino amavo armeggiare con forme geometriche. Conosceva il goniometro e sapeva come misurare gli angoli. Il giovane ricercatore ha notato che per tutti i triangoli la somma dei tre angoli è la stessa: 180°. “Come possiamo dimostrarlo? - pensò Pascal. "Dopo tutto, è impossibile controllare la somma degli angoli di tutti i triangoli: ce ne sono un numero infinito." Quindi tagliò due angoli del triangolo con le forbici e li attaccò al terzo angolo. Il risultato è un angolo ruotato che, come è noto, è pari a 180°. Questa fu la sua prima scoperta. Il destino futuro del ragazzo era già predeterminato.

In questo argomento imparerai cinque proprietà di congruenza dei triangoli rettangoli e, forse, la proprietà più popolare di un triangolo rettangolo con un angolo di 30°. Suona così: la gamba opposta all'angolo di 30° è uguale alla metà dell'ipotenusa. Dividendo un triangolo equilatero per l'altezza otteniamo immediatamente una dimostrazione di questa proprietà.

TEOREMA. La somma degli angoli di un triangolo è 180°. Per dimostrarlo, traccia una linea attraverso la parte superiore parallela alla base. Gli angoli scuri sono uguali e gli angoli grigi sono uguali come se si trovassero trasversalmente su linee parallele. L'angolo scuro, l'angolo grigio e l'angolo al vertice formano un angolo esteso, la loro somma è 180°. Dal teorema segue che gli angoli di un triangolo equilatero sono pari a 60° e che la somma degli angoli acuti di un triangolo rettangolo è pari a 90°.

Angolo esterno di un triangolo è l'angolo adiacente all'angolo del triangolo. Pertanto, a volte gli angoli del triangolo stesso sono chiamati angoli interni.

TEOREMA sull'angolo esterno di un triangolo. Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli interni ad esso non adiacenti. Infatti, l'angolo esterno e due interni, non adiacenti ad esso, completano l'angolo ombreggiato fino a 180°. Dal teorema segue che un angolo esterno è maggiore di qualsiasi angolo interno non adiacente ad esso.

TEOREMA sui rapporti tra i lati e gli angoli di un triangolo. In un triangolo l'angolo maggiore è opposto al lato maggiore e l'angolo maggiore è opposto all'angolo maggiore. Ne consegue: 1) La gamba è minore dell'ipotenusa. 2) La perpendicolare è minore di quella inclinata.

Distanza dal punto alla linea . Poiché la perpendicolare è minore di qualsiasi linea inclinata tracciata dallo stesso punto, la sua lunghezza viene presa come la distanza dal punto alla retta.

Disuguaglianza del triangolo . La lunghezza di qualsiasi lato di un triangolo è inferiore alla somma degli altri due lati, cioè UN< b + с , B< а + с , Con< а + B . Conseguenza. La lunghezza della linea spezzata è maggiore del segmento che ne collega le estremità.

SEGNI DI UGUAGLIANZA
TRIANGOLI RETTANGOLARI

Su due lati. Se due cateti di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali a due cateti di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Lungo la gamba e l'angolo acuto adiacente. Se il cateto e l'angolo acuto adiacente di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali al cateto e all'angolo acuto adiacente di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Lungo la gamba e l'angolo acuto opposto. Se il cateto e l'angolo acuto opposto di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali al cateto e l'angolo acuto opposto di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Per ipotenusa e angolo acuto. Se l'ipotenusa e l'angolo acuto di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali all'ipotenusa e all'angolo acuto di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

La dimostrazione di questi segni si riduce immediatamente a uno dei test per l'uguaglianza dei triangoli.

Per cateto e ipotenusa. Se il cateto e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo sono rispettivamente uguali al cateto e all'ipotenusa di un altro triangolo rettangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Prova. Attacciamo i triangoli con le gambe uguali. Otteniamo un triangolo isoscele. La sua altezza ricavata dal vertice sarà anche la mediana. Allora i triangoli hanno i secondi cateti uguali, e i triangoli sono uguali su tre lati.

TEOREMA sulla proprietà di una gamba che giace opposta ad un angolo di 30°. Il cateto opposto all'angolo di 30° è uguale alla metà dell'ipotenusa. Dimostrato completando il triangolo fino a renderlo equilatero.

TEOREMA sulla proprietà dei punti bisettoriali. Qualsiasi punto sulla bisettrice di un angolo è equidistante dai suoi lati. Se un punto è equidistante dai lati di un angolo, allora giace sulla bisettrice dell'angolo. Dimostrato tracciando due perpendicolari ai lati dell'angolo e considerando i triangoli rettangoli.

Secondo grande punto . Le bisettrici di un triangolo si intersecano in un punto.

Distanza tra rette parallele. TEOREMA. Tutti i punti di ciascuna delle due linee parallele sono alla stessa distanza dall'altra linea. Il teorema implica la definizione della distanza tra rette parallele.

Definizione. La distanza tra due linee parallele è la distanza da un punto qualsiasi di una delle linee parallele all'altra linea.

Dimostrazioni dettagliate dei teoremi

Questa è la nota di riferimento n. 4 sulla geometria in seconda media. Seleziona i passaggi successivi:

La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 0. Questo è uno degli assiomi fondamentali della geometria di Euclide. Questa è la geometria che studiano gli scolari. La geometria è definita come la scienza che studia le forme spaziali del mondo reale.

Cosa spinse gli antichi greci a sviluppare la geometria? La necessità di misurare campi, prati - aree della superficie terrestre. Allo stesso tempo, gli antichi greci accettavano che la superficie della Terra fosse orizzontale e piatta. Tenendo conto di questo presupposto, furono creati gli assiomi di Euclide, inclusa la somma degli angoli interni di un triangolo di 180 0.

Un assioma è una proposizione che non richiede prova. Come dovrebbe essere inteso? Viene espresso un desiderio adatto alla persona e poi viene confermato da illustrazioni. Ma tutto ciò che non è dimostrato è finzione, qualcosa che nella realtà non esiste.

Prendendo la superficie terrestre in orizzontale, gli antichi greci accettavano automaticamente la forma della Terra come piatta, ma è diversa: sferica. In natura non esistono piani orizzontali o linee rette, perché la gravità piega lo spazio. Linee rette e piani orizzontali si trovano solo nel cervello umano.

Pertanto, la geometria di Euclide, che spiega le forme spaziali del mondo immaginario, è un simulacro, una copia che non ha originale.

Uno degli assiomi di Euclide afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°. Infatti, nello spazio curvo reale, ovvero sulla superficie sferica della Terra, la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di 180 0.

Pensiamo così. Qualsiasi meridiano del globo si interseca con l'equatore con un angolo di 90°. Per ottenere un triangolo, devi allontanare un altro meridiano dal meridiano. La somma degli angoli del triangolo compreso tra i meridiani e il lato dell'equatore sarà 180 0. Ma ci sarà ancora un angolo al polo. Di conseguenza, la somma di tutti gli angoli sarà maggiore di 180 0.

Se i lati si intersecano con un angolo di 90 0 al polo, la somma degli angoli interni di tale triangolo sarà 270 0. Due meridiani che intersecano l'equatore ad angolo retto in questo triangolo saranno paralleli tra loro, e al polo che si intersecano con un angolo di 90 0 diventeranno perpendicolari. Si scopre che due linee parallele sullo stesso piano non solo si intersecano, ma possono anche essere perpendicolari al polo.

Naturalmente, i lati di un tale triangolo non saranno linee rette, ma convesse, ripetendo la forma sferica del globo. Ma questo è esattamente il mondo reale dello spazio.

La geometria dello spazio reale, tenendo conto della sua curvatura a metà del XIX secolo. sviluppato dal matematico tedesco B. Riemann (1820-1866). Ma questo non viene detto agli scolari.

Quindi la geometria euclidea, che assume la forma della Terra come piatta con una superficie orizzontale, cosa che in realtà non è, è un simulacro. La nootica è la geometria riemanniana che tiene conto della curvatura dello spazio. La somma degli angoli interni del triangolo è maggiore di 180 0.

>>Geometria: Somma degli angoli di un triangolo. Lezioni complete

ARGOMENTO DELLA LEZIONE: Somma degli angoli di un triangolo.

Obiettivi della lezione:

Consolidare e testare le conoscenze degli studenti sull'argomento: “Somma degli angoli di un triangolo”;
Dimostrazione delle proprietà degli angoli di un triangolo;
Applicazione di questa proprietà nella risoluzione di problemi semplici;
Utilizzare materiale storico per sviluppare l’attività cognitiva degli studenti;
Instillare l'abilità di precisione nella costruzione dei disegni.

Obiettivi della lezione:

Testare le capacità di problem solving degli studenti.

Piano della lezione:

Triangolo;
Teorema sulla somma degli angoli di un triangolo;
Compiti di esempio.

Triangolo.

File:O.gif Triangolo- il poligono più semplice avente 3 vertici (angoli) e 3 lati; parte del piano delimitata da tre punti e tre segmenti che collegano questi punti a coppie.
Tre punti nello spazio che non giacciono sulla stessa retta corrispondono ad uno ed un solo piano.
Qualsiasi poligono può essere diviso in triangoli: questo processo si chiama triangolazione.
Esiste una sezione di matematica interamente dedicata allo studio delle leggi dei triangoli - Trigonometria.

Teorema sulla somma degli angoli di un triangolo.

File:T.gif Il teorema della somma degli angoli di un triangolo è un classico teorema della geometria euclidea che afferma che la somma degli angoli di un triangolo è 180°.

Prova" :

Sia dato Δ ABC. Tracciamo una linea parallela ad (AC) passante per il vertice B e segniamo il punto D su di essa in modo che i punti A e D si trovino su lati opposti della linea BC. Allora l'angolo (DBC) e l'angolo (ACB) sono uguali poiché sono trasversali interne alle parallele BD e AC e alla secante (BC). Allora la somma degli angoli del triangolo ai vertici B e C è uguale all'angolo (ABD). Ma l'angolo (ABD) e l'angolo (BAC) al vertice A del triangolo ABC sono unilaterali interni con le rette parallele BD e AC e la secante (AB), e la loro somma è 180°. Pertanto la somma degli angoli di un triangolo è 180°. Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenze.

Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli del triangolo non adiacenti ad esso.

Prova:

Sia dato Δ ABC. Il punto D giace sulla linea AC in modo che A si trovi tra C e D. Allora BAD è esterno all'angolo del triangolo nel vertice A e A + BAD = 180°. Ma A + B + C = 180°, e quindi B + C = 180° – A. Quindi BAD = B + C. Il corollario è dimostrato.

Conseguenze.

Un angolo esterno di un triangolo è maggiore di qualsiasi angolo del triangolo che non sia adiacente ad esso.

Compito.

Un angolo esterno di un triangolo è un angolo adiacente a qualsiasi angolo di questo triangolo. Dimostrare che l'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli del triangolo non adiacenti ad esso.
(Fig. 1)

Soluzione:

Lascia che Δ ABC ∠DAС sia esterno (Fig. 1). Allora ∠DAC = 180°-∠BAC (per la proprietà degli angoli adiacenti), per il teorema sulla somma degli angoli di un triangolo ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Da queste uguaglianze otteniamo ∠DAС=∠В+∠С

Fatto interessante:

Somma degli angoli di un triangolo" :

Nella geometria Lobachevskij la somma degli angoli di un triangolo è sempre inferiore a 180. Nella geometria euclidea è sempre uguale a 180. Nella geometria di Riemann la somma degli angoli di un triangolo è sempre maggiore di 180.

Dalla storia della matematica:

Euclide (III secolo a.C.) nella sua opera “Elementi” dà la seguente definizione: “Le linee parallele sono linee che si trovano sullo stesso piano e, essendo estese indefinitamente in entrambe le direzioni, non si incontrano da nessuna parte”.
Posidonio (I secolo a.C.) “Due rette giacenti sullo stesso piano, equidistanti tra loro”
L'antico scienziato greco Pappo (III secolo aC) introdusse il simbolo delle linee parallele: il segno =. Successivamente l’economista inglese Ricardo (1720-1823) utilizzò questo simbolo come segno di uguale.
Solo nel XVIII secolo iniziarono a usare il simbolo per le linee parallele: il segno ||.
Il legame vivo tra le generazioni non si interrompe per un attimo; ogni giorno apprendiamo l'esperienza accumulata dai nostri antenati. Gli antichi greci, sulla base delle osservazioni e dell'esperienza pratica, traevano conclusioni, esprimevano ipotesi e poi, durante le riunioni degli scienziati - simposi (letteralmente "festa") - cercavano di comprovare e dimostrare queste ipotesi. A quel tempo nacque l’affermazione: “La verità nasce nella disputa”.

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