Controlla la matrice inversa. Metodo matriciale per la risoluzione di slough: un esempio di risoluzione utilizzando una matrice inversa. Trovare la matrice inversa per eliminazione gaussiana di incognite

Tipicamente, le operazioni inverse vengono utilizzate per semplificare espressioni algebriche complesse. Ad esempio, se il problema contiene l'operazione di divisione per una frazione, è possibile sostituirla con l'operazione di moltiplicazione per un reciproco, che è l'operazione inversa. Inoltre, le matrici non possono essere divise, quindi è necessario moltiplicare per la matrice inversa. Calcolare l'inverso di una matrice 3x3 è piuttosto noioso, ma devi essere in grado di farlo manualmente. Puoi anche trovare il reciproco con una buona calcolatrice grafica.

Passi

Utilizzando la matrice allegata

Trasporre la matrice originale. La trasposizione è la sostituzione di righe con colonne relative alla diagonale principale della matrice, ovvero è necessario scambiare gli elementi (i, j) e (j, i). In questo caso, gli elementi della diagonale principale (inizia nell'angolo in alto a sinistra e termina nell'angolo in basso a destra) non cambiano.

  • Per scambiare righe con colonne, scrivi gli elementi della prima riga nella prima colonna, gli elementi della seconda riga nella seconda colonna e gli elementi della terza riga nella terza colonna. L'ordine di modifica della posizione degli elementi è mostrato nella figura, in cui gli elementi corrispondenti sono cerchiati con cerchi colorati.

  • Trova la definizione di ciascuna matrice 2x2. Ad ogni elemento di qualsiasi matrice, compresa quella trasposta, è associata una corrispondente matrice 2x2. Per trovare una matrice 2x2 che corrisponda a un particolare elemento, cancella la riga e la colonna in cui si trova questo elemento, ovvero devi barrare cinque elementi della matrice 3x3 originale. Quattro elementi che sono elementi della corrispondente matrice 2x2 rimarranno non barrati.

    • Ad esempio, per trovare la matrice 2x2 per l'elemento che si trova all'intersezione della seconda riga e della prima colonna, cancella i cinque elementi che si trovano nella seconda riga e nella prima colonna. I restanti quattro elementi sono elementi della corrispondente matrice 2x2.
    • Trova il determinante di ciascuna matrice 2x2. Per fare ciò, sottrarre il prodotto degli elementi della diagonale secondaria dal prodotto degli elementi della diagonale principale (vedi figura).
    • Informazioni dettagliate sulle matrici 2x2 corrispondenti a determinati elementi di una matrice 3x3 possono essere trovate su Internet.

  • Creare una matrice di cofattori. Registrare i risultati ottenuti in precedenza sotto forma di una nuova matrice di cofattori. Per fare ciò, scrivi il determinante trovato di ciascuna matrice 2x2 in cui si trovava l'elemento corrispondente della matrice 3x3. Ad esempio, se si considera una matrice 2x2 per l'elemento (1,1), annotare il suo determinante nella posizione (1,1). Quindi cambia i segni degli elementi corrispondenti secondo un determinato schema, mostrato nella figura.

    • Schema di cambio segno: il segno del primo elemento della prima riga non cambia; il segno del secondo elemento della prima riga è invertito; il segno del terzo elemento della prima riga non cambia, e così via riga per riga. Si noti che i segni "+" e "-", che sono mostrati nel diagramma (vedi figura), non indicano che l'elemento corrispondente sarà positivo o negativo. In questo caso, il segno "+" indica che il segno dell'elemento non cambia e il segno "-" indica che il segno dell'elemento è cambiato.
    • Informazioni dettagliate sulle matrici di cofattori possono essere trovate su Internet.
    • Ecco come trovare la matrice associata della matrice originale. A volte è chiamata matrice coniugata complessa. Tale matrice è indicata come adj(M).

  • Dividi ogni elemento della matrice aggiunta per il determinante. Il determinante della matrice M è stato calcolato all'inizio per verificare l'esistenza della matrice inversa. Ora dividi ogni elemento della matrice aggiunta per questo determinante. Registrare il risultato di ogni operazione di divisione in cui si trova l'elemento corrispondente. Quindi troverai la matrice, l'inverso dell'originale.

    • Il determinante della matrice mostrata nella figura è 1. Quindi, qui la matrice associata è la matrice inversa (perché dividendo qualsiasi numero per 1 non lo cambia).
    • In alcune fonti, l'operazione di divisione è sostituita dall'operazione di moltiplicazione per 1/det(M). In questo caso, il risultato finale non cambia.

  • Scrivi la matrice inversa. Scrivi gli elementi situati nella metà destra della matrice grande come una matrice separata, che è una matrice inversa.

    Usando una calcolatrice

      Scegli una calcolatrice che funzioni con le matrici. Le calcolatrici semplici non riescono a trovare la matrice inversa, ma è possibile farlo con una buona calcolatrice grafica come la Texas Instruments TI-83 o TI-86.

      Immettere la matrice originale nella memoria della calcolatrice. Per fare ciò, fare clic sul pulsante Matrix, se disponibile. Per una calcolatrice Texas Instruments, potrebbe essere necessario premere i pulsanti 2nd e Matrix.

      Seleziona il menu Modifica. A tale scopo, utilizzare i pulsanti freccia o il pulsante funzione corrispondente situato nella parte superiore della tastiera della calcolatrice (la posizione del pulsante dipende dal modello di calcolatrice).

      Immettere la designazione della matrice. La maggior parte delle calcolatrici grafiche può funzionare con 3-10 matrici, che possono essere indicate lettere A-J. Come regola generale, basta selezionare [A] per denotare la matrice originale. Quindi premere il pulsante Invio.

      Immettere la dimensione della matrice. Questo articolo parla di matrici 3x3. Ma le calcolatrici grafiche possono funzionare con matrici di grandi dimensioni. Immettere il numero di righe, premere il pulsante Invio, quindi inserire il numero di colonne e premere nuovamente il pulsante Invio.

      Immettere ogni elemento della matrice. Una matrice verrà visualizzata sullo schermo della calcolatrice. Se una matrice è già stata inserita nella calcolatrice in precedenza, apparirà sullo schermo. Il cursore evidenzierà il primo elemento della matrice. Immettere il valore del primo elemento e premere Invio. Il cursore si sposterà automaticamente all'elemento successivo della matrice.

    Consideriamo una matrice quadrata. Indichiamo con Δ = det A il suo determinante. Un quadrato B è (OM) per un quadrato A dello stesso ordine se il loro prodotto A*B = B*A = E, dove E è la matrice identità dello stesso ordine di A e B.

    Un quadrato A si dice non degenerato, o non singolare, se il suo determinante è diverso da zero, e degenere, o speciale, se Δ = 0.

    Teorema. Perché A abbia un inverso, è necessario e sufficiente che il suo determinante sia diverso da zero.

    (OM) A, indicato con A -1, in modo che B \u003d A -1 e sia calcolato dalla formula

    , (1)

    dove А i j - complementi algebrici degli elementi a i j , Δ = detA.

    Calcolare A -1 con la formula (1) per matrici di ordine elevato è molto laborioso, quindi in pratica è conveniente trovare A -1 usando il metodo delle trasformazioni elementari (EP). Qualsiasi A non singolare mediante EP di sole colonne (o solo righe) può essere ridotto all'unità E. Se gli EP eseguiti sulla matrice A vengono applicati nello stesso ordine all'unità E, il risultato sarà A -1 . Conviene eseguire un EP su LA ed E contemporaneamente, scrivendo entrambi uno accanto all'altro attraverso la riga A|E. Se vuoi trovare A -1 , dovresti usare solo righe o solo colonne nelle tue conversioni.

    Trovare la matrice inversa usando i complementi algebrici

    Esempio 1. Per trova A -1 .

    Soluzione. Troviamo prima il determinante A
    quindi, (OM) esiste e possiamo trovarlo con la formula: , dove A i j (i,j=1,2,3) - complementi algebrici degli elementi a i j dell'originale A.

    Il complemento algebrico dell'elemento a ij è il determinante o minore M ij . Si ottiene cancellando la colonna i e la riga j. Il minore viene quindi moltiplicato per (-1) i+j , cioè A ij =(-1) i+j M ij

    dove .

    Trovare la matrice inversa mediante trasformazioni elementari

    Esempio 2. Usando il metodo delle trasformazioni elementari, trova A -1 per: A \u003d.

    Soluzione. Attribuiamo all'originale A di destra un'unità dello stesso ordine: . Con l'aiuto delle trasformazioni di colonne elementari, riduciamo la "metà" sinistra a quella dell'unità, eseguendo contemporaneamente esattamente tali trasformazioni sulla "metà" destra.
    Per fare ciò, scambia la prima e la seconda colonna: ~. Aggiungiamo la prima alla terza colonna e la prima moltiplicata per -2 alla seconda: . Dalla prima colonna sottraiamo il secondo raddoppiato e dal terzo - il secondo moltiplicato per 6; . Aggiungiamo la terza colonna alla prima e alla seconda: . Moltiplica l'ultima colonna per -1: . La tavola quadrata ottenuta a destra della barra verticale è l'inverso di A -1. Così,
    .

    Sia una matrice quadrata dell'ennesimo ordine

    Viene chiamata la matrice A -1 matrice inversa rispetto alla matrice A, se A * A -1 = E, dove E è la matrice identità dell'n-esimo ordine.

    Matrice identità- una tale matrice quadrata, in cui tutti gli elementi lungo la diagonale principale, passando dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra, sono uno e il resto sono zeri, ad esempio:

    matrice inversa può esistere solo per matrici quadrate quelli. per quelle matrici che hanno lo stesso numero di righe e colonne.

    Teorema della condizione di esistenza della matrice inversa

    Perché una matrice abbia una matrice inversa, è necessario e sufficiente che non sia degenerata.

    Viene chiamata la matrice A = (A1, A2,...A n). non degenerato se i vettori colonna sono linearmente indipendenti. Il numero di vettori colonna linearmente indipendenti di una matrice è chiamato rango della matrice. Pertanto, possiamo dire che affinché esista una matrice inversa, è necessario e sufficiente che il rango della matrice sia uguale alla sua dimensione, cioè r = n.

    Algoritmo per trovare la matrice inversa

    1. Scrivi la matrice A nella tabella per risolvere i sistemi di equazioni con il metodo di Gauss e sulla destra (al posto delle parti destre delle equazioni) assegna ad essa la matrice E.
    2. Usando le trasformazioni di Jordan, porta la matrice A in una matrice composta da singole colonne; in questo caso è necessario trasformare contemporaneamente la matrice E.
    3. Se necessario, riordinare le righe (equazioni) dell'ultima tabella in modo da ottenere la matrice identità E sotto la matrice A della tabella originale.
    4. Scrivi la matrice inversa A -1, che si trova nell'ultima tabella sotto la matrice E della tabella originale.
    Esempio 1

    Per la matrice A, trova la matrice inversa A -1

    Soluzione: scriviamo la matrice A e sulla destra assegniamo la matrice identità E. Usando le trasformazioni di Jordan, riduciamo la matrice A alla matrice identità E. I calcoli sono mostrati nella Tabella 31.1.

    Verifichiamo la correttezza dei calcoli moltiplicando la matrice originale A e la matrice inversa A -1.

    Come risultato della moltiplicazione della matrice, si ottiene la matrice dell'identità. Pertanto, i calcoli sono corretti.

    Risposta:

    Soluzione di equazioni matriciali

    Le equazioni della matrice possono assomigliare a:

    AX = B, XA = B, AXB = C,

    dove A, B, C sono matrici date, X è la matrice desiderata.

    Le equazioni matriciali vengono risolte moltiplicando l'equazione per matrici inverse.

    Ad esempio, per trovare la matrice da un'equazione, devi moltiplicare questa equazione per a sinistra.

    Pertanto, per trovare una soluzione all'equazione, è necessario trovare la matrice inversa e moltiplicarla per la matrice sul lato destro dell'equazione.

    Altre equazioni vengono risolte in modo simile.

    Esempio 2

    Risolvi l'equazione AX = B se

    Soluzione: Poiché l'inverso della matrice è uguale (vedi esempio 1)

    Metodo delle matrici nell'analisi economica

    Insieme ad altri, trovano anche applicazione metodi matriciali. Questi metodi si basano sull'algebra lineare e di matrice vettoriale. Tali metodi vengono utilizzati allo scopo di analizzare fenomeni economici complessi e multidimensionali. Molto spesso, questi metodi vengono utilizzati quando è necessario confrontare il funzionamento delle organizzazioni e le loro divisioni strutturali.

    Nel processo di applicazione dei metodi di analisi delle matrici si possono distinguere diverse fasi.

    Al primo stadio si procede alla formazione di un sistema di indicatori economici e sulla sua base si compila una matrice di dati iniziali, ovvero una tabella in cui sono riportati i numeri di sistema nelle sue singole righe (i = 1,2,....,n), e lungo i grafici verticali - numeri di indicatori (j = 1,2,....,m).

    Al secondo stadio per ogni colonna verticale viene rivelato il più grande dei valori disponibili degli indicatori, che viene preso come unità.

    Successivamente, tutti gli importi riflessi in questa colonna vengono divisi per il valore più grande e viene formata una matrice di coefficienti standardizzati.

    Al terzo stadio tutte le componenti della matrice sono al quadrato. Se hanno un significato diverso, a ciascun indicatore della matrice viene assegnato un determinato coefficiente di ponderazione K. Il valore di quest'ultimo è determinato da un esperto.

    Sull'ultimo quarta fase valori trovati delle valutazioni Rj raggruppati in ordine crescente o decrescente.

    I metodi a matrice di cui sopra dovrebbero essere utilizzati, ad esempio, in un'analisi comparativa di vari progetti di investimento, nonché per valutare altri indicatori di performance economica delle organizzazioni.

    La matrice A -1 è chiamata matrice inversa rispetto alla matrice A, se A * A -1 \u003d E, dove E è la matrice identità dell'ennesimo ordine. La matrice inversa può esistere solo per matrici quadrate.

    Incarico di servizio. Utilizzando questo servizio online, puoi trovare addizioni algebriche, matrice trasposta AT , matrice di unione e matrice inversa. La soluzione viene effettuata direttamente sul sito (online) ed è gratuita. I risultati del calcolo vengono presentati in un report in formato Word e in formato Excel (è possibile cioè verificare la soluzione). vedi esempio di progettazione.

    Istruzione. Per ottenere una soluzione, è necessario specificare la dimensione della matrice. Successivamente, nella nuova finestra di dialogo, compila la matrice A .

    Vedi anche Matrice inversa con il metodo di Jordan-Gauss

    Algoritmo per trovare la matrice inversa

    1. Trovare la matrice trasposta AT .
    2. Definizione di addizioni algebriche. Sostituisci ogni elemento della matrice con il suo complemento algebrico.
    3. Compilazione di una matrice inversa da addizioni algebriche: ogni elemento della matrice risultante è diviso per il determinante della matrice originale. La matrice risultante è l'inverso della matrice originale.
    Prossimo algoritmo a matrice inversa simile al precedente, salvo alcuni passaggi: prima si calcolano i complementi algebrici, quindi si determina la matrice di unione C.
    1. Determina se la matrice è quadrata. In caso contrario, non esiste una matrice inversa per esso.
    2. Calcolo del determinante della matrice A . Se non è uguale a zero, continuiamo la soluzione, altrimenti la matrice inversa non esiste.
    3. Definizione di addizioni algebriche.
    4. Compilando la matrice di unione (reciproca, aggiunta) C .
    5. Compilazione della matrice inversa da addizioni algebriche: ogni elemento della matrice aggiunta C è diviso per il determinante della matrice originaria. La matrice risultante è l'inverso della matrice originale.
    6. Fai un controllo: moltiplica l'originale e le matrici risultanti. Il risultato dovrebbe essere una matrice di identità.

    Esempio 1. Scriviamo la matrice nella forma:

    Addizioni algebriche. ∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
    A -1 =
    0,6 -0,4 0,8
    0,7 0,2 0,1
    -0,1 0,4 -0,3

    Un altro algoritmo per trovare la matrice inversa

    Presentiamo un altro schema per trovare la matrice inversa.
    1. Trova il determinante della data matrice quadrata A .
    2. Troviamo addizioni algebriche a tutti gli elementi della matrice A .
    3. Scriviamo i complementi algebrici degli elementi delle righe nelle colonne (trasposizione).
    4. Dividiamo ogni elemento della matrice risultante per il determinante della matrice A .
    Come puoi vedere, l'operazione di trasposizione può essere applicata sia all'inizio, sulla matrice originale, sia alla fine, sulle addizioni algebriche risultanti.

    Un caso speciale: L'inverso, rispetto alla matrice identità E , è la matrice identità E .



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