Definicija Eulerove diferencijalne jednadžbe. Razmatraju se metode za njegovo rješavanje.

Sadržaj

Eulerova diferencijalna jednadžba je jednadžba oblika
a 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ a n- 1 xy′ + a n y = f(x).

U općenitijem obliku, Eulerova jednadžba ima oblik:
.
Ova se jednadžba reducira supstitucijom t = ax+b na jednostavniji oblik, koji ćemo razmotriti.

Svođenje Eulerove diferencijalne jednadžbe na jednadžbu s konstantnim koeficijentima.

Razmotrimo Eulerovu jednadžbu:
(1) .
Svodi se na linearnu jednadžbu s konstantnim koeficijentima supstitucijom:
x = e t.
Doista, dakle
;
;
;

;
;
..........................

Dakle, faktori koji sadrže x m se poništavaju. Preostali članovi su oni s konstantnim koeficijentima. Međutim, u praksi je za rješavanje Eulerovih jednadžbi moguće koristiti metode za rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima bez korištenja gornje supstitucije.

Rješenje homogene Eulerove jednadžbe

Razmotrimo homogenu Eulerovu jednadžbu:
(2) .
Rješenje jednadžbe (2) tražimo u obliku
.
;
;
........................
.
Zamijenimo u (2) i smanjimo za x k.
.
Dobivamo karakterističnu jednadžbu:

Rješavamo ga i dobivamo n korijena, što može biti složeno.
.

Pogledajmo prave korijene. Neka je k i višestruki korijen višestrukosti m.
.
Tih m korijena odgovara m linearno neovisnih rješenja: Razmotrimo složene korijene. Pojavljuju se u parovima zajedno sa složenim konjugatima. Neka je k i višestruki korijen višestrukosti m. Izrazimo kompleksni korijen k i kroz realne i imaginarne dijelove:
;
;
..............................
.

Ovih m korijena i m kompleksno konjugiranih korijena odgovaraju
(3) .

2 m

linearno nezavisna rješenja:


Nakon što se dobije n linearno neovisnih rješenja, dobiva se opće rješenje jednadžbe (2):

Primjeri

Riješite jednadžbe:
.
Rješenje primjera >>>

Rješenje nehomogene Eulerove jednadžbe 1 Razmotrimo nehomogenu Eulerovu jednadžbu: 1 Metoda varijacije konstanti (Lagrangeova metoda) također je primjenjiva na Eulerove jednadžbe. 1 jednadžbe koje povezuju derivacije.

Zatim nalazimo n-tu derivaciju od y.

Dobivene derivacije zamijenimo u (1) i dobijemo n-tu jednadžbu koja povezuje derivacije.

Iz ovih jednadžbi određujemo .

Zatim integracijom dobivamo opće rješenje jednadžbe (1).

Primjer
(4)
,
Riješite jednadžbu:

Rješenje >>>
,
Nehomogena Eulerova jednadžba s posebnim nehomogenim dijelom

Ako nehomogeni dio ima određeni oblik, tada je lakše dobiti opće rješenje pronalaženjem partikularnog rješenja nehomogene jednadžbe. Ova klasa uključuje jednadžbe oblika:

gdje su polinomi potencija i , redom.

U ovom slučaju lakše je izvršiti zamjenu

i odlučiti

Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi

Mnogi problemi u znanosti i tehnologiji svode se na rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi (ODE). ODE su one jednadžbe koje sadrže jednu ili više derivacija željene funkcije. Općenito, ODE se može napisati na sljedeći način::

Gdje je x nezavisna varijabla, je i-ta derivacija željene funkcije. n je red jednadžbe. Opće rješenje ODE n-tog reda sadrži n proizvoljnih konstanti, tj. opće rješenje ima oblik .:

Za odabir jednog rješenja potrebno je postaviti n dodatnih uvjeta. Ovisno o načinu zadavanja dodatnih uvjeta, postoje dvije različite vrste problema: Cauchyjev problem i problem rubne vrijednosti. Ako su u jednoj točki navedeni dodatni uvjeti, onda se takav problem naziva Cauchyjev problem. Dodatni uvjeti u Cauchyjevom problemu nazivaju se početni uvjeti. Ako su dodatni uvjeti navedeni u više od jedne točke, tj. za različite vrijednosti nezavisne varijable, tada se takav problem naziva problem rubne vrijednosti. Sami dodatni uvjeti nazivaju se rubni ili rubni uvjeti.

Jasno je da kada je n=1 možemo govoriti samo o Cauchyjevom problemu.

Primjeri postavljanja Cauchyjevog problema Primjeri rubnih problema

Takve probleme moguće je analitički riješiti samo za neke posebne vrste jednadžbi.

Numeričke metode za rješavanje Cauchyjevog problema za ODE prvog reda Izjava problema 0 . Pronađite rješenje ODE prvog reda Na pruženom segmentu ].

Pri pronalaženju približnog rješenja pretpostavit ćemo da se proračuni provode s izračunatim korakom, čvorovi proračuna su intervalne točke [

Izjava problema x				Izjava problema Na pruženom segmentu
, x x				, x Na pruženom segmentu

n

Cilj je izgraditi stol

Potpuno prirodan (ali ne i jedini) način da se dobije numeričko rješenje je zamijeniti integral u njemu nekom kvadraturnom formulom numeričke integracije. Ako koristimo najjednostavniju formulu za lijeve pravokutnike prvog reda

,

onda dobivamo eksplicitna Eulerova formula:

Postupak plaćanja:

Znajući, nalazimo, zatim itd.

Geometrijska interpretacija Eulerove metode:

Iskorištavanje onoga što je u točki Izjava problema 0 rješenje je poznato , x(Izjava problema 0)= g 0 i vrijednosti njezine derivacije možemo napisati jednadžbu tangente na graf tražene funkcije u točki:. Dovoljno malim korakom h ordinata ove tangente, dobivena zamjenom na desnu stranu vrijednosti, trebala bi se malo razlikovati od ordinate , x(Izjava problema 1) rješenja , x(Izjava problema) Cauchyjevi problemi. Prema tome, sjecište tangente s pravcem Izjava problema = Izjava problema 1 se približno može uzeti kao nova polazna točka. Kroz ovu točku ponovno povlačimo ravnu liniju, koja približno odražava ponašanje tangente na točku. Zamjena ovdje (tj. sjecište s linijom Izjava problema = Izjava problema 2), dobivamo približnu vrijednost , x(Izjava problema) u točki Izjava problema 2: itd. Kao rezultat za x-tom točkom dobivamo Eulerovu formulu.

Eksplicitna Eulerova metoda ima prvi red točnosti ili aproksimacije.

Ako koristite formulu desnog pravokutnika: , onda dolazimo do metode

Ova metoda se zove implicitna Eulerova metoda, budući da izračunavanje nepoznate vrijednosti iz poznate vrijednosti zahtijeva rješavanje jednadžbe koja je općenito nelinearna.

Implicitna Eulerova metoda ima prvi red točnosti ili aproksimacije.

U ovoj metodi izračun se sastoji od dvije faze:

Ova se shema također naziva metoda prediktor-korektor (predictive-correcting). U prvom stupnju predviđa se približna vrijednost s niskom točnošću (h), au drugom stupnju se to predviđanje korigira tako da dobivena vrijednost ima drugi red točnosti.

Runge-Kutta metode: ideja konstruiranja eksplicitnih Runge–Kutta metoda str-ti red je dobiti aproksimacije vrijednosti , x(Izjava problema x+1) prema formuli oblika

…………………………………………….

Ovdje a Na pruženom segmentu , b nj , str Na pruženom segmentu, – neki fiksni brojevi (parametri).

Prilikom konstruiranja Runge–Kutta metoda, parametri funkcije ( a Na pruženom segmentu , b nj , str Na pruženom segmentu) odabiru se na takav način da se dobije željeni redoslijed aproksimacije.

Runge–Kuttina shema četvrtog reda točnosti:

Primjer. Riješite Cauchyjev problem:

Razmotrimo tri metode: eksplicitnu Eulerovu metodu, modificiranu Eulerovu metodu, Runge–Kutta metodu.

Točno rješenje:

Formule za izračun koristeći eksplicitnu Eulerovu metodu za ovaj primjer:

Formule za izračun modificirane Eulerove metode:

Formule za izračun Runge-Kutta metode:

y1 – Eulerova metoda, y2 – modificirana Eulerova metoda, y3 – Runge Kuttina metoda.

Vidi se da je najtočnija metoda Runge–Kutta.

Numeričke metode rješavanja sustava ODE prvog reda

Razmotrene metode također se mogu koristiti za rješavanje sustava diferencijalnih jednadžbi prvog reda.

Pokažimo ovo za slučaj sustava dviju jednadžbi prvog reda:

Eksplicitna Eulerova metoda:

Modificirana Eulerova metoda:

Runge-Kuttina shema četvrtog reda točnosti:

Cauchyjevi problemi za jednadžbe višeg reda također se svode na rješavanje sustava ODE jednadžbi. Na primjer, razmotrite Cauchyjev problem za jednadžbu drugog reda

Uvedimo drugu nepoznatu funkciju. Tada se Cauchyjev problem zamjenjuje sljedećim:

one. u smislu prethodnog problema: .

Primjer. Pronađite rješenje Cauchyjevog problema:

Na segmentu.

Točno rješenje:

Stvarno:

Riješimo problem eksplicitnom Eulerovom metodom, modificiranom Eulerovom i Runge-Kutta metodom s korakom h=0,2.

Predstavimo funkciju.

Tada dobivamo sljedeći Cauchyjev problem za sustav od dva ODE-a prvog reda:

Eksplicitna Eulerova metoda:

Modificirana Eulerova metoda:

Runge-Kutta metoda:

Eulerov krug:

Modificirana Eulerova metoda:

Shema Runge-Kutta:

Max (y-y teorija)=4*10 -5

Metoda konačnih razlika za rješavanje rubnih problema za ODE

Primjeri postavljanja Cauchyjevog problema: pronaći rješenje linearne diferencijalne jednadžbe

zadovoljavajući rubne uvjete:. (2)

Teorema. Neka . Zatim postoji jedinstveno rješenje problema.

Taj se problem svodi, na primjer, na problem određivanja progiba grede koja je na svojim krajevima zglobno pričvršćena.

Glavne faze metode konačnih razlika:

1) područje kontinuirane promjene argumenta () zamijenjeno je diskretnim skupom točaka koje se nazivaju čvorovi: .

2) Željena funkcija kontinuiranog argumenta x približno se zamjenjuje funkcijom diskretnog argumenta na danoj mreži, tj. . Funkcija se naziva mrežna funkcija.

3) Izvorna diferencijalna jednadžba zamijenjena je jednadžbom razlike s obzirom na mrežnu funkciju. Ova se zamjena naziva diferentnom aproksimacijom.

Dakle, rješavanje diferencijalne jednadžbe svodi se na pronalaženje vrijednosti mrežne funkcije u čvorovima mreže, koje se nalaze iz rješavanja algebarskih jednadžbi.

Aproksimacija derivacija.

Da biste aproksimirali (zamijenili) prvu derivaciju, možete koristiti formule:

- derivacija desne razlike,

- lijeva diferencirana derivacija,

Centralna diferentna derivacija.

to jest, postoji mnogo mogućih načina za aproksimaciju derivacije.

Sve ove definicije slijede iz koncepta derivacije kao granice: .

Na temelju aproksimacije razlike prve derivacije možemo konstruirati aproksimaciju razlike druge derivacije:

Slično, možemo dobiti aproksimacije derivacija višeg reda.

Definicija. Pogreška aproksimacije n-te derivacije je razlika: .

Za određivanje reda aproksimacije koristi se proširenje u Taylorov niz.

Razmotrimo aproksimaciju desne razlike prve derivacije:

one. desna diferentna derivacija ima prvo od h poredak aproksimacije.

Isto vrijedi i za lijevu diferencijsku derivaciju.

Centralna razlika izvodnica ima aproksimacija drugog reda.

Aproksimacija druge derivacije prema formuli (3) također ima drugi red aproksimacije.

Da bi se diferencijalna jednadžba aproksimirala, potrebno je sve njene derivacije zamijeniti njihovim aproksimacijama. Razmotrimo problem (1), (2) i zamijenimo derivacije u (1):

Kao rezultat dobivamo:

(4)

Redoslijed aproksimacije izvornog problema je 2, jer druga i prva derivacija zamjenjuju se redom 2, a ostatak - točno.

Tako je umjesto diferencijalnih jednadžbi (1), (2) dobiven sustav linearnih jednadžbi za određivanje u čvorovima mreže.

Dijagram se može predstaviti kao:

tj. dobili smo sustav linearnih jednadžbi s matricom:

Ova matrica je trodijagonalna, tj. svi elementi koji se ne nalaze na glavnoj dijagonali i dvjema njoj susjednim dijagonalama jednaki su nuli.

Rješavanjem dobivenog sustava jednadžbi dobivamo rješenje izvornog problema.

laboratorij 1

Numeričke metode rješavanja

obične diferencijalne jednadžbe (4 sata)

Pri rješavanju mnogih fizikalnih i geometrijskih problema, potrebno je tražiti nepoznatu funkciju na temelju zadanog odnosa između nepoznate funkcije, njezinih izvodnica i nezavisnih varijabli. Taj se omjer naziva diferencijalna jednadžba , a naziva se pronalaženje funkcije koja zadovoljava diferencijalnu jednadžbu rješavanje diferencijalne jednadžbe.

Obična diferencijalna jednadžba zove jednakost

, (1)

u kojoj

je nezavisna varijabla koja se mijenja u određenom segmentu, i - nepoznata funkcija , x ( Izjava problema ) a njezin prvi Na pruženom segmentu izvedenice. nazvao red jednadžbe .

Zadatak je pronaći funkciju y koja zadovoljava jednakost (1). Štoviše, bez posebnog navođenja ovoga, pretpostavit ćemo da željeno rješenje ima jedan ili onaj stupanj glatkoće koji je potreban za konstrukciju i "zakonitu" primjenu jedne ili druge metode.

Postoje dvije vrste običnih diferencijalnih jednadžbi

Jednadžbe bez početnih uvjeta

Jednadžbe s početnim uvjetima.

Jednadžbe bez početnih uvjeta su jednadžbe oblika (1).

Jednadžba s početnim uvjetima je jednadžba oblika (1), u kojoj je potrebno pronaći takvu funkciju

, koji za neke zadovoljava sljedeće uvjete: ,

one. u točki

funkcija i njezine prve derivacije poprimaju unaprijed određene vrijednosti.

Cauchyjevi problemi

Pri proučavanju metoda rješavanja diferencijalnih jednadžbi približnim metodama glavni zadatak broji Cauchyjev problem.

Razmotrimo najpopularniju metodu za rješavanje Cauchyjevog problema - metodu Runge-Kutta. Ova vam metoda omogućuje konstruiranje formula za izračunavanje približnog rješenja gotovo bilo kojeg reda točnosti.

Izvedimo formule Runge-Kutta metode drugog reda točnosti. Da bismo to učinili, predstavljamo rješenje kao dio Taylorovog niza, odbacujući članove s redom višim od drugog. Zatim približna vrijednost željene funkcije u točki Izjava problema 1 može se napisati kao:

(2)

Druga derivacija , x "( Izjava problema 0 ) može se izraziti kroz derivaciju funkcije f ( Izjava problema , , x ) , međutim, u metodi Runge-Kutta, umjesto derivacije, koristi se razlika

odabir vrijednosti parametara prema tome

Tada se (2) može prepisati kao:

, x 1 = , x 0 + h [ β f ( Izjava problema 0 , , x 0 ) + α f ( Izjava problema 0 + γh , , x 0 + δh )], (3)

Gdje α , β , γ I δ – neki parametri.

Uzimajući u obzir desnu stranu (3) kao funkciju argumenta h , raščlanimo to na stupnjeve h :

, x 1 = , x 0 +( α + β ) h f ( Izjava problema 0 , , x 0 ) + αh 2 [ γ f x ( Izjava problema 0 , , x 0 ) + δ f y ( Izjava problema 0 , , x 0 )],

i odaberite parametre α , β , γ I δ tako da je ovo proširenje blizu (2). Iz toga slijedi da

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( Izjava problema 0 , , x 0 ).

Pomoću ovih jednadžbi izražavamo β , γ I δ preko parametara α , dobivamo

, x 1 = , x 0 + h [(1 - α ) f ( Izjava problema 0 , , x 0 ) + α f ( Izjava problema 0 +, , x 0 + f ( Izjava problema 0 , , x 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

Sada, ako umjesto ( Izjava problema 0 , , x 0 ) u (4) zamjena ( Izjava problema 1 , , x 1 ), dobivamo formulu za izračunavanje , x 2 – približna vrijednost željene funkcije u točki Izjava problema 2 .

U općem slučaju Runge-Kutta metoda se primjenjuje na proizvoljnu particiju segmenta [ Izjava problema 0 , X ] na Na pruženom segmentu dijelova, tj. s promjenjivim korakom

x 0 , x 1 , …, x n ; h i = x i+1 – x i, x n = X. (5)

Mogućnosti α odabrani su jednaki 1 ili 0,5. Zapišimo konačno formule za izračun Runge-Kutta metode drugog reda s promjenjivim koracima za α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , y i + f(x i , y i)), (6.1)

x = 0, 1,…, n -1.

I α =0,5:

y i+1 =y i + , (6.2)

x = 0, 1,…, Na pruženom segmentu -1.

Najčešće korištene formule Runge-Kutta metode su formule četvrtog reda točnosti:

y i+1 =y i + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 =f(x i , y i), k 2 = f(x i + , y i + k 1), (7)

k 3 = f(x i + , y i + k 2), k 4 = f(x i +h, y i +hk 3).

Za Runge-Kutta metodu, Rungeovo pravilo je primjenjivo za procjenu pogreške. Neka , x ( Izjava problema ; h ) – približna vrijednost rješenja u točki Izjava problema , dobivenih formulama (6.1), (6.2) ili (7) s korakom h , A str – redoslijed točnosti odgovarajuće formule. Zatim greška R ( h ) vrijednosti , x ( Izjava problema ; h ) može se procijeniti pomoću približne vrijednosti , x ( Izjava problema ; 2 h ) rješenja u točki Izjava problema , dobivenih u koracima 2 h :

(8)

Gdje str =2 za formule (6.1) i (6.2) i str =4 za (7).

Uvod

Pri rješavanju znanstvenih i inženjerskih problema često je potrebno matematički opisati neki dinamički sustav. To je najbolje učiniti u obliku diferencijalnih jednadžbi ( DU) ili sustave diferencijalnih jednadžbi. Najčešće se ovaj problem javlja pri rješavanju problema vezanih uz modeliranje kinetike kemijskih reakcija i raznih fenomena prijenosa (topline, mase, količine gibanja) - prijenosa topline, miješanja, sušenja, adsorpcije, pri opisivanju kretanja makro- i mikročestica.

U nekim slučajevima, diferencijalna jednadžba može se transformirati u oblik u kojem je najveća derivacija izražena eksplicitno. Ovaj oblik pisanja naziva se jednadžba razriješena s obzirom na najveću derivaciju (u ovom slučaju, najveća derivacija je odsutna na desnoj strani jednadžbe):

Rješenje obične diferencijalne jednadžbe je funkcija y(x) koja, za bilo koji x, zadovoljava ovu jednadžbu u određenom konačnom ili beskonačnom intervalu. Proces rješavanja diferencijalne jednadžbe naziva se integriranje diferencijalne jednadžbe.

Povijesno gledano, prvi i najjednostavniji način numeričkog rješavanja Cauchyjevog problema za ODE prvog reda je Eulerova metoda. Temelji se na aproksimaciji derivacije omjerom konačnih prirasta zavisne (y) i nezavisne (x) varijable između čvorova uniformne mreže:

gdje je y i+1 željena vrijednost funkcije u točki x i+1.

Točnost Eulerove metode može se poboljšati ako se koristi točnija integracijska formula za aproksimaciju integrala - trapezoidna formula.

Ispostavilo se da je ova formula implicitna u odnosu na y i+1 (ova vrijednost je i na lijevoj i na desnoj strani izraza), odnosno, to je jednadžba u odnosu na y i+1, koja se može riješiti, npr. numerički, pomoću neke iterativne metode (u takvom obliku može se smatrati iterativnom formulom metode jednostavne iteracije).

Sastav nastavnog rada: Nastavni rad sastoji se od tri dijela. Prvi dio sadrži kratak opis metoda. U drugom dijelu formulacija i rješenje problema. U trećem dijelu - implementacija programske opreme u računalnom jeziku

Svrha kolegija: proučiti dvije metode rješavanja diferencijalnih jednadžbi - Euler-Cauchyjevu metodu i poboljšanu Eulerovu metodu.

1. Teorijski dio

Numeričko razlikovanje

Diferencijalna jednadžba je jednadžba koja sadrži jednu ili više derivacija. Ovisno o broju nezavisnih varijabli, diferencijalne jednadžbe dijele se u dvije kategorije.

Obične diferencijalne jednadžbe (ODE)

Parcijalne diferencijalne jednadžbe.

Obične diferencijalne jednadžbe su one jednadžbe koje sadrže jednu ili više derivacija željene funkcije. Mogu se napisati kao

nezavisna varijabla

Najviši red uključen u jednadžbu (1) naziva se red diferencijalne jednadžbe.

Najjednostavniji (linearni) ODE je jednadžba (1) reda riješena s obzirom na derivaciju

Rješenje diferencijalne jednadžbe (1) je svaka funkcija koja je nakon zamjene u jednadžbu pretvara u identitet.

Glavni problem povezan s linearnim ODE-om poznat je kao Kasha problem:

Pronađite rješenje jednadžbe (2) u obliku funkcije koja zadovoljava početni uvjet (3)

Geometrijski to znači da je potrebno pronaći integralnu krivulju koja prolazi kroz točku ) kada je zadovoljena jednakost (2).

Numerički sa stajališta problema Kasha znači: potrebno je konstruirati tablicu vrijednosti funkcije koja zadovoljava jednadžbu (2) i početni uvjet (3) na segmentu s određenim korakom. Obično se pretpostavlja da je početni uvjet naveden na lijevom kraju segmenta.

Najjednostavnija numerička metoda za rješavanje diferencijalne jednadžbe je Eulerova metoda. Temelji se na ideji grafičkog konstruiranja rješenja diferencijalne jednadžbe, ali ova metoda također pruža način pronalaska željene funkcije u numeričkom obliku ili u tablici.

Neka je dana jednadžba (2) s početnim uvjetom, odnosno postavljen je Kasha problem. Najprije riješimo sljedeći problem. Pronađite na najjednostavniji način približnu vrijednost rješenja u određenoj točki gdje je relativno mali korak. Jednadžba (2) zajedno s početnim uvjetom (3) određuje smjer tangente željene integralne krivulje u točki s koordinatama

Jednadžba tangente ima oblik

Krećući se duž ove tangente, dobivamo približnu vrijednost rješenja u točki:

Imajući približno rješenje u točki, možete ponoviti prethodno opisani postupak: konstruirajte ravnu liniju koja prolazi kroz tu točku s kutnim koeficijentom i iz nje pronađite približnu vrijednost rješenja u točki

. Imajte na umu da ova linija nije tangenta na pravu integralnu krivulju, budući da nam točka nije dostupna, ali ako je dovoljno mala, rezultirajuće približne vrijednosti bit će blizu točnih vrijednosti rješenja.

Nastavljajući ovu ideju, izgradimo sustav jednako udaljenih točaka

Dobivanje tablice vrijednosti tražene funkcije

Eulerova metoda sastoji se od cikličke primjene formule

Slika 1. Grafička interpretacija Eulerove metode

Metode numeričke integracije diferencijalnih jednadžbi, u kojima se rješenja dobivaju od jednog čvora do drugog, nazivaju se korak po korak. Eulerova metoda je najjednostavniji predstavnik metoda korak po korak. Značajka bilo koje metode korak po korak je da je početna vrijednost u formuli (5) sama po sebi približna, počevši od drugog koraka, odnosno da se pogreška u svakom sljedećem koraku sustavno povećava. Najčešće korištena metoda za ocjenu točnosti korak-po-korak metoda za približno numeričko rješavanje ODE je metoda prolaska zadanog segmenta dva puta s korakom i s korakom

1.1 Poboljšana Eulerova metoda

Glavna ideja ove metode: sljedeća vrijednost izračunata formulom (5) bit će točnija ako se vrijednost derivacije, odnosno kutni koeficijent ravne linije koja zamjenjuje integralnu krivulju na segmentu, ne izračunava uz lijevi rub (to jest, u točki), ali u središtu segmenta. Ali budući da se vrijednost derivacije između točaka ne izračunava, prelazimo na dvostruke presjeke sa središtem u kojem je točka, a jednadžba ravne crte poprima oblik:

I formula (5) poprima oblik

Formula (7) primjenjuje se samo za , stoga se iz nje ne mogu dobiti vrijednosti, stoga se pronalaze pomoću Eulerove metode, a za dobivanje točnijeg rezultata čine ovo: od početka, pomoću formule (5) nalaze vrijednost

(8)

U točki i zatim se nalazi prema formuli (7) s koracima

(9)

Nakon što su pronađeni daljnji izračuni na proizveden po formuli (7)

Zavod za fizičku kemiju SFU (RSU)
NUMERIČKE METODE I PROGRAMIRANJE
Materijali za nastavu
Predavač – čl. vlč. Shcherbakov I.N.

RJEŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI

Izjava problema

Pri rješavanju znanstvenih i inženjerskih problema često je potrebno matematički opisati neki dinamički sustav. To je najbolje učiniti u obliku diferencijalnih jednadžbi ( DU) ili sustave diferencijalnih jednadžbi. Najčešće se ovaj problem javlja pri rješavanju problema vezanih uz modeliranje kinetike kemijskih reakcija i raznih fenomena prijenosa (topline, mase, količine gibanja) - prijenosa topline, miješanja, sušenja, adsorpcije, pri opisivanju kretanja makro- i mikročestica.

Obična diferencijalna jednadžba(ODE) n-tog reda je sljedeća jednadžba koja sadrži jednu ili više derivacija željene funkcije y(x):

Ovdje y(n) označava derivaciju reda n neke funkcije y(x), x je nezavisna varijabla.

U nekim slučajevima, diferencijalna jednadžba može se transformirati u oblik u kojem je najveća derivacija izražena eksplicitno. Ovaj oblik zapisa naziva se jednadžba, riješeno u odnosu na najveću derivaciju(u ovom slučaju, najveća derivacija je odsutna na desnoj strani jednadžbe):

Upravo je ovaj oblik bilježenja prihvaćen kao standard kada se razmatraju numeričke metode za rješavanje ODE.

Linearna diferencijalna jednadžba je jednadžba koja je linearna u odnosu na funkciju y(x) i sve njezine derivacije.

Na primjer, ispod su linearne ODE prvog i drugog reda

Rješavanje obične diferencijalne jednadžbe je funkcija y(x) koja, za bilo koji x, zadovoljava ovu jednadžbu u određenom konačnom ili beskonačnom intervalu. Postupak rješavanja diferencijalne jednadžbe naziva se integracijom diferencijalne jednadžbe.

Opće rješenje ODE N-ti red sadrži n proizvoljnih konstanti C 1 , C 2 , …, C n

Ovo očito slijedi iz činjenice da je neodređeni integral jednak antiderivaciji integranda plus konstanti integracije

Budući da je za rješavanje diferencijalnih jednadžbi n-tog reda potrebno n integracija, u općem rješenju pojavljuje se n integracijskih konstanti.

Privatno rješenje ODE se dobiva iz općeg ako se konstantama integracije daju određene vrijednosti definiranjem nekih dodatnih uvjeta, čiji nam broj omogućuje izračunavanje svih neizvjesnih konstanti integracije.

Egzaktno (analitičko) rješenje (opće ili partikularne) diferencijalne jednadžbe podrazumijeva dobivanje željenog rješenja (funkcije y(x)) u obliku izraza iz elementarnih funkcija. To nije uvijek moguće čak ni za jednadžbe prvog reda.

Numeričko rješenje DE (kvocijent) sastoji se u izračunavanju funkcije y(x) i njezinih derivacija u nekim danim točkama koje leže na određenom segmentu. To jest, zapravo, rješenje diferencijalne jednadžbe n-tog reda oblika dobiva se u obliku sljedeće tablice brojeva (stupac vrijednosti najviše derivacije izračunava se zamjenom vrijednosti u jednadžba):

Na primjer, za diferencijalnu jednadžbu prvog reda, tablica rješenja će imati dva stupca - x i y.

Skup vrijednosti apscise u kojem je određena vrijednost funkcije naziva se mrežica, na kojem je definirana funkcija y(x). Same koordinate nazivaju se čvorovi mreže. Najčešće se koriste zbog praktičnosti uniformne rešetke, u kojem je razlika između susjednih čvorova konstantna i naziva se razmak mreže ili korak integracije diferencijalna jednadžba

ili , x= 1, …, N

Za utvrđivanje privatno rješenje potrebno je postaviti dodatne uvjete koji će omogućiti izračun integracijskih konstanti. Štoviše, mora postojati točno n takvih uvjeta. Za jednadžbe prvog reda - jedan, za drugi - 2, itd. Ovisno o načinu na koji su zadani pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi, postoje tri vrste problema:

· Cauchyjev problem (početni problem): Treba pronaći ovako nešto privatno rješenje diferencijalna jednadžba koja zadovoljava određene početni uvjeti navedeni u jednoj točki:

odnosno zadana je određena vrijednost nezavisne varijable (x 0) te vrijednost funkcije i svih njezinih izvoda do reda (n-1) u ovoj točki. Ova točka (x 0) se zove primarni. Na primjer, ako se rješava DE 1. reda, tada se početni uvjeti izražavaju kao par brojeva (x 0 , y 0)

Ovakav problem se javlja prilikom rješavanja ODA, koji opisuju, na primjer, kinetiku kemijskih reakcija. U ovom slučaju poznate su koncentracije tvari u početnom trenutku vremena ( t = 0), a potrebno je pronaći koncentracije tvari nakon određenog vremena ( t) . Kao primjer možemo navesti i problem prijenosa topline ili mase (difuzije), jednadžbu gibanja materijalne točke pod utjecajem sila itd.

· Problem granične vrijednosti . U ovom slučaju, vrijednosti funkcije i (ili) njezinih izvoda poznate su u više od jedne točke, na primjer, u početnom i konačnom trenutku vremena, te je potrebno pronaći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe između ovih točaka. Sami dodatni uvjeti u ovom slučaju nazivaju se regionalni (granični) uvjetima. Naravno, problem rubne vrijednosti može se riješiti za ODE najmanje 2. reda. Ispod je primjer ODE drugog reda s rubnim uvjetima (dane su vrijednosti funkcije u dvije različite točke):

· Sturm-Liouvilleov problem (problem svojstvene vrijednosti). Problemi ove vrste slični su problemima graničnih vrijednosti. Pri njihovom rješavanju potrebno je pronaći pri kojim vrijednostima bilo kojeg parametra rješenje DU zadovoljava rubne uvjete (svojstvene vrijednosti) i funkcije koje su rješenje DE za svaku vrijednost parametra (svojstvene funkcije). Na primjer, mnogi problemi u kvantnoj mehanici su problemi svojstvenih vrijednosti.

Numeričke metode za rješavanje Cauchyjevog problema ODE prvog reda

Razmotrimo neke numeričke metode za rješavanje Cauchyjevi problemi(početni problem) obične diferencijalne jednadžbe prvog reda.

(6.2)

Napišimo ovu jednadžbu u općem obliku, riješenu s obzirom na derivaciju (desna strana jednadžbe ne ovisi o prvoj derivaciji):

Potrebno je pronaći vrijednosti funkcije y u zadanim točkama mreže ako su poznate početne vrijednosti, gdje se nalazi vrijednost funkcije y(x) u početnoj točki x 0.

Transformirajmo jednadžbu množenjem s d x

(6.3)

I integriramo lijevu i desnu stranu između i-tog i i+ 1. čvora mreže.

Dobili smo izraz za konstruiranje rješenja na i+1 integracijskom čvoru kroz vrijednosti x i y na i-tom čvoru mreže. Poteškoća je, međutim, u činjenici da je integral na desnoj strani integral implicitno zadane funkcije, koju je općenito nemoguće pronaći u analitičkom obliku. Numeričke metode rješavanja ODE na različite načine aproksimiraju (približuju) vrijednost ovog integrala za konstruiranje formula za numeričku integraciju ODE.

Od mnogih metoda razvijenih za rješavanje ODE-ova prvog reda, razmatramo metode , i . Oni su prilično jednostavni i daju početnu ideju o pristupima rješavanju ovog problema u okviru numeričkog rješenja.

Eulerova metoda , x Povijesno gledano, prvi i najjednostavniji način numeričkog rješavanja Cauchyjevog problema za ODE prvog reda je Eulerova metoda. Temelji se na aproksimaciji derivacije omjerom konačnih priraštaja zavisne ( Izjava problema) i nezavisni (

) varijable između čvorova uniformne mreže:

gdje je y i+1 željena vrijednost funkcije u točki x i+1. Ako sada transformiramo ovu jednadžbu i uzmemo u obzir uniformnost integracijske mreže, dobit ćemo iterativnu formulu pomoću koje možemo izračunati y i+1

, ako je y i poznat u točki x i:

Uspoređujući Eulerovu formulu s ranije dobivenim općim izrazom, jasno je da se za približni izračun integrala u Eulerovoj metodi koristi najjednostavnija integracijska formula - formula pravokutnika duž lijevog ruba segmenta.

Grafička interpretacija Eulerove metode također je jednostavna (vidi sliku ispod). Doista, na temelju oblika jednadžbe koja se rješava (), slijedi da je vrijednost vrijednost derivacije funkcije y(x) u točki x=x i - , te je stoga jednaka tangensu tangentni kut povučen na graf funkcije y(x) u točki x =x i .

Odatle dolazi Eulerova formula. Dakle, bit Eulerove metode je zamijeniti funkciju y(x) na segmentu integracije s ravnom crtom koja tangenta na graf u točki x=x i. Ako se željena funkcija jako razlikuje od linearne na segmentu integracije, tada će pogreška izračuna biti značajna. Pogreška Eulerove metode izravno je proporcionalna koraku integracije:

Greška~h

Proces izračuna je strukturiran na sljedeći način. Za zadane početne uvjete x 0 I y 0 može se izračunati

Dakle, tablica vrijednosti funkcije y(x) se konstruira s određenim korakom ( h) Autor Izjava problema na segmentu. Pogreška u definiranju vrijednosti y(x i) h u ovom slučaju, što je manja odabrana duljina koraka, to će biti manja

(što je određeno točnošću integracijske formule).

Za veliko h, Eulerova metoda je vrlo neprecizna. Daje sve točniju aproksimaciju kako se korak integracije smanjuje. Ako je segment prevelik, tada se svaki odsječak dijeli na N integracijskih segmenata i na svaki od njih se primjenjuje Eulerova formula s korakom, odnosno korak integracije h uzima se manji od koraka mreže na kojoj je rješenje je određen.

Primjer:

Koristeći Eulerovu metodu, konstruirajte približno rješenje za sljedeći Cauchyjev problem:

Na mreži s korakom od 0,1 u intervalu (6,5)

Otopina:

Ova je jednadžba već napisana u standardnom obliku, riješena s obzirom na derivaciju željene funkcije.

Prema tome, za jednadžbu koja se rješava imamo

Uzmimo korak integracije jednak koraku mreže h = 0,1. U ovom slučaju, samo će se jedna vrijednost izračunati za svaki čvor mreže (N=1). Za prva četiri čvora mreže izračuni će biti sljedeći: .

Puni rezultati (točni do pete decimale) dani su u trećem stupcu - h =0,1 (N =1). Za usporedbu, drugi stupac tablice prikazuje vrijednosti izračunate iz analitičkog rješenja ove jednadžbe

U drugom dijelu tablice prikazana je relativna pogreška dobivenih rješenja. Može se vidjeti da je kod h =0,1 pogreška vrlo velika, dosežući 100% za prvi čvor x =0,1.

Izjava problema	Tablica 1 Rješenje jednadžbe Eulerovom metodom (za stupce je naznačen korak integracije i broj segmenata N integracije između čvorova mreže) Točno	0,1	0,05	0,025	0,00625	0,0015625	0,0007813	0,0001953
		1	2	4	16	64	128	512
0	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000
0,1	0,004837	0,000000	0,002500	0,003688	0,004554	0,004767	0,004802	0,004829
0,2	0,018731	0,010000	0,014506	0,016652	0,018217	0,018603	0,018667	0,018715
0,3	0,040818	0,029000	0,035092	0,037998	0,040121	0,040644	0,040731	0,040797
0,4	0,070320	0,056100	0,063420	0,066920	0,069479	0,070110	0,070215	0,070294
0,5	0,106531	0,090490	0,098737	0,102688	0,105580	0,106294	0,106412	0,106501
0,6	0,148812	0,131441	0,140360	0,144642	0,147779	0,148554	0,148683	0,148779
0,7	0,196585	0,178297	0,187675	0,192186	0,195496	0,196314	0,196449	0,196551
0,8	0,249329	0,230467	0,240127	0,244783	0,248202	0,249048	0,249188	0,249294
0,9	0,306570	0,287420	0,297214	0,301945	0,305423	0,306284	0,306427	0,306534
1	0,367879	0,348678	0,358486	0,363232	0,366727	0,367592	0,367736	0,367844
otopina
Izjava problema	h	0,1	0,05	0,025	0,00625	0,0015625	0,0007813	0,0001953
	Relativne pogreške izračunatih vrijednosti funkcije za različite h	1	2	4	16	64	128	512
0,1		100,00%	48,32%	23,76%	5,87%	1,46%	0,73%	0,18%
0,2		46,61%	22,55%	11,10%	2,74%	0,68%	0,34%	0,09%
0,3		28,95%	14,03%	6,91%	1,71%	0,43%	0,21%	0,05%
0,4		20,22%	9,81%	4,83%	1,20%	0,30%	0,15%	0,04%
0,5		15,06%	7,32%	3,61%	0,89%	0,22%	0,11%	0,03%
0,6		11,67%	5,68%	2,80%	0,69%	0,17%	0,09%	0,02%
0,7		9,30%	4,53%	2,24%	0,55%	0,14%	0,07%	0,02%
0,8		7,57%	3,69%	1,82%	0,45%	0,11%	0,06%	0,01%
0,9		6,25%	3,05%	1,51%	0,37%	0,09%	0,05%	0,01%
1		5,22%	2,55%	1,26%	0,31%	0,08%	0,04%	0,01%

N

(6.6)

Ispostavilo se da je ova formula implicitna u odnosu na y i+1 (ova vrijednost je i na lijevoj i na desnoj strani izraza), odnosno, to je jednadžba u odnosu na y i+1, koja se može riješiti, npr. numerički, nekom iterativnom metodom (u takvom obliku može se smatrati iterativnom formulom metode jednostavne iteracije). Međutim, možete to učiniti drugačije i približno izračunati vrijednost funkcije u čvoru i+1 koristeći uobičajenu formulu:

,

koji se zatim može koristiti u proračunu prema (6.6).

Ovo daje metodu Guna ili Eulerova metoda s preračunavanjem. Za svaki integracijski čvor izvodi se sljedeći lanac izračuna

(6.7)

Zahvaljujući točnijoj formuli integracije, pogreška Hünove metode proporcionalna je kvadratu koraka integracije.

Greška~ h 2

Pristup korišten u Günovoj metodi koristi se za konstrukciju metoda tzv prognoza i korekcija, o čemu će biti riječi kasnije.

Za veliko h, Eulerova metoda je vrlo neprecizna. Daje sve točniju aproksimaciju kako se korak integracije smanjuje. Ako je segment prevelik, tada se svaki odsječak dijeli na N integracijskih segmenata i na svaki od njih se primjenjuje Eulerova formula s korakom, odnosno korak integracije h uzima se manji od koraka mreže na kojoj je rješenje je određen.

Provedimo izračune za jednadžbu () pomoću Hünove metode.

S korakom integracije h =0,1 na prvom čvoru mreže x 1 dobivamo:

Što je puno točnije od vrijednosti dobivenih Eulerovom metodom s istim korakom integracije. Tablica 2 u nastavku prikazuje usporedne rezultate izračuna za h = 0,1 Eulerove i Günove metode.

Tablica 2. Rješenje jednadžbe Eulerovom i Günovom metodom

Izjava problema	Točno	Günova metoda		Eulerova metoda
		, x	rel. greška	, x	rel. greška
0	0,000000	0,00000		0,00000
0,1	0,004837	0,00500	3,36%	0,00000	100,00%
0,2	0,018731	0,01903	1,57%	0,01000	46,61%
0,3	0,040818	0,04122	0,98%	0,02900	28,95%
0,4	0,070320	0,07080	0,69%	0,05610	20,22%
0,5	0,106531	0,10708	0,51%	0,09049	15,06%
0,6	0,148812	0,14940	0,40%	0,13144	11,67%
0,7	0,196585	0,19721	0,32%	0,17830	9,30%
0,8	0,249329	0,24998	0,26%	0,23047	7,57%
0,9	0,306570	0,30723	0,21%	0,28742	6,25%
1	0,367879	0,36854	0,18%	0,34868	5,22%

Uočimo značajno povećanje točnosti proračuna Hünove metode u usporedbi s Eulerovom metodom. Dakle, za čvor x =0,1 relativno odstupanje vrijednosti funkcije određeno Huynovom metodom ispada 30 (!) puta manje. Ista točnost izračuna pomoću Eulerove formule postiže se kada je broj integracijskih segmenata N približno 30. Prema tome, pri korištenju Hünove metode uz istu točnost izračuna trebat će približno 15 puta manje računalnog vremena nego pri korištenju Eulerove metode. .

Provjera stabilnosti otopine

Rješenje ODE-a u nekoj točki x i naziva se stabilnim ako je vrijednost funkcije pronađena u toj točki y i malo se mijenja kako se korak integracije smanjuje. Stoga je za provjeru stabilnosti potrebno izvršiti dva izračuna vrijednosti ( y i) – s korakom integracije h i sa smanjenom (na primjer, dva) veličinom koraka

Kao kriterij stabilnosti može se koristiti malenost relativne promjene dobivenog rješenja kada se smanji korak integracije (ε je unaprijed određena mala vrijednost)

Ova se provjera može provesti za sva rješenja u cijelom rasponu vrijednosti Izjava problema. Ako uvjet nije ispunjen, tada se korak ponovno dijeli na pola i pronalazi novo rješenje, itd. dok se ne dobije stabilna otopina.

Runge-Kutta metode

Daljnje poboljšanje točnosti rješavanja ODE prvog reda moguće je povećanjem točnosti aproksimativnog izračuna integrala u izrazu.

Već smo vidjeli prednost prelaska s integriranja pomoću formule pravokutnika () na korištenje formule trapeza () pri aproksimaciji ovog integrala.

Koristeći dobro dokazanu Simpsonovu formulu, možete dobiti još točniju formulu za rješavanje Cauchyjevog problema za ODE prvog reda - Runge-Kutta metoda koja se široko koristi u računalnoj praksi.

Prednost višekoraknih Adamsovih metoda za rješavanje ODE je u tome što se u svakom čvoru izračunava samo jedna vrijednost desne strane ODE - funkcija F(x,y). Nedostaci uključuju nemogućnost pokretanja metode s više koraka s jedne početne točke, budući da izračuni pomoću formule k-korak zahtijevaju poznavanje vrijednosti funkcije na k čvorova. Stoga je potrebno dobiti (k-1) rješenje na prvim čvorovima x 1, x 2, ..., x k-1 nekom metodom u jednom koraku, na primjer metodom