Kako pronaći bočnu površinu piramide: formule, primjer problema. Odredite površinu pravilne trokutaste piramide S stranice pov piramide
U ovoj lekciji:
- Problem 1. Pronađite ukupnu površinu piramide
- Problem 2. Pronađite površinu bočne površine pravilne trokutaste piramide
.
Bilješka . Ako trebate riješiti geometrijski problem koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. U zadacima se umjesto simbola "kvadratni korijen" koristi funkcija sqrt() u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama. Za jednostavne radikalne izraze može se koristiti znak "√"..
Problem 1. Nađite ukupnu površinu pravilne piramide
Visina baze pravilne trokutaste piramide je 3 cm, a kut između bočne strane i baze piramide je 45 stupnjeva.Pronađite ukupnu površinu piramide
Riješenje.
U osnovi pravilne trokutaste piramide nalazi se jednakostranični trokut.
Stoga ćemo za rješavanje problema koristiti svojstva pravilnog trokuta: 
Znamo visinu trokuta, odakle možemo pronaći njegovu površinu.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3
Otuda će površina baze biti jednaka:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Prema zadatku, kut OKM je 45 stupnjeva.
Tako:
OK / MK = cos 45
Upotrijebimo tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija i zamijenimo poznate vrijednosti.
OK / MK = √2/2
Uzmimo u obzir da je OK jednak polumjeru upisane kružnice. Zatim
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1
Zatim
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2
Površina bočne strane tada je jednaka polovici umnoška visine i osnovice trokuta.
Sstrana = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Dakle, ukupna površina piramide bit će jednaka
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Odgovor: 3√3 + 18/√6
Problem 2. Nađite površinu bočne površine pravilne piramide
U pravilnoj trokutastoj piramidi visina je 10 cm, a stranica baze 16 cm. . Pronađite površinu bočne površine .Riješenje.
Budući da je baza pravilne trokutaste piramide jednakostraničan trokut, AO je polumjer kružnice opisane oko baze.
(Ovo slijedi iz)
Polumjer kružnice opisane oko jednakostraničnog trokuta nalazimo iz njegovih svojstava
Otuda će duljina bridova pravilne trokutaste piramide biti jednaka:
AM 2 = MO 2 + AO 2
visina piramide poznata je po uvjetu (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)
Svaka stranica piramide je jednakokračni trokut. Pronalazimo površinu jednakokračnog trokuta iz prve formule prikazane u nastavku 
S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)
Budući da su sva tri lica pravilne piramide jednaka, površina bočne površine bit će jednaka
3S = 48 √(91/3)
Odgovor: 48 √(91/3)
Zadatak 3. Pronađite ukupnu površinu pravilne piramide
Stranica pravilne trokutaste piramide je 3 cm, a kut između bočne strane i baze piramide je 45 stupnjeva. Pronađite ukupnu površinu piramide.
Riješenje.
Budući da je piramida pravilna, u njenoj osnovi nalazi se jednakostranični trokut. Stoga je površina baze 
Dakle = 9 * √3/4
Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Prema zadatku, kut OKM je 45 stupnjeva.
Tako:
OK / MK = cos 45
Iskoristimo
Cilindar je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravninama i cilindričnom plohom. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo nekoliko problema kao primjer.
Cilindar ima tri površine: vrh, bazu i bočnu površinu.
Vrh i baza cilindra su krugovi i lako ih je prepoznati.
Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2. Stoga će formula za površinu dva kruga (vrh i baza cilindra) biti πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljena stijenka cilindra. Kako bismo bolje zamislili ovu plohu, pokušajmo je transformirati da dobije prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar obična konzerva koja nema ni gornji ni donji poklopac. Napravimo okomiti rez na bočnoj stijenci od vrha do dna limenke (Korak 1 na slici) i pokušajmo što više otvoriti (ispraviti) dobivenu figuru (Korak 2).
Nakon što se staklenka potpuno otvori, vidjet ćemo poznatu figuru (3. korak), ovo je pravokutnik. Površina pravokutnika je lako izračunati. Ali prije toga, vratimo se na trenutak na izvorni cilindar. Vrh izvornog valjka je kružnica, a znamo da se opseg izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označen crvenom bojom.
Kada se bočna stijenka cilindra potpuno otvori, vidimo da opseg postaje duljina rezultirajućeg pravokutnika. Stranice tog pravokutnika bit će opseg (L = 2πr) i visina valjka (h). Površina pravokutnika jednaka je umnošku njegovih stranica - S = duljina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat toga, dobili smo formulu za izračunavanje površine bočne površine cilindra.
Formula za bočnu površinu cilindra
S strana = 2πrh
Ukupna površina cilindra
Na kraju, ako zbrojimo površinu sve tri površine, dobivamo formulu za ukupnu površinu cilindra. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini baze cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz piše identično formuli 2πr (r + h).
Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – polumjer cilindra, h – visina cilindra
Primjeri izračunavanja površine cilindra
Da bismo razumjeli gornje formule, pokušajmo izračunati površinu cilindra pomoću primjera.
1. Polumjer baze cilindra je 2, visina je 3. Odredite površinu bočne površine cilindra.
Ukupna površina izračunava se po formuli: S strana. = 2πrh
S strana = 2 * 3,14 * 2 * 34,6. Ukupno primljenih ocjena: 990.
Prilikom pripreme za jedinstveni državni ispit iz matematike, učenici moraju sistematizirati svoje znanje iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, o tome kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih rubova do cijele površine. Ako je situacija s bočnim stranama jasna, budući da su trokuti, tada je baza uvijek drugačija.
Kako pronaći područje baze piramide?
To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trokuta do n-kuta. A ta baza, osim razlike u broju kutova, može biti pravilan lik ili nepravilan. U zadacima Jedinstvenog državnog ispita koji zanimaju školarce postoje samo zadaci s točnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.
Pravilni trokut
Odnosno, jednakostraničan. Ona u kojoj su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide izračunava se formulom:
S = (a 2 * √3) / 4.
Kvadrat
Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:
Proizvoljni pravilni n-kut
Stranica poligona ima istu oznaku. Za broj kutova koristi se latinično slovo n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Što učiniti pri izračunu bočne i ukupne površine?
Budući da je baza pravilan lik, sva lica piramide su jednaka. Štoviše, svaki od njih je jednakokračan trokut, jer su bočni rubovi jednaki. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, trebat će vam formula koja se sastoji od zbroja identičnih monoma. Broj članova određen je brojem stranica baze.
Površina jednakokračnog trokuta izračunava se formulom u kojoj se polovica umnoška baze množi s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotemom. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu je:
S = ½ P*A, gdje je P opseg baze piramide.
Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su zadani bočni bridovi (c) i ravni kut pri njezinu vrhu (α). Zatim morate koristiti sljedeću formulu za izračunavanje bočne površine piramide:
S = n/2 * u 2 sin α .
Zadatak br. 1
Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako njezina baza ima stranicu 4 cm, a apotem ima vrijednost √3 cm.
Riješenje. Morate početi izračunavanjem perimetra baze. Budući da je ovo pravilan trokut, tada je P = 3 * 4 = 12 cm. Budući da je apotem poznat, možemo odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½ * 12 * √3 = 6√3 cm 2.
Za trokut u osnovi dobivate sljedeću vrijednost površine: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete zbrojiti dvije dobivene vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odgovor. 10√3 cm 2.
Problem br. 2
Stanje. Postoji pravilna četverokutna piramida. Duljina donje stranice je 7 mm, bočnog ruba 16 mm. Potrebno je saznati njegovu površinu.
Riješenje. Budući da je poliedar četverokutan i pravilan, baza mu je kvadrat. Nakon što saznate površinu baze i bočnih stranica, moći ćete izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A za bočne strane poznate su sve strane trokuta. Stoga možete koristiti Heronovu formulu za izračunavanje njihovih površina.
Prvi izračuni su jednostavni i dovode do sljedećeg broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost morat ćete izračunati poluopseg: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trokuta: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, pa ćete ga pri izračunavanju konačnog broja morati pomnožiti s 4.
Ispada: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Odgovor. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.
Problem br. 3
Stanje. Za pravilnu četverokutnu piramidu morate izračunati površinu. Poznato je da je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.
Riješenje. Najlakši način je upotrijebiti formulu s umnoškom opsega i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo kompliciraniji.
Morat ćemo se sjetiti Pitagorinog poučka i uzeti u obzir da se sastoji od visine piramide i apoteme, što je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovici stranice kvadrata, budući da visina poliedra pada u njegovu sredinu.
Traženi apotem (hipotenuza pravokutnog trokuta) jednak je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Sada možete izračunati traženu vrijednost: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Odgovor. 96 cm 2.
Problem broj 4
Stanje. Zadana je točna stranica. Stranice njegove baze su 22 mm, bočni rubovi su 61 mm. Kolika je bočna površina ovog poliedra?
Riješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao ono opisano u zadatku br. 2. Samo tamo je dana piramida s kvadratom u bazi, a sada je šesterokut.
Prije svega, osnovna površina izračunava se pomoću gornje formule: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Sada morate saznati poluopseg jednakokračnog trokuta, koji je bočna strana. (22+61*2):2 = 72 cm.Preostaje samo pomoću Heronove formule izračunati površinu svakog takvog trokuta, a zatim ga pomnožiti sa šest i dodati onom dobivenom za bazu.
Izračuni pomoću Heronove formule: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Izračuni koji će dati bočnu površinu: 660 * 6 = 3960 cm 2. Ostaje ih zbrojiti kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.
Odgovor. Baza je 726√3 cm2, bočna ploha 3960 cm2, cjelokupni oplošje 5217 cm2.
U pravilnoj trokutastoj piramidi SABC R- sredina rebra AB, S- vrh.
Poznato je da SR = 6, a bočna površina jednaka je 36
.
Pronađite duljinu segmenta prije Krista.
Napravimo crtež. U pravilnoj piramidi, bočne strane su jednakokračni trokuti.
Segment linije S.R.- medijan spušten na bazu, a time i visina bočne strane.
Bočna površina pravilne trokutaste piramide jednaka je zbroju površina
tri jednake bočne strane S strana = 3 S ABS. Odavde S ABS = 36 : 3 = 12- područje lica.
Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegove baze i visine
S ABS = 0,5 AB SR. Poznavajući područje i visinu, nalazimo stranu baze AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4
Odgovor: 4
Možete pristupiti problemu s druge strane. Neka bazna strana AB = BC = a.
Zatim područje lica S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.
Površina svakog od tri lica jednaka je 3a, površina tri lica je jednaka 9a.
Prema uvjetima problema, površina bočne površine piramide je 36.
S strana = 9a = 36.
Odavde a = 4.
Površina bočne površine proizvoljne piramide jednaka je zbroju površina njezinih bočnih stranica. Ima smisla dati posebnu formulu za izražavanje ove površine u slučaju pravilne piramide. Dakle, neka nam je dana pravilna piramida u čijoj osnovi leži pravilan n-kut sa stranicom jednakom a. Neka je h visina bočne strane, koja se također naziva apotema piramide. Površina jedne bočne plohe jednaka je 1/2ah, a cijela bočna ploha piramide ima površinu jednaku n/2ha. Kako je na opseg baze piramide, možemo napisati pronađenu formulu u obliku:
Bočna površina pravilne piramide jednak je umnošku njezina apotema i polovice opsega baze.
O ukupna površina, onda jednostavno dodamo površinu baze bočnoj.
Upisana i opisana sfera i lopta. Treba primijetiti da središte sfere upisane u piramidu leži u sjecištu simetrala unutarnjih diedarskih kutova piramide. Središte sfere opisane u blizini piramide nalazi se u sjecištu ravnina koje prolaze središtima bridova piramide i okomite su na njih.
Krnja piramida. Ako je piramida presječena ravninom paralelnom s bazom, tada se dio između rezne ravnine i baze naziva krnja piramida. Na slici je prikazana piramida; odbacivanjem njenog dijela koji leži iznad rezne ravnine, dobivamo krnju piramidu. Jasno je da je mala odbačena piramida homotetična velikoj piramidi sa središtem homotetije na vrhu. Koeficijent sličnosti jednak je omjeru visina: k=h 2 /h 1, odnosno bočnih bridova, odnosno drugih odgovarajućih linearnih dimenzija obiju piramida. Znamo da su površine sličnih likova međusobno povezane poput kvadrata linearnih dimenzija; pa su površine baza obiju piramida (tj. površina baza krnje piramide) povezane kao
Ovdje je S 1 područje donje baze, a S 2 područje gornje baze krnje piramide. Bočne plohe piramida su u istom odnosu. Slično pravilo postoji i za volumene.
Volumeni sličnih tijela međusobno su povezani kao kocke svojih linearnih dimenzija; na primjer, volumeni piramida povezani su kao umnožak njihovih visina i površine baza, iz čega se odmah dobiva naše pravilo. Posve je općenite naravi i izravno proizlazi iz činjenice da volumen uvijek ima dimenziju treće potencije duljine. Koristeći ovo pravilo, izvodimo formulu koja izražava volumen krnje piramide kroz visinu i površinu baza.
Neka je zadana krnja piramida visine h i baza S 1 i S 2 . Ako zamislimo da se produži na punu piramidu, tada se koeficijent sličnosti između pune piramide i male piramide lako može pronaći kao korijen omjera S 2 /S 1 . Visina krnje piramide izražava se kao h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Sada imamo za volumen krnje piramide (V 1 i V 2 označavaju volumen pune i male piramide)
formula za volumen krnje piramide
Izvedimo formulu za površinu S bočne plohe pravilne krnje piramide kroz opsege P 1 i P 2 baza i duljinu apoteme a. Rezoniramo na potpuno isti način kao kod izvođenja formule za volumen. Piramidu dopunimo gornjim dijelom, imamo P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, gdje je k koeficijent sličnosti, P 1 i P 2 su perimetri baza, a S 1 i S 2 su površine bočnih ploha cijele dobivene piramide i njezinog gornjeg dijela prema tome. Za bočnu površinu nalazimo (a 1 i a 2 su apoteme piramida, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))
formula za bočnu površinu pravilne krnje piramide
