Vektorid ja toimingud vektoritega. Vektorid Kõik ruumis olevate vektoritega seotud valemid

Vektor – see on suunatud sirgjooneline segment, see tähendab kindla pikkuse ja kindla suunaga segment. Las punkt A Kas vektori algus ja punkt B - selle lõpp, siis tähistatakse vektorit sümboliga või. Vektorit nimetatakse vastupidine vektor ja neid saab määrata .

Sõnastagem mitmeid põhimääratlusi.

Pikkus või moodul vektor nimetatakse segmendi pikkuseks ja tähistatakse... Nullpikkusvektorit (selle olemus on punkt) nimetatakse null ja tal pole suunda. Vektor ühiku pikkust nimetatakseüksik ... Ühikvektor, mille suund langeb kokku vektori suunaga kutsutakse ühikvektor .

Vektorid on kutsutud kollineaarne , kui need asuvad ühel sirgel või paralleelsel sirgel, kirjutage... Kollineaarsed vektorid võivad olla samas või vastassuunas. Nullvektorit peetakse mis tahes vektoriga võrdväärseks.

Vektoreid nimetatakse võrdsetekskui need on kolineaarsed, ühesuunalised ja sama pikkusega.

Kolm ruumis olevat vektorit nimetatakse koplanaarne kui nad asuvad samas tasapinnas või paralleelsetel tasapindadel. Kui kolme vektori hulgas on vähemalt üks null või kaks kollineaarset, siis on sellised vektorid koplanaarsed.

Vaatleme ruumis ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi 0 xyz... Valige koordinaattelgedel 0 x, 0y, 0z ühikvektorid (ühikvektorid) ja tähistage neidvastavalt. Valime suvalise ruumivektori ja sobitame selle päritolu algusega. Projekteerime vektori koordinaattelgedele ja tähistame projektsioone a x, jah, a z vastavalt. Siis on seda lihtne näidata

. (2.25)

See valem on vektorarvutuses põhiline ja seda nimetatakse vektori laiendamine koordinaattelgede osas ... Numbrid a x, jah, a znimetatakse vektorkoordinaadid ... Seega on vektori koordinaadid tema projektsioonid koordinaattelgedel. Vektorite võrdsus (2.25) kirjutatakse sageli kujul

Vektorkoordinaatide ja punktkoordinaatide visuaalseks eristamiseks kasutame lokkides sulgudes vektormärgistust. Kooli geomeetriast tuntud segmendi pikkuse valemi abil leiate avaldise vektori mooduli arvutamiseks:

, (2.26)

see tähendab, et vektori moodul on võrdne tema koordinaatide ruutude summa ruutjuurega.

Tähistame nurgad vektori ja koordinaattelgede vahel α, β, γ vastavalt. Kosinused neid nurki nimetatakse vektoriks juhendid ja nende jaoks on seos täidetud:Selle võrdsuse õigsust saab näidata telje vektorprojektsiooni omaduse abil, mida käsitletakse järgmises lõigus 4.

Andke vektorid kolmemõõtmelises ruumisnende koordinaadid. Nendel toimuvad järgmised toimingud: lineaarne (liitmine, lahutamine, korrutamine arvuga ja vektori projitseerimine teljele või muule vektorile); mittelineaarne - vektorite erinevad saadused (skalaar, vektor, segatud).

1. Lisamine kaks vektorit toodetakse koordinaatsuunas, see tähendab, kui

See valem kehtib suvalise piiratud arvu terminite kohta.

Geomeetriliselt lisatakse kaks vektorit vastavalt kahele reeglile:

a) reegel kolmnurk - saadud vektor, mis koosneb kahe vektori summast, ühendab neist esimese alguse teise otsaga tingimusel, et teise algus langeb kokku esimese vektori lõpuga; vektorite summa jaoks - saadud summaarne vektor seob neist esimese alguse viimase vektor-termini lõpuga tingimusel, et järgmise termini algus langeb kokku eelmise lõpuga;

b) reegel rööpkülik (kahe vektori jaoks) - rööpkülik on ehitatud vektoritele-suumidele nagu samale algusele vähendatud külgedele; nende ühisest päritolust lähtuva rööpküliku diagonaal on vektorite summa.

2. Lahutamine kahest vektorist tehakse koordinaalselt, sarnaselt liitmisele, st kuisiis

Geomeetriliselt lisatakse kaks vektorit juba mainitud rööpküliku reegli järgi, võttes arvesse, et vektorite erinevus on vektorite otsasid ühendav diagonaal ja saadud vektor suunatakse lahutatud otsast redutseeritud lõpuni vektor.

Vektorite lahutamise oluline tagajärg on asjaolu, et kui on teada vektori alguse ja lõpu koordinaadid, siis vektori koordinaatide arvutamiseks lahutage selle alguskoordinaatidest selle päritolu koordinaadid ... Tõepoolest, mis tahes ruumi vektor saab kujutada kahe päritolust pärineva vektori erinevusena:... Vektorkoordinaadid ja langevad kokku punktide koordinaatidegaA ja INkuna päritolu onUmbes(0; 0; 0). Seega tuleks vektorite lahutamise reegli järgi lahutada punkti koordinaadidApunktkoordinaatidestIN.

3. On vektori korrutamine arvuga λ koordineeritult:.

Millal λ> 0 - vektor kaasrežissöör ; λ< 0 - vektor vastupidises suunas ; | λ|> 1 - vektori pikkus aastal suureneb λ aeg;| λ|< 1 - vektori pikkus väheneb λ aeg.

4. Olgu suunatud sirge (telg l), vektor mida annavad lõpu ja alguse koordinaadid. Tähistame punktide projektsioone A ja B telje kohta l vastavalt läbi A’ ja B’ .

Projektsioon vektor telje kohta l on vektori pikkus, mis on võetud märgiga "+", kui vektor ja telg lkaasrežissöör ja "-" märgiga, kui ja l vastupidises suunas.

Kui teljena lvõtke mõni muu vektor, siis saame vektori projektsiooni per vecto r.

Vaatleme prognooside mõningaid põhiomadusi:

1) vektorprojektsioon telje kohta l on võrdne vektori mooduli korrutisega vektori ja telje vahelise nurga koosinus, see tähendab;

2.) vektori projektsioon teljele on positiivne (negatiivne), kui vektor moodustab teljega terava (nüri) nurga, ja kui see nurk on õige, on see võrdne nulliga;

3) mitme vektori summa projektsioon samal teljel on võrdne selle telje projektsioonide summaga.

Formuleerime vektorite saaduste definitsioonid ja teoreemid, mis esindavad vektorite mittelineaarseid toiminguid.

5. Dot toode vektorid janimetatakse arvuks (skalaariks), mis on võrdne nende vektorite pikkuste korrutisega nurga koosinusegaφ nende vahel, see tähendab

. (2.27)

Ilmselt võrdub mistahes nullvektori skalaarruut selle pikkuse ruuduga, kuna antud juhul on nurk , seega on selle koosinus (punktis 2.27) 1.

Teoreem 2.2. Kahe vektori perpendikulaarsuse vajalik ja piisav tingimus on nende skalaarvoode võrdsus nulliga

Tagajärg. Ühikvektorite paariskalaarsed korrutised on võrdsed nulliga, see tähendab

Teoreem 2.3. Kahe vektori punkt korrutisnende koordinaatide järgi antud summa on võrdne nende samanimeliste koordinaatide korrutiste summaga

(2.28)

Vektorite punkti korrutise abil saate arvutada nurga nende vahel. Kui nende koordinaatidega antakse kaks nullist erinevat vektorit, siis nurga koosinusφ vahel:

(2.29)

Järelikult järgitakse mittenullvektorite perpendikulaarsuse tingimustja:

(2.30)

Vektorprojektsiooni leidmine vektori antud suunas , saab läbi viia valemiga

(2.31)

Kasutades vektorite punkti korrutist, leidke pideva jõu töö sirgel rajal.

Oletame, et pideva jõu mõjul materiaalne punkt liigub positsioonist sirgjooneliselt Aasendisse B. Jõuvektor moodustab nurga φ nihkevektoriga (joonis 2.14). Füüsika väidab, et jõutöö liikumiselon võrdne.

Sellest tulenevalt on selle rakenduspunkti sirgjoonelise liikumisega konstantse jõu töö võrdne jõuvektori skalaarse korrutisega nihkevektori poolt.

Näide 2.9.Kasutades vektorite punkti korrutist, leidke tipu nurkA rööpkülikABCD, ehitama vektorite peal

Otsus.Arvutame vektorite moodulid ja nende skalaarkorrutise lause (2.3) järgi:

Seega saame valemi (2.29) järgi soovitud nurga koosinuse

Näide 2.10.Ühe tonni kodujuustu tootmiseks kasutatud tooraine ja materiaalsete ressursside kulud on toodud tabelis 2.2 (rubla).

Kui suur on nende ressursside kogukulu ühe tonni kodujuustu valmistamiseks?

Tabel 2.2

Otsus... Tutvustagem kahte vektorit: ressursikulude vektor toodangu tonni kohta ja vastava ressursi ühikuhinna vektor.

Siis . Ressursikulu kokku, mis on vektorite punkt korrutis... Me arvutame selle valemi (2.28) järgi vastavalt teoreemile 2.3:

Seega on ühe tonni kodujuustu tootmise kogumaksumus 279 541,5 rubla

Märge... Näites 2.10 läbi viidud vektoritega toiminguid saab teha personaalarvutis. Vektorite punkttoote leidmiseks MS Excelis kasutage funktsiooni SUMPRODUCT (), kus argumentidena on määratud maatrikselementide vahemike aadressid, mille tulemuste summa tuleb leida. MathCADis viiakse kahe vektori punkt korrutis läbi Matrixi tööriistariba vastava operaatori abil

Näide 2.11. Arvutage jõuga tehtud töökui selle rakenduspunkt liigub sirgjooneliselt asendist A(2; 4; 6) asendisse A(4; 2; 7). Millise nurga all AB suunatud jõud ?

Otsus.Leidke nihkevektor, lahutades selle otsa koordinaatidestalguskoordinaadid

... Valemi (2.28) järgi (tööühikud).

Nurk φ vahel ja leiame valemi (2.29) järgi, see tähendab

6. Kolm mittekaplanulaarset vektorit, näidatud järjekorras, vormisparem kolm, kui kolmanda vektori lõpust vaadatuna lühim pööre esimesest vektorist teisele vektorilesooritatakse vastupäeva javasakule kui päripäeva.

Vektor toode vektor vektori järgi vektorit nimetatakse vastab järgmistele tingimustele:

– vektoritega risti ja

- mille pikkus on võrdnekus φ - vektorite moodustatud nurkja

- vektorid moodustavad parempoolse kolmiku (joonis 2.15).

Teoreem 2.4. Kahe vektori kollineaarsuse vajalik ja piisav tingimus on nende vektorprodukti võrdsus nulliga

Teoreem 2.5. Vektorite vektorproduktnende koordinaatide abil võrdub vormi kolmanda järgu determinant

(2.32)

Märge.Määrav (2.25) laguneb vastavalt determinantide omadusele 7

Järeldus 1.Kahe vektori kollineaarsuse vajalik ja piisav tingimus on nende vastavate koordinaatide proportsionaalsus

2. järeldus.Ühikühikute vektorite vektorproduktid on

Järeldus 3.Mis tahes vektori vektorruut on null

Vektortoote geomeetriline tõlgendamine on see, et saadud vektori pikkus on numbriliselt võrdne pindalaga S rööpkülik, mis on ehitatud vektorite-tegurite külge, nagu küljed, mis on vähendatud ühele alguspunktile. Tõepoolest, vastavalt määratlusele on vektorite vektorprodukti moodul. Teiselt poolt vektoritele ehitatud rööpküliku pindala ja on ka võrdne ... Seega

. (2.33)

Samuti saate ristprodukti abil määrata jõu momendi punkti ja sirgjoone suhtes pöörlemiskiirus.

Lase punktis A rakendatud jõud lase sel minna O - mingi punkt ruumis (joonis 2.16). Füüsikakursuselt on teada, et jõu hetk punkti suhtes O vektorit nimetatakse mis läbib asjaO ja vastab järgmistele tingimustele:

Punkte läbiva tasapinnaga risti O, A, B;

Selle moodul on arvuliselt võrdne jõu korrutisega õlale.

- moodustab vektoritega parempoolse kolmiku ja.

Seega jõu hetk punkti suhtesO on ristprodukt

. (2.34)

Lineaarne kiirus punkte Mtahke keha pöörleb nurkkiirus fikseeritud telje ümber, määratakse valemiga Euler, O - mõned liikumatud

teljepunkt (joonis 2.17).

Näide 2.12.Leidke risttoode abil kolmnurga pindala ABCehitatud vektoriteleviidud samasse algusesse.

Standarddefinitsioon: "Vektor on suunajoon." Tavaliselt piirdub see, mida koolilõpetaja vektoritest teab. Kellele on vaja mingeid "suunajooni"?

Kuid tegelikult, mis on vektorid ja miks nad on?
Ilmateade. "Loodetuul, kiirus 18 meetrit sekundis." Peate tunnistama, et oluline on nii tuule suund (kust puhub) kui ka selle kiiruse moodul (st absoluutväärtus).

Koguseid, millel pole suunda, nimetatakse skalaarseks. Mass, töö, elektrilaeng pole kuhugi suunatud. Neid iseloomustab ainult arvuline väärtus - "mitu kilogrammi" või "mitu džauli".

Füüsikalisi suurusi, millel pole mitte ainult absoluutväärtus, vaid ka suund, nimetatakse vektoriks.

Kiirus, jõud, kiirendus on vektorid. Nende jaoks on oluline "kui palju" ja oluline on "kus". Näiteks raskuskiirendus on suunatud Maa pinna poole ja selle suurus on 9,8 m / s 2. Impulss, elektrivälja tugevus, magnetvälja induktsioon on samuti vektorkogused.

Mäletate, et füüsikalisi suurusi tähistatakse ladina või kreeka tähtedega. Tähe kohal olev nool näitab, et väärtus on vektor:

Siin on veel üks näide.
Auto liigub A-lt B-le. Lõpptulemus on selle liikumine punktist A punkti B, see tähendab vektoriga liikumine .

Nüüd on selge, miks vektor on suunajoon. Pange tähele, et vektori lõpp on seal, kus nool asub. Vektori pikkus on selle segmendi pikkus. Tähistab: või

Siiani oleme töötanud skalaaridega vastavalt aritmeetika- ja algalgebra reeglitele. Vektorid on uus mõiste. See on erinev matemaatiliste objektide klass. Neil on omad reeglid.

Kord ei teadnud me numbritest mitte midagi. Nendega tutvumine algas madalamates klassides. Selgus, et numbreid saab omavahel võrrelda, liita, lahutada, korrutada ja jagada. Saime teada, et on olemas number üks ja number null.
Nüüd tutvustatakse meile vektoreid.

Mõistet "rohkem" ja "vähem" vektorite jaoks ei eksisteeri - lõppude lõpuks võivad nende suunad olla erinevad. Võimalik on võrrelda ainult vektorite pikkusi.

Kuid vektorite võrdsuse mõiste on.
Võrdne nimetatakse vektoreid, millel on sama pikkus ja sama suund. See tähendab, et vektorit saab kanda paralleelselt iseendaga mis tahes tasapinnalises punktis.
Vallaline nimetatakse vektoriks, mille pikkus on 1. Null - vektor, mille pikkus on , see tähendab, et selle algus langeb kokku lõpuga.

Kõige mugavam on töötada vektoritega ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis - sellesama, kuhu joonistame funktsioonide graafikud. Igale koordinaatsüsteemi punktile vastab kaks arvu - selle x- ja y-koordinaadid, abstsissid ja koordinaadid.
Vektor on määratud ka kahe koordinaadiga:

Siin kirjutatakse sulgudesse vektori koordinaadid - piki x ja mööda y.
Need leitakse lihtsalt: vektori lõpu koordinaat miinus selle alguse koordinaat.

Kui antakse vektori koordinaadid, leitakse selle pikkus valemiga

Vektori lisamine

Vektorite lisamiseks on kaks võimalust.

üks. Rööpküliku reegel. Vektorite lisamiseks ja asetage mõlema päritolu samasse punkti. Lõpetame rööpküliku ehitamise ja joonistame rööpküliku diagonaali samast punktist. See saab vektorite ja.

Kas mäletate luule, jõevähkide ja haugi jutustust? Nad üritasid väga vaeva näha, kuid nad ei tõllutanud käru. Lõppude lõpuks oli nende vankrile rakendatud jõudude vektorite summa võrdne nulliga.

2. Teine viis vektorite lisamiseks on kolmnurga reegel. Võtame samad vektorid ja. Kinnitage sekundi algus esimese vektori lõppu. Ühendame nüüd esimese ja teise alguse. See on vektorite ja.

Sama reegli järgi saab lisada mitu vektorit. Kinnitame need ükshaaval ja seejärel ühendame esimese alguse viimase lõpuga.

Kujutage ette, et kõnnite punktist A punkti B, punktist B punkti C, punktist C punkti D, seejärel punkti E ja F. Nende toimingute lõpptulemus on liikuda A-st F-ni.

Vektorite lisamisel saame:

Vektorite lahutamine

Vektor on suunatud vektorile vastupidiselt. Vektorite pikkused ja on võrdsed.

Nüüd on selge, mis on vektorite lahutamine. Vektorite erinevus ja on vektori ja vektori summa.

Vektori korrutamine arvuga

Korrutades vektori arvu k, saadakse vektor, mille pikkus on k korda erinev selle pikkusest. See on vektoriga ühesuunaline, kui k on suurem kui , ja vastupidiselt, kui k on väiksem kui null.

Vektorite täpne korrutis

Vektoreid saab korrutada mitte ainult arvudega, vaid ka üksteisega.

Vektorite skalaarkorrutis on vektorite pikkuste korrutis nende vahelise nurga koosinuse järgi.

Pöörake tähelepanu - korrutasime kaks vektorit ja saime skalaari, see tähendab arvu. Näiteks füüsikas on mehaaniline töö võrdne kahe vektori - jõu ja nihke - punkti korrutisega:

Kui vektorid on risti, on nende punkt korrutis null.
Nii väljendub punktprodukt vektorite koordinaatide kaudu:

Punkttoote valemilt leiate vektorite nurga:

See valem on eriti kasulik kindla geomeetria korral. Näiteks peate matemaatikas profiili KASUTAMISE ülesandes 14 leidma nurga sirgjoonte ületamise või sirgjoone ja tasapinna vahel. 14. ülesanne lahendatakse sageli mitu korda kiiremini kui klassikaline.

Matemaatika kooli õppekavas uuritakse ainult vektorite täpp-korrutist.
Selgub, et lisaks skalaarile on olemas ka ristprodukt, kui kahe vektori korrutamise tulemusena saadakse vektor. Need, kes sooritavad füüsikaeksami, teavad, mis on Lorentzi ja Ampere jõud. Nende jõudude leidmise valemitesse on lisatud vektorproduktid.

Vektorid on väga kasulik matemaatiline tööriist. Seda näete oma esimesel aastal.

1. määratlus.Vektor ruumisnimetatakse suunatud segmendiks.

Seega on vektoritel erinevalt skalaaridest kaks omadust: pikkus ja suund. Tähistame vektoreid sümbolitega või a .

(Siin Aja IN- selle vektori algus ja lõpp (joonis 1) a IN

Vektori pikkust tähistab mooduli sümbol: .Ajoonis 1

Nende vahelise võrdsuse suhe määratleb kolme tüüpi vektoreid:

Ankurdatud vektoridnimetatakse võrdseks, kui nende algus ja lõpp langevad kokku. Sellise vektori näiteks on jõuvektor.

Liugvektoridnimetatakse võrdseteks, kui need asuvad samal sirgel, neil on sama pikkus ja suund. Selliste vektorite näiteks on kiirusvektor.

Vabad või geomeetrilised vektoridloetakse võrdseks, kui neid saab paralleelülekande abil joondada.

Analüütilise geomeetria kursus hõlmab ainultvabad vektorid.

2. määratlus.Nimetatakse vektorit, mille pikkus on null nullvektor või null -

vektor.

Ilmselt on nullvektori algus ja lõpp ühesugused. Nullvektoril pole konkreetset suunda või on mis tahessuund.

3. definitsioon.Nimetatakse kahte vektorit, mis asuvad ühel sirgel või paralleelsel sirgel

kollineaarne(joonis 2). Tähendab:
.a

Definitsioon 4.Nimetatakse kahte kolineaarset ja identselt suunatud vektorit

ühesuunaline.Tähendab:
.

Nüüd saame anda vabade vektorite võrdsuse täpse määratluse:

Definitsioon 5.Kaks vaba vektorit nimetatakse võrdseks, kui need on kodeeritavad ja omavad

sama pikk.

Definitsioon 6.Nimetatakse kolme vektorit, mis asuvad ühes või paralleelses tasapinnas

koplanaarne.

Nimetatakse kahte risti asetsevat vektorit vastastikku risti:
.

Definitsioon 7.Nimetatakse ühiku pikkusega vektorit ühikvektorvõi ortom.

Ort kaamerasuunalise nullvektoriga a helistas ühikvektora :e a .

§ 2. Lineaarsed toimingud vektoritega.

Lineaarsed toimingud on määratletud vektorite hulgal: vektorite liitmine ja vektori korrutamine arvuga.

I. Vektorite liitmine.

2 vektori summa on vektor, mille algus langeb kokku esimese algusega ja lõpp teise lõpuga, tingimusel et teise algus langeb kokku esimese lõpuga.

L on lihtne mõista, et kahe vektori summa on määratletud

seega (joonis 3a) langeb kokku vektorite summaga,

ehitatud rööpküliku reegli järgi (joonis 6). b

Kuid see reegel võimaldab teil ehitada a

suvalise arvu vektorite summa (joonis 3b).

a + b

b a + b + c

joonis 3b c

Vektorid Vektor ruumis on suunatud segment, st. segment, milles on märgitud selle algus ja lõpp. Vektori pikkus või moodul on vastava segmendi pikkus. Vektorite pikkust tähistatakse vastavalt. Kaks vektorit on võrdsed, kui neil on sama pikkus ja suund. Vektorit, mille algus on punktis A ja lõpp punktis B, tähistatakse ja kujutatakse noolega, mille algus on punktis A ja lõpp punktis B. Samuti loetakse nulli vektoreid, mille algus langeb kokku lõpuga. Kõiki nullvektoreid peetakse üksteisega võrdseteks. Need on määratud ja nende pikkust peetakse nulliks.

Vektorite liitmine Vektorite jaoks on määratletud liitmisoperatsioon. Kahe vektori lisamiseks ja vektor jäetakse kõrvale nii, et selle algus langeb kokku vektori lõpuga. Vektorit, mille algus langeb kokku vektori algusega ja lõppu vektori lõpuga, nimetatakse vektorite summaks ja tähistatakse

Vektori korrutamine arvuga Vektori korrutist arvuga t tähistatakse. Definitsiooni järgi nimetatakse vektori korrutist arvuga -1 vastandvektoriks ja tähistatakse definitsiooniga, vektori suund on vektoriga vastupidine ja arvu t arvuga vektori korrutis on vektor, mille pikkus on võrdne , ja suund jääb samaks, kui t\u003e 0, ja muutub vastupidiseks, kui t 0, ja pöördub, kui t

Omadused Vektorite erinevus on vektor, mida tähistatakse. Vektori korrutamiseks arvuga kehtivad arvude korrutamise omadustega sarnased omadused, nimelt: omadus 1. (kombineerimisseadus). 2. vara (esimene jaotusseadus). Vara 3. (teine \u200b\u200bjaotusseadus).

Definitsioon

Skalaarne kogus - arv, mida saab iseloomustada arvuga. Näiteks pikkus, pindala, mass, temperatuur jne.

Vektor kutsutakse suunatud segmenti $ \\ overline (A B) $; punkt $ A $ on algus, punkt $ B $ on vektori lõpp (joonis 1).

Vektorit tähistatakse kas kahe suurtähega - selle algus ja lõpp: $ \\ overline (A B) $ või üks väike täht: $ \\ overline (a) $.

Definitsioon

Kui vektori algus ja lõpp langevad kokku, siis nimetatakse sellist vektorit null... Kõige sagedamini tähistatakse nullvektorit $ \\ overline (0) $.

Vektorid on kutsutud kollineaarnekui need asuvad kas ühel sirgel või paralleelsel joonel (joonis 2).

Definitsioon

Kaks kollineaarset vektorit $ \\ overline (a) $ ja $ \\ overline (b) $ nimetatakse kaasrežissöörkui nende suunad langevad kokku: $ \\ overline (a) \\ uparrow \\ uparrow \\ overline (b) $ (joonis 3, a). Kaks kollineaarset vektorit $ \\ overline (a) $ ja $ \\ overline (b) $ nimetatakse vastandlikult suunatudkui nende suunad on vastupidised: $ \\ overline (a) \\ uparrow \\ downarrow \\ overline (b) $ (joonis 3, b).