Murdude loendamine. Kuidas murdudega näiteid lahendada. Kuidas leida sama nimetajaga murdude erinevus
Õpilased tutvuvad murdudega 5. klassis. Varem peeti inimesi, kes oskasid murdudega toiminguid teha, väga nutikateks. Esimene murd oli 1/2, see tähendab pool, siis ilmus 1/3 jne. Mitu sajandit peeti näiteid liiga keerukateks. Nüüd on murdude teisendamise, liitmise, korrutamise ja muude toimingute jaoks välja töötatud üksikasjalikud reeglid. Piisab materjalist veidi aru saamisest ja lahendus on lihtne.
Tavaline murd, mida nimetatakse lihtsaks murdosaks, kirjutatakse kahe arvu jaguna: m ja n.
M on dividend, see tähendab murdosa lugeja ja jagajat n nimetatakse nimetajaks.
Määrake õiged fraktsioonid (m< n) а также неправильные (m > n).
Tavaline murd on väiksem kui üks (näiteks 5/6 - see tähendab, et ühest võetakse 5 osa; ühest võetakse 2/8 - 2 osa). Ebaregulaarne murd on võrdne või suurem kui 1 (8/7 - 1 on 7/7 ja plussiks võetakse veel üks osa).
Niisiis, ühik on siis, kui lugeja ja nimetaja langevad kokku (3/3, 12/12, 100/100 jt).
6. astme tavaliste murdudega toimingud
Lihtsate murdudega saate teha järgmist.
- Laienda murdosa. Kui korrutada murdosa ülemine ja alumine osa ühegi sama arvuga (kuid mitte nulliga), siis murdosa väärtus ei muutu (3/5 \u003d 6/10 (korrutatakse lihtsalt 2-ga).
- Murdude vähendamine sarnaneb paisumisega, kuid siin jagatakse see mõne arvuga.
- Võrdlema. Kui kahel fraktsioonil on ühesugused lugejad, siis suuremaks osaks on madalama nimetajaga murd. Kui nimetajad on samad, on suurema lugejaga murd suurem.
- Tehke liitmine ja lahutamine. Samade nimetajate puhul on seda lihtne teha (võtame kokku ülemised osad ja alumine ei muutu). Erinevate jaoks peate leidma ühise nimetaja ja lisategurid.
- Murdude korrutamine ja jagamine.
Allpool kaalume näiteid murdudega toimingutest.
Vähendatud fraktsioonid 6. klass
Lühendamine tähendab murdosa ülemise ja alumise osa jagamist sama arvuga.
Joonisel on toodud lihtsad näited lühenditest. Esimeses variandis võite kohe arvata, et lugeja ja nimetaja jaguvad 2-ga.
Märkuses! Kui arv on paaris, siis on see mis tahes viisil jagatav kahega. Paarisarvud on 2, 4, 6 ... 32 8 (lõpeb paarisarvuga) jne.
Teisel juhul on 6 jagamisel 18-ga kohe selge, et arvud jaguvad 2-ga. Jagades saame 3/9. See murd jagub 3-ga. Siis on vastus 1/3. Kui korrutada mõlemad tegurid: 2 3-ga, siis saad 6. Tuleb välja, et murd jagati kuuega. Seda järkjärgulist jagunemist nimetatakse murdude järjestikune vähendamine ühiste tegurite abil.
Keegi jagab kohe 6-ga, keegi vajab osade kaupa jagamist. Peamine on see, et lõpus on murd, mida ei saa kuidagi vähendada.
Pange tähele, et kui number koosneb numbritest, liites kokku 3-ga jagatava arvu, saab originaali vähendada ka 3. Näide: number 341. Lisage arvud: 3 + 4 + 1 \u003d 8 (8 ei saa jagada 3, seega ei saa numbrit 341 3 võrra vähendada ilma jäägita). Teine näide: 264. Lisage: 2 + 6 + 4 \u003d 12 (jagatav 3-ga). Saame: 264: 3 \u003d 88. See lihtsustab suurte arvude vähendamist.
Lisaks murdude järjestikuse vähendamise meetodile ühiste tegurite abil on ka teisi meetodeid.
GCD on arvu jaoks suurim jagaja. Kui olete nimetaja ja lugeja jaoks leidnud GCD, saate kohe murdosa soovitud arvu võrra vähendada. Otsimine toimub iga numbri järk-järgulise jagamise teel. Järgmisena vaadatakse, millised jagajad langevad kokku, kui neid on mitu (nagu alloleval pildil), siis peate korrutama.
Segafraktsioonid 6. klass
Kõiki ebaregulaarseid fraktsioone saab muuta segatüüpideks, valides nendes kogu osa. Kogu number kirjutatakse vasakule.
Sageli peate valest murdosast tegema seganumbri. Allpool toodud näite teisendusprotsess: 22/4 \u003d 22 jagatakse 4-ga, saame 5 täisarvu (5 * 4 \u003d 20). 22 - 20 \u003d 2. Saame 5 täisarvu ja 2/4 (nimetaja ei muutu). Kuna murdosa saab tühistada, jagame ülemise ja alumise osa 2-ga.
Segatud arvu on lihtne muuta sobimatuks murdosaks (see on vajalik murdude jagamisel ja korrutamisel). Selleks korrutage kogu arv murdosa alumise osaga ja lisage sellele lugeja. Valmis. Nimetaja ei muutu.
Arvutused murdarvudega 6. klass
Segatud numbreid saab lisada. Kui nimetajad on samad, siis on seda lihtne teha: lisades terved osad ja lugejad, jääb nimetaja oma kohale.
Erinevate nimetajatega arvude lisamisel on protsess keerulisem. Esiteks toome numbrid ühe väikseima nimetaja juurde (NOZ).
Allpool toodud näites on numbrite 9 ja 6 puhul nimetaja 18. Pärast seda on vaja täiendavaid tegureid. Nende leidmiseks tuleks 18 jagada 9-ga, nii et leitakse täiendav arv - 2. Korrutame selle lugejaga 4, et saada murd 8/18). Sama tehakse teise fraktsiooniga. Juba liidame teisendatud murrud (täisarvud ja lugejad eraldi, nimetajat me ei muuda). Näites tuli vastus teisendada õigeks murdosaks (esialgu oli lugeja suurem kui nimetaja).
Pange tähele, et murdude erinevuse protseduur on sama.
Murdude korrutamisel on oluline paigutada mõlemad sama joone alla. Kui arv on segatud, siis muudame selle lihtsaks osaks. Järgmisena korrutame ülemise ja alumise osa ning kirjutame vastuse üles. Kui näete, et murde saab tühistada, siis saame neid kohe vähendada.
Ülaltoodud näites ei pidanud me midagi lõikama, kirjutasime lihtsalt vastuse ja valisime kogu osa.
Selles näites pidin ühe rea all olevaid numbreid lühendama. Kuigi saate valmis vastust lühendada.
Jagamiseks on algoritm peaaegu sama. Kõigepealt muudame segatud fraktsiooni ebakorrapäraseks, seejärel kirjutame numbrid ühe rea alla, asendades jagamise korrutamisega. Ärge unustage teise fraktsiooni ülemist ja alumist osa vahetada (see on fraktsioonide jagamise reegel).
Vajadusel vähendame numbreid (allpool toodud näites oleme neid vähendanud viie ja kahe võrra). Me muudame ebaregulaarse osa kogu osa valimisega.
6. klassi murdude põhiprobleemid
Video näitab veel mõnda ülesannet. Selguse huvides on murdude visualiseerimiseks kasutatud lahenduste graafilisi pilte.
Näited murdarvu 6 korrutamisest koos selgitustega
Murdude korrutamine kirjutatakse ühe rea alla. Pärast seda vähendatakse neid jagades samade numbritega (näiteks saab nimetaja 15 ja lugeja 5 jagada viieks).
6. astme fraktsioonide võrdlus
Murdude võrdlemiseks peate meeles pidama kahte lihtsat reeglit.
Reegel 1. Kui nimetajad on erinevad
Reegel 2. Kui nimetajad on samad
Võrdleme näiteks murdarve 7/12 ja 2/3.
- Vaatame nimetajaid, need ei lange kokku. Nii et peate leidma ühise.
- Murdude puhul on ühisnimetaja 12.
- Jagame 12 kõigepealt esimese murdosa alumise osaga: 12: 12 \u003d 1 (see on 1. murdosa täiendav tegur).
- Nüüd jagame 12 3-ga, saame 4 - lisage. 2. murdosa kordaja.
- Murdude teisendamiseks korrutame saadud arvud lugejate abil: 1 x 7 \u003d 7 (esimene murd: 7/12); 4 x 2 \u003d 8 (teine \u200b\u200bosa: 8/12).
- Nüüd saame võrrelda: 7/12 ja 8/12. Juhtus: 7/12< 8/12.
Murdude paremaks kujutamiseks võite selguse huvides kasutada jooniseid, kus objekt on jagatud osadeks (näiteks kook). Kui soovite võrrelda 4/7 ja 2/3, siis esimesel juhul on kook jagatud 7 osaks ja neist valitakse 4. Teises jagavad nad selle 3 ossa ja võtavad 2. Palja silmaga on selge, et 2/3 on suurem kui 4/7.
Näited murdudega 6. klass koolituse jaoks
Treeninguna saate teha järgmisi ülesandeid.
- Murdarvude võrdlemine
- sooritama korrutamist
Nõuanne: kui murdude jaoks on raske leida madalaimat ühisnimetajat (eriti kui nende väärtused on väikesed), siis võite esimese ja teise murdosa nimetaja korrutada. Näide: 2/8 ja 5/9. Nende nimetaja leidmine on lihtne: korrutades 8 9-ga, saame 72.
6. astmega murdudega võrrandite lahendamine
Võrrandite lahendamisel peate meeles pidama murdudega toiminguid: korrutamine, jagamine, lahutamine ja liitmine. Kui üks teguritest pole teada, jagatakse korrutis (summaarne) teadaoleva teguriga, see tähendab, et fraktsioonid korrutatakse (teine \u200b\u200bpööratakse ümber).
Kui dividend ei ole teada, korrutatakse nimetaja jagajaga ja jagaja leidmiseks tuleb dividend jagada jagatisega.
Esitame lihtsad näited võrrandite lahendamisest:
Siin nõutakse ainult fraktsioonide erinevuse loomist, ilma et see viiks ühise nimetajani.
Vastus tuli vale murru kujul. Selle saab teisendada 1 täisarvuks ja 3/5.
Teise meetodi korral korrutati lugeja ja nimetaja 4-ga, et põhi tühistada, mitte nimetaja ümber pöörata.
Juhised
Tavapärane on eraldada tavalised ja kümnendmurrud, millega tutvumine algab keskkoolist. Praegu pole ühtegi eriala, mis seda ei kohaldaks. Isegi me ütleme, et esimene 17. sajand ja kõik korraga, mis tähendab 1600-1625. Samuti peate sageli tegelema murdude elementaarsete toimingutega, samuti nende teisendamisega ühest tüübist teise.
Murdude viimine ühisnimetajale on võib-olla kõige olulisem tegevus murdude puhul. See on absoluutselt kõigi arvutuste alus. Oletame, et on kaks murdosa a / b ja c / d. Seejärel peate nende leidmiseks ühisnimetajale leidma arvude b ja d väikseima ühise kordaja (M) ning seejärel korrutama esimese murdosa lugeja (M / b) -ga ja lugeja teine \u200b\u200b(M / d).
Murdude võrdlemine on veel üks oluline ülesanne. Selleks viige antud lihtsad murrud ühisnimetajale ja seejärel võrrelge lugejaid, kelle lugeja on suurem, seda murdosa ja palju muud.
Tavaliste murdude liitmise või lahutamise tegemiseks peate viima need ühisosale ja seejärel tegema soovitud matemaatilise toimingu nende murdude loenduritega. Nimetaja jääb muutumatuks. Oletame, et peate a / b-st lahutama c / d. Selleks peate leidma arvude b ja d kõige vähem levinud mitu M ja seejärel lahutama teise ühest lugejast, muutmata nimetajat: (a * (M / b) - (c * (M / d) ) / M
Piisab lihtsalt ühe murdarvu korrutamisest teisega, selleks peate lihtsalt korrutama nende lugejad ja nimetajad:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) Ühe osa jagamiseks teisega peate korrutama dividendi murdosa jaguri pöördarvuga. (a / b) / (c / d) \u003d (a * d) / (b * c)
Tasub meenutada, et vastastikuse murdosa saamiseks tuleb lugeja ja nimetaja ümber pöörata.
2 fraktsiooni lisamiseks koos samad nimetajad, on vaja lisada nende lugejad ja nimetajadjätta muutmata.Murdude lisamine, näited:
Tavaline murdude liitmise ja sama nimetajaga murdude lahutamise üldvalem on:
Märge! Kontrollige, kas saate vastuse üles kirjutades vähendada saadud murru.
Erinevate nimetajatega murdude liitmine.
Eri nimetajatega murdude lisamise reeglid:
- vähendada fraktsioonid madalaima ühisnimetajani (LCN). Selleks leiame kõige väiksema nimetajate ühine kordne (LCM);
- liida murdude loendurid ja jäta nimetajad muutmata;
- vähendame saadud murdosa;
- kui saate vale murdosa, teisendage vale murd murdosaks.
Näited täiendused erinevate nimetajatega fraktsioonid:
Seganumbrite (segamurdude) liitmine.
Segamurdude lisamise reeglid:
- toome nende arvude murdosad madalaima ühisnimetajani (LCN);
- eraldi lisada terved osad ja eraldi murdosad, liita tulemused;
- kui murdosade lisamisel saime vale murdosa, valige sellest kogu osa murdosa ja lisage see tulemuseks olevale tervele osale;
- vähendame saadud murdosa.
Näide täiendused segafraktsioon:
Kümnendmurdude liitmine.
Kümnendmurdude lisamisel kirjutatakse protsess veergu (nagu tavaliselt veergude korrutamine),nii, et samanimelised heited oleksid üksteise all ilma nihketa. Vaja on komasidjoondume selgelt üksteise alla.
Kümnendmurdude lisamise reeglid:
1. Vajadusel võrdsustage kümnendkohtade arv. Selleks lisage nullidvajalik murdosa.
2. Kirjutame murrud üles nii, et komad oleksid üksteise all.
3. Lisage murrud, pööramata komale tähelepanu.
4. Lisame komade komade alla lisatavasse murdosadesse.
Märge! Kui antud kümnendmurdudel on kümnendkoha järel erinev arv numbreid,siis määrame väiksema kümnendkohaga murdosale vajaliku arvu nulle nullvõrrandi jaoksmurrud on kümnendkohtade arv.
Saame aru näide... Leidke kümnendmurdude summa:
0,678 + 13,7 =
Võrdsustage kümnendkohtade arv kümnendmurdudes. Lisage kümnendkohale paremale 2 nullimurrud 13,7 .
0,678 + 13,700 =
Paneme kirja vastus:
0,678 + 13,7 = 14,378
Kui kümnendmurdude liitmine olete selle piisavalt hästi omandanud, siis saab puuduvad nullid lisadameeles.
Selles artiklis alustatakse toimingute uurimist algebraliste murdudega: kaalume üksikasjalikult selliseid toiminguid nagu algebraliste murdude liitmine ja lahutamine. Analüüsime algebraliste murdude liitmis- ja lahutamisskeemi nii samade kui ka erinevate nimetajatega. Õpime, kuidas lisada algebraline murd polünoomiga ja kuidas neid lahutada. Selgitage probleemide lahenduse otsimise igat sammu konkreetsete näidetega.
Liitmis- ja lahutamistoimingud samade nimetajatega
Tavaliste murdude lisamise skeem on rakendatav ka algebralistele. Me teame, et sama nimetajaga tavaliste murdude liitmisel või lahutamisel peate lisama või lahutama nende lugejad ja nimetaja jääb originaaliks.
Näiteks: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 ja 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.
Vastavalt kirjutatakse samade nimetajatega algebraliste murdude liitmise ja lahutamise reegel sarnaselt:
1. määratlus
Samade nimetajatega algebraliste murdude lisamiseks või lahutamiseks peate vastavalt lisama või lahutama algmurdude loendurid ja kirjutama nimetaja muutmata kujul.
See reegel võimaldab järeldada, et algebraliste murdude liitmise või lahutamise tulemus on uus algebraline murd (konkreetsel juhul: polünoom, monoom või arv).
Toogem näide sõnastatud reegli rakendamisest.
Näide 1
Algebralised fraktsioonid on antud: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 ja 3 - x y x 2 y - 2. Need on vaja lisada.
Otsus
Algsed fraktsioonid sisaldavad samu nimetajaid. Lisame reegli kohaselt etteantud murdude lugejad ja jätame nimetaja muutmata.
Kui lisada algmurdude lugejaks olevad polünoomid, saame: x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y \u003d x 2 + (2 x y - x y) - 5 + 3 \u003d x 2 + x y - 2.
Seejärel kirjutatakse vajalik summa järgmiselt: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.
Praktikas, nagu paljudel juhtudel, annab lahenduse võrduste ahel, näidates selgelt lahenduse kõiki etappe:
x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2
Vastus: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2.
Liitmise või lahutamise tulemus võib olla tühistatav murd, sellisel juhul on optimaalne seda vähendada.
Näide 2
Algebralisest murdosast x x 2 - 4 · y 2 tuleb lahutada murdosa 2 · y x 2 - 4 · y 2.
Otsus
Algmurdude nimetajad on võrdsed. Teostame toiminguid lugejate abil, nimelt: lahutage teise murdja lugeja esimese murdosa lugejast ja kirjutage siis tulemus üles, jättes nimetaja muutmata:
x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 y x 2 - 4 y 2
Näeme, et saadud murd on tühistatav. Vähendame seda, muutes nimetaja ruutude erinevuse valemi abil:
x - 2 a x 2 - 4 a 2 \u003d x - 2 a (x - 2 a) (x + 2 a) \u003d 1 x + 2 a
Vastus: x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d 1 x + 2 a.
Sama põhimõtte kohaselt liidetakse või lahutatakse samade nimetajatega kolm või enam algebralist osa. Näiteks:
1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 \u003d 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1
Erinevate nimetajate liitmis- ja lahutamistoimingud
Pöördugem uuesti tavamurdudega toimimisskeemi juurde: erinevate nimetajatega harilike murdude liitmiseks või lahutamiseks on vaja viia need ühisnimetajani ja seejärel lisada saadud murdosad samade nimetajatega.
Näiteks 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 15 või 1 2 - 3 7 \u003d 7 14 - 6 14 \u003d 1 14.
Samamoodi sõnastame erinevate nimetajatega algebraliste murdude liitmise ja lahutamise reegli:
2. määratlus
Erinevate nimetajatega algebraliste murdude liitmise või lahutamise korral peate:
- taandada algsed fraktsioonid ühisnimetajaks;
- teostada saadud fraktsioonide liitmine või lahutamine samade nimetajatega.
Ilmselt on siin võtmeks oskus viia algebralised murrud ühisosale. Vaatame lähemalt.
Algebraliste murdude ühisnimetaja
Algebraliste murdude viimiseks ühisosaks on vaja läbi viia antud murdude identne teisendamine, mille tulemusel algsete murdude nimetajad muutuvad samaks. Algebraliste murdude viimiseks ühisnimetajale on optimaalne tegutseda järgmise algoritmi järgi:
- kõigepealt määrame algebraliste murdude ühise nimetaja;
- siis leiame iga murdosa jaoks täiendavad tegurid, jagades ühise nimetaja algmurdude nimetajatega;
- viimane toiming korrutatakse etteantud algebraliste murdude lugejad ja nimetajad vastavate lisateguritega.
Esitatakse algebralised fraktsioonid: a + 2 2 a 3 - 4 a 2, a + 3 3 a 2 - 6 a ja a + 1 4 a 5 - 16 a 3. On vaja viia need ühisosale.
Otsus
Me tegutseme vastavalt ülaltoodud algoritmile. Määrake algmurdude ühisosa. Selleks arvutame välja antud murdude nimetajad: 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 2 a 2 (a - 2), 3 a 2 - 6 a \u003d 3 a (a - 2) ja 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 4 a 3 (a - 2) (a + 2)... Siit saame üles kirjutada ühise nimetaja: 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
Nüüd peame leidma täiendavad tegurid. Jagagem leitud ühisosa algoritmi järgi algmurdude nimetajateks:
- esimese fraktsiooni korral: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (2 a 2 (a - 2)) \u003d 6 a (a + 2);
- teise fraktsiooni korral: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (3 a (a - 2)) \u003d 4 a 2 (a + 2);
- kolmanda murdosa puhul: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (4 a 3 (a - 2) (a + 2)) \u003d 3 .
Järgmine samm on antud murdude lugejate ja nimetajate korrutamine leitud lisateguritega:
a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d (a + 3) 4 a 2 (a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (A + 2) a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d (a + 1) 3 (4 a 5 - 16 a 3 ) 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2)
Vastus: a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2).
Niisiis tõime algsed murdosad ühisosale. Vajadusel saate tulemuse edasi teisendada algebraliste murdude vormi, korrutades lugejades ja nimetajates polünoomid ja monomoonid.
Selgitagem ka järgmist punkti: optimaalne on leitud ühisnimetaja jätta toote kujul juhuks, kui on vaja lõplik murd tühistada.
Uurisime üksikasjalikult skeemi algsete algebraliste murdude vähendamiseks ühisnimetajaks, nüüd saame hakata analüüsima erinevate nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise näiteid.
Näide 4
Algebralised fraktsioonid on antud: 1 - 2 x x 2 + x ja 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. On vaja läbi viia nende lisamise toiming.
Otsus
Algmurdudel on erinevad nimetajad, nii et esimene samm on viia need ühisosale. Faktorite nimetajad: x 2 + x \u003d x (x + 1) ja x 2 + 3 x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2),aastast ruudukujulised trinoomjuured x 2 + 3 x + 2 need on numbrid: - 1 ja - 2. Määrake ühine nimetaja: x (x + 1) (x + 2), siis on täiendavad tegurid järgmised: x + 2ja - xvastavalt esimese ja teise fraktsiooni kohta.
Seega: 1-2 xx 2 + x \u003d 1-2 xx (x + 1) \u003d (1-2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) \u003d x + 2 - 2 x 2 - 4 xx (x + 1) x + 2 \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) ja 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 X 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2)
Lisame nüüd murdosad, mille tõime ühisnimetajale:
2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 2 xx (x + 1) (x + 2)
Saadud osa saab ühise teguriga vähendada x + 1:
2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2)
Ja lõpuks, kirjutame saadud tulemuse algebralise murru kujul, asendades nimetaja toote polünoomiga:
2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Kirjutagem lahenduse käik lühidalt võrduste ahelana:
1 - 2 xx 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 1-2 xx (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 1-2 x (x + 2) xx + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 1 x (x +) 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x
Vastus: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x 2 + 2 x
Pöörake tähelepanu sellele detailile: enne algebraliste murdude liitmist või lahutamist on võimaluse korral soovitatav neid teisendada.
Näide 5
On vaja lahutada fraktsioonid: 2 1 1 3 · x - 2 21 ja 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.
Otsus
Edasise lahenduse lihtsustamiseks teisendame algsed algebralised murrud. Võtame välja sulgudes olevate nimetajate muutujate numbrilised koefitsiendid:
2 1 1 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 1 14 ja 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 3 x - 1 - 2 x - 1 14
See ümberkujundamine andis meile kindlasti kasu: näeme selgelt ühise teguri olemasolu.
Vabaneme nimetajates olevatest arvkoefitsientidest üldse. Selleks kasutame algebraliste murdude peamist omadust: korrutame esimese murdosa lugeja ja nimetaja 3 4-ga ning teise - 1 2-ga, siis saame:
2 4 3 x - 1 14 \u003d 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 \u003d 3 2 x - 1 14 ja 3 x - 1 - 2 x - 1 14 \u003d - 1 2 3 x - 1 - 1 2 - 2 x - 1 14 \u003d - 3 2 x + 1 2 x - 1 14.
Võtame ette toimingu, mis võimaldab meil vabaneda murdkoefitsientidest: korrutage saadud murdarvud 14-ga:
3 2 x - 1 14 \u003d 14 3 2 14 x - 1 14 \u003d 21 14 x - 1 ja - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 x + 7 14 x - 1.
Lõpuks täidame probleemlauses nõutavad toimingud - lahutamine:
2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 \u003d 21 - - 21 x + 7 14 X - 1 \u003d 21 x + 14 14 x - 1
Vastus: 2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 x + 14 14 x - 1.
Algebralise osa ja polünoomi liitmine ja lahutamine
See toiming taandub ka algebraliste murdude liitmisele või lahutamisele: algset polünoomi on vaja esindada nimetajana 1 murdosana.
Näide 6
On vaja lisada polünoom x 2 - 3 algebralise murdega 3 x x + 2.
Otsus
Kirjutame polünoomi algebralise murdena nimetajaga 1: x 2 - 3 1
Nüüd saame teha liitmise vastavalt reeglile erinevate nimetajatega murdude lisamiseks:
x 2 - 3 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 1 + 3 xx + 2 \u003d x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 X 2 - 3 x - 6 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 3 x - 6 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2
Vastus: x 2 - 3 + 3 x x + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.
Kui märkate tekstis viga, valige see ja vajutage klahvikombinatsiooni Ctrl + Enter
Järgmine murdudega tehtav toiming on lahutamine. Selle materjali raames kaalume, kuidas õigesti arvutada sama ja erineva nimetajaga murdude vahe, kuidas lahutada murd looduslikust arvust ja vastupidi. Kõiki näiteid illustreeritakse ülesannetega. Selgitagem eelnevalt, et analüüsime ainult neid juhtumeid, kui murdude erinevus annab positiivse arvu.
Kuidas leida sama nimetajaga murdude erinevus
Alustame kohe illustreeriva näitega: oletame, et meil on õun, mis on jagatud kaheksaks osaks. Jätame taldrikule viis tükki ja võtame neist kaks. Selle toimingu saab kirjutada järgmiselt:
Selle tulemusena on meil jäänud 3 kaheksandikku, sest 5 - 2 \u003d 3. Selgub, et 5 8 - 2 8 \u003d 3 8.
Selle lihtsa näite abil nägime täpselt, kuidas lahutamisreegel töötab samade nimetajatega murdude puhul. Sõnastame selle.
1. määratlus
Sama nimetajaga murdude vahelise erinevuse leidmiseks peate ühe lugejast ühe lugejast lahutama ja nimetaja samaks jätma. Selle reegli võib kirjutada järgmiselt: b - c b \u003d a - c b.
Kasutame seda valemit tulevikus.
Võtame konkreetsed näited.
Näide 1
Lahutage murdosast 24 15 tavaline murd 17 15.
Otsus
Näeme, et nendel murdudel on ühesugused nimetajad. Nii et peame vaid 24-st lahutama 17. Saame 7 ja lisame sellele nimetaja, saame 7 15.
Meie arvutused saab kirjutada järgmiselt: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15
Vajadusel saate keerulist osa vähendada või valida kogu osa valest, et hõlbustada loendamist.
Näide 2
Leidke erinevus 37 12 - 15 12.
Otsus
Kasutame ülalkirjeldatud valemit ja arvutame: 37 12 - 15 12 \u003d 37 - 15 12 \u003d 22 12
On lihtne mõista, et lugeja ja nimetaja saab jagada 2-ga (sellest rääkisime varem, kui uurisime jagamiskriteeriume). Vastuse vähendamisel saame 11 6. See on vale murd, mille hulgast valime kogu osa: 11 6 \u003d 1 5 6.
Kuidas leida erinevate nimetajatega murdude erinevus
Sellise matemaatilise toimingu saab taandada sellele, mida oleme juba eespool kirjeldanud. Selleks toome vajalikud fraktsioonid lihtsalt ühe nimetaja juurde. Koostame definitsiooni:
2. määratlus
Erinevate nimetajatega murdude vahelise erinevuse leidmiseks peate viima need samale nimetajale ja leidma erinevuse lugejatel.
Vaatame näidet, kuidas seda tehakse.
Näide 3
Lahutage 2 15-st 1 15.
Otsus
Nimetajad on erinevad ja peate viima need madalaima ühisväärtuseni. Sel juhul on LCM 45. Esimese murdosa jaoks on vaja täiendavat koefitsienti 5 ja teise puhul veel 3.
Arvutame: 2 9 \u003d 2 5 9 5 \u003d 10 45 1 15 \u003d 1 3 15 3 \u003d 3 45
Saime kaks sama nimetajaga fraktsiooni ja nüüd saame nende erinevuse hõlpsasti leida varem kirjeldatud algoritmi abil: 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45
Lühike lahenduslahendus näeb välja selline: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.
Vajaduse korral ei tohiks unustada tulemuse vähendamist ega sellest terve osa väljavõtmist. Selles näites ei pea me seda tegema.
Näide 4
Leidke erinevus 19 9 - 7 36.
Otsus
Toome tingimuses märgitud murdosad madalaima ühisnimetajani 36 ja saame vastavalt 76 9 ja 7 36.
Arvutame vastuse: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36
Tulemust saab vähendada 3 võrra ja saada 23 12. Lugeja on suurem kui nimetaja, mis tähendab, et saame valida kogu osa. Lõplik vastus on 1 11 12.
Kogu lahenduse kokkuvõte on 19 9 - 7 36 \u003d 1 11 12.
Kuidas lahutada naturaalarv tavalisest murdosast
Seda tegevust saab hõlpsasti taandada ka tavaliste murdude lihtsaks lahutamiseks. Seda saab teha murdosana loomuliku arvu esitamise teel. Näitame näitega.
Näide 5
Leidke erinevus 83 21 - 3.
Otsus
3 on sama mis 3 1. Siis saab selle arvutada järgmiselt: 83 21 - 3 \u003d 20 21.
Kui tingimuses on vaja lahutada täisarv sobimatust murdosast, on mugavam sellest kõigepealt täisarv välja tõmmata, kirjutades selle seganumbrina. Siis saab eelmise näite lahendada teisiti.
Murdarvust 83 21 saame kogu osa valimisel 83 21 \u003d 3 20 21.
Nüüd lahutame sellest lihtsalt 3: 3 20 21 - 3 \u003d 20 21.
Kuidas lahutada murd murdarvust
Seda toimingut tehakse sarnaselt eelmisega: kirjutame loomuliku arvu ümber murdosana, toome mõlemad ühe nimetaja juurde ja leiame erinevuse. Illustreerime seda ühe näitega.
Näide 6
Leidke erinevus: 7 - 5 3.
Otsus
Tehke 7 väärtuseks 7 1. Me lahutame ja teisendame lõpptulemuse, eraldades sellest kogu osa: 7 - 5 3 \u003d 5 1 3.
Arvutuste tegemiseks on veel üks viis. Sellel on mõned eelised, mida saab kasutada juhtudel, kui probleemi murdude lugejaid ja nimetajaid on palju.
3. definitsioon
Kui lahutatav murd on õige, siis tuleb loomulik arv, millest lahutame, esitada kahe numbri summana, millest üks on 1. Pärast seda peate ühest lahutama soovitud murdosa ja saama vastuse.
Näide 7
Arvutage erinevus 1 065 - 13 62.
Otsus
Lahutatav murd on õige, kuna selle lugeja on väiksem kui nimetaja. Seetõttu peame lahutama ühe 1065-st ja lahutama sellest soovitud murdosa: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
Nüüd peame vastuse leidma. Lahutamise omadusi kasutades saab saadud avaldise kirjutada kujul 1064 + 1 - 13 62. Arvutame sulgude erinevuse. Selle jaoks esindame ühikut murdarvuna 1 1.
Selgub, et 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.
Meenutagem nüüd umbes 1064 ja sõnastame vastuse: 1064 49 62.
Kasutame vana meetodit tõestamaks, et see on vähem mugav. Need arvutused saame:
1065 - 13 62 \u003d 1065 1 - 13 62 \u003d 1065 62 1 62 - 13 62 \u003d 66030 62 - 13 62 \u003d \u003d 66030 - 13 62 \u003d 66017 62 \u003d 1064 4 6
Vastus on sama, kuid arvutused on ilmselt kohmakamad.
Oleme kaalunud juhtumit, kui peate lahutama õige murdosa. Kui see pole õige, asendame selle seganumbriga ja lahutame tuttavate reeglite abil.
Näide 8
Arvutage erinevus 644 - 73 5.
Otsus
Teine murd on vale ja kogu osa tuleb sellest eraldada.
Nüüd arvutame sarnaselt eelmisele näitele: 630 - 3 5 \u003d (629 + 1) - 3 5 \u003d 629 + 1 - 3 5 \u003d 629 + 2 5 \u003d 629 2 5
Fraktsioonide lahutamisomadused
Looduslike arvude lahutamisel olevad omadused kehtivad ka tavaliste murdude lahutamise korral. Vaatame, kuidas neid näidete lahendamisel kasutada.
Näide 9
Leidke erinevus 24 4 - 3 2 - 5 6.
Otsus
Sarnaseid näiteid oleme lahendanud juba siis, kui analüüsisime summast summa lahutamist arvust, seega tegutseme juba tuntud algoritmi järgi. Kõigepealt arvutame erinevuse 25 4 - 3 2 ja lahutame sellest viimase murdosa:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Teisendame vastuse, eraldades sellest kogu osa. Kokku on 3 11 12.
Kogu lahenduse kokkuvõte:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Kui avaldis sisaldab nii murd- kui ka naturaalarvusid, siis on soovitatav arvutamisel need rühmitada tüübi järgi.
Näide 10
Leidke erinevus 98 + 17 20 - 5 + 3 5.
Otsus
Teades lahutamise ja liitmise põhiomadusi, võime rühmitada arvud järgmiselt: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 \u003d 98 + 17 20 - 5 - 3 5 \u003d 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Lõpetame arvutused: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 \u003d 93 + 17 20 - 12 20 \u003d 93 + 5 20 \u003d 93 + 1 4 \u003d 93 1 4
Kui märkate tekstis viga, valige see ja vajutage klahvikombinatsiooni Ctrl + Enter