Само за основните формули на теорията на вероятностите. История на развитието на теорията на вероятностите. Какво е теория на вероятностите

Раздел 12. Теория на вероятностите.

1. Въведение

2. Най-простите концепции на теорията на вероятностите

3. Алгебра на събитията

4. Вероятност за случайно събитие

5. Геометрични вероятности

6. Класически вероятности. Комбинаторни формули.

7. Условна вероятност. Независимост на събитията.

8. Формула за пълна вероятност и формула на Байс

9. Повторна схема на изпитване. Формула на Бернули и нейната асимптотика

10. Случайни променливи (RV)

11. Разпределителна серия DSV

12. Кумулативна функция на разпределение

13. Функция на разпределение NSV

14. Плътност на вероятността за NSV

15. Числени характеристики на случайни величини

16. Примери за важни SV разпределения

16.1. Биномиално разпределение на DSV.

16.2. Поасоново разпределение

16.3. Равномерно разпределение на NSV.

16.4. Нормална дистрибуция.

17. Пределни теореми на теорията на вероятностите.

Въведение

Теорията на вероятностите, подобно на много други математически дисциплини, се развива от нуждите на практиката. В същото време, докато се изучава реален процес, беше необходимо да се създаде абстрактен математически модел на реалния процес. Обикновено се вземат предвид основните, най-значимите движещи сили на реалния процес, като се отхвърлят второстепенните, които се наричат ​​случайни. Разбира се, кое се счита за основно и кое второстепенно е отделна задача. Решението на този въпрос определя нивото на абстракция, простотата или сложността на математическия модел и нивото на адекватност на модела към реалния процес. По същество всеки абстрактен модел е резултат от два противоположни стремежа: простота и адекватност на реалността.

Например в теорията на стрелбата са разработени доста прости и удобни формули за определяне на траекторията на полета на снаряд от оръдие, разположено в точка (фиг. 1).

При определени условия посочената теория е достатъчна, например при масирана артилерийска подготовка.

Ясно е обаче, че ако се дадат няколко изстрела от едно оръдие при еднакви условия, траекториите, макар и близки, ще бъдат различни. И ако размерът на целта е малък в сравнение с площта на разпръскване, тогава възникват специфични въпроси, свързани конкретно с влиянието на фактори, които не са взети предвид в рамките на предложения модел. В същото време отчитането на допълнителни фактори ще доведе до прекалено сложен модел, който е почти невъзможен за използване. Освен това има много от тези случайни фактори, тяхната природа най-често е неизвестна.

В горния пример такива специфични въпроси, които надхвърлят детерминистичния модел, са например следните: колко изстрела трябва да бъдат произведени, за да се гарантира попадение в целта с определена сигурност (например на )? Как трябва да се извърши нулирането, за да се използва най-малко количество снаряди за поразяване на целта? и така нататък.

Както ще видим по-късно, думите „случаен“ и „вероятност“ ще станат строги математически термини. В същото време те са много често срещани в обикновената разговорна реч. Смята се, че прилагателното „случаен“ е обратното на „естествен“. Това обаче не е така, защото природата е устроена така, че случайните процеси разкриват модели, но при определени условия.

Основното условие се нарича масов характер.

Например, ако хвърлите монета, не можете да предвидите какво ще излезе, герб или число, можете само да гадаете. Въпреки това, ако тази монета бъде хвърлена голям брой пъти, делът на изпадащия герб няма да се различава много от определено число, близко до 0,5 (по-нататък ще наричаме това число вероятност). Освен това, с увеличаване на броя на хвърлянията, отклонението от това число ще намалее. Това свойство се нарича стабилностсредни показатели (в случая - делът на гербовете). Трябва да се каже, че в първите стъпки на теорията на вероятностите, когато беше необходимо да се провери на практика наличието на свойството стабилност, дори големите учени не смятаха за трудно да извършат собствена проверка. Така известният експеримент на Бюфон, който хвърли монета 4040 пъти и гербът се появи 2048 пъти, следователно пропорцията (или относителната честота) на загубата на герба е 0,508, което е близко до интуитивно очаквано число от 0,5.

Поради това обикновено се дава определението предметът на теорията на вероятностите като клон на математиката, който изучава моделите на масови случайни процеси.

Трябва да се каже, че въпреки факта, че най-големите постижения на теорията на вероятностите датират от началото на миналия век, особено благодарение на аксиоматичното изграждане на теорията в трудовете на A.N. Колмогоров (1903-1987), интересът към изучаването на произшествията се е появил отдавна.

Първоначалните интереси бяха в опитите за прилагане на цифров подход към хазарта. Първите доста интересни резултати от теорията на вероятностите обикновено се свързват с трудовете на L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) и N. Tartaglia (1556).

По-късно Б. Паскал (1623-1662), П. Ферма (1601-1665), Х. Хюйгенс (1629-1695) полагат основите на класическата теория на вероятностите. В началото на 18 век Й. Бернули (1654-1705) формира концепцията за вероятността от случайно събитие като съотношение на броя на благоприятните шансове към броя на всички възможни. Е. Борел (1871-1956), А. Ломницки (1881-1941), Р. Мизес (1883-1953) изграждат своите теории върху използването на понятието мярка на множество.

Гледната точка на теорията на множествата е представена в най-пълната си форма през 1933 г. А.Н. Колмогоров в монографията си „Основни понятия на теорията на вероятностите“. От този момент теорията на вероятностите се превръща в строга математическа наука.

Голям принос за развитието на теорията на вероятностите имат руските математици П.Л. Чебишев (1821-1894), А.А. Марков (1856-1922), С.Н. Бърнстейн (1880-1968) и др.

Теорията на вероятностите се развива бързо в момента.

Най-простите концепции на теорията на вероятностите

Както всяка математическа дисциплина, теорията на вероятностите започва с въвеждането на най-простите понятия, които не са дефинирани, а само обяснени.

Едно от основните първични понятия е опит.Опитът се разбира като определен набор от условия, които могат да бъдат възпроизведени неограничен брой пъти. Всяко изпълнение на този комплекс ще наричаме опит или тест. Резултатите от експеримента могат да бъдат различни и тук се появява елементът на случайност. Различните резултати или резултати от опит се наричат събития(по-точно случайни събития). Така по време на провеждането на експеримента може да се случи едно или друго събитие. С други думи, случайно събитие е резултат от експеримент, който може да се случи (появи) или да не се случи по време на изпълнението на експеримента.

Опитът ще се обозначава с буквата, а случайните събития обикновено се обозначават с главни букви

Често в експеримента е възможно предварително да се идентифицират неговите резултати, които могат да бъдат наречени най-прости, които не могат да бъдат разложени на по-прости. Такива събития се наричат елементарни събития(или случаи).

Пример 1.Оставете монетата да хвърли. Резултатите от експеримента са: загубата на герба (отбелязваме това събитие с буквата); загуба на числа (обозначени с ). Тогава можем да запишем: опит = (хвърляне на монета), резултати: Ясно е, че елементарните събития в този експеримент. С други думи, изброяването на всички елементарни събития от опита го описва напълно. В тази връзка ще кажем, че опитът е пространството на елементарните събития, като в нашия случай опитът може да се запише накратко във вида: = (хвърляне на монета) = (G; C).

Пример 2. =(монетата се хвърля два пъти)= Ето словесно описание на преживяването и изброяване на всички елементарни събития: това означава, че първо при първото хвърляне на монета е паднал герб, при второто също е паднал гербът; означава, че гербът се е появил при първото хвърляне на монетата, числото при второто и т.н.

Пример 3.В координатната система точките се поставят в квадрат. В този пример елементарните събития са точки с координати, които удовлетворяват зададените неравенства. Накратко е написано, както следва:

Двоеточие във къдрави скоби означава, че се състои от точки, но не какви да е, а само тези, които отговарят на условието (или условията), посочени след двоеточието (в нашия пример това са неравенства).

Пример 4.Монетата се хвърля, докато се появи първият герб. С други думи, хвърлянето на монета продължава, докато главата се приземи. В този пример могат да бъдат изброени елементарни събития, въпреки че техният брой е безкраен:

Обърнете внимание, че в примери 3 и 4 пространството от елементарни събития има безкраен брой резултати. В пример 4 те могат да бъдат изброени, т.е. преизчислявам. Такова множество се нарича изброимо. В пример 3 пространството е неизброимо.

Нека въведем още две събития, които присъстват във всеки опит и които са от голямо теоретично значение.

Нека наречем събитието невъзможен,освен ако в резултат на опит не е задължително да се случи. Ще го означаваме със знака за празно множество. Напротив, събитие, което със сигурност ще се случи в резултат на опит, се нарича надежден.Надеждното събитие се обозначава по същия начин, както самото пространство на елементарните събития - с буквата .

Например, когато хвърляте зарове, събитието (по-малко от 9 хвърлени точки) е надеждно, но събитието (точно 9 хвърлени точки) е невъзможно.

И така, пространството на елементарните събития може да бъде специфицирано чрез словесно описание, изброяване на всички негови елементарни събития и определяне на правила или условия, според които се получават всички негови елементарни събития.

Алгебра на събитията

Досега говорихме само за елементарни събития като преки резултати от опита. В рамките на опита обаче можем да говорим и за други случайни събития, освен елементарните.

Пример 5.При хвърляне на зарове, освен елементарните събития съответно едно, две,..., шест, можем да говорим и за други събития: (четно число), (нечетно число), (кратно на три), (число по-малко от 4). ) и така нататък. В този пример посочените събития, в допълнение към вербалната задача, могат да бъдат посочени чрез изброяване на елементарни събития:

Формирането на нови събития от елементарни, както и от други събития, се извършва с помощта на операции (или действия) върху събития.

Определение.Продуктът от две събития е събитие, което се състои в това, че в резултат на експеримент ще се случи Исъбитие, Исъбитие, т.е. двете събития ще се случат заедно (едновременно).

Знакът на продукта (точка) често се пропуска:

Определение.Сумата от две събития е събитие, което се състои в това, че в резултат на експеримента ще се случи илисъбитие, илисъбитие, илии двете заедно (по едно и също време).

И в двете определения умишлено наблегнахме на съюзите ИИ или- за да привлечете вниманието на читателя към вашата реч при решаване на проблеми. Ако произнасяме съюза “и”, тогава говорим за производство на събития; Ако се произнася съюзът „или“, тогава трябва да се добавят събитията. В същото време отбелязваме, че връзката „или“ в ежедневната реч често се използва в смисъл на изключване на едно от двете: „само или само“. В теорията на вероятностите такова изключение не се допуска: и , и , и означават настъпването на събитие

Ако са дадени чрез изброяване на елементарни събития, тогава сложните събития могат лесно да бъдат получени с помощта на посочените операции. За да получите, трябва да намерите всички елементарни събития, които принадлежат на двете събития; ако няма такива, тогава сборът от събития също е лесен за съставяне: трябва да вземете някое от двете събития и да добавите към него тези елементарни събития от другото събитие, което не е включено в първото.

В пример 5 получаваме по-специално

Въведените операции се наричат ​​двоични, т.к определени за две събития. Следната унарна операция (дефинирана за едно събитие) е от голямо значение: събитието се извиква противоположностсъбитие, ако се състои в това, че в даден опит събитието не се е случило. От дефиницията става ясно, че всяко събитие и неговата противоположност имат следните свойства: Въведената операция се извиква допълнениесъбития А.

От това следва, че ако е дадено чрез списък на елементарни събития, тогава, знаейки спецификацията на събитието, е лесно да се получи, че се състои от всички елементарни събития на пространството, които не принадлежат.По-специално, например 5 събитието

Ако няма скоби, тогава се задава следният приоритет при извършване на операции: добавяне, умножение, събиране.

И така, с помощта на въведените операции пространството на елементарните събития се попълва с други случайни събития, които образуват т.нар. алгебра на събитията.

Пример 6.Стрелецът е произвел три изстрела в мишената. Да разгледаме събитията = (стрелецът уцели целта с i-тия изстрел), i = 1,2,3.

Нека съставим някои събития от тези събития (нека не забравяме за противоположните). Ние не предоставяме дълги коментари; Вярваме, че читателят ще ги проведе самостоятелно.

Събитие B = (и трите изстрела уцелват целта). Повече подробности: B = ( Ипърво, Ивторо, Итретият изстрел попадна в целта). Използван съюз И,следователно събитията се умножават:

По същия начин:

C = (нито един изстрел не уцели целта)

E = (един изстрел достигна целта)

D = (попадение в целта при втори изстрел) = ;

F = (попадение на целта с два изстрела)

N = (поне едно попадение ще удари целта)

Както е известно, в математиката геометричната интерпретация на аналитичните обекти, понятия и формули е от голямо значение.

В теорията на вероятностите е удобно визуално да се представят (геометрична интерпретация) опит, случайни събития и операции върху тях под формата на т.нар. Диаграми на Ойлер-Вен. Същността е, че всяко преживяване се идентифицира (интерпретира) с хвърляне на точки в определен квадрат. Точките се хвърлят на случаен принцип, така че всички точки да имат равен шанс да се приземят където и да е в това квадратче. Квадратът определя рамката на въпросното преживяване. Всяко събитие в рамките на опита се идентифицира с определена област от квадрата. С други думи, възникването на събитие означава, че произволна точка попада в областта, обозначена с буквата.Тогава операциите върху събития лесно се интерпретират геометрично (фиг. 2)

A:

A + B: всякакви

излюпване

На Фиг. 2 а) за по-голяма яснота, събитие А е подчертано с вертикално засенчване, събитие B с хоризонтално засенчване. Тогава операцията умножение съответства на двойна щриховка - събитието съответства на тази част от квадрата, която е покрита с двойна щриховка. Освен това, ако тогава те се наричат ​​несъвместими събития. Съответно операцията събиране съответства на всяко щрихиране - събитието означава част от квадрата, засенчена от произволно щрихиране - вертикално, хоризонтално и двойно. На фиг.2 б) е показано събитието, което отговаря на защрихованата част от квадрата - всичко, което не е включено в областта.Въведените операции имат следните основни свойства, някои от които са валидни за операции със същото име на числа, но има и конкретни.

10. комутативност на умножението;

20. комутативност на събирането;

трийсет . асоциативност на умножението;

4 0 . допълнителна асоциативност,

50 . разпределимост на умножението спрямо събирането,

6 0 . разпределимост на събирането спрямо умножението;

9 0 . законите на де Морган за дуалността,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Пример 7.Иван и Петър се съгласиха да се срещнат в интервал от време T час, например (0, T). В същото време те се разбраха, че всеки от тях, идвайки на срещата, ще чака другия не повече от час.

Нека дадем на този пример геометрична интерпретация. Нека отбележим: времето на пристигането на Иван на срещата; Часът на пристигането на Петър за срещата. По договореност: 0 . Тогава в координатната система получаваме: = Лесно се забелязва, че в нашия пример пространството на елементарните събития е квадрат. 1

0 x съответства на тази част от квадрата, която се намира над тази линия.Подобно на второто неравенство y≤x+ и; и не работи, ако всички елементи не работят, т.е. .По този начин, вторият закон на де Морган за дуалност: се прилага, когато елементите са свързани паралелно.

Горният пример показва защо теорията на вероятностите се използва широко във физиката, по-специално при изчисляване на надеждността на реални технически устройства.

„Инцидентите не са случайни“... Звучи като нещо, казано от философ, но всъщност изучаването на случайността е съдбата на великата наука математика. В математиката случайността се разглежда от теорията на вероятностите. В статията ще бъдат представени формули и примери за задачи, както и основните определения на тази наука.

Какво е теория на вероятностите?

Теорията на вероятностите е една от математическите дисциплини, които изучават случайни събития.

За да стане малко по-ясно, нека дадем малък пример: ако хвърлите монета нагоре, тя може да падне върху глави или опашки. Докато монетата е във въздуха, и двете от тези вероятности са възможни. Тоест вероятността от възможни последствия е 1:1. Ако една бъде изтеглена от тесте от 36 карти, тогава вероятността ще бъде посочена като 1:36. Изглежда, че тук няма какво да се изследва и прогнозира, особено с помощта на математически формули. Въпреки това, ако повторите определено действие много пъти, можете да идентифицирате определен модел и въз основа на него да предскажете изхода от събития в други условия.

За да обобщим всичко по-горе, теорията на вероятностите в класическия смисъл изучава възможността за настъпване на едно от възможните събития в числова стойност.

От страниците на историята

Теорията на вероятностите, формулите и примерите за първите задачи се появяват в далечното Средновековие, когато за първи път се появяват опити за предсказване на резултата от игрите с карти.

Първоначално теорията на вероятностите нямаше нищо общо с математиката. Обосновава се с емпирични факти или свойства на дадено събитие, които могат да бъдат възпроизведени на практика. Първите трудове в тази област като математическа дисциплина се появяват през 17 век. Основатели са Блез Паскал и Пиер Ферма. Те изучаваха хазарта дълго време и видяха определени модели, за които решиха да разкажат на обществеността.

Същата техника е изобретена от Кристиан Хюйгенс, въпреки че той не е бил запознат с резултатите от изследванията на Паскал и Ферма. Понятието „теория на вероятностите“, формули и примери, които се считат за първите в историята на дисциплината, са въведени от него.

Трудовете на Якоб Бернули, теоремите на Лаплас и Поасон също са от немалко значение. Те направиха теорията на вероятностите по-скоро като математическа дисциплина. Теорията на вероятностите, формулите и примерите за основни задачи получиха сегашния си вид благодарение на аксиомите на Колмогоров. В резултат на всички промени теорията на вероятностите се превърна в един от математическите клонове.

Основни понятия на теорията на вероятностите. събития

Основната концепция на тази дисциплина е „събитие“. Има три вида събития:

• Надежден.Тези, които така или иначе ще се случат (монетата ще падне).
• Невъзможен.Събития, които няма да се случат при никакви обстоятелства (монетата ще остане да виси във въздуха).
• Случаен.Тези, които ще се случат или няма да се случат. Те могат да бъдат повлияни от различни фактори, които са много трудни за прогнозиране. Ако говорим за монета, тогава има случайни фактори, които могат да повлияят на резултата: физическите характеристики на монетата, нейната форма, първоначалната й позиция, силата на хвърляне и т.н.

Всички събития в примерите са посочени с главни латински букви, с изключение на P, което има друга роля. Например:

• A = „студентите дойдоха на лекция.“
• Ā = „студентите не дойдоха на лекцията.“

В практическите задачи събитията обикновено се записват с думи.

Една от най-важните характеристики на събитията е тяхната равна възможност. Тоест, ако хвърлите монета, всички варианти на първоначалното падане са възможни, докато не падне. Но събитията също не са еднакво възможни. Това се случва, когато някой умишлено повлияе на резултата. Например „маркирани“ карти за игра или зарове, в които центърът на тежестта е изместен.

Събитията също могат да бъдат съвместими и несъвместими. Съвместимите събития не изключват взаимното си появяване. Например:

• A = „студентът дойде на лекцията.“
• B = „студентът дойде на лекцията.“

Тези събития са независими едно от друго и настъпването на едно от тях не влияе на настъпването на другото. Несъвместимите събития се определят от факта, че появата на едно изключва появата на друго. Ако говорим за една и съща монета, тогава загубата на „опашки“ прави невъзможно появата на „глави“ в същия експеримент.

Действия върху събития

Събитията могат да се умножават и събират, съответно в дисциплината са въведени логически връзки „И” и „ИЛИ”.

Сумата се определя от факта, че събитие А или Б, или две, могат да се случат едновременно. Ако са несъвместими, последната опция е невъзможна; ще се хвърлят или A, или B.

Умножаването на събития се състои в появата на A и B едновременно.

Сега можем да дадем няколко примера, за да запомним по-добре основите, теорията на вероятностите и формулите. Примери за решаване на проблеми по-долу.

Упражнение 1: Фирмата участва в конкурс за получаване на договори за три вида работа. Възможни събития, които могат да възникнат:

• A = „фирмата ще получи първия договор.“
• A 1 = „фирмата няма да получи първия договор.“
• B = „фирмата ще получи втори договор.“
• B 1 = „фирмата няма да получи втори договор“
• C = „фирмата ще получи трети договор.“
• C 1 = „фирмата няма да получи трети договор.“

Използвайки действия върху събития, ще се опитаме да изразим следните ситуации:

• K = „компанията ще получи всички договори.“

В математическа форма уравнението ще има следната форма: K = ABC.

• M = „компанията няма да получи нито един договор.“

M = A 1 B 1 C 1.

Нека усложним задачата: H = "компанията ще получи един договор." Тъй като не е известно кой договор ще получи компанията (първи, втори или трети), е необходимо да се запише цялата гама от възможни събития:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

И 1 пр. н. е. 1 е поредица от събития, при които фирмата не получава първия и третия договор, но получава втория. Други възможни събития бяха записани с помощта на подходящия метод. Символът υ в дисциплината означава свързващото „ИЛИ“. Ако преведем горния пример на човешки език, компанията ще получи или третия договор, или втория, или първия. По подобен начин можете да запишете други условия в дисциплината „Теория на вероятностите“. Формулите и примерите за решаване на проблеми, представени по-горе, ще ви помогнат да направите това сами.

Всъщност вероятността

Може би в тази математическа дисциплина вероятността за събитие е централната концепция. Има 3 определения за вероятност:

• класически;
• статистически;
• геометричен.

Всеки има своето място в изследването на вероятностите. Теория на вероятностите, формули и примери (9 клас) използват предимно класическата дефиниция, която звучи така:

• Вероятността за ситуация А е равна на отношението на броя на резултатите, които благоприятстват нейното възникване, към броя на всички възможни резултати.

Формулата изглежда така: P(A)=m/n.

А всъщност е събитие. Ако се появи случай, противоположен на A, той може да бъде записан като Ā или A 1 .

m е броят на възможните благоприятни случаи.

n - всички събития, които могат да се случат.

Например A = „изтеглете карта с цвят на сърцето“. В едно стандартно тесте има 36 карти, 9 от които са със сърца. Съответно формулата за решаване на проблема ще изглежда така:

P(A)=9/36=0.25.

В резултат на това вероятността от тестето да бъде изтеглена карта с цвят на сърцето ще бъде 0,25.

Към висшата математика

Сега стана малко известно какво представлява теорията на вероятностите, формули и примери за решаване на проблеми, които се срещат в училищната програма. Теорията на вероятностите обаче се среща и във висшата математика, която се преподава в университетите. Най-често оперират с геометрични и статистически определения на теорията и сложни формули.

Теорията на вероятностите е много интересна. По-добре е да започнете да изучавате формули и примери (висша математика) малки - със статистическата (или честотна) дефиниция на вероятността.

Статистическият подход не противоречи на класическия, а леко го разширява. Ако в първия случай беше необходимо да се определи с каква вероятност ще се случи събитие, тогава в този метод е необходимо да се посочи колко често ще се случи. Тук се въвежда нова концепция за „относителна честота“, която може да бъде означена с W n (A). Формулата не се различава от класическата:

Ако класическата формула се изчислява за прогнозиране, то статистическата се изчислява според резултатите от експеримента. Да вземем например една малка задача.

Отделът за технологичен контрол проверява качеството на продуктите. От 100 продукта 3 са с лошо качество. Как да намерим честотната вероятност на качествен продукт?

A = „вид на качествен продукт“.

W n (A)=97/100=0,97

Така честотата на качествен продукт е 0,97. От къде взе 97? От 100 проверени продукта 3 са с лошо качество. От 100 изваждаме 3 и получаваме 97, това е количеството качествени стоки.

Малко за комбинаториката

Друг метод на теорията на вероятностите се нарича комбинаторика. Неговият основен принцип е, че ако даден избор A може да бъде направен по m различни начина, а избор B може да бъде направен по n различни начина, тогава изборът на A и B може да бъде направен чрез умножение.

Например има 5 пътя, водещи от град А до град Б. Има 4 пътеки от град B до град C. По колко начина можете да стигнете от град А до град В?

Просто е: 5x4=20, тоест по двадесет различни начина можете да стигнете от точка А до точка С.

Нека да усложним задачата. Колко начина има за подреждане на карти в пасианса? В тестето има 36 карти - това е началната точка. За да разберете броя на начините, трябва да „изваждате“ една карта наведнъж от началната точка и да умножавате.

Тоест, 36x35x34x33x32...x2x1= резултатът не се побира на екрана на калкулатора, така че може просто да бъде обозначен като 36!. Знак "!" до числото показва, че цялата поредица от числа се умножава заедно.

В комбинаториката има такива понятия като пермутация, поставяне и комбинация. Всеки от тях има своя собствена формула.

Подредено множество от елементи на множество се нарича подреждане. Разположенията могат да се повтарят, тоест един елемент може да се използва няколко пъти. И без повторение, когато елементите не се повтарят. n са всички елементи, m са елементи, които участват в поставянето. Формулата за поставяне без повторение ще изглежда така:

A n m =n!/(n-m)!

Връзките на n елемента, които се различават само по реда на разположение, се наричат ​​пермутации. В математиката изглежда така: P n = n!

Комбинации от n елемента от m са тези съединения, в които е важно какви елементи са били и какъв е общият им брой. Формулата ще изглежда така:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула на Бернули

В теорията на вероятностите, както във всяка дисциплина, има трудове на изключителни изследователи в своята област, които са я издигнали на ново ниво. Една от тези работи е формулата на Бернули, която ви позволява да определите вероятността определено събитие да се случи при независими условия. Това предполага, че появата на А в експеримент не зависи от появата или липсата на същото събитие в по-ранни или следващи опити.

Уравнение на Бернули:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Вероятността (p) за възникване на събитие (A) е постоянна за всеки опит. Вероятността ситуацията да се случи точно m пъти в n брой експеримента ще бъде изчислена по формулата, представена по-горе. Съответно възниква въпросът как да разберете числото q.

Ако събитие А се появи p брой пъти, то съответно може да не се случи. Единицата е число, което се използва за обозначаване на всички резултати от ситуация в дадена дисциплина. Следователно q е число, което означава възможността дадено събитие да не се случи.

Сега знаете формулата на Бернули (теория на вероятностите). По-долу ще разгледаме примери за решаване на проблеми (първо ниво).

Задача 2:Посетител на магазина ще направи покупка с вероятност 0,2. 6 посетители са влезли самостоятелно в магазина. Каква е вероятността посетител да направи покупка?

Решение: Тъй като не е известно колко посетители трябва да направят покупка, един или всичките шест, е необходимо да се изчислят всички възможни вероятности, като се използва формулата на Бернули.

A = „посетителят ще направи покупка“.

В този случай: p = 0,2 (както е посочено в задачата). Съответно q=1-0.2=0.8.

n = 6 (тъй като в магазина има 6 клиента). Числото m ще варира от 0 (нито един клиент няма да направи покупка) до 6 (всички посетители на магазина ще закупят нещо). В резултат на това получаваме решението:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Нито един от купувачите няма да направи покупка с вероятност 0,2621.

Как иначе се използва формулата на Бернули (теория на вероятностите)? Примери за решаване на проблеми (второ ниво) по-долу.

След горния пример възникват въпроси за това къде са отишли ​​C и r. Спрямо p, число на степен 0 ще бъде равно на едно. Що се отнася до C, той може да бъде намерен по формулата:

C n m = n! /m!(n-m)!

Тъй като в първия пример m = 0, съответно C = 1, което по принцип не влияе на резултата. Използвайки новата формула, нека се опитаме да разберем каква е вероятността двама посетители да закупят стоки.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Теорията на вероятностите не е толкова сложна. Формулата на Бернули, чиито примери са представени по-горе, е пряко доказателство за това.

Формула на Поасон

Уравнението на Поасон се използва за изчисляване на случайни ситуации с ниска вероятност.

Основна формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

В този случай λ = n x p. Ето една проста формула на Поасон (теория на вероятностите). По-долу ще разгледаме примери за решаване на проблеми.

Задача 3: Фабриката е произвела 100 000 части. Поява на дефектна част = 0,0001. Каква е вероятността да има 5 дефектни части в партида?

Както можете да видите, бракът е малко вероятно събитие и затова формулата на Поасон (теория на вероятностите) се използва за изчисление. Примери за решаване на задачи от този вид не се различават от другите задачи в дисциплината, ние заместваме необходимите данни в дадената формула:

A = „произволно избрана част ще бъде дефектна.“

p = 0,0001 (според условията на задачата).

n = 100000 (брой части).

m = 5 (дефектни части). Заменяме данните във формулата и получаваме:

R 100 000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Точно като формулата на Бернули (теория на вероятностите), примери за решения, използващи които са написани по-горе, уравнението на Поасон има неизвестно е. Всъщност може да се намери по формулата:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Има обаче специални таблици, които съдържат почти всички стойности на e.

Теорема на Моавр-Лаплас

Ако в схемата на Бернули броят на опитите е достатъчно голям и вероятността за възникване на събитие А във всички схеми е една и съща, тогава вероятността за възникване на събитие А определен брой пъти в поредица от тестове може да се намери чрез Формула на Лаплас:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

За да запомните по-добре формулата на Лаплас (теория на вероятностите), по-долу са дадени примери за проблеми, за да ви помогнат.

Първо, нека намерим X m, заместим данните (всички са изброени по-горе) във формулата и получим 0,025. Използвайки таблици, намираме числото ϕ(0,025), чиято стойност е 0,3988. Сега можете да замените всички данни във формулата:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Така вероятността флаерът да работи точно 267 пъти е 0,03.

Формула на Бейс

Формулата на Байс (теория на вероятностите), примери за решаване на проблеми, с помощта на които ще бъдат дадени по-долу, е уравнение, което описва вероятността от събитие въз основа на обстоятелствата, които могат да бъдат свързани с него. Основната формула е следната:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

А и Б са определени събития.

P(A|B) е условна вероятност, тоест събитие A може да се случи, при условие че събитие B е вярно.

P (B|A) - условна вероятност за събитие B.

И така, последната част от краткия курс „Теория на вероятностите“ е формулата на Байс, примери за решения на проблеми с които са по-долу.

Задача 5: В склада са докарани телефони от три фирми. В същото време делът на телефоните, които се произвеждат в първия завод, е 25%, във втория - 60%, в третия - 15%. Известно е също, че средният процент на дефектни продукти в първата фабрика е 2%, във втората - 4%, а в третата - 1%. Трябва да намерите вероятността произволно избран телефон да бъде дефектен.

A = „случайно избран телефон“.

B 1 - телефонът, който произвежда първата фабрика. Съответно ще се появят въвеждащи B 2 и B 3 (за втория и третия завод).

В резултат получаваме:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0.15 - така намерихме вероятността за всяка опция.

Сега трябва да намерите условните вероятности на желаното събитие, тоест вероятността за дефектни продукти в компаниите:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Сега нека заместим данните във формулата на Bayes и да получим:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Статията представя теория на вероятностите, формули и примери за решаване на проблеми, но това е само върхът на айсберга на една обширна дисциплина. И след всичко написано ще бъде логично да зададем въпроса дали теорията на вероятностите е необходима в живота. Трудно е за обикновен човек да отговори; по-добре е да попитате някой, който го е използвал, за да спечели джакпота повече от веднъж.

Теорията на вероятностите е дял от математиката, който изучава моделите на случайни явления: случайни събития, случайни променливи, техните свойства и операции върху тях.

Дълго време теорията на вероятностите нямаше ясна дефиниция. Той е формулиран едва през 1929 г. Възникването на теорията на вероятностите като наука датира от Средновековието и първите опити за математически анализ на хазарта (флейк, зарове, рулетка). Френските математици от 17-ти век Блез Паскал и Пиер Ферма, докато изучават прогнозирането на печалбите в хазарта, откриват първите вероятностни модели, които възникват при хвърляне на зарове.

Теорията на вероятностите възниква като наука от убеждението, че масовите случайни събития се основават на определени модели. Теорията на вероятностите изучава тези модели.

Теорията на вероятностите се занимава с изучаването на събития, чието възникване не е известно със сигурност. Тя ви позволява да прецените степента на вероятност за настъпване на някои събития в сравнение с други.

Например: невъзможно е да се определи недвусмислено резултатът от „глави“ или „опашки“ в резултат на хвърляне на монета, но при многократно хвърляне се появяват приблизително еднакъв брой „глави“ и „опашки“, което означава, че вероятността „глави“ или „опашки“ да паднат ", е равна на 50%.

Теств този случай се нарича прилагането на определен набор от условия, тоест в този случай хвърлянето на монета. Предизвикателството може да се играе неограничен брой пъти. В този случай наборът от условия включва случайни фактори.

Резултатът от теста е събитие. Събитието се случва:

1. Надеждно (винаги възниква в резултат на тестване).
2. Невъзможно (никога не се случва).
3. Случаен (може или не може да възникне в резултат на теста).

Например, когато хвърляте монета, невъзможно събитие - монетата ще кацне на ръба си, случайно събитие - появата на „глави“ или „опашки“. Конкретният резултат от теста се извиква елементарно събитие. В резултат на теста възникват само елементарни събития. Извиква се множеството от всички възможни, различни, специфични резултати от теста пространство на елементарни събития.

Основни понятия на теорията

Вероятност- степента на вероятност за настъпване на събитие. Когато причините за реално възникване на някакво възможно събитие надвишават противоположните причини, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай - малко вероятно или невероятно.

Случайна стойност- това е величина, която в резултат на тестване може да приеме една или друга стойност, като не е известно предварително каква. Например: брой на пожарна на ден, брой попадения с 10 изстрела и т.н.

Случайните променливи могат да бъдат разделени на две категории.

1. Дискретна случайна променливае количество, което в резултат на тестване може да приеме определени стойности с определена вероятност, образувайки изброимо множество (набор, чиито елементи могат да бъдат номерирани). Това множество може да бъде крайно или безкрайно. Например броят на изстрелите преди първото попадение в целта е дискретна случайна променлива, т.к. това количество може да приеме безкраен, макар и изброим брой стойности.
2. Непрекъсната случайна променливае количество, което може да приеме произволна стойност от някакъв краен или безкраен интервал. Очевидно броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен.

Вероятностно пространство- концепция, въведена от A.N. Колмогоров през 30-те години на 20-ти век, за да формализира понятието вероятност, което доведе до бързото развитие на теорията на вероятностите като строга математическа дисциплина.

Вероятностното пространство е тройка (понякога оградена в ъглови скоби: , където

Това е произволно множество, чиито елементи се наричат ​​елементарни събития, резултати или точки;
- сигма алгебра на подмножества, наречени (случайни) събития;
- вероятностна мярка или вероятност, т.е. сигма-добавена крайна мярка, така че .

Теорема на Моавр-Лаплас- една от граничните теореми на теорията на вероятностите, създадена от Лаплас през 1812 г. Той гласи, че броят на успехите при повтаряне на един и същ случаен експеримент отново и отново с два възможни резултата е приблизително нормално разпределен. Позволява ви да намерите приблизителна стойност на вероятността.

Ако за всеки от независимите опити вероятността за възникване на някакво случайно събитие е равна на () и е броят на опитите, в които то действително се случва, тогава вероятността неравенството да е вярно е близка (за големи стойности) до стойност на интеграла на Лаплас.

Функция на разпределение в теорията на вероятностите- функция, характеризираща разпределението на случайна променлива или случаен вектор; вероятността случайна променлива X да приеме стойност, по-малка или равна на x, където x е произволно реално число. Ако са изпълнени известни условия, той напълно определя случайната променлива.

Очаквана стойност- средната стойност на случайна променлива (това е вероятностното разпределение на случайна променлива, разглеждано в теорията на вероятностите). В англоезичната литература се обозначава с , в руската - . В статистиката нотацията често се използва.

Нека е дадено вероятностно пространство и произволна променлива, дефинирана върху него. Това е, по дефиниция, измерима функция. След това, ако има интеграл на Лебег от над пространството, тогава той се нарича математическо очакване или средна стойност и се обозначава.

Дисперсия на случайна променлива- мярка за разпространението на дадена случайна величина, т.е. нейното отклонение от математическото очакване. Обозначава се в руската и чуждестранната литература. В статистиката често се използва обозначението или. Корен квадратен от дисперсията се нарича стандартно отклонение, стандартно отклонение или стандартен спред.

Нека е случайна променлива, дефинирана в някакво вероятностно пространство. Тогава

където символът означава математическото очакване.

В теорията на вероятностите се наричат ​​две случайни събития независима, ако появата на едно от тях не променя вероятността за възникване на другото. По същия начин се извикват две случайни променливи зависим, ако стойността на една от тях влияе върху вероятността от стойностите на другата.

Най-простата форма на закона за големите числа е теоремата на Бернули, която гласи, че ако вероятността за събитие е една и съща във всички опити, тогава с увеличаване на броя на опитите честотата на събитието клони към вероятността за събитието и престава да бъде случаен.

Законът за големите числа в теорията на вероятностите гласи, че средната аритметична стойност на крайна извадка от фиксирано разпределение е близка до теоретичната средна стойност на това разпределение. В зависимост от вида на конвергенцията се прави разлика между слабия закон на големите числа, когато сходимостта възниква по вероятност, и силния закон на големите числа, когато сходимостта е почти сигурна.

Общото значение на закона за големите числа е, че съвместното действие на голям брой еднакви и независими случайни фактори води до резултат, който в крайна сметка не зависи от случайността.

Методите за оценка на вероятността, базирани на анализ на ограничена извадка, се основават на това свойство. Ярък пример е прогнозата за изборните резултати въз основа на проучване на извадка от избиратели.

Централни гранични теореми- клас от теореми в теорията на вероятностите, заявяващи, че сумата от достатъчно голям брой слабо зависими случайни променливи, които имат приблизително еднакви мащаби (нито един от термините не доминира или не прави определящ принос към сумата) има разпределение, близко до нормалното.

Тъй като много случайни променливи в приложенията се формират под въздействието на няколко слабо зависими случайни фактора, тяхното разпределение се счита за нормално. В този случай трябва да е изпълнено условието нито един от факторите да не е доминиращ. Централните гранични теореми в тези случаи оправдават използването на нормалното разпределение.

Някои програмисти, след като са работили в областта на разработването на обикновени търговски приложения, мислят да овладеят машинното обучение и да станат анализатори на данни. Те често не разбират защо определени методи работят, а повечето методи за машинно обучение изглеждат като магия. Всъщност машинното обучение се основава на математическа статистика, която от своя страна се основава на теория на вероятностите. Ето защо в тази статия ще обърнем внимание на основните понятия на теорията на вероятностите: ще се докоснем до определенията за вероятност, разпределение и ще анализираме няколко прости примера.

Може би знаете, че теорията на вероятностите условно е разделена на 2 части. Дискретната теория на вероятностите изучава явления, които могат да бъдат описани чрез разпределение с краен (или изброим) брой възможни опции за поведение (хвърляне на зарове, монети). Непрекъснатата теория на вероятностите изучава явления, разпределени в някакъв плътен набор, например в сегмент или в кръг.

Можем да разгледаме предмета на теорията на вероятностите, използвайки прост пример. Представете си себе си като разработчик на шутъри. Неразделна част от развитието на игрите в този жанр е механиката на стрелба. Ясно е, че стрелецът, в който всички оръжия стрелят абсолютно точно, няма да представлява голям интерес за играчите. Следователно е наложително да добавите разпространение към оръжието си. Но простото рандомизиране на точките за удар на оръжие няма да позволи фина настройка, така че коригирането на баланса на играта ще бъде трудно. В същото време използването на произволни променливи и техните разпределения може да анализира как едно оръжие ще работи с дадено разпространение и да помогне да се направят необходимите корекции.

Пространство на елементарни резултати

Да кажем, че от някакъв случаен експеримент, който можем да повторим много пъти (например хвърляне на монета), можем да извлечем някаква формализирана информация (излязла е глави или опашки). Тази информация се нарича елементарен резултат и е полезно да се разгледа наборът от всички елементарни резултати, често означавани с буквата Ω (Омега).

Структурата на това пространство зависи изцяло от характера на експеримента. Например, ако разгледаме стрелба по достатъчно голяма кръгла мишена, пространството на елементарните резултати ще бъде кръг, за удобство, поставен с център на нула, а резултатът ще бъде точка в този кръг.

Освен това се разглеждат набори от елементарни резултати - събития (например попадение в десетката е концентричен кръг с малък радиус с цел). В дискретния случай всичко е съвсем просто: можем да получим всяко събитие, включително или без елементарни резултати за крайно време. В непрекъснатия случай всичко е много по-сложно: имаме нужда от доста добро семейство от множества, които да разгледаме, наречени алгебра по аналогия с прости реални числа, които могат да се събират, изваждат, делят и умножават. Наборите в алгебрата могат да се пресичат и комбинират и резултатът от операцията ще бъде в алгебрата. Това е много важно свойство за математиката, която стои зад всички тези концепции. Минималното семейство се състои само от две множества - празното множество и пространството на елементарните резултати.

Мярка и вероятност

Вероятността е начин да се правят изводи за поведението на много сложни обекти, без да се разбира как работят. По този начин вероятността се определя като функция на събитие (от това много добро семейство набори), което връща число - някаква характеристика за това колко често такова събитие може да се случи в действителност. За да бъде сигурно, математиците се съгласиха, че това число трябва да е между нула и едно. Освен това тази функция има изисквания: вероятността за невъзможно събитие е нула, вероятността за целия набор от резултати е единица и вероятността за комбиниране на две независими събития (несвързани набори) е равна на сумата от вероятностите. Друго име за вероятност е вероятностна мярка. Най-често се използва мярка на Лебег, която обобщава понятията дължина, площ, обем до всякакви измерения (n-мерен обем) и по този начин е приложима за широк клас множества.

Заедно колекцията от набор от елементарни резултати, семейство набори и вероятностна мярка се нарича вероятностно пространство. Нека разгледаме как можем да конструираме вероятностно пространство за примера на стрелба по мишена.

Помислете за стрелба по голяма кръгла цел с радиус R, която е невъзможно да пропуснете. Чрез набор от елементарни събития задаваме окръжност с център в началото на координатите с радиус R. Тъй като ще използваме площ (мярката на Лебег за двумерни множества), за да опишем вероятността от дадено събитие, ще използваме семейство от измерими (за които тази мярка съществува) множества.

Забележка Всъщност това е технически момент и при прости задачи процесът на определяне на мярка и семейство от множества не играе специална роля. Но е необходимо да се разбере, че тези два обекта съществуват, защото в много книги по теория на вероятностите теоремите започват с думите: „ Нека (Ω,Σ,P) е вероятностно пространство...».

Както бе споменато по-горе, вероятността за цялото пространство от елементарни резултати трябва да бъде равна на единица. Площта (двумерна мярка на Лебег, която обозначаваме с λ 2 (A), където A е събитие) на окръжност, според добре позната формула от училище, е равна на π *R 2. Тогава можем да въведем вероятността P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) и тази стойност вече ще лежи между 0 и 1 за всяко събитие A.

Ако приемем, че уцелването на която и да е точка от целта е еднакво вероятно, търсенето на вероятността стрелецът да уцели някаква област от целта се свежда до намиране на областта на този набор (оттук можем да заключим, че вероятността на удряне на конкретна точка е нула, тъй като площта на точката е нула).

Например, искаме да разберем каква е вероятността стрелецът да попадне в челната десетка (събитие A - стрелецът да уцели желания комплект). В нашия модел "десетката" е представена от кръг с център нула и радиус r. Тогава вероятността да попаднете в този кръг е P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.

Това е един от най-простите видове задачи за "геометрична вероятност" - повечето от тези задачи изискват намиране на област.

Случайни променливи

Случайна променлива е функция, която преобразува елементарни резултати в реални числа. Например в разглежданата задача можем да въведем случайна величина ρ(ω) - разстоянието от точката на удара до центъра на целта. Простотата на нашия модел ни позволява изрично да дефинираме пространството от елементарни резултати: Ω = (ω = (x,y) такива числа, че x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Тогава случайната променлива ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Средства за абстракция от вероятностното пространство. Функция на разпределение и плътност

Хубаво е, когато структурата на пространството е добре позната, но в действителност това не винаги е така. Дори ако структурата на едно пространство е известна, тя може да бъде сложна. За да се опишат случайни променливи, ако техният израз е неизвестен, съществува концепцията за функция на разпределение, която се означава с F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Функцията на разпределение има няколко свойства:

1. Първо, тя е между 0 и 1.
2. Второ, той не намалява, когато неговият аргумент x нараства.
3. Трето, когато числото -x е много голямо, функцията на разпределение е близка до 0, а когато самото x е голямо, функцията на разпределение е близо до 1.

Вероятно значението на тази конструкция не е много ясно при първо четене. Едно полезно свойство е, че функцията за разпределение ви позволява да търсите вероятността дадена стойност да вземе стойност от интервал. И така, P (случайната променлива ξ приема стойности от интервала) = F ξ (b) -F ξ (a). Въз основа на това равенство можем да проучим как се променя тази стойност, ако границите a и b на интервала са близки.

Нека d = b-a, тогава b = a+d. И следователно, F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . За малки стойности на d горната разлика също е малка (ако разпределението е непрекъснато). Има смисъл да се разглежда отношението p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d. Ако за достатъчно малки стойности на d това съотношение се различава малко от някаква константа p ξ (a), независимо от d, тогава в този момент случайната променлива има плътност, равна на p ξ (a).

Забележка Читателите, които преди са се сблъсквали с концепцията за производна, може да забележат, че p ξ (a) е производната на функцията F ξ (x) в точка a. Във всеки случай можете да изучавате концепцията за производна в статия по тази тема на уебсайта на Mathprofi.

Сега значението на функцията на разпределение може да се дефинира по следния начин: нейната производна (плътност p ξ, която дефинирахме по-горе) в точка a описва колко често една случайна променлива ще попадне в малък интервал с център в точка a (околността на точка a ) в сравнение с кварталите на други точки. С други думи, колкото по-бързо расте функцията на разпределение, толкова по-вероятно е такава стойност да се появи в случаен експеримент.

Да се ​​върнем към примера. Можем да изчислим функцията на разпределение за случайната променлива, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , която обозначава разстоянието от центъра до произволната точка на попадение върху целта. По дефиниция F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Можем да намерим плътността p ρ на тази случайна променлива. Нека веднага отбележим, че извън интервала е нула, т.к функцията на разпределение в този интервал остава непроменена. В края на този интервал плътността не се определя. Вътре в интервала може да се намери с помощта на таблица с производни (например от уебсайта на Mathprofi) и елементарни правила за диференциране. Производната на t 2 /R 2 е равна на 2t/R 2. Това означава, че намерихме плътността по цялата ос на реалните числа.

Друго полезно свойство на плътността е вероятността дадена функция да вземе стойност от интервал, който се изчислява с помощта на интеграла на плътността върху този интервал (можете да разберете какво е това в статии за правилни, неправилни и неопределени интеграли в Mathprofi уебсайт).

При първо четене интегралът върху интервал от функцията f(x) може да се разглежда като площта на извит трапец. Неговите страни са фрагмент от оста Ox, празнина (хоризонтална координатна ос), вертикални сегменти, свързващи точки (a,f(a)), (b,f(b)) на кривата с точки (a,0), (b,0) по оста Ox. Последната страна е фрагмент от графиката на функцията f от (a,f(a)) до (b,f(b)) . Можем да говорим за интеграл върху интервала (-∞; b], когато за достатъчно големи отрицателни стойности, a, стойността на интеграла върху интервала ще се промени незначително в сравнение с промяната на числото a. Интегралът върху интервалите е Общо ще има 2Ї2Ї2Ї2 = 16 резултата В съответствие с предположението, че резултатите от отделните изстрели са независими, трябва да се използва формула (3) и бележка към нея за определяне на вероятностите за тези резултати. , вероятността за резултата (y, n.n, n) трябва да бъде зададена равна на 0.2Ї0.8Ї0.8Ї0, 8 = 0.1024; тук 0.8 = 1-0.2 е вероятността за пропуск с един изстрел. целта е уцелена три пъти“ се предпочита от резултатите (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y) , вероятността за всеки е една и съща:

0,2Ї0,2Ї0,2Ї0,8 =...... =0,8Ї0,2Ї0,2Ї0,2 = 0,0064;

следователно изискваната вероятност е равна на

4Ї0,0064 = 0,0256.

Обобщавайки разсъжденията на анализирания пример, можем да изведем една от основните формули на теорията на вероятностите: ако събитията A1, A2,..., An са независими и всяко има вероятност p, тогава вероятността точно m от тях да се случат е равна на

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

тук Cnm означава броя на комбинациите от n елемента на m. За големи n изчисленията с помощта на формула (4) стават трудни. Нека броят на изстрелите в предишния пример е 100 и се задава въпросът да се намери вероятността x, че броят на попаденията е в диапазона от 8 до 32. Прилагането на формула (4) и теоремата за събиране дава точна, но практически неизползваем израз на желаната вероятност

Приблизителната стойност на вероятността x може да се намери с помощта на теоремата на Лаплас

и грешката не надвишава 0,0009. Намереният резултат показва, че събитието 8 £ m £ 32 е почти сигурно. Това е най-простият, но типичен пример за използване на гранични теореми в теорията на вероятностите.

Основните формули на елементарната теория на вероятностите включват също така наречената формула за пълна вероятност: ако събитията A1, A2,..., Ar са несъвместими по двойки и тяхното обединение е надеждно събитие, тогава за всяко събитие B неговата вероятност е равна на сумата

Теоремата за умножение на вероятността е особено полезна, когато се разглеждат съставни тестове. Казва се, че изпитване T е съставено от изпитвания T1, T2,..., Tn-1, Tn, ако всеки резултат от изпитване T е комбинация от някои резултати Ai, Bj,..., Xk, Yl на съответните опити T1, T2,... , Tn-1, Tn. По една или друга причина вероятностите често са известни