الاهتزازات القسرية. صدى. الاهتزازات القسرية يمكن أن تؤدي إلى اهتزازات قسرية

لكي يتمكن النظام من أداء تذبذبات غير مخمدة، من الضروري التعويض عن فقدان طاقة التذبذب بسبب الاحتكاك من الخارج. من أجل ضمان عدم انخفاض طاقة تذبذب النظام، عادة ما يتم تقديم قوة تعمل بشكل دوري على النظام (سوف نسمي هذه القوة القسرية، ويتم إجبار التذبذبات).

تعريف: قسريهذه هي التذبذبات التي تحدث في النظام التذبذبي تحت تأثير قوة خارجية متغيرة بشكل دوري.

تلعب هذه القوة عادةً دورًا مزدوجًا:

أولاً، يعمل على اهتزاز النظام وتزويده بقدر معين من الطاقة؛

ثانيا، يقوم بشكل دوري بتجديد فقد الطاقة (استهلاك الطاقة) للتغلب على قوى المقاومة والاحتكاك.

دع القوة الدافعة تتغير بمرور الوقت وفقًا للقانون:

دعونا نؤلف معادلة حركة لنظام يتأرجح تحت تأثير هذه القوة. ونفترض أن النظام يتأثر أيضًا بقوة شبه مرنة وقوة مقاومة الوسط (وهذا صحيح في ظل افتراض التذبذبات الصغيرة).

عندها ستكون معادلة حركة النظام كما يلي:

أو .

بعد إجراء البدائل ، - التردد الطبيعي لتذبذبات النظام ، نحصل على معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية:

من المعروف من نظرية المعادلات التفاضلية أن الحل العام للمعادلة غير المتجانسة يساوي مجموع الحل العام للمعادلة المتجانسة والحل الخاص للمعادلة غير المتجانسة.

الحل العام للمعادلة المتجانسة معروف:

,

أين ; أ 0 و أ- ثابت تعسفي.

.

باستخدام مخطط متجه، يمكنك التحقق من صحة هذا الافتراض، وكذلك تحديد قيم " أ" و " ي”.

يتم تحديد سعة التذبذبات بالتعبير التالي:

.

معنى " ي"، وهو حجم تأخر الطور للتذبذب القسري من القوة الدافعة التي حددته، يتم تحديده أيضًا من مخطط المتجهات ويبلغ:

.

وأخيرا، فإن الحل الخاص للمعادلة غير المتجانسة سوف يأخذ الشكل:

(8.18)

هذه الوظيفة، جنبا إلى جنب مع

(8.19)

يعطي حلاً عامًا لمعادلة تفاضلية غير متجانسة تصف سلوك النظام في ظل التذبذبات القسرية. يلعب المصطلح (8.19) دورًا مهمًا في المرحلة الأولية من العملية، أثناء ما يسمى بتأسيس التذبذبات (الشكل 8.10).

مع مرور الوقت، وبسبب العامل الأسي، يتضاءل دور الحد الثاني (8.19) أكثر فأكثر، وبعد وقت كافٍ يمكن إهماله، مع الاحتفاظ فقط بالحد (8.18) في الحل.

وهكذا، تصف الدالة (8.18) التذبذبات القسرية في الحالة المستقرة. إنها تمثل تذبذبات توافقية بتردد يساوي تردد القوة الدافعة. يتناسب سعة الاهتزازات القسرية مع سعة القوة الدافعة. بالنسبة لنظام تذبذب معين (محدد بواسطة w 0 وb)، تعتمد السعة على تردد القوة الدافعة. تتخلف الاهتزازات القسرية عن القوة الدافعة في الطور، ويعتمد حجم التأخر "j" أيضًا على تردد القوة الدافعة.

إن اعتماد سعة التذبذبات القسرية على تردد القوة الدافعة يؤدي إلى حقيقة أنه عند تردد معين محدد لنظام معين، تصل سعة التذبذبات إلى القيمة القصوى. تبين أن النظام التذبذبي يستجيب بشكل خاص لعمل القوة الدافعة عند هذا التردد. وتسمى هذه الظاهرة بالرنين، والتردد المقابل هو تردد الرنين.

تعريف: تسمى الظاهرة التي يتم فيها ملاحظة زيادة حادة في سعة التذبذبات القسرية صدى.

يتم تحديد تردد الرنين من الشرط الأقصى لسعة التذبذبات القسرية:

. (8.20)

ثم، استبدال هذه القيمة في التعبير عن السعة، نحصل على:

. (8.21)

وفي غياب المقاومة من الوسط، فإن سعة الاهتزازات عند الرنين ستتحول إلى ما لا نهاية؛ يتطابق تردد الرنين في نفس الظروف (b = 0) مع التردد الطبيعي للتذبذبات.

يمكن تمثيل اعتماد سعة التذبذبات القسرية على تردد القوة الدافعة (أو، وهو نفس الشيء، على تردد التذبذب) بيانياً (الشكل 8.11). تتوافق المنحنيات الفردية مع قيم مختلفة لـ "b". كلما كان "b" أصغر، كلما كان الحد الأقصى لهذا المنحنى أعلى وإلى اليمين (انظر التعبير الخاص بـ wres.). مع التوهين الكبير جدًا، لا يتم ملاحظة الرنين - مع زيادة التردد، تنخفض سعة التذبذبات القسرية بشكل رتيب (المنحنى السفلي في الشكل 8.11).

يتم استدعاء مجموعة الرسوم البيانية المقدمة المقابلة لقيم مختلفة لـ b منحنيات الرنانة.

ملحوظات بخصوص منحنيات الرنين:

مع ميل w®0، تصل جميع المنحنيات إلى نفس القيمة غير الصفرية، أي . تمثل هذه القيمة الإزاحة من موضع التوازن الذي يستقبله النظام تحت تأثير قوة ثابتة F 0 .

بالنسبة لـ w®¥، تميل جميع المنحنيات بشكل مقارب إلى الصفر، لأن عند الترددات العالية، تغير القوة اتجاهها بسرعة كبيرة بحيث لا يكون لدى النظام الوقت الكافي للتحول بشكل ملحوظ من موضع توازنه.

كلما كانت b أصغر، كلما تغيرت السعة القريبة من الرنين مع التردد، وكلما كان الحد الأقصى "أكثر وضوحًا".

أمثلة:

غالبًا ما تكون ظاهرة الرنين مفيدة، خاصة في هندسة الصوتيات والراديو.

إن فقدان الطاقة الميكانيكية في أي نظام تذبذب بسبب وجود قوى الاحتكاك أمر لا مفر منه، لذلك بدون "ضخ" الطاقة من الخارج، سيتم إخماد التذبذبات. هناك عدة طرق مختلفة جذريًا لإنشاء أنظمة تذبذبية للتذبذبات المستمرة. دعونا نلقي نظرة فاحصة على تذبذبات غير مخمدة تحت تأثير قوة دورية خارجية. وتسمى هذه التذبذبات القسرية. دعونا نواصل دراسة حركة البندول التوافقي (الشكل 6.9).

بالإضافة إلى قوى المرونة والاحتكاك اللزج التي تمت مناقشتها سابقًا، يتم التأثير على الكرة بواسطة قوى خارجية قهريقوة دورية تختلف وفقا للقانون التوافقي

التردد الذي قد يختلف عن التردد الطبيعي للبندول ω س. طبيعة هذه القوة في هذه الحالة ليست مهمة بالنسبة لنا. يمكن إنشاء مثل هذه القوة بطرق مختلفة، على سبيل المثال، عن طريق نقل شحنة كهربائية إلى الكرة ووضعها في مجال كهربائي خارجي متناوب. معادلة حركة الكرة في الحالة قيد النظر لها الشكل

دعونا نقسمها على كتلة الكرة ونستخدم الترميز السابق لمعلمات النظام. ونتيجة لذلك نحصل معادلة التذبذب القسري:

أين F س = ف س /م- نسبة قيمة سعة القوة الدافعة الخارجية إلى كتلة الكرة. الحل العام للمعادلة (3) مرهق للغاية ويعتمد بالطبع على الشروط الأولية. إن طبيعة حركة الكرة الموصوفة في المعادلة (3) واضحة: تحت تأثير القوة الدافعة، ستنشأ تذبذبات، وسيزداد اتساعها. هذا النظام الانتقالي معقد للغاية ويعتمد على الظروف الأولية. بعد فترة زمنية معينة، سيتم إنشاء الوضع التذبذبي وسوف تتوقف سعتها عن التغيير. بالضبط حالة ثابتة من التذبذب، في كثير من الحالات هو الاهتمام الأساسي. ولن نتناول انتقال النظام إلى حالة الاستقرار، بل سنركز على وصف ودراسة خصائص هذا الوضع. مع هذه الصيغة للمسألة، ليست هناك حاجة لتحديد الشروط الأولية، حيث أن الحالة المستقرة التي نهتم بها لا تعتمد على الشروط الأولية، فخصائصها تتحدد بالكامل من خلال المعادلة نفسها. لقد واجهنا موقفًا مشابهًا عند دراسة حركة جسم تحت تأثير قوة خارجية ثابتة وقوة الاحتكاك اللزج

وبعد مرور بعض الوقت، يتحرك الجسم بسرعة ثابتة ثابتة ت = ف س /β والتي لا تعتمد على الشروط الأولية ويتم تحديدها بالكامل بواسطة معادلة الحركة. تحدد الشروط الأولية النظام الانتقالي إلى الحركة الثابتة. واستنادًا إلى المنطق السليم، فمن المعقول الافتراض أنه في وضع التذبذب الثابت، سوف تتأرجح الكرة وفقًا لتردد القوة الدافعة الخارجية. ولذلك، ينبغي البحث عن حل المعادلة (3) في دالة توافقية مع تردد القوة الدافعة. أولا، دعونا نحل المعادلة (3)، مع إهمال قوة المقاومة

دعونا نحاول إيجاد حلها على شكل دالة توافقية

وللقيام بذلك، نحسب اعتماد سرعة الجسم وتسارعه على الزمن كمشتقات لقانون الحركة

ونعوض بقيمها في المعادلة (4)

الآن يمكنك تقليله عن طريق التكلفة. وبالتالي يتحول هذا التعبير إلى الهوية الصحيحة في أي وقت بشرط استيفاء الشرط

وبالتالي، فإن افتراضنا حول حل المعادلة (4) في الشكل (5)  كان له ما يبرره: يتم وصف الحالة المستقرة للتذبذبات بواسطة الدالة

لاحظ أن معامل أوفقا للتعبير الناتج (6) يمكن أن يكون إما إيجابيا (مع ω < ω س)، والسلبية (مع ω > ω س). يتوافق التغيير في الإشارة مع التغيير في مرحلة التذبذبات بواسطة π (سيتم توضيح سبب هذا التغيير بعد قليل)، وبالتالي فإن سعة التذبذبات هي معامل هذا المعامل |أ|. إن سعة اهتزازات الحالة المستقرة، كما هو متوقع، تتناسب مع حجم القوة الدافعة. بالإضافة إلى ذلك، يعتمد هذا الاتساع بشكل معقد على تردد القوة الدافعة. يظهر الرسم البياني التخطيطي لهذه العلاقة في الشكل. 6.10

أرز. 6.10 منحنى الرنين

على النحو التالي من الصيغة (6) وهو مرئي بوضوح على الرسم البياني، مع اقتراب تردد القوة الدافعة من التردد الطبيعي للنظام، تزداد السعة بشكل حاد. سبب هذه الزيادة في السعة واضح: القوة الدافعة "أثناء" تدفع الكرة، عندما تتزامن الترددات تماما، يكون الوضع المحدد غائبا - يزداد السعة إلى ما لا نهاية. وبطبيعة الحال، في الممارسة العملية، من المستحيل ملاحظة مثل هذه الزيادة اللانهائية: أولاً، وهذا يمكن أن يؤدي إلى تدمير النظام التذبذبي نفسه، ثانيًا، عند السعات الكبيرة من التذبذبات، لا يمكن إهمال قوى المقاومة للوسط. تسمى الزيادة الحادة في سعة التذبذبات القسرية مع اقتراب تردد القوة الدافعة من التردد الطبيعي لتذبذبات النظام بظاهرة الرنين. ولننتقل الآن إلى البحث عن حل لمعادلة الاهتزازات القسرية مع الأخذ بعين الاعتبار قوة المقاومة

وبطبيعة الحال، في هذه الحالة أيضًا، يجب البحث عن الحل في شكل دالة توافقية مع تردد القوة الدافعة. ومن السهل أن نرى أن البحث عن الحل بالشكل (5) في هذه الحالة لن يؤدي إلى النجاح. في الواقع، المعادلة (8)، على عكس المعادلة (4)، تحتوي على سرعة الجسيم، والتي يتم وصفها بواسطة دالة الجيب. ولذلك، لن يتم تخفيض الجزء الزمني في المعادلة (8). لذلك يجب تمثيل حل المعادلة (8) بالصورة العامة للدالة التوافقية

حيث يوجد معلمتان أ سو φ يجب إيجادها باستخدام المعادلة (8). معامل أ سهو سعة التذبذبات القسرية، φ - تحول الطور بين الإحداثيات المتغيرة والقوة الدافعة المتغيرة. باستخدام الصيغة المثلثية لجيب تمام المجموع، يمكن تمثيل الدالة (9) بالشكل المكافئ

والذي يحتوي أيضًا على معلمتين ب = أ س كوسφو ج = -أ س الخطيئةφيتم تحديدها. باستخدام الدالة (10)، نكتب تعبيرات صريحة عن اعتماد سرعة وتسارع الجسيم على الزمن

ونعوض في المعادلة (8):

دعونا نعيد كتابة هذا التعبير في النموذج

لكي يتم تحقيق المساواة (13) في أي وقت، من الضروري أن تكون معاملات جيب التمام والجيب مساوية للصفر. وبناء على هذا الشرط نحصل على معادلتين خطيتين لتحديد معلمات الدالة (10):

الحل لهذا النظام من المعادلات له الشكل

بناءً على الصيغة (10)، نحدد خصائص التذبذبات القسرية: السعة

مرحلة التحول

عند التوهين المنخفض، يصل هذا الاعتماد إلى حد أقصى حاد مع اقتراب تردد القوة الدافعة ω إلى التردد الطبيعي للنظام ω س. وبالتالي، في هذه الحالة، قد يحدث الرنين أيضًا، ولهذا السبب غالبًا ما تسمى التبعيات المرسومة بمنحنى الرنين. مع الأخذ بعين الاعتبار التوهين الضعيف، يظهر أن السعة لا تزيد إلى ما لا نهاية، وتعتمد قيمتها القصوى على معامل التوهين - مع زيادة الأخير، تنخفض السرعة القصوى بسرعة. يحتوي الاعتماد الناتج لسعة التذبذب على تردد القوة الدافعة (16) على عدد كبير جدًا من المعلمات المستقلة ( F س , ω س , γ ) من أجل بناء عائلة كاملة من منحنيات الرنين. وكما هو الحال في العديد من الحالات، يمكن تبسيط هذه العلاقة بشكل كبير من خلال الانتقال إلى المتغيرات "بلا أبعاد". دعونا نحول الصيغة (16) إلى النموذج التالي

وتدل

- التردد النسبي (نسبة تردد القوة الدافعة إلى التردد الطبيعي لتذبذبات النظام)؛

- السعة النسبية (نسبة سعة التذبذب إلى قيمة الانحراف أ س = و/ω س 2 عند تردد صفر)؛

- معلمة بلا أبعاد تحدد مقدار التوهين. باستخدام هذه الرموز، تم تبسيط الوظيفة (16) بشكل كبير

لأنه يحتوي على معلمة واحدة فقط - δ . يمكن إنشاء عائلة من منحنيات الرنين ذات معلمة واحدة موصوفة بالوظيفة   (16 ب)، وخاصة بسهولة باستخدام الكمبيوتر. وتظهر نتيجة هذا البناء في الشكل. 629.

أرز. 6.11

لاحظ أن الانتقال إلى وحدات القياس "التقليدية" يمكن أن يتم ببساطة عن طريق تغيير مقياس محاور الإحداثيات. تجدر الإشارة إلى أن تردد القوة الدافعة، الذي يصل فيه اتساع الاهتزازات القسرية إلى الحد الأقصى، يعتمد أيضًا على معامل التخميد، الذي يتناقص قليلاً مع زيادة الأخير. وأخيراً نؤكد على أن زيادة معامل التخميد تؤدي إلى زيادة كبيرة في عرض منحنى الرنين. يعتمد تحول الطور الناتج بين اهتزازات النقطة والقوة الدافعة أيضًا على تردد التذبذبات ومعامل تخميدها. سوف نصبح أكثر دراية بدور تحول الطور هذا عند النظر في تحويل الطاقة في عملية التذبذبات القسرية.

يتزامن تردد التذبذبات الحرة غير المخمدة مع التردد الطبيعي، وتكرار التذبذبات المخمد أقل قليلاً من التردد الطبيعي، ويتزامن تردد التذبذبات القسرية مع تردد القوة الدافعة، وليس التردد الطبيعي.

التذبذبات الكهرومغناطيسية القسرية

قسريهذه هي التذبذبات التي تحدث في النظام التذبذبي تحت تأثير تأثير دوري خارجي.

الشكل 6.12. الدائرة مع التذبذبات الكهربائية القسرية

دعونا ننظر في العمليات التي تحدث في دائرة تذبذبية كهربائية ( الشكل 6.12) ، متصل بمصدر خارجي، والذي يختلف emf الخاص به وفقًا للقانون التوافقي

,

أين  م- سعة المجالات الكهرومغناطيسية الخارجية،

 – التردد الدوري للمجالات الكهرومغناطيسية.

دعونا نشير بواسطة ش جالجهد عبر المكثف، ومن خلال أنا - القوة الحالية في الدائرة. في هذه الدائرة، بالإضافة إلى EMF المتغير  (ر) إن القوة الدافعة الكهربية المستحثة ذاتيًا نشطة أيضًا  لفي مغو.

يتناسب emf الحث الذاتي بشكل مباشر مع معدل تغير التيار في الدائرة

.

للانسحاب المعادلة التفاضلية للتذبذبات القسريةفي مثل هذه الدائرة، نستخدم قاعدة كيرشوف الثانية

.

الجهد عبر المقاومة النشطة رالعثور على قانون أوم

.

قوة التيار الكهربائي تساوي الشحنة المتدفقة لكل وحدة زمنية عبر المقطع العرضي للموصل

.

لذلك

.

الجهد االكهربى ش جعلى المكثف يتناسب طرديا مع الشحنة على لوحات المكثف

.

يمكن تمثيل القوة الدافعة الكهربية ذاتية الحث من خلال المشتق الثاني للشحنة بالنسبة للزمن

.

استبدال الجهد والمجالات الكهرومغناطيسية في قاعدة كيرشوف الثانية

.

بتقسيم طرفي هذا التعبير على لوتوزيع الحدود حسب درجة الترتيب التنازلي للمشتقة نحصل على معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية

.

دعونا نقدم التدوين التالي والحصول عليه

- معامل التوهين،

- التردد الدوري للتذبذبات الطبيعية للدائرة.

. (1)

المعادلة (1) هي غير متجانسةالمعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية. يصف هذا النوع من المعادلات سلوك فئة واسعة من الأنظمة التذبذبية (الكهربائية والميكانيكية) تحت تأثير التأثير الدوري الخارجي (emf الخارجي أو القوة الخارجية).

الحل العام للمعادلة (1) يتكون من الحل العام س 1 متجانسالمعادلة التفاضلية (2)

(2)

وأي حل خاص س 2 غير متجانسةالمعادلات (1)

.

نوع الحل العام متجانسالمعادلة (2) تعتمد على قيمة معامل التوهين  . سنكون مهتمين بحالة التوهين الضعيف  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

أين بو  0 – الثوابت المحددة بالشروط الأولية.

يصف الحل (3) التذبذبات المخمده في الدائرة. القيم المتضمنة في (3):

- التردد الدوري للتذبذبات المخمدة؛

- سعة التذبذبات المخمدة؛

- مرحلة التذبذبات المبللة .

نبحث عن حل خاص للمعادلة (1) على شكل تذبذب توافقي يحدث بتردد يساوي التردد  التأثير الدوري الخارجي - EMF، ومتخلف في المرحلة  منه

أين
- سعة الاهتزازات القسرية، حسب التردد.

دعونا نستبدل (4) في (1) ونحصل على الهوية

لمقارنة مراحل التذبذبات، نستخدم صيغ الاختزال المثلثية

.

ثم سيتم إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي

دعونا نمثل التذبذبات على الجانب الأيسر من الهوية الناتجة في النموذج مخطط متجهات (أرز.6.13)..

الحد الثالث الموافق للتذبذبات على السعة مع، وجود المرحلة (  ر –  ) والسعة
، فإننا نمثله كمتجه أفقي موجه إلى اليمين.

الشكل 6.13. مخطط المتجهات

الحد الأول على الجانب الأيسر، الموافق للتذبذبات في الحث ل، سيتم تصويره على مخطط المتجه كمتجه موجه أفقيًا إلى اليسار (سعةه
).

المصطلح الثاني يتوافق مع التذبذبات في المقاومة ر، فإننا نمثله كمتجه موجه عموديًا إلى الأعلى (سعةه
)، لأن طوره يقع /2 خلف طور الحد الأول.

حيث أن مجموع ثلاثة اهتزازات على يسار علامة التساوي يعطي اهتزازاً توافقياً
، فإن مجموع المتجه على الرسم التخطيطي (قطري المستطيل) يصور تذبذبًا بسعة والمرحلة  ر، الذي هو على  تقدم مرحلة التذبذب للفصل الثالث.

من المثلث القائم الزاوية، باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكنك العثور على السعة أ( )

(5)

و tg كنسبة الجانب المقابل إلى الجانب المجاور.

. (6)

وبالتالي فإن الحل (4) مع الأخذ في الاعتبار (5) و(6) سوف يأخذ الصورة

. (7)

الحل العام للمعادلة التفاضلية(١) هو المبلغ س 1 و س 2

. (8)

توضح الصيغة (8) أنه عندما تتعرض الدائرة لمجال EMF خارجي دوري، تنشأ فيها تذبذبات بترددين، أي. تذبذبات غير مخمدة مع تردد المجالات الكهرومغناطيسية الخارجية  والذبذبات المثبطة مع التردد
. سعة التذبذبات المبللة
بمرور الوقت، يصبح صغيرا بشكل لا يكاد يذكر، وتبقى فقط التذبذبات القسرية في الدائرة، والتي لا يعتمد اتساعها على الوقت. وبالتالي، يتم وصف التذبذبات القسرية في الحالة المستقرة بواسطة الوظيفة (4). أي أنه تحدث تذبذبات توافقية قسرية في الدائرة، بتردد يساوي تردد التأثير الخارجي وسعة النطاق
، اعتمادا على هذا التردد ( أرز. 3أ) وفقا للقانون (5). في هذه الحالة، تتأخر مرحلة التذبذب القسري  من التأثير القسري.

وبعد التعبير المتمايز (4) بالنسبة للوقت، نجد شدة التيار في الدائرة

أين
- السعة الحالية.

دعونا نكتب هذا التعبير عن القوة الحالية في النموذج

, (9)

أين
–تحول الطور بين emf الحالي والخارجي.

وفقا ل (6) و أرز. 2

. (10)

ويترتب على هذه الصيغة أن تحول الطور بين التيار والقوة الدافعة الكهربية الخارجية يعتمد على مقاومة ثابتة ر، من العلاقة بين تردد EMF الدافع  والتردد الطبيعي للدائرة  0 .

لو  <  0، ثم تحول الطور بين التيار والمجال الكهرومغناطيسي الخارجي  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

لو  >  0 ثم  > 0. تتأخر التقلبات الحالية عن تقلبات المجالات الكهرومغناطيسية في الطور بمقدار زاوية  .

لو  =  0 (تردد الرنين)، الذي - التي  = 0، أي أن التيار والمجال الكهرومغناطيسي يتأرجحان في نفس المرحلة.

صدى- هذه هي ظاهرة الزيادة الحادة في سعة التذبذبات عندما يتزامن تردد القوة الدافعة الخارجية مع التردد الطبيعي للنظام التذبذبي.

عند الرنين  =  0 وفترة التذبذب

.

مع الأخذ في الاعتبار أن معامل التوهين

,

نحصل على تعبيرات لعامل الجودة عند الرنين ت = ت 0

,

على الجانب الآخر

.

يمكن التعبير عن سعات الجهد عبر الحث والسعة عند الرنين من خلال عامل جودة الدائرة

, (15)

. (16)

ومن (15) و(16) يتضح متى  =  0، سعة الجهد عبر المكثف والمحاثة سمرات أكبر من سعة emf الخارجية. هذه خاصية متسلسلة RLCتستخدم الدائرة لعزل إشارة الراديو ذات تردد معين
من طيف الترددات الراديوية عند إعادة بناء جهاز الاستقبال اللاسلكي.

في الممارسة RLCترتبط الدوائر بدوائر أخرى أو أدوات قياس أو أجهزة تضخيم تعمل على توهين إضافي RLCدائرة كهربائية. وبالتالي فإن القيمة الحقيقية لعامل الجودة المحملة RLCتبين أن الدائرة أقل من قيمة عامل الجودة المقدرة بالصيغة

.

ويمكن تقدير القيمة الحقيقية لعامل الجودة على النحو التالي:

الشكل 6.14. تحديد عامل الجودة من منحنى الرنين

,

حيث  F- عرض نطاق الترددات التي يكون اتساعها 0,7 من القيمة القصوى ( أرز. 4).

جهد المكثف ش ج، على المقاومة النشطة ش روعلى مغو ش لتصل إلى الحد الأقصى في ترددات مختلفة، على التوالي

,
,
.

إذا كان التوهين منخفضا  0 >>  إذن كل هذه الترددات متطابقة عمليا ويمكننا افتراض ذلك

.

1. دعونا نتعرف على تحولات الطاقة التي تحدث أثناء تذبذبات البندول الزنبركي (انظر الشكل 80). عندما يتم شد الزنبرك، تزداد طاقته الكامنة، وعند أقصى تمدد تكون له القيمة هن = .

عندما يتحرك الحمل نحو موضع التوازن، تقل الطاقة الكامنة للزنبرك، وتزداد الطاقة الحركية للحمل. في وضع التوازن، تكون الطاقة الحركية للحمل هي الحد الأقصى ه k = والطاقة الكامنة للزنبرك تساوي صفرًا.

عندما يتم ضغط الزنبرك، تزداد طاقته الكامنة وتقل الطاقة الحركية للحمل. عند أقصى ضغط، تكون الطاقة الكامنة للزنبرك هي الحد الأقصى، وتكون الطاقة الحركية للحمل صفرًا.

إذا أهملنا قوة الاحتكاك، فإن مجموع طاقتي الوضع والحركة يظل في أي لحظة من الزمن دون تغيير

ه = هن + هك = ثابت.

في وجود قوة احتكاك، يتم إنفاق الطاقة في بذل شغل ضد هذه القوة، ويتناقص سعة الاهتزازات وتموت التذبذبات.

وبالتالي، فإن التذبذبات الحرة للبندول، التي تحدث بسبب العرض الأولي للطاقة، هي دائما بهوت.

2. السؤال الذي يطرح نفسه هو ما يجب القيام به لضمان عدم توقف التقلبات بمرور الوقت. من الواضح أنه للحصول على تذبذبات غير مخمدة، من الضروري التعويض عن فقدان الطاقة. يمكن القيام بذلك بطرق مختلفة. دعونا نفكر في واحد منهم.

أنت تعلم جيدًا أن اهتزازات الأرجوحة لن تموت إذا قمت بدفعها باستمرار، أي أنك تعمل عليها ببعض القوة. في هذه الحالة، لم تعد اهتزازات التأرجح مجانية، وسوف تحدث تحت تأثير قوة خارجية. إن عمل هذه القوة الخارجية يعوض بدقة فقدان الطاقة الناتج عن الاحتكاك.

دعونا معرفة ما ينبغي أن تكون القوة الخارجية؟ لنفترض أن مقدار القوة واتجاهها ثابتان. من الواضح أنه في هذه الحالة ستتوقف التذبذبات، لأن الجسم، بعد أن تجاوز وضع التوازن، لن يعود إليه. ولذلك فإن حجم واتجاه القوة الخارجية يجب أن يتغير بشكل دوري.

هكذا،

التذبذبات القسرية هي تذبذبات تحدث تحت تأثير قوة خارجية متغيرة بشكل دوري.

يمكن أن تحدث الاهتزازات القسرية، على عكس الاهتزازات الحرة، بأي تردد. تردد الاهتزازات القسرية يساوي تردد تغير القوة المؤثرة على الجسم،في هذه الحالة يطلق عليه إجبار.

3. دعونا نقوم بالتجربة. نعلق عدة بندولات بأطوال مختلفة من حبل مثبت في الرفوف (الشكل 82). دعونا نحيد البندول أمن وضعية التوازن واترك الأمر لنفسه. وسوف يتأرجح بحرية، ويؤثر ببعض القوة الدورية على الحبل. سيعمل الحبل بدوره على البندولات المتبقية. ونتيجة لذلك، ستبدأ جميع البندولات في إجراء اهتزازات قسرية مع تكرار تذبذبات البندول أ.

سنرى أن جميع البندولات ستبدأ في الاهتزاز بتردد يساوي تردد اهتزازات البندول أ. ومع ذلك، فإن سعة تذبذباتها، باستثناء البندول ج، سيكون أقل من سعة اهتزازات البندول أ. البندول جوالتي طولها يساوي طول البندول أ، سوف يتأرجح بقوة شديدة. وبالتالي، فإن البندول لديه أكبر سعة تذبذب، حيث يتزامن التردد الطبيعي للتذبذبات مع تردد القوة الدافعة. في هذه الحالة يقولون أنه لوحظ صدى.

الرنين هو ظاهرة الزيادة الحادة في سعة التذبذبات القسرية عندما يتزامن تردد القوة الدافعة مع التردد الطبيعي للنظام التذبذبي (البندول).

ويمكن ملاحظة الرنين عندما يتأرجح التأرجح. يمكنك الآن توضيح أن الأرجوحة سوف تتأرجح بقوة أكبر إذا تم دفعها في الوقت المناسب باستخدام اهتزازاتها الخاصة. في هذه الحالة، تردد القوة الخارجية يساوي تردد تذبذب التأرجح. أي ضغط ضد حركة التأرجح سيؤدي إلى انخفاض في اتساعها.

4 * . دعونا نتعرف على تحولات الطاقة التي تحدث أثناء الرنين.

إذا كان تردد القوة الدافعة يختلف عن التردد الطبيعي لاهتزازات الجسم، فسيتم توجيه القوة الدافعة إما في اتجاه حركة الجسم أو ضدها. وبناء على ذلك فإن عمل هذه القوة سيكون إما سلبيا أو إيجابيا. بشكل عام، عمل القوة الدافعة في هذه الحالة يغير قليلا طاقة النظام.

لنفترض الآن أن تردد القوة الخارجية يساوي التردد الطبيعي لاهتزازات الجسم. وفي هذه الحالة يتوافق اتجاه القوة الدافعة مع اتجاه سرعة الجسم، ويتم تعويض قوة المقاومة بقوة خارجية. يهتز الجسم فقط تحت تأثير القوى الداخلية. بمعنى آخر، الشغل السالب ضد قوة المقاومة يساوي الشغل الموجب للقوة الخارجية. لذلك، تحدث التذبذبات بأقصى سعة.

5. ويجب أن تؤخذ ظاهرة الرنين بعين الاعتبار عمليا. على وجه الخصوص، تخضع الأدوات الآلية والآلات لاهتزازات طفيفة أثناء التشغيل. إذا كان تواتر هذه الاهتزازات يتزامن مع التردد الطبيعي للأجزاء الفردية من الآلات، فإن سعة الاهتزازات يمكن أن تكون كبيرة جدا. سوف ينهار الجهاز أو الدعامة التي يقف عليها.

هناك حالات عندما انهارت طائرة في الهواء بسبب الرنين، وتحطمت مراوح السفن، وانهارت قضبان السكك الحديدية.

يمكن منع الرنين عن طريق تغيير التردد الطبيعي للنظام أو تردد القوة المسببة للتذبذبات. ولهذا الغرض، على سبيل المثال، فإن الجنود الذين يعبرون الجسر لا يسيرون بخطوات واحدة، بل بوتيرة حرة. وإلا فإن تكرار خطواتهم قد يتزامن مع التردد الطبيعي للجسر فينهار. حدث ذلك في عام 1750 في فرنسا، عندما مرت مفرزة من الجنود عبر جسر معلق بالسلاسل بطول 102 متر. ووقعت حادثة مماثلة في سانت بطرسبورغ عام 1906. عندما عبر سرب من الفرسان الجسر المصري فوق نهر فونتانكا، تزامن تردد خطوة الخيول الواضحة مع تردد اهتزاز الجسر.

ولمنع الرنين، تعبر القطارات الجسور بسرعات بطيئة أو عالية جدًا بحيث يكون تردد تأثيرات العجلات على مفاصل السكك الحديدية أقل أو أكبر بكثير من التردد الطبيعي للجسر.

ظاهرة الرنين ليست دائما ضارة. في بعض الأحيان يمكن أن يكون مفيدا، لأنه يسمح لك بالحصول على زيادة كبيرة في سعة الاهتزازات بمساعدة قوة صغيرة.

يعتمد عمل الجهاز الذي يسمح لك بقياس تردد التذبذبات على ظاهرة الرنين. هذا الجهاز يسمى تردد متر. ويمكن توضيح عمله من خلال التجربة التالية. يتم إرفاق نموذج مقياس التردد بجهاز الطرد المركزي، والذي يتكون من مجموعة من الصفائح (الألسنة) بأطوال مختلفة (الشكل 83). وفي نهايات الألواح توجد أعلام من الصفيح مطلية بالطلاء الأبيض. يمكنك ملاحظة أنه عند تغيير سرعة دوران مقبض الآلة، تبدأ اللوحات المختلفة في الاهتزاز. تبدأ تلك الصفائح التي يكون ترددها الطبيعي مساويًا لتردد الدوران في الاهتزاز.

أسئلة الاختبار الذاتي

1. ما الذي يحدد سعة الاهتزازات الحرة للبندول الزنبركي؟

2. هل يبقى سعة اهتزازات البندول ثابتة في ظل وجود قوى الاحتكاك؟

3. ما تحولات الطاقة التي تحدث عندما يتأرجح البندول الزنبركي؟

4. لماذا تخمد التذبذبات الحرة؟

5. ما هي الاهتزازات التي تسمى القسرية؟ أعط أمثلة على التذبذبات القسرية.

6. ما هو الرنين؟

7. أعط أمثلة على المظاهر الضارة للرنين. ما الذي يجب فعله لمنع الرنين؟

8. أعط أمثلة على استخدام ظاهرة الرنين.

المهمة 26

1. املأ الجدول 14، مع كتابة القوة المؤثرة على النظام التذبذبي إذا كان يقوم بتذبذبات حرة أو قسرية؛ ما هو تردد واتساع هذه التذبذبات؟ سواء كانت مبللة أم لا.

الجدول 14

خصائص التذبذب	نوع الاهتزازات
	متاح	قسري
القوة الفعالة
تكرار
السعة
التوهين

2 ه.اقترح تجربة لملاحظة التذبذبات القسرية.

3 ه.ادرس بشكل تجريبي ظاهرة الرنين باستخدام البندول الرياضي الذي قمت بصنعه.

4. عند سرعة دوران معينة لعجلة ماكينة الخياطة، تتأرجح الطاولة التي تقف عليها بقوة أحيانًا. لماذا؟

التذبذبات القسرية هي تلك التذبذبات التي تحدث في النظام عندما تؤثر عليه قوة خارجية متغيرة بشكل دوري، تسمى القوة الدافعة.

قد تكون طبيعة (الاعتماد على الوقت) للقوة الدافعة مختلفة. يمكن أن تكون هذه قوة تتغير وفقًا للقانون التوافقي. على سبيل المثال، موجة صوتية، مصدرها شوكة رنانة، تضرب طبلة الأذن أو غشاء الميكروفون. تبدأ قوة ضغط الهواء المتغيرة بشكل متناغم في التأثير على الغشاء.

يمكن أن تكون القوة الدافعة على شكل هزات أو نبضات قصيرة. على سبيل المثال، يقوم شخص بالغ بتأرجح طفل على الأرجوحة، ويدفعه بشكل دوري في اللحظة التي تصل فيها الأرجوحة إلى أحد مواقعها المتطرفة.

مهمتنا هي معرفة كيف يتفاعل النظام التذبذبي مع تأثير القوة الدافعة المتغيرة بشكل دوري.

§ 1 تتغير القوة الدافعة حسب القانون التوافقي

مقاومة F = - rv xوالقوة القهرية F خارج = F 0 خطيئة بالوزن.

سيتم كتابة قانون نيوتن الثاني على النحو التالي:

يتم البحث عن حل المعادلة (1) في الصورة، أين هو حل المعادلة (1) إذا لم يكن لها الطرف الأيمن. ويمكن ملاحظة أنه بدون الطرف الأيمن تتحول المعادلة إلى معادلة الذبذبات المخمدة المعروفة، والتي نعرف حلها بالفعل. لفترة طويلة بما فيه الكفاية، فإن التذبذبات الحرة التي تنشأ في النظام عند إزالتها من موضع التوازن سوف تموت عمليا، وسيبقى المصطلح الثاني فقط في حل المعادلة. سنبحث عن هذا الحل في النموذج
دعونا نجمع المصطلحات بشكل مختلف:

يجب أن تتحقق هذه المساواة في أي وقت t، وهو أمر ممكن فقط إذا كانت معاملات الجيب وجيب التمام مساوية للصفر.

فالجسم الذي تؤثر عليه قوة دافعة، ويتغير وفق قانون توافقي، يقوم بحركة اهتزازية مع تردد القوة الدافعة.

دعونا نفحص بمزيد من التفصيل مسألة سعة التذبذبات القسرية:

1 سعة التذبذبات القسرية في الحالة المستقرة لا تتغير مع مرور الوقت. (قارن مع سعة التذبذبات الحرة المخمدة).

2- تتناسب سعة الاهتزازات القسرية طردياً مع سعة القوة الدافعة.

3 تعتمد السعة على الاحتكاك في النظام (A يعتمد على d، ومعامل التخميد d، بدوره، يعتمد على معامل السحب r). كلما زاد الاحتكاك في النظام، قل حجم الاهتزازات القسرية.

4 يعتمد سعة الاهتزازات القسرية على تردد القوة الدافعة ث. كيف؟ دعونا ندرس الدالة A(w).

عند w = 0 (تؤثر القوة الثابتة على النظام التذبذبي)، تكون إزاحة الجسم ثابتة بمرور الوقت (يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن هذا يشير إلى حالة مستقرة، عندما تكون التذبذبات الطبيعية قد اختفت تقريبًا).

· عندما w ® ¥، كما هو واضح، فإن السعة A تميل إلى الصفر.

· من الواضح أنه عند تردد معين للقوة الدافعة، فإن سعة الاهتزازات القسرية سوف تأخذ القيمة الأكبر (لقيمة d معينة). تسمى ظاهرة الزيادة الحادة في سعة التذبذبات القسرية عند قيمة معينة لتردد القوة الدافعة بالرنين الميكانيكي.

ومن المثير للاهتمام أن عامل جودة النظام التذبذبي في هذه الحالة يوضح عدد المرات التي تتجاوز فيها سعة الرنين إزاحة الجسم من موضع التوازن تحت تأثير قوة ثابتة F 0 .

نرى أن كلا من تردد الرنين وسعة الرنين يعتمدان على معامل التخميد d. مع انخفاض d إلى الصفر، يزداد تردد الرنين ويميل إلى تردد التذبذب الطبيعي للنظام w 0 . في هذه الحالة، تزداد سعة الرنين وعند d = 0 تصل إلى ما لا نهاية. بالطبع، من الناحية العملية، لا يمكن أن يكون سعة التذبذبات لا نهائية، لأنه في الأنظمة التذبذبية الحقيقية، تعمل قوى المقاومة دائمًا. إذا كان النظام لديه توهين منخفض، فيمكننا أن نفترض تقريبًا أن الرنين يحدث عند تردد تذبذباته:

حيث في الحالة قيد النظر هو تحول الطور بين القوة الدافعة وإزاحة الجسم من موضع التوازن.

من السهل أن نرى أن تحول الطور بين القوة والإزاحة يعتمد على الاحتكاك في النظام وتكرار القوة الدافعة الخارجية. يظهر هذا الاعتماد في الشكل. ومن الواضح أنه عندما< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- إيجابي.

بمعرفة الاعتماد على الزاوية، يمكن الحصول على الاعتماد على تردد القوة الدافعة.

عند ترددات القوة الخارجية التي تكون أقل بكثير من القوة الطبيعية، فإن الإزاحة تتخلف قليلاً عن القوة الدافعة في الطور. ومع زيادة تردد القوة الخارجية، يزداد تأخير هذه المرحلة. عند الرنين (إذا كان صغيرًا)، يصبح تحول الطور مساويًا لـ . عندما >> تحدث الإزاحة وتذبذبات القوة في الطور المضاد. قد يبدو هذا الاعتماد غريبًا للوهلة الأولى. لفهم هذه الحقيقة، دعونا ننتقل إلى تحولات الطاقة في عملية التذبذبات القسرية.

§ 2 تحولات الطاقة

كما نعلم بالفعل، يتم تحديد سعة التذبذبات من خلال الطاقة الإجمالية للنظام التذبذبي. وقد تبين سابقًا أن سعة التذبذبات القسرية تظل دون تغيير مع مرور الوقت. وهذا يعني أن إجمالي الطاقة الميكانيكية للنظام التذبذبي لا يتغير مع مرور الوقت. لماذا؟ بعد كل شيء، لم يتم إغلاق النظام! تقوم قوتان - قوة خارجية متغيرة دوريًا وقوة مقاومة - بعمل يجب أن يغير الطاقة الكلية للنظام.

دعونا نحاول معرفة ما يحدث. يمكن العثور على قوة القوة الدافعة الخارجية على النحو التالي:

نرى أن قوة القوة الخارجية التي تغذي النظام التذبذبي بالطاقة تتناسب طرديا مع سعة التذبذب.

بسبب عمل قوة المقاومة، يجب أن تنخفض طاقة النظام التذبذب، وتتحول إلى داخلية. قوة المقاومة:

ومن الواضح أن قوة قوة المقاومة تتناسب مع مربع السعة. دعونا نرسم كلا التبعيات على الرسم البياني.

لكي تكون التذبذبات ثابتة (لا يتغير الاتساع مع مرور الوقت)، يجب أن يعوض عمل القوة الخارجية خلال الفترة فقدان الطاقة للنظام بسبب عمل قوة المقاومة. تتوافق نقطة تقاطع الرسوم البيانية للقوة تمامًا مع هذا النظام. لنتخيل أنه لسبب ما انخفض سعة التذبذبات القسرية. سيؤدي هذا إلى حقيقة أن القوة اللحظية للقوة الخارجية ستكون أكبر من قوة الخسائر. سيؤدي ذلك إلى زيادة طاقة النظام التذبذبي، وسوف يستعيد سعة التذبذبات قيمتها السابقة.

بطريقة مماثلة، يمكن التأكد من أنه مع زيادة عشوائية في سعة التذبذبات، فإن فقدان الطاقة سوف يتجاوز قوة القوة الخارجية، الأمر الذي سيؤدي إلى انخفاض في طاقة النظام، وبالتالي، إلى انخفاض في السعة.

دعونا نعود إلى مسألة تحول الطور بين الإزاحة والقوة الدافعة عند الرنين. لقد أظهرنا بالفعل أن الإزاحة تتأخر، وبالتالي فإن القوة تقود الإزاحة بمقدار . من ناحية أخرى، فإن إسقاط السرعة في عملية التذبذبات التوافقية يكون دائمًا متقدمًا على الإحداثيات بمقدار . وهذا يعني أنه أثناء الرنين، تتأرجح القوة الدافعة الخارجية والسرعة في نفس المرحلة. هذا يعني أنه يتم توجيههم بشكل مشترك في أي وقت! عمل القوة الخارجية في هذه الحالة يكون دائمًا إيجابيًا الجميع يذهب لتجديد النظام التذبذبي بالطاقة.

§ 3 التأثير الدوري غير الجيبية

من الممكن حدوث تذبذبات قسرية للمذبذب تحت أي تأثير خارجي دوري، وليس فقط التأثير الجيبي. في هذه الحالة، لن تكون التذبذبات المحددة، بشكل عام، جيبية، ولكنها ستمثل حركة دورية بفترة تساوي فترة التأثير الخارجي.

يمكن أن يكون التأثير الخارجي، على سبيل المثال، صدمات متتالية (تذكر كيف يقوم شخص بالغ "بهز" طفل يجلس على الأرجوحة). إذا تزامنت فترة الصدمات الخارجية مع فترة التقلبات الطبيعية، فقد يحدث الرنين في النظام. ستكون التذبذبات جيبية تقريبًا. تعمل الطاقة المنقولة إلى النظام عند كل دفعة على تجديد الطاقة الإجمالية للنظام المفقودة بسبب الاحتكاك. من الواضح أنه في هذه الحالة، تكون الخيارات ممكنة: إذا كانت الطاقة المنقولة أثناء الدفع تساوي أو تتجاوز خسائر الاحتكاك لكل فترة، فإما أن تكون التذبذبات ثابتة أو سيزداد نطاقها. هذا واضح للعيان في مخطط المرحلة.

ومن الواضح أن الرنين ممكن أيضًا في الحالة التي تكون فيها فترة تكرار الصدمات مضاعفًا لفترة التذبذبات الطبيعية. وهذا مستحيل مع الطبيعة الجيبية للتأثير الخارجي.

ومن ناحية أخرى، حتى لو تزامن تردد الصدمة مع التردد الطبيعي، فقد لا يتم ملاحظة الرنين. إذا تجاوزت خسائر الاحتكاك خلال الفترة فقط الطاقة التي يتلقاها النظام أثناء الدفع، فإن الطاقة الإجمالية للنظام ستنخفض وستتضاءل التذبذبات.

§ 4 الرنين البارامترى

يمكن تقليل التأثير الخارجي على النظام التذبذب إلى تغييرات دورية في معلمات النظام التذبذب نفسه. تسمى التذبذبات المثارة بهذه الطريقة بارامترية، وتسمى الآلية نفسها الرنين البارامترى .

بادئ ذي بدء، سنحاول الإجابة على السؤال: هل من الممكن هز التذبذبات الصغيرة الموجودة بالفعل في النظام عن طريق تغيير بعض معلماته بشكل دوري بطريقة معينة.

على سبيل المثال، فكر في شخص يتأرجح على الأرجوحة. ومن خلال ثني وتقويم ساقيه في اللحظات "الصحيحة"، فإنه يغير في الواقع طول البندول. في المواقف المتطرفة، يجلس الشخص، وبالتالي خفض مركز ثقل النظام التذبذبي قليلا؛ في الموضع الأوسط، يتم تقويم الشخص، مما يرفع مركز ثقل النظام.

لفهم سبب تأرجح الشخص في نفس الوقت، فكر في نموذج مبسط للغاية لشخص يتأرجح - بندول صغير عادي، أي وزن صغير على خيط خفيف وطويل. لمحاكاة رفع وخفض مركز الثقل، سنمرر الطرف العلوي للخيط من خلال فتحة صغيرة وسنسحب الخيط في تلك اللحظات التي يمر فيها البندول بوضعية التوازن، ونخفض الخيط بنفس المقدار عندما البندول يمر الموقف المتطرف.

عمل قوة شد الخيط لكل فترة (مع مراعاة أن يتم رفع وخفض الحمل مرتين لكل فترة وأن د ل << ل):

يرجى ملاحظة أنه بين قوسين لا يوجد ما يزيد عن ثلاثة أضعاف طاقة النظام التذبذبي. وبالمناسبة، هذه الكمية موجبة، وبالتالي فإن عمل قوة الشد (عملنا) موجب، ويؤدي إلى زيادة الطاقة الكلية للنظام، وبالتالي إلى تأرجح البندول.

ومن المثير للاهتمام أن التغير النسبي في الطاقة خلال فترة ما لا يعتمد على ما إذا كان البندول يتأرجح بشكل ضعيف أو قوي. هذا مهم جدًا، وهذا هو السبب. إذا لم يتم "ضخ" البندول بالطاقة، فسوف يفقد في كل فترة جزءًا معينًا من طاقته بسبب قوة الاحتكاك، وسوف تموت التذبذبات. ولكي يزداد مدى الاهتزازات، من الضروري أن تزيد الطاقة المكتسبة عن الطاقة المفقودة للتغلب على الاحتكاك. واتضح أن هذه الحالة هي نفسها - سواء بالنسبة للسعة الصغيرة أو الكبيرة.

على سبيل المثال، إذا انخفضت طاقة التذبذبات الحرة بنسبة 6٪ في إحدى الفترات، ولكي لا تتضاءل اهتزازات البندول الذي يبلغ طوله 1 متر، يكفي تقليل طوله بمقدار 1 سم في الموضع الأوسط، وزيادة بنفس المقدار في الموضع المتطرف.

العودة إلى الأرجوحة: إذا بدأت في التأرجح، فليست هناك حاجة إلى القرفصاء بشكل أعمق وأعمق - اجلس بنفس الطريقة طوال الوقت، وسوف تطير أعلى وأعلى!

*** الجودة مرة أخرى!

كما قلنا من قبل، بالنسبة لتراكم التذبذبات البارامترية، يجب استيفاء شرط DE > A للاحتكاك لكل فترة.

دعونا نوجد الشغل الذي تبذله قوة الاحتكاك خلال هذه الفترة

يمكن ملاحظة أن المقدار النسبي لرفع البندول للتأرجح يتم تحديده بواسطة عامل جودة النظام.

§ 5 معنى الرنين

تُستخدم التذبذبات القسرية والرنين على نطاق واسع في التكنولوجيا، وخاصة في مجال الصوتيات والهندسة الكهربائية وهندسة الراديو. يستخدم الرنين في المقام الأول عندما نريد، من مجموعة كبيرة من التذبذبات ذات الترددات المختلفة، عزل التذبذبات ذات تردد معين. ويستخدم الرنين أيضًا في دراسة الكميات المتكررة بشكل دوري ضعيفة جدًا.

ومع ذلك، في بعض الحالات يكون الرنين ظاهرة غير مرغوب فيها، لأنه يمكن أن يؤدي إلى تشوهات كبيرة وتدمير الهياكل.

§ 6 أمثلة على حل المشكلات

المشكلة 1: التذبذبات القسرية للبندول الزنبركي تحت تأثير قوة جيبية خارجية.

تم تعليق حمولة كتلتها m = 10 g من زنبرك بصلابة k = 10 N/m وتم وضع النظام في وسط لزج مع معامل مقاومة r = 0.1 كجم/ث. قارن بين الترددات الطبيعية وترددات الرنين للنظام. حدد سعة اهتزازات البندول عند الرنين تحت تأثير قوة جيبية بسعة F 0 = 20 mN.

حل:

1 التردد الطبيعي للنظام التذبذبي هو تردد الاهتزازات الحرة في غياب الاحتكاك. التردد الدوري الطبيعي يساوي تردد التذبذب.

2 تردد الرنين هو تردد القوة الدافعة الخارجية التي يزداد عندها سعة الاهتزازات القسرية بشكل حاد. تردد الرنين الدوري يساوي ، حيث معامل التخميد يساوي .

وبالتالي فإن تردد الرنين هو . من السهل أن نرى أن تردد الرنين أقل من التردد الطبيعي! ومن الواضح أيضاً أنه كلما قل الاحتكاك في النظام (r)، كلما اقترب تردد الرنين من التردد الطبيعي.

3 سعة الرنين

المهمة 2 سعة الرنين وعامل الجودة للنظام التذبذبي

تم تعليق حمولة كتلتها m = 100 g من زنبرك بصلابة k = 10 N/m وتم وضع النظام في وسط لزج له معامل مقاومة

ص = 0.02 كجم / ثانية. تحديد عامل الجودة للنظام التذبذبي وسعة تذبذبات البندول عند الرنين تحت تأثير القوة الجيبية ذات السعة F 0 = 10 mN. أوجد نسبة سعة الرنين إلى الإزاحة الساكنة تحت تأثير قوة ثابتة F 0 = 20 mN، وقارن هذه النسبة مع عامل الجودة.

حل:

1 إن عامل الجودة للنظام التذبذبي يساوي حيث يتم تخفيض التخميد اللوغاريتمي.

إن انخفاض التخميد اللوغاريتمي يساوي .

العثور على عامل الجودة للنظام التذبذبي.

2 سعة الرنين

3 الإزاحة الساكنة تحت تأثير قوة ثابتة F 0 = 10 mN تساوي .

4 نسبة سعة الرنين إلى الإزاحة الساكنة تحت تأثير قوة ثابتة F 0 تساوي

ومن السهل أن نرى أن هذه النسبة تتزامن مع عامل جودة النظام التذبذبي

المشكلة 3: الاهتزازات الرنانة للحزمة

تحت تأثير وزن المحرك الكهربائي، ينحني الخزان الكابولي الذي تم تركيبه عليه. عند أي سرعة يمكن أن يكون هناك خطر الرنين في عضو المحرك؟

حل:

1 يتعرض مبيت المحرك والحزمة التي تم تركيبه عليها لصدمات دورية من المحرك الدوار للمحرك، وبالتالي يحدث تذبذبات قسرية عند تردد الصدمات.

سيتم ملاحظة الرنين عندما يتزامن تكرار الصدمات مع التردد الطبيعي لاهتزاز الحزمة مع المحرك. من الضروري إيجاد التردد الطبيعي لتذبذبات نظام محرك الشعاع.

2 يمكن أن يكون التناظرية للنظام التذبذبي لمحرك الشعاع عبارة عن بندول زنبركي عمودي، كتلته تساوي كتلة المحرك. التردد الطبيعي لاهتزاز البندول الزنبركي يساوي . لكن صلابة الزنبرك وكتلة المحرك غير معروفين! ماذا علي أن أفعل؟

3 في وضع توازن البندول الزنبركي، تتم موازنة قوة جاذبية الحمل مع القوة المرنة للزنبرك

4 العثور على دوران المحرك المحرك، أي. تردد الصدمة

المشكلة 4: التذبذبات القسرية للبندول الزنبركي تحت تأثير الصدمات الدورية.

وزن كتلته m = 0.5 كجم معلق من زنبرك حلزوني بصلابة k = 20 N/m. إن انخفاض التخميد اللوغاريتمي للنظام التذبذبي يساوي . إنهم يريدون تأرجح الوزن بدفعات قصيرة، والتأثير على الوزن بقوة F = 100 mN لمدة τ = 0.01 s. ما هو تكرار الضربات حتى تكون سعة الوزن أكبر؟ في أي نقطة وفي أي اتجاه يجب أن تدفع الجرس؟ إلى أي مدى سيكون من الممكن تأرجح الوزن بهذه الطريقة؟

حل:

1 يمكن أن تحدث الاهتزازات القسرية تحت أي تأثير دوري. في هذه الحالة، سيحدث تذبذب الحالة المستقرة مع تكرار التأثير الخارجي. إذا تزامنت فترة الصدمات الخارجية مع تواتر التذبذبات الطبيعية، فإن الرنين يحدث في النظام - يصبح سعة التذبذبات أكبر. في حالتنا، لكي يحدث الرنين، يجب أن تتزامن فترة الصدمات مع فترة تذبذب البندول الزنبركي.

إن انخفاض التخميد اللوغاريتمي صغير، وبالتالي فإن الاحتكاك في النظام قليل، وفترة تذبذب البندول في وسط لزج تتزامن عمليا مع فترة تذبذب البندول في الفراغ:

2 من الواضح أن اتجاه الدفعات يجب أن يتزامن مع سرعة الوزن. في هذه الحالة، سيكون عمل القوة الخارجية التي تغذي النظام بالطاقة إيجابيا. وسوف تتأرجح الاهتزازات. الطاقة التي يتلقاها النظام أثناء عملية التأثير

ستكون أعظم عندما يتجاوز الحمل موضع التوازن، لأنه في هذا الموضع تكون سرعة البندول هي الحد الأقصى.

لذلك، فإن النظام سوف يتأرجح بسرعة أكبر تحت تأثير الصدمات في اتجاه حركة الحمل أثناء مروره عبر موضع التوازن.

3 يتوقف اتساع الاهتزازات عن النمو عندما تكون الطاقة المنقولة إلى النظام أثناء عملية الارتطام مساوية لفقد الطاقة بسبب الاحتكاك خلال الفترة: .

سوف نجد فقدان الطاقة خلال فترة من خلال عامل الجودة للنظام التذبذبي

حيث E هي الطاقة الإجمالية للنظام التذبذبي، والتي يمكن حسابها على أنها

بدلاً من فقدان الطاقة، نستبدل الطاقة التي يتلقاها النظام أثناء الاصطدام:

السرعة القصوى أثناء عملية التذبذب هي . وبأخذ هذا بعين الاعتبار نحصل على.

§7 مهام الحل المستقل

اختبار "الاهتزازات القسرية"

1 ما هي التذبذبات التي تسمى القسرية؟

أ) التذبذبات التي تحدث تحت تأثير القوى الخارجية المتغيرة بشكل دوري؛

ب) التذبذبات التي تحدث في النظام بعد التعرض لصدمة خارجية.

2 أي الاهتزازات التالية قسرية؟

أ) تذبذب حمل معلق من زنبرك بعد انحرافه مرة واحدة عن موضع التوازن؛

ب) تذبذب مخروط مكبر الصوت أثناء تشغيل جهاز الاستقبال؛

ب) تذبذب الحمل المعلق من الزنبرك بعد تأثير واحد على الحمل في وضع التوازن؛

د) اهتزاز غلاف المحرك الكهربائي أثناء تشغيله؛

د) اهتزاز طبلة الأذن عند سماع الموسيقى.

3- النظام التذبذبي ذو التردد الخاص به تتأثر بقوة دافعة خارجية تختلف باختلاف القانون. معامل التخميد في النظام التذبذبي يساوي . وفقًا لأي قانون يتغير إحداثيات الجسم مع مرور الوقت؟

ج) سيبقى اتساع الاهتزازات القسرية دون تغيير، لأن الطاقة التي يفقدها النظام بسبب الاحتكاك سيتم تعويضها عن طريق اكتساب الطاقة بسبب عمل القوة الدافعة الخارجية.

5 يقوم النظام بإجراء تذبذبات قسرية تحت تأثير القوة الجيبية. تحديد الجميعالعوامل التي يعتمد عليها حجم هذه الاهتزازات.

أ) من سعة القوة الدافعة الخارجية؛

ب) وجود الطاقة في النظام التذبذبي لحظة بدء تأثير القوة الخارجية؛

ج) معلمات النظام التذبذبي نفسه؛

د) الاحتكاك في النظام التذبذبي.

د) وجود تذبذبات طبيعية في النظام لحظة بدء تأثير القوة الخارجية.

ه) وقت إنشاء التذبذبات.

ز) ترددات القوة الدافعة الخارجية.

6 تؤدي كتلة كتلتها m اهتزازات توافقية قسرية على طول مستوى أفقي مع الفترة T والسعة A. معامل الاحتكاك μ. ما العمل الذي تبذله القوة الدافعة الخارجية في زمن يساوي الدورة T؟

أ) 4μmgA؛ ب) 2μmgA؛ ب) ميكرومجا؛ د) 0؛

د) من المستحيل إعطاء إجابة، لأن حجم القوة الدافعة الخارجية غير معروف.

7- تقديم عبارة صحيحة

الرنين ظاهرة...

أ) تزامن تردد القوة الخارجية مع التردد الطبيعي للنظام التذبذبي؛

ب) زيادة حادة في سعة التذبذبات القسرية.

ويلاحظ الرنين في ظل هذه الحالة

أ) تقليل الاحتكاك في النظام التذبذبي.

ب) زيادة اتساع القوة الدافعة الخارجية.

ج) تزامن تردد القوة الخارجية مع التردد الطبيعي للنظام التذبذبي؛

د) عندما يتطابق تردد القوة الخارجية مع تردد الرنين.

8 يمكن ملاحظة ظاهرة الرنين في...

أ) في أي نظام تذبذبي؛

ب) في النظام الذي يقوم بتذبذبات حرة؛

ب) في نظام التأرجح الذاتي؛

د) في النظام الذي يتعرض لتذبذبات قسرية.

9 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لاعتماد سعة التذبذبات القسرية على تردد القوة الدافعة. يحدث الرنين على تردد...

10 تؤدي ثلاثة بندولات متطابقة موجودة في أوساط لزجة مختلفة اهتزازات قسرية. يوضح الشكل منحنيات الرنين لهذه البندولات. ما البندول الذي يواجه أكبر مقاومة من الوسط اللزج أثناء التذبذب؟

أ) 1؛ ب) 2؛ على الساعة 3؛

د) من المستحيل إعطاء إجابة، لأن سعة التذبذبات القسرية، بالإضافة إلى تردد القوة الخارجية، تعتمد أيضا على اتساعها. لا يقول الشرط أي شيء عن سعة القوة الدافعة الخارجية.

11 فترة التذبذبات الطبيعية للنظام التذبذبي تساوي T 0. ما هي فترة الصدمات التي يمكن أن يزيد فيها سعة التذبذبات بشكل حاد، أي أن الرنين ينشأ في النظام؟

أ) تي 0؛ ب) تي 0، 2 تي 0، 3 تي 0،…؛

ج) يمكن تأرجح الأرجوحة بدفعات من أي تردد.

12 أخوك الصغير يجلس على الأرجوحة، فأرجحه بدفعات قصيرة. ما هي فترة تعاقب الصدمات لكي تحدث العملية بأكبر قدر من الكفاءة؟ فترة التذبذبات الطبيعية للتأرجح T 0.

د) يمكن تأرجح الأرجوحة بدفعات من أي تردد.

13 أخوك الصغير يجلس على الأرجوحة، فأرجحه بدفعات قصيرة. في أي موضع من التأرجح يجب أن يتم الدفع وفي أي اتجاه يجب أن يتم الدفع حتى تتم العملية بكفاءة أكبر؟

أ) ادفع في الموضع العلوي للأرجوحة نحو موضع التوازن؛

ب) ادفع في الموضع العلوي للتأرجح في الاتجاه من موضع التوازن؛

ب) الدفع في وضع متوازن في اتجاه حركة الأرجوحة؛

د) يمكنك الدفع في أي وضع، ولكن دائمًا في اتجاه حركة التأرجح.

14 يبدو أنه من خلال إطلاق النار من مقلاع على الجسر في الوقت المناسب مع اهتزازاته الخاصة والقيام بالكثير من اللقطات، يمكنك تأرجحه بقوة، لكن من غير المرجح أن ينجح هذا. لماذا؟

أ) كتلة الجسر (قصوره الذاتي) كبيرة مقارنة بكتلة "الرصاصة" الصادرة من المقلاع؛ ولن يتمكن الجسر من التحرك تحت تأثير مثل هذه التأثيرات؛

ب) قوة تأثير "الرصاصة" من المقلاع صغيرة جدًا بحيث لن يتمكن الجسر من التحرك تحت تأثير هذه التأثيرات؛

ج) الطاقة المنقولة إلى الجسر بضربة واحدة أقل بكثير من الطاقة المفقودة بسبب الاحتكاك خلال هذه الفترة.

15 أنت تحمل دلوًا من الماء. يتأرجح الماء في الدلو ويتناثر. ما الذي يمكن فعله لمنع حدوث ذلك؟

أ) أرجحة اليد التي يوجد بها الدلو بإيقاع المشي؛

ب) تغيير سرعة الحركة، مع ترك طول الخطوات دون تغيير؛

ج) التوقف بشكل دوري والانتظار حتى تهدأ اهتزازات الماء؛

د) تأكد من وضع اليد مع الدلو بشكل عمودي تمامًا أثناء الحركة.

مهام

1 يقوم النظام بإجراء تذبذبات مخمده بتردد 1000 هرتز. تحديد التردد ضد 0الاهتزازات الطبيعية، إذا كان تردد الرنين

2 تحديد القيمة د الخامسيختلف تردد الرنين عن التردد الطبيعي ضد 0= نظام تذبذبي 1000 هرتز، يتميز بمعامل تخميد d = 400s -1.

3 حمل كتلته 100 g، معلق على نابض صلابته 10 N/m، يحدث اهتزازات قسرية في وسط لزج معامل المقاومة r = 0.02 كجم/ث. تحديد معامل التخميد، وتردد الرنين والسعة. قيمة سعة القوة الدافعة هي 10 مللي نيوتن.

4 اتساع التذبذبات التوافقية القسرية عند الترددات w 1 = 400 s -1 و w 2 = 600 s -1 متساوية. تحديد تردد الرنين.

5 شاحنات تدخل إلى مستودع الحبوب على طول طريق ترابي من جهة، وتفرغ حمولتها وتغادر المستودع بنفس السرعة، ولكن على الجانب الآخر. أي جانب من المستودع به حفر في الطريق أكثر من الجانب الآخر؟ كيف يمكنك تحديد أي جانب من المستودع هو المدخل وأي جانب هو المخرج بناء على حالة الطريق؟ تبرير الجواب

الاهتزازات القسرية

الاهتزازات التي تحدث في أي نظام تحت تأثير قوة خارجية متغيرة (على سبيل المثال، اهتزازات غشاء الهاتف تحت تأثير المجال المغناطيسي المتناوب، اهتزازات الهيكل الميكانيكي تحت تأثير الحمل المتغير، وما إلى ذلك). تتحدد طبيعة النظام العسكري من خلال طبيعة القوة الخارجية وخصائص النظام نفسه. في بداية عمل القوة الخارجية الدورية، تتغير طبيعة V. c. مع مرور الوقت (على وجه الخصوص، V. c. ليست دورية)، وفقط بعد مرور بعض الوقت يتم إنشاء V. c نظام ذو فترة تساوي فترة القوة الخارجية (الحالة المستقرة VC.). يحدث إنشاء V.c. في النظام التذبذب بشكل أسرع، كلما زاد تخميد التذبذبات في هذا النظام.

على وجه الخصوص، في الأنظمة التذبذبية الخطية (انظر الأنظمة التذبذبية)، عند تشغيل قوة خارجية، تنشأ تذبذبات وتذبذبات حرة (أو طبيعية) في النظام في وقت واحد، وتكون اتساع هذه التذبذبات في اللحظة الأولية متساوية، ويكون المراحل عكسية ( أرز. ). بعد التوهين التدريجي للتذبذبات الحرة، تبقى فقط تذبذبات الحالة المستقرة في النظام.

يتم تحديد سعة VK من خلال سعة القوة المؤثرة والتوهين في النظام. إذا كان التوهين صغيرا، فإن سعة موجة الجهد تعتمد بشكل كبير على العلاقة بين تردد القوة العاملة وتردد التذبذبات الطبيعية للنظام. ومع اقتراب تردد القوة الخارجية من التردد الطبيعي للنظام، تزداد سعة VK بشكل حاد، ويحدث الرنين. في الأنظمة غير الخطية (انظر الأنظمة غير الخطية)، لا يكون التقسيم إلى حر وVK ممكنًا دائمًا.

أشعل.: Khaikin S.E.، الأسس الفيزيائية للميكانيكا، م.، 1963.

الموسوعة السوفيتية الكبرى. - م: الموسوعة السوفيتية. 1969-1978 .

انظر ما هي "التذبذبات القسرية" في القواميس الأخرى:

الاهتزازات القسرية- الاهتزازات القسرية. اعتماد اتساعها على تردد التأثير الخارجي عند التوهين المختلف: 1 التوهين الضعيف. 2 توهين قوي. 3 التوهين الحرجة. الاهتزازات القسرية، التذبذبات التي تحدث في أي نظام في... ... القاموس الموسوعي المصور

التذبذبات القسرية- التذبذبات التي تحدث تحت التأثير الدوري لقوة خارجية معممة. [نظام الاختبار غير المدمر. أنواع (طرق) وتكنولوجيا الاختبارات غير المدمرة. المصطلحات والتعاريف (كتاب مرجعي). موسكو 2003] قسري... ... دليل المترجم الفني

التذبذبات القسرية هي تذبذبات تحدث تحت تأثير قوى خارجية تتغير بمرور الوقت. تختلف التذبذبات الذاتية عن التذبذبات القسرية في أن الأخيرة تنتج عن تأثيرات خارجية دورية وتحدث بتكرار هذا ... ويكيبيديا

الاهتزازات القسرية هي الاهتزازات التي تحدث في أي نظام نتيجة للتأثيرات الخارجية المتغيرة بشكل دوري: القوة في النظام الميكانيكي، أو الجهد أو التيار في الدائرة التذبذبية. تحدث التذبذبات القسرية دائمًا مع ... ... الموسوعة الحديثة

التذبذبات الناشئة في الكونية ل. النظام تحت تأثير الدورية تحويلة. القوى (على سبيل المثال، اهتزازات غشاء الهاتف تحت تأثير المجال المغناطيسي المتناوب، واهتزازات الهيكل الميكانيكي تحت تأثير الحمل المتناوب). يتم تعريف Har r V. k على أنه خارجي. بالقوة... الموسوعة الفيزيائية

التذبذبات الناشئة في الكونية ل. النظام تحت تأثير التناوب تحويلة. التأثيرات (على سبيل المثال، التقلبات في الجهد والتيار في الدائرة الكهربائية الناتجة عن القوى الدافعة الكهربية المتناوبة؛ واهتزازات النظام الميكانيكي الناتجة عن الحمل المتناوب). يتم تحديد شخصية V. K. بواسطة ... ... قاموس البوليتكنيك الموسوعي الكبير

تنشأ في نظام تحت تأثير التأثيرات الخارجية الدورية (على سبيل المثال، التذبذبات القسرية للبندول تحت تأثير القوة الدورية، والتذبذبات القسرية في الدائرة التذبذبية تحت تأثير القوة الدافعة الكهربائية الدورية). لو… … القاموس الموسوعي الكبير

الاهتزازات القسرية- (الاهتزاز) - تذبذبات (اهتزاز) النظام الناتجة والمدعومة بالقوة و (أو) الإثارة الحركية. [GOST 24346 80] الاهتزازات القسرية هي اهتزازات الأنظمة الناتجة عن عمل الأحمال المتغيرة بمرور الوقت. [صناعة... ... موسوعة مصطلحات وتعاريف وشروحات مواد البناء

- (الاهتزازات المقيدة، الاهتزازات القسرية) اهتزازات الجسم الناتجة عن قوة خارجية تعمل بشكل دوري. إذا تزامنت فترة التذبذبات القسرية مع فترة التذبذبات الطبيعية للجسم، تحدث ظاهرة الرنين. Samoilov K.I.... ... القاموس البحري

الاهتزازات القسرية- (انظر)، الناشئة في أي نظام تحت تأثير تأثير خارجي متغير؛ يتم تحديد طابعها من خلال خصائص التأثير الخارجي وخصائص النظام نفسه. ومع اقتراب تردد التأثير الخارجي من تردده الخاص... موسوعة البوليتكنيك الكبيرة

تنشأ في نظام تحت تأثير التأثيرات الخارجية الدورية (على سبيل المثال، التذبذبات القسرية للبندول تحت تأثير القوة الدورية، والتذبذبات القسرية في دائرة تذبذبية تحت تأثير القوة الدافعة الكهربية الدورية). إذا كان التردد...... القاموس الموسوعي

كتب

• الاهتزازات القسرية لالتواء العمود مع مراعاة التخميد، A.P. فيليبوف، مستنسخة بالتهجئة الأصلية للمؤلف لطبعة عام 1934 (دار النشر إزفستيا التابعة لأكاديمية العلوم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية). في… الفئة: الرياضيات الناشر: يويو ميديا, الشركة المصنعة: يويو ميديا,
• الاهتزازات العرضية القسرية للقضبان مع مراعاة التخميد، A.P. فيليبوف، مستنسخة بتهجئة المؤلف الأصلية لطبعة عام 1935 (دار النشر "إيزفستيا التابعة لأكاديمية العلوم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية")... الفئة: