Differensial tenglamalarning sonli yechimi (1). Differensial tenglamalarni sonli yechish Eyler usuli yordamida oddiy differensial tenglamalarni yechish

Eyler differensial tenglamasining ta'rifi. Uni hal qilish usullari ko'rib chiqiladi.

Tarkib

Eylerning differentsial tenglamasi shakldagi tenglamadir
a 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ a n- 1 xy′ + a n y = f(x).

Umumiyroq shaklda Eyler tenglamasi quyidagi shaklga ega:
.
Bu tenglama t = ax+b o'rniga oddiyroq shaklga keltiriladi, biz buni ko'rib chiqamiz.

Eyler differensial tenglamasini doimiy koeffitsientli tenglamaga keltirish.

Eyler tenglamasini ko'rib chiqing:
(1) .
U almashtirish orqali doimiy koeffitsientli chiziqli tenglamaga qisqartiradi:
x = e t.
Haqiqatan ham, keyin
;
;
;

;
;
..........................

Shunday qilib, x m ni o'z ichiga olgan omillar bekor qilinadi. Qolgan shartlar doimiy koeffitsientlarga ega. Lekin amalda Eyler tenglamalarini yechish uchun yuqoridagi almashtirishdan foydalanmasdan oʻzgarmas koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalarni yechish usullaridan foydalanish mumkin.

Bir jinsli Eyler tenglamasining yechimi

Bir jinsli Eyler tenglamasini ko'rib chiqing:
(2) .
Biz (2) tenglamaning yechimini shaklda qidiramiz
.
;
;
........................
.
Biz (2) ni almashtiramiz va x k ga kamaytiramiz.
.
Biz xarakteristik tenglamani olamiz:

Biz uni hal qilamiz va murakkab bo'lishi mumkin bo'lgan n ta ildiz olamiz.
.

Keling, haqiqiy ildizlarni ko'rib chiqaylik. k i m ko‘plikning karrali ildizi bo‘lsin.
.
Bu m ildiz m chiziqli mustaqil yechimga mos keladi: Keling, murakkab ildizlarni ko'rib chiqaylik. Ular murakkab konjugatlar bilan birga juft bo'lib ko'rinadi. k i m ko‘plikning karrali ildizi bo‘lsin. Murakkab ildiz k i ni haqiqiy va xayoliy qismlar bilan ifodalaymiz:
;
;
..............................
.

Bu m ildiz va m murakkab konjugat ildizlar mos keladi
(3) .

2 m

Lineer mustaqil yechimlar:

n ta chiziqli mustaqil yechim olingandan keyin (2) tenglamaning umumiy yechimini olamiz:

Misollar

Tenglamalarni yechish:
.
Misollar yechimi > > >

Bir jinsli bo'lmagan Eyler tenglamasining yechimi 1 Bir jinsli bo'lmagan Eyler tenglamasini ko'rib chiqing: 1 Konstantalarni o'zgartirish usuli (Lagranj usuli) Eyler tenglamalariga ham tegishli. 1 hosilalarga oid tenglamalar.

Keyin y ning n-chi hosilasini topamiz.

Olingan hosilalarni (1) ga almashtiramiz va hosilalarga tegishli n-tenglamani olamiz.

Ushbu tenglamalardan biz aniqlaymiz.

Keyin integratsiyalashgan holda (1) tenglamaning umumiy yechimini olamiz.

Misol
(4)
,
Tenglamani yeching:

Yechim > > >
,
Maxsus bir jinsli bo'lmagan Eyler tenglamasi

Agar bir jinsli bo'lmagan qism ma'lum bir shaklga ega bo'lsa, unda bir jinsli bo'lmagan tenglamaning ma'lum bir yechimini topib, umumiy echimni olish osonroq bo'ladi. Ushbu sinf quyidagi shakldagi tenglamalarni o'z ichiga oladi:

qayerda darajalar va mos ravishda polinomlar.

Bunday holda, almashtirishni amalga oshirish osonroq

va qaror qiling

Differensial tenglamalarni sonli yechish

Fan va texnikaning ko‘pgina muammolari oddiy differensial tenglamalarni (ODE) yechishga to‘g‘ri keladi. ODElar - kerakli funktsiyaning bir yoki bir nechta hosilalarini o'z ichiga olgan tenglamalar. Umuman olganda, ODE quyidagicha yozilishi mumkin::

Bu erda x - mustaqil o'zgaruvchi, kerakli funktsiyaning i-chi hosilasi. n - tenglamaning tartibi. n-tartibli ODE ning umumiy yechimi n ta ixtiyoriy konstantadan iborat, ya'ni. umumiy yechim shaklga ega.:

Bitta yechimni tanlash uchun n ta qo'shimcha shartni o'rnatish kerak. Qo'shimcha shartlarni belgilash usuliga ko'ra, ikki xil turdagi muammolar mavjud: Koshi muammosi va chegaraviy masala. Agar bir nuqtada qo'shimcha shartlar ko'rsatilgan bo'lsa, unda bunday muammo Koshi muammosi deb ataladi. Koshi masalasidagi qo'shimcha shartlar boshlang'ich shartlar deyiladi. Agar bir nechta nuqtada qo'shimcha shartlar ko'rsatilgan bo'lsa, ya'ni. mustaqil o'zgaruvchining turli qiymatlari uchun bunday muammo chegaraviy masala deb ataladi. Qo'shimcha shartlarning o'zi chegara yoki chegara shartlari deb ataladi.

Ko'rinib turibdiki, n=1 bo'lganda biz faqat Koshi muammosi haqida gapirishimiz mumkin.

Koshi muammosini o'rnatishga misollar Chegaraviy masalalarga misollar

Bunday masalalarni faqat ayrim maxsus turdagi tenglamalar uchun analitik tarzda yechish mumkin.

Birinchi tartibli ODElar uchun Koshi masalasini echishning raqamli usullari Muammoning bayonoti 0 . Birinchi tartibli ODE yechimini toping Taqdim etilgan segmentda ].

Taxminiy yechim topishda biz hisob-kitoblar hisoblangan qadam bilan amalga oshirilgan deb hisoblaymiz, hisoblash tugunlari interval nuqtalari [

Muammoning bayonoti x				Muammoning bayonoti Taqdim etilgan segmentda
, x x				, x Taqdim etilgan segmentda

Maqsad - stol qurish

Raqamli yechimni olishning mutlaqo tabiiy (lekin yagona emas) usuli undagi integralni raqamli integrasiyaning qaysidir kvadraturasi formulasi bilan almashtirishdir. Birinchi tartibdagi chap to'rtburchaklar uchun eng oddiy formuladan foydalansak

keyin olamiz aniq Eyler formulasi:

To'lov tartibi:

Bilish, biz topamiz, keyin va hokazo.

Eyler usulining geometrik talqini:

Mavjud narsadan foydalanish Muammoning bayonoti 0 yechimi ma'lum , x(Muammoning bayonoti 0)= y 0 va uning hosilasining qiymati, biz nuqtada kerakli funktsiya grafigiga teginish tenglamasini yozishimiz mumkin:. Etarlicha kichik qadam bilan h qiymatning o'ng tomoniga almashtirish orqali olingan bu tangensning ordinatasi ordinatadan ozgina farq qilishi kerak , x(Muammoning bayonoti 1) yechimlar , x(Muammoning bayonoti) Koshi muammolari. Shuning uchun tangensning chiziq bilan kesishish nuqtasi Muammoning bayonoti = Muammoning bayonoti 1 taxminan yangi boshlang'ich nuqtasi sifatida qabul qilinishi mumkin. Bu nuqta orqali biz yana to'g'ri chiziq chizamiz, bu nuqtaga teginishning harakatini taxminan aks ettiradi. Bu yerni almashtirish (ya'ni chiziq bilan kesishish Muammoning bayonoti = Muammoning bayonoti 2), biz taxminiy qiymatni olamiz , x(Muammoning bayonoti) nuqtada Muammoning bayonoti 2: va boshqalar. Natijada uchun x-chi nuqtada Eyler formulasini olamiz.

Aniq Eyler usuli birinchi darajali aniqlik yoki taxminiylikka ega.

Agar siz to'g'ri to'rtburchaklar formulasidan foydalansangiz: , keyin usulga kelamiz

Bu usul deyiladi yashirin Eyler usuli, chunki ma'lum qiymatdan noma'lum qiymatni hisoblash odatda chiziqli bo'lmagan tenglamani echishni talab qiladi.

Yashirin Eyler usuli birinchi darajali aniqlik yoki yaqinlikka ega.

Ushbu usulda hisoblash ikki bosqichdan iborat:

Bu sxema bashorat qiluvchi-tuzatuvchi usul (bashoratchi-tuzatuvchi) deb ham ataladi. Birinchi bosqichda taxminiy qiymat past aniqlik (h) bilan bashorat qilinadi va ikkinchi bosqichda bu bashorat tuzatiladi, natijada olingan qiymat ikkinchi darajali aniqlikka ega bo'ladi.

Runge-Kutta usullari: aniq Runge-Kutta usullarini yaratish g'oyasi p-chi tartib - qiymatlarga yaqinliklarni olish , x(Muammoning bayonoti x+1) shakl formulasiga muvofiq

…………………………………………….

Bu yerga a Taqdim etilgan segmentda ,b nj , p Taqdim etilgan segmentda, – ba'zi sobit raqamlar (parametrlar).

Runge-Kutta usullarini qurishda funktsiya parametrlari ( a Taqdim etilgan segmentda ,b nj , p Taqdim etilgan segmentda) kerakli yaqinlashish tartibini oladigan tarzda tanlanadi.

Runge-Kutta sxemasi to'rtinchi darajadagi aniqlik:

Misol. Koshi muammosini hal qiling:

Uchta usulni ko'rib chiqing: aniq Eyler usuli, modifikatsiyalangan Eyler usuli, Runge-Kutta usuli.

Aniq yechim:

Ushbu misol uchun aniq Eyler usulidan foydalangan holda hisoblash formulalari:

O'zgartirilgan Eyler usulining hisoblash formulalari:

Runge-Kutta usuli uchun hisoblash formulalari:

y1 – Eyler usuli, y2 – modifikatsiyalangan Eyler usuli, y3 – Runge Kutta usuli.

Ko'rinib turibdiki, eng aniq usul Runge-Kutta usuli hisoblanadi.

Birinchi tartibli ODE tizimlarini echishning raqamli usullari

Ko'rib chiqilgan usullardan birinchi tartibli differensial tenglamalar tizimini yechishda ham foydalanish mumkin.

Keling, buni ikkita birinchi tartibli tenglamalar tizimi uchun ko'rsatamiz:

Aniq Eyler usuli:

O'zgartirilgan Eyler usuli:

Runge-Kutta sxemasi to'rtinchi darajadagi aniqlik:

Yuqori tartibli tenglamalar uchun Koshi masalalari ODE tenglamalari tizimlarini yechish uchun ham qisqartiriladi. Masalan, ko'rib chiqing Ikkinchi tartibli tenglama uchun Koshi muammosi

Ikkinchi noma'lum funksiyani kiritamiz. Keyin Cauchy muammosi quyidagilar bilan almashtiriladi:

Bular. oldingi muammo nuqtai nazaridan: .

Misol. Koshi muammosiga yechim toping:

Segmentda.

Aniq yechim:

Haqiqatan ham:

Eyler va Runge-Kutta usulida h=0,2 qadam bilan o’zgartirilgan aniq Eyler usuli yordamida masalani yechamiz.

Funktsiya bilan tanishtiramiz.

Keyin ikkita birinchi tartibli ODE tizimi uchun quyidagi Koshi muammosini olamiz:

Aniq Eyler usuli:

O'zgartirilgan Eyler usuli:

Runge-Kutta usuli:

Eyler sxemasi:

O'zgartirilgan Eyler usuli:

Runge - Kutta sxemasi:

Maks(y-y nazariyasi)=4*10 -5

ODE uchun chegaraviy masalalarni echishning chekli farq usuli

Koshi muammosini o'rnatishga misollar: chiziqli differensial tenglamaning yechimini toping

chegara shartlarini qondirish:. (2)

Teorema. Mayli. Keyin muammoning o'ziga xos echimi bor.

Bu muammo, masalan, uning uchlarida mentli bo'lgan nurning burilishlarini aniqlash muammosini kamaytiradi.

Cheklangan farq usulining asosiy bosqichlari:

1) argumentning uzluksiz o'zgarishi maydoni () tugunlar deb ataladigan diskret nuqtalar to'plami bilan almashtiriladi: .

2) uzluksiz argument x ning kerakli funksiyasi taxminan berilgan to'rdagi diskret argumentning funktsiyasi bilan almashtiriladi, ya'ni. . Funktsiya grid funktsiyasi deb ataladi.

3) Asl differensial tenglama panjara funksiyasiga nisbatan ayirma tenglama bilan almashtiriladi. Bunday almashtirish farqni yaqinlashish deyiladi.

Shunday qilib, differensial tenglamani yechish, algebraik tenglamalarni yechish natijasida topiladigan to'r tugunlarida to'r funksiyasining qiymatlarini topishga to'g'ri keladi.

Hosilalarni yaqinlashtirish.

Birinchi hosilani taxmin qilish (almashtirish) uchun siz quyidagi formulalardan foydalanishingiz mumkin:

- to'g'ri farq hosilasi,

- chap farq hosilasi,

Markaziy farq hosilasi.

ya'ni hosilalarni yaqinlashtirishning ko'plab mumkin bo'lgan usullari mavjud.

Ushbu ta'riflarning barchasi lotin tushunchasidan chegara sifatida kelib chiqadi: .

Birinchi hosilaning ayirma yaqinlashuviga asoslanib, biz ikkinchi hosilaning ayirma yaqinligini qurishimiz mumkin:

Xuddi shunday, biz yuqori tartibli hosilalarning taxminiy ma'lumotlarini olishimiz mumkin.

Ta'rif. n-chi hosilaning yaqinlashish xatosi farq: .

Taxminanlik tartibini aniqlash uchun Teylor qatorini kengaytirishdan foydalaniladi.

Keling, birinchi hosilaning o'ng tomonidagi farqning yaqinligini ko'rib chiqaylik:

Bular. to'g'ri farq hosilasi bor birinchi bo'lib h yaqinlashish tartibi.

Xuddi shu narsa chap farq hosilasi uchun ham amal qiladi.

Markaziy farq hosilasi bor ikkinchi tartibli yaqinlashish.

(3) formula bo'yicha ikkinchi hosilaning yaqinlashuvi ham ikkinchi darajali yaqinlashish tartibiga ega.

Differensial tenglamani yaqinlashtirish uchun uning barcha hosilalarini ularning yaqinliklari bilan almashtirish kerak. (1), (2) masalani ko'rib chiqamiz va (1) dagi hosilalarni almashtiramiz:

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

(4)

Dastlabki masalani yaqinlashtirish tartibi 2 ga teng, chunki ikkinchi va birinchi hosilalar 2-tartibga almashtiriladi, qolganlari esa - aynan.

Shunday qilib, (1), (2) differensial tenglamalar o'rniga, tarmoq tugunlarida aniqlash uchun chiziqli tenglamalar tizimi olindi.

Diagramma quyidagicha ifodalanishi mumkin:

ya'ni matritsali chiziqli tenglamalar tizimini oldik:

Ushbu matritsa tridiagonal, ya'ni. asosiy diagonalda joylashgan bo'lmagan barcha elementlar va unga qo'shni ikkita diagonal nolga teng.

Hosil bo'lgan tenglamalar tizimini yechish orqali biz dastlabki masala yechimini olamiz.

Laboratoriya 1

Raqamli yechish usullari

oddiy differensial tenglamalar (4 soat)

Ko'pgina fizik va geometrik masalalarni yechishda noma'lum funktsiya, uning hosilalari va mustaqil o'zgaruvchilar o'rtasidagi berilgan munosabatga asoslangan noma'lum funktsiyani izlash kerak. Bu nisbat deyiladi differensial tenglama , va differentsial tenglamani qanoatlantiradigan funksiyani topish deyiladi differensial tenglamani yechish.

Oddiy differentsial tenglama tenglik deb ataladi

, (1)

qaysi ichida

ma'lum bir segmentda o'zgaruvchan mustaqil o'zgaruvchidir va

- noma'lum funktsiya , x ( Muammoning bayonoti ) va uning birinchisi Taqdim etilgan segmentda hosilalari. chaqirdi tenglamaning tartibi .

Vazifa (1) tenglikni qanoatlantiradigan y funksiyani topishdan iborat. Bundan tashqari, buni alohida-alohida belgilamasdan, biz kerakli yechimni qurish va u yoki bu usulni "qonuniy" qo'llash uchun zarur bo'lgan u yoki bu darajadagi silliqlikka ega deb hisoblaymiz.

Oddiy differensial tenglamalarning ikki turi mavjud

Dastlabki shartlarsiz tenglamalar

Dastlabki shartli tenglamalar.

Boshlang'ich shartlarsiz tenglamalar (1) ko'rinishdagi tenglamalardir.

Dastlabki shartlar bilan tenglama(1) ko'rinishdagi tenglama bo'lib, unda bunday funktsiyani topish talab qilinadi

, bu ba'zilar uchun quyidagi shartlarni qondiradi:

bular. nuqtada

funktsiya va uning birinchi hosilalari oldindan belgilangan qiymatlarni oladi.

Cauchy muammolari

Differensial tenglamalarni taxminiy usullar yordamida yechish usullarini o'rganishda asosiy vazifa hisobga oladi Cauchy muammosi.

Keling, Koshi muammosini hal qilishning eng mashhur usuli - Runge-Kutta usulini ko'rib chiqaylik. Bu usul deyarli har qanday aniqlik tartibining taxminiy yechimini hisoblash uchun formulalar qurish imkonini beradi.

Runge-Kutta usulining ikkinchi tartibli aniqlik formulalarini chiqaramiz. Buni amalga oshirish uchun biz yechimni ikkinchidan yuqori tartibli shartlarni olib tashlab, Teylor seriyasining bir qismi sifatida ifodalaymiz. Keyin nuqtada kerakli funktsiyaning taxminiy qiymati Muammoning bayonoti 1 quyidagicha yozilishi mumkin:

(2)

Ikkinchi hosila , x "( Muammoning bayonoti 0 ) funksiyaning hosilasi orqali ifodalanishi mumkin f ( Muammoning bayonoti , , x ) , ammo Runge-Kutta usulida hosila o'rniga farq ishlatiladi

parametr qiymatlarini mos ravishda tanlash

Keyin (2) quyidagicha qayta yozilishi mumkin:

, x 1 = , x 0 + h [ β f ( Muammoning bayonoti 0 , , x 0 ) + α f ( Muammoning bayonoti 0 + gh , , x 0 + dh )], (3)

Qayerda α , β , γ Va δ - ba'zi parametrlar.

Argumentning funksiyasi sifatida (3) ning o'ng tomonini ko'rib chiqish h , Keling, uni darajalarga ajratamiz h :

, x 1 = , x 0 +( α + β ) h f ( Muammoning bayonoti 0 , , x 0 ) + ah 2 [ γ f x ( Muammoning bayonoti 0 , , x 0 ) + δ f y ( Muammoning bayonoti 0 , , x 0 )],

va parametrlarni tanlang α , β , γ Va δ shuning uchun bu kengayish (2) ga yaqin bo'ladi. Bundan kelib chiqadi

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( Muammoning bayonoti 0 , , x 0 ).

Ushbu tenglamalardan foydalanib, biz ifodalaymiz β , γ Va δ parametrlar orqali α , olamiz

, x 1 = , x 0 + h [(1 - α ) f ( Muammoning bayonoti 0 , , x 0 ) + α f ( Muammoning bayonoti 0 +, , x 0 + f ( Muammoning bayonoti 0 , , x 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

Endi, agar o'rniga ( Muammoning bayonoti 0 , , x 0 ) (4) da o'rniga () Muammoning bayonoti 1 , , x 1 ), biz hisoblash uchun formulani olamiz , x 2 – nuqtadagi kerakli funksiyaning taxminiy qiymati Muammoning bayonoti 2 .

Umumiy holda, Runge-Kutta usuli segmentning o'zboshimchalik bilan bo'linishi uchun qo'llaniladi. [ Muammoning bayonoti 0 , X ] yoqilgan Taqdim etilgan segmentda qismlar, ya'ni. o'zgaruvchan balandlik bilan

x 0 , x 1 , …, x n ; h i = x i+1 – x i , x n = X. (5)

Variantlar α 1 yoki 0,5 ga teng tanlanadi. Nihoyat, ikkinchi tartibli Runge-Kutta usulining o'zgaruvchan bosqichlari bilan hisoblash formulalarini yozamiz. α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , y i + f(x i, y i)), (6.1)

x = 0, 1,…, n -1.

Va α =0,5:

y i+1 =y i + , (6.2)

x = 0, 1,…, Taqdim etilgan segmentda -1.

Runge-Kutta usulining eng ko'p ishlatiladigan formulalari to'rtinchi darajadagi aniqlik formulalari:

y i+1 =y i + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 =f(x i , y i), k 2 = f(x i + , y i + k 1), (7)

k 3 = f(x i + , y i + k 2), k 4 = f(x i +h, y i +hk 3).

Runge-Kutta usuli uchun xatoni baholash uchun Runge qoidasi qo'llaniladi. Mayli , x ( Muammoning bayonoti ; h ) – nuqtadagi yechimning taxminiy qiymati Muammoning bayonoti , qadamlar bilan (6.1), (6.2) yoki (7) formulalar yordamida olingan h , A p – mos keladigan formulaning aniqlik tartibi. Keyin xato R ( h ) qadriyatlar , x ( Muammoning bayonoti ; h ) taxminiy qiymat yordamida baholanishi mumkin , x ( Muammoning bayonoti ; 2 h ) bir nuqtada yechimlar Muammoning bayonoti , bosqichma-bosqich qabul qilinadi 2 h :

(8)

Qayerda p =2 (6.1) va (6.2) formulalar uchun va p =4 uchun (7).

Kirish

Ilmiy va muhandislik masalalarini hal qilishda ko'pincha qandaydir dinamik tizimni matematik tavsiflash kerak bo'ladi. Bu eng yaxshi differensial tenglamalar shaklida amalga oshiriladi ( DU) yoki differentsial tenglamalar tizimi. Ko'pincha, bu muammo kimyoviy reaktsiyalarning kinetikasini va turli xil uzatish hodisalarini (issiqlik, massa, impuls) modellashtirish bilan bog'liq muammolarni hal qilishda paydo bo'ladi - issiqlik uzatish, aralashtirish, quritish, adsorbsiya, makro va mikrozarrachalarning harakatini tavsiflashda.

Ayrim hollarda differensial tenglamani eng yuqori hosila aniq ifodalangan shaklga aylantirish mumkin. Yozuvning bu shakli eng yuqori hosilaga nisbatan echilgan tenglama deb ataladi (bu holda eng yuqori hosila tenglamaning o'ng tomonida yo'q):

Oddiy differensial tenglamaning yechimi har qanday x uchun bu tenglamani ma'lum chekli yoki cheksiz oraliqda qanoatlantiradigan y(x) funksiyadir. Differensial tenglamani yechish jarayoni differentsial tenglamani integrallash deyiladi.

Tarixiy jihatdan birinchi tartibli ODElar uchun Koshi masalasini raqamli yechishning birinchi va eng oddiy usuli Eyler usuli hisoblanadi. Bu lotinni yagona to'rning tugunlari orasidagi bog'liq (y) va mustaqil (x) o'zgaruvchilarning chekli o'sishlari nisbati bilan yaqinlashishga asoslangan:

bu yerda y i+1 funksiyaning x i+1 nuqtadagi kerakli qiymati.

Agar integralni taxminan hisoblash uchun aniqroq integratsiya formulasidan foydalanilsa, Eyler usulining aniqligini oshirish mumkin - trapezoidal formula.

Bu formula y i+1 ga nisbatan yashirin bo‘lib chiqadi (bu qiymat ifodaning chap va o‘ng tomonida joylashgan), ya’ni y i+1 ga nisbatan tenglama bo‘lib, uni yechish mumkin, masalan, son jihatdan, qandaydir iterativ usuldan foydalangan holda (bunday shaklda uni oddiy takrorlash usulining iterativ formulasi deb hisoblash mumkin).

Kurs ishining tarkibi: Kurs ishi uch qismdan iborat. Birinchi qismda usullarning qisqacha tavsifi mavjud. Ikkinchi bo'limda muammoni shakllantirish va yechish. Uchinchi qismda - kompyuter tilida dasturiy ta'minotni amalga oshirish

Kurs ishining maqsadi: differensial tenglamalarni yechishning ikkita usuli - Eyler-Koshi usuli va takomillashtirilgan Eyler usulini o'rganish.

1. Nazariy qism

Raqamli farqlash

Differensial tenglama - bu bir yoki bir nechta hosilalarni o'z ichiga olgan tenglama. Mustaqil o'zgaruvchilar soniga qarab, differentsial tenglamalar ikki toifaga bo'linadi.

Oddiy differentsial tenglamalar (ODE)

Qisman differensial tenglamalar.

Oddiy differensial tenglamalar - bu kerakli funktsiyaning bir yoki bir nechta hosilalarini o'z ichiga olgan tenglamalar. Ularni shunday yozish mumkin

mustaqil o'zgaruvchi

(1) tenglamaga kiritilgan eng yuqori tartib differensial tenglamaning tartibi deb ataladi.

Eng oddiy (chiziqli) ODE hosilaga nisbatan echilgan tartibli tenglama (1) dir

Differensial tenglamaning yechimi (1) har qanday funktsiya bo'lib, uni tenglamaga almashtirgandan so'ng uni bir xillikka aylantiradi.

Chiziqli ODE bilan bog'liq asosiy muammo Kasha muammosi sifatida tanilgan:

(3) boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi funksiya ko‘rinishidagi (2) tenglamaning yechimini toping.

Geometrik jihatdan bu tenglik (2) bajarilganda ) nuqtadan oʻtuvchi integral egri chiziqni topish talab qilinishini bildiradi.

Kasha muammosi nuqtai nazaridan raqamli degani: ma'lum bir bosqichli segmentda (2) va boshlang'ich shartni (3) qanoatlantiradigan funktsiya qiymatlari jadvalini tuzish kerak. Odatda, ya'ni boshlang'ich shart segmentning chap uchida ko'rsatilgan deb taxmin qilinadi.

Differensial tenglamani yechishning eng oddiy son usuli Eyler usulidir. Bu differensial tenglamaning yechimini grafik jihatdan qurish g'oyasiga asoslanadi, ammo bu usul kerakli funktsiyani raqamli shaklda yoki jadvalda topish usulini ham beradi.

Boshlang'ich shartli (2) tenglama berilsin, ya'ni Kasha muammosi qo'yilgan. Keling, avval quyidagi masalani hal qilaylik. Yechimning taxminiy qiymatini ma'lum bir nuqtada eng oddiy tarzda toping, bu erda juda kichik qadam. Tenglama (2) boshlang'ich shart (3) bilan birgalikda koordinatali nuqtada kerakli integral egri chiziqning tangensi yo'nalishini aniqlang.

Tangens tenglama shaklga ega

Ushbu tangens bo'ylab harakatlanib, biz nuqtadagi eritmaning taxminiy qiymatini olamiz:

Bir nuqtada taxminiy yechimga ega bo'lib, siz ilgari tasvirlangan protsedurani takrorlashingiz mumkin: bu nuqtadan burchak koeffitsienti bilan o'tadigan to'g'ri chiziqni quring va undan nuqtadagi yechimning taxminiy qiymatini toping.

. E'tibor bering, bu chiziq haqiqiy integral egri chiziqqa tangens emas, chunki nuqta biz uchun mavjud emas, lekin agar u etarlicha kichik bo'lsa, natijada olingan taxminlar yechimning aniq qiymatlariga yaqin bo'ladi.

Ushbu fikrni davom ettirib, teng masofada joylashgan nuqtalar tizimini tuzamiz

Kerakli funksiya qiymatlari jadvalini olish

Eyler usuli formulani tsiklik qo'llashdan iborat

1-rasm. Eyler usulining grafik talqini

Bir tugundan ikkinchisiga yechimlar olinadigan differensial tenglamalarni sonli integrallash usullari bosqichma-bosqich deyiladi. Eyler usuli - bosqichma-bosqich usullarning eng oddiy vakili. Har qanday bosqichma-bosqich usulning o'ziga xos xususiyati shundaki, ikkinchi bosqichdan boshlab (5) formuladagi boshlang'ich qiymatning o'zi taxminiydir, ya'ni har bir keyingi bosqichda xato tizimli ravishda oshib boradi. ODElarni taxminiy sonli yechish uchun bosqichma-bosqich usullarning to'g'riligini baholashning eng ko'p qo'llaniladigan usuli - berilgan segmentni ikki marta qadam va qadam bilan o'tkazish usuli

1.1 takomillashtirilgan Eyler usuli

Ushbu usulning asosiy g'oyasi: hosilaning qiymati, ya'ni segmentdagi integral egri o'rnini bosuvchi to'g'ri chiziqning burchak koeffitsienti hisoblanmasa, (5) formula bo'yicha hisoblangan keyingi qiymat aniqroq bo'ladi. chap chekka bo'ylab (ya'ni nuqtada), lekin segmentning markazida. Ammo nuqtalar orasidagi hosilaning qiymati hisoblanmaganligi sababli, biz nuqta joylashgan markazga ega bo'lgan qo'sh bo'limlarga o'tamiz va to'g'ri chiziq tenglamasi shaklni oladi:

Va formula (5) shaklni oladi

Formula (7) faqat uchun qo'llaniladi, shuning uchun undan qiymatlarni olish mumkin emas, shuning uchun ular Eyler usuli yordamida topiladi va aniqroq natijaga erishish uchun ular buni amalga oshiradilar: boshidan boshlab, (5) formuladan foydalangan holda. qiymatini topadilar

(8)

Nuqtada va keyin qadamlar bilan formula (7) ga muvofiq topiladi

(9)

Bir marta qo'shimcha hisob-kitoblar topildi formula (7) bo'yicha ishlab chiqarilgan

SFU fizik kimyo kafedrasi (RSU)
SON USULLARI VA DASTURLASHTIRISH
Ma'ruza kursi uchun materiallar
O‘qituvchi – Art. Rev. Shcherbakov I.N.

ODDIY DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNI YECHISH

Muammoning bayonoti

Oddiy differentsial tenglama n-tartibdagi (ODE) quyidagi tenglama bo'lib, u istalgan y(x) funksiyaning bir yoki bir nechta hosilalarini o'z ichiga oladi:

Bu yerga y(n) y(x) qandaydir funksiyaning n tartibli hosilasini bildiradi, x mustaqil o‘zgaruvchidir.

Ayrim hollarda differensial tenglamani eng yuqori hosila aniq ifodalangan shaklga aylantirish mumkin. Belgilanishning bu shakli tenglama deb ataladi, eng yuqori hosilaga nisbatan hal qilinadi(bu holda, eng yuqori hosila tenglamaning o'ng tomonida yo'q):

Aynan shu yozuv shakli sifatida qabul qilinadi standart ODElarni echishning raqamli usullarini ko'rib chiqishda.

Chiziqli differentsial tenglama y(x) funksiya va uning barcha hosilalariga nisbatan chiziqli tenglamadir.

Masalan, quyida birinchi va ikkinchi darajali chiziqli ODElar keltirilgan

Oddiy differentsial tenglamani yechish har qanday x uchun bu tenglamani ma'lum chekli yoki cheksiz oraliqda qanoatlantiradigan y(x) funksiyadir. Differensial tenglamani yechish jarayoni deyiladi differensial tenglamani integrallash orqali.

ODE ning umumiy yechimi n-tartibda n ta ixtiyoriy C 1, C 2, …, C n konstantalar mavjud.

Bu shunisi aniqki, noaniq integral integrandning antiderivativiga va integrasiya doimiysiga teng.

n-tartibli differensial tenglamalarni yechish uchun n ta integrallash zarur bo‘lganligi uchun umumiy yechimda n ta integrallash konstantasi paydo bo‘ladi.

Shaxsiy yechim Agar integratsiya konstantalariga ba'zi qo'shimcha shartlarni belgilash orqali ma'lum qiymatlar berilgan bo'lsa, ularning soni barcha noaniq integratsiya konstantalarini hisoblash imkonini beradigan umumiy qiymatdan ODE olinadi.

Aniq (analitik) yechim Differensial tenglamaning (umumiy yoki xususiy) elementar funksiyalardan ifoda shaklida kerakli yechimni (y(x) funksiya) olishni nazarda tutadi. Bu hatto birinchi tartibli tenglamalar uchun ham har doim ham mumkin emas.

Raqamli yechim DE (bo'lim) y(x) funksiyani va uning ma'lum bir segmentda yotgan ba'zi berilgan nuqtalarda hosilalarini hisoblashdan iborat. Ya'ni, aslida, n-tartibli differentsial tenglamaning yechimi quyidagi raqamlar jadvali ko'rinishida olinadi (eng yuqori hosilaning qiymatlari ustuni qiymatlarni qiymatlarga almashtirish orqali hisoblanadi). tenglama):

Masalan, birinchi tartibli differensial tenglama uchun yechim jadvali ikkita ustunga ega bo'ladi - x va y.

Funktsiyaning qiymati aniqlanadigan abscissa qiymatlari to'plami deyiladi to'r, bunda y(x) funksiya aniqlangan. Koordinatalarning o'zi deyiladi panjara tugunlari. Ko'pincha, qulaylik uchun ular ishlatiladi yagona panjaralar, unda qo'shni tugunlar orasidagi farq doimiy va deyiladi panjara oralig'i yoki integratsiya bosqichi differensial tenglama

Yoki, x= 1, …, N

Aniqlash uchun shaxsiy yechim integratsiya konstantalarini hisoblash imkonini beradigan qo'shimcha shartlarni belgilash kerak. Bundan tashqari, bunday shartlar aniq bo'lishi kerak. Birinchi tartibli tenglamalar uchun - bitta, ikkinchisi uchun - 2 va hokazo. Differensial tenglamalarni echishda ularni belgilash usuliga qarab, uchta turdagi masalalar mavjud:

· Koshi muammosi (dastlabki muammo): Shunga o'xshash narsani topish kerak shaxsiy yechim aniqni qanoatlantiradigan differensial tenglama bir nuqtada belgilangan dastlabki shartlar:

ya'ni mustaqil o'zgaruvchining ma'lum bir qiymati (x 0) berilgan va bu nuqtada (n-1) tartibgacha bo'lgan funktsiya va uning barcha hosilalari qiymati berilgan. Bu nuqta (x 0) deyiladi asosiy. Masalan, agar 1-tartibli DE hal qilinayotgan bo'lsa, u holda boshlang'ich shartlar juft sonlar sifatida ifodalanadi (x 0 , y 0)

Bunday muammoni hal qilishda yuzaga keladi ODE, bu, masalan, kimyoviy reaksiyalarning kinetikasini tavsiflaydi. Bunday holda, vaqtning dastlabki momentidagi moddalarning kontsentratsiyasi ma'lum ( t = 0), va ma'lum vaqtdan keyin moddalarning konsentratsiyasini topish kerak ( t). Misol tariqasida issiqlik uzatish yoki massa uzatish (diffuziya), kuchlar ta'sirida moddiy nuqtaning harakat tenglamasi va boshqalarni ham keltirishimiz mumkin.

· Chegaraviy qiymat muammosi . Bunday holda, funktsiya va (yoki) uning hosilalari qiymatlari bir nechta nuqtalarda, masalan, boshlang'ich va oxirgi vaqtlarda ma'lum bo'ladi va ular orasidagi differentsial tenglamaning muayyan echimini topish kerak. ball. Bu holatda qo'shimcha shartlarning o'zi deyiladi mintaqaviy (chegara chizig'i) shartlar. Tabiiyki, chegaraviy masala kamida 2-tartibdagi ODElar uchun echilishi mumkin. Quyida chegara shartlariga ega ikkinchi darajali ODE misoli keltirilgan (ikki xil nuqtada funktsiya qiymatlari berilgan):

· Shturm-Liouvil muammosi (o'ziga xos qiymat muammosi). Bu turdagi masalalar chegaraviy masalalarga o'xshaydi. Ularni hal qilishda har qanday parametrning qaysi qiymatlarida yechim topish kerak DU chegara shartlarini (o'ziga xos qiymatlar) va har bir parametr qiymati (o'z funktsiyalari) uchun DE ning yechimi bo'lgan funktsiyalarni qanoatlantiradi. Masalan, kvant mexanikasining ko'pgina muammolari xususiy qiymat muammolaridir.

Birinchi tartibli ODEning Koshi masalasini echishning raqamli usullari

Keling, hal qilishning bir necha raqamli usullarini ko'rib chiqaylik Cauchy muammolari(dastlabki masala) birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar.

(6.2)

Keling, bu tenglamani hosilaga nisbatan yechilgan umumiy shaklda yozamiz (tenglamaning o'ng tomoni birinchi hosilaga bog'liq emas):

Agar boshlang'ich qiymatlar ma'lum bo'lsa, y funktsiyasining qiymatlarini to'rning berilgan nuqtalarida topish kerak, bu erda y(x) funktsiyasining qiymati x 0 boshlang'ich nuqtasida mavjud.

Tenglamani d x ga ko'paytirish orqali o'zgartiramiz

(6.3)

Va biz chap va o'ng tomonlarni i-chi va i+ 1-chi grid tugunlari o'rtasida birlashtiramiz.

Biz i+1 integratsiya tugunida i-chi to'r tugunidagi x va y qiymatlari orqali yechim qurish ifodasini oldik. Biroq, qiyinchilik shundaki, o'ng tomondagi integral aniq berilgan funktsiyaning integrali bo'lib, uni analitik shaklda topish umuman mumkin emas. ODElarni sonli integratsiyalash uchun formulalar tuzish uchun ushbu integralning qiymatini turli yo'llar bilan echishning raqamli usullari taxminan (taxminan) qiladi.

Birinchi tartibli ODElarni yechish uchun ishlab chiqilgan ko'plab usullardan biz usullarni ko'rib chiqamiz va . Ular juda oddiy va raqamli yechim doirasida ushbu muammoni hal qilishning yondashuvlari haqida dastlabki fikrni beradi.

Eyler usuli , x Tarixiy jihatdan birinchi tartibli ODElar uchun Koshi masalasini raqamli yechishning birinchi va eng oddiy usuli Eyler usuli hisoblanadi. Bu bog'liqning ( Muammoning bayonoti) va mustaqil (

) yagona tarmoq tugunlari orasidagi o'zgaruvchilar:

bu yerda y i+1 funksiyaning x i+1 nuqtadagi kerakli qiymati. Agar biz ushbu tenglamani o'zgartirsak va integratsiya tarmog'ining bir xilligini hisobga olsak, biz iterativ formulaga ega bo'lamiz, bu orqali biz hisoblashimiz mumkin. y i+1

, agar y i x i nuqtada ma'lum bo'lsa:

Eyler formulasini avval olingan umumiy ifoda bilan solishtirsak, integralni Eyler usulida taxminiy hisoblash uchun eng oddiy integrasiya formulasi - segmentning chap qirrasi bo ylab to rtburchaklar formulasi qo llanilishi aniq.

Eyler usulining grafik talqini ham oson (quyidagi rasmga qarang). Haqiqatan ham, echilayotgan tenglamaning () shakliga asoslanib, qiymat y(x) funksiyaning x=x i - nuqtasidagi hosilasining qiymati va demak, tangensga teng ekanligi kelib chiqadi. y(x) funksiya grafigiga x =x i nuqtada chizilgan tangens burchak.

Eyler formulasi shu erdan kelib chiqadi. Demak, Eyler usulining mohiyati integrallash segmentidagi y(x) funksiyani x=x i nuqtadagi grafaga tangens to‘g‘ri chiziq bilan almashtirishdan iborat. Agar kerakli funktsiya integratsiya segmentidagi chiziqli funktsiyadan sezilarli darajada farq qilsa, hisoblash xatosi sezilarli bo'ladi. Eyler usulining xatosi integratsiya bosqichiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir:

Xato~h

Hisoblash jarayoni quyidagicha tuzilgan. Berilgan dastlabki shartlar uchun x 0 Va y 0 hisoblash mumkin

Shunday qilib, y (x) funktsiya qiymatlari jadvali ma'lum bir qadam bilan tuziladi ( h) tomonidan Muammoning bayonoti segmentida. Qiymatni aniqlashda xato y(x i) h bu holda, tanlangan qadam uzunligi qanchalik kichik bo'lsa, u kichikroq bo'ladi

(bu integratsiya formulasining aniqligi bilan aniqlanadi).

Katta h uchun Eyler usuli juda noaniq. Integratsiya bosqichining kamayishi bilan u tobora aniqroq yaqinlashishni beradi. Agar segment juda katta bo'lsa, u holda har bir bo'lim N integratsiya segmentiga bo'linadi va ularning har biriga bir qadam bilan Eyler formulasi qo'llaniladi, ya'ni h integrallash qadami yechim topilgan panjara qadamidan kamroq olinadi. belgilanadi.

Misol:

Eyler usulidan foydalanib, quyidagi Koshi muammosining taxminiy yechimini tuzing:

(6,5) oraliqda 0,1 qadam bo'lgan panjarada

Yechim:

Ushbu tenglama allaqachon standart shaklda yozilgan bo'lib, kerakli funktsiyaning hosilasiga nisbatan echilgan.

Shunday qilib, echilayotgan tenglama uchun biz bor

Keling, h = 0,1 panjara qadamiga teng integratsiya qadamini olaylik. Bunday holda, har bir tarmoq tuguniga faqat bitta qiymat hisoblab chiqiladi (N=1). Birinchi to'rtta tarmoq tugunlari uchun hisob-kitoblar quyidagicha bo'ladi: .

To'liq natijalar (beshinchi kasrgacha aniq) uchinchi ustunda - h =0,1 (N =1) berilgan. Taqqoslash uchun jadvalning ikkinchi ustunida ushbu tenglamaning analitik yechimidan hisoblangan qiymatlar ko'rsatilgan.

Jadvalning ikkinchi qismida olingan echimlarning nisbiy xatosi ko'rsatilgan. Ko'rinib turibdiki, h =0,1 da xato juda katta bo'lib, birinchi tugun x =0,1 uchun 100% ga etadi.

Muammoning bayonoti	1-jadval Tenglamani Eyler usulida yechish (ustunlar uchun integratsiya bosqichi va tarmoq tugunlari orasidagi N integratsiya segmentlari soni ko'rsatilgan) Aniq	0,1	0,05	0,025	0,00625	0,0015625	0,0007813	0,0001953
Muammoning bayonoti		1	2	4	16	64	128	512
0	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000
0,1	0,004837	0,000000	0,002500	0,003688	0,004554	0,004767	0,004802	0,004829
0,2	0,018731	0,010000	0,014506	0,016652	0,018217	0,018603	0,018667	0,018715
0,3	0,040818	0,029000	0,035092	0,037998	0,040121	0,040644	0,040731	0,040797
0,4	0,070320	0,056100	0,063420	0,066920	0,069479	0,070110	0,070215	0,070294
0,5	0,106531	0,090490	0,098737	0,102688	0,105580	0,106294	0,106412	0,106501
0,6	0,148812	0,131441	0,140360	0,144642	0,147779	0,148554	0,148683	0,148779
0,7	0,196585	0,178297	0,187675	0,192186	0,195496	0,196314	0,196449	0,196551
0,8	0,249329	0,230467	0,240127	0,244783	0,248202	0,249048	0,249188	0,249294
0,9	0,306570	0,287420	0,297214	0,301945	0,305423	0,306284	0,306427	0,306534
1	0,367879	0,348678	0,358486	0,363232	0,366727	0,367592	0,367736	0,367844
yechim
Muammoning bayonoti	h	0,1	0,05	0,025	0,00625	0,0015625	0,0007813	0,0001953
Muammoning bayonoti	Turli h uchun hisoblangan funktsiya qiymatlarining nisbiy xatolari	1	2	4	16	64	128	512
0,1		100,00%	48,32%	23,76%	5,87%	1,46%	0,73%	0,18%
0,2		46,61%	22,55%	11,10%	2,74%	0,68%	0,34%	0,09%
0,3		28,95%	14,03%	6,91%	1,71%	0,43%	0,21%	0,05%
0,4		20,22%	9,81%	4,83%	1,20%	0,30%	0,15%	0,04%
0,5		15,06%	7,32%	3,61%	0,89%	0,22%	0,11%	0,03%
0,6		11,67%	5,68%	2,80%	0,69%	0,17%	0,09%	0,02%
0,7		9,30%	4,53%	2,24%	0,55%	0,14%	0,07%	0,02%
0,8		7,57%	3,69%	1,82%	0,45%	0,11%	0,06%	0,01%
0,9		6,25%	3,05%	1,51%	0,37%	0,09%	0,05%	0,01%
1		5,22%	2,55%	1,26%	0,31%	0,08%	0,04%	0,01%

(6.6)

undan keyin (6.6) ga muvofiq hisoblashda foydalanish mumkin.

Bu usulni beradi Guna yoki qayta hisoblash bilan Eyler usuli. Har bir integratsiya tugun uchun quyidagi hisob-kitoblar zanjiri bajariladi

(6.7)

Aniqroq integratsiya formulasi tufayli Xun usulining xatosi integratsiya qadamining kvadratiga proportsionaldir.

Xato~ h 2

Gun usulida qo'llaniladigan yondashuv usullar deb ataladigan narsalarni qurish uchun ishlatiladi prognoz va tuzatish, bu haqda keyinroq muhokama qilinadi.

Xyun usulidan foydalanib () tenglama uchun hisob-kitoblarni bajaramiz.

Integratsiya bosqichida h =0,1 birinchi to'r tugunida x 1 hosil bo'ladi:

Xuddi shu integratsiya bosqichida Eyler usulida olingan qiymatlarga qaraganda ancha aniqroq. Quyidagi 2-jadvalda Eyler va Gun usullari bo'yicha h = 0,1 uchun hisob-kitoblarning qiyosiy natijalari keltirilgan.

2-jadval Tenglamani Eyler va Gyun usullari bilan yechish

Muammoning bayonoti	Aniq	Gun usuli		Eyler usuli
Muammoning bayonoti	Aniq	, x	rel. xato	, x	rel. xato
0	0,000000	0,00000		0,00000
0,1	0,004837	0,00500	3,36%	0,00000	100,00%
0,2	0,018731	0,01903	1,57%	0,01000	46,61%
0,3	0,040818	0,04122	0,98%	0,02900	28,95%
0,4	0,070320	0,07080	0,69%	0,05610	20,22%
0,5	0,106531	0,10708	0,51%	0,09049	15,06%
0,6	0,148812	0,14940	0,40%	0,13144	11,67%
0,7	0,196585	0,19721	0,32%	0,17830	9,30%
0,8	0,249329	0,24998	0,26%	0,23047	7,57%
0,9	0,306570	0,30723	0,21%	0,28742	6,25%
1	0,367879	0,36854	0,18%	0,34868	5,22%

Eyler usuli bilan solishtirganda Xun usulining hisob-kitoblarining aniqligi sezilarli darajada oshganini qayd etamiz. Shunday qilib, x =0,1 tugun uchun Xyuyn usuli bilan aniqlangan funktsiya qiymatining nisbiy og'ishi 30 (!) marta kam bo'lib chiqadi. Eyler formulasidan foydalangan holda hisob-kitoblarning bir xil aniqligiga N integratsiya segmentlari soni taxminan 30 ga teng bo'lganda erishiladi. Binobarin, Xun usulidan bir xil hisob-kitoblar aniqligi bilan foydalanilganda, Eyler usulidan foydalangandan ko'ra, kompyuterda taxminan 15 baravar kamroq vaqt talab etiladi. .

Eritmaning barqarorligini tekshirish

X i nuqtadagi ODE ning yechimi, agar shu nuqtada funksiyaning qiymati topilgan bo'lsa, barqaror deyiladi y i integratsiya bosqichining kamayishi bilan kam o'zgaradi. Shuning uchun barqarorlikni tekshirish uchun qiymatning ikkita hisob-kitobini amalga oshirish kerak ( y i) – integratsiya qadami h va kichraytirilgan (masalan, ikki) qadam o‘lchami bilan

Barqarorlik mezoni sifatida siz integratsiya bosqichi kamaytirilganda olingan yechimdagi nisbiy o'zgarishning kichikligidan foydalanishingiz mumkin (e - oldindan belgilangan kichik qiymat).

Ushbu tekshirish barcha qiymatlar oralig'idagi barcha echimlar uchun amalga oshirilishi mumkin Muammoning bayonoti. Agar shart bajarilmasa, qadam yana yarmiga bo'linadi va yangi yechim topiladi va hokazo. barqaror eritma olinmaguncha.

Runge-Kutta usullari

Birinchi tartibli ODEni yechishning aniqligini yanada yaxshilash ifodadagi integralni taxminiy hisoblashning aniqligini oshirish orqali mumkin.

Bu integralni yaqinlashtirishda to‘rtburchaklar formulasidan () yordamida integrallashdan trapetsiya formulasidan () foydalanishga o‘tishning afzalligini ko‘rib chiqdik.

Yaxshi isbotlangan Simpson formulasidan foydalanib, siz birinchi darajali ODE uchun Koshi muammosini hal qilish uchun yanada aniqroq formulani olishingiz mumkin - hisoblash amaliyotida keng qo'llaniladigan Runge-Kutta usuli.

ODElarni yechish uchun ko'p bosqichli Adams usullarining afzalligi shundaki, har bir tugunda ODE ning o'ng tomonining faqat bitta qiymati - F(x,y) funksiyasi hisoblanadi. Kamchiliklari ko'p bosqichli usulni bitta boshlang'ich nuqtadan boshlashning mumkin emasligini o'z ichiga oladi, chunki k bosqichli formuladan foydalangan holda hisob-kitoblar k tugunlarida funktsiyaning qiymatini bilishni talab qiladi. Shuning uchun x 1 , x 2 , …, x k-1 birinchi tugunlarida (k-1) eritmani qandaydir bir bosqichli usul yordamida, masalan, usul yordamida olish kerak.