Teskari matritsani tekshiring. Slugni yechishning matritsa usuli: teskari matritsa yordamida yechish misoli. Gauss eliminatsiyasi orqali teskari matritsani topish

Odatda murakkab algebraik ifodalarni soddalashtirish uchun teskari amallardan foydalaniladi. Masalan, agar masala kasrga bo'lish amalini o'z ichiga olgan bo'lsa, uni teskari amal bo'lgan o'zaro ko'paytirish amali bilan almashtirish mumkin. Bundan tashqari, matritsalarni bo'lish mumkin emas, shuning uchun siz matritsaning teskari qismiga ko'paytirishingiz kerak. 3x3 matritsaning teskarisini hisoblash zerikarli, ammo siz buni qo'lda qilishingiz kerak. Yaxshi grafik kalkulyator yordamida o'zaro hisobni ham topishingiz mumkin.

Qadamlar

Qo'shma matritsa bilan

Asl matritsani ko'chiring. Transpoze - bu matritsaning asosiy diagonaliga nisbatan satrlarni ustunlar bilan almashtirish, ya'ni (i, j) va (j, i) elementlarni almashtirish kerak. Bunday holda, asosiy diagonalning elementlari (yuqori chap burchakdan boshlanib, pastki o'ng burchakda tugaydi) o'zgarmaydi.

  • Qatorlarni ustunlar bilan almashtirish uchun birinchi ustunga birinchi qatorni, ikkinchi ustunga ikkinchi qatorni va uchinchi ustunga uchinchi qatorni yozing. Elementlarning o'rnini o'zgartirish tartibi rasmda ko'rsatilgan, unda tegishli elementlar rangli doiralar bilan o'ralgan.

  • Har bir 2x2 matritsaning taʼrifini toping. Har qanday matritsaning har bir elementi, shu jumladan transpoze qilingani, mos keladigan 2x2 matritsa bilan bog'langan. Muayyan elementga mos keladigan 2x2 matritsani topish uchun ushbu element joylashgan satr va ustunni kesib tashlang, ya'ni asl 3x3 matritsaning beshta elementini kesib tashlashingiz kerak. To'rtta element kesishmagan holda qoladi, ular mos keladigan 2x2 matritsaning elementlari.

    • Masalan, ikkinchi qator va birinchi ustunning kesishmasida joylashgan element uchun 2x2 matritsani topish uchun ikkinchi qator va birinchi ustundagi beshta elementni kesib tashlang. Qolgan to'rtta element mos keladigan 2x2 matritsaning elementlari.
    • Har bir 2x2 matritsaning determinantini toping. Buning uchun asosiy diagonal elementlarining mahsulotidan ikkilamchi diagonal elementlarining mahsulotini ayirish kerak (rasmga qarang).
    • 3x3 matritsaning muayyan elementlariga mos keladigan 2x2 matritsalar haqida batafsil ma'lumotni Internetda topish mumkin.

  • Kofaktorlar matritsasini yarating. Ilgari olingan natijalarni kofaktorlarning yangi matritsasi shaklida yozing. Buning uchun 3x3 matritsaning mos elementi joylashgan har bir 2x2 matritsaning topilgan determinantini yozing. Masalan, (1,1) element uchun 2x2 matritsani ko'rib chiqsak, uning determinantini (1,1) holatiga yozing. Keyin rasmda ko'rsatilgan ma'lum bir sxema bo'yicha mos keladigan elementlarning belgilarini o'zgartiring.

    • Belgilarni o'zgartirish sxemasi: birinchi qatorning birinchi elementining belgisi o'zgarmaydi; birinchi qatorning ikkinchi elementining belgisi teskari; birinchi qatorning uchinchi elementining belgisi o'zgarmaydi va hokazo. E'tibor bering, diagrammada ko'rsatilgan "+" va "-" belgilari (rasmga qarang) tegishli elementning ijobiy yoki salbiy bo'lishini ko'rsatmaydi. Bunda "+" belgisi element belgisi o'zgarmasligini, - belgisi esa element belgisi o'zgarganligini bildiradi.
    • Kofaktorlar matritsalari haqida batafsil ma'lumotni Internetda topish mumkin.
    • Bu asl matritsaning bog'langan matritsasini topadi. Ba'zan murakkab konjugat matritsa deb ataladi. Ushbu matritsa adj (M) deb ataladi.

  • Qo'shma matritsaning har bir elementini determinantga bo'ling. M matritsaning determinanti matritsaning teskarisi mavjudligini tekshirish uchun boshida hisoblab chiqilgan. Endi qo'shma matritsaning har bir elementini shu determinantga bo'ling. Har bir bo'linish operatsiyasining natijasini mos keladigan element joylashgan joyda yozing. Bu asl matritsaning teskarisini topadi.

    • Rasmda ko'rsatilgan matritsaning determinanti 1. Shunday qilib, bu erda qo'shma matritsa teskari matritsadir (chunki har qanday son 1 ga bo'linganda u o'zgarmaydi).
    • Ba'zi manbalarda bo'linish operatsiyasi 1 / det (M) ga ko'paytirish operatsiyasi bilan almashtiriladi. Bunday holda, yakuniy natija o'zgarmaydi.

  • Matritsaning teskarisini yozing. Katta matritsaning o'ng yarmida joylashgan elementlarni alohida matritsa sifatida yozing, bu matritsaga teskari.

    Kalkulyatordan foydalanish

      Matritsalar bilan ishlaydigan kalkulyatorni tanlang. Oddiy kalkulyatorlar yordamida teskari matritsani topa olmaysiz, lekin buni Texas Instruments TI-83 yoki TI-86 kabi yaxshi grafik kalkulyator yordamida amalga oshirishingiz mumkin.

      Asl matritsani kalkulyator xotirasiga kiriting. Buning uchun, agar mavjud bo'lsa, Matritsa tugmasini bosing. Texas Instruments kalkulyatori uchun 2 va Matritsa tugmalarini bosishingiz kerak bo'lishi mumkin.

      Tahrirlash menyusini tanlang. Buni kalkulyator klaviaturasining yuqori qismida joylashgan o'q tugmalari yoki mos keladigan funksiya tugmasi yordamida bajaring (tugmaning joylashuvi kalkulyator modeliga bog'liq).

      Matritsa belgisini kiriting. Ko'pgina grafik kalkulyatorlar A-J harflari bilan belgilanishi mumkin bo'lgan 3-10 matritsa bilan ishlay oladi. Odatda, asl matritsani ko'rsatish uchun [A] ni tanlang. Keyin Enter tugmasini bosing.

      Matritsaning o'lchamini kiriting. Ushbu maqola 3x3 matritsalar haqida gapiradi. Ammo grafik kalkulyatorlar katta matritsalarni boshqarishi mumkin. Qatorlar sonini kiriting, Enter tugmasini bosing, keyin ustunlar sonini kiriting va Enter tugmasini yana bosing.

      Matritsaning har bir elementini kiriting. Kalkulyator matritsani ko'rsatadi. Agar matritsa allaqachon kalkulyatorga kiritilgan bo'lsa, u ekranda paydo bo'ladi. Kursor matritsaning birinchi elementini ajratib ko'rsatadi. Birinchi element uchun qiymatni kiriting va Enter tugmasini bosing. Kursor avtomatik ravishda matritsaning keyingi elementiga o'tadi.

    Kvadrat matritsani ko'rib chiqing. Uning determinantini D = det A belgilaymiz. Agar ularning mahsuloti A * B = B * A = E bo'lsa, bir xil tartibdagi A kvadrat uchun B kvadrat (OM) bo'ladi, bu erda E - A va B bilan bir xil tartibdagi identifikatsiya matritsasi.

    A kvadrat, agar uning determinanti noldan farq qilsa, degenerativ bo'lmagan yoki yagona bo'lmagan, D = 0 bo'lsa, degenerativ yoki birlik deyiladi.

    Teorema. A ning teskari bo'lishi uchun uning determinanti nolga teng bo'lishi zarur va etarli.

    (OM) A, A -1 bilan belgilanadi, shuning uchun B = A -1 va formula bilan hisoblanadi

    , (1)

    bu yerda A i j a i j, D = detA elementlarning algebraik to‘ldiruvchilari.

    Yuqori tartibli matritsalar uchun (1) formula bo'yicha A -1 ni hisoblash juda mashaqqatli, shuning uchun amalda elementar o'zgartirishlar (EP) usuli yordamida A -1 ni topish qulay. Faqat ustunlardan (yoki faqat satrlardan) iborat har qanday yagona bo'lmagan A bo'yicha EP ni E birligiga qisqartirish mumkin. Agar A matritsasi ustidagi mukammal RaIlar E birligiga bir xil tartibda qo'llanilsa, natija A -1 bo'ladi. A | E chizig'i orqali ikkalasini yonma-yon yozib, bir vaqtning o'zida A va E orqali EPni bajarish qulay. Agar siz A -1 ni topmoqchi bo'lsangiz, konvertatsiya jarayonida faqat satrlardan yoki faqat ustunlardan foydalanishingiz kerak.

    Teskari matritsani algebraik to‘ldiruvchilar yordamida topish

    1-misol... Uchun A -1 ni toping.

    Yechim. Avval determinant A ni topamiz
    demak, (OM) mavjud va uni quyidagi formula bilan topishimiz mumkin: , bu yerda A i j (i, j = 1,2,3) asl A ning a i j elementlarining algebraik toʻldiruvchilari.

    a ij elementning algebraik to‘ldiruvchisi aniqlovchi yoki minor M ij bo‘ladi. U ustun i va j qatorni o'chirish orqali olinadi. Keyin minor (-1) i + j ga ko'paytiriladi, ya'ni. A ij = (- 1) i + j M ij

    qayerda .

    Elementar transformatsiyalar yordamida teskari matritsani topish

    2-misol... Elementar o'zgartirishlar usulidan foydalanib, A -1 ni toping: A =.

    Yechim. Biz o'ngdagi asl A ga bir xil tartibdagi birlikni tayinlaymiz: ... Ustunlarning elementar o'zgarishlari yordamida biz chap "yarim" ni bittaga keltiramiz va bir vaqtning o'zida o'ng "yarim" da xuddi shunday o'zgarishlarni amalga oshiramiz.
    Buning uchun birinchi va ikkinchi ustunlarni almashtiramiz: ~... Uchinchi ustunga birinchisini qo'shing, ikkinchisini esa -2 ga ko'paytiring: ... Birinchi ustundan biz ikkinchisini ikki barobarga chiqaramiz, uchinchidan esa - ikkinchisini 6 ga ko'paytiramiz; ... Birinchi va ikkinchi ustunga uchinchi ustunni qo'shamiz: ... Oxirgi ustunni -1 ga ko'paytiramiz: ... Vertikal chiziqning o'ng tomonida olingan kvadrat jadval A -1 ning teskarisidir. Shunday qilib,
    .

    n-tartibli kvadrat matritsa bo'lsin

    A -1 matritsasi deyiladi teskari matritsa A matritsaga nisbatan, agar A * A -1 = E bo'lsa, bu erda E - n-tartibning o'ziga xos matritsasi.

    Birlik matritsasi- shunday kvadrat matritsa, unda yuqori chap burchakdan pastki o'ng burchakka o'tadigan asosiy diagonaldagi barcha elementlar bir, qolganlari esa nolga teng, masalan:

    teskari matritsa mavjud bo'lishi mumkin faqat kvadrat matritsalar uchun bular. qatorlar va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsalar uchun.

    Teskari matritsaning mavjudligi sharti haqidagi teorema

    Matritsa teskari matritsaga ega bo'lishi uchun uning degenerativ bo'lmasligi zarur va etarli.

    A = (A1, A2, ... A n) matritsasi deyiladi degenerativ bo'lmagan agar ustun vektorlari chiziqli mustaqil bo'lsa. Matritsaning chiziqli mustaqil ustun vektorlari soni matritsaning darajasi deb ataladi. Demak, teskari matritsa mavjud bo'lishi uchun matritsaning darajasi uning o'lchamiga teng bo'lishi zarur va etarli, deb aytishimiz mumkin, ya'ni. r = n.

    Teskari matritsani topish algoritmi

    1. Gauss usulida tenglamalar tizimini yechish jadvaliga A matritsasini yozing va o'ng tomonga (tenglamalarning o'ng tomonlari o'rniga) E matritsasini belgilang.
    2. Jordan konvertatsiyasidan foydalanib, A matritsasini birlik ustunlaridan iborat matritsaga keltiring; bu holda, bir vaqtning o'zida E matritsasini o'zgartirish kerak.
    3. Agar kerak bo'lsa, oxirgi jadvalning qatorlarini (tenglamalarini) shunday joylashtiringki, E birlik matritsasi dastlabki jadvalning A matritsasi ostida olinadi.
    4. Dastlabki jadvalning E matritsasi ostidagi oxirgi jadvalda joylashgan A -1 matritsaning teskarisini yozing.
    1-misol

    A matritsa uchun teskari A -1 matritsani toping

    Yechish: Biz A matritsani yozamiz va o'ng tomonda E identifikatsiya matritsasi ni tayinlaymiz. Jordan o'zgarishlaridan foydalanib, A matritsani E matritsaga keltiramiz. Hisoblashlar 31.1-jadvalda ko'rsatilgan.

    Dastlabki A matritsa va A teskari matritsani -1 ko'paytirish orqali hisob-kitoblarning to'g'riligini tekshiramiz.

    Matritsalarni ko'paytirish natijasida birlik matritsasi olinadi. Shuning uchun hisob-kitoblar to'g'ri.

    Javob:

    Matritsali tenglamalarni yechish

    Matritsali tenglamalar quyidagi shaklda bo'lishi mumkin:

    AX = B, XA = B, AXB = C,

    Bu erda A, B, C - belgilangan matritsalar, X - kerakli matritsa.

    Matritsali tenglamalar tenglamani uning teskari matritsalariga ko‘paytirish yo‘li bilan yechiladi.

    Masalan, tenglamadan matritsani topish uchun siz ushbu tenglamani chapga ko'paytirasiz.

    Shuning uchun tenglamaning yechimini topish uchun teskari matritsani topish va uni tenglamaning o'ng tomonidagi matritsaga ko'paytirish kerak.

    Boshqa tenglamalar ham xuddi shunday yechiladi.

    2-misol

    AX = B tenglamani yeching, agar

    Yechim: Matritsaning teskarisi bo'lgani uchun (1-misolga qarang)

    Iqtisodiy tahlilda matritsa usuli

    Boshqalar bilan bir qatorda, ular ham ilovani topadilar matritsa usullari... Bu usullar chiziqli va vektor-matritsali algebraga asoslangan. Bunday usullar murakkab va ko'p qirrali iqtisodiy hodisalarni tahlil qilish uchun ishlatiladi. Ko'pincha, ushbu usullar tashkilotlar va ularning tarkibiy bo'linmalari faoliyatini qiyosiy baholash zarur bo'lganda qo'llaniladi.

    Tahlilning matritsa usullarini qo'llash jarayonida bir necha bosqichlarni ajratib ko'rsatish mumkin.

    Birinchi bosqichda iqtisodiy ko'rsatkichlar tizimini shakllantirish amalga oshiriladi va uning asosida dastlabki ma'lumotlar matritsasi tuziladi, bu jadvalda tizimlarning raqamlari uning alohida satrlarida ko'rsatilgan. (i = 1,2, ...., n), va vertikal ustunlar bo'ylab - ko'rsatkichlar raqamlari (j = 1,2, ...., m).

    Ikkinchi bosqichda Har bir vertikal ustun uchun ko'rsatkichlarning mavjud qiymatlarining eng kattasi aniqlanadi, bu birlik sifatida olinadi.

    Shundan so'ng, ushbu ustunda aks ettirilgan barcha miqdorlar eng katta qiymatga bo'linadi va standartlashtirilgan koeffitsientlar matritsasi hosil bo'ladi.

    Uchinchi bosqichda matritsaning barcha tarkibiy qismlari kvadratga teng. Agar ular turli xil ahamiyatga ega bo'lsa, matritsaning har bir ko'rsatkichiga ma'lum bir og'irlik koeffitsienti beriladi k... Ikkinchisining qiymati ekspert xulosasi bilan belgilanadi.

    Eng oxirgisida, to'rtinchi bosqich reyting qiymatlari topildi R j ortishi yoki kamayishi tartibida guruhlangan.

    Belgilangan matritsa usullaridan, masalan, turli investitsiya loyihalarini qiyosiy tahlil qilishda, shuningdek, tashkilotlar faoliyatining boshqa iqtisodiy ko'rsatkichlarini baholashda qo'llanilishi kerak.

    Agar A * A -1 = E bo'lsa, A -1 matritsa A matritsaga nisbatan teskari matritsa deyiladi, bu erda E n-tartibli birlik matritsasi. Teskari matritsa faqat kvadrat matritsalar uchun mavjud bo'lishi mumkin.

    Xizmat maqsadi... Ushbu xizmat yordamida siz onlayn algebraik to'ldiruvchilarni, transpozitsiyalangan A T matritsasini, qo'shilgan matritsani va teskari matritsani topishingiz mumkin. Yechim to'g'ridan-to'g'ri veb-saytda (onlayn) amalga oshiriladi va bepul. Hisoblash natijalari Word formatidagi hisobotda va Excel formatida taqdim etiladi (ya'ni, yechimni tekshirish mumkin). dizayn misoliga qarang.

    Ko'rsatma. Yechimni olish uchun matritsaning o'lchamini o'rnatish kerak. Keyin yangi dialog oynasida A matritsasini to'ldiring.

    Shuningdek, Jordan-Gauss usuli yordamida teskari matritsaga qarang

    Teskari matritsani topish algoritmi

    1. Transpozitsiyalangan A T matritsasini topish.
    2. Algebraik to‘ldiruvchilarning ta’rifi. Matritsaning har bir elementini uning algebraik to‘ldiruvchisi bilan almashtiring.
    3. Algebraik qo'shimchalardan teskari matritsani yaratish: olingan matritsaning har bir elementi asl matritsaning determinantiga bo'linadi. Olingan matritsa asl matritsaning teskarisidir.
    Keyingi teskari matritsali algoritm oldingisiga o'xshaydi, ba'zi bosqichlarni hisobga olmaganda: birinchi navbatda, algebraik to'ldiruvchilar hisoblab chiqiladi, so'ngra qo'shma C matritsasi aniqlanadi.
    1. Matritsaning kvadrat ekanligini aniqlang. Agar yo'q bo'lsa, u uchun teskari matritsa yo'q.
    2. A matritsaning determinantini hisoblash. Agar u nolga teng bo'lmasa, biz yechimni davom ettiramiz, aks holda teskari matritsa mavjud emas.
    3. Algebraik to‘ldiruvchilarning ta’rifi.
    4. Birlashma (o'zaro, qo'shma) matritsani to'ldirish C.
    5. Algebraik to'ldiruvchilardan teskari matritsa tuzish: qo'shma C matritsasining har bir elementi dastlabki matritsaning determinantiga bo'linadi. Olingan matritsa asl matritsaning teskarisidir.
    6. Tekshirish amalga oshiriladi: asl va olingan matritsalar ko'paytiriladi. Natijada identifikatsiya matritsasi bo'lishi kerak.

    №1 misol. Matritsani quyidagicha yozamiz:

    Algebraik to‘ldiruvchilar. ∆ 1,2 = - (2 4 - (- 2 (-2))) = -4 ∆ 2,1 = - (2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = - (- 1 5 - (- 2 2)) = 1 ∆ 3,2 = - (- 1 (-2) -2 3) = 4
    A -1 =
    0,6 -0,4 0,8
    0,7 0,2 0,1
    -0,1 0,4 -0,3

    Teskari matritsani topishning yana bir algoritmi

    Teskari matritsani topishning yana bir sxemasini keltiramiz.
    1. Berilgan A kvadrat matritsaning determinantini toping.
    2. A matritsaning barcha elementlariga algebraik to‘ldiruvchilarni toping.
    3. Qator elementlarining algebraik to'ldiruvchilarini ustunlarga yozamiz (transpozitsiya).
    4. Olingan matritsaning har bir elementini A matritsaning determinantiga ajratamiz.
    Ko'rib turganingizdek, transpozitsiya operatsiyasi boshida ham, dastlabki matritsa ustida ham, oxirida ham olingan algebraik to'ldiruvchilar ustida qo'llanilishi mumkin.

    Maxsus holat: E tenglik matritsasining teskarisi E matritsadir.



    O'qish tavsiya etiladi