Математика,
якщо на неї правильно подивитися,
відображає не тільки істину,
а й незрівнянну красу.
Бертранд Рассел.

Ви, звичайно, чули про фрактали. Ви, звичайно, бачили ці захоплюючі картинки з Bryce3d більш реальні, ніж сама реальність. Гори, хмари, кора дерева - все це виходить за межі звичної евклідової геометрії. Ми не можемо описати камінь або межі острова за допомогою прямих, гуртків та трикутників. І тут нам приходять на допомогу фрактали. Що це за знайомі незнайомці? Коли вони з'явилися?

Історія появи.

Перші ідеї фрактальної геометрії виникли у 19 столітті. Кантор за допомогою простої рекурсивної процедури, що повторюється, перетворив лінію на набір незв'язаних точок (так звана Пил Кантора). Він брав лінію і видаляв центральну третину і після цього повторював те ж саме з відрізками, що залишилися. Пеано намалював особливий вид лінії (малюнок №1). Для її малювання Пеано використав такий алгоритм.

На першому кроці він брав пряму лінію та заміняв її на 9 відрізків довжиною в 3 рази меншою, ніж довжина вихідної лінії (Частина 1 та 2 рисунка 1). Далі він робив те саме з кожним відрізком лінії, що вийшла. І так до безкінечності. Її унікальність у цьому, що вона заповнює всю площину. Доведено, що кожної точки на площині можна знайти точку, що належить лінії Пеано. Крива Пеано та пилюка Кантора виходили за рамки звичайних геометричних об'єктів. Вони не мали чіткої розмірності. Пил Кантора будувався начебто на підставі одномірної прямої, але складався з точок (розмірність 0). А крива Пеано будувалася на підставі одномірної лінії, а в результаті виходила площина. У багатьох інших галузях науки з'являлися завдання, вирішення яких призводило до дивних результатів, подібних до описаних вище (Броунівський рух, ціни на акції).

Батько фракталів

Аж до 20 століття йшло накопичення даних про такі дивні об'єкти, без спроби їх систематизувати. Так було, поки за них не взявся Бенуа Мандельброт – батько сучасної фрактальної геометрії та слова фрактал. Працюючи в IBM математичним аналітиком, він вивчав шуми в електронних схемах, які неможливо було описати за допомогою статистики. Поступово зіставивши факти, він прийшов до відкриття нового напряму в математиці – фрактальної геометрії.

Що ж таке фрактал? Сам Мандельброт вивів слово fractal від латинського слова fractus, що означає розбитий (розділений на частини). І одне з визначень фракталу - це геометрична фігура, що складається з частин і яка може бути поділена на частини, кожна з яких представлятиме зменшену копію цілого (принаймні приблизно).

Щоб уявити собі фрактал понаочніше розглянемо приклад, наведений у книзі Б. Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ("Фрактальна геометрія природи"), що став класичним - "Яка довжина берега Британії?". Відповідь на це питання не така проста, як здається. Все залежить від довжини інструменту, яким ми користуватимемося. Помірявши берег за допомогою кілометрової лінійки, ми отримаємо якусь довжину. Однак ми пропустимо багато невеликих заливчиків і півострівків, які за розміром набагато менші за нашу лінійку. Зменшивши розмір лінійки до, скажімо, 1 метра – ми врахуємо ці деталі ландшафту, і відповідно довжина берега стане більшою. Підемо далі і виміряємо довжину берега за допомогою міліметрової лінійки, ми тут врахуємо деталі, які більші за міліметри, довжина буде ще більшою. У результаті відповідь на таке, здавалося б, просте питання може поставити в глухий кут будь-кого - довжина берега Британії нескінченна.

Трохи про розмірності.

У повсякденному житті ми постійно зустрічаємося з розмірностями. Ми прикидаємо довжину дороги (250 м), дізнаємося площу квартири (78 м2) та шукаємо на наклейці обсяг пляшки пива (0.33 дм3). Це поняття цілком інтуїтивно ясно і, начебто, вимагає роз'яснення. Лінія має розмірність 1. Це означає, що вибравши точку відліку, ми можемо будь-яку точку на цій лінії визначити за допомогою 1 числа - позитивного або негативного. Причому це стосується всіх ліній – коло, квадрат, парабола тощо.

Розмірність 2 означає, що будь-яку точку ми можемо однозначно визначити двома числами. Не треба думати, що двовимірний означає плоский. Поверхня сфери теж двомірна (її можна визначити за допомогою двох значень – кутів на зразок ширини та довготи).

Якщо з математичної погляду, то розмірність визначається так: для одномірних об'єктів - збільшення вдвічі їх лінійного розміру призводить до збільшення розмірів (у разі довжини) вдвічі (2^1).

Для двовимірних об'єктів збільшення вдвічі лінійних розмірів призводить до збільшення розміру (наприклад, площа прямокутника) вчетверо (2^2).

Для 3-х мірних об'єктів збільшення лінійних розмірів удвічі призводи до збільшення обсягу у вісім разів (2^3) тощо.

Таким чином, розмірність D можна розрахувати виходячи із залежності збільшення "розміру" об'єкта S збільшення лінійних розмірів L. D=log(S)/log(L). Для лінії D=log(2)/log(2)=1. Для поверхні D=log(4)/log(2)=2. Для обсягу D=log(8)/log(2)=3. Може бути трохи заплутано, але загалом нескладно і зрозуміло.

Навіщо я все це розповідаю? А щоб зрозуміти, як відокремлювати фрактали від, скажімо, ковбаси. Спробуймо порахувати розмірність для кривої Пеано. Отже, у нас вихідна лінія, що складається з трьох відрізків довжини Х, замінюється на 9 відрізків утричі меншої за довжину. Таким чином, при збільшенні мінімального відрізка в 3 рази довжина всієї лінії збільшується в 9 разів і D = log (9) / log (3) = 2 - двомірний об'єкт!

Так от, коли розмірність фігури, що отримується з якихось найпростіших об'єктів (відрізків), більша за розмірність цих об'єктів - ми маємо справу з фракталом.

Фрактали поділяються на групи. Найбільші групи це:

Геометричні фрактали.

Саме з них і розпочиналася історія фракталів. Цей тип фракталів виходить шляхом простих геометричних побудов. Зазвичай при побудові цих фракталів надходять так: береться "затравка" - аксіома - набір відрізків, на підставі яких будуватиметься фрактал. Далі до цієї "затравки" застосовують набір правил, який перетворює її на будь-яку геометричну фігуру. Далі до кожної частини цієї фігури застосовують знову той самий набір правил. З кожним кроком фігура ставатиме все складніше і складніше, і якщо ми проведемо (принаймні в умі) нескінченну кількість перетворень – отримаємо геометричний фрактал.

Розглянута вище крива Пеано є геометричним фракталом. На малюнку нижче наведено інші приклади геометричних фракталів (зліва направо Сніжинка Коха, Лист, Трикутник Серпінського).

Сніжинка Коха

Аркуш

Трикутник Серпінського

З цих геометричних фракталів дуже цікавим та досить знаменитим є перший – сніжинка Коха. Будується на основі рівностороннього трикутника. Кожна лінія якого ___ замінюється на 4 лінії кожна довжиною 1/3 вихідної _/\_. Таким чином, з кожною ітерацією довжина кривої збільшується на третину. І якщо ми зробимо нескінченну кількість ітерацій – отримаємо фрактал – сніжинку Коха нескінченної довжини. Виходить, наша нескінченна крива покриває обмежену площу. Спробуйте зробити те саме методами і фігурами з евклідової геометрії.

Розмірність сніжинки Коха (при збільшенні сніжинки втричі її довжина зростає вчетверо) D=log(4)/log(3)=1.2619...

Для побудови геометричних фракталів добре пристосовані звані L-Systems. Суть цих систем у тому, що є певних набір символів системи, кожен із яких позначає певну дію і набір правил перетворення символів. Наприклад, опис сніжинки Коха за допомогою L-Systems у програмі Fractint

; Adrian Mariano from The Fractal Geometry of Nature by Mandelbrot Koch1 ( ;встановлюємо кут повороту 360/6=60 градусів Angle 6 ; Початковий малюнок для побудови Axiom F--F--F ; Правило перетворення символів F=F+F--F+F )

В даному описі геометричні значення символів:

F позначає прокреслити відрізок + поворот за годинниковою стрілкою - поворот проти годинникової стрілки

Друга властивість фракталів – самоподібність. Візьмемо, наприклад, трикутник Серпінського. Для його побудови із центру рівностороннього трикутника "виріжемо" трикутник. Повторимо цю ж процедуру для трьох трикутників, що утворилися (за винятком центрального) і так до нескінченності. Якщо ми тепер візьмемо будь-який з трикутників, що утворилися, і збільшимо його - отримаємо точну копію цілого. В даному випадку ми маємо справу з повною самоподібністю.

Відразу зазначу, що більшість малюнків фракталів у цій статті отримано за допомогою програми Fractint. Якщо Вас зацікавили фрактали, то це програма must haveдля вас. З її допомогою можна будувати сотні різних фракталів, отримати вичерпну інформацію щодо них, і навіть послухати як фрактали звучать;).

Сказати, що програма хороша – значить нічого не сказати. Вона чудова, за винятком одного але - остання версія 20.0 доступна тільки у варіанті для DOS: (. Ви зможете знайти цю програму (остання версія 20.0) на http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html).

Залишити коментар

Коментарі

Ну і на закуску цікавий приклад Microsoft ExcelУ комірки A2 та B2 однакові значення між 0 та 1. при значенні 0,5 немає ефекту.

Всім, хто зумів зробити прогу по картинці фраталу привіт. Хто може мені сказати який метот циклу мені краще використовувати щоб побудувати галявину фрактальчиків папортника з підкладкою з 3d max при кількості dt iteration 100 000 на камені з 2800 mH

Є вихідник із програмою малювання кривої Дракона, теж фрактал.

Стаття офігенна. А ексель - це помилка співпроцесора (на останніх молодших розрядах)

Як був відкритий фрактал

Математичні форми, відомі як фрактали, належать генію видатного вченого Бену Мандельброта. Більшість життя він викладав математику в Єльському університеті США. У 1977 - 1982 роках Мандельброт опублікував наукові праці, присвячені вивченню "фрактальної геометрії" або "геометрії природи", в яких розбивав на перший погляд випадкові математичні форми на складові елементи, що опинилися при найближчому розгляді повторюваними, - що і доводило наявність жодного образу . Відкриття Мандельброта мало вагомі наслідки у розвитку фізики, астрономії та біології.

Фрактали у природі

У природі фрактальними властивостями володіють багато об'єктів, наприклад: крони дерев, цвітна капуста, хмари, кровоносна та альвеолярна системи людини і тварин, кристали, сніжинки, елементи яких вибудовуються в одну складну структуру, узбережжя (фрактальна концепція дозволила вченим виміряти берегову лінію Британ інші, раніше незмірні, об'єкти).

Розглянемо будову цвітної капусти. Якщо розрізати одну з квіток, очевидно, що в руках залишається та сама цвітна капуста, тільки меншого розміру. Можна продовжувати різати знову і знову, навіть під мікроскопом – проте все, що ми отримаємо – це крихітні копії цвітної капусти. У цьому найпростішому випадку навіть невелика частина фрактал містить інформацію про всю кінцеву структуру.

Фрактали в цифровій техніці

Фрактальна геометрія внесла неоціненний внесок у розробку нових технологій у галузі цифрової музики, а також уможливила стиснення цифрових зображень. Існуючі фрактальні алгоритми стиснення зображення засновані на принципі зберігання зображення, що стискає, замість самої цифрової картинки. Для стискаючого зображення основне зображення залишається нерухомою точкою. Фірма «Microsoft» використовувала один із варіантів даного алгоритму при виданні своєї енциклопедії, але з тих чи інших причин широкого поширення ця ідея не набула.

В математичній основі фрактальної графіки лежить фрактальна геометрія, де в основу методів побудови «зображень-спадкоємців» поміщено принцип успадкування від вихідних «об'єктів-батьків». Самі поняття фрактальної геометрії та фрактальної графіки з'явилося всього близько 30 років тому, але вже міцно увійшли в ужиток комп'ютерних дизайнерів та математиків.

Базовими поняттями фрактальної комп'ютерної графіки є:

• Фрактальний трикутник – фрактальна фігура – ​​фрактальний об'єкт (ієрархія в порядку зменшення)
• Фрактальна пряма
• Фрактальна композиція
• «Об'єкт-батько» та «Об'єкт спадкоємець»

Також як у векторній та тривимірній графіці, створення фрактальних зображень математично обчислюється. Головна відмінність від перших двох видів графіки в тому, що фрактальне зображення будується за рівнянням або системою рівнянь - нічого крім формули в пам'яті комп'ютера для виконання всіх обчислень зберігати не потрібно - і така компактність математичного апарату дозволила використання цієї ідеї в комп'ютерній графіці. Просто змінюючи коефіцієнти рівняння, можна з легкістю отримати зовсім інше фрактальне зображення - за допомогою кількох математичних коефіцієнтів задаються поверхні та лінії дуже складної форми, що дозволяє реалізувати такі прийоми композиції, як горизонталі та вертикалі, симетрію та асиметрію, діагональні напрямки та багато іншого.

Як побудувати фрактал?

Творець фракталів виконує роль художника, фотографа, скульптора та вченого-винахідника одночасно. Які мають бути етапи роботи створення малюнка «з нуля»?

• задати форму малюнка математичною формулою
• досліджувати збіжність процесу та варіювати його параметри
• вибрати вид зображення
• вибрати палітру кольорів

Серед фрактальних графічних редакторів та інших графічних программожна виділити:

• "Art Dabbler"
• «Painter» (без комп'ютера жоден художник ніколи не досягне закладених програмістами можливостей лише за допомогою олівця та пера кисті)
• "Adobe Photoshop" (але тут зображення "з нуля" не створюється, а, як правило, лише обробляється)

Розглянемо пристрій довільної фрактальної геометричної фігури. У її центрі знаходиться найпростіший елемент - рівносторонній трикутник, який отримав однойменну назву: «фрактальний». На середньому відрізку сторін побудуємо рівносторонні трикутники зі стороною, що дорівнює одній третині від сторони вихідного фрактального трикутника. За тим же принципом будуються ще дрібніші трикутники-спадкоємці другого покоління - і так до безкінечності. Об'єкт, який у результаті вийшов, називається "фрактальної фігурою", з послідовностей якої отримуємо "фрактальну композицію".

Джерело: http://www.iknowit.ru/

Фрактали та стародавні мандали

Це мандали для залучення грошей. Стверджують, що червоний колір працює як фінансовий магніт. А хитромудрі візерунки вам нічого не нагадують? Мені вони здалися дуже знайомими і я зайнялася дослідженням мандал як фрактал.

В принципі, мандала - це геометричний символ складної структури, який інтерпретується як модель Всесвіту, карту космосу. Ось і перша ознака фрактальності!

Їх вишивають на тканині, малюють на піску, виконують кольоровими порошками та роблять із металу, каменю, дерева. Яскравий і чарівний вигляд, робить її гарною прикрасоюпідлог, стін та стель храмів в Індії. Древньою індійською мовою «мандала» позначає містичне коло взаємозв'язку духовних і матеріальних енергій Всесвіту або по-іншому квітка життя.

Мені хотілося написати огляд про фрактальні мандали зовсім невеликим, з мінімумом абзаців, показавши, що взаємозв'язок явно існує. Проте, намагаючись знайти усвідомити та зв'язати інформацію про фрактали та мандали у єдине ціле, у мене було відчуття квантового стрибка у невідомий мені простір.

Демонструю неосяжність цієї теми цитатою: ”Такі фрактальні композиції або мандали можуть використовуватися як у вигляді картин, елементів дизайну житлового та робочого приміщення, амулетів, у формі відеокасет, комп'ютерних програм…” Загалом, тема для дослідження фракталів просто найбільша.

Одне я можу сказати точно, світ набагато різноманітніший і багатший, ніж убогі уявлення нашого розуму про нього.

Фрактальні морські тварини

Мої здогади про фрактальні морські тварини були не безпідставні. От і перші представники. Восьминіг - морська придонна тварина з загону головоногих.

Поглянувши на цю фотографію, мені стала очевидною фрактальна будова його тіла та присосок на всіх восьми щупальцях цієї тварини. Присосок на щупальцях дорослого восьминога сягає 2000.

Цікавий той факт, що у восьминога три серця: одне (головне) жене блакитну кров по всьому тілу, а два інших - зябрових - проштовхують кров через зябра. Деякі види цих глибоководних фракталів є отруйними.

Пристосовуючись і маскуючись під навколишнє середовище, восьминіг має дуже корисну здатність змінювати забарвлення.

Восьминогов вважають найрозумнішими серед усіх безхребетних. Впізнають людей, звикають до тих, хто їх годує. Цікаво було б подивитися на восьминогів, які легко піддаються дресируванні, мають гарну пам'ять і навіть розрізняють геометричні фігури. Але вік цих фрактальних тварин недовгий - максимум 4 роки.

Людина використовує чорнило цього живого фракталу та інших головоногих. Вони мають попит у художників за їх стійкість і гарний коричневий тон. У середземноморській кухні восьминіг є джерелом вітамінів B3, B12, калію, фосфору та селену. Але я думаю, що цих морських фракталів потрібно вміти готувати, щоб отримувати задоволення від їх вживання у вигляді їжі.

До речі, слід зазначити, що восьминоги – хижаки. Своїми фрактальними щупальцями вони утримують жертву у вигляді молюсків, ракоподібних та риби. Жаль, якщо їжею цих морських фракталів стає ось такий гарний молюск. На мою думку, теж типовий представник фракталів морського царства.

Це родич равликів, черноногий голожаберний молюск Главк, він Глаукус, він же Glaucus atlanticus, він же Glaucilla marginata. Це фрактал ще й незвичайний тим, що живе та пересувається під поверхнею води, утримуючись за рахунок поверхневого натягу. Т.к. молюск є гермафродитом, то після спарювання обидва "партнери" відкладають яйця. Цей фрактал зустрічається у всіх океанах тропічного пояса.

Фрактали морського царства

Кожен із нас хоча б раз у житті тримав у руках і з непідробним дитячим інтересом розглядав морську раковину.

Зазвичай раковини є гарним сувеніром, що нагадує про поїздку на море. Коли дивишся на це спіралеподібне утворення безхребетних молюсків, немає жодних сумнівів у його фрактальній природі.

Ми, люди, чимось нагадуємо цих м'якотілих молюсків, мешкаючи у впорядкованих бетонних будинках-фракталах, поміщаючи та переміщуючи своє тіло у швидких автомобілях.

Ще одним типовим представником фрактального підводного світу є корал.
У природі відомо понад 3500 різновидів коралів, на палітрі яких розрізняють до 350 колірних відтінків.

Корал - це матеріал скелета колонії коралових поліпів, теж із сімейства безхребетних. Їхні величезні скупчення утворюють цілі коралові рифи, фрактальний спосіб утворення яких очевидний.

Корал з упевненістю можна назвати фрактал з морського царства.

Він також використовується людиною у вигляді сувеніру чи сировини для ювелірних виробів та прикрас. Але повторити красу та досконалість фрактальної природи дуже складно.

Чомусь не сумніваюся, що у підводному світі також знайдеться і безліч фрактальних тварин.

В черговий раз, виконуючи ритуал на кухні з ножем та обробною дошкою, а потім, опустивши ніж у холодну воду, я вся в сльозах вкотре вигадувала, як боротися зі сльозогінним фракталом, який практично щодня з'являється на моїх очах.

Принцип фрактальності той самий, що й у знаменитої матрьошки - вкладеність. Саме тому фрактальність спостерігається не відразу. До того ж, світле однорідне забарвлення та його природна здатність викликати неприємні відчуттяне сприяють пильному спостереженню за світобудовою та виявлення фрактальних математичних закономірностей.

А ось салатна цибуля бузкового кольору в силу свого забарвлення та відсутності сльозогінних фітонцидів навів на роздуми про природну фрактальність цього овочу. Звичайно, фрактал він нехитрий, звичайні кола різного діаметра, можна навіть сказати найпримітивніший фрактал. Але не завадило б згадати, що куля вважається ідеальною геометричною фігурою в межах нашого Всесвіту.

Про корисні властивостіцибулі в Інтернеті опубліковано чимало статей, але якось ніхто не намагався вивчати цей природний екземпляр із погляду фрактальності. Я можу лише констатувати факт корисності застосування фракталу у вигляді цибулі на своїй кухні.

P.S. А овочерізку для подрібнення фракталу я вже придбала. Тепер доведеться поміркувати, наскільки фрактальний такий корисний овоч, як звичайна білокачанна капуста. Той самий принцип вкладеності.

Фрактали у народній творчості

Моя увага привернула історія всесвітньо відомої іграшки «Матрьошка». Придивившись уважніше, впевнено можна сказати, що ця іграшка-сувенір - типовий фрактал.

Принцип фрактальності очевидний, коли всі фігурки дерев'яної іграшки вишикувані в ряд, а не вкладені одна в одну.

Мої невеликі дослідження історії появи цього іграшкового фракталу на світовому ринку показали, що коріння цієї красуні - японське. Матрьошка завжди вважалася споконвічно російським сувеніром. Але виявилося, що вона прототип японської фігурки старого мудреця Фукурума, привезеного колись до Москви з Японії.

Але саме російський іграшковий промисел приніс цій японській фігурці світову славу. Звідки виникла ідея фрактальної вкладеності іграшки, особисто для мене, так і лишилося загадкою. Швидше за все, автор цієї іграшки використовував принцип вкладеності фігурок один в одного. А найпростіший спосіб вкладення – це подібні фігурки різних розмірів, а це вже – фрактал.

Не менш цікавий об'єкт дослідження є розписом іграшки-фракталу. Це декоративний розпис – хохлома. Традиційні елементи хохломи – це трав'яні візерунки з квітів, ягід та гілок.

Знову всі ознаки фрактальності. Адже один і той самий елемент можна повторювати кілька разів у різних варіантах та пропорціях. У результаті виходить народний фрактальний розпис.

І якщо новомодним розписом комп'ютерних мишок, кришок ноутбуків та телефонів нікого вже не здивуєш, то фрактальний тюнінг автомобіля у народному стилі – це щось нове в автодизайні. Залишається тільки дивуватися прояву світу фракталів у нашому житті таким незвичайним чином у звичайних для нас речах.

Фрактали на кухні

Щоразу, розбираючи цвітну капусту на невеликі суцвіття для бланшування в киплячій воді, я жодного разу не звертала уваги на явні ознаки фрактальності, доки у мене в руках не опинився цей екземпляр.

Типовий представник фракталу із рослинного світу красувався на моєму кухонному столі.

За всієї моєї любові до цвітної капусти мені весь час траплялися екземпляри з однорідною поверхнею без видимих ​​ознак фрактальності, і навіть велика кількість суцвіть, вкладених одна в одну, не давали мені приводу побачити в цьому корисному овочі фрактал.

Але поверхня саме цього екземпляра з явно вираженою фрактальною геометрією не залишала жодного сумніву у фрактальному походження цього виду капусти.

Черговий похід до гіпермаркету лише підтвердив фрактальний статус капусти. Серед величезної кількості екзотичних овочів красувався цілий ящик із фракталами. То була Романеску, чи романська брокколі, цвітна коралова капуста.

Виявляється, дизайнери та 3D-художники захоплюються її екзотичними формами, схожими на фрактали.

Капустяні бруньки наростають по логарифмічній спіралі. Перші згадки про капусту романеску прийшли з Італії 16 століття.

А капуста броколлі зовсім не часто гостя в моєму раціоні, хоча за змістом корисних речовині мікроелементів вона перевершує цвітну капусту у рази. Але її поверхня і форма настільки однорідні, що мені ніколи не спадало на думку побачити в ній овочевий фрактал.

Фрактали у квіллінгу

Побачивши ажурні вироби в техніці квіллінг, мене ніколи не залишало відчуття, що вони мені щось нагадують. Повторення тих самих елементів у різних розмірах - звичайно ж, це принцип фрактальності.

Подивившись черговий майстер-клас з квілінгу, не залишилося навіть сумнівів у фрактальності квілінгу. Адже для виготовлення різних елементівдля виробів з квілінгу використовується спеціальна лінійка з колами різного діаметра. При всій красі та неповторності виробів, це – неймовірно проста техніка.

Майже всі основні елементи для виробів у квіллінгу виготовляються з паперу. Щоб запастись папером для квілінгу безкоштовно, проведіть вдома ревізію своїх книжкових полиць. Напевно, там ви виявите пару-трійку яскравих глянцевих журналів.

Інструменти для квіллінгу прості та недорогі. Все що вам необхідно для виконання аматорських робіт у стилі квіллінг, ви можете знайти серед своїх домашніх канцелярських приладдя.

А історія квілінгу починається у 18 столітті в Європі. В епоху Ренесансу ченці з французьких та італійських монастирів за допомогою квілінгу прикрашали книжкові обкладинки і навіть не підозрювали про фрактальність винайденої ними техніки паперокручення. Дівчата з вищого суспільства навіть проходили курс з квілінгу у спеціальних школах. Ось так ця техніка почала поширюватися країнами та континентами.

Цей майстер-клас відео квіллінг з виготовлення розкішного оперення можна навіть назвати "фрактали своїми руками". За допомогою фракталів з паперу виходять чудові ексклюзивні листівки-валентики та багато різних інших цікавих речей. Адже фантазія, як і природа, невичерпна.

Ні для кого не секрет, що японці по життю сильно обмежені в просторі, у зв'язку з чим їм доводиться всіляко витончуватися в ефективному його використанні. Такеші Міякава показує, як це можна робити одночасно ефективно та естетично. Його фрактальна шафа підтвердження того, що використання фракталів у дизайні – це не лише данина моді, а й гармонійне конструкторське рішення в умовах обмеженого простору.

Цей приклад використання фракталів у реальному житті, стосовно дизайну меблів показав мені, що фрактали реальні не тільки на папері в математичних формулах та комп'ютерних програмах.

І, схоже, принцип фрактальності природа використовує повсюдно. Тільки треба придивитися до неї уважніше, і вона виявить себе у всьому своєму чудовому достатку та нескінченності буття.

Отже, фрактал – це математична множина, що складається з подібних до цієї множини об'єктів. Іншими словами, якщо ми розглянемо під збільшенням невеликий фрагмент фрактальної фігури, то він буде схожий на масштабнішу частину цієї фігури або навіть на фігуру в цілому. Для фракталу притому збільшення масштабу не означає спрощення структури. Тому на всіх рівнях ми побачимо однаково складну картину.

Властивості фракталу

Виходячи з озвученого вище визначення, фрактал зазвичай представляється у вигляді геометричної фігури, що задовольняє одному або декільком з наведених нижче властивостей:

Має складну структуру за будь-якого збільшення;

Приблизно є самоподібною (частини схожі на ціле);

Має дробову розмірність, яка більша за топологічну;

Може бути побудована рекурсивним способом.

Фрактали в навколишньому світі

Незважаючи на те, що поняття «фрактал» здається гранично абстрактним, у житті можна зіткнутися з безліччю прикладів даного явища, що реально існують і навіть приносять практичну користь. Понад те, з навколишнього світу обов'язково мають бути розглянуті, бо дадуть краще розуміння фрактала та її особливостей.

Наприклад, антени для різних пристроїв, конструкції яких виконані фрактальним способом, демонструють ефективність своєї роботи на 20% більшу, ніж антени традиційної конструкції. Крім того, фрактальна антена може працювати з відмінною продуктивністю одночасно на різних частотах. Саме тому сучасні мобільні телефонивже практично не мають у своїй конструкції зовнішніх антен класичного пристрою – останні замінені на внутрішні фрактальні, що монтуються прямо на друкованій платі телефону.

Велику увагу фрактали отримали з розвитком інформаційних технологій. В даний час розроблено алгоритми стиснення різних зображень за допомогою фракталів, є способи побудови об'єктів комп'ютерної графіки (дерева, гірські та морські поверхні) фрактальним способом, а також фрактальна система призначення IP-адрес у деяких мережах.

В економіці існує спосіб використання фракталів при аналізі котирувань акцій та валют. Можливо, читач, який торгує на ринку Forex, бачив фрактальний аналіз у дії у торговому терміналі або навіть застосовував його на практиці.

Також крім штучно створених людиною об'єктів із фрактальними властивостями, у природній природі також можна чимало подібних об'єктів. Хорошими прикладами фракталу є корали, морські раковини, деякі квіти та рослини (броколі, цвітна капуста), кровоносна система та бронхи людей та тварин, що утворюються на склі візерунки, природні кристали. Ці та багато інших об'єктів мають яскраво виражену фрактальну форму.

Коли я не все розумію в прочитаному, я особливо не засмучуюся. Якщо тема мені пізніше не зустрінеться, значить вона не є особою важливою (принаймні, для мене). Якщо ж тема зустрінеться повторно, втретє, у мене з'являться нові шанси краще розібратися. До таких тем відносяться і фрактали. Вперше я дізнався про них із книги Нассима Талеба, а потім докладніше з книги Бенуа Мандельброта. Сьогодні на запит «фрактал» на сайті можна отримати 20 нотаток.

Частина I. ПОДОРОЖ ДО ВИТОКІВ

НАЗВАТИ ЗНАЧИТЬ ДІЗНАТИСЯ.Ще на початку XX століття Анрі Пуанкаре зауважив: «Дивуєшся силі, яку може мати одне слово. Ось об'єкт, про який нічого не можна було сказати, доки він не був охрещений. Достатньо було дати йому ім'я, щоб сталося диво» (див. також ). Так і сталося, коли 1975 року французький математик польського походження Бенуа Мандельброт зібрав Слово. З латинських слів frangere(ламати) та fractus(Розривний, дискретний, дробовий) склався фрактал. Мандельброт майстерно просував і пропагував фрактал як бренд із опорою на емоційну привабливість та раціональну корисність. Він видає кілька монографій, у тому числі Фрактальна геометрія природи (1982).

ФРАКТАЛИ В ПРИРОДІ І МИСТЕЦТВІ.Мандельброт позначив контури фрактальної геометрії, яка відрізняється від Евклідової. Відмінність не належала до аксіоми про паралельність, як у геометріях Лобачевського чи Рімана. Відмінність полягала у відмові прийнятого Евклідом за умовчанням вимоги гладкості. Деяким об'єктам притаманні шорсткість, пористість або роздробленість, причому багато хто з них мають зазначені властивості «в однаковій мірі в будь-якому масштабі». У природі немає нестачі в подібних формах: соняшник та броколі, морські раковини, папороть, сніжинки, гірські розколини, берегові лінії, фіорди, сталагміти та сталактити, блискавки.

Люди уважні і спостережливі здавна помічали, що деякі форми демонструють структуру, що повторюється при розгляді їх «поблизу або здалеку». Наближаючись до таких об'єктів, ми помічаємо, що змінюються лише незначні деталі, але у цілому залишається майже незмінною. Виходячи з цього, фрактал найпростіше визначити, як геометричну форму, що містить у собі повторювані елементи в будь-якому масштабі.

МІФИ І МІСТИФІКАЦІЇ.Відкритий Мандельбротом новий пласт форм став золотою жилою для дизайнерів, архітекторів, інженерів. Нечисленне число фракталів будується за одним і тим самим принципам багаторазового повторення. Звідси фрактал найпростіше визначити, як геометричну форму, що містить у собі повторювані елементи у будь-якому масштабі. Ця геометрична форма локально незмінна (інваріантна), масштабно самоподібна і цілісна у своїй обмеженості справжня сингулярність, складність якої розкривається принаймні наближення, але в видаленні сама тривіальність.

Диявольські сходи.Для передачі між комп'ютерами використовуються надзвичайно сильні електричні сигнали. Такий сигнал є дискретним. Перешкоди або шуми випадково виникають в електричних мережах через багато причин і призводять до втрати даних при передачі інформації між комп'ютерами. Виключити впливи шумів на передачу даних на початку шістдесятих років минулого століття було доручено групі інженерів IBM, у роботі якої брав участь Мандельброт.

Грубий аналіз показав наявність періодів, під час яких не реєструвалося жодної помилки. Виділивши періоди тривалістю на годину, інженери помітили, що між ними періоди проходження сигналу без помилок також переривчасті тут виникають коротші паузи тривалістю близько двадцяти хвилин. Таким чином, передача даних без помилок характеризується пакетами даних різної довжинита паузами в шумах, протягом яких сигнал передається без помилок. У пакетах вищого рангу вбудовані пакети нижчого. Подібний опис передбачає існування такого поняття, як відносне розташування пакетів нижчого рангу в пакеті вищого рангу. Досвід показав, що розподіл ймовірностей цих відносних розташуваннях пакетів не залежить від їхнього рангу. Така інваріантність говорить про самоподібність процесу спотворення даних під впливом електричних шумів. Сама процедура вирізування вільних від помилок пауз у сигналі при передачі даних не могла спасти на думку інженерам-електрикам з тієї причини, що для них таке було нове.

Але Мандельброт, який вивчав чисту математику, добре знав безліч Кантора, описане ще в 1883 році і є пилом з точок, отриманих відповідно до суворого алгоритму. Суть алгоритму побудови "пилу Кантора" зводиться до наступного. Візьміть відрізок прямої. Видаліть із нього серединну третину відрізка, зберігши дві кінцеві. Тепер повторимо ту ж саму операцію з кінцевими відрізками і так далі. Мандельброт виявив, що саме такою є геометрія пакетів і пауз при передачі сигналів між комп'ютерами. Помилка накопичується. Її накопичення можна моделювати так. На першому кроці всім точкам з інтервалу надамо значення 1/2, на другому кроці з інтервалу значення 1/4, значення 3/4 точкам з інтервалу і т.д. Покрокове підсумовування цих величин дозволяє побудувати так звані «диявольські сходи» (рис. 1). Мірою «пилу Кантора» є ірраціональне число, що дорівнює 0,618, відоме як «золотий перетин» або «Божественна пропорція».

Частина ІІ. ФРАКТАЛИ СУТЬ СПРАВИ

Посмішка без кота: ФРАКТАЛЬНА РОЗМІРНІСТЬ.Розмірність - одне з фундаментальних понять, що виходить далеко за межі математики. Евклід у першій книзі «Початок» визначив основні поняття геометрії – точка, лінія, площина. Засноване на цих визначеннях поняття тривимірного евклідового простору залишалося незмінним майже дві з половиною тисячі років. Численні загравання з просторами чотирьох, п'яти і більше вимірів нічого сутнісно не додають, але зіштовхуються про те, що уявити їх людське уяву неспроможна. З відкриттям фрактальної геометрії уявлення про розмірності стався радикальний переворот. Розмірностей з'явилося безліч і серед них не тільки цілі, а й дрібні, і навіть ірраціональні. І ці розмірності доступні для наочного та чуттєвого уявлення. Насправді, ми легко представляємо сир з дірками модель середовища, розмірність якого більше двох, але не дотягує до трьох через сирні дірки, що знижує розмірність сирної маси.

Щоб зрозуміти дрібну або фрактальну розмірність, звернімося до парадоксу Річардсона, який стверджував, що довжина порізаної берегової лінії Британії нескінченна! Луїс Фрай Річардсон поставив питання про вплив масштабу вимірювання на величину вимірюваної довжини берегової лінії Британії. При переході від масштабу контурних карт до масштабу «берегових каменів» він приходив до дивного та несподіваного висновку: довжина берегової лінії необмежено зростає, причому це не має межі. Гладкі вигнуті лінії так не поводяться. Емпіричні дані Річардсона, отримані на картах все більших масштабів, свідчили про статечне зростання довжини берегової лінії при зменшенні кроку вимірювання:

У цій простій формулі Річардсона Lє виміряна довжина узбережжя, ε – величина кроку виміру, а β ≈ 3/2 – знайдена ним ступінь зростання довжини узбережжя зі зменшенням кроку виміру. На відміну від довжини кола, довжина берегової лінії Великобританії зростає без 55 межі. Вона нескінченна! Доводиться змиритися з тим, що криві зламані, негладкі немає граничної довжини.

Проте дослідження Річардсона наводили на думку, що вони мають деяку характерну міру ступінь зростання довжини із зменшенням масштабу виміру. Виявилося, що ця величина містичним чином ідентифікує ламану лінію як відбиток пальців особистість людини. Мандельброт інтерпретував берегову лінію як фрактальний об'єкт – об'єкт, розмірність якого збігається із показником ступеня β.

Наприклад, розмірності прибережних прикордонних кривих західного узбережжя Норвегії – 1,52; для Великобританії – 1,25; для Німеччини – 1,15; для Австралії – 1,13; для порівняно гладкого узбережжя Південної Африки – 1,02 і, нарешті, для ідеально гладкого кола – 1,0.

Поглянувши на фрагмент фракталу, ви не зможете сказати, яка його розмірність. І причина над геометричної складності фрагмента фрагмент може бути дуже простим, але у тому, що фрактальная розмірність відбиває як форму фрагмента, а й формат трансформації фрагмента у процесі побудови фрактала. Фрактальна розмірність хіба що відсторонена від форми. І завдяки цьому величина фрактальної розмірності залишається інваріантною, вона однакова для будь-якого фрагмента фракталу при будь-якому масштабі огляду. Її не можна "ухопити пальцями", але можна розрахувати.

ФРАКТАЛЬНИЙ ПОВТОР.Повторення можна моделювати за допомогою нелінійних рівнянь. Лінійні рівняння характеризуються однозначною відповідністю змінних: кожному значенню хвідповідає одне і лише одне значення уі навпаки. Наприклад, рівняння х + у = 1 лінійне. Поведінка лінійних функцій повністю детермінована, однозначно визначена початковими умовами. Поведінка нелінійних функцій не так однозначно, адже дві різні початкові умови можуть призвести до одного результату. На цій підставі ітерація повторення операції проявляється у двох різних форматах. Вона може мати характер лінійної референції, коли кожному етапі обчислень йде повернення до початкової умові. Це свого роду «ітерація за шаблоном». Серійне виробництво на конвеєрі є "ітерація за шаблоном". Ітерація у форматі лінійної референції залежить від проміжних станів еволюції системи. Тут кожна нова ітерація стартує від печі. Зовсім інша річ, коли ітерація має формат рекурсії, т. е. результат попереднього кроку ітерації стає початковою умовою наступного.

Рекурсію можна проілюструвати поруч Фібоначчі, представленим у формі послідовності Жирара:

u n +2 = u n +1 + u n

Результат – числа Фібоначчі:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

У цьому вся прикладі цілком очевидно, що функція застосовується сама себе, не відсилаючи до початкового значення. Вона ніби ковзає рядом Фібоначчі, і кожен результат попередньої ітерації стає початковим значенням для наступної. Саме таке повторення реалізується під час побудови фрактальних форм.

Покажемо, як фрактальний повтор реалізується в алгоритмах побудови серветки Серпінського (методом вирізування і методом CIF).

Метод вирізування.Беремо рівносторонній трикутник зі стороною r. На першому кроці вирізаємо в центрі нього перевернутий вершиною донизу рівносторонній трикутник з довжиною сторони r 1 = r 0/2. В результаті цього кроку у нас виходять три рівносторонні трикутники з довжинами сторін r 1 = r 0/2, що розташовуються у вершинах вихідного трикутника (рис. 2).

На другому кроці в кожному з трьох трикутників, що утворилися, вирізаємо перевернуті вписані трикутники з довжиною сторони r 2 = r 1 /2 = r 0/4. Результат – 9 трикутників із довжиною сторони r 2 = r 0/4. У результаті форма «серветки Серпінського» поступово стає дедалі більш певною. Фіксація відбувається на кожному кроці. Усі попередні фіксації хіба що «стираються».

Метод SIF, або метод систем ітерованих функцій Барнслі.Дано: рівносторонній трикутник з координатами кутів А (0,0), (1,0), С (1/2, √3/2). Z 0 - Довільна точка всередині цього трикутника (рис. 3). Беремо гральну кістку, на гранях якої є по дві літери А, В та С.

Крок 1. Кидаємо кістку. Імовірність випадання кожної літери становить 2/6 = 1/3.

• Якщо випала літера А, будуємо відрізок z 0 –A, на середині якого ставимо точку z 1
• Якщо випала буква В, будуємо відрізок z 0 –B, на середині якого ставимо точку z 1
• Якщо випала буква З, будуємо відрізок z 0 –C, на середині якого ставимо точку z 1

Крок 2. Кидаємо кістку ще раз.

• Якщо випала буква А, будуємо відрізок z 1 –A, на середині якого ставимо крапку z 2
• Якщо випала буква В, будуємо відрізок z 1 –B, на середині якого ставимо точку z 2
• Якщо випала буква С, будуємо відрізок z 1 –C, на середині якого ставимо точку z 2

Повторюючи операцію багато разів, ми отримаємо точки z3, z4, …, zn. Особливість кожної їх у тому, що точка перебуває точно півдорозі від попередньої до довільно обраної вершини. Тепер, якщо відкинути початкові точки, наприклад, від z 0 до z 100 , інші при досить великій їх кількості утворюють структуру «серветки Серпінського». Чим більше точок, що більше ітерацій, то виразніше є спостерігачеві фрактал Серпінського. І це при тому, що процес іде, здавалося б, випадковим шляхом (завдяки гральній кістці). «Серветка Серпінського» є свого роду атрактором процесу, тобто фігурою, до якої прагнуть усі траєкторії, побудовані в цьому процесі при досить великій кількості ітерацій. Фіксація образу при цьому є кумулятивним, накопичувальним процесом. Кожна окрема точка, можливо, ніколи й не співпаде з точкою фракталу Серпінського, але кожна наступна точка цього організованого «нагоди» процесу притягується ближче і ближче до точок «серветки Серпінського».

ПЕТЛЯ ЗВОРОТНОГО ЗВ'ЯЗКУ.Основоположник кібернетики Норберт Вінер для опису петлі зворотного зв'язку як приклад привів кермо на човні. Рульовий повинен дотримуватися заданого курсу і проводить оцінку того, наскільки човен його дотримується. Якщо кермовий бачить, що човен відхиляється, він поворотом керма повертає його на заданий курс. Через деякий час він знову проводить оцінку і знову коригує напрямок руху за допомогою керма. Таким чином, навігація здійснюється за допомогою ітерацій, повтору та послідовного наближення руху човна до заданого курсу.

Типова схема петлі зворотного зв'язку показано на рис. 4 Вона зводиться до зміни змінного параметрів (напрямок човна) і контрольованого параметра С (курс човна).

Розглянемо відображення "зсув Бернуллі". Нехай як початковий стан вибрано деяке число, що належить інтервалу від 0 до 1. Запишемо це число в двійковій системі числення:

х 0 = 0,01011010001010011001010 ...

Тепер один крок еволюції в часі полягає в тому, що послідовність нулів і одиниць зсувається вліво на одну позицію, і цифра, що опинилась ліворуч від коми, відкидається:

х 1 = 0,1011010001010011001010 ...

х 2 = 0,011010001010011001010.

х 3 = 0,11010001010011001010.

Зауважимо, що якщо вихідні числа х 0раціональні, то в процесі ітерації значення хnвиходять на періодичну орбіту. Наприклад, для початкового числа 11/24 у процесі ітерації отримаємо ряд значень:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Якщо вихідні значення x 0ірраціональні, відображення ніколи не вийде на періодичний режим. В інтервалі вихідних значень x 0 ∈ міститься нескінченно багато точок раціональних та нескінченно багато точок ірраціональних. Таким чином, щільність періодичних орбіт дорівнює густині орбіт, які ніколи не виходять на періодичний режим. У будь-якій околиці раціонального значення x 0знайдеться ірраціональне значення вихідного параметра х’ 0За такого стану справ неминуче виникає тонка чутливість до початкових умов. Це є характерною ознакою того, що система перебуває у стані динамічного хаосу.

ЕЛЕМЕНТАРНІ ПЕТЛІ ЗВОРОТНОГО ЗВ'ЯЗКУ.Реверс є необхідною умовоюі наслідком будь-якого бічного погляду, що самого себе застигає зненацька. Іконою реверсивної петлі може бути стрічка Мёбиуса, у якій нижня її сторона з кожним колом перетворюється на верхню, внутрішнє стає зовнішнім і навпаки. Накопичення відмінностей у процесі реверсу спочатку веде образ від вихідного, та був до нього повертає. У логіці реверсивну петлю ілюструє феномен Епіменіда: «всі крітяни – брехуни». Але й сам Епіменід критянин.

ДИВНА ПЕТЛЯ.Динамічна суть феномена дивної петлі зводиться до того, що образ, трансформуючись і дедалі більше відрізняючись від вихідного, у процесі численних деформацій повертається до вихідного образу, але ніколи не повторює його точності. Описуючи цей феномен, Хофштадтер у книзі запроваджує термін «дивна петля». Він робить висновок, що і Ешер, і Бах, і Гедель виявили або, точніше, використовували дивні петлі у своїх роботах і творчості в образотворчому мистецтві, музиці та математиці відповідно. Ешер у «Метаморфозах» відкрив собі дивну зв'язність різних планів дійсності. Форми однієї з художніх перспектив пластично перетворюються на форми іншої художньої перспективи (рис. 5).

Рис. 5. Мауріц Ешер. Малювання руки. 1948

Подібна дивина химерним чином виявилася в музиці. Один з канонів «Музичного приношення» Баха ( Canon per Tonos- Тональний канон) сконструйований таким чином, що його фінал несподівано плавно переходить у початок, але зі зрушенням тональності. Ці послідовні модуляції ведуть слухача дедалі вище від початкової тональності. Однак, чудово, після шести модуляцій ми майже повертаємося. Всі голоси тепер звучать рівно на октаву вище, ніж на початку. Дивність у тому, що піднімаючись за рівнями якоїсь ієрархії, ми несподівано виявляємо себе майже на тому ж місці, звідки почали свій шлях. повернення без повтору.

Курт Гедель відкрив дивні петлі в одній із найдавніших і освоєних галузей математики – теоретично чисел. Теорема Геделя вперше побачила світ як Теорема VI у його статті 1931 «Про формально нерозв'язні судження» в «Principle Mathematica». Теорема стверджує наступне: всі несуперечливі аксіоматичні формулювання теорії чисел містять нерозв'язні судження. Судження теорії чисел нічого не говорять про судження теорії чисел; вони не більше як міркування теорії чисел. Тут є петля, але нема дива. Дивна петля схована у доказі.

Дивний атрактор.Атрактор (від англ. attractзалучити) точку або замкнуту лінію, яка привертає всі можливі траєкторії поведінки системи. Атрактор стійкий, тобто в довгостроковій перспективі єдина можлива модель поведінки атрактора, все інше тимчасово. Атрактор просторово-часового об'єкта, що охоплює весь процес, не будучи ні його причиною, ні наслідком. Він формується лише системами з обмеженою кількістю ступенів свободи. Атрактори можуть являти собою точку, коло, тор і фрактал. У разі аттрактор називається «дивним» (рис. 6).

Точковий атрактор описує будь-який стабільний стан системи. У фазовому просторі він є крапкою, навколо якої формуються локальні траєкторії «вузла», «фокусу» або «сідла». Так веде себе маятник: при будь-якій початковій швидкості і будь-якому початковому положенні після достатнього часу під дією тертя маятник зупиняється в стан стійкої рівноваги. Круговий (циклічний) атрактор – це рух туди-сюди, подібно до ідеального маятника (без тертя), по колу.

Дивні атрактори ( дивні атрактори)здаються дивними тільки з боку, але термін «дивний атрактор» поширився відразу після появи в 1971 статті Давида Рюеля і голландця Флоріса Такенса «Природа турбулентності» (див. також ). Рюель і Такенс задалися питанням, чи має який-небудь атрактор відповідний набір характеристик: стійкістю, обмеженим числом ступенів свободи та неперіодичністю. З геометричної точкизору питання здавалося чистою головоломкою. Який вид повинна мати нескінченно протяжна траєкторія, що зображається в обмеженому просторіщоб ніколи не повторювати і не перетинати саму себе? Щоб відтворити кожен ритм, орбіта повинна являти собою нескінченно довгу лінію на обмеженій площі, тобто бути самозаглатуючою (рис. 7).

До 1971 року в науковій літературі вже був один малюнок такого атрактора. Едуард Лоренц зробив його додатком до своєї статті про детерміністський хаос, що вийшла 1963 року. Цей атрактор був стійким, неперіодичним, мав невелику кількість ступенів свободи і ніколи не перетинав сам себе. Якби подібне трапилося, і він повернувся в точку, яку минув, рух надалі повторювався б, утворюючи тороїдальний атрактор, але такого не відбувалося.

Дивність атрактора полягає, як вважав Рюель, у трьох нееквівалентних, але на практиці існуючих разом ознаках:

• фрактал'ності (вкладеність, подібність, узгодженість);
• детермінізм (залежність від початкових умов);
• сингулярності (кінцева кількість визначальних параметрів).

Частина ІІІ. УВАГА ЛЕГКІСТЬ ФРАКТАЛЬНИХ ФОРМ

УЯВНІ ЧИСЛА, ФАЗОВІ ПОРТРЕТИ ТА ЙМОВІРНІСТЬ.Фрактальна геометрія ґрунтується на теорії уявних чисел, динамічних фазових портретів і теорії ймовірностей. Теорія уявних чисел припускає, що є квадратний корінь з мінус одиниці. Джероламо Кардано у своїй праці «Велике мистецтво» (Ars Magna, 1545) представив загальне рішення кубічного рівняння z 3 + pz + q = 0. Кардано використовує уявні числа як засіб технічного формалізму для вираження коренів рівняння. Він помічає дивина, яку ілюструє простим рівнянням х 3 = 15х + 4. Це рівняння має одне очевидне рішення: х = 4. Проте узагальнююча формула дає дивний результат. Він містить корінь із негативного числа:

Рафаель Бомбеллі у своїй книзі з алгебри (L'Algebra, 1560) вказав на те, що = 2 ± i, і це відразу дозволило йому отримати речовий корінь х = 4. У подібних випадках, коли комплексні числа пов'язані, виходить речовий корінь , А комплексні числа є технічною підмогою в процесі отримання рішення кубічного рівняння.

Ньютон вважав, що рішення, що містять корінь з мінус одиниці, слід вважати «що не мають фізичного сенсу» та відкидати. У XVII–XVIII століттях формувалося розуміння те, що щось уявне, духовне, уявне щонайменше реально, ніж усе дійсне, разом узяте. Ми можемо навіть назвати точну дату 10 листопада 1619 року, коли Декарт сформулював маніфест нового мислення «cogito ergo sum». З цього моменту думка є абсолютна та безперечна реальність: «якщо я мислю, то, значить, я існую»! Точніше, думка тепер сприймається як реальність. Ідея Декарта з системи ортогональних координат, завдяки уявним числам, набуває повноту. Тепер можна наповнити ці уявні числа значеннями.

У ХІХ столітті працями Ейлера, Аргана, Коші, Гамільтона розробляється арифметичний апарат роботи з комплексними числами. Будь-яке комплексне число може бути представлено у вигляді суми X + IY, де X і Y є дійсні числа ми звикли, і iуявна одиниця (насправді це √ – 1). Кожному комплексному числу відповідає точка з координатами (X, Y) так званої комплексної площини.

Друге важливе поняття - фазовий портрет динамічної системи сформувалося у XX столітті. Після того, як Ейнштейн показав, що по відношенню до світла все рухається з однаковою швидкістю, ідея про можливість висловити динамічну поведінку системи у форматі застиглих геометричних ліній так званому фазовому портреті динамічної системи набула ясного фізичного сенсу.

Проілюструємо її з прикладу маятника. Перші досліди з маятником Жан Фуко проводив у 1851 році у погребі, потім у Паризькій обсерваторії, потім під куполом Пантеону. Нарешті, 1855 року маятник Фуко був підвішений під куполом паризької церкви Сен-Мартен-де-Шан. Довжина каната маятника Фуко 67 м, вага гирі 28 кг. З великої відстані маятник виглядає як точка. Точка завжди нерухома. Наближаючись, ми помітимо систему з трьома типовими траєкторіями: гармонійний осцилятор (sinϕ ≈ ϕ), маятник (коливання взад-вперед), пропелер (обертання).

Там, де локальний спостерігач бачить одну з трьох можливих конфігурацій руху кулі, відсторонений від процесу аналітик може припустити, що куля здійснює один із трьох типових рухів. Це можна зобразити однією плані. Необхідно домовитися, що ми перемістимо «кулю на нитки» в абстрактний фазовий простір, що має стільки координат, скільки ступенів волі має система, що розглядається. В даному випадку мова йде про двох ступенях свободи швидкості vі кут нахилу нитки із кулею до вертикалі ϕ. У координатах ϕ і v траєкторія гармонійного осцилятора є системою концентричних кіл, у міру збільшення кута ϕ ці кола стають овальними, а при ϕ = ± π губиться замикання овалу. Це означає, що маятник перейшов у режим пропелера: v = const(рис. 8).

Рис. 8. Маятник: а) траєкторія у фазовому просторі ідеального маятника; б) траєкторія у фазовому просторі маятника, що гойдається із загасанням; в) фазовий портрет

У фазовому просторі може бути довжин, тривалостей, рухів. Тут будь-яка дія заздалегідь дана, але не всі дійсні. Від геометрії залишається лише топологія, замість мір параметри, замість розмірів розмірності. Тут будь-яка динамічна система має власний унікальний відбиток фазовий портрет. І серед них є досить дивні фазові портрети: будучи складними, вони визначаються одним параметром; будучи співмірними, вони непропорційні; будучи безперервними, вони дискретні. Такі дивні фазові портрети характерні для систем із фрактальною конфігурацією атракторів. Дискретність центрів тяжіння (атракторів) створює ефект кванта дії, ефект розриву чи стрибка у тому, що траєкторії зберігають безперервність і справляють єдину пов'язану форму дивний аттрактор.

КЛАСИФІКАЦІЯ ФРАКТАЛІВ.Фрактал має три іпостасі: формальну, операційну та символічну, які ортогональні один одному. І це означає, що та сама форма фрактала може бути отримана за допомогою різних алгоритмів, а те саме число фрактальна розмірність може з'явитися у абсолютно різних за формою фракталів. З урахуванням цих зауважень класифікуємо фрактали за символічною, формальною та операційною ознаками:

• у символічному плані характерна для фрактала розмірність може бути цілою або дрібною;
• за формальною ознакою фрактали можуть бути зв'язні, як лист або хмара, і незв'язні, як пил;
• за операційною ознакою фрактали можуть бути поділені на регулярні та стохастичні.

Регулярні фрактали будуються за певним алгоритмом. Процес побудови при цьому оборотний. Ви можете повторити всі операції у зворотному порядку, стираючи будь-який створений у процесі детермінованого алгоритму образ, точка за точкою. Детермінований алгоритм може бути лінійним чи нелінійним.

Стохастичні фрактали, подібні до стохастичного сенсу, виникають, коли в алгоритмі їх побудови, у процесі ітерацій будь-які параметри змінюються випадковим чином. Термін «стохастичність» походить від грецького слова stochasis- Здогад, припущення. Стохастичний процес – процес, характер зміни якого точно передбачити неможливо. Фрактали виробляються за примхою природи (поверхні розлому гірських порід, хмари, турбулентні потоки, піна, гелі, контури частинок сажі, зміни біржових цін та рівня річок та інші), позбавлені геометричної подоби, але завзято відтворюють у кожному фрагменті статистичні властивості цілого в середньому. Комп'ютер дозволяє генерувати послідовності псевдовипадкових чисел і відразу моделювати стохастичні алгоритми і форму.

ЛІНІЙНІ ФРАКТАЛИ.Лінійні фрактали названі так тому, що вони будуються по певному лінійному алгоритму. Ці фрактали самоподібні, не спотворюються за будь-якої зміни масштабу і не диференційовані в будь-якій своїй точці. Для побудови таких фракталів достатньо задати основу та фрагмент. Ці елементи багаторазово повторюватимуться зі зменшенням масштабу до нескінченності.

Пил Кантора.У ХІХ столітті німецький математик Георг Фердинанд Людвіг Філіп Кантор (1845–1918) запропонував математичному співтоваристві дивне безліч чисел в інтервалі від 0 до 1. Безліч містило нескінченну кількість елементів у зазначеному проміжку і до того ж мало нульову розмірність. Пущена навмання стріла навряд чи вразила б хоч один елемент цієї множини.

Для початку необхідно вибрати відрізок одиничної довжини (перший крок: n = 0), потім розділимо його на три частини та вилучимо середню третину (n = 1). Далі будемо робити так само з кожним з утворених відрізків. В результаті нескінченної кількості повторень операції отримуємо шукане безліч «пил Кантора». Тепер між розривним і нескінченно поділеним не існує протиставлення «пил Кантора» є і тим, і іншим (див. рис. 1). "Пил Кантора" - фрактал. Його фрактальна розмірність дорівнює 0,6304.

Один із двомірних аналогів одномірної множини Кантора був описаний польським математиком Вацлавом Серпінським. Його називають "канторів килим" або частіше "килим Серпінського". Він суворо самоподібний. Ми можемо розрахувати його фрактальну розмірність як ln8/lnЗ = 1,89… (рис. 9).

ЛІНІЇ, що заповнюють ПЛОСКІСТЬ.Розглянемо ціле сімейство регулярних фракталів, які криві, які можуть заповнити площину. Ще Лейбніц стверджував: «Якщо припустити, що хтось ставить на папері безліч точок з волі нагоди,<… >я говорю, що можна виявити постійну і цілісну, яка підпорядковується певному правилу геометричну лінію, яка пройде через усі точки». Це твердження Лейбніца суперечило Евклідову розумінню розмірності, як найменшої кількості параметрів, з яких однозначно визначається положення точки у просторі. Через відсутність суворого доказу ці ідеї Лейбніца залишалися на периферії математичної думки.

Крива Пеано.Але ось в 1890 математик з Італії Джузеппе Пеано сконструював лінію, яка повністю покриває плоску поверхню, проходячи через всі її точки. Побудова "кривий Пеано" показано на рис. 10.

У тому, що топологічна розмірність кривої Пеано дорівнює одиниці, її фрактальная розмірність дорівнює d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2. У межах фрактальної геометрії феномен вирішився природним чином. Лінією, як павутиною, можна покрити площину. При цьому встановлюється однозначна відповідність: кожній точці лінії відповідає точка на площині. Але ця відповідність не взаємно однозначна, адже кожній точці на площині відповідає одна або більше точок на лінії.

Крива Гільберта.Роком пізніше, в 1891 році з'явилася стаття німецького математика Девіда Гільберта (1862-1943), в якій він представив криву площину, що покриває без перетинів і дотиків. Побудова «кривої Гільберта» показана на рис. 11.

Крива Гільберта стала першим прикладом FASS-кривих (spaceFilling, selfAvoiding, Simple and selfSimilar, що заповнюють простір самих уникальних, простих і самоподібних ліній). Фрактальна розмірність лінії Гілберта, як і кривій Пеано, дорівнює двом.

Стрічка Мінковського.Герман Мінковський, близький друг Гільберта зі студентських часів, побудував криву, яка не покриває всю площину, але формує щось на кшталт стрічки. При побудові "стрічки Мінковського" на кожному кроці кожен відрізок замінюється на ламану лінію, що складається з 8 відрізків. На наступному етапі з кожним відрізком операція повторюється в масштабі 1:4. Фрактальна розмірність стрічки Мінковського d=ln(l/8)/ln(1/4)=1,5.

НЕЛІНІЙНІ ФРАКТАЛИ.Найпростішим нелінійним відображенням комплексної площини на себе є розглянуте в першій частині відображення Джуліа zgz 2 + C. Це обчислення за замкнутим циклом, у якому результат попереднього циклу множиться сам на себе з константою, що додається до це, тобто квадратична петля зворотного зв'язку (рис. 13).

У процесі ітерацій при фіксованій величині константи, залежно від довільної початкової точки Z 0 точка Z n при n-> ∞ може бути або кінцевою, або нескінченною. Все залежить від положення Z 0 щодо початку відліку z = 0. Якщо розрахункова величина кінцева, то вона включається до множини Жюлі; якщо воно йде до нескінченності, то воно відсікається від множини Юлії.

Форма, яка виходить після застосування відображення Жюліа до точок деякої поверхні, однозначно визначається параметром С. При малих С - це нескладні зв'язні петлі, при великих - це кластери незв'язних, але строго впорядкованих точок. За великим рахунком, всі форми Жюлія можуть бути розбиті на два великі сімейства - зв'язкових та незв'язних відображень. Перші нагадують «сніжинку Коха», другі «пил Кантора».

Різноманітність форм Жюлія збентежило математиків, коли вони вперше змогли спостерігати ці форми на моніторах комп'ютерів. Спроби ранжувати це різноманіття мали дуже умовний характер і звелися до того, що за основу класифікації відображень Жюлія було взято безліч Мандельброта, межі якого, як виявилося, асимптотично подібні до відображень Жюліа.

При З = 0 повторення відображення Жюліа дає послідовність чисел z 0 , z 0 2 , z 0 4 , z 0 8 , z 0 16 … У результаті можливі три варіанти:

• за |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• за |z 0 | > 1 під час ітерацій числа z n по модулю збільшуються, прагнучи нескінченності. У цьому випадку атрактором є нескінченно віддалена точка, і такі значення ми виключаємо з багатьох Жюлі;
• за |z 0 | = 1 всі точки послідовності продовжують залишатися на цьому одиничному колі. У цьому випадку атрактором є коло.

Таким чином, при С = 0 межа між притягуючими та відштовхуючими вихідними точками є коло. У цьому випадку відображення має дві нерухомі точки: z = 0 і z = 1. Перша з них є притягує, так як похідна квадратичної функції в нулі є 0, а друга відштовхує, так як похідна квадратичної функції при значенні параметра одиниця дорівнює двом.

Розглянемо ситуацію, коли постійна є дійсним числом, тобто. ми хіба що переміщуємося по осі безлічі Мандельброта (рис. 14). При С = -0,75 відбувається самоперетин кордону множини Жюліа і з'являється другий атрактор. Фрактал у цій точці носить ім'я фрактал Сан-Марко, дане йому Мандельбротом на честь відомого венеціанського собору. Дивлячись на малюнок, неважко зрозуміти, чому Мандельброту прийшла ідея назвати фрактал саме на честь цієї будови: схожість приголомшлива.

Рис. 14. Зміна форми множини Джулії при зменшенні реального значення C від 0 до -1

Зменшуючи далі до –1,25, ми отримаємо нову типову форму з чотирма нерухомими точками, які зберігаються до значень С< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Рис. 15. Поява нових форм множини Жюліа при зменшенні дійсної величини С< –1

Отже, навіть залишаючись на осі фракталу Мандельброта (постійна З дійсне число), ми «захопили» у полі уваги і деяким чином ранжували досить велику різноманітність форм Жюлія від кола до пилу. Тепер розглянемо знакові області фракталу Мандельброта та відповідні форми фракталів Жюліа. Насамперед опишемо фрактал Мандельброта в термінах «кардіоїд», «нирок» і «цибулин» (рис. 16).

Головна кардіоїда і коло, що примикає до неї, формують основну форму фракталу Мандельброта. До них примикає нескінченне число її копій, які прийнято називати нирками. Кожна з цих бруньок укладена в нескінченну кількість менших бруньок, схожих одна на одну. Дві найбільші нирки зверху та знизу від основної кардіоїди назвали цибулинками.

Дослідили типовий фрактал цієї множини (С = –0,12 + 0,74i) француз Адрієн Дауді та американець Білл Хаббард назвали його «фракталом кролика» (рис. 17).

При перетині межі фрактала Мандельброта фрактали Джулії завжди втрачають зв’язність і перетворюються на пил, який зазвичай називають «пилом Фату» на честь П’єра Фату, який довів, що для певних значень C нескінченно віддалена точка притягує весь комплекс літака, для дуже тонкого набору , як пил , за винятком (рис. 18).

СТОХАСТИЧНІ ФРАКТАЛИ.Є істотна відмінність між строго самоподібною кривою фону Коха і, наприклад, узбережжям Норвегії. Остання, не будучи суворо самоподібною, виявляє подібність у статистичному сенсі. Обидві криві при цьому зламані настільки, що до жодної з їх точок ви не зможете провести дотичну, або, іншими словами, не зможете її диференціювати. Такі криві свого роду "монстри" серед нормальних евклідових ліній. Першим, хто збудував безперервну функцію, що не має дотичної в жодній своїй точці, був Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрасс. Його робота була представлена ​​Королівської Прусської Академії 18 липня 1872 і опублікована в 1875 році. Функції, описані Вейерштрассом, виглядають подібно до шумів (мал. 19).

Подивіться на графіки біржових бюлетенів, зведення коливань температури або тиску повітря та виявіть якусь регулярну порізаність. Причому за збільшення масштабу характер порізаності зберігається. І це відсилає нас до фрактальної геометрії.

Броунівський рух є одним із найвідоміших прикладів стохастичного процесу. У 1926 Жан Перрен отримав Нобелівську премію за дослідження характеру броунівського руху. Саме він звернув увагу на самоподібність та недиференційність броунівської траєкторії.

Нещодавно я дізналася про такі цікаві об'єкти математичного світу як фрактали. Але існують вони не лише в математиці. Вони оточують нас усюди. Фрактали бувають природні. Про те, що таке фрактали, про види фракталів, про приклади цих об'єктів та їх застосування я розповім у цій статті. Спершу коротко розповім, що таке фрактал.

Фракта́л (лат. fractus - дроблений, зламаний, розбитий) - це складна геометрична фігура, що має властивість самоподібності, тобто складена з кількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури цілком. У більш широкому сенсі під фракталами розуміють безліч точок в евклідовому просторі, що мають дробову метричну розмірність (у сенсі Мінковського або Хаусдорфа), або метричну розмірність, відмінну від топологічної. Як приклад я вставлю зображення чотирьох різних фракталів.

Розповім трохи про історію фракталів. Поняття фрактал і фрактальна геометрія, що з'явилися в кінці 70-х, з середини 80-х міцно увійшли до ужитку математиків і програмістів. Слово «фрактал» було запроваджено Бенуа Мандельбротом у 1975 році для позначення нерегулярних, але самоподібних структур, якими він займався. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом 1977 року книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature. У його роботах використано наукові результати інших учених, які працювали в період 1875-1925 років у тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф). Але лише в наш час вдалося об’єднати їхню роботу в єдину систему.

Прикладів фракталів можна навести масу, тому що, як і казала, вони оточують нас усюди. На мою думку, навіть весь наш Всесвіт — це один величезний фрактал. Адже все в ньому, від будови атома до будови самого Всесвіту, точно повторює один одного. Але є, звичайно, і більш конкретні приклади фракталів з різних областей. Фрактали, наприклад, присутні в складній динаміці. Там вони природним чином з'являються щодо нелінійних динамічних систем. Найбільш вивчений випадок, коли динамічна система задається ітераціями багаточлена чи голоморфної функцією комплексу зміннихна площині. Одними з найвідоміших фракталів такого виду є безліч Жюлі, безліч Мандельброта і басейни Ньютона. Нижче, по порядку, малюнки показують кожен із зазначених вище фракталів.

Ще одним прикладом фрактал є фрактальні криві. Пояснити, як будуватися фрактал найкраще саме на прикладі фрактальних кривих. Однією з таких кривих є так звана сніжинка Коха. Існує простапроцедура одержання фрактальних кривих на площині Задамо довільну ламану з кінцевим числом ланок, що називається генератором. Далі замінимо в ній кожен відрізок генератором (точніше, ламаною, подібною до генератора). В отриманій ламаній лінії знову замініть кожен відрізок генератором. Продовжуючи до нескінченності, отримаємо в межах фрактальну криву. Нижче показана Сніжинка (або крива) Коха.

Фрактальних кривих так само існує безліч. Найвідоміші з них — це вже згадана Сніжинка Коха, а також крива Леві, крива Мінковського, ламана Дракона, крива Піано та дерево Піфагора. Зображення даних фракталів та їхню історію, я думаю, за бажання ви легко зможете знайти у Вікіпедії.

Третім прикладом або видом фрактал є стохастичні фрактал. До таких фракталів можна віднести траєкторію броунівського руху. на площині та у просторі, еволюції Шрамма-Левнера, різні видирандомізованих фракталів, тобто фракталів, отриманих за допомогою рекурсивної процедури, яку на кожному кроці введено випадковий параметр.

Існують також чисто математичні фрактали. Це, наприклад, безліч канторів, губка Менгера, Трикутник Серпінського та інші.

Але найцікавіші фрактали — це природні. Природні фрактали - це такі об'єкти в природі, які мають фрактальні властивості. І тут уже список великий. Я не перераховуватиму все, бо, напевно, всіх і не перерахуватиму, але про деяких розповім. Ось, наприклад, у живій природі до таких фракталів відносяться наша кровоносна система та легені. А ще крони та листя дерев. Також сюди можна віднести морських зірок, морських їжаків, корали, морські раковини, деякі рослини, такі як капуста або броколі. Нижче показано кілька таких природних фракталів з живої природи.

Якщо ж розглядати неживу природу, то там цікавих прикладів набагато більше, ніж живою. Блискавки, сніжинки, хмари, всім відомі, візерунки на вікнах у морозні дні, кристалики, гірські хребти — це приклади природних фракталів з неживої природи.

Приклади та види фрактали ми розглянули. Що ж до застосування фракталів, то вони застосовуються в різних галузях знань. У фізиці фрактали природним чином виникають при моделюванні нелінійних процесів, таких як турбулентний перебіг рідини, складні процеси дифузії-адсорбції, полум'я, хмари тощо. Фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, нафтохімії. У біології вони використовуються для моделювання популяцій і для опису систем внутрішніх органів(Система кровоносних судин). Після створення кривої Коха було запропоновано використовувати її для обчислення протяжності берегової лінії. Також фрактали активно використовуються в радіотехніці, в інформатиці та комп'ютерні технології, телекомунікаціях і навіть економіці Ну і, звичайно ж, фрактальне бачення, що активно використовується в сучасному мистецтві та архітектурі. Ось один із прикладів фрактальних картин:

І так, на цьому я думаю завершити свою розповідь про таке незвичайне математичне явище як фрактал. Сьогодні ми дізналися про те, що таке фрактал, як він з'явився, про види та приклади фракталів. А також я розповіла про їх застосування та продемонструвала деякі з фракталів наочно. Сподіваюся, вам сподобалася ця невелика екскурсія у світ дивовижних та чарівних фрактальних об'єктів.