เปิดแฟร็กทัล อินฟินิตี้ของแฟร็กทัล โลกรอบตัวเราทำงานอย่างไร คณิตศาสตร์เศษส่วนสำหรับจักรวาลเศษส่วน
คณิตศาสตร์
ถ้าคุณดูถูก
ไม่เพียงสะท้อนความจริงเท่านั้น
แต่ยังสวยงามไม่แพ้กัน
เบอร์ทรานด์ รัสเซล.
คุณเคยได้ยินเกี่ยวกับแฟร็กทัลอย่างแน่นอน คุณได้เห็นภาพที่น่าทึ่งเหล่านี้จาก Bryce3d ที่สมจริงมากกว่าความเป็นจริงอย่างแน่นอน ภูเขา เมฆ เปลือกไม้ ทั้งหมดนี้เหนือกว่าเรขาคณิตแบบยุคลิดทั่วไป เราไม่สามารถอธิบายหินหรือขอบเขตของเกาะด้วยเส้น วงกลม และสามเหลี่ยมได้ และที่นี่เศษส่วนมาช่วย คนแปลกหน้าที่คุ้นเคยเหล่านี้คืออะไร? พวกเขาปรากฏตัวเมื่อใด
ประวัติความเป็นมาของรูปลักษณ์
แนวคิดแรกเกี่ยวกับเรขาคณิตเศษส่วนเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 19 ต้นเสียงโดยใช้ขั้นตอนแบบเรียกซ้ำ (ซ้ำๆ) อย่างง่าย เปลี่ยนบรรทัดให้กลายเป็นชุดของจุดที่ไม่เกี่ยวข้อง (ที่เรียกว่า Cantor's Dust) เขาเอาเส้นและถอดตรงกลางที่สามแล้วทำซ้ำเช่นเดียวกันกับส่วนที่เหลือ Peano วาดเส้นพิเศษ (ภาพที่ 1) ในการวาด Peano ใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้
ในขั้นแรก เขาเอาเส้นตรงมาแทนที่ด้วยส่วนที่สั้นกว่าความยาวของเส้นเดิม 9 ส่วน 3 เท่า (ตอนที่ 1 และ 2 ของรูปที่ 1) จากนั้นเขาก็ทำเช่นเดียวกันกับแต่ละส่วนของเส้นผลลัพธ์ และอื่น ๆ โฆษณาไม่สิ้นสุด เอกลักษณ์ของมันคือมันเต็มระนาบทั้งหมด ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าในแต่ละจุดบนเครื่องบิน เราสามารถหาจุดที่เป็นของเส้น Peano ได้ Peano's Curve และ Cantor's Dust เหนือกว่าวัตถุทรงเรขาคณิตทั่วไป พวกเขาไม่มีมิติที่ชัดเจน ฝุ่นของต้นเสียงถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของเส้นตรงหนึ่งมิติ แต่ประกอบด้วยจุด (มิติ 0) และเส้นโค้ง Peano ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของเส้นหนึ่งมิติ และผลลัพธ์ก็คือระนาบ ในหลาย ๆ ด้านของวิทยาศาสตร์ ปัญหาต่างๆ ปรากฏขึ้น ซึ่งการแก้ปัญหาทำให้เกิดผลลัพธ์ที่แปลกประหลาด เช่นเดียวกับที่อธิบายไว้ข้างต้น (การเคลื่อนไหวแบบบราวเนียน ราคาหุ้น)
บิดาแห่งแฟร็กทัล
จนถึงศตวรรษที่ 20 มีการรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุแปลก ๆ ดังกล่าวโดยไม่ต้องพยายามจัดระบบ นั่นคือจนกระทั่ง Benoit Mandelbrot บิดาแห่งเรขาคณิตเศษส่วนสมัยใหม่และคำว่าเศษส่วนได้รับความสำคัญ ในขณะที่ทำงานให้กับ IBM ในฐานะนักวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เขาศึกษาเสียงในวงจรอิเล็กทรอนิกส์ที่ไม่สามารถอธิบายได้โดยใช้สถิติ ค่อยๆ เปรียบเทียบข้อเท็จจริง เขาได้ค้นพบทิศทางใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์ - เรขาคณิตเศษส่วน
เศษส่วนคืออะไร Mandelbrot เองได้รับคำว่า fractal จากคำภาษาละติน fractus ซึ่งแปลว่าหัก (แบ่งออกเป็นส่วน ๆ) และหนึ่งในคำจำกัดความของเศษส่วนคือ รูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยส่วนต่างๆ และสามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ ได้ ซึ่งแต่ละส่วนจะแสดงสำเนาที่ลดลงของทั้งหมด (อย่างน้อยก็ประมาณ)
หากต้องการจินตนาการถึงเศษส่วนให้ละเอียดยิ่งขึ้น ให้พิจารณาตัวอย่างที่ให้ไว้ในหนังสือของ B. Mandelbrot เรื่อง "The Fractal Geometry of Nature" ซึ่งได้กลายเป็นเรื่องคลาสสิกไปแล้ว - "ชายฝั่งของสหราชอาณาจักรยาวแค่ไหน" คำตอบสำหรับคำถามนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ทุกอย่างขึ้นอยู่กับความยาวของเครื่องมือที่เราจะใช้ เมื่อวัดชายฝั่งด้วยไม้บรรทัดกิโลเมตรเราก็ได้ความยาว อย่างไรก็ตาม เราจะข้ามเวิ้งอ่าวและคาบสมุทรเล็กๆ จำนวนมากที่เล็กกว่าผู้ปกครองของเรามาก โดยการลดขนาดของไม้บรรทัดให้เหลือ 1 เมตร เราจะพิจารณารายละเอียดเหล่านี้ของภูมิทัศน์ และด้วยเหตุนี้ ความยาวของชายฝั่งจึงจะเพิ่มขึ้น ไปข้างหน้าและวัดความยาวของชายฝั่งโดยใช้ไม้บรรทัดมิลลิเมตรที่นี่เราจะพิจารณารายละเอียดที่มากกว่าหนึ่งมิลลิเมตรความยาวจะยิ่งมากขึ้น ด้วยเหตุนี้ คำตอบของคำถามง่ายๆ ที่ดูเหมือนจะทำให้ใครๆ สับสน - ความยาวของชายฝั่งของสหราชอาณาจักรนั้นไม่มีที่สิ้นสุด
เล็กน้อยเกี่ยวกับมิติ
ในชีวิตประจำวันของเรา เรามักจะพบกับมิติต่างๆ เราประเมินความยาวของถนน (250 ม.) ค้นหาพื้นที่ของอพาร์ทเมนต์ (78 ตร.ม. ) และมองหาปริมาตรของขวดเบียร์ (0.33 dm3) บนสติกเกอร์ แนวคิดนี้ค่อนข้างชัดเจนโดยสัญชาตญาณและดูเหมือนไม่ต้องการคำชี้แจง เส้นมีมิติ 1 ซึ่งหมายความว่าเมื่อเลือกจุดอ้างอิงแล้ว เราสามารถกำหนดจุดใดก็ได้ในบรรทัดนี้โดยใช้ตัวเลข 1 ตัว - บวกหรือลบ และสิ่งนี้ใช้ได้กับทุกเส้น - วงกลม สี่เหลี่ยม พาราโบลา ฯลฯ
มิติที่ 2 หมายความว่าเราสามารถกำหนดจุดใดๆ ที่มีตัวเลขสองตัวได้โดยไม่ซ้ำกัน อย่าคิดว่าสองมิติหมายถึงแบน พื้นผิวของทรงกลมยังเป็นแบบสองมิติ (สามารถกำหนดได้โดยใช้ค่าสองค่า - มุมเช่นความกว้างและลองจิจูด)
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ มิติจะถูกกำหนดดังนี้: สำหรับวัตถุหนึ่งมิติ - การเพิ่มขนาดเชิงเส้นเป็นสองเท่าจะทำให้ขนาดเพิ่มขึ้น (ในกรณีนี้คือความยาว) สองเท่า (2 ^ 1)
สำหรับวัตถุ 2 มิติ การเพิ่มขนาดเชิงเส้นเป็นสองเท่าจะเพิ่มขนาดเป็นสี่เท่า (เช่น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า) (2 ^ 2)
สำหรับออบเจ็กต์สามมิติ การเพิ่มขนาดเชิงเส้นสองเท่าจะทำให้ปริมาตรเพิ่มขึ้นแปดเท่า (2 ^ 3) เป็นต้น
ดังนั้น มิติ D สามารถคำนวณได้จากการพึ่งพาการเพิ่มขึ้นของ "ขนาด" ของวัตถุ S จากการเพิ่มขึ้นในมิติเชิงเส้น L. D = บันทึก (S) / บันทึก (L) สำหรับบรรทัด D = บันทึก (2) / บันทึก (2) = 1 สำหรับระนาบ D = log (4) / log (2) = 2 สำหรับปริมาณ D = บันทึก (8) / บันทึก (2) = 3 อาจทำให้สับสนเล็กน้อย แต่โดยทั่วไปแล้ว ไม่ใช่เรื่องยากและเข้าใจได้
ทำไมฉันถึงบอกทั้งหมดนี้? และเพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการแยกแฟร็กทัลออกจากไส้กรอก ลองคำนวณมิติของเส้นโค้ง Peano กัน ดังนั้นเราจึงมีเส้นเดิมซึ่งประกอบด้วยส่วนที่มีความยาว X สามส่วน แทนที่ด้วยส่วนที่สั้นกว่า 9 ส่วนสามเท่า ดังนั้นด้วยการเพิ่มส่วนขั้นต่ำ 3 เท่าความยาวของทั้งเส้นจะเพิ่มขึ้น 9 เท่าและ D = log (9) / log (3) = 2 - วัตถุสองมิติ !!!
ดังนั้น เมื่อมิติของตัวเลขที่ได้จากวัตถุที่ง่ายที่สุด (ส่วน) บางส่วนมากกว่ามิติของวัตถุเหล่านี้ เรากำลังจัดการกับเศษส่วน
Fractals แบ่งออกเป็นกลุ่ม กลุ่มที่ใหญ่ที่สุดคือ:
เศษส่วนทางเรขาคณิต
กับพวกเขาที่ประวัติศาสตร์ของเศษส่วนเริ่มต้นขึ้น เศษส่วนประเภทนี้ได้มาจากโครงสร้างทางเรขาคณิตอย่างง่าย โดยปกติ เมื่อสร้างแฟร็กทัลเหล่านี้ หนึ่งทำสิ่งต่อไปนี้: นำ "เมล็ด" - สัจพจน์ - ชุดของเซ็กเมนต์ บนพื้นฐานของการสร้างแฟร็กทัล จากนั้นจึงใช้กฎชุดหนึ่งกับ "เมล็ดพันธุ์" นี้ ซึ่งจะแปลงเป็นรูปทรงเรขาคณิตบางประเภท ถัดไป ใช้กฎชุดเดียวกันกับแต่ละส่วนของรูปนี้ ในแต่ละขั้นตอน ตัวเลขจะซับซ้อนขึ้นเรื่อยๆ และหากเราทำการเปลี่ยนแปลงจำนวนอนันต์ (อย่างน้อยก็ในใจเรา) เราก็จะได้เศษส่วนเรขาคณิต
เส้นโค้ง Peano ที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นเศษส่วนทางเรขาคณิต รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างอื่นๆ ของเศษส่วนเรขาคณิต (จากซ้ายไปขวา Koch Snowflake, Liszt, Sierpinski Triangle)
Koch เกล็ดหิมะ
แผ่น
สามเหลี่ยมเซียร์พินสกี้
เศษส่วนเรขาคณิตเหล่านี้ ครั้งแรก เกล็ดหิมะ Koch น่าสนใจมากและค่อนข้างมีชื่อเสียง มันถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่ละบรรทัดที่ ___ ถูกแทนที่ด้วย 4 บรรทัดแต่ละอันยาว 1/3 ของ _ / \ _ ดั้งเดิม ดังนั้น ในการวนซ้ำแต่ละครั้ง ความยาวของเส้นโค้งจะเพิ่มขึ้นหนึ่งในสาม และถ้าเราทำซ้ำเป็นจำนวนอนันต์ เราจะได้เศษส่วน - เกล็ดหิมะ Koch ที่มีความยาวไม่สิ้นสุด ปรากฎว่าเส้นโค้งอนันต์ของเราครอบคลุมพื้นที่จำกัด ลองทำเช่นเดียวกันโดยใช้วิธีการและรูปร่างจากเรขาคณิตแบบยุคลิด
ขนาดของเกล็ดหิมะ Koch (เมื่อเกล็ดหิมะเติบโต 3 ครั้งความยาวจะเพิ่มขึ้น 4 เท่า) D = log (4) / log (3) = 1.2619 ...
ระบบ L ที่เรียกว่าเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการสร้างเศษส่วนทางเรขาคณิต สาระสำคัญของระบบเหล่านี้คือมีชุดสัญลักษณ์ระบบเฉพาะ ซึ่งแต่ละชุดแสดงถึงการกระทำเฉพาะและชุดกฎสำหรับการแปลงอักขระ ตัวอย่างเช่น การอธิบายเกล็ดหิมะ Koch โดยใช้ L-Systems ในโปรแกรม Fractint
; Adrian Mariano จาก The Fractal Geometry of Nature โดย Mandelbrotโคช1 ( ; กำหนดมุมการหมุน 360/6 = 60 องศามุม 6 ; การวาดภาพเบื้องต้นสำหรับการก่อสร้างสัจพจน์ F - F - F ; กฎการแปลงตัวละคร F = F + F - F + F)ในคำอธิบายนี้ ความหมายทางเรขาคณิตของสัญลักษณ์มีดังนี้:
F ย่อมาจาก draw line + หมุนตามเข็มนาฬิกา - หมุนทวนเข็มนาฬิกา
คุณสมบัติที่สองของเศษส่วนคือความคล้ายคลึงในตัวเอง ยกตัวอย่างสามเหลี่ยมเซียร์พินสกี้ หากต้องการสร้างจากจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ให้ "ตัด" สามเหลี่ยมออก เราทำซ้ำขั้นตอนเดียวกันสำหรับสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นทั้งสาม (ยกเว้นอันกลาง) และต่อไปเรื่อย ๆ หากตอนนี้เรานำสามเหลี่ยมที่ก่อตัวขึ้นแล้วขยายมัน เราจะได้สำเนาที่ถูกต้องของทั้งหมด ในกรณีนี้ เรากำลังเผชิญกับความคล้ายคลึงในตนเองอย่างสมบูรณ์
ฉันจะจองทันทีว่าภาพวาดเศษส่วนส่วนใหญ่ในบทความนี้ได้มาจากโปรแกรม Fractint หากคุณสนใจเรื่องเศษส่วน นี่คือโปรแกรม จำเป็นต้องมีสำหรับคุณ. ด้วยความช่วยเหลือของมัน คุณสามารถสร้างแฟร็กทัลต่างๆ ได้หลายร้อยแบบ รับข้อมูลที่ครอบคลุมเกี่ยวกับพวกมัน และแม้แต่ฟังเสียงของแฟร็กทัล;)
จะบอกว่าโปรแกรมดีคือไม่ต้องพูดอะไร ดีมากยกเว้นสิ่งหนึ่ง - เวอร์ชันล่าสุด 20.0 ใช้ได้เฉพาะกับ DOS :( คุณสามารถค้นหาโปรแกรมนี้ (เวอร์ชันล่าสุด 20.0) ได้ที่ http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html
ทิ้งข้อความไว้
ความคิดเห็น (1)
สำหรับของว่างเป็นตัวอย่างที่น่าสนใจ Microsoft Excelเซลล์ A2 และ B2 มีค่าเท่ากันระหว่าง 0 ถึง 1 ที่ค่า 0.5 จะไม่มีผลใดๆ
สวัสดีทุกคนที่พยายามสร้าง prog ในภาพ Fratal ใครสามารถบอกฉันได้ว่าวิธีการวนรอบใดดีกว่าสำหรับฉันที่จะใช้ในการสร้างการหักล้างของเศษส่วนเฟิร์นด้วยซับสเตรต 3 มิติสูงสุดด้วยการวนซ้ำ dt 100,000 บนหินที่มี 2800 mH
มีซอร์สโค้ดพร้อมโปรแกรมสำหรับวาดเส้นโค้งมังกรและแฟร็กทัลด้วย
บทความที่ยอดเยี่ยม และ ex-fur-tree อาจเป็นข้อผิดพลาดของตัวประมวลผลร่วม (ที่บิตลำดับต่ำสุดท้าย)
เศษส่วนถูกค้นพบได้อย่างไร
รูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าเศษส่วนนั้นเป็นอัจฉริยะของ Benoit Mandelbrot นักวิทยาศาสตร์ผู้มีชื่อเสียง เขาสอนคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเยลในสหรัฐอเมริกามาเกือบทั้งชีวิต ในปี พ.ศ. 2520-2525 แมนเดลบรอตได้ตีพิมพ์ผลงานทางวิทยาศาสตร์ที่อุทิศให้กับการศึกษา "เรขาคณิตเศษส่วน" หรือ "เรขาคณิตของธรรมชาติ" ซึ่งเขาแบ่งรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ดูเหมือนสุ่มออกเป็นองค์ประกอบต่างๆ ซึ่งเมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิดแล้ว จะเกิดความซ้ำซ้อน ซึ่งพิสูจน์ให้เห็นถึงการมีอยู่ของ รูปแบบบางอย่างสำหรับการคัดลอก ... การค้นพบของ Mandelbrot มีผลอย่างมากต่อการพัฒนาฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ และชีววิทยา
เศษส่วนในธรรมชาติ
ในธรรมชาติ วัตถุจำนวนมากมีคุณสมบัติเป็นเศษส่วน เช่น มงกุฎต้นไม้ กะหล่ำดอก เมฆ ระบบไหลเวียนโลหิตและถุงลมของมนุษย์และสัตว์ ผลึก เกล็ดหิมะ องค์ประกอบที่จัดเรียงอยู่ในโครงสร้างที่ซับซ้อนเดียวกัน ชายฝั่ง (แนวคิดเศษส่วนอนุญาตให้นักวิทยาศาสตร์ เพื่อวัดแนวชายฝั่งของเกาะอังกฤษและวัตถุอื่น ๆ ที่นับไม่ถ้วนก่อนหน้านี้)
พิจารณาโครงสร้างของกะหล่ำดอก. หากคุณตัดดอกหนึ่งดอก จะเห็นได้ชัดว่าดอกกะหล่ำดอกเดียวกันนั้นยังคงอยู่ในมือคุณ โดยมีขนาดเล็กกว่าเท่านั้น คุณสามารถตัดต่อไปได้แม้ภายใต้กล้องจุลทรรศน์ - อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดที่เราได้รับคือสำเนาเล็กๆ ของดอกกะหล่ำ ในกรณีที่ง่ายที่สุดนี้ แม้แต่ส่วนเล็ก ๆ ของเศษส่วนก็มีข้อมูลเกี่ยวกับโครงสร้างสุดท้ายทั้งหมด
เศษส่วนในเทคโนโลยีดิจิทัล
เรขาคณิตเศษส่วนมีส่วนสนับสนุนอันล้ำค่าในการพัฒนาเทคโนโลยีใหม่ในด้านดนตรีดิจิทัล ตลอดจนทำให้สามารถบีบอัดภาพดิจิทัลได้ อัลกอริธึมการบีบอัดภาพเศษส่วนที่มีอยู่นั้นใช้หลักการของการจัดเก็บภาพที่บีบอัดแทนภาพดิจิทัลเอง สำหรับภาพที่บีบอัด รูปภาพหลักยังคงเป็นจุดคงที่ Microsoft ใช้หนึ่งในตัวแปรของอัลกอริทึมนี้เมื่อเผยแพร่สารานุกรม แต่ด้วยเหตุผลใดก็ตาม แนวคิดนี้จึงไม่ได้รับการเผยแพร่อย่างกว้างขวาง
พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของกราฟิกเศษส่วนคือเรขาคณิตเศษส่วน ซึ่งหลักการของการสืบทอดจาก "วัตถุหลัก" ดั้งเดิมนั้นวางอยู่บนพื้นฐานของวิธีการสร้าง "ทายาทภาพ" แนวความคิดของเรขาคณิตเศษส่วนและกราฟิกเศษส่วนปรากฏขึ้นเมื่อประมาณ 30 ปีที่แล้ว แต่นักออกแบบคอมพิวเตอร์และนักคณิตศาสตร์ได้รับการยอมรับอย่างมั่นคงแล้ว
แนวคิดพื้นฐานของคอมพิวเตอร์กราฟิกเศษส่วนคือ:
- สามเหลี่ยมเศษส่วน - รูปเศษส่วน - วัตถุเศษส่วน (ลำดับชั้นในลำดับจากมากไปน้อย)
- เส้นเศษส่วน
- องค์ประกอบเศษส่วน
- "วัตถุหลัก" และ "วัตถุสืบทอด"
เช่นเดียวกับในกราฟิกแบบเวกเตอร์และ 3 มิติ การสร้างภาพเศษส่วนจะถูกคำนวณทางคณิตศาสตร์ ความแตกต่างที่สำคัญจากกราฟิกสองประเภทแรกคือภาพเศษส่วนถูกสร้างขึ้นตามสมการหรือระบบสมการ - ไม่มีอะไรนอกจากต้องมีการจัดเก็บสูตรในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์เพื่อทำการคำนวณทั้งหมด - และความกะทัดรัดเช่นนี้ ของอุปกรณ์ทางคณิตศาสตร์ทำให้สามารถนำแนวคิดนี้ไปใช้ในคอมพิวเตอร์กราฟิกได้ เพียงแค่เปลี่ยนค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ คุณจะได้ภาพเศษส่วนที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง โดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์ทางคณิตศาสตร์ พื้นผิว และเส้นของรูปทรงที่ซับซ้อนมากหลายชุด ซึ่งช่วยให้คุณสามารถใช้เทคนิคการจัดองค์ประกอบ เช่น แนวนอนและแนวตั้ง สมมาตร และไม่สมมาตร , แนวทแยงและอื่น ๆ อีกมากมาย
จะสร้างแฟร็กทัลได้อย่างไร?
ผู้สร้างเศษส่วนมีบทบาทเป็นศิลปิน ช่างภาพ ประติมากร และนักวิทยาศาสตร์-นักประดิษฐ์ในเวลาเดียวกัน ขั้นตอนของการสร้างภาพ "ตั้งแต่เริ่มต้น" คืออะไร?
- กำหนดรูปร่างของรูปภาพด้วยสูตรทางคณิตศาสตร์
- ตรวจสอบการบรรจบกันของกระบวนการและแปรผันพารามิเตอร์
- เลือกประเภทของภาพ
- เลือกจานสี
ในบรรดาบรรณาธิการกราฟิกเศษส่วนและอื่น ๆ โปรแกรมกราฟิกสามารถแยกแยะได้:
- “นักดาบศิลปะ”
- "จิตรกร" (หากไม่มีคอมพิวเตอร์ ไม่มีศิลปินคนใดจะเข้าถึงความเป็นไปได้ที่โปรแกรมเมอร์วางไว้ด้วยความช่วยเหลือของดินสอและปากกาพู่กันเท่านั้น)
- "Adobe Photoshop" (แต่ที่นี่ไม่ได้สร้างภาพ "ตั้งแต่เริ่มต้น" แต่ตามกฎแล้วจะประมวลผลเท่านั้น)
พิจารณาอุปกรณ์ของรูปทรงเรขาคณิตเศษส่วนโดยพลการ ตรงกลางเป็นองค์ประกอบที่ง่ายที่สุด - สามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งได้รับชื่อเดียวกัน: "เศษส่วน" ที่ส่วนตรงกลางของด้านข้าง ให้สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านเท่ากับหนึ่งในสามของด้านของสามเหลี่ยมเศษส่วนเดิม แม้แต่ทายาทรูปสามเหลี่ยมที่เล็กกว่าของรุ่นที่สองก็สร้างขึ้นบนหลักการเดียวกัน - และอื่น ๆ อีกไม่สิ้นสุด วัตถุที่ได้จะเรียกว่า "เศษส่วน" จากลำดับที่เราได้รับ "องค์ประกอบเศษส่วน"
ที่มา: http://www.iknowit.ru/
แฟร็กทัลและแมนดาลาโบราณ
โดยหลักการแล้ว จักรวาลเป็นสัญลักษณ์ทางเรขาคณิตของโครงสร้างที่ซับซ้อน ซึ่งตีความว่าเป็นแบบจำลองของจักรวาล ซึ่งเป็น "แผนที่ของจักรวาล" นี่เป็นสัญญาณแรกของการแตกหัก!
พวกเขาปักบนผ้า, ทาสีบนทราย, ทำด้วยผงสีและทำจากโลหะ, หิน, ไม้ รูปลักษณ์ที่สดใสและชวนให้หลงใหลทำให้เป็นเครื่องประดับที่สวยงามสำหรับพื้น ผนัง และเพดานของวัดในอินเดีย ในภาษาอินเดียโบราณ "มันดาลา" หมายถึงวงกลมลึกลับของการเชื่อมต่อระหว่างพลังงานทางจิตวิญญาณและวัตถุของจักรวาลหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือดอกไม้แห่งชีวิต
ฉันต้องการเขียนรีวิวเกี่ยวกับ fractal mandalas ที่มีขนาดเล็กมาก โดยมีย่อหน้าน้อยที่สุด ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีความสัมพันธ์กันอย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม ในการพยายามค้นหาความตระหนักและเชื่อมโยงข้อมูลเกี่ยวกับแฟร็กทัลและแมนดาลาเป็นภาพรวม ฉันมีความรู้สึกว่าควอนตัมกระโดดไปในพื้นที่ที่ฉันไม่รู้จัก
ฉันแสดงให้เห็นถึงความยิ่งใหญ่ของหัวข้อนี้ด้วยคำพูด: "องค์ประกอบเศษส่วนหรือแมนดาลาดังกล่าวสามารถใช้ได้ทั้งในรูปแบบของภาพวาด, องค์ประกอบการออกแบบสำหรับที่อยู่อาศัยและที่ทำงาน, พระเครื่องที่สวมใส่ได้, ในรูปแบบของเทปวิดีโอ, โปรแกรมคอมพิวเตอร์ ... โดยทั่วไป หัวข้อสำหรับการศึกษาแฟร็กทัลนั้นยิ่งใหญ่มาก
สิ่งหนึ่งที่ฉันสามารถพูดได้อย่างแน่นอน โลกนี้มีความหลากหลายและสมบูรณ์มากกว่าความคิดที่ไม่ดีในความคิดของเรา
สัตว์ทะเลเศษส่วน
การเดาของฉันเกี่ยวกับสัตว์ทะเลเศษส่วนนั้นไม่มีมูล นี่คือตัวแทนกลุ่มแรก ปลาหมึกยักษ์เป็นสัตว์หน้าดินทางทะเลจากลำดับของเซฟาโลพอด
เมื่อดูรูปนี้ โครงสร้างเศษส่วนของร่างกายของเขาและตัวดูดบนหนวดทั้งแปดของสัตว์ตัวนี้ก็ชัดเจนสำหรับฉัน ถ้วยดูดบนหนวดของปลาหมึกโตเต็มวัยถึง 2,000
ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจคือปลาหมึกยักษ์มีหัวใจสามดวง: หนึ่ง (หลัก) ขับเลือดสีน้ำเงินไปทั่วร่างกาย และอีกสอง - เหงือก - ดันเลือดผ่านเหงือก เศษส่วนในทะเลลึกบางส่วนมีพิษ
โดยการปรับตัวและปลอมตัวให้เข้ากับสภาพแวดล้อม ปลาหมึกยักษ์มีความสามารถที่มีประโยชน์มากในการเปลี่ยนสี
ปลาหมึกถือเป็นสัตว์ไม่มีกระดูกสันหลังที่ฉลาดที่สุด พวกเขารู้จักผู้คน คุ้นเคยกับผู้ที่ให้อาหารพวกเขา คงจะน่าสนใจถ้าได้ดูหมึกที่ฝึกง่าย มีความจำดี และแม้กระทั่งแยกแยะรูปทรงเรขาคณิต แต่อายุของสัตว์เศษส่วนเหล่านี้มีอายุสั้น - สูงสุด 4 ปี
มนุษย์ใช้หมึกของเศษส่วนที่มีชีวิตนี้และปลาหมึกอื่นๆ เป็นที่ต้องการของศิลปินในด้านความทนทานและโทนสีน้ำตาลที่สวยงาม ในอาหารเมดิเตอร์เรเนียน ปลาหมึกยักษ์เป็นแหล่งของวิตามิน B3, B12, โพแทสเซียม, ฟอสฟอรัสและซีลีเนียม แต่ฉันคิดว่าคุณต้องสามารถปรุงอาหารเศษส่วนในทะเลเหล่านี้ได้เพื่อที่จะได้เพลิดเพลินกับการกิน
อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าหมึกเป็นสัตว์กินเนื้อ ด้วยหนวดเศษส่วน พวกมันจับเหยื่อในรูปของหอย กุ้ง และปลา น่าเสียดายถ้าหอยที่สวยงามเช่นนี้กลายเป็นอาหารของเศษส่วนทะเลเหล่านี้ ในความคิดของฉัน ยังเป็นตัวแทนของแฟร็กทัลของอาณาจักรทะเลด้วย
นี่คือญาติของหอยทาก, หอยทากหอยทาก nudibranch mollusk Glaucus, aka Glaucus, aka Glaucus atlanticus, aka Glaucilla marginata เศษส่วนนี้ยังผิดปกติตรงที่มันอาศัยอยู่และเคลื่อนที่ใต้ผิวน้ำ ซึ่งถูกยึดไว้โดยแรงตึงผิว เพราะ หอยเป็นกระเทยจากนั้นหลังจากผสมพันธุ์ "คู่" ทั้งคู่ก็วางไข่ เศษส่วนนี้พบได้ในทุกมหาสมุทรในเขตร้อน
แฟร็กทัลแห่งอาณาจักรทะเล
เราแต่ละคนอย่างน้อยหนึ่งครั้งในชีวิตของเขาจับมือกันและตรวจดูเปลือกหอยที่มีความสนใจแบบเด็กๆ
โดยปกติเปลือกหอยจะเป็นของที่ระลึกที่สวยงามชวนให้นึกถึงการเดินทางไปทะเล เมื่อคุณดูการก่อตัวเป็นวงก้นหอยของหอยที่ไม่มีกระดูกสันหลัง ไม่ต้องสงสัยเลยเกี่ยวกับลักษณะเศษส่วนของมัน
มนุษย์เราค่อนข้างจะชวนให้นึกถึงหอยตัวอ่อนเหล่านี้ อาศัยอยู่ในบ้านเศษคอนกรีตที่สะดวกสบาย วางและเคลื่อนย้ายร่างกายของเราในรถเร็ว
ตัวแทนทั่วไปของโลกใต้น้ำเศษส่วนก็คือปะการัง
ปะการังมากกว่า 3,500 สายพันธุ์เป็นที่รู้จักตามธรรมชาติในจานสีซึ่งมีเฉดสีมากถึง 350 เฉด
ปะการังเป็นวัสดุโครงกระดูกของกลุ่มโพลิปปะการัง รวมทั้งจากตระกูลสัตว์ไม่มีกระดูกสันหลังด้วย การสะสมขนาดใหญ่ของพวกมันก่อตัวเป็นแนวปะการังทั้งหมด ซึ่งเป็นวิธีการก่อตัวของเศษส่วนที่ชัดเจน
ปะการังสามารถเรียกได้ว่าเป็นเศษส่วนจากอาณาจักรแห่งท้องทะเล
มนุษย์ยังใช้เป็นของที่ระลึกหรือวัตถุดิบสำหรับเครื่องประดับและเครื่องประดับ แต่มันยากมากที่จะทำซ้ำความงามและความสมบูรณ์แบบของธรรมชาติเศษส่วน
อีกครั้งหนึ่งในการทำพิธีกรรมในครัวด้วยมีดและเขียง จากนั้นหย่อนมีดลงในน้ำเย็น ฉันก็น้ำตาคลออีกครั้งและคิดว่าจะจัดการกับเศษเสี้ยวน้ำตาที่ปรากฎในดวงตาแทบทุกวันได้อย่างไร
หลักการของเศษส่วนนั้นเหมือนกับการทำรังของ matryoshka ที่มีชื่อเสียง นั่นคือเหตุผลที่ไม่สังเกตเห็นความแตกแยกในทันที นอกจากนี้แสงสีสม่ำเสมอและความสามารถตามธรรมชาติที่จะทำให้เกิด ไม่สบายไม่มีส่วนร่วมในการสังเกตจักรวาลอย่างใกล้ชิดและการระบุกฎทางคณิตศาสตร์เศษส่วน
แต่หัวหอมผักกาดหอมสีม่วงเนื่องจากสีของมันและไม่มีไฟโตไซด์ฉีกขาดทำให้เกิดการสะท้อนถึงความแตกแยกตามธรรมชาติของผักชนิดนี้ แน่นอนว่ามันเป็นเศษส่วนธรรมดา วงกลมธรรมดาที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางต่างกัน บางคนอาจจะบอกว่าเศษส่วนดึกดำบรรพ์ที่สุด แต่จะไม่เจ็บที่จะจำไว้ว่าลูกบอลถือเป็นรูปทรงเรขาคณิตในอุดมคติในจักรวาลของเรา
บทความจำนวนมากได้รับการตีพิมพ์บนอินเทอร์เน็ตเกี่ยวกับคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์ของหัวหอม แต่อย่างใดไม่มีใครพยายามศึกษาตัวอย่างธรรมชาตินี้จากมุมมองของเศษส่วน ฉันสามารถระบุถึงประโยชน์ของการใช้เศษส่วนในรูปแบบของหัวหอมในครัวของฉันเท่านั้น
ป.ล. และฉันได้ซื้อเครื่องตัดผักสำหรับบดเศษส่วนแล้ว ตอนนี้คุณต้องคิดว่าเศษส่วนผักที่ดีต่อสุขภาพเช่นกะหล่ำปลีขาวธรรมดาเป็นอย่างไร หลักการรังเดียวกัน.
เศษส่วนในศิลปะพื้นบ้าน
ความสนใจของฉันถูกดึงดูดโดยประวัติศาสตร์ของของเล่นชื่อดังระดับโลก "Matryoshka" เมื่อมองใกล้ ๆ เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าของเล่นของที่ระลึกชิ้นนี้เป็นเศษส่วนทั่วไป
หลักการของเศษส่วนนั้นชัดเจนเมื่อร่างของเล่นไม้เรียงต่อกันและไม่ซ้อนกัน
การศึกษาเล็ก ๆ ของฉันเกี่ยวกับประวัติความเป็นมาของของเล่นเศษส่วนในตลาดโลกแสดงให้เห็นว่าความงามนี้มีรากฐานมาจากญี่ปุ่น Matryoshka ถือเป็นของที่ระลึกของรัสเซียในขั้นต้นมาโดยตลอด แต่กลับกลายเป็นว่าเธอเป็นต้นแบบของหุ่นจำลองญี่ปุ่นของนักปราชญ์ Fukurum ซึ่งครั้งหนึ่งเคยนำเข้าจากญี่ปุ่นมาที่มอสโคว์
แต่เป็นงานฝีมือของเล่นของรัสเซียที่สร้างชื่อเสียงไปทั่วโลกให้กับตุ๊กตาญี่ปุ่นชิ้นนี้ ที่ซึ่งความคิดของการทำรังเศษส่วนของของเล่นมาสำหรับฉันเป็นการส่วนตัวยังคงเป็นปริศนา เป็นไปได้มากว่าผู้เขียนของเล่นชิ้นนี้ใช้หลักการซ้อนตัวเลขเข้าด้วยกัน และวิธีที่ง่ายที่สุดในการแนบคือตัวเลขที่คล้ายกันซึ่งมีขนาดต่างกันและนี่เป็นเศษส่วนอยู่แล้ว
งานวิจัยที่น่าสนใจไม่แพ้กันก็คือการวาดภาพของเล่นเศษส่วน เป็นภาพวาดตกแต่ง-โคกโลมา องค์ประกอบดั้งเดิมของโคกกลอยคือลวดลายสมุนไพรของดอกไม้ ผลเบอร์รี่และกิ่งก้าน
อีกครั้ง ทุกสัญญาณของการแตกหัก ท้ายที่สุดองค์ประกอบเดียวกันสามารถทำซ้ำได้หลายครั้งในรุ่นและสัดส่วนที่ต่างกัน ผลที่ได้คือภาพวาดเศษส่วนพื้นบ้าน
และถ้าคุณไม่เซอร์ไพรส์ใครด้วยภาพวาดใหม่ของเมาส์คอมพิวเตอร์ ฝาครอบแล็ปท็อป และโทรศัพท์ การปรับแต่งรถแบบเศษส่วนในสไตล์พื้นบ้านก็เป็นสิ่งใหม่ในการออกแบบรถยนต์ ยังคงเป็นเพียงความประหลาดใจในการปรากฎตัวของโลกแห่งเศษส่วนในชีวิตของเราในลักษณะที่ผิดปกติเช่นนี้ในสิ่งธรรมดาสำหรับเรา
เศษส่วนในครัว
เศษส่วนของพืชทั่วไปอยู่บนโต๊ะในครัวของฉัน
ด้วยความรักที่มีในดอกกะหล่ำ ฉันมักจะพบตัวอย่างที่มีพื้นผิวสม่ำเสมอโดยไม่มีร่องรอยของการแตกร้าวที่มองเห็นได้ และแม้แต่ช่อดอกจำนวนมากที่ซ้อนกันอยู่ภายในกันและกันก็ไม่ได้ให้เหตุผลที่ฉันมองเห็นเศษส่วนในผักที่มีประโยชน์นี้
แต่พื้นผิวของชิ้นงานตัวอย่างที่มีรูปทรงเศษส่วนเด่นชัดนี้ไม่ได้ทำให้เกิดความสงสัยแม้แต่น้อยเกี่ยวกับที่มาของเศษส่วนของกะหล่ำปลีประเภทนี้
การเดินทางไปยังไฮเปอร์มาร์เก็ตอีกครั้งยืนยันสถานะเศษส่วนของกะหล่ำปลีเท่านั้น ในบรรดาผักที่แปลกใหม่จำนวนมากคือแฟร็กทัลทั้งกล่อง มันคือ โรมาเนสคู หรือ บร็อคโคลี่แบบโรมาเนสก์ กะหล่ำดอก
ปรากฎว่านักออกแบบและศิลปิน 3D ชื่นชมรูปร่างที่แปลกใหม่และเหมือนเศษส่วน
ตากะหล่ำปลีเติบโตเป็นเกลียวลอการิทึม การกล่าวถึงกะหล่ำปลี Romanescu ครั้งแรกนั้นมาจากอิตาลีในศตวรรษที่ 16
กะหล่ำปลีบรอกโคลีไม่ได้เป็นแขกประจำในอาหารของฉันแม้ว่าในแง่ของเนื้อหาของสารอาหารและธาตุอาหารก็จะเกินกะหล่ำดอกในบางครั้ง แต่พื้นผิวและรูปร่างของมันมีความสม่ำเสมอมากจนฉันไม่เคยเห็นเศษผักอยู่ในนั้น
เศษส่วนในม้วนกระดาษ
เมื่อเห็นงานฝีมือฉลุโดยใช้เทคนิคการม้วนกระดาษ ฉันไม่เคยทิ้งความรู้สึกที่พวกเขาทำให้ฉันนึกถึงบางสิ่งบางอย่าง การทำซ้ำองค์ประกอบเดียวกันในขนาดต่างๆ - แน่นอนว่านี่คือหลักการของเศษส่วน
หลังจากดูมาสเตอร์คลาสต่อไปเกี่ยวกับควิลลิ่งแล้ว ก็ไม่มีข้อสงสัยแม้แต่น้อยเกี่ยวกับความแตกแยกของควิลลิ่ง อันที่จริงสำหรับการผลิตองค์ประกอบต่าง ๆ สำหรับงานฝีมือม้วนกระดาษใช้ไม้บรรทัดพิเศษที่มีวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางต่างกัน เพื่อความสวยงามและเป็นเอกลักษณ์ของผลิตภัณฑ์ นี่เป็นเทคนิคง่ายๆ อย่างไม่น่าเชื่อ
องค์ประกอบพื้นฐานเกือบทั้งหมดสำหรับงานฝีมือม้วนกระดาษทำจากกระดาษ หากต้องการตุนกระดาษม้วนฟรี ให้ตรวจสอบชั้นหนังสือที่บ้าน แน่นอน คุณจะพบนิตยสารมันวาวสว่างสองสามเล่มที่นั่น
เครื่องมือม้วนผมทำได้ง่ายและราคาไม่แพง คุณสามารถหาทุกสิ่งที่คุณต้องการสำหรับงานควิลลิ่งมือสมัครเล่นได้จากอุปกรณ์สำนักงานที่บ้านของคุณ
และประวัติศาสตร์ของการม้วนกระดาษเริ่มต้นขึ้นในศตวรรษที่ 18 ในยุโรป ระหว่างยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา พระสงฆ์จากอารามฝรั่งเศสและอิตาลีใช้ควิลลิ่งเพื่อตกแต่งปกหนังสือ และไม่ได้สงสัยด้วยซ้ำว่าเทคนิคการรีดกระดาษที่พวกเขาคิดค้นขึ้นนั้นเป็นเศษส่วน เด็กผู้หญิงจากสังคมชั้นสูงยังเรียนหลักสูตรม้วนกระดาษในโรงเรียนพิเศษอีกด้วย นี่คือวิธีที่เทคนิคนี้เริ่มแพร่หลายไปทั่วประเทศและทวีปต่างๆ
การทำขนนกที่หรูหราสามารถเรียกได้ว่าเป็น "เศษส่วนที่ทำด้วยตัวเอง" ด้วยความช่วยเหลือของเศษกระดาษการ์ดวาเลนไทน์พิเศษที่ยอดเยี่ยมและสิ่งที่น่าสนใจอื่น ๆ อีกมากมายจะได้รับ ท้ายที่สุดแล้ว จินตนาการก็เหมือนธรรมชาตินั้นไม่มีที่สิ้นสุด
ไม่ใช่ความลับสำหรับทุกคนที่ชาวญี่ปุ่นมีเนื้อที่ในชีวิตจำกัด ดังนั้นพวกเขาจึงต้องพยายามอย่างเต็มที่เพื่อใช้มันอย่างมีประสิทธิภาพ ทาเคชิ มิยากาวะแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้สามารถทำได้ทั้งอย่างมีประสิทธิภาพและสวยงามได้อย่างไร ตู้เสื้อผ้าเศษส่วนของเขายืนยันว่าการใช้แฟร็กทัลในการออกแบบไม่ได้เป็นเพียงการยกย่องแฟชั่นเท่านั้น แต่ยังเป็นโซลูชันการออกแบบที่กลมกลืนกันในพื้นที่จำกัด
ตัวอย่างการใช้แฟร็กทัลในชีวิตจริงซึ่งนำไปใช้กับการออกแบบเฟอร์นิเจอร์ แสดงให้ฉันเห็นว่าเศษส่วนนั้นเป็นของจริงไม่เพียงแค่บนกระดาษในสูตรทางคณิตศาสตร์และโปรแกรมคอมพิวเตอร์เท่านั้น
และดูเหมือนว่าธรรมชาติจะใช้หลักการของเศษส่วนทุกที่ คุณเพียงแค่ต้องมองเข้าไปใกล้ ๆ และมันจะแสดงออกมาในความอุดมสมบูรณ์และความไม่มีที่สิ้นสุดของการเป็น
เศษส่วนเป็นเซตทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยวัตถุที่คล้ายกับชุดนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเราดูชิ้นส่วนเล็กๆ ของเศษส่วนภายใต้การขยาย มันจะดูเหมือนส่วนที่มีขนาดใหญ่กว่าของรูปนี้ หรือแม้แต่ตัวเลขโดยรวม สำหรับเศษส่วน ยิ่งไปกว่านั้น การเพิ่มขนาดไม่ได้หมายความว่าจะทำให้โครงสร้างง่ายขึ้น ดังนั้นในทุกระดับ เราจะเห็นภาพที่ซับซ้อนเท่ากัน
คุณสมบัติเศษส่วน
ตามคำจำกัดความข้างต้น เศษส่วนมักจะแสดงเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้อย่างน้อยหนึ่งอย่าง:
มีโครงสร้างที่ซับซ้อนในทุกระดับ
มีความคล้ายคลึงกันโดยประมาณ (ส่วนต่าง ๆ คล้ายกับทั้งหมด);
มีมิติเศษส่วนที่มีโทโพโลยีมากกว่า
สามารถสร้างได้โดยใช้วิธีการเรียกซ้ำ
เศษส่วนในโลกภายนอก
แม้ว่าแนวความคิดของ "แฟร็กทัล" จะดูเป็นนามธรรมอย่างยิ่ง แต่ในชีวิต คุณสามารถพบตัวอย่างในชีวิตจริงและแม้แต่ตัวอย่างที่ใช้งานได้จริงของปรากฏการณ์นี้มากมาย ยิ่งกว่านั้นต้องพิจารณาจากโลกโดยรอบอย่างแน่นอนเพราะจะทำให้เข้าใจเศษส่วนและคุณสมบัติของมันดีขึ้น
ตัวอย่างเช่น เสาอากาศสำหรับอุปกรณ์ต่างๆ ซึ่งออกแบบโดยวิธีแฟร็กทัล มีประสิทธิภาพมากกว่าเสาอากาศแบบเดิมถึง 20% นอกจากนี้ เสาอากาศแฟร็กทัลยังทำงานได้อย่างยอดเยี่ยมพร้อมๆ กันในความถี่ที่หลากหลาย นั่นคือเหตุผลที่โทรศัพท์มือถือสมัยใหม่ไม่มีเสาอากาศภายนอกของอุปกรณ์คลาสสิกในการออกแบบ - หลังถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนภายในซึ่งติดตั้งโดยตรงบนแผงวงจรพิมพ์ของโทรศัพท์
แฟร็กทัลได้รับความสนใจอย่างมากจากการพัฒนา เทคโนโลยีสารสนเทศ... ในปัจจุบัน อัลกอริธึมได้รับการพัฒนาสำหรับการบีบอัดภาพต่างๆ โดยใช้เศษส่วน มีวิธีการสร้างวัตถุกราฟิกคอมพิวเตอร์ (ต้นไม้ ภูเขา และพื้นผิวทะเล) ในรูปแบบเศษส่วน เช่นเดียวกับระบบเศษส่วนสำหรับการกำหนดที่อยู่ IP ในบางเครือข่าย
ในทางเศรษฐศาสตร์ มีวิธีการใช้เศษส่วนในการวิเคราะห์ราคาหุ้นและสกุลเงิน บางทีนักอ่านที่ซื้อขายในตลาด Forex อาจได้เห็นการวิเคราะห์เศษส่วนในเทอร์มินัลการซื้อขาย หรือแม้แต่นำไปใช้จริงในทางปฏิบัติ
นอกจากนี้ นอกเหนือไปจากวัตถุที่มนุษย์สร้างขึ้นด้วยคุณสมบัติของเศษส่วนแล้ว ในธรรมชาติแล้ว ยังมีวัตถุดังกล่าวอีกมากมาย ตัวอย่างที่ดีของเศษส่วน ได้แก่ ปะการัง เปลือกหอย ดอกไม้และพืชบางชนิด (บรอกโคลี กะหล่ำดอก) ระบบไหลเวียนโลหิตและหลอดลมของมนุษย์และสัตว์ ลวดลายบนแก้ว ผลึกธรรมชาติ วัตถุเหล่านี้และวัตถุอื่นๆ อีกมากมีรูปร่างแฟร็กทัลเด่นชัด
เมื่อฉันไม่เข้าใจทุกสิ่งในสิ่งที่ฉันอ่าน ฉันไม่อารมณ์เสียเป็นพิเศษ หากฉันไม่พบหัวข้อนี้ในภายหลัง แสดงว่าไม่มีความสำคัญเป็นพิเศษ (อย่างน้อยสำหรับฉัน) ถ้าหัวข้อขึ้นอีกเป็นครั้งที่สามผมจะมีโอกาสใหม่ให้เข้าใจมากขึ้นครับ Fractals อยู่ในรูปแบบดังกล่าว ครั้งแรกที่ฉันเรียนรู้เกี่ยวกับพวกเขาจากหนังสือของ Nassim Taleb และจากนั้นในรายละเอียดเพิ่มเติมจากหนังสือของ Benoit Mandelbrot วันนี้ตามคำขอ "เศษส่วน" คุณสามารถรับ 20 บันทึกบนเว็บไซต์
ส่วนที่ 1 การเดินทางสู่แหล่งข้อมูล
TO NAME หมายถึงการค้นหาในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 Henri Poincaré กล่าวว่า "คุณรู้สึกประหลาดใจกับพลังที่คำเดียวสามารถมีได้ นี่คือสิ่งที่พูดไม่ได้จนกว่าจะรับบัพติศมา มันก็เพียงพอแล้วที่จะตั้งชื่อให้เขาเกิดปาฏิหาริย์” (ดูเพิ่มเติม) และมันก็เกิดขึ้นเมื่อในปี 1975 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่มีเชื้อสายโปแลนด์ เบอนัวต์ มานเดลบรอต ได้รวบรวมพระคำไว้ด้วยกัน จากคำภาษาละติน ฝรั่งเศส(แตก) และ แฟรคตัส(ไม่ต่อเนื่องไม่ต่อเนื่องเศษส่วน) เศษส่วนที่เกิดขึ้น Mandelbrot ส่งเสริมและเผยแพร่เศษส่วนอย่างมีศิลปะในฐานะแบรนด์โดยเน้นที่ความดึงดูดใจทางอารมณ์และประโยชน์ใช้สอยที่มีเหตุผล เขาตีพิมพ์เอกสารหลายฉบับ รวมทั้ง Fractal Geometry of Nature (1982)
เศษส่วนในธรรมชาติและศิลปะ Mandelbrot ร่างโครงร่างของเรขาคณิตเศษส่วนที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ความแตกต่างนี้ใช้ไม่ได้กับสัจพจน์ของการขนานกัน เช่นเดียวกับในเรขาคณิตของ Lobachevsky หรือ Riemann ความแตกต่างอยู่ที่การละทิ้งข้อกำหนดความราบรื่นเริ่มต้นของ Euclid วัตถุบางอย่างมีอยู่ในความหยาบ ความพรุน หรือการกระจายตัว และวัตถุจำนวนมากมีคุณสมบัติเฉพาะ "ในระดับเดียวกันในทุกระดับ" ไม่มีปัญหาการขาดแคลนรูปแบบดังกล่าวในธรรมชาติ: ดอกทานตะวันและบร็อคโคลี่, เปลือกหอย, เฟิร์น, เกล็ดหิมะ, รอยแยกบนภูเขา, แนวชายฝั่ง, ฟยอร์ด, หินงอกและหินย้อย, ฟ้าผ่า
คนที่ใส่ใจและช่างสังเกตสังเกตมานานแล้วว่าบางรูปแบบมีรูปแบบที่ซ้ำซากจำเจเมื่อถูกมองว่า "ใกล้หรือไกล" เมื่อเข้าใกล้วัตถุดังกล่าว เราสังเกตเห็นว่ามีเพียงรายละเอียดเล็กน้อยเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง แต่รูปร่างโดยรวมยังคงแทบไม่เปลี่ยนแปลง จากสิ่งนี้ แฟร็กทัลจึงง่ายที่สุดในการกำหนดเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีองค์ประกอบที่ซ้ำกันในทุกขนาด
ตำนานและความลึกลับเลเยอร์ใหม่ของรูปแบบที่ Mandelbrot ค้นพบได้กลายเป็นเหมืองทองคำสำหรับนักออกแบบ สถาปนิก และวิศวกร แฟร็กทัลจำนวนนับไม่ถ้วนถูกสร้างขึ้นตามหลักการเดียวกันของการทำซ้ำหลายครั้ง จากที่นี่ เศษส่วนจะกำหนดได้ง่ายที่สุดเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีองค์ประกอบที่ซ้ำกันในทุกขนาด รูปแบบทางเรขาคณิตนี้ไม่เปลี่ยนแปลงในท้องถิ่น (ไม่แปรผัน) มีความคล้ายคลึงกันในสเกลและอินทิกรัลในข้อจำกัด ภาวะเอกฐานที่แท้จริง ความซับซ้อนที่ถูกเปิดเผยเมื่อเข้าใกล้ และในระยะไกลก็เป็นเรื่องเล็กน้อย
บันไดปีศาจสัญญาณไฟฟ้าที่แรงมากใช้ในการส่งข้อมูลระหว่างคอมพิวเตอร์ สัญญาณนี้เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง สัญญาณรบกวนหรือสัญญาณรบกวนเกิดขึ้นโดยไม่ได้ตั้งใจในเครือข่ายไฟฟ้าจากหลายสาเหตุ และทำให้ข้อมูลสูญหายเมื่อข้อมูลถูกถ่ายโอนระหว่างคอมพิวเตอร์ เพื่อขจัดอิทธิพลของสัญญาณรบกวนต่อการส่งข้อมูลในช่วงต้นทศวรรษที่หกสิบของศตวรรษที่ผ่านมา กลุ่มวิศวกรของ IBM ซึ่ง Mandelbrot เข้าร่วมได้รับมอบหมาย
การวิเคราะห์คร่าวๆ แสดงให้เห็นว่ามีช่วงเวลาที่ไม่มีการบันทึกข้อผิดพลาดแม้แต่ครั้งเดียว โดยเน้นที่ช่วงเวลาหนึ่งชั่วโมง วิศวกรสังเกตเห็นว่าช่วงเวลาการส่งสัญญาณที่ไม่มีข้อผิดพลาดระหว่างพวกเขานั้นเกิดขึ้นเป็นระยะๆ โดยที่นี่มีการหยุดชั่วคราวที่สั้นกว่าซึ่งกินเวลาประมาณยี่สิบนาที ดังนั้นการถ่ายโอนข้อมูลที่ปราศจากข้อผิดพลาดจึงมีลักษณะเป็นแพ็กเก็ตข้อมูล ความยาวต่างกันและหยุดเสียงชั่วคราวในระหว่างที่มีการส่งสัญญาณโดยไม่มีข้อผิดพลาด แพ็คเกจของอันดับที่สูงกว่านั้นเหมือนกับแพ็คเกจในตัวของแพ็คเกจที่ต่ำกว่า คำอธิบายดังกล่าวถือว่าการมีอยู่ของสิ่งนั้นเป็นตำแหน่งสัมพัทธ์ของแพ็กเก็ตอันดับต่ำสุดในแพ็กเก็ตอันดับสูงกว่า ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าการกระจายความน่าจะเป็นของตำแหน่งสัมพัทธ์ของแพ็กเก็ตเหล่านี้ไม่ขึ้นกับอันดับ ค่าคงที่นี้บ่งชี้ถึงความคล้ายคลึงในตัวเองของกระบวนการบิดเบือนข้อมูลภายใต้อิทธิพลของสัญญาณรบกวนทางไฟฟ้า ขั้นตอนในการตัดสัญญาณหยุดชั่วคราวโดยปราศจากข้อผิดพลาดในระหว่างการส่งข้อมูลไม่สามารถเกิดขึ้นกับวิศวกรไฟฟ้าได้เนื่องจากสิ่งนี้เป็นสิ่งใหม่สำหรับพวกเขา
แต่ Mandelbrot ผู้ซึ่งศึกษาคณิตศาสตร์ล้วนๆ ตระหนักดีถึงเซต Cantor เป็นอย่างดี ซึ่งอธิบายไว้ในปี 1883 และเป็นตัวแทนของฝุ่นจากจุดที่ได้รับตามอัลกอริทึมที่เข้มงวด สาระสำคัญของอัลกอริทึมสำหรับการสร้าง "Cantor's dust" มีดังนี้ ใช้ส่วนของเส้นตรง นำส่วนที่สามตรงกลางออกจากส่วนนั้นโดยเก็บปลายทั้งสองไว้ ตอนนี้เราจะทำซ้ำการดำเนินการเดียวกันกับส่วนท้ายเป็นต้น Mandelbrot ค้นพบว่านี่เป็นรูปทรงเรขาคณิตของแพ็กเก็ตและหยุดชั่วคราวในการส่งสัญญาณระหว่างคอมพิวเตอร์ ข้อผิดพลาดกำลังสะสม การสะสมสามารถจำลองได้ดังนี้ ในขั้นตอนแรก เราจะกำหนดค่า 1/2 ให้กับจุดทั้งหมดจากช่วงเวลา ที่ขั้นตอนที่สองจากช่วงเวลาเป็น 1/4 ค่า 3/4 ให้กับจุดจากช่วงเวลา เป็นต้น ผลรวมทีละขั้นตอนของค่าเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถสร้างสิ่งที่เรียกว่า "บันไดปีศาจ" (รูปที่ 1) การวัด "ฝุ่นของต้นเสียง" เป็นจำนวนอตรรกยะเท่ากับ 0.618 ... เรียกว่า "อัตราส่วนทองคำ" หรือ "สัดส่วนของพระเจ้า"
ส่วนที่ 2 แฟร็กทัล เอสเซนส์
ยิ้มไร้แมว: มิติเศษส่วนมิติเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่ไปไกลกว่าคณิตศาสตร์ Euclid ในหนังสือเล่มแรกของ "จุดเริ่มต้น" ได้กำหนดแนวคิดพื้นฐานของจุดเรขาคณิต, เส้น, ระนาบ ตามคำจำกัดความเหล่านี้ แนวความคิดเกี่ยวกับอวกาศแบบยุคลิดสามมิติยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเป็นเวลาเกือบสองและครึ่งพันปี การเกี้ยวพาราสีจำนวนมากที่มีช่องว่างสี่ ห้าหรือมากกว่านั้นไม่ได้เพิ่มอะไรเลยโดยพื้นฐานแล้ว แต่พวกเขาต้องเผชิญกับสิ่งที่จินตนาการของมนุษย์ไม่สามารถจินตนาการได้ ด้วยการค้นพบเรขาคณิตเศษส่วนทำให้เกิดการปฏิวัติครั้งใหญ่ในแนวคิดเรื่องมิติ มีมิติที่หลากหลายปรากฏขึ้นและในหมู่พวกมันไม่เพียง แต่มีมิติทั้งหมด แต่ยังรวมถึงมิติเศษส่วนและแม้แต่มิติที่ไม่ลงตัว และมิติเหล่านี้มีให้สำหรับการนำเสนอด้วยภาพและทางประสาทสัมผัส อันที่จริง เราสามารถจินตนาการถึงชีสที่มีรูเป็นแบบจำลองของสภาพแวดล้อมได้อย่างง่ายดาย ซึ่งมีมิติที่มากกว่าสอง แต่ไม่ถึงสามอันเนื่องจากรูชีส ซึ่งลดขนาดของมวลชีส
เพื่อทำความเข้าใจมิติเศษส่วนหรือเศษส่วน เราหันไปที่ความขัดแย้งของริชาร์ดสัน ซึ่งโต้แย้งว่าแนวชายฝั่งที่ขรุขระของบริเตนมีความยาวไม่สิ้นสุด! หลุยส์ ฟราย ริชาร์ดสันสงสัยเกี่ยวกับผลกระทบของมาตราส่วนที่มีต่อความยาวที่วัดได้ของแนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักร เมื่อผ่านจากมาตราส่วนของแผนที่เส้นขอบไปยังมาตราส่วนของ "ก้อนกรวดชายฝั่ง" เขาได้ข้อสรุปที่แปลกและคาดไม่ถึง: ความยาวของแนวชายฝั่งเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด และการเพิ่มขึ้นนี้ไม่มีขีดจำกัด เส้นโค้งเรียบไม่มีพฤติกรรมเช่นนี้ ข้อมูลเชิงประจักษ์ของริชาร์ดสันซึ่งได้มาจากแผนที่ของมาตราส่วนขนาดใหญ่กว่าที่เคย บ่งชี้ว่ากฎกำลังเพิ่มความยาวของแนวชายฝั่งด้วยขั้นตอนการวัดที่ลดลง:
ในสูตรริชาร์ดสันง่ายๆ นี้ หลี่มีความยาววัดของชายฝั่ง ε คือขนาดของขั้นตอนการวัด และ β ≈ 3/2 คือระดับการเพิ่มขึ้นของความยาวชายฝั่งโดยลดขั้นตอนการวัดที่พบโดยเขา ความยาวของแนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักรเพิ่มขึ้นเกินขีดจำกัด 55 ซึ่งแตกต่างจากเส้นรอบวง มันไม่มีที่สิ้นสุด! เราต้องทำใจกับความจริงที่ว่าส่วนโค้งหักไม่เรียบไม่มีจำกัดความยาว
อย่างไรก็ตาม การศึกษาของ Richardson ชี้ให้เห็นว่าพวกเขามีการวัดลักษณะเฉพาะของระดับความยาวที่เพิ่มขึ้นตามมาตราส่วนที่ลดลง ปรากฎว่ามันเป็นค่าที่ลึกลับระบุเส้นหักเป็นลายนิ้วมือของบุคลิกภาพของบุคคล Mandelbrot ตีความแนวชายฝั่งว่าเป็นวัตถุเศษส่วน - วัตถุที่มีมิติพร้อมกับเลขชี้กำลัง β
ตัวอย่างเช่น ขนาดของเส้นโค้งแนวเขตชายฝั่งสำหรับชายฝั่งตะวันตกของนอร์เวย์คือ 1.52; สำหรับสหราชอาณาจักร - 1.25; สำหรับเยอรมนี - 1.15; สำหรับออสเตรเลีย - 1.13; สำหรับชายฝั่งที่ค่อนข้างราบเรียบของแอฟริกาใต้ - 1.02 และในที่สุดสำหรับวงกลมที่ราบเรียบอย่างสมบูรณ์ - 1.0
เมื่อดูเศษของเศษส่วนแล้ว คุณจะไม่สามารถบอกได้ว่ามีขนาดเท่าใด และเหตุผลไม่ได้อยู่ในความซับซ้อนทางเรขาคณิตของชิ้นส่วน ชิ้นส่วนนั้นง่ายมาก แต่ในความจริงที่ว่ามิติเศษส่วนไม่เพียงสะท้อนถึงรูปร่างของชิ้นส่วนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงรูปแบบการแปลงของชิ้นส่วนในกระบวนการสร้าง เศษส่วน มิติเศษส่วนถูกลบออกจากแบบฟอร์มเหมือนเดิม และด้วยเหตุนี้ ค่าของมิติเศษส่วนจึงยังคงไม่แปรผัน ซึ่งจะเป็นค่าเดียวกันสำหรับเศษส่วนของเศษส่วนในทุกระดับของการสำรวจ ไม่สามารถ "จับด้วยนิ้วของคุณ" แต่สามารถคำนวณได้
เศษส่วนซ้ำทำซ้ำได้โดยใช้สมการไม่เชิงเส้น สมการเชิงเส้นถูกกำหนดโดยความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งของตัวแปร: แต่ละค่า NSตรงกับค่าเดียวเท่านั้น ที่และในทางกลับกัน. ตัวอย่างเช่น สมการ x + y = 1 เป็นเส้นตรง พฤติกรรมของฟังก์ชันเชิงเส้นถูกกำหนดโดยสมบูรณ์ กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้นโดยไม่ซ้ำกัน พฤติกรรมของฟังก์ชันไม่เชิงเส้นไม่ได้ชัดเจนนัก เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่แตกต่างกันสองเงื่อนไขสามารถนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกันได้ บนพื้นฐานนี้ การทำซ้ำของการดำเนินการซ้ำจะปรากฏในสองรูปแบบที่แตกต่างกัน มันสามารถมีลักษณะของการอ้างอิงเชิงเส้น เมื่อในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณ มีการกลับคืนสู่เงื่อนไขเริ่มต้น นี่คือ "การทำซ้ำรูปแบบ" ชนิดหนึ่ง การผลิตแบบต่อเนื่องบนสายพานลำเลียงคือ "การทำซ้ำรูปแบบ" การวนซ้ำในรูปแบบอ้างอิงเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับสถานะขั้นกลางของวิวัฒนาการของระบบ ที่นี่ การทำซ้ำใหม่แต่ละครั้งเริ่มต้นจากเตา ค่อนข้างเป็นอีกเรื่องหนึ่งเมื่อการวนซ้ำมีรูปแบบการเรียกซ้ำ กล่าวคือ ผลลัพธ์ของขั้นตอนการวนซ้ำก่อนหน้าจะกลายเป็นเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับขั้นตอนถัดไป
การเรียกซ้ำสามารถแสดงได้โดยอนุกรมฟีโบนักชี ซึ่งแสดงในรูปแบบของลำดับจิราร์ด:
คุณ n +2 = คุณ n +1 + คุณ n
ผลลัพธ์คือตัวเลขฟีโบนักชี:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…
ในตัวอย่างนี้ เห็นได้ชัดว่ามีการใช้ฟังก์ชันนี้กับตัวเองโดยไม่อ้างอิงถึงค่าเริ่มต้น มันเลื่อนไปตามอนุกรม Fibonacci เหมือนเดิม และผลลัพธ์ของการวนซ้ำก่อนหน้าแต่ละครั้งจะกลายเป็นค่าเริ่มต้นสำหรับครั้งต่อไป มันเป็นการทำซ้ำที่เกิดขึ้นเมื่อสร้างรูปร่างเศษส่วน
ให้เราแสดงวิธีการทำซ้ำเศษส่วนในอัลกอริทึมสำหรับการสร้าง "ผ้าเช็ดปาก Sierpinski" (โดยใช้วิธีการตัดและวิธี CIF)
วิธีการตัดหาสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน NS... ในขั้นแรก เราตัดตรงกลางรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยให้ด้านยาวคว่ำลง NS 1 = NS 0/2. จากขั้นตอนนี้ เราได้สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว NS 1 = NS 0/2 อยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมเดิม (รูปที่ 2)
ในขั้นตอนที่สอง ในแต่ละรูปสามเหลี่ยมทั้งสามรูป เราตัดรูปสามเหลี่ยมที่จารึกกลับด้านที่มีความยาวด้านออก NS 2 = NS 1 /2 = NS 0/4. ผลลัพธ์ - 9 สามเหลี่ยมด้านยาว NS 2 = NS 0/4. เป็นผลให้รูปร่างของผ้าเช็ดปาก Sierpinski ค่อยๆชัดเจนขึ้นเรื่อย ๆ การตรึงเกิดขึ้นในทุกขั้นตอน คำมั่นสัญญาก่อนหน้านี้ทั้งหมด "ถูกลบ" เหมือนเดิม
วิธี SIF หรือวิธี Barnsley Iterated Function Systemsให้: สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีพิกัดของมุม A (0,0), B (1,0), C (1/2, √3 / 2) Z 0 - จุดใดจุดหนึ่งในสามเหลี่ยมนี้ (รูปที่ 3) เราเอาลูกเต๋าที่ขอบซึ่งมีตัวอักษร A, B และ C สองตัว
ขั้นตอนที่ 1. ม้วนกระดูก ความน่าจะเป็นของตัวอักษรแต่ละตัวที่หลุดออกมาคือ 2/6 = 1/3
- หากตัวอักษร A หลุดออกมา เราจะสร้างส่วน z 0 –A ตรงกลางซึ่งเราจะใส่จุด z 1
- หากตัวอักษร B หลุดออกมา ให้สร้างส่วน z 0 –B ตรงกลางซึ่งเราจะใส่จุด z 1
- หากตัวอักษร C หลุดออกมา เราจะสร้างส่วน z 0 –C ตรงกลางซึ่งเราจะใส่จุด z 1
ขั้นตอนที่ 2. ม้วนกระดูกอีกครั้ง
- หากตัวอักษร A หลุดออกมา เราจะสร้างเซ็กเมนต์ z 1 –A ตรงกลางซึ่งเราจะใส่จุด z 2
- หากตัวอักษร B หลุดออกมา ให้สร้างส่วน z 1 –B ตรงกลางซึ่งเราจะใส่จุด z 2
- หากตัวอักษร C หลุดออกมา เราจะสร้างส่วน z 1 -C ซึ่งตรงกลางนั้นเราจะใส่จุด z 2
ทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งเราจะได้คะแนน z 3, z 4,…, z n ลักษณะเฉพาะของแต่ละคนคือจุดนั้นอยู่กึ่งกลางจากจุดก่อนหน้าถึงจุดสุดยอดที่เลือกโดยพลการ ตอนนี้ถ้าเราทิ้งจุดเริ่มต้นเช่นจาก z 0 ถึง z 100 จากนั้นที่เหลือด้วยจำนวนที่มากพอจะสร้างโครงสร้างของ "ผ้าเช็ดปาก Sierpinski" ยิ่งได้คะแนนมาก ยิ่งทำซ้ำมากเท่าใด เศษส่วน Sierpinski ก็ยิ่งชัดเจนสำหรับผู้สังเกต และแม้ว่ากระบวนการจะดำเนินต่อไป แต่ก็ดูเหมือนว่าจะเป็นการสุ่ม (ต้องขอบคุณลูกเต๋า) “ผ้าเช็ดปาก Sierpinski” เป็นตัวดึงดูดกระบวนการ นั่นคือ รูปที่วิถีทั้งหมดสร้างขึ้นในกระบวนการนี้โดยมีแนวโน้มทำซ้ำจำนวนมากพอสมควร ในกรณีนี้ การตรึงรูปภาพเป็นกระบวนการสะสมและสะสม แต่ละจุดอาจไม่ตรงกับจุดของเศษส่วนเซียร์พินสกี้ แต่แต่ละจุดที่ตามมาของกระบวนการนี้จัด "โดยบังเอิญ" จะถูกดึงดูดให้เข้าใกล้จุดของ "ผ้าเช็ดปาก Sierpinski" มากขึ้นเรื่อยๆ
ลูปการตอบรับผู้ก่อตั้งไซเบอร์เนติกส์ Norbert Wiener ใช้คนถือหางเสือเรือเป็นตัวอย่างเพื่ออธิบายลูปป้อนกลับ คนถือหางเสือเรือต้องอยู่บนเส้นทางและประเมินอย่างต่อเนื่องว่าเรืออยู่ในเส้นทางได้ดีเพียงใด ถ้านายหางเสือเรือเห็นว่าเรือกำลังเบี่ยง เขาจะหันหางเสือกลับไปบนเส้นทางที่ตั้งไว้ หลังจากนั้นครู่หนึ่ง เขาประเมินอีกครั้งแล้วครั้งเล่าเพื่อแก้ไขทิศทางการเดินทางโดยใช้หางเสือ ดังนั้น การนำทางจะดำเนินการโดยใช้การวนซ้ำ การวนซ้ำ และวิธีการตามลำดับของการเคลื่อนตัวของเรือไปยังเส้นทางที่กำหนด
วงจรป้อนกลับทั่วไปจะแสดงในรูปที่ 4 เป็นการเปลี่ยนพารามิเตอร์ตัวแปร (ทิศทางของเรือ) และพารามิเตอร์ควบคุม С (ทิศทางของเรือ)
พิจารณาการทำแผนที่ Bernoulli Shift ให้เลือกตัวเลขบางตัวเป็นสถานะเริ่มต้นซึ่งอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 มาเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสองกัน:
x 0 = 0.01011010001010011001010 ...
ขั้นตอนหนึ่งของวิวัฒนาการในเวลานี้คือลำดับของศูนย์และศูนย์ถูกเลื่อนไปทางซ้ายหนึ่งตำแหน่ง และตัวเลขทางด้านซ้ายของจุดทศนิยมจะถูกยกเลิก:
x 1 = 0.1011010001010011001010 ...
x 2 = 0.011010001010011001010 ...
x 3 = 0.11010001010011001010 ...
สังเกตว่าถ้าเป็นตัวเลขเดิม x 0มีเหตุผลแล้วในระหว่างการวนซ้ำค่า NSNSเข้าสู่วงโคจรเป็นระยะ ตัวอย่างเช่น สำหรับเมล็ด 11/24 เราจะได้รับค่าจำนวนหนึ่งในระหว่างการวนซ้ำ:
11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …
ถ้าค่าเดิม x 0ไม่สมเหตุผล การแสดงผลจะไม่เข้าสู่โหมดเป็นระยะ ช่วงของค่าเริ่มต้น x 0 ∈ มีจุดตรรกยะมากมายอนันต์และจุดอตรรกยะมากมายอนันต์ ดังนั้นความหนาแน่นของวงโคจรเป็นระยะจึงเท่ากับความหนาแน่นของวงโคจรที่ไม่เคยเข้าสู่ระบอบคาบ ในละแวกใกล้เคียงของมูลค่าเหตุผล x 0มีค่าอตรรกยะของพารามิเตอร์เดิม x'0ในสภาพเช่นนี้ ความอ่อนไหวเล็กน้อยต่อสภาวะเริ่มต้นย่อมเกิดขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ นี่เป็นสัญญาณบ่งบอกว่าระบบอยู่ในสภาวะของความสับสนวุ่นวายแบบไดนามิก
บานพับตอบรับเบื้องต้นกลับกันคือ เงื่อนไขที่จำเป็นและผลที่ตามมาจากการเหลือบไปด้านข้างที่สะดุดตาตัวเอง ไอคอนของวงย้อนกลับสามารถเป็นแถบ Mobius ซึ่งด้านล่างของวงกลมแต่ละวงจะกลายเป็นวงบน ด้านในจะกลายเป็นด้านนอกและในทางกลับกัน การสะสมของความแตกต่างในกระบวนการย้อนกลับจะลบภาพออกจากภาพเดิมก่อนแล้วจึงกลับสู่ภาพ ในตรรกะ การวนรอบย้อนกลับแสดงให้เห็นโดยความขัดแย้งของ Epimenides: "ชาวครีตทั้งหมดเป็นคนโกหก" แต่ Epimenides เองเป็นชาวครีต
วงแปลกแก่นแท้ไดนามิกของปรากฏการณ์วนซ้ำแปลก ๆ นั้นเกิดจากการที่ภาพที่เปลี่ยนรูปและแตกต่างจากต้นฉบับมากขึ้นเรื่อย ๆ ในกระบวนการของการเสียรูปจำนวนมากกลับสู่ภาพต้นฉบับ แต่ไม่เคยทำซ้ำอย่างแน่นอน ในการอธิบายปรากฏการณ์นี้ Hofstadter ได้แนะนำคำว่า "strange loop" ในหนังสือ เขาสรุปว่าทั้ง Escher, Bach และ Gödel ค้นพบหรือแม่นยำกว่านั้น ใช้การวนซ้ำที่แปลกประหลาดในงานและความคิดสร้างสรรค์ของพวกเขาในทัศนศิลป์ ดนตรี และคณิตศาสตร์ตามลำดับ ใน Metamorphoses Escher ได้ค้นพบความเชื่อมโยงที่แปลกประหลาดของระนาบต่างๆ แห่งความเป็นจริง รูปแบบของมุมมองทางศิลปะรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งจะถูกแปลงเป็นพลาสติกให้เป็นรูปแบบของมุมมองทางศิลปะอีกรูปแบบหนึ่ง (รูปที่ 5)
ข้าว. 5. เมาริท เอสเชอร์ วาดมือ. พ.ศ. 2491
ความแปลกประหลาดนี้แสดงออกในทางที่แปลกประหลาดในดนตรี หนึ่งในศีลของ "การเสนอขายดนตรี" ของ Bach ( Canon ต่อ Tonos- แคนนอนวรรณยุกต์) ได้รับการออกแบบในลักษณะที่ตอนจบที่ชัดเจนเปลี่ยนไปเป็นจุดเริ่มต้นอย่างราบรื่นโดยไม่คาดคิด แต่มีการเปลี่ยนคีย์ การมอดูเลตที่ต่อเนื่องกันเหล่านี้ทำให้ผู้ฟังสูงขึ้นและสูงขึ้นจากคีย์เริ่มต้น อย่างไรก็ตาม อย่างน่าอัศจรรย์ หลังจากหกโมดูเลชั่น เราเกือบจะกลับมาแล้ว ตอนนี้เสียงทั้งหมดฟังดูสูงกว่าตอนเริ่มต้นหนึ่งอ็อกเทฟ ความแปลกประหลาดเพียงอย่างเดียวคือ เมื่อเราไต่ระดับของลำดับชั้น ทันใดนั้น เราก็พบว่าตัวเองอยู่ในที่เดียวกับที่เราเริ่มต้นการเดินทาง - กลับมาโดยไม่ต้องเล่นซ้ำ.
เคิร์ต โกเดลค้นพบการวนซ้ำที่แปลกประหลาดในพื้นที่ที่เก่าแก่และเชี่ยวชาญที่สุดของคณิตศาสตร์ - ทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทของ Gödel ได้เห็นแสงสว่างของวันเป็นครั้งแรกในฐานะ Theorem VI ในบทความปี 1931 เรื่อง "On Formally Unsolvable Judgments" ในหลักการ Mathematica ทฤษฎีบทกล่าวต่อไปนี้: สูตรเชิงสัจพจน์ที่สอดคล้องกันทั้งหมดของทฤษฎีจำนวนมีข้อเสนอที่ตัดสินใจไม่ได้ การตัดสินทฤษฎีจำนวนไม่ได้กล่าวถึงการตัดสินทฤษฎีจำนวน มันไม่ได้มากไปกว่าการตัดสินของทฤษฎีจำนวน มีการวนซ้ำที่นี่ แต่ไม่มีความแปลกประหลาด ห่วงแปลก ๆ ซ่อนอยู่ในการพิสูจน์
ตัวดึงดูดแปลก Attractor (จากภาษาอังกฤษ. ดึงดูดดึงดูด) จุดหรือเส้นปิดที่ดึงดูดวิถีที่เป็นไปได้ทั้งหมดของพฤติกรรมของระบบ ตัวดึงดูดมีความเสถียร นั่นคือ ในระยะยาว รูปแบบพฤติกรรมของผู้ดึงดูดที่เป็นไปได้เท่านั้น อย่างอื่นก็ชั่วคราว สิ่งดึงดูดใจเป็นวัตถุเชิงพื้นที่ซึ่งครอบคลุมกระบวนการทั้งหมด ไม่ใช่ทั้งสาเหตุและผล มันถูกสร้างขึ้นโดยระบบที่มีระดับความเป็นอิสระในจำนวนที่ จำกัด เท่านั้น ตัวดึงดูดอาจเป็นจุด วงกลม พรู และเศษส่วน ในกรณีหลัง ตัวดึงดูดเรียกว่า "แปลก" (รูปที่ 6)
ตัวดึงดูดจุดอธิบายสถานะที่เสถียรของระบบ ในพื้นที่เฟส เป็นจุดที่เกิดวิถีท้องถิ่นของ "โหนด" "โฟกัส" หรือ "อาน" นี่คือลักษณะการทำงานของลูกตุ้ม: ที่ความเร็วเริ่มต้นและตำแหน่งเริ่มต้นใดๆ หลังจากเวลาเพียงพอ ภายใต้การกระทำของแรงเสียดทาน ลูกตุ้มจะหยุดและเข้าสู่สภาวะสมดุลคงที่ ตัวดึงดูดแบบวงกลม (แบบวงกลม) คือการเคลื่อนที่ไปมาเหมือนลูกตุ้มในอุดมคติ (ไม่มีแรงเสียดทาน) เป็นวงกลม
ตัวดึงดูดแปลก ๆ ( ดึงดูดแปลก ๆ )ดูแปลกจากภายนอกเท่านั้น แต่คำว่า "ตัวดึงดูดที่แปลก" แพร่กระจายทันทีหลังจากการปรากฏตัวในปี 1971 ของบทความ "The Nature of Turbulence" โดย David Ruel และ Dutchman Floris Takens (ดูเพิ่มเติม) Ruelle และ Takens สงสัยว่าสิ่งดึงดูดใจใดมีคุณสมบัติที่เหมาะสมหรือไม่: ความมั่นคง จำนวนองศาอิสระที่จำกัด และไม่เป็นระยะ ในเชิงเรขาคณิต คำถามดูเหมือนปริศนาล้วนๆ วิถีทางยาวอนันต์ที่ปรากฎในพื้นที่จำกัดควรมีรูปแบบใดจึงจะไม่เกิดซ้ำหรือตัดกัน ในการทำซ้ำแต่ละจังหวะ วงโคจรจะต้องเป็นเส้นที่ยาวเป็นอนันต์ในพื้นที่จำกัด กล่าวคือ กลืนตัวเองเข้าไป (รูปที่ 7)
ภายในปี พ.ศ. 2514 มีภาพร่างหนึ่งของผู้ดึงดูดดังกล่าวในวรรณคดีทางวิทยาศาสตร์ เอ็ดเวิร์ด ลอเรนซ์ ได้จัดทำเป็นภาคผนวกของบทความเรื่องความสับสนอลหม่านในเชิงกำหนดปี 2506 ของเขา ตัวดึงดูดนี้มีความเสถียร ไม่เป็นระยะ มีองศาอิสระน้อยและไม่เคยข้ามตัวเอง หากเกิดเหตุการณ์เช่นนี้ขึ้นและเขากลับมายังจุดที่ผ่านไปแล้ว การเคลื่อนไหวจะเกิดขึ้นซ้ำอีกในอนาคต ก่อตัวเป็นวงแหวนรอบวง แต่สิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น
ความแปลกประหลาดของตัวดึงดูดอยู่ตามที่ Ruelle เชื่อในสามประการที่ไม่เท่ากัน แต่ในทางปฏิบัติคุณสมบัติที่มีอยู่ร่วมกัน:
- เศษส่วน (การทำรัง, ความคล้ายคลึงกัน, ความสม่ำเสมอ);
- การกำหนด (ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น);
- ภาวะเอกฐาน (จำนวนจำกัดของพารามิเตอร์ที่กำหนด)
ส่วนที่ 3 ความเบาที่น่าประทับใจของรูปแบบเศษส่วน
ตัวเลขในจินตนาการ ภาพเหมือนของเฟส และความน่าจะเป็นเรขาคณิตเศษส่วนขึ้นอยู่กับทฤษฎีของจำนวนจินตภาพ ภาพเหมือนเฟสไดนามิก และทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีจำนวนจินตภาพถือว่ามีรากที่สองของลบหนึ่ง Gerolamo Cardano ในงาน "Great Art" ("Ars Magna", 1545) นำเสนอวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของสมการกำลังสาม z 3 + pz + q = 0 Cardano ใช้ตัวเลขจินตภาพเป็นรูปแบบทางเทคนิคเพื่อแสดงรากเหง้าของ สมการ เขาสังเกตเห็นความแปลกประหลาด ซึ่งเขาแสดงให้เห็นด้วยสมการง่ายๆ x 3 = 15x + 4 สมการนี้มีคำตอบที่ชัดเจนเพียงข้อเดียว: x = 4 อย่างไรก็ตาม สูตรการสรุปทั่วไปให้ผลลัพธ์ที่แปลก ประกอบด้วยรากของจำนวนลบ:
Raphael Bombelli ในหนังสือของเขาเกี่ยวกับพีชคณิต ("L'Algebra", 1560) ชี้ให้เห็นว่า = 2 ± i และสิ่งนี้ทำให้เขาได้รากที่แท้จริง x = 4 ทันที ในกรณีที่คล้ายกัน เมื่อจำนวนเชิงซ้อนถูกผันผ่าน เราจะได้ รูตจริง และจำนวนเชิงซ้อนทำหน้าที่เป็นตัวช่วยทางเทคนิคในกระบวนการหาคำตอบของสมการกำลังสาม
นิวตันเชื่อว่าการแก้ปัญหาที่มีรากของลบหนึ่งควรได้รับการพิจารณาว่า "ไม่มีความหมายทางร่างกาย" และทิ้งไป ในศตวรรษที่ 17-18 ความเข้าใจก่อตัวขึ้นว่าบางสิ่งในจินตภาพ จิตวิญญาณ และจินตภาพนั้นมีจริงไม่น้อยไปกว่าของจริงที่นำมารวมกัน เราสามารถระบุวันที่ที่แน่นอนได้ 10 พฤศจิกายน 1619 เมื่อเดส์การตส์กำหนดแนวคิดใหม่ "cogito ergo sum" นับจากนี้เป็นต้นไป ความคิดคือความจริงที่สัมบูรณ์และไร้ข้อกังขา “หากฉันคิด แสดงว่าฉันมีตัวตน”! แม่นยำยิ่งขึ้น ตอนนี้ความคิดถูกมองว่าเป็นความจริง แนวคิดของ Descartes เกี่ยวกับระบบพิกัดมุมฉากด้วยจำนวนจินตภาพทำให้ได้มาซึ่งความสมบูรณ์ ตอนนี้สามารถเติมความหมายในจำนวนจินตภาพเหล่านี้ได้แล้ว
ในศตวรรษที่ 19 ผลงานของ Euler, Argan, Cauchy, Hamilton ได้พัฒนาเครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการทำงานกับตัวเลขที่ซับซ้อน จำนวนเชิงซ้อนใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวม X + iY โดยที่ X และ Y เป็นจำนวนจริงที่เราคุ้นเคย และ ผมหน่วยจินตภาพ (อันที่จริงมันคือ √ – 1) จำนวนเชิงซ้อนแต่ละจำนวนสอดคล้องกับจุดที่มีพิกัด (X, Y) บนระนาบเชิงซ้อนที่เรียกว่า
แนวคิดที่สำคัญประการที่สอง - ภาพเฟสของระบบไดนามิกเกิดขึ้นในศตวรรษที่ XX หลังจากที่ไอน์สไตน์แสดงให้เห็นว่าทุกอย่างเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากันเมื่อเทียบกับแสง แนวคิดของความเป็นไปได้ในการแสดงพฤติกรรมแบบไดนามิกของระบบในรูปแบบของเส้นเรขาคณิตแช่แข็ง ซึ่งเรียกว่าภาพเฟสของระบบไดนามิก ความหมายทางกายภาพที่ชัดเจน
ลองอธิบายด้วยตัวอย่างของลูกตุ้ม ฌอง ฟูโกต์ทำการทดลองครั้งแรกกับลูกตุ้มในปี 1851 ในห้องใต้ดิน จากนั้นไปที่หอดูดาวปารีส จากนั้นจึงอยู่ใต้โดมของวิหารแพนธีออน ในที่สุด ในปี ค.ศ. 1855 ลูกตุ้มของฟูโกต์ก็ถูกแขวนไว้ใต้โดมของโบสถ์แซงต์-มาร์แตง-เดอ-ชัง ในกรุงปารีส ความยาวเชือกของลูกตุ้มฟูโกต์คือ 67 ม. น้ำหนักของน้ำหนักคือ 28 กก. จากระยะไกล ลูกตุ้มดูเหมือนจุด ประเด็นนั้นนิ่งเสมอ เมื่อเข้าใกล้ เราแยกแยะระบบที่มีวิถีทั่วไปสามแบบ: ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก (sinϕ ≈ ϕ) ลูกตุ้ม (การแกว่งไปมา) ใบพัด (การหมุน)
ในกรณีที่ผู้สังเกตการณ์ในพื้นที่เห็นรูปแบบการเคลื่อนที่ของลูกบอลแบบใดแบบหนึ่งจากสามแบบที่เป็นไปได้ นักวิเคราะห์ที่ถอนตัวออกจากกระบวนการสามารถสรุปได้ว่าลูกบอลทำการเคลื่อนไหวตามปกติหนึ่งในสามแบบ นี้สามารถพรรณนาในแผนเดียว จำเป็นต้องตกลงว่าเราจะย้าย "ลูกบอลบนเธรด" ลงในช่องว่างเฟสนามธรรมซึ่งมีพิกัดมากเท่ากับระดับความอิสระของระบบภายใต้การพิจารณา ในกรณีนี้ เรากำลังพูดถึงความเร็วอิสระสององศา วีและมุมเอียงของด้ายกับลูกในแนวตั้ง ϕ ในพิกัด ϕ และ v วิถีโคจรของฮาร์โมนิกออสซิลเลเตอร์เป็นระบบของวงกลมที่มีศูนย์กลางศูนย์กลาง เมื่อมุม ϕ เพิ่มขึ้น วงกลมเหล่านี้จะกลายเป็นวงรี และที่ ϕ = ± π การปิดของวงรีจะหายไป ซึ่งหมายความว่าลูกตุ้มได้เปลี่ยนเป็นโหมดใบพัด: v = const(รูปที่ 8)
ข้าว. 8. ลูกตุ้ม: ก) วิถีในปริภูมิของลูกตุ้มในอุดมคติ; b) วิถีในพื้นที่เฟสของลูกตุ้มที่แกว่งด้วยการทำให้หมาด ๆ c) ภาพเฟส
อาจไม่มีความยาว ระยะเวลา หรือการเคลื่อนไหวใดๆ ในพื้นที่เฟส การดำเนินการใดๆ จะได้รับล่วงหน้าในที่นี้ แต่อาจไม่ถูกต้องทั้งหมด สิ่งที่เหลืออยู่ของเรขาคณิตคือโทโพโลยี แทนที่จะเป็นการวัด พารามิเตอร์ แทนที่จะเป็นมิติ มิติ ที่นี่ระบบไดนามิกใด ๆ มีรอยประทับที่เป็นเอกลักษณ์ของตัวเองคือเฟสแนวตั้ง และในหมู่พวกเขามีภาพบุคคลที่ค่อนข้างแปลก: ซับซ้อนพวกเขาถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์เดียว พอสมน้ำสมเนื้อ มันไม่สมส่วน เป็นต่อเนื่องพวกเขาจะไม่ต่อเนื่อง ภาพเฟสแปลก ๆ ดังกล่าวเป็นลักษณะของระบบที่มีการกำหนดค่าเศษส่วนของตัวดึงดูด ความไม่ต่อเนื่องของศูนย์กลางของแรงดึงดูด (ตัวดึงดูด) ทำให้เกิดผลของควอนตัมของการกระทำ ผลของช่องว่างหรือการกระโดด ในขณะที่วิถียังคงรักษาความต่อเนื่องและสร้างรูปแบบที่เชื่อมต่อกันของตัวดึงดูดที่แปลกประหลาด
การจำแนกประเภทของเศษส่วนเศษส่วนมีสาม hypostases: เป็นทางการ ปฏิบัติการ และสัญลักษณ์ ซึ่งเป็นมุมฉากซึ่งกันและกัน และนี่หมายความว่าสามารถรับรูปร่างเศษส่วนเดียวกันได้โดยใช้อัลกอริธึมที่แตกต่างกัน และจำนวนมิติเศษส่วนเดียวกันสามารถปรากฏสำหรับเศษส่วนรูปร่างที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง เมื่อคำนึงถึงข้อสังเกตเหล่านี้ เราจำแนกเศษส่วนตามลักษณะเชิงสัญลักษณ์ เป็นทางการ และเชิงปฏิบัติการ:
- สัญลักษณ์ ลักษณะมิติของเศษส่วนสามารถเป็นทั้งหมดหรือเศษส่วน
- โดยพื้นฐานที่เป็นทางการ แฟร็กทัลสามารถเชื่อมโยงกันได้ เหมือนใบไม้หรือเมฆ และไม่ต่อเนื่องกัน เหมือนฝุ่น
- บนพื้นฐานการปฏิบัติงาน แฟร็กทัลสามารถแบ่งออกเป็นปกติและสุ่ม
แฟร็กทัลปกติถูกสร้างขึ้นตามอัลกอริธึมที่กำหนดไว้อย่างเข้มงวด ในกรณีนี้ กระบวนการก่อสร้างสามารถย้อนกลับได้ คุณสามารถทำซ้ำการดำเนินการทั้งหมดในลำดับที่กลับกัน ลบภาพใดๆ ที่สร้างขึ้นในกระบวนการของอัลกอริธึมที่กำหนดขึ้นทีละจุด อัลกอริธึมที่กำหนดขึ้นได้สามารถเป็นแบบเส้นตรงหรือไม่เป็นเชิงเส้นได้
Stochastic Fractals ที่คล้ายกันในความหมายสุ่มเกิดขึ้นเมื่ออยู่ในอัลกอริทึมของการสร้าง ในการวนซ้ำ พารามิเตอร์ใด ๆ จะเปลี่ยนแบบสุ่ม คำว่า "stochasticity" มาจากคำภาษากรีก stchasis- เดาเดา กระบวนการสุ่มเป็นกระบวนการที่ไม่สามารถคาดการณ์ธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลงได้อย่างแม่นยำ เศษส่วนเกิดขึ้นตามธรรมชาติ (พื้นผิวแตกหักของหิน, เมฆ, กระแสน้ำเชี่ยว, โฟม, เจล, รูปทรงของอนุภาคเขม่า, การเปลี่ยนแปลงของราคาหุ้นและระดับแม่น้ำ ฯลฯ) ปราศจากความคล้ายคลึงกันทางเรขาคณิต แต่ทำซ้ำอย่างต่อเนื่องใน แต่ละส่วนคุณสมบัติทางสถิติโดยรวมโดยเฉลี่ย คอมพิวเตอร์ช่วยให้คุณสร้างลำดับของตัวเลขสุ่มหลอกและจำลองอัลกอริทึมและรูปร่างสุ่มทันที
เศษส่วนเชิงเส้นแฟร็กทัลเชิงเส้นได้รับการตั้งชื่อเช่นนั้นเนื่องจากสร้างขึ้นตามอัลกอริธึมเชิงเส้นบางอย่าง แฟร็กทัลเหล่านี้มีความคล้ายคลึงกันในตัวเอง ไม่บิดเบี้ยวเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงของมาตราส่วน และไม่สามารถแยกความแตกต่างได้ในทุกจุด ในการสร้างเศษส่วนดังกล่าวก็เพียงพอที่จะตั้งฐานและส่วนย่อย องค์ประกอบเหล่านี้จะถูกทำซ้ำหลายครั้งโดยลดขนาดลงเป็นอนันต์
ฝุ่นของคันทอร์ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (1845-1918) เสนอให้ชุมชนคณิตศาสตร์มีชุดตัวเลขแปลก ๆ ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 ชุดมีจำนวนองค์ประกอบที่ไม่สิ้นสุดในช่วงเวลาที่ระบุและ อีกทั้งมีมิติเป็นศูนย์ ลูกศรที่ยิงแบบสุ่มแทบจะไม่สามารถโจมตีแม้แต่องค์ประกอบเดียวของกลุ่มนี้
ขั้นแรก คุณต้องเลือกส่วนของความยาวหน่วย (ขั้นตอนแรก: n = 0) จากนั้นแบ่งออกเป็นสามส่วนและเอาส่วนตรงกลางที่สามออก (n = 1) ต่อไป เราจะทำเช่นเดียวกันกับแต่ละส่วนที่เกิดขึ้น เป็นผลมาจากการดำเนินการซ้ำๆ กันอย่างไม่รู้จบ เราได้รับชุด "Cantor's dust" ที่จำเป็น ตอนนี้ ไม่มีความขัดแย้งระหว่างส่วนที่ไม่ต่อเนื่องและการหารไม่สิ้นสุด "ฝุ่นของต้นเสียง" เป็นทั้งคู่ (ดูรูปที่ 1) "Cantor's Dust" เป็นเศษส่วน ขนาดเศษส่วนคือ 0.6304 ...
หนึ่งในแอนะล็อกสองมิติของชุดต้นเสียงหนึ่งมิติอธิบายโดย Vaclav Sierpinski นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์ มันถูกเรียกว่า "พรมคันทอร์" หรือมักจะเรียกว่า "พรมเซียร์พินสกี้" เขามีความคล้ายคลึงในตัวเองอย่างเคร่งครัด เราสามารถคำนวณขนาดเศษส่วนได้เป็น ln8 / lnЗ = 1.89 ... (รูปที่ 9)
เส้นเติมเครื่องบินพิจารณาแฟร็กทัลปกติทั้งตระกูล ซึ่งเป็นเส้นโค้งที่สามารถเติมระนาบได้ แม้แต่ไลบนิซก็เถียงว่า “ถ้าเราคิดว่ามีคนใส่จุดจำนวนมากบนกระดาษโดยบังเอิญ<… >ฉันบอกว่าคุณสามารถระบุค่าคงที่และสมบูรณ์โดยปฏิบัติตามกฎบางอย่าง เส้นเรขาคณิตที่จะผ่านทุกจุด” คำกล่าวนี้โดยไลบนิซขัดแย้งกับความเข้าใจแบบยุคลิดเกี่ยวกับมิติว่าเป็นพารามิเตอร์จำนวนน้อยที่สุดโดยที่ตำแหน่งของจุดในอวกาศถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง ในกรณีที่ไม่มีข้อพิสูจน์ที่เข้มงวด แนวคิดของไลบนิซเหล่านี้ยังคงอยู่ที่ขอบของความคิดทางคณิตศาสตร์
เส้นโค้ง Peanoแต่ในปี ค.ศ. 1890 นักคณิตศาสตร์จากอิตาลี จูเซปเป้ เปียโน ได้สร้างเส้นที่ครอบคลุมพื้นผิวเรียบทั้งหมด ผ่านจุดทั้งหมด การสร้าง "เส้นโค้ง Peano" แสดงในรูปที่ สิบ.
ในขณะที่มิติทอพอโลยีของเส้นโค้ง Peano เท่ากับหนึ่ง มิติของเศษส่วนคือ d = ln (1/9) / ln (1/3) = 2 ภายในเฟรมเวิร์กของเรขาคณิตเศษส่วน ความขัดแย้งได้รับการแก้ไขอย่างเป็นธรรมชาติที่สุด ทาง. เส้นเหมือนใยแมงมุมสามารถครอบคลุมเครื่องบินได้ ในกรณีนี้ การติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งถูกสร้างขึ้น: แต่ละจุดของเส้นตรงกับจุดหนึ่งบนระนาบ แต่การติดต่อนี้ไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจากแต่ละจุดบนระนาบสอดคล้องกับจุดหนึ่งจุดหรือมากกว่าบนเส้น
เส้นโค้งฮิลเบิร์ตอีกหนึ่งปีต่อมา ในปี 1891 มีบทความหนึ่งปรากฏขึ้นโดย David Hilbert นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน (1862–1943) ซึ่งเขาได้นำเสนอเส้นโค้งที่ครอบคลุมระนาบโดยไม่มีทางแยกหรือแนวสัมผัส การสร้าง "เส้นโค้งฮิลเบิร์ต" แสดงในรูปที่ สิบเอ็ด
เส้นโค้ง Hilbert เป็นตัวอย่างแรกของเส้นโค้ง FASS (spaceFilling, selfAvoiding, Simple และ selfSimilar ของเส้นหลีกเลี่ยงตัวเองที่เติมช่องว่าง, เส้นที่เรียบง่ายและคล้ายตัวเอง) มิติเศษส่วนของเส้นกิลเบิร์ต เช่นเดียวกับเส้นโค้งพีโนคือสอง
เทปของ Minkowski Hermann Minkowski เพื่อนสนิทของ Hilbert ตั้งแต่สมัยเรียน ได้สร้างเส้นโค้งที่ไม่ครอบคลุมทั้งระนาบ แต่ก่อตัวเป็นริบบิ้น เมื่อสร้าง "แถบ Minkowski" ในแต่ละขั้นตอน แต่ละส่วนจะถูกแทนที่ด้วยเส้นที่ขาดซึ่งประกอบด้วย 8 ส่วน ในขั้นต่อไป กับแต่ละเซ็กเมนต์ใหม่ การดำเนินการซ้ำในระดับ 1: 4 มิติเศษส่วนของแถบ Minkowski คือ d = ln (l / 8) / ln (1/4) = 1.5
เศษส่วนไม่เชิงเส้นการแมปแบบไม่เชิงเส้นที่ง่ายที่สุดของระนาบเชิงซ้อนบนตัวมันเองคือ Julia mapping zgz 2 + C ที่พิจารณาในส่วนแรก เป็นการคำนวณบนวงจรปิด ซึ่งผลลัพธ์ของรอบก่อนหน้าจะถูกคูณด้วยตัวมันเองด้วยค่าคงที่ที่เพิ่มเข้าไป นั่นคือมันเป็นวงจรป้อนกลับแบบกำลังสอง (รูปที่ 13)
ในระหว่างการวนซ้ำที่ค่าคงที่ของค่าคงที่ C ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้นโดยพลการ Z 0 จุด Z n ที่ NS-> ∞ สามารถเป็นได้ทั้งแบบมีจำกัดหรือแบบอนันต์ ทุกอย่างขึ้นอยู่กับตำแหน่งของ Z 0 ที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด z = 0 หากค่าที่คำนวณได้มีขอบเขตจำกัด ก็จะรวมอยู่ในชุด Julia ถ้ามันเข้าสู่ระยะอนันต์ มันก็ถูกตัดขาดจากฉากจูเลีย
รูปร่างที่ได้รับหลังจากใช้แผนที่ Julia กับจุดต่างๆ ของพื้นผิวนั้นถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ C อย่างเฉพาะเจาะจง สำหรับ C ขนาดเล็ก สิ่งเหล่านี้คือลูปที่เชื่อมต่ออย่างง่าย สำหรับ C ขนาดใหญ่ สิ่งเหล่านี้คือกลุ่มของจุดที่ขาดการเชื่อมต่อแต่ได้รับคำสั่งอย่างเข้มงวด โดยทั่วไปแล้ว แบบฟอร์ม Julia ทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่มใหญ่ - แผนที่ที่เชื่อมต่อและไม่ได้เชื่อมต่อ อดีตนั้นชวนให้นึกถึงเกล็ดหิมะของ Koch ส่วนหลังเป็นฝุ่นของ Kantor
แบบฟอร์มที่หลากหลายของ Julia ทำให้นักคณิตศาสตร์ท้อแท้เมื่อพวกเขาสามารถสังเกตแบบฟอร์มเหล่านี้ได้บนหน้าจอคอมพิวเตอร์เป็นครั้งแรก ความพยายามที่จะจัดอันดับความหลากหลายนี้มีเงื่อนไขอย่างมากและลดลงจากข้อเท็จจริงที่ว่าชุด Mandelbrot ถูกนำมาใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการจำแนกประเภทของการแมป Julia ขอบเขตที่ปรากฎนั้นไม่มีอาการคล้ายกับการแมปของ Julia
ด้วย C = 0, การทำซ้ำของแผนที่ Julia จะให้ลำดับของตัวเลข z 0, z 0 2, z 0 4, z 0 8, z 0 16 ... เป็นผลให้มีสามตัวเลือก:
- สำหรับ | z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
- สำหรับ | z 0 | > 1 ในระหว่างการทำซ้ำ ตัวเลข z n เพิ่มขึ้นในค่าสัมบูรณ์ มีแนวโน้มเป็นอนันต์ ในกรณีนี้ สิ่งดึงดูดคือจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด และเราแยกค่าดังกล่าวออกจากชุด Julia
- สำหรับ | z 0 | = 1 ทุกจุดของลำดับจะยังคงอยู่บนวงกลมหน่วยนี้ ในกรณีนี้ ตัวดึงดูดคือวงกลม
ดังนั้น ที่ C = 0 ขอบเขตระหว่างจุดเริ่มต้นที่น่าดึงดูดและน่ารังเกียจจึงเป็นวงกลม ในกรณีนี้ การทำแผนที่จะมีจุดคงที่สองจุด: z = 0 และ z = 1 จุดแรกนั้นน่าสนใจ เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ศูนย์คือ 0 และจุดที่สองนั้นน่ารังเกียจ เนื่องจากอนุพันธ์ของสมการกำลังสอง ฟังก์ชันที่ค่าของพารามิเตอร์เท่ากับสอง
พิจารณาสถานการณ์เมื่อค่าคงที่ C เป็นจำนวนจริง กล่าวคือ ดูเหมือนว่าเราจะเคลื่อนไปตามแกนของชุด Mandelbrot (รูปที่ 14) ที่ C = –0.75 ขอบเขตของ Julia จะตัดกันและตัวดึงดูดที่สองปรากฏขึ้น เศษส่วน ณ จุดนี้มีชื่อว่าเศษส่วนซานมาร์โก ซึ่ง Mandelbrot มอบให้เขาเพื่อเป็นเกียรติแก่อาสนวิหารเวนิสที่มีชื่อเสียง เมื่อดูจากภาพวาดแล้ว ก็ไม่ยากที่จะเข้าใจว่าทำไม Mandelbrot ถึงมีความคิดที่จะตั้งชื่อเศษส่วนตามโครงสร้างนี้อย่างแม่นยำ: ความคล้ายคลึงกันนั้นน่าทึ่งมาก
ข้าว. 14. เปลี่ยนรูปร่างของชุดจูเลียเมื่อค่าจริง C ลดลงจาก 0 เป็น -1
ลด С เพิ่มเติมเป็น –1.25 เราจะได้รูปร่างใหม่ที่มีจุดคงที่สี่จุดซึ่งยังคงขึ้นอยู่กับค่าС< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).
ข้าว. 15. การเกิดขึ้นของรูปแบบใหม่ของ Julia ลดลงในมูลค่าที่แท้จริงC< –1
ดังนั้น แม้จะอยู่บนแกนของเศษส่วน Mandelbrot (ค่าคงที่ C เป็นจำนวนจริง) เรา "จับ" ในด้านความสนใจและจัดลำดับรูปแบบต่างๆ ของ Julia ตั้งแต่วงกลมจนถึงฝุ่นในบางวิธี ตอนนี้ ให้เราพิจารณาพื้นที่เครื่องหมายของเศษส่วน Mandelbrot และรูปแบบที่สอดคล้องกันของเศษส่วนของ Julia ก่อนอื่น เรามาอธิบาย Mandelbrot fractal ในแง่ของ "cardioid", "kidney" และ "onion" (รูปที่ 16)
คาร์ดิออยด์หลักและวงกลมที่อยู่ติดกันสร้างรูปร่างหลักของเศษส่วน Mandelbrot พวกเขาอยู่ติดกันโดยสำเนาจำนวนอนันต์ซึ่งมักจะเรียกว่าไต แต่ละตาเหล่านี้ถูกห่อหุ้มด้วยตาขนาดเล็กจำนวนนับไม่ถ้วนซึ่งคล้ายกัน ตาที่ใหญ่ที่สุดสองดอกด้านบนและด้านล่างของหัวใจหลักเรียกว่าหัวหอม
Adrien Daudi ชาวฝรั่งเศสและ American Bill Hubbard ผู้ศึกษาเศษส่วนทั่วไปของชุดนี้ (С = –0.12 + 0.74i) เรียกมันว่า "เศษส่วนกระต่าย" (รูปที่ 17)
เมื่อข้ามพรมแดนของเศษส่วน Mandelbrot เศษส่วนของ Julia จะสูญเสียการเชื่อมต่อและกลายเป็นฝุ่นซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่า "ฝุ่น Fatou" เพื่อเป็นเกียรติแก่ Pierre Fatou ผู้พิสูจน์ว่าสำหรับค่า C บางอย่างจุดที่ห่างไกลอย่างไม่มีที่สิ้นสุดดึงดูด ระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ยกเว้นชุดที่บางมากเช่นฝุ่น ( รูปที่ 18)
เศษส่วนสุ่มมีความแตกต่างที่มีนัยสำคัญระหว่างเส้นโค้งฟอนคอชที่มีความคล้ายคลึงในตัวเองอย่างเคร่งครัดและตัวอย่างเช่น ชายฝั่งของนอร์เวย์ อย่างหลังแม้ว่าจะไม่ได้มีความคล้ายคลึงในตัวเองอย่างเคร่งครัด แต่ก็แสดงความคล้ายคลึงกันในความหมายทางสถิติ ในกรณีนี้ เส้นโค้งทั้งสองหักมากจนคุณไม่สามารถวาดแทนเจนต์ไปยังจุดใดๆ ของพวกมันได้ หรืออีกนัยหนึ่ง คุณไม่สามารถแยกความแตกต่างได้ เส้นโค้งดังกล่าวเป็น "สัตว์ประหลาด" ชนิดหนึ่งในแนวยุคลิดปกติ คนแรกที่สร้างฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่มีการสัมผัสกันที่จุดใดจุดหนึ่งคือ Karl Theodor Wilhelm Weierstrass งานของเขาถูกนำเสนอต่อ Royal Prussian Academy เมื่อวันที่ 18 กรกฎาคม พ.ศ. 2415 และตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2418 ฟังก์ชั่นที่อธิบายโดย Weierstrass ดูเหมือนเสียงรบกวน (รูปที่ 19)
ดูแผนภูมิของตลาดหลักทรัพย์ สรุปความผันผวนของอุณหภูมิหรือความดันอากาศ แล้วคุณจะพบความผิดปกติตามปกติ ยิ่งกว่านั้นด้วยขนาดที่เพิ่มขึ้น ลักษณะของความผิดปกติยังคงอยู่ และนั่นหมายถึงเราถึงเรขาคณิตเศษส่วน
การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเป็นหนึ่งในตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดของกระบวนการสุ่ม ในปีพ.ศ. 2469 ฌอง แปร์ริน ได้รับรางวัลโนเบลจากการวิจัยเกี่ยวกับธรรมชาติของการเคลื่อนไหวแบบบราวเนียน เขาเป็นคนที่ดึงความสนใจไปที่ความคล้ายคลึงในตนเองและความไม่แตกต่างของวิถีบราวเนียน
เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้เรียนรู้เกี่ยวกับวัตถุที่น่าสนใจของโลกทางคณิตศาสตร์เช่นเศษส่วน แต่มันมีอยู่ไม่เฉพาะในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น พวกเขาล้อมรอบเราทุกที่ แฟร็กทัลเป็นเรื่องธรรมชาติ ฉันจะพูดถึงสิ่งที่เป็นเศษส่วน เกี่ยวกับประเภทของเศษส่วน ตัวอย่างของวัตถุเหล่านี้และการประยุกต์ใช้ในบทความนี้ ในการเริ่มต้น ฉันจะบอกคุณสั้น ๆ ว่าเศษส่วนคืออะไร
เศษส่วน (เศษส่วนละติน - แตก, แตก, แตก) เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนที่มีคุณสมบัติคล้ายคลึงกันซึ่งประกอบไปด้วยหลายส่วนซึ่งแต่ละส่วนมีความคล้ายคลึงกับตัวเลขทั้งหมด ในความหมายที่กว้างกว่า เศษส่วนถูกเข้าใจว่าเป็นชุดของจุดในพื้นที่แบบยุคลิดที่มีมิติเมตริกแบบเศษส่วน (ในความหมายของ Minkowski หรือ Hausdorff) หรือมิติเมตริกอื่นที่ไม่ใช่ทอพอโลยี ตัวอย่างเช่น ฉันจะแทรกรูปภาพของเศษส่วนสี่ส่วนที่แตกต่างกัน
ฉันจะบอกคุณเล็กน้อยเกี่ยวกับประวัติของเศษส่วน แนวความคิดของเรขาคณิตเศษส่วนและเศษส่วนซึ่งปรากฏในช่วงปลายยุค 70 ได้กลายเป็นส่วนหนึ่งของชีวิตประจำวันของนักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ตั้งแต่กลางทศวรรษที่ 80 คำว่า "แฟร็กทัล" ถูกสร้างขึ้นโดยเบอนัวต์ มานเดลบรอตในปี 1975 เพื่ออ้างถึงโครงสร้างที่ไม่สม่ำเสมอแต่มีความคล้ายคลึงในตัวเองที่เขาทำงานอยู่ การเกิดของเรขาคณิตเศษส่วนมักเกี่ยวข้องกับการตีพิมพ์หนังสือ The Fractal Geometry of Nature ของ Mandelbrot ในปี 1977 ผลงานของเขาใช้ผลงานทางวิทยาศาสตร์ของนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ที่ทำงานในช่วงปี พ.ศ. 2418-2468 ในสาขาเดียวกัน (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) แต่ในสมัยของเราเท่านั้นที่รวมงานของพวกเขาเป็นระบบเดียวได้
มีตัวอย่างแฟร็กทัลมากมาย เพราะอย่างที่ฉันพูด มันอยู่รอบตัวเราทุกที่ ในความคิดของฉัน แม้แต่จักรวาลทั้งหมดของเราก็ยังเป็นเศษส่วนขนาดมหึมา ท้ายที่สุดแล้วทุกอย่างในนั้นตั้งแต่โครงสร้างของอะตอมไปจนถึงโครงสร้างของจักรวาลนั้นซ้ำกันอย่างแน่นอน แต่แน่นอนว่ามีตัวอย่างแฟร็กทัลจากสาขาต่างๆ ที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น ตัวอย่างเช่น Fractals มีอยู่ในไดนามิกที่ซับซ้อน พวกเขาอยู่ที่นั่น ปรากฏอย่างเป็นธรรมชาติในการศึกษาความไม่เชิงเส้น ระบบไดนามิก... กรณีศึกษามากที่สุดคือเมื่อมีการระบุระบบไดนามิกโดยการวนซ้ำของพหุนามหรือโฮโลมอร์ฟิค ฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรบนพื้นผิว แฟร็กทัลที่มีชื่อเสียงที่สุดบางชนิดในประเภทนี้ ได้แก่ เซตจูเลีย ชุดแมนเดลบรอต และแอ่งของนิวตัน ด้านล่างนี้ ตามลำดับ รูปภาพแสดงเศษส่วนด้านบนแต่ละส่วน
อีกตัวอย่างหนึ่งของเศษส่วนคือเส้นโค้งเศษส่วน เป็นการดีที่สุดที่จะอธิบายวิธีสร้างเศษส่วนโดยใช้ตัวอย่างของเส้นโค้งเศษส่วน หนึ่งในเส้นโค้งเหล่านี้คือสิ่งที่เรียกว่า Koch Snowflake มีความเรียบง่ายขั้นตอนการรับส่วนโค้งเศษส่วนบนระนาบ มากำหนดเส้นแบ่งตามอำเภอใจด้วยจำนวนลิงก์ที่จำกัด ซึ่งเรียกว่าตัวสร้าง ต่อไป เราจะแทนที่แต่ละส่วนในนั้นด้วยตัวสร้าง ในเส้นที่เสียหาย ให้แทนที่แต่ละส่วนด้วยตัวสร้างอีกครั้ง ต่อเนื่องไปจนถึงอนันต์ ในขีด จำกัด เราจะได้เส้นโค้งเศษส่วน Koch Snowflake (หรือเส้นโค้ง) แสดงอยู่ด้านล่าง
นอกจากนี้ยังมีเส้นโค้งแฟร็กทัลที่หลากหลาย ที่มีชื่อเสียงที่สุดของพวกเขาคือ Koch Snowflake ที่กล่าวถึงแล้วเช่นเดียวกับเส้นโค้ง Levy, เส้นโค้ง Minkowski, เส้นโค้งของมังกร, เส้นโค้งเปียโนและต้นไม้พีทาโกรัส ฉันคิดว่าภาพของเศษส่วนเหล่านี้และประวัติของเศษส่วนเหล่านี้ คุณสามารถค้นหาได้อย่างง่ายดายบน Wikipedia
ตัวอย่างที่สามหรือประเภทของเศษส่วนคือเศษส่วนสุ่ม เศษส่วนเหล่านี้รวมถึงวิถีการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน บนเครื่องบินและในอวกาศ วิวัฒนาการ Schramm-Löwner ซึ่งเป็นแฟร็กทัลแบบสุ่มประเภทต่างๆ นั่นคือ แฟร็กทัลที่ได้รับโดยใช้กระบวนการแบบเรียกซ้ำ ซึ่งมีการแนะนำพารามิเตอร์แบบสุ่มในแต่ละขั้นตอน
นอกจากนี้ยังมีเศษส่วนทางคณิตศาสตร์อย่างหมดจด ตัวอย่างเช่น ชุดคันทอร์ ฟองน้ำ Menger สามเหลี่ยมเซียร์พินสกี้ และอื่นๆ
แต่บางทีแฟร็กทัลที่น่าสนใจที่สุดคือแฟร็กทัลที่เป็นธรรมชาติ เศษส่วนตามธรรมชาติเป็นวัตถุในธรรมชาติที่มีคุณสมบัติเป็นเศษส่วน และนี่คือรายการยาวแล้ว ฉันจะไม่เขียนรายการทั้งหมดเพราะบางทีฉันไม่สามารถแสดงรายการทั้งหมดได้ แต่ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับบางอย่าง ตัวอย่างเช่น ในธรรมชาติ เศษส่วนดังกล่าวรวมถึงระบบไหลเวียนโลหิตและปอดของเรา และมงกุฎและใบของต้นไม้ด้วย นอกจากนี้ยังรวมถึงปลาดาว เม่นทะเล ปะการัง เปลือกหอย พืชบางชนิด เช่น กะหล่ำปลีหรือบรอกโคลี แฟร็กทัลธรรมชาติจำนวนมากจากสัตว์ป่าดังกล่าวแสดงไว้ด้านล่างอย่างชัดเจน
หากเราพิจารณาถึงธรรมชาติที่ไม่มีชีวิต ก็ยังมีตัวอย่างที่น่าสนใจมากกว่าในธรรมชาติที่มีชีวิต สายฟ้า, เกล็ดหิมะ, เมฆ, รู้จักกันดี, ลวดลายบนหน้าต่างในวันที่อากาศหนาวจัด, คริสตัล, เทือกเขา - ทั้งหมดนี้เป็นตัวอย่างของเศษส่วนตามธรรมชาติจากธรรมชาติที่ไม่มีชีวิต
เราได้พิจารณาตัวอย่างและประเภทของเศษส่วน ส่วนการใช้แฟร็กทัลนั้นใช้ความรู้ด้านต่างๆ ในทางฟิสิกส์ แฟร็กทัลจะเกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อจำลองกระบวนการที่ไม่เป็นเชิงเส้น เช่น การไหลของของไหลปั่นป่วน กระบวนการดูดซับและการแพร่กระจายที่ซับซ้อน เปลวไฟ เมฆ ฯลฯ เศษส่วนถูกนำมาใช้ในการจำลองวัสดุที่มีรูพรุน เช่น ในอุตสาหกรรมปิโตรเคมี ในทางชีววิทยา พวกมันถูกใช้เพื่อสร้างแบบจำลองประชากรและเพื่ออธิบายระบบต่างๆ อวัยวะภายใน(ระบบหลอดเลือด). หลังจากสร้างเส้นโค้ง Koch ได้มีการเสนอให้ใช้เส้นโค้งนี้ในการคำนวณความยาวของแนวชายฝั่ง แฟร็กทัลยังถูกใช้อย่างแข็งขันในด้านวิศวกรรมวิทยุ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และ เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์โทรคมนาคมและแม้กระทั่งเศรษฐกิจ และแน่นอนว่าการมองเห็นเศษส่วนถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในศิลปะร่วมสมัยและสถาปัตยกรรม นี่คือตัวอย่างหนึ่งของภาพวาดเศษส่วน:
ดังนั้น ในเรื่องนี้ ฉันคิดว่าจะเติมเรื่องราวของฉันเกี่ยวกับปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ปกติเช่นเศษส่วน วันนี้เราได้เรียนรู้ว่าเศษส่วนคืออะไร ลักษณะที่ปรากฏ เกี่ยวกับประเภทและตัวอย่างของเศษส่วน ฉันยังพูดคุยเกี่ยวกับแอปพลิเคชันของพวกเขาและแสดงแฟร็กทัลบางส่วนด้วยสายตา ฉันหวังว่าคุณจะสนุกกับการท่องเที่ยวระยะสั้นนี้ในโลกของวัตถุเศษส่วนที่น่าทึ่งและน่าหลงใหล