Вынужденные колебания. Резонанс. Вынужденные колебания Могут ли вынужденные колебания
Для того чтобы система совершала незатухающие колебания, необходимо извне восполнять потери энергии колебаний на трение. Для того, чтобы энергия колебаний системы не убывала обычно вводят силу, периодически воздействующую на систему (такую силу будем называть вынуждающей , а колебания вынужденными).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ : вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы.
Эта сила, как правило, выполняет двоякую роль:
Во-первых, она раскачивает систему и сообщает ей определенный запас энергии;
Во-вторых, она периодически восполняет потери энергии (расход энергии) на преодоление сил сопротивления и трения.
Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по закону:
Составим уравнение движения для системы, колеблющейся под воздействием такой силы. Предполагаем, что на систему также действует квазиупругая сила и сила сопротивления среды (что справедливо в предположении малости колебаний).
Тогда уравнение движения системы будет иметь вид:
Или 
.
Проведя подстановки , , - собственная частота колебаний системы, получим неоднородное линейной дифференциальное уравнение 2 го порядка:
Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Общее решение однородного уравнения известно:
,
где 
; a
0 и a
- произвольные const.
.
С помощью векторной диаграммы можно убедиться, что такое предположение справедливо, а также определить значения “a ” и “j ”.
Амплитуда колебаний определяется следующим выражением:
.
Значение “j
”, которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания 
от обусловившей его вынуждающей силы , также определяется из векторной диаграммы и составляет:
.
Окончательно, частное решение неоднородного уравнения примет вид:
 |
(8.18) |
Эта функция в сумме с
 |
(8.19) |
дает общее решение неоднородного дифференциального уравнения, описывающего поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (8.19) играет заметную роль в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний (рис. 8.10).
С течением времени из-за экспоненциального множителя роль второго слагаемого (8.19) все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя в решении лишь слагаемое (8.18).
Таким образом, функция (8.18) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (определенных w 0 и b) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания “j” также зависит от частоты вынуждающей силы.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом , а соответствующая частота - резонансной частотой .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ : явление, при котором наблюдается резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, называется резонансом .
Резонансная частота определяется из условия максимума для амплитуды вынужденных колебаний:
. (8.20)
Тогда, подставив это значение в выражение для амплитуды, получим:
. (8.21)
При отсутствии сопротивления среды амплитуда колебаний при резонансе обращалась бы в бесконечность; резонансная частота при тех же условиях (b = 0) совпадает с собственной частотой колебаний.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (или, что то же самое, от частоты колебаний) можно представить графически (рис. 8.11). Отдельные кривые соответствуют различным значениям “b”. Чем меньше “b”, тем выше и правее лежит максимум данной кривой (см. выражение для w рез.). При очень большом затухании резонанс не наблюдается - с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (нижняя кривая на рис. 8.11).
Совокупность представленных графиков, соответствующих различным значениям b, называется резонансными кривыми .
Замечания по поводу резонансных кривых:
При стремлении w®0 все кривые приходят к одному, отличному от нуля значению, равному . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы F 0 .
При w®¥ все кривые асимптотически стремятся к нулю, т.к. при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместится из положения равновесия.
Чем меньше b, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» максимум.
Примеры :
Явление резонанса часто оказывается полезным, особенно в акустике и радиотехнике.
Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиально различных способов создания колебательных систем незатухающих колебаний. Остановимся более подробно на рассмотрении незатухающих колебаний под действием внешней периодической силы . Такие колебания называются вынужденными. Продолжим изучение движения гармонического маятника (рис. 6.9).
Помимо рассмотренных ранее сил упругости и вязкого трения, на шарик действует внешняя вынуждающая периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону
частота, которой может отличаться от собственной частоты колебаний маятника ω o . Природа этой сил в данном случае нам не существенна. Создать такую силу можно различными способами, например, сообщить шарику электрический заряд и поместить его во внешнее переменное электрическое поле. Уравнение движения шарика в рассматриваемом случае имеет вид
Разделим его на массу шарика и используем прежние обозначения параметров системы. В результате получим уравнение вынужденных колебаний :
где f o = F o /m − отношение амплитудного значения внешней вынуждающей силы к массе шарика. Общее решение уравнения (3) достаточно громоздко и, конечно, зависит от начальных условий. Характер движения шарика, описываемого уравнением (3), понятен: под действием вынуждающей силы возникнуть колебания, амплитуда которых будет возрастать. Этот переходный режим достаточно сложен и зависит от начальных условий. По прошествии некоторого промежутка времени колебательный режим установится, их амплитуда перестанет изменяться. Именно установившийся режим колебаний , во многих случаях представляет основной интерес. Мы не будем рассматривать переход системы к установившемуся режиму, а сконцентрируем внимание на описании и изучении характеристик этого режима. При такой постановке задачи нет необходимости задавать начальные условия, так как интересующий нас установившийся режим не зависит от начальных условий, его характеристики полностью определяются самим уравнением. С аналогичной ситуацией мы сталкивались при изучении движения тела под действием постоянной внешней силы и силы вязкого трения
По прошествии некоторого времени тело движется с постоянной установившейся скоростью v = F o /β , которая не зависит от начальных условий, и полностью определяется уравнением движения. Начальные условия определяют режим, переходный к установившемуся движению. На основании здравого смысла разумно предположить, что в установившемся режиме колебаний шарик будет колебаться с частотой внешней вынуждающей силы. Поэтому решение уравнения (3) следует искать в гармонической функции с частотой вынуждающей силы. Для начала решим уравнение (3), пренебрегая силой сопротивления
Попробуем найти его решение в виде гармонической функции
Для этого вычислим зависимости скорости и ускорения тела от времени, как производные от закона движения
и подставим их значения в уравнение (4)
Теперь можно сократить на cosωt . Следовательно, это выражение обращается в верное тождество в любой момент времени, при выполнении условия
Таким образом, наше предположение о решении уравнения (4) в виде (5) оправдалось: установившийся режим колебаний описывается функцией
Отметим, что коэффициент A согласно полученному выражению (6) может быть, как положительным (при ω < ω o ), так и отрицательным (при ω > ω o ). Изменение знака соответствует изменению фазы колебаний на π (причина такого изменение будет выяснена чуть позже), поэтому амплитудой колебаний является модуль этого коэффициента |A| . Амплитуда установившихся колебаний, как и следовало ожидать, пропорциональна величине вынуждающей силы. Кроме того, эта амплитуда сложным образом зависит от частоты вынуждающей силы. Схематический график этой зависимости показан на рис. 6.10
Рис. 6.10 Резонансная кривая
Как следует из формулы (6) и хорошо видно на графике, при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы амплитуда резко возрастает. Причина такого возрастания амплитуды понятна: вынуждающая сила «во время» подталкивает шарик, при полном совпадении частот установившейся режим отсутствует − амплитуда возрастает до бесконечности. Конечно, на практике такого бесконечного возрастания наблюдать невозможно: во-первых , это может привести к разрушению самой колебательной системы, во-вторых , при больших амплитудах колебаний нельзя пренебрегать силами сопротивления среды. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы называется явлением резонанса . Приступим теперь к поиску решения уравнения вынужденных колебаний с учетом силы сопротивления
Естественно, что и в этом случае решение следует искать в виде гармонической функции с частотой вынуждающей силы. Легко заметить, что поиск решения в форме (5) в данном случае не приведет к успеху. Действительно, уравнение (8), в отличие от уравнения (4), содержит скорость частицы, которая описывается функцией синуса. Поэтому, временная часть в уравнении (8) не сократится. Следовательно, решение уравнения (8) следует представить в общей форме гармонической функции
в которой два параметра A o и φ необходимо найти с помощью уравнения (8). Параметр A o является амплитудой вынужденных колебаний, φ − сдвиг фаз между изменяющейся координатой и переменной вынуждающей силой. Используя тригонометрическую формулу для косинуса суммы, функцию (9) можно представить в эквивалентной форме
которая также содержит два параметра B = A o cosφ и C = −A o sinφ , подлежащих определению. Используя функцию (10), запишем явные выражения для зависимостей скорости и ускорения частицы от времени
и подставим в уравнение (8):
Перепишем это выражение в виде
Для того чтобы равенство (13) выполнялось в любой момент времени необходимо, чтобы коэффициенты при косинусе и синусе были равны нулю. На основании этого условия получаем два линейных уравнения для определения параметров функции (10):
Решение этой системы уравнений имеет вид
На основании формулы (10) определяем характеристики вынужденных колебаний: амплитуду
сдвиг фаз
При малом затухании эта зависимость имеет резкий максимум при приближении частоты вынуждающей силы ω к собственной частоте системы ω o . Таким образом, и в этом случае возможно возникновения резонанса, поэтому построенные зависимости часто называют резонансной кривой. Учет слабого затухания показывает, что амплитуда не возрастает до бесконечности, ее максимальное значение зависит от коэффициента затухания − с возрастанием последнего максимальная амплитуда быстро убывает. Полученная зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы (16) содержит слишком много независимых параметров ( f o , ω o , γ ) для того, чтобы построить полное семейство резонансных кривых. Как и во многих случаях, эту зависимость можно существенно упростить, перейдя к «безразмерным» переменным. Преобразуем формулу (16) к следующему виду
и обозначим
− относительная частота (отношение частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы);
− относительная амплитуда (отношение амплитуды колебаний к величине отклонения A o = f/ω o 2 при нулевой частоте);
− безразмерный параметр, определяющий величину затухания. Используя эти обозначения, функция (16) существенно упрощается
так как содержит всего один параметр − δ . Однопараметрическое семейство резонансных кривых, описываемых функцией (16 б) может быть построено, особенно легко с помощью компьютера. Результат такого построения показан на рис. 629.
рис. 6.11
Отметим, что переход к «обычным» единицам измерения может быть проведен элементарным изменением масштаба осей координат. Следует отметить, что частота вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, также зависит от коэффициента затухания, слегка убывая с ростом последнего. Наконец, подчеркнем, что увеличение коэффициента затухания приводит к существенному увеличению ширины резонансной кривой. Возникающий сдвиг фаз между колебаниями точки и вынуждающей силой также зависит от частоты колебаний и коэффициента их затухания. Более подробно с ролью этого сдвига фаз мы познакомимся при рассмотрении преобразования энергии в процессе вынужденных колебаний.
частота свободных незатухающих колебаний совпадает с собственной частотой, частота затухающих колебаний немного меньше собственной, а частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы, а не собственной частотой.
Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденными называются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.
Рис.6.12. Контур с вынужденными электрическими колебаниями
Рассмотрим процессы, протекающие в электрическом колебательном контуре (рис.6.12 ), присоединенном к внешнему источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону
,
где m – амплитуда внешней ЭДС,
– циклическая частота ЭДС.
Обозначим через U C напряжение на конденсаторе, а через i - силу тока в контуре. В этом контуре кроме переменной ЭДС (t ) действует еще ЭДС самоиндукции L в катушке индуктивности.
ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения силы тока в контуре
.
Для вывода дифференциального уравнения вынужденных колебаний возникающих в таком контуре используем второе правило Кирхгофа
.
Напряжение на активном сопротивлении R найдем по закону Ома
.
Cила электрического тока равна заряду протекающему за единицу времени через поперечное сечение проводника
.
Следовательно
.
Напряжение U C на конденсаторе прямо пропорционально заряду на обкладках конденсатора
.
ЭДС самоиндукции можно представить через вторую производную от заряда по времени
.
Подставляя напряжения и ЭДС во второе правило Кирхгофа
.
Разделив обе части этого выражения на L и распределив слагаемые по степени убывания порядка производной, получим дифференциальное уравнение второго порядка
.
Введем следующие обозначения и получим
–коэффициент
затухания,
–циклическая
частота собственных колебаний контура.
.
(1)
Уравнение (1) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Такого типа уравнения описывают поведение широкого класса колебательных систем (электрических, механических) под влиянием внешнего периодического воздействия (внешней ЭДС или внешней силы).
Общее решение уравнения (1) складывается из общего решения q 1 однородного дифференциального уравнения (2)
(2)
и любого частного решения q 2 неоднородного уравнения (1)
.
Вид общего решения однородного уравнения (2) зависит от величины коэффициента затухания . Нас будет интересовать случай слабого затухания << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
где B и 0 – постоянные, задаваемые начальными условиями.
Решение (3) описывает затухающие колебания в контуре. Входящие в (3) величины:
–циклическая
частота затухающих колебаний;
–амплитуда
затухающих колебаний;
–фаза
затухающих колебаний.
Частное решение уравнения (1) ищем в виде гармонического колебания, происходящего с частотой, равной частоте внешнего периодического воздействия – ЭДС, и отстающего по фазе на от него
где
– амплитуда вынужденных колебаний,
зависящая от частоты.
Подставим (4) в (1) и получим тождество
Чтобы сравнить фазы колебаний, используем тригонометрические формулы приведения
.
Тогда наше уравнение перепишется в виде
Представим колебания в левой части полученного тождества в виде векторной диаграммы (рис .6.13)..
Третье
слагаемое, соответствующее колебаниям
на емкости С
,
имеющее фазу (
t
–
)
и амплитуду
,
изобразим горизонтальным вектором,
направленным вправо.
Рис.6.13. Векторная диаграмма
Первое
слагаемое левой части, соответствующие
колебаниям на индуктивности L
,
изобразится на векторной диаграмме
вектором, направленным горизонтально
влево (его амплитуда
).
Второе
слагаемое, соответствующие колебаниям
на сопротивлении R
,
изобразим вектором, направленным
вертикально вверх (его амплитуда
),
т. к. его фаза на/2
отстает от фазы первого слагаемого.
Так
как сумма трех колебаний слева от знака
равно дает гармоническое колебание
,
то векторная сумма на диаграмме (диагональ
прямоугольника) изображает колебание
с амплитудой
и фазой
t
,
которая на
опережает фазу колебаний третьего
слагаемого.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора можно найти амплитуду A ( )
(5)
и tg как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
.
(6)
Следовательно, решение (4) с учетом (5) и (6) примет вид
.
(7)
Общее решение дифференциального уравнения (1) является суммой q 1 и q 2
.
(8)
Формула
(8) показывает, что при воздействии на
контур периодической внешней ЭДС в нем
возникают колебания двух частот, т.е.
незатухающие колебания с частотой
внешней ЭДС
и затухающие колебания с частотой
.
Амплитуда затухающих колебаний
со временем становится пренебрежимо
малой, и в контуре остаются только
вынужденные колебания, амплитуда которых
не зависит от времени. Следовательно,
установившиеся вынужденные колебания
описываются функцией (4). То есть в контуре
возникают вынужденные гармонические
колебания, с частотой, равной частоте
внешнего воздействия, и амплитудой
,
зависящей от этой частоты (рис.
3а
)
по закону (5). При этом по фазе вынужденное
колебание отстает на
от вынуждающего воздействия.
Продифференцировав выражение (4) по времени, найдем силу тока в контуре
где
– амплитуда силы тока.
Запишем это выражение для силы тока в виде
,
(9)
где
–сдвиг
по фазе между током и внешней ЭДС
.
В соответствии с (6) и рис. 2
.
(10)
Из этой формулы следует, что сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС зависит, при постоянном сопротивлении R , от соотношения между частотой вынуждающей ЭДС и собственной частотой контура 0 .
Если < 0 , то сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Если > 0 , тогда > 0. Колебания силы тока отстают от колебаний ЭДС по фазе на угол .
Если = 0 (резонансная частота ), то = 0, т. е. сила тока и ЭДС колеблются в одинаковой фазе.
Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды колебаний при совпадении частоты внешней, вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы.
При резонансе = 0 и период колебаний
.
Учитывая, что коэффициент затухания
,
получим выражения для добротности при резонансе Т = Т 0
,
с другой стороны
.
Амплитуды напряжений на индуктивности и емкости при резонансе можно выразить через добротность контура
,
(15)
.
(16)
Из
(15) и (16) видно, что при
=
0 ,
амплитуда напряжения на конденсаторе
и индуктивности в Q
раз больше амплитуды внешней ЭДС. Это
свойство последовательного RLC
контура используется для выделения
радиосигнала определенной частоты
из спектра радиочастот при перестройке
радиоприемника.
На практике RLC контура связаны с другими контурами, измерительными приборами или усилительными устройствами, вносящими дополнительное затухание в RLC контур. Поэтому реальная величина добротности нагруженного RLC контура оказывается ниже величины добротности, оцениваемой по формуле
.
Реальная величина добротности может быть оценена как
Рис.6.14. Определение добротности по резонансной кривой
,
где f – ширина полосы частот, в которых амплитуда составляет 0,7 от максимального значения (рис. 4).
Напряжения на конденсаторе U C , на активном сопротивлении U R и на катушке индуктивности U L достигают максимума при различных частотах, соответственно
,
,
.
Если затухание мало 0 >> , то все эти частоты практически совпадают и можно считать что
.
1. Выясним, какие превращения энергии происходят при колебаниях пружинного маятника (см. рис. 80). При растяжении пружины ее потенциальная энергия увеличивается и при максимальном растяжении имеет значение E п = .
При движении груза к положению равновесия потенциальная энергия пружины уменьшается, а кинетическая энергия груза увеличивается. В положении равновесия кинетическая энергия груза максимальна E к = , а потенциальная энергия пружины равна нулю.
При сжатии пружины увеличивается ее потенциальная энергия и уменьшается кинетическая энергия груза. При максимальном сжатии потенциальная энергия пружины максимальна, а кинетическая энергия груза равна нулю.
Если пренебречь силой трения, то в любой момент времени сумма потенциальной и кинетической энергий остается неизменной
E = E п + E к = const.
При наличии силы трения энергия расходуется на совершение работы против этой силы, амплитуда колебаний уменьшается и колебания затухают.
Таким образом, свободные колебания маятника, происходящие за счет первоначального запаса энергии, всегда затухающие .
2. Возникает вопрос, что нужно сделать для того, чтобы колебания с течением времени не прекращались. Очевидно, для получения незатухающих колебаний необходимо компенсировать потери энергии. Это можно сделать разными способами. Рассмотрим один из них.
Вы хорошо знаете, что колебания качелей не будут затухать, если их постоянно подталкивать, т. е. действовать на них с некоторой силой. В этом случае колебания качелей уже не являются свободными, они будут происходить под действием внешней силы. Работа этой внешней силы как раз и восполняет потери энергии, вызванные трением.
Выясним, какой должна быть внешняя сила? Предположим, что модуль и направление силы постоянны. Очевидно, в этом случае колебания прекратятся, потому что тело, пройдя положение равновесия, не будет в него возвращаться. Следовательно, модуль и направление внешней силы должны периодически изменяться.
Таким образом,
вынужденными колебаниями называют колебания, происходящие под действием внешней, периодически изменяющейся силы.
Вынужденные колебания, в отличие от свободных, могут происходить с любой частотой. Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения действующей на тело силы, в данном сдучае называется вынуждающей.
3. Проделаем опыт. Подвесим к веревке, закрепленной в стойках, несколько маятников разной длины (рис. 82). Отклоним маятник A от положения равновесия и предоставим его самому себе. Он будет совершать свободные колебания, действуя с некоторой периодической силой на веревку. Веревка в свою очередь будет действовать на остальные маятники. В результате все маятники начнут совершать вынужденные колебания с частотой колебаний маятника A .
Мы увидим, что все маятники начнут колебаться с частотой, равной частоте колебаний маятника A . Однако их амплитуда колебаний, кроме маятника C , будет меньше, чем амплитуда колебаний маятника A . Маятник же C , длина которого равна длине маятника A , будет раскачиваться очень сильно. Следовательно, наибольшую амплитуду колебаний имеет маятник, собственная частота колебаний которого совпадает с частотой вынуждающей силы. В этом случае говорят, что наблюдается резонанс .
Резонансом называют явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы (маятника).
Резонанс можно наблюдать при колебании качелей. Теперь вы можете объяснить, что качели будут сильнее раскачиваться, если их подталкивать в такт с их собственными колебаниями. В этом случае частота внешней силы равна частоте колебаний качелей. Любой толчок против движения качелей вызовет уменьшение их амплитуды.
4 * . Выясним, какие преобразования энергии происходят при резонансе.
Если частота вынуждающей силы отличается от собственной частоты колебаний тела, то вынуждающаяя сила будет направлена то по направлению движения тела, то против него. Соответственно работа этой силы будет то отрицательной, то положительной. В целом же работа вынуждающей силы в этомслучае незначительно изменяет энергию системы.
Пусть теперь частота внешней силы равна собственной частоте колебаний тела. В этом случае направление вынуждающей силы совпадает с направлением скорости тела, а сила сопротивления компенсируется внешней силой. Тело колеблется только под действием внутренних сил. Иначе говоря, отрицательная работа против силы сопротивления равна положительной работе внешней силы. Поэтому колебания происходят с максимальной амплитудой.
5. Явление резонанса необходимо учитывать в практике. В частности, станки, машины совершают во время работы небольшие колебания. Если частота этих колебаний совпадает с частотой собственных колебаний отдельных частей машин, то амплитуда колебаний может оказаться очень большой. Машина или опора, на которой она стоит, разрушится.
Известны случаи, когда вследствие резонанса разваливался на части самолет в воздухе, ломались гребные винты у судов, рушились железнодорожные рельсы.
Не допустить резонанса можно, изменяя либо собственную частоту системы, либо частоту силы, вызывающей колебания. С этой целью, например, солдаты, переходя через мост, идут не в ногу, а вольным шагом. В противном случае частота их шагов может совпасть с частотой собственных колебаний моста и он разрушится. Так произошло в 1750 г. во Франции, когда через мост длиной102 м, висящий на цепях, проходил отряд солдат. Подобный случай произошел и в Петербурге в 1906 г. При переходе по Египетскому мосту через реку Фонтанку кавалерийского эскадрона частота четкого шага лошадей совпала с частотой колебаний моста.
Для предотвращения резонанса поезда переезжают мосты на медленном или на очень быстром ходу, чтобы частота ударов колес о стыки рельсов была значительно меньше или значительно больше частоты собственных колебаний моста.
Явление резонанса не всегда оказывается вредным. Иногда оно может быть полезным, поскольку позволяет получить с помощью даже небольшой силы большое увеличение амплитуды колебаний.
На явлении резонанса основано действие прибора, позволяющего измерять частоту колебаний. Этот прибор называется частотомером . Его работу можно проиллюстрировать следующим опытом. На центробежной машине закрепляют модель частотомера, которая состоит из набора пластин (язычков) разной длины(рис. 83). На концах пластин имеются жестяные флажки, покрытые белой краской. Можно заметить, что при изменении скорости вращения ручки машины разные пластины приходят в колебание. Колебаться начинают те пластины, собственная частота которых равна частоте вращения.
Вопросы для самопроверки
1. От чего зависит амплитуда свободных колебаний пружинного маятника?
2. Сохраняется ли постоянной амплитуда колебаний маятника при наличии сил трения?
3. Какие превращения энергии происходят при колебаниях пружинного маятника?
4. Почему свободные колебания являются затухающими?
5. Какие колебания называют вынужденными? Приведите примеры вынужденных колебаний.
6. Что называют резонансом?
7. Приведите примеры вредного проявления резонанса. Что нужно сделать, чтобы не допускать резонанс?
8. Приведите примеры использования явления резонанса.
Задание 26
1. Заполните таблицу 14, записав в нее, какая сила действует на колебательную систему, если она совершает свободные или вынужденные колебания; чему равны частота и амплитуда этих колебаний; являются они затухающими или нет.
Таблица 14
|
Характеристика колебаний |
Вид колебаний |
|
|
Свободные |
Вынужденные |
|
|
Действующая сила |
||
|
Частота |
||
|
Амплитуда |
||
|
Затухание |
||
2 э. Предложите опыт для наблюдения вынужденных колебаний.
3 э. Изучите экспериментально явление резонанса, используя для этого изготовленные вами математические маятники.
4. При некоторой скорости вращения колеса швейной машины стол, на котором она стоит, иногда сильно раскачивается. Почему?
Вынужденными колебаниями называют такие колебания, которые возникают в системе при действии на нее внешней вынуждающей периодически изменяющейся силы, называемой вынуждающей.
Характер (зависимость от времени) вынуждающей силы может быть различным. Это может сила, меняющаяся по гармоническому закону. Например, звуковая волна, источником которой является камертон, попадает на барабанную перепонку или мембрану микрофона. На перепонку начинает действовать гармонически меняющаяся сила давления воздуха.
Вынуждающая сила может носить характер толчков или коротких импульсов. Например, взрослый раскачивает ребенка на качелях, периодически толкая их в тот момент, когда качели приходят в одно из крайних положений.
Наша задача – выяснить, как реагирует колебательная система на воздействие периодически изменяющейся вынуждающей силы.
§ 1 Вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону
F сопрх = - rv x и вынуждающая сила F вын = F 0 sin wt .
Второй закон Ньютона запишется в виде:
Решение уравнения (1) ищут в виде , где - это решение уравнения (1), если бы в нем не было правой части. Видно, что без правой части уравнение превращается в известное нам уравнение затухающих колебаний, решение которого мы уже знаем. За достаточно большое время свободные колебания, которые возникнут в системе при выведении ее из положения равновесия, практически затухнут, и в решении уравнения останется только второе слагаемое. Будем искать это решение в виде
Сгруппируем слагаемые иначе:
Это равенство должно выполняться в любой момент времени t, что возможно только, если коэффициенты при синусе и косинусе равны нулю.
Итак,тело, на которое действует вынуждающая сила, меняющаяся по гармоническому закону, совершает колебательное движение с частотой вынуждающей силы.
Разберем подробнее вопрос об амплитуде вынужденных колебаний:
1 Амплитуда установившихся вынужденных колебаний не меняется с течением времени. (Сравните с амплитудой свободных затухающих колебаний).
2 Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы.
3 Амплитуда зависит от трения в системе (А зависит от d, а коэффициент затухания d, в свою очередь, зависит от коэффициента сопротивления r). Чем больше трение в системе, тем амплитуда вынужденных колебаний меньше.
4 Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы w. Как? Исследуем функцию А(w).
При w = 0 (постоянная сила действует на колебательную систему) смещение тела неизменно с течением времени (надо иметь в виду то, что это относится к установившемуся состоянию, когда собственные колебания уже практически затухли).
· При w ® ¥, то, как нетрудно видеть, амплитуда А стремится к нулю.
· Очевидно, что при какой-то частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний примет наибольшее значение (для данного d). Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты вынуждающей силы носит название механического резонанса.
Интересно, что добротность колебательной системы в этом случае показывает во сколько раз резонансная амплитуда превышает смещение тела от положения равновесия под действием постоянной силы F 0 .
Мы видим, что и резонансная частота, и резонансная амплитуда зависят от коэффициента затухания d. С уменьшением d к нулю резонансная частота возрастает и стремится к частоте собственных колебаний системы w 0 . При этом резонансная амплитуда возрастает и при d = 0 обращается в бесконечность. Разумеется, на практике амплитуда колебаний бесконечной быть не может, так как в реальных колебательных системах всегда действуют силы сопротивления. Если система имеет малое затухание, то приближенно можно считать, что резонанс наступает при частоте собственных колебаний.:
где в рассматриваемом случае - это сдвиг по фазе между вынуждающей силой и смещением тела от положения равновесия.
Нетрудно видеть, что сдвиг по фазе между силой и смещением зависит от трения в системе и частоты внешней вынуждающей силы . Эта зависимость показана на рисунке. Видно, что при < тангенс принимает отрицательные значения, а при > - положительные.
Зная зависимость от угла , можно получить зависимость от частоты вынуждающей силы .
При частотах внешней силы, существенно меньших собственной, смещение отстает по фазе от вынуждающей силы незначительно. При увеличении частоты внешней силы это запаздывание по фазе растет. При резонансе (если невелико) сдвиг по фазе становится равным . При >> колебания смещения и силы происходят в противофазе. Такая зависимость может показаться на первый взгляд странной. Чтобы понять этот факт, обратимся к энергетическим преобразованиям в процессе вынужденных колебаний.
§ 2 Энергетические превращения
Как мы уже знаем, амплитуда колебаний определяется полной энергией колебательной системы. Ранее было показано, что амплитуда вынужденных колебаний остается неизменной с течением времени. Это значит, что полная механическая энергия колебательной системы с течением времени не меняется. Почему? Ведь система не замкнута! Две силы - внешняя периодически меняющаяся и сила сопротивления – совершают работу, которая должна менять полную энергию системы.
Попробуем разобраться, в чем дело. Мощность внешней вынуждающей силы может быть найдена следующим образом:
Видим, что мощность внешней силы , подпитывающей колебательную систему энергией, пропорциональна амплитуде колебаний .
Счет работы силы сопротивления энергия колебательной системы должна уменьшаться, переходя во внутреннюю. Мощность силы сопротивления:
Очевидно, что мощность силы сопротивления пропорциональна квадрату амплитуды . Изобразим обе зависимости на графике.
Чтобы колебания были установившимися (амплитуда не менялась с течением времени), работа внешней силы за период должна компенсировать потери энергии системой за счет работы силы сопротивления. Точка пересечения графиков мощностей как раз соответствует этому режиму. Представим, что в силу каких-то причин амплитуда вынужденных колебаний уменьшилась. Это приведет к тому, что мгновенная мощность внешней силы окажется больше мощности потерь. Это приведет к росту энергии колебательной системы, и амплитуда колебаний восстановит прежнее значение.
Аналогичным образом можно убедиться, что при случайном увеличении амплитуды колебаний мощность потерь превысит мощность внешней силы, что приведет к уменьшению энергии системы, и, следовательно, к уменьшению амплитуды.
Вернемся к вопросу о сдвиге по фазе между смещением и вынуждающей силой при резонансе. Мы уже показали, что смещение отстает, а, значит, сила опережает смещение, на . С другой стороны, проекция скорости в процессе гармонических колебаний всегда опережает координату на . Это означает, что при резонансе внешняя вынуждающая сила и скорость колеблются в одной фазе. А значит они сонаправлены в любой момент времени! Работа внешней силы в этом случае всегда положительна, она вся идет на пополнение колебательной системы энергией.
§ 3 Несинусоидальное периодическое воздействие
Вынужденные колебания осциллятора возможны при любом периодическом внешнем воздействии, а не только синусоидальном. При этом установившиеся колебания, вообще говоря, не будут синусоидальными, но они будут представлять собой периодическое движение с периодом, равным периоду внешнего воздействия.
Внешнее воздействие может представлять собой, например, последовательные толчки (вспомните, как взрослый человек «раскачивает» ребенка, сидящего на качелях). Если период внешних толчков совпадает с периодом собственных колебаний, то в системе может наступать резонанс. Колебания при этом будут почти синусоидальными. Сообщаемая системе при каждом толчке энергия идет пополнение полной энергии системы, теряемой за счет трения. Понятно, что при этом возможны варианты: если сообщаемая при толчке энергия равна или превышает потери на трение за период, то колебания будут либо установившимися, либо их размах будет возрастать. Это хорошо видно на фазовой диаграмме.
Очевидно, что резонанс возможен и в том случае, когда период следования толчков будет кратен периоду собственных колебаний. Такое невозможно при синусоидальном характере внешнего воздействия.
С другой стороны, даже при совпадении частоты толчков с собственной частотой резонанс может не наблюдаться. Если только потери на трение за период превышают энергию, полученную системой во время толчка, то полная энергия системы будет уменьшаться, а колебания будут затухать.
§ 4 Параметрический резонанс
Внешнее воздействие на колебательную систему может сводиться к периодическому изменению параметров самой колебательной системы. Возбуждаемые таким образом колебания называются параметрическими, а сам механизм – параметрическим резонансом .
Прежде всего, попытаемся ответить на вопрос: можно ли раскачать уже имеющиеся в системе малые колебания, периодически изменяя определенным образом какой-либо ее параметр.
В качестве примера рассмотрим раскачивание человека на качелях. Сгибая и выпрямляя ноги в «нужные» моменты, он фактически изменяет длину маятника. В крайних положениях человек приседает, тем самым чуть-чуть опускает центр тяжести колебательной системы, в среднем положении человек выпрямляется, поднимая центр тяжести системы.
Чтобы понять, почему при этом человек раскачивается, рассмотрим предельно упрощенную модель человека на качелях – обычный небольшой маятник, то есть небольшой грузик на легкой и длинной нити. Чтобы имитировать поднимание и опускание центра тяжести, пропустим верхний конец нити через маленькое отверстие и будем вытягивать нить в те моменты, когда маятник проходит положение равновесия, и настолько же опускать нить, когда маятник проходит крайнее положение.
Работа силы натяжения нити за период (с учетом того, что подъем груза и его опускание производится два раза за период и что Dl << l ):
Обратите внимание, что в скобках стоит не что иное, как утроенная энергия колебательной системы. Кстати, это величина положительная, следовательно, работа силы натяжения (наша работа) положительная, она приводит к увеличению полной энергии системы, а значит, к раскачке маятника.
Интересно, что относительное изменение энергии за период не зависит от того, слабо раскачивается маятник или сильно. Это очень важно, и вот почему. Если маятник «не подкачивать» энергией, то за каждый период он будет терять за счет силы трения определенную часть своей энергии, и колебания будут затухать. А чтобы размах колебаний увеличивался, необходимо, чтобы приобретаемая энергия превышала потерянную на преодоление трения. И это условие, оказывается, одно и то же – как при маленькой амплитуде, так и при большой.
Например, если за один период энергия свободных колебаний уменьшается на 6%, то для того, чтобы колебания маятника длиной 1 м не затухали, достаточно в среднем положении уменьшать его длину на 1 см, а в крайнем – на столько же увеличивать.
Возвращаясь к качелям: если вы начали раскачиваться, то нет необходимости приседать все глубже и глубже – приседайте все время одинаково, и будете взлетать все выше и выше!
*** Опять добротность!
Как мы уже сказали, для параметрической раскачки колебаний необходимо выполнение условия DЕ > А трения за период.
Найдем работу силы трения за период
Видно, что относительная величина подъема маятника для его раскачки определяется добротностью системы.
§ 5 Значение резонанса
Вынужденные колебания и резонанс широко используются в технике, особенно в акустике, электротехнике, радиотехнике. Резонанс, в первую очередь, используется тогда, когда из большого набора колебаний разной частоты хотят выделить колебания определенной частоты. Резонанс используется и при изучении очень слабых периодически повторяющихся величин.
Однако, в ряде случаев резонанс – нежелательное явление, так как может привести к большим деформациям и разрушениям конструкций.
§ 6 Примеры решения задач
Задача 1 Вынужденные колебания пружинного маятника под действием внешней синусоидальной силы.
К пружине жесткостью k = 10 Н/м подвесили груз массой m = 10 г и поместили систему в вязкую среду с коэффициентом сопротивления r = 0,1 кг/с. Сравните собственную и резонансную частоту системы. Определите амплитуду колебаний маятника при резонансе под действием синусоидальной силы с амплитудой F 0 = 20 мН.
Решение:
1 Собственная частота колебательной системы – это частота свободных колебаний в отсутствии трения. Собственная циклическая частота равна , частота колебаний .
2 Резонансная частота – это частота внешней вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Резонансная циклическая частота равна , где - коэффициент затухания, равный .
Таким образом, резонансная частота равна . Нетрудно видеть, что резонансная частота меньше собственной! Также видно, что чем меньше трение в системе (r) , тем ближе резонансная частота к собственной.
3 Резонансная амплитуда равна
Задача 2 Резонансная амплитуда и добротность колебательной системы
К пружине жесткостью k = 10 Н/м подвесили груз массой m = 100 г и поместили систему в вязкую среду с коэффициентом сопротивления
r = 0,02 кг/с. Определите добротность колебательной системы и амплитуду колебаний маятника при резонансе под действием синусоидальной силы с амплитудой F 0 = 10 мН. Найдите отношение резонансной амплитуды к статическому смещению под действием постоянной силы F 0 = 20 мН и сравните это отношение с добротностью.
Решение:
1 Добротность колебательной системы равна , где - логарифмический декремент затухания.
Логарифмический декремент затухания равен .
Находим добротность колебательной системы .
2 Резонансная амплитуда равна
3 Статическое смещение под действием постоянной силы F 0 = 10 мН равно .
4 Отношение резонансной амплитуды к статическому смещению под действием постоянной силы F 0 равно
Нетрудно видеть, что это отношение совпадает с добротностью колебательной системы
Задача 3 Резонансные колебания балки
Под действием веса электромотора консольная бака, на которой он установлен, прогнулась на . При каком числе оборотов якоря мотора может возникнуть опасность резонанса?
Решение:
1 Корпус двигателя и балка, на которой он установлен, испытывают периодические толчки со стороны вращающегося якоря мотора и, следовательно, совершают вынужденные колебания с частотой следования толчков.
Резонанс будет наблюдаться при совпадении частоты следования толчков с собственной частотой колебания балки с мотором . Необходимо найти собственную частоту колебаний системы балка – мотор.
2 Аналогом колебательной системы балка – мотор может служить вертикальный пружинный маятник, масса которого равна массе мотора. Собственная частота колебаний пружинного маятника равна . Но жесткость пружины и масса мотора не известны! Как быть?
3 В положении равновесия пружинного маятника сила тяжести груза уравновешивается силой упругости пружины
4 Находим вращения якоря двигателя, т.е. частоту следования толчков
Задача 4 Вынужденные колебания пружинного маятника под действием периодических толчков.
Гиря массой m = 0,5 кг подвешена к спиральной пружине жесткостью k = 20 Н/м. Логарифмический декремент затухания колебательной системы равен . Гирю хотят раскачать короткими толчками, действуя на гирю силой F = 100 мН в течение времени τ = 0,01 с. Какой должна быть частота следования ударов, чтобы амплитуда гири была наибольшей? В какие моменты и в каком направлении следует толкать гирю? До какой амплитуды удастся раскачать гирю таким способом?
Решение:
1 Вынужденные колебания могут происходить при любом периодическом воздействии. При этом установившееся колебание будет происходить с частотой следования внешнего воздействия. Если период внешних толчков совпадает с частотой собственных колебаний, то в системе наступает резонанс – амплитуда колебаний становится наибольшей. В нашем случае для наступления резонанса период следования толчков должен совпасть с периодом колебаний пружинного маятника.
Логарифмический декремент затухания мал, следовательно, мало трение в системе, и период колебаний маятника в вязкой среде практически совпадает с периодом колебаний маятника в вакууме:
2 Очевидно, направление толчков должно совпадать со скоростью гири. В этом случае работа внешней силы, пополняющей систему энергией, будет положительной. И колебания будут раскачиваться. Энергия, получаемая системой в процессе удара
будет наибольшей при прохождении грузом положения равновесия, ибо в этом положении скорость маятника максимальна.
Итак, наиболее быстро система раскачается при действии толчков в направлении движения груза при прохождении им положения равновесия.
3 Амплитуда колебаний прекращает расти, когда энергия, сообщаемая системе в процессе удара, будет равна потерям энергии на трение за период: .
Энергию потерь за период найдем через добротность колебательной системы
где Е – полная энергия колебательной системы, которая может быть рассчитана как .
Подставляем вместо энергии потерь энергию, получаемую системой в процессе удара:
Максимальная скорость в процессе колебаний равна . С учетом этого получаем .
§7 Задания для самостоятельного решения
Тест «Вынужденные колебания»
1 Какие колебания называются вынужденными?
А) Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил;
Б) Колебания, возникающие в системе после внешнего толчка;
2 Какие из перечисленных колебаний является вынужденным?
А) Колебание груза, подвешенного к пружине, после однократного его отклонения от положения равновесия;
Б) Колебание диффузора громкоговорителя во время работы приемника;
В) Колебание груза, подвешенного к пружине, после однократного удара по грузу в положении равновесия;
Г) Вибрация корпуса электрического двигателя в процессе его работы;
Д) Колебания барабанной перепонки человека, слушающего музыку.
3 На колебательную систему с собственной частотой действует внешняя вынуждающая сила, меняющаяся по закону . Коэффициент затухания в колебательной системе равен . По какому закону изменяется координата тела с течением времени?
В) Амплитуда вынужденных колебаний будет оставаться неизменной, так как потери энергии системой на трение будут восполняться прибылью энергии за счет работы внешней вынуждающей силы.
5 Система совершает вынужденные колебания под действием синусоидальной силы. Укажите все факторы, от которых зависит амплитуда этих колебаний.
А) От амплитуды внешней вынуждающей силы;
Б) Наличия у колебательной системы энергии в момент начала действия внешней силы;
В) Параметров самой колебательной системы;
Г) Трения в колебательной системе;
Д) Существования в системе собственных колебаний в момент начала действия внешней силы;
Е) Времени установления колебаний;
Ж) Частоты внешней вынуждающей силы.
6 Брусок массой m совершает вынужденные гармонические колебания по горизонтальной плоскости с периодом T и амплитудой A. Коэффициент трения μ. Какую работу совершает внешняя вынуждающая сила за время, равное периоду T?
А) 4μmgA; Б) 2μmgA; В) μmgA; Г) 0;
Д) Ответ дать не возможно, так как не известна величина внешней вынуждающей силы.
7 Составьте правильное утверждение
Резонансом называется явление…
А) Совпадения частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы;
Б) Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний.
Резонанс наблюдается при условии
А) Уменьшении трения в колебательной системе;
Б) Увеличении амплитуды внешней вынуждающей силы;
В) Совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы;
Г) При совпадении частоты внешней силы с резонансной частотой.
8 Явление резонанса может наблюдаться в…
А) В любой колебательной системе;
Б) В системе, совершающей свободные колебания;
В) В автоколебательной системе;
Г) В системе, совершающей вынужденные колебания.
9 На рисунке представлен график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Резонанс наступает на частоте…
10 Три одинаковых маятника, находящиеся в различных вязких средах, совершают вынужденные колебания. На рисунке показаны резонансные кривые для этих маятников. Какой из маятников испытывает наибольшее сопротивление со стороны вязкой среды в процессе колебаний?
А) 1; Б) 2; В) 3;
Г) Ответ дать не возможно, поскольку амплитуда вынужденных колебаний кроме частоты внешней силы зависит еще и от ее амплитуды. Об амплитуде внешней вынуждающей силы в условии ничего не говорится.
11 Период собственных колебаний колебательной системы равен Т 0 . Каким может быть период следования толчков, чтобы амплитуда колебаний резко увеличилась, то есть в системе возник резонанс?
А) Т 0 ; Б) Т 0 , 2 Т 0 , 3 Т 0 ,…;
В) Раскачать качели можно толчками любой частоты.
12 Ваш младший брат сидит на качелях, вы раскачиваете его кратковременными толчками. Каким должен быть период следования толчков, чтобы процесс происходил наиболее эффективно? Период собственных колебаний качелей Т 0 .
Г) Раскачать качели можно толчками любой частоты.
13 Ваш младший брат сидит на качелях, вы раскачиваете его кратковременными толчками. В каком положении качелей следует производить толчок и в каком направлении толкать, чтобы процесс происходил наиболее эффективно?
А) Толкать в крайнем верхнем положении качелей в направлении положения равновесия;
Б) Толкать в крайнем верхнем положении качелей в направлении от положения равновесия;
В) Толкать в положении равновесия в направлении движения качелей;
Г) Толкать можно в любом положении, но обязательно в направлении движения качелей.
14 Казалось бы, стреляя из рогатки в мост в такт его собственным колебаниям и сделав очень много выстрелов, его можно сильно раскачать, однако это вряд ли удастся. Почему?
А) Масса моста (его инертность) велика по сравнению с массой «пули» из рогатки, мост не сможет прийти в движение под действием таких ударов;
Б) Сила удара «пули» из рогатки настолько мала что, мост не сможет прийти в движение под действием таких ударов;
В) Энергия, сообщаемая мосту за один удар много меньше потерь энергии на трение за период.
15 Вы несете ведро с водой. Вода в ведре раскачивается и выплескивается. Что можно сделать, чтобы этого не происходило?
А) Размахивать рукой, в которой находится ведро, в такт с ходьбой;
Б) Изменить скорость движения, оставив неизменной длину шагов;
В) Периодически останавливаться и ждать, когда колебания воды успокоятся;
Г) Следить за тем, чтобы в процессе движения рука с ведром располагалась строго вертикально.
Задачи
1 Система совершает затухающие колебания с частотой 1000 Гц. Определите частоту v 0 собственных колебаний, если резонансная частота
2 Определите, на какую величину Dv резонансная частота отличается от собственной частоты v 0 = 1000 Гц колебательной системы, характеризующейся коэффициентом затухания d = 400с -1 .
3 Груз массы 100 г, подвешенный на пружине жесткости 10 Н/м, совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,02 кг/с. Определите коэффициент затухания, резонансную частоту и амплитуду. Амплитудное значение вынуждающей силы 10 мН.
4 Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частотах w 1 = 400 с -1 и w 2 = 600 с -1 равны между собой. Определите резонансную частоту.
5 Грузовики въезжают по грунтовой дороге на зерновой склад с одной стороны, разгружаются и выезжают со склада с той же скоростью, но с другой стороны. С какой стороны склада выбоины на дороге идут чаще, чем с другой? Как по состоянию дороги определить, с какой стороны склада въезд, а какой выезд? Ответ обосновать
Вынужденные колебания
колебания, возникающие в какой-либо системе под действием переменной внешней силы (например, колебания мембраны телефона под действием переменного магнитного поля, колебания механической конструкции под действием переменной нагрузки и т.д.). Характер В. к. определяется как характером внешней силы, так и свойствами самой системы. В начале действия периодической внешней силы характер В. к. изменяется со временем (в частности, В. к. не являются периодическими), и лишь по прошествии некоторого времени в системе устанавливаются периодические В. к. с периодом, равным периоду внешней силы (установившиеся В. к.). Установление В. к. в колебательной системе происходит тем быстрее, чем больше Затухание колебаний в этой системе. В частности, в линейных колебательных системах (См.
Колебательные системы) при включении внешней силы в системе одновременно возникают свободные (или собственные) колебания и В. к., причём амплитуды этих колебаний в начальный момент равны, а фазы противоположны (рис.
). После постепенного затухания свободных колебаний в системе остаются только установившиеся В. к. Амплитуда В. к. определяется амплитудой действующей силы и затуханием в системе. Если затухание мало, то амплитуда В. к. существенно зависит от соотношения между частотой действующей силы и частотой собственных колебаний системы. При приближении частоты внешней силы к собственной частоте системы амплитуда В. к. резко возрастает - наступает Резонанс . В нелинейных системах (См. Нелинейные системы) разделение на свободные и В. к. возможно не всегда. Лит.:
Хайкин С. Э., Физические основы механики, М., 1963.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Вынужденные колебания" в других словарях:
Вынужденные колебания - Вынужденные колебания. Зависимость их амплитуды от частоты внешнего воздействия при различном затухании: 1 слабое затухание; 2 сильное затухание; 3 критическое затухание. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ, колебания, возникающие в какой либо системе в… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
вынужденные колебания - Колебания, происходящие под периодическим воздействием внешней обобщенной силы. [Система неразрушающего контроля. Виды (методы) и технология неразрушающего контроля. Термины и определения (справочное пособие). Москва 2003 г.] вынужденные… … Справочник технического переводчика
Вынужденные колебания колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени. Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого … Википедия
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ, колебания, возникающие в какой либо системе в результате периодически изменяющегося внешнего воздействия: силы в механической системе, напряжения или тока в колебательном контуре. Вынужденные колебания всегда происходят с… … Современная энциклопедия
Колебания, возникающие в к. л. системе под действием периодич. внеш. силы (напр., колебания мембраны телефона под действием перем. магн. поля, колебания механич. конструкции под действием перем. нагрузки). Хар р В. к. определяется как внеш. силой … Физическая энциклопедия
Колебания, возникающие в к. л. системе под влиянием перем. внеш. воздействия (напр., колебания напряжения и силы тока в электрич. цепи, вызываемые перем. эдс; колебания механич. системы, вызываемые перем. нагрузкой). Характер В. к. определяется… … Большой энциклопедический политехнический словарь
Возникают в системе под действием периодического внешнего воздействия (напр., вынужденные колебания маятника под действием периодической силы, вынужденные колебания в колебательном контуре под действием периодической электродвижущей силы). Если… … Большой Энциклопедический словарь
Вынужденные колебания - (вибрация) – колебания (вибрация) системы, вызванные и поддерживаемые силовым и (или) кинематическим возбуждением. [ГОСТ 24346 80] Вынужденные колебания – колебания систем, вызванные действием переменных во времени нагрузок. [Отраслевой… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов
- (Constrained vibrations, forced vibrations) колебания тела, вызываемые периодически действующей внешней силой. В случае совпадения периода вынужденных колебаний с периодом собственных колебаний тела получается явление резонанса. Самойлов К. И.… … Морской словарь
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ - (см.), возникающие в какой либо системе под влиянием внешнего переменного воздействия; их характер определяется как свойствами внешнего воздействии, так и свойствами самой системы. С приближением частоты внешнего воздействия к частоте собственных … Большая политехническая энциклопедия
Возникают в системе под действием периодического внешнего воздействия (например, вынужденные колебания маятника под действием периодической силы, вынужденные колебания в колебательном контуре под действием периодической эдс). Если частота… … Энциклопедический словарь
Книги
- Вынужденные колебания кручения валов при учете затухания , А.П. Филиппов , Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1934 года (издательство`Известия академии наук СССР`). В… Категория: Математика Издатель: ЁЁ Медиа , Производитель: ЁЁ Медиа ,
- Вынужденные поперечные колебания стержней при учете затухания , А.П. Филиппов , Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1935 года (издательство "Известия академии наук СССР")… Категория: