V katerem primeru pride do izidov? Teorija verjetnosti: formule in primeri reševanja problemov. Klasična verjetnostna shema

Da bi lahko kvantitativno primerjali dogodke med seboj po stopnji njihove možnosti, je seveda treba vsakemu dogodku pripisati določeno število, ki je tem večje, čim bolj je dogodek možen. To število bomo imenovali verjetnost dogodka. torej verjetnost dogodka je številčno merilo stopnje objektivne možnosti tega dogodka.

Prvo definicijo verjetnosti je treba šteti za klasično, ki je nastala pri analizi iger na srečo in je bila sprva uporabljena intuitivno.

Klasična metoda določanja verjetnosti temelji na konceptu enako možnih in nekompatibilnih dogodkov, ki so izidi dane izkušnje in tvorijo popolno skupino nekompatibilnih dogodkov.

Najenostavnejši primer enako možnih in nezdružljivih dogodkov, ki tvorijo popolno skupino, je pojav ene ali druge krogle iz žare, v kateri je več kroglic enake velikosti, teže in drugih oprijemljivih lastnosti, ki se razlikujejo le po barvi, temeljito premešane pred odstranitvijo.

Zato pravimo, da je test, katerega izidi tvorijo popolno skupino nezdružljivih in enako možnih dogodkov, reduciran na vzorec žarnic ali vzorec primerov ali pa se ujema s klasičnim vzorcem.

Enako možne in nezdružljive dogodke, ki tvorijo celotno skupino, bomo imenovali preprosto primeri ali priložnosti. Poleg tega se lahko v vsakem poskusu, skupaj s primeri, pojavijo bolj zapleteni dogodki.

Primer: Pri metu kocke lahko poleg primerov A i - izguba i-točk na zgornji strani štejemo dogodke kot B - izguba sodega števila točk, C - izguba števila točk. točke, ki so večkratnik treh...

Glede na vsak dogodek, ki se lahko zgodi med poskusom, so primeri razdeljeni na ugodno, v katerem se ta dogodek zgodi, in neugoden, v katerem se dogodek ne zgodi. V prejšnjem primeru je dogodek B naklonjen primerom A 2, A 4, A 6; dogodek C - primeri A 3, A 6.

Klasična verjetnost pojav določenega dogodka imenujemo razmerje med številom primerov, ki so ugodni za pojav tega dogodka, in skupnim številom enako možnih, nekompatibilnih primerov, ki sestavljajo celotno skupino v danem poskusu:

Kje P(A)- verjetnost nastopa dogodka A; m- število primerov, ki so ugodni za dogodek A; n- skupno število primerov.

Primeri:

1) (glej primer zgoraj) P(B)= , P(C) =.

2) Žara vsebuje 9 rdečih in 6 modrih kroglic. Poiščite verjetnost, da bosta ena ali dve naključno izžrebani kroglici rdeči.

A- naključno izžrebana rdeča kroglica:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- dve naključno izžrebani rdeči krogli:

Iz klasične definicije verjetnosti sledijo naslednje lastnosti (pokažite se):

1) Verjetnost nemogočega dogodka je 0;

2) Verjetnost zanesljivega dogodka je 1;

3) Verjetnost katerega koli dogodka je med 0 in 1;

4) Verjetnost dogodka, nasprotnega dogodku A,

Klasična definicija verjetnosti predpostavlja, da je število izidov poskusa končno. V praksi zelo pogosto obstajajo testi, katerih število možnih primerov je neskončno. Poleg tega je slabost klasične definicije ta, da zelo pogosto rezultat testa ni mogoče predstaviti v obliki niza elementarnih dogodkov. Še težje je navesti razloge, zaradi katerih se osnovni rezultati testa štejejo za enako možne. Običajno je enaka možnost elementarnih izidov testa sklenjena iz premislekov o simetriji. Vendar so takšne naloge v praksi zelo redke. Zaradi tega se poleg klasične definicije verjetnosti uporabljajo tudi druge definicije verjetnosti.

Statistična verjetnost dogodek A je relativna pogostost pojavljanja tega dogodka v izvedenih preskusih:

kjer je verjetnost pojava dogodka A;

Relativna pogostost pojavljanja dogodka A;

Število poskusov, v katerih se je pojavil dogodek A;

Skupno število poskusov.

Za razliko od klasične verjetnosti je statistična verjetnost eksperimentalna značilnost.

Primer: Za kontrolo kakovosti izdelkov iz serije je bilo naključno izbranih 100 izdelkov, med katerimi so se 3 izdelki izkazali za pomanjkljive. Določite verjetnost poroke.

Statistična metoda določanja verjetnosti je uporabna samo za tiste dogodke, ki imajo naslednje lastnosti:

Obravnavani dogodki bi morali biti rezultati le tistih testov, ki jih je mogoče neomejeno številokrat ponoviti pod istim nizom pogojev.

Dogodki morajo imeti statistično stabilnost (ali stabilnost relativnih frekvenc). To pomeni, da se v različnih serijah testov relativna pogostost dogodka malo spremeni.

Število poskusov, ki povzročijo dogodek A, mora biti precej veliko.

Preprosto je preveriti, da so lastnosti verjetnosti, ki izhajajo iz klasične definicije, ohranjene tudi v statistični definiciji verjetnosti.

Verjetnost je eden od osnovnih konceptov teorije verjetnosti. Obstaja več definicij tega pojma. Dajmo definicijo, ki se imenuje klasična.

Verjetnost dogodek je razmerje med številom elementarnih izidov, ugodnih za določen dogodek, in številom vseh enako možnih izidov izkušnje, v kateri se ta dogodek lahko pojavi.

Verjetnost dogodka A je označena z P(A)(Tukaj R– prva črka francoske besede verjetnost- verjetnost).

Po definiciji

kjer je število osnovnih izidov preskusa, ki so ugodni za pojav dogodka;

Skupno število možnih rezultatov osnovnega testa.

Ta definicija verjetnosti se imenuje klasična. Nastala je na začetni stopnji razvoja teorije verjetnosti.

Število pogosto imenujemo relativna pogostost pojavljanja dogodka A v izkušnjah.

Večja ko je verjetnost dogodka, pogosteje se zgodi, in obratno, manjša kot je verjetnost dogodka, redkeje se zgodi. Ko je verjetnost dogodka blizu ali enaka ena, se zgodi v skoraj vseh poskusih. Takšen dogodek naj bi bil skoraj zagotovo, tj. da lahko zagotovo računamo na njen pojav.

Nasprotno, ko je verjetnost nič ali zelo majhna, se dogodek zgodi zelo redko; naj bi bil tak dogodek skoraj nemogoče.

Včasih je verjetnost izražena v odstotkih: P(A) 100 % je povprečni odstotek števila pojavitev dogodka A.

Primer 2.13. Med izbiranjem telefonske številke je naročnik pozabil eno številko in jo poklical naključno. Poiščite verjetnost, da je izbrana pravilna številka.

rešitev.

Označimo z A dogodek - "želena številka je bila klicana."

Naročnik lahko pokliče katero koli izmed 10 številk, tako da je skupno število možnih elementarnih izidov 10. Ti izidi so nekompatibilni, enako možni in tvorijo popolno skupino. Naklonjen dogodku A samo en izid (obstaja samo eno zahtevano število).

Zahtevana verjetnost je enaka razmerju med številom izidov, ki so ugodni za dogodek, in številom vseh osnovnih izidov:

Klasična verjetnostna formula ponuja zelo preprost način za izračun verjetnosti brez eksperimentiranja. Vendar pa je preprostost te formule zelo varljiva. Dejstvo je, da se pri njegovi uporabi običajno pojavita dve zelo težki vprašanji:

1. Kako izbrati sistem eksperimentalnih izidov, da bodo enako mogoči in ali je to sploh mogoče?

2. Kako najti številke m in n?

Če je v eksperiment vključenih več predmetov, ni vedno enostavno videti enako možnih rezultatov.

Veliki francoski filozof in matematik d'Alembert se je vpisal v zgodovino teorije verjetnosti s svojo znamenito napako, katere bistvo je bilo v tem, da je v eksperimentu z le dvema kovancema napačno določil enakozmožnost izidov!

Primer 2.14. ( d'Alembertova napaka). Vržeta se dva enaka kovanca. Kakšna je verjetnost, da bosta padla na isto stran?

D'Alembertova rešitev.

Poskus ima tri enako možne rezultate:

1. Oba kovanca bosta padla na glave;

2. Oba kovanca bosta pristala na repih;

3. Eden od kovancev bo pristal na glavi, drugi na repu.

Pravilna rešitev.

Poskus ima štiri enako možne rezultate:

1. Prvi kovanec bo padel na glave, drugi bo prav tako padel na glave;

2. Prvi kovanec bo pristal na repih, drugi bo prav tako pristal na repih;

3. Prvi kovanec bo padel na glave, drugi pa na repe;

4. Prvi kovanec bo pristal na repu, drugi pa na glavi.

Od teh bosta dva izida ugodna za naš dogodek, zato je zahtevana verjetnost enaka .

D'Alembert je naredil eno najpogostejših napak pri izračunu verjetnosti: združil je dva osnovna izida v enega, s čimer je naredil neenako verjetnost za preostale izide poskusa.

»Nesreče niso naključne« ... Sliši se kot nekaj, kar je rekel neki filozof, a v resnici je preučevanje naključnosti usoda velike znanosti matematike. V matematiki se z naključjem ukvarja teorija verjetnosti. V članku bodo predstavljene formule in primeri nalog ter osnovne definicije te znanosti.

Kaj je teorija verjetnosti?

Teorija verjetnosti je ena od matematičnih disciplin, ki preučuje naključne dogodke.

Da bi bilo malo bolj jasno, navedimo kratek primer: če vržete kovanec navzgor, lahko pristane na glavi ali repu. Medtem ko je kovanec v zraku, sta možni obe verjetnosti. Se pravi, da je verjetnost možnih posledic 1:1. Če je ena izvlečena iz kompleta 36 kart, bo verjetnost navedena kot 1:36. Zdi se, da tukaj ni kaj raziskovati in napovedovati, zlasti s pomočjo matematičnih formul. Če pa določeno dejanje večkrat ponovite, lahko prepoznate določen vzorec in na podlagi tega napoveste razplet dogodkov v drugih pogojih.

Če povzamemo vse zgoraj navedeno, teorija verjetnosti v klasičnem smislu preučuje možnost pojava enega od možnih dogodkov v numerični vrednosti.

S strani zgodovine

Teorija verjetnosti, formule in primeri prvih nalog so se pojavili v daljnem srednjem veku, ko so se prvič pojavili poskusi napovedovanja izida iger s kartami.

Na začetku teorija verjetnosti ni imela nobene zveze z matematiko. Upravičeno je bilo z empiričnimi dejstvi ali lastnostmi dogodka, ki jih je bilo mogoče reproducirati v praksi. Prva dela na tem področju kot matematične discipline so se pojavila v 17. stoletju. Ustanovitelja sta bila Blaise Pascal in Pierre Fermat. Dolgo sta preučevala igre na srečo in videla določene vzorce, o katerih sta se odločila, da bosta povedala javnosti.

Enako tehniko je izumil Christiaan Huygens, čeprav ni bil seznanjen z rezultati raziskav Pascala in Fermata. Uvedel je koncept "teorije verjetnosti", formule in primere, ki veljajo za prve v zgodovini discipline.

Nemalo pomembna so tudi dela Jacoba Bernoullija, Laplaceov in Poissonov izrek. Teorijo verjetnosti so naredili bolj kot matematično disciplino. Teorija verjetnosti, formule in primeri osnovnih nalog so dobili današnjo obliko po zaslugi aksiomov Kolmogorova. Zaradi vseh sprememb je teorija verjetnosti postala ena od matematičnih vej.

Osnovni pojmi teorije verjetnosti. Dogodki

Glavni koncept te discipline je »dogodek«. Obstajajo tri vrste dogodkov:

Zanesljiv. Tisti, ki se bodo vseeno zgodili (kovanec bo padel).
Nemogoče. Dogodki, ki se pod nobenim pogojem ne bodo zgodili (kovanec bo ostal viseti v zraku).
Naključen. Tisti, ki se bodo zgodili ali pa se ne bodo zgodili. Nanje lahko vplivajo različni dejavniki, ki jih je zelo težko predvideti. Če govorimo o kovancu, potem obstajajo naključni dejavniki, ki lahko vplivajo na rezultat: fizične lastnosti kovanca, njegova oblika, prvotni položaj, sila meta itd.

Vsi dogodki v primerih so označeni z velikimi latiničnimi črkami, razen P, ki ima drugačno vlogo. Na primer:

A = "študentje so prišli na predavanje."
Ā = “študentje niso prišli na predavanje.”

Pri praktičnih nalogah so dogodki običajno zapisani z besedami.

Ena najpomembnejših lastnosti dogodkov je njihova enaka možnost. Se pravi, če vržete kovanec, so možne vse različice začetnega padca, dokler ne pade. A dogodki tudi niso enako mogoči. To se zgodi, ko nekdo namerno vpliva na izid. Na primer "označene" igralne karte ali kocke, pri katerih je težišče premaknjeno.

Dogodki so lahko tudi združljivi in nezdružljivi. Združljivi dogodki ne izključujejo pojava drug drugega. Na primer:

A = "študent je prišel na predavanje."
B = "študent je prišel na predavanje."

Ti dogodki so neodvisni drug od drugega in pojav enega od njih ne vpliva na pojav drugega. Nezdružljivi dogodki so opredeljeni z dejstvom, da pojav enega izključuje pojav drugega. Če govorimo o istem kovancu, potem izguba "repov" onemogoča pojav "glav" v istem poskusu.

Ukrepi na dogodkih

Dogodke je mogoče množiti in seštevati, zato sta v disciplini uvedena logična veznika »IN« in »ALI«.

Količina je določena z dejstvom, da se lahko dogodek A ali B ali dva zgodita hkrati. Če sta nezdružljiva, je zadnja možnost nemogoča; vrgla bosta A ali B.

Množenje dogodkov je sestavljeno iz istočasnega pojavljanja A in B.

Zdaj lahko navedemo več primerov, da si bolje zapomnimo osnove, teorijo verjetnosti in formule. Primeri reševanja problemov spodaj.

1. vaja: Podjetje sodeluje v natečaju za pridobitev pogodb za tri vrste del. Možni dogodki, ki se lahko pojavijo:

A = "podjetje bo prejelo prvo pogodbo."
A 1 = "podjetje ne bo prejelo prve pogodbe."
B = "podjetje bo prejelo drugo pogodbo."
B 1 = "podjetje ne bo prejelo druge pogodbe"
C = "podjetje bo prejelo tretjo pogodbo."
C 1 = "podjetje ne bo prejelo tretje pogodbe."

Z dejanji na dogodkih bomo poskušali izraziti naslednje situacije:

K = "podjetje bo prejelo vse pogodbe."

V matematični obliki bo enačba imela naslednjo obliko: K = ABC.

M = "podjetje ne bo prejelo niti ene pogodbe."

M = A 1 B 1 C 1.

Zapletimo nalogo: H = "podjetje bo prejelo eno pogodbo." Ker ni znano, katero pogodbo bo podjetje prejelo (prvo, drugo ali tretjo), je potrebno zabeležiti celoten niz možnih dogodkov:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

In 1 pr. n. št. 1 je serija dogodkov, kjer podjetje ne prejme prve in tretje pogodbe, prejme pa drugo. Drugi možni dogodki so bili zabeleženi z ustrezno metodo. Simbol υ v disciplini označuje veznik »ALI«. Če zgornji primer prevedemo v človeški jezik, bo podjetje prejelo ali tretjo pogodbo, ali drugo, ali prvo. Na podoben način lahko zapišete druge pogoje v disciplini "Teorija verjetnosti". Zgoraj predstavljene formule in primeri reševanja problemov vam bodo pomagali, da to storite sami.

Pravzaprav verjetnost

Morda je v tej matematični disciplini verjetnost dogodka osrednji koncept. Obstajajo 3 definicije verjetnosti:

klasična;
statistični;
geometrijski.

Vsak ima svoje mesto v študiji verjetnosti. Teorija verjetnosti, formule in primeri (9. razred) uporabljajo predvsem klasično definicijo, ki zveni takole:

Verjetnost situacije A je enaka razmerju med številom izidov, ki podpirajo njen pojav, in številom vseh možnih izidov.

Formula izgleda takole: P(A)=m/n.

A je pravzaprav dogodek. Če se pojavi primer, nasproten A, ga lahko zapišemo kot Ā ali A 1 .

m je število možnih ugodnih primerov.

n - vsi dogodki, ki se lahko zgodijo.

Na primer, A = "povleci karto srčkane barve." V standardnem kompletu je 36 kart, od tega jih je 9 srčkov. V skladu s tem bo formula za rešitev problema videti tako:

P(A)=9/36=0,25.

Posledično bo verjetnost, da bo iz kompleta potegnjena karta srčaste barve, 0,25.

Proti višji matematiki

Zdaj je postalo malo znano, kaj je teorija verjetnosti, formule in primeri reševanja problemov, ki se pojavljajo v šolskem kurikulumu. Teorijo verjetnosti pa najdemo tudi v višji matematiki, ki se poučuje na univerzah. Najpogosteje operirajo z geometrijskimi in statističnimi definicijami teorije in kompleksnimi formulami.

Teorija verjetnosti je zelo zanimiva. Bolje je začeti študirati formule in primere (višja matematika) z majhnimi - s statistično (ali frekvenčno) definicijo verjetnosti.

Statistični pristop ni v nasprotju s klasičnim, ampak ga nekoliko širi. Če je bilo v prvem primeru treba ugotoviti, s kakšno verjetnostjo se bo dogodek zgodil, potem je treba v tej metodi navesti, kako pogosto se bo zgodil. Tu je uveden nov koncept "relativne frekvence", ki jo lahko označimo z W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Če se za napovedovanje izračuna klasična formula, se statistična izračuna glede na rezultate poskusa. Vzemimo za primer majhno nalogo.

Oddelek tehnološke kontrole preverja kakovost izdelkov. Med 100 izdelki so bili 3 nekakovostni. Kako najti verjetnost frekvence kakovostnega izdelka?

A = "videz kakovostnega izdelka."

W n (A)=97/100=0,97

Tako je frekvenca kakovostnega izdelka 0,97. Od kje ti 97? Od 100 pregledanih izdelkov so bili 3 nekvalitetni. Od 100 odštejemo 3 in dobimo 97, to je količina kakovostnega blaga.

Nekaj malega o kombinatoriki

Druga metoda teorije verjetnosti se imenuje kombinatorika. Njegovo osnovno načelo je, da če je mogoče določeno izbiro A narediti na m različnih načinov, izbiro B pa na n različnih načinov, potem lahko izbiro A in B izvedete z množenjem.

Na primer, iz mesta A v mesto B vodi 5 cest. Iz mesta B v mesto C vodijo 4 poti. Na koliko načinov lahko prideš iz mesta A v mesto C?

Preprosto je: 5x4=20, torej na dvajset različnih načinov lahko prideš od točke A do točke C.

Zakomplicirajmo nalogo. Na koliko načinov lahko razporedite karte v pasijansu? V kompletu je 36 kart – to je izhodišče. Če želite izvedeti število načinov, morate od začetne točke "odšteti" eno karto naenkrat in pomnožiti.

To pomeni, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultat se ne prilega zaslonu kalkulatorja, zato ga lahko preprosto označimo kot 36!. Podpiši "!" poleg številke pomeni, da je celotna serija števil pomnožena skupaj.

V kombinatoriki obstajajo koncepti, kot so permutacija, postavitev in kombinacija. Vsak od njih ima svojo formulo.

Urejena množica elementov množice se imenuje aranžma. Postavitve se lahko ponavljajo, to pomeni, da se en element lahko uporabi večkrat. In brez ponavljanja, ko se elementi ne ponavljajo. n so vsi elementi, m so elementi, ki sodelujejo pri postavitvi. Formula za umestitev brez ponavljanja bo videti takole:

A n m =n!/(n-m)!

Povezave n elementov, ki se razlikujejo le po vrstnem redu postavitve, imenujemo permutacije. V matematiki je to videti takole: P n = n!

Kombinacije n elementov od m so tiste spojine, pri katerih je pomembno, kateri elementi so bili in koliko je njihovo skupno število. Formula bo videti tako:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoullijeva formula

V teoriji verjetnosti, tako kot v vsaki disciplini, obstajajo dela izjemnih raziskovalcev na svojem področju, ki so jo dvignili na novo raven. Eno od teh del je Bernoullijeva formula, ki vam omogoča, da določite verjetnost, da se določen dogodek zgodi v neodvisnih pogojih. To nakazuje, da pojav A v poskusu ni odvisen od pojava ali nepojavitve istega dogodka v prejšnjih ali naslednjih poskusih.

Bernoullijeva enačba:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Verjetnost (p) pojava dogodka (A) je konstantna za vsak poskus. Verjetnost, da se bo situacija zgodila natanko m-krat v n številu poskusov, bo izračunana z zgoraj predstavljeno formulo. V skladu s tem se postavlja vprašanje, kako najti število q.

Če se dogodek A zgodi p tolikokrat, se lahko zgodi, da se ne zgodi. Enota je številka, ki se uporablja za označevanje vseh rezultatov situacije v disciplini. Zato je q število, ki označuje možnost, da se dogodek ne zgodi.

Zdaj poznate Bernoullijevo formulo (teorija verjetnosti). Spodaj bomo obravnavali primere reševanja problemov (prva raven).

Naloga 2: Obiskovalec trgovine bo opravil nakup z verjetnostjo 0,2. V trgovino je samostojno vstopilo 6 obiskovalcev. Kakšna je verjetnost, da bo obiskovalec opravil nakup?

Rešitev: Ker ni znano, koliko obiskovalcev naj opravi nakup, eden ali vseh šest, je treba izračunati vse možne verjetnosti z Bernoullijevo formulo.

A = "obiskovalec bo opravil nakup."

V tem primeru: p = 0,2 (kot je navedeno v nalogi). V skladu s tem je q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ker je v trgovini 6 strank). Število m se bo spreminjalo od 0 (noben kupec ne bo kupil) do 6 (vsi obiskovalci trgovine bodo nekaj kupili). Kot rezultat dobimo rešitev:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nobeden od kupcev ne bo opravil nakupa z verjetnostjo 0,2621.

Kako se sicer uporablja Bernoullijeva formula (teorija verjetnosti)? Primeri reševanja problemov (drugi nivo) spodaj.

Po zgornjem primeru se porajajo vprašanja, kam sta šla C in r. Glede na p bo število na potenco 0 enako ena. Kar se tiče C, ga lahko najdete po formuli:

C n m = n! /m!(n-m)!

Ker je v prvem primeru m = 0, je C = 1, kar načeloma ne vpliva na rezultat. Z novo formulo poskusimo ugotoviti, kakšna je verjetnost, da bosta blago kupila dva obiskovalca.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija verjetnosti ni tako zapletena. Bernoullijeva formula, katere primeri so predstavljeni zgoraj, je neposreden dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova enačba se uporablja za izračun naključnih situacij z majhno verjetnostjo.

Osnovna formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

V tem primeru je λ = n x p. Tukaj je preprosta Poissonova formula (teorija verjetnosti). Spodaj bomo obravnavali primere reševanja problemov.

Naloga 3: Tovarna je izdelala 100.000 delov. Pojav okvarjenega dela = 0,0001. Kakšna je verjetnost, da bo v seriji 5 okvarjenih delov?

Kot lahko vidite, je poroka malo verjeten dogodek, zato se za izračun uporablja Poissonova formula (teorija verjetnosti). Primeri reševanja tovrstnih problemov se ne razlikujejo od drugih nalog v disciplini, potrebne podatke nadomestimo v dano formulo:

A = "naključno izbrani del bo pokvarjen."

p = 0,0001 (glede na pogoje naloge).

n = 100000 (število delov).

m = 5 (pokvarjeni deli). Podatke nadomestimo v formulo in dobimo:

100000 R (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Tako kot Bernoullijeva formula (teorija verjetnosti), primeri rešitev, ki uporabljajo zgoraj, ima Poissonova enačba neznano e. Pravzaprav jo lahko najdemo s formulo:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Vendar pa obstajajo posebne tabele, ki vsebujejo skoraj vse vrednosti e.

De Moivre-Laplaceov izrek

Če je v Bernoullijevi shemi število poskusov dovolj veliko in je verjetnost pojava dogodka A v vseh shemah enaka, potem je verjetnost pojava dogodka A določeno število krat v nizu testov mogoče najti z Laplaceova formula:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Da bi si bolje zapomnili Laplaceovo formulo (teorija verjetnosti), so spodaj navedeni primeri problemov.

Najprej poiščemo X m, nadomestimo podatke (vsi so navedeni zgoraj) v formulo in dobimo 0,025. S pomočjo tabel poiščemo število ϕ(0,025), katerega vrednost je 0,3988. Zdaj lahko vse podatke nadomestite s formulo:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Tako je verjetnost, da bo letak deloval točno 267-krat, 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija verjetnosti), primeri reševanja problemov, s pomočjo katere bodo podani spodaj, je enačba, ki opisuje verjetnost dogodka glede na okoliščine, ki bi lahko bile z njim povezane. Osnovna formula je naslednja:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A in B sta dokončna dogodka.

P(A|B) je pogojna verjetnost, kar pomeni, da se dogodek A lahko zgodi, če je dogodek B resničen.

P (B|A) - pogojna verjetnost dogodka B.

Torej, zadnji del kratkega predmeta "Teorija verjetnosti" je Bayesova formula, primeri rešitev težav s katerimi so spodaj.

Naloga 5: V skladišče so pripeljali telefone treh podjetij. Hkrati je delež telefonov, proizvedenih v prvi tovarni, 25%, v drugi - 60%, v tretji - 15%. Znano je tudi, da je povprečni odstotek okvarjenih izdelkov v prvi tovarni 2%, v drugi 4% in v tretji 1%. Ugotoviti morate verjetnost, da bo naključno izbrani telefon okvarjen.

A = "naključno izbran telefon."

B 1 - telefon, ki ga je izdelala prva tovarna. V skladu s tem se pojavita uvodni B 2 in B 3 (za drugo in tretjo tovarno).

Kot rezultat dobimo:

P (B 1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - tako smo ugotovili verjetnost vsake možnosti.

Zdaj morate najti pogojne verjetnosti želenega dogodka, to je verjetnost pokvarjenih izdelkov v podjetjih:

P (A/B 1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Zdaj nadomestimo podatke v Bayesovo formulo in dobimo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Članek predstavlja teorijo verjetnosti, formule in primere reševanja problemov, vendar je to le vrh ledene gore obsežne discipline. In po vsem napisanem se bo logično vprašati, ali je teorija verjetnosti v življenju potrebna. Običajnemu človeku je težko odgovoriti, bolje je vprašati nekoga, ki je z njim že večkrat osvojil jackpot.

V ekonomiji, tako kot na drugih področjih človekovega delovanja ali v naravi, imamo nenehno opravka z dogodki, ki jih ni mogoče natančno predvideti. Obseg prodaje izdelka je torej odvisen od povpraševanja, ki je lahko zelo različno, in od vrste drugih dejavnikov, ki jih je skoraj nemogoče upoštevati. Zato je treba pri organizaciji proizvodnje in izvajanju prodaje napovedati izid tovrstnih aktivnosti na podlagi bodisi lastnih predhodnih izkušenj bodisi podobnih izkušenj drugih ljudi ali pa intuicije, ki se v veliki meri opira tudi na eksperimentalne podatke.

Da bi zadevni dogodek nekako ovrednotili, je treba upoštevati oziroma posebej organizirati pogoje, v katerih je ta dogodek zabeležen.

Imenuje se izvajanje določenih pogojev ali dejanj za identifikacijo zadevnega dogodka izkušnje oz poskus.

Dogodek se imenuje naključen, če se zaradi izkušenj lahko pojavi ali ne.

Dogodek se imenuje zanesljiv, če se nujno pojavi kot posledica dane izkušnje, in nemogoče, če se ne more pojaviti v tej izkušnji.

Na primer, sneženje v Moskvi 30. novembra je naključen dogodek. Dnevni sončni vzhod lahko štejemo za zanesljiv dogodek. Sneženje na ekvatorju lahko štejemo za nemogoč dogodek.

Ena glavnih nalog v teoriji verjetnosti je naloga določitve kvantitativne mere možnosti, da se dogodek zgodi.

Algebra dogodkov

Dogodki se imenujejo nekompatibilni, če jih ni mogoče opazovati skupaj v isti izkušnji. Tako sta prisotnost dveh in treh avtomobilov v eni trgovini za prodajo hkrati dva nezdružljiva dogodka.

Znesek dogodki so dogodki, ki sestojijo iz pojava vsaj enega od teh dogodkov

Primer vsote dogodkov je prisotnost vsaj enega od dveh izdelkov v trgovini.

Delo dogodki so dogodki, sestavljeni iz hkratnega pojava vseh teh dogodkov

Dogodek, ki ga sestavlja pojav dveh izdelkov v trgovini hkrati, je produkt dogodkov: - pojav enega izdelka, - pojav drugega izdelka.

Dogodki tvorijo popolno skupino dogodkov, če se bo vsaj eden od njih zagotovo zgodil v izkušnji.

Primer. Pristanišče ima dva priveza za sprejem ladij. Upoštevajo se trije dogodki: - odsotnost ladij na privezih, - prisotnost ene ladje na enem od privezov, - prisotnost dveh ladij na dveh privezih. Ti trije dogodki tvorijo popolno skupino dogodkov.

Nasproti imenujemo dva edinstvena možna dogodka, ki tvorita popolno skupino.

Če je eden od dogodkov, ki je nasproten, označen z , potem je nasprotni dogodek običajno označen z .

Klasične in statistične definicije verjetnosti dogodka

Vsak od enako možnih rezultatov testov (eksperimentov) se imenuje elementarni izid. Običajno so označeni s črkami. Na primer, vržena je kocka. Glede na število točk na straneh je lahko skupaj šest osnovnih izidov.

Iz osnovnih rezultatov lahko ustvarite bolj zapleten dogodek. Tako je dogodek sodega števila točk določen s tremi izidi: 2, 4, 6.

Kvantitativno merilo možnosti nastanka zadevnega dogodka je verjetnost.

Najpogosteje uporabljene definicije verjetnosti dogodka so: klasična in statistični.

Klasična definicija verjetnosti je povezana s konceptom ugodnega izida.

Izid se imenuje ugodno danemu dogodku, če njegov pojav povzroči pojav tega dogodka.

V zgornjem primeru ima zadevni dogodek – sodo število točk na zavrteni strani – tri ugodne izide. V tem primeru general
število možnih rezultatov. To pomeni, da lahko tu uporabimo klasično definicijo verjetnosti dogodka.

Klasična definicija je enako razmerju med številom ugodnih izidov in skupnim številom možnih izidov

kjer je verjetnost dogodka, je število izidov, ki so ugodni za dogodek, je skupno število možnih izidov.

V obravnavanem primeru

Statistična definicija verjetnosti je povezana s konceptom relativne pogostosti pojavljanja dogodka v poskusih.

Relativno pogostost pojavljanja dogodka izračunamo po formuli

kjer je število pojavitev dogodka v nizu poskusov (testov).

Statistična definicija. Verjetnost dogodka je število, okoli katerega se relativna frekvenca stabilizira (nastavi) z neomejenim povečevanjem števila poskusov.

V praktičnih problemih je verjetnost dogodka relativna frekvenca za dovolj veliko število poskusov.

Iz teh definicij verjetnosti dogodka je jasno, da je neenakost vedno izpolnjena

Za določitev verjetnosti dogodka na podlagi formule (1.1) se pogosto uporabljajo kombinatorične formule, s katerimi se ugotovi število ugodnih izidov in skupno število možnih izidov.

OBČINSKI IZOBRAŽEVALNI ZAVOD

6. GIMNAZIJA št

na temo "Klasična definicija verjetnosti."

Izpolnil učenec 8. "B" razreda

Klimantova Aleksandra.

Učitelj matematike: Videnkina V. A.

Voronež, 2008

Mnoge igre uporabljajo kocke. Kocka ima 6 stranic, na vsaki stranici je označeno različno število pik, od 1 do 6. Igralec vrže kocko in pogleda, koliko pik je na izpadli strani (na strani, ki se nahaja zgoraj) . Precej pogosto se točke na ploskvi kocke zamenjajo z ustreznim številom in nato govorijo o kotaljenju 1, 2 ali 6. Metanje kocke lahko štejemo za izkušnjo, poskus, test, dobljeni rezultat pa je izid testa ali elementarnega dogodka. Ljudje so zainteresirani za ugibanje o pojavu tega ali onega dogodka in napovedovanje njegovega izida. Kakšne napovedi lahko dajo, ko mečejo kocke? Na primer te:

1) dogodek A - vrže se številka 1, 2, 3, 4, 5 ali 6;

2) dogodek B - pojavi se številka 7, 8 ali 9;

3) dogodek C - pojavi se številka 1.

Dogodek A, predviden v prvem primeru, se bo zagotovo zgodil. Na splošno se imenuje dogodek, ki se bo zagotovo zgodil v dani izkušnji zanesljiv dogodek .

Dogodek B, predviden v drugem primeru, se ne bo nikoli zgodil, preprosto je nemogoče. Na splošno se imenuje dogodek, ki se ne more zgoditi v dani izkušnji nemogoč dogodek .

In ali se dogodek C, napovedan v tretjem primeru, zgodi ali ne? Na to vprašanje ne moremo odgovoriti s popolno gotovostjo, saj 1 lahko izpade ali pa tudi ne. Dogodek, ki se lahko zgodi ali ne zgodi v dani izkušnji, se imenuje naključni dogodek .

Ko razmišljamo o nastopu zanesljivega dogodka, najverjetneje ne bomo uporabili besede »verjetno«. Na primer, če je danes sreda, potem pa je jutri četrtek, je to zanesljiv dogodek. V sredo ne bomo rekli: “Verjetno je jutri četrtek,” rekli bomo kratko in jasno: “Jutri je četrtek.” Res je, če smo nagnjeni k lepim frazam, lahko rečemo tole: "S stoodstotno verjetnostjo pravim, da je jutri četrtek." Nasprotno, če je danes sreda, potem je nastop petka jutri nemogoč dogodek. Če ocenimo ta dogodek v sredo, lahko rečemo: "Prepričan sem, da jutri ni petek." Ali tole: "Neverjetno je, da je jutri petek." No, če smo nagnjeni k lepim frazam, lahko rečemo takole: "Verjetnost, da je jutri petek, je enaka nič." Zanesljiv dogodek je torej dogodek, ki se zgodi pod danimi pogoji s stoodstotno verjetnostjo(tj. pojavi se v 10 primerih od 10, v 100 primerih od 100 itd.). Nemogoč dogodek je dogodek, ki se pod danimi pogoji nikoli ne zgodi, dogodek z ničelno verjetnostjo .

Toda na žalost (in morda na srečo) v življenju ni vse tako jasno in natančno: vedno bo (določen dogodek), nikoli ne bo (nemogoč dogodek). Najpogosteje se soočamo z naključnimi dogodki, od katerih so nekateri bolj verjetni, drugi manj verjetni. Običajno ljudje uporabljajo besede "bolj verjetno" ali "manj verjetno", kot pravijo, na muho in se zanašajo na tako imenovano zdravo pamet. Toda zelo pogosto se takšne ocene izkažejo za nezadostne, saj je pomembno vedeti kako dolgo odstotkov verjetno naključen dogodek oz kolikokrat en naključni dogodek je verjetnejši od drugega. Z drugimi besedami, potrebujemo natančnost kvantitativno značilnosti, morate biti sposobni opisati verjetnost s številko.

Prve korake v tej smeri smo že naredili. Rekli smo, da je verjetnost, da se zgodi določen dogodek, označena kot stoodstotno, verjetnost, da se zgodi nemogoč dogodek, pa je kot nič. Glede na to, da je 100 % enako 1, so se ljudje strinjali o naslednjem:

1) verjetnost zanesljivega dogodka velja za enako 1;

2) verjetnost nemogočega dogodka velja za enako 0.

Kako izračunati verjetnost naključnega dogodka? Konec koncev se je zgodilo po naključju, kar pomeni, da ne upošteva zakonov, algoritmov ali formul. Izkazalo se je, da v svetu naključnosti veljajo določeni zakoni, ki omogočajo izračunavanje verjetnosti. To je veja matematike, ki se imenuje - teorija verjetnosti .

Matematika se ukvarja z model nek pojav realnosti okoli nas. Od vseh modelov, ki se uporabljajo v teoriji verjetnosti, se bomo omejili na najpreprostejšega.

Klasična verjetnostna shema

Če želite ugotoviti verjetnost dogodka A pri izvajanju nekega poskusa, morate:

1) poiščite število N vseh možnih rezultatov tega poskusa;

2) sprejeti predpostavko enake verjetnosti (enake možnosti) vseh teh izidov;

3) poiščite število N(A) tistih eksperimentalnih rezultatov, v katerih nastopi dogodek A;

4) poišči količnik ; bo enaka verjetnosti dogodka A.

Običajno je verjetnost dogodka A označena s P(A). Razlaga za to oznako je zelo preprosta: beseda "verjetnost" v francoščini je verjetnost, v angleščini- verjetnost.Oznaka uporablja prvo črko besede.

S tem zapisom je verjetnost dogodka A po klasični shemi mogoče najti s formulo

P(A)=.

Pogosto so vse točke zgornje klasične verjetnostne sheme izražene v eni precej dolgi frazi.

Klasična definicija verjetnosti

Verjetnost dogodka A med določenim testom je razmerje med številom izidov, zaradi katerih pride do dogodka A, in skupnim številom vseh enako možnih izidov tega testa.

Primer 1. Poiščite verjetnost, da bo pri enem metu kocke rezultat: a) 4; b) 5; c) sodo število točk; d) število točk večje od 4; e) število točk, ki ni deljivo s tri.

rešitev. Skupaj je N=6 možnih izidov: padec iz ploskve kocke s številom točk 1, 2, 3, 4, 5 ali 6. Menimo, da nobeden od njih nima prednosti pred drugimi, tj. sprejeti predpostavko, da je enaka verjetnost teh rezultatov.

a) V natanko enem od izidov se bo zgodil dogodek A, ki nas zanima – pojavilo se bo število 4. To pomeni, da je N(A)=1 in

p ( A )= =.

b) Rešitev in odgovor sta enaka kot v prejšnjem odstavku.

c) Dogodek B, ki nas zanima, se bo zgodil v točno treh primerih, ko bo število točk 2, 4 ali 6. To pomeni

n ( B )=3 in p ( B )==.

d) Dogodek C, ki nas zanima, se bo zgodil v točno dveh primerih, ko bo število točk 5 ali 6. To pomeni

n ( C ) =2 in Р(С)=.

e) Od šestih možnih izžrebanih števil štiri (1, 2, 4 in 5) niso večkratnik tri, preostali dve (3 in 6) pa sta deljivi s tri. To pomeni, da se dogodek, ki nas zanima, zgodi pri točno štirih od šestih možnih in enako verjetnih ter enako verjetnih izidov eksperimenta. Zato se izkaže, da je odgovor

. ; b) ; V) ; G) ; d).

Prava kocka se lahko razlikuje od idealne (modelne) kocke, zato je za opis njenega obnašanja potreben natančnejši in podroben model, ki upošteva prednosti ene strani pred drugo, morebitno prisotnost magnetov itd. »hudič je v podrobnostih« in večja natančnost vodi k večji zapletenosti in pridobivanje odgovora postane problem. Omejimo se na obravnavo najenostavnejšega verjetnostnega modela, kjer so vsi možni izidi enako verjetni.

Opomba 1. Poglejmo še en primer. Zastavljeno je bilo vprašanje: "Kakšna je verjetnost, da dobiš tri na eno kocko?" Študent je odgovoril: "Verjetnost je 0,5." In pojasnil svoj odgovor: »Trije se bodo pojavili ali ne. To pomeni, da sta skupaj dva izida in točno v enem se zgodi dogodek, ki nas zanima. S klasično verjetnostno shemo dobimo odgovor 0,5.” Je v tem razmišljanju kakšna napaka? Na prvi pogled ne. Vendar pa še vedno obstaja, in to na temeljen način. Da, res, trojka se bo pojavila ali ne, tj. s to definicijo izida žreba N=2. Res je tudi, da je N(A) = 1 in seveda drži, da

=0,5, kar pomeni, da so upoštevane tri točke verjetnostne sheme, vprašljiva pa je izvedba točke 2). Seveda imamo s čisto pravnega vidika pravico verjeti, da je met trojke enako verjetno, kot da ne izpade. Toda ali lahko tako mislimo, ne da bi kršili lastne naravne predpostavke o "enakosti" robov? Seveda ne! Tukaj imamo opravka s pravilnim sklepanjem znotraj nekega modela. Toda sam model je "napačen", ne ustreza resničnemu pojavu.

Opomba 2. Ko razpravljate o verjetnosti, ne pozabite na naslednjo pomembno okoliščino. Če rečemo, da je pri metanju kocke verjetnost, da dobite eno točko

, to sploh ne pomeni, da boste s 6-kratnim metom kocke dobili eno točko natanko enkrat, z 12-kratnim metom kocke boste dobili eno točko natanko dvakrat, z 18-kratnim metom kocke boste dobili eno točko natanko tri časi itd. Beseda je verjetno špekulativna. Predvidevamo, kaj se bo najverjetneje zgodilo. Verjetno, če vržemo kocko 600-krat, se bo ena točka pojavila 100-krat ali približno 100.