Kaj je dogodek v teoriji verjetnosti. Problemi klasičnega določanja verjetnosti Primeri rešitev. Odnosi med dogodki
Za praktične dejavnosti je treba znati primerjati dogodke glede na stopnjo možnosti njihovega nastanka. Razmislimo o klasičnem primeru. V žari je 10 kroglic, od tega 8 belih, 2 črni. Očitno imata dogodek »iz žare izvlečena bela krogla« in dogodek »iz žare izvlečena črna krogla« različno stopnjo možnosti pojava. Zato je za primerjavo dogodkov potrebno določeno kvantitativno merilo.
Kvantitativno merilo možnosti, da se zgodi dogodek, je verjetnost . Najbolj razširjeni definiciji verjetnosti dogodka sta klasična in statistična.
Klasična definicija verjetnost je povezana s konceptom ugodnega izida. Oglejmo si to podrobneje.
Naj izidi nekega testa tvorijo popolno skupino dogodkov in so enako možni, tj. edinstveno možno, nekompatibilno in enako možno. Takšni rezultati se imenujejo osnovni izidi, oz primerih. Rečeno je, da se test skrči na shema primera ali " shema žare", Ker Vsak verjetnostni problem za tak test je mogoče nadomestiti z enakovrednim problemom z žarami in kroglicami različnih barv.
Izid se imenuje ugodno dogodek A, če pojav tega primera povzroči nastanek dogodka A.
Po klasični definiciji verjetnost dogodka A je enako razmerju med številom izidov, ki so ugodni za ta dogodek, in skupnim številom izidov, tj.
| , | (1.1) |
Kje P(A)– verjetnost dogodka A; m– število primerov, ki so ugodni za dogodek A; n– skupno število primerov.
Primer 1.1. Pri metanju kocke je možnih šest izidov: 1, 2, 3, 4, 5, 6 točk. Kakšna je verjetnost, da dobite sodo število točk?
rešitev. Vse n= 6 izidov tvori popolno skupino dogodkov in je enako možnih, tj. edinstveno možno, nekompatibilno in enako možno. Dogodku A - "pojav sodega števila točk" - so naklonjeni 3 izidi (primeri) - izguba 2, 4 ali 6 točk. Z uporabo klasične formule za verjetnost dogodka dobimo
P(A) = = . ◄
Na podlagi klasične definicije verjetnosti dogodka opazimo njegove lastnosti:
1. Verjetnost katerega koli dogodka je med nič in ena, tj.
0 ≤ R(A) ≤ 1.
2. Verjetnost zanesljivega dogodka je enaka ena.
3. Verjetnost nemogočega dogodka je enaka nič.
Kot smo že omenili, je klasična definicija verjetnosti uporabna samo za tiste dogodke, ki se lahko pojavijo kot rezultat testov, ki imajo simetrijo možnih izidov, tj. reduciran na vzorec primerov. Vendar pa obstaja velik razred dogodkov, katerih verjetnosti ni mogoče izračunati s klasično definicijo.
Na primer, če predpostavimo, da je kovanec sploščen, potem je očitno, da dogodkov "pojav grba" in "pojav glav" ne moremo šteti za enako možna. Zato formula za določanje verjetnosti po klasični shemi v tem primeru ni uporabna.
Vendar pa obstaja še en pristop k ocenjevanju verjetnosti dogodkov, ki temelji na tem, kako pogosto se bo določen dogodek zgodil v izvedenih poskusih. V tem primeru se uporablja statistična definicija verjetnosti.
Statistična verjetnostdogodek A je relativna frekvenca (pogostost) pojavljanja tega dogodka v n izvedenih poskusih, tj.
 ,
| (1.2) |
Kje P*(A)– statistična verjetnost dogodka A; w(A)– relativno pogostost dogodka A; m– število poskusov, v katerih se je dogodek zgodil A; n– skupno število testov.
Za razliko od matematične verjetnosti P(A), obravnavana v klasični definiciji, statistična verjetnost P*(A) je značilnost izkušena, eksperimentalno. Z drugimi besedami, statistična verjetnost dogodka A je število, okoli katerega se stabilizira (nastavi) relativna frekvenca w(A) z neomejenim povečanjem števila testov, izvedenih pod enakimi pogoji.
Na primer, ko za strelca rečejo, da zadene tarčo z verjetnostjo 0,95, to pomeni, da je od stotih strelov, ki jih je izstrelil pod določenimi pogoji (ista tarča na enaki razdalji, ista puška itd.). ), v povprečju je okoli 95 uspešnih. Seveda vsaka stotka ne bo imela 95 uspešnih strelov, včasih jih bo manj, včasih več, vendar bo v povprečju ob večkratni ponovitvi streljanja pod enakimi pogoji ta odstotek zadetkov ostal nespremenjen. Številka 0,95, ki služi kot indikator strelčeve spretnosti, je običajno zelo stabilno, tj. odstotek zadetkov pri večini strelov bo skoraj enak za danega strelca, le v redkih primerih bo bistveno odstopal od svoje povprečne vrednosti.
Druga pomanjkljivost klasične definicije verjetnosti ( 1.1 ) omejitev njegove uporabe je, da predpostavlja končno število možnih rezultatov testa. V nekaterih primerih je to pomanjkljivost mogoče odpraviti z uporabo geometrijske definicije verjetnosti, tj. ugotavljanje verjetnosti, da točka pade v določeno območje (odsek, del ravnine itd.).
Pustite ravno sliko g je del ploščate figure G(slika 1.1). Fit G pika je vržena naključno. To pomeni, da vse točke v regiji G"enake pravice" glede na to, ali jo vržena naključna točka zadene. Ob predpostavki, da je verjetnost dogodka A– vržena konica zadene figuro g– je sorazmerna s površino te figure in ni odvisna od njene lokacije glede na G, niti iz obrazca g, bomo našli
V ekonomiji, tako kot na drugih področjih človekovega delovanja ali v naravi, imamo nenehno opravka z dogodki, ki jih ni mogoče natančno predvideti. Obseg prodaje izdelka je torej odvisen od povpraševanja, ki je lahko zelo različno, in od vrste drugih dejavnikov, ki jih je skoraj nemogoče upoštevati. Zato je treba pri organizaciji proizvodnje in izvajanju prodaje napovedati izid tovrstnih aktivnosti na podlagi bodisi lastnih predhodnih izkušenj bodisi podobnih izkušenj drugih ljudi ali pa intuicije, ki se v veliki meri opira tudi na eksperimentalne podatke.
Da bi zadevni dogodek nekako ovrednotili, je treba upoštevati oziroma posebej organizirati pogoje, v katerih je ta dogodek zabeležen.
Imenuje se izvajanje določenih pogojev ali dejanj za identifikacijo zadevnega dogodka izkušnje oz poskus.
Dogodek se imenuje naključen, če se zaradi izkušenj lahko pojavi ali ne.
Dogodek se imenuje zanesljiv, če se nujno pojavi kot posledica dane izkušnje, in nemogoče, če se ne more pojaviti v tej izkušnji.
Na primer, sneženje v Moskvi 30. novembra je naključen dogodek. Dnevni sončni vzhod lahko štejemo za zanesljiv dogodek. Sneženje na ekvatorju lahko štejemo za nemogoč dogodek.
Ena glavnih nalog v teoriji verjetnosti je naloga določitve kvantitativne mere možnosti, da se dogodek zgodi.
Algebra dogodkov
Dogodki se imenujejo nekompatibilni, če jih ni mogoče opazovati skupaj v isti izkušnji. Tako sta prisotnost dveh in treh avtomobilov v eni trgovini za prodajo hkrati dva nezdružljiva dogodka.
Znesek dogodki so dogodki, ki sestojijo iz pojava vsaj enega od teh dogodkov
Primer vsote dogodkov je prisotnost vsaj enega od dveh izdelkov v trgovini.
Delo dogodki so dogodki, sestavljeni iz hkratnega pojava vseh teh dogodkov
Dogodek, ki ga sestavlja pojav dveh izdelkov v trgovini hkrati, je produkt dogodkov: - pojav enega izdelka, - pojav drugega izdelka.
Dogodki tvorijo popolno skupino dogodkov, če se bo vsaj eden od njih zagotovo zgodil v izkušnji.
Primer. Pristanišče ima dva priveza za sprejem ladij. Upoštevajo se trije dogodki: - odsotnost ladij na privezih, - prisotnost ene ladje na enem od privezov, - prisotnost dveh ladij na dveh privezih. Ti trije dogodki tvorijo popolno skupino dogodkov.
Nasproti imenujemo dva edinstvena možna dogodka, ki tvorita popolno skupino.
Če je eden od dogodkov, ki je nasproten, označen z , potem je nasprotni dogodek običajno označen z .
Klasične in statistične definicije verjetnosti dogodka
Vsak od enako možnih rezultatov testov (eksperimentov) se imenuje elementarni izid. Običajno so označeni s črkami. Na primer, vržena je kocka. Glede na število točk na straneh je lahko skupaj šest osnovnih izidov.
Iz osnovnih rezultatov lahko ustvarite bolj zapleten dogodek. Tako je dogodek sodega števila točk določen s tremi izidi: 2, 4, 6.
Kvantitativno merilo možnosti nastanka zadevnega dogodka je verjetnost.
Najpogosteje uporabljene definicije verjetnosti dogodka so: klasična in statistični.
Klasična definicija verjetnosti je povezana s konceptom ugodnega izida.
Izid se imenuje ugodno danemu dogodku, če njegov pojav povzroči pojav tega dogodka.
V zgornjem primeru ima zadevni dogodek – sodo število točk na zavrteni strani – tri ugodne izide. V tem primeru general
število možnih rezultatov. To pomeni, da lahko tu uporabimo klasično definicijo verjetnosti dogodka.
Klasična definicija je enako razmerju med številom ugodnih izidov in skupnim številom možnih izidov
kjer je verjetnost dogodka, je število izidov, ki so ugodni za dogodek, je skupno število možnih izidov.
V obravnavanem primeru
Statistična definicija verjetnosti je povezana s konceptom relativne pogostosti pojavljanja dogodka v poskusih.
Relativno pogostost pojavljanja dogodka izračunamo po formuli
kjer je število pojavitev dogodka v nizu poskusov (testov).
Statistična definicija. Verjetnost dogodka je število, okoli katerega se relativna frekvenca stabilizira (nastavi) z neomejenim povečevanjem števila poskusov.
V praktičnih problemih je verjetnost dogodka relativna frekvenca za dovolj veliko število poskusov.
Iz teh definicij verjetnosti dogodka je jasno, da je neenakost vedno izpolnjena
Za določitev verjetnosti dogodka na podlagi formule (1.1) se pogosto uporabljajo kombinatorične formule, s katerimi se ugotovi število ugodnih izidov in skupno število možnih izidov.
Verjetnost dogodka se razume kot določena numerična značilnost možnosti, da se ta dogodek zgodi. Obstaja več pristopov k določanju verjetnosti.
Verjetnost dogodka A se imenuje razmerje med številom izidov, ki so ugodni za ta dogodek, in skupnim številom vseh enako možnih nekompatibilnih elementarnih izidov, ki tvorijo celotno skupino. Torej, verjetnost dogodka A se določi s formulo
Kje m– število osnovnih ugodnih rezultatov A, n– število vseh možnih rezultatov osnovnega testa.
Primer 3.1. V poskusu, ki vključuje metanje kocke, število vseh rezultatov n je enako 6 in vse so enako možne. Naj dogodek A pomeni pojav sodega števila. Potem bodo za ta dogodek ugodni izidi pojav številk 2, 4, 6. Njihovo število je 3. Zato je verjetnost dogodka A enako
Primer 3.2. Kolikšna je verjetnost, da ima naključno izbrano dvomestno število enaki števki?
Dvomestna števila so števila od 10 do 99, vseh teh števil je 90. 9 števil ima enake števke (to so števila 11, 22, ..., 99). Ker v tem primeru m=9, n=90 torej
Kje A– dogodek, »število z enakimi števkami.«
Primer 3.3. V seriji 10 delov je 7 standardnih. Poiščite verjetnost, da so med šestimi naključno vzetimi deli štirje standardni.
Skupno število možnih elementarnih rezultatov testa je enako številu načinov, na katere je mogoče izluščiti 6 delov iz 10, to je številu kombinacij 10 elementov po 6 elementov. Določimo število izidov, ki so ugodni za dogodek, ki nas zanima A(med šestimi odvzetimi deli so 4 standardni). Štirje standardni deli se lahko vzamejo iz sedmih standardnih delov na različne načine; hkrati morajo biti preostali 6-4=2 deli nestandardni, vendar lahko dva nestandardna dela vzamete iz 10-7=3 nestandardnih delov na različne načine. Zato je število ugodnih izidov enako.
Potem je zahtevana verjetnost enaka
Iz definicije verjetnosti sledijo naslednje lastnosti:
1. Verjetnost zanesljivega dogodka je enaka ena.
Dejansko, če je dogodek zanesljiv, potem je vsak osnovni izid testa naklonjen dogodku. V tem primeru je torej m=n
2. Verjetnost nemogočega dogodka je enaka nič.
Dejansko, če je dogodek nemogoč, potem noben od elementarnih rezultatov testa ne daje prednosti dogodku. V tem primeru pomeni
3. Verjetnost naključnega dogodka je pozitivno število med nič in ena.
Dejansko je le del skupnega števila elementarnih rezultatov testa naklonjen naključnemu dogodku. V tem primeru< m< n, pomeni 0 < m/n < 1, torej 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
Konstrukcija logično popolne teorije verjetnosti temelji na aksiomatski definiciji naključnega dogodka in njegove verjetnosti. V sistemu aksiomov, ki ga je predlagal A. N. Kolmogorov, sta nedefinirana pojma elementarni dogodek in verjetnost. Tukaj so aksiomi, ki definirajo verjetnost:
1. Vsak dogodek A dodeljeno nenegativno realno število P(A). To število imenujemo verjetnost dogodka A.
2. Verjetnost zanesljivega dogodka je enaka ena.
3. Verjetnost nastopa vsaj enega od parno nekompatibilnih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov.
Na podlagi teh aksiomov so lastnosti verjetnosti in odvisnosti med njimi izpeljane kot izreki.
Vprašanja za samotestiranje
1. Kako se imenuje numerična značilnost možnosti, da se zgodi dogodek?
2. Kakšna je verjetnost dogodka?
3. Kakšna je verjetnost zanesljivega dogodka?
4. Kakšna je verjetnost nemogočega dogodka?
5. Kakšne so meje verjetnosti naključnega dogodka?
6. Kakšne so meje verjetnosti katerega koli dogodka?
7. Kakšna definicija verjetnosti se imenuje klasična?
Osnove teorije verjetnosti
načrt:
1. Naključni dogodki
2. Klasična definicija verjetnosti
3. Računanje verjetnosti dogodkov in kombinatorika
4. Geometrijska verjetnost
Teoretične informacije
Naključni dogodki.
Naključni pojav- pojav, katerega izid ni jasno opredeljen. Ta koncept je mogoče razlagati v precej širokem smislu. Namreč: vse v naravi je precej naključno, pojav in rojstvo vsakega posameznika je naključen pojav, izbira izdelka v trgovini je tudi naključen pojav, dobiti oceno na izpitu je naključen pojav, bolezen in ozdravitev sta naključna pojava. itd.
Primeri naključnih pojavov:
~ Strelja se iz pištole, ki je nameščena pod danim kotom glede na horizontalo. Zadetek tarče je naključen, vendar je izstrelek, ki zadene določene "vilice", vzorec. Določite lahko razdaljo, bližje kateri in dlje od katere projektil ne bo letel. Dobili boste neke vrste "projektilne disperzijske vilice"
~ Isto telo stehtamo večkrat. Strogo gledano, vsakič boste dobili drugačne rezultate, tudi če se razlikujejo za nepomembno količino, vendar bodo drugačni.
~ Letalo, ki leti po isti poti, ima določen koridor letenja, znotraj katerega letalo lahko manevrira, nikoli pa ne bo imelo popolnoma enake poti
~ Športnik nikoli ne bo mogel preteči iste razdalje v enakem času. Tudi njeni rezultati bodo v določenem številčnem območju.
Izkušnje, poskusi, opazovanja so testi
Sojenje– upoštevanje ali izpolnjevanje določenega niza pogojev, ki se izvajajo večkrat in se redno ponavljajo v enakem zaporedju, trajanju in v skladu z drugimi enakimi parametri.
Vzemimo športnika, ki strelja v tarčo. Za njegovo izvedbo je treba izpolniti pogoje, kot so priprava športnika, polnjenje orožja, namerjanje itd. »Zadetek« in »zgrešen« – dogodki kot posledica strela.
Dogodek– visokokakovosten rezultat testa.
Dogodek se lahko zgodi ali pa tudi ne Dogodki so označeni z velikimi črkami. Na primer: D = "Strelec je zadel tarčo." S="Bela krogla je izžrebana." K="Naključno izbrana srečka brez dobitka.".
Met kovanca je preizkus. Padec njenega "grba" je en dogodek, padec njenega "digitala" je drugi dogodek.
Vsak preizkus vključuje pojav več dogodkov. Nekateri izmed njih so lahko za raziskovalca v danem trenutku potrebni, drugi morda ne.
Dogodek se imenuje naključni, če je izpolnjen določen niz pogojev S lahko se zgodi ali pa se ne zgodi. V nadaljevanju bomo namesto »niz pogojev S izpolnjen« rekli na kratko: »test je bil izveden«. Tako se dogodek šteje kot rezultat testa.
~ Strelec strelja na tarčo, razdeljeno na štiri področja. Posnetek je preizkus. Zadetek določenega področja tarče je dogodek.
~ V žari so barvne kroglice. Iz žare se naključno vzame ena kroglica. Pridobivanje žoge iz žare je preizkus. Pojav žoge določene barve je dogodek.
Vrste naključnih dogodkov
1. Dogodki se imenujejo nezdružljiviče pojav enega od njih izključuje pojav drugih dogodkov v istem poskusu.
~ Del je naključno odstranjen iz škatle z deli. Videz standardnega dela odpravlja videz nestandardnega dela. Dogodki € pojavil se je standardni del" in pojavil se je nestandardni del" - nezdružljivo.
~ Vržen je kovanec. Videz "grba" izključuje videz napisa. Dogodka "pojavil se je grb" in "pojavil se je napis" nista združljiva.
Oblikuje se več dogodkov polna skupina,če se kot rezultat testa pojavi vsaj eden od njih. Z drugimi besedami, pojav vsaj enega od dogodkov celotne skupine je zanesljiv dogodek.
Še posebej, če so dogodki, ki tvorijo celotno skupino, parno nekompatibilni, bo rezultat testa eden in samo eden od teh dogodkov.Ta poseben primer je za nas najbolj zanimiv, saj ga bomo uporabljali naprej.
~ Kupljeni sta bili dve srečki za denar in oblačila. Zagotovo se bo zgodil en in samo eden od naslednjih dogodkov:
1. "dobitek je padel na prvi listič in ni padel na drugega,"
2. "dobitek ni padel na prvi listek, ampak je padel na drugega,"
3. “dobitek je padel na oba listka”,
4. "obe vstopnici nista zmagali."
Ti dogodki tvorijo popolno skupino po parih nekompatibilnih dogodkov,
~ Strelec je streljal v tarčo. Zagotovo se bo zgodil eden od naslednjih dveh dogodkov: hit, miss. Tudi ta dva nezdružljiva dogodka tvorita popolno skupino.
2. Dogodki se kličejo enako možno,če obstaja razlog za domnevo, da nobeno od njiju ni bolj možno kot drugo.
~ Pojav “grba” in pojav napisa ob metu kovanca sta enako možna dogodka. Dejansko se domneva, da je kovanec izdelan iz homogenega materiala, ima pravilno cilindrično obliko in prisotnost kovanja ne vpliva na izgubo ene ali druge strani kovanca.
~ Pojav enega ali drugega števila točk na vrženi kocki sta enako možna dogodka. Dejansko se predpostavlja, da je matrica izdelana iz homogenega materiala, ima obliko pravilnega poliedra in prisotnost točk ne vpliva na izgubo katerega koli obraza.
3. Dogodek se imenuje zanesljiv,če si ne more pomagati, da se ne zgodi
4. Dogodek se imenuje nezanesljiv, če se ne more zgoditi.
5. Dogodek se imenuje nasprotje do nekega dogodka, če sestoji iz nepojavi tega dogodka. Nasprotna dogodka nista združljiva, a eden od njih se mora zgoditi nujno. Nasprotni dogodki so običajno označeni kot negacije, tj. Nad črko je zapisan pomišljaj. Nasprotna dogodka: A in Ā; U in Ū itd. .
Klasična definicija verjetnosti
Verjetnost je eden od osnovnih konceptov teorije verjetnosti.
Obstaja več definicij tega pojma. Naj podamo definicijo, ki se imenuje klasična. Nato bomo nakazali slabosti te definicije in podali druge definicije, ki nam omogočajo premagovanje pomanjkljivosti klasične definicije.
Razmislite o situaciji: V škatli je 6 enakih kroglic, 2 sta rdeči, 3 modre in 1 bela. Očitno je možnost, da iz žare naključno izvlečete barvno (tj. rdečo ali modro) kroglo, večja od možnosti, da izvlečete belo kroglo. To možnost lahko označimo s številom, ki ga imenujemo verjetnost dogodka (pojav barvne kroglice).
Verjetnost- število, ki označuje stopnjo možnosti, da se dogodek zgodi.
V obravnavani situaciji označujemo:
Dogodek A = "Izvlečenje barvne žoge."
Vsak od možnih rezultatov testa (test je sestavljen iz odstranitve žoge iz žare) bo razglašen elementarni (možni) izid in dogodek. Osnovni rezultati so lahko označeni s črkami z indeksi spodaj, na primer: k 1, k 2.
V našem primeru je 6 žogic, torej je možnih 6 izidov: pojavi se bela žogica; pojavila se je rdeča žoga; pojavila se je modra krogla itd. Zlahka je videti, da ti izidi tvorijo popolno skupino po paru nekompatibilnih dogodkov (pojavila se bo samo ena krogla) in so enako možni (žogica je izžrebana naključno, kroglice so enake in temeljito premešane).
Imenujmo elementarne izide, v katerih se zgodi dogodek, ki nas zanima ugodne rezultate ta dogodek. V našem primeru je dogodek favoriziran A(videz barvne žoge) naslednjih 5 rezultatov:
Torej dogodek A se opazi, če je eden od osnovnih rezultatov ugoden za A. To je videz katere koli barvne kroglice, ki jih je 5 v škatli
V obravnavanem primeru je 6 osnovnih izidov; 5 jih podpira dogodek A. torej P(A)= 5/6. Ta številka daje kvantitativno oceno stopnje možnosti pojava barvne krogle.
Opredelitev verjetnosti:
Verjetnost dogodka A se imenuje razmerje med številom izidov, ki so ugodni za ta dogodek, in skupnim številom vseh enako možnih nekompatibilnih elementarnih izidov, ki tvorijo celotno skupino.
P(A)=m/n ali P(A)=m: n, kjer je:
m je število osnovnih ugodnih rezultatov A;
p- število vseh možnih elementarnih rezultatov testa.
Tu se predpostavlja, da so osnovni izidi nezdružljivi, enako možni in tvorijo popolno skupino.
Iz definicije verjetnosti sledijo naslednje lastnosti:
1. Verjetnost zanesljivega dogodka je enaka ena.
Dejansko, če je dogodek zanesljiv, potem je vsak osnovni izid testa naklonjen dogodku. V tem primeru m = n torej p=1
2. Verjetnost nemogočega dogodka je enaka nič.
Dejansko, če je dogodek nemogoč, potem noben od elementarnih rezultatov testa ne daje prednosti dogodku. V tem primeru je m=0, torej p=0.
3.Verjetnost naključnega dogodka je pozitivno število med nič in ena. 0
V naslednjih temah bodo podani izreki, ki omogočajo iskanje verjetnosti drugih dogodkov z uporabo znanih verjetnosti nekaterih dogodkov.
Merjenje. V skupini učencev je 6 deklet in 4 fantje. Kakšna je verjetnost, da bo naključno izbrana učenka deklica? bo mladenič?
p dev = 6/10 =0,6 p yun = 4/10 = 0,4
Koncept "verjetnosti" v sodobnih strogih tečajih teorije verjetnosti temelji na teoretični podlagi. Oglejmo si nekaj vidikov tega pristopa.
Naj se kot rezultat testa zgodi en in samo eden od dogodkov: w i(i=1, 2, .... p). Dogodki w i- klical elementarni dogodki (elementarni izidi). O iz tega sledi, da so elementarni dogodki parno nekompatibilni. Nabor vseh elementarnih dogodkov, ki se lahko pojavijo v testu, se imenuje prostor elementarnega dogajanjaΩ (grška velika začetnica omega), sami elementarni dogodki pa so točke tega prostora..
Dogodek A identificira s podmnožico (prostora Ω), katere elementi so osnovni ugodni rezultati A; dogodek IN je podmnožica Ω, katere elementi so ugodni rezultati IN, itd. Tako je množica vseh dogodkov, ki se lahko pojavijo v testu, množica vseh podmnožic Ω. Ω se pojavi za kateri koli izid testa, zato je Ω zanesljiv dogodek; prazna podmnožica prostora Ω - je nemogoč dogodek (ne nastopi pri nobenem rezultatu testa).
Elementarni dogodki se med vsemi tematskimi dogodki razlikujejo po tem, da »vsak od njih vsebuje samo en element Ω
Vsak elementarni izid w i ujemati s pozitivnim številom p i- verjetnost tega izida in vsota vseh p i enako 1 ali z znakom vsote, bo to dejstvo zapisano v obliki izraza:
Po definiciji verjetnost P(A) dogodkov A enaka vsoti verjetnosti ugodnih elementarnih izidov A. Zato je verjetnost zanesljivega dogodka enaka ena, nemogočega dogodka nič, poljubnega dogodka pa med nič in ena.
Oglejmo si pomemben poseben primer, ko so vsi izidi enako možni Število izidov je n, vsota verjetnosti vseh izidov je enaka ena; zato je verjetnost vsakega izida 1/p. Naj dogodek A daje prednost m rezultatom.
Verjetnost dogodka A enaka vsoti verjetnosti ugodnih izidov A:
P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1
Dobimo klasično definicijo verjetnosti.
Je tudi aksiomatično pristop k konceptu "verjetnosti". V sistemu predlaganih aksiomov. Kolmogorov A.N., nedefinirana pojma sta elementarni dogodek in verjetnost. Konstrukcija logično popolne teorije verjetnosti temelji na aksiomatski definiciji naključnega dogodka in njegove verjetnosti.
Tukaj so aksiomi, ki definirajo verjetnost:
1. Vsak dogodek A dodeljeno nenegativno realno število R(A). To število imenujemo verjetnost dogodka A.
2. Verjetnost zanesljivega dogodka je enaka ena:
3. Verjetnost nastopa vsaj enega od parno nekompatibilnih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov.
Na podlagi teh aksiomov so lastnosti verjetnosti in odvisnosti med njimi izpeljane kot izreki.
Teorija verjetnosti je matematična veda, ki preučuje vzorce naključnih dogodkov. Verjetnosni poskus (test, opazovanje) je poskus, katerega rezultata ni mogoče vnaprej napovedati. V tem poskusu je vsak rezultat (rezultat). dogodek.
Dogodek je lahko zanesljiv(vedno se pojavi kot rezultat testa); nemogoče(očitno se ne pojavi med testiranjem); naključen(lahko se zgodi ali ne zgodi pod pogoji tega poskusa).
Dogodek, ki ga ni mogoče razčleniti na enostavnejše dogodke, imenujemo osnovno. Imenuje se dogodek, predstavljen kot kombinacija več osnovnih dogodkov kompleksen(podjetje ni utrpelo izgube - dobiček je lahko pozitiven ali enak nič).
Dva dogodka, ki se ne moreta zgoditi hkrati (povečanje davkov - povečanje razpoložljivega dohodka; povečanje naložb - zmanjšanje tveganja) imenujemo nezdružljivo.
Z drugimi besedami, dva dogodka sta nezdružljiva, če pojav enega od njiju izključuje pojav drugega. Sicer pa so sklep(povečanje obsega prodaje – povečanje dobička). Dogodki se imenujejo nasprotje,če se eden od njih pojavi, če in samo če se drugi ne pojavi (izdelek je prodan - izdelek ni prodan).
Verjetnost dogodka – To je numerična mera, ki je uvedena za primerjavo dogodkov glede na stopnjo možnosti njihovega nastanka.
Klasična definicija verjetnosti. Verjetnost R(A) dogodki A se imenuje številčno razmerje m enako možni elementarni dogodki (izidi), ugodni za nastanek dogodka A, na skupno število n vsi možni osnovni rezultati tega poskusa:
Iz zgoraj navedenega sledijo naslednje osnovne lastnosti verjetnosti:
1,0 £ R(A) 1 £.
2. Verjetnost določenega dogodka A je enako 1: R(A) = 1.
3. Verjetnost nemogočega dogodka A je 0: R(A) = 0.
4. Če dogodki A in IN so nezdružljive, torej R(A + IN) = R(A) + R(IN); če dogodki A in IN sta skupna, potem R(A + IN) = R(A) + R(IN) - R(A . B).(R(A . B) je verjetnost skupnega pojava teh dogodkov).
5. Če A in nasprotni dogodki, torej R() = 1 - R(A).
Če verjetnost, da se zgodi en dogodek, ne spremeni verjetnosti, da se zgodi drug dogodek, se takšni dogodki imenujejo neodvisen.
Pri neposrednem izračunu verjetnosti dogodkov, za katere je značilno veliko število izidov, je treba uporabiti kombinatorične formule. Preučiti skupino dogodkov (hipoteze)
uporabimo formulo popolne verjetnosti, Bayesovo in Bernoullijevo ( n neodvisni preizkusi – ponovitev poskusov).
pri statistična določitev verjetnosti dogodkov A Spodaj n se nanaša na skupno število dejansko izvedenih testov, v katerih je dogodek A točno srečal m enkrat. V tem primeru razmerje m/n imenovana relativna frekvenca (frekvenca) Wn(A) nastop dogodka A V n opravljeni testi.
Pri določanju verjetnosti po metoda strokovnih ocen Spodaj n se nanaša na število strokovnjakov (strokovnjakov na določenem področju), intervjuvanih v zvezi z možnostjo nastanka dogodka A. pri čemer m katerih trdijo, da dogodek A se bo zgodilo.
Koncept naključnega dogodka ni dovolj za opis rezultatov opazovanj količin, ki imajo numerični izraz. Na primer, pri analizi finančnega rezultata podjetja jih zanima predvsem njegova velikost. Zato je koncept naključnega dogodka dopolnjen s konceptom naključne spremenljivke.
Spodaj naključna spremenljivka(SV) razumemo kot količino, ki zaradi opazovanja (testiranja) zavzame eno od možnih množic svojih vrednosti, vnaprej neznanih in odvisnih od naključnih okoliščin. Za vsak elementarni dogodek ima SV en sam pomen.
Obstajajo diskretni in zvezni SV. Za diskretna SV nabor njegovih možnih vrednosti je končen ali števen, tj. SV prevzame posamezne izolirane vrednosti, ki jih je mogoče navesti vnaprej, z določenimi verjetnostmi. Za neprekinjeno SV, nabor njegovih možnih vrednosti je neskončen in neštet, na primer vsa števila danega intervala, tj. možnih vrednosti SV ni mogoče našteti vnaprej in nenehno zapolnjevati določeno vrzel.
Primeri naključnih spremenljivk: X- dnevno število kupcev v supermarketu (diskretni SV); Y- število otrok, rojenih čez dan v določenem upravnem središču (diskretni SV); Z- koordinata točke udara topniške granate (zvezen SV).
Številni SV, obravnavani v ekonomiji, imajo tako veliko število možnih vrednosti, da jih je bolj priročno predstaviti v obliki neprekinjenih SV. Na primer menjalni tečaji, dohodek gospodinjstva itd.
Za opis SV je potrebno vzpostaviti razmerje med vsemi možnimi vrednostmi SV in njihovimi verjetnostmi. To razmerje se imenuje zakon porazdelitve SV. Za diskretno SV se lahko določi tabelarično, analitično (v obliki formule) ali grafično. Na primer tabelarno za SV X