Kako najti območje oblike?

Vedeti in znati izračunati površine različnih oblik ni potrebno le za reševanje preprostih geometrijskih problemov. Brez tega znanja ne morete storiti, ko pripravljate ali preverjate predračune za popravilo prostorov in računate količino potrebnega potrošnega materiala. Ugotovimo torej, kako najti območja različnih oblik.

Del ravnine, zaprt znotraj zaprte konture, se imenuje območje te ravnine. Površina je izražena s številom kvadratnih enot, zaprtih vanjo.

Za izračun površine osnovnih geometrijskih oblik morate uporabiti pravilno formulo.

Površina trikotnika

Legenda:

1. Če so znani h, a, se površina želenega trikotnika določi kot zmnožek dolžin stranice in višine trikotnika, spuščenega na to stran, deljeno na polovico: S \u003d (a h) / 2
2. Če so znane a, b, c, se zahtevana površina izračuna po Heronovi formuli: kvadratni koren, vzet iz zmnožka polovice oboda trikotnika in treh razlik polovice oboda in vsake stranice trikotnika: S \u003d √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
3. Če so znani a, b, γ, potem je površina trikotnika določena kot polovica zmnožka 2 strani, pomnožena z vrednostjo sinusa kota med temi stranicami: S \u003d (ab sin γ) / 2.
4. Če so znani a, b, c, R, se zahtevano območje določi kot delitev zmnožka dolžin vseh strani trikotnika s štirimi polmeri omejenega kroga: S \u003d (a b c) / 4R
5. Če so znani p, r, se zahtevano območje trikotnika določi tako, da se polovica oboda pomnoži s polmerom vpisanega kroga: S \u003d p r

Kvadratna površina

Legenda:

1. Če je stran znana, je površina te figure določena kot kvadrat dolžine njene stranice: S \u003d a 2
2. Če je d znan, je površina kvadrata opredeljena kot polovica kvadrata njegove diagonale: S \u003d d 2/2

Območje pravokotnika

Legenda:

• S - določeno območje,
• a, b - dolžine stranic pravokotnika.

1. Če so znani a, b, potem je površina tega pravokotnika določena z zmnožkom dolžin njegovih dveh stranic: S \u003d a b
2. Če so dolžine stranic neznane, je treba površino pravokotnika razdeliti na trikotnike. V tem primeru je površina pravokotnika definirana kot vsota površin njegovih trikotnikov.

Območje paralelograma

Legenda:

• S je zahtevano območje,
• a, b - dolžine strani,
• h je dolžina višine tega paralelograma,
• d1, d2 - dolžini dveh diagonal,
• α je kot med stranicama,
• γ je kot med diagonalama.

1. Če sta znani a, h, se zahtevano območje določi z množenjem dolžin stranice in višine, spuščene na to stran: S \u003d a h
2. Če so znani a, b, α, potem določimo površino paralelograma tako, da pomnožimo dolžine stranic paralelograma in vrednost sinusa kota med tema stranicama: S \u003d a b sin α
3. Če so znani d 1, d 2, γ, se površina paralelograma določi kot polovica zmnožka dolžin diagonal in vrednosti sinusa kota med temi diagonalami: S \u003d (d 1 d 2 sinγ) / 2

Območje romba

Legenda:

• S je zahtevano območje,
• a - dolžina stranice,
• h - dolžina višine,
• α - manjši kot med dvema stranema,
• d1, d2 - dolžini dveh diagonal.

1. Če sta znani a, h, potem določimo površino romba tako, da pomnožimo dolžino stranice z dolžino višine, ki je spuščena na to stran: S \u003d a h
2. Če so znane a, α, potem se površina romba določi tako, da se kvadrat dolžine stranice pomnoži s sinusom kota med stranicama: S \u003d a 2 sin α
3. Če sta d 1 in d 2 znana, se zahtevana površina določi kot polovica zmnožka dolžin diagonal romba: S \u003d (d 1 d 2) / 2

Območje trapeza

Legenda:

1. Če so znani a, b, c, d, se zahtevano območje določi s formulo: S \u003d (a + b) / 2 * √.
2. Pri znanih a, b, h se zahtevana površina določi kot zmnožek polovice vsote osnov in višine trapeza: S \u003d (a + b) / 2 h

Območje konveksnega štirikotnika

Legenda:

1. Če so d 1, d 2, α znane, se površina konveksnega štirikotnika določi kot polovica zmnožka diagonal štirikotnika, pomnožene s sinusom kota med temi diagonalami: S \u003d (d 1 d 2 greh α) / 2
2. Za znani p, r je površina konveksnega štirikotnika definirana kot zmnožek poloboda štirikotnika s polmerom kroga, vpisanega v ta štirikotnik: S \u003d p r
3. Če so znani a, b, c, d, θ, potem je površina konveksnega štirikotnika določena kot kvadratni koren zmnožkov razlike polperimetra in dolžine vsake stranice minus produkt dolžine vseh strani in kvadrat kosinusa polovice vsote dveh nasprotnih kotov: S 2 \u003d (p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α + β) / 2)

Območje kroga

Legenda:

Če je r znano, se zahtevano območje določi kot zmnožek števila π na kvadrat polmera: S \u003d π r 2

Če je d znan, potem je površina kroga definirana kot zmnožek π na kvadrat premera, deljen s štirimi: S \u003d (π d 2) / 4

Kompleksna figura

Kompleksnega lahko razstavimo na preproste geometrijske oblike. Območje kompleksne figure je opredeljeno kot vsota ali razlika komponentnih površin. Razmislite na primer o prstanu.

Oznaka:

• S je območje obroča,
• R, r - polmer zunanjega in notranjega kroga,
• D, d - premer zunanjega in notranjega kroga.

Da bi našli območje obroča, je treba območje odšteti od območja večjega kroga manjši krog. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πr 2 \u003d π (R 2 -r 2).

Če sta torej znana R in r, potem se površina obroča določi kot razlika med kvadratki polmerov zunanjega in notranjega kroga, pomnoženo s številom pi: S \u003d π (R 2 -r 2 ).

Če sta D in d znana, se površina obroča določi kot četrtina razlike med kvadratki premerov zunanjega in notranjega kroga, pomnoženo s številom pi: S \u003d (1/4) ( D 2 -d 2) π.

Območje zapolnjene oblike

Recimo, da je znotraj enega kvadrata (A) še en (B) (manjši) in najdemo napolnjeno votlino med oblikama "A" in "B". Recimo samo "okvir" majhnega kvadrata. Za to:

1. Najdemo površino slike "A" (izračunano s formulo za iskanje površine kvadrata).
2. Podobno najdemo območje slike "B".
3. Od območja "A" odštejemo območje "B". In tako dobimo površino zapolnjene figure.

Zdaj veste, kako najti območja različnih oblik.

Za reševanje geometrijskih problemov morate poznati formule - na primer območje trikotnika ali območje paralelograma - pa tudi preproste trike, o katerih bomo govorili.

Najprej se naučimo formul za področja slik. Posebej smo jih zbrali v priročni tabeli. Tiskanje, učenje in prijava!

V naši tabeli seveda niso vse formule geometrije. Na primer za reševanje problemov iz geometrije in stereometrije v drugem delu profila USE v matematiki se uporabljajo tudi druge formule za površino trikotnika. O njih vam bomo zagotovo povedali.

Kaj pa, če morate najti ne območje trapeza ali trikotnika, temveč območje neke zapletene figure? Obstajajo univerzalni načini! Pokažimo jim primere iz banke delovnih mest FIPI.

1. Kako najti območje nestandardne oblike? Na primer poljuben štirikotnik? Preprost trik je razdeliti to številko na tiste, za katere vsi vemo, in najti njihovo območje - kot vsoto površin teh številk.

Ta štirikotnik z vodoravno črto razdelite na dva trikotnika s skupno osnovo, enako. Višine teh trikotnikov so in. Potem je površina štirikotnika enaka vsoti površin dveh trikotnikov:.

Odgovor :.

2. V nekaterih primerih lahko območje slike predstavimo kot razliko med nekaterimi območji.

Ni lahko izračunati, čemu sta osnova in višina enaki v tem trikotniku! Lahko pa rečemo, da je njegova površina enaka razliki med površinami kvadrata s stranico in tremi pravokotnimi trikotniki. Ali jih vidite na sliki? Dobimo:.

Odgovor :.

3. Včasih je pri nalogi treba najti območje ne celotne figure, temveč njen del. Običajno govorimo o območju sektorja - delu kroga. Poiščimo površino sektorja kroga s polmerom, katerega dolžina loka je .

Na tej sliki vidimo del kroga. Območje celotnega kroga je od. Treba je še ugotoviti, kateri del kroga je upodobljen. Ker je dolžina celotnega kroga (od) in dolžina loka tega sektorja je zato je dolžina loka enkrat manjša od dolžine celotnega kroga. Kot, pod katerim počiva ta lok, je tudi enkrat manjši od polnega kroga (to je stopinj). To pomeni, da bo površina sektorja enkrat krat manjša od površine celotnega kroga.

Obstaja neskončno število ploskih figur različnih oblik, tako pravilnih kot nepravilnih. Skupna lastnost vseh oblik je, da ima katera koli od njih površino. Območja oblik so dimenzije dela ravnine, ki ga zasedajo te oblike, izražene v posebnih enotah. Ta vrednost je vedno izražena kot pozitivno število. Merska enota je površina kvadrata, katerega stran je enaka dolžinski enoti (na primer en meter ali en centimeter). Približno vrednost površine katere koli oblike lahko izračunamo tako, da število kvadratnih enot, na katere je razdeljeno, pomnožimo s površino enega kvadrata.

Druge opredelitve tega koncepta so naslednje:

1. Območja preprostih številk so skalarne pozitivne veličine, ki izpolnjujejo pogoje:

Enake številke imajo enake površine;

Če je slika razdeljena na dele (preproste figure), potem je njena površina vsota površin teh figur;

Kvadrat s stranico merske enote služi kot enota površine.

2. Območja kompleksnih oblik (poligoni) so pozitivne količine z naslednjimi lastnostmi:

Enaki poligoni imajo enako površino;

Če je poligon sestavljen iz več drugih poligonov, je njegova površina enaka vsoti površin slednjih. To pravilo velja za poligone, ki se ne prekrivajo.

Kot aksiom je sprejeto, da so območja slik (poligoni) pozitivne vrednosti.

Opredelitev območja kroga je podana ločeno kot vrednost, h kateri teži območje določenega kroga, vpisanega v krog - kljub temu da število njegovih stranic teži v neskončnost.

Območja nepravilnih oblik (poljubnih oblik) niso določena, določene so le metode za njihov izračun.

Izračun površin je bil že v starih časih pomembna praktična naloga pri določanju velikosti zemljišč. Pravila za izračun površin za nekaj sto let so oblikovali grški znanstveniki in jih v Evklidovih Elementih postavili kot izreke. Zanimivo je, da so pravila za določanje površin preprostih številk na njih enaka kot v današnjem času. Območja z ukrivljeno konturo so bila izračunana z uporabo prehoda do meje.

Izračun površin preprostega pravokotnika, kvadrata), ki ga poznajo vsi iz šole, je precej preprost. Sploh si ni treba zapomniti formul za področja številk, ki vsebujejo črkovne oznake. Dovolj je zapomniti si nekaj preprostih pravil:

2. Površina pravokotnika se izračuna tako, da se njegova dolžina pomnoži s širino. V tem primeru je treba, da sta bili dolžina in širina izraženi v istih merskih enotah.

3. Območje kompleksne figure izračunamo tako, da jo razdelimo na več preprostih in dodamo nastala območja.

4. Diagonala pravokotnika ga deli na dva trikotnika, katerih površine so enake in enake polovici njegove površine.

5. Površina trikotnika se izračuna kot polovica zmnožka njegove višine in osnove.

6. Površina kroga je enaka zmnožku kvadrata polmera in znanega števila "π".

7. Površina paralelograma se izračuna kot zmnožek sosednjih stranic in sinusa kota, ki leži med njimi.

8. Površina romba je ½ rezultata množenja diagonal s sinusom notranjega kota.

9. Območje trapeza najdemo tako, da njegovo višino pomnožimo z dolžino srednje črte, ki je enaka aritmetični sredini osnov. Druga možnost za določitev površine trapeza je pomnoženje njegovih diagonal in sinusa kota med njimi.

Zaradi jasnosti imajo otroci v osnovni šoli pogosto naloge: najti območje figure, narisane na papirju, s pomočjo palete ali lista prozornega papirja, razrezanega v celice. Takšen list papirja se namesti na izmerjeno sliko, prešteje se število polnih celic (enot površine), ki se prilegajo njegovi konturi, nato pa število nepopolnih celic, ki se deli na polovico.

Znanje o merjenju Zemlje sega v antične čase in se je postopoma razvilo v znanost o geometriji. Ta beseda je prevedena iz grškega jezika - "geodezija".

Merilo dolžine in širine ravnega območja Zemlje je območje. V matematiki ga običajno označujemo z latinsko črko S (iz angleške "square" - "area", "square") ali grško črko σ (sigma). S označuje površino figure na ravnini ali površino telesa, σ pa je površina preseka žice v fiziki. To so glavni simboli, čeprav lahko obstajajo tudi drugi, na primer na področju trdnosti materialov, A je površina preseka profila.

V stiku z

Formule za izračun

Če poznate področja preprostih oblik, lahko najdete parametre bolj zapletenih... Starodavni matematiki so izpeljali formule, s pomočjo katerih jih je mogoče enostavno izračunati. Te oblike so trikotnik, štirikotnik, mnogokotnik, krog.

Če želite najti območje zapletene ravne figure, je razdeljeno na številne preproste figure, kot so trikotniki, trapezi ali pravokotniki. Nato z matematičnimi metodami dobimo formulo za območje te slike. Ta metoda se uporablja ne samo v geometriji, temveč tudi v matematični analizi za izračun površin figur, omejenih z krivuljami.

Trikotnik

Začnimo z najpreprostejšo obliko - trikotnikom. So pravokotne, enakokrake in enakostranične. Vzemimo poljuben trikotnik ABC s stranicama AB \u003d a, BC \u003d b in AC \u003d c (∆ ABC). Če želimo najti njegovo območje, se spomnimo teoremov sinusov in kosinusov, znanih iz šolskega tečaja matematike. S sprostitvijo vseh izračunov pridemo do naslednjih formul:

• S \u003d √ je dobro znana Heronova formula, kjer je p \u003d (a + b + c) / 2 polovični obseg trikotnika;
• S \u003d a h / 2, kjer je h višina, spuščena na stran a;
• S \u003d a b (sin γ) / 2, kjer je γ kot med stranicama a in b;
• S \u003d a b / 2, če je ∆ ABC - pravokotna (tu sta a in b kraka);
• S \u003d b² (sin (2 β)) / 2, če je ∆ ABC enakokrak (tu je b eden od "bokov", β je kot med "boki" trikotnika);
• S \u003d a² √¾, če je ∆ ABC enakostraničen (tukaj je a stranica trikotnika).

Štirikotnik

Naj bo štirikotnik ABCD z AB \u003d a, BC \u003d b, CD \u003d c, AD \u003d d. Če želite najti območje S poljubnega 4-gona, ga morate razdeliti po diagonali na dva trikotnika, katerih površini S1 in S2 na splošno nista enaki.

Nato jih s pomočjo formul izračunamo in dodamo, to je S \u003d S1 + S2. Če pa 4-gon spada v določen razred, potem lahko njegovo območje najdemo s prej znanimi formulami:

• S \u003d (a + c) h / 2 \u003d eh, če je 4-gon trapez (tu sta a in c osnovi, e je srednja črta trapeza, h je višina, spuščena na eno od osnov trapezoid;
• S \u003d a h \u003d a b sin φ \u003d d1 d2 (sin φ) / 2, če je ABCD paralelogram (tu je φ kot med stranicama a in b, h je višina, ki se spusti na stran a, d1 in d2 sta diagonali);
• S \u003d a b \u003d d² / 2, če je ABCD pravokotnik (d diagonala);
• S \u003d a² sin φ \u003d P² (sin φ) / 16 \u003d d1 d2 / 2, če je ABCD romb (a je stran romba, φ je eden od njegovih vogalov, P je obod);
• S \u003d a² \u003d P² / 16 \u003d d² / 2, če je ABCD kvadrat.

Poligon

Da bi našli območje n-gona, ga matematiki razdelijo na najpreprostejše enake figure-trikotnike, poiščejo površino vsakega od njih in jih nato dodajo. Če pa poligon spada v razred pravilnih, uporabite formulo:

S \u003d anh / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, kjer je n število točk (ali stranic) mnogokotnika, a je stran n-gogona, P je njegov obod, h je apotem, tj. , odsek, narisan od središča mnogokotnika do ene njegove strani pod kotom 90 °.

Krog

Krog je popoln mnogokotnik z neskončnim številom stranic.... Izračunati moramo mejo izraza na desni v formuli za površino mnogokotnika, ko število stranic n teži v neskončnost. V tem primeru se bo obod mnogokotnika spremenil v obseg kroga polmera R, ki bo meja našega kroga, in bo enak P \u003d 2 π R. Ta izraz nadomestite v zgornjo formulo. Dobili bomo:

S \u003d (π² R² cos (180 ° / n)) / (n greh (180 ° / n)).

Najdimo mejo tega izraza pri n → ∞. Če želite to narediti, upoštevajte, da je lim (cos (180 ° / n)) pri n → ∞ enako cos 0 ° \u003d 1 (lim je mejni znak) in lim \u003d lim pri n → ∞ enako 1 / π (meritev stopinje smo prevedli v radian z uporabo razmerja π rad \u003d 180 ° in uporabili prvo izjemno mejo lim (sin x) / x \u003d 1 pri x → ∞). Z nadomestitvijo dobljenih vrednosti v zadnji izraz za S pridemo do znane formule:

S \u003d π² R² 1 (1 / π) \u003d π R².

Enote

Uporabljajo se sistemske in nesistemske enote... Sistemske enote se nanašajo na SI (mednarodni sistem). To je kvadratni meter (kvadratni meter, m²) in iz njega izhajajo enote: mm², cm², km².

Na primer v kvadratnih milimetrih (mm²) merijo površino preseka žic v elektrotehniki, v kvadratnih centimetrih (cm²) - prerezi žarka v strukturni mehaniki, v kvadratnih metrih (m²) - stanovanja ali hiše, v kvadratnih kilometrih (km²) - geografska ozemlja ...

Vendar se včasih uporabljajo tudi nesistemske merske enote, kot so: tkanje, ar (a), hektar (ha) in hektar (ac). Tu so naslednji odnosi:

• 1 vezava \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
• 1 hektar \u003d 100 a \u003d 100 arov \u003d 10000 m² \u003d 0,01 km² \u003d 2,471 ac;
• 1 ac \u003d 4046,856 m2 \u003d 40,47 a \u003d 40,47 ara \u003d 0,405 hektara.

Določen integral. Kako izračunati površino oblike

Nadaljujemo z obravnavo aplikacij integralnega računa. V tej lekciji bomo analizirali tipično in najpogostejšo nalogo. - kako izračunati površino ravne figure z uporabo določenega integrala... Končno tisti, ki iščejo smisel v višji matematiki - naj ga najdejo. Nikoli ne veš. Predmestje bomo morali približati življenju z osnovnimi funkcijami in poiskati njegovo območje s pomočjo določenega integrala.

Za uspešno obvladovanje gradiva morate:

1) Razumevanje nedoločenega integrala vsaj na srednji ravni. Tako bi morali lutke najprej prebrati lekcijo Ne.

2) Znati uporabiti Newton-Leibnizovo formulo in izračunati določen integral. Topla prijateljstva lahko ustvarite z določenimi integrali na strani Določen integral. Primeri rešitev.

Pravzaprav, da bi našli območje figure, ne potrebujemo toliko znanja o nedoločenem in določenem integralu. Naloga "izračunavanje površine z določenim integralom" vedno vključuje izdelavo risbezato bo vaše znanje in veščine risanja veliko bolj pereče vprašanje. V zvezi s tem je koristno osvežiti spomin grafov osnovnih osnovnih funkcij in vsaj zgraditi ravno črto, parabolo in hiperbolo. To je mogoče (marsikdo potrebuje) s pomočjo metodološkega gradiva in članka o geometrijskih transformacijah grafov.

Pravzaprav vsi poznamo problem iskanja območja z uporabo določenega integrala že od šole in ne bomo šli daleč pred šolskim kurikulumom. Ta članek morda sploh ne obstaja, dejstvo pa je, da se težava pojavlja v 99 od 100 primerov, ko študent trpi zaradi osovraženega stolpa z navdušenjem, da bi obvladal tečaj višje matematike.

Materiali te delavnice so predstavljeni preprosto, podrobno in z minimalno teorijo.

Začnimo z ukrivljenim trapezoidom.

Ukrivljen trapez imenovana ravna figura, omejena z osjo, ravnimi črtami in grafom neprekinjene funkcije na odseku, ki na tem intervalu ne spremeni predznaka. Naj bo ta številka ne manj abscisna os:

Potem površina ukrivljenega trapeza je številčno enaka določenemu integralu... Vsak določen integral (ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen. Na lekciji Določen integral. Primeri rešitev Rekel sem, da je določen integral številka. In zdaj je čas, da navedemo še eno koristno dejstvo. Z vidika geometrije je nedvomni integral OBMOČJE.

Tj. določen integral (če obstaja) geometrično ustreza površini neke figure... Na primer, razmislite o določenem integralu. Integrand definira krivuljo na ravnini, ki se nahaja nad osjo (tisti, ki želijo, lahko naredijo risbo), sam določen integral pa je številčno enak površini ustreznega krivočrtnega trapeza.

Primer 1

To je tipična izjava o nalogi. Prva in najpomembnejša točka rešitve je izdelava risbe... Poleg tega mora biti risba zgrajena PRAVILNO.

Pri izdelavi risbe priporočam naslednji vrstni red: najprej bolje je zgraditi vse črte (če obstajajo) in samo kasneje - parabole, hiperbole, grafi drugih funkcij. Donosneje je graditi grafe funkcij točkovno, tehniko gradnje po točkah najdete v referenčnem gradivu Grafi in lastnosti osnovnih funkcij... Tam lahko najdete tudi zelo koristno gradivo v zvezi z našo lekcijo - kako hitro zgraditi parabolo.

V tej težavi je rešitev morda videti tako.
Narišimo risbo (upoštevajte, da enačba določa os):

Ne bom izlegel ukrivljenega trapeza, tu je očitno, o katerem območju govorimo. Rešitev se nadaljuje tako:

Na odseku je graf funkcije nad osjo, torej:

Odgovor:

Kdo ima težave z izračunom določenega integrala in uporabo Newton-Leibnizove formule , se obrnite na predavanje Določen integral. Primeri rešitev.

Po končani nalogi je vedno koristno pogledati načrt in oceniti, ali je odgovor resničen. V tem primeru "na oko" preštejemo število celic na risbi - no, približno 9 bo vpisanih, izgleda resnica. Povsem jasno je, da če smo dobili recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno nekje storjena napaka - obravnavana številka očitno ne ustreza 20 celicam, največ desetim. Če je odgovor negativen, potem je bila naloga tudi napačno rešena.

2. primer

Izračunajte površino oblike, omejene s črtami, in osi

To je primer rešitve "naredi si sam". Popolna rešitev in odgovor na koncu vaje.

Kaj storiti, če se nahaja ukrivljen trapez pod osjo?

3. primer

Izračunajte površino oblike, omejene s črtami in koordinatnimi osmi.

Sklep: Izvedimo risbo:

Če se nahaja ukrivljen trapez pod osjo (ali vsaj ne višje določeno os), potem lahko njegovo površino najdemo po formuli:
V tem primeru:

Pozor! Obeh nalog ne smemo zamenjati:

1) Če ste pozvani, da rešite samo določen integral brez kakršnega koli geometrijskega pomena, je lahko negativen.

2) Če od vas zahtevajo, da poiščete površino slike z določenim integralom, potem je površina vedno pozitivna! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se najpogosteje slika nahaja v zgornji in spodnji polravnini, zato od najpreprostejših šolskih problemov preidemo na bolj smiselne primere.

4. primer

Poiščite površino ravne figure, omejene s črtami ,.

Sklep: Najprej morate dokončati risbo. Na splošno nas pri konstruiranju risbe v problemih na območju najbolj zanimajo presečišča črt. Poiščite presečišča parabole in premice. To je mogoče storiti na dva načina. Prvi način je analitičen. Rešimo enačbo:

Torej spodnja meja integracije, zgornja meja integracije.
Če je mogoče, je bolje, da te metode ne uporabljate..

Veliko bolj donosno in hitreje je graditi črte po točkah, medtem ko meje integracije postajajo jasne, kot da bi bile "same od sebe". Tehnika natančnega načrtovanja za različne karte je podrobno obravnavana v pomoči. Grafi in lastnosti osnovnih funkcij ... Kljub temu je treba včasih še vedno uporabiti analitično metodo iskanja mej, če je na primer graf dovolj velik ali če natančna konstrukcija ni razkrila meja integracije (lahko so delne ali iracionalne). In tak primer bomo tudi upoštevali.

Vrnemo se k svojemu problemu: bolj smotrno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Izvedimo risbo:

Ponavljam, da se pri gradnji od točke do točke meje integracije najpogosteje ugotovijo "samodejno".

In zdaj delovna formula: Če je na odseku neka neprekinjena funkcija večja ali enaka neke neprekinjene funkcije, potem lahko območje slike, omejeno z grafi teh funkcij in ravnimi črtami, najdemo po formuli:

Tu vam ni treba več razmišljati o tem, kje se slika nahaja - nad osjo ali pod osjo in, grobo rečeno, pomembno je, kateri urnik je ZGORAJ(glede na drug graf), in kateri je SPODNJI.

V obravnavanem primeru je očitno, da se parabola na odseku nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od

Dokončanje rešitve je lahko videti tako:

Zahtevana slika je omejena s parabolo zgoraj in ravno črto spodaj.
Na odseku v skladu z ustrezno formulo:

Odgovor:

Dejansko je šolska formula za območje ukrivljenega trapeza v spodnji polravnini (glej preprost primer št. 3) poseben primer formule ... Ker je os podana z enačbo in se nahaja graf funkcije ne višje osi, torej

In zdaj nekaj primerov za samorešitev

5. primer

Primer 6

Poiščite območje slike, omejeno s črtami ,.

Med reševanjem problemov za izračun površine z določenim integralom se včasih zgodi smešen incident. Risba je narejena pravilno, izračuni so pravilni, a zaradi nepazljivosti ... najdeno je območje napačne figure, tako je tvoj skromni sluga večkrat zafrknil. Tu je primer iz resničnega življenja:

7. primer

Izračunaj površino slike, omejene s črtami ,,,.

Sklep: Najprej izvedemo risbo:

... Eh, izšla je zanič risba, a zdi se, da je vse čitljivo.

Številka, katere območje moramo najti, je zasenčena z modro (natančno preglejte stanje - na kaj je slika omejena!). Toda v praksi se zaradi nepazljivosti pogosto pojavi "napaka", da morate najti območje figure, ki je zasenčeno z zeleno!

Ta primer je koristen tudi v tem, da izračuna površino figure z uporabo dveh določenih integralov. Res:

1) Na odseku nad osjo je črtni graf;

2) Graf hiperbole se nahaja na segmentu nad osjo.

Povsem očitno je, da se lahko (in bi jih bilo treba) dodati področja, zato:

Odgovor:

Pojdimo na eno bolj smiselno nalogo.

Primer 8

Izračunajte površino oblike, omejene s črtami
Predstavljajmo enačbe v obliki "šole" in izvedimo risanje po točkah:

Iz risbe je razvidno, da je naša zgornja meja "dobra" :.
Kakšna pa je spodnja meja?! Jasno je, da to ni celo število, ampak katero? Mogoče? Toda kje je zagotovilo, da je risba narejena s popolno natančnostjo, je to lahko tudi res. Ali koren. Kaj če bi graf napačno narisali?

V takih primerih je treba porabiti dodaten čas in analitično izboljšati meje integracije.

Poiščite presečišča premice in parabole.
Da bi to naredili, rešimo enačbo:


,

Prav zares,.

Nadaljnja rešitev je trivialna, glavna stvar je, da se ne zamenjamo pri zamenjavah in znakih, tu izračuni niso najlažji.

Na segmentu , v skladu z ustrezno formulo:

Odgovor:

No, v zaključku lekcije bomo obravnavali še dve težji nalogi.

Primer 9

Izračunajte površino figure, omejene s črtami,

Sklep: Narišite to sliko na risbi.

Prekleto, pozabil sem podpisati urnik, ampak, da bi spremenil sliko, žal, ne hotts. Ne risanje, skratka, danes je dan \u003d)

Za konstrukcijo po točkah morate poznati videz sinusoide (in na splošno je koristno vedeti, grafi vseh osnovnih funkcij), pa tudi nekatere vrednosti sinusov, ki jih lahko najdete v trigonometrična tabela... V številnih primerih (kot v tem) je dovoljeno izdelati shematsko risbo, na kateri bi morali biti načeloma pravilno prikazani grafi in omejitve integracije.

Z omejitvami integracije ni težav, sledijo neposredno iz pogoja: - "x" se spremeni iz nič v "pi". Sprejmemo nadaljnjo odločitev:

Na odseku je graf funkcije nad osjo, zato: