गणित,
जर तुम्ही ते बरोबर पाहिले तर
केवळ सत्यच प्रतिबिंबित करत नाही,
पण अतुलनीय सौंदर्य.
बर्ट्रांड रसेल.

तुम्ही फ्रॅक्टल्सबद्दल नक्कीच ऐकले असेल. Bryce3d मधील या चित्तथरारक प्रतिमा तुम्ही नक्कीच पाहिल्या असतील ज्या वास्तविकतेपेक्षा अधिक वास्तविक आहेत. पर्वत, ढग, झाडाची साल - हे सर्व नेहमीच्या युक्लिडियन भूमितीच्या पलीकडे जाते. आम्ही दगड किंवा बेटाच्या सीमा रेषा, वर्तुळे आणि त्रिकोणांसह वर्णन करू शकत नाही. आणि येथे फ्रॅक्टल्स बचावासाठी येतात. हे परिचित अनोळखी लोक काय आहेत? ते कधी दिसले?

देखावा इतिहास.

फ्रॅक्टल भूमितीची पहिली कल्पना 19 व्या शतकात उदयास आली. Cantor, एक साधी रिकर्सिव (पुनरावृत्ती) प्रक्रिया वापरून, रेषा अनकनेक्ट केलेल्या बिंदूंच्या संचामध्ये बदलली (तथाकथित Cantor's Dust). त्याने एक ओळ घेतली आणि मध्यभागी तिसरा काढला आणि नंतर उर्वरित भागांसह तेच पुनरावृत्ती केले. पियानोने एक विशेष प्रकारची रेषा काढली (चित्र # 1). ते काढण्यासाठी, Peano ने खालील अल्गोरिदम वापरला.

पहिल्या पायरीवर, त्याने एक सरळ रेषा घेतली आणि मूळ रेषेच्या लांबीपेक्षा 3 पट लहान 9 खंडांसह बदलले (आकृती 1 चा भाग 1 आणि 2). मग त्याने परिणामी ओळीच्या प्रत्येक सेगमेंटसह असेच केले. आणि म्हणून जाहिरात अनंत. त्याचे वैशिष्ट्य म्हणजे ते संपूर्ण विमान भरते. हे सिद्ध झाले आहे की विमानावरील प्रत्येक बिंदूसाठी, एखाद्याला पियानो रेषेशी संबंधित एक बिंदू सापडतो. Peano's Curve आणि Cantor's Dust सामान्य भूमितीय वस्तूंच्या पलीकडे गेले. त्यांना स्पष्ट परिमाण नव्हते. कॅंटरची धूळ एका-आयामी सरळ रेषेच्या आधारावर तयार केली गेली होती, परंतु त्यात बिंदू (परिमाण 0) होते. आणि पियानो वक्र एक-आयामी रेषेच्या आधारावर तयार केले गेले होते आणि त्याचा परिणाम एक विमान होता. विज्ञानाच्या इतर अनेक क्षेत्रांमध्ये, समस्या दिसू लागल्या, ज्याच्या निराकरणामुळे वर वर्णन केल्याप्रमाणे विचित्र परिणाम दिसू लागले (ब्राउनियन मोशन, स्टॉकच्या किमती).

भग्नांचा बाप

20 व्या शतकापर्यंत, अशा विचित्र वस्तूंवर डेटा जमा केला जात होता, त्यांना व्यवस्थित करण्याचा कोणताही प्रयत्न न करता. आधुनिक फ्रॅक्टल भूमितीचे जनक बेनोइट मँडलब्रॉट आणि फ्रॅक्टल या शब्दाचा स्वीकार होईपर्यंत ते होते. गणितीय विश्लेषक म्हणून IBM साठी काम करत असताना, त्यांनी इलेक्ट्रॉनिक सर्किट्समधील आवाजाचा अभ्यास केला ज्याचे आकडेवारी वापरून वर्णन केले जाऊ शकत नाही. हळुहळू वस्तुस्थितींची तुलना करतांना त्याला गणितातील नवीन दिशा - भग्न भूमितीचा शोध लागला.

भग्न म्हणजे काय. मॅंडेलब्रॉटने स्वतः फ्रॅक्टल हा शब्द लॅटिन शब्द फ्रॅक्टस या शब्दापासून घेतला आहे, ज्याचा अर्थ तुटलेला (भागांमध्ये विभागलेला) आहे. आणि फ्रॅक्टलच्या व्याख्येपैकी एक म्हणजे भौमितिक आकृती ज्यामध्ये भाग असतात आणि जे भागांमध्ये विभागले जाऊ शकतात, त्यातील प्रत्येक संपूर्ण (किमान अंदाजे) कमी केलेली प्रत दर्शवेल.

फ्रॅक्टलची अधिक बारकाईने कल्पना करण्यासाठी, बी. मँडलब्रॉट यांनी "द फ्रॅक्टल जॉमेट्री ऑफ नेचर" या पुस्तकात दिलेले उदाहरण विचारात घ्या, जे क्लासिक बनले आहे - "ब्रिटनचा किनारा किती लांब आहे?". या प्रश्नाचे उत्तर दिसते तितके सोपे नाही. हे सर्व आपण वापरत असलेल्या साधनाच्या लांबीवर अवलंबून आहे. एक किलोमीटरच्या शासकाने किनारपट्टी मोजल्यानंतर, आम्हाला काही लांबी मिळते. तथापि, आम्ही आमच्या शासकापेक्षा खूपच लहान असलेल्या अनेक लहान कोव्ह आणि द्वीपकल्प वगळू. शासकाचा आकार 1 मीटर पर्यंत कमी करून, आम्ही लँडस्केपचे हे तपशील विचारात घेऊ आणि त्यानुसार, किनारपट्टीची लांबी वाढेल. चला पुढे जाऊ आणि मिलिमीटर शासक वापरून किनारपट्टीची लांबी मोजू, येथे आपण एक मिलीमीटरपेक्षा जास्त तपशील विचारात घेऊ, लांबी आणखी जास्त असेल. परिणामी, अशा वरवर साध्या प्रश्नाचे उत्तर कोणालाही गोंधळात टाकू शकते - ब्रिटनच्या किनारपट्टीची लांबी असीम आहे.

परिमाणांबद्दल थोडेसे.

आपल्या दैनंदिन जीवनात आपल्याला सतत परिमाणांचा सामना करावा लागतो. आम्ही रस्त्याच्या लांबीचा (250 मीटर) अंदाज लावतो, अपार्टमेंटचे क्षेत्रफळ (78 m2) शोधतो आणि स्टिकरवर बिअरच्या बाटलीचे प्रमाण (0.33 dm3) शोधतो. ही संकल्पना अगदी अंतर्ज्ञानाने स्पष्ट आहे आणि असे दिसते की स्पष्टीकरणाची आवश्यकता नाही. रेषेचे परिमाण 1 आहे. याचा अर्थ असा की, संदर्भ बिंदू निवडल्यानंतर, आपण या रेषेवरील कोणताही बिंदू 1 संख्या वापरून परिभाषित करू शकतो - सकारात्मक किंवा ऋण. आणि हे सर्व ओळींवर लागू होते - एक वर्तुळ, एक चौरस, एक पॅराबोला इ.

परिमाण 2 म्हणजे आपण दोन संख्यांसह कोणताही बिंदू अनन्यपणे परिभाषित करू शकतो. द्विमितीय म्हणजे सपाट असे समजू नका. गोलाची पृष्ठभाग देखील द्विमितीय असते (ती दोन मूल्ये वापरून परिभाषित केली जाऊ शकते - कोन जसे की रुंदी आणि रेखांश).

गणिताच्या दृष्टिकोनातून, परिमाण खालीलप्रमाणे निर्धारित केले जाते: एक-आयामी वस्तूंसाठी - त्यांचा रेषीय आकार दुप्पट केल्याने आकारात (या प्रकरणात, लांबी) दोन पट (2 ^ 1) वाढ होते.

2D वस्तूंसाठी, रेखीय परिमाण दुप्पट केल्याने आकार चौपट होईल (उदाहरणार्थ, आयताचे क्षेत्रफळ) (2 ^ 2).

3-डी वस्तूंसाठी, रेखीय परिमाणांमध्ये दोन पटीने वाढ झाल्यामुळे व्हॉल्यूम आठ पट वाढतो (2^3), आणि असेच.

अशा प्रकारे, परिमाण D ची गणना रेखीय परिमाण L. D = log (S) / log (L) वर ऑब्जेक्ट S च्या "आकार" मधील वाढीच्या अवलंबनावर आधारित केली जाऊ शकते. D = log (2) / log (2) = 1 साठी. विमानासाठी D = लॉग (4) / लॉग (2) = 2. व्हॉल्यूम D = लॉग (8) / लॉग (2) = 3 साठी. हे थोडे गोंधळात टाकणारे असू शकते, परंतु सर्वसाधारणपणे ते कठीण आणि समजण्यासारखे नाही.

मी हे सर्व का सांगत आहे? आणि सॉसेजमधून फ्रॅक्टल्स कसे वेगळे करायचे हे समजून घेण्यासाठी. पियानो वक्र साठी परिमाण मोजण्याचा प्रयत्न करूया. तर, आपल्याकडे मूळ रेषा आहे, ज्यामध्ये X लांबीचे तीन विभाग आहेत, 9 खंडांनी तीन पट लहान केले आहेत. अशाप्रकारे, किमान सेगमेंटमध्ये 3 पट वाढ झाल्यास, संपूर्ण रेषेची लांबी 9 पटीने वाढते आणि D = लॉग (9) / लॉग (3) = 2 - द्विमितीय ऑब्जेक्ट !!!

म्हणून, जेव्हा काही सोप्या वस्तूंमधून (सेगमेंट्स) मिळवलेल्या आकृतीचे परिमाण या वस्तूंच्या परिमाणापेक्षा मोठे असते, तेव्हा आपण फ्रॅक्टलशी व्यवहार करतो.

फ्रॅक्टल्स गटांमध्ये विभागलेले आहेत. सर्वात मोठे गट आहेत:

भौमितिक भग्न.

त्यांच्याबरोबरच भग्न इतिहासाची सुरुवात झाली. या प्रकारचे फ्रॅक्टल साध्या भौमितिक बांधकामांद्वारे प्राप्त केले जाते. सहसा, हे फ्रॅक्टल्स बनवताना, खालील गोष्टी केल्या जातात: एक "बीज" घेतले जाते - एक स्वयंसिद्ध - खंडांचा एक संच, ज्याच्या आधारावर फ्रॅक्टल तयार केले जाईल. मग या "बीज" वर नियमांचा एक संच लागू केला जातो, जो त्यास काही प्रकारच्या भौमितिक आकृतीमध्ये रूपांतरित करतो. पुढे, या आकृतीच्या प्रत्येक भागावर समान नियम लागू केले जातात. प्रत्येक पायरीवर, आकृती अधिकाधिक गुंतागुंतीची होत जाईल आणि जर आपण (किमान आपल्या मनात) अनंत संख्येत परिवर्तन केले तर आपल्याला एक भौमितिक फ्रॅक्टल मिळेल.

वर चर्चा केलेली पियानो वक्र एक भौमितिक भग्न आहे. खालील आकृती भौमितिक फ्रॅक्टल्सची इतर उदाहरणे दाखवते (डावीकडून उजवीकडे कोच स्नोफ्लेक, लिझ्ट, सिएरपिन्स्की त्रिकोण).

कोच स्नोफ्लेक

पत्रक

सिएरपिन्स्की त्रिकोण

या भौमितिक फ्रॅक्टल्सपैकी, पहिला, कोच स्नोफ्लेक, अतिशय मनोरंजक आणि त्याऐवजी प्रसिद्ध आहे. हे समभुज त्रिकोणाच्या आधारावर बांधले आहे. ज्यातील प्रत्येक ओळ ___ मूळ _ / \ _ च्या प्रत्येक 1/3 लांबीच्या 4 ओळींनी बदलली आहे. अशा प्रकारे, प्रत्येक पुनरावृत्तीसह, वक्र लांबी एक तृतीयांश वाढते. आणि जर आपण असंख्य पुनरावृत्ती केली तर आपल्याला एक फ्रॅक्टल मिळेल - अनंत लांबीचा कोच स्नोफ्लेक. असे दिसून आले की आपला अनंत वक्र मर्यादित क्षेत्र व्यापतो. युक्लिडियन भूमितीमधील पद्धती आणि आकार वापरून तेच करण्याचा प्रयत्न करा.

कोच स्नोफ्लेकचे परिमाण (जेव्हा स्नोफ्लेक 3 वेळा वाढतो तेव्हा त्याची लांबी 4 पट वाढते) D = लॉग (4) / लॉग (3) = 1.2619 ...

तथाकथित L-प्रणाली भौमितिक फ्रॅक्टल्स बांधण्यासाठी योग्य आहेत. या प्रणालींचे सार हे आहे की सिस्टम चिन्हांचा एक विशिष्ट संच आहे, ज्यापैकी प्रत्येक विशिष्ट क्रिया आणि वर्ण रूपांतरणासाठी नियमांचा संच दर्शवितो. उदाहरणार्थ, फ्रॅक्टिंट प्रोग्राममध्ये एल-सिस्टम्स वापरून कोच स्नोफ्लेकचे वर्णन करणे

; मॅंडेलब्रॉटच्या द फ्रॅक्टल जिओमेट्री ऑफ नेचर मधील अॅड्रियन मारियानोकोच1 ( ; रोटेशनचा कोन 360/6 = 60 अंश सेट कराकोन 6 ; बांधकामासाठी प्रारंभिक रेखाचित्रस्वयंसिद्ध F - F - F ; वर्ण रूपांतरण नियम F = F + F - F + F)

या वर्णनात, चिन्हांचे भूमितीय अर्थ खालीलप्रमाणे आहेत:

F म्हणजे ड्रॉ लाईन + घड्याळाच्या दिशेने वळणे - घड्याळाच्या उलट दिशेने वळणे

फ्रॅक्टल्सचा दुसरा गुणधर्म म्हणजे स्व-समानता. उदाहरणार्थ, Sierpinski त्रिकोण घ्या. समभुज त्रिकोणाच्या मध्यभागी ते तयार करण्यासाठी, त्रिकोण "कट करा". आम्ही तीन तयार झालेल्या त्रिकोणांसाठी (मध्यभागी वगळता) आणि त्याचप्रमाणे जाहिरात अनंतासाठी समान प्रक्रिया पुन्हा करतो. जर आपण आता तयार केलेल्या त्रिकोणांपैकी कोणतेही घेतले आणि ते मोठे केले तर आपल्याला संपूर्णची अचूक प्रत मिळेल. या प्रकरणात, आम्ही संपूर्ण स्वत: ची समानता हाताळत आहोत.

मी लगेच आरक्षण करेन की या लेखातील बहुतेक फ्रॅक्टल रेखाचित्रे फ्रॅक्टिंट प्रोग्राम वापरून प्राप्त केली गेली आहेत. तुम्हाला फ्रॅक्टल्समध्ये स्वारस्य असल्यास, हा प्रोग्राम आहे असणे आवश्यक आहेतुमच्यासाठी. त्याच्या मदतीने, तुम्ही शेकडो भिन्न फ्रॅक्टल्स तयार करू शकता, त्यांच्याबद्दल सर्वसमावेशक माहिती मिळवू शकता आणि फ्रॅक्टल्स कसे आवाज करतात ते देखील ऐकू शकता;).

कार्यक्रम चांगला आहे असे म्हणणे म्हणजे काहीच नाही. एक गोष्ट वगळता हे खूप छान आहे - नवीनतम आवृत्ती 20.0 फक्त DOS साठी उपलब्ध आहे :(. तुम्हाला हा प्रोग्राम (नवीनतम आवृत्ती 20.0) http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html वर मिळेल.

एक टिप्पणी द्या

टिप्पण्या (1)

बरं, स्नॅकसाठी, एक मनोरंजक उदाहरण मायक्रोसॉफ्ट एक्सेलसेल A2 आणि B2 ची मूल्ये 0 आणि 1 मधील समान आहेत. 0.5 च्या मूल्यावर, कोणताही प्रभाव नाही.

फ्रॅटलच्या चित्रावर प्रोग बनवणाऱ्या प्रत्येकाला नमस्कार. 2800 mH असलेल्या दगडावर dt पुनरावृत्ती 100,000 च्या संख्येसह 3d max च्या सब्सट्रेटसह फर्न फ्रॅक्टल्सचे क्लिअरिंग तयार करण्यासाठी माझ्यासाठी कोणती सायकल पद्धत वापरणे चांगले आहे हे मला कोण सांगू शकेल?

ड्रॅगन वक्र रेखाटण्यासाठी प्रोग्रामसह एक स्त्रोत कोड आहे, एक फ्रॅक्टल देखील आहे.

लेख छान आहे. आणि एक्स-फर-ट्री बहुधा कॉप्रोसेसर त्रुटी आहे (शेवटच्या लो-ऑर्डर बिट्समध्ये)

फ्रॅक्टल कसा शोधला गेला

फ्रॅक्टल्स म्हणून ओळखले जाणारे गणितीय रूप हे प्रख्यात शास्त्रज्ञ बेनोइट मँडलब्रॉट यांच्या प्रतिभेचे आहेत. आयुष्यभर त्यांनी अमेरिकेतील येल विद्यापीठात गणित शिकवले. 1977 - 1982 मध्ये, मंडेलब्रॉट यांनी "फ्रॅक्टल भूमिती" किंवा "निसर्गाची भूमिती" च्या अभ्यासासाठी समर्पित वैज्ञानिक कार्ये प्रकाशित केली, ज्यामध्ये त्यांनी यादृच्छिक गणिती स्वरूपांचे घटक घटकांमध्ये मोडले जे, जवळून परीक्षण केल्यावर, पुनरावृत्ती होते, ज्यामुळे त्याचे अस्तित्व सिद्ध झाले. कॉपी करण्यासाठी एक विशिष्ट नमुना ... मंडेलब्रॉटच्या शोधामुळे भौतिकशास्त्र, खगोलशास्त्र आणि जीवशास्त्राच्या विकासावर महत्त्वपूर्ण परिणाम झाले.

निसर्गात भग्न

निसर्गात, बर्‍याच वस्तूंमध्ये फ्रॅक्टल गुणधर्म असतात, उदाहरणार्थ: झाडांचे मुकुट, फुलकोबी, ढग, मानव आणि प्राण्यांच्या रक्ताभिसरण आणि अल्व्होलर सिस्टम, क्रिस्टल्स, स्नोफ्लेक्स, ज्याचे घटक एका जटिल संरचनेत, किनारे (भग्न संकल्पनेने शास्त्रज्ञांना परवानगी दिली) ब्रिटिश बेटांचा किनारा मोजण्यासाठी आणि इतर, पूर्वी अथांग, वस्तू).

फुलकोबीची रचना विचारात घ्या. जर तुम्ही एखादे फुल कापले तर तेच फुलकोबी तुमच्या हातात राहते हे उघड आहे, फक्त लहान आकाराचे. अगदी सूक्ष्मदर्शकाखालीही तुम्ही पुन्हा पुन्हा कापत राहू शकता - तथापि, आम्हाला फक्त फुलकोबीच्या छोट्या प्रती मिळतात. या सर्वात सोप्या प्रकरणात, फ्रॅक्टलच्या अगदी लहान भागामध्ये संपूर्ण अंतिम संरचनेबद्दल माहिती असते.

डिजिटल तंत्रज्ञानातील फ्रॅक्टल्स

फ्रॅक्टल भूमितीने डिजिटल संगीताच्या क्षेत्रात नवीन तंत्रज्ञानाच्या विकासासाठी अमूल्य योगदान दिले आहे, तसेच डिजिटल प्रतिमांचे संकुचित करणे शक्य केले आहे. विद्यमान फ्रॅक्टल इमेज कॉम्प्रेशन अल्गोरिदम डिजिटल इमेज ऐवजी कॉम्प्रेसिंग इमेज स्टोअर करण्याच्या तत्त्वावर आधारित आहेत. पिळलेल्या प्रतिमेसाठी, मुख्य चित्र एक निश्चित बिंदू राहते. मायक्रोसॉफ्टने त्याचा विश्वकोश प्रकाशित करताना या अल्गोरिदमच्या रूपांपैकी एक वापरला, परंतु एका कारणास्तव ही कल्पना व्यापकपणे प्रसारित केली गेली नाही.

फ्रॅक्टल ग्राफिक्सचा गणितीय आधार फ्रॅक्टल भूमिती आहे, जिथे मूळ "पालक वस्तू" मधील वारशाचे तत्व "प्रतिमा-वारस" तयार करण्याच्या पद्धतींच्या आधारावर ठेवले जाते. फ्रॅक्टल भूमिती आणि फ्रॅक्टल ग्राफिक्सच्या संकल्पना केवळ 30 वर्षांपूर्वीच प्रकट झाल्या होत्या, परंतु संगणक डिझाइनर आणि गणितज्ञांनी त्या आधीच स्थापित केल्या आहेत.

फ्रॅक्टल कॉम्प्युटर ग्राफिक्सच्या मूलभूत संकल्पना आहेत:

• भग्न त्रिकोण - भग्न आकृती - भग्न वस्तू (उतरत्या क्रमाने पदानुक्रम)
• भग्न रेषा
• फ्रॅक्टल रचना
• "पालक ऑब्जेक्ट" आणि "उत्तराधिकारी ऑब्जेक्ट"

वेक्टर आणि 3D ग्राफिक्स प्रमाणेच, फ्रॅक्टल प्रतिमा तयार करणे ही गणिती गणना केली जाते. पहिल्या दोन प्रकारच्या ग्राफिक्समधील मुख्य फरक हा आहे की फ्रॅक्टल प्रतिमा समीकरण किंवा समीकरणांच्या प्रणालीनुसार तयार केली जाते - सर्व गणना करण्यासाठी संगणकाच्या मेमरीमधील सूत्राशिवाय काहीही नाही - आणि अशा कॉम्पॅक्टनेस गणिताच्या उपकरणामुळे ही कल्पना संगणक ग्राफिक्समध्ये वापरणे शक्य झाले. फक्त समीकरणाचे गुणांक बदलून, तुम्ही सहजपणे एक पूर्णपणे भिन्न भग्न प्रतिमा मिळवू शकता - अनेक गणितीय गुणांक वापरून, पृष्ठभाग आणि अतिशय जटिल आकारांच्या रेषा सेट केल्या आहेत, ज्यामुळे तुम्हाला क्षैतिज आणि अनुलंब, सममिती आणि विषमता यासारख्या रचना तंत्रांची अंमलबजावणी करण्याची परवानगी मिळते. , कर्णरेषा दिशानिर्देश आणि बरेच काही.

फ्रॅक्टल कसा बांधायचा?

भग्न निर्माता एकाच वेळी कलाकार, छायाचित्रकार, शिल्पकार आणि वैज्ञानिक-शोधकाची भूमिका बजावतो. "स्क्रॅचमधून" चित्र तयार करण्याच्या कामाचे टप्पे काय आहेत?

• गणितीय सूत्राने चित्राचा आकार सेट करा
• प्रक्रियेच्या अभिसरणाची तपासणी करा आणि त्याचे पॅरामीटर्स बदला
• प्रतिमेचा प्रकार निवडा
• रंगांचा पॅलेट निवडा

फ्रॅक्टल ग्राफिक्स एडिटर आणि इतरांमध्ये ग्राफिक्स कार्यक्रमओळखले जाऊ शकते:

• "कला डॅबलर"
• "पेंटर" (संगणकाशिवाय, कोणताही कलाकार केवळ पेन्सिल आणि ब्रश पेनच्या मदतीने प्रोग्रामरद्वारे मांडलेल्या शक्यतांपर्यंत पोहोचू शकत नाही)
• "Adobe Photoshop" (परंतु येथे प्रतिमा "स्क्रॅचमधून" तयार केलेली नाही, परंतु, नियमानुसार, केवळ प्रक्रिया केली जाते)

अनियंत्रित भग्न भौमितिक आकृतीचे उपकरण विचारात घ्या. त्याच्या मध्यभागी सर्वात सोपा घटक आहे - एक समभुज त्रिकोण, ज्याला समान नाव प्राप्त झाले: "फ्रॅक्टल". बाजूंच्या मधल्या भागावर, मूळ भग्न त्रिकोणाच्या बाजूच्या एक तृतीयांश भागाच्या बरोबरीने समभुज त्रिकोण तयार करा. अगदी लहान त्रिकोण-दुसऱ्या पिढीचे वारस समान तत्त्वावर बांधले जातात - आणि त्याचप्रमाणे जाहिरात अनंत. परिणामी वस्तूला "फ्रॅक्टल आकृती" म्हणतात, ज्याच्या अनुक्रमांमधून आपल्याला "फ्रॅक्टल रचना" मिळते.

स्रोत: http://www.iknowit.ru/

भग्न आणि प्राचीन मंडले

हे पैसे आकर्षित करण्यासाठी एक मंडळ आहे. असा दावा केला जातो की लाल रंग पैशाच्या चुंबकाप्रमाणे काम करतो. सुशोभित नमुने तुम्हाला काहीही आठवण करून देतात? ते मला खूप ओळखीचे वाटले आणि मी मंडलांचे भग्न म्हणून संशोधन करू लागलो.

तत्वतः, मंडल हे एका जटिल संरचनेचे भौमितिक प्रतीक आहे, ज्याचा अर्थ विश्वाचे मॉडेल, "विश्वाचा नकाशा" म्हणून केला जातो. हे फ्रॅक्टॅलिटीचे पहिले लक्षण आहे!

ते फॅब्रिकवर भरतकाम केलेले आहेत, वाळूवर रंगवलेले आहेत, रंगीत पावडरसह आणि धातू, दगड, लाकूड बनलेले आहेत. तेजस्वी आणि मंत्रमुग्ध करणारा देखावा तिला बनवतो सुंदर सजावटभारतातील मंदिरांचे मजले, भिंती आणि छत. प्राचीन भारतीय भाषेत, "मंडला" म्हणजे ब्रह्मांडातील आध्यात्मिक आणि भौतिक शक्तींच्या परस्परसंबंधाचे गूढ वर्तुळ किंवा दुसऱ्या शब्दांत, जीवनाचे फूल.

मला अगदी लहान फ्रॅक्टल मंडळांबद्दल पुनरावलोकन लिहायचे होते, कमीतकमी परिच्छेदांसह, हे दर्शविते की संबंध स्पष्टपणे अस्तित्वात आहे. तथापि, जागरूकता शोधण्याचा आणि फ्रॅक्टल्स आणि मंडलांबद्दलची माहिती एका संपूर्णपणे जोडण्याचा प्रयत्न करताना, मला अज्ञात जागेत क्वांटम झेप झाल्याची भावना आली.

मी या विषयाची विशालता एका कोटासह दर्शवितो: "अशा फ्रॅक्टल रचना किंवा मंडलांचा वापर पेंटिंग्ज, राहण्यासाठी आणि कामाच्या जागेसाठी डिझाइन घटक, घालण्यायोग्य ताबीज, व्हिडिओ टेप, संगणक प्रोग्रामच्या स्वरूपात दोन्ही स्वरूपात केला जाऊ शकतो ... "सर्वसाधारणपणे, फ्रॅक्टल्सच्या अभ्यासाचा विषय फक्त प्रचंड आहे.

एक गोष्ट मी निश्चितपणे सांगू शकतो, हे जग आपल्या मनातील गरीब कल्पनांपेक्षा खूप वैविध्यपूर्ण आणि श्रीमंत आहे.

भग्न सागरी प्राणी

भग्न सागरी प्राण्यांबद्दलचे माझे अंदाज निराधार नव्हते. येथे प्रथम प्रतिनिधी आहेत. ऑक्टोपस हा सेफॅलोपॉड्सच्या क्रमाने समुद्री बेंथिक प्राणी आहे.

हा फोटो बघून, त्याच्या शरीराची भग्न रचना आणि या प्राण्याच्या आठही मंडपावरील चोखणे मला स्पष्ट झाले. प्रौढ ऑक्टोपसच्या तंबूवरील सक्शन कप 2,000 पर्यंत पोहोचतात.

एक मनोरंजक वस्तुस्थिती अशी आहे की ऑक्टोपसला तीन हृदये आहेत: एक (मुख्य) संपूर्ण शरीरात निळे रक्त चालवते, आणि दुसरे दोन - गिल - गिलमधून रक्त ढकलतात. या खोल समुद्रातील काही भाग विषारी आहेत.

त्याच्या वातावरणाशी जुळवून घेऊन आणि वेष करून, ऑक्टोपसमध्ये रंग बदलण्याची अतिशय उपयुक्त क्षमता असते.

ऑक्टोपस हा सर्व इनव्हर्टेब्रेट्समध्ये सर्वात हुशार मानला जातो. ते लोकांना ओळखतात, त्यांना जे खाऊ घालतात त्यांची सवय होते. ऑक्टोपस पाहणे मनोरंजक असेल, जे प्रशिक्षित करणे सोपे आहे, त्यांची स्मृती चांगली आहे आणि भौमितिक आकार देखील वेगळे आहेत. परंतु या भग्न प्राण्यांचे वय अल्पायुषी असते - जास्तीत जास्त 4 वर्षे.

मनुष्य या जिवंत फ्रॅक्टल आणि इतर सेफॅलोपॉड्सची शाई वापरतो. त्यांच्या टिकाऊपणा आणि सुंदर तपकिरी टोनसाठी कलाकारांकडून त्यांची मागणी केली जाते. भूमध्यसागरीय पाककृतीमध्ये, ऑक्टोपस जीवनसत्त्वे बी 3, बी 12, पोटॅशियम, फॉस्फरस आणि सेलेनियमचा स्त्रोत आहे. पण मला वाटतं की तुम्ही या सागरी फ्रॅक्टल्सला खाण्याचा आनंद लुटण्यासाठी त्यांना शिजवता आलं पाहिजे.

तसे, हे लक्षात घेतले पाहिजे की ऑक्टोपस हे शिकारी आहेत. त्यांच्या भग्न तंबूसह, ते त्यांचे शिकार मोलस्क, क्रस्टेशियन आणि माशांच्या रूपात धरतात. इतका सुंदर मोलस्क या समुद्राच्या भग्नांचे खाद्य बनले तर खेदाची गोष्ट आहे. माझ्या मते, समुद्र साम्राज्याच्या फ्रॅक्टल्सचा एक विशिष्ट प्रतिनिधी देखील.

हा गोगलगायींचा नातेवाईक आहे, गॅस्ट्रोपॉड नुडिब्रॅंच मोलस्क ग्लॉकस उर्फ ​​ग्लॉकस उर्फ ​​ग्लॉकस अटलांटिकस उर्फ ​​ग्लॉसिला मार्जिनाटा. हे फ्रॅक्टल देखील असामान्य आहे कारण ते पृष्ठभागाच्या तणावाने धरून राहते आणि पाण्याच्या पृष्ठभागाखाली फिरते. कारण मोलस्क हर्माफ्रोडाइट आहे, नंतर वीण केल्यानंतर दोन्ही "भागीदार" अंडी घालतात. हे फ्रॅक्टल उष्णकटिबंधीय झोनमधील सर्व महासागरांमध्ये आढळते.

समुद्र साम्राज्याचे भग्न

आपल्यापैकी प्रत्येकाने आयुष्यात एकदा तरी त्याच्या हातात धरले आणि खऱ्या बालिश स्वारस्याने समुद्राच्या कवचाचे परीक्षण केले.

सहसा टरफले समुद्राच्या सहलीची आठवण करून देणारी एक सुंदर स्मरणिका असते. जेव्हा तुम्ही इनव्हर्टेब्रेट मोलस्कची ही सर्पिल निर्मिती पाहता तेव्हा त्याच्या भग्न स्वरूपाविषयी शंका नाही.

आम्‍ही माणसं काही प्रमाणात या मऊ-शरीराच्या मोलस्कची आठवण करून देत आहोत, आरामदायी काँक्रीटच्या भग्न घरांमध्ये राहतो, वेगवान गाड्यांमध्ये आपले शरीर ठेवतो आणि हलवतो.

भग्न पाण्याखालील जगाचा आणखी एक विशिष्ट प्रतिनिधी कोरल आहे.
निसर्गात 3500 हून अधिक कोरल प्रजाती ज्ञात आहेत, ज्याच्या पॅलेटमध्ये 350 पर्यंत रंगाच्या छटा ओळखल्या जातात.

कोरल हे कोरल पॉलीप्सच्या वसाहतीतील कंकाल सामग्री आहे, ते देखील अपृष्ठवंशी कुटुंबातील आहे. त्यांचे प्रचंड संचय संपूर्ण कोरल रीफ्स बनवतात, ज्याच्या निर्मितीचा फ्रॅक्टल मार्ग स्पष्ट आहे.

समुद्राच्या साम्राज्यातून कोरलला आत्मविश्वासाने फ्रॅक्टल म्हटले जाऊ शकते.

दागिने आणि दागिन्यांसाठी स्मरणिका किंवा कच्चा माल म्हणून देखील मानवाकडून याचा वापर केला जातो. परंतु भग्न निसर्गाच्या सौंदर्याची आणि परिपूर्णतेची पुनरावृत्ती करणे फार कठीण आहे.

काही कारणास्तव, मला शंका नाही की पाण्याखालील जगात बरेच भग्न प्राणी देखील आढळतील.

पुन्हा एकदा, स्वयंपाकघरात चाकू आणि कटिंग बोर्डसह विधी करणे आणि नंतर, चाकू खाली करणे थंड पाणी, माझ्या डोळ्यांत जवळजवळ दररोज दिसणार्‍या अश्रू फ्रॅक्टलला कसे सामोरे जावे हे पुन्हा एकदा मला अश्रू येत होते.

फ्रॅक्टॅलिटीचे तत्त्व प्रसिद्ध मॅट्रियोष्का - नेस्टिंग सारखेच आहे. त्यामुळेच फ्रॅक्टॅलिटी लगेच लक्षात येत नाही. याव्यतिरिक्त, प्रकाश एकसमान रंग आणि त्याची नैसर्गिक क्षमता कारणीभूत आहे अस्वस्थताविश्वाचे जवळचे निरीक्षण आणि भग्न गणितीय नियम ओळखण्यात योगदान देऊ नका.

परंतु लिलाक-रंगीत लेट्यूस कांदे, त्यांच्या रंगामुळे आणि टीयर फायटोनसाइड्सच्या अनुपस्थितीमुळे, या भाजीच्या नैसर्गिक फ्रॅक्टॅलिटीवर प्रतिबिंबित झाले. अर्थात, हे एक साधे फ्रॅक्टल आहे, वेगवेगळ्या व्यासांचे सामान्य वर्तुळे, एखाद्याला सर्वात आदिम फ्रॅक्टल असेही म्हणता येईल. पण आपल्या विश्वात चेंडूला एक आदर्श भौमितिक आकृती मानली जाते हे लक्षात ठेवल्याने दुखापत होणार नाही.

ओ उपयुक्त गुणधर्मकांदा, इंटरनेटवर बरेच लेख प्रकाशित केले गेले आहेत, परंतु तरीही कोणीही या नैसर्गिक नमुन्याचा फ्रॅक्टॅलिटीच्या दृष्टिकोनातून अभ्यास करण्याचा प्रयत्न केला नाही. माझ्या स्वयंपाकघरात कांद्याच्या रूपात फ्रॅक्टल वापरण्याच्या उपयुक्ततेची वस्तुस्थिती मी फक्त सांगू शकतो.

P.S. आणि फ्रॅक्टल पीसण्यासाठी मी आधीच भाजीपाला कटर खरेदी केला आहे. आता तुम्हाला विचार करावा लागेल की सामान्य पांढऱ्या कोबीसारखी निरोगी भाजी किती भग्न आहे. समान घरटी तत्त्व.

लोककला मध्ये भग्न

माझे लक्ष जागतिक प्रसिद्ध खेळण्या "Matryoshka" च्या इतिहासाने आकर्षित केले. जवळून पाहिल्यास, आम्ही आत्मविश्वासाने म्हणू शकतो की हे स्मरणिका खेळणी एक सामान्य फ्रॅक्टल आहे.

जेव्हा लाकडी खेळण्यातील सर्व आकृत्या रांगेत असतात आणि एकमेकांमध्ये घरटे नसतात तेव्हा फ्रॅक्टॅलिटीचे तत्त्व स्पष्ट होते.

जागतिक बाजारपेठेत या खेळण्यांच्या फ्रॅक्टलच्या इतिहासाच्या माझ्या लहान अभ्यासातून असे दिसून आले आहे की या सौंदर्याची मूळ जपानी आहे. मॅट्रियोष्का नेहमीच रशियन स्मरणिका मानली जाते. परंतु असे दिसून आले की ती जुन्या ऋषी फुकुरमच्या जपानी मूर्तीचा नमुना आहे, जी एकदा जपानमधून मॉस्कोला आणली गेली होती.

परंतु या जपानी मूर्तीला जागतिक कीर्ती मिळवून देणारी रशियन खेळणी हस्तकला होती. खेळण्यातील भग्न घरटे बांधण्याची कल्पना कोठून आली, वैयक्तिकरित्या माझ्यासाठी हे एक रहस्यच राहिले. बहुधा, या खेळणीच्या लेखकाने एकमेकांमध्ये आकृत्या घरट्याचे तत्त्व वापरले. आणि जोडण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे वेगवेगळ्या आकाराच्या समान आकृत्या आणि हे आधीच फ्रॅक्टल आहे.

संशोधनाची तितकीच मनोरंजक वस्तू म्हणजे फ्रॅक्टल टॉयची पेंटिंग. हे एक सजावटीचे पेंटिंग आहे - खोखलोमा. खोखलोमाचे पारंपारिक घटक म्हणजे फुले, बेरी आणि फांद्या यांचे हर्बल नमुने.

पुन्हा, भग्नतेची सर्व चिन्हे. शेवटी, समान घटक वेगवेगळ्या आवृत्त्या आणि प्रमाणात अनेक वेळा पुनरावृत्ती होऊ शकतो. परिणाम एक लोक भग्न चित्रकला आहे.

आणि जर तुम्ही कॉम्प्युटर माईस, लॅपटॉप कव्हर्स आणि फोन्सच्या नवीन फॅन्गल्ड पेंटिंगसह कोणालाही आश्चर्यचकित करणार नाही, तर लोकशैलीमध्ये फ्रॅक्टल कार ट्यूनिंग ऑटो डिझाइनमध्ये काहीतरी नवीन आहे. आपल्यासाठी अशा सामान्य गोष्टींमध्ये अशा असामान्य मार्गाने आपल्या जीवनातील फ्रॅक्टल्सच्या जगाचे प्रकटीकरण पाहून आश्चर्यचकित होणे बाकी आहे.

किचनमध्ये फ्रॅक्टल्स

प्रत्येक वेळी जेव्हा मी फुलकोबीला उकळत्या पाण्यात ब्लँच करण्यासाठी लहान फुलांमध्ये घेत असे, तेव्हा माझ्या हातात हा नमुना येईपर्यंत मी एकदाही फ्रॅक्लॅलिटीच्या स्पष्ट लक्षणांकडे लक्ष दिले नाही.

माझ्या स्वयंपाकघरातील टेबलावर एक सामान्य वनस्पती फ्रॅक्टल होती.

फुलकोबीवरील माझ्या सर्व प्रेमामुळे, मी नेहमी एकसमान पृष्ठभाग असलेले नमुने पाहिले ज्यामध्ये फ्रॅक्टॅलिटीची चिन्हे नसतात आणि एकमेकांच्या आत असलेल्या मोठ्या संख्येने फुलणे देखील मला या उपयुक्त भाजीमध्ये फ्रॅक्टल दिसण्याचे कारण देत नाहीत.

परंतु उच्चारित फ्रॅक्टल भूमितीसह या विशिष्ट नमुन्याच्या पृष्ठभागाने या प्रकारच्या कोबीच्या भग्न उत्पत्तीबद्दल थोडीशी शंका सोडली नाही.

हायपरमार्केटच्या दुसर्या ट्रिपने केवळ कोबीच्या भग्न स्थितीची पुष्टी केली. विदेशी भाज्यांच्या प्रचंड संख्येमध्ये फ्रॅक्टल्सचा संपूर्ण बॉक्स होता. ते रोमनेस्कू किंवा रोमनेस्क ब्रोकोली, फुलकोबी होते.

असे दिसून आले की डिझाइनर आणि 3D कलाकार त्याच्या विदेशी, भग्न-सारख्या आकारांची प्रशंसा करतात.

कोबीच्या कळ्या लॉगरिदमिक सर्पिलमध्ये वाढतात. रोमनेस्कू कोबीचा पहिला उल्लेख 16 व्या शतकात इटलीमधून आला.

आणि ब्रोकोली कोबी माझ्या आहारात अजिबात पाहुणे नाही, जरी सामग्रीच्या बाबतीत पोषकआणि सूक्ष्म पोषक घटक, ते काही वेळा फुलकोबीला मागे टाकते. पण त्याचा पृष्ठभाग आणि आकार इतका एकसारखा आहे की त्यात भाजीपाला फ्रॅक्टल दिसल्याचं मला कधीच वाटलं नाही.

क्विलिंगमध्ये फ्रॅक्टल्स

क्विलिंग तंत्राचा वापर करून ओपनवर्क क्राफ्ट्स पाहून, ते मला काहीतरी आठवण करून देतात अशी भावना मला कधीही सोडली नाही. वेगवेगळ्या आकारात समान घटकांची पुनरावृत्ती - अर्थातच, हे फ्रॅक्टॅलिटीचे तत्त्व आहे.

क्विलिंगवरील पुढील मास्टर क्लास पाहिल्यानंतर, क्विलिंगच्या फ्रॅक्टॅलिटीबद्दल शंका देखील आली नाही. सर्व केल्यानंतर, बनवण्यासाठी विविध घटकक्विलिंग क्राफ्टसाठी, वेगवेगळ्या व्यासांच्या वर्तुळांसह एक विशेष शासक वापरला जातो. उत्पादनांच्या सर्व सौंदर्य आणि विशिष्टतेसाठी, हे एक आश्चर्यकारकपणे सोपे तंत्र आहे.

क्विलिंग क्राफ्टसाठी जवळजवळ सर्व मूलभूत घटक कागदापासून बनवले जातात. क्विलिंग पेपरवर विनामूल्य साठा करण्यासाठी, तुमच्या बुकशेल्फचे घरी ऑडिट करा. नक्कीच, तेथे तुम्हाला काही चमकदार चकचकीत मासिके सापडतील.

क्विलिंग साधने सोपी आणि स्वस्त आहेत. तुम्हाला हौशी क्विलिंग कामासाठी आवश्यक असलेली प्रत्येक गोष्ट तुमच्या होम ऑफिसच्या पुरवठ्यांमध्ये मिळू शकते.

आणि क्विलिंगचा इतिहास युरोपमध्ये 18 व्या शतकात सुरू होतो. पुनर्जागरणाच्या काळात, फ्रेंच आणि इटालियन मठांतील भिक्षूंनी पुस्तकांची मुखपृष्ठे सजवण्यासाठी क्विलिंगचा वापर केला आणि त्यांनी शोधून काढलेले पेपर-रोलिंग तंत्र भग्न होते असा संशयही त्यांना आला नाही. उच्च समाजातील मुलींनी विशेष शाळांमध्ये क्विलिंग कोर्स देखील घेतला. अशा प्रकारे हे तंत्र देश आणि खंडांमध्ये पसरू लागले.

विलासी पिसारा बनवण्यासाठी या मास्टर क्लास व्हिडिओ क्विलिंगला "डू-इट-योरसेल्फ फ्रॅक्टल्स" देखील म्हटले जाऊ शकते. पेपर फ्रॅक्टल्सच्या मदतीने, अद्भुत अनन्य व्हॅलेंटाईन कार्ड आणि इतर अनेक मनोरंजक गोष्टी मिळवल्या जातात. शेवटी, कल्पनारम्य, निसर्गाप्रमाणेच, अक्षय आहे.

हे कोणासाठीही गुपित नाही की जपानी लोकांच्या जीवनात जागा खूप मर्यादित आहेत आणि म्हणूनच, त्यांना ते प्रभावीपणे वापरण्यासाठी सर्वोत्तम प्रयत्न करावे लागतील. ताकेशी मियाकावा हे कार्यक्षमतेने आणि सौंदर्यदृष्ट्या कसे करता येते हे दाखवते. त्याच्या फ्रॅक्टल वॉर्डरोबने पुष्टी केली की डिझाइनमध्ये फ्रॅक्टल्सचा वापर केवळ फॅशनला श्रद्धांजलीच नाही तर मर्यादित जागेत सुसंवादी डिझाइन सोल्यूशन देखील आहे.

वास्तविक जीवनात फ्रॅक्टल्सच्या वापराच्या या उदाहरणाने, फर्निचर डिझाइनमध्ये लागू केले, मला दर्शविले की फ्रॅक्टल्स केवळ कागदावरच नव्हे तर गणितीय सूत्रे आणि संगणक प्रोग्राममध्ये वास्तविक असतात.

आणि असे दिसते की निसर्ग सर्वत्र फ्रॅक्टॅलिटीचे तत्त्व वापरतो. तुम्हाला फक्त त्याकडे बारकाईने पाहण्याची गरज आहे, आणि ते स्वतःला त्याच्या सर्व भव्य विपुलतेमध्ये आणि असीमतेमध्ये प्रकट करेल.

तर, फ्रॅक्टल हा एक गणितीय संच आहे ज्यामध्ये या संचासारख्या वस्तू असतात. दुसर्‍या शब्दांत, जर आपण भग्न आकृतीचा एक छोटा तुकडा मॅग्निफिकेशन अंतर्गत पाहिला, तर तो या आकृतीच्या मोठ्या प्रमाणात किंवा संपूर्ण आकृतीसारखा दिसेल. फ्रॅक्टलसाठी, शिवाय, स्केलमध्ये वाढ म्हणजे संरचनेचे सरलीकरण नाही. त्यामुळे सर्व स्तरांवर आपल्याला तितकेच गुंतागुंतीचे चित्र दिसेल.

भग्न गुणधर्म

वरील व्याख्येच्या आधारे, फ्रॅक्टल हे सहसा भौमितिक आकृती म्हणून दर्शविले जाते जे खालीलपैकी एक किंवा अधिक गुणधर्मांचे समाधान करते:

कोणत्याही वाढीवर एक जटिल रचना आहे;

अंदाजे स्व-समान (भाग संपूर्ण सारखे आहेत);

अधिक टोपोलॉजिकल आहे एक अंशात्मक परिमाण आहे;

पुनरावृत्ती पद्धत वापरून तयार केले जाऊ शकते.

बाहेरच्या जगात भग्न

"फ्रॅक्टल" ची संकल्पना अत्यंत अमूर्त वाटत असूनही, जीवनात आपण या घटनेची अनेक वास्तविक आणि अगदी व्यावहारिक उदाहरणे पाहू शकता. शिवाय, आजूबाजूच्या जगाचा नक्कीच विचार केला पाहिजे, कारण ते फ्रॅक्टल आणि त्याची वैशिष्ट्ये अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेतील.

उदाहरणार्थ, विविध उपकरणांसाठी अँटेना, ज्याचे डिझाईन्स फ्रॅक्टल पद्धतीने कार्यान्वित केले जातात, त्यांची कार्यक्षमता पारंपारिक डिझाइनच्या अँटेनापेक्षा 20% जास्त दर्शवतात. याव्यतिरिक्त, फ्रॅक्टल अँटेना विविध प्रकारच्या फ्रिक्वेन्सीवर एकाच वेळी उत्कृष्ट कामगिरीसह कार्य करू शकते. म्हणूनच आधुनिक भ्रमणध्वनीआधीपासूनच व्यावहारिकरित्या त्यांच्या डिझाइनमध्ये शास्त्रीय उपकरणाचे बाह्य अँटेना नाहीत - नंतरचे अंतर्गत फ्रॅक्टलद्वारे बदलले जातात, जे थेट फोनच्या मुद्रित सर्किट बोर्डवर माउंट केले जातात.

विकासासह फ्रॅक्टल्सकडे खूप लक्ष दिले गेले माहिती तंत्रज्ञान... सध्या, फ्रॅक्टल्स वापरून विविध प्रतिमा संकुचित करण्यासाठी अल्गोरिदम विकसित केले गेले आहेत, संगणक ग्राफिक्स ऑब्जेक्ट्स (झाडे, पर्वत आणि समुद्र पृष्ठभाग) फ्रॅक्टल पद्धतीने तयार करण्याच्या पद्धती आहेत, तसेच काही नेटवर्क्समध्ये IP पत्ते नियुक्त करण्यासाठी फ्रॅक्टल सिस्टम आहेत.

अर्थशास्त्रात, स्टॉक आणि चलन अवतरणांचे विश्लेषण करताना फ्रॅक्टल्स वापरण्याचा एक मार्ग आहे. कदाचित फॉरेक्स मार्केटमध्ये व्यापार करणाऱ्या वाचकाने ट्रेडिंग टर्मिनलमध्ये फ्रॅक्टल विश्लेषण कृतीत पाहिले असेल किंवा व्यवहारात ते लागू केले असेल.

तसेच, भग्न गुणधर्म असलेल्या मनुष्याने कृत्रिमरित्या तयार केलेल्या वस्तूंव्यतिरिक्त, नैसर्गिक निसर्गात अशा अनेक वस्तू देखील आहेत. फ्रॅक्टलची चांगली उदाहरणे म्हणजे कोरल, समुद्री कवच, काही फुले आणि वनस्पती (ब्रोकोली, फुलकोबी), मानव आणि प्राण्यांची रक्ताभिसरण प्रणाली आणि ब्रॉन्ची, काचेवर तयार केलेले नमुने, नैसर्गिक क्रिस्टल्स. या आणि इतर अनेक वस्तूंना स्पष्ट फ्रॅक्टल आकार असतो.

मी जे काही वाचतो त्यामधील सर्व काही मला समजत नाही तेव्हा मी विशेषतः अस्वस्थ होत नाही. जर हा विषय नंतर माझ्यासमोर आला नाही, तर तो विशेष महत्त्वाचा नाही (निदान माझ्यासाठी). विषय पुन्हा समोर आल्यास, तिसर्‍यांदा, मला ते अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्याची नवीन संधी मिळेल. अशा थीममध्ये फ्रॅक्टल्स आहेत. मी त्यांच्याबद्दल प्रथम नसीम तालेबच्या पुस्तकातून आणि नंतर बेनोइट मँडेलब्रॉटच्या पुस्तकातून अधिक तपशीलवार शिकलो. आज, "फ्रॅक्टल" च्या विनंतीवर, आपण साइटवर 20 नोट्स मिळवू शकता.

भाग I. स्त्रोतांचा प्रवास

नावाचा अर्थ शोधणे. 20 व्या शतकाच्या सुरूवातीस, हेन्री पॉइनकारे यांनी टिप्पणी केली: “तुम्हाला आश्चर्य वाटते की एका शब्दात किती सामर्थ्य असू शकते. येथे एक वस्तू आहे ज्याबद्दल बाप्तिस्मा होईपर्यंत काहीही सांगितले जाऊ शकत नाही. चमत्कार घडण्यासाठी त्याला नाव देणे पुरेसे होते ” (हे देखील पहा). आणि असेच घडले जेव्हा, 1975 मध्ये, पोलिश मूळच्या बेनोइट मँडलब्रॉट या फ्रेंच गणितज्ञाने शब्द एकत्र केला. लॅटिन शब्दांमधून frangere(ब्रेक) आणि फ्रॅक्टस(अखंड, स्वतंत्र, अपूर्णांक) फ्रॅक्टल तयार होतो. मँडलब्रॉटने भावनिक आवाहन आणि तर्कसंगत उपयुक्ततेवर भर देऊन फ्रॅक्टलचा कलात्मकपणे प्रचार आणि प्रचार केला. ते अनेक मोनोग्राफ प्रकाशित करतात, ज्यात फ्रॅक्टल जॉमेट्री ऑफ नेचर (1982) यांचा समावेश आहे.

निसर्ग आणि कला मध्ये fractals.मँडलब्रॉट यांनी युक्लिडियन व्यतिरिक्त भग्न भूमितीचे रूपरेषा रेखाटली. लोबाचेव्हस्की किंवा रीमन यांच्या भूमितीप्रमाणे हा फरक समांतरतेच्या स्वयंसिद्धतेला लागू होत नाही. फरक युक्लिडच्या डिफॉल्ट स्मूथनेस आवश्यकता सोडून देण्यात आला. काही वस्तू उग्रपणा, सच्छिद्रता किंवा विखंडन यांमध्ये अंतर्भूत असतात आणि त्यापैकी अनेकांना "कोणत्याही प्रमाणात समान प्रमाणात" निर्दिष्ट गुणधर्म असतात. निसर्गात अशा प्रकारांची कमतरता नाही: सूर्यफूल आणि ब्रोकोली, सीशेल्स, फर्न, स्नोफ्लेक्स, माउंटन क्रॅव्हसेस, किनारपट्टी, फजॉर्ड्स, स्टॅलेग्माइट्स आणि स्टॅलेक्टाइट्स, वीज.

जे लोक सावध आणि निरीक्षण करतात त्यांच्या लक्षात आले आहे की काही फॉर्म "जवळ किंवा दूर" पाहिल्यावर एक पुनरावृत्ती नमुना प्रदर्शित करतात. अशा वस्तूंकडे जाताना आपल्या लक्षात येते की केवळ किरकोळ तपशील बदलतात, परंतु संपूर्ण आकार जवळजवळ अपरिवर्तित राहतो. याच्या आधारावर, कोणत्याही स्केलवर पुनरावृत्ती होणारे घटक असलेले भौमितिक आकार म्हणून परिभाषित करणे फ्रॅक्टल सर्वात सोपे आहे.

मिथक आणि रहस्ये.मँडलब्रॉटने शोधलेला फॉर्मचा नवीन स्तर डिझायनर, आर्किटेक्ट आणि अभियंता यांच्यासाठी सोन्याची खाण बनला. अनेक पुनरावृत्तीच्या समान तत्त्वांनुसार असंख्य फ्रॅक्टल्स तयार केले जातात. येथून, भौमितिक आकार म्हणून परिभाषित करणे सर्वात सोपा आहे फ्रॅक्टल ज्यामध्ये कोणत्याही प्रमाणात पुनरावृत्ती होणारे घटक असतात. हे भौमितिक स्वरूप स्थानिक पातळीवर अपरिवर्तनीय (अपरिवर्तनीय) आहे, स्केलवर स्वयं-समान आणि त्याच्या मर्यादांमध्ये अविभाज्य आहे, एक खरी एकवचन आहे, ज्याची जटिलता जवळ येताच प्रकट होते आणि काही अंतरावर ती स्वतःच क्षुल्लक आहे.

सैतानाची शिडी.संगणकांमधील डेटा प्रसारित करण्यासाठी अत्यंत मजबूत विद्युत सिग्नल वापरले जातात. हा सिग्नल वेगळा आहे. विद्युत नेटवर्कमध्ये अनेक कारणांमुळे हस्तक्षेप किंवा आवाज चुकून होतो आणि संगणकांदरम्यान माहिती हस्तांतरित केल्यावर डेटा गमावला जातो. गेल्या शतकाच्या साठच्या दशकाच्या सुरुवातीस डेटा ट्रान्समिशनवरील आवाजाचा प्रभाव दूर करण्यासाठी, IBM अभियंत्यांच्या एका गटाला, ज्यामध्ये मंडेलब्रॉटने भाग घेतला होता, सोपविण्यात आले होते.

ढोबळ विश्लेषणाने त्या कालावधीची उपस्थिती दर्शविली ज्या दरम्यान एकही त्रुटी रेकॉर्ड केली गेली नाही. एका तासाचा कालावधी हायलाइट करताना, अभियंत्यांच्या लक्षात आले की त्यांच्या दरम्यान त्रुटी नसलेले सिग्नल ट्रान्समिशन कालावधी देखील अधूनमधून आहेत, येथे सुमारे वीस मिनिटे टिकणारे लहान विराम आहेत. अशा प्रकारे, त्रुटी-मुक्त डेटा ट्रान्समिशन डेटा पॅकेटद्वारे वैशिष्ट्यीकृत आहे भिन्न लांबीआणि आवाजात विराम देते, ज्या दरम्यान सिग्नल त्रुटींशिवाय प्रसारित केला जातो. उच्च रँकची पॅकेजेस ही खालच्या श्रेणीतील बिल्ट-इन पॅकेजेस असतात. असे वर्णन उच्च-रँकिंग पॅकेटमधील सर्वात कमी-रँक असलेल्या पॅकेटचे सापेक्ष स्थान यासारख्या गोष्टीचे अस्तित्व गृहीत धरते. अनुभवाने दर्शविले आहे की पॅकेट्सच्या या सापेक्ष स्थानांची संभाव्यता वितरण त्यांच्या श्रेणीपेक्षा स्वतंत्र आहे. हे अंतर विद्युतीय आवाजाच्या प्रभावाखाली डेटा विरूपण प्रक्रियेची स्वत: ची समानता दर्शवते. डेटा ट्रान्समिशन दरम्यान सिग्नलमधील त्रुटी-मुक्त विराम कापण्याची पद्धत विद्युत अभियंत्यांना नवीन कारणास्तव घडू शकली नाही.

पण शुद्ध गणिताचा अभ्यास करणाऱ्या मँडलब्रॉटला 1883 मध्ये वर्णन केलेल्या आणि कठोर अल्गोरिदमनुसार मिळवलेल्या बिंदूंमधून धुळीचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या कॅंटर सेटची चांगली माहिती होती. "कॅन्टरची धूळ" तयार करण्यासाठी अल्गोरिदमचे सार खालीलप्रमाणे आहे. सरळ रेषेचा भाग घ्या. दोन टोके ठेवून त्यामधून मधला तिसरा भाग काढा. आता आपण शेवटच्या भागांसह समान ऑपरेशन पुन्हा करू. मॅंडेलब्रॉटने शोधून काढले की हीच पॅकेट्सची भूमिती आहे आणि संगणकांमधील सिग्नलच्या प्रसारणात विराम देतात. त्रुटी जमा होत आहे. त्याचे संचय खालीलप्रमाणे मॉडेल केले जाऊ शकते. पहिल्या टप्प्यावर, आम्ही मध्यांतरापासून सर्व बिंदूंना मूल्य 1/2 देऊ, दुसऱ्या टप्प्यावर मध्यांतरापासून ते 1/4 पर्यंत, मूल्य 3/4 मध्यांतराच्या बिंदूंना, इ. या मूल्यांचे चरण-दर-चरण बेरीज आपल्याला तथाकथित "सैतानाची शिडी" (चित्र 1) तयार करण्यास अनुमती देते. "कॅन्टरची धूळ" चे मोजमाप 0.618 च्या बरोबरीची एक अपरिमेय संख्या आहे ..., "गोल्डन रेशो" किंवा "दैवी प्रमाण" म्हणून ओळखली जाते.

भाग दुसरा. फ्रॅक्टल्स द सार

मांजरीशिवाय स्माईल: फ्रॅक्टल डायमेंशन.परिमाण ही मूलभूत संकल्पनांपैकी एक आहे जी गणिताच्या पलीकडे जाते. "बिगिनिंग्ज" च्या पहिल्या पुस्तकात युक्लिडने भूमिती बिंदू, रेखा, समतल या मूलभूत संकल्पना परिभाषित केल्या आहेत. या व्याख्यांच्या आधारे त्रिमितीय युक्लिडियन अवकाशाची संकल्पना जवळपास अडीच हजार वर्षे अपरिवर्तित राहिली. चार, पाच किंवा त्याहून अधिक परिमाणांच्या मोकळ्या जागांसह असंख्य फ्लर्टिंग मूलत: काहीही जोडत नाही, परंतु मानवी कल्पनेची कल्पना करू शकत नाही अशा गोष्टींना सामोरे जावे लागते. भग्न भूमितीचा शोध लागल्याने परिमाण या संकल्पनेत आमूलाग्र क्रांती झाली. परिमाणांची एक मोठी विविधता दिसू लागली आहे आणि त्यामध्ये केवळ संपूर्णच नाही तर अपूर्णांक आणि अतार्किक देखील आहेत. आणि हे परिमाण दृश्य आणि संवेदनात्मक सादरीकरणासाठी उपलब्ध आहेत. खरंच, आपण वातावरणाचे मॉडेल म्हणून छिद्रांसह चीजची सहज कल्पना करू शकतो, ज्याचे परिमाण दोनपेक्षा जास्त आहे, परंतु चीजच्या छिद्रांमुळे ते तीनपर्यंत पोहोचत नाही, ज्यामुळे चीज वस्तुमानाचे परिमाण कमी होते.

अपूर्णांक किंवा भग्न परिमाण समजून घेण्यासाठी, आम्ही रिचर्डसनच्या विरोधाभासाकडे वळतो, ज्याने असा युक्तिवाद केला की ब्रिटनच्या खडबडीत किनारपट्टीची लांबी असीम होती! लुई फ्राय रिचर्डसन यांना ब्रिटनच्या किनारपट्टीच्या मोजलेल्या लांबीवर स्केलच्या प्रभावाबद्दल आश्चर्य वाटले. समोच्च नकाशांच्या स्केलवरून "कोस्टल खडे" च्या स्केलकडे जाताना, तो एका विचित्र आणि अनपेक्षित निष्कर्षावर आला: किनारपट्टीची लांबी अनिश्चित काळासाठी वाढते आणि या वाढीला मर्यादा नाही. गुळगुळीत, वक्र रेषा असे वागत नाहीत. रिचर्डसनचा अनुभवजन्य डेटा, कधीही मोठ्या स्केलच्या नकाशांवर मिळवलेला, मापनाच्या पायरीत घट होऊन किनारपट्टीच्या लांबीमध्ये पॉवर-कायदा वाढ दर्शवितो:

या साध्या रिचर्डसन सूत्रात एलकिनारपट्टीची मोजलेली लांबी आहे, ε मापनाच्या पायरीची विशालता आहे आणि β ≈ 3/2 ही त्याच्याद्वारे आढळलेल्या मोजमापाच्या पायरीतील घट सह किनारपट्टीच्या लांबीमध्ये वाढीची डिग्री आहे. परिघाच्या विपरीत, यूकेच्या किनारपट्टीची लांबी 55 मर्यादेच्या पुढे वाढत आहे. हे अंतहीन आहे! वक्र तुटलेले, गुळगुळीत, मर्यादित लांबी नाहीत या वस्तुस्थितीशी आपण यावे लागेल.

तथापि, रिचर्डसनच्या अभ्यासाने असे सुचवले आहे की त्यांच्याकडे काही वैशिष्ट्यपूर्ण मोजमाप आहे की ज्या प्रमाणात लांबी कमी होते त्या प्रमाणात वाढते. असे दिसून आले की हे मूल्यच एखाद्या व्यक्तीच्या व्यक्तिमत्त्वाचे फिंगरप्रिंट म्हणून तुटलेली रेषा गूढपणे ओळखते. मँडेलब्रॉटने किनारपट्टीचा अर्थ फ्रॅक्टल ऑब्जेक्ट म्हणून केला - एक ऑब्जेक्ट ज्याचे परिमाण घातांक β शी जुळते.

उदाहरणार्थ, नॉर्वेच्या पश्चिम किनार्‍यासाठी किनारी सीमा वक्रांची परिमाणे 1.52 आहेत; यूके साठी - 1.25; जर्मनीसाठी - 1.15; ऑस्ट्रेलियासाठी - 1.13; दक्षिण आफ्रिकेच्या तुलनेने गुळगुळीत किनारपट्टीसाठी - 1.02 आणि, शेवटी, पूर्णपणे गुळगुळीत वर्तुळासाठी - 1.0.

फ्रॅक्टलचा तुकडा पाहता, त्याचे परिमाण काय आहे हे तुम्ही सांगू शकत नाही. आणि त्याचे कारण तुकड्याच्या भौमितिक जटिलतेमध्ये नाही, तुकडा अगदी सोपा असू शकतो, परंतु वस्तुस्थिती अशी आहे की भग्न परिमाण केवळ तुकड्याचा आकारच नव्हे तर बांधकाम प्रक्रियेत तुकड्याचे रूपांतर स्वरूप देखील प्रतिबिंबित करते. फ्रॅक्टल फ्रॅक्टल परिमाण, जसे होते, फॉर्ममधून काढले जाते. आणि यामुळे, फ्रॅक्टल परिमाणाचे मूल्य अपरिवर्तनीय राहते; सर्वेक्षणाच्या कोणत्याही स्केलवर फ्रॅक्टलच्या कोणत्याही तुकड्यासाठी ते समान असते. हे "बोटांनी पकडले" जाऊ शकत नाही, परंतु ते मोजले जाऊ शकते.

फ्रॅक्टल रिपीट.नॉनलाइनर समीकरणे वापरून पुनरावृत्तीचे मॉडेल केले जाऊ शकते. रेखीय समीकरणे व्हेरिएबल्सच्या एका-ते-एक पत्रव्यवहाराद्वारे दर्शविली जातात: प्रत्येक मूल्य एन.एसएक आणि फक्त एकाच मूल्याशी जुळते येथेआणि उलट. उदाहरणार्थ, x + y = 1 हे समीकरण रेखीय आहे. रेखीय फंक्शन्सचे वर्तन पूर्णपणे निर्धारवादी आहे, अनन्यपणे प्रारंभिक परिस्थितींद्वारे निर्धारित केले जाते. नॉनलाइन फंक्शन्सचे वर्तन इतके अस्पष्ट नाही, कारण दोन भिन्न प्रारंभिक स्थिती समान परिणामास कारणीभूत ठरू शकतात. या आधारावर, ऑपरेशनच्या पुनरावृत्तीची पुनरावृत्ती दोन भिन्न स्वरूपांमध्ये दिसून येते. जेव्हा गणनेच्या प्रत्येक टप्प्यावर प्रारंभिक स्थितीकडे परत येते तेव्हा त्यात रेखीय संदर्भाचे वर्ण असू शकतात. हा एक प्रकारचा "पॅटर्न पुनरावृत्ती" आहे. कन्व्हेयरवर सीरियल प्रोडक्शन म्हणजे “पॅटर्न पुनरावृत्ती”. रेखीय संदर्भ स्वरूपातील पुनरावृत्ती सिस्टमच्या उत्क्रांतीच्या मध्यवर्ती अवस्थांवर अवलंबून नाही. येथे, प्रत्येक नवीन पुनरावृत्ती स्टोव्हपासून सुरू होते. जेव्हा पुनरावृत्तीचे पुनरावृत्ती स्वरूप असते तेव्हा ही दुसरी बाब आहे, म्हणजे, मागील पुनरावृत्ती चरणाचा परिणाम पुढील चरणासाठी प्रारंभिक स्थिती बनतो.

पुनरावृत्तीचे चित्रण फिबोनाची मालिकेद्वारे केले जाऊ शकते, जे गिरार्ड अनुक्रमाच्या स्वरूपात प्रस्तुत केले जाते:

u n +2 = u n +1 + u n

परिणाम म्हणजे फिबोनाची संख्या:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

या उदाहरणात, हे अगदी स्पष्ट आहे की प्रारंभिक मूल्याचा संदर्भ न घेता फंक्शन स्वतःवर लागू केले जाते. हे फिबोनाची मालिकेवर जसे होते तसे सरकते आणि मागील पुनरावृत्तीचा प्रत्येक परिणाम पुढीलसाठी प्रारंभिक मूल्य बनतो. फ्रॅक्टल आकार तयार करताना ही पुनरावृत्ती लक्षात येते.

"सियरपिन्स्की नॅपकिन" (कटिंग पद्धत आणि CIF पद्धत वापरून) तयार करण्यासाठी अल्गोरिदममध्ये फ्रॅक्टल पुनरावृत्ती कशी लागू केली जाते ते दाखवूया.

कापण्याची पद्धत.बाजू असलेला समभुज त्रिकोण घ्या आर... पहिल्या पायरीवर, आम्ही त्याच्या मध्यभागी एक समभुज त्रिकोण कापतो ज्याच्या बाजूची लांबी उलटी केली जाते. आर 1 = आर 0/2. या पायरीच्या परिणामी, आपल्याला बाजूच्या लांबीसह तीन समभुज त्रिकोण मिळतात आर 1 = आर 0/2, मूळ त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूवर स्थित आहे (चित्र 2).

दुस-या टप्प्यावर, तयार झालेल्या तीन त्रिकोणांपैकी प्रत्येकामध्ये, आम्ही बाजूच्या लांबीसह उलटे कोरलेले त्रिकोण कापतो. आर 2 = आर 1 /2 = आर 0/4. परिणाम - बाजूच्या लांबीसह 9 त्रिकोण आर 2 = आर 0/4. परिणामी, सिअरपिन्स्की नॅपकिनचा आकार हळूहळू अधिकाधिक निश्चित होत आहे. फिक्सेशन प्रत्येक टप्प्यावर होते. पूर्वीच्या सर्व वचनबद्धता "मिटवल्या" गेल्या आहेत.

SIF पद्धत, किंवा Barnsley Iterated Function Systems पद्धत.दिलेला: A (0,0), B (1,0), C (1/2, √3 / 2) कोनांच्या समन्वयांसह समभुज त्रिकोण. Z 0 - या त्रिकोणाच्या आत एक अनियंत्रित बिंदू (चित्र 3). आम्ही एक फासे घेतो, ज्याच्या काठावर ए, बी आणि सी अशी दोन अक्षरे आहेत.

पायरी 1. हाड रोल करा. प्रत्येक अक्षर बाहेर पडण्याची संभाव्यता 2/6 = 1/3 आहे.

• A हे अक्षर बाहेर पडल्यास, आम्ही z 0 –A एक खंड तयार करतो, ज्याच्या मध्यभागी आम्ही बिंदू z 1 ठेवतो.
• जर B अक्षर बाहेर पडले तर, z 0 –B एक खंड तयार करा, ज्याच्या मध्यभागी आपण z 1 बिंदू ठेवतो.
• C हे अक्षर बाहेर पडल्यास, आपण z 0 –C एक खंड तयार करतो, ज्याच्या मध्यभागी आपण z 1 बिंदू ठेवतो.

पायरी 2. हाड पुन्हा रोल करा.

• A हे अक्षर बाहेर पडल्यास, आम्ही z 1 –A एक खंड तयार करतो, ज्याच्या मध्यभागी आम्ही बिंदू z 2 ठेवतो.
• जर B अक्षर बाहेर पडले तर, z 1 –B एक खंड तयार करा, ज्याच्या मध्यभागी आपण z 2 बिंदू ठेवतो.
• C हे अक्षर बाहेर पडल्यास, आपण z 1 -C एक खंड तयार करतो, ज्याच्या मध्यभागी आपण z 2 बिंदू ठेवतो.

ऑपरेशनची अनेक वेळा पुनरावृत्ती केल्याने, आम्हाला z 3, z 4, …, z n गुण मिळतात. त्या प्रत्येकाचे वैशिष्ठ्य म्हणजे बिंदू मागील बिंदूपासून अनियंत्रितपणे निवडलेल्या शिरोबिंदूपर्यंत अगदी अर्धा आहे. आता, जर आपण प्रारंभिक बिंदू टाकून दिले, उदाहरणार्थ, z 0 ते z 100 पर्यंत, तर उर्वरित, त्यांच्या मोठ्या संख्येने, "सियरपिन्स्की नॅपकिन" ची रचना तयार करतात. जितके जास्त पॉइंट्स, अधिक पुनरावृत्ती, तितके अधिक स्पष्टपणे सिएरपिन्स्की फ्रॅक्टल निरीक्षकासाठी आहे. आणि ही प्रक्रिया चालू असूनही, हे यादृच्छिक मार्गाने दिसते (फासेचे आभार). "सियरपिन्स्की नॅपकिन" हा प्रक्रियेचा एक प्रकारचा आकर्षण आहे, म्हणजेच, या प्रक्रियेत तयार केलेल्या सर्व मार्गक्रमणांचा मोठ्या प्रमाणात पुनरावृत्ती असलेल्या आकृतीकडे कल असतो. या प्रकरणात, प्रतिमेचे निर्धारण ही एक संचयी, संचयी प्रक्रिया आहे. प्रत्येक वैयक्तिक बिंदू, कदाचित, सिएरपिन्स्की फ्रॅक्टलच्या बिंदूशी कधीही जुळणार नाही, परंतु "योगायोगाने" आयोजित केलेल्या या प्रक्रियेचा प्रत्येक पुढील बिंदू "सियरपिन्स्की नॅपकिन" च्या बिंदूंच्या जवळ आणि जवळ आकर्षित केला जातो.

फीडबॅक लूप.सायबरनेटिक्सचे संस्थापक, नॉर्बर्ट वीनर यांनी फीडबॅक लूपचे वर्णन करण्यासाठी उदाहरण म्हणून बोट हेल्म्समनचा वापर केला. हेल्म्समनने मार्गावर राहणे आवश्यक आहे आणि बोट किती व्यवस्थित आहे याचे सतत मूल्यांकन केले पाहिजे. जर हेल्म्समनला बोट भरकटत असल्याचे दिसले, तर तो सेट मार्गावर रडर मागे वळवतो. थोड्या वेळाने, तो पुन्हा मूल्यमापन करतो आणि रडरच्या मदतीने प्रवासाची दिशा सुधारतो. अशाप्रकारे, दिलेल्या कोर्समध्ये बोट हालचालीची पुनरावृत्ती, पुनरावृत्ती आणि अनुक्रमिक दृष्टिकोन यांच्या मदतीने नेव्हिगेशन केले जाते.

एक सामान्य फीडबॅक लूप अंजीर मध्ये दर्शविला आहे. 4 हे व्हेरिएबल पॅरामीटर्स (बोटची दिशा) आणि नियंत्रित पॅरामीटर С (बोट हेडिंग) बदलण्यापर्यंत खाली येते.

बर्नौली शिफ्ट मॅपिंगचा विचार करा. काही संख्या प्रारंभिक स्थिती म्हणून निवडू द्या, जी 0 ते 1 च्या मध्यांतराशी संबंधित आहे. ही संख्या बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये लिहू:

x 0 = 0.01011010001010011001010 ...

आता काळाच्या उत्क्रांतीची एक पायरी अशी आहे की शून्य आणि एकाचा क्रम डावीकडे एका स्थानाने हलविला जातो आणि दशांश बिंदूच्या डाव्या बाजूला असलेला अंक टाकून दिला जातो:

x 1 = 0.1011010001010011001010 ...

x 2 = 0.011010001010011001010 ...

x 3 = 0.11010001010011001010 ...

लक्षात ठेवा की जर मूळ संख्या x ०तर्कसंगत, नंतर पुनरावृत्ती दरम्यान मूल्ये एन.एसnनियतकालिक कक्षेत जा. उदाहरणार्थ, 11/24 च्या बीजासाठी, पुनरावृत्ती दरम्यान आम्हाला अनेक मूल्ये मिळतील:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

जर मूळ मूल्ये x ०अतार्किक, डिस्प्ले नियतकालिक मोडवर कधीही जाणार नाही. प्रारंभिक मूल्यांच्या श्रेणीमध्ये x 0 ∈ असीमपणे अनेक तर्कसंगत बिंदू आणि असीमपणे अनेक अपरिमेय बिंदू असतात. अशाप्रकारे, नियतकालिक कक्षाची घनता नियतकालिक कक्षामध्ये कधीही प्रवेश न करणार्‍या कक्षाच्या घनतेइतकी असते. तर्कसंगत मूल्याच्या कोणत्याही परिसरात x ०मूळ पॅरामीटरचे अपरिमेय मूल्य आहे x'0या स्थितीत, प्रारंभिक परिस्थितींबद्दल सूक्ष्म संवेदनशीलता अपरिहार्यपणे उद्भवते. हे एक वैशिष्ट्यपूर्ण लक्षण आहे की प्रणाली गतिशील अराजकतेच्या स्थितीत आहे.

प्राथमिक फीडबॅक हिंग्ज.उलट आहे आवश्यक स्थितीआणि कोणत्याही बाजूकडील दृष्टीक्षेपाचा परिणाम जो स्वतःला आश्चर्यचकित करतो. रिव्हर्सिंग लूपचे चिन्ह एक मोबियस पट्टी असू शकते, ज्यामध्ये प्रत्येक वर्तुळासह त्याची खालची बाजू वरच्या बाजूस वळते, आतील बाजू बाहेरील बनते आणि उलट. उलट प्रक्रियेत फरक जमा केल्याने प्रथम मूळ प्रतिमा काढून टाकली जाते आणि नंतर त्यावर परत येते. तर्कशास्त्रात, रिव्हर्स लूप एपिमेनाइड्सच्या विरोधाभासाने स्पष्ट केले आहे: "सर्व क्रेटन्स खोटे आहेत." पण एपिमेनाइड्स स्वतः क्रेटन होता.

विचित्र पळवाट.विचित्र लूप इंद्रियगोचरचे गतिशील सार या वस्तुस्थितीवर उकळते की एक प्रतिमा, बदलते आणि मूळपेक्षा अधिकाधिक वेगळी बनते, असंख्य विकृतींच्या प्रक्रियेत मूळ प्रतिमेकडे परत येते, परंतु त्याची पुनरावृत्ती कधीही होत नाही. या घटनेचे वर्णन करताना, हॉफस्टॅडरने पुस्तकात "विचित्र लूप" ही संज्ञा दिली आहे. तो असा निष्कर्ष काढतो की एशर, बाख आणि गॉडेल या दोघांनीही अनुक्रमे दृश्य कला, संगीत आणि गणितात त्यांच्या कामात आणि सर्जनशीलतेमध्ये विचित्र पळवाट शोधल्या आहेत किंवा अधिक अचूकपणे वापरल्या आहेत. मेटामॉर्फोसेसमध्ये, एशरने वास्तविकतेच्या विविध विमानांमधील विचित्र सुसंगतता शोधली. कलात्मक दृष्टीकोनांपैकी एकाचे रूप प्लास्टिकच्या रूपात दुसर्या कलात्मक दृष्टीकोनाच्या स्वरूपात रूपांतरित केले जातात (चित्र 5).

तांदूळ. 5. मॉरिट्स एशर. हात रेखाटणे. 1948

ही विचित्रता संगीतात विचित्र पद्धतीने प्रकट झाली. बाखच्या "म्युझिकल ऑफरिंग" च्या तोफांपैकी एक ( कॅनन प्रति Tonos- टोनल कॅनन) अशा प्रकारे डिझाइन केले आहे की त्याचा स्पष्ट शेवट अनपेक्षितपणे सुरुवातीस सहजतेने संक्रमण होतो, परंतु की मध्ये बदल करून. ही क्रमिक मोड्यूलेशन श्रोत्याला सुरुवातीच्या कीपासून वरच्या दिशेने घेऊन जातात. तथापि, चमत्कारिकपणे, सहा मॉड्युलेशननंतर, आम्ही जवळजवळ परत आलो आहोत. सर्व आवाज आता सुरवातीपेक्षा एक अष्टक जास्त आवाज करतात. एकमात्र विचित्रता अशी आहे की, आपण एका विशिष्ट पदानुक्रमाच्या पातळींवर चढत असताना, आपण ज्या ठिकाणी आपला प्रवास सुरू केला होता त्याच ठिकाणी आपण अचानक सापडतो - रिप्लेशिवाय परत जा.

कर्ट गोडेलने गणिताच्या सर्वात प्राचीन आणि प्रवीण क्षेत्रांपैकी एक - संख्या सिद्धांतामध्ये विचित्र पळवाट शोधल्या. Gödel च्या प्रमेयाने प्रथम प्रमेय VI म्हणून दिवसाचा प्रकाश पाहिला त्याच्या 1931 च्या प्रिन्सिपल मॅथेमॅटिकातील "औपचारिकपणे अनसोलव्हेबल जजमेंट्स" या लेखात. प्रमेय खालील गोष्टी सांगते: संख्या सिद्धांताच्या सर्व सुसंगत स्वयंसिद्ध फॉर्म्युलेशनमध्ये अनिर्णित प्रस्ताव असतात. संख्या सिद्धांत निर्णय संख्या सिद्धांत निर्णयांबद्दल काहीही सांगत नाहीत; ते संख्या सिद्धांताच्या निर्णयापेक्षा जास्त नाहीत. येथे एक पळवाट आहे, परंतु विचित्रपणा नाही. पुराव्यात एक विचित्र पळवाट दडलेली असते.

विचित्र आकर्षक.आकर्षक (इंग्रजीतून. आकर्षित करणेआकर्षित करा) एक बिंदू किंवा बंद रेषा जी सिस्टमच्या वर्तनाच्या सर्व संभाव्य मार्गांना आकर्षित करते. आकर्षक स्थिर असतो, म्हणजेच दीर्घकाळात, आकर्षित करणाऱ्याच्या वर्तनाचे एकमेव संभाव्य मॉडेल, बाकी सर्व काही तात्पुरते असते. आकर्षक ही एक अवकाशीय-लौकिक वस्तू आहे जी संपूर्ण प्रक्रियेचा समावेश करते, त्याचे कारण किंवा परिणाम नाही. हे केवळ मर्यादित प्रमाणात स्वातंत्र्य असलेल्या प्रणालींद्वारे तयार केले जाते. आकर्षित करणारे बिंदू, वर्तुळ, टॉरस आणि फ्रॅक्टल असू शकतात. नंतरच्या प्रकरणात, आकर्षित करणाऱ्याला "विचित्र" (चित्र 6) म्हणतात.

पॉइंट अॅट्रॅक्टर सिस्टमच्या कोणत्याही स्थिर स्थितीचे वर्णन करतो. फेज स्पेसमध्ये, हा एक बिंदू आहे ज्याभोवती "नोड", "फोकस" किंवा "सॅडल" चे स्थानिक मार्ग तयार होतात. पेंडुलम अशा प्रकारे वागतो: कोणत्याही प्रारंभिक वेगाने आणि कोणत्याही प्रारंभिक स्थितीत, पुरेशा वेळेनंतर, घर्षणाच्या क्रियेखाली, पेंडुलम थांबतो आणि स्थिर समतोल स्थितीत येतो. वर्तुळाकार (चक्रीय) आकर्षणक म्हणजे वर्तुळात आदर्श लोलक (घर्षण न करता) सारखी पुढे-मागे हालचाल असते.

विचित्र आकर्षण ( विचित्र आकर्षण)केवळ बाहेरून विचित्र वाटतात, परंतु "विचित्र आकर्षणकर्ता" हा शब्द 1971 मध्ये डेव्हिड रुएल आणि डचमन फ्लोरिस टेकन्सच्या "द नेचर ऑफ टर्ब्युलेन्स" च्या लेखात दिसल्यानंतर लगेच पसरला (हे देखील पहा). रुले आणि टेकन्सला आश्चर्य वाटले की कोणत्याही आकर्षणकर्त्याकडे वैशिष्ट्यांचा योग्य संच आहे का: स्थिरता, मर्यादित प्रमाणात स्वातंत्र्य आणि नॉन-पीरियडिकिटी. सह भौमितिक बिंदूपाहा प्रश्न निव्वळ कोडे आहे असे वाटले. अनंत लांब मार्ग कोणत्या स्वरूपात चित्रित केला पाहिजे मर्यादित जागाकधीही पुनरावृत्ती किंवा स्वतःला ओलांडण्यासाठी? प्रत्येक ताल पुनरुत्पादित करण्यासाठी, कक्षा मर्यादित क्षेत्रावर असीम लांब रेषा असणे आवश्यक आहे, दुसऱ्या शब्दांत, स्व-गिळणे (चित्र 7).

1971 पर्यंत, वैज्ञानिक साहित्यात अशा आकर्षणाचे एक रेखाचित्र आधीपासूनच होते. एडवर्ड लॉरेन्झ यांनी 1963 च्या त्यांच्या निर्धारवादी अराजकतेवरील लेखाचे परिशिष्ट बनवले. हा आकर्षक स्थिर, नियतकालिक होता, त्याच्याकडे स्वातंत्र्याच्या अंशांची संख्या कमी होती आणि ती कधीही ओलांडली नाही. जर असे काहीतरी घडले आणि तो आधीच उत्तीर्ण झालेल्या बिंदूवर परत आला, तर भविष्यात चळवळीची पुनरावृत्ती होईल, टॉरॉइडल अॅट्रॅक्टर बनवेल, परंतु तसे झाले नाही.

रुएलच्या विश्वासानुसार, आकर्षणाची विचित्रता आहे, तीन अतुलनीय, परंतु सराव मध्ये, विद्यमान वैशिष्ट्ये एकत्र आहेत:

• भग्नता (घरटे, समानता, सुसंगतता);
• दृढनिश्चय (प्रारंभिक परिस्थितीवर अवलंबित्व);
• एकलता (परिभाषित पॅरामीटर्सची मर्यादित संख्या).

भाग तिसरा. फ्रॅक्टल फॉर्म्सचा प्रभावशाली हलकापणा

काल्पनिक संख्या, फेज पोर्ट्रेट आणि संभाव्यता.फ्रॅक्टल भूमिती काल्पनिक संख्या, डायनॅमिक फेज पोर्ट्रेट आणि संभाव्यता सिद्धांताच्या सिद्धांतावर आधारित आहे. काल्पनिक संख्या सिद्धांत असे गृहीत धरतो की वजा एक चे वर्गमूळ आहे. जेरोलामो कार्डानो, त्याच्या "ग्रेट आर्ट" ("आर्स मॅग्ना", 1545) मध्ये, z 3 + pz + q = 0 या क्यूबिक समीकरणाचे एक सामान्य समाधान सादर केले. कार्डानो काल्पनिक संख्यांचा वापर तांत्रिक औपचारिकता म्हणून करतात. समीकरण त्याला एक विचित्रता दिसते, जी तो x 3 = 15x + 4 या साध्या समीकरणाने स्पष्ट करतो. या समीकरणाला एक स्पष्ट समाधान आहे: x = 4. तथापि, सामान्यीकरण सूत्र एक विचित्र परिणाम देते. यात ऋण संख्येचे मूळ आहे:

राफेल बॉम्बेली यांनी त्यांच्या बीजगणितावरील पुस्तकात ("एल'अल्जेब्रा", 1560) असे निदर्शनास आणले की = 2 ± i, आणि यामुळे त्याला ताबडतोब वास्तविक मूळ x = 4 मिळू शकले. तत्सम प्रकरणांमध्ये, जेव्हा जटिल संख्या संयुग्मित असतात, तेव्हा आपल्याला मिळते वास्तविक मूळ , आणि जटिल संख्या घन समीकरणाचे निराकरण करण्याच्या प्रक्रियेत तांत्रिक मदत म्हणून काम करतात.

न्यूटनचा असा विश्वास होता की वजा एकचे मूळ असलेले समाधान "भौतिकदृष्ट्या अर्थपूर्ण नाही" असे मानले पाहिजे आणि टाकून दिले पाहिजे. XVII-XVIII शतकांमध्ये, समज तयार झाला की काल्पनिक, आध्यात्मिक, काल्पनिक सर्वकाही एकत्र घेतलेल्या वास्तविकतेपेक्षा कमी वास्तविक नाही. डेकार्टेसने नवीन विचारसरणीचा जाहीरनामा तयार केल्यावर 10 नोव्हेंबर 1619 ही अचूक तारीख देखील आपण देऊ शकतो. या क्षणापासून, विचार हे एक परिपूर्ण आणि निःसंशय वास्तव आहे: "जर मी विचार केला तर याचा अर्थ असा आहे की मी अस्तित्वात आहे"! अधिक तंतोतंत, विचार आता वास्तव म्हणून समजले जाते. ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणालीची डेकार्टेसची कल्पना, काल्पनिक संख्यांबद्दल धन्यवाद, त्याची पूर्णता प्राप्त करते. आता या काल्पनिक संख्यांना अर्थ भरणे शक्य आहे.

19व्या शतकात, यूलर, अर्गन, कॉची, हॅमिल्टन यांच्या कार्यांनी जटिल संख्यांसह कार्य करण्यासाठी एक अंकगणित उपकरण विकसित केले. कोणतीही जटिल संख्या बेरीज X + iY म्हणून दर्शविली जाऊ शकते, जिथे X आणि Y या वास्तविक संख्या आहेत ज्याची आपल्याला सवय आहे आणि iकाल्पनिक एकक (खरं तर ते √ – 1 आहे). प्रत्येक जटिल संख्या तथाकथित कॉम्प्लेक्स प्लेनवरील निर्देशांक (X, Y) सह बिंदूशी संबंधित आहे.

दुसरी महत्त्वाची संकल्पना - डायनॅमिकल सिस्टमचे फेज पोर्ट्रेट XX शतकात तयार केले गेले. आइन्स्टाईनने प्रकाशाच्या संबंधात सर्व काही समान वेगाने फिरते हे दाखविल्यानंतर, गोठलेल्या भौमितिक रेषांच्या स्वरूपात प्रणालीचे डायनॅमिक वर्तन व्यक्त करण्याच्या शक्यतेची कल्पना, डायनॅमिकल सिस्टमचे तथाकथित फेज पोर्ट्रेट, विकत घेतले. स्पष्ट भौतिक अर्थ.

पेंडुलमच्या उदाहरणाने ते स्पष्ट करू. जीन फौकॉल्टने 1851 मध्ये तळघरात, नंतर पॅरिस वेधशाळेत, नंतर पॅन्थिऑनच्या घुमटाखाली पेंडुलमचा पहिला प्रयोग केला. शेवटी, 1855 मध्ये, सेंट-मार्टिन-डी-चॅनच्या पॅरिसियन चर्चच्या घुमटाखाली फौकॉल्टचा पेंडुलम निलंबित करण्यात आला. फॉकॉल्ट पेंडुलमच्या दोरीची लांबी 67 मीटर आहे, वजनाचे वजन 28 किलो आहे. लांबून, लोलक एका बिंदूसारखा दिसतो. मुद्दा नेहमी गतिहीन असतो. जवळ येत असताना, आम्ही तीन वैशिष्ट्यपूर्ण मार्गांसह प्रणालीमध्ये फरक करतो: एक हार्मोनिक ऑसिलेटर (sinϕ ≈ ϕ), एक पेंडुलम (पुढे आणि मागे दोलन), एक प्रोपेलर (रोटेशन).

जेथे स्थानिक निरीक्षकाला बॉलच्या गतीच्या तीन संभाव्य कॉन्फिगरेशनपैकी एक दिसते, तेव्हा प्रक्रियेतून काढून टाकलेला विश्लेषक असे गृहीत धरू शकतो की चेंडू तीन ठराविक हालचालींपैकी एक करतो. हे एका योजनेवर चित्रित केले जाऊ शकते. हे मान्य करणे आवश्यक आहे की आम्ही "थ्रेडवरील चेंडू" एका अमूर्त फेज स्पेसमध्ये हलवू, ज्यामध्ये विचाराधीन प्रणालीच्या स्वातंत्र्याच्या अंशांइतके समन्वय आहेत. या प्रकरणात आम्ही स्वातंत्र्य गतीच्या दोन अंशांबद्दल बोलत आहोत विआणि उभ्या ϕ कडे चेंडूसह धाग्याचा झुकण्याचा कोन. ϕ आणि v समन्वयांमध्ये, हार्मोनिक ऑसीलेटरची प्रक्षेपण ही एकाग्र वर्तुळांची एक प्रणाली आहे, कोन ϕ वाढला की, ही वर्तुळे अंडाकृती बनतात आणि ϕ = ± π ओव्हल बंद होणे गमावले आहे. याचा अर्थ पेंडुलम प्रोपेलर मोडवर स्विच झाला आहे: v = const(अंजीर 8).

तांदूळ. 8. पेंडुलम: अ) आदर्श पेंडुलमच्या फेज स्पेसमधील प्रक्षेपण; b) डॅम्पिंगसह स्विंग करणाऱ्या पेंडुलमच्या फेज स्पेसमध्ये प्रक्षेपण; c) फेज पोर्ट्रेट

फेज स्पेसमध्ये कोणतीही लांबी, कालावधी किंवा हालचाली असू शकत नाहीत. येथे कोणतीही क्रिया पूर्व-दिलेली आहे, परंतु सर्व वैध नाहीत. भूमितीचे जे काही उरले आहे ते टोपोलॉजी आहे, त्याऐवजी मोजमाप, पॅरामीटर्स, परिमाण, परिमाण. येथे, कोणत्याही डायनॅमिक सिस्टमची स्वतःची अनोखी छाप असते, एक फेज पोर्ट्रेट. आणि त्यांच्यामध्ये ऐवजी विचित्र फेज पोर्ट्रेट आहेत: जटिल असल्याने, ते एका पॅरामीटरद्वारे निर्धारित केले जातात; समतुल्य असल्याने, ते विषम आहेत; सतत असल्याने ते वेगळे असतात. अशी विचित्र फेज पोट्रेट हे अॅट्रॅक्टर्सच्या फ्रॅक्टल कॉन्फिगरेशनसह सिस्टमचे वैशिष्ट्य आहे. आकर्षण केंद्रे (आकर्षणकर्ते) च्या विवेचनामुळे क्रियेच्या परिमाणाचा प्रभाव, अंतर किंवा उडीचा प्रभाव निर्माण होतो, तर प्रक्षेपण सातत्य राखतात आणि विचित्र आकर्षणाचे एकल जोडलेले स्वरूप निर्माण करतात.

फ्रॅक्टल्सचे वर्गीकरण.फ्रॅक्टलमध्ये तीन हायपोस्टेसेस असतात: औपचारिक, ऑपरेशनल आणि प्रतीकात्मक, जे एकमेकांना ऑर्थोगोनल असतात. आणि याचा अर्थ असा की भिन्न अल्गोरिदम वापरून समान फ्रॅक्टल आकार मिळू शकतो आणि आकारातील पूर्णपणे भिन्न फ्रॅक्टल्ससाठी समान फ्रॅक्टल डायमेंशन नंबर दिसू शकतो. या टिप्पण्या लक्षात घेऊन, आम्ही प्रतिकात्मक, औपचारिक आणि कार्यात्मक वैशिष्ट्यांनुसार फ्रॅक्टल्सचे वर्गीकरण करतो:

• प्रतीकात्मकदृष्ट्या, फ्रॅक्टलचे आकारमान वैशिष्ट्य संपूर्ण किंवा अपूर्णांक असू शकते;
• औपचारिक आधारावर, फ्रॅक्टल्स सुसंगत असू शकतात, जसे की पान किंवा ढग, आणि विसंगत, धुळीसारखे;
• ऑपरेशनल आधारावर, फ्रॅक्टल्स नियमित आणि स्टोकास्टिकमध्ये विभागले जाऊ शकतात.

नियमित फ्रॅक्टल्स काटेकोरपणे परिभाषित अल्गोरिदमनुसार तयार केले जातात. या प्रकरणात, बांधकाम प्रक्रिया उलट करण्यायोग्य आहे. तुम्ही सर्व ऑपरेशन्स उलट क्रमाने पुनरावृत्ती करू शकता, निर्धारक अल्गोरिदमच्या प्रक्रियेत तयार केलेली कोणतीही प्रतिमा मिटवू शकता, पॉइंट बाय पॉइंट. निर्धारक अल्गोरिदम रेखीय किंवा नॉन-रेखीय असू शकते.

स्टोकास्टिक फ्रॅक्टल्स, स्टोकास्टिक अर्थाने सारखेच, जेव्हा त्यांच्या बांधकामाच्या अल्गोरिदममध्ये, पुनरावृत्ती दरम्यान, कोणतेही पॅरामीटर्स यादृच्छिकपणे बदलतात तेव्हा उद्भवतात. "स्टोकॅस्टिकिटी" हा शब्द ग्रीक शब्दापासून आला आहे स्टोकेसिस- अंदाज, अंदाज. स्टोकास्टिक प्रक्रिया ही अशी प्रक्रिया आहे ज्याच्या बदलाचे स्वरूप अचूकपणे सांगता येत नाही. फ्रॅक्टल्सची निर्मिती निसर्गाच्या लहरीनुसार होते (खडकांचे भग्न पृष्ठभाग, ढग, खळबळजनक प्रवाह, फेस, जेल, काजळीच्या कणांचे आकृतिबंध, साठ्याच्या किमती आणि नदीच्या पातळीतील बदल इ.), भौमितिक समानता नसतात, परंतु सतत पुनरुत्पादन करतात. प्रत्येक तुकडा सरासरी एकूण सांख्यिकीय गुणधर्म. संगणक तुम्हाला छद्म-यादृच्छिक संख्यांचे अनुक्रम व्युत्पन्न करण्यास आणि स्टोकास्टिक अल्गोरिदम आणि आकारांचे त्वरित अनुकरण करण्यास अनुमती देतो.

रेखीय फ्रॅक्टल्स.रेखीय फ्रॅक्टल्सला असे नाव देण्यात आले आहे कारण ते सर्व एका विशिष्ट रेखीय अल्गोरिदमनुसार तयार केले जातात. हे फ्रॅक्टल्स स्व-समान आहेत, स्केलमधील कोणत्याही बदलाने विकृत होत नाहीत आणि कोणत्याही बिंदूवर भिन्न नाहीत. अशा फ्रॅक्टल्स तयार करण्यासाठी, बेस आणि तुकडा सेट करणे पुरेसे आहे. हे घटक अनंतापर्यंत कमी होत असलेल्या स्केलसह अनेक वेळा पुनरावृत्ती होतील.

कॅंटरची धूळ. 19व्या शतकात, जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज फर्डिनांड लुडविग फिलिप कॅंटर (1845-1918) यांनी गणितीय समुदायासमोर 0 ते 1 या श्रेणीतील संख्यांचा एक विचित्र संच प्रस्तावित केला. संचामध्ये सूचित अंतरालमध्ये असीम घटक असतात आणि, शिवाय, शून्य परिमाण होते. यादृच्छिकपणे सोडलेला बाण या लोकसंख्येच्या एका घटकालाही लागला नसेल.

प्रथम, आपल्याला युनिट लांबीचा एक विभाग निवडण्याची आवश्यकता आहे (पहिली पायरी: n = 0), नंतर त्यास तीन भागांमध्ये विभाजित करा आणि मधला तिसरा (n = 1) काढा. पुढे, आपण तयार केलेल्या प्रत्येक विभागासह तेच करू. ऑपरेशनच्या अनंत संख्येच्या पुनरावृत्तीच्या परिणामी, आम्हाला आवश्यक संच "कॅन्टरची धूळ" मिळते. आता, खंडित आणि अमर्यादपणे विभाज्य यांच्यामध्ये कोणताही विरोध नाही, "कॅन्टरची धूळ" दोन्ही आहेत (चित्र 1 पहा). "कँटरची धूळ" एक फ्रॅक्टल आहे. त्याचे भग्न परिमाण 0.6304 आहे ...

एक-आयामी कॅंटर सेटच्या द्विमितीय अॅनालॉग्सपैकी एकाचे वर्णन पोलिश गणितज्ञ व्हॅक्लाव सिएरपिंस्की यांनी केले होते. त्याला "कँटर कार्पेट" किंवा अधिक वेळा "सियरपिन्स्की कार्पेट" म्हणतात. तो काटेकोरपणे स्वत: सारखा आहे. आपण त्याचे भग्न परिमाण ln8 / lnЗ = 1.89 ... (Fig. 9) म्हणून मोजू शकतो.

विमानात भरणाऱ्या रेषा.नियमित फ्रॅक्टल्सच्या संपूर्ण कुटुंबाचा विचार करा, जे वक्र आहेत जे विमान भरू शकतात. अगदी लीबनिझने असा युक्तिवाद केला: “जर आपण असे गृहीत धरले की कोणीतरी योगायोगाने कागदावर बरेच ठिपके ठेवतो,<… >मी म्हणतो की एका विशिष्ट नियमाचे पालन करणारी स्थिर आणि अविभाज्य भौमितिक रेषा ओळखणे शक्य आहे, जी सर्व बिंदूंमधून जाईल." लीबनिझच्या या विधानाने परिमाणांच्या सर्वात लहान संख्येच्या युक्लिडियन समजाचा विरोध केला ज्याद्वारे अंतराळातील बिंदूची स्थिती विशिष्टपणे निर्धारित केली जाते. कठोर पुराव्याअभावी, लीबनिझच्या या कल्पना गणितीय विचारांच्या परिघावरच राहिल्या.

पेनो वक्र.पण 1890 मध्ये, इटलीतील गणितज्ञ, ज्युसेप्पी पिआनो, एक रेषा तयार केली जी संपूर्णपणे सपाट पृष्ठभाग व्यापते, तिच्या सर्व बिंदूंमधून जाते. "पियानो वक्र" चे बांधकाम अंजीर मध्ये दर्शविले आहे. दहा

पियानो वक्रचे टोपोलॉजिकल परिमाण एक बरोबर असले तरी, त्याचे भग्न परिमाण d = ln (1/9) / ln (1/3) = 2 आहे. भग्न भूमितीच्या चौकटीत, विरोधाभास सर्वात नैसर्गिक पद्धतीने सोडवला गेला. मार्ग कोळ्याच्या जाळ्यासारखी रेषा विमानाला कव्हर करू शकते. या प्रकरणात, एक-ते-एक पत्रव्यवहार स्थापित केला जातो: रेषेचा प्रत्येक बिंदू विमानावरील एका बिंदूशी संबंधित असतो. परंतु हा पत्रव्यवहार वन-टू-वन नाही, कारण विमानावरील प्रत्येक बिंदू रेषेवरील एक किंवा अधिक बिंदूंशी संबंधित आहे.

हिल्बर्ट वक्र.एका वर्षानंतर, 1891 मध्ये, जर्मन गणितज्ञ डेव्हिड हिल्बर्ट (1862-1943) यांचा एक लेख प्रकाशित झाला, ज्यामध्ये त्यांनी छेदनबिंदू किंवा स्पर्शिका नसलेल्या विमानाला आच्छादित करणारा वक्र सादर केला. "हिल्बर्ट वक्र" चे बांधकाम अंजीर मध्ये दर्शविले आहे. अकरा

हिल्बर्ट वक्र हे FASS वक्रांचे पहिले उदाहरण होते (स्पेस फिलिंग, सेल्फ-एव्हॉइडिंग, स्पेस-फिलिंग सेल्फ-अव्हॉइडिंगचे सोपे आणि सेल्फ-समान, साधे आणि सेल्फ-समान रेषा). पियानो वक्र प्रमाणे गिल्बर्ट रेषेचा भग्न परिमाण दोन आहे.

मिन्कोव्स्कीची टेप.हर्मन मिन्कोव्स्की, हिल्बर्टचा त्याच्या विद्यार्थीदशेपासूनचा जवळचा मित्र, त्याने एक वक्र तयार केला आहे जो संपूर्ण विमानाला कव्हर करत नाही, परंतु रिबनसारखे काहीतरी बनवतो. प्रत्येक पायरीवर "मिंकोव्स्की पट्टी" बांधताना, प्रत्येक सेगमेंट तुटलेल्या रेषेने बदलला जातो, ज्यामध्ये 8 विभाग असतात. पुढील टप्प्यावर, प्रत्येक नवीन विभागासह, ऑपरेशन 1: 4 च्या स्केलवर पुनरावृत्ती होते. मिन्कोव्स्की पट्टीचे भग्न परिमाण d = ln (l/8) / ln (1/4) = 1.5 आहे.

नॉनलाइनर फ्रॅक्टल्स.जटिल समतलाचे स्वतःवर सर्वात सोपे नॉनलाइनर मॅपिंग आहे ज्युलिया मॅपिंग zgz 2 + C पहिल्या भागात विचारात घेतले जाते. ही बंद चक्रावरील गणना आहे, ज्यामध्ये मागील चक्राचा परिणाम स्वतःच गुणाकार केला जातो ज्यामध्ये स्थिरांक जोडला जातो. तो, म्हणजे, हा एक चतुर्भुज फीडबॅक लूप आहे (अंजीर 13).

अनियंत्रित प्रारंभिक बिंदू Z 0, बिंदू Z n वर अवलंबून, स्थिर C च्या निश्चित मूल्यावर पुनरावृत्ती करताना n-> ∞ एकतर मर्यादित किंवा अनंत असू शकते. हे सर्व मूळ z = 0 च्या सापेक्ष Z 0 च्या स्थितीवर अवलंबून असते. जर गणना केलेले मूल्य मर्यादित असेल, तर ते ज्युलिया सेटमध्ये समाविष्ट केले जाते; जर ते अनंतापर्यंत गेले तर ते ज्युलियाच्या सेटमधून कापले जाईल.

ज्युलिया नकाशाला विशिष्ट पृष्ठभागाच्या बिंदूंवर लागू केल्यानंतर जो आकार मिळतो तो C पॅरामीटरद्वारे विशिष्टपणे निर्धारित केला जातो. लहान C साठी, हे साधे कनेक्ट केलेले लूप आहेत, मोठ्या C साठी, हे डिस्कनेक्ट केलेले परंतु काटेकोरपणे ऑर्डर केलेल्या बिंदूंचे क्लस्टर आहेत. मोठ्या प्रमाणात, सर्व ज्युलिया फॉर्म दोन मोठ्या कुटुंबांमध्ये विभागले जाऊ शकतात - कनेक्ट केलेले आणि डिस्कनेक्ट केलेले नकाशे. पूर्वीचे कोचच्या स्नोफ्लेकची आठवण करून देणारे आहेत, नंतरचे कांटोरच्या धूळ आहेत.

ज्युलियाच्या विविध प्रकारांनी गणितज्ञांना निराश केले जेव्हा ते प्रथम संगणक मॉनिटरवर या स्वरूपांचे निरीक्षण करू शकले. या मॅनिफोल्डची रँक करण्याचे प्रयत्न अतिशय सशर्त होते आणि मँडलब्रॉट संच ज्युलिया मॅपिंग्सच्या वर्गीकरणासाठी आधार म्हणून घेतले गेले होते, ज्याच्या सीमा ज्युलिया मॅपिंग्स सारख्याच असिम्प्टोटिकली आहेत.

C = 0 सह, ज्युलिया नकाशाची पुनरावृत्ती z 0, z 0 2, z 0 4, z 0 8, z 0 16 संख्यांचा क्रम देते... परिणामी, तीन पर्याय शक्य आहेत:

• साठी |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• साठी |z 0 | > 1 पुनरावृत्तीच्या ओघात, z n संख्या निरपेक्ष मूल्यात वाढते, अनंताकडे झुकते. या प्रकरणात, आकर्षितकर्ता अनंत बिंदू आहे आणि आम्ही ज्युलिया सेटमधून अशी मूल्ये वगळतो;
• साठी |z 0 | = 1 या एकक वर्तुळावर अनुक्रमाचे सर्व बिंदू कायम राहतात. या प्रकरणात, आकर्षित करणारा एक वर्तुळ आहे.

अशा प्रकारे, C = 0 वर, आकर्षित करणारे आणि तिरस्करणीय प्रारंभिक बिंदूंमधील सीमा एक वर्तुळ आहे. या प्रकरणात, मॅपिंगमध्ये दोन निश्चित बिंदू आहेत: z = 0 आणि z = 1. त्यापैकी पहिला आकर्षक आहे, कारण शून्यावरील द्विघाती कार्याचे व्युत्पन्न 0 आहे, आणि दुसरा तिरस्करणीय आहे, कारण चतुर्भुजाचे व्युत्पन्न आहे. पॅरामीटरच्या मूल्यावरील फंक्शन दोनच्या बरोबरीचे आहे.

जेव्हा स्थिर C ही वास्तविक संख्या असते तेव्हा परिस्थिती विचारात घ्या, म्हणजे. आपण मँडेलब्रॉट सेटच्या अक्षावर फिरत आहोत असे दिसते (चित्र 14). С = –0.75 वर, ज्युलियाची सीमा स्वतःला छेदते आणि दुसरा आकर्षित करणारा दिसतो. या ठिकाणी असलेल्या फ्रॅक्टलला सॅन मार्को फ्रॅक्टल असे नाव आहे, जे त्याला प्रसिद्ध व्हेनेशियन कॅथेड्रलच्या सन्मानार्थ मॅंडेलब्रॉटने दिले होते. रेखाचित्र पाहता, हे समजणे कठीण नाही की मॅंडेलब्रॉटला फ्रॅक्टलचे नाव या रचनेवरून नेमके का ठेवण्याची कल्पना आली: समानता आश्चर्यकारक आहे.

तांदूळ. 14. जेव्हा वास्तविक मूल्य C 0 ते -1 कमी होते तेव्हा ज्युलिया सेटच्या आकारात बदल

आणखी С ते -1.25 पर्यंत कमी केल्याने, आम्हाला चार स्थिर बिंदूंसह एक नवीन वैशिष्ट्यपूर्ण आकार मिळतो, जो मूल्यांपर्यंत राहतो.< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

तांदूळ. 15. वास्तविक मूल्य C मध्ये घट सह ज्युलिया सेटच्या नवीन रूपांचा उदय< –1

तर, मॅंडेलब्रॉट फ्रॅक्टलच्या अक्षावर राहूनही (स्थिर C ही वास्तविक संख्या आहे), आम्ही लक्ष देण्याच्या क्षेत्रात "कॅप्चर" केले आणि काही प्रकारे ज्युलियाच्या आकारांची वर्तुळापासून धुळीपर्यंत बरीच मोठी विविधता मानली. आता आपण मँडेलब्रॉट फ्रॅक्टलचे चिन्ह क्षेत्र आणि ज्युलियाच्या फ्रॅक्टल्सच्या संबंधित स्वरूपांचा विचार करूया. सर्व प्रथम, "कार्डिओइड", "मूत्रपिंड" आणि "कांदा" (चित्र 16) च्या संदर्भात मांडेलब्रॉट फ्रॅक्टलचे वर्णन करूया.

मुख्य कार्डिओइड आणि समीप वर्तुळ हे मॅंडेलब्रॉट फ्रॅक्टलचे मुख्य आकार बनवतात. ते त्याच्या असंख्य प्रतींनी संलग्न आहेत, ज्यांना सामान्यतः मूत्रपिंड म्हणतात. यातील प्रत्येक कळ्या एकमेकांसारख्या अनंत संख्येने लहान कळ्यांमध्ये गुंफलेल्या असतात. मुख्य कार्डिओइडच्या वर आणि खाली असलेल्या दोन सर्वात मोठ्या कळ्यांना कांदे म्हणतात.

या संचाच्या (С = –0.12 + 0.74i) वैशिष्ट्यपूर्ण फ्रॅक्टलचा अभ्यास करणारे फ्रेंच नागरिक अॅड्रिन दौडी आणि अमेरिकन बिल हबर्ड यांनी त्याला “ससा फ्रॅक्टल” (चित्र 17) म्हटले.

मँडेलब्रॉट फ्रॅक्टलची सीमा ओलांडताना, ज्युलियाचे फ्रॅक्टल नेहमीच कनेक्टिव्हिटी गमावतात आणि धुळीत बदलतात, ज्याला सामान्यतः पियरे फाटोच्या सन्मानार्थ "फटौ धूळ" म्हणतात, ज्याने हे सिद्ध केले की C च्या विशिष्ट मूल्यांसाठी, एक असीम दूरचा बिंदू आकर्षित करतो. संपूर्ण कॉम्प्लेक्स प्लेन, धूळसारखा पातळ सेट वगळता ( अंजीर 18).

स्टोचॅस्टिक फ्रॅक्टल्स.काटेकोरपणे स्वयं-समान वॉन कोच वक्र आणि उदाहरणार्थ, नॉर्वेचा किनारा यामध्ये लक्षणीय फरक आहे. नंतरचे, काटेकोरपणे स्वत: सारखे नसताना, सांख्यिकीय अर्थाने समानता प्रदर्शित करते. या प्रकरणात, दोन्ही वक्र इतके तुटलेले आहेत की आपण त्यांच्या कोणत्याही बिंदूंना स्पर्शिका काढू शकत नाही किंवा, दुसर्या शब्दात, आपण त्यात फरक करू शकत नाही. अशा वक्र सामान्य युक्लिडियन रेषांमध्ये एक प्रकारचे "राक्षस" आहेत. कार्ल थिओडोर विल्हेल्म वेअरस्ट्रास याने कोणत्याही बिंदूवर स्पर्शिका नसलेले अखंड फंक्शन तयार करणारे पहिले होते. 18 जुलै 1872 रोजी त्यांचे कार्य रॉयल प्रुशियन अकादमीला सादर करण्यात आले आणि 1875 मध्ये प्रकाशित झाले. Weierstrass द्वारे वर्णन केलेली कार्ये आवाजासारखी दिसतात (Fig. 19).

स्टॉक एक्स्चेंजचे तक्ते पहा, तापमान किंवा हवेच्या दाबातील चढउतारांचा सारांश पहा आणि तुम्हाला काही प्रकारची नियमित अनियमितता आढळेल. शिवाय, प्रमाणातील वाढीसह, अनियमिततेचे स्वरूप कायम आहे. आणि ते आपल्याला फ्रॅक्टल भूमितीचा संदर्भ देते.

ब्राउनियन मोशन हे स्टॉकॅस्टिक प्रक्रियेचे सर्वात प्रसिद्ध उदाहरण आहे. 1926 मध्ये जीन पेरिन यांना ब्राउनियन गतीच्या स्वरूपावरील संशोधनासाठी नोबेल पारितोषिक मिळाले. त्यांनीच ब्राउनियन प्रक्षेपणाच्या स्व-समानता आणि अभेद्यतेकडे लक्ष वेधले.

नुकतेच मी गणितीय जगाच्या फ्रॅक्टल्ससारख्या मनोरंजक वस्तूंबद्दल शिकलो. परंतु ते केवळ गणितातच अस्तित्वात नाहीत. ते आपल्याला सर्वत्र घेरतात. फ्रॅक्टल्स नैसर्गिक आहेत. मी या लेखात फ्रॅक्टल्स म्हणजे काय, फ्रॅक्टल्सचे प्रकार, या वस्तूंची उदाहरणे आणि त्यांचा वापर याबद्दल बोलेन. सुरुवातीला, मी तुम्हाला फ्रॅक्टल म्हणजे काय ते थोडक्यात सांगेन.

फ्रॅक्टल (लॅटिन फ्रॅक्टस - ठेचलेला, तुटलेला, तुटलेला) एक जटिल भौमितीय आकृती आहे ज्यामध्ये स्वत: ची समानता आहे, म्हणजेच, अनेक भागांनी बनलेली आहे, ज्यापैकी प्रत्येक संपूर्ण आकृती सारखीच आहे. व्यापक अर्थाने, फ्रॅक्टल्स हे युक्लिडियन स्पेसमधील बिंदूंचे संच समजले जातात ज्यांचे अंशात्मक मेट्रिक परिमाण (मिंकोव्स्की किंवा हॉसडॉर्फच्या अर्थाने), किंवा टोपोलॉजिकल व्यतिरिक्त मेट्रिक परिमाण आहे. उदाहरण म्हणून, मी चार वेगवेगळ्या फ्रॅक्टल्सचे चित्र टाकेन.

मी तुम्हाला फ्रॅक्टल्सच्या इतिहासाबद्दल थोडेसे सांगेन. 70 च्या दशकाच्या उत्तरार्धात प्रकट झालेल्या फ्रॅक्टल आणि फ्रॅक्टल भूमितीच्या संकल्पना 80 च्या दशकाच्या मध्यापासून गणितज्ञ आणि प्रोग्रामरच्या दैनंदिन जीवनाचा भाग बनल्या आहेत. "फ्रॅक्टल" हा शब्द बेनॉइट मँडेलब्रॉट यांनी 1975 मध्ये त्यांनी काम केलेल्या अनियमित परंतु स्वत: सारख्या रचनांचा संदर्भ देण्यासाठी तयार केला होता. फ्रॅक्टल भूमितीचा जन्म साधारणतः १९७७ मध्ये मॅंडेलब्रॉट यांच्या द फ्रॅक्टल जिओमेट्री ऑफ नेचर या पुस्तकाच्या प्रकाशनाशी संबंधित आहे. त्याच्या कामांमध्ये 1875-1925 या कालावधीत त्याच क्षेत्रात (पॉइनकारे, फाटौ, ज्युलिया, कॅंटर, हॉसडॉर्फ) काम करणाऱ्या इतर शास्त्रज्ञांच्या वैज्ञानिक परिणामांचा वापर केला गेला. परंतु केवळ आमच्या काळात त्यांचे कार्य एकाच प्रणालीमध्ये एकत्र करणे शक्य होते.

फ्रॅक्टल्सची बरीच उदाहरणे आहेत, कारण मी म्हटल्याप्रमाणे, ते आपल्याला सर्वत्र घेरतात. माझ्या मते, आपले संपूर्ण विश्व देखील एक प्रचंड फ्रॅक्टल आहे. शेवटी, त्यातील प्रत्येक गोष्ट, अणूच्या संरचनेपासून ते विश्वाच्या संरचनेपर्यंत, एकमेकांची तंतोतंत पुनरावृत्ती होते. परंतु भिन्न क्षेत्रांतील फ्रॅक्टल्सची अधिक विशिष्ट उदाहरणे नक्कीच आहेत. फ्रॅक्टल्स, उदाहरणार्थ, जटिल गतिशीलतेमध्ये उपस्थित असतात. ते तेथे आहेत नॉनलाइनरच्या अभ्यासात नैसर्गिकरित्या दिसून येते डायनॅमिक प्रणाली... बहुपदी किंवा होलोमॉर्फिकच्या पुनरावृत्तीद्वारे डायनॅमिकल प्रणाली निर्दिष्ट केली जाते तेव्हा सर्वात जास्त अभ्यास केला जातो. व्हेरिएबल्सच्या कॉम्प्लेक्सचे कार्यपृष्ठभागावर. या प्रकारातील काही सर्वात प्रसिद्ध फ्रॅक्टल्स म्हणजे ज्युलिया सेट, मॅंडेलब्रॉट सेट आणि न्यूटनचे बेसिन. खाली, क्रमाने, चित्रे वरील प्रत्येक फ्रॅक्टल्स दर्शवतात.

फ्रॅक्टल्सचे दुसरे उदाहरण म्हणजे फ्रॅक्टल वक्र. फ्रॅक्टल वक्रांचे उदाहरण वापरून फ्रॅक्टल कसा बनवायचा हे स्पष्ट करणे चांगले. या वक्रांपैकी एक तथाकथित कोच स्नोफ्लेक आहे. एक साधी आहेविमानात फ्रॅक्टल वक्र मिळविण्याची प्रक्रिया. मर्यादित संख्येच्या लिंक्ससह अनियंत्रित पॉलीलाइन परिभाषित करू, ज्याला जनरेटर म्हणतात. पुढे, आम्ही त्यातील प्रत्येक सेगमेंट जनरेटरने बदलतो (अधिक तंतोतंत, जनरेटरसारखी तुटलेली रेषा). परिणामी तुटलेल्या ओळीत, प्रत्येक सेगमेंट पुन्हा जनरेटरसह पुनर्स्थित करा. अनंतापर्यंत सतत, मर्यादेत आपल्याला फ्रॅक्टल वक्र मिळते. कोच स्नोफ्लेक (किंवा वक्र) खाली दर्शविला आहे.

फ्रॅक्टल वक्रांची प्रचंड विविधता देखील आहे. त्यापैकी सर्वात प्रसिद्ध म्हणजे आधीच नमूद केलेले कोच स्नोफ्लेक, तसेच लेव्ही वक्र, मिन्कोव्स्की वक्र, ड्रॅगनचे तुटलेले वक्र, पियानो वक्र आणि पायथागोरियन ट्री. या फ्रॅक्टल्सची प्रतिमा आणि त्यांचा इतिहास, मला वाटते, इच्छित असल्यास, आपण विकिपीडियावर सहजपणे शोधू शकता.

तिसरे उदाहरण किंवा फ्रॅक्टल्सचे प्रकार म्हणजे स्टोकास्टिक फ्रॅक्टल्स. या फ्रॅक्टल्समध्ये ब्राउनियन गतीच्या प्रक्षेपणाचा समावेश होतो विमानात आणि अंतराळात, श्रॅम-लोनर उत्क्रांती, विविध प्रकारचेयादृच्छिक फ्रॅक्टल्स, म्हणजे, पुनरावृत्ती प्रक्रिया वापरून प्राप्त केलेले फ्रॅक्टल्स, ज्यामध्ये प्रत्येक पायरीवर एक यादृच्छिक पॅरामीटर प्रविष्ट केला जातो.

निव्वळ गणिती फ्रॅक्टल्स देखील आहेत. हे, उदाहरणार्थ, कॅंटर सेट, मेंजर स्पंज, सिएरपिन्स्की त्रिकोण आणि इतर.

परंतु, कदाचित, सर्वात मनोरंजक फ्रॅक्टल्स नैसर्गिक आहेत. नैसर्गिक फ्रॅक्टल्स हे निसर्गातील वस्तू आहेत ज्यात भग्न गुणधर्म आहेत. आणि इथे यादी आधीच लांब आहे. मी सर्वकाही सूचीबद्ध करणार नाही, कारण, कदाचित, मी त्या सर्वांची यादी करू शकत नाही, परंतु मी तुम्हाला काहींबद्दल सांगेन. उदाहरणार्थ, निसर्गात, अशा फ्रॅक्टल्समध्ये आपल्या रक्ताभिसरण प्रणाली आणि फुफ्फुसांचा समावेश होतो. आणि झाडांचे मुकुट आणि पाने देखील. त्यात स्टारफिशचाही समावेश आहे, समुद्र अर्चिन, कोरल, सीशेल, काही वनस्पती जसे की कोबी किंवा ब्रोकोली. वन्यजीवांचे असे अनेक नैसर्गिक भग्न खाली स्पष्टपणे दर्शविले आहेत.

जर आपण निर्जीव निसर्गाचा विचार केला तर जिवंत निसर्गापेक्षा कितीतरी मनोरंजक उदाहरणे आहेत. लाइटनिंग, स्नोफ्लेक्स, ढग, सर्वांना परिचित, हिमवर्षावाच्या दिवशी खिडक्यांवरील नमुने, स्फटिक, पर्वत रांगा - ही सर्व निर्जीव निसर्गातील नैसर्गिक फ्रॅक्टल्सची उदाहरणे आहेत.

आम्ही फ्रॅक्टल्सची उदाहरणे आणि प्रकार विचारात घेतले आहेत. फ्रॅक्टल्सच्या वापरासाठी, ते ज्ञानाच्या विविध क्षेत्रात वापरले जातात. भौतिकशास्त्रात, अशांत द्रव प्रवाह, जटिल प्रसरण-शोषण प्रक्रिया, ज्वाला, ढग इ. नॉनलाइनर प्रक्रियांचे मॉडेलिंग करताना फ्रॅक्टल्स नैसर्गिकरित्या उद्भवतात. फ्रॅक्टल्सचा वापर छिद्रयुक्त पदार्थांच्या मॉडेलिंगमध्ये केला जातो, उदाहरणार्थ, पेट्रोकेमिस्ट्रीमध्ये. जीवशास्त्रात, ते लोकसंख्येचे मॉडेल करण्यासाठी आणि सिस्टमचे वर्णन करण्यासाठी वापरले जातात अंतर्गत अवयव(रक्तवाहिनी प्रणाली). कोच वक्र निर्मितीनंतर, किनारपट्टीच्या लांबीची गणना करताना त्याचा वापर करण्याचा प्रस्ताव होता. फ्रॅक्टल्स देखील सक्रियपणे रेडिओ अभियांत्रिकी, संगणक विज्ञान आणि मध्ये वापरले जातात संगणक तंत्रज्ञान, दूरसंचार आणि अगदी अर्थव्यवस्था. आणि, अर्थातच, समकालीन कला आणि आर्किटेक्चरमध्ये भग्न दृष्टी सक्रियपणे वापरली जाते. येथे फ्रॅक्टल पेंटिंगचे एक उदाहरण आहे:

आणि म्हणून, यावर मी फ्रॅक्टलसारख्या असामान्य गणितीय घटनेबद्दल माझी कथा पूर्ण करण्याचा विचार करतो. आज आपण फ्रॅक्टल म्हणजे काय, ते कसे दिसले, फ्रॅक्टल्सचे प्रकार आणि उदाहरणे जाणून घेतली. मी त्यांच्या अर्जाबद्दल देखील बोललो आणि काही फ्रॅक्टल्स दृष्यदृष्ट्या प्रदर्शित केले. मला आशा आहे की तुम्ही आश्चर्यकारक आणि मंत्रमुग्ध करणाऱ्या भग्न वस्तूंच्या जगात या छोट्या सहलीचा आनंद घेतला असेल.