अपूर्णांक कसे मोजले जातात. अपूर्णांकांसह उदाहरणे कशी सोडवायची. समान भाजक सह भिन्न भिन्न कसे शोधायचे

5 व्या वर्गातील विद्यार्थ्यांसह विद्यार्थ्यांशी परिचित होते. पूर्वी, ज्या लोकांना अपूर्णांकांसह कृती कशी करावीत हे माहित होते त्यांना खूप स्मार्ट मानले जात असे. पहिला अपूर्णांक १/२ होता, म्हणजे अर्धा, नंतर १/3 दिसला इ. कित्येक शतकांपासून उदाहरणे खूप जटिल मानली जात होती. आता, अंश, व्यतिरिक्त, गुणाकार आणि इतर क्रियांमध्ये रूपांतरित करण्यासाठी तपशीलवार नियम विकसित केले गेले आहेत. सामग्री थोडी समजून घेणे पुरेसे आहे, आणि समाधान सोपे होईल.

एक सामान्य अपूर्णांक, ज्याला एक साधा अपूर्णांक म्हणतात, दोन संख्येचे विभाग म्हणून लिहिलेले आहे: एम आणि एन.

एम हा लाभांश आहे, म्हणजेच भागाचा अंश आणि विभाजक एन याला विभाजक म्हणतात.

योग्य अंशांचे वाटप करा (मी< n) а также неправильные (m > एन)

नियमित अपूर्णांक एकापेक्षा कमी असतो (उदाहरणार्थ, 5/6 - याचा अर्थ असा आहे की 5 भाग एकाकडून घेतले जातात; 2/8 - 2 भाग एकाकडून घेतले जातात). अनियमित अपूर्णांक 1 च्या बरोबरीने किंवा त्याहून अधिक आहे (8/7 - 1 हा 7/7 आहे आणि आणखी एक भाग अधिक म्हणून घेतला जातो).

म्हणून, एकक असते जेव्हा अंश आणि संज्ञा एकत्र असतात (3/3, 12/12, 100/100 आणि इतर)

सामान्य अपूर्णांक ग्रेड 6 सह क्रिया

साध्या अपूर्णांकांसह, आपण पुढील गोष्टी करू शकता:

• अपूर्णांक विस्तृत करा. जर आपण अपूर्णांकाच्या वरच्या आणि खालच्या भागावर समान संख्येने गुणाकार केला (परंतु शून्य नाही) तर त्या भागाचे मूल्य बदलणार नाही (3/5 \u003d 6/10 (फक्त 2 ने गुणाकार)).
• अपूर्णांक कमी करणे विस्तारासारखेच आहे, परंतु येथे हे काही संख्येने विभागले गेले आहे.
• तुलना करा जर दोन अपूर्णांकात समान अंक असतील तर मोठा अपूर्णांक निम्न विभाजकांसह अपूर्णांक असेल. जर विभाजक समान असतील तर सर्वात मोठ्या अंशांसह अपूर्णांक अधिक असेल.
• जोड आणि वजाबाकी करा. त्याच संप्रेरकांसह, हे करणे सोपे आहे (आम्ही वरच्या भागाची बेरीज करतो आणि खाली बदलत नाही). भिन्नसाठी, आपल्याला एक सामान्य भाजक आणि अतिरिक्त घटक शोधावे लागतील.
• अपूर्णांक गुणाकार आणि विभाजित करा.

आम्ही खाली अपूर्णांक असलेल्या क्रियांची उदाहरणे विचारात घेऊ.

अपूर्णांक कमी ग्रेड 6

संक्षिप्त करणे म्हणजे भिन्न भागाच्या अप्पर आणि खालच्या भागाला समान संख्येने विभाजित करणे.

आकृती संक्षिप्त रूपांची साधी उदाहरणे दर्शविते. पहिल्या पर्यायामध्ये, तुम्ही त्वरित अंदाज लावू शकता की अंश आणि विभाजक 2 ने विभाजित आहेत.

एका नोटवर! जर संख्या एकसारखी असेल तर ती कोणत्याही प्रकारे 2 ने विभाजित होईल. सम संख्या देखील 2, 4, 6 ... 32 आहेत 8 (सम सह समाप्त) इ.

दुसर्\u200dया बाबतीत 6 बाय 18 ने भाग घेताना हे लगेचच स्पष्ट होते की संख्या 2 ने विभाज्य आहेत. विभाजित केल्यावर आपल्याला 3/9 मिळतात. हा अंश by ने भागाकार आहे. मग उत्तर १/3 आहे. जर आपण दोन्ही घटकांना गुणाकार केला तर: 2 बाय 3, नंतर तुम्हाला 6 मिळेल. हे लक्षात येते की अंशांश सहाने विभागले गेले आहे. या क्रमाक्रमाने विभाजन म्हणतात सामान्य घटकांद्वारे अपूर्णांकांची सलग घट.

कोणीतरी त्वरित 6 ने भाग करेल, एखाद्यास भागानुसार विभाजन आवश्यक आहे. मुख्य गोष्ट अशी आहे की शेवटी एक अपूर्णांक आहे जो कोणत्याही प्रकारे कमी केला जाऊ शकत नाही.

लक्षात घ्या की जर अंकांमध्ये अंकांचा समावेश असेल तर 3 ने भागाकार असलेल्या संख्येपर्यंत जोडल्यास मूळ देखील 3 ने कमी केले जाऊ शकते. उदाहरण: संख्या 341. संख्या जोडा: 3 + 4 + 1 \u003d 8 (8 ने भाग करणे शक्य नाही 3, म्हणून, 341 संख्या उर्वरितशिवाय 3 ने कमी केली जाऊ शकत नाही). दुसरे उदाहरणः 264. जोडा: 2 + 6 + 4 \u003d 12 (3 ने भागाकार) आम्हाला मिळेल: 264: 3 \u003d 88. यामुळे मोठ्या संख्येने घट कमी होईल.

सामान्य घटकांद्वारे अपूर्णांकांची सलग घट करण्याच्या पद्धतीव्यतिरिक्त, इतरही काही पद्धती आहेत.

जीसीडी हा संख्येसाठी सर्वात मोठा विभाजक आहे. भाजक आणि अंशांसाठी जीसीडी सापडल्यानंतर आपण इच्छित संख्येद्वारे त्वरित अपूर्णांक कमी करू शकता. प्रत्येक संख्या हळूहळू विभाजित करून शोध चालविला जातो. पुढे, ते कोणत्या भागाशी जुळतात ते पाहतात, जर त्यापैकी बरेच काही असतील (खालील चित्रात जसे असेल तर) तर आपल्याला गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

मिश्रित अपूर्णांक ग्रेड 6

सर्व अनियमित भाग त्यातील संपूर्ण भाग निवडून मिश्रित मध्ये बदलले जाऊ शकतात. संपूर्ण संख्या डावीकडे लिहिलेली आहे.

बर्\u200dयाचदा आपल्याला अयोग्य अंशांमधून एक मिश्रित नंबर बनवावा लागतो. खालील उदाहरणातील परिवर्तन प्रक्रियाः 22/4 \u003d 22 4 ने भागाकारला, आम्हाला 5 पूर्णांक मिळतात (5 * 4 \u003d 20). 22 - 20 \u003d 2. आम्हाला 5 पूर्णांक आणि 2/4 मिळतात (संप्रेरक बदलत नाही). अपूर्णांक रद्द केला जाऊ शकतो म्हणून आम्ही वर आणि खाली 2 ने विभाजित करतो.

मिश्र संख्येस अयोग्य अपूर्णांकात रुपांतर करणे सोपे आहे (भिन्नांश विभाजित आणि गुणाकार करताना हे आवश्यक आहे). हे करण्यासाठी: पूर्ण संख्येच्या भागाच्या खालच्या भागाने गुणाकार करा आणि यामध्ये अंश जोडा. पूर्ण झाले संप्रदाय बदलत नाही.

अपूर्णांक ग्रेड 6 सह गणना

मिश्र संख्या जोडल्या जाऊ शकतात. जर भाजक एकसारखेच असतील तर हे करणे सोपे आहे: संपूर्ण भाग आणि अंश जोडा, विभाजक त्या ठिकाणी आहे.

भिन्न संप्रेरकांसह संख्या जोडताना, प्रक्रिया अधिक क्लिष्ट आहे. प्रथम, आम्ही संख्या एका सर्वात लहान भाजक (एनओझेड) वर आणतो.

खाली दिलेल्या उदाहरणात, 9 आणि 6 क्रमांकासाठी, भाजक 18 आहे. त्यानंतर, अतिरिक्त घटकांची आवश्यकता आहे. त्यांना शोधण्यासाठी, 18 ला 9 ने भाग केले पाहिजे, म्हणून अतिरिक्त संख्या सापडली - 2. अंश 8/18 मिळविण्यासाठी आम्ही त्यास 4 ने गुणाकार करतो). दुस f्या अपूर्णांकातही तेच केले जाते. आम्ही आधीपासूनच रूपांतरित अपूर्णांक जोडत आहोत (पूर्णांक आणि अंश स्वतंत्रपणे, आम्ही विभाजक बदलत नाही). उदाहरणार्थ, उत्तर अचूक अंशात रूपांतरित करावे लागले (प्रारंभी, अंक हा भाजकांपेक्षा मोठा होता)

कृपया लक्षात घ्या की भिन्न भिन्नतेसाठी ही प्रक्रिया समान आहे.

अपूर्णांक गुणाकार करताना, दोन्ही समान रेषेखाली ठेवणे महत्वाचे आहे. जर संख्या मिसळली असेल तर आपण त्यास एका साध्या अपूर्णांकात बदलू. पुढे, आम्ही वरच्या आणि खालच्या गुणाकार करतो आणि उत्तर लिहितो. अपूर्णांक रद्द करता येऊ शकतात हे आपण पहात असल्यास आम्ही त्यांना त्वरित कमी करू शकतो.

वरील उदाहरणात, आम्हाला काहीही कट करायचे नव्हते, आम्ही फक्त उत्तर लिहून संपूर्ण भाग निवडला.

या उदाहरणात, मला एका ओळीच्या खाली संख्या संक्षेप कराव्या लागतील. जरी आपण तयार केलेले उत्तर लहान करू शकता.

भागासाठी, अल्गोरिदम जवळजवळ समान आहे. प्रथम, आम्ही मिश्रित अपूर्णांक अनियमित स्वरूपात बदलू आणि नंतर एका ओळीखाली संख्या लिहू आणि भागाकार गुणाकाराने बदलू. दुस f्या अपूर्णांकाच्या वरच्या आणि खालच्या भागाला स्वॅप करणे विसरू नका (भिन्न अंश विभाजित करण्याचा हा नियम आहे).

आवश्यक असल्यास आम्ही संख्या कमी करतो (खाली दिलेल्या उदाहरणात आम्ही त्या पाच आणि दोन ने कमी केल्या आहेत). आम्ही संपूर्ण भाग निवडून अनियमित अंश रुपांतरित करतो.

अपूर्णांक ग्रेड 6 साठी मूलभूत समस्या

व्हिडिओमध्ये आणखी काही कार्ये दर्शविली आहेत. स्पष्टतेसाठी, सोल्यूशन्सच्या ग्राफिक प्रतिमेचा उपयोग अपूर्णांक दृश्यमान करण्यात मदत करण्यासाठी केला गेला आहे.

स्पष्टीकरणांसह अपूर्णांक श्रेणी 6 च्या गुणाकारांची उदाहरणे

गुणाकार अपूर्णांक एका ओळीखाली लिहिलेले आहेत. त्यानंतर, समान संख्यांनी भाग घेऊन ते कमी केले जातात (उदाहरणार्थ, भाजकातील 15 आणि अंशात 5 हे पाचद्वारे विभागले जाऊ शकतात).

अपूर्णांक ग्रेड 6 ची तुलना

अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी आपल्याला दोन सोपी नियम लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे.

नियम १. जर संज्ञा भिन्न असतील तर

नियम २. जेव्हा विभाजक समान असतात

उदाहरणार्थ, 7/12 आणि 2/3 मधील भिन्नांची तुलना करूया.

1. आम्ही भाजकांकडे पाहतो, ते एकसारखे नसतात. तर आपल्याला एक सामान्य शोधण्याची आवश्यकता आहे.
2. भिन्नांसाठी, सामान्य भाजक 12 आहे.
3. पहिल्या विभाजनाच्या खालच्या भागाद्वारे आम्ही 12 प्रथम विभाजित करतो: 12: 12 \u003d 1 (1 व्या अंशांसाठी हा अतिरिक्त घटक आहे).
4. आता आपण 12 बाय 3 विभाजित करू, आम्हाला 4 - जोड मिळेल. द्वितीय अपूर्णशाचे गुणाकार.
5. अपूर्णांक रुपांतरित करण्यासाठी आम्ही अंकीयांकांकडून परिणामी संख्या गुणाकार करतो: 1 x 7 \u003d 7 (प्रथम अपूर्णांक: 7/12); 4 x 2 \u003d 8 (दुसरा भाग: 8/12)
6. आता आम्ही तुलना करू शकतो: 7/12 आणि 8/12. झाले: 7/12< 8/12.

भिन्न अंशांचे अधिक चांगले प्रतिनिधित्व करण्यासाठी, आपण स्पष्टतेसाठी रेखाचित्रे वापरू शकता, जेथे ऑब्जेक्ट भागांमध्ये विभागलेले आहे (उदाहरणार्थ, केक). जर आपल्याला 4/7 आणि 2/3 ची तुलना करायची असेल तर प्रथम प्रकरणात, केक 7 भागांमध्ये विभागला गेला आहे आणि त्यातील 4 निवडले आहेत. दुसर्\u200dया मध्ये ते ते 3 भागात विभागतात आणि 2 घेतात. हे उघड्या डोळ्यास स्पष्ट होईल की 2/3 4/7 पेक्षा जास्त असेल.

प्रशिक्षणासाठी अपूर्णांक ग्रेड 6 ची उदाहरणे

एक कसरत म्हणून, आपण पुढील कार्ये करू शकता.

• भिन्नांची तुलना करा

• गुणाकार करा

टीपः जर अपूर्णांकांकरिता सर्वात कमी सामान्य भाजक शोधणे कठीण असेल (विशेषतः जर त्यांची मूल्ये लहान असतील तर), तर आपण प्रथम आणि द्वितीय भागांचा गुणाकार करू शकता. उदाहरणः 2/8 आणि 5/9. त्यांचा भाजक शोधणे सोपे आहे: 8 ने 9 ने गुणाकार केल्यास आम्हाला 72 मिळते.

अपूर्णांक ग्रेड 6 सह समीकरणे सोडवित आहे

समीकरणे सोडवताना आपणास अपूर्णांकांसह क्रिया लक्षात ठेवण्याची आवश्यकता आहे: गुणाकार, भाग, वजाबाकी आणि जोड जर घटकांपैकी एक अज्ञात नसेल तर उत्पादन (एकूण) ज्ञात घटकाद्वारे विभागले गेले आहे, म्हणजे, अपूर्णांक गुणाकार आहेत (दुसरा उलथला आहे).

जर लाभांश अज्ञात असेल तर, विभाजक भागाकाराने गुणाकार करेल आणि विभाजक शोधण्यासाठी भागाकार भागाद्वारे विभाजित करणे आवश्यक आहे.

चला समीकरणे सोडवण्याची साधी उदाहरणे सादर करू या

येथे केवळ सामान्य भाजक न आणता भिन्नतेचे भिन्न भिन्न उत्पादन करणे आवश्यक आहे.

1/2 ने भाग 2 ने गुणाकाराने बदलले (व्यस्त अंश).

1/2 आणि 3/4 जोडणे, आम्ही एक सामान्य भाजक 4 वर आलो. त्याच वेळी, पहिल्या अपूर्णानासाठी, 2/2 च्या अतिरिक्त घटकाची आवश्यकता होती, 1/2 पासून 2/4 आला.

5/4 मिळविण्यासाठी 2/4 आणि 3/4 जोडा.

5/4 2 ने गुणाकार विसरू नका. 2 आणि 4 कमी केल्याने आपल्याला 5/2 मिळेल.

उत्तर चुकीचे अपूर्णांक म्हणून बाहेर आले. ते 1 पूर्णांक आणि 3/5 मध्ये रूपांतरित केले जाऊ शकते.

दुसर्\u200dया पध्दतीमध्ये, भाजक फ्लिप करण्याऐवजी, तळ रद्द करण्यासाठी अंश आणि विभाजक 4 ने गुणाकार केले.

सूचना

सामान्य आणि दशांश अपूर्णांक वेगळे करण्याची प्रथा आहे, ज्याची ओळख हायस्कूलमध्ये सुरू होते. सद्यस्थितीत असे कोणतेही क्षेत्र नाही जे हे लागू होत नाही. जरी आम्ही म्हणतो की पहिले 17 वे शतक, आणि सर्व एकाच वेळी, म्हणजे 1600-1625. आपणास बर्\u200dयाचदा अपूर्णांकावरील प्राथमिक ऑपरेशन्स, तसेच त्यांचे प्रकार एका प्रकारातून दुसर्\u200dया प्रकारातही सामोरे जावे लागतात.

सामान्य भाजकांकडे अपूर्णांक आणणे ही कदाचित सामान्य अपूर्णांकांवरील सर्वात महत्त्वाची क्रिया आहे. अगदी सर्व गणितांचा हा आधार आहे. तर असे समजा, a / b आणि c / d असे दोन भाग आहेत. नंतर, त्यांना सामान्य भाजकांकडे आणण्यासाठी, आपल्याला बी आणि डी क्रमांकाचे सर्वात सामान्य सामान्य (एम) शोधणे आवश्यक आहे आणि नंतर प्रथम भागाचा अंश (एम / बी) ने गुणाकार करा आणि दुसरा (एम / डी) द्वारे.

भिन्नांची तुलना करणे हे आणखी एक महत्त्वाचे कार्य आहे. हे करण्यासाठी, दिलेला साधा अपूर्णांक सामान्य भाजकाकडे आणा आणि नंतर ज्या अंशांची संख्या मोठी आहे अशा अंशांची तुलना करा आणि अधिक.

सामान्य अपूर्णांकांची बेरीज किंवा वजाबाकी करण्यासाठी, आपल्याला त्यास सामान्य भाजकांकडे आणणे आवश्यक आहे आणि नंतर या अपूर्णांकांच्या अंशांसह इच्छित गणिताची क्रिया करणे आवश्यक आहे. भाजक तसाच राहिला. समजा आपल्याला ए / बी वरुन सी / डी वजा करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, आपल्याला बी आणि डी संख्येचे सर्वात कमी सामान्य एम सापडणे आवश्यक आहे आणि नंतर भाजक न बदलता एका अंशातून दुसर्\u200dयाचे वजा करा: (ए * (एम / बी) - (सी * (एम / डी)) ) / एम

एका भागाचे दुसर्\u200dया भागाने गुणाकार करणे पुरेसे आहे, यासाठी आपणास त्यांचे अंश आणि संख्ये गुणाकार करणे आवश्यक आहे:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) एक अपूर्णांक दुसर्या भागासाठी विभाजनाच्या व्युत्पादनाने भागाचा अपूर्णांक गुणाकार करणे आवश्यक आहे. (a / b) / (c / d) \u003d (a * d) / (b * c)
हे लक्षात ठेवण्यासारखे आहे की परस्परसंबंधित अंश मिळविण्यासाठी अंश आणि संज्ञा उलट करणे आवश्यक आहे.

यासह 2 भिन्न जोडण्यासाठी समान भाजक, त्यांचे अंक आणि संप्रेरक जोडणे आवश्यक आहेन बदललेले.अपूर्णांक जोडत आहे, उदाहरणे:

सामान्य अंश भिन्न जोडण्यासाठी आणि समान भाजकांद्वारे अपूर्णांक कमी करण्याचे सामान्य सूत्र आहे:

टीप! उत्तर लिहून प्राप्त झालेला भाग कमी करू शकतो का ते तपासा.

भिन्न संप्रेरकांसह भिन्न जोडणे.

भिन्न संप्रेरकांसह भिन्न जोडण्याचे नियमः

• सर्वात कमी सामान्य भाजक (LCN) पर्यंत भाग कमी करा. यासाठी आम्ही सर्वात लहान शोधतो डिनोमिनेटर्सचे कॉमन मल्टिपल (एलसीएम);
• अपूर्णांकांचे अंक जोडा आणि संप्रेरकांना कोणताही बदल न करता सोडवा;
• आम्ही प्राप्त केलेला अंश कमी करतो;
• जर आपल्याला चुकीचा अपूर्णांक मिळाला तर, चुकीचे अपूर्णांक मिश्रित अंशात रुपांतरित करा.

ची उदाहरणे जोड भिन्न भिन्न भाजकांसह भिन्न:

मिश्र संख्येची जोड (मिश्रित अपूर्णांक).

मिश्रित अपूर्णांक जोडण्यासाठी नियमः

• आम्ही या संख्येचे अपूर्णांक सर्वात कमी सामान्य भाजक (एलसीएन) वर आणतो;
• स्वतंत्रपणे संपूर्ण भाग आणि स्वतंत्रपणे अंशात्मक भाग जोडा, परिणाम जोडा;
• जर भागांश जोडताना, आम्हाला चुकीचा भाग प्राप्त झाला तर यामधून संपूर्ण भाग निवडा अपूर्णांक आणि परिणामी संपूर्ण भागामध्ये ते जोडा;
• आम्ही परिणामी अपूर्णांक कमी करू.

उदाहरण जोड मिश्रित भाग:

दशांश अपूर्णांक जोडत आहे.

दशांश अपूर्णांक जोडताना, प्रक्रिया "स्तंभ" (नेहमीच्या स्तंभ गुणाकार) मध्ये लिहिली जाते,जेणेकरून समान नावाचे स्राव विस्थापन न करता एकमेकांच्या खाली असतात. स्वल्पविराम आवश्यक आहेआम्ही एकमेकांच्या खाली स्पष्टपणे संरेखित करतो.

दशांश अपूर्णांक जोडण्यासाठीचे नियमः

1. आवश्यक असल्यास दशांश स्थानांची संख्या समान करा. हे करण्यासाठी, शून्य जोडाआवश्यक अंश.

२. आम्ही अपूर्णांक लिहितो जेणेकरून स्वल्पविराम एकमेकांच्या खाली असतील.

The. स्वल्पविरामकडे दुर्लक्ष न करता अपूर्णांक जोडा.

We. आम्ही स्वल्पविराम अंतर्गत बेरीजमध्ये स्वल्पविराम ठेवतो, आम्ही जोडतो ते अपूर्णांक.

टीप! जेव्हा दशांश बिंदूनंतर दिलेल्या दशांश अपूर्णांकात भिन्न संख्या असते,नंतर आम्ही समीकरणासाठी कमी दशांश असलेल्या भागास आवश्यक असलेल्या शून्यांची संख्या नियुक्त करतोअपूर्णांक दशांश स्थानांची संख्या आहे.

चला समजून घेऊया उदाहरण... दशांश अपूर्णांकांची बेरीज शोधा:

0,678 + 13,7 =

दशांश अपूर्णांकामधील दशांश स्थानांची संख्या समान करा. दशांशच्या उजवीकडे 2 शून्य जोडाअपूर्णांक 13,7 .

0,678 + 13,700 =

आम्ही लिहितो उत्तरः

0,678 + 13,7 = 14,378

तर दशांश अपूर्णांक जोडणे आपण यावर चांगले प्रभुत्व मिळवले आहे, तर गहाळ शून्य जोडू शकतामनात

हा लेख बीजगणित अपूर्णांकांसह क्रियांचा अभ्यास करण्यास प्रारंभ करतो: आम्ही बीजगणितीय अंशांचे व्यतिरिक्त आणि वजाबाकी यासारख्या क्रियांचा तपशीलवार विचार करू. आपण समान विभाजक आणि भिन्न दोन्ही बरोबर बीजगणितीय अपूर्णांकांची भर घालणे व वजाबाकीच्या योजनेचे विश्लेषण करूया. बहुपदी असलेल्या बीजगणित अपूर्णांक कसे जोडावे आणि त्यांचे वजाबाकी कशी करावी हे आपण शिकू. विशिष्ट उदाहरणांसह असलेल्या समस्यांच्या निराकरणासाठी शोधाच्या प्रत्येक चरणांचे स्पष्टीकरण देऊया.

समान भाजकांसह जोड आणि वजा क्रिया

बीजगणित लोकांना सामान्य भाग जोडण्याची योजना देखील लागू आहे. आम्हाला माहित आहे की समान भाजकांद्वारे सामान्य अपूर्णांक जोडताना किंवा वजा करतांना आपण त्यांचे अंश जोडा किंवा वजा करणे आवश्यक आहे आणि संक्षेप मूळ आहे.

उदाहरणार्थ: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 आणि 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.

त्यानुसार, समान भाजकांसह बीजगणित अपूर्णांकांची भर घालणे व वजाबाकी करण्याचे नियम त्याच प्रकारे लिहिलेले आहेतः

व्याख्या 1

त्याच संप्रेरकांसह बीजगणित अपूर्णांक जोडणे किंवा वजाबाकी करण्यासाठी, आपल्याला अनुक्रमे मूळ अपूर्णांकांचे अंक जोडणे किंवा वजा करणे आवश्यक आहे आणि भाजक अबाधित लिहा.

या नियमामुळे बीजगणित अपूर्णांकांच्या जोडणे किंवा वजाबाकीचा परिणाम नवीन बीजगणित अपूर्णांक आहे (एखाद्या विशिष्ट प्रकरणात: बहुपद, एकल किंवा संख्या).

बनवलेल्या नियम लागू करण्याचे उदाहरण देऊ.

उदाहरण १

बीजगणित अपूर्णांक दिले आहेत: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 आणि 3 - x y x 2 y - 2. त्यांना जोडणे आवश्यक आहे.

निर्णय

मूळ भागांमध्ये समान संप्रेरक असतात. नियमानुसार, दिलेल्या अपूर्णांकाचे अंक जोडा आणि विभाजक बदलू द्या.

मूळ अपूर्णांकांचे अंश असलेले बहुपद जोडणे, आम्हाला मिळते: x 2 + 2 एक्स वाय - 5 + 3 - एक्स वाई \u003d एक्स 2 + (2 एक्स वाय - एक्स वाय) - 5 + 3 \u003d एक्स 2 + एक्स वाय - 2.

नंतर आवश्यक बेरीज असे लिहिली जाईल: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

सराव मध्ये, बर्\u200dयाच प्रकरणांप्रमाणे, समाधान समानतेच्या साखळीद्वारे दिले जाते, जे सोल्यूशनचे सर्व चरण स्पष्टपणे दर्शवित आहे:

x 2 + 2 एक्स वाय - 5 x 2 वाई - 2 + 3 - एक्स यॅक्स 2 वाय - 2 \u003d एक्स 2 + 2 एक्स वाय - 5 + 3 - एक्स यॅक्स 2 वाय - 2 \u003d एक्स 2 + एक्स वाय - 2 एक्स 2 वाय - 2

उत्तरः x 2 + 2 एक्स वाय - 5 x 2 वाई - 2 + 3 - एक्स वाय एक्स 2 वाय - 2 \u003d एक्स 2 + एक्स वाय - 2 एक्स 2 वाय - 2.

जोडणे किंवा वजाबाकीचा परिणाम रद्द करता येण्याजोग्या अपूर्णांक असू शकतो, या प्रकरणात ते कमी करणे इष्टतम आहे.

उदाहरण 2

बीजगणितीय अपूर्णांक x x 2 - 4 · y 2 अंश 2 · y x 2 - 4 · y 2 वजा करणे आवश्यक आहे.

निर्णय

मूळ भागांचे भाजक समान आहेत. आम्ही अंशांद्वारे क्रिया करू, म्हणजेः पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून दुसर्\u200dयाच्या अंकाचे वजा करा आणि नंतर विभाजन न बदलता निकाल लिहा:

x x 2 - 4 वाई 2 - 2 वाय एक्स 2 - 4 वाई 2 \u003d एक्स - 2 वाय एक्स 2 - 4 वाई 2

आम्ही पाहतो की परिणामी अपूर्णांक रद्द करण्यायोग्य आहे. चौरस सूत्राचा फरक वापरून संप्रेरक बदलून ते कमी करू.

x - 2 y x 2 - 4 y 2 \u003d x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) \u003d 1 x + 2 y

उत्तरः x x 2 - 4 वाई 2 - 2 वाय एक्स 2 - 4 वाई 2 \u003d 1 एक्स + 2 वाय.

त्याच तत्त्वानुसार, तीन किंवा अधिक बीजगणित अपूर्णांक समान भाजकांसह जोडले किंवा वजा केले जातात. उदाहरणार्थ:

1 एक्स 5 + 2 एक्स 3 - 1 + 3 एक्स - एक्स 4 एक्स 5 + 2 एक्स 3 - 1 - एक्स 2 एक्स 5 + 2 एक्स 3 - 1 - 2 एक्स 3 एक्स 5 + 2 एक्स 3 - 1 \u003d 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

भिन्न संप्रेरकांसाठी जोड आणि वजा क्रिया

आपण पुन्हा सामान्य अपूर्णांक असलेल्या क्रियांच्या योजनेकडे वळू या: भिन्न भिन्न विभाजनांनी सामान्य अंशांना जोडणे किंवा वजा करण्यासाठी, त्यास सामान्य भाजकांकडे आणणे आवश्यक आहे आणि नंतर त्याच विभाजनासह परिणामी भिन्न जोडा.

उदाहरणार्थ, 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 15 किंवा 1 2 - 3 7 \u003d 7 14 - 6 14 \u003d 1 14.

त्याचप्रमाणे आम्ही वेगवेगळ्या भाजकांसह बीजगणित अपूर्णांकांची भर घालणे व वजाबाकीचा नियम तयार करूः

व्याख्या 2

वेगवेगळ्या भाजकांसह बीजगणित अपूर्णांकांची जोड किंवा वजाबाकी करण्यासाठी, आपण हे करणे आवश्यक आहे:

• मूळ अंश अपूर्णांकापर्यंत कमी करा;
• त्याच संप्रेरकांसह परिणामी अपूर्णांकांची बेरीज किंवा वजाबाकी करा.

स्पष्टपणे, येथे की एक बीजगणित भिन्न घटक सामान्य संज्ञावर आणण्याचे कौशल्य असेल. चला जरा जवळून पाहुया.

बीजगणित अपूर्णांकांचा सामान्य भाजक

सामान्य भाजकांकडे बीजगणित भिन्न आणण्यासाठी, दिलेल्या अपूर्णांकांचे समान रूपांतर करणे आवश्यक आहे, परिणामी मूळ अंशांचे विभाजक समान होतात. येथे सामान्य विभाजनासाठी बीजगणित अपूर्णांक आणण्यासाठी खालील अल्गोरिदमनुसार कार्य करणे इष्टतम आहे:

• प्रथम आम्ही बीजगणितीय अपूर्णांकांचे सामान्य विभाजक निश्चित करतो;
• मग आम्ही मूळ अपूर्णांकाच्या भाजकांद्वारे सामान्य विभाजक विभाजित करुन प्रत्येक अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक शोधू;
• दिलेली बीजगणित अपूर्णांकांची संख्या आणि संज्ञेची शेवटची क्रिया संबंधित अतिरिक्त घटकांद्वारे गुणाकार केली जाते.

उदाहरण 3

बीजगणित अपूर्णांक दिले आहेत: ए + 2 2 ए 3 - 4 ए 2, ए + 3 3 ए 2 - 6 अ आणि ए + 1 4 ए 5 - 16 ए 3. त्यांना सामान्य भाजकांकडे आणणे आवश्यक आहे.

निर्णय

आम्ही वरील अल्गोरिदमनुसार कार्य करतो. मूळ अपूर्णांकांचा सामान्य भाजक निश्चित करा. या हेतूसाठी, आम्ही दिलेल्या अपूर्णांकांचे संप्रेरक काढतो: 2 अ 3 - 4 अ 2 \u003d 2 अ 2 (अ - 2), 3 अ 2 - 6 अ \u003d 3 ए (ए - 2) आणि 4 ए 5 - 16 ए 3 \u003d 4 ए 3 (अ - 2) (ए + 2)... येथून आपण सामान्य भाजक लिहू शकतो: 12 ए 3 (अ - २) (ए + २).

आता आम्हाला अतिरिक्त घटक शोधावे लागतील. अल्गोरिदमनुसार, मूळ भिन्नांच्या विभाजनांमध्ये आढळणारे सामान्य भाजक विभाजित करूया:

• पहिल्या अपूर्णांकासाठी: 12 अ 3 (अ - 2) (अ + 2): (2 अ 2 (ए - 2)) \u003d 6 ए (ए + 2);
• दुसर्\u200dया अपूर्णांकासाठी: 12 अ 3 (अ - 2) (अ + 2): (3 ए (ए - 2)) \u003d 4 ए 2 (ए + 2);
• तिसर्\u200dया अपूर्णांकासाठी: 12 ए 3 (ए - २) (ए + २): (a अ ((ए - २) (ए + २)) \u003d .

पुढील चरण म्हणजे अतिरिक्त घटकांद्वारे दिलेल्या अपूर्णांकांचे अंक आणि संज्ञेचे गुणाकार करणे:

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (अ - २) (अ + २) अ + 3 a अ २ - a अ \u003d (अ +)) a अ २ (अ + २) a अ २ - a अ 4 अ २ (ए + २) \u003d a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (A + 2) a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d (a + 1) 3 (4 a 5 - 16 a 3 ) 3 \u003d 3 (a + 1) 12 ए 3 (a - 2) (a + 2)

उत्तरः a + 2 2 a 3 - 4 a 2 \u003d 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 3 3 a 2 - 6 a \u003d 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 1 4 a 5 - 16 a 3 \u003d 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2).

म्हणून, आम्ही मूळ भिन्न अपूर्णांक आणले. आवश्यक असल्यास, आपण पुढे अंश आणि संप्रेरकांमध्ये बहुपद आणि मोनोमियल गुणाकार करून परिणामाचे बीजगणितीय भिन्न स्वरूपात रुपांतर करू शकता.

चला खाली दिलेला मुद्दा स्पष्ट करू: जर परिपूर्ण अंश रद्द करणे आवश्यक असेल तर उत्पादनाच्या स्वरूपात आढळणारा सामान्य भाजक सोडणे इष्टतम आहे.

मूळ बीजगणित अपूर्णांक सामान्य भाजकांपर्यंत कमी करण्याच्या योजनेची आम्ही सविस्तरपणे तपासणी केली, आता आम्ही वेगवेगळ्या भाजकांद्वारे भिन्नांचे बेरीज आणि वजाबाकीसाठी उदाहरणे विश्लेषित करू शकतो.

उदाहरण 4

बीजगणित अपूर्णांक दिले आहेत: 1 - 2 x x 2 + x आणि 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. त्यांच्या जोडण्याची कृती करणे आवश्यक आहे.

निर्णय

मूळ भागांमध्ये भिन्न संप्रेरक असतात, म्हणून पहिली पायरी म्हणजे त्यांना सामान्य विभाजाकडे आणणे. फॅक्टर संप्रेरक: x 2 + x \u003d x (x + 1), आणि x 2 + 3 x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2),पासून चौरस त्रिकोणी मुळे x 2 + 3 x + 2 या संख्या आहेत: - 1 आणि - 2. सामान्य भाजक निश्चित करा: x (x + 1) (x + 2), नंतर अतिरिक्त घटक पुढीलप्रमाणे असतील: x + 2आणि - xअनुक्रमे पहिल्या आणि दुसर्\u200dया अपूर्णांकासाठी.

अशा प्रकारेः 1 - 2 एक्सएक्स 2 + एक्स \u003d 1 - 2 एक्सएक्सएक्स (एक्स + 1) \u003d (1 - 2 एक्स) (एक्स + 2) एक्स (एक्स + 1) (एक्स + 2) \u003d एक्स + 2 - 2 एक्स 2 - 4 xx (x + 1) x + 2 \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) आणि 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 X 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2)

आता आम्ही सामान्य भाजकात आणलेले अपूर्णांक जोडा.

2 - 2 एक्स 2 - 3 एक्सएक्सएक्स (एक्स + 1) (एक्स + 2) + 2 एक्स 2 + 5 एक्सएक्सएक्स (एक्स + 1) (एक्स + 2) \u003d \u003d 2 - 2 एक्स 2 - 3 एक्स + 2 एक्स 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 2 xx (x + 1) (x + 2)

परिणामी अपूर्णांक एका सामान्य घटकाद्वारे कमी केला जाऊ शकतो x + 1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2)

आणि, शेवटी, आम्ही बीजगणितीय अपूर्णवाच्या स्वरूपात प्राप्त केलेला परिणाम लिहितो, त्याऐवजी उत्पादनास प्रत्येकाच्या संख्येत बदलतो.

2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x

आपण सोल्यूशन्सचा सारांश थोडक्यात समानतेच्या शृंखला म्हणून लिहूया.

1 - 2 एक्सएक्स 2 + एक्स + 2 एक्स + 5 एक्स 2 + 3 एक्स + 2 \u003d 1 - 2 एक्सएक्सएक्स (एक्स + 1) + 2 एक्स + 5 (एक्स + 1) (एक्स + 2) \u003d \u003d 1 - 2 एक्स (x + 2) xx + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 एक्सएक्सएक्स (एक्स + 1) (एक्स + 2) \u003d \u003d 2 - 2 एक्स 2 - 3 एक्स + 2 एक्स 2 + 5 एक्सएक्सएक्स (एक्स + 1) (एक्स + 2) \u003d 2 एक्स + 1 एक्स (एक्स + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 x

उत्तरः 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 एक्स + 2 \u003d 2 एक्स 2 + 2 एक्स

या तपशीलाकडे लक्ष द्या: बीजगणित अपूर्णांक जोडण्यापूर्वी किंवा वजा करण्यापूर्वी, शक्य असल्यास, त्यांचे सरलीकरण करण्यासाठी रूपांतर करणे इष्ट आहे.

उदाहरण 5

अपूर्णांक वजा करणे आवश्यक आहे: 2 1 1 3 · x - 2 21 आणि 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

निर्णय

पुढील निराकरण सुलभ करण्यासाठी आम्ही मूळ बीजगणित अंशांचे रूपांतर करतो. चला कंसाच्या बाहेर, प्रत्येक संज्ञेमधील व्हेरिएबल्सचे संख्यात्मक गुणांक काढू.

2 1 1 3 एक्स - 2 21 \u003d 2 4 3 एक्स - 2 21 \u003d 2 4 3 एक्स - 1 14 आणि 3 एक्स - 1 1 7 - 2 एक्स \u003d 3 एक्स - 1 - 2 एक्स - 1 14

या परिवर्तनामुळे आम्हाला नक्कीच फायदा झाला: आम्ही सामान्य घटकांची उपस्थिती स्पष्टपणे पाहतो.

संप्रेरकांमधील अंकीय गुणांक पूर्णपणे काढून टाकूया. हे करण्यासाठी, आम्ही बीजगणितीय भिन्न घटकांची मुख्य मालमत्ता वापरतो: आम्ही पहिल्या अपूर्णशाचे अंक आणि संज्ञा 3 4 ने गुणाकार करतो आणि दुसरे - 1 2 ने गुणाकार करतो, मग आपल्याला मिळते:

2 4 3 x - 1 14 \u003d 3 4 2 3 4 4 3 एक्स - 1 14 \u003d 3 2 एक्स - 1 14 आणि 3 एक्स - 1 - 2 एक्स - 1 14 \u003d - 1 2 3 एक्स - 1 - 1 2 - 2 x - 1 14 \u003d - 3 2 x + 1 2 x - 1 14.

चला आपण अशी कृती करू ज्यामुळे आपल्याला अंशात्मक गुणांकांपासून मुक्तता मिळू शकेल: परिणामी अपूर्णांक 14 ने गुणाकार करा:

3 2 x - 1 14 \u003d 14 3 2 14 x - 1 14 \u003d 21 14 x - 1 आणि - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 x + 7 14 x - 1.

शेवटी, आम्ही समस्येच्या विधानात आवश्यक क्रिया करतो - वजाबाकीः

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 \u003d 21 - - 21 x + 7 14 एक्स - 1 \u003d 21 x + 14 14 x - 1

उत्तरः 2 1 1 3 x - 2 21 - 3 एक्स - 1 1 7 - 2 x \u003d 21 x + 14 14 x - 1.

बीजगणित अपूर्णांक आणि बहुपदीय जोडणे आणि वजाबाकी

ही क्रिया बीजगणित अपूर्णांकांच्या व्यतिरिक्त किंवा वजाबाकीमध्ये देखील कमी केली जाते: मूळ बहुपद den चे विभाजन म्हणून प्रतिनिधित्व करणे आवश्यक आहे.

उदाहरण 6

बहुपद जोडणे आवश्यक आहे x 2 - 3 बीजगणितीय भिन्न 3 x x + 2 सह.

निर्णय

आपण बहुपद 1: x 2 - 3 1 सह बीजगणित अपूर्णांक म्हणून लिहितो

आता आम्ही वेगवेगळ्या भाजकांसह भिन्न जोडण्यासाठी नियमानुसार यासह कार्य करू शकतोः

x 2 - 3 + 3 एक्सएक्स + 2 \u003d एक्स 2 - 3 1 + 3 एक्सएक्स + 2 \u003d एक्स 2 - 3 (एक्स + 2) 1 एक्स + 2 + 3 एक्सएक्स + 2 \u003d \u003d एक्स 3 + 2 एक्स 2 - 3 एक्स - 6 एक्स + 2 + 3 एक्सएक्स + 2 \u003d एक्स 3 + 2 एक्स 2 - 3 एक्स - 6 + 3 एक्सएक्स + 2 \u003d \u003d एक्स 3 + 2 एक्स 2 - 6 एक्स + 2

उत्तरः x 2 - 3 + 3 x x + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

आपल्याला मजकूरामध्ये त्रुटी आढळल्यास कृपया ते निवडा आणि Ctrl + Enter दाबा

अपूर्णांकांसह आपण करू शकत असलेली पुढील क्रिया वजाबाकी आहे. या साहित्याच्या चौकटीत, समान आणि भिन्न संप्रेरकांद्वारे भिन्नांच्या भिन्नतेची योग्य गणना कशी करावी, नैसर्गिक संख्येमधून भिन्न कसे विभाजित करावे आणि त्याउलट कसे करावे याबद्दल आम्ही विचार करू. सर्व उदाहरणे कार्यांसह स्पष्ट करतात. आगाऊ स्पष्टीकरण देऊया की जेव्हा भिन्न भिन्नतेचा परिणाम सकारात्मक संख्येने होतो तेव्हा आम्ही केवळ त्या प्रकरणांचे विश्लेषण करु.

समान भाजक सह भिन्न भिन्न कसे शोधायचे

चला त्वरित एका उदाहरणादाखल उदाहरणाने सुरुवात करू या: समजू की आमच्याकडे एक सफरचंद आहे ज्याचे आठ भागात विभागलेले आहे. प्लेटवर पाच तुकडे टाकू आणि त्यापैकी दोन घेऊ. ही क्रिया असे लिहिले जाऊ शकते:

परिणामी, आमच्याकडे 5 - 2 \u003d 3 पासून 3 अष्टमी शिल्लक आहेत. हे आढळले की 5 8 - 2 8 \u003d 3 8.

या सोप्या उदाहरणासह आपण समान विभाजनांसाठी विभक्ततेसाठी वजाबाकी नियम कसे कार्य करते ते आम्ही पाहिले. चला ते बनवू.

व्याख्या 1

समान भाजकांमधील भिन्नांमधील फरक शोधण्यासाठी आपल्याला दुसर्\u200dयाच्या अंशातून दुसर्\u200dयाच्या अंशातून वजा करणे आवश्यक आहे आणि भाजक समान ठेवा. हा नियम b - c b \u003d a - c b म्हणून लिहिता येतो.

आम्ही भविष्यात हे सूत्र वापरू.

चला विशिष्ट उदाहरणे घेऊ.

उदाहरण १

अपूर्णांक 24 15 वरून सामान्य अंश 17% वजा.

निर्णय

आम्ही पाहतो की या भागांमध्ये समान संप्रेरक आहेत. तर आपल्याला 24 पासून 17 वजा करायचे आहे. आम्हाला 7 मिळतील आणि त्यामध्ये प्रत्येक संज्ञा जोडा, आम्हाला 7 15 मिळेल.

आमची गणना खालीलप्रमाणे लिहिता येते: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

आवश्यक असल्यास, गणना करणे सोपे करण्यासाठी आपण जटिल अपूर्णांक कमी करू शकता किंवा चुकीचा भाग पासून संपूर्ण भाग निवडू शकता.

उदाहरण 2

37 12 - 15 12 फरक शोधा.

निर्णय

चला वर वर्णन केलेले सूत्र वापरू आणि गणना करू: 37 12 - 15 12 \u003d 37 - 15 12 \u003d 22 12

हे पाहणे सोपे आहे की अंश आणि विभाजक 2 ने विभागले जाऊ शकतात (जेव्हा आम्ही विभाजनाचे निकष तपासले तेव्हा आम्ही याबद्दल याबद्दल बोललो होतो). उत्तर कमी करत असताना आम्हाला 11 6 मिळतात. हा एक अयोग्य अपूर्णांक आहे, ज्यापासून आम्ही संपूर्ण भाग निवडू: 11 6 \u003d 1 5 6.

वेगवेगळ्या भाजकांमधील भिन्नांचा फरक कसा शोधायचा

अशा गणिताची क्रिया आपण वर वर्णन केल्याप्रमाणे कमी केली जाऊ शकते. हे करण्यासाठी, आम्ही फक्त आवश्यक भाज्या एका संज्ञेकडे आणतो. चला व्याख्या तयार करू:

व्याख्या 2

भिन्न संप्रेरकांमधील भिन्नांमधील फरक शोधण्यासाठी आपणास त्या समान भाजकांकडे आणणे आणि अंकांमध्ये फरक शोधणे आवश्यक आहे.

हे कसे केले जाते त्याचे एक उदाहरण पाहू.

उदाहरण 3

2 9 पासून 1 15 वजा करा.

निर्णय

संप्रेरक भिन्न आहेत आणि आपण त्यांना सर्वात कमी सामान्य मूल्यात आणण्याची आवश्यकता आहे. या प्रकरणात, एलसीएम 45 आहे. पहिल्या अपूर्णांकासाठी, 5 चा अतिरिक्त घटक आवश्यक आहे आणि दुसर्\u200dयासाठी, अतिरिक्त 3.

चला गणना करूयाः 2 9 \u003d 2 5 9 5 \u003d 10 45 1 15 \u003d 1 3 15 3 \u003d 3 45

आम्हाला समान विभाजनासह दोन अंश मिळाले आणि आता आम्ही पूर्वी वर्णन केलेल्या अल्गोरिदमचा वापर करून त्यांचा फरक सहजपणे शोधू शकतोः 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45

सोल्यूशनची एक छोटी रेकॉर्ड असे दिसते: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.

आवश्यकतेनुसार निकाल कमी करण्याकडे तुम्ही दुर्लक्ष करू नये किंवा त्यापासून संपूर्ण भाग काढायला नको. या उदाहरणात, आम्हाला हे करण्याची आवश्यकता नाही.

उदाहरण 4

19 9 - 7 36 फरक शोधा.

निर्णय

अट मध्ये दर्शविलेले अपूर्णांक सर्वात कमी सामान्य भाजक 36 वर आणू आणि अनुक्रमे 76 9 आणि 7 36 मिळवा.

आम्ही उत्तरांची गणना करतो: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

निकाल 3 ने कमी केला जाऊ शकतो आणि 23% मिळू शकतो. अंश हा भाजकापेक्षा मोठा आहे, म्हणजे आम्ही संपूर्ण भाग निवडू शकतो. अंतिम उत्तर 1 11 12 आहे.

संपूर्ण निराकरणाचा सारांश 19 9 - 7 36 \u003d 1 11 12 आहे.

सामान्य अपूर्णांकातून एक नैसर्गिक संख्या वजा कशी करावी

ही क्रिया सामान्य अपूर्णांकांच्या सोप्या वजाबाकीपर्यंत देखील सहजपणे कमी केली जाऊ शकते. अपूर्णांक म्हणून नैसर्गिक संख्येचे प्रतिनिधित्व करून हे केले जाऊ शकते. चला एक उदाहरण दाखवू.

उदाहरण 5

83 21 - 3 फरक शोधा.

निर्णय

3 3 3 समान आहे. मग त्याची गणना अशा प्रकारे केली जाऊ शकते: 83 21 - 3 \u003d 20 21.

एखाद्या स्थितीत अयोग्य अपूर्णांकातून पूर्णांक वजा करणे आवश्यक असल्यास प्रथम मिश्र संख्येने लिहून पूर्णांक काढणे अधिक सोयीचे आहे. तर मागील उदाहरण वेगळ्या प्रकारे सोडविली जाऊ शकते.

अपूर्णांक 83 21 पासून, जेव्हा संपूर्ण भाग निवडला जातो तेव्हा आम्हाला 83 21 \u003d 3 20 21 मिळते.

आता त्यातून फक्त 3 वजा करू: 3 20 21 - 3 \u003d 20 21.

नैसर्गिक संख्येमधून भिन्न कसे वजायचे

ही क्रिया आधीच्याप्रमाणेच केली जाते: आम्ही नैसर्गिक संख्येला अपूर्णांक म्हणून पुन्हा लिहितो, एकास एकल दोन्हीकडे आणतो आणि फरक शोधतो. हे उदाहरण देऊन दाखवू.

उदाहरण 6

फरक शोधा: 7 - 5 3.

निर्णय

7 म्हणून 7 1 करा. आम्ही त्यातून संपूर्ण भाग वजा करून अंतिम निकालाचे वजा व रूपांतर करतो: 7 - 5 3 \u003d 5 1 3.

गणना करण्याचे आणखी एक मार्ग आहे. याचे काही फायदे आहेत ज्यात समस्येतील अपूर्णांकांचे अंक आणि संज्ञा मोठ्या संख्येने आहेत अशा प्रकरणांमध्ये वापरली जाऊ शकतात.

व्याख्या 3

जर वजाबाकी करणे भाग बरोबर असेल तर आपण ज्या नैसर्गिक संख्येमधून वजा करतो त्यास दोन संख्यांची बेरीज दर्शविली पाहिजे, त्यातील एक संख्या 1 आहे. त्यानंतर, आपल्याला एकाकडून इच्छित भाग कमी करणे आणि उत्तर मिळविणे आवश्यक आहे.

उदाहरण 7

1 065 - 13 62 च्या फरकाची गणना करा.

निर्णय

वजा करायला लागणारा भाग बरोबर आहे, कारण त्याचा अंश भाजकांपेक्षा कमी आहे. म्हणून, आम्हाला 1065 पासून एक वजा करणे आणि त्यातून इच्छित भाग कमी करणे आवश्यक आहे: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

आता उत्तर शोधण्याची गरज आहे. वजाबाकीचे गुणधर्म वापरुन, परिणामी अभिव्यक्ती 1064 + 1 - 13 62 असे लिहिले जाऊ शकते. कंसातील फरकांची गणना करूया. यासाठी, आम्ही भाग 1 1 म्हणून युनिटचे प्रतिनिधित्व करतो.

हे दिसून आले की 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.

आता आपण 1064 बद्दल लक्षात ठेवू आणि उत्तर तयार कराः 1064 49 62.

आम्ही जुनी पद्धत वापरतो की ते कमी सोयीस्कर आहे हे सिद्ध करण्यासाठी. आम्हाला मिळेल अशी ही गणिते आहेतः

1065 - 13 62 \u003d 1065 1 - 13 62 \u003d 1065 62 1 62 - 13 62 \u003d 66030 62 - 13 62 \u003d \u003d 66030 - 13 62 \u003d 66017 62 \u003d 1064 4 6

उत्तर एकच आहे, परंतु गणना खरोखर अधिक अवजड आहेत.

जेव्हा आपल्याला योग्य अपूर्णांक वजा करणे आवश्यक असेल तेव्हा आम्ही प्रकरणात विचार केला आहे. जर ते योग्य नसेल तर आम्ही त्यास मिश्रित संख्येत बदलू आणि परिचित नियमांचा वापर करून वजा करू.

उदाहरण 8

644 - 73 5 च्या फरकाची गणना करा.

निर्णय

दुसरा अंश चुकीचा आहे आणि संपूर्ण भाग त्यापासून विभक्त होणे आवश्यक आहे.

आता आम्ही मागील उदाहरणाप्रमाणेच गणना करतो: 630 - 3 5 \u003d (629 + 1) - 3 5 \u003d 629 + 1 - 3 5 \u003d 629 + 2 5 \u003d 629 2 5

अपूर्णांकांसाठी वजाबाकी गुणधर्म

नैसर्गिक संख्येच्या वजाबाकीचा गुणधर्म सामान्य अंशांच्या वजाबाकीच्या प्रकरणांवर देखील लागू होतो. उदाहरणे सोडवताना त्यांचा कसा उपयोग करावा ते पाहूया.

उदाहरण 9

24 24 - 3 2 - 5 6 फरक शोधा.

निर्णय

जेव्हा आम्ही संख्यांमधून बेरीजच्या वजाबाकीचे विश्लेषण केले तेव्हा आम्ही आधीपासूनच तत्सम उदाहरणे सोडविली आहेत, म्हणून आम्ही आधीपासूनच ज्ञात अल्गोरिदमनुसार कार्य करतो. प्रथम, आम्ही 25 25 - 3 2 फरक मोजू आणि नंतर त्यातून शेवटचा भाग वजा करा.

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

त्यामधून संपूर्ण भाग काढून उत्तराचे रूपांतर करूया. एकूण 3 11 12 आहे.

संपूर्ण समाधानाचा सारांश:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

जर अभिव्यक्तीमध्ये भिन्न आणि नैसर्गिक संख्या दोन्ही असतील तर गणना करत असताना त्यांना क्रमवारीनुसार गटबद्ध करण्याची शिफारस केली जाते.

उदाहरण 10

98 + 17 20 - 5 + 3 5 फरक शोधा.

निर्णय

वजाबाकी आणि जोडण्याचे मूलभूत गुणधर्म जाणून घेतल्यामुळे आम्ही खालीलप्रमाणे संख्येनुसार गटबद्ध करू: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 \u003d 98 + 17 20 - 5 - 3 5 \u003d 98 - 5 + 17 20 - 3 5

चला गणना पूर्ण करू: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 \u003d 93 + 17 20 - 12 20 \u003d 93 + 5 20 \u003d 93 + 1 4 \u003d 93 1 4

आपल्याला मजकूरामध्ये त्रुटी आढळल्यास कृपया ते निवडा आणि Ctrl + Enter दाबा