Математик,
Хэрэв та үүнийг зөв харвал
зөвхөн үнэнийг илэрхийлээд зогсохгүй
гэхдээ бас юутай ч зүйрлэшгүй гоо үзэсгэлэн.
Бертран Рассел.

Та фракталуудын талаар сонссон байх. Та Bryce3d-аас бодит байдлаас илүү бодитой эдгээр гайхалтай зургуудыг харсан нь гарцаагүй. Уулс, үүлс, модны холтос - энэ бүхэн ердийн Евклидийн геометрээс давж гардаг. Арлын чулуу, хил хязгаарыг бид шугам, тойрог, гурвалжингаар дүрсэлж чадахгүй. Энд фракталууд аврах ажилд ирдэг. Эдгээр танил танихгүй хүмүүс юу вэ? Тэд хэзээ гарч ирсэн бэ?

Гадаад төрх байдлын түүх.

Фрактал геометрийн анхны санаанууд 19-р зуунд гарч ирсэн. Кантор энгийн рекурсив (давталт) процедурыг ашиглан шугамыг хоорондоо холбоогүй цэгүүдийн багц болгон хувиргасан (Канторын тоос гэж нэрлэдэг). Тэрээр нэг шугамыг авч, төвийн гурав дахь хэсгийг хасаад дараа нь үлдсэн сегментүүдтэй ижил зүйлийг давтана. Пеано тусгай төрлийн шугам зурсан (зураг №1). Үүнийг зурахын тулд Пеано дараах алгоритмыг ашигласан.

Эхний алхамд тэрээр шулуун шугамыг авч, анхны шугамын уртаас 3 дахин богино 9 сегментээр сольсон (Зураг 1-ийн 1, 2-р хэсэг). Дараа нь тэр үүссэн шугамын сегмент бүртэй ижил зүйлийг хийв. Гэх мэтээр хязгааргүй. Түүний өвөрмөц байдал нь бүхэл бүтэн онгоцыг дүүргэх явдал юм. Хавтгай дээрх цэг бүрийн хувьд Пеано шугамд хамаарах цэгийг олох боломжтой болох нь батлагдсан. Peano's Curve болон Cantor's Dust нь энгийн геометрийн объектуудаас давж гарсан. Тэдэнд тодорхой хэмжээс байгаагүй. Канторын тоос нь нэг хэмжээст шулуун шугамын үндсэн дээр баригдсан боловч энэ нь цэгүүдээс бүрддэг (хэмжээ 0). Мөн Peano муруй нь нэг хэмжээст шугамын үндсэн дээр баригдсан бөгөөд үр дүн нь хавтгай байв. Шинжлэх ухааны бусад олон салбарт асуудал гарч ирсэн бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь дээр дурдсантай адил хачирхалтай үр дүнд хүргэсэн (Брауны хөдөлгөөн, хувьцааны үнэ).

Фракталуудын эцэг

20-р зууныг хүртэл ийм хачирхалтай объектуудын тухай мэдээлэл хуримтлагдаж, тэдгээрийг системчлэх гэж оролдсонгүй. Орчин үеийн фрактал геометрийн эцэг, фрактал гэдэг үгийн эцэг Бенуа Манделброт тэднийг хүлээн авах хүртэл тэр үе байсан. IBM-д математикийн шинжээчээр ажиллаж байхдаа тэрээр статистикийн тусламжтайгаар тайлбарлах боломжгүй электрон хэлхээний дуу чимээг судалжээ. Баримтуудыг аажмаар харьцуулж үзээд тэрээр математикийн шинэ чиглэл болох фрактал геометрийг нээсэн юм.

Фрактал гэж юу вэ. Манделброт өөрөө фрактал гэдэг үгийг латин хэлний fractus гэсэн үгнээс гаралтай бөгөөд энэ нь хугарсан (хэсэг болгон хуваасан) гэсэн утгатай. Фракталын тодорхойлолтуудын нэг нь хэсгүүдээс бүрдэх геометрийн дүрс бөгөөд үүнийг хэсэг болгон хувааж болох бөгөөд тус бүр нь бүхэлд нь (наад зах нь ойролцоогоор) багасгасан хуулбарыг төлөөлөх болно.

Фракталыг илүү нарийн төсөөлөхийн тулд Б.Манделбротын "Байгалийн фрактал геометр" номонд өгсөн жишээг авч үзье, энэ нь сонгодог болсон "Британийн эрэг хэр урт вэ?". Энэ асуултын хариулт нь санагдсан шиг энгийн биш юм. Энэ бүхэн бидний ашиглах хэрэгслийн уртаас хамаарна. Эргийг километрийн захирагчаар хэмжсэний дараа бид тодорхой урттай болно. Гэсэн хэдий ч бид захирагчаасаа хамаагүй жижиг олон жижиг булан, хойгуудыг алгасах болно. Захирагчийн хэмжээг 1 метр болгон бууруулснаар бид ландшафтын эдгээр нарийн ширийн зүйлийг анхаарч үзэх бөгөөд үүний дагуу эргийн урт нэмэгдэх болно. Цаашид миллиметрийн захирагч ашиглан эргийн уртыг хэмжиж үзье, энд бид миллиметрээс илүү нарийн ширийн зүйлийг анхаарч үзэх болно, урт нь бүр ч их байх болно. Үүний үр дүнд ийм энгийн мэт асуултын хариулт нь хэнийг ч гайхшруулж чадна - Британийн эргийн урт нь хязгааргүй юм.

Хэмжээний талаар бага зэрэг.

Өдөр тутмын амьдралдаа бид хэмжээстэй байнга тулгардаг. Бид замын уртыг (250 м) тооцоолж, орон сууцны талбайг (78 м2) олж, наалт дээрээс шар айрагны шилний хэмжээг (0.33 дм3) хайж олоорой. Энэ ойлголт нь зөн совингийн хувьд ойлгомжтой бөгөөд тодорхой болгох шаардлагагүй юм шиг санагдаж байна. Энэ шугам нь 1 хэмжигдэхүүнтэй байна. Энэ нь бид лавлах цэгийг сонгосноор эерэг эсвэл сөрөг 1 тоо ашиглан энэ шугамын дурын цэгийг тодорхойлж болно гэсэн үг юм. Энэ нь тойрог, дөрвөлжин, парабола гэх мэт бүх мөрөнд хамаарна.

Хэмжээ 2 гэдэг нь бид ямар ч цэгийг хоёр тоогоор өвөрмөц байдлаар тодорхойлж чадна гэсэн үг юм. Хоёр хэмжээст гэдэг нь хавтгай гэсэн үг гэж битгий бодоорой. Бөмбөрцгийн гадаргуу нь мөн хоёр хэмжээст (үүнийг өргөн, уртраг гэх мэт хоёр утгыг ашиглан тодорхойлж болно).

Математикийн үүднээс авч үзвэл хэмжээсийг дараах байдлаар тодорхойлно: нэг хэмжээст объектын хувьд шугаман хэмжээг хоёр дахин нэмэгдүүлэх нь хэмжээ (энэ тохиолдолд урт) хоёр дахин нэмэгдэхэд хүргэдэг (2 ^ 1).

2D объектын хувьд шугаман хэмжээсийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх нь хэмжээсийг дөрөв дахин нэмэгдүүлэх болно (жишээлбэл, тэгш өнцөгтийн талбай) (2 ^ 2).

Гурван хэмжээст объектуудын хувьд шугаман хэмжээ хоёр дахин нэмэгдэх нь эзлэхүүнийг найман дахин (2 ^ 3) нэмэгдүүлэхэд хүргэдэг.

Тиймээс D хэмжигдэхүүнийг шугаман хэмжээсүүдийн өсөлтөөс S объектын "хэмжээ" -ийн өсөлтөөс хамаарах хамаарал дээр үндэслэн тооцоолж болно L. D = log (S) / log (L). D шугамын хувьд = log (2) / log (2) = 1. Хавтгайн хувьд D = log (4) / log (2) = 2. D эзлэхүүний хувьд = log (8) / log (2) = 3. Энэ нь бага зэрэг будлиантай байж болох ч ерөнхийдөө хэцүү, ойлгомжтой биш юм.

Би яагаад энэ бүгдийг хэлээд байгаа юм бэ? Фракталуудыг хиамнаас хэрхэн салгах талаар ойлгохын тулд. Пеано муруйн хэмжээсийг тооцоолохыг хичээцгээе. Тиймээс бид X урттай гурван сегментээс бүрдэх анхны шугамыг 9 сегментээр гурав дахин богино сольсон байна. Тиймээс хамгийн бага сегментийг 3 дахин нэмэгдүүлэхэд бүх шугамын урт 9 дахин нэмэгдэж, D = log (9) / log (3) = 2 - хоёр хэмжээст объект !!!

Тиймээс, хамгийн энгийн объектуудаас (сегментүүд) олж авсан зургийн хэмжээ нь эдгээр объектын хэмжээнээс их байвал бид фракталтай харьцаж байна.

Фракталуудыг бүлэгт хуваадаг. Хамгийн том бүлгүүд нь:

Геометрийн фракталууд.

Тэдэнтэй хамт фракталуудын түүх эхэлсэн. Энэ төрлийн фракталыг энгийн геометрийн байгууламжаар олж авдаг. Ихэвчлэн эдгээр фракталуудыг бүтээхдээ дараахь зүйлийг хийдэг: "үр" - аксиом - сегментүүдийн багцыг авдаг бөгөөд үүний үндсэн дээр фрактал бий болно. Дараа нь энэ "үр"-д тодорхой дүрмийг мөрддөг бөгөөд энэ нь түүнийг ямар нэгэн геометрийн дүрс болгон хувиргадаг. Дараа нь энэ зургийн хэсэг бүрт ижил дүрмийг хэрэглэнэ. Алхам бүрээр энэ дүрс улам бүр төвөгтэй болж, хэрэв бид (ядаж оюун ухаандаа) хязгааргүй тооны хувиргалт хийвэл бид геометрийн фрактал авах болно.

Дээр дурдсан Пеано муруй нь геометрийн фрактал юм. Доорх зурагт геометрийн фракталуудын бусад жишээг харуулав (зүүнээс баруун тийш Кох цасан ширхг, Лист, Сиерпинскийн гурвалжин).

Кох цасан ширхгүүд

Хуудас

Сиерпинскийн гурвалжин

Эдгээр геометрийн фракталуудын эхнийх нь Кох цасан ширхгүүд нь маш сонирхолтой бөгөөд нэлээд алдартай юм. Энэ нь тэгш талт гурвалжны үндсэн дээр баригдсан. Мөр бүрийг ___ эхийн 1/3 урттай 4 мөрөөр сольсон байна _ / \ _. Тиймээс давталт бүрт муруйны урт гуравны нэгээр нэмэгддэг. Хэрэв бид хязгааргүй олон давталт хийвэл бид фрактал - хязгааргүй урттай Кох цасан ширхгийг олж авна. Бидний хязгааргүй муруй хязгаарлагдмал талбайг хамардаг нь харагдаж байна. Евклидийн геометрийн арга, хэлбэрийг ашиглан ижил зүйлийг хийхийг хичээ.

Кох цасан ширхгийн хэмжээ (цас 3 дахин өсөхөд түүний урт 4 дахин нэмэгддэг) D = log (4) / log (3) = 1.2619 ...

L-систем гэж нэрлэгддэг систем нь геометрийн фракталуудыг бүтээхэд маш тохиромжтой. Эдгээр системүүдийн мөн чанар нь системийн тэмдэгтүүдийн тодорхой багц байдаг бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь тодорхой үйлдэл, тэмдэгт хувиргах дүрмийг илэрхийлдэг. Жишээлбэл, Fractint программ дахь L-Systems ашиглан Кох цасан ширхгийг дүрслэх

; Манделбротын "Байгалийн фрактал геометр" номоос Адриан МарианоКох1 ( Эргэлтийн өнцгийг 360/6 = 60 градусаар тохируулна ууӨнцөг 6 ; Барилга угсралтын эхний зураг F - F - F аксиом ; Тэмдэгт хувиргах дүрэм F = F + F - F + F)

Энэхүү тайлбарт тэмдгүүдийн геометрийн утгыг дараах байдлаар харуулав.

F нь зурах шугам + цагийн зүүний дагуу эргэх - цагийн зүүний эсрэг эргэх гэсэн үг юм

Фракталуудын хоёрдахь шинж чанар нь өөртэйгөө төстэй байдал юм. Жишээлбэл, Сиерпинскийн гурвалжинг ав. Үүнийг тэгш талт гурвалжны төвөөс барихын тулд гурвалжинг "хайруулна". Бид үүссэн гурван гурвалжинд (төв гурвалжнаас бусад) ижил процедурыг давтаж, мөн төгсгөлгүй үргэлжлүүлнэ. Хэрэв бид одоо үүссэн гурвалжнуудаас аль нэгийг нь аваад томруулж үзвэл бүхэл бүтэн хуулбарыг авах болно. Энэ тохиолдолд бид өөртэйгөө ижил төстэй байдалтай тулгардаг.

Энэ нийтлэл дэх фрактал зургуудын ихэнхийг Fractint программ ашиглан авсан гэдгийг би шууд хэлэх болно. Хэрэв та фрактал сонирхдог бол энэ программ юм байх ёстойЧиний төлөө. Түүний тусламжтайгаар та хэдэн зуун өөр фрактал бүтээж, тэдгээрийн талаар дэлгэрэнгүй мэдээлэл авч, фракталууд хэрхэн сонсогдож байгааг ч сонсох боломжтой;).

Хөтөлбөрийг сайн гэж хэлэх нь юу ч хэлэхгүй байх явдал юм. Нэг зүйлийг эс тооцвол гайхалтай - хамгийн сүүлийн үеийн 20.0 хувилбар нь зөвхөн DOS-д зориулагдсан :(. Та энэ програмыг (хамгийн сүүлийн хувилбар 20.0) http://spanky.fractint.org/www/fractint/fracint.html хаягаас олж болно.

Сэтгэгдэл үлдээх

Сэтгэгдэл (1)

За, зуушны хувьд, сонирхолтой жишээ Microsoft Excel A2 ба B2 нүднүүд нь 0-ээс 1-ийн хооронд ижил утгатай байна. 0.5 утгад ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй.

Сайн байцгаана уу Фраталын зурган дээр прог хийж чадсан бүх хүмүүстээ. 2800 мГ-тай чулуун дээр 100,000 dt давталттай 3d max субстрат бүхий оймын фракталуудыг цэвэрлэхэд ямар мөчлөгийн аргыг ашиглах нь илүү дээр болохыг хэн надад хэлж чадах вэ?

Луугийн муруй зурах программтай эх код бас фрактал байдаг.

Нийтлэл бол гайхалтай. Мөн хуучин үслэг мод нь магадгүй копроцессорын алдаа байж магадгүй (сүүлийн доод эрэмбийн битүүд дээр)

Фрактал хэрхэн нээгдсэн бэ

Фрактал гэж нэрлэгддэг математик хэлбэрүүд нь нэрт эрдэмтэн Бенуа Манделбротын суут ухаанд хамаардаг. Тэрээр амьдралынхаа ихэнх хугацаанд АНУ-ын Йелийн их сургуульд математикийн хичээл заажээ. 1977-1982 онд Манделброт "фрактал геометр" буюу "байгалийн геометр"-ийн судалгаанд зориулагдсан шинжлэх ухааны бүтээлүүдийг хэвлүүлсэн бөгөөд тэрээр санамсаргүй мэт санагдах математик хэлбэрүүдийг бүрдүүлэгч элементүүд болгон хувааж, нягт нямбай судалсны дараа дахин давтагддаг байсан бөгөөд энэ нь "фрактал геометр" эсвэл "байгалийн геометр"-ийг судлахад зориулагдсан болно. хуулбарлах тодорхой загвар ... Манделбротын нээлт нь физик, одон орон, биологийн хөгжилд чухал үр дагавартай байв.

Байгаль дахь фракталууд

Байгальд олон объектууд фрактал шинж чанартай байдаг, жишээлбэл: модны титэм, цэцэгт байцаа, үүл, хүн, амьтны цусны эргэлтийн болон цулцангийн систем, талстууд, цасан ширхгүүд, тэдгээрийн элементүүд нь нэг цогц бүтэц, эрэг дээр байрладаг (фрактал ойлголтыг эрдэмтэд зөвшөөрсөн. Британийн арлуудын эргийн шугам болон бусад урьд нь хэмжээлшгүй объектуудыг хэмжих).

Цэцэгт байцааны бүтцийг авч үзье. Хэрэв та цэцгийн аль нэгийг нь огтолж авбал таны гарт ижил цэцэгт байцаа үлдэх нь ойлгомжтой, зөвхөн жижиг хэмжээтэй. Та микроскопоор ч гэсэн дахин дахин зүсэж болно, гэхдээ бид зөвхөн цэцэгт байцааны жижигхэн хуулбарыг олж авдаг. Энэ хамгийн энгийн тохиолдолд фракталын жижиг хэсэг ч гэсэн бүхэл бүтэн бүтцийн талаархи мэдээллийг агуулдаг.

Дижитал технологи дахь фракталууд

Фрактал геометр нь дижитал хөгжмийн салбарт шинэ технологийг хөгжүүлэхэд үнэлж баршгүй хувь нэмэр оруулж, дижитал дүрсийг шахах боломжтой болгосон. Одоо байгаа фрактал дүрсийг шахах алгоритмууд нь дижитал зургийн оронд шахаж буй дүрсийг хадгалах зарчим дээр суурилдаг. Шахсан зургийн хувьд үндсэн зураг нь тогтмол цэг хэвээр үлдэнэ. Майкрософт нэвтэрхий толь бичгээ нийтлэхдээ энэ алгоритмын нэг хувилбарыг ашигласан боловч нэг шалтгааны улмаас энэ санаа өргөн тархаагүй байв.

Фрактал графикийн математик үндэс нь фрактал геометр бөгөөд анхны "эцэг эх объект" -ээс өв залгамжлах зарчмыг "зураг-өв залгамжлагч"-ыг бий болгох аргын үндсэн дээр байрлуулсан байдаг. Фрактал геометр ба фрактал графикийн тухай ойлголтууд ердөө 30-аад жилийн өмнө гарч ирсэн боловч компьютерийн дизайнерууд болон математикчид аль хэдийн баттай тогтоогджээ.

Фрактал компьютер графикийн үндсэн ойлголтууд нь:

• Фрактал гурвалжин - фрактал дүрс - фрактал объект (буурах дарааллаар шатлал)
• Фрактал шугам
• Фрактал найрлага
• "Эцэг эх объект" ба "Зөв залгамжлагч объект"

Вектор болон 3D графикийн нэгэн адил фрактал дүрсийг бүтээхдээ математикийн тооцоолол хийдэг. Эхний хоёр төрлийн графикаас гол ялгаа нь фрактал дүрсийг тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийн дагуу бүтээдэг - бүх тооцооллыг гүйцэтгэхийн тулд компьютерийн санах ойд зөвхөн томъёог хадгалах шаардлагагүй бөгөөд ийм нягтралтай байдаг. Математикийн аппаратын ачаар энэ санааг компьютер графикт ашиглах боломжтой болсон. Тэгшитгэлийн коэффициентийг зүгээр л өөрчилснөөр та огт өөр фрактал дүрсийг хялбархан олж авах боломжтой - хэд хэдэн математикийн коэффициентийг ашиглан маш нарийн төвөгтэй хэлбэрийн гадаргуу, шугамыг тохируулсан бөгөөд энэ нь хэвтээ ба босоо, тэгш хэм, тэгш бус байдал гэх мэт найрлагын техникийг хэрэгжүүлэх боломжийг олгодог. , диагональ чиглэл гэх мэт.

Фракталыг хэрхэн яаж барих вэ?

Фрактал бүтээгч нь нэгэн зэрэг зураач, гэрэл зурагчин, барималч, эрдэмтэн зохион бүтээгчийн үүргийг гүйцэтгэдэг. "Эхнээс нь" зураг бүтээх ажил ямар үе шаттай вэ?

• зургийн хэлбэрийг математикийн томъёогоор тохируулна
• үйл явцын нэгдмэл байдлыг судлах, түүний параметрүүдийг өөрчлөх
• зургийн төрлийг сонгоно уу
• өнгөний палитр сонгох

Фрактал график засварлагч болон бусад зүйлсийн дунд график програмуудялгаж болно:

• "Урлаг сонирхогч"
• "Зураач" (компьютергүй бол ямар ч зураач зөвхөн харандаа, бийр үзэгний тусламжтайгаар програмистуудын тавьсан боломжид хүрч чадахгүй)
• "Adobe Photoshop" (гэхдээ энд зургийг "эхнээс нь" бүтээгээгүй, дүрмээр бол зөвхөн боловсруулсан болно)

Дурын фрактал геометрийн дүрсийн төхөөрөмжийг авч үзье. Түүний төвд хамгийн энгийн элемент байдаг - "фрактал" гэсэн ижил нэртэй ижил талт гурвалжин. Хажуугийн дунд хэсэгт анхны фрактал гурвалжны хажуугийн гуравны нэгтэй тэнцэх талтай тэгш талт гурвалжнуудыг байгуул. Хоёрдахь үеийн өв залгамжлагчид болох жижиг гурвалжингууд ч гэсэн ижил зарчмаар бүтээгдсэн байдаг - гэх мэт. Үүссэн объектыг "фрактал дүрс" гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн дарааллаас бид "фрактал найрлага" -ыг олж авдаг.

Эх сурвалж: http://www.iknowit.ru/

Фракталууд ба эртний мандалууд

Энэ бол мөнгө татах мандал юм. Улаан өнгө нь мөнгөний соронз шиг ажилладаг гэж үздэг. Чимэглэсэн хээ нь юуг ч сануулахгүй юу? Тэд надад их танил санагдсан тул би мандалыг фрактал болгон судалж эхэлсэн.

Зарчмын хувьд мандала бол нарийн төвөгтэй бүтцийн геометрийн бэлгэдэл бөгөөд үүнийг Орчлон ертөнцийн загвар, "сансар огторгуйн газрын зураг" гэж тайлбарладаг. Энэ бол хугарлын анхны шинж тэмдэг юм!

Тэдгээр нь даавуун дээр хатгамал, элсэн дээр будаж, өнгөт нунтагаар хийгдсэн, металл, чулуу, модоор хийгдсэн байдаг. Гялалзсан, сэтгэл татам дүр төрх нь Энэтхэгийн сүм хийдийн шал, хана, таазны гоёмсог чимэглэл болдог. Эртний Энэтхэг хэлээр "мандала" гэдэг нь орчлон ертөнцийн оюун санааны болон материаллаг энергийн харилцан уялдаатай ид шидийн тойрог буюу өөрөөр хэлбэл амьдралын цэцэг гэсэн утгатай.

Би фрактал мандалуудын талаар маш жижиг, хамгийн бага догол мөр бүхий тойм бичихийг хүссэн нь харилцаа нь тодорхой байгааг харуулсан. Гэсэн хэдий ч мэдлэг олж, фрактал, мандалуудын талаархи мэдээллийг нэг цогц болгон холбохыг хичээж байхдаа би үл мэдэгдэх орон зай руу квант үсрэлт хийх мэдрэмжийг мэдэрсэн.

Би энэ сэдвийн хэмжээлшгүй байдлыг ишлэлээр харуулж байна: "Ийм фрактал найрлага эсвэл мандалуудыг уран зураг, ажиллаж, амьдрах байрны дизайны элементүүд, өмсдөг сахиус, видео бичлэг, компьютерийн программ хэлбэрээр ашиглаж болно ... "Ер нь фракталуудыг судлах сэдэв бол ердөө л асар том юм.

Би нэг зүйлийг баттай хэлж чадна, дэлхий ертөнц бидний оюун санааны энэ талаарх муу санаанаас хамаагүй олон янз, баялаг юм.

Фрактал далайн амьтад

Фрактал далайн амьтдын талаарх миний таамаг үндэслэлгүй байсан. Энд анхны төлөөлөгчид байна. Наймаалж бол цефалоподын ангилалаас гаралтай далайн ёроолын амьтан юм.

Энэ зургийг харахад түүний биеийн фрактал бүтэц, энэ амьтны бүх найман тэмтрүүл дээрх хөхүүл нь надад тод харагдаж байв. Насанд хүрсэн наймалжны тэмтрүүл дээрх сорох аяга 2000 хүрдэг.

Сонирхолтой баримт бол наймалж нь гурван зүрхтэй байдаг: нэг нь (үндсэн) хөх цусыг биеийн бүхэлд нь хөдөлгөдөг, нөгөө хоёр нь заламгайгаар цусыг шахдаг. Далайн гүний фракталуудын зарим нь хортой байдаг.

Наймаалж нь хүрээлэн буй орчиндоо дасан зохицож, дасан зохицож, өнгөө хувиргах маш ашигтай чадвартай байдаг.

Наймаалжуудыг бүх сээр нуруугүй амьтдаас хамгийн ухаантай гэж үздэг. Тэд хүмүүсийг мэддэг, тэднийг тэжээдэг хүмүүст дасдаг. Сургахад хялбар, ой санамж сайтай, геометрийн дүрсийг хүртэл ялгаж чаддаг наймалжуудыг харахад сонирхолтой байх болно. Гэхдээ эдгээр фрактал амьтдын нас богино настай - дээд тал нь 4 жил.

Хүн энэ амьд фрактал болон бусад цефалоподуудын бэхийг ашигладаг. Тэднийг удаан эдэлгээтэй, үзэсгэлэнтэй бор өнгөөрөө зураачид эрэлхийлдэг. Газар дундын тэнгисийн хоолонд наймалж нь В3, В12 витамин, кали, фосфор, селенийн эх үүсвэр юм. Гэхдээ та эдгээр далайн фракталуудыг идэж таашаал авахын тулд хоол хийх чадвартай байх ёстой гэж би бодож байна.

Дашрамд хэлэхэд наймалж бол махчин амьтан гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Фрактал тэмтрүүлээрээ тэд олзоо нялцгай биет, хавч хэлбэрт, загас хэлбэрээр барьдаг. Ийм сайхан нялцгай биет эдгээр далайн фракталуудын хоол болдог бол харамсалтай. Миний бодлоор энэ бол далайн хаант улсын фракталуудын ердийн төлөөлөгч юм.

Энэ бол дунгийн хамаатан, ходоодны хөлт нудибранч нялцгай биет Glaucus, aka Glaucus, aka Glaucus atlanticus, aka Glaucilla marginata. Энэ фрактал нь усны гадаргын дор амьдарч, хөдөлж, гадаргуугийн хурцадмал байдалд баригдаж байгаагаараа ер бусын юм. Учир нь нялцгай биетэн нь гермафродит бөгөөд дараа нь "хамтрагч" хоёулаа хосолсоны дараа өндөглөдөг. Энэхүү фрактал нь халуун орны бүсийн бүх далайд байдаг.

Далайн хаант улсын фракталууд

Бидний хүн нэг бүр амьдралдаа дор хаяж нэг удаа гартаа барьж, жинхэнэ хүүхдийн сонирхлоор далайн бүрхүүлийг шалгаж үзсэн.

Ихэвчлэн хясаа нь далайн аялалыг санагдуулдаг сайхан бэлэг дурсгалын зүйл юм. Сээр нуруугүй амьтдын нялцгай биетүүдийн спираль хэлбэртэй хэлбэрийг харахад түүний фрактал шинж чанарт эргэлзэх зүйл алга.

Хүмүүс бид эдгээр зөөлөн биетэй нялцгай биетүүдийг зарим талаараа санагдуулдаг бөгөөд тохилог бетонон фрактал байшинд амьдардаг, хурдан машинд биеэ байрлуулж, хөдөлгөдөг.

Фрактал усан доорх ертөнцийн өөр нэг ердийн төлөөлөгч бол шүрэн юм.
Байгальд 3500 гаруй төрлийн шүрэн байдаг бөгөөд тэдгээрийн палитрт 350 хүртэлх өнгөт сүүдэр ялгардаг.

Шүрэн бол сээр нуруугүйтний гэр бүлийн шүрэн полипийн колонийн араг ясны материал юм. Тэдний асар их хуримтлал нь бүхэл бүтэн шүрэн хадыг бүрдүүлдэг бөгөөд үүсэх фрактал арга нь тодорхой юм.

Шүрэн далайн хаант улсаас фрактал гэж итгэлтэйгээр нэрлэж болно.

Түүнчлэн хүмүүс үүнийг бэлэг дурсгалын зүйл, үнэт эдлэл, гоёл чимэглэлийн түүхий эд болгон ашигладаг. Гэхдээ фрактал байгалийн гоо үзэсгэлэн, төгс төгөлдөр байдлыг давтах нь маш хэцүү байдаг.

Яагаад ч юм олон фрактал амьтад усан доорх ертөнцөөс олдоно гэдэгт эргэлзэхгүй байна.

Дахин нэг удаа гал тогооны өрөөнд хутга, хайчлах самбар барин зан үйл хийж, хутгаа хүйтэн усанд унагаж, нүдэн дээр минь бараг өдөр бүр гарч ирдэг нулимсны фракталтай хэрхэн харьцах талаар дахин нулимс урсгав.

Фракталийн зарчим нь алдартай матрешка - үүрлэхтэй адил юм. Тийм ч учраас фракталийг шууд анзаардаггүй. Үүнээс гадна, цайвар жигд өнгө, түүний байгалийн чадварыг бий болгодог тав тухгүй байдалорчлон ертөнцийг сайтар ажиглах, фрактологийн математик хуулиудыг тодорхойлоход хувь нэмэр оруулахгүй.

Гэхдээ голт бор ногоон сонгино нь өнгө, нулимсны фитонцид агуулаагүй тул энэ ногооны байгалийн фрактал байдлын талаар эргэцүүлэн бодоход хүргэсэн. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь энгийн фрактал, янз бүрийн диаметртэй энгийн тойрог, бүр хамгийн анхдагч фрактал гэж хэлж болно. Гэхдээ бөмбөгийг манай орчлон ертөнцөд хамгийн тохиромжтой геометрийн дүрс гэж үздэгийг санахад гэмгүй.

Сонгины ашигтай шинж чанаруудын талаар Интернетэд олон нийтлэл нийтлэгдсэн боловч ямар нэгэн байдлаар хэн ч энэхүү байгалийн сорьцыг фракталийн үүднээс судлахыг оролдоогүй. Гал тогоондоо сонгино хэлбэрээр фрактал ашиглах нь ашиг тустай болохыг би зөвхөн хэлж чадна.

P.S. Би аль хэдийн фрактал нунтаглах зориулалттай хүнсний ногоо таслагч худалдаж авсан. Одоо та энгийн цагаан байцаа шиг эрүүл хүнсний ногоо ямар фрактал болохыг бодох хэрэгтэй. Ижил үүрлэх зарчим.

Ардын урлаг дахь фракталууд

Дэлхийд алдартай "Матрёшка" тоглоомын түүх миний анхаарлыг татсан. Нарийвчлан харвал энэ бэлэг дурсгалын тоглоом нь ердийн фрактал гэж бид итгэлтэйгээр хэлж чадна.

Модон тоглоомын бүх дүрсийг хооронд нь байрлуулаагүй, эгнүүлэн байрлуулсан тохиолдолд фракталийн зарчим нь тодорхой юм.

Энэхүү фрактал тоглоомын дэлхийн зах зээл дээр гарч ирсэн түүхийн талаархи миний жижиг судалгаагаар энэ гоо үзэсгэлэн нь Япон үндэстэй болохыг харуулсан. Матрешка бол Оросын анхны бэлэг дурсгалын зүйл гэж тооцогддог байв. Гэвч тэр нэгэн цагт Японоос Москвад авчирсан өвгөн Фукурумын Японы барималын эх загвар болох нь тогтоогджээ.

Гэхдээ Оросын тоглоомын урлал нь Японы энэхүү барималд дэлхийн алдар нэрийг авчирсан юм. Тоглоомыг фрактал үүрлэх санаа хаанаас ирсэн нь миний хувьд нууц хэвээр үлдэв. Энэ тоглоомыг зохиогч нь бие биендээ дүрсүүдийг үүрлэх зарчмыг ашигласан байх магадлалтай. Хавсаргах хамгийн хялбар арга бол өөр өөр хэмжээтэй ижил төстэй дүрсүүд бөгөөд энэ нь аль хэдийн фрактал юм.

Судалгааны нэгэн адил сонирхолтой объект бол фрактал тоглоомын зураг юм. Энэ бол гоёл чимэглэлийн зураг юм - хохлома. Хохломагийн уламжлалт элементүүд нь цэцэг, жимс, мөчрүүдийн ургамлын хэв маяг юм.

Дахин хэлэхэд, фракталийн бүх шинж тэмдэг. Эцсийн эцэст, нэг элементийг өөр өөр хувилбар, хувь хэмжээгээр хэд хэдэн удаа давтаж болно. Үр дүн нь ардын фрактал зураг юм.

Хэрэв та компьютерийн хулгана, зөөврийн компьютерын бүрээс, утасны шинэ уран зургаар хэнийг ч гайхшруулахгүй бол ардын хэв маягаар автомашины фрактал тааруулах нь авто дизайн дахь шинэ зүйл юм. Фракталуудын ертөнц бидний амьдралд ийм ер бусын байдлаар бидний хувьд ийм энгийн зүйлээр илэрч байгаад гайхах л үлдлээ.

Гал тогооны өрөөний фракталууд

Буцалж буй усанд цайруулахын тулд цэцэгт байцааг жижиг баг цэцэгтэй болгох болгондоо би энэ сорьцыг гартаа авах хүртлээ фрактизмын илэрхий шинж тэмдгүүдэд нэг ч удаа анхаарал хандуулаагүй.

Миний гал тогооны ширээн дээр ердийн ургамлын фрактал байсан.

Цэцэгт байцаанд хайртай байхдаа би үргэлж фрактал шинж тэмдэггүй жигд гадаргуутай сорьцуудтай тааралддаг байсан бөгөөд бие биендээ үүрлэсэн олон тооны баг цэцэгтэй байсан ч энэ ашигтай ногооны фракталыг олж харах шалтгаан надад өгсөнгүй.

Гэхдээ тодорхой фрактал геометр бүхий энэхүү сорьцын гадаргуу нь энэ төрлийн байцааны фрактал гарал үүслийн талаар өчүүхэн ч эргэлзээ төрүүлээгүй.

Гипермаркет руу хийсэн өөр нэг аялал нь зөвхөн байцааны фрактал байдлыг баталгаажуулсан. Маш олон тооны чамин хүнсний ногооны дунд бүхэл бүтэн хайрцаг фрактал байсан. Энэ нь Романеску буюу Романескийн цэцэгт байцааны цэцэгт байцаа байсан.

Дизайнерууд болон 3D зураачид түүний чамин, фрактал хэлбэртэй хэлбэрийг биширдэг нь харагдаж байна.

Байцааны нахиа логарифмын спираль хэлбэрээр ургадаг. Романеску байцааны тухай анх 16-р зуунд Италиас дурдсан байдаг.

Брокколи байцаа нь миний хоолны дэглэмд байнга ордоггүй, гэхдээ шим тэжээл, ул мөр элементийн агууламжаараа заримдаа цэцэгт байцааг давж гардаг. Гэхдээ түүний гадаргуу, хэлбэр нь маш жигд тул дотор нь хүнсний ногооны фрактал харагдах нь надад огт санаанд орж байгаагүй.

Квиллинг дэх фракталууд

Квиллинг ашиглан ил гар урлал хийхийг хараад надад ямар нэгэн зүйлийг санагдуулдаг гэсэн мэдрэмжийг би хэзээ ч орхисонгүй. Янз бүрийн хэмжээтэй ижил элементүүдийг давтах - мэдээжийн хэрэг, энэ нь фракталийн зарчим юм.

Квиллинг хийх дараагийн мастер ангиудыг үзсэний дараа квиллингийн хугарлын талаар эргэлзэх зүйл байсангүй. Үнэн хэрэгтээ гар урлалын янз бүрийн элементүүдийг үйлдвэрлэхэд янз бүрийн диаметртэй тойрог бүхий тусгай захирагч ашигладаг. Бүтээгдэхүүний бүх гоо үзэсгэлэн, өвөрмөц байдлын хувьд энэ бол гайхалтай энгийн арга юм.

Квилл хийх гар урлалын бараг бүх үндсэн элементүүдийг цаасан дээрээс хийдэг. Квилл цаасыг үнэ төлбөргүй нөөцлөхийн тулд гэртээ номын тавиурынхаа аудитыг хий. Тэнд та хэд хэдэн тод гялгар сэтгүүлийг олох нь гарцаагүй.

Quilling хэрэгсэл нь энгийн бөгөөд хямдхан байдаг. Та гэрийн оффисын хэрэглэгдэхүүн дотроос сонирхогчийн квиллинг хийхэд хэрэгтэй бүх зүйлийг олох боломжтой.

Квиллингийн түүх Европт 18-р зуунаас эхэлдэг. Сэргэн мандалтын үед Франц, Италийн сүм хийдийн лам нар квиллинг ашиглан номын хавтсыг чимэглэдэг байсан бөгөөд тэдний зохион бүтээсэн цаасан өнхрөх техникийг фрактал гэж сэжиглэж байгаагүй. Өндөр нийгмийн охидууд тусгай сургуулиудад квиллингийн курст хүртэл суралцдаг байв. Ийнхүү энэ техник улс орон, тивд тархаж эхэлсэн юм.

Тансаг чавга хийх энэхүү мастер ангиллын видео квиллингийг "өөрийн гараар хийсэн фрактал" гэж нэрлэж болно. Цаасан фракталуудын тусламжтайгаар Валентины гайхалтай картууд болон бусад олон сонирхолтой зүйлсийг олж авдаг. Эцсийн эцэст, уран зөгнөл нь байгальтай адил шавхагдашгүй юм.

Япончууд амьдралынхаа орон зайн хувьд маш хязгаарлагдмал байдаг тул үүнийг үр дүнтэй ашиглахын тулд чадах бүхнээ хийх ёстой нь хэнд ч нууц биш юм. Такеши Миякава үүнийг хэрхэн үр дүнтэй, гоо зүйн хувьд хийж болохыг харуулж байна. Түүний фрактал хувцасны шүүгээ нь фракталуудыг дизайнд ашиглах нь зөвхөн загварт хүндэтгэл үзүүлэх төдийгүй хязгаарлагдмал орон зайд зохицсон дизайны шийдэл гэдгийг баталж байна.

Тавилгын загварт ашигласан фракталыг бодит амьдрал дээр ашигласан энэ жишээ нь математикийн томьёо, компьютерийн программ дахь фракталууд зөвхөн цаасан дээр бодитой биш гэдгийг надад харуулсан.

Мөн байгаль хаа сайгүй фракталийн зарчмыг ашигладаг юм шиг санагддаг. Та зүгээр л үүнийг сайтар ажиглах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь бүх гайхамшигт элбэг дэлбэг байдал, хязгааргүй оршихуйгаараа өөрийгөө илэрхийлэх болно.

Тэгэхээр фрактал нь энэ олонлогтой төстэй объектуудаас бүрдэх математикийн олонлог юм. Өөрөөр хэлбэл, фрактал дүрсийн жижиг фрагментийг томруулж харвал энэ дүрсийн том хэмжээний хэсэг, тэр ч байтугай бүхэлд нь дүрс харагдах болно. Фракталын хувьд масштаб нэмэгдэх нь бүтцийг хялбаршуулах гэсэн үг биш юм. Тиймээс бүх түвшинд бид адилхан төвөгтэй дүр зургийг харах болно.

Фрактал шинж чанарууд

Дээрх тодорхойлолт дээр үндэслэн фракталыг ихэвчлэн дараах шинж чанаруудын нэг буюу хэд хэдэн шинж чанарыг хангасан геометрийн дүрсээр төлөөлдөг.

Ямар ч томрох үед нарийн төвөгтэй бүтэцтэй;

Ойролцоогоор өөртэйгөө төстэй (хэсгүүд нь бүхэлдээ төстэй);

Илүү топологитой бутархай хэмжээстэй;

Рекурсив аргыг ашиглан бүтээж болно.

Гадаад ертөнц дэх фракталууд

Хэдийгээр "Фрактал" гэсэн ойлголт нь туйлын хийсвэр мэт санагддаг ч энэ үзэгдлийн бодит амьдрал, тэр байтугай практик жишээг та амьдралдаа олон удаа харж болно. Түүнээс гадна, эргэн тойрныхоо ертөнцийг авч үзэх нь гарцаагүй, учир нь тэд фрактал болон түүний шинж чанаруудын талаар илүү сайн ойлголт өгөх болно.

Жишээлбэл, фрактал аргаар хийгдсэн янз бүрийн төхөөрөмжүүдийн антеннуудын үр ашиг нь уламжлалт загварын антеннуудаас 20% илүү өндөр байдаг. Нэмж дурдахад фрактал антенн нь олон төрлийн давтамж дээр нэгэн зэрэг маш сайн гүйцэтгэлтэй ажиллах боломжтой. Тийм ч учраас орчин үеийн гар утаснуудад сонгодог төхөөрөмжийн гадаад антен бараг байдаггүй - сүүлийнх нь утасны хэвлэмэл хэлхээний самбар дээр шууд суурилуулсан дотоод фрактал антенаар солигддог.

Фракталууд хөгжилд ихээхэн анхаарал хандуулсан мэдээллийн технологи... Одоогийн байдлаар фрактал ашиглан янз бүрийн дүрсийг шахах алгоритмууд боловсруулагдсан бөгөөд компьютерийн график объектыг (мод, уулын болон далайн гадаргуу) фрактал аргаар бүтээх аргууд, түүнчлэн зарим сүлжээнд IP хаягийг хуваарилах фрактал систем байдаг.

Эдийн засгийн шинжлэх ухаанд хувьцаа болон валютын ханшийг шинжлэхдээ фракталуудыг ашиглах арга байдаг. Форекс зах зээл дээр арилжаа хийдэг уншигч фрактал шинжилгээг арилжааны терминал дээр хийж байгааг харсан, эсвэл бүр практикт хэрэгжүүлсэн байх.

Мөн хүний ​​зохиомлоор фрактал шинж чанартай объектуудаас гадна байгалийн байгальд ийм олон объект байдаг. Фракталын сайн жишээ бол шүр, далайн хясаа, зарим цэцэг, ургамал (брокколи, цэцэгт байцаа), хүн, амьтны цусны эргэлтийн систем, гуурсан хоолой, шилэн дээр үүссэн хэв маяг, байгалийн талстууд юм. Эдгээр болон бусад олон объектууд нь тодорхой фрактал хэлбэртэй байдаг.

Уншсан зүйлийнхээ бүх зүйлийг ойлгохгүй байгаа бол би тийм ч их бухимддаггүй. Хэрэв энэ сэдэв дараа нь надад ирэхгүй бол энэ нь тийм ч чухал биш юм (наад зах нь миний хувьд). Хэрэв энэ сэдэв гурав дахь удаагаа дахин гарч ирвэл би үүнийг илүү сайн ойлгох шинэ боломжуудтай болно. Фракталууд нь ийм сэдвүүдийн нэг юм. Би тэдний тухай эхлээд Насим Талебын номноос, дараа нь Бенуа Манделбротын номноос илүү дэлгэрэнгүйг олж мэдсэн. Өнөөдөр "фрактал" хүсэлтээр та сайт дээр 20 тэмдэглэл авах боломжтой.

I хэсэг. ЭХ ҮҮСВЭР ҮҮРЭХ АЯЛАЛ

НЭРЛЭХ ГЭДЭГ НЬ МЭДЭЭЛЭХ ГЭДЭГ. 20-р зууны эхээр Анри Пуанкаре: "Нэг үгэнд агуулагдах хүчийг та гайхаж байна. Баптисм хүртэх хүртлээ юу ч хэлж чадахгүй байсан объект энд байна. Гайхамшиг тохиолдохын тулд түүнд нэр өгөхөд хангалттай байсан "(мөн үзнэ үү). 1975 онд Польш гаралтай Францын математикч Бенуа Мандельброт Үгийг эвлүүлж байхдаа ийм зүйл тохиолдсон юм. Латин үгсээс frangere(завсарлага) ба фрактус(тасралтгүй, салангид, бутархай) фрактал үүссэн. Манделброт фракталыг сэтгэл хөдлөлийн сэтгэл хөдлөл, оновчтой хэрэглээг чухалчилдаг брэнд болгон сурталчилж, сурталчилж байв. Тэрээр "Байгалийн фрактал геометр" (1982) зэрэг хэд хэдэн монографи хэвлүүлсэн.

БАЙГАЛЬ БА УРЛАГИЙН ФРАКТАЛ.Манделброт Евклидээс бусад фрактал геометрийн контурыг тодорхойлсон. Энэ ялгаа нь Лобачевский эсвэл Риманы геометрийн адил параллелизмын аксиомд хамаарахгүй. Ялгаа нь Евклидийн үндсэн гөлгөр байдлын шаардлагыг орхисон явдал байв. Зарим объектууд нь барзгар, сүвэрхэг, хуваагдмал шинж чанартай байдаг бөгөөд тэдгээрийн олонх нь "ямар ч хэмжээгээр ижил хэмжээгээр" заасан шинж чанартай байдаг. Байгальд ийм хэлбэрийн хомсдол байдаггүй: наранцэцэг, цэцэгт байцаа, далайн хясаа, оймын мод, цасан ширхгүүд, уулын хагарал, эргийн шугам, фьорд, сталагмит ба сталактит, аянга.

Анхааралтай, ажиглагч хүмүүс зарим хэлбэрийг "ойр эсвэл хол" харах үед давтагдах хэв маягийг харуулдаг болохыг эртнээс анзаарсан. Ийм объект руу ойртоход бид зөвхөн жижиг нарийн ширийн зүйл өөрчлөгдөж байгааг анзаарч, харин хэлбэр нь бүхэлдээ бараг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Үүн дээр үндэслэн фракталыг ямар ч масштабаар давтагдах элементүүдийг агуулсан геометрийн хэлбэр гэж тодорхойлоход хамгийн хялбар байдаг.

ҮЛГЭР, ТОДОРХОЙЛОЛТ.Манделбротын нээсэн хэлбэрүүдийн шинэ давхарга нь дизайнер, архитектор, инженерүүдийн алтны уурхай болжээ. Тоолж баршгүй олон тооны фракталуудыг олон давталтын ижил зарчмын дагуу бүтээдэг. Эндээс фракталыг ямар ч масштабаар давтагдах элементүүдийг агуулсан геометрийн хэлбэр гэж тодорхойлоход хялбар байдаг. Энэхүү геометрийн хэлбэр нь орон нутгийн хувьд өөрчлөгддөггүй (хувиралтгүй), цар хүрээний хувьд өөртэйгөө төстэй бөгөөд хязгаарлагдмал байдлын хувьд салшгүй, жинхэнэ өвөрмөц байдал, ээдрээтэй байдал нь ойртох тусам илчлэгддэг бөгөөд хол зайд энэ нь өөрөө өчүүхэн зүйл юм.

ЧӨТГӨРИЙН ШАТ.Маш хүчтэй цахилгаан дохиог компьютер хооронд өгөгдөл дамжуулахад ашигладаг. Энэ дохио нь салангид байна. Олон шалтгааны улмаас цахилгааны сүлжээнд хөндлөнгийн оролцоо эсвэл дуу чимээ санамсаргүй тохиолдож, компьютер хооронд мэдээлэл дамжуулах үед өгөгдөл алдагдахад хүргэдэг. Өнгөрсөн зууны жараад оны эхээр мэдээлэл дамжуулахад дуу чимээний нөлөөллийг арилгахын тулд Манделбротын оролцсон IBM инженерүүдийн бүлэгт итгэмжлэгдсэн.

Нарийвчилсан дүн шинжилгээ нь нэг ч алдаа бүртгэгдээгүй үе байгааг харуулсан. Инженерүүд нэг цагийн хугацааг онцлон тэмдэглэснээр тэдгээрийн хооронд алдаагүй дохио дамжуулах хугацаа нь бас үе үе, энд хорин минут үргэлжилдэг богино завсарлага байдгийг анзаарчээ. Тиймээс алдаагүй өгөгдөл дамжуулах нь өгөгдлийн багцаар тодорхойлогддог өөр өөр урттаймөн чимээ шуугианыг түр зогсоодог бөгөөд энэ үед дохиог алдаагүй дамжуулдаг. Дээд зэрэглэлийн багцууд нь доод түвшний багцууд юм. Ийм тодорхойлолт нь дээд зэрэглэлийн пакет дахь хамгийн бага зэрэглэлийн пакетуудын харьцангуй байрлал гэх мэт зүйл байдаг гэж үздэг. Туршлагаас харахад пакетуудын эдгээр харьцангуй байршлын магадлалын тархалт нь зэрэглэлээс хамааралгүй болохыг харуулж байна. Энэ өөрчлөгдөөгүй байдал нь цахилгаан дуу чимээний нөлөөн дор өгөгдөл гажуудуулах үйл явцтай ижил төстэй байдлыг харуулж байна. Өгөгдөл дамжуулах явцад дохионы алдаагүй зогсолтыг таслах журам нь цахилгааны инженерүүдийн хувьд шинэ зүйл байсан тул тэдний санаанд ороогүй байж магадгүй юм.

Гэхдээ цэвэр математикийн чиглэлээр суралцдаг Манделброт 1883 онд тайлбарласан Канторын багцыг маш сайн мэддэг байсан бөгөөд нарийн алгоритмын дагуу олж авсан цэгүүдээс тоосыг төлөөлдөг. "Канторын тоос"-ыг бүтээх алгоритмын мөн чанар нь дараах байдалтай байна. Шулуун шугамын сегментийг ав. Сегментийн дунд гуравны нэгийг нь аваад хоёр төгсгөлийг нь үлдээгээрэй. Одоо бид төгсгөлийн сегментүүдтэй ижил үйлдлийг давтах болно. Манделброт энэ нь пакетуудын геометр бөгөөд компьютеруудын хооронд дохио дамжуулахад түр зогсолт хийж байгааг олж мэдсэн. Алдаа хуримтлагдаж байна. Түүний хуримтлалыг дараах байдлаар загварчилж болно. Эхний алхамд бид интервалаас бүх цэгүүдэд 1/2 утгыг, хоёр дахь алхамд 1/4 хүртэлх интервалд, 3/4 утгыг интервалын цэгүүдэд гэх мэт онооно. Эдгээр утгыг алхам алхмаар нийлбэрлэх нь бидэнд "чөтгөрийн шат" гэж нэрлэгддэг шатыг барих боломжийг олгодог (Зураг 1). "Канторын тоос"-ын хэмжүүр нь "алтан харьцаа" эсвэл "Тэнгэрлэг харьцаа" гэж нэрлэгддэг 0.618 ...-тай тэнцүү иррационал тоо юм.

II хэсэг. ФРАКТАЛУУД

МУРГҮЙ ИНЭЭМСЭГЛЭЛ: ФРАКТАЛ ХЭМЖЭЭ.Хэмжээ бол математикаас хол давсан үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Евклид "Эхлэл" номын эхний номонд геометрийн цэг, шулуун, хавтгай гэсэн үндсэн ойлголтуудыг тодорхойлсон. Эдгээр тодорхойлолтууд дээр үндэслэн гурван хэмжээст Евклидийн орон зай гэсэн ойлголт бараг хоёр, хагас мянган жилийн турш өөрчлөгдөөгүй хэвээр байв. Дөрөв, тав ба түүнээс дээш хэмжээст орон зайд олон удаа сээтэгнэх нь үндсэндээ юу ч нэмдэггүй, гэхдээ тэд хүний ​​төсөөлж чадахгүй зүйлтэй тулгардаг. Фрактал геометрийг нээснээр хэмжээсийн үзэл баримтлалд эрс хувьсгал гарсан. Маш олон янзын хэмжээсүүд гарч ирсэн бөгөөд тэдгээрийн дунд зөвхөн бүхэл бүтэн төдийгүй бутархай, бүр үндэслэлгүй хэмжээсүүд ч бий. Мөн эдгээр хэмжээсийг харааны болон мэдрэхүйн танилцуулгад ашиглах боломжтой. Үнэн хэрэгтээ бид нүхтэй бяслагийг хүрээлэн буй орчны загвар болгон хялбархан төсөөлж болох бөгөөд хэмжээ нь хоёроос дээш хэмжээтэй боловч бяслагны нүхний улмаас гуравт хүрдэггүй, энэ нь бяслагны массын хэмжээг бууруулдаг.

Бутархай эсвэл фрактал хэмжигдэхүүнийг ойлгохын тулд бид Ричардсоны парадокс руу ханддаг бөгөөд энэ нь Их Британийн эргийн шугамын урт нь хязгааргүй юм! Луис Фрай Ричардсон Их Британийн эргийн шугамын хэмжсэн уртад масштабын нөлөөллийн талаар гайхаж байв. Контурын зураглалын масштабаас "эрэг орчмын хайрга" масштаб руу шилжихдээ тэрээр хачирхалтай бөгөөд гэнэтийн дүгнэлтэд хүрсэн: эргийн шугамын урт нь тодорхой бус хугацаагаар нэмэгдэж, энэ өсөлт нь хязгааргүй юм. Гөлгөр, муруй шугамууд нь ийм үйлдэл хийдэггүй. Илүү том масштабтай газрын зураг дээр олж авсан Ричардсоны эмпирик өгөгдөл нь хэмжилтийн алхам багасч, эргийн шугамын уртыг нэмэгдүүлэх хууль тогтоомжийг харуулж байна.

Энэхүү энгийн Ричардсоны томъёонд Лэргийн хэмжсэн урт байдаг, ε Хэмжилтийн алхамын хэмжээ, β ≈ 3/2 нь түүний олсон хэмжилтийн алхамын бууралтаар эргийн уртын өсөлтийн зэрэг юм. Тойрогоос ялгаатай нь Их Британийн эргийн шугамын урт нь 55 хязгаараас давж байна. Энэ нь төгсгөлгүй юм! Бид муруй нь эвдэрсэн, гөлгөр бус, хязгаарлагдмал урттай байдаггүйтэй эвлэрэх ёстой.

Гэсэн хэдий ч Ричардсоны судалгаанууд нь масштабыг багасгахын хэрээр урт нь хэр зэрэг нэмэгдэж байгааг харуулсан тодорхой хэмжүүртэй болохыг санал болгосон. Чухамхүү энэ үнэ цэнэ нь тасархай зураасыг хүний ​​зан чанарын хурууны хээ гэж нууцлаг байдлаар тодорхойлдог болох нь тогтоогджээ. Манделброт эргийн шугамыг фрактал объект буюу хэмжээс нь β экспоненттай давхцаж буй объект гэж тайлбарлав.

Жишээлбэл, Норвегийн баруун эргийн эргийн хилийн муруйн хэмжээс нь 1.52; Их Британийн хувьд - 1.25; Германы хувьд - 1.15; Австралийн хувьд - 1.13; Өмнөд Африкийн харьцангуй гөлгөр эрэгт - 1.02, эцэст нь төгс гөлгөр тойрогт - 1.0.

Фракталын хэлтэрхийг харахад түүний хэмжээ ямар байхыг хэлж чадахгүй. Үүний шалтгаан нь фрагментийн геометрийн нарийн төвөгтэй байдалд биш, фрагмент нь маш энгийн байж болох ч фрактал хэмжээс нь зөвхөн фрагментийн хэлбэрийг төдийгүй бүтээх явцад фрагментийн хувиргах форматыг тусгадагт оршино. фрактал. Фрактал хэмжээс нь маягтаас хасагдсан мэт. Үүнээс үүдэн фрактал хэмжигдэхүүний утга өөрчлөгддөггүй бөгөөд судалгааны аль ч масштаб дахь фракталын аль ч фрагментийн хувьд ижил байна. Үүнийг "хуруугаараа барьж" чадахгүй ч тооцоолж болно.

ФРАКТАЛ ДАВТАЛТ.Давталтыг шугаман бус тэгшитгэл ашиглан загварчилж болно. Шугаман тэгшитгэлүүд нь хувьсагчдын нэгийг харгалзах харьцаагаар тодорхойлогддог: утга тус бүр NSнэг бөгөөд зөвхөн нэг утгатай таарч байна цагтмөн эсрэгээр. Жишээлбэл, x + y = 1 тэгшитгэл нь шугаман байна. Шугаман функцүүдийн зан төлөв нь бүрэн тодорхойлогддог бөгөөд анхны нөхцлөөр тодорхойлогддог. Хоёр өөр анхны нөхцөл нь ижил үр дүнд хүргэж болзошгүй тул шугаман бус функцүүдийн үйлдэл нь тийм ч хоёрдмол утгагүй юм. Үүний үндсэн дээр үйлдлийн давталтын давталт нь хоёр өөр хэлбэрээр гарч ирдэг. Энэ нь тооцооллын алхам бүрт анхны нөхцөл рүү буцах үед шугаман лавлагааны шинж чанартай байж болно. Энэ бол нэг төрлийн "загварын давталт" юм. Туузан дамжуулагч дээр цуваа үйлдвэрлэх нь "загварын давталт" юм. Шугаман лавлагааны формат дахь давталт нь системийн хувьслын завсрын төлөвөөс хамаардаггүй. Энд шинэ давталт бүр нь зуухнаас эхэлдэг. Давталт нь рекурсын форматтай, өөрөөр хэлбэл өмнөх давталтын алхамын үр дүн дараагийнх нь анхны нөхцөл болох нь огт өөр асуудал юм.

Рекурсийг Жирард дараалал хэлбэрээр дүрсэлсэн Фибоначчийн цувралаар дүрсэлж болно.

u n +2 = u n +1 + u n

Үр дүн нь Фибоначчийн тоо юм:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Энэ жишээн дээр уг функцийг анхны утгыг харгалзахгүйгээр өөртөө хэрэглэж байгаа нь тодорхой харагдаж байна. Энэ нь Фибоначчийн цувралын дагуу гулсдаг бөгөөд өмнөх давталтын үр дүн бүр дараагийн давталтын анхны утга болдог. Энэ давталт нь фрактал дүрсийг бүтээхэд хэрэгждэг.

"Сиерпинскийн салфетка" (зүсэх арга ба CIF аргыг ашиглан) бүтээх алгоритмд фрактал давталт хэрхэн хэрэгжиж байгааг харуулъя.

Таслах арга.Хажуу талтай тэгш талт гурвалжинг ав r... Эхний алхамд бид түүний голд хажуугийн уртыг эргүүлсэн тэгш талт гурвалжинг хайчилж авав. r 1 = r 0/2. Энэ алхамын үр дүнд бид хажуугийн урттай гурван тэгш талт гурвалжинг олж авна r 1 = r 0/2, анхны гурвалжны оройн хэсэгт байрладаг (Зураг 2).

Хоёрдахь алхам дээр үүссэн гурван гурвалжин тус бүрт хажуугийн урттай урвуу бичээстэй гурвалжинг хайчилж авав. r 2 = r 1 /2 = r 0/4. Үр дүн - хажуугийн урттай 9 гурвалжин r 2 = r 0/4. Үүний үр дүнд Sierpinski салфетка хэлбэр нь аажмаар улам бүр тодорхой болж байна. Бэхэлгээ нь алхам бүрт тохиолддог. Өмнөх бүх амлалтууд нь яг л "арчигдаж" байдаг.

SIF арга буюу Барнслигийн давтагдсан функцын системийн арга.Өгөгдсөн: A (0,0), B (1,0), C (1/2, √3 / 2) өнцгүүдийн координат бүхий тэгш талт гурвалжин. Z 0 - энэ гурвалжин доторх дурын цэг (Зураг 3). Бид шоо авдаг бөгөөд түүний ирмэг дээр A, B, C гэсэн хоёр үсэг байна.

Алхам 1. Ясыг өнхрүүл. Үсэг бүр унах магадлал 2/6 = 1/3 байна.

• Хэрэв А үсэг хасагдсан бол бид z 0 –A сегментийг байгуулж, дундуур нь z 1 цэг тавина.
• Хэрэв В үсэг унавал z 0 –B сегментийг байгуулж, дундуур нь z 1 цэг тавина.
• Хэрэв C үсэг унавал бид z 0 –C сегментийг байгуулж, дундуур нь z 1 цэг тавина.

Алхам 2. Ясыг дахин өнхрүүл.

• Хэрэв А үсэг хасагдсан бол бид z 1 –A сегментийг байгуулж, дундуур нь z 2 цэг тавина.
• Хэрэв B үсэг унавал z 1 –B сегментийг байгуулж, дундуур нь z 2 цэг тавина.
• Хэрэв C үсэг унавал бид z 1 -C сегментийг барьж, дундуур нь z 2 цэг тавина.

Үйлдлийг олон удаа давтаж, бид z 3, z 4,…, z n оноо авдаг. Тэдний тус бүрийн онцлог нь уг цэг нь өмнөх цэгээс дур зоргоороо сонгосон орой хүртэл яг хагаст байгаа явдал юм. Хэрэв бид эхний цэгүүдийг, жишээлбэл, z 0-ээс z 100 хүртэлх цэгүүдийг хаявал үлдсэн хэсэг нь хангалттай олон тооны хамт "Sierpinski салфетка" бүтцийг бүрдүүлнэ. Илүү олон цэг, давталт их байх тусам Сиерпинскийн фрактал нь ажиглагчид илүү тодорхой болно. Энэ нь үйл явц үргэлжилж байгаа хэдий ч санамсаргүй байдлаар (шооны ачаар) юм шиг санагдаж байна. "Сиерпинскийн салфетка" нь үйл явцын нэг төрлийн татагч, өөрөөр хэлбэл хангалттай олон тооны давталттайгаар энэ үйл явцад баригдсан бүх замууд чиглэдэг дүрс юм. Энэ тохиолдолд зургийг засах нь хуримтлагдах, хуримтлагдах үйл явц юм. Бие даасан цэг бүр нь Сиерпинскийн фракталын цэгтэй хэзээ ч давхцахгүй байх магадлалтай, гэхдээ "санамсаргүй байдлаар" зохион байгуулагдсан энэхүү үйл явцын дараагийн цэг бүр нь "Сиерпинскийн салфетка" -ын цэгүүдэд улам бүр ойртож байдаг.

САНАЛ БҮРТГЭЛ.Кибернетикийг үндэслэгч Норберт Винер санал хүсэлтийн гогцоог тайлбарлахын тулд завины жолоодлогыг жишээ болгон ашигласан. Удирдагч замдаа үлдэж, завь хэр сайн явж байгааг байнга үнэлэх ёстой. Удирдагч завь хазайж байгааг харвал тэр чигээрээ жолоогоо эргүүлнэ. Хэсэг хугацааны дараа тэрээр жолооны тусламжтайгаар аяллын чиглэлийг дахин дахин засдаг. Тиймээс навигаци нь давталт, давталт, завины хөдөлгөөнийг тухайн чиглэл рүү дараалан чиглүүлэх тусламжтайгаар хийгддэг.

Ердийн санал хүсэлтийн гогцоог Зураг дээр үзүүлэв. 4 Энэ нь хувьсах параметрүүд (завьны чиглэл) болон хяналттай параметр С (завь чиглэл) өөрчлөгдөхөд хүргэдэг.

Bernoulli Shift зураглалыг авч үзье. 0-ээс 1 хүртэлх интервалд хамаарах зарим тоог анхны төлөвөөр сонгоё. Энэ тоог хоёртын тооллын системд бичье.

x 0 = 0.01011010001010011001010 ...

Одоо цаг хугацааны хувьслын нэг алхам бол тэг ба нэгийн дарааллыг зүүн тийш нэг байрлалаар шилжүүлж, аравтын бутархайн зүүн талд байгаа цифрийг хаях явдал юм.

x 1 = 0.1011010001010011001010 ...

x 2 = 0.011010001010011001010 ...

x 3 = 0.11010001010011001010 ...

Анхны тоонууд байвал анхаарна уу x 0оновчтой, дараа нь давталтын үед утгууд NSnүе үе тойрог замд орох. Жишээлбэл, 11/24 үрийн хувьд бид давталтын явцад хэд хэдэн утгыг авах болно:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Хэрэв анхны утгууд x 0үндэслэлгүй, дэлгэц хэзээ ч үечилсэн горимд шилжихгүй. Анхдагч утгуудын хүрээ x 0 ∈ нь хязгааргүй олон оновчтой цэгүүд ба хязгааргүй олон иррациональ цэгүүдийг агуулдаг. Ийнхүү үечилсэн тойрог замын нягт нь үечилсэн горимд хэзээ ч ордоггүй тойрог замын нягттай тэнцүү байна. оновчтой үнэ цэнийн аль ч хөрш x 0анхны параметрийн иррациональ утга байна x'0Ийм нөхцөлд анхны нөхцөл байдалд нарийн мэдрэмж төрөх нь гарцаагүй. Энэ нь систем нь динамик эмх замбараагүй байдалд байгаагийн шинж тэмдэг юм.

БҮРДҮҮЛЭХ САНАЛ БИЧГИЙН НУГАС.Харин эсрэгээрээ шаардлагатай нөхцөлмөн хажуу тийшээ харвал гайхшрах үр дагавар. Урвуу гогцооны дүрс нь Мобиусын тууз байж болох бөгөөд тойрог тус бүрээр доод тал нь дээд хэсэг болж, дотор тал нь гаднах ба эсрэгээр болдог. Урвуу үйл явц дахь ялгааны хуримтлал нь эхлээд зургийг анхныхаас нь устгаж, дараа нь буцаж ирдэг. Логикийн хувьд урвуу гогцоо нь Эпименидийн парадоксоор дүрслэгдсэн байдаг: "Бүх Критчууд худалч". Гэвч Эпименид өөрөө Крит хүн байсан.

Хачирхалтай гогцоо.Хачирхалтай гогцооны үзэгдлийн динамик мөн чанар нь олон тооны хэв гажилтын явцад анхны дүр төрхөөс нь улам бүр өөр болж, өөрчлөгдөж, анхны дүр төрх рүүгээ буцаж ирдэг боловч хэзээ ч яг давтдаггүй. Энэ үзэгдлийг тайлбарлахдаа Хофштадтер уг номонд "хачин гогцоо" гэсэн нэр томъёог оруулсан. Тэрээр Эшер, Бах, Годель нар хоёулаа дүрслэх урлаг, хөгжим, математикийн салбарт хачирхалтай гогцоонуудыг олж нээсэн, эсвэл илүү нарийвчлалтай бүтээлүүд болон бүтээлч байдалдаа ашигласан гэж дүгнэжээ. Эшер "Метаморфоз" зохиолдоо бодит байдлын янз бүрийн хавтгайн хачирхалтай уялдаа холбоог олж нээсэн. Уран сайхны хэтийн төлөвийн аль нэг хэлбэр нь өөр уран сайхны хэтийн төлөвийн хэлбэрт хуванцар хэлбэрээр хувирдаг (Зураг 5).

Цагаан будаа. 5. Мавриц Эшер. Гараа зурах. 1948 он

Энэхүү хачирхалтай байдал нь хөгжимд хачирхалтай байдлаар илэрдэг. Бахын "Хөгжмийн өргөл"-ийн нэг хууль ( Canon per Tonos- Тональ канон) нь түүний харагдах төгсгөл нь гэнэтийн байдлаар эхлэл рүү шилжиж, харин түлхүүрийн шилжилттэй байхаар зохион бүтээгдсэн. Эдгээр дараалсан модуляци нь сонсогчийг анхны түлхүүрээс илүү өндөр, өндөрт хүргэдэг. Гэсэн хэдий ч гайхалтайгаар, зургаан модуляцийн дараа бид бараг буцаж ирлээ. Одоо бүх хоолой эхнээсээ яг нэг октав өндөр сонсогдож байна. Цорын ганц хачирхалтай зүйл бол бид тодорхой шатлалын түвшинд авирахдаа бид аялалаа эхлүүлсэн бараг ижил газартаа гэнэт тааралддаг явдал юм. дахин тоглуулахгүй буцна.

Курт Годел математикийн хамгийн эртний бөгөөд эзэмшсэн салбаруудын нэг болох тооны онолоос хачирхалтай гогцоонуудыг нээсэн. Годелийн теорем нь анх 1931 онд Principle Mathematica сэтгүүлд бичсэн "Албан ёсоор шийдэгдээгүй шүүлтийн тухай" өгүүлэлдээ VI теорем гэж өдрийн гэрлийг олж харсан. Теоремд дараахь зүйлийг заасан байдаг: тооны онолын бүх тууштай аксиоматик томъёололд шийдвэрлэх боломжгүй саналууд байдаг. Тооны онолын саналууд нь тооны онолын талаар юу ч хэлдэггүй; Эдгээр нь тооны онолын дүгнэлтээс өөр зүйл биш юм. Энд гогцоо байгаа боловч хачирхалтай зүйл байхгүй. Нотлох баримт дотор хачирхалтай гогцоо нуугдаж байна.

ХАЧИН ТАТАГЧ.Таталцагч (англи хэлнээс. татахтатах) системийн үйл ажиллагааны бүх боломжит траекторийг татах цэг буюу битүү шугам. Татлагч нь тогтвортой, өөрөөр хэлбэл, урт хугацааны туршид татагчийн зан байдлын цорын ганц боломжит загвар, бусад бүх зүйл түр зуурынх юм. Татлагч нь түүний шалтгаан, үр дагавар ч биш, бүх үйл явцыг хамарсан орон зай-цаг хугацааны объект юм. Энэ нь зөвхөн хязгаарлагдмал тооны эрх чөлөөний зэрэгтэй системээр үүсдэг. Татагч нь цэг, тойрог, торус, фрактал байж болно. Сүүлчийн тохиолдолд татагчийг "хачин" гэж нэрлэдэг (Зураг 6).

Цэг татагч нь системийн аливаа тогтвортой байдлыг тодорхойлдог. Фазын орон зайд энэ нь "зангилаа", "фокус" эсвэл "эмээл" -ийн орон нутгийн замнал үүсэх цэг юм. Савлуур ийм байдлаар ажилладаг: ямар ч анхны хурд болон анхны байрлалд, хангалттай хугацааны дараа үрэлтийн нөлөөгөөр дүүжин зогсч, тогтвортой тэнцвэрт байдалд хүрдэг. Дугуй (циклик) татагч нь хамгийн тохиромжтой дүүжин (үрэлтгүй) шиг нааш цааш хөдөлгөөнийг тойрог хэлбэрээр хийдэг.

Хачирхалтай татагч ( хачин татагч)Гаднаас нь харахад хачирхалтай мэт боловч "хачирхалтай татагч" гэсэн нэр томъёо нь 1971 онд Дэвид Руэл, Голландын иргэн Флорис Такенс нарын "Үймээн самуунтай байдлын мөн чанар" нийтлэл гарсны дараа шууд тархсан (мөн үзнэ үү). Руэлле, Такенс хоёр ямар нэгэн татагч нь тогтвортой байдал, хязгаарлагдмал тооны эрх чөлөө, үе үе биш зэрэг тохиромжтой шинж чанаруудтай эсэхийг гайхаж байв. Геометрийн хувьд асуулт нь цэвэр оньсого мэт санагдав. Хязгаарлагдмал орон зайд дүрсэлсэн хязгааргүй урт замнал хэзээ ч давтагдахгүй, огтлолцохгүйн тулд ямар хэлбэртэй байх ёстой вэ? Хэмнэл бүрийг хуулбарлахын тулд тойрог зам нь хязгаарлагдмал талбайн дээгүүр хязгааргүй урт шугам байх ёстой, өөрөөр хэлбэл өөрийгөө залгих ёстой (Зураг 7).

1971 он гэхэд шинжлэх ухааны уран зохиолд ийм татагчийн нэг ноорог аль хэдийн гарч байжээ. Эдвард Лоренц үүнийг детерминист эмх замбараагүй байдлын тухай 1963 оны нийтлэлийнхээ хавсралт болгожээ. Энэхүү татагч нь тогтвортой, тогтмол бус, цөөн тооны эрх чөлөөний зэрэгтэй байсан бөгөөд хэзээ ч өөрийгөө огтолж байгаагүй. Хэрэв ийм зүйл тохиолдож, тэр аль хэдийн давсан цэг рүү буцаж ирвэл хөдөлгөөн нь ирээдүйд давтагдаж, тороид татагч үүсгэх байсан ч тийм зүйл болоогүй.

Татуулагчийн хачирхалтай байдал нь Руэллийн үзэж байгаагаар ижил төстэй бус, гэхдээ практик дээр хамтдаа байдаг гурван шинж чанарт оршдог.

• хуваагдмал байдал (үүрлэх, ижил төстэй байдал, тууштай байдал);
• детерминизм (анхны нөхцөл байдлаас хамаарах);
• онцгой шинж чанарууд (тодорхойлох параметрүүдийн хязгаарлагдмал тоо).

III хэсэг. ФРАКТАЛ ХЭЛБЭРИЙН ГАЙХАЛТАЙ ХӨНГӨЛ

ТӨСӨЛЛӨГДСЭН ТООО, ҮЕИЙН ХӨРӨГ, МАГАДЛАЛ.Фрактал геометр нь төсөөллийн тоон онол, динамик фазын хөрөг зураг, магадлалын онол дээр суурилдаг. Төсөөллийн тооны онол нь хасах нэгийн квадрат язгуур байдаг гэж үздэг. Жероламо Кардано "Их урлаг" ("Арс магна", 1545) бүтээлдээ z 3 + pz + q = 0 куб тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг танилцуулсан. Кардано төсөөллийн тоог язгуурыг илэрхийлэх техникийн формализм болгон ашигладаг. тэгшитгэл. Тэрээр нэгэн хачирхалтай байдлыг анзаарсан бөгөөд үүнийг энгийн тэгшитгэлээр дүрсэлсэн x 3 = 15x + 4. Энэ тэгшитгэл нь нэг тодорхой шийдэлтэй: x = 4. Гэхдээ ерөнхий томъёо нь хачирхалтай үр дүнг өгдөг. Энэ нь сөрөг тооны үндсийг агуулна:

Рафаэль Бомбелли өөрийн алгебрийн номондоо ("L'Algebra", 1560) = 2 ± i гэдгийг онцлон тэмдэглэсэн бөгөөд энэ нь түүнд бодит язгуур х = 4-ийг олж авах боломжийг нэн даруй олгосон юм. Үүнтэй төстэй тохиолдлуудад нийлмэл тоонууд нэгдмэл байх үед бид олж авна. Бодит язгуур, нийлмэл тоо нь куб тэгшитгэлийн шийдийг олж авах үйл явцад техникийн туслах үүрэг гүйцэтгэдэг.

Ньютон нэгийн язгуурыг агуулсан уусмалыг "бие махбодийн хувьд ач холбогдолгүй" гэж үзээд хаях ёстой гэж үздэг. XVII-XVIII зууны үед хийсвэр, сүнслэг, хийсвэр зүйл нь бодит бүх зүйлийг нэгтгэхээс дутуугүй бодитой гэсэн ойлголт бий болсон. Бид 1619 оны арваннэгдүгээр сарын 10-ны өдөр Декарт шинэ сэтгэлгээний тунхаглалыг "cogito ergo sum"-ыг томъёолсон өдрийг хүртэл хэлж болно. Энэ мөчөөс эхлэн бодол бол үнэмлэхүй бөгөөд эргэлзээгүй бодит байдал юм: "Хэрэв би бодож байгаа бол энэ нь би оршин байна гэсэн үг юм"! Бүр тодруулбал, бодлыг одоо бодит байдал гэж ойлгодог болсон. Декартын ортогональ координатын системийн тухай санаа нь зохиомол тоонуудын ачаар бүрэн бүтэн байдлыг олж авдаг. Одоо эдгээр төсөөллийн тоог утгаар дүүргэх боломжтой.

19-р зуунд Эйлер, Арган, Коши, Хамилтон нарын бүтээлүүд комплекс тоонуудтай ажиллах арифметик төхөөрөмжийг боловсруулсан. Аливаа нийлмэл тоог X + iY нийлбэрээр илэрхийлж болно, X ба Y нь бидний дассан бодит тоо бөгөөд битөсөөллийн нэгж (үнэндээ энэ нь √ – 1). Комплекс тоо бүр нь нийлмэл хавтгай гэж нэрлэгддэг координаттай (X, Y) цэгтэй тохирч байна.

Хоёрдахь чухал үзэл баримтлал - динамик системийн фазын зураглал нь XX зуунд бий болсон. Эйнштейн гэрэлтэй холбоотой бүх зүйл ижил хурдтай хөдөлдөг болохыг харуулсны дараа системийн динамик үйлдлийг хөлдөөсөн геометрийн шугам хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийн тухай санааг динамик системийн фазын хөрөг гэж нэрлэв. тодорхой физик утга.

Үүнийг дүүжингийн жишээгээр тайлбарлая. Жан Фуко савлууртай анхны туршилтаа 1851 онд зооринд, дараа нь Парисын ажиглалтын төвд, дараа нь Пантеоны бөмбөгөр дор хийжээ. Эцэст нь 1855 онд Парисын Сен-Мартин-де-Чан сүмийн бөмбөрцөг дор Фукогийн дүүжин дүүжлэв. Фуко дүүжин олсны урт нь 67 м, жин нь 28 кг. Холоос харахад дүүжин нь цэг шиг харагддаг. Цэг нь үргэлж хөдөлгөөнгүй байдаг. Ойролцоогоор бид гурван ердийн траектортой системийг ялгаж үздэг: гармоник осциллятор (sinϕ ≈ ϕ), дүүжин (нааш цааш хэлбэлзэл), сэнс (эргэлт).

Орон нутгийн ажиглагч бөмбөгний хөдөлгөөний гурван боломжит тохиргооны аль нэгийг харсан тохиолдолд процессоос хасагдсан шинжээч бөмбөг гурван ердийн хөдөлгөөний аль нэгийг хийж байна гэж үзэж болно. Үүнийг нэг төлөвлөгөөнд дүрсэлж болно. Бид "утас дээрх бөмбөг" -ийг авч үзэж буй системийн эрх чөлөөний зэрэгтэй адил олон координат бүхий хийсвэр фазын орон зайд шилжүүлнэ гэдэгтэй санал нэгдэх шаардлагатай. Энэ тохиолдолд бид хоёр градусын эрх чөлөөний хурдны тухай ярьж байна vбөмбөлөгтэй утаснуудын налуу өнцөг ϕ босоо. ϕ ба v координатуудад гармоник осцилляторын траектори нь төвлөрсөн тойргийн систем бөгөөд ϕ өнцөг ихсэх тусам эдгээр тойрог нь зууван хэлбэртэй болдог. ϕ = ± π зуувангийн хаалт алдагдсан. Энэ нь дүүжин сэнсний горимд шилжсэн гэсэн үг юм. v = const(зураг 8).

Цагаан будаа. 8. Дүүжин: а) хамгийн тохиромжтой дүүжингийн фазын орон зай дахь траектор; б) сааруулагчтай савлуурын фазын орон зай дахь траектор; в) үе шатны хөрөг зураг

Фазын орон зайд урт, үргэлжлэх хугацаа, хөдөлгөөн байхгүй байж болно. Энд аливаа үйлдлийг урьдчилан өгсөн боловч бүгд хүчинтэй биш юм. Геометрээс үлдсэн бүх зүйл бол хэмжүүр, параметрийн оронд хэмжээс, хэмжээсийн оронд топологи юм. Энд аливаа динамик систем өөрийн гэсэн өвөрмөц дардас, фазын хөрөгтэй байдаг. Тэдний дунд нэлээд хачирхалтай фазын хөрөг зургууд байдаг: нарийн төвөгтэй тул тэдгээрийг нэг параметрээр тодорхойлдог; тэнцүү байх, тэдгээр нь пропорциональ бус; тасралтгүй байх тул тэдгээр нь салангид байдаг. Ийм хачирхалтай фазын хөрөг зураг нь татагчийн фрактал тохиргоотой системүүдийн онцлог шинж юм. Таталцлын төвүүдийн салангид байдал (таталцагч) нь үйл ажиллагааны квантын нөлөө, завсарлага эсвэл үсрэлтийн нөлөөг үүсгэдэг бол замнал нь тасралтгүй байдлыг хадгалж, хачин татагчийн нэг холбогдсон хэлбэрийг үүсгэдэг.

ФРАКТАЛЫН АНГИЛАЛ.Фрактал нь албан ёсны, үйл ажиллагааны болон бэлгэдлийн гэсэн гурван гипостазтай бөгөөд тэдгээр нь хоорондоо ортогональ байдаг. Энэ нь ижил фрактал хэлбэрийг өөр өөр алгоритм ашиглан олж авах боломжтой бөгөөд огт өөр фракталуудын хувьд ижил фрактал хэмжээсийн тоо гарч ирж болно гэсэн үг юм. Эдгээр тэмдэглэгээг харгалзан бид фракталуудыг бэлгэдлийн, албан ёсны болон үйл ажиллагааны шинж чанараар нь ангилдаг.

• бэлгэдлийн хувьд фракталын хэмжээсийн шинж чанар нь бүхэл эсвэл бутархай байж болно;
• албан ёсны үндсэн дээр фракталууд нь навч, үүл шиг уялдаатай, тоос шиг уялдаа холбоогүй байж болно;
• Үйл ажиллагааны үндсэн дээр фракталуудыг ердийн ба стохастик гэж хувааж болно.

Тогтмол фракталуудыг хатуу тодорхойлсон алгоритмын дагуу бүтээдэг. Энэ тохиолдолд барилгын үйл явц буцаах боломжтой. Та бүх үйлдлүүдийг урвуу дарааллаар давтаж, детерминист алгоритмын явцад үүссэн аливаа дүрсийг цэг болгон устгаж болно. Детерминистик алгоритм нь шугаман болон шугаман бус байж болно.

Стохастик утгаараа ижил төстэй стохастик фракталууд нь тэдгээрийн барилгын алгоритм, давталтын явцад аливаа параметрүүд санамсаргүй байдлаар өөрчлөгдөх үед үүсдэг. "Стохастик" гэсэн нэр томъёо нь Грек үгнээс гаралтай стохоз- таах, таамаглах. Стохастик процесс нь өөрчлөлтийн мөн чанарыг нарийн урьдчилан таамаглах боломжгүй үйл явц юм. Фракталууд нь байгалийн хүслээр үүсдэг (чулууны хугарлын гадаргуу, үүл, булингартай урсгал, хөөс, гель, хөө тортогуудын контур, хувьцааны үнэ, голын түвшний өөрчлөлт гэх мэт), геометрийн ижил төстэй байдалгүй боловч байнга үрждэг. фрагмент бүр нь бүхэл бүтэн статистик шинж чанарыг дунджаар. Компьютер нь псевдо санамсаргүй тоонуудын дарааллыг үүсгэж, стохастик алгоритм, дүрсийг шууд дуурайх боломжийг олгодог.

Шугаман Фракталууд.Шугаман фракталууд бүгд тодорхой шугаман алгоритмын дагуу бүтээгдсэн учраас ийм нэртэй болсон. Эдгээр фракталууд нь өөртэйгөө төстэй, масштабын ямар ч өөрчлөлтөд гажууддаггүй, ямар ч үед ялгах боломжгүй байдаг. Ийм фракталуудыг бүтээхийн тулд суурь болон фрагментийг тавихад хангалттай. Эдгээр элементүүд нь хязгааргүй хүртэл багасаж олон удаа давтагдах болно.

Канторын тоос. 19-р зуунд Германы математикч Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1845-1918) математикийн нийгэмлэгт 0-ээс 1 хүртэлх тооны хачирхалтай олонлогийг санал болгов. Уг багц нь заасан интервалд хязгааргүй олон тооны элементүүдийг агуулж байсан ба, үүнээс гадна тэг хэмжээстэй байсан. Санамсаргүй харвасан сум энэ олны нэгийг ч онохгүй байх байсан.

Эхлээд та нэгжийн урттай сегментийг сонгох хэрэгтэй (эхний алхам: n = 0), дараа нь гурван хэсэгт хувааж, дунд гуравны нэгийг (n = 1) хасах хэрэгтэй. Дараа нь бид үүссэн сегмент бүртэй ижил зүйлийг хийх болно. Хязгааргүй олон тооны давталтын үр дүнд бид шаардлагатай "Канторын тоос" багцыг авдаг. Одоо тасархай болон хязгааргүй хуваагдлын хооронд ямар ч эсэргүүцэл байхгүй, "Канторын тоос" нь хоёулаа (1-р зургийг үз). "Канторын тоос" бол фрактал юм. Түүний фрактал хэмжээ нь 0.6304 ...

Нэг хэмжээст Канторын олонлогийн хоёр хэмжээст аналогын нэгийг Польшийн математикч Вацлав Сиерпински дүрсэлсэн байдаг. Үүнийг "Кантор хивс" эсвэл ихэвчлэн "Сиерпински хивс" гэж нэрлэдэг. Тэр яг өөртэйгөө адилхан. Бид түүний фрактал хэмжээсийг ln8 / lnЗ = 1.89 ... гэж тооцоолж болно (Зураг 9).

ОНГОЦЫГ ДҮҮРЭГЧ ШУГАМ.Хавтгайг дүүргэх муруй болох ердийн фракталуудын бүхэл бүтэн гэр бүлийг авч үзье. Лейбниц хүртэл: "Хэрэв бид санамсаргүйгээр хэн нэгэн цаасан дээр олон цэг тавьсан гэж үзвэл,<… >Та тодорхой дүрмийг дагаж, тогтмол бөгөөд бүрэн хэмжээгээр тодорхойлж чадна гэж би хэлж байна геометрийн шугамЭнэ нь бүх цэгээр дамжин өнгөрөх болно." Лейбницийн энэхүү мэдэгдэл нь хэмжээсийн тухай Евклидийн ойлголттой зөрчилдөж, огторгуй дахь цэгийн байрлалыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог параметрүүдийн хамгийн бага тоо юм. Хатуу нотолгоо байхгүй байсан тул Лейбницийн эдгээр санаанууд математикийн сэтгэлгээний захад үлджээ.

Пеано муруй.Гэвч 1890 онд Италийн математикч Жузеппе Пеано хавтгай гадаргууг бүрэн бүрхэж, бүх цэгийг нь дайран өнгөрдөг шугамыг бүтээжээ. "Пеано муруйн" бүтцийг Зураг дээр үзүүлэв. арав.

Пеано муруйн топологийн хэмжээс нь нэгтэй тэнцүү байхад фрактал хэмжээс нь d = ln (1/9) / ln (1/3) = 2 байна. Фрактал геометрийн хүрээнд парадокс хамгийн байгалийн байдлаар шийдэгдсэн. арга. Аалзны тор шиг шугам нь онгоцыг бүрхэж чаддаг. Энэ тохиолдолд ганцаарчилсан захидал харилцаа тогтоогддог: шугамын цэг бүр нь хавтгай дээрх цэгтэй тохирч байна. Гэхдээ энэ захидал харилцаа нь нэгээс нэг биш, учир нь хавтгай дээрх цэг бүр шугамын нэг буюу хэд хэдэн цэгтэй тохирч байна.

Хилбертийн муруй.Жилийн дараа буюу 1891 онд Германы математикч Давид Хилберт (1862-1943) огтлолцол, шүргэлтгүйгээр хавтгайг хамарсан муруйг харуулсан өгүүлэл гарчээ. "Гильбертийн муруй" -ын бүтцийг Зураг дээр үзүүлэв. арван нэгэн.

Хилбертийн муруй нь FASS муруйнуудын анхны жишээ (зай дүүргэх, өөрөө зайлсхийх, Энгийн ба өөрөө орон зайг дүүргэх, өөрөө зайлсхийх, энгийн болон өөртэй төстэй шугамууд) байв. Гилбертийн шугамын фрактал хэмжээс нь Пиано муруй шиг хоёр байна.

Минковскийн соронзон хальс.Хилбертийн оюутан ахуй үеийн дотны найз Херман Минковски нь бүхэл бүтэн хавтгайг хамардаггүй, харин тууз шиг зүйл үүсгэдэг муруйг бүтээжээ. Алхам бүрт "Минковски тууз" барихдаа сегмент бүрийг 8 сегментээс бүрдэх тасархай шугамаар солино. Дараагийн шатанд шинэ сегмент бүрт үйлдлийг 1: 4 масштабаар давтана. Минковскийн туузны фрактал хэмжээ нь d = ln (l / 8) / ln (1/4) = 1.5 байна.

Шугаман бус Фракталууд.Цогцолбор хавтгайн хамгийн энгийн шугаман бус зураглал бол эхний хэсэгт авч үзсэн Julia зураглал юм zgz 2 + C. Энэ нь хаалттай мөчлөгийн тооцоолол бөгөөд өмнөх мөчлөгийн үр дүнг өөртөө тогтмол нэмж үржүүлдэг. энэ нь, өөрөөр хэлбэл, энэ нь квадрат эргэх гогцоо юм (зураг 13).

Дурын анхны Z 0 цэгээс хамааран тогтмол C тогтмол утгад давталтын явцад Z n цэг n-> ∞ нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Энэ бүхэн нь Z 0-ийн эх үүсвэртэй харьцуулахад z = 0-ийн байрлалаас хамаарна. Хэрэв тооцоолсон утга нь төгсгөлтэй бол Жулиа багцад орно; Хэрэв энэ нь хязгааргүйд хүрвэл Жулиа багцаас тасарна.

Жулиа газрын зургийг тодорхой гадаргуугийн цэгүүдэд хэрэглэсний дараа олж авсан хэлбэр нь C параметрээр тодорхойлогддог. Жижиг С-ийн хувьд эдгээр нь энгийн холбогдсон гогцоонууд, том С-ийн хувьд эдгээр нь салгагдсан боловч хатуу цэгцтэй цэгүүдийн кластерууд юм. Ерөнхийдөө Жулиагийн бүх хэлбэрийг хоёр том гэр бүлд хувааж болно - холбогдсон ба салгагдсан газрын зураг. Эхнийх нь Кохын цасан ширхгийг санагдуулам, хоёр дахь нь Канторын тоос юм.

Жулиагийн олон янзын хэлбэрүүд нь математикчдыг компьютерийн монитор дээрээс эдгээр маягтуудыг анх ажиглаж байхдаа урам зоригийг нь бууруулдаг. Энэ олон талт байдлыг эрэмбэлэх оролдлого нь маш болзолтой байсан бөгөөд Манделбротын багцыг Жулиагийн зураглалыг ангилах үндэс болгон авсан бөгөөд тэдгээрийн хил хязгаар нь Жулиагийн зураглалтай асимптотын хувьд төстэй юм.

C = 0-тэй Julia газрын зургийг давтах нь z 0, z 0 2, z 0 4, z 0 8, z 0 16 тоонуудын дарааллыг өгдөг ... Үүний үр дүнд гурван сонголт боломжтой:

• | z 0 |-д зориулагдсан< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• | z 0 |-д зориулагдсан > 1 давталтын явцад z n тоонуудын үнэмлэхүй утга нэмэгдэж, хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байна. Энэ тохиолдолд татагч нь хязгааргүй цэг бөгөөд бид Жулиа багцаас ийм утгыг хасдаг;
• | z 0 |-ийн хувьд = 1 дарааллын бүх цэгүүд энэ нэгж тойрог дээр хэвээр байна. Энэ тохиолдолд татагч нь тойрог юм.

Тиймээс C = 0 үед таталцлын болон түлхэлтийн анхны цэгүүдийн хоорондох хил нь тойрог юм. Энэ тохиолдолд зураглал нь хоёр тогтмол цэгтэй байна: z = 0 ба z = 1. Тэг дэх квадрат функцын дериватив нь 0, хоёр дахь нь квадратын дериватив тул түлхэлттэй байдаг тул тэдгээрийн эхнийх нь сонирхол татахуйц байна. параметрийн утга дахь функц нь хоёртой тэнцүү байна.

Тогтмол С нь бодит тоо байх нөхцөл байдлыг авч үзье. бид Манделбротын багцын тэнхлэгийн дагуу хөдөлж байгаа мэт харагдаж байна (Зураг 14). С = –0.75 үед Жулиа багцын хил нь өөрөө огтлолцож, хоёр дахь татагч гарч ирнэ. Энэ мөчид фрактал нь алдарт Венецийн сүмийг хүндэтгэн Манделбротын өгсөн Сан Марко фракталын нэрийг агуулж байна. Зургийг харахад Манделброт яагаад фракталыг яг энэ бүтцийн нэрээр нэрлэх санаа гаргасныг ойлгоход хэцүү биш юм: ижил төстэй байдал нь гайхалтай юм.

Цагаан будаа. 14. Бодит утга C 0-ээс -1 болж буурах үед Julia багцын хэлбэр өөрчлөгдөнө.

Цаашид С-ийг -1.25 хүртэл бууруулснаар бид дөрвөн тогтмол цэг бүхий шинэ ердийн хэлбэрийг олж авах бөгөөд энэ нь С хүртэл хэвээр байна.< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Цагаан будаа. 15. Бодит үнэ цэнийн бууралттай Julia багцын шинэ хэлбэрүүд гарч ирэх нь C< –1

Тиймээс, Манделбротын фракталын тэнхлэгт үлдэж (тогтмол С нь бодит тоо) бид анхаарлын талбарт "барьж авсан" бөгөөд ямар нэгэн байдлаар тойрог, тоос хүртэлх Жулиагийн нэлээд олон янзын хэлбэрийг эрэмбэлсэн. Одоо Манделбротын фракталын тэмдгийн талбарууд болон Жулиагийн фракталуудын харгалзах хэлбэрүүдийг авч үзье. Юуны өмнө Манделбротын фракталыг "кардиоид", "бөөр", "сонгино" гэсэн нэр томъёогоор тайлбарлая (Зураг 16).

Гол кардиоид ба зэргэлдээх тойрог нь Манделбротын фракталын үндсэн хэлбэрийг бүрдүүлдэг. Тэдгээрийг ихэвчлэн бөөр гэж нэрлэдэг хязгааргүй тооны хуулбарууд хавсаргасан байдаг. Эдгээр нахиа бүр нь өөр хоорондоо төстэй хязгааргүй тооны жижиг нахиагаар бүрхэгдсэн байдаг. Гол кардиоидын дээд ба доор байрлах хоёр том нахиаг сонгино гэж нэрлэдэг.

Энэ олонлогийн ердийн фракталыг (С = –0.12 + 0.74i) судалсан Франц Адриен Дауди, Америкийн Билл Хаббард нар үүнийг “туулайн фрактал” гэж нэрлэсэн (Зураг 17).

Манделбротын фракталын хилийг давах үед Жулиагийн фракталууд үргэлж холболтоо алдаж, тоос болж хувирдаг бөгөөд үүнийг С-ийн тодорхой утгуудын хувьд хязгааргүй алслагдсан цэг татдаг болохыг нотолсон Пьер Фатугийн хүндэтгэлд зориулж "Фату тоос" гэж нэрлэдэг. тоос шиг маш нимгэн багцаас бусад бүхэл бүтэн цогц хавтгай (зураг 18).

СТОХАСТИК ФРАКТАЛ.Өөртэйгөө төстэй фон Кох муруй ба жишээлбэл, Норвегийн эрэг хоёрын хооронд мэдэгдэхүйц ялгаа бий. Сүүлийнх нь өөртэйгөө ижил төстэй байдаггүй ч статистикийн хувьд ижил төстэй байдлыг харуулдаг. Энэ тохиолдолд муруй хоёулаа маш их эвдэрсэн тул тэдгээрийн аль нэгэнд нь шүргэгч зурж чадахгүй, өөрөөр хэлбэл та үүнийг ялгаж чадахгүй. Ийм муруй нь Евклидийн ердийн шугамуудын дунд нэг төрлийн "мангас" юм. Аль ч цэгтээ шүргэгчгүй тасралтгүй функцийг анх байгуулсан хүн бол Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс юм. Түүний бүтээлийг 1872 оны 7-р сарын 18-нд Хатан хааны Пруссын академид танилцуулж, 1875 онд хэвлүүлсэн. Weierstrass-ийн тодорхойлсон функцууд нь чимээ шуугиантай төстэй (Зураг 19).

Хөрөнгийн биржийн график, температур эсвэл агаарын даралтын хэлбэлзлийн хураангуйг харвал та ямар нэгэн тогтмол бус байдлыг олж харах болно. Түүнээс гадна, масштаб нэмэгдэхийн хэрээр жигд бус байдлын шинж чанар хэвээр байна. Мөн энэ нь биднийг фрактал геометрийг хэлнэ.

Брауны хөдөлгөөн нь стохастик үйл явцын хамгийн алдартай жишээнүүдийн нэг юм. 1926 онд Жан Перрин Брауны хөдөлгөөний мөн чанарыг судалсныхаа төлөө Нобелийн шагнал хүртжээ. Тэр бол Брауны замналын өөртэйгөө төстэй, ялгагдахгүй байдалд анхаарлаа хандуулсан хүн юм.

Саяхан би фрактал гэх мэт математикийн ертөнцийн сонирхолтой объектуудын талаар олж мэдсэн. Гэхдээ тэд зөвхөн математикт байдаггүй. Тэд биднийг хаа сайгүй хүрээлж байдаг. Фракталууд нь байгалийн юм. Энэ нийтлэлд би фрактал гэж юу болох, фракталуудын төрлүүд, эдгээр объектуудын жишээ, тэдгээрийн хэрэглээний талаар ярих болно. Эхлээд би фрактал гэж юу болохыг товчхон хэлье.

Фрактал (Латин fractus - буталсан, хугарсан, хугарсан) нь өөрөө ижил төстэй шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн хэсгээс бүрдэх, тус бүр нь бүхэлдээ дүрстэй төстэй геометрийн цогц дүрс юм. Өргөн утгаараа фракталыг Евклидийн орон зайн бутархай хэмжигдэхүүнтэй (Минковски эсвэл Хаусдорфын утгаараа) эсвэл топологиос өөр хэмжигдэхүүнтэй цэгүүдийн багц гэж ойлгодог. Жишээ болгон би дөрвөн өөр фракталын зургийг оруулах болно.

Би та нарт фракталуудын түүхийн талаар бага зэрэг хэлье. 70-аад оны сүүлээр гарч ирсэн фрактал ба фрактал геометрийн тухай ойлголтууд 80-аад оны дунд үеэс математикч, програмистуудын өдөр тутмын амьдралын нэг хэсэг болжээ. "Фрактал" гэдэг үгийг 1975 онд Бенуа Манделброт өөрийн ажиллаж байсан жигд бус, гэхдээ өөртэйгөө төстэй бүтэцтэй холбоотой гэж нэрлэжээ. Фрактал геометрийн төрөлт нь ихэвчлэн 1977 онд Манделбротын "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдсэнтэй холбоотой байдаг. Түүний бүтээлүүдэд 1875-1925 онуудад ижил чиглэлээр ажиллаж байсан бусад эрдэмтдийн (Пуанкаре, Фату, Жулиа, Кантор, Хаусдорф) шинжлэх ухааны үр дүнг ашигласан. Гэхдээ бидний үед л тэдний ажлыг нэг системд нэгтгэх боломжтой байсан.

Фракталуудын олон жишээ байдаг, учир нь миний хэлсэнчлэн тэд биднийг хаа сайгүй хүрээлж байдаг. Миний бодлоор манай ертөнц бүхэлдээ нэг том фрактал юм. Эцсийн эцэст, атомын бүтцээс эхлээд Орчлон ертөнцийн бүтэц хүртэлх бүх зүйл бие биенээ давтдаг. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, өөр өөр салбаруудын фракталуудын илүү тодорхой жишээнүүд байдаг. Жишээлбэл, фракталууд нь нарийн төвөгтэй динамикт байдаг. Тэд тэнд байна шугаман бус судалгаанд байгалийн жамаар илэрдэг динамик системүүд... Хамгийн их судлагдсан тохиолдол бол динамик системийг олон гишүүнт эсвэл голоморфийн давталтаар тодорхойлсон тохиолдол юм. хувьсагчдын цогцолборын функцгадаргуу дээр. Энэ төрлийн хамгийн алдартай фракталуудын зарим нь Жулиа багц, Манделбротын багц, Ньютоны савнууд юм. Доорх зурган дээр дээрх фрактал бүрийг дарааллаар нь харуулав.

Фракталуудын өөр нэг жишээ бол фрактал муруй юм. Фрактал муруйн жишээн дээр хэрхэн фрактал барихыг тайлбарлах нь дээр. Эдгээр муруйнуудын нэг нь Кохын цасан ширхгүүд юм. Энгийн байдагхавтгай дээр фрактал муруй авах журам. Генератор гэж нэрлэгддэг хязгаарлагдмал тооны холбоос бүхий дурын олон шугамыг тодорхойлъё. Дараа нь бид сегмент бүрийг генератороор солино (илүү нарийвчлалтай, генератортой төстэй эвдэрсэн шугам). Үүссэн эвдэрсэн мөрөнд сегмент бүрийг генератороор дахин солино. Хязгааргүй болтол бид фрактал муруйг авна. Кох цасан ширхгийг (эсвэл муруй) доор үзүүлэв.

Мөн маш олон төрлийн фрактал муруй байдаг. Тэдгээрийн хамгийн алдартай нь аль хэдийн дурдсан Кох цасан ширхгүүд, түүнчлэн Леви муруй, Минковскийн муруй, Луугийн хугарсан муруй, Төгөлдөр хуурын муруй, Пифагорын мод юм. Эдгээр фракталуудын дүр төрх, тэдгээрийн түүхийг хэрэв хүсвэл Википедиа дээрээс хялбархан олох боломжтой гэж би бодож байна.

Гурав дахь жишээ буюу фракталуудын төрөл нь стохастик фракталууд юм. Эдгээр фракталууд нь Брауны хөдөлгөөний траекторийг агуулдаг хавтгай ба орон зайд Шрамм-Лёунерийн хувьсал, янз бүрийн төрлийн санамсаргүй фрактууд, өөрөөр хэлбэл алхам бүрт санамсаргүй параметрийг нэвтрүүлсэн рекурсив процедурыг ашиглан олж авсан фракталууд.

Мөн цэвэр математикийн фракталууд байдаг. Эдгээр нь жишээлбэл, Канторын багц, Менгер хөвөн, Сиерпинскийн гурвалжин болон бусад зүйл юм.

Гэхдээ магадгүй хамгийн сонирхолтой фракталууд нь байгалийн фракталууд юм. Байгалийн фракталууд нь фрактал шинж чанартай байгалийн объект юм. Мөн энд жагсаалт аль хэдийн урт байна. Би бүгдийг жагсаахгүй, учир нь би бүгдийг нь жагсааж чадахгүй байх, гэхдээ заримыг нь танд хэлэх болно. Жишээлбэл, байгальд ийм фракталууд нь бидний цусны эргэлтийн систем, уушгийг агуулдаг. Мөн түүнчлэн модны титэм, навч. Мөн далайн од, далайн эрэг, шүрэн, далайн хясаа, байцаа, брокколи зэрэг зарим ургамал орно. Зэрлэг ан амьтдын ийм хэд хэдэн байгалийн фракталуудыг доор харуулав.

Хэрэв бид амьгүй байгалийг авч үзвэл амьд байгалиас хамаагүй илүү сонирхолтой жишээнүүд байдаг. Аянга, цасан ширхгүүд, үүл, бүгдэд сайн мэддэг, хүйтэн жавартай өдрүүдэд цонхны хээ, талстууд, уулсын нуруу - энэ бүхэн амьгүй байгалиас гаралтай байгалийн фракталуудын жишээ юм.

Бид фракталуудын жишээ, төрлүүдийг авч үзсэн. Фракталуудын хэрэглээний хувьд тэдгээрийг янз бүрийн мэдлэгийн салбарт ашигладаг. Физикийн хувьд фракталууд нь шугаман бус үйл явц, тухайлбал, турбулент шингэний урсгал, нарийн төвөгтэй тархалт-шингээх процесс, дөл, үүл гэх мэтийг загварчлах үед үүсдэг. Фракталуудыг сүвэрхэг материалыг загварчлахад, жишээлбэл, нефтийн химийн салбарт ашигладаг. Биологийн хувьд тэдгээрийг популяцийг загварчлах, системийг тодорхойлоход ашигладаг дотоод эрхтнүүд(цусны судасны систем). Кох муруйг үүсгэсний дараа эргийн шугамын уртыг тооцоолохдоо үүнийг ашиглахыг санал болгов. Фракталуудыг радио инженерчлэл, компьютерийн шинжлэх ухаанд идэвхтэй ашигладаг компьютерийн технологи, харилцаа холбоо, тэр байтугай эдийн засаг. Мэдээжийн хэрэг, фрактал алсын хараа нь орчин үеийн урлаг, архитектурт идэвхтэй ашиглагддаг. Фрактал зургийн нэг жишээ энд байна.

Тиймээс би фрактал гэх мэт ер бусын математик үзэгдлийн тухай түүхийг дуусгая гэж бодож байна. Өнөөдөр бид фрактал гэж юу болох, хэрхэн үүссэн, фракталуудын төрөл, жишээний талаар олж мэдсэн. Би мөн тэдний хэрэглээний талаар ярьж, зарим фракталуудыг нүдээр үзүүлэв. Гайхамшигтай, сэтгэл татам фрактал биетүүдийн ертөнцөд хийсэн энэхүү богино аялал танд таалагдсан гэж найдаж байна.