ഭ്രമണ ശരീരങ്ങളുടെ വോള്യങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ. ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? നോട്ട്ബുക്കുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കുക

സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ഒരു ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കാം:

ഫോർമുലയിൽ, അവിഭാജ്യത്തിന് മുമ്പായി സംഖ്യ ഉണ്ടായിരിക്കണം. അങ്ങനെ അത് സംഭവിച്ചു - ജീവിതത്തിൽ കറങ്ങുന്ന എല്ലാം ഈ സ്ഥിരതയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

പൂർത്തിയാക്കിയ ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് "a", "be" എന്നിവയുടെ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ എങ്ങനെ ക്രമീകരിക്കാമെന്ന് ഊഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.

ഫംഗ്‌ഷൻ... എന്താണ് ഈ പ്രവർത്തനം? നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് നോക്കാം. പരന്ന രൂപത്തെ മുകളിലെ പരവലയ ഗ്രാഫ് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. സൂത്രത്തിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്ന പ്രവർത്തനമാണിത്.

പ്രായോഗിക ജോലികളിൽ, ഒരു പരന്ന രൂപം ചിലപ്പോൾ അച്ചുതണ്ടിന് താഴെയായി സ്ഥിതിചെയ്യാം. ഇത് ഒന്നും മാറ്റില്ല - ഫോർമുലയിലെ ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് സ്ക്വയർ ചെയ്തിരിക്കുന്നു: ഇങ്ങനെ ഇൻ്റഗ്രൽ എല്ലായ്പ്പോഴും നെഗറ്റീവ് അല്ല , ഇത് വളരെ യുക്തിസഹമാണ്.

ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു ഭ്രമണ ബോഡിയുടെ അളവ് കണക്കാക്കാം:

ഞാൻ ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഇൻ്റഗ്രൽ എല്ലായ്പ്പോഴും ലളിതമാണ്, പ്രധാന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക എന്നതാണ്.

ഉത്തരം:

നിങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തിൽ, നിങ്ങൾ അളവ് സൂചിപ്പിക്കണം - ക്യൂബിക് യൂണിറ്റുകൾ. അതായത്, നമ്മുടെ ഭ്രമണശരീരത്തിൽ ഏകദേശം 3.35 "ക്യൂബുകൾ" ഉണ്ട്. എന്തുകൊണ്ട് ക്യൂബിക് യൂണിറ്റുകൾ? കാരണം ഏറ്റവും സാർവത്രിക രൂപീകരണം. ക്യുബിക് സെൻ്റീമീറ്ററുകൾ ഉണ്ടാകാം, ക്യുബിക് മീറ്ററുകൾ ഉണ്ടാകാം, ക്യൂബിക് കിലോമീറ്ററുകൾ ഉണ്ടാകാം, അങ്ങനെയാണ് നിങ്ങളുടെ ഭാവനയ്ക്ക് എത്ര പച്ച മനുഷ്യരെ ഒരു പറക്കുംതളികയിൽ ഉൾപ്പെടുത്താൻ കഴിയുക.

ഉദാഹരണം 2

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണം വഴി രൂപംകൊണ്ട ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുക,

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

പ്രായോഗികമായി പലപ്പോഴും അഭിമുഖീകരിക്കുന്ന രണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 3

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൻ്റെ abscissa അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുക, കൂടാതെ

പരിഹാരം: സമവാക്യം അച്ചുതണ്ടിനെ നിർവചിക്കുന്നുവെന്ന കാര്യം മറക്കാതെ, വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു പരന്ന രൂപം നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗിൽ ചിത്രീകരിക്കാം:

ആവശ്യമുള്ള ചിത്രം നീല നിറത്തിൽ ഷേഡുള്ളതാണ്. അതിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറങ്ങുമ്പോൾ, അത് നാല് കോണുകളുള്ള ഒരു സർറിയൽ ഡോനട്ടായി മാറുന്നു.

ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം ശരീരങ്ങളുടെ അളവിലുള്ള വ്യത്യാസം.

ആദ്യം, ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചിത്രം നോക്കാം. ഒരു അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറങ്ങുമ്പോൾ, വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ കോൺ ലഭിക്കും. ഈ വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ കോണിൻ്റെ അളവ് നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം.

പച്ച നിറത്തിൽ വട്ടമിട്ടിരിക്കുന്ന ചിത്രം പരിഗണിക്കുക. നിങ്ങൾ ഈ ചിത്രം അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ കോണും ലഭിക്കും, കുറച്ച് ചെറുത് മാത്രം. നമുക്ക് അതിൻ്റെ വോളിയം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം.

കൂടാതെ, വ്യക്തമായും, വോള്യങ്ങളിലെ വ്യത്യാസം കൃത്യമായി നമ്മുടെ "ഡോനട്ടിൻ്റെ" അളവാണ്.

ഭ്രമണ ബോഡിയുടെ അളവ് കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

1) ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചിത്രം മുകളിൽ ഒരു നേർരേഖയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ:

2) പച്ച നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചിത്രം മുകളിൽ ഒരു നേർരേഖയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ:

3) ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ്:

ഉത്തരം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ കോണിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സ്കൂൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം പരിശോധിക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് കൗതുകകരമാണ്.

തീരുമാനം തന്നെ പലപ്പോഴും ഹ്രസ്വമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ഇതുപോലുള്ള ഒന്ന്:

ഇനി നമുക്ക് അൽപ്പം വിശ്രമിച്ച് ജ്യാമിതീയ മിഥ്യാധാരണകളെക്കുറിച്ച് പറയാം.

ആളുകൾക്ക് പലപ്പോഴും വാല്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മിഥ്യാധാരണകളുണ്ട്, അത് പുസ്തകത്തിൽ പെരെൽമാൻ (മറ്റൊരു) ശ്രദ്ധിച്ചു രസകരമായ ജ്യാമിതി. പരിഹരിച്ച പ്രശ്നത്തിലെ പരന്ന രൂപം നോക്കൂ - ഇത് വിസ്തൃതിയിൽ ചെറുതാണെന്ന് തോന്നുന്നു, വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് 50 ക്യുബിക് യൂണിറ്റുകളിൽ കൂടുതലാണ്, അത് വളരെ വലുതാണെന്ന് തോന്നുന്നു. വഴിയിൽ, ഒരു ശരാശരി വ്യക്തി തൻ്റെ മുഴുവൻ ജീവിതത്തിലും 18 ചതുരശ്ര മീറ്റർ ദ്രാവകത്തിൻ്റെ ഒരു മുറിക്ക് തുല്യമാണ് കുടിക്കുന്നത്, നേരെമറിച്ച്, വളരെ ചെറിയ അളവിൽ തോന്നുന്നു.

പൊതുവേ, സോവിയറ്റ് യൂണിയനിലെ വിദ്യാഭ്യാസ സമ്പ്രദായം ശരിക്കും മികച്ചതായിരുന്നു. 1950-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച പെരെൽമാൻ്റെ അതേ പുസ്തകം വളരെ നന്നായി വികസിക്കുന്നു, ഹാസ്യകാരൻ പറഞ്ഞതുപോലെ, പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥവും നിലവാരമില്ലാത്തതുമായ പരിഹാരങ്ങൾ തേടാൻ നിങ്ങളെ ചിന്തിക്കുകയും പഠിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഞാൻ അടുത്തിടെ ചില അധ്യായങ്ങൾ വളരെ താൽപ്പര്യത്തോടെ വീണ്ടും വായിച്ചു, ഞാൻ ഇത് ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, ഇത് മാനവികവാദികൾക്ക് പോലും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്നതാണ്. ഇല്ല, ഞാൻ ഒരു ഒഴിവു സമയം വാഗ്ദാനം ചെയ്തുവെന്ന് നിങ്ങൾ പുഞ്ചിരിക്കേണ്ടതില്ല, ആശയവിനിമയത്തിലെ പാണ്ഡിത്യവും വിശാലമായ ചക്രവാളങ്ങളും ഒരു വലിയ കാര്യമാണ്.

ഒരു ഗാനരചയിതാവിന് ശേഷം, ഒരു സൃഷ്ടിപരമായ ചുമതല പരിഹരിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്:

ഉദാഹരണം 4

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു പരന്ന രൂപത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടിനെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള ഭ്രമണം വഴി രൂപംകൊണ്ട ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുക.

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. എല്ലാ കേസുകളും ബാൻഡിൽ സംഭവിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സംയോജനത്തിൻ്റെ റെഡിമെയ്ഡ് പരിധികൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ശരിയായി വരയ്ക്കുക, അതിനെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠഭാഗം ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ ഗ്രാഫുകളുടെ ജ്യാമിതീയ രൂപാന്തരങ്ങൾ : ആർഗ്യുമെൻ്റ് രണ്ടായി ഹരിച്ചാൽ: , ഗ്രാഫുകൾ അച്ചുതണ്ടിൽ രണ്ടുതവണ നീട്ടുന്നു. കുറഞ്ഞത് 3-4 പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ഉചിതമാണ് ത്രികോണമിതി പട്ടികകൾ അനുസരിച്ച് ഡ്രോയിംഗ് കൂടുതൽ കൃത്യമായി പൂർത്തിയാക്കാൻ. പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും ഉത്തരവും. വഴിയിൽ, ചുമതല യുക്തിസഹമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, വളരെ യുക്തിസഹമല്ല.

പാഠ തരം: സംയുക്തം.

പാഠത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം:ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ശരീരങ്ങളുടെ അളവ് കണക്കാക്കാൻ പഠിക്കുക.

ചുമതലകൾ:

• നിരവധി ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളിൽ നിന്ന് കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡുകൾ തിരിച്ചറിയാനുള്ള കഴിവ് ഏകീകരിക്കുകയും കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡുകളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാനുള്ള കഴിവ് വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുക;
• ഒരു ത്രിമാന രൂപത്തിൻ്റെ ആശയം പരിചയപ്പെടുക;
• വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ശരീരങ്ങളുടെ അളവ് കണക്കാക്കാൻ പഠിക്കുക;
• ലോജിക്കൽ ചിന്തയുടെ വികസനം, യോഗ്യതയുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര സംഭാഷണം, ഡ്രോയിംഗുകൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ കൃത്യത എന്നിവ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുക;
• വിഷയത്തിൽ താൽപ്പര്യം വളർത്തിയെടുക്കുക, ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളും ചിത്രങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുക, അന്തിമഫലം നേടുന്നതിൽ ഇച്ഛാശക്തി, സ്വാതന്ത്ര്യം, സ്ഥിരോത്സാഹം എന്നിവ വളർത്തുക.

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ

I. സംഘടനാ നിമിഷം.

ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ ആശംസകൾ. പാഠത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യങ്ങൾ വിദ്യാർത്ഥികളുമായി ആശയവിനിമയം നടത്തുക.

പ്രതിഫലനം. ശാന്തമായ മെലഡി.

- ഇന്നത്തെ പാഠം ഒരു ഉപമയോടെ ആരംഭിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. “ഒരു കാലത്ത് എല്ലാം അറിയുന്ന ഒരു ജ്ഞാനി ജീവിച്ചിരുന്നു. ഋഷിക്ക് എല്ലാം അറിയില്ലെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ഒരാൾ ആഗ്രഹിച്ചു. ഒരു ചിത്രശലഭത്തെ കൈകളിൽ പിടിച്ച് അവൻ ചോദിച്ചു: "മുനി, പറയൂ, എൻ്റെ കൈയിൽ ഏത് ചിത്രശലഭമാണ്: ചത്തതോ ജീവിച്ചിരിക്കുന്നതോ?" അവൻ തന്നെ വിചാരിക്കുന്നു: "ജീവനുള്ളവൻ പറഞ്ഞാൽ, ഞാൻ അവളെ കൊല്ലും, ഞാൻ അവളെ വിട്ടയക്കുമെന്ന് മരിച്ചവൻ പറയും." ആലോചിച്ച ശേഷം മഹർഷി മറുപടി പറഞ്ഞു: "എല്ലാം നിങ്ങളുടെ കൈകളിൽ". (അവതരണം.സ്ലൈഡ്)

- അതിനാൽ, നമുക്ക് ഇന്ന് ഫലപ്രദമായി പ്രവർത്തിക്കാം, അറിവിൻ്റെ ഒരു പുതിയ ശേഖരം നേടാം, ഭാവി ജീവിതത്തിലും പ്രായോഗിക പ്രവർത്തനങ്ങളിലും ഞങ്ങൾ നേടിയ കഴിവുകളും കഴിവുകളും പ്രയോഗിക്കും. "എല്ലാം നിങ്ങളുടെ കൈകളിൽ".

II. മുമ്പ് പഠിച്ച മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ആവർത്തനം.

- മുമ്പ് പഠിച്ച മെറ്റീരിയലിൻ്റെ പ്രധാന പോയിൻ്റുകൾ നമുക്ക് ഓർക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് ചുമതല പൂർത്തിയാക്കാം "അധിക വാക്ക് ഒഴിവാക്കുക."(സ്ലൈഡ്.)

(വിദ്യാർത്ഥി I.D-യിലേക്ക് പോകുന്നു. അധിക വാക്ക് നീക്കം ചെയ്യാൻ ഒരു ഇറേസർ ഉപയോഗിക്കുന്നു.)

- ശരിയാണ് "ഡിഫറൻഷ്യൽ". ശേഷിക്കുന്ന വാക്കുകൾക്ക് ഒരു പൊതു വാക്ക് ഉപയോഗിച്ച് പേര് നൽകാൻ ശ്രമിക്കുക. (ഇൻ്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസ്.)

- ഇൻ്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രധാന ഘട്ടങ്ങളും ആശയങ്ങളും നമുക്ക് ഓർക്കാം.

"ഗണിതശാസ്ത്ര കൂട്ടം".

വ്യായാമം ചെയ്യുക. വിടവുകൾ വീണ്ടെടുക്കുക. (വിദ്യാർത്ഥി പുറത്തു വന്ന് പേന ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമുള്ള വാക്കുകളിൽ എഴുതുന്നു.)

- ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ പ്രയോഗത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു സംഗ്രഹം ഞങ്ങൾ പിന്നീട് കേൾക്കും.

നോട്ട്ബുക്കുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കുക.

– ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉരുത്തിരിഞ്ഞത് ഇംഗ്ലീഷ് ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഐസക് ന്യൂട്ടണും (1643-1727) ജർമ്മൻ തത്ത്വചിന്തകനായ ഗോട്ട്ഫ്രഡ് ലെയ്ബ്നിസും (1646-1716) ആണ്. ഇത് ആശ്ചര്യകരമല്ല, കാരണം പ്രകൃതി തന്നെ സംസാരിക്കുന്ന ഭാഷയാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം.

- പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഈ ഫോർമുല എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1: വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം: കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാം . കണ്ടെത്തേണ്ട ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

III. പുതിയ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കുന്നു.

- സ്ക്രീനിൽ ശ്രദ്ധിക്കുക. ആദ്യ ചിത്രത്തിൽ എന്താണ് കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്? (സ്ലൈഡ്) (ചിത്രം ഒരു പരന്ന രൂപം കാണിക്കുന്നു.)

- രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ എന്താണ് കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്? ഈ കണക്ക് പരന്നതാണോ? (സ്ലൈഡ്) (ചിത്രം ഒരു ത്രിമാന ചിത്രം കാണിക്കുന്നു.)

- ബഹിരാകാശത്തും ഭൂമിയിലും ദൈനംദിന ജീവിതത്തിലും, പരന്ന രൂപങ്ങൾ മാത്രമല്ല, ത്രിമാന രൂപങ്ങളും ഞങ്ങൾ കണ്ടുമുട്ടുന്നു, എന്നാൽ അത്തരം ശരീരങ്ങളുടെ അളവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഗ്രഹത്തിൻ്റെ അളവ്, വാൽനക്ഷത്രം, ഉൽക്കാശില മുതലായവ.

- വീടുകൾ പണിയുമ്പോഴും ഒരു പാത്രത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് വെള്ളം ഒഴിക്കുമ്പോഴും ആളുകൾ വോളിയത്തെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുന്നു. വോള്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളും സാങ്കേതികതകളും അവ എത്ര കൃത്യവും ന്യായയുക്തവുമായിരുന്നു എന്നതാണ് മറ്റൊരു കാര്യം.

ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയിൽ നിന്നുള്ള സന്ദേശം. (ട്യൂറിന വെറ.)

പ്രശസ്ത ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോഹന്നാസ് കെപ്ലർ താമസിച്ചിരുന്ന ഓസ്ട്രിയൻ നഗരമായ ലിൻസ് നിവാസികൾക്ക് 1612 വർഷം വളരെ ഫലപ്രദമായിരുന്നു, പ്രത്യേകിച്ച് മുന്തിരി. ആളുകൾ വൈൻ ബാരലുകൾ തയ്യാറാക്കുകയും അവയുടെ അളവ് പ്രായോഗികമായി എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കണമെന്ന് അറിയാൻ ആഗ്രഹിക്കുകയും ചെയ്തു. (സ്ലൈഡ് 2)

- അങ്ങനെ, കെപ്ലറുടെ പരിഗണിക്കപ്പെട്ട കൃതികൾ 17-ആം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ അവസാന പാദത്തിൽ അവസാനിച്ച ഒരു മുഴുവൻ ഗവേഷണ പ്രവാഹത്തിനും അടിത്തറയിട്ടു. ഐ. ന്യൂട്ടൻ്റെയും ജി.വി.യുടെയും സൃഷ്ടികളിൽ ഡിസൈൻ. ഡിഫറൻഷ്യൽ ആൻഡ് ഇൻ്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസിൻ്റെ ലെയ്ബ്നിസ്. അന്നുമുതൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര വിജ്ഞാന സമ്പ്രദായത്തിൽ വേരിയബിളുകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്രം ഒരു പ്രധാന സ്ഥാനം നേടി.

- ഇന്ന് ഞാനും നിങ്ങളും അത്തരം പ്രായോഗിക പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഏർപ്പെടും, അതിനാൽ,

ഞങ്ങളുടെ പാഠത്തിൻ്റെ വിഷയം: "ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ശരീരങ്ങളുടെ അളവ് കണക്കാക്കുന്നു." (സ്ലൈഡ്)

- ഇനിപ്പറയുന്ന ടാസ്‌ക് പൂർത്തിയാക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾ ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ശരീരത്തിൻ്റെ നിർവചനം പഠിക്കും.

"ലാബിരിന്ത്".

ലാബിരിന്ത് (ഗ്രീക്ക് പദം) എന്നാൽ ഭൂമിക്കടിയിലേക്ക് പോകുക എന്നാണ്. പാതകൾ, പാതകൾ, പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന മുറികൾ എന്നിവയുടെ സങ്കീർണ്ണമായ ശൃംഖലയാണ് ലാബിരിന്ത്.

എന്നാൽ നിർവചനം "തകർന്നു", അമ്പുകളുടെ രൂപത്തിൽ സൂചനകൾ അവശേഷിപ്പിച്ചു.

വ്യായാമം ചെയ്യുക. ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു വഴി കണ്ടെത്തി നിർവചനം എഴുതുക.

സ്ലൈഡ്. "മാപ്പ് നിർദ്ദേശം" വോള്യങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ.

ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രത്യേക ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കാം, പ്രത്യേകിച്ചും, വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ഒരു ശരീരം.

ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് അതിൻ്റെ അടിത്തറയ്ക്ക് ചുറ്റും കറക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന ശരീരമാണ് വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ശരീരം (ചിത്രം 1, 2)

ഭ്രമണ ബോഡിയുടെ അളവ് ഫോർമുലകളിലൊന്ന് ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

1. OX അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും.

2. , വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ ഭ്രമണം ആണെങ്കിൽ op-amp ൻ്റെ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും.

ഓരോ വിദ്യാർത്ഥിക്കും ഒരു നിർദ്ദേശ കാർഡ് ലഭിക്കും. അധ്യാപകൻ പ്രധാന പോയിൻ്റുകൾ ഊന്നിപ്പറയുന്നു.

- ബോർഡിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ അധ്യാപകൻ വിശദീകരിക്കുന്നു.

A. S. പുഷ്കിൻ എഴുതിയ പ്രസിദ്ധമായ യക്ഷിക്കഥയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു ഭാഗം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം "സാർ സാൾട്ടൻ്റെ കഥ, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ മകൻ, മഹത്വവും ശക്തനുമായ നായകൻ പ്രിൻസ് ഗൈഡൺ സാൽറ്റാനോവിച്ച്, സുന്ദരിയായ രാജകുമാരി സ്വാൻ" (സ്ലൈഡ് 4):

…..
ഒപ്പം മദ്യപിച്ച ഒരു ദൂതൻ കൊണ്ടുവന്നു
അതേ ദിവസം, ഓർഡർ ഇപ്രകാരമാണ്:
"രാജാവ് തൻ്റെ ബോയറുകളോട് ആജ്ഞാപിക്കുന്നു,
സമയം കളയാതെ,
ഒപ്പം രാജ്ഞിയും സന്തതിയും
രഹസ്യമായി വെള്ളത്തിൻ്റെ അഗാധത്തിലേക്ക് എറിയുക.
ഒന്നും ചെയ്യാനില്ല: ബോയാറുകൾ,
പരമാധികാരിയെ കുറിച്ച് വേവലാതിപ്പെടുന്നു
ഒപ്പം യുവ രാജ്ഞിയോടും,
ഒരു ജനക്കൂട്ടം അവളുടെ കിടപ്പുമുറിയിലേക്ക് വന്നു.
അവർ രാജാവിൻ്റെ ഇഷ്ടം പ്രഖ്യാപിച്ചു -
അവൾക്കും അവളുടെ മകനും ദുഷിച്ച പങ്കുണ്ട്,
ഞങ്ങൾ ഉത്തരവ് ഉറക്കെ വായിച്ചു,
അതേ നാഴികയിൽ രാജ്ഞിയും
അവർ എന്നെ എൻ്റെ മകനോടൊപ്പം ഒരു ബാരലിൽ ഇട്ടു,
അവർ ടാർ ചെയ്ത് ഓടിച്ചു
അവർ എന്നെ ഓക്കിയാനിലേക്ക് അനുവദിച്ചു -
സാൽട്ടാൻ സാർ ഉത്തരവിട്ടത് ഇതാണ്.

രാജ്ഞിക്കും മകനും ഉൾക്കൊള്ളാൻ കഴിയുന്ന തരത്തിൽ ബാരലിൻ്റെ അളവ് എത്രയായിരിക്കണം?

- ഇനിപ്പറയുന്ന ജോലികൾ പരിഗണിക്കുക

1. വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുക: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

ഉത്തരം: 1163 സെമി 3 .

abscissa അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും ഒരു പരാബോളിക് ട്രപസോയിഡ് തിരിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുക y =, x = 4, y = 0.

IV. പുതിയ മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം 2. x-അക്ഷത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള ദളത്തിൻ്റെ ഭ്രമണത്താൽ രൂപപ്പെടുന്ന ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുക y = x 2, y 2 = x.

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാം. y = x 2, y 2 = x. പട്ടിക y2 = xഫോമിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക വൈ= .

നമുക്ക് ഉണ്ട് V = V 1 - V 2ഓരോ ഫംഗ്ഷൻ്റെയും അളവ് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം

- ഇപ്പോൾ, ശ്രദ്ധേയമായ റഷ്യൻ എഞ്ചിനീയർ, ഓണററി അക്കാദമിഷ്യൻ വി ജി ഷുക്കോവിൻ്റെ രൂപകൽപ്പന അനുസരിച്ച് നിർമ്മിച്ച ഷാബോലോവ്കയിലെ മോസ്കോയിലെ റേഡിയോ സ്റ്റേഷന് വേണ്ടിയുള്ള ടവർ നോക്കാം. അതിൽ ഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു - ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പർബോളോയിഡുകൾ. മാത്രമല്ല, അവ ഓരോന്നും തൊട്ടടുത്തുള്ള സർക്കിളുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന നേരായ ലോഹ വടികളാണ് (ചിത്രം 8, 9).

- നമുക്ക് പ്രശ്നം പരിഗണിക്കാം.

ഹൈപ്പർബോള ആർക്കുകൾ തിരിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുക ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ അതിൻ്റെ സാങ്കൽപ്പിക അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും. 8, എവിടെ

ക്യൂബ് യൂണിറ്റുകൾ

ഗ്രൂപ്പ് അസൈൻമെൻ്റുകൾ. വിദ്യാർത്ഥികൾ ടാസ്‌ക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ധാരാളം വരയ്ക്കുന്നു, വാട്ട്‌മാൻ പേപ്പറിൽ ഡ്രോയിംഗുകൾ വരയ്ക്കുന്നു, ഗ്രൂപ്പ് പ്രതിനിധികളിൽ ഒരാൾ ജോലിയെ പ്രതിരോധിക്കുന്നു.

ഒന്നാം ഗ്രൂപ്പ്.

ഹിറ്റ്! ഹിറ്റ്! മറ്റൊരു അടി!
പന്ത് ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് പറക്കുന്നു - ബോൾ!
ഇത് ഒരു തണ്ണിമത്തൻ പന്താണ്
പച്ച, വൃത്താകൃതിയിലുള്ള, രുചിയുള്ള.
നന്നായി നോക്കൂ - എന്തൊരു പന്ത്!
ഇത് വൃത്തങ്ങളല്ലാതെ മറ്റൊന്നുകൊണ്ടുമല്ല നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.
തണ്ണിമത്തൻ സർക്കിളുകളായി മുറിക്കുക
അവ രുചിക്കുകയും ചെയ്യുക.

ഫംഗ്‌ഷൻ ലിമിറ്റഡിൻ്റെ OX അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുക

പിശക്! ബുക്ക്മാർക്ക് നിർവചിച്ചിട്ടില്ല.

- ദയവായി എന്നോട് പറയൂ, ഞങ്ങൾ ഈ ചിത്രം എവിടെയാണ് കണ്ടുമുട്ടുന്നത്?

വീട്. 1 ഗ്രൂപ്പിനുള്ള ചുമതല. സിലിണ്ടർ (സ്ലൈഡ്) .

"സിലിണ്ടർ - അതെന്താണ്?" - ഞാൻ അച്ഛനോട് ചോദിച്ചു.
അച്ഛൻ ചിരിച്ചു: മുകളിലെ തൊപ്പി ഒരു തൊപ്പിയാണ്.
ശരിയായ ആശയം ലഭിക്കാൻ,
ഒരു സിലിണ്ടർ, ഒരു ടിൻ ക്യാൻ ആണെന്ന് പറയാം.
സ്റ്റീം ബോട്ട് പൈപ്പ് - സിലിണ്ടർ,
ഞങ്ങളുടെ മേൽക്കൂരയിലെ പൈപ്പും,

എല്ലാ പൈപ്പുകളും ഒരു സിലിണ്ടറിന് സമാനമാണ്.
ഞാൻ ഇതുപോലെ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകി -
എൻ്റെ പ്രിയപ്പെട്ട കാലിഡോസ്കോപ്പ്,
നിങ്ങൾക്ക് അവനിൽ നിന്ന് കണ്ണെടുക്കാൻ കഴിയില്ല,
കൂടാതെ ഇത് ഒരു സിലിണ്ടർ പോലെ കാണപ്പെടുന്നു.

- വ്യായാമം. ഗൃഹപാഠം: ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുകയും വോളിയം കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുക.

2-ആം ഗ്രൂപ്പ്. കോൺ (സ്ലൈഡ്).

അമ്മ പറഞ്ഞു: എന്നിട്ട് ഇപ്പോൾ
എൻ്റെ കഥ ശംഖിനെക്കുറിച്ചായിരിക്കും.
ഉയർന്ന തൊപ്പിയിൽ സ്റ്റാർഗേസർ
വർഷം മുഴുവനും നക്ഷത്രങ്ങളെ എണ്ണുന്നു.
കോൺ - സ്റ്റാർഗേസർ തൊപ്പി.
അവൻ അങ്ങനെയാണ്. മനസ്സിലായോ? അത്രയേയുള്ളൂ.
അമ്മ മേശപ്പുറത്ത് നിൽക്കുകയായിരുന്നു,
ഞാൻ കുപ്പികളിൽ എണ്ണ ഒഴിച്ചു.
- ഫണൽ എവിടെയാണ്? ഫണൽ ഇല്ല.
അതിനായി നോക്കുക. അരികിൽ നിൽക്കരുത്.
- അമ്മേ, ഞാൻ വഴങ്ങില്ല.
കോണിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങളോട് കൂടുതൽ പറയുക.
– ഫണൽ ഒരു വെള്ളമൊഴിച്ച് കോണിൻ്റെ രൂപത്തിലാണ്.
വരൂ, അവളെ എനിക്കായി വേഗം കണ്ടെത്തൂ.
എനിക്ക് ഫണൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിഞ്ഞില്ല
പക്ഷേ അമ്മ ഒരു ബാഗ് ഉണ്ടാക്കി,
ഞാൻ കാർഡ്ബോർഡ് വിരലിൽ ചുറ്റി
അവൾ അത് ഒരു പേപ്പർ ക്ലിപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് സമർത്ഥമായി ഉറപ്പിച്ചു.
എണ്ണ ഒഴുകുന്നു, അമ്മ സന്തോഷവതിയാണ്,
കോൺ കൃത്യമായി പുറത്തു വന്നു.

വ്യായാമം ചെയ്യുക. abscissa അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറങ്ങിക്കൊണ്ട് ലഭിച്ച ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുക

വീട്. രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പിനുള്ള ചുമതല. പിരമിഡ്(സ്ലൈഡ്).

ഞാൻ പടം കണ്ടു. ഈ ചിത്രത്തില്
മണൽ മരുഭൂമിയിൽ ഒരു പിരമിഡ് ഉണ്ട്.
പിരമിഡിലെ എല്ലാം അസാധാരണമാണ്,
അതിൽ ഒരുതരം നിഗൂഢതയും നിഗൂഢതയും ഉണ്ട്.
റെഡ് സ്ക്വയറിലെ സ്പസ്കയ ടവറും
കുട്ടികൾക്കും മുതിർന്നവർക്കും ഇത് വളരെ പരിചിതമാണ്.
നിങ്ങൾ ടവറിൽ നോക്കിയാൽ, അത് സാധാരണമാണ്,
എന്താണ് അതിൻ്റെ മുകളിൽ? പിരമിഡ്!

വ്യായാമം ചെയ്യുക.ഗൃഹപാഠം: ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുകയും പിരമിഡിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുക

- ഒരു ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ബോഡികളുടെ വോള്യങ്ങൾക്കായുള്ള അടിസ്ഥാന ഫോർമുലയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ വിവിധ ബോഡികളുടെ വോള്യങ്ങൾ കണക്കാക്കി.

ഗണിതശാസ്ത്ര പഠനത്തിനുള്ള ചില അടിസ്ഥാനം നിശ്ചിത അവിഭാജ്യമാണെന്നതിൻ്റെ മറ്റൊരു സ്ഥിരീകരണമാണിത്.

- ശരി, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അൽപ്പം വിശ്രമിക്കാം.

ഒരു ജോഡി കണ്ടെത്തുക.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഡൊമിനോ മെലഡി നാടകങ്ങൾ.

"ഞാൻ തന്നെ അന്വേഷിച്ച വഴി ഒരിക്കലും മറക്കില്ല..."

ഗവേഷണ പ്രവർത്തനം. സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിലും സാങ്കേതികവിദ്യയിലും സമഗ്രതയുടെ പ്രയോഗം.

ശക്തരായ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഗണിത ഫുട്ബോളിനുമുള്ള ടെസ്റ്റുകൾ.

ഗണിത സിമുലേറ്റർ.

2. തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എല്ലാ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും സെറ്റിനെ വിളിക്കുന്നു

എ) ഒരു അനിശ്ചിത സംയോജനം,

ബി) പ്രവർത്തനം,

ബി) വ്യത്യാസം.

7. വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ abscissa അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുക:

D/Z. ഭ്രമണ ബോഡികളുടെ അളവ് കണക്കാക്കുക.

പ്രതിഫലനം.

രൂപത്തിൽ പ്രതിഫലനത്തിൻ്റെ സ്വീകരണം സമന്വയം(അഞ്ച് വരികൾ).

ആദ്യ വരി - വിഷയത്തിൻ്റെ പേര് (ഒരു നാമം).

രണ്ടാമത്തെ വരി - വിഷയത്തിൻ്റെ വിവരണം രണ്ട് വാക്കുകളിൽ, രണ്ട് നാമവിശേഷണങ്ങൾ.

മൂന്നാമത്തെ വരി - ഈ വിഷയത്തിനുള്ളിലെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വിവരണം മൂന്ന് വാക്കുകളിൽ.

നാലാമത്തെ വരി വിഷയത്തോടുള്ള മനോഭാവം കാണിക്കുന്ന നാല് വാക്കുകളുടെ ഒരു വാക്യമാണ് (ഒരു മുഴുവൻ വാചകം).

അഞ്ചാമത്തെ വരി വിഷയത്തിൻ്റെ സാരാംശം ആവർത്തിക്കുന്ന ഒരു പര്യായമാണ്.

1. വ്യാപ്തം.
2. നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ, സംയോജിത പ്രവർത്തനം.
3. ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു, കറങ്ങുന്നു, കണക്കുകൂട്ടുന്നു.
4. വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് (അതിൻ്റെ ചുവട്ടിൽ) തിരിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന ഒരു ശരീരം.
5. ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ശരീരം (വോള്യൂമെട്രിക് ജ്യാമിതീയ ശരീരം).

ഉപസംഹാരം (സ്ലൈഡ്).

• ഗണിതശാസ്ത്ര പഠനത്തിനുള്ള ഒരു നിശ്ചിത അടിത്തറയാണ് ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ഘടകം, ഇത് പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പകരം വയ്ക്കാനാവാത്ത സംഭാവന നൽകുന്നു.
• "ഇൻ്റഗ്രൽ" എന്ന തീം മാത്തമാറ്റിക്സും ഫിസിക്സും, ബയോളജി, ഇക്കണോമിക്സ്, ടെക്നോളജി എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വ്യക്തമായി പ്രകടമാക്കുന്നു.
• ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിക്കാതെ ആധുനിക ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വികസനം അചിന്തനീയമാണ്. ഇക്കാര്യത്തിൽ, സെക്കൻഡറി സ്പെഷ്യലൈസ്ഡ് വിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ ഇത് പഠിക്കാൻ തുടങ്ങേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്!

ഗ്രേഡിംഗ്. (വ്യാഖ്യാനത്തോടെ.)

മഹാനായ ഒമർ ഖയ്യാം - ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ, കവി, തത്ത്വചിന്തകൻ. നമ്മുടെ സ്വന്തം വിധിയുടെ യജമാനന്മാരാകാൻ അവൻ നമ്മെ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുന്നു. അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ കൃതിയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു ഉദ്ധരണി കേൾക്കാം:

നിങ്ങൾ പറയും, ഈ ജീവിതം ഒരു നിമിഷമാണ്.
അതിനെ അഭിനന്ദിക്കുക, അതിൽ നിന്ന് പ്രചോദനം ഉൾക്കൊള്ളുക.
നിങ്ങൾ അത് ചെലവഴിക്കുമ്പോൾ, അത് കടന്നുപോകും.
മറക്കരുത്: അവൾ നിങ്ങളുടെ സൃഷ്ടിയാണ്.

ഒഴികെ ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നു (കാണുക 7.2.3.)വിഷയത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട പ്രയോഗം വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ഒരു ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുന്നു. മെറ്റീരിയൽ ലളിതമാണ്, പക്ഷേ വായനക്കാരൻ തയ്യാറാകണം: നിങ്ങൾക്ക് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയണം അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യങ്ങൾഇടത്തരം സങ്കീർണ്ണതയും ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുലയും പ്രയോഗിക്കുക നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ, nനിങ്ങൾക്ക് ശക്തമായ ഡ്രോയിംഗ് കഴിവുകളും ആവശ്യമാണ്. പൊതുവേ, ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഇൻ്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസിൽ നിരവധി രസകരമായ ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ ഉണ്ട്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം, ഭ്രമണത്തിൻ്റെ അളവ്, ഒരു കമാനത്തിൻ്റെ നീളം, ഒരു ശരീരത്തിൻ്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം എന്നിവ കണക്കാക്കാം; അതോടൊപ്പം തന്നെ കുടുതല്. കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ ചില ഫ്ലാറ്റ് ഫിഗർ സങ്കൽപ്പിക്കുക. പരിചയപ്പെടുത്തി? ... ഇപ്പോൾ ഈ കണക്കും തിരിക്കാം, കൂടാതെ രണ്ട് തരത്തിൽ തിരിക്കാം:

- x-അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും ;

- ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും .

രണ്ട് കേസുകളും നോക്കാം. ഭ്രമണത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ രീതി പ്രത്യേകിച്ച് രസകരമാണ്; ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ തരം റൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ഒരു അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും പരന്ന രൂപം കറക്കുന്നതിലൂടെ രൂപംകൊണ്ട ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കൽ OX

ഉദാഹരണം 1

ഒരു അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രം തിരിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം:പ്രദേശം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിലെന്നപോലെ, ഒരു പരന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്നാണ് പരിഹാരം ആരംഭിക്കുന്നത്. അതായത്, ഒരു വിമാനത്തിൽ XOYവരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രം നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, കൂടാതെ സമവാക്യം അച്ചുതണ്ടിനെ വ്യക്തമാക്കുന്നു എന്ന കാര്യം മറക്കരുത്. ഇവിടെ ഡ്രോയിംഗ് വളരെ ലളിതമാണ്:

ആവശ്യമുള്ള ഫ്ലാറ്റ് ചിത്രം നീല നിറത്തിൽ ഷേഡുള്ളതാണ്; ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ഫലമായി, അച്ചുതണ്ടിൽ മൂർച്ചയുള്ള രണ്ട് കൊടുമുടികളുള്ള ചെറുതായി അണ്ഡാകാരമായ പറക്കുന്ന തളികയാണ് ഫലം. OX, അച്ചുതണ്ടിനെക്കുറിച്ചുള്ള സമമിതി OX. വാസ്തവത്തിൽ, ശരീരത്തിന് ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര നാമമുണ്ട്, റഫറൻസ് പുസ്തകത്തിൽ നോക്കുക.

ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? ഒരു അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ഫലമായി ഒരു ശരീരം രൂപപ്പെട്ടാൽOX, ഇത് മാനസികമായി ചെറിയ കട്ടിയുള്ള സമാന്തര പാളികളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു dx, അച്ചുതണ്ടിന് ലംബമായവ OX. മുഴുവൻ ശരീരത്തിൻ്റെയും അളവ് അത്തരം പ്രാഥമിക പാളികളുടെ വോള്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. നാരങ്ങയുടെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള കഷ്ണം പോലെ ഓരോ പാളിയും ഉയരം കുറഞ്ഞ സിലിണ്ടറാണ് dxഅടിസ്ഥാന ആരം ഉള്ളതും എഫ്(x). അപ്പോൾ ഒരു പാളിയുടെ വോളിയം അടിസ്ഥാന ഏരിയ π യുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ് എഫ്ഒരു സിലിണ്ടറിന് 2 ഉയരം ( dx), അല്ലെങ്കിൽ π∙ എഫ് 2 (x)∙dx. ഭ്രമണത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ശരീരത്തിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം പ്രാഥമിക വോള്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, അല്ലെങ്കിൽ അനുബന്ധ നിശ്ചിത അവിഭാജ്യമാണ്. സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കാം:

.

"a", "be" എന്നിവയുടെ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ എങ്ങനെ സജ്ജീകരിക്കാമെന്ന് പൂർത്തിയാക്കിയ ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ ഊഹിക്കാൻ കഴിയും. ഫംഗ്‌ഷൻ... എന്താണ് ഈ പ്രവർത്തനം? നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് നോക്കാം. മുകളിലെ പരവലയത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് കൊണ്ട് പ്ലെയിൻ ഫിഗർ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. സൂത്രത്തിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്ന പ്രവർത്തനമാണിത്. പ്രായോഗിക ജോലികളിൽ, ഒരു പരന്ന രൂപം ചിലപ്പോൾ അച്ചുതണ്ടിന് താഴെയായി സ്ഥിതിചെയ്യാം OX. ഇത് ഒന്നും മാറ്റില്ല - ഫോർമുലയിലെ ഫംഗ്ഷൻ സ്ക്വയർ ചെയ്തിരിക്കുന്നു: എഫ് 2 (x), അങ്ങനെ, വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ഒരു ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് എല്ലായ്പ്പോഴും നെഗറ്റീവ് അല്ല, ഇത് വളരെ യുക്തിസഹമാണ്. ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു ഭ്രമണ ബോഡിയുടെ അളവ് കണക്കാക്കാം:

.

ഞങ്ങൾ ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഇൻ്റഗ്രൽ എല്ലായ്പ്പോഴും ലളിതമാണ്, പ്രധാന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക എന്നതാണ്.

ഉത്തരം:

നിങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തിൽ, നിങ്ങൾ അളവ് സൂചിപ്പിക്കണം - ക്യൂബിക് യൂണിറ്റുകൾ. അതായത്, നമ്മുടെ ഭ്രമണശരീരത്തിൽ ഏകദേശം 3.35 "ക്യൂബുകൾ" ഉണ്ട്. എന്തുകൊണ്ട് ക്യൂബിക് യൂണിറ്റുകൾ? കാരണം ഇത് ഏറ്റവും സാർവത്രിക രൂപീകരണമാണ്. ക്യുബിക് സെൻ്റീമീറ്ററുകൾ ഉണ്ടാകാം, ക്യുബിക് മീറ്ററുകൾ ഉണ്ടാകാം, ക്യൂബിക് കിലോമീറ്ററുകൾ ഉണ്ടാകാം, അങ്ങനെയാണ് നിങ്ങളുടെ ഭാവനയ്ക്ക് എത്ര പച്ച മനുഷ്യരെ ഒരു പറക്കുംതളികയിൽ ഉൾപ്പെടുത്താൻ കഴിയുക.

ഉദാഹരണം 2

ഒരു അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണം വഴി രൂപംകൊണ്ട ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുക OXവരകളാൽ ചുറ്റപ്പെട്ട ഒരു രൂപം, ,.

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

ഉദാഹരണം 3

വരികൾ , , അബ്‌സിസ്സ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ചിത്രം തിരിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം:വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു പരന്ന രൂപം നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗിൽ ചിത്രീകരിക്കാം, സമവാക്യം മറക്കാതെ x= 0 അക്ഷം വ്യക്തമാക്കുന്നു OY:

ആവശ്യമുള്ള ചിത്രം നീല നിറത്തിൽ ഷേഡുള്ളതാണ്. ഒരു അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറങ്ങുമ്പോൾ OXഫലം പരന്നതും കോണീയവുമായ ഡോനട്ട് (രണ്ട് കോണാകൃതിയിലുള്ള പ്രതലങ്ങളുള്ള ഒരു വാഷർ) ആണ്.

ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം ശരീരങ്ങളുടെ അളവിലുള്ള വ്യത്യാസം. ആദ്യം, ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചിത്രം നോക്കാം. ഒരു അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറങ്ങുമ്പോൾ OXഫലം ഒരു വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ കോൺ ആണ്. ഈ വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ കോണിൻ്റെ അളവ് നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം വി 1 .

പച്ച നിറത്തിൽ വട്ടമിട്ടിരിക്കുന്ന ചിത്രം പരിഗണിക്കുക. നിങ്ങൾ ഈ ചിത്രം അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ OX, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരേ വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ കോൺ ലഭിക്കും, കുറച്ച് ചെറുതായി മാത്രം. നമുക്ക് അതിൻ്റെ അളവ് സൂചിപ്പിക്കാം വി 2 .

വോള്യങ്ങളിലെ വ്യത്യാസം വ്യക്തമാണ് വി = വി 1 - വി 2 എന്നത് ഞങ്ങളുടെ "ഡോനട്ടിൻ്റെ" വോളിയമാണ്.

ഒരു വിപ്ലവത്തിൻ്റെ അളവ് കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

1) ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചിത്രം മുകളിൽ ഒരു നേർരേഖയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ:

2) പച്ച നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചിത്രം മുകളിൽ ഒരു നേർരേഖയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ:

3) ആവശ്യമുള്ള വിപ്ലവത്തിൻ്റെ അളവ്:

ഉത്തരം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ കോണിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സ്കൂൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം പരിശോധിക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് രസകരമാണ്.

തീരുമാനം തന്നെ പലപ്പോഴും ഹ്രസ്വമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ഇതുപോലുള്ള ഒന്ന്:

I. റൊട്ടേഷൻ ബോഡികളുടെ വോള്യങ്ങൾ. ജി.എം. ഫിഖ്‌തെൻഗോൾട്ട്‌സിൻ്റെ പാഠപുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് അദ്ധ്യായം XII, ഖണ്ഡിക 197, 198 എന്നിവ പ്രാഥമികമായി പഠിക്കുക * ഖണ്ഡിക 198 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യുക.

508. ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും ഒരു ദീർഘവൃത്തം കറക്കുന്നതിലൂടെ രൂപംകൊണ്ട ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുക.

അങ്ങനെ,

530. സൈനസോയിഡ് ആർക്ക് y = sin x എന്ന ബിന്ദു X = 0 മുതൽ പോയിൻ്റ് X = It വരെയുള്ള സൈനസോയിഡ് ആർക്ക് y = sin x ൻ്റെ ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും ഭ്രമണം വഴി രൂപപ്പെട്ട ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

531. ഉയരം h ഉം r ആരവും ഉള്ള ഒരു കോണിൻ്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക.

532. രൂപംകൊണ്ട ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും x3 -)- y* - a3 ഭ്രമണം.

533. ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും 18 ug - x (6 - x) z എന്ന വക്രത്തിൻ്റെ ലൂപ്പ് കറക്കുന്നതിലൂടെ രൂപപ്പെട്ട ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക.

534. ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള X2 - j - (y-3)2 = 4 എന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ ഭ്രമണത്താൽ ഉണ്ടാകുന്ന ടോറസിൻ്റെ ഉപരിതലം കണ്ടെത്തുക.

535. ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള X = a cost, y = asint എന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ ഭ്രമണത്താൽ രൂപപ്പെടുന്ന ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക.

536. ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള x = 9t2, y = St - 9t3 എന്ന വക്രത്തിൻ്റെ ലൂപ്പിൻ്റെ ഭ്രമണത്താൽ രൂപംകൊണ്ട ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക.

537. ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള x = e*sint, y = el വിലയുടെ കർവ് ആർക്ക് ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

t = 0 മുതൽ t = — വരെ.

538. Oy അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള സൈക്ലോയ്ഡ് ആർക്ക് x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന ഉപരിതലം 16 u2 o2 ന് തുല്യമാണെന്ന് കാണിക്കുക.

539. ധ്രുവീയ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കാർഡിയോയിഡ് കറക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച ഉപരിതലം കണ്ടെത്തുക.

540. ലെംനിസ്കേറ്റിൻ്റെ ഭ്രമണത്താൽ രൂപപ്പെട്ട ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക ധ്രുവ അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും.

അധ്യായം IV-നുള്ള അധിക ജോലികൾ

വിമാന രൂപങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ

541. വക്രതയാൽ ചുറ്റപ്പെട്ട പ്രദേശത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ പ്രദേശവും കണ്ടെത്തുക ഒപ്പം ആക്സിസ് ഓക്സ്.

542. വക്രതയാൽ ചുറ്റപ്പെട്ട പ്രദേശത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

ഒപ്പം ആക്സിസ് ഓക്സ്.

543. ആദ്യത്തെ ക്വാഡ്രൻ്റിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതും വക്രതയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതുമായ പ്രദേശത്തിൻ്റെ ഭാഗം കണ്ടെത്തുക

l കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ.

544. ഉള്ളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

ലൂപ്പുകൾ:

545. വക്രത്തിൻ്റെ ഒരു ലൂപ്പിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക:

546. ലൂപ്പിനുള്ളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക:

547. വക്രതയാൽ ചുറ്റപ്പെട്ട പ്രദേശത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

ഒപ്പം ആക്സിസ് ഓക്സ്.

548. വക്രതയാൽ ചുറ്റപ്പെട്ട പ്രദേശത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

ഒപ്പം ആക്സിസ് ഓക്സ്.

549. Oxr അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ പരിധിയിലുള്ള പ്രദേശത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

നേരായ വക്രം