ഒരു ആകൃതിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഞാൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്തും?

ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മാത്രമല്ല വിവിധ ആകൃതികളുടെ മേഖലകൾ അറിയാനും കണക്കുകൂട്ടാനും കഴിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. പരിസരത്തിന്റെ അറ്റകുറ്റപ്പണികൾക്കായി എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ തയ്യാറാക്കുമ്പോഴോ പരിശോധിക്കുമ്പോഴോ ആവശ്യമായ എണ്ണം കണക്കാക്കുമ്പോഴോ നിങ്ങൾക്ക് ഈ അറിവില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല സപ്ലൈസ്... അതിനാൽ വിവിധ ആകൃതികളുടെ മേഖലകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം.

ഒരു അടച്ച കോണ്ടറിനുള്ളിൽ അടച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു വിമാനത്തിന്റെ ഭാഗത്തെ ഈ വിമാനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പ്രദേശം അതിൽ തടവുകാരുടെ എണ്ണം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു ചതുര യൂണിറ്റുകൾ.

മെയിനിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ, നിങ്ങൾ ശരിയായ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കണം.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

ഇതിഹാസം:

1. H, a അറിയപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, ആവശ്യമുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് വശത്തിന്റെ നീളവും ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരവും ഈ ഭാഗത്തേക്ക് വീഴുകയും പകുതിയായി വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: S = (a h) / 2
2. എ, ബി, സി അറിയാമെങ്കിൽ, ആവശ്യമായ പ്രദേശം ഹെറോണിന്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു: ത്രികോണത്തിന്റെ പരിധിയുടെ പകുതിയുടെ ഉൽപന്നത്തിൽ നിന്ന് എടുത്ത സ്ക്വയർ റൂട്ടും പരിധിയുടെ പകുതിയും ത്രികോണത്തിന്റെ ഓരോ വശവും മൂന്ന് വ്യത്യാസങ്ങൾ: എസ് = √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
3. A, b, known അറിയാമെങ്കിൽ, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 2 വശങ്ങളുടെ ഉല്പന്നത്തിന്റെ പകുതിയായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, ഈ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിന്റെ മൂല്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു: S = (ab sin γ) / 2
4. A, b, c, R അറിയാമെങ്കിൽ, ആവശ്യമായ പ്രദേശം ത്രികോണത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളുടേയും നീളത്തിന്റെ ഉൽപന്നത്തിന്റെ പരിധിയായ വൃത്തത്തിന്റെ നാല് ആരം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നതായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: S = (a b c) / 4R
5. P, r അറിയപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ ആവശ്യമായ വിസ്തീർണ്ണം രേഖപ്പെടുത്തിയ വൃത്തത്തിന്റെ ആരം കൊണ്ട് പരിധിയുടെ പകുതി ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: S = p r

സ്ക്വയർ ഏരിയ

ഇതിഹാസം:

1. വശം അറിയാമെങ്കിൽ, ഈ ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: S = a 2
2. D അറിയാമെങ്കിൽ, ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ ഡയഗണലിന്റെ നീളത്തിന്റെ പകുതിയായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: S = d 2/2

ദീർഘചതുരം പ്രദേശം

ഇതിഹാസം:

• എസ് - നിശ്ചിത പ്രദേശം,
• a, b - ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം.

1. A, b അറിയാമെങ്കിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അതിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ ഉത്പന്നമാണ്: S = a b
2. വശങ്ങളുടെ നീളം അജ്ഞാതമാണെങ്കിൽ, ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കണം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ ഘടക ത്രികോണങ്ങളുടെ മേഖലകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്.

സമാന്തരചലന പ്രദേശം

ഇതിഹാസം:

• എസ് ആവശ്യമായ മേഖലയാണ്,
• a, b - സൈഡ് ദൈർഘ്യം,
• h ആണ് ഈ സമാന്തരചക്രത്തിന്റെ ഉയരത്തിന്റെ നീളം,
• d1, d2 - രണ്ട് ഡയഗണലുകളുടെ നീളം,
• വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കോണാണ്,
• ഡയഗണലുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണാണ് γ.

1. A, h അറിയാമെങ്കിൽ, വശത്തിന്റെ നീളവും ഈ വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തിയ ഉയരവും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് ആവശ്യമായ പ്രദേശം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: S = a h
2. എ, ബി, known അറിയാമെങ്കിൽ, സമാന്തരചക്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം സമാന്തരചക്രത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളവും ഈ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിന്റെ മൂല്യവും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: എസ് = എ ബി പാപം
3. D 1, d 2, known അറിയാമെങ്കിൽ, സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഡയഗണലുകളുടെ ദൈർഘ്യത്തിന്റെ ഉൽപന്നത്തിന്റെ പകുതിയും ഈ ഡയഗണലുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിന്റെ മൂല്യവും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: S = (d 1 d 2 sinγ) / 2

റോംബസ് പ്രദേശം

ഇതിഹാസം:

• എസ് ആവശ്യമായ മേഖലയാണ്,
• a - സൈഡ് നീളം,
• h - ഉയരം നീളം,
• രണ്ട് വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ചെറിയ കോണാണ് α
• d1, d2 - രണ്ട് ഡയഗണലുകളുടെ ദൈർഘ്യം.

1. എ, എച്ച് അറിയാമെങ്കിൽ, റോംബസിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് വശത്തിന്റെ നീളം ഈ വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തിയ ഉയരത്തിന്റെ നീളം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചുകൊണ്ടാണ്: എസ് = എ
2. A, known അറിയാമെങ്കിൽ, റോംബസിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ ചതുരം വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചുകൊണ്ടാണ്: S = a 2 sin α
3. D 1, d 2 എന്നിവ അറിയാമെങ്കിൽ, ആവശ്യമായ പ്രദേശം റോംബസിന്റെ ഡയഗണലുകളുടെ നീളത്തിന്റെ ഉൽപന്നത്തിന്റെ പകുതിയായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: S = (d 1 d 2) / 2

ട്രപീസിയം പ്രദേശം

ഇതിഹാസം:

1. എ, ബി, സി, ഡി അറിയാമെങ്കിൽ, ആവശ്യമായ പ്രദേശം ഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: എസ് = (എ + ബി) / 2 * √.
2. അറിയപ്പെടുന്ന a, b, h ഉപയോഗിച്ച്, ആവശ്യമായ പ്രദേശം അടിത്തറയുടെ പകുതി തുകയുടെയും ട്രപസോയിഡിന്റെ ഉയരത്തിന്റെയും ഉൽപന്നമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: S = (a + b) / 2 h

ഒരു കുത്തനെയുള്ള ചതുർഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

ഇതിഹാസം:

1. D 1, d 2, known അറിയാമെങ്കിൽ, ഒരു കുത്തനെയുള്ള ചതുർഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ ഡയഗണലുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിന്റെ മൂല്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്ന ചതുർഭുജത്തിന്റെ ഡയഗണലുകളുടെ ഉൽപന്നത്തിന്റെ പകുതിയായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: S = ( d 1 d 2 പാപം α) / 2
2. അറിയപ്പെടുന്ന p, r ന്, ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ചതുർഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ ചതുർഭുജത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം കൊണ്ട് ചതുർഭുജത്തിന്റെ അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ ഉൽപന്നമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു: S = p r
3. A, b, c, d, known അറിയാമെങ്കിൽ, ഒരു കുത്തനെയുള്ള ചതുർഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഉൽപന്നങ്ങളുടെ അർദ്ധ-ചുറ്റളവിലെ വ്യത്യാസത്തിന്റെയും ഓരോ വശത്തിന്റെയും ദൈർഘ്യത്തിന്റെയും ഉത്പന്നങ്ങളുടെ വർഗ്ഗമൂലമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും ദൈർഘ്യവും രണ്ട് വിപരീത കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ കൊസൈൻ പകുതിയുടെ ചതുരവും: S 2 = (p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α +) β) / 2)

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

ഇതിഹാസം:

R അറിയപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, ആവശ്യമുള്ള വിസ്തീർണ്ണം ആരം സ്ക്വയറിലൂടെ number എന്ന സംഖ്യയുടെ ഉൽപന്നമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: S = π r 2

D അറിയാമെങ്കിൽ, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം വ്യാസത്തിന്റെ ചതുരത്താൽ four ന്റെ ഉൽപന്നമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, നാലായി വിഭജിക്കപ്പെടും: S = (π d 2) / 4

സങ്കീർണ്ണമായ കണക്ക് പ്രദേശം

സങ്കീർണ്ണമായവയെ ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളായി തിരിക്കാം. ഒരു സങ്കീർണ്ണ രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഘടക മേഖലകളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം എന്നാണ് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു മോതിരം പരിഗണിക്കുക.

പദവി:

• എസ് ആണ് വളയത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം,
• R, r എന്നിവയാണ് യഥാക്രമം ബാഹ്യവും ആന്തരികവുമായ വൃത്തങ്ങളുടെ ആരം.
• ഡി, ഡി - യഥാക്രമം പുറം, അകത്തെ സർക്കിളുകളുടെ വ്യാസം.

വളയത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, വലിയ വൃത്തത്തിന്റെ പ്രദേശത്ത് നിന്ന് പ്രദേശം കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് ചെറിയ വൃത്തം. S = S1 -S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

അങ്ങനെ, ആർ, ആർ എന്നിവ അറിയാമെങ്കിൽ, വളയത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ബാഹ്യവും ആന്തരികവുമായ സർക്കിളുകളുടെ ചതുരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ്, ഇത് പൈ: എസ് = π (ആർ 2 -r 2) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു ).

ഡി, ഡി എന്നിവ അറിയാമെങ്കിൽ, റിംഗിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പുറം, അകത്തെ സർക്കിളുകളുടെ വ്യാസങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ നാലിലൊന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നു, ഇത് പൈ: എസ് = (1/4) എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. ഡി 2 -ഡി 2) π.

ഷേഡുള്ള ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

ഒരു ചതുരത്തിനുള്ളിൽ (A) മറ്റൊന്ന് (B) (ചെറുത്) ആണെന്ന് കരുതുക, "A", "B" എന്നീ രൂപങ്ങൾക്കിടയിൽ പൂരിപ്പിച്ച അറ നാം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു ചെറിയ ചതുരത്തിന്റെ "ഫ്രെയിം" എന്ന് പറയാം. ഇതിനായി:

1. ചിത്രം "എ" യുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക (ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു).
2. അതുപോലെ, "ബി" എന്ന ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
3. "A" ഏരിയയിൽ നിന്ന് "B" പ്രദേശം കുറയ്ക്കുക. അങ്ങനെ പൂരിപ്പിച്ച ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

വ്യത്യസ്ത ആകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശങ്ങൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം.

ജ്യാമിതിയിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പോലുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളും നിങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്ന ലളിതമായ തന്ത്രങ്ങളും നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം.

ആദ്യം, നമുക്ക് കണക്കുകളുടെ മേഖലകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കാം. സൗകര്യപ്രദമായ ഒരു പട്ടികയിൽ ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം ശേഖരിച്ചിട്ടുണ്ട്. അച്ചടിക്കുക, പഠിക്കുക, പ്രയോഗിക്കുക!

തീർച്ചയായും, എല്ലാ ജ്യാമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഞങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ ഇല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഗണിതത്തിലെ USE പ്രൊഫൈലിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗത്തിലെ ജ്യാമിതിയിലും സ്റ്റീരിയോമെട്രിയിലും പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മേഖലയ്ക്കുള്ള മറ്റ് ഫോർമുലകളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. അവരെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും നിങ്ങളോട് പറയും.

എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഒരു ട്രപസോയിഡിന്റെ അല്ലെങ്കിൽ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണമല്ല, മറിച്ച് ചില സങ്കീർണ്ണ രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? സാർവത്രിക മാർഗങ്ങളുണ്ട്! FIPI ജോബ് ബാങ്കിൽ നിന്നുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളോടെ ഞങ്ങൾ അവരെ കാണിക്കും.

1. നിലവാരമില്ലാത്ത ആകൃതിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഉദാഹരണത്തിന്, ഏകപക്ഷീയമായ ചതുർഭുജം? ഈ കണക്ക് നമുക്കെല്ലാവർക്കും അറിയാവുന്നവയായി വിഭജിച്ച് അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഈ തന്ത്രങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം.

ഒരു തിരശ്ചീന രേഖയുള്ള ഈ ചതുരം രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിച്ച് ഒരു പൊതു അടിത്തറയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ ഉയരം ഒപ്പം . അപ്പോൾ ചതുർഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെ മേഖലകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

ഉത്തരം:.

2. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ചില പ്രദേശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

ഈ ത്രികോണത്തിൽ അടിത്തറയും ഉയരവും തുല്യമായി കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമല്ല! എന്നാൽ അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളും മൂന്ന് വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങളും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയും. നിങ്ങൾ അവരെ ചിത്രത്തിൽ കാണുന്നുണ്ടോ? നമുക്ക് ലഭിക്കും:.

ഉത്തരം:.

3. ചിലപ്പോൾ ടാസ്കിൽ മുഴുവൻ രൂപത്തിന്റെയും അല്ല, അതിന്റെ ഭാഗത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സാധാരണയായി നമ്മൾ ഒരു മേഖലയുടെ മേഖലയെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത് - ഒരു സർക്കിളിന്റെ ഒരു ഭാഗം. ഒരു ആരം വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു മേഖലയുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക, അതിന്റെ ഒരു ആർക്കിന്റെ നീളം .

ഈ ചിത്രത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു സർക്കിളിന്റെ ഭാഗം കാണുന്നു. മുഴുവൻ സർക്കിളിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ്. സർക്കിളിന്റെ ഏത് ഭാഗമാണ് ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നതെന്ന് കാണേണ്ടതുണ്ട്. മുഴുവൻ സർക്കിളിന്റെയും നീളം (മുതൽ) ആയതിനാൽ, ഈ മേഖലയുടെ ആർക്കിന്റെ നീളം അതിനാൽ, ആർക്കിന്റെ നീളം മുഴുവൻ വൃത്തത്തിന്റെ നീളത്തേക്കാൾ ഒരു മടങ്ങ് കുറവാണ്. ഈ ആർക്ക് നിൽക്കുന്ന കോണും ഒരു പൂർണ്ണ വൃത്തത്തേക്കാൾ ഒരു മടങ്ങ് കുറവാണ് (അതായത് ഡിഗ്രി). ഇതിനർത്ഥം ഈ മേഖലയുടെ വിസ്തീർണ്ണം മുഴുവൻ സർക്കിളിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തേക്കാൾ ഒരു മടങ്ങ് കുറവായിരിക്കും എന്നാണ്.

ശരിയായതും ക്രമരഹിതവുമായ അനന്തമായ എണ്ണം വ്യത്യസ്ത ആകൃതികളുടെ അനന്തമായ എണ്ണം ഉണ്ട്. എല്ലാ കണക്കുകളുടെയും പൊതുസ്വത്ത് അവയിൽ ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രദേശമുണ്ട് എന്നതാണ്. പ്രത്യേക യൂണിറ്റുകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ആ രൂപങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വിമാനത്തിന്റെ ഭാഗത്തിന്റെ അളവുകളാണ് ആകൃതികളുടെ മേഖലകൾ. ഈ മൂല്യം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. അളക്കാനുള്ള യൂണിറ്റ് ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണമാണ്, അതിന്റെ വശം ഒരു യൂണിറ്റ് നീളത്തിന് തുല്യമാണ് (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു മീറ്റർ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സെന്റിമീറ്റർ). ഏതെങ്കിലും ആകൃതിയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ഏകദേശ മൂല്യം ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കൊണ്ട് വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന യൂണിറ്റ് സ്ക്വയറുകളുടെ എണ്ണം ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് കണക്കാക്കാം.

ഈ ആശയത്തിന്റെ മറ്റ് നിർവചനങ്ങൾ ഇപ്രകാരമാണ്:

1. ലളിതമായ കണക്കുകളുടെ മേഖലകൾ നിബന്ധനകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സ്കെയിലർ പോസിറ്റീവ് അളവുകളാണ്:

തുല്യ കണക്കുകൾക്ക് തുല്യ മേഖലകളുണ്ട്;

ഒരു ചിത്രം ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ (ലളിതമായ കണക്കുകൾ), അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ കണക്കുകളുടെ മേഖലകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്;

ഒരു യൂണിറ്റ് അളവിന്റെ വശമുള്ള ഒരു ചതുരം വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ഒരു യൂണിറ്റായി വർത്തിക്കുന്നു.

2. സങ്കീർണ്ണമായ ആകൃതിയിലുള്ള (ബഹുഭുജങ്ങൾ) രൂപങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുള്ള പോസിറ്റീവ് അളവുകളാണ്:

തുല്യ ബഹുഭുജങ്ങൾക്ക് ഒരേ പ്രദേശമുണ്ട്;

ബഹുഭുജം മറ്റ് പല ബഹുഭുജങ്ങളാൽ നിർമ്മിതമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പിന്നീടുള്ള പ്രദേശങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യാത്ത ബഹുഭുജങ്ങൾക്ക് ഈ നിയമം ശരിയാണ്.

ഒരു പ്രമാണമെന്ന നിലയിൽ, കണക്കുകളുടെ മേഖലകൾ (ബഹുഭുജങ്ങൾ) പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങളാണെന്ന് അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഒരു സർക്കിളിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു സർക്കിളിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം വളരുന്ന മൂല്യം എന്ന നിലയിൽ ഒരു സർക്കിളിന്റെ ഏരിയയുടെ നിർവചനം പ്രത്യേകം നൽകിയിരിക്കുന്നു - അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തതയിലേക്കാണ്.

ക്രമരഹിതമായ ആകൃതികളുടെ മേഖലകൾക്ക് (ഏകപക്ഷീയമായ ആകൃതികൾ) ഒരു നിർവചനവുമില്ല, അവ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ മാത്രമാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്.

പ്രദേശങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ പുരാതന കാലത്ത് ഭൂമി പ്ലോട്ടുകളുടെ വലുപ്പം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിൽ ഒരു പ്രധാന പ്രായോഗിക ചുമതലയായിരുന്നു. നൂറുകണക്കിന് വർഷങ്ങളായി പ്രദേശങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ ഗ്രീക്ക് ശാസ്ത്രജ്ഞർ രൂപീകരിക്കുകയും യൂക്ലിഡിന്റെ മൂലകങ്ങളിൽ സിദ്ധാന്തങ്ങളായി അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. അവയിലെ ലളിതമായ കണക്കുകളുടെ മേഖലകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ ഇപ്പോഴത്തെപ്പോലെ തന്നെയാണെന്നത് രസകരമാണ്. ഒരു വളഞ്ഞ കോണ്ടൂർ ഉള്ള പ്രദേശങ്ങൾ പരിധിയിലേക്ക് കടന്നുപോകുന്നത് ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടുന്നു.

സ്കൂളിൽ നിന്ന് എല്ലാവർക്കും പരിചിതമായ ലളിതമായ ദീർഘചതുരം, ചതുരം) എന്നിവയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ വളരെ ലളിതമാണ്. അക്ഷര പദവികൾ അടങ്ങുന്ന കണക്കുകളുടെ മേഖലകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനmorപാഠമാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. കുറച്ച് ഓർമ്മിച്ചാൽ മതി ലളിതമായ നിയമങ്ങൾ:

2. ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത് അതിന്റെ നീളം അതിന്റെ വീതി കൊണ്ട് ഗുണിച്ചുകൊണ്ടാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നീളവും വീതിയും ഒരേ അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

3. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത് അതിനെ ലളിതമായ നിരവധി ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മേഖലകൾ ചേർത്താണ്.

4. ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ ഡയഗണൽ അതിനെ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, അതിന്റെ പ്രദേശങ്ങൾ അതിന്റെ വിസ്തൃതിയുടെ പകുതിയും തുല്യവുമാണ്.

5. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ ഉയരത്തിന്റെയും അടിത്തറയുടെയും പകുതി ഉൽപന്നമായി കണക്കാക്കുന്നു.

6. വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം "π" എന്ന അറിയപ്പെടുന്ന സംഖ്യയുടെ ആരം ചതുരത്തിന്റെ ഉൽപന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.

7. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത് തൊട്ടടുത്ത വശങ്ങളുടെ ഉൽപന്നമായും അവയ്ക്കിടയിൽ കിടക്കുന്ന കോണിന്റെ സൈനായും ആണ്.

8. റോംബസിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ആന്തരിക കോണിലെ സൈനാൽ ഡയഗണലുകളെ ഗുണിച്ചതിന്റെ ഫലമാണ്.

9. ട്രപസോയിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ ഉയരം മിഡ്‌ലൈനിന്റെ നീളം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ കണ്ടെത്തി, ഇത് അടിത്തറയുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്. ഒരു ട്രപസോയിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു ഓപ്ഷൻ അതിന്റെ ഡയഗണലുകളും അവയ്ക്കിടയിൽ കിടക്കുന്ന കോണിന്റെ സൈനും വർദ്ധിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്.

കുട്ടികൾ പ്രാഥമിക വിദ്യാലയംവ്യക്തതയ്ക്കായി, ജോലികൾ പലപ്പോഴും നൽകാറുണ്ട്: ഒരു പാലറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ സുതാര്യമായ പേപ്പറിന്റെ ഷീറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് സെല്ലുകളായി മുറിച്ച പേപ്പറിൽ വരച്ച ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. അളന്ന കണക്കിൽ അത്തരമൊരു പേപ്പർ ഷീറ്റ് സൂപ്പർഇമ്പോസ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു, അതിന്റെ കോണ്ടറിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പൂർണ്ണ സെല്ലുകളുടെ എണ്ണം (പ്രദേശത്തിന്റെ യൂണിറ്റുകൾ) കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് അപൂർണ്ണമായ സെല്ലുകളുടെ എണ്ണം പകുതിയായി വിഭജിക്കുന്നു.

ഭൂമിയെ എങ്ങനെ അളക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് പുരാതന കാലം മുതൽ ക്രമേണ ജ്യാമിതിയുടെ ശാസ്ത്രമായി പരിണമിച്ചു. ഈ വാക്ക് ഗ്രീക്ക് ഭാഷയിൽ നിന്ന് വിവർത്തനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട് - "സർവേയിംഗ്".

ഭൂമിയുടെ പരന്ന പ്രദേശത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും അളക്കുന്നത് പ്രദേശമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഇത് സാധാരണയായി ലാറ്റിൻ അക്ഷരമായ S (ഇംഗ്ലീഷ് "ചതുരം" - "പ്രദേശം", "ചതുരം") അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം σ (സിഗ്മ) സൂചിപ്പിക്കുന്നു. S എന്നത് ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ശരീരത്തിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം, σ എന്നത് ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു വയറിന്റെ ക്രോസ്-സെക്ഷണൽ ഏരിയയാണ്. ഇവയാണ് പ്രധാന ചിഹ്നങ്ങൾ, മറ്റുള്ളവ ഉണ്ടാകാമെങ്കിലും, ഉദാഹരണത്തിന്, മെറ്റീരിയലുകളുടെ ശക്തിയുടെ മേഖലയിൽ, പ്രൊഫൈലിന്റെ ക്രോസ്-സെക്ഷണൽ ഏരിയയാണ്.

എന്നിവരുമായി ബന്ധപ്പെടുന്നു

കണക്കുകൂട്ടൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ലളിതമായ ആകൃതികളുടെ മേഖലകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പാരാമീറ്ററുകൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും... പുരാതന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ എളുപ്പത്തിൽ കണക്കുകൂട്ടാൻ കഴിയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. അത്തരം കണക്കുകൾ ഒരു ത്രികോണം, ചതുർഭുജം, ബഹുഭുജം, വൃത്തം എന്നിവയാണ്.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ പ്ലാനർ രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, അത് ത്രികോണങ്ങൾ, ട്രപസോയിഡുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ദീർഘചതുരങ്ങൾ എന്നിങ്ങനെയുള്ള ലളിതമായ രൂപങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. തുടർന്ന്, ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികളിലൂടെ, ഈ ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള ഒരു ഫോർമുല ഉരുത്തിരിഞ്ഞു. ജ്യാമിതിയിൽ മാത്രമല്ല, ഗണിത വിശകലനത്തിലും സമാനമായ രീതി വളവുകളാൽ ചുറ്റപ്പെട്ട കണക്കുകളുടെ മേഖലകൾ കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ത്രികോണം

ഏറ്റവും ലളിതമായ ആകൃതിയിൽ തുടങ്ങാം - ഒരു ത്രികോണം. അവ ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതും ഐസോസെൽസും സമഭുജവുമാണ്. AB = a, BC = b, AC = c (∆ ABC) എന്നീ വശങ്ങളുള്ള ഏത് ത്രികോണവും ABC എടുക്കുക. അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, നമുക്കറിയാവുന്നവ ഓർമ്മിക്കാം സ്കൂൾ കോഴ്സ്സൈനുകളുടെയും കൊസൈനുകളുടെയും ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തം. എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും റിലീസ് ചെയ്യുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളിലേക്ക് വരുന്നു:

• S = √ എന്നത് അറിയപ്പെടുന്ന ഹെറോൺ ഫോർമുലയാണ്, ഇവിടെ p = (a + b + c) / 2 ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ അർദ്ധ ചുറ്റളവാണ്;
• S = a h / 2, ഇവിടെ h എന്നത് ഉയരം ഒരു വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്നു;
• S = a b (sin γ) / 2, γ എന്നത് a, b എന്നീ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കോണാണ്;
• S = a b / 2, ∆ ABC ദീർഘചതുരമാണെങ്കിൽ (ഇവിടെ a യും b യും കാലുകളാണ്);
• S = b² (sin (2 β)) / 2, ∆ ABC ഐസോസെൽസ് ആണെങ്കിൽ (ഇവിടെ b എന്നത് "ഇടുപ്പുകളിൽ" ഒന്നാണ്, β എന്നത് ത്രികോണത്തിന്റെ "ഇടുപ്പ്" തമ്മിലുള്ള കോണാണ്);
• S = a² √¾ എങ്കിൽ ABC സമഭുജമാണ് (ഇവിടെ a എന്നത് ത്രികോണത്തിന്റെ വശമാണ്).

ചതുർഭുജം

AB = a, BC = b, CD = c, AD = d ഉള്ള ഒരു ചതുർഭുജ ABCD ഉണ്ടാകട്ടെ. ഏകപക്ഷീയമായ 4-ഗോണിന്റെ S പ്രദേശം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിനെ ഡയഗണലിലൂടെ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്, S1, S2 എന്നിവ സാധാരണയായി തുല്യമല്ലാത്ത മേഖലകൾ.

തുടർന്ന്, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, അവ കണക്കുകൂട്ടുക, ചേർക്കുക, അതായത്, S = S1 + S2. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു 4-ഗോൺ ഒരു പ്രത്യേക വിഭാഗത്തിൽ പെട്ടതാണെങ്കിൽ, മുമ്പ് അറിയപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ പ്രദേശം കണ്ടെത്താനാകും:

• S = (a + c) h / 2 = eh, 4-gon ഒരു ട്രപസോയിഡ് ആണെങ്കിൽ (ഇവിടെ a, c അടിസ്ഥാനങ്ങളാണ്, e എന്നത് ട്രപസോയിഡിന്റെ മധ്യരേഖയാണ്, h എന്നത് ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് താഴ്ത്തപ്പെട്ട ഉയരം ട്രപസോയിഡ്;
• S = a h = a b sin φ = d1 d2 (sin φ) / 2, ABCD ഒരു സമാന്തരചലനമാണെങ്കിൽ (ഇവിടെ sides എന്നത് വശങ്ങളും a യും തമ്മിലുള്ള കോണാണ്, h എന്നത് ഉയരം a, d1, d2 എന്നിവ ഡയഗണലുകളാണ്);
• S = a b = d² / 2, ABCD ഒരു ദീർഘചതുരം ആണെങ്കിൽ (d ഒരു ഡയഗണൽ ആണ്);
• S = a² sin φ = P² (sin sin) / 16 = d1 d2 / 2, ABCD ഒരു റോംബസ് ആണെങ്കിൽ (a റോംബസിന്റെ വശമാണ്, its അതിന്റെ ഒരു മൂലയാണ്, P എന്നത് ചുറ്റളവാണ്);
• S = a² = P² / 16 = d² / 2 ABCD ഒരു ചതുരമാണെങ്കിൽ.

ബഹുഭുജം

ഒരു n-gon- ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അതിനെ ഏറ്റവും ലളിതമായ തുല്യ ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിച്ച്, ഓരോന്നിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തി, തുടർന്ന് അവ ചേർക്കുക. എന്നാൽ ബഹുഭുജം സാധാരണ വിഭാഗത്തിൽ പെട്ടതാണെങ്കിൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

S = anh / 2 = a² n / = P² /, n എന്നത് ബഹുഭുജത്തിന്റെ ശീർഷങ്ങളുടെ (അല്ലെങ്കിൽ വശങ്ങളുടെ) എണ്ണമാണ്, a എന്നത് n- ഗോണിന്റെ വശമാണ്, P എന്നത് അതിന്റെ പരിധിയാണ്, h എന്നത് അപ്പോഥെം ആണ്, അതായത് , ബഹുഭുജത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് നിന്ന് അതിന്റെ വശങ്ങളിലൊന്നിലേക്ക് 90 ° കോണിൽ വരച്ച ഒരു സെഗ്മെന്റ്.

ഒരു വൃത്തം

അനന്തമായ വശങ്ങളുള്ള ഒരു തികഞ്ഞ ബഹുഭുജമാണ് വൃത്തം.... വശങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തതയിലേക്ക് പോകുമ്പോൾ ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള ഫോർമുലയിൽ വലതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗത്തിന്റെ പരിധി ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബഹുഭുജത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് R ന്റെ ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ നീളം ആയി മാറും, അത് ഞങ്ങളുടെ സർക്കിളിന്റെ അതിർത്തിയായിരിക്കും, കൂടാതെ P = 2 π R ന് തുല്യമാകും. നമുക്ക് ലഭിക്കും:

എസ് = (π² R² cos (180 ° / n)) / (n പാപം (180 ° / n)).

ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ പരിധി n → as ആയി നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ലിം (cos (180 ° / n)) n → cos cos 0 ° = 1 ന് തുല്യമാണ് (ലിം എന്നത് പരിധി അടയാളമാണ്), ലിം = lim n as 1 എന്നത് തുല്യമാണ് / π (measure rad = 180 ° എന്ന അനുപാതം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ റേഡിയനിലേക്ക് ഡിഗ്രി അളവ് വിവർത്തനം ചെയ്യുകയും ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി ലിം (പാപം x) / x = 1 x → applied ആയി പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്തു). S- ന്റെ അവസാന എക്സ്പ്രഷനിൽ ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുലയിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

എസ് = π² R² 1 (1 / π) = π R².

യൂണിറ്റുകൾ

സിസ്റ്റം, നോൺ-സിസ്റ്റം യൂണിറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു... സിസ്റ്റം യൂണിറ്റുകൾ SI (ഇന്റർനാഷണൽ സിസ്റ്റം) സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഇത് ഒരു ചതുരശ്ര മീറ്ററാണ് (ചതുരശ്ര മീറ്റർ, m²) അതിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ യൂണിറ്റുകൾ: mm², cm², km².

ഉദാഹരണത്തിന്, ചതുരശ്ര മില്ലിമീറ്ററിൽ (mm²), ഇലക്ട്രിക്കൽ എഞ്ചിനീയറിംഗിലെ വയറുകളുടെ ക്രോസ് -സെക്ഷണൽ വിസ്തീർണ്ണം, ചതുര സെന്റിമീറ്ററിൽ (cm²) - ഘടനാപരമായ മെക്കാനിക്സിലെ ഒരു ബീം ക്രോസ് -സെക്ഷനുകൾ, ചതുരശ്ര മീറ്ററിൽ (m²) - അപ്പാർട്ട്മെന്റുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ചതുരശ്ര കിലോമീറ്ററിൽ (km²) വീടുകൾ - ഭൂമിശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രദേശങ്ങൾ ...

എന്നിരുന്നാലും, ചിലപ്പോൾ വ്യവസ്ഥാപിതമല്ലാത്ത അളവെടുക്കൽ യൂണിറ്റുകളും ഉപയോഗിക്കുന്നു: ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങൾ ഇതാ:

• 1 നൂറ് ചതുരശ്ര മീറ്റർ = 1 a = 100 m² = 0.01 ഹെക്ടർ;
• 1 ഹെക്ടർ = 100 a = 100 ares = 10000 m² = 0.01 km² = 2.471 ac;
• 1 ac = 4046.856 m2 = 40.47 a = 40.47 ares = 0.405 ഹെക്ടർ.

നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം. ഒരു ആകൃതിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം

സമഗ്രമായ കാൽക്കുലസിന്റെ പ്രയോഗങ്ങളുടെ പരിഗണനയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ തിരിയുന്നു. ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു സാധാരണവും ഏറ്റവും സാധാരണവുമായ ജോലി വിശകലനം ചെയ്യും. ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പരന്ന രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം... അവസാനമായി, ഉയർന്ന ഗണിതത്തിൽ അർത്ഥം തിരയുന്നവർ - അവർ അത് കണ്ടെത്തിയേക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് ഒരിക്കലും അറിയില്ല. പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി നമുക്ക് സബർബൻ പ്രദേശം ജീവിതത്തിൽ കൂടുതൽ അടുപ്പിക്കുകയും ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ പ്രദേശം കണ്ടെത്തുകയും വേണം.

മെറ്റീരിയൽ വിജയകരമായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യണം:

1) അനിശ്ചിതകാല ഇന്റഗ്രൽ കുറഞ്ഞത് മധ്യനിരയിലെങ്കിലും മനസ്സിലാക്കുക. അതിനാൽ, ഡമ്മികൾ ആദ്യം പാഠം സ്വയം പരിചയപ്പെടുത്തണം അല്ല.

2) ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാനും ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ കണക്കുകൂട്ടാനും കഴിയും. പേജിൽ നിശ്ചിത സമഗ്രതയോടെ നിങ്ങൾക്ക് warmഷ്മളമായ സൗഹൃദങ്ങൾ കെട്ടിപ്പടുക്കാൻ കഴിയും നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

വാസ്തവത്തിൽ, ഒരു രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, അനിശ്ചിതവും നിശ്ചിതവുമായ അവിഭാജ്യത്തെക്കുറിച്ച് ഇത്രയധികം അറിവ് ആവശ്യമില്ല. "ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് പ്രദേശം കണക്കുകൂട്ടുക" എന്ന ടാസ്ക്കിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നുഇതിലും എത്രയോ അധികം സമകാലിക പ്രശ്നംനിങ്ങളുടെ അറിവും ഡ്രോയിംഗ് കഴിവുകളും ആയിരിക്കും. ഇക്കാര്യത്തിൽ, അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ മെമ്മറി പുതുക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്, കൂടാതെ, ഒരു നേർരേഖ, ഒരു പരാബോള, ഹൈപ്പർബോള എന്നിവ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുന്നത്. രീതിശാസ്ത്രപരമായ മെറ്റീരിയലുകളുടെയും ഗ്രാഫുകളുടെ ജ്യാമിതീയ പരിവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ലേഖനത്തിന്റെയും സഹായത്തോടെ ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും (പലർക്കും ഇത് ആവശ്യമാണ്).

വാസ്തവത്തിൽ, സ്കൂൾ മുതൽ ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് പ്രദേശം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം എല്ലാവർക്കും പരിചിതമാണ്, ഞങ്ങൾ സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ നിന്ന് വളരെ മുന്നോട്ട് പോകില്ല. ഈ ലേഖനം നിലവിലില്ലായിരിക്കാം, എന്നാൽ 100 ​​ൽ 99 കേസുകളിൽ പ്രശ്നം ഉണ്ടാകുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത, ഒരു വിദ്യാർത്ഥി ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര കോഴ്സ് പഠിക്കുന്നതിൽ ഉത്സാഹത്തോടെ വെറുക്കപ്പെട്ട റിഗ് അനുഭവിക്കുമ്പോൾ.

ഈ വർക്ക്‌ഷോപ്പിലെ മെറ്റീരിയലുകൾ ലളിതമായും വിശദമായും ചുരുങ്ങിയ സിദ്ധാന്തത്തോടും കൂടി അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ്ഒരു അക്ഷം, നേർരേഖകൾ, ഒരു സെഗ്‌മെന്റിലെ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് എന്നിവയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ഫ്ലാറ്റ് ഫിഗർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് ഈ ഇടവേളയിൽ അടയാളം മാറ്റില്ല. ഈ കണക്ക് സ്ഥിതിചെയ്യട്ടെ കുറവല്ലഅബ്സിസ്സ അക്ഷം:

പിന്നെ ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം സംഖ്യാപരമായി നിശ്ചിത സമഗ്രത്തിന് തുല്യമാണ്... ഏതൊരു നിശ്ചിത സമഗ്രത്തിനും (അത് നിലനിൽക്കുന്നു) വളരെ നല്ല ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമുണ്ട്. ക്ലാസ് മുറിയിൽ നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾഒരു നിശ്ചിത സംയോജനം ഒരു സംഖ്യയാണെന്ന് ഞാൻ പറഞ്ഞു. ഇപ്പോൾ ഉപയോഗപ്രദമായ മറ്റൊരു വസ്തുത പ്രസ്താവിക്കാനുള്ള സമയമായി. ജ്യാമിതിയുടെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ, നിശ്ചിത സമഗ്രത AREA ആണ്.

അതായത്, ഒരു നിശ്ചിത സമഗ്രം (അത് ഉണ്ടെങ്കിൽ) ജ്യാമിതീയമായി ചില രൂപത്തിന്റെ മേഖലയുമായി യോജിക്കുന്നു... ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നിശ്ചിത സംയോജനം പരിഗണിക്കുക. അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന (ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക്) വിമാനത്തിൽ ഒരു വളവ് സജ്ജമാക്കുന്നു, നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ തന്നെ സംഖ്യാപരമായി ബന്ധപ്പെട്ട കർവിലിയർ ട്രപസോയിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 1

അസൈൻമെന്റിന്റെ ഒരു സാധാരണ ഫോർമുലേഷനാണിത്. പരിഹാരത്തിന്റെ ആദ്യത്തേതും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ കാര്യം ഡ്രോയിംഗിന്റെ നിർമ്മാണമാണ്... കൂടാതെ, ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കണം അവകാശം.

ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഓർഡർ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു: ആദ്യംഎല്ലാ വരികളും (ഉണ്ടെങ്കിൽ) മാത്രം നിർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് പിന്നെ- പരബോളകൾ, ഹൈപ്പർബോളകൾ, മറ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ് പോയിന്റായി, പോയിന്റ്-ബൈ-പോയിന്റ് നിർമ്മാണത്തിന്റെ സാങ്കേതികത റഫറൻസ് മെറ്റീരിയലിൽ കാണാം പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളും സവിശേഷതകളും... ഞങ്ങളുടെ പാഠവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നിങ്ങൾക്ക് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ മെറ്റീരിയലുകളും നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും - ഒരു പരബോള എങ്ങനെ വേഗത്തിൽ നിർമ്മിക്കാം.

ഈ പ്രശ്നത്തിൽ, പരിഹാരം ഇതുപോലെയാകാം.
നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് വരയ്ക്കാം (സമവാക്യം അക്ഷത്തെ നിർവ്വചിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക):

ഞാൻ ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് വിരിയിക്കില്ല, ഞങ്ങൾ ഏത് മേഖലയെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് ഇവിടെ വ്യക്തമാണ്. പരിഹാരം ഇതുപോലെ തുടരുന്നു:

സെഗ്മെന്റിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ, അതിനാൽ:

ഉത്തരം:

ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ കണക്കുകൂട്ടാനും ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാനും ആർക്കാണ് ബുദ്ധിമുട്ട് , പ്രഭാഷണം കാണുക നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ടാസ്ക് പൂർത്തിയായ ശേഷം, ബ്ലൂപ്രിന്റ് നോക്കാനും ഉത്തരം യഥാർത്ഥമാണോ എന്ന് കണക്കാക്കാനും എല്ലായ്പ്പോഴും സഹായകരമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, "കണ്ണിലൂടെ" ഞങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗിലെ സെല്ലുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു - നന്നായി, ഏകദേശം 9 ടൈപ്പ് ചെയ്യും, ഇത് സത്യം പോലെ കാണപ്പെടുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചാൽ പറയുക എന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ്: 20 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ, പിന്നെ, വ്യക്തമായും, എവിടെയെങ്കിലും ഒരു തെറ്റ് സംഭവിച്ചു - സംശയാസ്പദമായ കണക്ക് വ്യക്തമായും 20 സെല്ലുകൾക്ക് അനുയോജ്യമല്ല, പരമാവധി പത്തിൽ. ഉത്തരം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ചുമതലയും തെറ്റായി പരിഹരിച്ചു.

ഉദാഹരണം 2

വരകളും ഒരു അച്ചുതണ്ടും കൊണ്ട് പരിമിതമായ ആകൃതിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

സ്വയം ചെയ്യേണ്ട പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. ട്യൂട്ടോറിയലിന്റെ അവസാനം പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും അച്ചുതണ്ടിന് കീഴിൽ?

ഉദാഹരണം 3

വരകളും കോർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടുകളും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയ ആകൃതിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം: നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്യാം:

വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ അച്ചുതണ്ടിന് കീഴിൽ(കുറഞ്ഞപക്ഷം ഉയർന്നതല്ലഅച്ചുതണ്ട് നൽകിയിരിക്കുന്നു), തുടർന്ന് അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും:
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

ശ്രദ്ധ! രണ്ട് തരത്തിലുള്ള ജോലികൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്:

1) ഒരു ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമില്ലാതെ ഒരു നിശ്ചിത സമഗ്രത പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, അത് നെഗറ്റീവ് ആകാം.

2) ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, പ്രദേശം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണ്! അതുകൊണ്ടാണ് ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുന്ന ഫോർമുലയിൽ ഒരു മൈനസ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത്.

പ്രായോഗികമായി, മിക്കപ്പോഴും ഈ കണക്ക് മുകളിലും താഴെയുമുള്ള പകുതി പ്ലാനുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അതിനാൽ, ഏറ്റവും ലളിതമായ സ്കൂൾ പ്രശ്നങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ അർത്ഥവത്തായ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഉദാഹരണം 4

വരകളാൽ ചുറ്റപ്പെട്ട ഒരു പരന്ന രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: ആദ്യം നിങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗ് പൂർത്തിയാക്കേണ്ടതുണ്ട്. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു പ്രദേശത്തെ പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, വരികളുടെ വിഭജന പോയിന്റുകളിലാണ് ഞങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും താൽപ്പര്യം. പരാബോളയുടെയും വരയുടെയും കവല പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. ഇത് രണ്ട് തരത്തിൽ ചെയ്യാം. ആദ്യ വഴി വിശകലനപരമാണ്. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, സംയോജനത്തിന്റെ താഴ്ന്ന പരിധി, സംയോജനത്തിന്റെ ഉയർന്ന പരിധി.
സാധ്യമെങ്കിൽ, ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കാതിരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്..

പോയിന്റുകൾ അനുസരിച്ച് പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വരികൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരവും വേഗമേറിയതുമാണ്, അതേസമയം സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ "സ്വയം" വ്യക്തമാകും. വിവിധ ചാർട്ടുകൾക്കായി പോയിന്റ്-ബൈ-പോയിന്റ് പ്ലോട്ടിംഗിന്റെ സാങ്കേതികത സഹായത്തിൽ വിശദമായി ചർച്ചചെയ്യുന്നു. പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളും സവിശേഷതകളും... എന്നിരുന്നാലും, ഉദാഹരണത്തിന്, ഗ്രാഫ് ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ കൃത്യമായ നിർമാണത്തിന് സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ വെളിപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ (അവ ഭിന്നമോ യുക്തിരഹിതമോ ആകാം) പരിമിതികൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിശകലന രീതി ചിലപ്പോൾ ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരമൊരു ഉദാഹരണവും ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു: ആദ്യം ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണ്, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ഒരു പരാബോള. നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്യാം:

ഒരു പോയിന്റ് ഘടനയുടെ കാര്യത്തിൽ, സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ മിക്കപ്പോഴും ഒരു "ഓട്ടോമാറ്റൺ" കണ്ടെത്തിയെന്ന് ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ പ്രവർത്തന ഫോർമുല: ഒരു സെഗ്മെന്റിൽ തുടർച്ചയായ ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ വലിയതോ തുല്യമോചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ, ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളും നേർരേഖകളും കൊണ്ട് ചുറ്റപ്പെട്ട ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും:

ചിത്രം എവിടെയാണെന്ന് നിങ്ങൾ ഇനി ചിന്തിക്കേണ്ടതില്ല - അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിലോ അച്ചുതണ്ടിന് താഴെയോ, ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, ഏത് ഷെഡ്യൂളാണ് മുകളിൽ എന്നത് പ്രധാനമാണ്(മറ്റൊരു ഗ്രാഫുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്), ഏതാണ് താഴെ.

പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, സെഗ്‌മെന്റിൽ പരബോള നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നതെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ അതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്

പരിഹാരത്തിന്റെ പൂർത്തീകരണം ഇതുപോലെയാകാം:

ആവശ്യമായ ചിത്രം മുകളിൽ ഒരു പരാബോളയും താഴെയുള്ള ഒരു നേർരേഖയും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.
സെഗ്മെന്റിൽ, അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം:

വാസ്തവത്തിൽ, താഴത്തെ പകുതി തലത്തിലുള്ള ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിന്റെ മേഖലയ്ക്കുള്ള സ്കൂൾ ഫോർമുല (ലളിതമായ ഉദാഹരണം നമ്പർ 3 കാണുക) ഫോർമുലയുടെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് ... അക്ഷം സമവാക്യം നൽകിയതിനാൽ, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു ഉയർന്നതല്ലഅച്ചുതണ്ട്

ഇപ്പോൾ ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 5

ഉദാഹരണം 6

വരകളാൽ ചുറ്റപ്പെട്ട ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് പ്രദേശം കണക്കുകൂട്ടുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനിടയിൽ, ഒരു രസകരമായ സംഭവം ചിലപ്പോൾ സംഭവിക്കുന്നു. ഡ്രോയിംഗ് ശരിയായി ചെയ്തു, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ശരിയാണ്, പക്ഷേ അശ്രദ്ധമായി ... തെറ്റായ രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തി, ഇങ്ങനെയാണ് നിങ്ങളുടെ എളിയ ദാസൻ പലതവണ കുഴഞ്ഞു വീണത്. ഒരു യഥാർത്ഥ ജീവിത കേസ് ഇതാ:

ഉദാഹരണം 7

വരകളാൽ ചുറ്റപ്പെട്ട ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക ,,,.

പരിഹാരം: ആദ്യം, നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്യാം:

... ഓ, ഒരു മോശം ചിത്രം പുറത്തുവന്നു, പക്ഷേ എല്ലാം വ്യക്തമാണെന്ന് തോന്നുന്നു.

നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ട സ്ഥലം നീല നിറത്തിൽ ഷേഡ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു(ഈ അവസ്ഥ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുക - ചിത്രം എന്താണ് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്!). എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി, അശ്രദ്ധമൂലം, ഒരു "തകരാർ" പലപ്പോഴും ഉയർന്നുവരുന്നു, നിങ്ങൾ ഷേഡുള്ള ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് പച്ചയിൽ!

ഈ ഉദാഹരണം ഉപയോഗപ്രദമാണ്, ഇത് ഒരു നിശ്ചിത സംയോജനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു. ശരിക്കും:

1) ഒരു ലൈൻ ഗ്രാഫ് അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ള സെഗ്മെന്റിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു;

2) ഹൈപ്പർബോള ഗ്രാഫ് അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ള സെഗ്മെന്റിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.

പ്രദേശങ്ങൾ ചേർക്കാനാകുമെന്നത് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ:

ഉത്തരം:

നമുക്ക് കൂടുതൽ അർത്ഥവത്തായ ഒരു ജോലിയിലേക്ക് പോകാം.

ഉദാഹരണം 8

വരകളാൽ ചുറ്റപ്പെട്ട ആകൃതിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക,
നമുക്ക് "സ്കൂൾ" ഫോമിലെ സമവാക്യങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, പോയിന്റ്-ബൈ-പോയിന്റ് ഡ്രോയിംഗ് നടപ്പിലാക്കുക:

ഞങ്ങളുടെ ഉയർന്ന പരിധി "നല്ലത്" ആണെന്ന് ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും:.
എന്നാൽ കുറഞ്ഞ പരിധി എന്താണ്? ഇത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, എന്നാൽ ഏത്? ഒരുപക്ഷേ ? എന്നാൽ ഡ്രോയിംഗ് തികഞ്ഞ കൃത്യതയോടെ നിർമ്മിച്ചതാണെന്ന ഉറപ്പ് എവിടെയാണ്, അത് അതായിരിക്കാം. അല്ലെങ്കിൽ റൂട്ട്. നമ്മൾ ഗ്രാഫ് തെറ്റായി പ്ലോട്ട് ചെയ്താലോ?

അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, നിങ്ങൾ അധിക സമയം ചെലവഴിക്കുകയും സംയോജനത്തിന്റെ പരിമിതികൾ വിശകലനപരമായി പരിഷ്കരിക്കുകയും വേണം.

വരയുടെയും പാരബോളയുടെയും കവല പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:


,

ശരിക്കും ,.

കൂടുതൽ പരിഹാരം നിസ്സാരമാണ്, പ്രധാന കാര്യം പകരങ്ങളിലും അടയാളങ്ങളിലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകരുത്, ഇവിടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമല്ല.

വിഭാഗത്തിൽ അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം:

ശരി, പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ട് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലികൾ കൂടി പരിഗണിക്കും.

ഉദാഹരണം 9

വരകളാൽ ചുറ്റപ്പെട്ട ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക,

പരിഹാരം: നമുക്ക് ഈ ചിത്രം ഡ്രോയിംഗിൽ ചിത്രീകരിക്കാം.

നാശം, ഞാൻ ഷെഡ്യൂളിൽ ഒപ്പിടാൻ മറന്നു, പക്ഷേ ചിത്രം വീണ്ടും ചെയ്യാൻ, ക്ഷമിക്കണം, ഹോട്ട്സ് അല്ല. ഡ്രോയിംഗ് അല്ല, ചുരുക്കത്തിൽ, ഇന്നത്തെ ദിവസം =)

ഒരു പോയിന്റ്-ബൈ-പോയിന്റ് നിർമ്മാണത്തിന്, നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് രൂപം sinusoids (പൊതുവേ ഇത് അറിയാൻ ഉപയോഗപ്രദമാണ് എല്ലാ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും ഗ്രാഫുകൾ), കൂടാതെ ചില സൈൻ മൂല്യങ്ങളും, അവയിൽ കാണാം ത്രികോണമിതി പട്ടിക... നിരവധി കേസുകളിൽ (ഇത് പോലെ), ഒരു സ്കീമാറ്റിക് ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കാൻ ഇത് അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിൽ ഗ്രാഫുകളും സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികളും തത്വത്തിൽ ശരിയായി പ്രദർശിപ്പിക്കണം.

സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികളിൽ പ്രശ്നങ്ങളൊന്നുമില്ല, അവ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു: - "x" പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് "pi" ലേക്ക് മാറുന്നു. ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ തീരുമാനം എടുക്കുന്നു:

സെഗ്മെന്റിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അതിനാൽ: